definisce il campo elettrico che agisce sulla carica di prova q 0 (1) (1’) Definizione del campo magnetico con una carica di prova Infatti, si sono fatte le osservazioni sperimentali (Ampère e altri): (2)
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definisce il campo elettrico che agisce sulla carica di prova q0 (1)
(1’)
Definizione del campo magnetico con una carica di prova
Infatti, si sono fatte le osservazioni sperimentali (Ampère e altri):
(2)
forza di Lorentz (3)
v
BvqFm
B
Esempio: carica positiva che si muove nel piano (x,y)
con il campo magnetico diretto come l’asse y
è diretto come l’asse z x
y
z
q>0
v sinq
pollice
mano destra
indice
medio
q
(4)
in accordo con le osservazioni (2)
v
B
x
y q>0
Altri esempi esempi con v e B ortogonali tra loro (q p /2):
v
z
vB
x
y q>0
v
z
vB
x
y q>0
v
z
vB
x
y q<0
v
z
Osservazione: la legge di Lorentz (3) puo essere vista come una definizione operativa del campo magnetico.
q
q
q Si misura la forza che agisce
sulla carica di prova q al variare
della direzione del motto
(con v costante in modulo) q
Nel S.I. l’unità di misura del campo magnetico è il Tesla (T); dalla forma della legge
di Lorentz (3) si ricava:
Unità di misura e ordini di grandezza
Un campo magnetico di 1 Tesla è estramente intenso. Ecco qualche ordine di grandezza:
In relazione al campo magnetico terrestre, spesso viene usato il Gauss al posto del Tesla:
1 Gauss=10-4 T ~ campo magnetico terrestre
(5)
B ~ 10-10 T
B ~ 10-4 T
B ~ 10-2 T
B ~ 10-2 T
B ~ 2 T
B ~ 30 T (i piu grandi ottenuti in lab.)
B ~ 108 T
Nello spazio interstellare
Sulla superficie terrestre
Sulla superficie del sole
Vicino a una calamità
Elettromagneti convenzionali
Elettromagneti a superconduttori
Sulla superficie di una stella a neutroni
Moto di una particella carica in un campo magnetico
spostamento nel tempo dt
A
B
entrante nel piano della figura
costante del moto
(m = massa della carica)
(6)
La conservazione dell’energia cinetica della particella espressa dalla (6) implica che la sua velocità puo
cambiare in direzione ma non in modulo.
Se oltre al campo magnetico, si ha anche un campo elettrico, la carica q è sogetto alla “forza di Lorentz
generalizzata”:
In questo caso l’energia cinetica della carica varia nel tempo (non è una costante del moto) poichè
la forza dovuta al campo elettrico compie lavoro.
(7)
NOTA: Si puo osservare che una forza ortogonale alla velocità agisce sempre in questo modo:
è infatti necessario avere una componente non nulla della forza nella direzione del moto per avere
una variazione del modulo della velocità.
Moto in un campo magnetico uniforme
campo magnetico unforme
entrante nel piano della figura
e ortogonale alla velocità
B
(8)
mF
P
(t=0)
v
accelerazione centripeta
raggio dell’orbita
Eq. di Newton nella direzione della forza mF
con
Esplicitando la (9) usando la (8) si ricava
(9)
da cui si ricavano le caratteristiche dell’orbità circolare uniforme della carica:
raggio orbitale
velocità angolare
periodo di rivoluzione
campo B uniforme
lungo l’asse z
r
mF
q > 0
x
z
y
orbità circolare uniforme nel piano (x,y)
(9’)
(10)
campo B uniforme
lungo l’asse z
r
mF
q > 0
z
y
a) orbita in senso antiorario rispetto
al verso di B per una carica positiva
Ossevazioni:
• T e w date dalle (10) non dipendono dalla velocità: se v è piu grande, risulta piu grande anche
il raggio r v e quindi il tempo di percorrenza dell’orbità T non cambia.
