République Algérienne Démocratique et populaire Ministère de l’Enseignement supérieur et de la Recherche Scientifique MEMOIRE Présenté Pour l’obtention du diplôme de MAGISTERE EN SIMULATION NUMERIQUE DES ECOULEMENTS DES FLUIDES Option : Thermique Et Physique De Bâtiments Par : Mr Omar ARBI LADMI Soutenue : décembre 2010 Devant le Jury : Président le jury M me BENDHINA SABEUR Amina M.C.A U.S.T.O Examinateur M r Bachir IMIN M.C.A U.S.T.O Examinateur M r Driss NEHARI M.C.A U. Mostaghanem Promoteur M r Mabrouk RABHI M.C.A U. Béchar Co-Promoteur M r Rachid TAIBI M.A.A U. Béchar Etude numérique du transfert thermique dans les systèmes à mur capteur-accumulateur Université de Béchar Université des sciences et de la technologie d’Oran « Mohamed Boudiaf »
164
Embed
MAGISTERE EN SIMULATION NUMERIQUE DES ECOULEMENTS DES …
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
République Algérienne Démocratique et populaire Ministère de l’Enseignement supérieur et de la Recherche Scientifique
MEMOIRE Présenté
Pour l’obtention du diplôme de
MAGISTERE EN SIMULATION NUMERIQUE
DES ECOULEMENTS DES FLUIDES
Option : Thermique Et Physique De Bâtiments
Par : Mr Omar ARBI LADMI
Soutenue : décembre 2010 Devant le Jury :
Président le jury Mme BENDHINA SABEUR Amina M.C.A U.S.T.O Examinateur Mr Bachir IMIN M.C.A U.S.T.O Examinateur Mr Driss NEHARI M.C.A U. Mostaghanem Promoteur Mr Mabrouk RABHI M.C.A U. Béchar Co-Promoteur Mr Rachid TAIBI M.A.A U. Béchar
Etude numérique du transfert
thermique dans les systèmes à mur
capteur-accumulateur
Université de Béchar
Université des sciences et de la technologie d’Oran « Mohamed Boudiaf »
Avant tout nous remercions mon dieu
D’avoir m’aider à finir mes études
J'adresse à tous mes sincères remerciements à monsieur le professeur de l’U. de
Bechar DRAOUI BELKACEME directeur de laboratoire d’énergétique en zone Arides
(ENERGARID), à qui j’exprime mes vifs remerciements pour ces conseils et ces
encouragements et pour sa disponibilité et qui m’a permis de mener à bien ce travail.
Le présent travail a été réalisé au Laboratoire d’université de Béchar
(ENERGARID), sous la direction de monsieur TAIBI. Rachid et monsieur REBHI
Mabrouk Qu’ils me soit permis de luis exprimer ma profonde gratitude et mes
sincères remerciements de m’avoir guidé et encouragé tout au long de ce travail.
Madame S.BENDHINA, maître de conférences à U.S.T. Oran m’a fait l’honneur
d’accepter la présidence du jury, malgré ses multiples occupations, qu’il veuille
trouver ici, l’expression de ma gratitude pour l’intérêt qu’il a porté à mon travail.
Je suis très sensible à l’honneur que me fait monsieur IMIN Bachir, maître de
conférences à l’U.Béchar, en acceptant, malgré ses nombreuses charges, de participer à
ce jury.
Je suis extrêmement reconnaissant à monsieur NEHARI DRISS, maître de
conférences à l'U. Mostaghaneme, et je le remercie d’avoir bien voulu accepter de juger
ce travail.
Enfin, je ne saurais oublier mes collègues du laboratoire, et tous mes amis qui, aux
diverses circonstance ces, m’ont apporté leur aide dans le déroulement de ce travail.
Il n’est pas convenable, en ce moment de présenter mes
dédicaces
À
Mes chers parents qui je prie dieu à les gardes pour moi
Mes frères et sœurs, et les petits
Tous mes proches,
Tous mes amis,
Tous ceux qui m’ont aidé et encouragé.
Résumé
Le secteur du logement porte une part non négligeable des responsabilités dans
la consommation d’énergie et dans la pollution que cela engendre. Il y a donc lieu
d’élaborer des stratégies qui ont recours à la sobriété, l’efficacité et la renouvelabilité
énergétique. Le mur Trombe est un système simple et intéressent de captage de
l’énergie solaire. Il est constitué d’un mur vertical en maçonnerie lourde orienté vers le
sud et muni de deux orifice permettant la circulation de l’air entre le local et la serre
formée par la surface réceptrice du mur et le vitrage qui le précède. Dans le présent
travail ont étudie numériquement le phénomène de convection mixte dans un système
de murs capteur‐accumulateur utilisés dans les systèmes de chauffage et ventilation
passifs des logements. Notre but étant d’améliorée les performances thermiques
(nombre de Nusselt) de ce mur qui dépendent de plusieurs paramètres, à savoir :
nombres de Rayleigh, Reynolds et Richardson, l’épaisseur de la paroi solide (mur), les
dimensions des ouvertures (orifices), le rapport des conductivités thermique air/mur et
le facteur de forme. La simulation numérique est basée sur trois algorithmes venant de
la méthode de volumes finis. Un code numérique généralisé en langage FORTRAN 6.6 a
été élaboré, qui permettra de résoudre les équations de Navier‐Stokes pour les
coulements visqueux incompressibles ainsi que la convection‐diffusion d’un scalaire. é
Tableau (IV.3) : Les paramètres utilisés pour la simulation numérique………………… 98
LISTE DES TABLEAUX
NOMENCLATURE
Chaleur sp constante. PC écifique du fluide à pression J k ‐1 g‐1 K
g Accélération de la pesanteur m s‐2
rK Rappor mique t de la Conductivité ther San sion s dimen
λ Conductivité thermique W.m .K‐1 ‐1p Pression Pa
P Pressi nelle on adimension Sans dimension
T Température °C
θ Températur ensionnelle e adim Sans dimension
t temps s
τ temps adimensionnelle Sans dimension vu, Composantes du vecteur vitesse m.s‐1
VU , Co e mposantes adimensionnelles du vecteur vitess Sans dimension
VU ′′, correction ur vitesse des composantes de vecte Sans dimension
yx, Cordonnées cartésiennes m
YX , Cordonnée sionnelles s cartésiennes adimen Sans m nsion di e
α Diffusivité thermique m2.s‐1
υ Viscosité cinématique m2.s‐1
Γ Coe on fficient de diffusi Sans sion dimen
ρ Masse volumique Kg.m ‐3
q ′′ flux solaire w ‐2 .m
0U vitesse d’entrée m.s‐1
Nomenclature
0T Température de référence °C
TΔ Différ ence de température λHqT ′′=Δ Sans dimension
Pr Nombre de Prandtl αυ=Pr Sans dimension
Ra Nombre de Rayleigh fHqgRa ′β υαλ4′= Sans dimension
Re Nombre de Reynolds υHU 0Re = Sans dimension
Nu Nombre de Nusselt moyen Sans dimension
Ri Nombre de Richardson υHURe 0= Sans dimension
P′ Corre sion ction de pres Sans dimension
τΔ Pas de temps S
La première crise pétrolière du début des années 1970 a totalement modifié le
rapport des pays occidentaux avec l'énergie. L'énergie, abondante et bon marché, est
devenue un bien rare et cher. Les efforts ont été concentrés, d'une part sur la baisse du
coût de l'énergie, et d'autre part sur la réduction de la consommation énergétique.
Ensuite les préoccupations environnementales, ainsi que la prise de conscience du
caractère fini des énergies fossiles ont pris une part croissante dans la gestion
énergétique mondiale. Le réchauffement climatique global, dû aux émissions de gaz à
effet de serre, et plus particulièrement au CO2 provenant de la combustion des énergies
fossiles. La raréfaction des ressources mondiales en énergie fossile, bien que la date de
la fin du pétrole ne soit pas l'objet d'un consensus, est un phénomène qui va
nécessairement favoriser la hausse du coût de l'énergie. Ces deux facteurs obligent à
repenser à l'utilisation et la production de l'énergie.
Le secteur du logement porte une part non négligeable des responsabilités dans
la consommation d’énergie et dans la pollution que cela engendre. Il y a donc lieu
d’élaborer des stratégies qui ont recours à la sobriété, l’efficacité et la renouvelabilité
énergétique.
Sur le plan technique, le principe de base de maisons passives est de limiter les
pertes énergétiques avant toute chose. Les facteurs clés sont donc l’isolation thermique,
l’étanchéité à l’air et à la ventilation. Il n’est donc pas question de technologie
sophistiquée mais juste d’une optimisation de principes déjà existants. La bonne gestion
INTRODUCTION GENRALE
Introduction Générale Page | 2
de ces facteurs permet de se passer du système de chauffage traditionnel : la norme
impose un maximum de 15kWh/m².an.
L’utilisation de l’énergie solaire dans le domaine de l’habitat pour réduire sa
consommation énergétique a fait l’objet de plusieurs études. Une technique de chauffage
se basant sur un système de captation solaire, de stockage et de restitution de la chaleur
a été développée au C.N.R.S (France) par le Professeur Trombe.
Le mur Trombe est un système simple et intéressent de captage de l’énergie
solaire. Il est constitué d’un mur vertical en maçonnerie lourde orienté vers les sud et
muni de deux orifices permettant la circulation de l’air entre le local et la serre formée
par la surface réceptrice du mur et le vitrage qui le précède.
Le mur transmet l’énergie solaire captée par les trois moyens de transfert de
chaleur, une partie est transmise par conduction à travers le mur qui la restitue à
l’intérieur du local par convection, la deuxième partie se transmet par circulation de l’air
chaud se trouvant dans la cheminée solaire à travers les orifices. Alors que la troisième
se transmet par rayonnement.
Toute différence de température au sein du fluide, liquide ou gaz, modifie sa
densité et un mouvement de brassage apparaîtra. Ce mouvement dans lequel les parties
les plus chaudes du fluide ont tendance à s’élever et les parties froides et denses à
descendre, s’appelle convection. C’est le phénomène observé entre un fluide en
mouvement et une paroi, phénomène principal dans la plupart des échangeurs de
chaleur.
Même si les trois processus peuvent avoir lieu simultanément, l’un des
mécanismes est habituellement prépondérant. Parmi eux, les échanges convectifs
assurent une part prépondérante du transfert de chaleur, puisque les phénomènes de
convection sont omniprésents dans la vie quotidienne.
Il existe plusieurs sortes de convection : naturelle (ou libre), forcée et mixte. La
convection est dite naturelle quand elle se déclenche et se poursuit spontanément due à
des différences de températures qui à leur tour engendrent des différences de densité au
sein de la masse fluide.
Introduction Générale Page | 3
La convection forcée est obtenue en soumettant le fluide à une augmentation de
pression par des moyens mécaniques comme des pompes ou des ventilateurs. Enfin,
lorsque les sources thermiques (convection naturelle) et les sources mécaniques
(convection forcée) coexistent avec des ordres de grandeur comparables, nous sommes
en présence de la convection mixte. Rigoureusement, nous pouvons affirmer que la
convection naturelle et la convection forcée sont les deux cas particuliers de la
convection mixte.
La convection mixte peut être soit aidée (ou favorable) quand les effets de la
convection libre et de la convection forcée sont dans le même sens soit contrariée (ou
défavorable) quand les effets de la poussée d’Archimède et le mouvement du fluide
imposé par un système mécanique s’opposent. Par exemple, dans un canal vertical, nous
rencontrons la convection mixte aidée lorsque l’écoulement ascendant est chauffé ou
lorsque l’écoulement descendant est refroidi sur une partie du tube. Au contraire, quand
l’écoulement ascendant est refroidi ou l’écoulement descendant est chauffé, on se
retrouve dans le cas classique de convection mixte contrariée.
L’étude, présentée dans ce travail, s’inscrit dans le cadre de la modélisation
numérique en utilisant la technique CFD de la convection mixte appliquée au mur
Trombe. Notre but étant d’améliorée les performances thermiques (nombre de Nusselt)
de ce mur qui dépendent de plusieurs paramètres, à savoir : nombres de Rayleigh,
Reynolds et Richardson, l’épaisseur de la paroi solide (mur), les dimensions des
ouvertures (orifices), le rapport des conductivités thermique air/mur et le facteur de
forme.
Ce mémoire est composé de quatre chapitres dont le premier chapitre est consacré
à une généralité et revue bibliographique : une synthèse bibliographique des travaux
théoriques, expérimentaux et numériques traitant la convection thermique dans les
systèmes solaire passive, pour diverses configurations (cavité, canal et tube) et pour
différentes conditions aux limites qui ont développées.
Le modèle physique choisi, les équations gouvernantes ainsi que les conditions aux
limites associées constituent le deuxième chapitre.
Introduction Générale Page | 4
Le troisième chapitre abordera la résolution numérique des équations de Navier‐
stokes par la méthode de volume finis, représenté par trois algorithmes différents à
savoir:
1‐ Schéma à pas de temps fractionnaire sur un maillage triangulaire non structurés
décalée.
2‐ basée sur l’application de l’algorithme de correction de pression (SIMPLE) sur un
maillage triangulaire non structuré semi décalée.
3‐ L’ algorithme SIMPLE lié à un maillage Co‐localisés.
Un code numérique généralisé en langage FORTRAN 6.6 a été élaboré, qui
permettra de résoudre les équations de Navier‐Stokes pour les écoulements visqueux
incompressibles ainsi que la convection‐diffusion d’un scalaire.
Le quatrième chapitre regroupe les résultats essentiels de cette étude : lignes de
courant, les isothermes, le champ de vitesse et Nusselt sont bien présentés et commentés.
Nous achevons ce travail par une conclusion qui résume les principales
recommandations à retenir lorsqu’ on applique l’énergie solaire passif dans le secteur de
l’habitat.
I.1 Généralité
Par définition, les énergies dites renouvelables sont potentiellement inépuisables. La
nature peut les reconstituer assez rapidement, contrairement au gaz, au charbon et au
pétrole, dont les réserves, constituées après des millions d'années, sont limitées. Les
énergies : solaire, éolienne, hydraulique, géothermique et de biomasse en sont les formes
les plus courantes.
Au monde, les énergies (solaire, éolienne, hydraulique et de biomasse) sont les plus
exploitables. L'énergie lumineuse du Soleil peut être convertie en électricité grâce à des
générateurs photovoltaïques capables d'alimenter une multitude d'appareils électriques.
L'énergie du Soleil (lumière, chaleur, rayonnement ultraviolet) peut être transformée en
chaleur à l'aide de convertisseurs héliothermiques. La chaleur produite peut chauffer de
l'eau ou l'intérieur des bâtiments. On peut exploiter la force du vent et de l'eau en
mouvement pour faire tourner des turbines électriques. Les arbres produisent du bois de
chauffage et des matériaux de construction ; des céréales telles que le maïs et le blé peut,
après fermentation, produire de l'éthanol, un combustible que l'on peut utiliser pour
alimenter les automobiles.
GENERALITES ET REVUE
BIBLIOGRAPHIQUE
Généralités et Revue Bibliographique Page | 6
Les énergies renouvelables sont exploitées depuis très longtemps. Jusqu'au milieu
du dix‐neuvième siècle, le bois et la tourbe étaient les principales sources d'énergie. En
Europe et en Amérique du Nord, durant la Révolution industrielle, de nombreuses
manufactures devaient leur existence à un cours d'eau capable de leur fournir de l'énergie.
Les combustibles fossiles, principalement le charbon et le pétrole, se sont imposés dans les
usines uniquement dans la seconde partie du dix‐neuvième siècle, après l'avènement du
moteur à vapeur. À partir de ce moment‐là, les industriels, n'étant plus obligés de
construire leur usine près d'un cours d'eau, ont pu s'établir à proximité de leurs marchés,
des sources de matières premières et des ports maritimes.
Trois facteurs militent en faveur des énergies renouvelables :
La sauvegarde de l'environnement
L'épuisement inévitable des ressources limitées de la planète.
Les considérations économiques.
Les énergies renouvelables ne peuvent pas remplacer dès aujourd'hui toutes les
énergies conventionnelles, mais elles peuvent suppléer l'énergie produite par les services
publics et enrichir la gamme des énergies exploitées à l'heure actuelle. Le changement
climatique attribuable à la pollution, et à ses effets sur le milieu naturel, est au premier rang
des préoccupations environnementales depuis le Sommet de la Terre, qui a eu lieu à Rio de
Janeiro, en 1992. En outre, les deux crises du pétrole des années 70 ont contraint les pays
industrialisés à bien examiner l'emploi qu'ils font de leurs ressources et à prendre des
mesures pour ne plus dépendre quasi uniquement des hydrocarbures pour leurs besoins en
combustibles. Ces pays entreprennent des recherches poussées pour trouver des substituts
écologiques aux combustibles fossiles.
Les progrès techniques réalisés au cours des vingt dernières années se sont traduits
par une nette amélioration du rapport coût‐efficacité des applications auxquelles se prêtent
les énergies renouvelables. Sur une petite échelle, toutefois, les énergies renouvelables ne
sont pas concurrentielles comparativement à la production en bloc d'énergie. Elles ont
Généralités et Revue Bibliographique Page | 7
cependant des applications pratiques dans plusieurs créneaux novateurs (biens de
consommation et télécommunications, par exemple). Le coût des techniques diminuera
lorsqu'un pourcentage important de la population aura pris conscience des bienfaits des
énergies renouvelables, notamment sur les plans de la conservation des ressources et de la
prévention de la pollution.
L'atmosphère terrestre agit un peu comme le vitrage d'une serre : la lumière solaire
peut la traverser, mais la chaleur qui en résulte ne peut s'échapper. Le dioxyde de carbone
et d'autres gaz emprisonnent particulièrement bien la chaleur. Lorsqu'on brûle du charbon,
du pétrole et des gaz naturels, on augmente la quantité de dioxyde de carbone libérée dans
l'atmosphère et, par conséquent, la température moyenne de la planète. L'utilisation accrue
des énergies renouvelables devrait réduire le besoin des centrales fonctionnant aux
combustibles fossiles, grandes productrices de gaz à effet de serre.
I.1.1 Énergie solaire
L'homme utilise l'énergie solaire depuis l'antiquité. Archimède aurait fait brûler les
navires romains assiégeant Syracuse en focalisant les rayons du Soleil sur leurs voiles à
l'aide de 70 miroirs.
Au XVIIIème siècle, le chimiste français Antoine Laurent de Lavoisier crée un four
solaire permettant d'atteindre une température de 1755°C. En 1872, un distillateur solaire
de 5000 m2 est construit au Chili pour produire 20 000 litres d'eau douce par jour et en
1878, le professeur de mathématiques Augustin Mouchot crée une machine solaire à vapeur
qui sert à actionner l'imprimerie de l'Exposition Universelle.
A cette époque, l'énergie solaire n'est pas développée car elle n'est pas assez
rentable par rapport aux énergies fossiles. Il faut attendre 1954 et la conquête spatiale pour
voir apparaître les premières cellules photovoltaïques. D'abord construites pour alimenter
les satellites, elles ne seront utilisées dans le civil que plus tard, lors de la crise du pétrole.
Généralités et Revue Bibliographique Page | 8
L'énergie solaire est aujourd'hui utilisée pour produire de l'électricité (à des fins
industrielles ou domestiques), pour chauffer les habitations ou encore pour dessaler l'eau
de mer.
I.1.2 Chauffage solaire passif
Le chauffage solaire passif fonctionne comme suit : l'énergie lumineuse du Soleil qui
pénètre à l'intérieur des pièces par les fenêtres est absorbée par les murs, les planchers et
les meubles, puis libérée sous forme de chaleur. Pour exploiter au maximum les bienfaits du
Soleil, les fenêtres doivent être en plein sud ; on obtient cependant des résultats acceptables
à l'intérieur d'un angle de 30 degrés de part et d'autre du sud. Une fois que la chaleur
pénètre à l'intérieur du bâtiment, on utilise plusieurs techniques pour la distribuer.
Pour capter efficacement l'énergie solaire, l'aire des fenêtres doit idéalement
représenter environ 8% de la surface de plancher. Ce pourcentage semble bien petit, mais il
faut se rappeler qu'il est établi par rapport à la superficie des planchers, qui est beaucoup
plus grande que la superficie des murs. D'ailleurs, la prévention d'un chauffage excessif
pose toujours un défi.
Une fois la chaleur captée, il faut la conserver le plus possible, d'où l'importance d'une
bonne isolation. Dans les bâtiments conventionnels, une bonne part de la chaleur s'échappe
par les fenêtres, même les fenêtres à double vitrage. C'est pourquoi les bâtiments qui
exploitent l'énergie solaire emploient des fenêtres ultra‐isolantes. Serties dans un cadre
isolant, ces fenêtres sont caractérisées par un triple vitrage scellé avec cales d'espacement
isolant ; l'espace entre les panneaux est rempli d'un gaz inerte, et le verre est traité d'un
revêtement à faible émissivité. De telles fenêtres peuvent réduire les pertes de chaleur de
50 à 75%. Les fenêtres éco‐énergétiques permettent de conserver efficacement la chaleur
solaire et de réduire au minimum l'emploi d'appareils de chauffage. Il suffit souvent d'un
simple ventilateur de plafond ou du ventilateur d'un générateur pulser d'air chaud (le
brûleur étant bien entendu hors fonction) pour distribuer la chaleur dans les pièces. Une
bonne isolation thermique permet à l'énergie solaire de fournir jusqu'à 25% de la chaleur
requise.
