Page 1
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10)Bab 9: Deret Tak Hingga
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
“Do maths and you see the world”
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 2
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
KemonotonanKekonvergenan
Barisan Tak Hingga
Barisan adalah fungsi dengan daerah asal (domain) bilangan asli,
f : N→ R,
yang mana f (n) = an, dikenal sebagai barisan bilangan real {an};an disebut sebagai suku ke-n atau rumus umum suatu barisan.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 3
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
KemonotonanKekonvergenan
Contoh:
an =1
n,
atau
{1, 1
2,
1
3, . . .}
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 4
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
KemonotonanKekonvergenan
Diskusi:Mungkinkah ada rumus suku ke-n yang lain yang memberikanbeberapa suku pertama barisan yang sama dengan diatas?
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 5
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
KemonotonanKekonvergenan
Jawab: Ada!a1 = 1; an+1 =
an1 + an
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 6
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
KemonotonanKekonvergenan
Perhatikan bahwa “rumus suku ke-n suatu barisan” tidak tunggal.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 7
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
KemonotonanKekonvergenan
Contoh: Tentukan rumus suku ke-n dari barisan-barisan berikut:
1 {1,−1, 1,−1, . . .}2 {82 ,
52 ,
42 , . . .}
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 8
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
KemonotonanKekonvergenan
Solusi:
1 an = (−1)n+1; an = sin (n − 12)π
2 an = 1 + 3n ; an = 1
2n2 − 3n + 13
2
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 9
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
KemonotonanKekonvergenan
Apa (lagi) yang bisa kita lakukan terhadap suatu barisan?Jawab: menyelidiki...
ke-monoton-an
ke-terbatas-an
ke-konvergen-an
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 10
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
KemonotonanKekonvergenan
Kemonotonan
Ilustrasi:Selidiki kemonotonan barisan
1 an = n+12n
2 an = (−1)nn
3 an = n!2n
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 11
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
KemonotonanKekonvergenan
Untuk no 1, suku-suku barisannya adalah
1,3
4,
2
3,
5
8,
3
5, . . .
yang cenderung mengecil (turun). Kita menduga bahwa barisan{an} monoton turun.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 12
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
KemonotonanKekonvergenan
Apabila kita perhatikan secara teoritis rasio rumus suku ke-n + 1dan ke-n,
an+1
an=
n2 + 2n
n2 + 2n + 1< 1, ∀n ∈ N,
maka an+1 < an,∀n ∈ N. Sehingga {an} merupakan barisanmonoton turun.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 13
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
KemonotonanKekonvergenan
Definisi:Barisan bilang real {an} dikatakan monoton turun, jika untuksetiap n ∈ N, an+1 < an.(bagaimana definisi untuk barisan monoton tidak turun, naik, tidaknaik? barisan tidak monoton?)
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 14
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
KemonotonanKekonvergenan
Kekonvergenan
Definisi:Barisan bilang real {an} dikatakan konvergen ke a ∈ R, jika
limn→∞
an = a.
Barisan {an} yang tidak punya limit dikatakan divergen; limitbarisannya ∞,−∞, atau beroskilasi.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 15
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
KemonotonanKekonvergenan
Contoh:Barisan an = n+1
2n konvergen ke 12 karena
limn→∞
n + 1
2n=
1
2.
Sedangkan barisan an = (−1)n divergen karena
limn→∞
(−1)n
tidak ada (beroskilasi).
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 16
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
KemonotonanKekonvergenan
Dapatkah anda menyelidiki kekonvergenan barisan
cn =n2
2n + 3sin
π
n?
