1 TUGAS SISTEM GEOMETRI GEOMETRI AFFINE DAN APLIKASINYA DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI Oleh Kelompok 3(1): 1. Rizqi Fadlilah 113174023 2. Iin Septiasari 113174062 3. Yunanda Ayman Aula 113174065 4. Nur Putri Inayati Lestari 113174208 5. Gilang Ramadani Setyowati 113174219 UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA 2013
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
9 Jadi AA’, BB’ dan CC’ berpotongan di satu titik Akibat 8
Kondisi 2 : AA’, BB’ dan CC’ sejajar
No Pernyataan Ket
1 ABC &A’B’C’
BC//B’C’, CA//C’A’, AB//A’B’
Premis
10
No. Pernyataan Ket
2 A,B,C sudut sudut ABC
A’, B’, C’ sudut-sudut A’B’C’
Premis
3 Buat segmen AA’,BB’ dan CC’ konstruksi
4 Buat sinar A/A’ sehingga memenuhi [PAA’] konstruksi
5 Buat sinar B/B’ sehingga memenuhi [QBB’] Konstruksi
6 Buat sinar C/C’ sehingga memenuhi [RCC’] Konstruksi
7 Buat A’/A sehingga memenuhi [SA’A] konstruksi
8 Buat B’/B sehingga memenuhi [TB’B] konstruksi
9 Buat C’/C sehingga memenuhi [UC’C] konstruksi
10 Jadi Garis AA’//BB’//CC’ Akibat 4-9
11
Teorema 4.2
Jika A, A’, B, B’, C,C’ adalah 6 titik berlainan pada 3 garis sejajar berlainan AA’,BB’,CC’,
diletakan sedemikian hingga t AB sejajar with A’B’ . BC sejajar B’C’ , maka CA juga sejajar
dengan C’A’.
Diketahui : A, A’, B, B’, C, C’ (6 titik berlaianan)
AA’//BB’//CC’
AB//A’B’
BC//B’C’
Akan dibuktikan : CA//C’A’
Bukti :
(1) Ambil sebarang titik C” di segmen B’C’ sedemikian hingga
AC//A’C”
(2) AB//A’B’ (diketahui)
(3) BC//B’C’ (diketahui)
(4) AA’//BB’//CC” (teorema 4.1)
(5) BB’//CC” (4)
(6) BB’//CC’ (diketahui)
(7) Melalui titik C di luar garis BB’ ada paling banyak satu garis
sejajar BB’ (aksioma 5). Padahal ada dua garis sejajar BB’ yaitu
CC’ dan CC”, jadi haruslah C” berhimpit dengan C’.
(8) C” berada pada garis CC’
(9) C” berada ada garis B’C’ (1)
(10) AC// A’C’’.
12
Dalam geometri Affine, kita akan mengenal beberapa transformasi. Untuk itu, perlu
didefinisikan terlebih dahulu tentang Jajargenjang.
Definisi 1 (Jajar Genjang)
Empat titik A, B, C, dan D yang tidak segaris dikatakan membentuk suatu jajargenjang
ABCD jika AB sejajar dengan DC dan BC sejajar dengan AD.
Dari gambar tersebut, A, B, C, dan D adalah titik-titik sudut jajargenjang
ABCD.Segmen-segmen AB, BC, CD, dan DA adalah sisi-sisi jajargenjang ABCD.Segmen-
segmen AC dan BD adalah diagonal-diagonal jajargenjang ABCD. Karena B dan D berada
pada pihak yang berlainan yang dibentuk segmen AC, maka diagonal-diagonal jajargenjang
berpotongan di suatu titik yang kemudian disebut dengan pusat jajargenjang.
Definisi 2 (Dilatasi)
Suatu dilatasi ialah suatu transformasi yang mentransformasikan setiap garis ke garis yang
sejajar.
Teorema 4.3
Dua segmen yang diketahui AB dan A’B’ pada garis-garis yang sejajar menentukan dengan
tunggal suatu dilatasi AB→A’B’.
Diberikan : AB//A’B’
Akan dibuktikan : AB//A’B’ menentukan dengan tunggal suatu Dilatasi AB→A’B’
A B
CD
13
Bukti :
Ambil sebarang titik P pada bidang.
Konstruk P’ (bayangan P) yang merupakan titik potong dari garis
yang dibuat melalui A’ sejajar AP dan garis melalui B’ sejajar BP.
Karena AP∦BP, maka garis-garis yang melalui A’ dan B’ tidak
mungkin sejajar.
Ambil sebarang titik C, C≠P.
Dengan cara yang sama, konstruk C’.
Berdasarkan Teorema 4.1, didapat AA’∥ BB’∥ PP’∥ CC’.