Gén
cons
abso
et irr
utilis
mort
paro
maço
un fe
néralités et
Les mat
server la ch
orber l'éner
radier l'éne
se de préfé
tier d'arase
oi de Placo
onnerie. Le
eu de bois i
Revue Bib
ériaux des
haleur apr
rgie, préven
ergie therm
érence des
ement ; on
oplatre. On
es briques e
intense, ma
bliographiq
murs et de
ès la tomb
nir le chau
mique petit
s pierres o
utilise pou
n peut en
et les pierr
ais de court
Figur
que
es plancher
bée du jour
ffage exces
t à petit ap
ou des carr
ur les murs
outre insta
res du foye
te durée, et
re(I.1) : cha
rs aident à
r. Ils doive
ssif durant
rès la tomb
reaux de ca
une paroi
aller, à un
r absorben
t la libère le
auffage pas
à prévenir l
ent avoir u
les heures
bée du jou
arrière éte
continue d
n endroit c
nt l'énergie
entement d
ssive
le chauffag
une certain
s de grand a
r. Pour les
endus sur
de briques o
central, un
thermique
dans la pièc
Page | 9
e excessif e
e masse p
apport sola
planchers,
un sol fait
ou une dou
foyer fait
e produite
ce.
et à
our
aire
, on
t de
uble
en
par
Généralités et Revue Bibliographique Page | 10
I.1.3 Le mur TrombeMichel :
Il doit son nom au Professeur Félix Trombe, célèbre pour ses travaux sur les fours
solaires, et à l'architecte Jacques Michel, qui ont tous deux participé à son élaboration.
Le mur Trombe‐Michel est un système directement incorporé au mur d'une maison.
Une des parties d'un mur extérieur est remplacé par du double vitrage derrière lequel est
situé un mur de béton (le mur de béton se trouve donc dans la maison).
Figure(I.2) : schéma de principe d’un mur Trombe‐Michel
C'est encore le principe de l'effet de serre qui est utilisé ; le mur capte la chaleur et en utilise
une partie pour chauffer l'air situé entre le mur de béton et le double vitrage. L'air chaud
étant moins dense que l'air froid, il monte. C'est cette circulation qui assure le chauffage de
Généralités et Revue Bibliographique Page | 11
la maison (dans la pièce, l'air froid est chassé par l'air chaud entre le mur et le double
vitrage).
L'épaisseur du mur est telle qu'elle permet de conserver une partie de la chaleur
absorbée durant le jour et de la restituer plus tard (la nuit par exemple). Donc le chauffage
se fait :
• soit directement par l'air ;
• soit par rayonnement lent (infrarouge) : le mur transmet lui‐même par rayonnement
IR à l'air de la maison une partie de la chaleur qu'il a reçue du soleil.
Il est important de préciser que ces systèmes sont dans la plupart des cas complétés par un
système d'appoint (résistance placée dans le chauffe‐eau ou chauffage classique) afin de
compléter si nécessaire les besoins énergétiques.
I.1.4 maison passive
Les maisons passives sont des bâtiments qui assurent un climat intérieur confortable
en été comme en hiver sans avoir recours à un système conventionnel de chauffage ou de
refroidissement.
Le terme de maison « passive » a été choisi principalement parce que l’usage « passif »
des énergies ambiantes (rayonnement solaire à travers les vitrages) et des sources de
chaleur internes (appareils et habitants) suffit à maintenir dans le bâtiment une
température intérieure agréable durant toute l’année.
La norme « maison passive » offre donc une manière intéressante de réduire au
minimum la demande énergétique des nouveaux bâtiments, répondant ainsi à l’objectif de
durabilité. Sur cette base, il est possible de satisfaire la demande énergétique restante
uniquement à partir de sources d’énergie renouvelables.
Généralités et Revue Bibliographique Page | 12
Les deux grands principes d’une maison passive sont les suivants :
1. Optimiser les conditions de base : Dans une maison passive, on rend plus performant
des composants qui sont de toute façon indispensables : l’enveloppe du bâtiment,
les fenêtres et la ventilation. L’efficacité thermique de ces composants est améliorée
jusqu’au point où un système de chauffage conventionnel n’est plus nécessaire.
L’appoint nécessaire est amené par la récupération de la chaleur de l’air vicié.
2. Minimiser les pertes : La chaleur disponible dans un bâtiment est gardée à l’intérieur
du bâtiment aussi efficacement que possible, ce qui implique une très bonne
étanchéité. Les calculs réalisés d’après des modèles théoriques et de nombreux
exemples construits prouvent que, dans nos conditions climatiques, une stratégie
qui vise à réduire les pertes de chaleur est plus efficace qu’une stratégie qui se
concentre principalement sur l’utilisation passive ou active de l’énergie solaire.
I.1.4.1 Apports gratuits :
Même si la vocation première d’une maison passive n’est pas de maximaliser les
apports d’énergie mais plutôt de minimiser les pertes, il est clair que les apports gratuits
internes ou solaires ne sont pas à négliger. Le soleil intervient pour dispenser lumière et
chaleur. Une orientation adaptée aux contraintes du bâtiment permet ainsi de réduire les
consommations de chauffage et d'éclairage. La qualité du vitrage a aussi son importance. En
effet, la température intérieure d’un bâtiment non occupé et non chauffé peut augmenter de
quelques degrés uniquement grâce à la chaleur du soleil captée par les vitres. Il faut donc
des vitres qui captent le plus possible de chaleur mais qui évitent également les
déperditions. En été, on veillera à pouvoir protéger les fenêtres des rayons du soleil.
Dans les climats tempérés, les déperditions thermiques des bâtiments dus aux
différences de température entre l'ambiance intérieure (stable) et les conditions
extérieures (variables), se font principalement par conduction au droit de l'enveloppe du
bâtiment. L'architecte cherche à minimiser la surface de déperdition tout en maximisant le
volume habitable, ce qui se traduit par une forte compacité.
Généralités et Revue Bibliographique Page | 13
A cet égard, une situation urbaine entre mitoyens est évidemment assez intéressante et
contribue à une meilleure compacité car les deux murs mitoyens sont nettement moins
déprédatifs.
Une partie des apports gratuits en chaleur dans un bâtiment provient de son
occupation. Par occupation, on entend l’utilisation de l’éclairage artificiel, de l’eau chaude
sanitaire et des appareils électroménagers ainsi que la présence même des occupants.
Ces apports résultent en réalité notamment du fait que l’électricité consommée
par les appareils électroménagers et par l’éclairage artificiel est finalement dissipée sous
forme de chaleur (incontrôlée) au sein du bâtiment.
Dans une maison passive, l’impact des apports internes est beaucoup plus important
que dans une maison conventionnelle.
I.1.4.2 isolation thermique :
Compte tenu de l’installation de récupération de chaleur sur la ventilation, les
déperditions thermiques restent principalement dues aux parois de l’enveloppe. Les
éléments opaques de l’enveloppe (murs, toits, sols) restent responsables de 50 % des
pertes de chaleur.
Bien isoler pour maintenir ces déperditions aussi basses que possible est donc
indispensable au bon fonctionnement des maisons passives. Sinon, la demande de chaleur
devient trop importante et la ventilation ne suffit plus à distribuer l’appoint.
L’isolation vise également à garantir le confort thermique des habitants en assurant aux
parois des températures de surface élevées. En effet, lorsque la température surfacique des
parois présente une différence de plus de 3°C avec la température ambiante de la pièce, une
sensation d’inconfort apparaît.
Le coefficient de transmission globale (U) de l’enveloppe du bâtiment doit être inférieur
ou égal à 0,15 W/m².K (0,1 W/m².K conseillé) pour respecter le critère « maison passive ».
Généralités et Revue Bibliographique Page | 14
Il est clair qu’un U moyen aussi faible ne peut être obtenu qu’avec des matériaux
performants, sous peine d’avoir une beaucoup trop grosse épaisseur d’isolant.
De tous les composants de l’enveloppe, la fenêtre est l’élément le plus critique à cause
de ses multiples fonctions : outre ses qualités d’isolation, elle doit permettre la vue vers
l’extérieur, être ouvrable et pouvoir se fermer parfaitement, et en plus, elle doit aussi capter
un maximum d’énergie solaire. Dans une maison passive, le U maximum est seulement de
0,8 W/ (m².K) !
Un coefficient U aussi bas peut seulement être atteint grâce à un triple vitrage. L’espace
entre les vitres est rempli de gaz nobles tel que l’argon, afin de réduire le transfert de
chaleur par convection.
Le degré d’isolation du châssis en lui‐même est un autre facteur important. Il convient
d’avoir un châssis absolument sans pont thermique.
Les déperditions par les parois sont la principale source de perte de chaleur dans les
maisons passives. Ces pertes sont enregistrées au droit des parois, bien entendu, mais aussi
et surtout, aux coins, aux bords, aux jonctions et aux articulations. Tous ces détails
constituent les points faibles de l’isolation. D’une part, les ponts thermiques déforcent
l’isolation et, d’autre part, ils favorisent l’apparition de condensation sur les parois
intérieures, d’où un risque de formation de moisissures. L’importance relative des pertes
dues aux ponts thermiques augmente en même temps que le niveau d’isolation générale.
Dans le cas d’une maison passive, le niveau de performance de l’isolation est très élevé : les
ponts thermiques ont donc des conséquences importantes et sont à éviter au maximum.
Généralités et Revue Bibliographique Page | 15
I.1.4.3 ventilation :
Il pourrait paraître contradictoire d’isoler parfaitement la maison pour ensuite
l’aérer « artificiellement ». Il n’en est rien. L’isolation thermique et la ventilation sont deux
choses bien distinctes et ont des fonctions différentes. Il est vrai cependant qu’une bonne
isolation ne peut être mise en œuvre qu’avec un bon système de ventilation car l’isolation
d’un bâtiment, quand elle est bien faite, le rend toujours plus étanche à l’air.
Or, si l’air vicié n’est pas évacué et remplacé par de l’air frais, des problèmes
d’humidité, de condensation et de moisissures se poseront immanquablement. Cependant,
ceux‐ci ne seront pas dus à une isolation excessive, mais à un défaut de ventilation.
Un air de bonne qualité est l’une des exigences fondamentales nécessaires à un
climat intérieur sain, que ce soit dans une maison passive ou dans une maison «
conventionnelle ». La ventilation permet l’évacuation des substances nocives par un
renouvellement de l’air. Il est aussi possible de placer des filtres directement à l’entrée de
l’air frais.
D’une bonne ventilation couplée à une température surfacique élevée découle un
autre avantage : celui d’éviter la condensation et donc les moisissures. L’air ambiant
contient de la vapeur d’eau qui se condense au contact des parois plus froides, puisque l’air
y est plus frais et ne peut donc contenir qu’une plus faible quantité de vapeur. Comme, dans
une maison passive, la température des parois est proche de la température ambiante, ce
phénomène risque donc beaucoup moins de se produire.
Pour assurer le renouvellement d’air nécessaire, il faut pouvoir contrôler la
ventilation ; de plus une ventilation trop importante constitue aussi une perte d’énergie.
Enfin, la ventilation « à l’ancienne » par les inétanchéités de l’enveloppe du bâtiment est
trop aléatoire.
Généralités et Revue Bibliographique Page | 16
I.1.4.5 étanchéité à l’air :
Une excellente herméticité de l’enveloppe du bâtiment est une condition vitale pour
une maison passive. En effet, sans une parfaite étanchéité, ni l’isolation, ni la ventilation ne
peuvent être réellement efficaces.
En ce qui concerne l’isolation thermique, il semble évident que s’il existe des fuites
d’air, c’est une perte de chaleur prévisible. De plus, les isolants thermiques ne sont pas du
tout hermétiques, l’air y circule même facilement dans certains cas (laine minérale,
cellulose), créant des courants de convection qui nuisent au bilan énergétique global du
bâtiment.
Pour ce qui est de la ventilation, une mauvaise étanchéité induit des courants d’air
involontaires et incontrôlables qui perturbent le système et peuvent même changer le sens
du flux, ce qui n’est évidemment pas souhaitable.
Pour éviter les fuites, le principe est simple en théorie : il suffit de garantir une enveloppe
hermétique par une mise en œuvre soignée. Dans un projet en maçonnerie pleine, cela se
traduit par exemple par un plafonnage continu et des raccords minutieux aux fenêtres.
I.1.5 conclusion :
Matériellement et techniquement, construire des maisons passives n’est pas une
utopie. Les techniques et les matériels sont au point depuis longtemps et il existe de
nombreuses réalisations dans différents pays européens ; ces pays se caractérisent souvent
par des climats plus continentaux et plus contrastés que celui que nous connaissons en
Algérie ; la maison passive est donc aussi une solution technique applicable chez nous.
Et si, actuellement, l’aspect économique ne joue pas toujours en faveur de la maison
passive (certains projets restent plus onéreux, même à long terme, qu’une maison
conventionnelle), l’augmentation prévisible des dépenses énergétiques va petit à petit
renforcer l’attrait des maisons passives du simple fait de leur faible consommation
d’énergie.
Généralités et Revue Bibliographique Page | 17
I.2 Revue bibliographique
La convection mixte en régime permanent dans les écoulements internes a suscité
ces dernières décennies un intérêt considérable qui se traduit par la production d’une
bibliographie abondante, en raison de nombreuses applications qui concernent par
exemple les échangeurs de chaleur compacts, les collecteurs solaires, le refroidissement des
composants électroniques. D’autre part, la compréhension des phénomènes physiques
inhérents à l’interaction de la convection libre et forcée constitue en soi un objectif très
important.
Par contre, le phénomène de convection mixte en régime variable est encore un
thème peu étudié. On trouve rarement dans la littérature des études portant sur les
structures dynamiques et thermiques de l’écoulement dans un tube vertical en convection
mixte, lorsque l’entrée est soumise à des conditions aux limites variables.
La convection mixte instationnaire en conduite joue un rôle important dans de
nombreuses applications industrielles concernant aussi bien la sécurité des centrales
nucléaires que la régulation des équipements du bâtiment. Dans le cadre de l’étude de la
convection forcée les effets de la gravité sont ignorés, mais en convection naturelle ce sont
eux qui nous intéressent. Généralement, la convection forcée cohabite avec la convection
libre. Le régime d’échange résultant de cette coexistence est appelé convection mixte ou
combinée.
Au départ, les chercheurs ont utilisé des modèles analytique comme ceux basés sur
l’analogie électrique mais, ces dernières années, le développement spectaculaire des
ordinateurs et des techniques d’analyse numérique a permis de modéliser les phénomènes
de convection à partir des équations complètes de Navier‐Stokes, lorsque les conditions aux
limites ne sont pas très complexes. La première approche a quand même un désavantage :
elle ne permet pas d’observer les zones de recirculation et par conséquent, les simulations
sont souvent limitées pour des grands nombres de Grashof.
Généralités et Revue Bibliographique Page | 18
La résolution d’un problème en mécanique des fluides anisotherme n’est possible
que si l’on associe des hypothèses simplificatrices. Après Zeytounian [1], entre 1901 et
1903, Gauthier‐Villars éditait à Paris le traité de Joseph Boussinesq intitulé : « Théorie
Analytique de la Chaleur» dans laquelle on retrouve le fragment suivant :
«…il fallait encore observer que, dans la plupart des mouvements provoqués par la
chaleur sur nos fluides pesants, les volumes ou les densités se conservent à très peu près,
quoique la variation correspondante du poids de l’unité de volume soit justement la cause des
phénomènes qu’il s’agit d’analyser. De là résulte la possibilité de négliger les variations de la
densité, là où elles ne sont pas multipliées par la gravité g, tout en conservant, dans les calculs,
leur produit par celleci ».
Cela conduit à l’hypothèse la plus utilisée en convection naturelle ou mixte et qui
s’appelle « l’approximation de Boussinesq ». Cela signifie que la masse volumique est
supposée constante sauf dans le terme de gravitation de l’équation de quantité de
mouvement.
La littérature nous révèle que la grande majorité des études théoriques sur la
convection mixte interne se limite à des situations particulières. En effet, dans ces travaux
sont généralement employés différents types de conditions aux limites à la paroi :
température ou flux imposée (constante ou variable).
D.J. Harris, N. Helwig [2] : Cette étude porte sur la conception d'une cheminée solaire
pour provoquer une ventilation dans un bâtiment. Ils Ont utilisé la modélisation CFD pour
évaluer l’influence de l'angle d'inclinaison et double vitrage sur le taux de ventilation. Il a
été constaté que l’angle d'inclinaison de 67,5° sur l'horizontale est optimal pour
l'emplacement choisi, en augment le rendement de 11% que la cheminée verticale, et que
augment aussi de 10% en utilisant des surface a émissivité faible.
Z.D. Chen et all [3] : Ont effectué des expériences en utilisant un modèle de cheminée
solaire expérimentale avec un flux de chaleur uniforme, et de facteur de forme variable
entre 1:15 and 2:5 et de différents angles d'inclinaison. Les résultats ont montré que de
Généralités et Revue Bibliographique Page | 19
débit d'air maximal a été atteint à un angle d'inclinaison d'environ 45° pour un largeur de
200 mm et 1,5 m de hauteur de cheminée, et le débit d'air est d'environ 45% plus élevé que
pour une cheminée verticale dans des conditions identiques par ailleurs.
K.S. ONG [4] : Ont proposé Un modèle mathématique simple, d'une cheminée solaire.
Le modèle physique est semblable au mur Trombe. Un côté de la cheminée est vitrée avec
les trois autres murs solides de la forme canal, par lequel l'air chaud pourrait augmenter
par convection naturelle. Les ouvertures se trouvant on bas et on haut de la cheminée pour
permettre à l'air de se déplacer pour entrer et sortir du canal. L’équation d'état de transfert
de chaleur a été résolue pour déterminer les températures de la surface de la vitre, la
quantité de chaleur absorbée par les murs et le début d'air dans le canal en utilisant un
réseau de résistance thermique.
R. BEN YEDDER et E. BILGEN [5] : Étudient numériquement les performances
thermiques des systèmes collecteurs classiques à un mur Trombe. Ils Supposent que
l’écoulement est laminaire et bidimensionnel, le vitrage est isotherme et la chaleur solaire
absorbée par la paroi est transférée à l’air dans le canal avec un flux constant, par
convection naturelle et a la pièce adjacente par conduction puis par convection. Les
équations de masse, quantité de mouvement et énergie sont discrétisées et résolues en
utilisant la méthode des différences finies et des volumes de contrôle. Les champs de vitesse
et de température sont obtenus et les résultats sont présentés pour les différentes parties
du système ; le nombre de Nusselt et les performances thermiques du système sont évalués
et présentés en fonction du nombre de Rayleigh.
B. Zamora, A.S. Kaiser [6] : on fait une étude numérique sur les écoulements
laminaires et turbulents induits par la convection normale dans les cheminées solaires,
pour des différent nombre de Rayleigh, plusieurs valeurs de l’épaisseur et les différentes
conditions de chauffage a été réalisée. Le modèle de turbulence de bas nombre de Reynolds
ε−k a été utilisé pour simuler les cas turbulents. Les résultats numériques pour le nombre
Généralités et Revue Bibliographique Page | 20
moyen de Nusselt et le début massique adimensionnel ont été obtenus pour des valeurs du
nombre de Rayleigh variant de 105 à 1012.
GUOHUI GAN [7] : a étudié la climatisation passif des bâtiments pendant l’été à l’aide
d’un mur Trombe. Les taux du refroidissement naturel ont été prédits en utilisant la
technique CFD (Computational Fluid Dynamics). En utilisant le modèle de turbulence k‐ε.
L’auteur détermine que Le débit de ventilation augmenté avec la température de la paroi et
le flux de chaleur. Les effets de la distance entre le mur et le vitrage, la hauteur du mur, type
de vitrage et l'isolation des murs ont également été étudiés. Il a été montré que, pour
maximiser le taux de ventilation, la surface intérieure d'un mur Trombe doivent être isolé
pour le refroidissement en été. Ce serait également souhaitable d'éviter toute surchauffe de
l'air ambiant dû à la convection et le transfert de chaleur par rayonnement à partir du mur
B.A JUBRAN [8] : étudie le transfert de chaleur par convection laminaire entre les
surfaces d’un canal (mur Trombe). Ont été étudiés Les profils de vitesse, les profils de
température et de pression, lorsque la température de la paroi de maçonnerie n'est pas
uniforme, mais de la forme Tw(x)=Tg+A*xn. La variation de la vitesse du fluide, la
température et le nombre de Nusselt moyen ont été déterminés numériquement pour les
angles d'inclinaison choisie de la paroi. Il a été constaté qu'il ya un effet significatif de
l'inclinaison mur de verre sur le nombre de Nusselt moyen.
S.J. ORMISTON [9] :à étudié le système de chauffage passif (mur Trombe), l'air venant
d'une pièce circule par convection naturelle à travers un canal entre une vitre et un mur.
L'écoulement qui circule apporte à la pièce l'énergie solaire collectée par le mur et la vitre.
L’auteur à analysé le système dans lequel l'écoulement est laminaire et bidimensionnel, la
vitre et le mur sont isothermes. Il a montré que l'écoulement et le transfert thermique sont
caractérisés par deux nombres de Rayleigh. Ces résultats sont supposés être les premiers
qui tiennent complètement compte de l'interaction entre la pièce et le canal, et qui incluent
le cas important où la température de la vitre est plus basse que la température de la pièce.
