Magnetooszillationen Shubnikov-de-Haas Oszillation Vera Gramich und Caroline Clement, 20.11.2008
MagnetooszillationenShubnikov-de-Haas Oszillation
Vera Gramich und Caroline Clement, 20.11.2008
Gliederung:
1. Motivation
2. Einführung
3. Voraussetzungen
4. Oszillation der Gesamtenergie
5. Shubnikov-de-Haas Effekt (SdH)
6. De-Haas-van-Alphen Effekt (dHvA)
7. Ausblick QHE
8. Zusammenfassung
1. Motivation
SdH-Oszillation
2. Einführung
Magnetooszillationen:
z.B. SdH: Widerstand xx oszilliert mit
dHvA: magnetisches Moment oszilliert mit
QHE: keine Oszillationen, sondern Peaks im Widerstand xx
B
1
B
1
Wichtig: Oszillation nicht mit B, sondern mit !!!B
1
Grund: Gesamtenergie (Fermi-Energie) oszilliert mit
jede aus der Energie ableitbare Größe oszilliert ebenfalls !!
Experimentelle Bestimmung der Fermiflächen aus diesen Effekten
B
1
Elektron muss mindestens eine Kreisbahn vollenden (klassisch)
c
dazu benötigt man: - hohes B-Feld
- lange Stoßzeit - tiefe Temperaturen T
QM: scharfe Besetzung der Energieniveaus
e-
B
3. Voraussetzungen
1TkB
c
QM :
e- durch Wellenfunktion beschrieben
„Enden“ der Wellenfunktion
müssen „aufeinander“ passen
Semiklassísche Behandlung:
Fläche und Radius der Bahn müssen quantisiert werden !!
4. Oszillation der Gesamtenergie
4.1 Bahnquantisierung im Ortsraum
Klassisch:
e- im B-Feld auf Kreisbahn
Hamiltonoperator:
Lösen der stationären Schrödingergleichung Energieeigenwerte En
Weg motiviert:
e-
.Beobachter .
Beobachter
2
ˆ2
1ˆ
A
c
qp
mH
von 2 Seiten aus gesehen 2-dim harmonischer Oszillator in x-y Ebene
Energieeigenwerte bekannt:
Quantisierte Energieeigenwerte:
2
1nE cn
Landau-Niveaus
2
1nE cn B = 0:
m
kE
2
22 B ≠ 0:
Umordnung der Zustände
Zustände bleiben aber erhalten !!
4.2 Semiklassischer Ansatz von Onsager & Lifschitz
Wie sehen die Elektronenbahnen aus?
kanon. Impuls:
Bohr-Sommerfeld-Quantisierung:
Kinetischer Term integriert:
Feldimpuls
Ac
qpp kinkan
2)( ndlpkanPhasenkorrektur
2
Kreisbahnder Fläche 2tSpatproduk
2)()(
c
qdlrB
c
qdlBr
c
qkdldlpkin
Resultat:
Fluß in Einheiten von Tm2 quantisiert !!
Feldimpuls-Term integriert:
Insgesamt erhalten wir:
Quantisierung des magnetischen Flusses:
dfrotAAdlB
2)( nc
qdlpkan
e
hcnn )( 01 e
hcnn
Flußquantum
Zwischenergebnis:
Im Ortsraum quantisierte Bahnen
Bahn hat diskrete Fläche
Quantisierung des Flusses
Wie sieht quantisierte Bahn im k-Raum aus ?
4.3 Bahnquantisierung im k-Raum
Experimenteller Befund: - Bahn in Ortsraum ~ B
- Bahn in k-Raum ~
Transformationsvorschrift:
B
1
LFBrqkF )( Integration
keB
r
Vorschrift für die Transformation der Länge eines Vektors vom Ortsraum in den k-Raum
Im k-Raum überstrichene Fläche:
Um welchen Betrag muss B zunehmen, dass 2 benachbarte Bahnen Sn-1 und Sn gleiche Flächen im k-Raum umschließen?
nn AeB
S2
Fläche im k-Raum Fläche im Ortsraum
c
e
BBS
B
nn
211
1
1
Gleiche Zunahmen von
Identische Bahnen im k-RaumB
1
Merke:
Im Ortsraum quantisierte Bahnen ~ B
Im k-Raum quantisierte Bahnen ~
Physikalische Eigenschaften oszillieren mit
Wie wirkt sich das auf die Gesamtenergie des Systems aus?
B
1
B
1
4.4 Umverteilung der Zustände im k-Raum
B = 0:
- diskrete Punkte
- Energieeigenwerte:
- 1 Zustand hat Fläche :
Dichte der Punkte:
)(22
22222
yxn kkmm
kE
22
L
2
2
L
durch 2 Quantenzahlen bestimmt!
B ≠ 0: (hohes B-Feld)
- diskrete Landau-Zylinder (3-dim)
diskrete Landau-Kreise (2-dim)
- Energieeigenwerte:
2
1nE cn
nur noch durch eine Quantenzahl bestimmt!
Umverteilung:
zu festem n:
kx2 + ky
2 = const
Zustände bleiben erhalten
Zahl der Zustände pro Quantenzahl n = Entartung:
BL
SD
2
2 0
2
Lmit
4.5 Oszillation der Gesamtenergie (qualitativ)
B = 0 B = B1 ≠ 0Zustände bis EF besetzt
Energie erhöht um ins Niveau zu kommen
Energie erniedrigt um ins Niveau zu kommen
EF(B = 0) EF(B = B1)=Gesamtenergie bleibt gleich !!
B-Feld steigt an Abstand der Landau-Niveaus wird größer
B = 0 B ≠ 0 = B2 > B1
Keine Zustände, die Energie erniedrigt haben !!!
EF( B = 0) EF( B = B2)<Gesamtenergie erhöht !!!
B = 0 B ≠ 0 = B3 > B2
Nur noch 2 Landau-Niveaus besetzt
EF( B = 0) EF( B = B3)=Gesamtenergie bleibt gleich !!!
Gesamtenergie oszilliert als Funktion von B !!
Teilweise besetzte Niveaus
vollständig besetzte Niveaus
4.6 Oszillation der Gesamtenergie (quantitativ)
Feld B0: s Landau-Niveaus besetzt; Niveau s+1 teilweise besetzt
EF liegt in Niveau s+1
B > B0: Entartung nimmt in den Niveaus s zu aus Niveau s+1 wandern Zustände in niedrigere Niveaus s wenn Niveau s+1 leer EF springt ins Niveau s !
bei bestimmten kritischen Feldern springt EF ins niedrigere Niveau !
- „kritische“ Felder, an denen EF springt:
- Gesamtenergie für Feld B:
NBsNDs sN
B
Zahl der besetzten Niveaus
Entartung
Gesamtzahl der e-
Niveausbesetzten iseder teilwe EnergieNiveaus-Landau
besetzten der voll Energie
1 2
1
2
1sDNsnDE c
s
nc
B
1B
1
Voll besetzte LN
teilweise besetzte LN
Nur voll besetzte Niveaus
Minimum der Gesamtenergie
Gesamtenergie oszilliert mit
damit oszilliert jede aus der Energie ableitbare thermodyn.
Größe auch mit
B
1
B
1
5. Shubnikov-de-Haas Effekt
Gesamtenergie oszilliert mit
Zustandsdichte oszilliert ebenfalls
elektrische Leitfähigkeit hängt ab von Zustandsdichte an Fermienergie bzw. Widerstand hängt ab von Streuprozessen nahe Fermienergie
Streuprozesse finden statt, falls Fermienergie in Landau-Niveau liegt
Widerstand oszilliert mit :
B
1
B
1
ssEs
sA
sAB
c
F
csxx
2
cosexp)sinh(
411
)(10
mitc
skTA
22
Starke Näherung: nur (s = 1)-Term
cc
Fxx
EB
1
exp2
12cos21)(
Oszillation des Widerstandes xx ~1/B
Dämpfungsterm
Die Oszillationen sind demnach periodisch mit 1/B, ihre Amplitude wird für kleiner werdendes B-Feld exponentiell gedämpft !!!
Experimentelle Bestimmung der Fermiflächen:
aus Messungen der Oszillationen des Widerstandes mit (1/B) kann man die Extremalfläche S (Fermifläche) bestimmen:
Rekonstruktion der Fermiflächen möglich !
Sc
e
B
121
6. De-Haas-van-Alphen Effekt
Gesamtenergie oszilliert mit 1/B
magnetisches Moment oszilliert ebenfalls mit 1/B, da:
B
E
7. Ausblick QHE
8. Zusammenfassung
- semiklassische Betrachtung: Bahn-Quantisierung im Ortsraum (2-dim. harmonischer Oszillator)
- Landau-Niveaus
- Fluss hat quantisierte Einheit (hc/e)
- entsprechende Bahn-Quantisierung im k-Raum, d.h. Umordnung der Zustände auf Landau-Zylinder
- mit steigendem B-Feld wird die Entartung größer
- Gesamtenergie oszilliert mit 1/B
- dann oszilliert auch jede aus der Energie ableitbare Größe mit 1/Bz.B. SDH-Effekt: Widerstand oszilliert mit 1/B dHvA-Effekt. Magnetische Moment oszilliert mit 1/B
2
1nE cn