• Il raggio r è proporzionale alla massa: a parita di carica il rapporto dei raggi orbitali è quindi uguale al
rapporto delle masse. Ad esempio un protone ha un raggio orbitale 1835 volte piu grande di quello
di un elettrone nello stesso campo magnetico poichè mp/me=1835.
• Se si cambia il segno della carica, cambia anche il suo senso di percorrenza dell’orbita rispetto al
verso del campo magnetico (poichè cambia il verso della forza di Lorentz).
r q < 0
a) orbita in senso orario rispetto
al verso di B per una carica negativa
mF
uniforme
x BvqFm
è entrante nel piano della figura e
diretto parallelamente all’asse x
con verso opposto
B z
y
q
Caso con q positivo e B || asse z
(11)
Si ha quindi un moto elicoidale che si scompone
(a) nel moto con velocità costante v|| nella direzione di B (asse z) e
(b) nel moto circolare uniforme nel piano ortogonale a B dovuta all’azione della forza
magnetica che agisce in questo piano.
Si chiama “passo” dell’elica la distanza percorsa lungo
il suo asse (asse z || B) in un periodo T, ovvero la distanza
lungo z che separa due orbite consecutive (vedi figura):
passo dell’elica
Il raggio e il periodo dell’orbita nel piano (x,y) si ottengono
dalle (10) sostituendo v con v :
raggio orbitale nel piano (x,y)
(10)
(12)
q
Caso con q positivo e B || asse z
Forza magnetica esercitatà da un filo percorso da corrente (legge di Laplace)
La forza di Lorentz a cui sono soggette le cariche libere si trasmettono al reticolo cristallino del metallo
attraverso gli urti e fanno deflettere il filo.
Direzione e verso della forza che agisce sul filo: è quello della forza di Lorentz che agisce
su cariche positive che si muovono nel verso della corrente.
Osservazione sperimentale: un filo percorso da corrente immerso in un campo magnetico uniforme
viene deflesso nella direzione ortogonale a quella del filo e a quella campo magnetico (vedi figura)
+ q
Tutte le cariche sono soggette alla stessa
velocità di deriva vd (che determina la corrente)
e sono soggette alla forza di Lorenz Fm
L
sezione di
area A
(14)
a) Forza magnetico su un filo rettilineo in campo magnetico uniforme
La velocità istantanea vi degli elettroni liberi nei metalli è molto maggiore della velocità di deriva e
dà luogo a una forza di Lorentz Fi di intensità molto maggiore di quella associata alla velocità di
deriva vd. Tuttavia vi non va tenuta in conto nel calcolo della forza “macroscopica” (14) che agisce sul filo
poiché Fi é mediamente nulla, essendo legata al moto “disordinato” delle cariche libere nel conduttore.
Osservazione:
(15)
b) Generalizzazione a un filo conduttore di forma qualsiasi in campo magnetico non uniforme
(16)
sdB
segmento di filo di lunghezza
infinitesima ds
I orientato come I
NB: questa formula è valida solo per un segmento di filo rettilineo di lunghezza L immerso in un
campo magnetico uniforme.
Consideriamo due casi particolari:
(17)
La forza magnetica risultante su un circuito chiuso in un campo magnetico uniforme è nulla.
(18)
E’ importante osservare che le forze che agiscono sui singoli segmenti di conduttore che compongono
il circuito non sono nulle, è la loro somma vettoriale che si annulla. Queste forze possono comunque
portare a deformazioni e a un momento torcente che tende a fare ruotare il circuito attorno a un asse, come
adesso verificheremo.
g D
A
C
A=C
I
Coppia di forza su una spira in un campo magnetico
1 2
3
4
vista della spira dall’alto
I
z
I
1 2
3
4
vista della spira dall’alto
I
O
z
1 2
vista della spira dall’alto
O
Coppia di forza su una spira in un campo magnetico (cont.)
2
1
vista della spira dall’alto
O
1
2 3
4
figura in 3D
z
y
x
Coppia di forza su una spira im un campo magnetico (cont.)
(18)
Coppia di forza su una spira im un campo magnetico (cont.)