Wei Chen, Wei Liu [10] : Ont analysé le comportement dynamique et thermique de
l’air dans une chambre chauffée passivement par l’énergie solaire. , il a été montré que
Généralités et Revue Bibliographique Page | 21
l’isolation thermique de la chambre a des effets significatifs sur la distribution de la
température et de débit d'air dans la chambre. Le transfert de chaleur et circulation d'air
dans un lit de roche, qui est utilisé comme absorbeur solaire et la couche de stockage, sont
également étudiés.
Ramadan Bassiouny, Nader S.A. Koura [11] : Ont étudié analytiquement et
numériquement Le concept d’une cheminée solaire pour améliorer la ventilation naturelle
d’une salle.. L'étude a examiné certains paramètres géométriques tels que la taille et la
largeur d'entrée de cheminée. L'analyse numérique a été destinée à prédire la répartition
de la température dans la chambre ainsi que dans la cheminée. Cela permettrait d'optimiser
les paramètres de conception. Les résultats ont été comparés avec les données publiées
disponibles expérimentales et théoriques.. En outre, il a été remarqué que la largeur de la
cheminée a un effet plus significatif sur le débit d’air par rapport à la taille d'entrée
cheminée. L’auteur montre que la corrélation entre la température et le flux solaire est 461.0*51.3 QT = et entre la vitesse moyenne de l’air et le flux solaire est 4.0*013.0 Qv = .
En ce qui concerne plus particulièrement les écoulements en canalisation, on peut
citer parmi les investigations récentes celle de Chow et al. [12]. Ils ont étudié l’influence de
la convection naturelle sur un écoulement entièrement développé, à faibles nombres de
Peclet, ayant un profil de température uniforme à l’entrée du canal et une température
constante sur les parois. Ils ont traité deux cas : chauffage et refroidissement. Dans le cas
d’un chauffage, la densité de flux et le nombre de Nusselt augmentent lorsque le nombre de
Grashof augmente, ceci est dû à l’effet de la convection naturelle. Au contraire, dans le cas
d’un refroidissement, la densité de flux et le nombre de Nusselt diminuent lorsque le
nombre de Grashof diminue.
Laouadi et al [13] : ont étudié le problème avec convection mixte dans une conduite
inclinée soumise à un flux de chaleur uniforme pour un écoulement thermiquement et
hydrodynamiquement développé. Ils ont établi qu'un flux uniforme sur la surface
extérieure de la conduite induit également un flux uniforme a l'interface solide‐fluide pour
des faibles valeurs du rapport des conductivités thermiques, k<10‐2 pour des valeurs
Généralités et Revue Bibliographique Page | 22
élevée de ce rapport. La même condition extérieure induit une température uniforme à
l'interface.
HEGGS et al [14] : ont étudié l'effet de la conduction de chaleur dans la paroi de la
conduite sur un écoulement dans une conduite verticale en convection mixte avec le
phénomène de renversement. Par comparaison avec le cas où la conduction de chaleur est
négligeable, il a été montré que la paroi de la conduite a une influence très importante sur
l'écoulement et le transfert thermique.
Nguyen et al. [15] : ont analysé le comportement dynamique et thermique d’un écoulement
d’air dans un tube vertical. Le comportement transitoire de l’écoulement est réalisé en
imposant une densité de flux uniforme à la paroi mais avec une variation linéaire en
fonction du temps. Deux cas ont été analysés : l’écoulement descendant chauffé (convection
mixte contrariée) avec une densité de flux (qw) qui varie entre 0 et 19750 W.m‐2 et
l’écoulement ascendant chauffé (convection mixte aidée) avec qw qui varie entre 0 et 34560
W.m‐2, ce qui correspond à des nombres de Grashof respectivement compris entre 0 et 106
pour l’écoulement descendant, et entre 0 et 1,75.106 pour l’écoulement ascendant. Dans le
cas de l’écoulement descendant chauffé, les auteurs ont montré l’apparition des
écoulements inverses au voisinage de la paroi pour Gr = 3.105. Les zones de recirculation
deviennent plus visibles dès que le nombre de Grashof augmente. Au contraire, dans le
deuxième cas l’écoulement s’accélère au voisinage de la paroi et, par conséquent, pour
respecter la conservation de la masse, il est freiné au centre.
ORFI et COLI [16]: ont présenté les effets de l'inclinaison et de l'intensité du flux
thermique sur le développement de l'écoulement et la distribution des coefficients de
transfert thermique.
Nous avons souvent rencontré dans la littérature des études en convection mixte
avec des conditions aux limites variables à la paroi. Mai et al. [17] sont allés plus loin en
ajoutant une variation de débit à l’entrée du tube ce qui correspond aux conditions réelles
de fonctionnement d’un radiateur. Leur travail comporte une étude d’un écoulement
Généralités et Revue Bibliographique Page | 23
descendant en convection mixte dans un tube vertical lorsque l’entrée est soumise à un
échelon de débit.
Catalin Viorel POPA [18] ont étudie numériquement les phénomènes convectifs au
sein d’un fluide circulant dans un tube vertical soumis à des conditions aux limites variables
à l’entrée et/ou à la surface externe de la conduite. La résolution numérique des équations
basées sur la fonction de courant et la vorticité est assurée par une méthode aux différences
finies. Il à été observé que le comportement de l’écoulement est très différent selon le signe
de l’échelon de température positif ou négatif. A partir d’expériences numériques, ont été
établi des diagrammes de stabilité de l’écoulement laminaire, en convection mixte aidée et
contrariée. De plus, le temps caractéristique d’apparition des instabilités qui diminue
fortement pour des nombres de Richardson élevés.
Dans ce chapitre on va formuler le modèle mathématique, les hypothèses
simplificatrices ainsi que les conditions initiales et aux limites appropriées à la
géométrie étudie.
II.1. Configuration étudiée:
Un mur trombe s'agit d'un vitrage suivi d'une lame d'air et d'un mur en béton.
Des ouvertures hautes et basses sont réalisées dans le mur afin de créer une circulation
d'air entre la lame d'air et l'air du local à chauffer. L'air chauffé dans la lame d'air
pénètre par les ouvertures supérieures dans la pièce. Il se refroidit au contact de l'air du
local et, une fois rafraîchi, revient par les ouvertures inférieures dans la lame d'air.
ETABLISSEMENT DU MODELE
MATHEMATIQUE
Etablissement du Modèle Mathématique Page | 25
Figure (II.1) : Schéma représentant la forme générale
La figure (II.2) représente la schématisation bidimensionnelle de système
simplifié de mur Trombe étudié.
H
L
h1
l1l2
h2
q
a
b c
d e
f g
h
Figure (II.1) : Schéma représentant la forme simplifié de la configuration étudiée
Etablissement du Modèle Mathématique Page | 26
II.2. Hypothèses simplificatrices:
Les hypothèses simplificatrices retenues dans l’étude sont les suivantes:
• Le fluide utilisé est un fluide newtonien, incompressible et qui satisfait
l’hypothèse de Boussinesq.
• La masse volumique varie linéairement avec la température et elle est donnée
par la relation suivante :
( )[ ]00 1 TT −−= βρρ (II ,1)
• L’écoulement du fluide au sein de la cavité est laminaire, stationnaire et
bidimensionnel.
• Les propriétés thermo physiques du fluide sont constantes dans l’intervalle de
température étudiée.
II.3. Equations gouvernantes sous forme dimensionnel:
Compte tenu des hypothèses formulées précédemment, les équations qui régissent
le phénomène physique de ce problème obéissent à la loi classique de la conservation.
Pour un problème bidimensionnelle et dans un repère cartésien c’est équation sont :
• Equation de continuité:
0=∂∂
+∂∂
yv
xu
(II ,2)
• Equations de quantité de mouvement :
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
+∂∂
−=∂∂
+∂∂
+∂∂
2
2
2
21yu
xu
xp
yuv
xuu
tu υ
ρ (II ,3)
Etablissement du Modèle Mathématique Page | 27
( )02
2
2
21 TTgyv
xv
yp
yvv
xvu
tu
−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
+∂∂
−=∂∂
+∂∂
+∂∂ βυ
ρ (II ,4)
• Equation d’énergie :
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂∂
2
2
2
2
yT
xT
yTv
xTu
tT α (II ,5)
II.4. Equations gouvernantes sous forme adimensionnel:
L’emploi des variables adimensionnelles permet une meilleure approche de la
réalité des phénomènes physiques, car elles sont indépendantes du système d’unités de
mesure utilisé. Autrement dit ces variables permettent d’obtenir des informations
générales, qui jouent un rôle prépondérant dans les similitudes. Pour ramener les
équations précédentes à une forme adimensionnelle, il est nécessaire d’introduire les
changements de variables.
( )
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
′′=Δ
Δ−
=
==
==
==
fkHqT
TTT
upP
Hut
uvV
uuU
HyY
HxX
;
;
;
;
0
200
00
θ
ρτ
(II ,6)
Le système d’équations définissant le problème devient :
0=
∂∂
+∂∂
YV
XU
(II ,7)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
+∂∂
−=∂∂
+∂∂
+∂∂
2
2
2
2
Re1
YU
XU
XP
YUV
XUUU
τ (II ,8)
Etablissement du Modèle Mathématique Page | 28
θ
τ Pr*ReRe1
22
2
2
2 RaYV
XV
YP
YVV
XVUV
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
+∂∂
−=∂∂
+∂∂
+∂∂
(II ,9)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂∂
2
2
2
2
PrRe* YXK
YV
XU θθθθ
τθ
(II ,10)
Avec
K=1 : la zone fluide
K=Kr : la zone solide
La mise sous forme adimensionnelle des équations de conservation fait apparaître
les nombres adimensionnels caractérisant le phénomène:
Le nombre de Prandtl : compare la rapidité des phénomènes thermiques et des phénomènes hydrodynamiques dans un fluide.
Le nombre de Rayleigh : caractérisant le transfert de chaleur au sein d'un fluide, inférieur à une valeur critique, le transfert s'opère essentiellement par
conduction, tandis qu'au‐delà de cette valeur c'est la convection libre ou naturelle
qui devient importante.
Le nombre de Reynolds qui représente le rapport entre les forces d'inertie et les forces visqueuses.
Il est bien claire que les équation de conservation définies précédentes peuvent se
présenter par une seul équation dite équation de transport :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) φφφφφφ
τS
YYXXV
YU
X+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
Γ∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
Γ∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂∂
(II ,11)
Etablissement du Modèle Mathématique Page | 29
Avec :
Grandeurs transportées Φ Γ φS
Conservation de masse 1 0 0
Quantité de mouvement selon X U Re1 XP
∂∂
−
Quantité de mouvement selon Y V Re1 ( )[ ]YPRa∂∂
−θPr*Re2
Energie T ( )PrRe*K
0
Tableau II.1 : Présentation des différents termes de l'équation de transport pour les différentes équations de conservation.
II.6. Les conditions initiales et aux limites :
II.6.1 Conditions initiales:
Afin de ne pas être gêné par des problèmes de divergences, on doit partir d'un état
initial qui est proche de la réalité. A l'instant t=0, le fluide est supposé au repos c'est‐à‐
dire comme suit:
La vitesse longitudinale U = 0. La vitesse transversale V = 0. La température T = T0.
II.6.1 Conditions aux limites:
Les différentes conditions sont résumées dans le tableau(II.2) :
Tableau II.2: Conditions aux limites sous formes adimensionnelles.
Après avoir développé les équations dynamiques et thermiques, ainsi que les
conditions aux limites associées à la configuration étudiée, on va modéliser
numériquement le problème. Pour cela une méthode de discrétisation à été choisie pour
les équations gouvernantes. Les questions relatives à la technique de résolution, ainsi
que le choix du maillage seront donc également abordées dans ce chapitre.
III.1. Généralité sur le CFD
La formulation mathématique des lois de conservation régissant les
phénomènes physiques comme les transferts de chaleur ou les écoulements de fluides,
est généralement écrite sous forme d'équations aux dérivées partielles du type
conservatif. [28]
Le problème différentiel ainsi posé est de nature continu. L’expression de la solution
à partir d'une formule analytique est en général impossible à mettre en évidence. Il est
alors nécessaire de passer par une approximation du problème, c'est‐a‐dire de le
remplacer par plusieurs problèmes discrets représentant localement le problème
continu de façon approchée. Cette procédure, appelée discrétisation ou approximation,
permet notamment une résolution numérique discrète des équations continues.
PROCEDURE DE SIMULATION
NUMERIQUE
Procédure de Simulation Numérique Page | 32
Le problème ainsi posé revient à trouver les solutions de n équations sur les
éléments du domaine. La solution générale φ sur le domaine est liée à la résolution des
nφ locaux.
Les nφ admettent une solution unique permettant la convergence du calcul vers
la solutionφ . Cette convergence dépend directement de la manière de construire les
sous‐espaces de résolution. Il existe différentes méthodes de discrétisation spatiale des
équations de conservation : différences finies, éléments finis, volumes finis et les
méthodes spectrales.
La modélisation numérique repose sur la reformulation des équations de
conservation sur des volumes élémentaires ou discrets, appelés éléments ou mailles.
Associés à ces éléments, nous retrouvons les nœuds de discrétisation, c'est‐a‐dire les
points de résolution des équations discrètes. Ceux‐ci peuvent être aussi bien placés aux
sommets des éléments qu'en leur centre ou encore sur les faces, selon la méthode de
discrétisation utilisée.
Les éléments et les nœuds associés composent le maillage. Nous distinguons
plusieurs types de maillages, définis par le nombre de nœuds associés à chaque élément
et par le nombre de liaisons pour chaque nœud.
La connectivité décrit les liaisons entre les sommets des éléments. On parle de
maillage structuré si les nœuds de même type ont toujours le même nombre de nœuds
voisins, ou sont associés au même nombre d'éléments. La connectivité associée à ces
nœuds est alors toujours de même type. Dans le cas d'un maillage non structuré, la
connectivité est de type quelconque, et le nombre de voisins de chaque nœud diffère
localement.
Le principal avantage des maillages structurés est une connaissance complète et
immédiate du voisinage de chaque point de discrétisation. En effet, le nombre de nœuds
est constant dans chaque direction de maillage. Dans le cas de maillage avec des
quadrilatères, La connaissance des indices d'un nœud donne la position relative dans la
grille. Cet avantage se trouve être aussi son principal inconvénient car les maillages
structures ne sont pas adaptes a tous les types de géométrie.
Procédure de Simulation Numérique Page | 33
Les équations de Navier‐Stokes se composent de l'équation de conservation de la
masse et des équations de conservation de la quantité de mouvement. Leur résolution
nécessite l'obtention, à chaque instant, d'un champ de pression et d'un champ de vitesse
cohérents. Sous la contrainte d'incompressibilité de l'écoulement, l'équation de
continuité se réduit à l'obtention d'un champ de vitesse à divergence nulle. Le couplage
vitesse‐pression est délicat à traiter pour les écoulements incompressibles car la
pression n'apparait pas explicitement dans l'équation de conservation de la masse.
Plusieurs voies sont utilisées pour aborder ce problème et correspondent à des classes
de méthodes différentes, parmi ces méthodes les méthodes de correction de pression
consistent en une procédure de prédiction‐diffusion et de correction‐projection entre les
champs de vitesse et de pression. On distingue généralement les techniques suivantes
[25] :
1. les méthodes de projection introduites par Chorin (1968). [27]
2. Les méthodes incrémentales sur la correction de pression introduites par Goda
(1978). [26]
3. les algorithmes de prédiction‐correction de type SIMPLE (Semi Implicit Method
for Pressure Linked Equations) et SIMPLER (SIMPLE Revised) (Patankar,
1972[24]) qui utilisent une équation de correction de la pression pour corriger
les vitesses.
Procédure de Simulation Numérique Page | 34
Dans ce travail la procédure de simulation numérique retenue pour la résolution du
système d’équations gouvernantes est basée sur la méthode des volumes finis. Cette
méthode qui se distingue par sa fiabilité quant aux résultats, son adaptation au
problème physique, sa garantie de conservation de masse, de quantité de mouvement et
de tout scalaire transportable sur chaque volume de contrôle ainsi que dans tout le
domaine de calcul. Trois techniques sont employées pour la résolution numérique des
équations de mouvement et de continuité, les deux premiers sur un maillage
triangulaire non structuré et le dernier sur un maillage cartésien.les méthodes sont
résumées dans le tableau suivant :
maillage
Stockage des variables
Algorithme de
Couplage
pression‐vitesse
1er méthode
Non structurée (triangulaire)
décalé
Projection (Chorin
1967)
2eme méthode Non structurée (triangulaire)
Semi‐décalé
SIMPLE
(Patankar 1980)
3eme méthode structurée
(cartésienne) Co‐localisée SIMPLE
(Patankar 1980)
Tableau(III.1) : les techniques de simulation
Procédure de Simulation Numérique Page | 35
III.2 : Méthode de projection sur un maillage non structuré
Dans cette méthode un algorithme à pas de temps fractionnaire (implicite) est utilisé
pour la résolution des équations de Navier‐Stokes. La méthode à été développée pour
une utilisation sur un maillage non structuré composé de triangles.
La méthode de projection (à pas de temps fractionnaire) a été initialement
proposée par Chorin [27]. Elle s’effectue en deux étapes. Tout d’abord, on estime un
champ de vitesse intermédiaire par le bilan de quantité de mouvement sans tenir
compte des termes de pression, ce qui revient à calculer les termes instationnaires et de
convection‐diffusion. Puis en résolvant l'équation de continuité avec ce champ de
vitesse, on calcule le champ de pression, et on corrige le champ de vitesse.
III.2.1 Discrétisation en temps :
Etape de Prédiction :
Elle permet, l’obtention d’un champ provisoire de vitesse ( ** ; VU ) calculé
uniquement à partir du champ ( ττ VU ; ). Ce champ provisoire ne vérifie à priori pas
l’équation de continuité.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
−∂∂
−=−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
−∂∂
−=−
V
U
SYV
XV
YVV
XVUVV
SYU
XU
YUV
XUUUU
,.
,.
2
*2
2
*2***
2
*2
2
*2***
ΓτΔ
ΓτΔ
τττ
τττ
(III.1.1)
Equation de pression (Poisson) :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
YV
XU
XP
YP **
2
2
2
21
τΔ (III.1.2)
Procédure de Simulation Numérique Page | 36
Etape de Projection :
Consiste évidement à réinjecter le champ de pression, calculé ci‐ dessus dans les
équations ce qui permet d’obtenir le champ de vitesse ( ττττ Δ+Δ+ VU ; ), celui‐ci
satisfaisant aussi bien l’équation de quantité de mouvement que l’équation de
continuité.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∂∂
−=
∂∂
−=
+
+
YPVV
XPUU
τΔ
τΔ
τΔτ
τΔτ
*
*
(III.1.3)
III.2.2 Discrétisation en espace
La procédure de discrétisation spatiale commence en stockant les vitesses aux
sommets du polygone vi (Nœuds) puis en construisant une cellule interne en découpant
chaque arrêt intérieur des triangles qui construisent le polygone (c1c2c3c4c5) au
milieu (Figure (III .1.1)),
La méthode consiste à intégrer l'équation de conservation, écrite sous sa forme
conservative, sur chaque volume de contrôle (c1c2c3c4c5) :
∫∫
∫∫
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+−
VV
VV
dxdySdxdyYX
dxdyY
VX
Udxdyt
φ
τττ
φφΓ
φφΔφφ
,. 2
*2
2
*2
***
(III.1. 4)
Procédure de Simulation Numérique Page | 37
Les caractéristiques des nœuds ci sont calculées comme suite :
( ) ( ) ( )***
21;
21;
21
Piiiiii vcPvcPvc yyyxxx φφφ +=+=+= (III.1.5)
Discrétisation des termes flux:
L'application du théorème de Green, pour la fonction φ, donne :
( )( )
( )( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−+−==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−+==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∑∫∫
∑∫∫
=
=
++
++
ie
icccc
CCV
ie
icccc
CCV
iiii
iiii
xxA
dxdxdyy
yyA
dydxdyx
2
****
1
****
11
11
21
21
φφφφ
φφφφ
(III.1. 6)
Où Ac est la surface du polygone (c1c2c3c4c5), Φ est la composante de vitesse, x et y
sont les coordonnées des sommets du polygone et ie se rapporte aux nombre des
sommets du volume de contrôle polygonal.
