Main-bachelor_thesis_Lead Coupled Spinless Hubbard Chains.pdf

8/22/2019 Main-bachelor_thesis_Lead Coupled Spinless Hubbard Chains.pdf

1/60

M a r k o v i a n A p p r o x i m a t i o n s t o t h e T i m e E v o l u t i o n o f

L e a d C o u p l e d

S p i n l e s s H u b b a r d C h a i n s

t h r o u g h D i e r e n t M a s t e r E q u a t i o n A p p r o a c h e s

W . H o r d i j k

F a c u l t y o f A p p l i e d S c i e n c e s Q u a n t u m N a n o s c i e n c e D e p a r t m e n t

T h e o r e t i c a l P h y s i c s R e s e a r c h G r o u p


2/60


3/60

M a r k o v i a n A p p r o x i m a t i o n s t o t h e T i m e E v o l u t i o n o f

L e a d C o u p l e d

S p i n l e s s H u b b a r d C h a i n s

t h r o u g h D i e r e n t M a s t e r E q u a t i o n A p p r o a c h e s

B a c h e l o r T h e s i s

W o u t e r H o r d i j k

w o u t e r h o r d i j k @ g m a i l . c o m

S t u d e n t I D : 1 5 3 9 2 9 9

D e c e m b e r 2 0 1 1

F a c u l t y o f A p p l i e d S c i e n c e s T h e o r e t i c a l P h y s i c s R e s e a r c h G r o u p
http://www.tnw.tudelft.nl/?id=34008&L=1http://www.ns.tudelft.nl/http://www.tnw.tudelft.nl/en/http://home.tudelft.nl/en/mailto:[email protected]


4/60

A b s t r a c t

T h i s t h e s i s d e s c r i b e s t h e p r o c e s s o f d e r i v i n g t h e M a s t e r E q u a t i o n f o r t h e t i m e e v o l u -

t i o n o f t h e d e n s i t y o p e r a t o r f o r a l e a d c o u p l e d s p i n l e s s H u b b a r d c h a i n u s i n g a M a r k o v

a p p r o x i m a t i o n . T h e d e r i v a t i o n i s d o n e i n a d i r e c t , c o n v e n t i o n a l w a y o f e x p a n d i n g o p e r a -

t o r s a n d s w i t c h i n g p i c t u r e s i n o r d e r t o s e p a r a t e t h e s y s t e m H a m i l t o n i a n i n a c o n v e n i e n t

w a y a n d t h r o u g h t h e S u p e r O p e r a t o r f o r m a l i s m , y i e l d i n g a d i e r e n t f o r m o f t h e M a s t e r

E q u a t i o n . W e w i l l i m p l e m e n t b o t h r e s u l t s i n s o f t w a r e a n d w e w i l l i t e r a t i v e l y n d t h e

s t a t i o n a r y s t a t e o f t h e c h a i n f r o m s o m e i n i t i a l s t a t e w h e n t h e l e a d i s k e p t a t a c o n s t a n t

c h e m i c a l p o t e n t i a l . W e w i l l s h o w t h a t f o r e a c h i n i t i a l s t a t e t h e c h a i n d e n s i t y o p e r a t o r

c o n v e r g e s t o t h i s s t a t i o n a r y s t a t e t h a t i s d e t e r m i n e d b y t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l o f t h e

l e a d , b u t a t a r a t e t h a t i s i n d e p e n d e n t o f t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l o f t h e l e a d a n d t h a t

b o t h t h e c o n v e n t i o n a l a n d t h e S u p e r O p e r a t o r a p p r o a c h y i e l d t h e e x a c t s a m e r e s u l t s .

W e w i l l a l s o s h o w a n d d i s c u s s a s m a l l s y s t e m a t i c e r r o r w e n d i n t h e c o n v e r g e d r e s u l t s

y i e l d i n g n o n - p h y s i c a l i n t e r p r e t a t i o n s a n d h o w w e c a n i m p r o v e t h e n u m e r i c s r e g a r d i n g

t h e i m p l e m e n t a t i o n o f t h e m o d e l .


5/60

C o n t e n t s

A b s t r a c t i i

1 . I n t r o d u c t i o n 1

1 . 1 . P r o b l e m d e s c r i p t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 . 2 . G o a l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 . 3 . T h e s i s l a y o u t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 . 4 . S i m p l i f y i n g t h e m o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 . C o n s t r u c t i n g t h e m o d e l 3

2 . 1 . S t a r t i n g p o i n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 . 1 . 1 . D e n s i t y o p e r a t o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 . 1 . 2 . V o n N e u m a n n e q u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 . 2 . C h a i n H a m i l t o n i a n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 . 2 . 1 . C h a i n H a m i l t o n i a n m a t r i x f o r m a l i s m . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 . 2 . 2 . M A T L A B i m p l e m e n t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0

2 . 3 . L e a d H a m i l t o n i a n a n d c o u p l i n g H a m i l t o n i a n . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

3 . C o n v e n t i o n a l a p p r o a c h 1 3

3 . 1 . P i c t u r e f o r m u l a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3

3 . 1 . 1 . S c h r d i n g e r p i c t u r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3

3 . 1 . 2 . H e i s e n b e r g p i c t u r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3

3 . 1 . 3 . I n t e r a c t i o n p i c t u r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4

3 . 2 . C o r r e c t i o n t h r o u g h i t e r a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5

3 . 3 . U n p e r t u r b e d t e r m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7

3 . 4 . C o r r e c t i o n t e r m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8

3 . 4 . 1 . L e a d o p e r a t o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8

3 . 4 . 2 . C h a i n o p e r a t o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1

3 . 4 . 3 . F u r t h e r p r o c e s s i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2

4 . S u p e r o p e r a t o r a p p r o a c h 2 8

4 . 1 . S u p e r O p e r a t o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8

4 . 2 . U n p e r t u r b e d t e r m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0

4 . 3 . C o r r e c t i o n t e r m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0

4 . 3 . 1 . L e a d o p e r a t o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0

4 . 3 . 2 . C h a i n o p e r a t o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1

4 . 3 . 3 . F u r t h e r p r o c e s s i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1

i i i


6/60

5 . I m p l e m e n t i n g t h e m o d e l 3 3

5 . 1 . C o n v e n t i o n a l a p p r o a c h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3

5 . 2 . S u p e r o p e r a t o r a p p r o a c h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6

6 . R e s u l t s & C o n c l u s i o n s 3 9

6 . 1 . C o n v e n t i o n a l a p p r o a c h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9

6 . 1 . 1 . E x t r e m e c a s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9

6 . 1 . 2 . I n t e r m e d i a t e c a s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1

6 . 2 . S u p e r o p e r a t o r a p p r o a c h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3

6 . 2 . 1 . E x t r e m e c a s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3

6 . 2 . 2 . I n t e r m e d i a t e c a s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3

6 . 2 . 3 . R e s u l t s s u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6

6 . 3 . G o a l e v a l u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6

7 . F u t u r e r e s e a r c h 4 8

7 . 1 . I m p r o v e m e n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8

7 . 1 . 1 . A n a l y t i c a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8

7 . 1 . 2 . C o m p u t a t i o n a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8

7 . 2 . E x p a n s i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9

B i b l i o g r a p h y a

A . V e r i f y i n g t h e V o n N e u m a n n e q u a t i o n b

B . B i c o n j u g a t e g r a d i e n t s t a b i l i z e d m e t h o d d

i v


7/60

1 . I n t r o d u c t i o n

1 . 1 . P r o b l e m d e s c r i p t i o n

I n t h i s t h e s i s w e a r e i n i t i a l l y i n t e r e s t e d i n i n v e s t i g a t i n g t h e c h a n g e i n e l e c t r o n o c c u p a t i o n

i n a c h a i n o f a t o m s i n d u c e d b y t h e c o n n e c t i o n o f t h e c h a i n t o t w o l e a d s s e t a t a g i v e n

c h e m i c a l p o t e n t i a l , p r o v i d i n g t h e e x c h a n g e o f e l e c t r o n s o n b o t h s i d e s o f t h e c h a i n a t

s p e c i c p a r a m e t e r s f o r t h e c h a i n . T h e s e p a r a m e t e r s i n c l u d e a w e a k c o u p l i n g t o t h e l e a d s

a n d t i g h t b i n d i n g c o n d i t i o n s . T h i s m o d e l s t h e t r a n s p o r t o f c h a r g e d p a r t i c l e s t h r o u g h t h e

c h a i n , e e c t i v e l y d e s c r i b i n g t h e o w o f c u r r e n t t h r o u g h a c h a i n o f a t o m s .

T h e s c o p e o f t h e c h a l l e n g e s i n t h i s p r o b l e m i s m u c h l a r g e r t h a n e x p e c t e d a n d i n o r d e r

t o m a k e t h e c h a l l e n g e s a c c e p t a b l e f o r a n u n d e r g r a d u a t e p r o j e c t , w e h a v e s i m p l i e d t h e

p r o b l e m b y i n t r o d u c i n g a s e l e c t i o n o f s i m p l i c a t i o n s t o t h e s y s t e m i t s e l f . T h e s i m p l i e d

p r o b l e m i n v e s t i g a t e s t h e c h a n g e o f s p i n l e s s f e r m i o n o c c u p a t i o n i n a c h a i n o f s i t e s o f l e n g t h

n c o n n e c t e d t o o n e l e a d w h i c h i s w e a k l y c o u p l e d t o t h e r s t s i t e i n t h e c h a i n , p r o v i d i n g

s p i n l e s s f e r m i o n e x c h a n g e . F u r t h e r o n w e w i l l d i s c u s s h o w w e o b t a i n t h e s i m p l i e d m o d e l

f r o m t h e i n i t i a l m o d e l a n d e x p l a i n t h e s p e c i c p a r a m e t e r s o f t h e c h a i n a n d t h e l e a d a n d

t h e c o u p l i n g b e t w e e n t h e m .

1 . 2 . G o a l s

T h e g o a l o f t h i s t h e s i s i s t o s u c c e s s f u l l y w o r k o u t t h e p r o p o s e d m o d e l w i t h a M a r k o v i a n

M a s t e r E q u a t i o n a p p r o a c h , d e s c r i b i n g t h e t i m e - e v o l u t i o n o f o u r s y s t e m t h a t c a n b e

m o d e l l e d a s b e i n g i n e x a c t l y o n e o f a c o u n t a b l e n u m b e r o f s t a t e s a t a n y g i v e n t i m e ,

a n d w h e r e s w i t c h i n g b e t w e e n s t a t e s i s t r e a t e d p r o b a b i l i s t i c a l l y , d e d u c e d w i t h b o t h a

c o n v e n t i o n a l w a y a n d a S u p e r O p e r a t o r f o r m a l i s m a n d i m p l e m e n t i n g t h e m o d e l i n a

g e n e r a l i z e d w a y i n s o f t w a r e s o t h a t w e c a n n d t h e e q u i l i b r i u m s t a t e o f t h e c h a i n f r o m

a n y p h y s i c a l i n i t i a l s t a t e . A f t e r i m p l e m e n t a t i o n v a r i o u s t e s t s w i t h d i e r e n t c h e m i c a l

p o t e n t i a l s o f t h e l e a d c a n b e r u n t o v e r i f y t h e e x p e c t e d b e h a v i o u r o f t h e m o d e l a n d t o

c o m p a r e t h e r e s u l t s o f t h e d i e r e n t a p p r o a c h e s .

1 . 3 . T h e s i s l a y o u t

W e w i l l l a y o u t t h e i n i t i a l m o d e l a n d s i m p l i f y i t f u r t h e r o n i n t h i s c h a p t e r . I n c h a p t e r

2 w e i n t r o d u c e t h e s t a r t i n g p o i n t o f o u r a p p r o a c h , d i s c u s s t h e k e y c o n c e p t s a n d d e r i v e

t h e f o r m s w e w i l l b e w o r k i n g w i t h . I n c h a p t e r 3 w e w i l l w o r k o u t t h e m o d e l u s i n g t h e

c o n v e n t i o n a l M a s t e r E q u a t i o n a p p r o a c h a n d i n c h a p t e r 4 w e w i l l w o r k o u t t h e m o d e l

1


8/60

a g a i n , n o w u s i n g t h e S u p e r O p e r a t o r a p p r o a c h t o t h e M a s t e r E q u a t i o n . I n c h a p t e r 5 w e

w i l l s h o w h o w b o t h m e t h o d s a r e i m p l e m e n t e d i n MATLAB

a n d w h i c h m e t h o d i s u s e d t o

p e r f o r m t h e n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n t o w a r d s t h e e q u i l i b r i u m s t a t e . I n c h a p t e r 6 w e w i l l

c o m p a r e t h e r e s u l t s o f b o t h a p p r o a c h e s w h e n d i e r e n t c h e m i c a l p o t e n t i a l s a r e a p p l i e d t o

t h e l e a d a n d d r a w o u r c o n c l u s i o n s . F i n a l l y , i n c h a p t e r 7 w e w i l l d i s c u s s s o m e p o s s i b l e

i m p r o v e m e n t s o f t h e u s e d m e t h o d s a n d p o s s i b l e e x p a n s i o n s o f t h e m o d e l t a k i n g t h e r s t

s t e p s t o w a r d s a m o r e c o m p l e t e a n d p r a c t i c a l l y u s e a b l e m o d e l . S o m e r e s e a r c h t h a t h a s

b e e n d o n e t h a t i s n o t d i r e c t l y i m p o r t a n t f o r o r r e l e v a n t t o t h i s r e s e a r c h o r w a s n o t

i m p l e m e n t e d i s i n c l u d e d i n t h e a p p e n d i c e s .