Jika AB dan A’B’ tidak berimpit, maka AA’, BB’, PP’, dan CC’
adalah konkuren atau sejajar sehingga C’P’∥ CP.
Jadi, menurut Definisi 4.2, transformasi tersebut adalah dilatasi.
Jika AB dan A’B’ berimpit, maka transformasi dapat dipandang
sebagai AC→A’C’.
... Dua segmen sejajar menentuka dengan tunggal suatu dilatasi.
P
A
C
A’ B’
B
C’
P’
14
Definisi 3 (Invers)
Invers dari dilatasi AB A’B’ ialah dilatasi A’B’ AB
Definisi 4 (Hasil Kali Dua Dilatasi)
Yang dimaksud dengan hasil kali dua dilatasi ialah suatu dilatasi yang dilanjutkan dengan
dilatasi yang lain.
Maka hasil kali dua dilatasi AB A’B’ dan A’B’ A”B” ialah dilatasi AB A”B”.
Hasil kali suatu dilatasi dengan inversnya adalah identitas AB AB.
Garis-garis yang menghubungkan suatu titik dan bayangannya disebut garis-garis
invariant. Garis-garis itu berpotongan pada satu titik atau sejajar.
15
Jika garis-garis yang menghubungkan titik dan banyangannya (yaitu yang
menghubungkan dua titik berkorespondensi), berpotongan pada satu titik, maka
dilatasi disebut dilatasi sentral. Titik potong garis-garis itu disebut titik pusat dilatasi
O dan titik pusat tersebut tunggal.
Definisi 5 (Translasi)
Jika garis-garis yang menghubungkan dua titik berkorespondensi sejajar, maka dilatasi itu
suatu translasi. Jadi suatu dilatasi adalah suatu translasi bila dan hanya bila tidak
memiliki titik invarian (tapi garis invarian).
Jika pada translasi AB A’B’, AA’, BB’ tidak berupa jajaran genjang, maka dapat
ditunjukkan jajaran genjang lainnya. Seperti pada gambar berikut:
AB A’B’ sama dengan AC A’C’ dengan AA’C’C suatu jajargenjang atau
AD A’D’ suatu jajargenjang.
Jika A, A’ dan B diketahui, maka letak B’ tidak tergantung dari pemilihan C atau D,
sehingga terdapat Teorema berikut:
Dilatasi Sentral Translasi
16
Teorema 4.4
Sebarang dua titik A dan A’ menentukan dengan tunggal translasi A A’.
Bukti:
(1) Suatu dilatasi adalah suatu translasi bila dan hanya bila tidak mempunyai titik
invarian. Translasi A A’ sama dengan translasi B B’. Jika AA’ B’B suatu
jajargenjang. (Definisi 4.4)
(2) Andaikan AA’BB’ bukan jajar genjang
(3) Ada titik B” membentuk garis melalui B tidak sejajar dengan AA’
(4) AA’BB” membentuk titik invarian (Definisi 4.4)
(5) AA’BB” bukan suatu translasi (Definisi 4.4)
(6) AA’ bukan suatu translasi (5)
(7) Pengandaian salah, maka dua titik A dan A’ menentukan dengan tunggal translasi
A A’
Teorema 4.5
DilatasiAB → A’B’ mentransformasikan setiap titik.
Diketahui : Dilatasi AB ke A’B’
Karena setiap titik diluar garis ditransformasikan ke petanya menurut Teorema 4.3, maka
Adib : Setiap titik pada AB ditransformasikan ke setiap titik pada A’B’
Bukti :
Kita akan membuktikan bahwa, jika [ACB] maka [A’C’B’].
Berdasarkan Definisi Dilatasi, maka AB//A’B’. Hal ini menjadikan ada dua kondisi
dimana AB kongruen dengan A’B’ dan AB tidak kongruen dengan A’B’.
1. AB kongruen A’B’
Hubungkan A dengan A’ dan beri nama garis invariant a
Hubungkan B dengan B’ dan beri nama garis invariant b
Konstruksi garis invarian c sedemikian, sehingga c//a//b
Untuk titik C yang merupakan titik perpotongan AB dengan c, jadi
mempunyai peta di C’ yang
[A’C’B’]. Dapat disimpulkan bahwa
Untuk kondisi pertama terbukti.
2. AB tidak kongruen dengan A’B’
Berdasarkan Definisi Dilatasi, maka AB//A’B’. Hal ini menjadikan ada dua kondisi
dimana AB kongruen dengan A’B’ dan AB tidak kongruen dengan A’B’.
n A dengan A’ dan beri nama garis invariant a
Hubungkan B dengan B’ dan beri nama garis invariant b
Konstruksi garis invarian c sedemikian, sehingga c//a//b
Untuk titik C yang merupakan titik perpotongan AB dengan c, jadi
mempunyai peta di C’ yang merupakan titik perpotongan A’B’ dengan c, jadi
Dapat disimpulkan bahwa jika [ACB] maka [A’C’B’].