c1 c2
c3
c4
c5
P
v1
v2
v3
v4
v5
Figure (III .1.1) : Volume de contrôle pour les flux convectifs traversant les faces
Procédure de Simulation Numérique Page | 38
La combinaison des équations (III.1.5), (III.1.6) et donne :
( )( )
( )( )⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−+−
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=>
−+==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∑∫∫
∑∫∫
+
=
−
+
=
−+
−+
1
2
****
1
2
****
11
11
41
;4
1
ie
ivv
CCV
ieii
ie
ivv
CCV
iiivP
iiivP
xxA
dxdxdyy
vvieiSi
yyA
dydxdyx
φφφφ
φφφφ
(III.1.7)
Donc les termes flux peuvent être déterminés par :
∑∫=
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂ 6
2
****
iiP
VivP
FFdxdyY
VX
U φφφφ ττ (III.1.8)
Avec
( ) ( )[ ]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−−=
=
−+−+
∑=
111141
6
2
iiii vvPvvPC
i
iiP
xxVyyUA
F
FF
ττ (III.1.9)
Discrétisation des termes diffusives :
( ) ( )∑∑∫==
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+
+
+
+
ie
icc
c
ie
icc
cVii
i
ii
i
xxy
yyx
dxdyYX 22
2
*2
2
*2
1
21
1
21
, φφφφ (III.1.10)
Les composants visqueux impliquent l'évaluation des dérivés des variables
primitives (vitesses) sur chaque contour polygonal, elle reste pour définir une découpe
appropriée pour obtenir les premiers dérivés sur les arrêts. Il n'y a pas une manière
unique d'effectuer l'intégration, mais peut être le plus simple est d'employer la découpe
représentée sur la (Figure III.1.2), de sorte que la dérivée au milieu d’arrêt soit la somme de quatre limites. Les premières dérivées au milieu du bord sont définies comme suit
[32]:
Procédure de Simulation Numérique Page | 39
( )
( )⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=−−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∑
∑
=−+
=−+
+
+
15
5
211
*
15
5
211
*
,2
1
,21
21
21
vvxxAy
vvyyAx
iiii
ic
iiii
ic
i
i
φφ
φφ
(III.1.11)
Où Ai le volume de l’élément quadratique (1234)
Les caractéristiques des nœuds 1, 2, 3 et 4 sont déterminé par :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
+=+=+=
+=+=+=
+=+=+=
+++
***333
***222
***111
21;
21;
21
21;
21;
21
21;
21;
21
111
Piii
iviiiii
Piii
vPvPv
vvvvv
vPvPv
yyyxxx
xxyxxx
yyyxxx
φφφ
φφφ
φφφ
(III.1.12)
La combinaison des deux précédentes équations donne :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−−−−−+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−+−+−−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+++
+
+++
+
iiiiii
i
iiiiii
i
vPvi
Pvvi
vvPic
vPvi
Pvvi
vvPic
xxA
xxA
xxAy
yyA
yyA
yyAx
***
***
111
21
111
21
41
41
41
41
41
41
φφφφ
φφφφ
(III.1.13)
ci
vi
ci+1
vi+121
+iv
P
21
+ic 1
2
3
4
Figure (III.1.2) : Volume de contrôle pour le flux diffusif
Procédure de Simulation Numérique Page | 40
Le volume Ai peut être calculée par la corrélation :
( )( ) ( )( )[ ]
11112
41
++++−−−+−+−=
iiiiiiii vvPvvPvvvvi yyyyyyyyxxA (III.1.14)
En substituant les équations (III.1.11‐14), dans l'équation (III.1.10) nous pouvons montrer que Le résultat final de l'intégration des termes de diffusion est :
∑∫=
+−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂ 6
2
**2
*2
2
*2
,i
iiPPV
DDdxdyYX
φφφφ (III.1.15)
Avec
( ) ( )[ ]
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )( )⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−+−−+
−−+−−=
−+−=
++++
−−−−
++
−
=∑
iiiiii
iiiiii
iiii
vvPvvvPvi
vvvPvvvPi
Ci
ie
ivvvv
iCP
yyyyxxxxA
yyyyxxxxA
AD
yyxxAA
D
1111
1111
11
41
41
21
41
21
1
1
22
(III.1.16)
Construction des équations linéaires :
La substitution des équations (III.1.8) et (III.1.15) en (III.1. 4) donne :
baa
iviP iP+=∑
=
6
2
** φφ (III.1.17)
Avec
( )
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+=
−=
++=
τφ φ
Δ
Γ
ΓΔ
PC
C
iii
PPC
P
tASAb
FDa
DFt
Aa
(III.1.18)
Procédure de Simulation Numérique Page | 41
III.2.3 : Traitement des conditions aux limites :
Les divers types des conditions aux limites définis pour notre géométrie en chapitre
II peuvent être classifiés en deux cas, Dirichlet ou Neumann
1‐ Type Dirichlet : Puisque les vitesses le long de cette frontière sont constantes, il
suffit de corriger pour chaque itération :
2 Type Neumann :
Pour chaque triangle de frontière tel que les triangles abc et aef, C’est de définir
les points m et w respectivement au centre des arrêts ab et af. Ainsi, les coordonnées
des points m et w peuvent être déterminées par :
( ) ( )
( ) ( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=+=
+=+=
fawfaw
bambam
yyyxxx
yyyxxx
21;
21
21;
21
(III.1.19)
D’abord, c’est de Produire une ligne perpendiculaire pour affiler l'arrêt ab du point
M. qui identifie la ligne par mm'. Ensuite, déterminer l'intersection de la ligne mm’ avec
les arêtes du triangle abc (ac ou bc).
a
c
b
k
m
m’
w
e k
f
Figure (III.1.2) : Illustration des conditions aux limites type Neumann
Procédure de Simulation Numérique Page | 42
Pour généraliser, la représentation des points d'intersection a ou b par le z. Ainsi,
appeler le point k l'intersection de la ligne mm’ est zc. Définissant le paramètre R par :
( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )baazbaaz
mcabmcab
yyyyxxxxyyyyxxxxzR
−−+−−−−+−−
= (III.1.20)
Enfin, observer si, le point d'intersection k est coïncident avec le point c. donc :
ckckck yyxx φφ === ;; (III.1.21)
Si ( ) 10 <≤ aR
( )( )( )( )( )( )⎪
⎩
⎪⎨
⎧
−+=−+=−+=
cack
cack
cack
aRyyaRyyxxaRxx
φφφφ (III.1.22)
Si ( ) 10 <≤ bR
( )( )( )( )( )( )⎪
⎩
⎪⎨
⎧
−+=−+=−+=
cbck
cbck
cbck
bRyybRyyxxbRxx
φφφφ (III.1.23)
km φφ = (III.1.24)
( )wmb φφφ −=
21
(III.1.25)
Procédure de Simulation Numérique Page | 43
III.2.4 : Discrétisation de l’équation de pression :
L’équation de poisson est discrétisée au centre de l’élément notée par Pp. On désigne
par v1, v2 et v3 les trois sommets de cet élément qui sont numérotés dans le sens inverse
des aiguilles d’une montre. Les centres des trois éléments voisins peuvent être
également identifiés comme : c1, c2 et c3 numérotés toujours dans le sens inverse des
aiguilles d’une montre.
L’intégration de l’équation de Poisson au tour de volume de contrôle donne :
∫∫ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
321321
**
2
2
2
21
vvvvvv
dxdyYV
XUdxdy
XP
YP
τΔ (III.1.26)
Les termes flux qui apparaissent du côté droit de l'équation de Poisson (III.1.26)
doivent être calculés aux centres des triangles (Figure III.1.3). Ceci est réalisé en
calculant les premiers dérivés des vitesses aux centres du triangle.
Figure (III.1.3) : Volume de contrôle pour l’équation de Poisson
Procédure de Simulation Numérique Page | 44
L’intégrale de contour est rapprochée de la même manière comme décrit au
centre du polygone. Les premiers dérivés sont calculés comme suit :
( )
( )⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=>
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∑∫
∑∫
=
−
=
−+
−+
4
2
**
3
4
2
**
11
321
11
321
21
;32
1
ivvv
Cvvv
ii
ivvv
Cvvv
iii
iii
xxVA
dxdyy
V
vviSi
yyUA
dxdyx
U
(III.1.27)
Ou Ac ces le volume de volume de contrôle (triangle v1v2v3) est calculée par :
( )
312312131132321 21
vvvvvvvvvvvvvvv yxyxyxyxyxyxA ++−++= (III.1.28)
Donc la forme finale du terme flux :
( ) ( )[ ]∑∫=
−+−+−−−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂ 4
2
****
1111
3213212
1i
vvvvvvvvvvvv
iiiiiixxVyyU
Adxdy
yV
xU
(III.1.29)
Les coordonnées de centre de l’élément sont calculées comme suit :
( ) ( )
321321 31;
31
vvvPvvvP yyyyxxxx ++=++=
(III.1.30)
Procédure de Simulation Numérique Page | 45
Interpolation de pression aux nœuds :
La pression à n'importe quel sommet (nœud) est obtenue en faisant
l’interpolation de toutes les valeurs au centre des éléments qui ont ce nœud pour
sommet (Figure III.1.4). L’interpolation de la valeur de pression se fait dans la
proportion inverse de la distance entre le centre de l’élément et le sommet en question,
d’où :
∑∑==
=ne
m ma
ne
m ma
ma LL
PP11
1 (III.1.31)
Ou
( ) ( )( ) 2/122amamma yyxxL −+−= (III.1.32)
Figure (III.1.4) : Interpolation de la pression aux sommets des éléments
Procédure de Simulation Numérique Page | 46
L'application du théorème de Green, en utilisant le triangle (v1v2v3), donne
l’approximation de la deuxième dérivée :
( ) ( )∑∫=
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+
+
+
+
3
12
2
2
2
1
21
1
21321 i
vvv
vvvvvv
ii
i
ii
i
xxyPyy
xPdxdy
yP
xP (III.1.33)
En utilisant les éléments quadratiques Pv1c1v2, Pv2c2v3 et Pv3c3v1 pour calculer les premiers dérivés de pression :
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−−−−−−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−−+−−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
++
+
++
+
iiiiii
i
iiiiii
i
vvcPi
pcvviv
vvcPi
pcvviv
PPxxA
PPxxAy
P
PPyyA
PPyyAx
P
11
21
11
21
21
21
21
21
(III.1.34)
Ai : le volume de l’élément quadratique.
( )
icCi AAA +=31
(III.1.35)
icA : Le volume de l’élément triangulaire voisin
La substitution des équations (III.1.34) en (III.1.33) donne :
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )( ) ( )( )[ ]∑
∑∫
=
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−+−−−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+++
++
3
1
3
1
222
2
2
2
111
11
21
21
icPvvcPvvvv
i
ivvvvpc
iabc
iiiiiiii
iiiii
xxxxyyyyPPA
xxyyPPA
dxdyyP
xP
(III.1.36)
Procédure de Simulation Numérique Page | 47
La forme discrétisée finale de l’équation de Poisson :
bPaPaPa
ivv
iccPP iiii
++= ∑∑==
4
2
3
1 (III.1.37)
Avec
( ) ( )[ ]
( )( ) ( )( )[ ]
( )( ) ( )( )[ ]
( ) ( )[ ]⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−−−−
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−+−−
−−−+−−
=
−+−=
=
∑
∑
∑
=
=
+
=
−+−+
++++++
++
++
,2
12
121
21
4
2
**
4
2
1
22
3
1
1111
112112
11
11
ivvvvvv
C
icPvvcPvv
i
cPvvcPvvi
v
vvvvi
c
icP
iiiiii
iiiiii
iiiiii
i
iiiii
i
xxVyyUA
b
xxxxyyyyA
xxxxyyyyA
a
xxyyA
a
aa
τΔ
(III.1.38)
Traitement des conditions aux limites
La résolution de l'équation de pression (ci‐dessus) nécessite évidemment de fixer
des conditions aux limites. On choisira une condition de type Neumann sur le gradient
de pression au niveau des frontières du domaine :
a’
b’ 21
Frontière
3
a b
n v
Figure (III.1.5) : Illustration des conditions aux limites de pression
Procédure de Simulation Numérique Page | 48
pour obtenir une valeur approximative de la pression sur la surface est comme
suit. Supposer que le point a’ au centre de l’arret 2‐3 est perpendiculaire sur la surface
au point a.
le sinee que le gradient de pression sur la surface est zéro, on peut écrire
0=
−=
−=
∂∂
′′
′
bb
bb
aa
aa
LPP
LPP
nP
(II.1.39)
Donc
( ) ( )1232 2
1;21 PPPPPPPP bbaa +==+== ′ (III.1.40)
La pression au nœud v peut être calculée par :
( )bav PPP +=
21
(III.1.41)
III.2.5 : Discrétisation des équations de projection :
Le gradient de pression apparaissant dans l’équation de projection peut approximé
au centre de polygone (nœud P) par :
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∫ ∑
∫ ∑
=
=
−+
−+
P iii
P iii
Si
cccPPP
Si
cccPPP
xxPA
PdxAy
P
yyPA
PdyAx
P
5
2
5
2
11
11
11
11
(III.1.42)
Ap : le volume de cellule construit par les centres des éléments entourant le nœud P
Procédure de Simulation Numérique Page | 49
L’équation de projection devient :
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−Δ
+=
−Δ
−=
∑
∑
=
Δ+
=
Δ+
−+
−+
5
2
*
5
2
*
11
11
iccc
PPP
iccc
PPP
iii
iii
xxPA
VV
yyPA
UU
τ
τ
ττ
ττ
(III.1.43)
III.2.6 : Discrétisation de l’équation de l’énergie:
L’équation de l’énergie est discrétisée au centre de l’élément est notée par θp. On
désigne par v1, v2 et v3 les trois sommets de cet élément qui sont numérotés dans le sens
inverse des aiguilles d’une montre. Les centres des trois éléments voisins peuvent être
également identifiés comme : c1, c2 et c3 numérotés toujours dans le sens inverse des
aiguilles d’une montre.
Figure (III .1.6) : Volume de contrôle pour équation de projection
v1
v2
v3
v4
v5
c1
c2
c3 c4
c5
P
Procédure de Simulation Numérique Page | 50
La forme intégrale de l’équation de l’énergie :
dxdyYX
dxdyY
VdxdyX
Udxdyt VVVV
∫∫∫∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂ ,. 2
2
2
2 θθΓθθΔθ
(III.1.44)
Terme convectif :
( )( )[ ]
( )( )[ ]∑
∑∫
=
=
−++
−+=∂∂
++
++
3
1
3
1
111
11
41
41
icvvvv
C
Pi
vvvvCV
iiii
iiii
yyUUA
yyUUA
dxdyx
U
θ
θθ
(III.1.45)
Figure (III.1.7) : Volume de contrôle pour l’équation d’énergie
Procédure de Simulation Numérique Page | 51
( )( )[ ]
( )( )[ ]∑
∑∫
=
=
−+−
−+−
=∂∂
++
++
3
1
3
1
111
11
41
41
icvvvv
C
Pi
vvvvCV
iiii
iiii
xxVVA
xxVVA
dxdyy
V
θ
θθ
(III.1.46)
Donc les termes flux peuvent être déterminés par :
∑∫∫=
+=∂∂
+∂∂ 3
1iciPP
VVi
FFdxdyy
Vdxdyx
U θθθθ (III.1.47)
Où les différents coefficients sont donnés par :
( )( ) ( )( )[ ]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−+−−+=
=
++++
∑=
iiiiiiii vvvvvvvvC
i
iiP
xxVVyyUUA
F
FF
111141
3
2 (III.1.48)
Terme diffusif
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )( ) ( )( )[ ]∑
∑∫
=
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−+−−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+++
++
3
1
3
1
222
2
2
2
111
11
21
21
icPvvcPvvvv
i
ivvvvpc
iabc
iiiiiiii
iiiii
xxxxyyyyA
xxyyA
dxdyyx
θθ
θθθθ
(III.1.49)
∑∑∫==
++−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂ 4
2
4
22
2
2
2
,i
cci
vvPPV
iiiiDDDdxdy
yxθθθθθ
(III.1.50)
Avec ( ) ( )[ ]
( )( ) ( )( )[ ]
( )( ) ( )( )[ ]⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−+−−
−−−+−−
=
==>−+−=
=
∑
∑
=
+
−−
=
++++++
++
++
4
2
1
3322
3
1
112112
11
11
21
21
;;3:21
icPvvcPvv
i
cPvvcPvvi
v
iiiivvvvi
c
icP
iiiiii
iiiiii
i
iiiii
i
xxxxyyyyA
xxxxyyyyA
D
ccvviSixxyyA
D
aD
(III.1.51)
Procédure de Simulation Numérique Page | 52
La substitution des équations (III.1.47) et (III.1.50) en (III.1.44) aboutit la forme
discrétisée finale de l’équation de l’énergie :
baaa
ivv
iccP iiiiP
++= ∑∑==
4
2
4
2φφθ (III.1.52)
Avec
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
Δ=
Γ=
−Γ=
Γ++Δ
=
0
.
.
.
PC
vv
icc
PPC
P
Ab
Da
FDa
DFt
Aa
ii
ii
θτ
(III.1.53)
Procédure de Simulation Numérique Page | 53
III.2.7 : Organigramme :
Début
Initialisation des fonctions τθ Δ;;;; 0000 PVU
1er étape : résolution des équations de prédiction, Équation (III.1.17) pour U et V
2eme étape : résolution de l’équation de Poisson (III.1.37)
4eme étape : résolution de l’équation de l’énergie (III.1.52)
3eme étape : calcule des vitesses U; V (III.1.43)
410 −Δ+
Δ+
≤−∑ ττ
τττ
φφφ Non
Oui
Affichage des résultats Calcul des nombres adimensionnel
Fin
ττ Δ+P
**;VU
ττττττ Δ+Δ+Δ+ PVU ;;
ττττττττ θ Δ+Δ+Δ+Δ+ ;;; PVU
1
1
1
1
+
+
+
+
=
=
=
=
Δ+=
ττ
ττ
ττ
ττ
θθ
τττ
PPVVUU
Procédure de Simulation Numérique Page | 54
Figure (II.2.1) : volume de contrôle pour l’équation de mouvement
P
vi
ci-1
ci
U, V
P
III.3 : Algorithme SIMPLE sur un maillage triangulaire
Dans cette méthode Le schéma utilisé est les volumes de contrôle semi‐décalés
pour les équations de mouvement et de pression de correction pour favoriser le
couplage de pression‐vitesse, les nœuds (les sommets des éléments) sont employés
pour stocker les composants cartésiens de vitesse. La structure des données est
construite de telle manière que les cellules de maillage non structuré peuvent être des
polygones de toute forme et de nombre d'arêtes quelconque.
III.3.1 Discrétisation des équations de mouvement :
L'approximation des intégrales dans les équations est effectuée par une addition
des flux au centre des arêtes des cellules. Ce processus a comme conséquence la forme
discrétisée suivante des équations:
( ) ( )[ ] 0
1=Δ−Δ∑
=
ie
iee xvyu (III.2.1)
( ) ( )[ ] c
ie
ie
e
ie
ie
e
ie
ieeec
PP VSxy
yx
xvyuV φ
ττ
ΔφΔφΓΔΔφτΔφφ
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=−+− ∑∑∑
+
=
+
=
+
=
+ 1
2
1
2
1
2
1
(III.2.2)
La où l'indice e dénote une quantité sur n'importe quelle arête, ie est le nombre
d'arêtes qui forment le volume de contrôle et Vc le volume du volume de contrôle
Procédure de Simulation Numérique Page | 55
Flux de convection:
Le schéma Upwind du premier ordre (Courant, Isaacson et Rees, 1952) est basé
sur l’hypothèse que, la variable (Φ) aux différentes facettes du volume de contrôle prend
les valeurs au centre de la cellule dans le sens de l’écoulement. Le terme flux est donnés
par :
( ) ( )[ ] ( )( ) ( )( )
1111 21
21
−−−−−+−−+=−=
iiiiiiii cccccccceei xxvvyyuuxvyuK ΔΔ (III.1.3)
La grande stabilité de ce schéma le rend un choix préférable quand les échanges
convectifs sont prépondérants par rapport aux échanges diffusifs (nombre de Peclet
élevé). Le coefficient pour la face est s’écrit donc:
iviPiie KKK φφφ −−= ,0,0 (III.2.4)
( ) ( )[ ] [ ] ∑∑∑
+
=
+
=
+
=
−=−−=−1
2
1
2
1
2,0,0
ie
iviPp
ie
iviPi
ie
ieee ii
FFKKxvyu φφφφΔΔφ (III.2.5)
Avec [ ]
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
=
∑
∑+
=
+
=
1
2
1
2
,0
,0
ie
iii
ie
iip
KF
KF (III.2.6)
L’avantage de ce schéma c’est d’être simple et efficace et n’utilise pas des grandes mémoires de calcul.
