MaCaulay2 Miuraパッケージの開発と今後

MaCaulay2 Miuraパッケージの開発と今後

応用数理学会 2016年度年会

2016年9月12日

鈴木譲 (大阪大学)

Joe Suzuki(prof-joe)

講演の目的

MacauLay2

オープンソース

可換環向けの数式処理

オブジェクト指向

David Grayson氏

「M2 1.9で、パッケージMiuraをリリース」の報告

三浦晋示氏

定義方程式 対象となる曲線

Weierstrass方程式 楕円曲線

三浦標準形 非特異代数曲線全般

超簡単に実現できた

• 三浦理論とM2との親和性• 研究成果を宣伝するフレームワーク

ロードマップ

1. 既約因子による因子類群の一意表現

2. 三浦標準形

3. 有田方式

4. パッケージの実装

5. 今後の開発

6. まとめ

楕円曲線における加法演算

一般の種数gの非特異代数曲線ではどうなるか

半既約因子

既約因子

因子類群の要素の一意表現

三浦 1998

有田1999

fの複雑さ

因子 イデアル

既約因子 既約イデアル

因子類群 イデアル類群

楕円曲線の場合

Miura パッケージで用意された関数とその実装

実行例

http://habanero.math.cornell.edu:3690/

多項式環と剰余環の指定

プログラム例:

プログラム例:

関数 inv: 逆イデアルの計算

グレブナ規定の生成元の複雑さ最小のものを選ぶ

関数fは、Jのゼロ点を含んでいて、イデアル(f)はJで割切れる

一般のMiura曲線での実装例

プログラムが短すぎるのでは?

• M2の得意分野、特徴を有効に活用しているから

• 他パッケージが長いのは、M2をよく知らないから

• Miuraが短いのは、M2と近いから

• M2の新しい応用分野として、歓迎すべき

M2 1.9からのMiura パッケージが認められたいきさつ

三浦理論に感激

現在開発中の関数

•重み 𝑎1,…𝑎𝑡から、種数gを計算

•重み 𝑎1,…𝑎𝑡から、曲線が完全交叉か否かを判定 (Suzuki 2007)

•各種インタフェイス (𝐶𝑎𝑏や超楕円などの特殊な曲線)

開発して貢献するよりは、研究成果を宣伝する

まとめ

• MaCaulay 2バージョン 1.9で、パッケージMiuraをリリース• Miura理論、有田の方法を簡潔に紹介• Miuraパッケージが短いのは、本質をついているから• 今後開発すべき関数を紹介