Untuk kondisi pertama terbukti.
AB tidak kongruen dengan A’B’
17
Berdasarkan Definisi Dilatasi, maka AB//A’B’. Hal ini menjadikan ada dua kondisi
Untuk titik C yang merupakan titik perpotongan AB dengan c, jadi [ACB]. C
merupakan titik perpotongan A’B’ dengan c, jadi
18
Hubungkan A dengan A’ dan beri nama garis invariant a
Hubungkan B dengan B’ dan beri nama garis invariant b
a dan b berpotongan di titik invariant O. ambil titik C pada AB dan hubungkan ke O.
sinar OC terletak di dalam sudut AOB sehingga [ABC]. Untuk titik C’, titik potong
OC dengan suatu segmen A’B’ dengan A’ pada sinar OA dan B’ pada sinar OB
dipenuhi [A’C’B’]. Dapat disimpulkan bahwa jika [ACB] maka [A’C’B’].
Untuk kondisi kedua terbukti.
Untuk titik-titik A, B dan C yang terletak pada garis invarian digunakan garis-
garis sejajar sebagai pertolongan untuk menunjukkan kebenaran Teorema 4.5 ini.
1. [ACB] → [A1CB1] → [A2C’B2] → [A’C’B’]
2. [ACB] → [A1CB1] → [A2C’B2] → [A’C’B’]
Jadi terbukti, jika [ACB], maka [A’C’B’]
Teorema 4.6
Hasil kali dua translasi A→B dan B→C adalah translasi A→C.
19
Bukti:
(1) Andaikan hasil kali 2 translasi bukan suatu translasi, maka ada titik invariant O.
(2) Translasi pertama A → B. Titik O juga ditranslasikan ke O’ sebesar dan searah
translasi A → B.
(3) Diandaikan hasil kali 2 translasi memiliki titik invariant maka O’ ditranslasikan
kembali ke O (sesuai dengan definisi titik invariant (titik yang tidak berubah posisi).
(4) Sehingga untuk translasi ke dua yaitu B → C ditranslasikan sebesar dan searah
O’ → O. Jadi B → C merupakan invers dari A → B.
(5) Karena B → C invers dari A → B, maka pengandaian salah. Seharusnya invers dari
A → B adalah B → A. Maka hasil kali 2 translasi tidak mempunyai titik invariant.
Jadi, hasil kali 2 translasi berupa translasi.
Definisi 5 (Setengah Putaran)
Jika dua titik berlainan, misalnya A dan B ditukar oleh suatu dilatasi tunggal AB→BA
atau A↔B, maka transformasi itu disebut setengah putaran.
Jika C sebarang titik diluar garis AB, maka untuk mencari bayangannya, kita
hubungkan C dengan A dan B, maka titik potong garis yang melalui B sejajar AC dan
yang melalui A sejajar BC ialah D, bayangan dari C.
20
Jadi ACBD adalah suatu jajargenjang. Setengah putaran itu dapat dinyatakan dengan C
D. garis-garis invarian AB dan CD, karena diagonal-diagonal suatu jajargenjang,
berpotongan di titik O, yang menjadi titik invarian dari setengah putaran. Titik O adalah
titik pusat jajargenjang. Pada setengah putaran A B, titik O adalah titik tengah segmen
AB.
Untuk melukis bayangan titik T pada garis AB, dihubungkan T dengan C (atau D) dan
kemudian dilukis garis melalui D (atau C) yang sejajar dengan TC (atau TD) dan terdapat
T’ pada garis AB.
Hasil kali dua setengah putaran dapat dinyatakan sebagai (A↔B) atau (B↔C).andaikan
hasil kali ini mempunyai suatu titik invarian O, maka oleh setengah putaran A↔B, O
dibawa ke-O’. Jadi A↔B sama dengan O↔O’. Oleh setengah putaran B↔C maka O’
dibawa ke O, jadi B↔C sama dengan O’↔O. Jadi ada titik invarian jika A↔B = B↔C.
Dalam hal ini yang lain tidak ada titik invarian.
Teorema 4.7
Hasil kali 2 setengah putaran A↔B dan B↔C adalah translasi A↔C.
Bukti:
1) Hasil kali dua setengah putaran dapat dinyatakan sebagai (A B) (B C).
2) Andaikan hasil kali ini mempunyai suatu titik invarian O
3) Setengah putaran A B, O dibawa ke-O’ (O O’)
Berakibat A B = O O’
4) Setengah putaran B C maka O’ dibawa ke O (O’ O)
Berakibat B C = O’ O
5) Jadi hasil kali dua setengah putaran (A B) (B C) memiliki titik invarian jika
A B = B C
Hal tersebut kontradiksi bahwa A B ≠ B C
Sehingga pengandaian salah, jadi dalam hal ini yang lain tidak ada titik invariant dan
hasil kali dua setengah putaran berupa translasi ( definisi translasi)
21
Teorema 4.8
Setengah putaran A↔B dan C↔D sama, bila dan hanya bila translasi A↔D dan C↔B
sama.
Untuk “→”:
Diberikan : A↔B = C↔D
Akan dibuktikan : A↔D= C↔B
Bukti : A↔D = (A↔B) (B↔D)
= (C↔D) (B↔D)
= (C↔D) (D↔B)
= C↔B
Untuk “←”:
Diberikan : A↔D= C↔B
Akan dibuktikan : A↔B= C↔D
Bukti : A↔B = (A↔D) (D↔B)
= (C↔B) (D↔B)
= (C↔B) (B↔D)
= C↔D
Teorema 4.9
Garis yang menghubungkan titik-titik tengah dua sisi suatu
segitiga adalah sejajar dengan sisi yang ketiga, dan
Suatu garis yang melalui titik tengah suatu sisi dan sejajar
dengan sisi yang lain akan melalui titik tengah sisi yang ketiga.
22
Bukti I
Diketahui : ∆ B’ titik tengah ACA’ titik tengah BC
Buktikan : B’A’�AB
Bukti :
1. Konstruksi translasi B’B” A’A” searah B’A
2. Akibatnya B’B” � A’A” sehingga B’A’ � B”A”
3. Berdasarkan definisi jajargenjang maka B’A’A”B” adalah jajargenjang
4. Akibatnya akan dibuktikan bahwa B”A” terletak pada AB
5. Berdasarkan Teorema 4, translasi B’ B” searah B’A maka B” = A sehingga A” = D
(dengan D terletak pada AB).
6. B’A’�AB
Bukti II
Diketahui : ∆ B’ titik tengah ACB’A’�AB
Buktikan : A’ titik tengah BC
Bukti :
1. Pandang ∆ ′ ′ dan ∆ 2. CB’A’ CAB (Sehadap)
3. C C (Berhimpit)
4. CA’B’ CBA (Sehadap)
5. Berdasarkan definisi kesebangunan maka ∆ ′ ′ ∆ 6. = *Dari yang diketahui B’C =
12AC
C
A B
A’B’
C
A B
A’B’
23
=
=
7. Karena perbandingan = maka A’ titik tengah BC.
C. APLIKASI GEOMETRI AFFINE
Menampakkan kondisi transformasi dari wujud aslinya (optical illusion)
a. Bentuk berikut merupakan bentuk transformasi.
Perhatikan gambar di samping.
Kita dapat melihat bahwa gambar A terlihat
tegak (i), padahal gambar aslinya adalah
miring seperti gambar (ii).
Gambar (i) adalah transformasi dari gambar
(ii).
i
ii
24
Dilihat seakan-akan stik merah tidak akan mungkin bisa menembus dari kotak ke kotak yang lain. Padahal, bentuk asli dari gambar tersebut adalah sebagai berikut.
b. Gambar berikut juga merupakan bentuk yang sama dengan a.
Apabila dilihat dari bentuk transformasinya terlihat mustahil benda lingkar merah yang bisa menempel dengan bentuk seperti pada gambar sebelum melihat bentuk aslinya.
c. Bola yang ada pada gambar tersebut seakan-akan menggelinding ke atas (dari yng rendah menuju ketempat yang lebih tinggi). Padahal dilihat dari bentuk aslinya bola tersebut menggelinding dari tempat paling tinggi ke tempat yang lebih rendah (normal)
25
Gambar di bawah ini adalah bentuk asli dari gambar di atas.
d. Sponsor sepak bola samping gawang yang dilingkari adalah bentuk aplikasi affine lainnya.
Broadcast tersebut terlihat seakan-akan berdiri tegak jika dilihat dari sudut pandang penonton. Tetapi akan terlihat menempel tanah seperti karpet yang di pasang di ruang
26
tamu jika dilihat dari atas atau dari sisi kamera yang dekat dengan gawang. Amati gambar berikut yang merupakan bentuk asli dari broadcast tersebut.
27
DAFTAR PUSTAKA
1. Budiarto, Mega Teguh, Prof. Dr. Masriyah, Dra. M.Pd. 2010. Sistem Geometri.
Surabaya: Unesa University Press.
2. http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/affine.htm didownload pada6 tanggal 6
Oktober 2013 pukul 10.00
3. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Euler.html didownload pada 5 Oktober 2013 pukul 20.30