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 17
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
KemonotonanKekonvergenan
Solusi:Barisan diatas dapat ditulis menjadi perkalian dua barisan
an bn
dengan
an = n sinπ
n,
yang konvergen ke π; dan
bn =n
2n + 3,
yang konvergen ke 12 . Dengan demikian barisan {cn} konvergen ke
12n.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 18
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
KemonotonanKekonvergenan
Teorema:Misakan barisan {an} konvergen ke a dan barisan {bn} konvergenke b, maka barisan-barisan
{anbn} konvergen ke ab
{ anbn } konvergen ke ab , b 6= 0
{an + bn} konvergen ke a + b
{an − bn} konvergen ke a− b
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 19
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
KemonotonanKekonvergenan
Teorema:
Setiap barisan bilangan real yang konvergen selalu terbatas
Setiap barisan bilangan real yang monoton dan terbatas selalukonvergen
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 20
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
KemonotonanKekonvergenan
Latihan:Selidiki kekonvergen barisan-barisan berikut dengan memanfaatkansifat kemonotonan dan keterbatasan,
an =1
1− 2n
dan
bn =2n
n!
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 21
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Deret Tak Hingga
Pandang barisan {an}, lalu bentuklah barisan baru {sn} dengan
sn = a1 + a2 + · · ·+ an =n∑
k=1
ak ,
atau jumlah n suku pertamanya. Barisan {sn} disebut sebagaideret (tak hingga) bilangan real.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 22
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Notasi deret:∞∑n=1
an = a1 + a2 + · · ·
Sedangkan
sn =n∑
k=1
ak ,
disebut jumlah parsial ke-n dari deret
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 23
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Deret∑∞
n=1 an dikatakan konvergen jika barisan jumlah parsialnyamempunyai limit; dikatakan divergen jika limitnya tidak ada.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 24
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Contoh: Deret∞∑n=1
1
n(n + 1)
dapat diselidiki kekonvergenannya dengan cara
tulis rumus jumlah parsialnya
hitung limitnya
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 25
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Dengan demikian,
sn =n∑
k=1
ak =n∑
k=1
1
k(k + 1)
=n∑
k=1
(1
k− 1
k + 1
)= . . . = 1− 1
n + 1
dan
limn→∞
sn = limn→∞
(1− 1
n + 1
)= 1
Artinya, deret konvergen ke 1 (konvergen dengan jumlah 1).
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 26
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Latihan:Selidiki kekonvergenan deret-deret berikut
1∑∞
n=12n+1
n2(n+1)2
2∑∞
n=11n (deret harmonik)
3∑∞
n=1 (−1)n+1
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 27
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Teorema:Jika deret
∑∞n=1 an konvergen maka
limn→∞
an = 0
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 28
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Uji IntegralUji Banding
Uji Kekonvergenan
Menguji kekovergenan deret dengan suku-suku positif dapatdilakukan dengan cara antara lain
1 Uji integral
2 Uji banding
3 Uji akar*
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 29
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Uji IntegralUji Banding
Uji Integral
Telah kita ketahui bahwa deret
∞∑n=1
1
n= 1 +
1
2+
1
3+ . . .
divergen. Namun, untuk kepentingan pengujian kekonvergenanderet dengan Uji Integral, maka kita anggap kita belummengetahui bahwa deret tersebut divergen.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 30
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Uji IntegralUji Banding
Secara geometris, deret diatas memiliki arti luas persegipanjangdengan panjang alas 1 dan tinggi 1
n , n = 1, 2, . . .. Jumlah luaspersegipanjang ini lebih besar dibandingkan luas daerah yangdibatasi oleh {x ≥ 1, 0 ≤ y ≤ 1
x }. Dengan kata lain,
∞∑n=1
1
n>
∫ ∞1
1
xdx .
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 31
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Uji IntegralUji Banding
Sekarang, kita hitung integral tak wajar pada selang tak hingga∫ ∞1
1
xdx = lim
b→∞
∫ b
1
1
xdx
= limb→∞
(ln x)b1
= limb→∞
ln b
=∞
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 32
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Uji IntegralUji Banding
Akibatnya, deret∑∞
n=11n divergen (karena lebih besar dari integral
tak wajarnya)
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 33
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Uji IntegralUji Banding
Bagaimana dengan deret
∞∑n=1
1
n2?