1 . 4 . S i m p l i f y i n g t h e m o d e l

F r o m o u r i n i t i a l m o d e l w e c a n d e d u c e a s i m p l i e d v e r s i o n , w h i c h w e s h o u l d b e a b l e

t o e x p a n d t o a c o m p l e t e m o d e l a s w e w i l l d i s c u s s i n c h a p t e r 7 . F i r s t , w e a s s u m e t h e

a t o m s i n t h e c h a i n t o b e p e r f e c t l y a l i g n e d s o t h a t t h e p r o b l e m b e c o m e s o n e d i m e n s i o n a l .

S e c o n d , w e a s s u m e t h e a t o m s t o b e h y d r o g e n a t o m s a n d t h a t t h e e l e c t r o n s a r e s p i n l e s s .

D u e t o t h e P a u l i e x c l u s i o n p r i n c i p l e t h e r e c a n n o w b e m e r e l y o n e ` e l e c t r o n ' , w h i c h w e

f r o m n o w o n w i l l b e r e f e r r i n g t o a s a p a r t i c l e a s t h e y w i l l n o t b e h a v i n g a n y s p i n i n

o u r m o d e l , i n t h e s o r b i t a l o f t h e h y d r o g e n a t o m . T h i r d , w e a s s u m e t h a t a p a r t i c l e c a n

h o p t o i t s n e i g h b o u r i n g s i t e , a n d o n l y t o i t s d i r e c t l y n e i g h b o u r i n g s i t e , o n l y i f t h a t s i t e

i s u n o c c u p i e d . A m o d e l a d h e r i n g t o t h i s e x c l u s i v e n e i g h b o u r - n e i g h b o u r i n t e r a c t i o n i s

c o m m o n l y k n o w n a s a ` t i g h t b i n d i n g m o d e l ' : a p a r t i c l e i s t i g h t l y b o u n d t o i t s a t o m a n d

t h e i n t e r a c t i o n w i t h i t s e n v i r o n m e n t i s r e s t r i c t e d t o i t s d i r e c t n e i g h b o u r s . P h y s i c a l l y , w e

a r e d e s c r i b i n g t h e t r a n s i t i o n a l m o d e b e t w e e n a c o n d u c t i n g s t a t e a n d a n i n s u l a t i n g m o d e

o f t h e m o d e l . F u r t h e r m o r e , w e a s s u m e t h a t t h e c o u p l i n g t o t h e l e a d i s r e l a t i v e l y w e a k ,

a l l o w i n g u s t o u s e t h e M a r k o v a p p r o x i m a t i o n w h i c h w e w i l l e x p l a i n l a t e r o n i n t h e t h e s i s .

T h e s i m p l i e d m o d e l c a n b e c a t e g o r i z e d a s a s p i n l e s s H u b b a r d m o d e l [ 8 ] c o u p l e d t o a

l e a d a t o n e e n d . F o r t h i s m o d e l , w e w i l l g a t h e r i n s i g h t o n h o w t h e p a r t i c l e o c c u p a t i o n ,

w h i c h i s d i r e c t l y l i n k e d t o t h e e n e r g y , w i t h i n t h e c h a i n b e h a v e s a s a f u n c t i o n o f t i m e f o r

s o m e i n i t i a l o c c u p a n c y a n d s o m e a p p l i e d c h e m i c a l p o t e n t i a l t o t h e l e a d . T h e g u r e o n

t h e t o p o f t h e c o v e r p a g e i l l u s t r a t e s t h e m o d e l w e w i l l b e w o r k i n g o n : t h e s i t e s a r e e i t h e r

o c c u p i e d ( e m p t y c i r c l e s ) o r o c c u p i e d ( l l e d c i r c l e s ) a n d t h e t h i c k a r r o w s b e t w e e n t h e m

i n d i c a t e t h e h o p p i n g a c t i o n . T h e l e a d i s s h o w n o n t h e l e f t , w e a k l y c o u p l i n g t o t h e l e f t

s i t e .

2


9/60

2 . C o n s t r u c t i n g t h e m o d e l

2 . 1 . S t a r t i n g p o i n t

T o n d a m a t h e m a t i c a l d e s c r i p t i o n f o r t h e t r a n s p o r t o f s p i n l e s s f e r m i o n s , p r o v i d e d b y

a l e a d , o n t o a c h a i n w i t h n

s i t e s t h r o u g h a w e a k c o u p l i n g b e t w e e n t h e l e a d a n d t h e

c h a i n w e n e e d a s t a r t i n g p o i n t f r o m w h i c h w e c a n d e d u c e t h e m o d e l a n d i m p l e m e n t i t

i n s o f t w a r e . T h i s s t a r t i n g p o i n t w i l l b e p r o v i d e d b y t h e V o n N e u m a n n e q u a t i o n , w h i c h

p r o v i d e s u s w i t h a n e x p r e s s i o n f o r t h e r a t e o f c h a n g e w i t h r e s p e c t t o t i m e o f t h e d e n s i t y

o p e r a t o r [ 8 ] o f a s y s t e m . W e w i l l r s t i n t r o d u c e t h e d e n s i t y o p e r a t o r f o r m a l l y a n d d e d u c e

t h e V o n N e u m a n n e q u a t i o n b e f o r e w e a p p l y t h e s e c o n c e p t s t o o u r m o d e l . N o t e t h a t w e

s e t 1

i n t h i s t h e s i s f o r o b v i o u s p r a c t i c a l r e a s o n s .

2 . 1 . 1 . D e n s i t y o p e r a t o r

T h e d e n s i t y o p e r a t o r p r o v i d e s t h e m o s t c o m p l e t e d e s c r i p t i o n o f a s t a t e i n t e r m s o f p r o b -

a b i l i t y f o r t h e s t a t e t o c o n s i s t o f c e r t a i n e i g e n s t a t e s o f a s y s t e m . T h e e v o l u t i o n i n t i m e

o f t h i s d e n s i t y o p e r a t o r i s t h e r e f o r e p a r t i c u l a r l y u s e f u l t o d e s c r i b e t h e t i m e e v o l u t i o n o f

o u r s y s t e m .

L e tU

b e a n i s o l a t e d s y s t e m c o n s i s t i n g o f t w o i n d e p e n d e n t H i l b e r t s p a c e s s p a n n i n g u p

S a n d E. G i v e n |Sj a b a s i s o f s t a t e s i n S a n d |Eq a b a s i s o f s t a t e s i n E, t h e n a b a s i s

o fU

i s g i v e n b y |Sj |

Eq |

Sj

Eq . L e t |

U

jq jq |Sj

Eq b e a s t a t e i n U a n d

l e tA

b e a n o p e r a t o r a c t i n g o n S

. T h e e x p e c t a t i o n v a l u e o f A

i s t h e n g i v e n b y :

A = U| A |U

=jq

kr

jq kr

Sj

Eq | A |

Sk

Er

=jq

kr

jq kr

Sj | A |

Sk

Eq |

Er

= jq k jq k

Sj | A |

Sk . ( 2 . 1 )

D e n i n g

q |

Sq

j jq |

Sj , t h i s y i e l d s :

A =

q

q Sq | A |

Sq . ( 2 . 2 )

3


10/60

L e t |i b e a s e t o f n o r m a l i z e d , b u t n o t n e c e s s a r i l y o r t h o g o n a l , s t a t e s i n S, t h e n t h e p r o b a b i l i t y o f t h e s y s t e m t o b e i n s t a t e |i i s i , w i t h

i i = 1 . S u p p o s e t h e e x p e c t a t i o n

v a l u e o f s o m e o p e r a t o r A i n s t a t e |i i s g i v e n b y Ai , t h e n t h e e x p e c t a t i o n v a l u e i s :

A = i

iAi = i

i i| A |i .( 2 . 3 )

W e n o w d e n e t h e d e n s i t y o p e r a t o r :

=

i

i |i i| , ( 2 . 4 )

s o t h a t w e c a n w r i t e f o r t h e e x p e c t a t i o n v a l u e o f A

:

A =

i

i i| A |i

=

i

i i|

n

|n n|

I

A |i

=

n

n|

i

i |i i|

A |n

=

n

n| A |n = Tr

A

.( 2 . 5 )

I t c a n b e e a s i l y s e e n t h a t

tr(

) = i i i | i = i i = 1. A p u r e s t a t e | i s a n e i g e n s t a t e o f

w i t h e i g e n v a l u e

= 1. A m i x e d s t a t e i s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f e i g e n s t a t e s

o f w i t h e i g e n v a l u e s i < 1 s u c h t h a t

i i = 1.

2 . 1 . 2 . V o n N e u m a n n e q u a t i o n

T h e V o n N e u m a n n e q u a t i o n d e s c r i b e s h o w t h e d e n s i t y o p e r a t o r e v o l v e s i n t i m e . W e c a n

d e d u c e f o r a n y p u r e s t a t e |:

i = i

t| |

= i t | | + |i|

t = H| | | | H

= H H =

H,

,( 2 . 6 )

f r o m w h i c h f o l l o w s t h a t :

= i

H,

. ( 2 . 7 )

4


11/60

T h i s l a s t e x p r e s s i o n i s t h e V o n N e u m a n n e q u a t i o n . W e w i l l u s e t h e V o n N e u m a n n

e q u a t i o n a s a s t a r t i n g p o i n t f o r n d i n g t h e t i m e e v o l u t i o n o f o u r s y s t e m .

F r o m e q u a t i o n 2 . 7 w e s e e t h a t w h e n w e w i s h t o o b t a i n a n e x p r e s s i o n f o r t h e d e n s i t y

o p e r a t o r o f t h e c h a i n , w e s h o u l d n d a n e x p r e s s i o n f o r t h e H a m i l t o n i a n o f t h e m o d e l r s t .

A s o u r m o d e l c o n s i s t s o f a c h a i n o f

ns i t e s c o u p l e d t o a l e a d t h e r e a r e t h r e e c o n t r i b u t i o n s

t o t h e H a m i l t o n i a n f o r t h e m o d e l :

H = Hchain + Hlead + Hhyb, ( 2 . 8 )

w h e r e Hhyb i s t h e ` h y b r i d i z a t i o n H a m i l t o n i a n ' : t h e H a m i l t o n i a n d e s c r i b i n g t h e i n t e r a c -

t i o n b e t w e e n t h e l e a d a n d t h e c h a i n i n t e r m s o f e n e r g y . W e w i l l f o c u s o n e a c h o f t h e s e

c o n t r i b u t i o n s s e p a r a t e l y i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s .

2 . 2 . C h a i n H a m i l t o n i a n

F o r t h e c h a i n H a m i l t o n i a n w e w i l l u s e t h e s e c o n d q u a n t i z a t i o n [ 2 ] f o r m a l i s m f o r t h e t i g h t

b i n d i n g m o d e l , b a s e d o n t h e H u b b a r d c h a i n m o d e l [ 8 ] . W i t h t h e s e c o n d q u a n t i z a t i o n

f o r m a l i s m s t a t i s t i c a l q u a n t i t i e s s u c h a s f r e e e n e r g y a n d t i m e c o r r e l a t i o n f u n c t i o n s b u t a l s o

t h e H a m i l t o n i a n c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f c r e a t i o n a n d a n n i h i l a t i o n o p e r a t o r s . T h e

m e t h o d i s e s p e c i a l l y u s e f u l f o r a s y s t e m i n w h i c h t h e n u m b e r o f p a r t i c l e s c h a n g e s w i t h

t i m e , i m p l y i n g i t s h o u l d b e u s e f u l f o r o u r m o d e l . F u r t h e r m o r e , o u r m o d e l o n l y a l l o w s

i n t e r a c t i o n w i t h n e i g h b o u r i n g s i t e s i n t h e c h a i n , a n d c a n b e w r i t t e n a s t h e s u m o f t h e

p o t e n t i a l e n e r g y H a m i l t o n i a n , d e s c r i b i n g o c c u p a n c i e s o f s i t e s w i t h i n t h e c h a i n i n t e r m s

o f e n e r g y , a n d t h e t u n n e l l i n g e n e r g y H a m i l t o n i a n , d e s c r i b i n g t h e c h a n g e o f o c c u p a n c i e s

o f s i t e s w i t h i n t h e c h a i n . L e t ' s r s t f o c u s o n t h e p o t e n t i a l e n e r g y H a m i l t o n i a n , w h i c h w e

c a n w r i t e a s f o l l o w s :

Hchain,V =

ni=1

idi di, ( 2 . 9 )

w h e r e di a n d di a r e t h e c r e a t i o n a n d a n n i h i l a t i o n o p e r a t o r s , r e s p e c t i v e l y : di w o r k i n g o n

a p a r t i c u l a r s t a t e o f o c c u p a n c i e s o f s i t e s w i t h i n t h e c h a i n r e m o v e s a p a r t i c l e f r o m t h e

it h s i t e i f t h e r e w a s i n i t i a l l y a p a r t i c l e o c c u p y i n g t h a t s i t e , di c r e a t e s a p a r t i c l e o n t h e

it h s i t e i f i t w a s i n i t i a l l y u n o c c u p i e d . T h e o p e r a t o r

di di t h e r e f o r e b a s i c a l l y f u n c t i o n s a s

a p a r t i c l e c o u n t e r . i i s t h e p a r t i c l e ' s p o t e n t i a l e n e r g y i n t h e i t h s i t e : w e a s s u m e t h e s e

p o t e n t i a l e n e r g i e s t o b e e q u a l f o r e a c h s i t e i n t h e c h a i n b u t f o r n o w w e w i l l l e a v e t h e s e

e n e r g i e s i n d e x e d .

I n o u r s y s t e m w e a l s o l o o k a t t h e p o s s i b i l i t y t h a t a p a r t i c l e t u n n e l s f r o m i t s s i t e t o

e i t h e r o n e o f i t s n e i g h b o u r i n g s i t e s . T h i s i n t r o d u c e s a s o - c a l l e d ` h o p p i n g ' t e r m i n o u r

H a m i l t o n i a n :

Hchain,hop = n

i=1

tdi di+1 + t

di+1di

,( 2 . 1 0 )

w i t h t

t h e t u n n e l l i n g i n t e g r a l w h i c h d e s c r i b e s t h e k i n e t i c e n e r g y a s p a r t i c l e s c a n h o p

o v e r t o e a c h o f t h e i r n e i g h b o u r i n g s i t e s , h e n c e t h e m i n u s s i g n i n t h i s p a r t o f t h e c h a i n

5


12/60

H a m i l t o n i a n , l o w e r i n g t h e t o t a l e n e r g y o f a c h a i n s t a t e i n w h i c h a p a r t i c l e h a s o n e o r

t w o u n o c c u p i e d n e i g h b o u r i n g s i t e s .

W e t h u s h a v e t h e f o l l o w i n g f o r t h e c h a i n H a m i l t o n i a n :

Hchain =

ni=1

idi di n

i=1

tdi di+1 + tdi+1di . ( 2 . 1 1 ) 2 . 2 . 1 . C h a i n H a m i l t o n i a n m a t r i x f o r m a l i s m

A s w e a r e u l t i m a t e l y i n t e r e s t e d i n t h e b e h a v i o u r o f t h e c h a i n d e n s i t y m a t r i x w h i c h w e

w i l l c o m p u t e n u m e r i c a l l y , w e s h o u l d c o n s t r u c t a m a t r i x f o r m a l i s m f o r t h e o p e r a t o r s i n

t h e H a m i l t o n i a n . W e t h e r e f o r e r s t n e e d t o c o n s t r u c t a s u i t a b l e v e c t o r b a s i s f o r t h e

c h a i n , t h e n c o n s t r u c t t h e di o p e r a t o r s w i t h t h a t b a s i s a n d n a l l y g e n e r a l i z e t h e r e s u l t s

a n d c o n s t r u c t t h e c h a i n H a m i l t o n i a n m a t r i x .

C o n s t r u c t i n g a b a s i s

A s t h e c h a i n c o n t a i n s n

s i t e s w i t h e a c h s i t e e i t h e r b e i n g o c c u p i e d b y o n e p a r t i c l e o r

u n o c c u p i e d , w e h a v e t h a t t h e r e a r e 2n

p o s s i b l e c o n g u r a t i o n s o r ` s t a t e s ' w i t h i n t h e

c h a i n . T o r e p r e s e n t a l l p o s s i b l e s t a t e s w i t h i n t h e c h a i n w e i n t r o d u c e t h e v e c t o r s e t

{|1 , |2 , . . . , |2n} , w h e r e |n r e p r e s e n t s t h e nt h s t a t e o f t h e c h a i n . F o r n s i t e s , w e c a n c o n s t r u c t t h i s s e t a s f o l l o w s :

|k = |i1 20 + i2 2

1 + + in 2n + 1 ,

( 2 . 1 2 )

w h e r e ij = 1 i f t h e j t h s i t e i s o c c u p i e d o r ij = 0 i f t h i s i s n o t t h e c a s e , f o r j = 1, 2, . . . , n.W e c a n u s e t h e r e s u l t i n g k e t l a b e l

kf o r a s p e c i c c o n g u r a t i o n t o c o n s t r u c t a v e c t o r o f

l e n g t h

2n

b y m a k i n g a v e c t o r

vk R2n

b e i n g a u n i t v e c t o r , i . e . i t h a s a 1 o n i t s

kt h i n d e x

a n d 0 e l s e w h e r e . A s e a c h s t a t e r e s u l t s i n a s p e c i c v e c t o r w h i c h i s l i n e a r l y i n d e p e n d e n t o f

a l l o f t h e o t h e r v e c t o r s r e p r e s e n t i n g t h e o t h e r s t a t e s a n d a l l p o s s i b l e v e c t o r s s p a n u p t h e

e n t i r e s t a t e s p a c e , w e h a v e a b a s i s f o r t h e c h a i n . T h i s s t a t e s p a c e i s c a l l e d a F o c k s p a c e

a s w e h a v e a s y s t e m w i t h a n u n k n o w n a m o u n t o f p a r t i c l e s : f o r e a c h n u m b e r o f p a r t i c l e s

i n t h e c h a i n w e h a v e a s e p a r a t e H i l b e r t s p a c e w h i c h i s s p a n n e d u p b y t h e v e c t o r s f r o m

t h e c h a i n F o c k s p a c e c o r r e s p o n d i n g t o t h a t s p e c i c n u m b e r o f p a r t i c l e s .

C o n s t r u c t i n g t h e di o p e r a t o r s

A c o n v e n i e n t n o t a t i o n t o r e p r e s e n t t h e s t a t e w h e n c o n s t r u c t i n g di i s a k e t w h i c h i s

l a b e l l e d a s

|i1, i2, . . . , in: t h i s w a y w e g e t a r e p r e s e n t a t i o n d i s p l a y i n g t h e p o s i t i o n o f t h e

p a r t i c l e s i n t h e c h a i n s o t h a t w e c a n e a s i l y s e e h o w di w o r k s o n e a c h p a r t i c u l a r s t a t e .

C o n s t r u c t i n g m a t r i c e s f o r t h e di o p e r a t o r s i s d o n e b y t h e u s u a l a l g o r i t h m f o r c o n s t r u c t i n g

a n o p e r a t o r :

Am,n = m| A |n . ( 2 . 1 3 )

6


13/60

W e ' l l s h o w t h e r s t f e w s t e p s i n c o n s t r u c t i n g t h e m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n f o r d1 i n t h e b a s i s

a s d e n e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n :

d1 |1 = d1 |0, 0, . . . , 0 = 0

d1 |2 = d1 |1, 0, 0, . . . , 0 = |0, 0, . . . , 0 = |1= 1| d1 |2 = 1

= d11,2 = 1

d1 |3 = d1 |0, 1, 0, 0, . . . , 0 = 0

d1 |4 = d1 |1, 1, 0, 0, . . . , 0 = |0, 1, 0, 0, . . . , 0 = |3

= 3| d1 |4 = 1

= d13,4 = 1

d1 |5 = d1 |0, 0, 1, 0, 0, . . . , 0 = 0

.

.

. ( 2 . 1 4 )

d1 |2n = d1 |1, 1, . . . , 1 = |0, 1, 1, . . . , 1 = |2

n 1

= 2n 1| d1 |2n = 1

= d12n1,2n = 1.

W e c a n s e e t h e p a t t e r n v e r y e a s i l y f o r d1 . F o r k = 1, 2, . . . 2n

w e h a v e t h a t :

d1k1,k =

1, k even

0, k odd( 2 . 1 5 )

W e c a n d o t h e s a m e f o r d2,d

3, . . . ,d

n. W e c a n s e e a d i s t i n c t p a t t e r n f o r e a c h d

i, w h i c h

c a n b e i l l u s t r a t e d b y t a k i n g a n e x a m p l e c h a i n w i t h t h r e e s i t e s , s o t h a t di i s a s q u a r e

m a t r i x o f s i z e e i g h t . T h e f o l l o w i n g r e n d e r i n g o v e r l a y s d1,d2 a n d d3 s o t h a t t h e s t r u c t u r e

f o r e a c h di s h o w s m u c h m o r e c l e a r l y :

d1 + d2 + d3 =

I20

I20

I20

I20

I21

I22

I21

( 2 . 1 6 )

7


14/60

n o t e t h a t t h e m a t r i x i s v e r y s p a r s e . T h e I2n c o n t r i b u t i o n s a r e f r o m t h e dn+1 m a t r i c e s .

F r o m t h i s w e c a n e a s i l y n d a m a t h e m a t i c a l e x p r e s s i o n f o r di . D e n i n g t h e u p p e r s h i f t

m a t r i x :

U2 0 1

0 0 , ( 2 . 1 7 ) w e s e e f r o m o u r e x a m p l e a n d e x p a n d i n g t h e p r o b l e m t o

ns i t e s i t f o l l o w s t h a t :

di = I2ni U2 I2i1 , ( 2 . 1 8 )

w i t h n

t h e n u m b e r o f s i t e s i n t h e c h a i n a n d i = 1, 2, . . . , n

. F r o m t h i s e x p r e s s i o n di

i s f o u n d e a s i l y b y t a k i n g t h e c o m p l e x c o n j u g a t e o f di . A s a l l di a r e r e a l v a l u e d u p p e r

t r i a n g l e m a t r i c e s , t h i s s i m p l y r e s u l t s i n m i r r o r i n g t h e m i n t h e d i a g o n a l w h i c h o n l y a e c t s

U2 i n o u r e x p r e s s i o n f o r di . D e n i n g :

L2 U2 =

0 01 0 , ( 2 . 1 9 )

w e t h u s n d :

di = (I2ni U2 I2i1)

= I2ni L2 I2i1 . ( 2 . 2 0 )

C o n s t r u c t i n g t h e p o t e n t i a l H a m i l t o n i a n

F r o m t h e r e s u l t s f r o m t h e p r e v i o u s s e c t i o n , w e c a n c o n s t r u c t t h e n u m b e r o p e r a t o r f r o m

t h e p o t e n t i a l H a m i l t o n i a n a s f o l l o w s :

didi = (I

2ni L

2 I

2i1) (I

2ni U

2 I

2i1)= I22ni (L2 I2i1) (U2 I2i1)

= I2ni L2U2 I22i1

= I2ni L2U2 I2i1 . ( 2 . 2 1 )

D e n i n g W2 L2U2 , w e h a v e :

didi = I2ni W2 I2i1 . ( 2 . 2 2 )

W e c a n t h u s w r i t e t h e m a t r i x f o r t h e p o t e n t i a l H a m i l t o n i a n , a s s u m i n g i t o b e t h e s a m e

f o r e a c h s i t e , a s f o l l o w s :

Hchain,V = n

i=1

I2ni W2 I2i1 . ( 2 . 2 3 )

8


15/60

C o n s t r u c t i n g t h e h o p p i n g H a m i l t o n i a n

A s t h e c h a i n h a s a l e n g t h o f n s i t e s a n d d u e t o t h e n a t u r e o f t h e c r e a t i o n a n d a n n i h i l a t i o n

o p e r a t o r s dn+1 a n d d

n+1 y i e l d z e r o a s t h e r e i s n o s i t e f o r t h e s e o p e r a t o r s t o w o r k o n .