I
AI
spira piano (y,z) percorsa
da una corrente I
momento magnetico
della spira di corrente
y
x
z
B
diretto come l’asse x
momento su una spira
di corrente (18’)
(19)
Sono evidenti le analogie con il dipolo elettrico
+
q
-q
dqp
I
AI
spira di corrente
)con ( dqpAI
Osservazione: N spire di corrente identiche molto vicine tra loro come quelle in figura
hanno un momento magnetico totale pari a N volte quello della singola spira.
momento magnetico della singola spira
A parità di campo magnetico e di corrente nel conduttore, il momento torcente che agisce sulla bobina
è infatti N volte piu grande che nella singola spira (le spire della bobina devono ovviamente essere
ricoperte di una guaina isolante per non entrare a contatto).
Una bobina di filo conduttore avvolta strettamente attorno a un cilindro (chiamata anche solenoide)
permette quindi di ottenere un momento magnetico molto piu grande di quello che si avrebbe
con una singola spira di corrente.
Con questo sistema si riescono ad ottenere coppie torcenti importanti anche con campi magnetici
relativamente deboli, ad esempio nelle bobine mobili dei motori elettrici, o in quella che serve a
misurare la corrente in un galvanometro di D’Arsenval (vedi dopo)
bobina di N spire
di corrente di area A (20)
Applicazione: il galvanometro di D’arseval
solenoide
vista dall’alto
Applicazione: il galvanometro di D’arseval (cont.)
(21)
La costante di proporzionalità
é una caratteristica del galvanometro che ne determina la sensibilità alla corrente. Tale sensibilità
risulta quindi essere proporzionale al numero di spire di avvolgimente N del solenoide. Galvanometri
di questo tipo arrivono al fondo scala per correnti dell’ordine del microampere
La posizione angolare della lancetta (diretta come il momento magnetico ) è quindi proporzionale
alla corrente nel solenoide del galvanometro.
sensibilità del galvanometro
A seconda di come viene inserito in un circuito, un galvanometro puo funzionare sia come misuratore
di corrente (amperometro) che come misuratore di differrenza di potenziale (voltametro). Si devono pero
Usare degli accorgimenti per evitare che la corrente nel galvanometro superi il fondo scala, come mostrato
in seguito.
(22)
Applicazione: il galvanometro di D’arseval (cont.)
Si mette il galvanometro in serie nel ramo del circuito di cui si vuole misurare la corrente, aggiungiendo
una derivazione in parallelo con una resistenza di 'shunt' rs molto piccola rispetto alla resistenza interna
del Galvanometro RG. In questo modo, nel ramo del galvanometro passa solo una piccola frazione rs/RG<<1
della corrente I che si vuole misurare e non viene superato il fondo scala del galvanometro
A
a) Utlizzo come amperometro (misuratore di corrente)
B
I
IG I rs/RG
I’ I rs
rs<<RG
RG
Derivazione per misurare la corrente I
corrente
incognita
La corrente incognita I è quindi legata alla posizione della lancetta e alla sensibilità a
del galvanometro dalla relazione
Applicazione: il galvanometro di D’arseval (cont.)
b) Utilizzo come voltmetro:
Si inserisce il galvanometro G in una “derivazione” in parallelo dai punti A e B del circuito di cui si vuole
misurare la d.d.p., aggiungendo in serie una resistenza RG molto grande in modo da non modificare
la d.d.p. tra A e B.
A B
RG>>R
Si risale alla d.d.p. incognita tra A e B misurando la debole corrente IG<< I
che attraversa il galvanometro e usando la legge di Ohm: DVAB=RG IG
I
IG
I’ I
Cenno al momento magnetico atomico
(23) corrente associata a un orbita elettronica
circolare di raggio r e velocità angolare w=v/r
(24) I
Il momento magnetico posseduto da atomi e molecole è legato alle correnti orbitali degli elettroni intorno
ai nuclei. Mostriamo ora con un modello atomico elementare che è direttamente proporzionale al momento
angolare degli elettroni. Considerando un singolo elettrone “classico” che si muove intorno a un nucleo
sotto l'azione della forza di attrazione Coulombiana (ad es. l’elettrone dell’atomo di idrogeno). Nel caso piu
semplice di un orbita circolare di raggio r e velocità angolare wv/r, l'elettrone compie un numero di giri
per unità di tempo pari a 1/T=w/2p. Si ha quindi una corrente elettronica data da
modello “classico” dell’atomo
di idrogeno (orbita circolare)
p
Cenno al momento magnetico atomico (cont.)
il momento magnetico di un elettrone
è proporzionale al suo momento angolare
I
(25)
(25’)
Un risultato fondamentale della meccanica quantisitica è che il momento angolare è una grandezza
“quantizzata”: L puo solo assumere valori discreti pari a multipli interi della costante di planck
quantizzazione di Bohr
del momento angolare (26)
Cenno al momento magnetico atomico (cont.)
Come conseguenza della quantizzazione (26) del momento angolare, anche il momento magnetico
dell’elettrone (24) puo assumere soltanto i seguenti valori discreti:
Si puo dimostrare che il momento magnetico associato al moto di “spin” dell’elettrone
risulta coincidente con il magnetone di Bohr, si ha cioè
Oltre al momento angolare “orbitale” legato alla loro moto di rivoluzione intorno al nucleo, ogni elettrone
è anche dotato di un momento angolare intrinseco S, detto momento di “spin”. Anche S é quantizzato e
puo assumere come unico valore:
momento di “spin” dell’elettrone
In una visione classica, lo spin dell’elettrone puo
vedersi come il moto di rivoluzione dell’elettrone su se
stesso (“spin” = “trottola” in inglese).
é chiamata “magnetone di Bohr”
dove la costante
spin
momento di
spin dell’elettrone
(27)
(28)
e
Bm
e
2spin
momento magnetico
associato all’ spin dell’elettrone
Cenno al momento magnetico atomico (cont.)
Negli atomi contenenti molti elettroni, il momento magnetico totale é dato dalla somma vettoriale
dei momenti magnetici orbitali e di spin. In molti casi le correnti associate ai diversi elettroni
di un atomo tendo a cancellarsi e il momento magnetico totale risulta nullo. Tuttavia gli atomi o ioni
con un numero dispari di elettroni hanno almeno un momento magnetico di spin diverso da zero a causa
della presenza di un elettrone disaccoppiato (vedi tabella per alcuni esempi).
Atomo o ione
Momento magnetico
(x 10-24 J/T)
spin elettrone
n. pari di elettroni (Z=2 e 10)
n. dispari di elettroni (61 e 73)
Effetto Hall
I
x
z
y
uniforme B
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
Caso con q < 0 (metalli)
q
diretto come l’asse z
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
Caso con q > 0
I
+ DVH
uniforme B
Effetto Hall (cont.)
I
x
z
y
uniforme B
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
Caso con q < 0 (metalli)
q
In conduzioni di equilibrio la forza dovuta al campo di Hall EH annulla la forza di Lorentz:
condizione di equilibrio
Raggiunta questa condizione, non si ha un ulteriore accumulo di cariche sulle faccie laterali del conduttore.
Effetto Hall (cont.)
I
x
z
y
uniforme B
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
Caso con q < 0 (metalli)
q
Campo di Hall in condizione di equilibrio
d
V+
V
(29)
Effetto Hall (cont.)
Esempio numerico: la d.d.p. DVH è in genere molto piccola per normali valori della corrente e del
campo magnetico. Per del rame n=8.5x1028 elettroni liberi /m3, prendendo B=1.2T, I=5A e h=1mm si
ottiene
area di una sezione del conduttore
corrente nel conduttore
o ancora
viene chiamata coefficiente di Hall caratteristico del conduttore
che è una differenza di potenziale piccola ma rilevabile sperimentalmente.
d
h
DVH
G
I uniforme B
+ + + + + + + +
dove
Effetto Hall (cont.)