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 34
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Uji IntegralUji Banding
Teorema:Misalkan f fungsi kontinu, monoton turun, dan f (x) > 0 padaselang [1,∞).
Jika integral tak wajar∫∞1 f (x) dx konvergen/divergen, maka
deret∑∞
n=1 f (n) konvergen/divergen
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 35
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Uji IntegralUji Banding
Latihan: Selidiki kekonvergenan dari deret-deret berikut:
1∑∞
n=11√
2n+1
2∑∞
n=21
n ln2 n
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 36
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Uji IntegralUji Banding
Solusi:Integral tak wajar ∫ ∞
1
1√2x + 1
dx =∞,
sedangkan ∫ ∞2
1
x ln2 xdx =
1
ln 2.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 37
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Uji IntegralUji Banding
Uji Banding
Teorema:Misalkan deret-deret
∫∞n=1 an dan
∫∞n=1 bn adalah deret dengan
suku-suku positif,
Jika an ≤ bn untuk semua n ∈ N dan∫∞n=1 bn konvergen,
maka∫∞n=1 an konvergen
Jika an ≥ bn untuk semua n ∈ N dan∫∞n=1 bn divergen, maka∫∞
n=1 an divergen
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 38
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Uji IntegralUji Banding
Latihan: Selidiki kekonvergenan deret-deret berikut
1∫∞n=1
12n+1
2∫∞n=2
1ln n
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 39
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Uji IntegralUji Banding
Teorema:Misalkan deret-deret
∫∞n=1 an dan
∫∞n=1 bn adalah deret dengan
suku-suku positif,
Jikalimn→∞
anbn
= c , c > 0
maka kedua deret konvergen atau divergen
Jikalimn→∞
anbn
= 0
dan∫∞n=1 bn konvergen maka
∫∞n=1 an konvergen
Jikalimn→∞
anbn
=∞
dan∫∞n=1 bn divergen maka
∫∞n=1 an divergen
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 40
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Uji IntegralUji Banding
Latihan: Lakukan uji banding limit dengan deret lain pada
1∫∞n=1
12n+1
2∫∞n=2
1ln n
untuk menyelidiki kekonvergenannya.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 41
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Uji IntegralUji Banding
Pengujian kekonvergenan dengan uji integral atau uji bandingdengan deret lain seringkali tidak mudah; integral tak wajarsulit/tak dapat dihitung dan/atau tidak dapat dicari deretpembandingnya. Kita dapat menguji kekonvergenan suatu deretdengan suku deretnya sendiri.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 42
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Uji IntegralUji Banding
Teorema:Jika
∫∞n=1 an deret dengan suku-suku positif dan
limn→∞
an+1
an= L
maka deret konvergen jika 0 ≤ L < 1 dan divergen bila L > 1.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 43
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Uji IntegralUji Banding
Latihan: Selidiki kekonvergenan deret-deret berikut
1∫∞n=1
n+1n!
2∫∞n=2
2n
n3
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 44
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Deret Berganti Tanda
Deret (ber)ganti tanda berbentuk:
∞∑n=1
(−1)n+1 an = a1 − a2 + a3 − a4 + . . . ,
dimana suku-sukunya memiliki tanda positif negatif secaraberselang-seling.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 45
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Seperti sebelumnya, kajian utama kita adalah mengujikekonvergenan deret ganti tanda. Contoh:
1∑∞
n=1 (−1)n+1 = 1− 1 + 1− 1 + . . .