K e e p i n g t h i s i n m i n d , w e h a v e t h a t f o r i = 1, 2, . . . n 1

:

didi+1 = (I2ni L2 I2i1) (I2ni1 U2 I2i)

= I2ni (I2ni1 U2) (L2 I2i1) I2i

= I2ni1 U2 L2 I2i1 , ( 2 . 2 4 )

a n d s o f o r i = 1, 2, . . . , n 1

:

di+1di =

didi+1

= I

2ni1U2 L

2 I

2i1

= I2ni1 L2 U2 I

2i1 . ( 2 . 2 5 )

D e n i n g :

A I2ni1 ,

B U2 L2,

C I2i1 and

D L2 U2,

w e n d :

ABC+ADC = A (BC+DC) = A (B+D) C. ( 2 . 2 6 )

D e n i n g Z4 U2 L2 + L2 U2 , t h i s y i e l d s :

didi+1 + d

i+1di = I2ni1 Z4 I2i1 . ( 2 . 2 7 )

W e c a n t h u s w r i t e , a s s u m i n g t = t

:

Hchain,hop = tn1i=1

I2ni1 Z4 I2i1 . ( 2 . 2 8 )

C h a i n H a m i l t o n i a n m a t r i x

W e h a v e f o u n d a m a t h e m a t i c a l e x p r e s s i o n f o r t h e m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n o f t h e c h a i n

H a m i l t o n i a n i n t h e F o c k s p a c e b a s i s b y s u m m i n g e q u a t i o n s 2 . 2 3 a n d 2 . 2 8 t o b e t h e

f o l l o w i n g :

Hchain = W2 I2n1 +n1i=1

(I2ni W2 tI2ni1 Z4) I2i1 . ( 2 . 2 9 )

9


16/60

T h i s e x p r e s s i o n , a n d t h e e x p r e s s i o n f o u n d f o r t h e di m a t r i c e s , c o m e s i n p a r t i c u l a r l y

u s e f u l i m p l e m e n t i n g t h e c h a i n H a m i l t o n i a n i n s o f t w a r e . I n t h i s t h e s i s w e w i l l s t i c k t o t h e

o p e r a t o r r e p r e s e n t a t i o n o f H a m i l t o n i a n s a s t h i s i s a m o r e w o r k a b l e f o r m w h e n w o r k i n g

o u t e x p r e s s i o n s f u r t h e r o n . H o w e v e r , s o f t w a r e i m p l e m e n t a t i o n d o e s p l a y a k e y r o l e i n

t h i s t h e s i s a s t h e d e n s i t y m a t r i x o f t h e c h a i n w i l l b e n u m e r i c a l l y c o m p u t e d .

2 . 2 . 2 . M A T L A B i m p l e m e n t a t i o n

W e c a n c o n s t r u c t t h e c h a i n H a m i l t o n i a n i n MATLAB u s i n g t h e f u n c t i o n l e H_chain.m

w h i c h c a l l s t h e f u n c t i o n l e d_operators.m

. T h e f u n c t i o n H_chain.m

i s c a l l e d u s i n g

t h e p a r a m e t e r s n

,

a n dt

f o r t h e c h a i n l e n g t h , t h e p o t e n t i a l e n e r g y f o r a n o c c u p i e d s i t e

a n d t h e t u n n e l i n g e n e r g y , r e s p e c t i v e l y . T h e f u n c t i o n d_operators.m i s c a l l e d u s i n g o n l y

t h e p a r a m e t e r n

. T h e f u n c t i o n H_chain.m

o n l y r e t u r n s t h e c h a i n H a m i l t o n i a n m a t r i x , i f

y o u w i s h t o h a v e t h e di o p e r a t o r s a v a i l a b l e y o u s h o u l d c a l l t h e d_operators.m f u n c t i o n

s e p a r a t e l y .

1 function [H] = H_chain(n,epsilon,t)

2 d = d_operators(n);

3

U = [0 1 ;0 0 ];

4 for i=1:n

5 d{i,1} = kron(kron(speye(2^(ni)),U),speye(2^(i1)));6 end

7 H = zeros(2^n,2^n);

8 for i=1:n

9 H = H + (epsilon*d{i,1}'*d{i,1} ...

1 0 t*(d{i,1}'*d{i+1,1} + d{i+1,1}'*d{i,1}));1 1 end

1 2 return

1 function [d] = d_operators(n)

2 d = {n+1,1};

3

d{n+1,1} = zeros(2^n,2^n);

4 U = [0 1 ;0 0 ];

5 for i=1:n

6 d{i,1} = kron(kron(speye(2^(ni)),U),speye(2^(i1)));7 end

8 return

V e r i f y i n g t h e V o n N e u m a n n e q u a t i o n

N o w t h a t n o w t h a t w e h a v e t h e c h a i n H a m i l t o n i a n i n a m a t r i x f o r m , w e c a n c o m p u t e

t h e V o n N e u m a n n e q u a t i o n a n d v e r i f y t h e e x p e c t e d r e s u l t t h a t :

chain = i

Hchain, chain

= 0.

( 2 . 3 0 )

T h e p r o c e s s f o r t h i s v e r i c a t i o n i s d e s c r i b e d i n a p p e n d i x A a s i t i s n o t a c o r e p a r t o f

t h e r e s e a r c h . T h e r e a s o n t h a t w e a d d r e s s t h i s p r o c e d u r e i s t h a t f r o m t h e v e r i c a t i o n

a n i n t e r e s t i n g p o i n t c o n c e r n i n g t h e l i m i t a t i o n s i n n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n a r i s e s . T h e

1 0


17/60

F i g u r e 2 . 1 . : T h e r e q u i r e d m e m o r y t o s t o r e t h e c h a i n H a m i l t o n i a n m a t r i x v e r s u s t h e n u m -

b e r o f s i t e s i n t h e c h a i n : a n e x p o n e n t i a l r e l a t i o n .

v e r i c a t i o n p r o c e s s r e q u i r e s d i a g o n a l i z a t i o n o f t h e c h a i n H a m i l t o n i a n m a t r i x i n o r d e r t o

n d t h e e i g e n v e c t o r s . T h e c h a i n H a m i l t o n i a n m a t r i x i s o f s i z e

2n 2n, r e q u i r i n g

8 22n

b y t e s o f m e m o r y t o s t o r e i n MATLAB . T o i l l u s t r a t e t h i s , a g r a p h o f t h e r e q u i r e d m e m o r y

a s a f u n c t i o n o f s i t e s i n t h e c h a i n i s s h o w n i n g u r e 2 . 1 . W e c a n s e e e x p o n e n t i a l b e h a v i o u r

i n t h e r e q u i r e d m e m o r y , w h i c h i s a l r e a d y w e l l o v e r 8 g i g a b y t e s f o r 1 5 s i t e s f r o m w h i c h w e

c a n s e e t h a t a s t r a i g h t f o r w a r d i m p l e m e n t a t i o n w i l l n o t p r o v i d e a s c a l a b l e s o l u t i o n . W e

w i l l b e a d d r e s s i n g t h e s e l i m i t a t i o n s f u r t h e r o n i n c h a p t e r s 6 a n d 7 .

2 . 3 . L e a d H a m i l t o n i a n a n d c o u p l i n g H a m i l t o n i a n

W h e n t h e c h a i n o f s i t e s , a s d e s c r i b e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , i s c o u p l e d t o a l e a d , t h e

H a m i l t o n i a n f o r t h e t o t a l s y s t e m g a i n s t w o t e r m s . W e s t i l l h a v e t h e H a m i l t o n i a n o f t h e

c h a i n Hchain , t h e n t h e r e i s t h e H a m i l t o n i a n o f t h e l e a d Hlead , t o g e t h e r f o r m i n g t h e s y s t e m

H a m i l t o n i a n H0 , a n d t h e H a m i l t o n i a n o f t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e l e a d a n d t h e r s t

s i t e o f t h e c h a i n Hhyb . W e a s s u m e t h a t t h e l e a d i s n o t a e c t e d b y t h e c h a i n a t a l l : i t

i s a l a r g e r e s e r v o i r s e t a t s o m e c h e m i c a l p o t e n t i a l a n d d o e s n o t c h a n g e a s p a r t i c l e s a r e

e x c h a n g e d b e t w e e n t h e c h a i n a n d t h e l e a d . W e c a n t h e r e f o r e e x p r e s s t h e H a m i l t o n i a n

1 1


18/60

f o r t h e l e a d v e r y e a s i l y b y i n t r o d u c i n g t h e a n n i h i l a t i o n a n d c r e a t i o n o p e r a t o r p a i r a n d

s u m m i n g o v e r t h e p a r t i c l e s i n t h e l e a d , a d d i n g u p t h e i r e n e r g i e s :

Hlead = c

c . ( 2 . 3 1 )

F o r t h e h y b r i d i z a t i o n H a m i l t o n i a n Hhyb w e b a s i c a l l y u s e o n e t e r m o f t h e h o p p i n g H a m i l -

t o n i a n , m e a n i n g t h a t a p a r t i c l e f r o m t h e l e a d w i t h a n e n e r g y t h a t i s e l i g i b l e f o r

t u n n e l l i n g t o t h e r s t s i t e o f t h e c h a i n i f t h a t s i t e i s u n o c c u p i e d , o r r e v e r s i b l y a p a r t i c l e

o n t h e r s t s i t e o f t h e c h a i n c a n h o p o t o t h e l e a d . W e c a n t h u s w r i t e :

Hhyb =

c

d1 +

d1c

,( 2 . 3 2 )

w i t h

t h e t u n n e l l i n g i n t e g r a l v a l u e a s w e f o u n d e a r l i e r i n t h e c h a i n H a m i l t o n i a n . N o t e

t h a t t h e v a l u e o f

d e t e r m i n e s t h e c o u p l i n g s t r e n g t h b e t w e e n t h e c h a i n a n d t h e l e a d .

W e h a v e t h u s f o u n d t h e c o m p l e t e H a m i l t o n i a n f o r t h e m o d e l , w h i c h w e h a v e s u b d i v i d e d

i n t o t h e s e g m e n t s H0 , a n ` u n p e r t u r b e d ' t e r m , a n d Hhyb , a ` p e r t u r b a t i o n t e r m ' , w h i c h

w i l l p r o v e t o b e o f c o n v e n i e n c e l a t e r :

H =

Hchain i

idi di

i

tdi di+1 + t

di+1di

+

Hlead

c c

H0

+

c

d1 +

d1c

Hhyb

.( 2 . 3 3 )

1 2


19/60

3 . C o n v e n t i o n a l a p p r o a c h

W h e n n d i n g a n e x p r e s s i o n f o r t h e t i m e e v o l u t i o n o f t h e c h a i n d e n s i t y o p e r a t o r i t w i l l

p r o v e t o b e u s e f u l t o c h a n g e t h e ` p i c t u r e ' , m e a n i n g t h e f r a m e o f r e f e r e n c e , i n w h i c h w e a r e

w o r k i n g . T h e c h a n g e o f p i c t u r e s a l l o w s u s t o s h i f t p a r t s o f t h e t i m e d e p e n d e n c y b e t w e e n

t h e e i g e n s t a t e s o f t h e H a m i l t o n i a n a n d t h e H a m i l t o n i a n i t s e l f , u l t i m a t e l y y i e l d i n g a

w o r k a b l e e x p r e s s i o n f o r o u r p r o b l e m a n d i s o l a t i n g s p e c i c p a r t s o f t h e f u l l H a m i l t o n i a n .

T h i s c h a p t e r w i l l r s t s h o r t l y i n t r o d u c e t h e d i e r e n t p i c t u r e s t h a t w e w i l l b e u s i n g a n d

t h e n a p p l y t h e m t o t h e p r o b l e m .

3 . 1 . P i c t u r e f o r m u l a t i o n s

W i t h i n q u a n t u m m e c h a n i c s , d i e r e n t p i c t u r e s c a n b e u s e d i n o r d e r t o s h i f t t i m e d e p e n -

d e n c i e s b e t w e e n o p e r a t o r s a n d e i g e n s t a t e s o f t h e H a m i l t o n i a n . L e t ' s t a k e t h e a d u m m y

o p e r a t o r A

a n d i l l u s t r a t e t h i s i n t h r e e o f t h e s e p i c t u r e s .

3 . 1 . 1 . S c h r d i n g e r p i c t u r e

I n t h e S c h r d i n g e r p i c t u r e t h e o p e r a t o r i s t i m e i n d e p e n d e n t : t h e t i m e d e p e n d e n c y i s i n

t h e e i g e n s t a t e s . S o f a r , w e h a v e b e e n w o r k i n g i n t h e S c h r d i n g e r p i c t u r e a n d w e a s s u m e

o u r e x p r e s s i o n s t o b e s o , u n l e s s i n d i c a t e d o t h e r w i s e . W e h a v e t h e f o l l o w i n g :

AS (t) = AS (0) = A, ( 3 . 1 )

|S = eiHt | ,

( 3 . 2 )

w h e r e |

i s t i m e i n d e p e n d e n t .

3 . 1 . 2 . H e i s e n b e r g p i c t u r e

I n t h e H e i s e n b e r g p i c t u r e t h e o p e r a t o r i s t i m e d e p e n d e n t : t h e r e f o r e w e c a n w r i t e t h e

e i g e n s t a t e s t o b e c o m p l e t e l y t i m e i n d e p e n d e n t . T h i s c a n b e d o n e e a s i l y b y p u t t i n g t h e

t i m e d e p e n d e n t p a r t o f

|Sw i t h i n t h e o p e r a t o r , s o t h a t w e h a v e t h e f o l l o w i n g :

AH (t) = eiHt AeiHt ,

( 3 . 3 )

|H = | . ( 3 . 4 )

T o s h o w t h a t t h i s i n t e r c h a n g e o f t i m e d e p e n d e n c y i s d o n e r i g h t , w e c a n w r i t e o u t t h e

e x p e c t e d v a l u e o f a n o b s e r v a b l e o f w h i c h A

i s o u r o p e r a t o r : b o t h t h e S c h r d i n g e r p i c t u r e

1 3


20/60

a n d t h e H e i s e n b e r g p i c t u r e s h o u l d y i e l d t h e s a m e v a l u e :

A = S| A |S

= | eiHt AeiHt |

= | AH | = AH. ( 3 . 5 )

F u r t h e r m o r e , w e c a n o b t a i n H e i s e n b e r g ' s e q u a t i o n o f m o t i o n f r o m t h i s p i c t u r e i n t h e

f o l l o w i n g m a n n e r :

AH (t) =

t

eiHt HeiHt

( 3 . 6 )

= iHeiHt AeiHt ieiHt AHeiHt , ( 3 . 7 )

a n d a s H a n d eiHt c o m m u t e , w e h a v e :

AH (t) = i

AH, H

. ( 3 . 8 )

3 . 1 . 3 . I n t e r a c t i o n p i c t u r e

W i t h i n t h e i n t e r a c t i o n p i c t u r e , w e a r e l o o k i n g f o r a f o r m a l i s m i n w h i c h b o t h t h e o p e r a t o r

a n d t h e e i g e n s t a t e s h a v e a t i m e d e p e n d e n c y . W e a s s u m e H

t o b e p e r t u r b e d , s o t h a t w e

c a n w r i t e : H = H0+V, w h e r e H0 i s t h e u n p e r t u r b e d H a m i l t o n i a n a n d V t h e p e r t u r b a t i o n o p e r a t o r . T h i s w a y , w e c a n a s s i g n s p e c i c p a r t s o f t h e H a m i l t o n i a n t o b e c o n n e c t e d t o

t h e t i m e d e p e n d e n c y i n t h e o p e r a t o r a n d t h e e i g e n s t a t e . W e n d t h a t i n t h e S c h r d i n g e r

p i c t u r e :

H|S =

H0 + V

|S = H0 |S + V|S , ( 3 . 9 )

s o t h a t w e c a n w r i t e :

|S = ei(H0+V)t | .

( 3 . 1 0 )

B y n o w d e n i n g |I eiH0t |S, w e n d t h a t :

|I = eiV t | ,

( 3 . 1 1 )

s o t h a t :

AI (t) = eiV t AHeiV t = ei(VH0)Aei(VH0). ( 3 . 1 2 )

F o r t h e i n t e r a c t i o n p i c t u r e , i t i s e a s y t o s h o w t h a t :

I = |I |I = eiH0t |S |S e

iH0t = eiH0tS eiH0t. ( 3 . 1 3 )

H e i s e n b e r g ' s e q u a t i o n o f m o t i o n t r a n s f o r m e d t o t h e i n t e r a c t i o n p i c t u r e y i e l d s t h e f o l l o w -

i n g :

AI (t) =

t

eiV t AHeiV t

= iVeiV t AHeiV t + eiV t

AHe

iV t + ieiV t AHVeiV t

= i

AI, H

+ i

AI, V

= i

AI, H0

.

( 3 . 1 4 )

1 4


21/60

V o n N e u m a n n i n t h e i n t e r a c t i o n p i c t u r e

F r o m t h e V o n N e u m a n n e q u a t i o n , w e h a v e t h a t

= i

H,

. W e c a n r e w r i t e t h i s

e q u a t i o n i n t e r m s o f t h e i n t e r a c t i o n p i c t u r e , s o t h a t w e n d :

t

eiH0tIeiH0t

= i

eiH0tHIeiH0t, eiH0tIeiH0t

iH0e

iH0tIeiH0t

+eiH0t IeiH0t + ieiH0tIeiH0tH0 = i


i

H0, eiH0tIeiH0t

+ eiH0t IeiH0t = i


eiH0t IeiH0t = i

eiH0tHIeiH0t H0, eiH0tIeiH0t

I (t) = i

VI, I

.

( 3 . 1 5 )

3 . 2 . C o r r e c t i o n t h r o u g h i t e r a t i o n

W e c a n u s e a n i t e r a t i v e p r o c e s s t o n d t h e s e c o n d o r d e r c o r r e c t i o n t o

[ 9 , 3 ] . W e u s e

V o n N e u m a n n ' s e q u a t i o n e x p r e s s e d i n t h e i n t e r a c t i o n p i c t u r e , a s f o u n d i n e q u a t i o n 3 . 1 5

w i t h t h e i n t e r a c t i o n t e r m o f t h e H a m i l t o n i a n Hhyb a s t h e p e r t u r b i n g p a r t t o n d :

I (t) = i

Hhyb,I (t) , I (t)

,( 3 . 1 6 )

s o t h a t w e c a n w r i t e :

t

t0

It dt = i

t

t0Hhyb,It , It dt

I (t) = I (t0) i

tt0

Hhyb,I,

t

, I

t

dt.( 3 . 1 7 )

P l u g g i n g t h i s r e s u l t b a c k i n t o e q u a t i o n 3 . 1 6 w e o b t a i n :

I (t) = i

Hhyb,I (t) ,

I (t0) i

tt0

Hhyb,I

t

, I

t

dt

= i

Hhyb,I (t) , I (t0)

+

Hhyb,I (t) ,

tt0

Hhyb,I

t

, I

t

dt

= i Hhyb,I (t) , I (t0) + tt0

Hhyb,I (t) , Hhyb,It , I t dt. ( 3 . 1 8 ) W e a r e a s s u m i n g a w e a k c o u p l i n g b e t w e e n t h e c h a i n a n d t h e l e a d , i m p l y i n g a s m a l l r a t e

o f c h a n g e o f t h e c h a i n d e n s i t y m a t r i x , a n d t h e f a c t t h a t t h e l e a d i s l a r g e , i m p l y i n g t h a t

t h e l e a d i s i n a s t a t i o n a r y s t a t e . W e c a n w r i t e :

I (t) = chain,I (t) 0lead, ( 3 . 1 9 )

1 5


22/60

w h e r e 0lead i s t h e i n i t i a l s t a t e o f t h e l e a d : w e a s s u m e t h e l e a d i s l a r g e a n d i t s s t a t e d o e s

n o t c h a n g e d u e t o a n y c h a n g e s i n t h e c h a i n . N o t e h o w t h i s a s s u m p t i o n i s r e a s o n a b l e f o r

s m a l l v a l u e s o f t

b u t n o t g e n e r a l l y s a t i s e d f o r l a r g e r v a l u e s o f t

. W e w i l l a d d r e s s t h i s

l a t e r o n . F u r t h e r m o r e , w e h a v e t h a t :

trleadI (t0) = chain,I (t0) = trleadI (t0) = chain,I (t0) = 0, ( 3 . 2 0 )

d u e t o o u r a s s u m p t i o n t h a t a t t0 , t h e r e i s n o i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e c h a i n a n d t h e l e a d

a n dchain h a s b e e n c o n s t a n t u n t i l t = t0 . F o r a m o r e c o m p a c t n o t a t i o n , w e i n t r o d u c e :

c chain , l 0lead, Hc Hchain , Hl Hlead andtrl trlead.

U s i n g e q u a t i o n 3 . 1 6 w e t h u s n d t h e f o l l o w i n g :

trl I (t0) = i trl

Hhyb,I, I (t0)

= 0.

( 3 . 2 1 )

P l u g g i n g i n t h i s r e s u l t a n d o u r a s s u m p t i o n f r o m e q u a t i o n 3 . 1 9 i n t o e q u a t i o n 3 . 1 8 , w e

n d :

c,I (t) =

tt0

trl

Hhyb,I (t) ,

Hhyb,I

t

, c,I

t

l

dt.

( 3 . 2 2 )

A p p l y i n g t h e M a r k o v a p p r o x i m a t i o n w e a s s u m e t h a t c,I (t

) = c,I (t). W i t h t h i s a p - p r o x i m a t i o n w e i m p l y t h e a u t o c o r r e l a t i o n t i m e t o b e s m a l l , w h i c h i s j u s t i e d b y t h e

f a c t t h a t t h e r a t e o f c h a n g e w i t h i n t h e c h a i n d e n s i t y m a t r i x i s r e l a t i v e l y s m a l l d u e t o

t h e w e a k c o u p l i n g b e t w e e n t h e c h a i n a n d t h e l e a d : l o o s e l y f o r m u l a t e d w e a s s u m e t h a t

t h e c h a i n h a s n o m e m o r y o f i t s p r e v i o u s s t a t e s . F u r t h e r m o r e , w e a s s u m e t0 t t o b e

l a r g e c o m p a r e d t o t h e l e a d c o r r e l a t i o n t i m e s o t h a t w e h a v e t h a t t0 = . M a k i n g t h e

s u b s t i t u t i o n t = t

w e t h e n n d :

c,I (t) = 0

trl Hhyb,I (t) , Hhyb,I (t ) , c,I (t) l d. ( 3 . 2 3 ) T r a n s f o r m i n g b a c k i n t o t h e S c h r d i n g e r p i c t u r e w e n d :

Hhyb,I (t) = eiHhybtHhyb,H (t) eiHhybt

= eiHhybt

eiHt HhybeiHt

eiHhybt

= eiH0tHhybeiH0t.

( 3 . 2 4 )

F u r t h e r m o r e , w e u s e t h a t :

c,I = eiHctc (t) e

iHct,( 3 . 2 5 )

i m p l y i n g t h a t :

c,I (t) = iHceiHctc (t) e

iHct + eiHct c (t) eiHct ieiHctc (t) HceiHct

= eiHct

i

Hc, c (t)

+ c (t)

eiHct

c (t) = i

Hc, c (t)

eiHct c,I (t) eiHct. ( 3 . 2 6 )

1 6


23/60

P l u g g i n e q u a t i o n s 3 . 2 3 , 3 . 2 4 a n d 3 . 2 5 i n t o e q u a t i o n 3 . 2 6 , s u b s t i t u t i n g t h e r e s u l t s f r o m

t h e t r a n s f o r m a t i o n t o t h e S c h r d i n g e r p i c t u r e , w e t h u s n d :

c (t) = i Hc, c (t) eiH0t

0

trl eiH0tHhybe

iH0t,eiH0(t)HhybeiH0(t), eiH0tc (t) eiH0t l

d

eiH0t

= i

Hc, c (t)

0

trl

Hhyb,

eiH0HhybeiH0, c (t) l

d, ( 3 . 2 7 )

y i e l d i n g a s e c o n d o r d e r c o r r e c t i o n t o o u r p r o b l e m . T h e r s t t e r m i s t h e u n p e r t u r b e d

t i m e e v o l u t i o n o f c , t h e s e c o n d t e r m d e s c r i b e s t h e s e c o n d o r d e r c o r r e c t i o n d u e t o t h e

p e r t u r b a t i o n i n t r o d u c e d b y t h e l e a d w h i c h c a n b e i n t e r p r e t e d a s a m e m o r y k e r n e l , a d d i n g

u p c o r r e c t i o n s o v e r t i m e .

3 . 3 . U n p e r t u r b e d t e r m

I n o r d e r t o e v e n t u a l l y e n d u p w i t h a m a t r i x i n t h e b a s e o f e i g e n v e c t o r s o f t h e c h a i n

H a m i l t o n i a n |i s o t h a t w e c a n u s e t h i s i n o u r i m p l e m e n t a t i o n , w e n e e d t o e x p a n d t h e

o p e r a t o r s a p p r o p r i a t e l y . I n g e n e r a l , w e c a n w r i t e t h e f o l l o w i n g :

A =

i,j

|i i| A |j j | . ( 3 . 2 8 )

F i r s t l e t ' s l o o k a t t h e u n p e r t u r b e d t e r m o f e q u a t i o n 3 . 2 7 , e x p a n d t h e o p e r a t o r c i n t h e

c h a i n e i g e n s t a t e b a s i s a n d p i c k t h e m, n t h e l e m e n t o f t h e r e s u l t i n g m a t r i x :

i Hc, cm,n = i Hccm,n + i c Hcm,n= i m|

i,j

Hc |i i| c |j j | n

+ i m|

i,j

|i i| c |j j | Hc |n

= i m|

i

Ei |i i| c |n

+ i m|

j

c |j j | En |n

= i (Em En) cm,n. ( 3 . 2 9 )

W e c a n w r i t e t h i s a s a f u l l m a t r i x , w h i c h i s v e r y s i m i l a r t o t h e F o c k s t a t e b a s i s e x p r e s s i o n

a s e x p e c t e d :

i

Hc, c

= i [, c] , ( 3 . 3 0 )

w h e r e i s t h e c h a i n H a m i l t o n i a n e x p r e s s e d i n t h e b a s i s o f e i g e n s t a t e s o f t h e H a m i l t o n i a n ,

a n d t h u s a d i a g o n a l m a t r i x , a n d c i s t h e m a t r i x r e p r e s e n t i n g c i n t h e e i g e n s t a t e b a s i s .

1 7


24/60

3 . 4 . C o r r e c t i o n t e r m

L e t ' s t a k e a c l o s e r l o o k a t t h e t h e i n t e g r a n d o f t h e c o r r e c t i o n t e r m i n e q u a t i o n 3 . 2 7 :

trl Hhyb, eiH0HhybeiH0, c l =trl

Hhybe

iH0HhybeiH0c l

(a)

trl

Hhybc le

iH0HhybeiH0

(b)

trl

eiH0HhybeiH0c lHhyb

(c)

+ trl

c le

iH0HhybeiH0Hhyb

(d)

.( 3 . 3 1 )

L e t ' s z o o m i n o n (a)

, w r i t i n g o u t t h e t h e o p e r a t o r s Hhyb :

(a) = trl

|l|2 1,2

c1

d1eiH0c

2d1e

iH0c l

(a.i)

+ trl

|l|2

1,2

c1

d1eiH0d1c2e

iH0c l

(a.ii)

.

+ trl |l|2 1,2 d1c1e

iH0c2

d1eiH0c l

(a.iii)

+ trl

|l|2

1,2

d1c1e

iH0d1c2eiH0c l

(a.iv)

.( 3 . 3 2 )

F i n a l l y z o o m i n g i n o n (a.i) , w e c a n w r i t e o u t t h e t r a c e o v e r t h e l e a d a s t h e s u m o f t h e

d i a g o n a l e l e m e n t s o f t h e o p e r a t o r m a t r i x , e x p r e s s e d i n a b a s e o f e i g e n s t a t e s |ni o f t h e l e a d :

(a.i) = |l|2

{1,2,3}n3 | c1 d1e

iH0

c2 d1eiH0

c l |n3 .( 3 . 3 3 )

3 . 4 . 1 . L e a d o p e r a t o r s

T h e g o a l i s t o s i m p l i f y t h i s e q u a t i o n b y s e p a r a t i n g t h e o p e r a t o r s w o r k i n g o n t h e l e a d

s p a c e f r o m o p e r a t o r s w o r k i n g o n t h e c h a i n s p a c e . I n o r d e r t o d o t h i s , w e i n t r o d u c e

1 8


25/60

I =

|n n | o p e r a t o r s a f t e r e a c h o p e r a t o r w o r k i n g o n t h e l e a d s p a c e , y i e l d i n g :

c

|n n | = c |1 1 | , ( 3 . 3 4 )

c

|n n | = c |0 0 | , ( 3 . 3 5 )

eiH0

|n n | =

eiHl |n n | eiHc

=

|n n | eineiHc,

( 3 . 3 6 )

eiH0

|n n | =

eiHl |n n | eiHc

= |n n | e

ineiHc.( 3 . 3 7 )

W e c a n n o w w r i t e :

(a.i) = |l|2

{1,2,3}

n3 | c1

d1eiH0c

2d1e

iH0c l |n3

= |l|2

{1,2,...,7}

n3 | c1

|n4 n4 | d1eiH0 |n5 n5 | c

2

|n6 n6 | d1eiH0 |n7

n7 | c l |n3

= |l|2

{1,2,3,5,7}n3 | c

1

|01 01 | d1 |n5 n5 | ei

5n5

eiHcc2

|02

02 | d1 |n7 n7 | ei7

n7

eiHcc l |n3

= |l|2

{1,2,3,5,7}

n3 | c1

|01 01 | n5 n5 | c2

|02 02 | n7

n7 | d1ei

5n5

eiHcd1ei7

n7

eiHcc l |n3

= 0.( 3 . 3 8 )

T h i s t e r m y i e l d s z e r o b e c a u s e |01 01 | n5 n5 | c2

|02 = 0: a c

o p e r a t o r w o r k i n g

o n|0

y i e l d s |1

, s o t h a t n = 1

w h i c h y i e l d s 0 | 1 = 0

. W e c a n s e e t h a t a t e r m l i k e t h i s

m u s t b e e q u a l t o z e r o a p r i o r i a s w e s e e t h a t i t c o n t a i n s t w o c o p e r a t o r s . W h e n o n e h a s w o r k e d o n a k e t t h e o t h e r o n e w o r k i n g o n t h a t k e t i m m e d i a t e l y y i e l d s t h e w h o l e t e r m

z e r o : a s w e c a n s h i f t t h e o t h e r o p e r a t o r s t h a t d o n ' t w o r k o n e i g e n s t a t e s o f t h e l e a d , w e

w i l l a l w a y s e n d u p w i t h a cc e x p r e s s i o n . T h e s a m e g o e s f o r t e r m s w i t h t w o c t e r m s , f o r t h e s a m e r e a s o n . W e c a n u s e t h e s a m e a p p r o a c h f o r

(a.ii), u s i n g t h e p r o p e r t y t h a t

c l = l c a s t h e b a s e s f o r b o t h d e n s i t y m a t r i c e s s p a n u p d i e r e n t H i l b e r t s p a c e s ,

1 9


26/60

w h i c h g i v e s u s :

(a.ii) = |l|2

{1,2,3}

n3 | c1

d1eiH0d1c2e

iH0c l |n3

= |l|2 {1,2,...,7}

n3 | c1 |n4 n4 | d1eiH0 |n5 n5 |

d1c2 |n6 n6 | e

iH0 |n7 n7 | c l |n3

= |l|2

{1,2,3,5,7}

n3 | c1

|01 01 | d1 |n5 n5 | eiHcei5n5

d1c2 |12 12 | n7 n7 | e

iHcei7n7c l |n3

= |l|2

{1,2,3,5,7}

n3 | c1

|01 01 | n5 n5 | c2 |12 12 | n7 n7 | l |n3

d1

e

iHcei5n5d1

eiHcei7n7c

= |l|2

1,2

n2 | c1

c1 l |n2 d1eiHcd1e

iHcei1c

= |l|2

trl

c c l

n

eid1eiHcd1e

iHcc, ( 3 . 3 9 )

w h e r e n i s t h e F e r m i - D i r a c d i s t r i b u t i o n [ 4 ] a s :

trl

c c l

= trl

lc

c

= c c = n . ( 3 . 4 0 )

I n o u r p r o b l e m , w e w i l l t a k e t h e l o w t e m p e r a t u r e l i m i t , y i e l d i n g :

limT0

n =

1 if <

0 if > ( 3 . 4 1 )

F o r n o w , w e w i l l c o n t i n u e t o w r i t e n .

U s i n g t h e s a m e m e t h o d s , w e o b t a i n :

(a.iii) = |l|2

(1 n) eid1e

iHcd1eiHcc, ( 3 . 4 2 )

a n d :

(a.iv) = 0. ( 3 . 4 3 )

2 0


27/60

U s i n g t h i s m e t h o d c o n s i s t e n t l y o n a l l s u b e q u a t i o n s , w e n d :

(a) = |l|2

neid1e

iHcd1eiHcc

(a.i)+ |l|

2

(1 n) eid1e

iHcd1eiHcc

(a.ii),

( 3 . 4 4 )

(b) = |l|2

neid1ce

iHcd1eiHc

(b.i)

|l|2

(1 n) eid1ce

iHcd1eiHc

(b.ii)

,

( 3 . 4 5 )

(c) = |l|2

neieiHcd1e

iHccd1

(c.i)

|l|2

(1 n) eieiHcd1eiHccd

1

(c.ii)

,

( 3 . 4 6 )

(d) = |l|2

neiceiHcd1eiHcd

1

(d.i)

+ |l|2

(1 n) eice

iHcd1eiHcd1

(d.ii)

.

( 3 . 4 7 )

N o t i c e h o w w e h a v e t h a t :

(a.i) = (d.i) , (a.ii) = (d.ii) ,

(b.i) = (c.i) and (b.ii) = (c.ii) .( 3 . 4 8 )

T h e s e i d e n t i t i e s w i l l b e u s e d f u r t h e r o n .

3 . 4 . 2 . C h a i n o p e r a t o r s

W e c a n w o r k o u t t h e o p e r a t o r s w o r k i n g o n t h e c h a i n s p a c e i n a c o m p a r a b l e w a y a s w e

d i d f o r t h e o p e r a t o r s w o r k i n g o n t h e l e a d s p a c e . F o r t h i s w e u s e a b a s i s o f e i g e n s t a t e s

|i o f t h e c h a i n H a m i l t o n i a n , a s w e d i d w i t h t h e u n p e r t u r b e d t e r m i n e q u a t i o n 3 . 2 7 .L e t ' s z o o m i n o n t h e c h a i n o p e r a t o r p a r t o f

(a.i), e x p a n d t h e o p e r a t o r s a n d p i c k t h e

2 1


28/60

m, n t h e l e m e n t o f t h e r e s u l t i n g m a t r i x :d1e

iHcd1eiHcc

m,n

= m|i,j

|i i| d1 |j j | eiHc

k,l

|k k| d1 |l l| e

iHc

p,q

|p p| c |q q | n

= m|

i,j

d1 |i i| eiEi |i i| d

1 |j j | e

iEj |j j | c |n

=

i,j

ei(EiEj)d1m,id1i,j

cj,n. ( 3 . 4 9 )

A l s o h e r e , w e m u s t r e m e m b e r t h a t c , d1 a n d d1 a r e m a t r i c e s r e p r e s e n t e d i n t h e e i g e n s t a t e b a s i s o f t h e c h a i n H a m i l t o n i a n .

A p p l y i n g t h e s a m e m e t h o d o n (a.ii)

a n d a p p r o p r i a t e l y o n t h e o t h e r t e r m s (b)

,(c)

a n d

(d)w e t h u s n d f o r t h e

n, mt h m a t r i x e l e m e n t o f e q u a t i o n 3 . 3 1 t h a t w e h a v e :

trl

Hhyb,

eiH0HhybeiH0, c (t) l

m,n

=

,i,j

|l|2 ne

iei(EiEj)d1m,id1i,j

cj,n

I+,i,j

|l|2 (1 n) e

iei(EiEj)d1m,id1i,jcj,n

II,i,j

|l|2 neiei(EjEn)d1m,ici,jd1j,n II I

,i,j

|l|2 (1 n) eiei(EjEn)d1m,ici,jd1j,n IV

,i,j

|l|2 ne

iei(EmEi)d1m,ici,jd1j,n V

,i,j

|l|2 (1 n) e

iei(EmEi)d1m,ici,jd1j,n

V I,i,j

|l|2 ne

iei(EiEj)cm,id1i,jd1j,n

V I I

+,i,j

|l|2 (1 n) e

iei(EiEj)cm,id1i,j

d1j,n

V III

.

( 3 . 5 0 )

3 . 4 . 3 . F u r t h e r p r o c e s s i n g

T h e e x p r e s s i o n i n e q u a t i o n 3 . 5 0 c a n b e t e r m b y t e r m s u b s t i t u t e d i n t o e q u a t i o n 3 . 2 7 ,

y i e l d i n g i n t e g r a l s o f t e r m s I

t oV I I I

t h a t a r e n o t t r i v i a l . W e s h a l l s h o w a n d m a k e u s e o f

t h e H e r m i t i a n r e l a t i o n s b e t w e e n t h e s e p a r a t e i n t e g r a l s , w o r k o u t t h e i n t e g r a l f o r I

a n d

g i v e t h e r e s u l t s f o r t h e o t h e r t e r m s .

2 2


29/60

H e r m i t i a n r e l a t i o n s

W e m u s t k e e p i n m i n d t h a t t h e r e l a t i o n s b e t w e e n t h e p a r t s a s s h o w n i n e q u a t i o n 3 . 4 8

m u s t s t i l l h o l d . M a p p i n g t h e n u m b e r s f r o m e q u a t i o n 3 . 4 8 t o t h e n u m b e r s u s e d i n e q u a t i o n

3 . 5 0 , w e s h o u l d h a v e t h a t :0

Id

=

0

V IId ,

0

IId

=

0

V I I I d0

IIId

=

0

Vd and

0

IVd

=

0

V Id.( 3 . 5 1 )

L e t ' s w o r k o u t t h e t e r m s i n v o l v i n g I

a n dV II

t o s h o w t h i s p r o p e r t y . F i r s t , w e d e n e

ij Ei Ej a n d w e i n t r o d u c e a t e r m lim0+ e i n o r d e r t o h a v e a c o n v e r g e n t i n t e g r a l o v e r

. N o t e t h a t

ij = ji . F u r t h e r m o r e , w e d e n e |l|22 . W e s t a r t o b y w r i t i n g

t h e s u m o v e r a s a n i n t e g r a l w i t h t h e n o r m a l i z a t i o n f a c t o r o f 12 i n c l u d e d i n , s o t h a t w e h a v e t h a t :

0Id = lim

0+

0

Ie d

= lim0+

i,j

0

ei(ij+i) d n d d1m,id1i,j

cj,n

= lim0+

i,j

in

ij + id d1m,id

1i,j

cj,n

=

i,j

P

i

ij

+ ( ij )

n d d1m,id

1i,j

cj,n, ( 3 . 5 2 )

w h e r e P

d e n o t e s t h e C a u c h y P r i n c i p a l V a l u e i n o r d e r t o h a v e c o n v e r g e n c e w h e n a s i n g u -

l a r i t y e x i s t s w i t h i n t h e d o m a i n o f i n t e g r a t i o n , w h i c h w i l l b e s h o w n i n t h e n e x t s e c t i o n . W e

a p p l y t h e l o w - t e m p e r a t u r e l i m i t s o t h a t n = 1 f o r < a n d e q u a l t o z e r o o t h e r w i s e .

T h i s y i e l d s :0

Id =

i,j

P

i

ij

+ ( ij )

d d1m,id

1i,j

cj,n, ( 3 . 5 3 )

f r o m w h i c h w e n d t h a t :

0 Id

= i,j

P i + ij + ( + ij ) d cm,id1i,jd1j,n. ( 3 . 5 4 )

2 3


30/60

N o w t o c h e c k t h e H e r m i t i a n r e l a t i o n w i t h t h e i n t e g r a l o f V II, w e h a v e t h a t i n t h e l o w -

t e m p e r a t u r e l i m i t :

0V IId = lim

0+

0V IIe d

= lim0+

i,j

0

ei(+iji) dd cm,id1i,jd1j,n

= lim0+

i,j

i

+ ij id cm,id1i,jd

1j,n

=

i,j

P

i

+ ij

+ ( + ij )

d cm,id1i,jd

1j,n

, ( 3 . 5 5 )

W e s e e t h a t w e i n d e e d h a v e t h a t

0 Id

=

0 V IId. T h e s a m e c a n b e s h o w n f o r t h e o t h e r H e r m i t i a n c o u p l e s , f o r w h i c h w e s h a l l o m i t t h e p r o o f d u e t o t h e s i m i l a r n a t u r e

o f t h e s e p r o c e s s e s .

D e a l i n g w i t h s i n g u l a r i t i e s

T h e e v a l u a t i o n o f t h e i n t e g r a l s s h o u l d b e d o n e w i t h c a r e , a s t h e y m i g h t c o n t a i n a s i n g u -

l a r i t y a n d t h e r e f o r e n o t b e c o n v e r g e n t , d e p e n d i n g o n t h e c h o i c e o f

. L o o k i n g a t e q u a t i o n

3 . 5 3 , w e n d t h a t a s s o o n a s ij < , i n t e g r a t i n g f r o m t o b e c o m e s p r o b l e m a t i c .

G e n e r a l f o r m u l a t i o n F i r s t w e d e n e a n u m b e r B s u c i e n t l y l a r g e t o r e p l a c e w i t h t h e

i n n i t y i n t h e i n t e g r a l : w e a s s u m e t h e r e a r e n o s u c h e x t r e m e e n e r g i e s w i t h i n o u r s y s t e m .

I n o r d e r t o a v o i d t h e s i n g u l a r i t y , w e m a k e u s e o f t h e f a c t t h a t

1x i s a n o d d f u n c t i o n

a r o u n d x =

, a s s h o w n i n g u r e 3 . 1 . W e h a v e t h a t , w h e n B :

B

dx

x =

||B

dx

x = ln

| |

B

if <

B

dx

x = ln

B

if >

( 3 . 5 6 )

a n d t h a t :

B

dx

x + =

|+|B

dx

x + = ln

| + |

B +

if >

B

dx

x + = ln

+

B +

if <

( 3 . 5 7 )

F u r t h e r m o r e , w e h a v e a n o t h e r l i m i t w e s h o u l d i n v e s t i g a t e i n o r d e r t o h a v e a c o m p l e t e

s e t o f i d e n t i t i e s w h i c h w e c a n u s e o n o u r p r o b l e m , n a m e l y :

B

dx

x =

B+||

dx

x = ln

B

| |

if > B

dx

x = ln

B

if <

( 3 . 5 8 )

2 4


31/60

F i g u r e 3 . 1 . : A s i n g u l a r i t y o c c u r s a t x = ij , t a k i n g t h e C a u c h y P r i n c i p a l v a l u e i n t e g r a l o v e r a s y m m e t r i c r a n g e a r o u n d t h e s i n g u l a r i t y y i e l d s z e r o .

a n d t h a t :

B

dx

x + =

B+|+|

dx

x + = ln B +

| + | if < B

dx

x + = ln

B +

+

if >

( 3 . 5 9 )

A p p l i c a t i o n A p p l y i n g t h e s e i d e n t i t i e s t o e q u a t i o n 3 . 5 3 , w e n d :

0

Id =

limB

i

i,j

ln

| ij |

B ij

i

d1m,id

1i,j

cj,n if ij <

limB

ii,jln

ijB ij d1m,id

1i,j

cj,n if ij >

( 3 . 6 0 )

D e n i n g :

Ai,j

limB

i

ln

| ij |

B ij

i

if ij <

limB

i ln

ij

B ij

if ij >

( 3 . 6 1 )

2 5


32/60

w e g a i n a m o r e c o m p a c t e x p r e s s i o n :0

Id =

i,j

d1m,i

A d1

i,j

cj,n, ( 3 . 6 2 )

w i t h d e n o t i n g t h e H a d a m a r d p r o d u c t [ 7 ] . T h i s y i e l d s t h e f o l l o w i n g f u l l m a t r i x :0

Id

= d1

A d1

c. ( 3 . 6 3 )

N o t e t h a t i n t h e l i m i t t h a t B , t h e i n d i c e s o f A c a r r y i n g a n i m a g i n a r y p a r t g o t o , d e p e n d i n g o n w h e t h e r B a p p e a r s i n t h e n o m i n a t o r ( i m a g i n a r y p a r t g o e s t o ) o rt h e d e n o m i n a t o r ( i m a g i n a r y p a r t g o e s t o

) i n t h e l o g a r i t h m .

R e s u l t s i n t e g r a t i n g t e r m s II

t oV I I I

U s i n g t h e s a m e m e t h o d a s w e d i d w i t h

I, w e n d t h e e x p r e s s i o n s f o r t h e t e r m s

IIt o

IVi n t e g r a t e d a s s h o w n i n e q u a t i o n 3 . 2 7 . T h e e x p r e s s i o n s f o r t h e i n t e g r a t i o n o f

Vt o

V I I I

a r e f o u n d u s i n g t h e H e r m i t i a n r e l a t i o n s a s g i v e n i n 3 . 5 1 . W e n d :0

Id

= d1

A d1

c =

0

V IId

= c

A d1

d1 ( 3 . 6 4 )

0IId

= d1 [B d1] c =

0

V I I I d

= c

B d1

d1 ( 3 . 6 5 )

0IIId

= d1c [C d1] =

0

Vd

=C d1

cd1 ( 3 . 6 6 )

0 IVd = d1c D d1 =

0 V Id = D d1 cd1 ( 3 . 6 7 ) w i t h :

Bi,j

limB

i

ln

B + ij| + ij |

+ i

if ij <

limB

i ln

B + ij + ij

if ij >

( 3 . 6 8 )

Ci,j

limB

i

ln

| + ij |

B + ij

+ i

if ij >

limB i ln + ijB + ij if ij < ( 3 . 6 9 )

Di,j

limB

i

ln

B ij| ij |

i

if ij >

limB

i ln

B ij ij

if ij <

( 3 . 7 0 )

2 6


33/60

W e u l t i m a t e l y n d t h a t , u s i n g t h e H e r m i t i a n r e l a t i o n s a p p r o p r i a t e l y a n d s u b s t i t u t i n g

i n t o e q u a t i o n 3 . 2 7 :

chain (t) = ic d1 A d1 c d

1 [B d1] c

d1c [C d1] d1cD d1

C d1

cd1

D d1

cd

1

+ ci c

A d1

d1 c

B d1

d1. ( 3 . 7 1 )

D e n i n g :

K i d1

A d1

d1 [B d1] ( 3 . 7 2 )

Cd [C d1] ( 3 . 7 3 )

Dd D d1

( 3 . 7 4 )

( 3 . 7 5 )

w e t h u s n d t h a t w e h a v e :

chain (t) = Kc + d1cCd + d1cDd +

d1cCd

+ (d1cDd)

+ cK. ( 3 . 7 6 )

2 7


34/60

4 . S u p e r o p e r a t o r a p p r o a c h

4 . 1 . S u p e r O p e r a t o r s

A p p r o a c h i n g t h e M a s t e r e q u a t i o n w i t h t h e S u p e r O p e r a t o r f o r m a l i s m [ 3 , 1 0 ] w e r s t

d e n e t h e L i o u v i l l i a n o p e r a t o r L

a s f o l l o w s :

Lc

Hc,

Ll Hl, Lhyb

Hhyb,

Lc + Ll + Lhyb

L

= H, . ( 4 . 1 )

W e t h u s n d f o r t h e V o n N e u m a n n e q u a t i o n i n t e r m s o f t h i s L i o u v i l l i a n o p e r a t o r :

= iL,( 4 . 2 )

w h i c h h a s t h e g e n e r a l s o l u t i o n :

(t) = CeiLt, C R. ( 4 . 3 )

W e h a v e t h e i n i t i a l c o n d i t i o n t h a t a t

t = t0w e h a v e t h a t

= (t0), y i e l d i n g :

(t) = (t0) eiL(tt0). ( 4 . 4 )

W e n o w d e n e t h e s u p e r - p r o j e c t o r P

a s f o l l o w s :

P [trl] l = c l, ( 4 . 5 )

f r o m w h i c h w e s e e t h a t t h e P

o p e r a t o r p r o j e c t s t h e d e n s i t y o p e r a t o r o n t h e c h a i n s p a c e t o

t h e n w r i t e i t a s a k r o n e c k e r p r o d u c t o f t h e p r o j e c t i o n o n t h e c h a i n s p a c e a n d t h e s t a t i o n -

a r y d e n s i t y m a t r i x i n t h e l e a d s p a c e . R e m e m b e r t h a t w e h a v e t h a t l i s t i m e i n d e p e n d e n t

w h e r e c i s t i m e d e p e n d e n t . T h e s u p e r - p r o j e c t o r h a s t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :

PLc =

trlHc

l

trlHc

l

= Hcc l c lHc

= LcP

= PLc = LcP, ( 4 . 6 )

2 8


35/60

w h i c h w e c o u l d a l s o i m m e d i a t e l y s e e b y r e a l i z i n g P a n d Lc w o r k o n d i e r e n t s p a c e s a n d a r e t h u s i n t e r c h a n g e a b l e . F u r t h e r m o r e :

PLl = trlHl

l trlHl

l = 0

= PLl = 0, ( 4 . 7 )

a n d :

PLhybP = 0, ( 4 . 8 )

w h i c h f o l l o w s f r o m t h e a s s u m p t i o n t h a t trl

Hhybl

= 0

, o r p u t t o w o r d s : t h e i n t e r a c t i o n

t e r m o f t h e H a m i l t o n i a n d o e s n o t a e c t t h e s t a t e o f t h e l e a d .

U s i n g t h e s u p e r - p r o j e c t o r P

w e c a n w r i t e :

= P +

1 P

1 + 2. ( 4 . 9 )

U s i n g e q u a t i o n 4 . 2 a n d t h e i d e n t i t i e s o f t h e s u p e r - p r o j e c t o r P

w e t h e n n d t h e f o l l o w i n g

t w o e q u a t i o n s [ 1 0 ] :

Pd

dt=

d1dt

= i

Lc1 + PLhyb2

,

( 4 . 1 0 ) 1 P

ddt

=d2dt

= i

1 P

L2 +

1 P

Lhyb1

.

( 4 . 1 1 )

( 4 . 1 2 )

T h e s o l u t i o n o f e q u a t i o n 4 . 1 2 i s g i v e n b y [ 1 0 ] :

2 = i tt0

e(1P)

L1 P Lhyb1 (t ) d ( 4 . 1 3 )

= i

tt0

e(1P)LLhyb1 (t ) d, ( 4 . 1 4 )

m a k i n g u s e o f t h e f a c t t h a t PLhybP = 0. S u b s t i t u t i n g t h i s r e s u l t i n t o e q u a t i o n 4 . 1 1 w e t h e n n d :

c = iLcc i

tt0

tr

Lhybe(1P)LLhybl

c (t ) d, ( 4 . 1 5 )

u s i n g t h e s u p e r - p r o j e c t o r p r o p e r t i e s a p p r o p r i a t e l y . W r i t i n g o u t t h e s u p e r o p e r a t o r s ,

m a k i n g u s e o f t h e i d e n t i t y t h a t PL = PLhyb a n d a p p l y i n g t h e M a r k o v a p p r o x i m a t i o n ,

i m p l y i n g s m a l l a u t o c o r r e l a t i o n t i m e s w i t h i n t h e m e m o r y k e r n e l , y i e l d i n g

c (t ) c (t), w e n a l l y n d :

c = i

Hc, c

0

trl

Hhyb,

eiH0HhybeiH0, eiHcceiHc l

d.

( 4 . 1 6 )

W e s e e f r o m e q u a t i o n 4 . 1 6 t h a t w e a l m o s t h a v e t h e s a m e e x p r e s s i o n a s w e f o u n d i n

e q u a t i o n 3 . 7 6 u s i n g t h e c o n v e n t i o n a l M a s t e r E q u a t i o n a p p r o a c h , w i t h t h e d i e r e n c e t h a t

2 9


36/60

w e n o w h a v e eiHcceiHc i n s t e a d o f j u s t c w i t h i n t h e c o r r e c t i o n t e r m . A l s o n o t e h o w

w e n e v e r a s s u m e d t h a t = c 0l , w h i c h i s o n l y v a l i d f o r s m a l l t a w e a k c o u l i n g b e t w e e n

t h e c h a i n a n d t h e b a t h . I n t h e M a s t e r e q u a t i o n a p p r o a c h , w e a s s u m e d t h i s t o h o l d f o r

a l l v a l u e s o f t

.

4 . 2 . U n p e r t u r b e d t e r m

T h e u n p e r t u r b e d t e r m i s t h e e x a c t s a m e a s w e f o u n d w i t h t h e M a s t e r e q u a t i o n a p p r o a c h ,

y i e l d i n g :

i

Hc, c

= i [, c] , ( 4 . 1 7 )

a g a i n w i t h t h e c h a i n H a m i l t o n i a n e x p r e s s e d i n t h e b a s i s o f e i g e n s t a t e s o f t h e H a m i l -

t o n i a n a n d c t h e m a t r i x r e p r e s e n t i n g c i n t h e e i g e n s t a t e b a s i s .

4 . 3 . C o r r e c t i o n t e r m

4 . 3 . 1 . L e a d o p e r a t o r s

W e c a n t a k e o u r r e s u l t s d i r e c t l y f r o m t h e e n d o f s e c t i o n 3 . 4 . 1 , r e p l a c i n g c (t) a p p r o p r i -

a t e l y t o n d :

(a) = |l|2

neid1e

iHcd1ceiHc

(a.i)

+ |l|2

(1 n) eid1e

iHcd1ceiHc

(a.ii)

,

( 4 . 1 8 )

(b) = |l|2 neid

1eiHccd1eiHc

(b.i)

|l|2 (1 n) eid1eiHccd

1e

iHc

(b.ii)

,

( 4 . 1 9 )

(c) = |l|2

neieiHcd1ce

iHcd1

(c.i)

|l|2

(1 n) eieiHcd1ceiHcd

1

(c.ii)

,

( 4 . 2 0 )

(d) = |l|2

neieiHccd1eiHcd

1

(d.i)+ |l|

2

(1 n) eieiHccd

1e

iHcd1

(d.ii).

( 4 . 2 1 )

A g a i n , n o t i c e h o w w e a l s o h a v e h e r e t h a t :

(a.i) = (d.i) , (a.ii) = (d.ii) ,

(b.i) = (c.i) and (b.ii) = (c.ii) .( 4 . 2 2 )

3 0


37/60

4 . 3 . 2 . C h a i n o p e r a t o r s

F o r t h e e x p a n s i o n o f t h e c h a i n o p e r a t o r s w e c a n u s e o u r r e s u l t f r o m s e c t i o n 3 . 4 . 2 . W e m u s t

b e c a r e f u l w i t h t h e i n d i c e s o f t h e e n e r g i e s i n t h e e x p o n e n t i a l s , a p p l y i n g a n a p p r o p r i a t e

s h i f t a s i n t h e i r o p e r a t o r f o r m t h e y a r e i n a d i e r e n t p o s i t i o n a m o n g t h e o t h e r c h a i n

o p e r a t o r s i n c o m p a r i s o n w i t h t h e e x p r e s s i o n s w e f o u n d a t t h e e n d o f s e c t i o n 3 . 4 . 1 . W e

n d :

trl

Hhyb,

eiH0HhybeiH0, eiHcc (t) eiHc l

m,n

=

,i,j

|l|2 ne

iei(EiEn)d1m,id1i,j

cj,n I

+,i,j

|l|2 (1 n) e

iei(EiEn)d1m,id1i,jcj,n II

,i,j

|l|2 ne

iei(EiEn)d1m,ici,jd1j,n

II I,i,j

|l|2 (1 n) e

iei(EiEn)d1m,ici,jd1j,n

IV,i,j

|l|2 ne

iei(EmEj)d1m,ici,jd1j,n V

,i,j

|l|2 (1 n) e

iei(EmEj)d1m,ici,jd1j,n

V I,i,j

|l|2 ne

iei(EmEj)cm,id1i,jd1j,n

V I I

+,i,j

|l|2 (1 n) e

iei(EmEj)cm,id1i,j

d1j,n V III

.

( 4 . 2 3 )

4 . 3 . 3 . F u r t h e r p r o c e s s i n g

T h e r e s u l t s f o r i n t e g r a t i n g e a c h t e r m c a n a g a i n b e t a k e n f r o m t h e p r e v i o u s r e s u l t s t o

n d : 0

Id =

i,j

Ai,nd1m,id1i,j

cj,n ( 4 . 2 4 ) 0

IId =

i,j

Bi,nd1m,i

d1i,jcj,n ( 4 . 2 5 ) 0

IIId =

i,j

Cj,md1m,i

ci,jd1j,n ( 4 . 2 6 )

0

IVd = i,j

Dj,md1m,ici,jd1j,n ( 4 . 2 7 )

3 1


38/60

w i t h :

Ai,j

limB

i

ln

| ij |

B ij

i

if ij <

limB i ln

ijB ij if ij > ( 4 . 2 8 )

Bi,j

limB

i

ln

B + ij| + ij |

+ i

if ij <

limB

i ln

B + ij + ij

if ij >

( 4 . 2 9 )

Ci,j

limB

i

ln

| + ij |

B + ij

+ i

if ij >

limB

i ln

+ ij

B + ij

if ij <

( 4 . 3 0 )

Di,j

limB

i ln B ij| ij |

i if ij > lim

Bi ln

B ij ij

if ij <

( 4 . 3 1 )

s o t h a t w e o b t a i n :

cm,n = i [, c]m,n

Ai,nd1m,id1i,j

cj,n + Bi,nd1m,i

d1i,jcj,n

+Cj,md1m,i

ci,jd1j,n + Dj,md1m,ici,jd1j,n

+

Ai,nd1m,id1i,j

cj,n + Bi,nd1m,i

d1i,jcj,n

+Cj,md1m,i

ci,jd1j,n + Dj,md1m,ici,jd1j,n

.

( 4 . 3 2 )

N o t i c e h o w t h i s e x p r e s s i o n c a n n o t b e w r i t t e n a s a m a t r i x p r o d u c t a s w e c o u l d d o w i t h t h e

c o n v e n t i o n a l M a s t e r E q u a t i o n a p p r o a c h i n o r d e r t o o b t a i n a f u l l m a t r i x e x p r e s s i o n : w e

h a v e t o b u i l d t h e s e m a t r i c e s w i t h i n t h e a l g o r i t h m e a c h i t e r a t i o n w i t h i n t h e p r o c e s s . W e

t h u s n d t h a t w e c a n u s e t h e s a m e p r o g r a m s t r u c t u r e a s f o r t h e c o n v e n t i o n a l a p p r o a c h ,

w i t h t h e d i e r e n c e t h a t w e n o w h a v e a n e l e m e n t - w i s e e x p r e s s i o n f r o m w h i c h w e s h o u l d

r e b u i l d t h e ` c o n s t a n t ' m a t r i c e s e a c h i t e r a t i o n .

3 2


39/60

5 . I m p l e m e n t i n g t h e m o d e l

I n o r d e r t o c a l c u l a t e t h e m a t r i x chain (t) a t a n y t i m e t, w e m a k e u s e o f t h e n u m e r i c a l

i n t e g r a t i o n m e t h o d k n o w n a s t h e M o d i e d E u l e r m e t h o d . F o r a n i n i t i a l v a l u e p r o b l e m

o f t h e f o r m : y (t) = F (t, y (t))

y (t0) = y0( 5 . 1 )

w e h a v e t h e f o l l o w i n g n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n t o t h e s o l u t i o n :

w (t + h) = w (t) + h2 [F (t, w (t)) + F (t + h, w (t + h))] , ( 5 . 2 )

w i t h :

w (t + h) = w (t) + hF (t, w (t)) .( 5 . 3 )

T h e a d v a n t a g e t o t h i s m e t h o d i s t h a t i t i s a s e c o n d o r d e r m e t h o d a s w e a p p l y a c o r r e c t i o n

t o t h e r s t o r d e r t e r m a n d t h a t i t i s a n e x p l i c i t m e t h o d . D i s a d v a n t a g e s a r e t h e x e d s t e p

s i z e w h i c h r e q u i r e s t h e i t e r a t i v e p r o c e s s t o m a k e e q u i d i s t a n t s t e p s i z e s e v e n i n r e g i o n s

w h e r e t h e m e t h o d i s t a b l e f o r l a r g e r s t e p s i z e s . T r a n s l a t i n g t h e M o d i e d E u l e r m e t h o d

t o o u r m o d e l , w e m u s t t h u s r s t c a l c u l a t e , u s i n g e q u a t i o n 3 . 7 6 :

chain (t + h) = chain (t) + hchain (t) , ( 5 . 4 )

s o t h a t w e c a n o b t a i n :

chain (t + h) = chain (t) +h

2[ chain (t) +

chain (t + h)] . ( 5 . 5 )

G i v e n a n i n i t i a l m a t r i x chain (t0) w e c a n t h u s n d t h e m a t r i x chain (t) f o r a n y v a l u e o f

t b y i t e r a t i o n . E a c h i t e r a t i o n , w e w i l l d e t e r m i n e t h e e n e r g y E w i t h i n t h e c h a i n . T h e

i t e r a t i v e p r o c e s s c a n b e s e t t o s t o p a s s o o n a s Ei+1 Ei < 10

6. T h e r e s u l t s s h o w n

i n c h a p t e r 6 h o w e v e r a r e o b t a i n e d u s i n g a x e d t i m e i n o r d e r t o g e t a b e t t e r r e s u l t

c o m p a r i s o n .

N o t e t h a t w e s h o u l d b e c a r e f u l w h e n = i j f o r a n y i a n d j . I n t h i s c a s e , w e

s h o u l d a l t e r t h e v a l u e o f

j u s t a l i t t l e i n o r d e r t o a v o i d t h e d i v i s i o n b y z e r o t h a t w o u l d

f o l l o w i f w e w o u l d a l l o w t h e o r i g i n a l c h o i c e o f

.

5 . 1 . C o n v e n t i o n a l a p p r o a c h

T h eMATLAB

i m p l e m e n t a t i o n o f t h i s a p p r o a c h i s s t r a i g h t f o r w a r d . A s t h e i m p l e m e n t a t i o n

c a l l s t h e f u n c t i o n s H_chain.m

a n dd_operators.m

, m a k e s u r e t h e s e l e

Main-bachelor_thesis_Lead Coupled Spinless Hubbard Chains.pdf

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