Procédure de Simulation Numérique Page | 56
Flux de diffusion :
Les limites visqueuses qui apparaissent dans l’équation (III.2.2) exigent
l'approximation des dérivés des vitesses sur les arêtes du centre de surface de contrôle
de volume. À cet effet, en utilisant le volume de contrôle auxiliaire représenté sur la
figure (III.2.2), les dérivés de vitesse sont considérés invariables dans ce volume de
contrôle et sont rapprochés par l'expression :
[ ]
[ ]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∑
∑
=−+
=−+
4
111
4
111
21
21
kkki
ie
kkki
ie
xxVy
yyVx
φφ
φφ
(III.2.7)
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ]PvcvPcccvccPi
PvcvPcccvccPie
yyyyyyyyV
yyyyyyyyVx
iiiiiiiii
iiiiiiiii
−+−+−+−−=
−+−+−+−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
−−−
−−−
111
111
2121
φφφφ
φφφφφ
(III.2.8)
Figure (II.2.2) : volume de contrôle auxiliaire
P 1
vi 3
ci-1 2
ci 4 vnr
( ) ( ) ( ) ( ) jyyiyynjxxiyyniiiiii vPvPvccccc
rrrrrr−−−=−−−=
−−;
11
Procédure de Simulation Numérique Page | 57
( )( )
( )( ) ( )( )∑
∑∑+
= +
+
=
+
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−+−−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
++−
−
1
2 1
1
2
21
2
111
1
21
21
21
ie
icccPv
iccvP
i
ie
iccPv
i
ie
ie
e
iiiiiii
iii
yyyyV
yyyyV
yyV
yx
φ
φφΔφ
(III.2.9)
( )( )
( )( ) ( )( )∑
∑∑+
= +
+
=
+
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−+−−
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
++−
−
1
2 1
1
2
21
2
111
1
21
21
21
ie
icccPv
iccvP
i
ie
iccPv
i
ie
ie
e
iiiiiii
iii
yyxxV
yyxxV
xxV
xy
φ
φφΔφ
(III.2.10)
Le résultat final de l'intégration des termes de diffusion est :
∑∑∑∑+
=
+
=
+
=
+
=
++−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂ 1
2
1
2
1
2
1
2
ie
icc
ie
ivvPP
ie
ie
e
ie
ie
eiiii
DDDxy
yx
φφφΔφΔφ (III.2.11)
Avec
( ) ( )[ ]
( )( ) ( )( )[ ]
( )( ) ( )( )[ ]⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−−+−−+
−−+−−−
=
−+−=
=
++++
−−
−−
+
+
=∑
iiiiii
iiiiiii
iiiii
i
ccPvccPvi
ccvPccvPi
c
cccci
v
ie
ivP
yyyyxxxxV
yyyyxxxxV
D
yyxxV
D
DD
1111
11
11
1
22
1
2
21
21
21
(II.2.12)
Vi : le volume de volume de contrôle auxiliaire
Procédure de Simulation Numérique Page | 58
Gradient de Pression :
La pression moyenne le long de n'importe quelle arête de volume de contrôle est
rapprochée au moyen de la règle trapézoïdale utilisant les pressions stockées aux
centres des éléments :
( )( )
( )( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−+−
=
−+=
∑∑
∑∑
=
+
=
=
+
=
++
++
ie
icccc
ie
iee
ie
icccc
ie
iee
iiii
iiii
xxPPxP
yyPPyP
1
1
2
1
1
2
11
11
21
21
Δ
Δ (III.2.13)
La combinaison des équations (III.2.5), (III.2.11) et (III.2.13) donnent La forme
discrétisée finale de l’équation de mouvement suivant x:
( )( ) bUaUayyPPUa
nb
ic
uc
ie
iv
uv
ie
iccccp
uP iiiiiiii
+++−+−= ∑∑∑=
+
=
+
=
+
++1
1
1
1
1
1
1121 τττ (III.2.14)
Avec
( )[ ]( )( )
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=
+=
++= ∑+
=
τ
τΔ
Γ
Γ
ΓτΔ
Pc
cuc
ivuv
ie
iiv
cuP
UVb
Da
FDa
FDVa
ii
ii
i
.
.
.1
2
(III.2.15)
La forme discrétisée finale de l’équation de mouvement suivant y :
( )( ) bVaVaxxPPVa
ie
ic
vc
ie
iv
vv
ie
iccccp
vP iiiiiiii
+++−+= ∑∑∑+
=
++
=
+
=
+
++
1
2
11
2
1
1
1
1121 τττ (II.2.17)
Procédure de Simulation Numérique Page | 59
Avec
( )[ ]( )( )
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
+=
=
+=
++= ∑+
=
cvPc
cvc
ivvv
ie
iiv
cvP
VSVVb
Da
FDa
FDVa
ii
ii
i
τ
τΔ
Γ
Γ
ΓτΔ
.
.
.1
2
(III.2.18)
L'équation (II .2.15; 17) est la forme discrétisée finale de l'équation de
mouvement. Le premier terme du côté droit contient la pression aux centres des
éléments, la deuxième contient les vitesses stockées aux sommets (nœuds) des
éléments, et le troisième contient les vitesses aux centres des éléments entourant le
nœud P. Les valeurs de ces vitesse sont placées égales à leurs valeurs dans l'itération
précédente. Est calculée par l’interpolation :
∑∑==
=3
1
3
1
1m cvi cv
vc
ii
i
LLφ
φ (II.1.19)
Avec
( ) ( )( ) 2/122
iii vcvccv yyxxL −+−= (II.1.20)
Les équations (II.2.15) et (II.2.18), une fois écrites pour tous les nœuds de
maillage, donnent les deux systèmes d'équations linéaires qui pour des valeurs de
rendement, pour les composants provisoires de vitesse à condition que le champ de
pression soit connu. Ici, la solution de ces deux systèmes est exécutée par une méthode
de Gauss‐Seidel (point par point). Pour chaque nœud.
v1
v2v3
c
Figure(III.2.3) : Interpolation des vitesses aux centres des éléments
Procédure de Simulation Numérique Page | 60
Dans la plupart des cas un ou deux itérations de Gauss‐Seidel selon l'itération
globale sont avérées suffisantes, bien que ce nombre dépende des champs initiaux de
pression et de vitesse [21].
Il est approprié de noter ici qu'aucun sous relaxation n'a été employé pendant le
procédé itératif de Gauss‐Seidel pour les équations de mouvement. Les vitesses relaxées
seulement à la fin du procédé, à travers :
( )( )⎩
⎨⎧
−+=
−+=0**
0**
11
PPP
PPP
VVVUUU
αααα
(III.2.21)
Là où l'indice 0 dénote des valeurs à l'itération globale précédente est α le facteur de
sous relaxation.
III.3.2 : Correction des vitesses et de pression :
Après l'algorithme SIMPLE de Patankar et de Spalding, les vitesses et champs de
pression sont considérés à chacune se composent d'une partie provisoire et d'une
correction :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
′+=
′+=
′+=
pppVVVUUU
*
*
*
(III.2.22)
Les équations de correction des vitesses deviennent :
( )( )
( )( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−′+′−=′
−′+′−=′
∑
∑
=+
=+
+
+
ie
icciiv
vv
ie
icciiu
vv
ii
i
i
ii
i
i
xxppa
v
yyppa
u
11
11
1
1
2
2
α
α
(III.2.23)
Procédure de Simulation Numérique Page | 61
III.3.3 : Équation de Pression de correction
L'équation de correction de pression est dérivée de l'équation de continuité
intégrée au‐dessus des éléments de maillage. Sur la figure (III .2.3) les lignes grasses
identifient les volumes de contrôle pour l'équation de pression de correction. La tâche
est que de dériver l’équation de correction de pression au centre de l’élément P.
L’objectif unique de cette équation est d'orienter la pression à un état compatible avec le
principe de conservation de masse.
L’intégration de l'équation de continuité (III.2.1) autour de ce volume de contrôle en utilisation l'équation (III.2.22) donne
( ) ( ) ∑∑∑ −=−=′−′
==
*
1
**
1mxvyuxvyu
ie
ieeee
ie
ieeee &ΔΔΔΔ (III.2.24)
Le gradient de pression à chaque nœud peut être considéré égal à la valeur moyenne
du gradient au‐dessus de la cellule. L’application du théorème de divergence de gauss et
l'utilisation de la règle trapézoïdale le long de chaque côté de la cellule (figure III.2.1)
rapporte les expressions suivantes pour les dérivés de pression à vi :
( )( )
( )( )⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−+−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
++=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∑
∑
=
=
++
++
++
ie
icccc
vvv
ie
icccc
vvv
iikk
iii
iiik
iii
xxPPyp
yp
yyPPxp
xp
1
1
11
11
11
21
21
Ω
Ω (III.2.25)
Là où Ωvi est le volume de contrôle de cellule vi.
Figure (III .2.3) : volume de contrôle pour l’équation de pression de correction
P
c1
c2 c3
Procédure de Simulation Numérique Page | 62
La combinaison des équations (III.2.25) et (III.2.23) mène aux rapports suivants
entre les vitesses de corrections et les dérivés de la pression de correction à iv2 :
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂′∂
−=′
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂′∂
−=′
ii
i
i
ii
i
i
vvv
vv
vuv
vv
yp
av
xp
au
Ωα
Ωα
(III.2.26)
On le suppose après que les relations (III.2.26) également concernent n'importe
quel nœud de la cellule primaire au‐dessus de laquelle la continuité doit être satisfaite :
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂′∂
−=′
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂′∂
−=′
ii
i
ii
i
eve
ee
eue
ee
yp
av
xp
au
Ωα
Ωα
(III.2.27)
A fin d'obtenir des expressions des dérivés de pression de correction dans
l'équation (III.2.27), ont employée encore la cellule auxiliaire représentée sur la figure
(III.2.2). L’application du théorème de divergence de Gauss et la règle trapézoïdale pour
les nœuds est utilisée encore pour donner les expressions suivantes pour les dérivés de
pression dans le volume de contrôle auxiliaire :
Figure (III.2.4) : volume de contrôle auxiliaire
vi+1
vi
P
ci
Procédure de Simulation Numérique Page | 63
( )( ) ( )( )[ ]
( )( ) ( )( )[ ]⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−′+′+−′+′−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂′∂
−′+′+−′+′=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂′∂
++
++
PcvvvvPcee
PcvvvvPcee
xxPPxxppVy
p
yyPPyyppVx
p
iiiiii
i
iiiiii
i
11
11
21
21
(III.2.28)
Quand ces expressions sont introduites dans les équations (III.2.27) et les vitesses de
corrections sont substituées dans l'équation de continuité (III.2.24), l'équation de
pression de correction est obtenue comme suit :
( )iii vv
nec
i e
cii
ve
e
cii
ue
iciPP pp
VxxD
VyyDpLmpL ′−′⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++′+−=′
+∑∑∑==
11
3
1
*
22ΔΔαΔΔα
& (III.2.29)
Avec ( )
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
==
+=+=
= ∑=
uei
eiueiv
ei
eivei
iueii
vei
eiveie
ieiueie
ieii
iiP
aD
aD
yDxDVaV
xaV
yL
LL
ΩΩ
ΔΔαΔΩαΔΩα
;
22222
22
3
1
(III.2.30)
Les termes de l’équation qui concerne le nœud e sont évalués par interpolation
linéaire des termes correspondants aux nœuds. Par exemple :
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
+
+
+
+
uv
vuv
vue
vv
vvv
vve
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
aaD
aaD
1
1
1
1
21
21
ΩΩ
ΩΩ
(III.2.31)
Comme devrait être évident dans les équations (III.2.30‐31, les coefficients de l'équation de pression de correction dans (III.2.29) sont toujours positifs, et la condition
de diagonal dominant est donc satisfaite à condition que les valeurs de pression de
correction des nœuds de maillage contenue dans la somme de côté droit de l'équation
(III.2.29) ne soient pas exprimées en termes de valeurs inconnues de pression de
correction aux centres des éléments. Cette indépendance peut être réalisée, par
exemple, en négligeant le terme, qui est entièrement autorisé, puisque le seul but de
l'équation de correction de pression est de s'assurer que le résiduel de la masse est
Procédure de Simulation Numérique Page | 64
conduit à zéro. Cette simplification étant adopté, la forme finale de l'équation de
correction de pression est donnée par :
∑∑=
′+−=′3
1
*
iciPP i
pLmpL & (III.2.32)
Résiduel de la masse
Afin d'expliquer comment le résiduel de masse est évalué, il est suffisant de
concentrer l'attention sur un flux de masse, disent que par la face de l’élément sur le
figure (III.2.3). D'abord, en combinant les équations (III.2.21) (III .2.17), les valeurs
provisoires de vitesse aux nœuds vi, et vi+1 peuvent être exprimées comme suite :
( )( ) ( ) 0
11
*1
** 12
1i
i
ii v
ie
iiiiiu
v
uvv uyypp
aHu αα −+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−= ∑
=++ (III.2.33)
( )( ) ( ) 0
11
*1
**1
1
11
21
+
+
+−+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−= ∑
=++ i
i
ii v
ie
iiiiiu
v
uvv uyypp
aHu αα (III.2.34)
Avec
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
∑∑
∑∑
==
==
+
+
+
ie
ic
ui
ie
iv
uiu
v
uv
ie
ic
unb
ie
iv
uiu
v
uv
buauaa
H
buauaa
H
ii
i
i
ii
i
i
1
*
1
*
1
*
1
*
1
1
1
1
1
(III.2.35)
Les équations (II.2.33‐34) peuvent être récrites en utilisant l’équation (III.2.25) comme suite :
( )
( )⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−=
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−=
+
++
+
++
0*
*
0*
*
1
11
1
111
2
12
i
ii
i
ii
i
ii
i
vi
vv
uv
vuvv
vv
uv
vuvv
uxp
aHu
uxp
aHu
αΩ
α
αΩ
α
(III.2.36)
Procédure de Simulation Numérique Page | 65
Les oscillations proviennent du calcul numérique utilisé pour le calcul des dérivés
de pression, dans les équations de mouvement. Le schéma d'interpolation de Rhie‐Chaw
[22] implique le remplacement de cette dérivé de pression (ou de gradient dans le cas
général) par une autre expression qui impose l'accouplement entre les valeurs de
pression des deux côtés de chaque arête et la vitesse sur cette arête. Pour réaliser ceci,
des vitesses de face sont calculées à l’aide d’expressions assimilées à l'équation (III.2.36)
:
( ) 0
** 1
2 ee
ue
euee u
xp
aHu α
Ωα −+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−= (III.2.38)
Avec
( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Ω+
Ω=
Ω
+=
+
+
+
uv
v
uv
v
ue
e
uv
uv
ue
i
i
i
i
ii
aaa
HHH
1
1
1
2121
(III.2.39)
Les dérivés de la pression sur l'arête sont calculés en tant que valeurs moyennes
au volume de contrôle auxiliaire de la figure (III.2.3), en utilisant l'équation (III.2.28),
dans laquelle les valeurs de pression de correction devraient être remplacées par des
pressions.
La substitution de l'équation (III.2.28) et d'une expression analogue pour la valeur
provisoire ve dans l'équation (III.2.24) rapporte la valeur finale pour le résiduel de la
masse.
L'équation (III.2.32), une fois écrite pour tous les éléments de maillage, donne le
système linéaire qui rapporte les valeurs de la pression de correction aux centres
d’éléments. Ce système est résolu par la méthode de Gauss‐Seidel qui s'est appliqué aux
équations de mouvement. Cependant, puisque toutes les valeurs de pressure de
correction sont placées égales à zéro avant n'importe quel itération, plus des itérations
internes de l’équation de pression de correction que des équations de mouvement
doivent être exécutées pour l'itération globale, des nombres typiques d’itération étant
de trois à cinq. Il a été observé que la stabilité itérative de schéma est fortement
Procédure de Simulation Numérique Page | 66
sensible aux détails de la solution de l’équation de correction de pression. En particulier,
quand le calcul itératif débute avec un champ de vitesse qui produit de grands résiduels
de masse, les niveaux extrêmes de pression de correction produits et ceci mène souvent
à l'instabilité. Dans de telles circonstances, l'introduction de sous relaxation dans la
solution de Gauss‐Seidel pour l'équation de correction de pression s'est avérée utile.
III.3.4 : Discrétisation de l’équation de l’énergie
Dans cette méthode la température est stockées aux sommets (nœuds) des
éléments triangulaires, donc il a prend la même forme discrétisée que les équations des
mouvements :
baaa
nb
icc
ie
ivvpP iiii
+++= ∑∑=
+
=
++
1
1
1
11 τττ θθθ (III.2.40)
Avec
( )[ ]( )( )
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=
+=
++= ∑+
=
τθτΔ
Γ
Γ
ΓτΔ
Pc
cc
ivv
ie
iiv
cP
Vb
Da
FDa
FDVa
ii
ii
i
.
.
.1
2
(III.2.41)
Procédure de Simulation Numérique Page | 67
III.3.4 : Organigramme :
Début
Initialisation des fonctions ττττ θθ ==== llll PPVVUU ;;;
1er étape : résolution des équations de mouvement, 1 ou 2 itérations (III.2.14), (III.2.17)
2eme étape : résolution de l’équation de pression de correction (III.2.32)
4eme étape : résolution de l’équation de l’énergie (III.2.40)
51
1
10 −+
+
≤−∑ l
ll
φφφ
1
1
1
1
+
+
+
+
=
=
=
=
ll
ll
ll
ll
PPVVUU
θθ
3eme étape : correction des vitesses et de pression (III.2.22), (III.2.23)
Non Oui
310 −
Δ+
Δ+
≤−
∑ ττ
τττ
φφφ
τττ
τττ
τττ
τττ
θθ
τττ
Δ+
Δ+
Δ+
Δ+
=
=
=
=
Δ+=
PPVVUU
Non
OuiAffichage des résultats
Fin
Procédure de Simulation Numérique Page | 68
III.3.5 : Les maillages
Les maillages sont le support des calculs CFD. Il est donc essentiel d’en parler
dans ce paragraphe car le sujet est très souvent peu aborde.
Le maillage est une discrétisation de l’espace à étudier. Il est constitue d’un ensemble
de mailles (ou cellules) dans lesquelles les équations du problème seront résolues. Le
pas d’espace est ici défini comme étant la taille caractéristique d’une maille. Il existe
différent type de cellules : triangulaire, quadratique... La façon dont les cellules sont
assemblées donne lieu a des maillages conformes ou non conformes, structures ou non,
orthogonaux ou non...
La notion de raffinement de maillage est liée a la taille du pas d’espace aux
endroits a fort gradients : il faut mailler petit dans une zone de fort gradient.
Lors d’une étude CFD, l’´etape de création du maillage est cruciale pour assurer la
cohérence des résultats et prendre en compte les considérations physiques du cas a
étudier (raffiner aux bons endroits...), numériques du code utilise (consistance,
convergence...) et pratiques du contexte de l’´etude effectuée (délais, puissance des
ordinateurs, volume de données a traiter...). Cela nécessite donc une expertise de la part
de l’utilisateur du code CFD.
Le nombre de mailles est déterminant en ce qui concerne le temps de calcul car il
conditionne la taille de toutes les matrices utilisées pour résoudre le problème.
L’allongement, l’orthogonalité, la régularité, l’uniformité, l’orientation par rapport a
l’écoulement, sont autant de facteurs influant sur la durée des calculs.
Génération de maillage
Une des composantes clés de n'importe quelle méthode basée sur un maillage
non structuré est la structure de données. N'importe quelle structure de données
contient principalement l'information de connectivité, c.‐à‐d. fournit les informations
nécessaires pour relier chaque composant de maillage (cellule, nœuds, arête) aux
composants adjacents (pas nécessairement du même type). Le stockage des données de
Procédure de Simulation Numérique Page | 69
structure doit être minimisé le temps CPU liée à récupérer des données au moyen des
algorithmes de recherche ou de calcul par exemple. Ainsi dans n'importe quelle méthode de maillage non structuré un compromis doit être affecté entre la mémoire et les
conditions de temps‐ CPU liées à la connectivité.
On le rappelle que les cellules primaires de maillage sont permises d'être des
polygones d'un nombre arbitraire d'arêtes et que n'importe quelle intégration au‐dessus
d'un volume de contrôle est strictement effectuée dans une direction en sens inverse des
aiguilles d'une montre. Les deux faits doivent être expliqués dans la structure de
données qui est employée dans l'algorithme actuel.
Pour n'importe quel maillage non structurée, l'information de connectivité peut
être traitée à moins de deux distinctement différents types de structures de données.
Le premier basé sur les arrêts : est de stocke les deux nœuds qui forment l'arête et les
deux éléments qui se réunissent sur cette arête (le schéma (a)).
La deuxième est base sur les éléments : est de stocke les nœuds qui forment l’élément
(le schéma (b)).
Si ces deux ensembles de données sont combinés, n'importe quelle information
géométrique pour un maillage 2D non structurée peut être fournie, indépendamment
des formes des cellules primaires de ce maillage.
1
2
3
b): connectivite de l’élément
1
O 2
4 O
3
a) connectivite d’un arrêt
Figure (III.3.5) : connectivité de maillage
Procédure de Simulation Numérique Page | 70
Pour la génération du maillage nous avons utilisé le pré processeur de Fluent
(Gambit 2.3.26). Le maillage est défini dans un fichier (*.FDNEUT) qui regroupe les
données suivants :
• le nombre de nœuds et des éléments totaux.
• les coordonnées des nœuds, et la connectivité.
• les zones et les frontières
En effet la lecture du fichier de gambit est faite par un sous programme écrit en
FORTRAN Cette sous programme fait :
1. Déterminer le nombre des zones et des frontières.
2. Les éléments de frontières.
3. Les nœuds de frontières.
4. Les nœuds des cellules.
5. Les éléments des cellules.
6. Les surfaces des éléments et des cellules.
7. Le centre de chaque élément.
8. Les nœuds communs entre les zones (interface)
III.3.6 : Le nombre de Courant
Le nombre de Courant est a la simulation numérique ce qu’est le nombre de
Reynolds a la mécanique des fluides : c’est le nombre adimensionnel de référence. Il
caractérise l’aspect numérique du phénomène de convection. Nous rappelons ici la
définition du nombre de Courant Nc :
dxUdtNcx = (III.2.42)
Ou U est la vitesse, dt le pas de temps utilise pour la simulation numérique et dx
le pas d’espace dans la direction x. pour un maillage non structuré, le pas d'espace étant
remplacé par la hauteur d'un triangle.
Procédure de Simulation Numérique Page | 71
Ce nombre adimensionnel compare deux distances : la distance parcourue
pendant la durée d’un pas de temps et la taille du pas d’espace dans la direction choisie.
Un nombre de Courant de 1 indique que l’information est passée exactement
d’une maille à l’autre en un pas de temps. En cela, la valeur idéale du nombre de Courant
pour une simulation numérique est de 1.
De manière générale, ce nombre est évalue à l’ endroit le plus contraignant
(vitesse la plus importante dans la plus petite maille) pour, par exemple, contrôler la
bonne qualité de la simulation. On notera trois types de comportement présent dans le
ce tableau :
1<<Nc Forte diffusion, stabilité numérique
1=Nc cas idéal 1>>Nc Faible diffusion, risque d’instabilité numérique
Tableau (III.2) : Nombre de Courant
Ce nombre intervient des la création du maillage ou il faut recueillir l’information
du pas d’espace. Ainsi, si l’on veut obtenir un nombre de Courant de 1, la relation
(III.2.42) donne la valeur du pas de temps à utiliser pour la simulation numérique :
max
min
Udx
UdxNcdt x == (III.2.43)
C’est un nombre directionnel qui est généralement calcule dans la direction privilégiée
de l’écoulement (en l’occurrence pour la vitesse U).
Procédure de Simulation Numérique Page | 72
III.4 Algorithme SIMPLE sur un maillage cartésien Colocalisé
Cette méthode a pour objet le développement d'un code de calcul pour la
résolution numérique des équations de Navier‐Stokes en écoulement incompressible.
Les équations sont discrétisées selon la technique des volumes finis sur un maillage
cartésien non orthogonal, Co‐localisé (sans décalage de grille de calcul des composantes
de vitesse et de la pression). Le couplage vitesse‐pression est régi par un algorithme de
type SIMPLE (Semi‐Implicit Method for Pressure‐Linked Equation). Cet algorithme
intègre les approximations de W. Anil Date [23] qui permettent de limiter les oscillations
numériques inhérentes à l'utilisation d'un maillage Co‐localisé.
III. 4.1 La discrétisation de l’équation de transport :
Les équations de conservation présentées au chapitre précédent peuvent être
écrites sous une forme commune. Cette formulation permet de ne pas répéter le travail
de discrétisation pour chaque équation. Si on note Φ la variable étudiée, chacune des
équations peut être réduite à une seule équation générale, en coordonnées cartésiennes
selon la forme :
φ
φΓφφΓφτφ S
yv
yxu
x=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
+∂∂
(III.3.1)
On posant :
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−=
φ
φΓφ
φΓφ
yvJy
xuJx
(III.3.2)
Jx, Jy sont donc les flux totaux (convection et diffusion)
Procédure de Simulation Numérique Page | 73
On portant ces expressions dans (III.3.1), l’équation trouvée est :
φτ
φ SyJy
xJx
=∂∂
+∂∂
+∂∂
(III.3.4)
Figure (III.3.1) : Représentation schématique de volume de contrôle
L’intégration de l’équation sur le volume de contrôle donne :
yxSJsJnJwJeyxPP ΔΔΔΔ
τΔφφ
φ
ττΔτ
=−+−+−+
(III.3.5)
Ou Je, Jw, Jn, Js sont les valeurs des flux totaux aux interfaces du volume de contrôle.
Elles sont données par les intégrales suivantes :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
==
∫∫
∫∫
sn
we
JydxJsJydxJn
JxdyJwJxdyJe
;
; (III.3.6)
Procédure de Simulation Numérique Page | 74
Et φS représenté la valeur moyenne de S dans le volume de contrôle.
L’intégration de l’équation de continuité dans ce volume de contrôle donne :
0=∂∂
+∂∂
∫∫VV
dxdyyvdxdy
xu
(III.3.8)
Il vient :
0=−+− snwe FFFF (III.3.9)
snwe FFFF ;;; Représentent les débits massiques a travers les sections du volume, et
sont donnes par :
⎪⎩
⎪⎨⎧
==
==
sssnnn
wwweee
xUFxUF
yUFyUF
ΔΔ
ΔΔ
;
; (III.3.10)
En multipliant l’équation (III.3.9) par la fonction Pφ et en retranchant l’équation
[33] T. J. CHUNG « Computational fluid dynamics » Cambridge, 1022p, (2002)
1. Variables utilisés :
AE, AW, AN, AS : matrice contient les coefficients est, ouest, nord, sud
AP : matrice contient le coefficient AP
AP1 : matrice contient le coefficient AP de l’équation de correction de pression
APU, APV
CC : critère de Convergence
CCTM : critère de convergence pour les problèmes transitoires
CONMAS : (variable logique) se rapporte à l'imposition de la condition de conservation de masse à la sortie de fluide
DELT : le pas du temps
DENSIT : coefficient de terme flux
IN : Nombre des nœuds dans la direction X (INM = IN–1)
JN : Nombre des nœuds dans la direction Y (JNM =JN−1)
X, Y : Coordonne des nœuds
XC : Coordonne de la face ouest (w)de volume de contrôle
YC : Coordonne de la face sud (s) de volume de contrôle
DXMI : la distance entre les nœuds P et E
DYMI : la distance entre les nœuds P et S
DXP, DYP: les surfaces de volume de contrôle
NTAG : les nœuds interne
NTAGE, NTAGW, NTAGN NTAGS : les nœuds de frontière
GREAT : Paramètre ayant une grande valeur 1030
SMALL : Paramètre ayant une valeur négligeable 10‐30
ANNEXE
Annexe Page | 119
HYBRID, UPWIND, PAWER, CENTRAL, Logique rapporte au schéma choisi
FTRAN : logique rapporte au calcul transitoire faute (une seul itération pour chaque pas de temps)
IPREF, JPREF : le nœud de référence de la pression
IREAD, IWRITE : logique pour lire ou écrit le fichier de donnée
MFREQ : un pas pour l’affichage des résultats
MXIT : Nombre maximum des itérations permises
MXSTEP : Nombre maximum des pas de temps permis
NITER : Itération
NTIME : le pas du temps
P : la pression
PO : la pression au temps précédent
PP : la pression de correction
QW : le flux
RHO : la densité de chaque nœud
RNORM : facteur de normalisation
RP : coefficient de relaxation
RSDU : résiduel
SLVE : Logique pour spécifier l’équation à résoudre
STEADY : Logique rapporte au calcul permanent
UNSTEADY : Logique rapporte au calcul permanent
STIME : le temps initial
TTIME : le temps de NTIME pas
T : la température
TO : la température au temps précédent
U, V : les vitesse
UO, VO : les vitesses au temps précédent
VISCOS : viscosité de l’équation
VIS : la viscosité de chaque nœud
Annexe Page | 120
VOL : volume de volume de contrôle
2. Fichier USER.FOR : exemple pour le teste de ( vahl. davis [30])
C ************************************** C Fichier USER.FOR C **************************************
PROGRAM MAIN IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C **** INITIAL DATA elapsed_time = TIMEF( ) XL=1.D0 YL=1.D0 IN=102 JN=102 INM=IN‐1 JNM=JN‐1 C IREAD=.TRUE. MXIT=20000000 Ra=1000000.D0 Pr=0.71D0 VISCOS(2)=Pr VISCOS(3)=Pr VISCOS(4)=1.D0 CALL MAINPR elapsed_time=TIMEF( ) PRINT*,elapsed_time END C ************************************** SUBROUTINE INIT IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ************************************** C INITIAL GUESS DO 1 J=1,JN T(1,J)=1.D0 1 CONTINUE RETURN END
Annexe Page | 121
C ************************************** SUBROUTINE BSPEC IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C **** PROVIDE BOUNDARY & BLOCKED REGIONS CHARACTER*10 BLOCK,WEST,EAST,SOUTH,NORTH CHARACTER*10 INFLOW,EXIT1,SYMM,EXIT2,WALLT,WALLQ DATA BLOCK,WEST,EAST,SOUTH,NORTH +/'BLOCK','WEST','EAST','SOUTH','NORTH'/ DATA INFLOW,EXIT1,SYMM,EXIT2,WALLT,WALLQ + /'INFLOW','EXIT1','SYMM','EXIT2','WALLT','WALLQ'/ C ***** DEFINES W & E BOUNDARIES CALL TAG(WEST,WALLT,2,2, 2,JNM) CALL TAG(EAST,WALLT,INM,INM,2,JNM) C ***** DEFINES N&S BOUNDARIES CALL TAG(NORTH,WALLQ,2,INM,JNM,JNM) CALL TAG(SOUTH,WALLQ,2,INM,2,2) END C ************************************** SUBROUTINE RESULT IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' DIMENSION VNU(IT) OPEN(24,FILE='RESULT.DAT') WRITE(24,*)'TITLE = CAVITE' WRITE(24,*)'VARIABLES = XX YY UU VV P T ' WRITE(24,*)'ZONE T = ZONE1, I = ',IN + ,' , J = ',JN,' ,F = BLOCK' DO 11 J=1,JN 11 WRITE(24,*)(X(I),I=1,IN) DO 12 J=1,JN 12 WRITE(24,*)(Y(J),I=1,IN) DO 13 J=1,JN 13 WRITE(24,*)(U(I,J),I=1,IN) DO 14 J=1,JN 14 WRITE(24,*)(V(I,J),I=1,IN) DO 15 J=1,JN 15 WRITE(24,*)(P(I,J),I=1,IN) DO 16 J=1,JN 16 WRITE(24,*)(T(I,J),I=1,IN) CLOSE(24) C‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ CALCUL DE NUSSELT LOCAL ET MOYEN SUR LA PAROI CHAUDE
Annexe Page | 122
VNUMOYEN=0.0 AVNU=0.0 DO J=2,JNM VNU(J)=‐(T(2,J)‐T(1,J))/(X(2)‐X(1)) VNUMOY=VNUMOY+VNU(J) ENDDO VNUMOY=VNUMOY/(JNM‐1) DO J=2,JNM‐1 AVNU=AVNU+0.5*(VNU(J)+VNU(J+1))*(Y(J+1)‐Y(J)) ENDDO WRITE(*,*)'NUSSELT SUR LA PAROI CHAUDE=',AVNU,VNUMOY C‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ CALCUL DE NUSSELT LOCAL ET MOYEN SUR LA PAROI FROIDE VNUMOYEN=0.0 AVNU=0.0 DO J=1,JN VNU(J)=‐(T(IN,J)‐T(IN‐1,J))/(X(IN)‐X(INM)) VNUMOY=VNUMOY+VNU(J) ENDDO VNUMOY=VNUMOY/JN DO J=1,JN‐1 AVNU=AVNU+0.5*(VNU(J)+VNU(J+1))*(Y(J+1)‐Y(J)) ENDDO WRITE(*,*)'NUSSELT SUR LA PAROI FROIDE=',AVNU,VNUMOY C‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ CALCUL DES VITESSES MAX UMAX=0.0 VMAX=0.0 DO I=1,IN DO J=1,JN IF(UMAX.GT.U(I,J)) THEN UMAX=U(I,J) JMAX=J ENDIF IF(VMAX.GT.V(I,J)) THEN VMAX=V(I,J) IMAX=I ENDIF ENDDO ENDDO WRITE(*,*)'UMAX=',UMAX,Y(JMAX) WRITE(*,*)'VMAX=',VMAX,X(IMAX) RETURN END C **************************************
Annexe Page | 123
SUBROUTINE ADSORB(NN) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ************************************** N=NN GO TO (10,20,30,40,50,60),N C *** FOR PRESSURE CORRECTION 10 GO TO 1000 C *** FOR U‐VEL 20 GO TO 1000 C *** FOR V‐VEL 30 DO 31 J=2,JNM DO 31 I=2,INM SU(I,J)=SU(I,J)+(Pr*Ra*T(I,J)*VOL(I,J)*(1‐NTAG(I,J))) 31 CONTINUE GO TO 1000 C *** FOR TEMPERATURE 40 GO TO 1000 C *** FOR FLUID PROPERTIES 50 GO TO 1000 C *** CALLED FORM BOUNDP ‐ FOR PRESSURE 60 CONTINUE 1000 CONTINUE RETURN END C ************************************** BLOCK DATA IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' DATA CC,IPREF,JPREF,MXIT/1.0E‐05,1,1,1/ DATA CCTM,MXSTEP,DELT,STIME,MFREQ/1.0E‐05,1000,0.001,0.0,200/ C PP U V W E D T VIS P DATA RP/0.8,0.7D0,0.7D0,0.9D0,1.0,0.3D0/ DATA NSWEEP/10, 1 , 1 , 1, 1 / C **** LOGICAL DATA DATA STEADY, UNSTDY, FTRAN , CONMAS + /.TRUE., .FALSE., .FALSE., .FALSE. / DATA UPWIND,CENTRAL,HYBRID,POWER/.FALSE.,.FALSE.,.FALSE.,.TRUE./ DATA SLVE/4*.TRUE.,.FALSE./ DATA BSOR/2*.FALSE.,.TRUE.,.FALSE.,.FALSE.,.FALSE./ DATA VISCOS/1.D0,1.D0,1.D0,1.D0,1.D0/ DATA DENSIT/1.D0,1.D0,1.D0,1.D0,1.D0/
Annexe Page | 124
DATA IREAD,IWRITE/.FALSE. ,.TRUE./ C ****READ GRID DATA END
3. Fichier COMMON.FOR
C ************************************** C Fichier COMMON.FOR C **************************************
PARAMETER(IT=470,JT=470) PARAMETER(GREAT=1.0E+20,SMALL=1.0E‐20,PI=3.1415926) LOGICAL STEADY,UNSTDY,FTRAN,CONMAS,AXISYMM,BSOR,CENTRAL LOGICAL UPWIND,HYBRID,POWER,SLVE,IREAD,IWRITE LOGICAL GRCELL,GRNODE COMMON STEADY,UNSTDY,FTRAN,CONMAS,AXISYMM,CENTRAL COMMON UPWIND,HYBRID,POWER,SLVE(5),IREAD,IWRITE COMMON IN,JN,INM,JNM,IPREF,JPREF COMMON NPERIOD,DELT,STIME,TTIME,CCTM,CC COMMON MXIT,MXSTEP,NITER,MFREQ COMMON BSOR(6),NSWEEP(5),VISCOS(5),DENSIT(5),RNORM(5),RSDU(5), + FDIF(3),RP(6) COMMON NTAG(IT,JT),NTAGW(IT,JT),NTAGE(IT,JT) + ,NTAGS(IT,JT),NTAGN(IT,JT),VIS(IT,JT),RHO(IT,JT) COMMON U(IT,JT),V(IT,JT),T(IT,JT),P(IT,JT),PP(IT,JT),PSM(IT,JT), + UO(IT,JT),VO(IT,JT),TO(IT,JT),PO(IT,JT),VOL(IT,JT),RHOO(IT,JT) COMMON X(IT),Y(JT),XC(IT),YC(JT),DXMI(IT),DYMI(JT), + DXP(IT,JT),DYP(IT,JT) COMMON RESIU(50000),RESIV(50000),RESIM(50000),RESIT(50000) COMMON QW(IT,JT) COMMON XL,YL,Ra,RE,PR COMMON AW(IT,JT),AE(IT,JT),AS(IT,JT),AN(IT,JT),SU(IT,JT) COMMON SP(IT,JT),AP1(IT,JT),AP(IT,JT),APU(IT,JT),APV(IT,JT)
Annexe Page | 125
4. Fichier LIBRARY.FOR
C ************************************** C Fichier LIBRARY.FOR C **************************************
SUBROUTINE MAINPR
IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' CALL INITIA CALL BSPEC CALL GRID CALL INIT CALL INFLUX IF(IREAD) CALL IPT IF(UNSTDY)CALL UPDATE CALL INIT CALL EQN IF(IWRITE)CALL OPT CALL RESULT RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE INITIA IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* DO 1 J=1,JN DO 1 I=1,IN PP(I,J)=0.D0 P(I,J)=0.D0 U(I,J)=0.D0 V(I,J)=0.D0 T(I,J)=0.D0 QW(I,J)=0.D0 VIS(I,J)=1.D0 RHO(I,J)=1.D0 RHOO(I,J)=1.D0 AW(I,J)=0.D0 AE(I,J)=0.D0 AS(I,J)=0.D0
Annexe Page | 126
AN(I,J)=0.D0 APU(I,J)=GREAT APV(I,J)=GREAT AP1(I,J)=GREAT AP(I,J)=GREAT NTAG(I,J)=0 NTAGW(I,J)=0 NTAGE(I,J)=0 NTAGS(I,J)=0 1 NTAGN(I,J)=0 RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE TAG(CHAR1,CHAR2,IB,IL,JB,JL) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* CHARACTER*10 CHAR1,CHAR2 DO 1 J=JB,JL DO 1 I=IB,IL IF(CHAR1.EQ.'BLOCK')THEN NTAG(I,J)=1 GO TO 1 ENDIF IF (CHAR1.EQ.'WEST')THEN IF(CHAR2.EQ.'INFLOW')NTAGW(I,J)=11 IF(CHAR2.EQ.'SYMM' )NTAGW(I,J)=12 IF(CHAR2.EQ.'EXIT1' )NTAGW(I,J)=13 IF(CHAR2.EQ.'EXIT2' )NTAGW(I,J)=15 IF(CHAR2.EQ.'WALLT' )NTAGW(I,J)=14 IF(CHAR2.EQ.'WALLQ' )NTAGW(I,J)=16 NTAG(I‐1,J)=1 ELSE IF(CHAR1.EQ.'EAST')THEN IF(CHAR2.EQ.'INFLOW')NTAGE(I,J)=21 IF(CHAR2.EQ.'SYMM' )NTAGE(I,J)=22 IF(CHAR2.EQ.'EXIT1' )NTAGE(I,J)=23 IF(CHAR2.EQ.'EXIT2' )NTAGE(I,J)=25 IF(CHAR2.EQ.'WALLT' )NTAGE(I,J)=24 IF(CHAR2.EQ.'WALLQ' )NTAGE(I,J)=26 NTAG(I+1,J)=1 ELSE IF(CHAR1.EQ.'SOUTH')THEN IF(CHAR2.EQ.'INFLOW')NTAGS(I,J)=31 IF(CHAR2.EQ.'SYMM' )NTAGS(I,J)=32
Annexe Page | 127
IF(CHAR2.EQ.'EXIT1' )NTAGS(I,J)=33 IF(CHAR2.EQ.'EXIT2' )NTAGS(I,J)=35 IF(CHAR2.EQ.'WALLT' )NTAGS(I,J)=34 IF(CHAR2.EQ.'WALLQ' )NTAGS(I,J)=36 NTAG(I,J‐1)=1 ELSE IF(CHAR1.EQ.'NORTH')THEN IF(CHAR2.EQ.'INFLOW')NTAGN(I,J)=41 IF(CHAR2.EQ.'SYMM' )NTAGN(I,J)=42 IF(CHAR2.EQ.'EXIT1' )NTAGN(I,J)=43 IF(CHAR2.EQ.'EXIT2' )NTAGN(I,J)=45 IF(CHAR2.EQ.'WALLT' )NTAGN(I,J)=44 IF(CHAR2.EQ.'WALLQ' )NTAGN(I,J)=46 NTAG(I,J+1)=1 ENDIF 1 CONTINUE RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE BOUND(NN) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* N=NN DO 1 J=2,JNM DO 1 I=2,INM VOLP=VOL(I,J) RHOP=RHO(I,J) C *** BLOCKED REGION L=NTAGW(I,J)+NTAGE(I,J)+NTAGS(I,J)+NTAGN(I,J) IF(NTAG(I,J).EQ.1)THEN IF(N.EQ.2)SU(I,J)=GREAT*U(I,J) IF(N.EQ.3)SU(I,J)=GREAT*V(I,J) IF(N.EQ.4)SU(I,J)=GREAT*T(I,J) IF(N.EQ.5)SU(I,J)=GREAT*TS(I,J) SP(I,J)=GREAT GO TO 1 END IF IF(L.EQ.0)GOTO 1 C *** WEST BOUNDARY LW=NTAGW(I,J) IF(LW.EQ.0)GO TO 100 AWNOW=AW(I,J) C INLET
Annexe Page | 128
IF(LW.EQ.11)THEN AW(I,J)=0.0 IF(N.EQ.2)SU(I,J)=AWNOW*U(I‐1,J)+SU(I,J) IF(N.EQ.3)SU(I,J)=AWNOW*V(I‐1,J)+SU(I,J) IF(N.EQ.4)SU(I,J)=AWNOW*T(I‐1,J)+SU(I,J) IF(N.EQ.5)SU(I,J)=AWNOW*TS(I‐1,J)+SU(I,J) SP(I,J)=AWNOW+SP(I,J) ENDIF C SYMMETRY IF(LW.EQ.12)THEN IF(N.EQ.2)SP(I,J)=AWNOW+SP(I,J) AW(I,J)=0.0 IF(N.EQ.2)U(I‐1,J)=0.0 IF(N.EQ.3)V(I‐1,J)=V(I,J) IF(N.EQ.4)T(I‐1,J)=T(I,J) IF(N.EQ.5)TS(I‐1,J)=TS(I,J) ENDIF C EXIT IF(LW.EQ.13.OR.LW.EQ.15) THEN AW(I,J)=0.0 RATIO=(X(I)‐X(I‐1))/DXMI(I+1) IF(LW.EQ.13)RATIO=0.0 IF(N.EQ.2)U(I‐1,J)=U(I,J)‐RATIO*(U(I+1,J)‐U(I,J)) IF(N.EQ.3)V(I‐1,J)=V(I,J)‐RATIO*(V(I+1,J)‐V(I,J)) IF(N.EQ.4)T(I‐1,J)=T(I,J)‐RATIO*(T(I+1,J)‐T(I,J)) IF(N.EQ.5)TS(I‐1,J)=TS(I,J)‐RATIO*(TS(I+1,J)‐TS(I,J)) ENDIF C WALL IF(LW.EQ.14.OR.LW.EQ.16) THEN AW(I,J)=0.0 DELTA=DXMI(I) UWAL=U(I‐1,J) VWAL=V(I‐1,J) VISWAL=VIS(I,J) IF(N.EQ.2) THEN SU(I,J)=AWNOW*UWAL+SU(I,J) SP(I,J)=AWNOW+SP(I,J) ELSE IF(N.EQ.3) THEN SU(I,J)=AWNOW*VWAL+SU(I,J) SP(I,J)=AWNOW+SP(I,J) ELSE IF(N.EQ.4) THEN IF(LW.EQ.14)THEN SU(I,J)=AWNOW*T(I‐1,J)+SU(I,J)
Annexe Page | 129
SP(I,J)=AWNOW+SP(I,J) ELSE IF(LW.EQ.16)THEN SU(I,J)=QW(I‐1,J)*DXMI(I)+SU(I,J) T(I‐1,J)=QW(I‐1,J)*DXMI(I)+T(I,J) ENDIF ELSE IF(N.EQ.5) THEN IF(LW.EQ.14)THEN SU(I,J)=AWNOW*TS(I‐1,J)+SU(I,J) SP(I,J)=AWNOW+SP(I,J) ELSE IF(LW.EQ.16)THEN SU(I,J)=QW(I‐1,J)*DXMI(I)+SU(I,J) TS(I‐1,J)=QW(I‐1,J)*DXMI(I)+TS(I,J) ENDIF ENDIF ENDIF C *** EAST BOUNDARY 100 LE=NTAGE(I,J) IF(LE.EQ.0)GO TO 200 AENOW=AE(I,J) C INLET IF(LE.EQ.21)THEN AE(I,J)=0.0 IF(N.EQ.2)SU(I,J)=AENOW*U(I+1,J)+SU(I,J) IF(N.EQ.3)SU(I,J)=AENOW*V(I+1,J)+SU(I,J) IF(N.EQ.4)SU(I,J)=AENOW*T(I+1,J)+SU(I,J) IF(N.EQ.5)SU(I,J)=AENOW*TS(I+1,J)+SU(I,J) SP(I,J)=AENOW+SP(I,J) ENDIF C SYMMETRY IF(LE.EQ.22)THEN IF(N.EQ.2)SP(I,J)=AENOW+SP(I,J) AE(I,J)=0.0 IF(N.EQ.2)U(I+1,J)=0.0 IF(N.EQ.3)V(I+1,J)=V(I,J) IF(N.EQ.4)T(I+1,J)=T(I,J) IF(N.EQ.5)TS(I+1,J)=TS(I,J) ENDIF C EXIT IF(LE.EQ.23.OR.LE.EQ.25) THEN AE(I,J)=0.0 RATIO=(X(I+1)‐X(I))/DXMI(I) IF(LE.EQ.23)RATIO=0.0 IF(N.EQ.2)U(I+1,J)=U(I,J)+RATIO*(U(I,J)‐U(I‐1,J))
Annexe Page | 130
IF(N.EQ.3)V(I+1,J)=V(I,J)+RATIO*(V(I,J)‐V(I‐1,J)) IF(N.EQ.4)T(I+1,J)=T(I,J)+RATIO*(T(I,J)‐T(I‐1,J)) IF(N.EQ.5)TS(I+1,J)=TS(I,J)+RATIO*(TS(I,J)‐TS(I‐1,J)) ENDIF C WALL IF(LE.EQ.24.OR.LE.EQ.26) THEN AE(I,J)=0.0 DELTA=DXMI(I+1) AREA=DYP(I,J) UWAL=U(I+1,J) VWAL=V(I+1,J) VISWAL=VIS(I,J) IF(N.EQ.2) THEN SU(I,J)=AENOW*UWAL+SU(I,J) SP(I,J)=AENOW+SP(I,J) ELSE IF(N.EQ.3) THEN SU(I,J)=AENOW*VWAL+SU(I,J) SP(I,J)=AENOW+SP(I,J) ELSE IF(N.EQ.4) THEN IF(LE.EQ.24)THEN SU(I,J)=AENOW*T(I+1,J)+SU(I,J) SP(I,J)=AENOW+SP(I,J) ELSE IF(LE.EQ.26)THEN SU(I,J)=QW(I+1,J)*DXMI(I+1)+SU(I,J) T(I+1,J)=QW(I+1,J)*DXMI(I+1)+T(I,J) ENDIF ELSE IF(N.EQ.5) THEN IF(LE.EQ.24)THEN SU(I,J)=AENOW*TS(I+1,J)+SU(I,J) SP(I,J)=AENOW+SP(I,J) ELSE IF(LE.EQ.26)THEN SU(I,J)=QW(I+1,J)*DXMI(I+1)+SU(I,J) TS(I+1,J)=QW(I+1,J)*DXMI(I+1)+TS(I,J) ENDIF ENDIF ENDIF C *** SOUTH BOUNDARY 200 LS=NTAGS(I,J) IF(LS.EQ.0)GO TO 300 ASNOW=AS(I,J) C INLET IF(LS.EQ.31)THEN AS(I,J)=0.0
Annexe Page | 131
IF(N.EQ.2)SU(I,J)=ASNOW*U(I,J‐1)+SU(I,J) IF(N.EQ.3)SU(I,J)=ASNOW*V(I,J‐1)+SU(I,J) IF(N.EQ.4)SU(I,J)=ASNOW*T(I,J‐1)+SU(I,J) IF(N.EQ.5)SU(I,J)=ASNOW*TS(I,J‐1)+SU(I,J) SP(I,J)=ASNOW+SP(I,J) ENDIF C SYMMETRY IF(LS.EQ.32)THEN IF(N.EQ.3)SP(I,J)=ASNOW+SP(I,J) AS(I,J)=0.0 IF(N.EQ.3)V(I,J‐1)=0.0 IF(N.EQ.2)U(I,J‐1)=U(I,J) IF(N.EQ.4)T(I,J‐1)=T(I,J) IF(N.EQ.5)TS(I,J‐1)=TS(I,J) ENDIF C EXIT IF(LS.EQ.33.OR.LS.EQ.35) THEN RATIO=(Y(J)‐Y(J‐1))/DYMI(J+1) IF(LS.EQ.33)RATIO=0.0 AS(I,J)=0.0 IF(N.EQ.2)U(I,J‐1)=U(I,J)‐RATIO*(U(I,J+1)‐U(I,J)) IF(N.EQ.3)V(I,J‐1)=V(I,J)‐RATIO*(V(I,J+1)‐V(I,J)) IF(N.EQ.4)T(I,J‐1)=T(I,J)‐RATIO*(T(I,J+1)‐T(I,J)) IF(N.EQ.5)TS(I,J‐1)=TS(I,J)‐RATIO*(TS(I,J+1)‐TS(I,J)) ENDIF C WALL IF(LS.EQ.34.OR.LS.EQ.36) THEN AS(I,J)=0.0 DELTA=DYMI(J) AREA=DXP(I,J) UWAL=U(I,J‐1) VWAL=V(I,J‐1) VISWAL=VIS(I,J) IF(N.EQ.2) THEN SU(I,J)=ASNOW*UWAL+SU(I,J) SP(I,J)=ASNOW+SP(I,J) ELSE IF(N.EQ.3) THEN SU(I,J)=ASNOW*VWAL+SU(I,J) SP(I,J)=ASNOW+SP(I,J) ELSE IF(N.EQ.4) THEN TERM=VISWAL/(DELTA)*AREA IF(LS.EQ.34)THEN SU(I,J)=ASNOW*T(I,J‐1)+SU(I,J)
Annexe Page | 132
SP(I,J)=ASNOW+SP(I,J) ELSE IF(LS.EQ.36)THEN SU(I,J)=QW(I,J‐1)*DYMI(J)+SU(I,J) T(I,J‐1)=QW(I,J‐1)*DYMI(J)+T(I,J) ENDIF ELSE IF(N.EQ.5) THEN TERM=VISWAL/(DELTA)*AREA IF(LS.EQ.34)THEN SU(I,J)=ASNOW*TS(I,J‐1)+SU(I,J) SP(I,J)=ASNOW+SP(I,J) ELSE IF(LS.EQ.36)THEN SU(I,J)=QW(I,J‐1)*DYMI(J)+SU(I,J) TS(I,J‐1)=QW(I,J‐1)*DYMI(J)+TS(I,J) ENDIF ENDIF ENDIF C *** NORTH BOUNDARY 300 LN=NTAGN(I,J) IF(LN.EQ.0)GO TO 1 ANNOW=AN(I,J) C INLET IF(LN.EQ.41)THEN AN(I,J)=0.0 IF(N.EQ.2)SU(I,J)=ANNOW*U(I,J+1)+SU(I,J) IF(N.EQ.3)SU(I,J)=ANNOW*V(I,J+1)+SU(I,J) IF(N.EQ.4)SU(I,J)=ANNOW*T(I,J+1)+SU(I,J) IF(N.EQ.5)SU(I,J)=ANNOW*TS(I,J+1)+SU(I,J) SP(I,J)=ANNOW+SP(I,J) ENDIF C SYMMETRY IF(LN.EQ.42)THEN IF(N.EQ.3)SP(I,J)=ANNOW+SP(I,J) AN(I,J)=0.0 IF(N.EQ.3)V(I,J+1)=0.0 IF(N.EQ.2)U(I,J+1)=U(I,J) IF(N.EQ.4)T(I,J+1)=T(I,J) IF(N.EQ.5)TS(I,J+1)=TS(I,J) ENDIF C EXIT IF(LN.EQ.43.OR.LN.EQ.45) THEN AN(I,J)=0.0 RATIO=(Y(J+1)‐Y(J))/DYMI(J) IF(LN.EQ.43)RATIO=0.0
Annexe Page | 133
IF(N.EQ.2)U(I,J+1)=U(I,J)+RATIO*(U(I,J)‐U(I,J‐1)) IF(N.EQ.3)V(I,J+1)=V(I,J)+RATIO*(V(I,J)‐V(I,J‐1)) IF(N.EQ.4)T(I,J+1)=T(I,J)+RATIO*(T(I,J)‐T(I,J‐1)) IF(N.EQ.5)TS(I,J+1)=TS(I,J)+RATIO*(TS(I,J)‐TS(I,J‐1)) ENDIF C WALL IF(LN.EQ.44.OR.LN.EQ.46) THEN AN(I,J)=0.0 DELTA=(Y(J+1)‐Y(J)) AREA=DXP(I,J) UWAL=U(I,J+1) VWAL=V(I,J+1) VISWAL=VIS(I,J) IF(N.EQ.2) THEN SU(I,J)=ANNOW*UWAL+SU(I,J) SP(I,J)=ANNOW+SP(I,J) ELSE IF(N.EQ.3) THEN SU(I,J)=ANNOW*VWAL+SU(I,J) SP(I,J)=ANNOW+SP(I,J) ELSE IF(N.EQ.4) THEN IF(LN.EQ.44)THEN SU(I,J)=ANNOW*T(I,J+1)+SU(I,J) SP(I,J)=ANNOW+SP(I,J) ELSE IF(LN.EQ.46)THEN SU(I,J)=QW(I,J+1)*DYMI(J+1)+SU(I,J) T(I,J+1)=QW(I,J+1)*DYMI(J+1)+T(I,J) ENDIF ELSE IF(N.EQ.5) THEN IF(LN.EQ.44)THEN SU(I,J)=ANNOW*TS(I,J+1)+SU(I,J) SP(I,J)=ANNOW+SP(I,J) ELSE IF(LN.EQ.46)THEN SU(I,J)=QW(I,J+1)*DYMI(J+1)+SU(I,J) TS(I,J+1)=QW(I,J+1)*DYMI(J+1)+TS(I,J) ENDIF ENDIF ENDIF 1 CONTINUE IF(BSOR(6))CALL ADSORB(6) RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE GRID
Annexe Page | 134
IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* C CALCULATE NODAL COORDINATES DX=XL/FLOAT(IN‐2) DY=YL/FLOAT(JN‐2) X(1)=0.D0 Y(1)=0.D0 X(2)=DX/2.D0 Y(2)=DY/2.D0 X(IN)=XL Y(JN)=YL DO 1 I=3,INM X(I)=X(I‐1)+DX 1 CONTINUE DO 2 J=3,JNM Y(J)=Y(J‐1)+DY 2 CONTINUE C CALCULATE CELL‐FACE COORDINATES XC(2)=X(1) YC(2)=Y(1) XC(1)=XC(2) YC(1)=YC(2) DO 3 I=3,INM 3 XC(I)=0.5D0*(X(I)+X(I‐1)) XC(IN)=X(IN) DO 4 J=3,JNM 4 YC(J)=0.5D0*(Y(J)+Y(J‐1)) YC(JN)=Y(JN) C *** CALCULATE INTERPOLATION FACTORS DXMI(1)=0.D0 DO 5 I=2,IN 5 DXMI(I)=X(I)‐X(I‐1) DYMI(1)=0.D0 DO 6 J=2,JN 6 DYMI(J)=Y(J)‐Y(J‐1) C *** CALCULATE AREAS SUMVOL=0.D0 DO 7 J=2,JNM DO 7 I=2,INM LW=NTAGW(I,J)/10 LE=NTAGE(I,J)/20 LS=NTAGS(I,J)/30
Annexe Page | 135
LN=NTAGN(I,J)/40 DXP(I,J)=(1‐LE)*(1‐LW)*(XC(I+1)‐XC(I))+LE*(X(I+1)‐XC(I))+ + LW*(XC(I+1)‐X(I‐1)) DYP(I,J)=(1‐LN)*(1‐LS)*(YC(J+1)‐YC(J))+LN*(Y(J+1)‐YC(J))+ + LS*(YC(J+1)‐Y(J‐1)) VOL(I,J)=DXP(I,J)*DYP(I,J) SUMVOL=SUMVOL+VOL(I,J) 7 CONTINUE WRITE(*,*)' DOMAIN VOLUME = ',SUMVOL RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE COEF(NN) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* N=NN IF(N.EQ.1) GO TO 1000 C COEFFICIENTS OF TRANSPORT EQUATIONS DO 1 J=2,JNM DO 1 I=2,INM AW(I,J)=0.D0 AE(I,J)=0.D0 AS(I,J)=0.D0 AN(I,J)=0.D0 SU(I,J)=0.D0 SP(I,J)=0.D0 IF (NTAG(I,J).EQ.1)GOTO 1 C *** DIFFUSION COEFFICIENTS AND INTERPOLATED VALUES LW=NTAGW(I,J)/10 LE=NTAGE(I,J)/20 LS=NTAGS(I,J)/30 LN=NTAGN(I,J)/40 C *** CONVECTION COEFFICIENTS CW=(FINTW(RHO,I,J)*(1‐LW)+LW*RHO(I,J))*FINTW(U,I,J)*DYP(I,J) CE=(FINTE(RHO,I,J)*(1‐LE)+LE*RHO(I,J))*FINTE(U,I,J)*DYP(I,J) CS=(FINTS(RHO,I,J)*(1‐LS)+LS*RHO(I,J))*FINTS(V,I,J)*DXP(I,J) CN=(FINTN(RHO,I,J)*(1‐LN)+LN*RHO(I,J))*FINTN(V,I,J)*DXP(I,J) C **** DIFFUSION COEFFICIENTS (ALLOWANCE FOR BLOCKED REGIONS ) DW=(FINTW(VIS,I,J)*(1‐LW)+LW*VIS(I,J))*DYP(I,J)/DXMI(I) DE=(FINTE(VIS,I,J)*(1‐LE)+LE*VIS(I,J))*DYP(I,J)/DXMI(I+1) DS=(FINTN(VIS,I,J)*(1‐LS)+LS*VIS(I,J))*DXP(I,J)/DYMI(J)
Annexe Page | 136
DN=(FINTS(VIS,I,J)*(1‐LN)+LN*VIS(I,J))*DXP(I,J)/DYMI(J+1) C *** CALCULATE CELL‐PECLET NUMBERS PECLW=CW/(DW+SMALL) PECLE=CE/(DE+SMALL) PECLS=CS/(DS+SMALL) PECLN=CN/(DN+SMALL) C *** CONVECTION SCHEMES IF(UPWIND)THEN AAW=1.0 AAE=1.0 AAS=1.0 AAN=1.0 ELSE IF(CENTRAL)THEN AAW=1.D0‐0.5*DABS(PECLW) AAE=1.D0‐0.5*DABS(PECLE) AAS=1.D0‐0.5*DABS(PECLS) AAN=1.D0‐0.5*DABS(PECLN) ELSE IF(HYBRID)THEN AAW=DMAX1(0.0,1.D0‐0.5*DABS(PECLW)) AAE=DMAX1(0.0,1.D0‐0.5*DABS(PECLE)) AAS=DMAX1(0.0,1.D0‐0.5*DABS(PECLS)) AAN=DMAX1(0.0,1.D0‐0.5*DABS(PECLN)) ELSE IF(POWER)THEN AAW=DMAX1(0.0,(1.D0‐0.1*DABS(PECLW))**5) AAE=DMAX1(0.0,(1.D0‐0.1*DABS(PECLE))**5) AAS=DMAX1(0.0,(1.D0‐0.1*DABS(PECLS))**5) AAN=DMAX1(0.0,(1.D0‐0.1*DABS(PECLN))**5) ENDIF C *** TOTAL COEFFICIENTS AW(I,J)=DW*(AAW+DMAX1(PECLW,0.0)) AE(I,J)=DE*(AAE+DMAX1(‐PECLE,0.0)) AS(I,J)=DS*(AAS+DMAX1(PECLS,0.0)) AN(I,J)=DN*(AAN+DMAX1(‐PECLN,0.0)) 1 CONTINUE GO TO 2000 C COEFFICIENTS OF PRESSURE CORRECTION EQUATION 1000 DO 2 J=2,JNM DO 2 I=2,INM AW(I,J)=0.D0 AE(I,J)=0.D0 AS(I,J)=0.D0 AN(I,J)=0.D0 SU(I,J)=0.D0
Annexe Page | 137
SP(I,J)=0.D0 PP(I,J)=0.D0 IF (NTAG(I,J).EQ.1)GOTO 2 LW=NTAGW(I,J)/10 LE=NTAGE(I,J)/20 LS=NTAGS(I,J)/30 LN=NTAGN(I,J)/40 LB=1‐NTAG(I,J) C WEST SUMW=FINTW(APU,I,J) AW(I,J)=FINTW(RHO,I,J)*(DYP(I,J))**2/SUMW*(1‐LW)*LB C EAST SUME=FINTE(APU,I,J) AE(I,J)=FINTE(RHO,I,J)*(DYP(I,J))**2/SUME*(1‐LE)*LB C SOUTH SUMS=FINTS(APV,I,J) AS(I,J)=FINTS(RHO,I,J)*(DXP(I,J))**2/SUMS*(1‐LS)*LB C NORTH SUMN=FINTN(APV,I,J) AN(I,J)=FINTN(RHO,I,J)*(DXP(I,J))**2/SUMN*(1‐LN)*LB 2 CONTINUE 2000 CONTINUE RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE SORCE(NNV) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* N=NNV GO TO (10,20,30,40,50),N C *** FOR PRESSURE CORRECTION 10 DO 11 J=2,JNM DO 11 I=2,INM IF (NTAG(I,J).EQ.1)GOTO 11 CW=FINTW(RHO,I,J)*FINTW(U,I,J)*DYP(I,J) CE=FINTE(RHO,I,J)*FINTE(U,I,J)*DYP(I,J) CS=FINTS(RHO,I,J)*FINTS(V,I,J)*DXP(I,J) CN=FINTN(RHO,I,J)*FINTN(V,I,J)*DXP(I,J) SM=CE‐CW+CN‐CS IF(UNSTDY)SM=SM+(RHO(I,J)‐RHOO(I,J))/DELT*VOL(I,J) SU(I,J)=SU(I,J)‐SM*(1‐NTAG(I,J)) 11 CONTINUE
Annexe Page | 138
GO TO 1000 C *** FOR U‐VELOCITY 20 DO 21 J=2,JNM DO 21 I=2,INM IF (NTAG(I,J).EQ.1)GOTO 21 DPDX=(FINTE(P,I,J)‐FINTW(P,I,J))/DXP(I,J) SU(I,J)=SU(I,J)‐DPDX*VOL(I,J)*(1‐NTAG(I,J)) 21 CONTINUE GO TO 1000 C *** FOR V‐VELOCITY 30 DO 31 J=2,JNM DO 31 I=2,INM IF (NTAG(I,J).EQ.1)GOTO 31 DPDY=(FINTN(P,I,J)‐FINTS(P,I,J))/DYP(I,J) SU(I,J)=SU(I,J)‐DPDY*VOL(I,J)*(1‐NTAG(I,J)) 31 CONTINUE GO TO 1000 C *** FOR TEMPERATURE 40 DO 41 J=2,JNM DO 41 I=2,INM SU(I,J)=SU(I,J)+0.D0 41 CONTINUE GOTO 1000 50 DO 51 J=2,JNM DO 51 I=2,INM SU(I,J)=SU(I,J)+0.D0 51 CONTINUE 1000 CONTINUE RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE APCOF(NN) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* N=NN RPINV=1./RP(N) DO 1 J=2,JNM DO 1 I=2,INM IF (NTAG(I,J).EQ.1)GOTO 1 SUM=AW(I,J)+AE(I,J)+AS(I,J)+AN(I,J) IF(N.EQ.1)AP1(I,J)=(SUM+SP(I,J))*RPINV IF(N.GT.1)AP(I,J)=(SUM+SP(I,J))*RPINV
Annexe Page | 139
IF(N.EQ.2)APU(I,J)=AP(I,J) IF(N.EQ.3)APV(I,J)=AP(I,J) 1 CONTINUE RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE PROPS(NN) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* NE=NN DO 1 J=1,JN DO 1 I=1,IN RHO(I,J)=DENSIT(NE) VIS(I,J)=VISCOS(NE) 1 CONTINUE IF(BSOR(5))CALL ADSORB(5) RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE UNST(NN) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' N=NN DO 1 J=2,JNM DO 1 I=2,INM IF (NTAG(I,J).EQ.1)GOTO 1 SUU=SU(I,J) TERM=RHO(I,J)*VOL(I,J)/DELT*(1‐NTAG(I,J)) IF(UNSTDY)THEN TERM=TERM*RHOO(I,J)/RHO(I,J) IF(N.EQ.2)SU(I,J)=TERM*UO(I,J)+SUU IF(N.EQ.3)SU(I,J)=TERM*VO(I,J)+SUU IF(N.EQ.4)SU(I,J)=TERM*TO(I,J)+SUU IF(N.EQ.5)SU(I,J)=TERM*TSO(I,J)+SUU ELSE IF(FTRAN)THEN IF(N.EQ.2)SU(I,J)=TERM*U(I,J)+SUU IF(N.EQ.3)SU(I,J)=TERM*V(I,J)+SUU IF(N.EQ.4)SU(I,J)=TERM*T(I,J)+SUU IF(N.EQ.5)SU(I,J)=TERM*TS(I,J)+SUU ENDIF SP(I,J)=TERM +SP(I,J) 1 CONTINUE
Annexe Page | 140
RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE UPDATE IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* DO 1 J=1,JN DO 1 I=1,IN RHOO(I,J)=RHO(I,J) PO(I,J)=P(I,J) UO(I,J)=U(I,J) VO(I,J)=V(I,J) TO(I,J)=T(I,J) 1 CONTINUE RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE INFLUX IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* DO 1 N=1,4 1 RNORM(N)=0.0 DO 2 J=2,JNM DO 2 I=2,INM IF (NTAG(I,J).EQ.1)GOTO 2 IF(NTAGW(I,J).EQ.11) THEN CW=DABS(RHO(I‐1,J)*U(I‐1,J)*DYP(I,J)) VT=SQRT(U(I‐1,J)**2+V(I‐1,J)**2) RNORM(1)=RNORM(1)+CW RNORM(2)=RNORM(2)+CW*VT RNORM(3)=RNORM(2) RNORM(4)=RNORM(4)+CW*DABS(T(I‐1,J)) ELSE IF(NTAGE(I,J).EQ.21) THEN CE=DABS(RHO(I+1,J)*U(I+1,J)*DYP(I,J)) VT=SQRT(U(I+1,J)**2+V(I+1,J)**2) RNORM(1)=RNORM(1)+CE RNORM(2)=RNORM(2)+CE*VT RNORM(3)=RNORM(2) RNORM(4)=RNORM(4)+CE*DABS(T(I+1,J)) ELSE IF(NTAGS(I,J).EQ.31) THEN CS=DABS(RHO(I,J‐1)*V(I,J‐1)*DXP(I,J))
Annexe Page | 141
VT=SQRT(U(I,J‐1)**2+V(I,J‐1)**2) RNORM(1)=RNORM(1)+CS RNORM(2)=RNORM(2)+CS*VT RNORM(3)=RNORM(2) RNORM(4)=RNORM(4)+CS*DABS(T(I,J‐1)) ELSE IF(NTAGN(I,J).EQ.41) THEN CN=DABS(RHO(I,J+1)*V(I,J+1)*DXP(I,J)) VT=SQRT(U(I,J+1)**2+V(I,J+1)**2) RNORM(1)=RNORM(1)+CN RNORM(2)=RNORM(2)+CN*VT RNORM(3)=RNORM(2) RNORM(4)=RNORM(4)+CN*DABS(T(I,J+1)) ENDIF 2 CONTINUE DO 3 N=1,4 TERM=DABS(RNORM(N)) 3 IF(TERM.LT.10.*SMALL)RNORM(N)=1.0 WRITE(6,*)' RNORM VALUES' WRITE(6,*)(RNORM(N),N=1,4) RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE MASBAL IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* SUMFW=0.0 SUMFE=0.0 SUMFS=0.0 SUMFN=0.0 DO 2 J=2,JNM DO 2 I=2,INM IF(NTAGW(I,J).EQ.13.OR.NTAGW(I,J).EQ.15) THEN CW=RHO(I‐1,J)*U(I‐1,J)*DYP(I,J) SUMFW=SUMFW+CW ELSE IF(NTAGE(I,J).EQ.23.OR.NTAGE(I,J).EQ.25) THEN CE=RHO(I+1,J)*U(I+1,J)*DYP(I,J) SUMFE=SUMFE+CE ELSE IF(NTAGS(I,J).EQ.33.OR.NTAGS(I,J).EQ.35) THEN CS=RHO(I,J‐1)*V(I,J‐1)*DXP(I,J) SUMFS=SUMFS+CS ELSE IF(NTAGN(I,J).EQ.43.OR.NTAGN(I,J).EQ.45) THEN CN=RHO(I,J+1)*V(I,J+1)*DXP(I,J)
Annexe Page | 142
SUMFN=SUMFN+CN ENDIF 2 CONTINUE SUMF=DABS(SUMFW)+DABS(SUMFE)+DABS(SUMFS)+DABS(SUMFN) FACTOR=RNORM(1)/(SUMF+SMALL) WRITE(*,8787)FACTOR C APPLY MASS CONSERVATION AT EXIT IF(CONMAS)THEN DO 3 J=2,JNM DO 3 I=2,INM IF(NTAGW(I,J).EQ.13.OR.NTAGW(I,J).EQ.15) THEN U(I‐1,J)=U(I‐1,J)*FACTOR V(I‐1,J)=V(I‐1,J)*FACTOR ELSE IF(NTAGE(I,J).EQ.23.OR.NTAGE(I,J).EQ.25) THEN U(I+1,J)=U(I+1,J)*FACTOR V(I+1,J)=V(I+1,J)*FACTOR ELSE IF(NTAGS(I,J).EQ.33.OR.NTAGS(I,J).EQ.35) THEN V(I,J‐1)=V(I,J‐1)*FACTOR U(I,J‐1)=U(I,J‐1)*FACTOR ELSE IF(NTAGN(I,J).EQ.43.OR.NTAGN(I,J).EQ.45) THEN V(I,J+1)=V(I,J+1)*FACTOR U(I,J+1)=U(I,J+1)*FACTOR ENDIF 3 CONTINUE ENDIF 8787 FORMAT(50X,F10.8,F10.8) RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE PVCOR IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* C **** APPLY SMOOTHING PRESSURE CORRECTION DO 4 J=2,JNM DO 4 I=2,INM IF (NTAG(I,J).EQ.1)GOTO 4 PMX=(DXMI(I)*P(I+1,J)+DXMI(I+1)*P(I‐1,J))/(DXMI(I)+DXMI(I+1)) PMY=(DYMI(J)*P(I,J+1)+DYMI(J+1)*P(I,J‐1))/(DYMI(J)+DYMI(J+1)) PSM(I,J)=0.5*(P(I,J)‐((PMX+PMY)/2.D0)) PP(I,J)=(PP(I,J)‐PSM(I,J))*(1‐NTAG(I,J)) 4 CONTINUE C *** APPLY MASS‐CONSERVING PRESSURE CORRECTION
Annexe Page | 143
PREF=0.0 !PP(IPREF,JPREF) RSP=0.0 DO 6 I=2,JNM DO 6 J=2,JNM IF (NTAG(I,J).EQ.1)GOTO 6 P(I,J)=P(I,J)+(PP(I,J)‐PREF)*RP(6)*(1‐NTAG(I,J)) IF(DABS(PP(I,J)).GT.RSP)THEN RSP=DABS(PP(I,J)) ENDIF 6 CONTINUE FDIF(1)=RSP CALL BOUNDP C *** CORRECT VELOCITIES RSU=0.0 RSV=0.0 DO 1 J=2,JNM DO 1 I=2,INM IF (NTAG(I,J).EQ.1)GOTO 1 PSMW=FINTW(PP,I,J) PSME=FINTE(PP,I,J) PSMS=FINTS(PP,I,J) PSMN=FINTN(PP,I,J) C CORRECT U‐VELOCITY IF(SLVE(2))THEN DPDX=(PSME‐PSMW)/DXP(I,J) UDASH=‐DPDX*VOL(I,J)/APU(I,J)*(1‐NTAG(I,J)) IF(DABS(UDASH).GT.RSU)RSU=DABS(UDASH) U(I,J)=U(I,J)+UDASH ENDIF C CORRECT V‐VELOCITY IF(SLVE(3))THEN DPDY=(PSMN‐PSMS)/DYP(I,J) VDASH=‐DPDY*VOL(I,J)/APV(I,J)*(1‐NTAG(I,J)) IF(DABS(VDASH).GT.RSV)RSV=DABS(VDASH) V(I,J)=V(I,J)+VDASH ENDIF 1 CONTINUE CALL BOUND(2) CALL BOUND(3) FDIF(2)=RSU FDIF(3)=RSV C CHECK MASS RESIDUAL SUM=0.0
Annexe Page | 144
DO 9 J=2,JNM DO 9 I=2,INM IF (NTAG(I,J).EQ.1)GOTO 9 TERM=AE(I,J)*PP(I+1,J)+AW(I,J)*PP(I‐1,J) + +AN(I,J)*PP(I,J+1)+AS(I,J)*PP(I,J‐1)‐AP1(I,J)*PP(I,J)*RP(1) IF(TERM.GT.GREAT*0.01)TERM=0.0 SUM=SUM+(TERM**2)*(1‐NTAG(I,J)) 9 CONTINUE RSDU(1)=SQRT(SUM)/RNORM(1) RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE BOUNDP IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* DO 2 J=2,JNM DO 2 I=2,INM IF (NTAG(I,J).EQ.1) GO TO 2 LW=NTAGW(I,J)/10 LE=NTAGE(I,J)/20 LS=NTAGS(I,J)/30 LN=NTAGN(I,J)/40 C EAST‐WEST IF(LW.EQ.1) THEN RATIO=DXMI(I)/DXMI(I+1) P(I‐1,J)=P(I,J)‐RATIO*(P(I+1,J)‐P(I,J)) PP(I‐1,J)=PP(I,J)‐RATIO*(PP(I+1,J)‐PP(I,J)) ENDIF IF(LE.EQ.1) THEN RATIO=DXMI(I+1)/DXMI(I) P(I+1,J)=P(I,J)+RATIO*(P(I,J)‐P(I‐1,J)) PP(I+1,J)=PP(I,J)+RATIO*(PP(I,J)‐PP(I‐1,J)) ENDIF C NORTH‐SOUTH IF(LS.EQ.1) THEN RATIO=DYMI(J)/DYMI(J+1) P(I,J‐1)=P(I,J)‐RATIO*(P(I,J+1)‐P(I,J)) PP(I,J‐1)=PP(I,J)‐RATIO*(PP(I,J+1)‐PP(I,J)) ENDIF IF(LN.EQ.1) THEN RATIO=DYMI(J+1)/DYMI(J) P(I,J+1)=P(I,J)+RATIO*(P(I,J)‐P(I,J‐1))
Annexe Page | 145
PP(I,J+1)=PP(I,J)+RATIO*(PP(I,J)‐PP(I,J‐1)) ENDIF 2 CONTINUE IF(BSOR(6))CALL ADSORB(6) RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE SOLVE(F,RPP,RSUM) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* DIMENSION F(IT,JT) DIMENSION SA(MXGR),SB(MXGR),SS(MXGR),PSI(MXGR) C *** CALCULATION OF RESIDUALS RS=0.0 DO 10 J=2,JNM DO 10 I=2,INM IF (NTAG(I,J).EQ.1)GOTO 10 TERM=AW(I,J)*F(I‐1,J)+AE(I,J)*F(I+1,J) + +AS(I,J)*F(I,J‐1)+AN(I,J)*F(I,J+1) TERM=TERM+SU(I,J)‐F(I,J)*AP(I,J)*RPP FACTOR=1.0 IF(SP(I,J).GT.GREAT*1.0E‐10)FACTOR=0.0 TERM=TERM*FACTOR*(1‐NTAG(I,J)) RS=RS+TERM*TERM 10 CONTINUE RSUM=SQRT(RS) C*** J‐DIRECTION SWEEP DO 51 J=2,JNM DO 52 I=2,INM SOR=SU(I,J) DEN=1.D0/(AP(I,J)+SMALL) SOR=SOR+(1.‐RPP)/(DEN+SMALL)*F(I,J) SA(I)=AE(I,J)*DEN SB(I)=AW(I,J)*DEN SS(I)=(AS(I,J)*F(I,J‐1)+AN(I,J)*F(I,J+1)+SOR)*DEN 52 CONTINUE PSI1=F(1,J) PSIN=F(IN,J) CALL TDMA(2,INM,PSI1,PSIN,SA,SB,SS,PSI) DO 53 I=2,INM LP=NTAG(I,J) 53 F(I,J)=PSI(I)*(1‐LP)+LP*F(I,J)
Annexe Page | 146
51 CONTINUE C*** I‐DIRECTION SWEEP DO 54 I=2,INM DO 55 J=2,JNM SOR=SU(I,J) DEN=1.0/(AP(I,J)+SMALL) SOR=SOR+(1.‐RPP)/DEN*F(I,J) SA(J)=AN(I,J)*DEN SB(J)=AS(I,J)*DEN SS(J)=(AW(I,J)*F(I‐1,J)+AE(I,J)*F(I+1,J)+SOR)*DEN 55 CONTINUE PSI1=F(I,1) PSIN=F(I,JN) CALL TDMA(2,JNM,PSI1,PSIN,SA,SB,SS,PSI) DO 56 J=2,JNM LP=NTAG(I,J) 56 F(I,J)=PSI(J)*(1‐LP)+LP*F(I,J) 54 CONTINUE RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE SOLP IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* DIMENSION SA(MXGR),SB(MXGR),SS(MXGR),PSI(MXGR) DO 100 L=1,NSWEEP(1) C*** J‐DIRECTION SWEEP DO 51 J=2,JNM DO 52 I=2,INM SOR=SU(I,J) DEN=1.0/(AP1(I,J)+SMALL) SOR=SOR+(1.‐RP(1))*PP(I,J)/DEN SA(I)=AE(I,J)*DEN SB(I)=AW(I,J)*DEN SS(I)=(AS(I,J)*PP(I,J‐1)+AN(I,J)*PP(I,J+1)+SOR)*DEN 52 CONTINUE PSI1=PP(1,J) PSIN=PP(IN,J) CALL TDMA(2,INM,PSI1,PSIN,SA,SB,SS,PSI) DO 53 I=2,INM LP=NTAG(I,J) 53 PP(I,J)=PSI(I)*(1‐LP)+LP*PP(I,J)
Annexe Page | 147
51 CONTINUE C*** I‐DIRECTION SWEEP DO 54 I=2,INM DO 55 J=2,JNM SOR=SU(I,J) DEN=1.D0/(AP1(I,J)+SMALL) SOR=SOR+(1.‐RP(1))/DEN*PP(I,J) SA(J)=AN(I,J)*DEN SB(J)=AS(I,J)*DEN SS(J)=(AW(I,J)*PP(I‐1,J)+AE(I,J)*PP(I+1,J)+SOR)*DEN 55 CONTINUE PSI1=PP(I,1) PSIN=PP(I,JN) CALL TDMA(2,JNM,PSI1,PSIN,SA,SB,SS,PSI) DO 56 J=2,JNM LP=NTAG(I,J) 56 PP(I,J)=PSI(J)*(1‐LP)+LP*PP(I,J) 54 CONTINUE 100 CONTINUE RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE EQN IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' OPEN(25,FILE='CONVERGENCE.DAT') WRITE(25,*)'TITLE = GHIA' WRITE(25,*)'VARIABLES = ITER Ru Rv Rm Rt ' MWRITE=NITER+MFREQ IF(NITER.EQ.0)NITER=1 NADD=MXIT 5555 NBEGIN=NITER MXIT=NITER+NADD DO 2000 NTIME=1,MXSTEP TTIME=STIME+NTIME*DELT DO 1000 NITER=NBEGIN,MXIT C **** U‐VELOCITY IF(SLVE(2))THEN CALL PROPS(2) CALL COEF(2) CALL SORCE(2) IF(UNSTDY.OR.FTRAN)CALL UNST(2) CALL BOUND(2)
CALL COEF(5) CALL SORCE(5) IF(UNSTDY.OR.FTRAN)CALL UNST(5) CALL BOUND(5) IF(BSOR(5))CALL ADSORB(5) CALL APCOF(5) CALL SOLVE(T,RP(5),RSU) RSDU(5)=RSU/(RNORM(5)+SMALL) ENDIF C **** CHECK MAX RESIDUALS RSTOP=DMAX1(RSDU(1),RSDU(2),RSDU(3),RSDU(4)) C STORE RESIDUALS FOR PLOTTING WRITE(25,*)NITER,RSDU(2),RSDU(3),RSDU(1),RSDU(4) RESIU(NITER)=RSDU(2) RESIV(NITER)=RSDU(3) RESIM(NITER)=RSDU(1) RESIT(NITER)=RSDU(4) IF(STEADY)WRITE(*,1919)NITER,(FDIF(N),N=1,3) IF(STEADY)WRITE(*,1919)NITER,(RSDU(N),N=1,5) 1919 FORMAT(1X,I6,7(E10.3)) IF(RSTOP.LT.CC) GO TO 1100 C INTERMEDIATE WRITE‐OUT IF(MWRITE.EQ.NITER)THEN MWRITE=NITER+MFREQ ENDIF 1000 CONTINUE 1100 IF(STEADY)RETURN PRINT*,NTIME,NITER IF((NITER.EQ.1).AND.(NITER0.EQ.1))RETURN NITER0=NITER CALL UPDATE 2000 CONTINUE CLOSE(25) RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE TDMA(IB,IL,Y1,YN,BA,BB,BS,YY) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* DIMENSION BA(MXGR),BB(MXGR),BS(MXGR),YY(MXGR),A(MXGR),B(MXGR) A(IB)=BA(IB) B(IB)=BB(IB)*Y1+BS(IB)
Annexe Page | 150
DO 1 I=IB+1,IL TERM=1.0‐BB(I)*A(I‐1) A(I)=BA(I)/(TERM +SMALL) 1 B(I)=(BB(I)*B(I‐1)+BS(I))/(TERM+SMALL) YY(IL)=B(IL)+A(IL)*YN DO 2 I=IL‐1,IB,‐1 2 YY(I)=A(I)*YY(I+1)+B(I) RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE OPT IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* OPEN(12,FILE='NSOUT',FORM='UNFORMATTED') WRITE(12)NITER,TTIME DO 1 J=1,JN DO 1 I=1,IN WRITE(12)P(I,J),U(I,J),V(I,J),T(I,J) 1 CONTINUE CLOSE(12) RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE IPT IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* OPEN(13,FILE='NSOUT',FORM='UNFORMATTED') READ(13)NITER,STIME DO 1 J=1,JN DO 1 I=1,IN READ(13)P(I,J),U(I,J),V(I,J),T(I,J) 1 CONTINUE CLOSE(13) RETURN END C ******************************************* FUNCTION FINTW(F,II,JJ) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' DIMENSION F(IT,JT) I=II
Annexe Page | 151
J=JJ LW=NTAGW(I,J)/10 TW=((X(I)‐XC(I))*F(I‐1,J)+(XC(I)‐X(I‐1))*F(I,J))/DXMI(I) FINTW=TW*(1‐LW)+LW*F(I‐1,J) RETURN END C ******************************************* FUNCTION FINTE(F,II,JJ) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' DIMENSION F(IT,JT) I=II J=JJ LE=NTAGE(I,J)/20 TE=((X(I+1)‐XC(I+1))*F(I,J)+(XC(I+1)‐X(I))*F(I+1,J))/DXMI(I+1) FINTE=TE*(1‐LE)+LE*F(I+1,J) RETURN END C ******************************************* FUNCTION FINTS(F,II,JJ) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' DIMENSION F(IT,JT) I=II J=JJ LS=NTAGS(I,J)/30 TSS=((Y(J)‐YC(J))*F(I,J‐1)+(YC(J)‐Y(J‐1))*F(I,J))/DYMI(J) FINTS=TSS*(1‐LS)+LS*F(I,J‐1) RETURN END C ******************************************* FUNCTION FINTN(F,II,JJ) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' DIMENSION F(IT,JT) I=II J=JJ LN=NTAGN(I,J)/40 TN=((Y(J+1)‐YC(J+1))*F(I,J)+(YC(J+1)‐Y(J))*F(I,J+1))/DYMI(J+1) FINTN=TN*(1‐LN)+LN*F(I,J+1) RETURN END