2∑∞
n=1 (−1)n+1 21−n = 1− 12 + 1
4 −18 + · · ·
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 46
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Solusi:Divergen, Konvergen.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 47
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Teorema:Jika barisan {an} memiliki suku-suku (kesemua sukunya) positif,monoton turun dan limn→∞ an = 0, maka deret
∞∑n=1
(−1)n+1 an
konvergen
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 48
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Selidiki kekonvergenan deret-deret berikut:
1∑∞
n=1 (−1)n+1 1n
2∑∞
n=1 (−1)n+1 1n ln n
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 49
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Definisi:Deret
∑∞n=1 an disebut konvergen mutlak jika deret
∞∑n=1
|an|
konvergen; disebut konvergen bersyarat jika deret
∞∑n=1
|an|
divergen.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 50
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Teorema:Jika deret
∑∞n=1 an konvergen mutlak maka deret
∞∑n=1
an
konvergen.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 51
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Selidiki kekonvergenan deret-deret berikut:
1∑∞
n=1 (−1)n+1(n+12n
)n2∑∞
n=1sin 1
6(2n−1)πn√n
3∑∞
n=1 (−1)n 3n
n!
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 52
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Deret Pangkat
Sejauh ini kita telah mempelajari deret yang “jelas” bentukderetnya. Kini, kita akan melihat deret yang “tidak jelas”, yangdinyatakan dalam x , seperti
∞∑n=0
xn = 1 + x + x2 + . . . , |x | < 1;
∞∑n=0
n! xn = 1 + x + 2 x2 + 6 x3 + . . . ;
∞∑n=1
(−1)n
n2nxn = · · · .
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 53
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Catatan: Perhatikan himpunan x yang membuat deretkonvergen/divergen.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 54
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Definisi:Deret yang berbentuk
∞∑n=0
an(x − c)n = a0 + a1(x − x) + a2(x − c)2 + . . .
dikatakan sebagai deret pangkat dalam (x − c) atau deret pangkatberpusat di c .
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 55
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Perhatikan bahwa deret diatas konvergen untuk x = c . Adakahnilai x yang lain yang menyebabkan deret tersebut konvergen?
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 56
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Contoh 1: deret∞∑n=0
1
n!xn
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 57
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Contoh 2: deret∞∑n=0
(−1)n
n2nxn
yang mana
limn→∞
an+1
an= · · ·
=1
2|x |
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 58
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Artinya, deret akan konvergen mutlak untuk 12 |x | < 1 (atau
|x | < 2) dan divergen untuk 12 |x | > 1 (atau |x | > 2). Namun
untuk x = 2,
∞∑n=0
(−1)n
n 2n2n = −1 +
1
2− 1
3+
1
4+ . . .
konvergen; untuk x = −2,
∞∑n=0
(−1)n
n 2n(−2)n = 1 +
1
2+
1
3+
1
4+ . . .
divergen.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 59
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Jadi, deret∞∑n=0
(−1)n
n 2nxn
kovergen untuk −2 < x ≤ 2 atau (−2, 2].
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 60
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Catatan: Himpunan semua x dimana deret pangkat konvergendikatakan sebagai selang kekonvergenan deret.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 61
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Teorema:
Jika deret pangkat∑∞
n=0 anxn konvergen di x1 6= 0, maka
deret tersebut konvergen mutlak untuk |x | < |x1|Jika deret pangkat
∑∞n=0 anx
n divergen di x1, maka derettersebut divergen untuk |x | > |x1|
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 62
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Teorema:
Deret pangkat kovergen hanya untuk x = 0
Deret pangkat kovergen mutlak untuk setiap x ∈ RTerdapat suatu r > 0 sehingga deret pangkat konvergenmutlak untuk |x | < r dan divergen untuk |x | > r (r > 0adalah jari-jari kekonvergenan)
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 63
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Latihan: Tentukan jari-jari dan selang kekonvergenan deret
1∑∞
n=0(−1)n+12n
n2(x − 3)n
2∑∞
n=0 (−1)n+1(n + 1) (x − 1)n
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 64
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Teorema:Misalkan deret pangkat
∞∑n=0
an xn
memiliki jari-jari kekonvergenan r > 0. Maka, fungsif (x) =
∑∞n=0 an x
n dapat diturunkan pada (−r , r) dengan
f ′(x) =∞∑n=0
n an xn−1
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 65
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Teorema:Misalkan deret pangkat
∞∑n=0
an xn
memiliki jari-jari kekonvergenan r > 0. Maka, fungsif (x) =
∑∞n=0 an x
n dapat diintegralkan pada setiap selang bagiantertutup dari (−r , r) dan untuk setiap x ∈ (−r , r) berlaku∫ x
0f (t) dt =
∞∑n=0
nan
n + 1xn+1
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 66
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Teorema Abel:Jika f (x) =
∑∞n=0 an x
n, |x | < 1 dan deret∑∞
n=0 an konvergen,maka
∞∑n=0
an = limx→1−
f (x)
dan∞∑n=0
(−1)nan = limx→1+
f (x).
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 67
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Deret dan Hampiran Taylor
Ilustrasi:Perhatikan fungsi f (x) = ex yang dapat diuraikan menjadi
ex = 1 + x +x2
2+
x3
6+ . . . , x ∈ R,
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 68
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Bagaimana kita dapat menguraikan fungsi tersebut?
Seberapa banyak (sampai berapa suku) kita harusmenguraikannya?
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 69
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Deret pangkat
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . =
∞∑n=0
an xn
dapat diturunkan suku demi suku sampai tingkat tak hingga,
f (n)(x) = n!an + 2.3 . . . n(n + 1)an+1 x + . . . ,
untuk |x | < r .
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 70
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Apabila kita mengambil x = 0,
f (0) = a0,
f ′(0) = a1,
f ′′(0) = 2!a2...
f (n)(0) = n!an
atau
a0 = f (0); a1 =f ′(0)
1!; a2 =
f ′′(0)
2!; . . . ; an =
f (n)(0)
n!
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 71
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Dengan demikian, deret pangkat dapat ditulis
f (x) = f (0) +f ′(0)
1!x +
f ′′(0)
2!x2 + . . .+
f (n)(0)
n!xn + . . . ,
atau
f (x) =∞∑n=0
f (n)(0)
n!xn,
untuk |x | < r , r > 0 jari-jari kekonvergenan, dan f (0)(0) = f (0).
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 72
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Deret tersebut dikenal dengan nama Deret MacLaurin.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 73
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Jika titik pusatnya digeser ke c , maka
f (x) =∞∑n=0
f (n)(c)
n!(x − c)n,
untuk |x − c | < r , r > 0 jari-jari kekonvergenan dan f (0)(c) = f (c).Deret ini disebut Deret Taylor yang berpusat di c dari fungsi f .
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 74
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Latihan: Tentukan deret Taylor dan selang kekonvergenan darifungsi f berikut di titik c ,
1 f (x) = sin x di c = π
2 f (x) = ln x di c = e
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 75
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Seberapa banyak (sampai berapa suku) kita harus menguraikanderet Taylor di titik c?
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 76
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Perhatikan bahwa kita dapat menuliskan deret Taylor sebagai
f (x) = Pn(x) + Rn(x)
dimana
Pn(x) =n∑
k=0
f (k)(c)
k!(x − c)k
dan
Rn(x) =f (n+1)(ξ)
(n + 1)!(x − c)n+1
dengan ξ diantara c dan x .
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 77
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Teorema:Misalkan fungsi f dapat diturunkan sampai tingkat tak hinggapada selang (c − r , c + r). Misalkan barisan bilangan real {Mn}konvergen ke nol. Jika untuk setiap n ∈ N, x , ξ ∈ (c − r , c + r)berlaku ∣∣∣∣ f n(ξ)
n!(x − c)n
∣∣∣∣ ≤ Mn
maka fungsi f dapat dinyatakan sebagai Deret Taylor pada selang(c − r , c + r).
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga
Page 78
Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga
Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda
Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi
Latihan: Hitunglah,
1 e
2 ln 5
dengan ketelitian sampai 4 desimal
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga