MA 12 - Unidade 1 N´ umeros Naturais Semana de 04/04 a 10/04 Os n´ umeros e o espa¸co, juntamente com as figuras geom´ etricas neste contidas, s˜ ao os dois objetos principais de estudo da Matem´ atica. Nesta disciplina, nos dedicaremos ao estudo dos n´ umeros naturais e exploraremos algumas de suas propriedades aritm´ eticas; estudaremos certas fun¸c˜ oes sobre eles definidas, os relacionaremos com o processo de contagem dos elementos de determinados conjuntos, e faremos algumas aplica¸c˜ oes, como, por exemplo, ` a Matem´ atica Financeira e ` a Probabilidade. Os n´ umeros naturais s˜ ao os mais simples de todos os n´ umeros e a partir deles ´ e poss´ ıvel construir todos os outros n´ umeros, mas essa constru¸c˜ ao escapa aos nossos objetivos aqui. Vocˆ e ver´ a na disciplina MA11 uma descri¸c˜ ao dos n´ umeros reais a partir da no¸c˜ ao de medida de segmentos de reta. Portanto, os n´ umeros naturais podem ser considerados o in´ ıcio de tudo. Para exprimir esta id´ eia, o grande matem´ atico do S´ eculo 19 Leopold Kronecker (1823-1891) cunhou a seguinte c´ elebre frase: Deus criou os n´ umeros naturais. O resto ´ e obra dos homens A abordagem que adotaremos aqui ser´ a a de enunciar os Axiomas de Peano, que s˜ ao quatro propriedades que caracterizam totalmente o conjunto dos n´ umeros naturais. Isto quer dizer que, a partir desses axiomas, podemos construir as suas opera¸c˜ oes e deduzir as suas propriedades. Em suma, eles sintetizam tudo que pode ser feito com esses n´ umeros. O principal destaque desse conjunto de axiomas ´ eo´ ultimo, o Axioma da Indu¸c˜ ao, que ´ e essencial- mente o Princ´ ıpio de Indu¸c˜ ao Matem´ atica, que desenvolveremos na pr´ oxima unidade. Esse Princ´ ıpio ´ e um poderoso instrumento para provar propriedades que dizem respeito aos n´ umeros naturais como um todo. Leia atentamente todos os trechos relacionados com este assunto, pois ´ e a´ ı que reside uma das maiores sutilezas no trato desses n´ umeros. Nessa unidade, indicaremos ainda como, a partir do Axioma da Indu¸c˜ ao, podem ser constru´ ıdas as opera¸c˜ oes de adi¸c˜ ao e multiplica¸c˜ ao nos naturais e como deduzir algumas de suas propriedades. A unidade se encerra apresentando o Princ´ ıpio da Boa-Ordena¸c˜ ao dos naturais: Todo subconjunto n˜ ao vazio do conjunto dos n´ umeros naturais possui um menor elemento. Este princ´ ıpio ´ e uma reformula¸c˜ ao do Axioma da Indu¸ c˜ ao (ao qual ´ e equivalente). O Exerc´ ıcio 3 prop˜oe uma demonstra¸ c˜ ao do Princ´ ıpio da Boa-Ordena¸c˜ ao, usando o Axioma da Indu¸ c˜ ao. Para completar essa equivalˆ encia, tente provar o Axioma da Indu¸ c˜ ao utilizando o Princ´ ıpio da Boa-Ordena¸c˜ ao comohip´otese. O Princ´ ıpio da Boa-Ordena¸ c˜ ao pode ser tamb´ em usado, com muito proveito, como instrumento de prova, como vocˆ e poder´ a observar no Exemplo 2 da presente unidade.
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MA 12 - Unidade 1
Numeros Naturais
Semana de 04/04 a 10/04
Os numeros e o espaco, juntamente com as figuras geometricas neste contidas, sao os dois objetos
principais de estudo da Matematica.
Nesta disciplina, nos dedicaremos ao estudo dos numeros naturais e exploraremos algumas de suas
propriedades aritmeticas; estudaremos certas funcoes sobre eles definidas, os relacionaremos com o
processo de contagem dos elementos de determinados conjuntos, e faremos algumas aplicacoes, como,
por exemplo, a Matematica Financeira e a Probabilidade.
Os numeros naturais sao os mais simples de todos os numeros e a partir deles e possıvel construir
todos os outros numeros, mas essa construcao escapa aos nossos objetivos aqui. Voce vera na disciplina
MA11 uma descricao dos numeros reais a partir da nocao de medida de segmentos de reta.
Portanto, os numeros naturais podem ser considerados o inıcio de tudo. Para exprimir esta ideia,
o grande matematico do Seculo 19 Leopold Kronecker (1823-1891) cunhou a seguinte celebre frase:
Deus criou os numeros naturais. O resto e obra dos homens
A abordagem que adotaremos aqui sera a de enunciar os Axiomas de Peano, que sao quatro
propriedades que caracterizam totalmente o conjunto dos numeros naturais. Isto quer dizer que, a
partir desses axiomas, podemos construir as suas operacoes e deduzir as suas propriedades. Em suma,
eles sintetizam tudo que pode ser feito com esses numeros.
O principal destaque desse conjunto de axiomas e o ultimo, o Axioma da Inducao, que e essencial-
mente o Princıpio de Inducao Matematica, que desenvolveremos na proxima unidade. Esse Princıpio e
um poderoso instrumento para provar propriedades que dizem respeito aos numeros naturais como um
todo. Leia atentamente todos os trechos relacionados com este assunto, pois e aı que reside uma das
maiores sutilezas no trato desses numeros.
Nessa unidade, indicaremos ainda como, a partir do Axioma da Inducao, podem ser construıdas as
operacoes de adicao e multiplicacao nos naturais e como deduzir algumas de suas propriedades.
A unidade se encerra apresentando o Princıpio da Boa-Ordenacao dos naturais:
Todo subconjunto nao vazio do conjunto dos numeros naturais possui um menor elemento.
Este princıpio e uma reformulacao do Axioma da Inducao (ao qual e equivalente). O Exercıcio
3 propoe uma demonstracao do Princıpio da Boa-Ordenacao, usando o Axioma da Inducao. Para
completar essa equivalencia, tente provar o Axioma da Inducao utilizando o Princıpio da Boa-Ordenacao
como hipotese.
O Princıpio da Boa-Ordenacao pode ser tambem usado, com muito proveito, como instrumento de
prova, como voce podera observar no Exemplo 2 da presente unidade.
Nas proximas unidades, teremos muitas oportunidades de utilizar o Princıpio da Inducao Matematica
para provar os mais variados resultados.
Vıdeo relacionado:
PAPMEM - Livro A Matematica do Ensino Medio, Volume 1: Conjunto dos Numeros Naturais.
Prof. Elon Lages Lima, Janeiro 2010 - Volume 1.
(Prof. Elon, Julho 2007 - Volume 1)
MA12 - Unidade 1
Números Naturais
Semana de 04/04 a 10/04
�Deus criou os números naturais. O resto é obra dos homens.�
Leopold Kronecker
1 Introdução
Enquanto os conjuntos constituem um meio auxiliar, os números são
um dos dois objetos principais de que se ocupa a Matemática. (O
outro é o espaço, junto com as �guras geométricas nele contidas.)
Números são entes abstratos, desenvolvidos pelo homem como mo-
delos que permitem contar e medir, portanto avaliar as diferentes
quantidades de uma grandeza.
Os compêndios tradicionais dizem o seguinte:
2 MA12 - Unidade 1
�Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e a
unidade. Se a grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma
contagem e o resultado é um número inteiro; se a grandeza é contínua,
a comparação chama-se uma medição e o resultado é um número real.�
Nos padrões atuais de rigor matemático, o trecho acima não pode
ser considerado como uma de�nição matemática, pois faz uso de ideias
(como grandeza, unidade, discreta, contínua) e processos (como com-
paração) de signi�cado não estabelecido. Entretanto, todas as palavras
que nela aparecem possuem um sentido bastante claro na linguagem
do dia-a-dia. Por isso, embora não sirva para demonstrar teoremas a
partir dela, a de�nição tradicional tem o grande mérito de nos revelar
para que servem e por qual motivo foram inventados os números. Isto
é muito mais do que se pode dizer sobre a de�nição que encontramos
no nosso dicionário mais conhecido e festejado, conforme reproduzimos
a seguir.
Número. [Do lat. numeru.] S.m. 1. Mat. O conjunto de todos
os conjuntos equivalentes a um conjunto dado.
Discutiremos este ponto logo mais, quando tratarmos de números
cardinais. No momento, parece oportuno fazer uma pequena pausa
para uma observação.
2 Comentário: De�nições, Axiomas, etc.
Conforme dissemos no Capítulo 1, uma de�nição matemática é uma
convenção que consiste usar um nome, ou uma sentença breve, para
designar um objeto ou uma propriedade, cuja descrição normalmente
exigiria o emprego de uma sentença mais longa. Vejamos algumas
de�nições, como exemplo:
Números Naturais 3
• Ângulo é a �gura formada por duas semi-retas que têm a mesma
origem.
• Primos entre si são dois ou mais números naturais cujo único
divisor comum é a unidade.
Mas nem sempre foi assim. Euclides, por exemplo, começa os
�Elementos� com uma série de de�nições, das quais selecionamos
as seguintes:
• Linha é um comprimento sem largura.
• Superfície é o que possui comprimento e largura somente.
• Quando uma reta corta outra formando ângulos adjacentes iguais,
cada um desses ângulos chama-se reto e as retas se dizem per-
pendiculares.
As de�nições de ângulo e de números primos entre si, dadas acima,
bem como as de�nições de ângulo reto e retas perpendiculares dadas
por Euclides, são corretas. Elas atendem aos padrões atuais de pre-
cisão e objetividade. Por outro lado, nas de�nições de linha e superfí-
cie, Euclides visa apenas oferecer ao seu leitor uma imagem intuitiva
desses conceitos. Elas podem servir para ilustrar o pensamento ge-
ométrico mas não são utilizáveis nos raciocínios matemáticos porque
são formuladas em termos vagos e imprecisos.
Na apresentação de uma teoria matemática, toda de�nição faz uso
de termos especí�cos, os quais foram de�nidos usando outros termos,
e assim sucessivamente. Este processo iterativo leva a três possibili-
dades:
a) Continua inde�nidamente, cada de�nição dependendo de outras
anteriores, sem nunca chegar ao �m.
4 MA12 - Unidade 1
b) Conduz a uma circularidade, como nos dicionários. (Onde se
vê, por exemplo: compreender → perceber, perceber → entender e
entender → compreender.)
c) Termina numa palavra, ou num conjunto de palavras (de prefe-
rência dotadas de conotações intuitivas simples) que não são de�nidas,
isto é, que são tomadas como representativas de conceitos primitivos.
Exemplos: ponto, reta, conjunto.
Evidentemente, as alternativas a) e b) acima citadas não convêm
à Matemática. A alternativa c) é a adotada. Se prestarmos atenção,
veremos que foi assim que aprendemos a falar. Numerosas palavras
nos foram apresentadas sem de�nição e permanecem até hoje em nosso
vocabulário como conceitos primitivos, que aprendemos a usar por
imitação e experiência.
Para poder empregar os conceitos primitivos adequadamente, é ne-
cessário dispor de um conjunto de princípios ou regras que disciplinem
sua utilização e estabeleçam suas propriedades. Tais princípios são
chamados axiomas ou postulados. Assim como os conceitos primitivos
são objetos que não se de�nem, os axiomas são proposições que não
se demonstram.
Uma vez feita a lista dos conceitos primitivos e enunciados os axi-
omas de uma teoria matemática, todas as demais noções devem ser
de�nidas e as a�rmações seguintes devem ser demonstradas.
Nisto consiste o chamado método axiomático. As proposições a
serem demonstradas chamam-se teoremas e suas consequências imedi-
atas são denominadas corolários. Uma proposição auxiliar, usada na
demonstração de um teorema, é chamada um lema.
Números Naturais 5
Ser um axioma ou ser um teorema não é uma característica in-
trínseca de uma proposição. Dependendo da preferência de quem or-
ganiza a apresentação da teoria, uma determinada proposição pode
ser adotada como axioma ou então provada como teorema, a partir de
outra proposição que a substituiu na lista dos axiomas.
Na seção seguinte, veremos um resumo da teoria matemática dos
números naturais, onde os conceitos primitivos são �número natural�
e �sucessor� e os axiomas são os de Peano.
Do ponto de vista do ensino a nível do segundo grau, não tem cabi-
mento expor a Matemática sob forma axiomática. Mas é necessário
que o professor saiba que ela pode ser organizada sob a forma acima
delineada. Uma linha de equilíbrio a ser seguida na sala de aula deve
basear-se nos seguintes preceitos:
1. Nunca dar explicações falsas sob o pretexto de que os alunos
ainda não têm maturidade para entender a verdade. (Isto seria como
dizer a uma criança que os bebés são trazidos pela cegonha.) Exemplo:
�in�nito é um número muito grande�. Para outro exemplo, vide RPM
29, págs. 13-19.
2. Não insistir em detalhes formais para justi�car a�rmações que,
além de verdadeiras, são intuitivamente óbvias e aceitas por todos
sem discussão nem dúvidas. Exemplo: o segmento de reta que une
um ponto interior a um ponto exterior de uma circunferência tem
exatamente um ponto em comum com essa circunferência.
Em contraposição, fatos importantes cuja veracidade não é evi-
dente, como o Teorema de Pitágoras ou a Fórmula de Euler para
poliedros convexos, devem ser demonstrados (até mesmo de várias
formas diferentes).
6 MA12 - Unidade 1
Excetuam-se, naturalmente, demonstrações longas, elaboradas ou
que façam uso de noções e resultados acima do alcance dos estudantes
desse nível (como o Teorema Fundamental da Álgebra, por exemplo).
Provar o óbvio transmite a falsa impressão de que a Matemática é
inútil. Por outro lado, usar argumentos elegantes e convincentes para
demonstrar resultados inesperados é uma maneira de exibir sua força e
sua beleza. As demonstrações, quando objetivas e bem apresentadas,
contribuem para desenvolver o raciocínio, o espírito crítico, a ma-
turidade e ajudam a entender o encadeamento lógico das proposições
matemáticas.
3. Ter sempre em mente que, embora a Matemática possa ser
cultivada por si mesma, como um todo coerente, de elevado padrão
intelectual, formado por conceitos e proposições de natureza abstrata,
sua presença no currículo escolar não se deve apenas ao valor dos seus
métodos para a formação mental dos jovens.
A importância social da Matemática provém de que ela fornece
modelos para analisar situações da vida real. Assim, por exemplos,
conjuntos são o modelo para disciplinar o raciocínio lógico, números
naturais são o modelo para contagem e números reais são o modelo
para medida; funções a�ns servem de modelo para situações, como
o movimento uniforme, em que os acréscimos da função são propor-
cionais aos acréscimos da variável independente. E assim por diante.
Todos os tópicos deste livro são abordados sob o seguinte lema: a
Matemática fornece modelos abstratos para serem utilizados em situ-
ações concretas, do dia-a-dia e das Ciências. Para poder empregar
estes modelos é necessário veri�car, em cada caso, que as hipóteses
que lhe servem de base são satisfeitas.
Números Naturais 7
3 O Conjunto dos Números Naturais
Lentamente, à medida em que se civilizava, a humanidade apoderou-
se desse modelo abstrato de contagem (um, dois, três, quatro, ...) que
são os números naturais. Foi uma evolução demorada. As tribos mais
rudimentares contam apenas um, dois, muitos. A língua inglesa ainda
guarda um resquício desse estágio na palavra thrice, que tanto pode
signi�car �três vezes� como �muito� ou �extremamente�.
As necessidades provocadas por um sistema social cada vez mais
complexo e as longas re�exões, possíveis graças à disponibilidade de
tempo trazida pelo progresso econômico, conduziram, através dos sécu-
los, ao aperfeiçoamento do extraordinário instrumento de avaliação
que é o conjunto dos números naturais.
Decorridos muitos milênios, podemos hoje descrever concisa e pre-
cisamente o conjunto N dos números naturais, valendo-nos da notável
síntese feita pelo matemático italiano Giuseppe Peano no limiar do
século 20.
N é um conjunto, cujos elementos são chamados números naturais.
A essência da caracterização de N reside na palavra �sucessor�. Intu-
itivamente, quando n, n′ ∈ N, dizer que n′ é o sucessor de n signi�ca
que n′ vem logo depois de n, não havendo outros números naturais en-
tre n e n′. Evidentemente, esta explicação apenas substitui �sucessor�
por �logo depois�, portanto não é uma de�nição. O termo primitivo
�sucessor� não é de�nido explicitamente. Seu uso e suas propriedades
são regidos por algumas regras, abaixo enumeradas:
a) Todo número natural tem um único sucessor;
b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes;
c) Existe um único número natural, chamado um e representado
8 MA12 - Unidade 1
pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro;
d) Seja X um conjunto de números naturais (isto é, X ⊂ N).Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elemento de X ainda
pertence a X, então X = N.
As a�rmações a), b), c) e d) acima são conhecidas como os axiomas
de Peano. Tudo o que se sabe sobre os números naturais pode ser
demonstrado como consequência desses axiomas.
Um engenhoso processo, chamado sistema de numeração decima l,
permite representar todos os números naturais com o auxílio dos sím-
bolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Além disso, os primeiros números
naturais têm nomes: o sucessor do número um chama se �dois�, o
sucessor de dois chama-se �três�, etc. A partir de um certo ponto,
esses nomes tornam-se muito complicados, sendo preferível abrir mão
deles e designar os grandes números por sua representação decimal.
(Na realidade, os números muito grandes não possuem nomes. Por
exemplo, como se chamaria o número 101000?).
Deve �car claro que o conjunto N = {1, 2, 3, . . .} dos números natu-
rais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, são vazios
de signi�cado. Cada um desses objetos (um número natural) possui
apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outra pro-
priedade lhe serve de de�nição. Todo número tem um sucessor (único)
e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do
qual é sucessor).
Vistos desta maneira, podemos dizer que os números naturais são
números ordinais : 1 é o primeiro, 2 é o segundo, etc.
Números Naturais 9
Um Pequeno Comentário Gramatical
Quando dizemos �o número um�, �o número dois� ou �o número três�,
as palavras �um�, �dois� e �três� são substantivos, pois são nomes de
objetos. Isto contrasta com o uso destas palavras em frases como �um
ano, dois meses e três dias�, onde elas aparecem para dar a ideia de
número cardinal, isto é, como resultados de contagens. Nesta frase,
�um�, �dois� e �três� não são substantivos. Pertencem a uma categoria
gramatical que, noutras línguas (como francês, inglês e alemão, por
exemplo) é chamada adjetivo numeral e que os gramáticos brasileiros
e portugueses, há um par de décadas, resolveram chamar de numeral
apenas. Este comentário visa salientar a diferença entre os números
naturais, olhados como elementos do conjunto N, e o seu emprego
como números cardinais. Este segundo aspecto será abordado no capí-
tulo seguinte.
Recomendação
1. Não se deve dar muita importância à eterna questão de saber se 0
(zero) deve ou não ser incluído entre os números naturais. (Vide �Meu
Professor de Matemática�, pág. 150.) Praticamente todos os livros
de Matemática usados nas escolas brasileiras consideram 0 como o
primeiro número natural (consequentemente 1 é o segundo, 2 é o ter-
ceiro, etc). Como se viu acima, não adotamos esse ponto-de-vista.
Trata-se, evidentemente, de uma questão de preferência. Deve-se lem-
brar que o símbolo 0 (sob diferentes formas grá�cas) foi empregado
inicialmente pelos maias, posteriormente pelos hindus, difundido pelos
árabes e adotado no ocidente, não como um número e sim como um
10 MA12 - Unidade 1
algarismo, com o utilíssimo objetivo de preencher uma casa decimal
vazia. (No caso dos maias, a base do sistema de numeração era 20, e
não 10.) De resto, a opção do número natural para iniciar a sequência
não se limita a escolher entre 0 e 1. Frequentemente esquecemos que,
do mesmo modo que conhecemos e usamos o zero mas começamos os
números naturais com 1, a Matemática grega, segundo apresentada
por Euclides, não considerava 1 como um número. Nos �Elementos�,
encontramos as seguintes de�nições:
�Unidade é aquilo pelo qual cada objeto é um. Número é uma
multitude de unidades�.
4 Destaque para o Axioma da Indução
O último dos axiomas de Peano é conhecido como o axioma da in-
dução. Ele é a base de um e�ciente método de demonstração de
proposições referentes a números naturais (demonstrações por indução,
ou por recorrência). Enunciado sob a forma de propriedades em vez
de conjuntos, ele se formula assim:
Seja P (n) uma propriedade relativa ao número natural n. Supo-
nhamos que
i) P (1) é válida;
ii) Para todo n ∈ N, a validez de P (n) implica a validez de P (n′),
onde n′ é o sucessor de n.
Então P (n) é válida qualquer que seja o número natural n.
Com efeito, se chamarmos de X o conjunto dos números naturais
n para os quais P (n) é válida, veremos que 1 ∈ X em virtude de i)
e que n ∈ X ⇒ n′ ∈ X em virtude de ii). Logo, pelo axioma da
indução, concluímos que X = N.
Números Naturais 11
Recomendação
2. O axioma da indução é uma forma sagaz e operacional de dizer
que qualquer número natural n pode ser alcançado se partirmos de 1
e repetirmos su�cientemente a operação de tomar o sucessor de um
número. Ele está presente (pelo menos de forma implícita) sempre que,
ao a�rmarmos a veracidade de uma proposição referente aos números
naturais, veri�camos que ela é verdadeira para n = 1, n = 2, n = 3
e dizemos �e assim por diante...�. Mas é preciso ter cuidado com
esta última frase. Ela pressupõe que P (n) ⇒ P (n′) para todo n ∈N. No �nal deste capítulo, apresentamos como exercícios algumas
proposições demonstráveis por recorrência, bem como alguns curiosos
paradoxos que resultam do uso inadequado do axioma da indução.
5 Adição e Multiplicação
Entre os números naturais estão de�nidas duas operações fundamen-
tais: a adição, que aos números n, p ∈ N faz corresponder a soma
n+ p e a multiplicação, que lhes associa o produto np.
A soma n + p é o número natural que se obtém a partir de n
aplicando-se p vezes seguidas a operação de tomar o sucessor. Em
particular, n+1 é o sucessor de n, n+2 é o sucessor do sucessor de n,
etc. Por exemplo, tem-se 2+2 = 4 simplesmente porque 4 é o sucessor
do sucessor de 2.
De agora em diante, o sucessor do número natural n será designado
por n+ 1.
Quanto ao produto, põe-se n ·1 = n por de�nição e, quando p 6= 1,
np é a soma de p parcelas iguais a n.
12 MA12 - Unidade 1
Em última análise, a soma n + p e o produto np têm mesmo os
signi�cados que lhes são atribuídos pelas explicações dadas acima.
Entretanto, até que saibamos utilizar os números naturais para efetuar
contagens, não tem sentido falar em �p vezes� e �p parcelas�. Por isso,
as operações fundamentais devem ser de�nidas por indução, como se
segue.
Adição: n+1 = sucessor de n e n+(p+1) = (n+p)+1 . Esta última
igualdade diz que se sabemos somar p a todos os números naturais n,
sabemos também somar p + 1: a soma n + (p + 1) é simplesmente o
sucessor (n + p) + 1 de n + p . O axioma da indução garante que a
soma n+ p está de�nida para quaisquer n, p ∈ N.Multiplicação: n · 1 = n e n(p + 1) = np + n. Ou seja: mul-
tiplicar um número n por 1 não o altera. E se sabemos multiplicar
todos os números naturais n por p, sabemos também multiplicá-los
por p+1: basta tomar n(p+1) = np+n. Por indução, sabemos mul-
tiplicar todo n por qualquer p. Estas operações gozam das conhecidas
propriedades de associatividade, comutatividade e distributividade.
As demonstrações são feitas por indução. (Voltaremos ao assunto na
Unidade 5 de MA12, onde mais detalhes seão apresentados.)
6 Ordem Entre os Números Naturais
Nossa breve descrição do conjunto N dos números naturais termina
com a relação de ordem m < n.
Dados m, n ∈ N, diz-se que m é menor do que n, e escreve-se
m < n, para signi�car que existe algum p ∈ N tal que n = m + p.
(Isto quer dizer que n é o sucessor do sucessor... do sucessor de m, o
ato de tomar o sucessor sendo iterado p vezes.)
Números Naturais 13
A relação m < n tem as seguintes propriedades:
Transitividade: Se m < n e n < p então m < p.
Tricotomia: Dados m, n ∈ N, vale uma, e somente uma, das
alternativas: m = n, m < n ou n < m.
Monotonicidade: Se m < n então, para qualquer p ∈ N, tem-se
m+ p < n+ p e mp < np.
Boa-ordenação: Todo subconjunto não-vazio X ⊂ N possui um
menor elemento. Isto signi�ca que existe um elemento m0 ∈ X que
é menor do que todos os demais elementos de X. A boa-ordenação
pode muitas vezes substituir com vantagem a indução como método
de prova de resultados referentes a números naturais.
São muito raros e pouco interessantes os exemplos de demonstração
por indução que podem ser dados sem usar as operações fundamentais
e as desigualdades. Por isso, somente agora apresentamos um deles,
seguido de uma demonstração por boa-ordenação.
Exemplo 1. Queremos provar a validez, para todo número natural
n, da igualdade
P (n) : 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 1) = n2
Usaremos indução. Para n = 1, P (1) se resume a a�rmar que 1 = 1.
Supondo P (n) verdadeira para um certo valor de n, somamos 2n + 1
a) Sejam A e B e dois conjuntos enumeraveis. Mostre que A ∪B e enumeravel.
b) Seja {A1, . . . , An} uma famılia finita de conjuntos enumeraveis. Use um argumento de inducao
para mostrar que A1 ∪ · · · ∪ An e enumeravel.
c) Com base no argumento do item anterior, e possıvel concluir que, se {An ;n ∈ N} e uma famılia
enumeravel de conjuntos enumeraveis, entao⋃
n∈N An e enumeravel? Este resultado e verdadeiro?
Sugestao: repita o argumento considerando famılias de conjuntos finitos em lugar de enumeraveis.
Vıdeo relacionado:
Aulas do Professor Augusto Cesar Morgado. Inducao Matematica, julho 2004.
MA12 - Unidade 2
Indução Matemática
Semana de 04/04 a 10/04
Nesta unidade mostraremos como o Axioma da Indução, que foi apresen-tado na Unidade 1 como um dos axiomas pilares dos números naturais, nosfornece um poderoso instrumento para provar afirmações que envolvem essesnúmeros.
Princípio de Indução Matemática
Recorde o Axioma (d) de Peano, apresentado na Unidade 1, cujo enunciadoreproduzimos a seguir.
Axioma da Indução: Dado um subconjunto X do conjunto dos númerosnaturais N, tal que 1 pertence a X e sempre que um número n pertence aX, o número n + 1 também pertence a X, tem-se que X = N.
Esse simples axioma nos fornece uma das mais poderosas técnicas dedemonstração em Matemática, a chamada Prova pelo Princípio de Indução
2 Unidade 2
Matemática, ou simplesmente Prova por Indução.
Suponha que seja dada uma sentença matemática P (n) que dependa deuma variável natural n, a qual se torna verdadeira ou falsa toda vez quesubstituirmos n por um número natural dado. Tais sentenças serão ditassentenças abertas definidas sobre o conjunto dos naturais.
A seguir damos alguns exemplos de sentenças abertas definidas sobre N:
a) P (n) : n é par.
É claro que a afirmação P (1) é falsa, pois ela diz que 1 é par; P (3), P (5)
e P (9) são falsas, pois afirmam, respectivamente, que 3, 5 e 9 são pares.Por outro lado, é também claro que P (2), P (4), P (8) e P (22) são verda-
deiras, pois 2, 4, 8 e 22 são pares.
b) P (n) : n é múltiplo de 3.Temos, por exemplo, que P (1), P (2), P (4) e P (5) são falsas, enquanto
P (3) e P (6) são verdadeiras.
c) P (n) : 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2n − 1) = n2.
Temos que P (1), P (2), P (3), P (4), . . . , P (10) são verdadeiras.
Aqui sabemos precisamente o que significa a sentença aberta P (n), apesardos pontinhos na sua definição. Ela significa:
“A soma dos n primeiros números ímpares é igual a n2 ”.
Você consegue visualizar algum número natural m para o qual P (m) sejafalsa? Bem, após mais algumas tentativas, você se convencerá de que estafórmula tem grandes chances de ser verdadeira para todo número natural n;ou seja, P (n) é verdadeira para todo n ∈ N.
d) P (n) : n2 − n + 41 é um número primo, para todo n ∈ N.
É fácil verificar que as sentenças P (1), P (2), P (3) são verdadeiras. Comalgum trabalho, é possível ir além, verificando também que P (4), P (5), . . .,P (35) são verdadeiras.
Portanto, é plausível que tenhamos encontrado um polinômio cujos valo-res nos números inteiros sejam sempre números primos.
Indução Matemática 3
Mais alguns testes para confirmar a nossa suspeita? Lá vai, P (36), P (37),P (38) e P (40) são verdadeiras.
Podemos parar por aqui e nos sentir felizes com a nossa descoberta? Bom,para satisfazer os mais céticos, faremos só mais um teste com n = 41.
Note que 412 − 41 + 41 = 412 não é primo. Logo, para a nossa desilusão,P (41) é falsa!
Para a sua informação, pode-se provar que não existe nenhum polinômioem uma variável com coeficientes inteiros cujos valores nos naturais sejamsempre números primos. Portanto, não havia a priori nenhuma chance deP (n) ser verdadeira para todo número natural n.
Como provar então que uma sentença aberta definida sobre os naturais ésempre verdadeira? Você há de convir que não seria possível testar, um porum, todos os números naturais, pois eles são em número infinito. Portanto,será preciso encontrar algum outro método.
Vamos a seguir expor a técnica da Prova por Indução, que resolverá essenosso problema.
Seja P (n) uma sentença aberta sobre os naturais, denotaremos por
V = {n ∈ N; P (n)},
o subconjunto dos elementos n ∈ N para os quais P (n) é verdadeira.Se quisermos mostrar que uma sentença aberta P (n) é verdadeira para
todo n ∈ N, temos que mostrar que V = N. Isso pode ser feito usando oAxioma da Indução, bastando, para isto, mostrar que 1 pertence a V e quen + 1 pertence a V , toda vez que n pertence a V .
Provamos, assim, o seguinte teorema:
4 Unidade 2
Teorema 1(Princípio de Indução Matemática) Seja P (n) uma sentençaaberta sobre N. Suponha que
(i) P (1) é verdadeira, e
(ii) qualquer que seja n ∈ N, sempre que P (n) é verdadeira, segue-se queP (n + 1) é verdadeira.
Então, P (n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Vejamos como usar esse método para mostrar a validez, para todo naturaln, da fórmula
1 + 3 + · · · + (2n − 1) = n2.
Observe que P (1) é verdadeira, já que a fórmula é trivialmente válidapara n = 1. Suponha agora que, para algum n natural, P (n) seja verdadeira;ou seja, que
1 + 3 + · · · + (2n − 1) = n2.
Queremos provar que P (n + 1) é verdadeira. Somando 2n + 1, que é opróximo número ímpar após 2n − 1, a ambos os lados da igualdade acima,obtemos a igualdade também verdadeira:
Isso mostra que P (n + 1) é verdadeira, toda vez que P (n) é verdadeira.Pelo Princípio de Indução Matemática, a fórmula é válida para todo númeronatural n.
Você tem idéia de quando foi feita pela primeira vez a demonstraçãoacima? Bem, o primeiro registro que se tem é de 1575 e foi realizada porFrancesco Maurolycos.
Note que, na demonstração acima, poderia parecer que estamos usandoo fato de P (n) ser verdadeira para deduzir que P (n + 1) é verdadeira paraem seguida concluir que P (n) é verdadeira. O que está ocorrendo? Estamosusando a tese para provar o teorema?
Indução Matemática 5
A resposta é não! Preste bem atenção, pois essa é a parte mais delicadade toda a história.
Dado um número natural n, temos duas possibilidades:
(a) P (n) é verdadeira, ou (b) P (n) é falsa.
A hipótese (ii) do Teorema não exige em absoluto que assumamos P (n)
verdadeira para todo n ∈ N, podendo eventualmente ser falsa para algumvalor de n, ou mesmo para todos os valores de n. O que a hipótese (ii) exige éque sempre que algum n pertença à categoria (a) acima, então n+1 tambémpertença a essa mesma categoria; não exigindo nada quando n pertencer àcategoria (b).
Por exemplo, a sentença aberta P (n) : n = n+1 satisfaz (por vacuidade)a hipótese (ii) do Teorema, já que nenhum n ∈ N pertence à categoria (a). Oque falha para que o Princípio de Indução nos garanta que P (n) é verdadeirapara todo n é que a hipótese (i) não é verificada, pois P (1) : 1 = 2 é falsa!
É preciso ter clareza que a Indução Matemática é diferente da induçãoempírica das ciências naturais, em que é comum, após um certo númerode experimentos, necessariamente finito, enunciar leis gerais que governamo fenômeno em estudo. Essas leis são tidas como verdades, até prova emcontrário. Na matemática, não há lugar para afirmações verdadeiras atéprova em contrário. A Prova por Indução Matemática trata de estabelecerque determinada sentença aberta sobre os naturais é sempre verdadeira.
A indução empírica foi batizada, de modo irônico, pelo matemático, filó-sofo e grande humanista inglês do século passado, Bertrand Russel (1872-1970), de indução galinácea, com base na seguinte historinha:
Havia uma galinha nova no quintal de uma velha senhora. Diariamente,ao entardecer, a boa senhora levava milho às galinhas. No primeiro dia, agalinha, desconfiada, esperou que a senhora se retirasse para se alimentar.No segundo dia, a galinha, prudentemente, foi se alimentando enquanto asenhora se retirava. No nonagésimo dia, a galinha, cheia de intimidade,já não fazia caso da velha senhora. No centésimo dia, ao se aproximar a
6 Unidade 2
senhora, a galinha, por indução, foi ao encontro dela para reclamar o seumilho. Qual não foi a sua surpresa quando a senhora pegou-a pelo pescoçocom a intenção de pô-la na panela.
Exemplo 1. Queremos determinar uma fórmula para a soma dos n primei-ros números naturais.
Conta-se a seguinte história sobre o matemático alemão Carl FriedrichGauss (1777-1855)1, quando ainda garoto. Na escola, o professor, para aqui-etar a turma de Gauss, mandou os alunos calcularem a soma de todos osnúmeros naturais de 1 a 100. Qual não foi a sua surpresa quando, poucotempo depois, o menino deu a resposta: 5050. Indagado como tinha des-coberto tão rapidamente o resultado, Gauss, então, descreveu o método aseguir.
SendoSn = 1 + 2 + · · · + n,
o objetivo é encontrar uma fórmula fechada2 para Sn.Somando a igualdade acima, membro a membro, com ela mesma, porém
com as parcelas do segundo membro em ordem invertida, temos que
Sn = 1 + 2 + · · · + n
Sn = n + (n − 1) + · · · + 1
2Sn = (n + 1) + (n + 1) + · · · + (n + 1)
Daí segue-se que 2Sn = n(n + 1) e, portanto,
Sn =n(n + 1)
2.
Vamos ser críticos com relação à prova acima. Para a maioria das pes-soas, essa prova parece impecável, mas se alguém nos perguntasse o que está
1Gauss é considerado um dos maiores gênios da matemática de todos os tempos.2Uma fórmula fechada para Sn, a grosso modo, é uma função de n que permite calcular
diretamente os valores de Sn fazendo um número pequeno de contas.
Indução Matemática 7
escondido atrás dos pontinhos, talvez nos sentíssemos embaraçados. Tam-bém, como ter absoluta certeza de que nada acontece fora do nosso controle,exatamente na imensa região coberta pelos pontinhos?
Para não pairar nenhuma dúvida sobre o nosso resultado, vamos provara fórmula utilizando o Princípio de Indução Matemática.
Agora, suponhamos que para algum n ∈ N, tenhamos P (n) verdadeira,isto é, a fórmula (1) é válida para tal valor de n. Somando n + 1 a ambos oslados dessa igualdade, temos que é verdadeira a igualdade
1 + 2 + · · · + n + (n + 1) =n(n + 1)
2+ n + 1 =
n(n + 1) + 2(n + 1)
2=
(n + 1)(n + 2)
2,
o que estabelece a veracidade de P (n + 1).Pelo Teorema, tem-se que a fórmula P (n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Exemplo 2. Queremos validar a fórmula
P (n) : 12 + 22 + · · · + n2 =n(n + 1)(2n + 1)
6. (2)
Note que
P (1) : 12 =1(1 + 1)(2 + 1)
6
é verdadeira.
8 Unidade 2
Suponha que, para algum n ∈ N, se tenha que P (n) é verdadeira, isto é,(2) é válida. Somando (n+1)2 a ambos os lados da igualdade (2), temos que
12 + 22 + · · · + n2 + (n + 1)2 =n(n + 1)(2n + 1)
6+ (n + 1)2 =
n(n + 1)(2n + 1) + 6(n + 1)2
6=
(n + 1)[n(2n + 1) + 6(n + 1)]
6=
(n + 1)[(n + 1) + 1][2(n + 1) + 1]
6,
estabelecendo assim a veracidade de P (n + 1).Portanto, a fórmula é válida para todo n ∈ N.
Exemplo 3. Vamos provar que é verdadeira, para todo n ∈ N, a fórmula:
P (n) :1
1.2+
1
2.3+ · · · + 1
n(n + 1)=
n
n + 1. (3)
Observemos inicialmente que
P (1) :1
1.2=
1
1 + 1
é verdadeira.Suponhamos que, para algum n, tem-se que P (n) é verdadeira, ou seja,
que a fórmula (3) seja verdadeira para esse valor de n. Somando a ambos os
lados dessa igualdade1
(n + 1)(n + 2), temos que
1
1.2+
1
2.3+ · · · + 1
n(n + 1)+
1
(n + 1)(n + 2)=
n
n + 1+
1
(n + 1)(n + 2)=
n + 1
n + 2,
mostrando, assim, que P (n + 1) é verdadeira.Portanto, pelo Princípio de Indução Matemática, temos que a fórmula
vale para todo n ∈ N.
Indução Matemática 9
Problemas
1 Demonstre, por indução, a validez das seguintes fórmulas:
2 a) Considere, para i ∈ N, a seguinte identidade:
(i+ 1)5 − i5 = 5i4 + 10i3 + 10i2 + 5i+ 1.
Efetue o somatório de ambos os lados para i variando de 1 até n. Utilizando
problemas anteriormente resolvidos, determine uma fórmula para∑n
i=1 i4.
b) Pense em um modo de calcular∑n
i=1 i5. Mostre como isto pode ser gene-
ralizado.
3 Demonstre a Propriedade (ii) na Proposição 1.
4 Prove as desigualdades:
2(√n+ 1− 1) < 1 +
1√2+
1√3+ · · ·+ 1√
n< 2√n.
Somatórios e Binômio de Newton 7
Sugestão: Mostre inicialmente que
2√n+ 1− 2
√n <
1√n< 2√n− 2
√n− 1
e em seguida use somas telescópicas.
5 Seja a1, a2, . . . , an+1 uma P.A. com de razão r. Calcule a soma
Sn =1
a1a2+
1
a2a3+ · · ·+ 1
anan+1
.
Sugestão: Mostre inicialmente que
1
aiai+1
= −1
r
[1
ai+1
− 1
ai
].
Tome o somatório, para i variando de 1 até n, em ambos o lados da igualdade
acima e note que o somatório do lado direito é um múltiplo de uma soma
telescópica. Conclua que
Sn = −1
r
[1
an+1
− 1
a1
]=
n
a1an+1
.
Binômio de Newton
Considere a expressão (1 + X)n, onde X é uma indeterminada e n é um
número natural. É claro que o desenvolvimento dessa potência é um polinômio
de grau n em X, cujos coe�cientes são números naturais (você pode provar
esta a�rmação por indução sobre n):
(1 +X)n = a0 + a1X + a2X2 + · · ·+ an−1X
n−1 + anXn.
Os coe�cientes ai, i = 0, . . . , n, serão chamados de números binomiais
e denotados pelos símbolos ai =
(n
i
)(usa-se indiferentemente também a
notação Cin). Se i > n, é cômodo de�nir
(n
i
)= 0.
8 Unidade 4
Observe que, tomando X = 1 no desenvolvimento de (1 +X)n, obtemosa seguinte identidade:
2n =
(n
0
)+
(n
1
)+ · · ·+
(n
n
).
Queremos determinar fórmulas explícitas para esses números binomiais.
Como os coe�cientes do termo independente de X, do termo em X e dotermo em Xn no desenvolvimento de (1 + X)n são, respectivamente, 1, n e1, temos que (
n
0
)= 1,
(n
1
)= n e
(n
n
)= 1
Lema 1 (Relação de Stifel) Para todo n ∈ N e todo i ∈ N com 0 ≤ i ≤ n,
tem-se que (n
i
)+
(n
i+ 1
)=
(n+ 1
i+ 1
).
Demonstração: Para i = n, a relação acima é trivialmente veri�cada.Para 0 ≤ i < n, as relações decorrem, imediatamente, das seguintes igual-dades: (
n+ 1
0
)+
(n+ 1
1
)X + · · ·+
(n+ 1
n
)Xn +
(n+ 1
n+ 1
)Xn+1 =
(1 +X)n+1 = (1 +X)
[(n
0
)+
(n
1
)X + · · ·+
(n
n− 1
)Xn−1 +
(n
n
)Xn
]=
(n
0
)+
[(n
0
)+
(n
1
)]X + · · ·+
[(n
n− 1
)+
(n
n
)]Xn +
(n
n
)Xn+1.
2
Lema 2 Para todos n, i ∈ N, com 1 ≤ i ≤ n, tem-se que
i!
(n
i
)= n(n− 1) · · · (n− i+ 1).
Somatórios e Binômio de Newton 9
Demonstração: Vamos provar isto por indução sobre n. A igualdade étrivialmente veri�cada para n = 1. Suponha que as igualdades sejam válidaspara algum n ∈ N e todo i com 1 ≤ i ≤ n. Pela relação de Stifel, temos,para i ≤ n, que
o que prova a igualdade para n + 1 e para todo i com 1 ≤ i ≤ n. Uma
veri�cação direta mostra que a fórmula também vale para i = n+1. Portanto,
a igualdade vale para todo n e todo i com 1 ≤ i ≤ n. 2
Segue-se do Lema 2 que, para n, i ∈ N, com 1 ≤ i ≤ n, vale a seguintefórmula para os coe�cientes binomiais:(
n
i
)=
n(n− 1) · · · (n− i+ 1)
i!=
n!
i!(n− i)!.
Note que os termos extremos nas igualdades acima têm sentido e são
iguais quando i = 0.
Da fórmula acima, decorre imediatamente, para todo n ∈ N e todo i com0 ≤ i ≤ n, a seguinte identidade fundamental:(
n
i
)=
(n
n− i
).
Seja A um conjunto com duas operações, uma adição e uma multiplicação,
sujeitas às leis básicas da aritmética.
Teorema (Binômio de Newton) Sejam a e b elementos do conjunto A e
seja n ∈ N. Tem-se que
(a+ b)n = an +
(n
1
)an−1b+
(n
2
)an−2b2 + · · ·+
(n
n− 1
)abn−1 + bn.
10 Unidade 4
Demonstração: Se a = 0, o resultado é óbvio. Se a 6= 0, substitua X porb
ana expansão de (1 +X)n e multiplique ambos os lados por an. 2
Exemplo 4.
(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2.
(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3.
(a+ b)4 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4.
(a+ b)5 = a5 + 5a4b+ 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5.
Problemas
6 Demonstre a identidade das colunas:(i
i
)+
(i+ 1
i
)+ · · ·+
(n
i
)=
(n+ 1
i+ 1
).
7 Demonstre a identidade das diagonais:(n
0
)+
(n+ 1
1
)+
(n+ 2
2
)+ · · ·+
(n+m
m
)=
(n+m+ 1
m
).
8 a) Demonstre, para todos n,m, k ∈ N, a identidade de Euler:
k∑i=0
(m
i
)(n
k − i
)=
(n+m
k
).
b) Em particular, deduza a identidade de Lagrange:
n∑i=0
(n
i
)2
=
(2n
n
).
Somatórios e Binômio de Newton 11
9 a) Mostre que(n
i
)é o número de subconjuntos distintos com i elementos
de um conjunto com n elementos.
b) Mostre que o conjunto das partes de um conjunto com n elementos tem
2n elementos.
c) Usando os itens acima, dê uma outra prova para a igualdade:(n
0
)+
(n
1
)+ · · ·+
(n
n
)= 2n.
10 Seja n ∈ N. Mostre que(n
i
)<
(n
i+ 1
), se 0 ≤ i <
n− 1
2; e que(
n
i
)>
(n
i+ 1
), se i >
n− 1
2
MA 12 - Unidade 5
Atividade Especial (Revisao)
Semana de 18/04 a 24/04
Esta unidade, a ser desenvolvida ao longo da semana, sera dedicada a revisao e ao aprofundamento
dos conceitos introduzidos ate o presente momento.
Voce tem a sua disposicao um texto de autoria do professor Elon, de cunho teorico, que sintetiza e
ao mesmo tempo complementa e detalha o que foi estudado ate o momento na disciplina MA12, bem
como na Unidade 2 de MA11.
Use-o para refletir sobre os numeros naturais, que sao objetos fundamentais em matematica. Um
professor de matematica nao pode deixar de ter esses conceitos bem claros e assimilados e essas
notas poderao ajuda-lo nessa tarefa. Voce tambem encontrara uma lista de 22 problemas para testar a
habilidade adquirida. Alguns desses problemas voce ja tera encontrado ao longo das unidades anteriores;
e um bom exercıcio tentar lembrar como voce os resolveu.
O PRINCÍPIO DA INDUÇÃO Elon Lages Lima
INTRODUÇÃO
O Princípio da Indução é um eficiente instrumento para a demonstração de fatos referentes aos números naturais. Por isso deve-se adquirir prática em sua utilização. Por outro lado, é importante também conhecer seu significado e sua posição dentro do arcabouço da Matemática. Entender o Princípio da Indução é praticamente o mesmo que entender os números naturais.
Apresentamos abaixo uma breve exposição sobre os números naturais, onde o Princípio da Indução se insere adequadamente e mostra sua força teórica antes de ser utilizado na lista de exercícios propostos ao final. 1. A SEQUÊNCIA DOS NÚMEROS NATURAIS
Os números naturais constituem um modelo matemático, uma escala padrão, que nos permite a operação de contagem. A sequência desses números é uma livre e antiga criação do espírito humano. Comparar conjuntos de objetos com essa escala abstrata ideal é o processo que torna mais precisa a noção de quantidade; esse processo (a contagem) pressupõe portanto o conhecimento da sequência numérica. Sabemos que os números naturais são 1, 2, 3, 4, 5,… A totalidade desses números constitui um conjunto, que indicaremos com o símbolo N e que chamaremos de conjunto dos naturais. Portanto N = {1, 2, 3, 4, 5,…}.
Evidentemente, o que acabamos de dizer só faz sentido quando já se sabe o que é um número natural. Façamos de conta que esse conceito nos é desconhecido e procuremos investigar o que há de essencial na sequência 1, 2, 3, 4, 5… .
Deve-se a Giussepe Peano (1858-1932) a constatação de que se pode elaborar toda a teoria dos números naturais a partir de quatro fatos básicos, conhecidos atualmente como os axiomas de Peano. Noutras palavras, o conjunto N dos números naturais possui quatro propriedades fundamentais, das quais resultam, como consequências lógicas, todas as afirmações verdadeiras que se podem fazer sobre esses números. Começaremos com o enunciado e a apreciação do significado dessas quatro proposições fundamentais a respeito dos números naturais. 2. OS AXIOMAS DE PEANO
Um matemático profissional, em sua linguagem direta e objetiva, diria que o conjunto N dos números naturais é caracterizado pelas seguintes propriedades:
A. Existe uma função s : N → N, que associa a cada n ∈ N um elemento s(n) ∈ N,
chamado o sucessor de n. B. A função s : N → N é injetiva. C. Existe um único elemento 1 no conjunto N, tal que 1 ≠ s(n) para todo n ∈ N. D. Se um subconjunto X ⊂ N é tal que 1 ∈ N e s(X) ⊂ X
(isto é, n ∈ X ⇒ s(n) ∈ X), então X = N.
Observe que, como estamos chamando de N o conjunto dos números naturais, a notação n ∈ N significa que n é um número natural. As afirmações A, B, C e D são os axiomas de Peano. A notação s(n) é provisória. Depois de definirmos adição, escreveremos n + 1 em vez de s(n).
Como concessão à fraqueza humana, nosso matemático nos faria a gentileza de reformular os axiomas de Peano em linguagem corrente, livre de notação matemática. E nos diria então que as afirmações acima significam exatamente o mesmo que estas outras: A'. Todo número natural possui um único sucessor, que também é um número natural. B'. Números naturais diferentes possuem sucessores diferentes. (Ou ainda: números que
têm o mesmo sucessor são iguais.) C'. Existe um único número natural que não é sucessor de nenhum outro. Este número é
representado pelo símbolo 1 e chamado de "número um". D'. Se um conjunto de números naturais contém o número 1 e, além disso, contém o
sucessor de cada um de seus elementos, então esse conjunto coincide com N, isto é, contém todos os números naturais.
A partir daí, retomamos a palavra para dizer que o sucessor de 1 chama-se "dois", o sucessor de dois chama-se "três", etc. Nossa civilização progrediu ao ponto em que temos um sistema de numeração, o qual nos permite representar, mediante o uso apropriado dos símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, todos os números naturais. Além disso, nossa linguagem também fornece nomes para os primeiros termos da sequência dos números naturais. (Números muito grandes não têm nomes específicos, ao contrário dos menores como "mil novecentos e noventa e oito". Quem sabe, por exemplo, o nome do número de átomos do universo?)
Voltando a usar a notação s(n) para o sucessor do número natural n, teremos então 2 = s(1), 3 = s(2), 4 = s(3), 5 = s(4), etc. Assim, por exemplo, a igualdade 2 = s(1) significa apenas que estamos usando o símbolo 2 para representar o sucessor de 1. A sequência dos números naturais pode ser indicada assim:
⋅⋅⋅→→→→→ sssss 54321
As flechas ligam cada número ao seu sucessor. Nenhuma flecha aponta para 1, pois este número não é sucessor de nenhum outro. O
diagrama acima diz muito sobre a estrutura do conjunto N dos números naturais. 3. O AXIOMA DA INDUÇÃO
Um dos axiomas de Peano, o último, possui claramente uma natureza mais elaborada
do que os demais. Ele é conhecido como o axioma da indução. Faremos dele uma análise detida, acompanhada de comentários.
O significado informal do axioma D é que todo número natural pode ser obtido a partir de 1 por meio de repetidas aplicações da operação de tomar o sucessor. Assim, por exemplo, 2 é o sucessor de 1, 3 é o sucessor do sucessor de 1, etc. Para se entender melhor o axioma da indução é útil examinar o exemplo, no qual N = {1, 2, 3,…} mas a função s : N → N é modificada, pondo-se s(n) = n + 2. Então, se começarmos com 1 e a este número aplicarmos repetidamente a operação de tomar o "sucessor" (nesta nova acepção) obteremos s(1) = 3, s(3) = 5, s(5) = 7, etc., e nunca chegaremos a qualquer número par. Portanto, o diagrama
1 3 5
2 4 6
s s s
s s s
→ → → ⋅⋅⋅
→ → →⋅⋅⋅
exibe uma função injetiva s : N → N para a qual não é verdade que todo número natural n pode ser obtido, a partir de 1, mediante repetidas aplicações da operação de passar de k para s(k).
Dentro de um ponto de vista estritamente matemático, podemos reformular o axioma da indução do seguinte modo: Um subconjunto X ⊂ N chama-se indutivo quando s(X) ⊂ X, ou seja, quando n ∈ X ⇒ s(n) ∈ X, ou ainda, quando o sucessor de qualquer elemento de X também pertence a X. Dito isto, o axioma da indução afirma que o único subconjunto indutivo de N que contém o número 1 é o proprio N.
No exemplo acima, os números ímpares 1, 3, 5, … formam um conjunto indutivo que contém o elemento 1 mas não é igual a N.
O papel fundamental do axioma da indução na teoria dos números naturais e, mais geralmente, em toda a Matemática, resulta do fato de que ele pode ser visto como um método de demonstração, chamado o Método de Indução Matemática, ou Princípio da Indução Finita, ou Princípio da Indução, conforme explicaremos agora.
Seja P uma propriedade que se refere a números naturais. Um dado número natural pode gozar ou não da propriedade P.
Por exemplo, seja P a propriedade de um número natural n ser sucessor de outro número natural. Então 1 não goza da propriedade P, mas todos os demais números gozam de P.
O Princípio da Indução diz o seguinte:
Princípio da Indução: Seja P uma propriedade referente a números naturais. Se 1 goza de P e se, além disso, o fato de o número natural n gozar de P implica que seu sucessor s(n) também goza, então todos os números naturais gozam da propriedade P.
Para ver que o Princípio da Indução é verdadeiro (uma vez admitidos os axiomas de Peano) basta observar que, dada a propriedade P cumprindo as condições estipuladas no enunciado do Princípio, o conjunto X dos números naturais que gozam da propriedade P contém o número 1 e é indutivo. Logo X = N, isto é, todo número natural goza da propriedade P. As propriedades básicas dos números naturais são demonstradas por indução. Comecemos com um exemplo bem simples.
Exemplo 1. Entre os axiomas de Peano não consta explicitamente a afirmação de que todo número é diferente do seu sucessor, a qual provaremos agora. Seja P esta propriedade. Mais precisamente, dado o número natural n, escrevamos P(n) para significar, abreviadamente, a afirmação n ≠ s(n). Então P(1) é verdadeira, pois 1 ≠ s(1), já que 1 não é sucessor de número algum; em particular, 1 não é sucessor de si próprio. Além disso, se supusermos P(n) verdadeira, isto é, se admitimos que n ≠ s(n), então s(n) ≠ s(s(n)), pois a função s : N → N é injetiva. Mas a afirmação s(n) ≠ s(s(n) significa que P(s(n)) é verdadeira. Assim, a verdade de P(n) acarreta a verdade de P(s(n)). Pelo Princípio da Indução, todos os números naturais gozam da propriedade P, ou seja, são diferentes de seus sucessores.
Nas demonstrações por indução, a hipótese de que a propriedade P é válida para o número natural n (da qual deve decorrer que P vale também para s(n)) chama-se hipótese de indução.
O Princípio da Indução não é utilizado somente como método de demonstração. Ele serve também para definir funções f: N → Y que têm como dominio o conjunto N dos números naturais.
Para se definir uma função f : X → Y exige-se em geral que seja dada uma regra bem determinada, a qual mostre como se deve associar a cada elemento x ∈ X um único elemento y = f(x) ∈ Y.
Entretanto, no caso particular em que o domínio da função é o conjunto N dos números naturais, a fim de definir uma função f : N → Y não é necessário dizer, de uma só vez, qual é a receita que dá o valor f(n) para todo n ∈ N. Basta que se tenha conhecimento dos seguintes dados:
(1) O valor f (1); (2) Uma regra que permita calcular f (s(n)) quando se conhece f (n).
Esses dois dados permitem que se conheça f (n) para todo número natural n. (Diz-se então que a função f foi definida por recorrência.) Com efeito, se chamarmos de X o conjunto dos números naturais n para os quais se pode determinar f (n), o dado (1) acima diz que 1 ∈ X e o dado (2) assegura que n ∈ X ⇒ s(n) ∈ X. Logo, pelo axioma da indução, tem-se X = N.
Observação. : Uma função f : N → Y cujo domínio é o conjunto dos números naturais chama-se uma sequência ou sucessão de elementos de Y. A notação usada para uma tal sequência é
(y1, y2,…,yn,…),
onde se usa yn em vez de f(n) para indicar o valor da função f no número n. 4. ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS
A adição e a multiplicação de números naturais são exemplos de funções definidas
por recorrência. Para definir a adição, fixaremos um número natural arbitrário k e definiremos a soma
k + n para todo n ∈ N. Fixado k, a correspondência n → k + n será uma função f: N→ N, f(n) = k + n,
chamada "somar k". Ela se define por recorrência, a partir dos seguintes dados: (S1) k + 1 = s(k) (S2) k + s(n) = s(k + n).
Portanto, k + 1 é, por definição, o sucessor de k. E, se conhecermos k + n, saberemos o valor de k + s(n): por definição, tem-se k + s(n) = s(k + n). Isto nos permite conhecer k + n para todo n ∈ N (e todo k ∈ N).
Usando as notações definitivas n + 1 em vez de s(n) e (k + n) + 1 em vez de s(k + n), a igualdade (S2) se escreve assim:
(S2') k + (n + 1) = (k + n) +1. Assim, as igualdades (S1) e (S2) ou, equivalentemente, (S1) e (S2') definem por
recorrência a soma k + n de dois números naturais quaisquer k e n. A multiplicação de números naturais se define de modo análogo à adição. Fixado
arbitrariamente um número natural k, a multiplicação por k associa a todo número mnatural n o produto n ⋅ k, definido por indução da seguinte maneira:
(P1) 1⋅ k = k. (P2) (n + 1) k = n⋅k + k. O produto n⋅k escreve-se também nk e lê-se "n vezes k". A definição acima diz portanto que uma vez k é igual a k e n + 1 vezes k é igual a n vezes k mais (uma vez) k . Assim, por definição, 2 ⋅ k = k + k, 3 ⋅ k = k + k + k, etc. Usa-se indução para provar as propriedades básicas da adição e da multiplicação de números naturais. Entre elas, destacam-se as seguintes, válidas para quaisquer k, n, p ∈ N: Associatividade: k + (n + p) = (k + n) + p e k ⋅ (n ⋅ p) = (k ⋅ n)⋅ p Comutatividade: k + n = n + k e k ⋅ n = n ⋅ k Lei do Corte: k + n = k + p ⇒ n = p e k ⋅ n = k ⋅ p ⇒ n = p Distributividade: k (n + p) = k ⋅ n + k ⋅ p.
Omitiremos as demonstrações destes fatos. O leitor pode considerá-las como exercícios sobre o método da indução. 5. ORDEM
A adição de números naturais permite introduzir uma relação de ordem em N. Dados
os números naturais m, n diremos que m é menor do que n, e escreveremos m < n, para significar que existe p ∈ N tal que n = m + p. Neste caso, diz-se também que n é maior do que m e escreve-se n > m para exprimir que se tem m < n. A notação m ≤ n significa que m < n ou m = n. Por definição, tem-se portanto m < m + p para quaisquer m, p ∈ N. Em particular, m < m + 1. Segue-se também da definição que 1 < n para todo número natural n ≠ 1.
Com efeito, pelo axioma C, n ≠ 1 implica que n é sucessor de algum número natural m, ou seja, n = m + 1 = 1 + m, logo n > 1. Assim, 1 é o menor dos números naturais.
Provaremos a seguir as propriedades básicas da relação de ordem m < n que definimos. A primeira delas é a transitividade. Teorema 1. (Transitividade.) Se m < n e n < p, então m < p. Demonstração: Se m < n, n < p então n = m + k, p = n + r, logo p = (m + k) + r = m + (k + r), portanto m < p.
Outra importante propriedade de relação de ordem é que, dados dois números naturais diferentes m, n, ou se tem m < n ou então n < m. Esta propriedade pode ser reformulada de outra maneira, como segue.
Diremos que os números naturais m, n são comparáveis quando se tem m = n, m < n ou n < m. Podemos então enunciar o seguinte teorema.
Teorema 2. (Comparabilidade.) Todo número natural n é comparável com qualquer número natural m. Demonstração: Isto se prova por indução. O número 1 é comparável com qualquer outro número natural pois já sabemos que 1 < m para todo m ≠ 1. Suponhamos agora que o número n seja comparável com todos os números naturais. Mostremos, a partir daí, que n + 1 também tem essa propriedade. Com efeito, seja m ∈ N tomado arbitrariamente. Sabemos que se tem m < n, m = n ou n < m. Examinemos cada uma dessas possibilidades: Se for m < n então m < n + 1 por transitividade, pois sabemos que n < n + 1. Se for m = n, então m < n + 1. Se for n < m então m = n + p. Neste caso, há duas possibilidades. Ou se tem p = 1, donde m = n + 1, ou então p > 1, logo p = 1 + p', e daí m = (n + 1) + p' e concluímos que n + 1 < m. Em qualquer hipótese, vemos que n + 1 é comparável com qualquer número natural m. Por indução, fica provada a comparabilidade de quaisquer números naturais m, n. A comparabilidade dos números naturais é complementada pela proposição abaixo. Teorema 3. (Tricotomia.) Dados m, n ∈ N, qualquer das afirmações m < n, m = n, n < m exclui as outras duas. Demonstração: Se tivéssemos m < n e m = n, então seria m = m + p, donde m + 1 = m + p + 1 e, cortando m, concluiríamos que 1 = p + 1, um absurdo, pois 1 não é sucessor de p. Portanto m < n (e analogamente, n < m) é incompatível com m = n. Do mesmo modo, se tivéssemos m < n e n < m, então teríamos n = m + p e m = n + k, do que resultaria n = n + k + p, logo n + 1 = n + k + p + 1 e, cortando n, concluiríamos que 1 = k + p + 1, um absurdo. O teorema seguinte mostra que n e n + 1 são números consecutivos.
Teorema 4. Não existem números naturais entre n e n + 1. Demonstração: Se fosse possível ter n < p < n + 1, teríamos p = n + k e n + 1 = p + r, logo n + 1 = n + k + r. Cortando n, obteríamos 1 = k + r. Por definição, isto significaria k < 1, o que é absurdo, pois já vimos que k ≠ 1 ⇒ k > 1. A conexão entre a relação de ordem e as operações de adição e multiplicação é dada pelo seguinte teorema: Teorema 5. (Monotonicidade.) Se m < n, então m + p < n + p e mp < np. Demonstração: Usando a definição de <, temos que m < n ⇒ n = m + k ⇒ n + p = (m + k) + p ⇒ m + p < n + p. Analogamente, m < n ⇒ n = m + k ⇒ np = mp + kp ⇒ np >mp. A recíproca da monotonicidade é a Lei do Corte para desigualdades: m + p < n + p ⇒ m < n e mp < np ⇒ m < n. O leitor poderá prová-la por absurdo, usando a tricotomia e a própria monotonicidade. 6. BOA ORDENAÇÃO
Dado o subconjunto A ⊂ N, diz-se que o número natural a é o menor (ou primeiro) elemento de a quando a ∈ A e, além disso, a ≤ x, para todos os elementos x ∈ A.
Por exemplo, 1 é o menor elemento de N. De agora em diante, dado n ∈ N, indicaremos com In o conjunto dos números naturais
p tais que 1 ≤ p ≤ n. Assim, I1 = {1}, I2 = {1, 2}, I3 = {1, 2, 3} etc. As propriedades da relação de ordem m < n, demonstradas na seção anterior para os
números naturais (exceto o Teorema 4 que vale apenas para números inteiros), são igualmente válidas para os números inteiros, racionais e, mais geralmente, para números reais quaisquer. Existe, porém, uma propriedade de suma importância que é válida para a ordem entre os números naturais, mas sem equivalente para números inteiros, racionais ou reais. Teorema 6. (Princípio da Boa Ordenação.) Todo subconjunto não-vazio A ⊂ N possui um menor elemento. Demonstração: Sem perda de generalidade, podemos admitir que 1 ∉ A, pois caso contrário 1 seria evidentemente o menor elemento de A. O menor elemento de A, cuja existência queremos provar, deverá ser da forma n + 1. Devemos pois encontrar um número natural n tal que n +1 ∈ A e, além disso, todos os elementos de A são maiores do que n, logo maiores do que 1, 2, …, n. Noutras palavras, procuramos um número natural n tal que In ⊂ N – A e n + 1 ∈ A. Com esse objetivo, consideramos o conjunto
X = {n ∈ N; In ⊂ N – A}. Portanto, X é o conjunto dos números naturais n tais que todos os elementos de A são maiores do que n. Como estamos supondo que 1 ∉ A, sabemos que 1 ∈ X. Por outro lado, como A não é vazio, nem todos os números naturais pertencem a X, ou seja, temos X ≠ N. Pelo axioma D, vemos que o conjunto X não é indutivo, isto é, deve existir algum n ∈ X tal que n + 1 ∉ X Isto significa que todos os elementos de A são maiores do que n mas nem todos são maiores do que n + 1. Como não há números naturais entre n e n + 1, concluímos que n + 1 pertence a A e é o menor elemento de A.
O Princípio da Boa Ordenação pode muitas vezes ser usado em demonstrações,
substituindo o Princípio da Indução. Vejamos um exemplo. Dissemos anteriormente que um subconjunto X ⊂ N chama-se indutivo quando n ∈ X
⇒ n + 1 ∈ X, ou seja, quando X contém o sucessor de cada um dos seus elementos. O
Princípio da Indução afirma que se um conjunto indutivo X contém o número 1 então X contém todos os números naturais.
Vamos usar o Princípio da Boa Ordenação para provar que se um conjunto indutivo X contém o número a, então X contém todos os números naturais maiores do que a.
A prova desta afirmação se faz por absurdo, como ocorre em geral quando se usa a boa ordenação. Suponhamos então que existam números naturais, maiores do que a, não pertencentes ao conjunto indutivo X. Seja b o menor desses números. Como b > a, podemos escrever b = c + 1, onde, pela definição de b, tem-se necessariamente c ∈ X. Mas, como X é indutivo, isto obriga que b = c + 1 ∈ X, uma contradição.
A proposição qua acabamos de demonstrar pode ser enunciada da seguinte forma: Teorema 7: (Princípio da Indução Generalizado.) Seja P uma propriedade referente a números naturais, cumprindo as seguintes condições: (1) O número natural a goza da propriedade P; (2) Se um número natural n goza da propriedade P então seu sucessor n + 1 também goza de
P. Então todos os números naturais maiores do que ou iguais a a gozam da propriedade P. Exemplo 2. Vejamos uma situação simples onde se emprega o Princípio da Indução Generalizado. Trata-se de provar que 2n + 1 < 2n, para todo n ≥ 3. Esta afirmação, (que é falsa para n = 1 ou n = 2), vale quando n = 3. Supondo-a válida para um certo n ≥ 3, mostremos que daí decorre sua validez para n + 1. Com efeito, 2(n + 1) + 1 = (2n + 1) + 2 < 2n + 2 < 2n + 2n = 2n + 1. (Na primeira desigualdade, usamos a hipótese de indução.)
Exemplo 3. Usando a desigualdade 2n + 1 < 2n, que acabamos de provar para n ≥ 3, podemos demonstrar que n2 < 2n para todo n ≥ 5, empregando novamente o Princípio da Indução Generalizado. Com efeito, vale 52 < 25 pois 25 < 32. Supondo válida a desigualdade n2 < 2n
para um certo valor de n ≥ 5, daí segue-se que (n + 1)2 = n2 + 2n + 1 < 2n + 2n + 1 (pela hipótese de indução) < 2n + 2n (pelo exemplo anterior) = 2n + 1. Portanto P(n) ⇒ P(n + 1). Pelo Princípio de Indução Generalizado, segue-se que P(n) vale para todo n ≥ 5. Evidentemente, a desigualdade n2 < 2n é falsa para n = 1, 2, 3, 4. O teorema abaixo contém outra aplicação do Princípio da Boa Ordenação. Teorema 8. Toda função monótona não-crescente f: N → N é constante a partir de um certo ponto. ( Isto é, existe n0 ∈ N tal que f(n) = f(n0), para todo n ≥ n0.) Demonstração: Seja n0 o menor elemento do conjunto X = {f(1), f(2), …, f(n),…}. Então n > n0 ⇒ f(n) ≤ f(n0) (porque a função f é não-crescente) o que acarreta que f(n) = f(n0) (porque f(n0) é o menor elemento de X). Corolário: Toda sequência decrescente n1 > n2 > … de números naturais é finita. Com efeito, do contrário, pondo f(k) = nk, obteríamos uma função estritamente decrescente f : N → N.
7. SEGUNDO PRINCÍPIO DA INDUÇÃO
Em algumas situações, ao tentarmos fazer uma demonstração por indução, na
passagem de n para n + 1, sentimos necessidade de admitir que a proposição valha não apenas para n e sim para todos os números naturais menores do que ou iguais a n. A justificativa de um raciocínio desse tipo se encontra no Teorema 9: (Segundo Princípio da Indução.) Seja X ⊂ N um conjunto com a seguinte propriedade:
(I) Dado n ∈ N, se todos os números naturais menores do que n pertencem a X, então n ∈ X. O segundo Princípio da Indução afirma que um conjunto X ⊂ N com a propriedade (I) coincide com N.
Demonstração: Com efeito, supondo, por absurdo, que X ≠ N, isto é, que N – X ≠ ∅, seja n o menor elemento do conjunto N – X, ou seja, o menor número natural que não pertence a X. Isto quer dizer que todos os números naturais menores do que n pertencem a X. Mas então, pela propriedade (I), n pertence a X, uma contradição. Segue-se que N – X = ∅ e X = N.
Observação. : Se um conjunto X ⊂ N goza da propriedade (I), para que um número natural n não pertencesse a X seria necessário que existisse algum número natural r < n tal que r ∉ X. Em particular, se n = 1, como não existe número natural menor do que 1, a hipótese 1 ∉ X não pode ser cumprida. Noutras palavras, (I) já contém implicitamente a afirmação de que 1 ∈ X. Assim, ao utilizar o Segundo Princípio da Indução, não é preciso estipular que X contém o número 1.
Toda propriedade P que se refira a números naturais define um subconjunto X ⊂ N, a saber, o conjunto dos números naturais que gozam da propriedade P. (E reciprocamente, todo conjunto X ⊂ N define uma propriedade referente a números naturais, a saber, a propriedade de pertencer a X.) Deste modo, "propriedade" e "conjunto" são noções equivalentes. Por isso, é natural que o Segundo Princípio da Indução possua a formulação seguinte, onde ele aparece como o
Teorema 10: (Segundo método de demonstração por indução.) Seja P uma propriedade referente a números naturais. Dado n ∈ N, se a validade de P para todo número natural menor do que n implicar que P é verdadeira para n, então P é verdadeira para todos os números naturais. Demonstração: Com efeito, nas condições do enunciado, o conjunto X dos números naturais que gozam da propriedade P satisfaz a condição (I) do Segundo Princípio da Indução, logo X = N e P vale para todos os números naturais.
Aplicaremos agora o Segundo Princípio da Indução para demonstrar um fato geométrico. No exemplo a seguir, usamos os números naturais como instrumento de contagem, isto é, como números cardinais, pois empregamos expressões do tipo um polígono de n lados". (Vide seção 6.)
Sabe-se que, traçando diagonais internas que não se cortam, pode-se decompor qualquer polígono em triângulos justapostos. Isto é evidente quando o polígono é convexo: basta fixar um vértice e traçar as diagonais a partir dele. Se o polígono não é convexo, a prova requer mais cuidados. (Vide "Meu Professor de Matemática", pag. 109.)
O leitor pode experimentar com um polígono não-convexo e verificar qua há muitas maneiras diferentes de decompô-lo em triângulos justapostos mediante diagonais internas. Mas vale o resultado seguinte, no qual usaremos o Segundo Princípio da Indução.
Exemplo 4. Qualquer que seja a maneira de decompor um polígono P, de n lados, em triângulos justapostos por meio de diagonais internas que não se intersectam, o número de diagonais utilizadas é sempre n – 3.
Com efeito, dado n, suponhamos que a proposição acima seja verdadeira para todo polígono com menos de n lados. Seja então dada uma decomposição do polígono P, de n lados, em triângulos justapostos, mediante diagonais internas. Fixemos uma dessas diagonais. Ela decompõe P como reunião de dois polígonos justapostos P1, de n1 lados, e P2, de n2 lados, onde n1 < n e n2 < n, logo a proposição vale para os polígonos P1 e P2. Evidentemente, n1 + n2 = n + 2.
P1P2
As d diagonais que efetuam a decomposição de P se agrupam assim: n1 – 3 delas decompõem P1, n2 – 3 decompõem P2 e uma foi usada para separar P1 de P2. Portanto d = n1 – 3 + n2 – 3 + 1 = n1 + n2 – 5. Como n1 + n2 = n + 2, resulta que d = n – 3. Isto completa a demonstração.
Observações:
1. Para habituar-se com o método de demonstração por indução é preciso praticá-lo muitas vezes, a fim de perder aquela vaga sensação de desonestidade que o principiante tem quando admite que o fato a ser provado é verdadeiro para n, antes de demonstrá-lo para n + 1.
2. Pratique também (com moderação) o exercício de descobrir o erro em paradoxos que resultam do uso inadequado do método de indução. Vejamos dois desses sofismas:
Exemplo 5. Todo número natural é pequeno. Ora, 1 certamente é pequeno. E se n é pequeno, n + 1 não vai subitamente tornar-se grande, logo também é pequeno. (O erro aqui consiste em que a noção "número pequeno" não é bem definida.) Exemplo 6. Toda função f : X → Y, cujo domínio é um conjunto finito X, é constante.
Isto é obviamente verdadeiro se X tem apenas 1 elemento. Supondo a afirmação verdadeira para todos os conjuntos com n elementos, seja f : X → Y definida num conjunto X com n + 1 elementos. Considere um elemento a ∈ X. Como X' = X – {a} tem n elementos, f assume o mesmo valor c ∈ Y em todos os elementos de X'. Agora troque a por um outro elemento b ∈ X'. Obtém-se X'' = X – {b} um conjunto com n elementos (entre os quais a). Novamente pela hipótese de indução, f é constante e igual a c em X''. Logo f (a) = c e daí f : X → Y é constante. (Aqui o erro reside no uso inadequado da hipótese de indução. O raciocínio empregado supõe implicitamente que X tem pelo menos 3 elementos. Na realidade, não vale a implicação P(1) ⇒P(2).)
O perigo de fazer generalizações apressadas relativamente a asserções sobre números naturais fica evidenciado com o seguinte exemplo:
Exemplo 7. Considere o polinômio p(n) = n2 – n + 41 e a afirmação "o valor de p(n) é sempre um primo para n = 0, 1, 2, 3, …". Embora isso seja verdadeiro para n = 0, 1, 2, …, 40, temos p(41) = 412 – 41 + 41 = 412 não é primo, logo a afirmação não é verdadeira.
Semelhantemente, a expressão q(n) = n2 – 79n + 1601 fornece primos para n = 1, 2, …, 79, mas q(80) = 802 – 79 ⋅ 80 + 1601 = 1681 não é primo, pois é divisível por 41. A moral da história é: Só aceite que uma afirmação sobre os números naturais é realmente verdadeira para todos os naturais se isso houver de fato sido demonstrado!
8. NÚMEROS CARDINAIS
Vamos agora mostrar como se usam os números naturais para contar os elementos de
um conjunto finito. O Princípio da Indução será essencial. Lembremos que, dado n ∈ N, escrevemos In = {p ∈ N; p ≤ n}, portanto In = {1, 2, …, n}. Uma contagem dos elementos de um conjunto não-vazio X é uma bijeção f : In → X. Podemos pôr x1 = f(1), x2 = f(2),…, xn = f(n) e escrever X = {x1, x2,…xn}. Diz-se então que X possui n elementos. O conjunto X chama-se um conjunto finito quando existe n ∈ N tal que X possui n elementos.
Um exemplo óbvio de conjunto finito é In. Evidentemente, a função identidade f: In → In é uma contagem dos elementos de In.
Um exemplo de conjunto infinito é o proprio conjunto N dos números naturais, pois nenhuma função f : In → N pode ser sobrejetiva, não importa qual n se tome. De fato, dada f, tomamos k = f(1) + f(2) +…+ f(n) e vemos que k > f(x) para todo x ∈ In, logo k ∉ f(In), e f não é sobrejetiva.
A fim de que não haja ambiguidade quando se falar do número de elementos de um conjunto finito X, é necessário provar que todas as contagens de X fornecem o mesmo resultado. Noutras palavras, dado o conjunto X, os números naturais m, n e as bijeções f : Im → X, g : In → X, devemos mostrar que se tem m = n. Começamos observando que se f e g são bijeções, então φ = g–1 ο f : Im → In também é uma bijeção. Basta portanto provar o seguinte:
Teorema 11. Dados m, n ∈ N, se φ : Im → In é uma bijeção, então m = n. Demonstração. Com efeito, chamemos de X o conjunto dos números naturais n que têm a seguinte propriedade: só existe uma bijeção φ : Im → In quando m = n. Evidentemente, 1 ∈ X. Suponhamos agora que n ∈ X. Dada uma bijeção φ: Im+1 → In+1, duas coisas podem acontecer. Primeira: φ(m + 1) = n + 1. Neste caso, a restrição φ|Im : Im → In é uma bijeção, logo m = n, donde m + 1 = n + 1. Segunda: φ(m + 1) = b, com b < n + 1. Neste caso, consideramos a = φ –1(n + 1) e definimos uma nova bijeção ψ : Im + 1 → In + 1, pondo ψ (m + 1) = n + 1, ψ(a) = b e ψ(x) = φ(x) para os demais elementos x ∈ Im + 1. Então recaímos no caso anterior e novamente concluímos que m + 1 = n + 1. Isto mostra que n ∈ X ⇒ n + 1 ∈ X, logo X = N e a unicidade do número cardinal de um conjunto finito fica demonstrada.
Agora os números naturais não são apenas elementos do conjunto-padrão N, mas servem também para responder perguntas do tipo "quantos elementos tem o conjunto X?,"ou seja, podem ser usados também como números cardinais.
A adição de números naturais se relaciona com a cardinalidade dos conjuntos por meio da seguinte proposição.
Teorema 12: Sejam X, Y conjuntos finitos disjuntos. Se X tem m elementos e Y tem n elementos, então X ∪Y tem m + n elementos. Demonstração: Com efeito, se f : Im → X e g : In → Y são bijeções, definimos uma bijeção h : Im+n → X ∪Y por h (x) = f (x) se 1 ≤ x ≤ m e h(x) = g(x) + m se m + 1 ≤ x ≤ m + n, o que conclui a demonstração. Prova-se, por indução, que todo subconjunto de um conjunto finito X é também finito e seu número de elementos é menor do que ou igual ao de X (Veja E.L.Lima, "Análise Real", vol 1, pag. 5.)
É conveniente incluir, por definição, o conjunto vazio entre os conjuntos finitos e dizer que o seu número de elementos é zero. Embora zero não seja um número natural, ele passa a ser o número cardinal do conjunto vazio.
Seguem-se algumas proposições que devem ser demonstradas por indução ou boa ordenação. Os dez últimos exercícios foram sugeridos pelo Professor A. C. Morgado. Exercícios: 1. Construa um esquema de setas começando com os números ímpares, seguidos dos
números pares divisíveis por 4 em ordem decrescente e, por fim, os pares não divisíveis por 4 em ordem crescente. Noutras palavras, tome X = N e defina s : X → X pondo s(n) = n + 2 se n não é divisível por 4, s(n) = n – 2 se n for múltiplo de 4. Mostre que s : X → X cumpre os axiomas A, B, C mas não D.
2. Defina, por recorrência, uma função f : N → N estipulando que f (1) = 3 e f (n + 1) =
5. f (n) + 1. Dê uma formula explícita para f (n). 3. Dê uma fórmula explícita para f : N → N sabendo que f(1) = 1, f(2) = 5 e f (n + 2) =
3f (n + 1) – 2f (n). 4. Seja X ⊂ N um conjunto indutivo não-vazio. Mostre que existe a ∈ N tal que X = {n ∈ N;
n ≥ a}.
5. Prove, por indução, que .6
)12)(1(...21 222 ++
=+++nnn
n
6. Num polígono com n ≥ 6 lados, o número de diagonais é maior do que n. 7. Prove, por indução que [(n + 1)/n]n < n, para todo n ≥ 3. (Sugestão: Observe que (n +
2)/(n + 1) < ( n + 1)/n e eleve ambos os membros desta desigualdade à potência n + 1.) Conclua daí que a sequência ,...5 ,4 ,3 ,2 ,1 543 é decrescente a partir do terceiro termo.
8. Prove, por indução a desigualdade de Bernoulli: (1 + a)n > 1 + na quando 1 + a > 0.
9. Para todo n ∈ N, ponha n
n nnn
x
++
=)2(
)1( 2
e prove, por indução que se tem
.12
++
<nn
xn Conclua, a partir daí, que a sequência de termo geral n
nn
+1é crescente.
Sugestão: observe que nn xnn
nn
x ⋅+
⋅
++
=+ 312
3
1 .
10. Use a distributividade de duas maneiras diferentes para calcular (m + n )(1 + 1) e
aplique em seguida a Lei do Corte para obter uma nova prova de que m + n = n + m. 11. Um conjunto S ⊂ N, não-vazio, é limitado superiormente, se existe um natural k tal que
para todo natural x ∈ S, então x ≤ k. Mostre que S possui um maior elemento. (Isto é, existe m ∈ S tal que x ≤ m, para todo x ∈ S.)
12. Demonstre que a soma dos n primeiros números ímpares é n2, ou seja, que
1 + 3 + 5 +…+ (2n – 1) = n2. 13. Prove que 2n – 1 é múltiplo de 3, para todo número natural n par.
14. Demonstre que, para todo número natural n, vale
.11
1...31
121
111
1 +≤
+
+
+
+ nn
15. Demonstre que .2001
...1021
1011
2001
1991
..41
31
21
1 +++=−++−+−
16. Determine An se A =
4 2
2 1
17. Demonstre, usando o Princípio da Indução Finita, que
.
1
...
1
++=
+++
++
p
np
p
np
p
p
p
p
Este resultado é comumente conhecido por Teorema das Colunas. (Por quê?).
18. Considere a sequência ,...,,...,57,
23,
11
n
n
qp
onde
. e 2 11 nnnnnn qpqqpp +=+= ++ Demonstre que a) m.d.c (pn, qn) = 1;
b) pn é o inteiro mais próximo de 2
)21( n+e qn é o inteiro mais próximo de .)21(
42 n+
19. [A Torre de Hanói.] São dados três suportes A, B e C. No suporte A estão encaixados n
discos cujos diâmetros, de baixo para cima, estão em ordem estritamente decrescente. Mostre que é possível, com 2n – 1 movimentos, transferir todos os discos para o suporte B, usando o suporte C como auxiliar, de modo que jamais, durante a operação, um disco maior fique sobre um disco menor.
20. Demonstre que 2n < n!, para n ≥ 4. 21. Demonstre que 2n3 > 3n2 + 3n + 1 para n ≥ 3. 22. Considere n retas em um plano. Mostre que o "mapa" determinado por elas pode ser
colorido com apenas duas cores sem que duas regiões vizinhas tenham a mesma cor.
MA 12 - Unidade 6
Progressoes Aritmeticas
Semana de 25/04 a 01/05
Progressoes Aritmeticas (PA) sao um dos exemplos mais simples de sequencias definidas recorrente-
mente, veja MA12, Unidade 3, onde tivemos a oportunidade de introduzi-las.
As progressoes Aritmeticas sao comuns na vida real e sempre aparecem quando se apresentam
grandezas que sofrem variacoes iguais em intervalos de tempos iguais como, por exemplo, no calculo
de juros simples.
Vejamos um exemplo: temos um capital de R$ 10.000, 00 a ser aplicado a uma taxa de juros mensal
de 2%. Assim temos a tabela:
Mes Valor Inicial Juros Valor Final
1 10.000 10.000× 2% = 200 10.200
2 10.200 10.000× 2% = 200 10.400
3 10.400 10.000× 2% = 200 10.600
4 10.600 10.000× 2% = 200 10.800
5 10.800 10.000× 2% = 200 11.000
6 11.000 10.000× 2% = 200 11.200
Note que na ultima coluna a variacao do nosso capital, mes a mes, e constante igual a R$ 200, 00.
Esse e um exemplo tıpico de uma PA. As PAs tambem servem para descrever a desvalorizacao de um
bem ao longo do tempo, como mostrado no Exemplo 6 dessa Unidade.
Nessa Secao, voce encontrara tambem a formula que fornece a soma dos n primeiros termos de
uma PA, formula que foi descoberta por Gauss aos sete anos de idade e que tivemos a oportunidade
de apreciar na Unidade 2.
Em seguida, sao definidas generalizacoes do conceito de PA, introduzindo as PAs de segunda
ordem, terceira ordem, etc. Esse topico, em geral, nao e explorado no Ensino Medio, mas coloca a sua
disposicao, Professor, metodos poderosos para calcular somas, diferentes dos explorados na Unidade 4
de MA12.
Vıdeo relacionado:
PAPMEM - Livro A Matematica do Ensino Medio, Volume 2: Progressoes. Prof. Elon Lages Lima,
Janeiro 2008 - Volume 1.
MA12 - Unidade 6
Progressões Aritméticas
Semana de 25/04 a 01/05
São comuns na vida real, grandezas que sofrem variações iguais em
intervalos de tempos iguais.
Exemplo 1. Uma fábrica de automóveis produziu 400 veículos em
janeiro e aumentou mensalmente sua produção de 30 veículos. Quan-
tos veículos produziu em junho?
Solução. Os valores da produção mensal, a partir de janeiro, são 400,
430, 490, 520, 550, . . . . Em junho, a fábrica produziu 550 veículos.
Poderíamos ter evitado escrever a produção mês a mês, racionando
do modo a seguir. Se a produção aumenta de 30 veículos por mês, em
5 meses ela aumenta 5 × 30 = 150 veículos. Em junho, a fábrica
produziu 400 + 150 = 550 veículos.
Progressões aritméticas são sequências nas quais o aumento de
1
2 MA12 - Unidade 6
cada termo para o seguinte é sempre o mesmo.
A sequência (400, 430, 460, 490, 520, 550, ...) é um exemplo de
uma progressão aritmética. O aumento constante de cada termo para
o seguinte é chamado de razão de progressão. A razão dessa progressão
é igual a 30.
Portanto, uma progressão aritmética é uma sequência na qual a
diferença entre cada termo e o termo anterior é constante. Essa di-
ferença constante é chamada de razão da progressão e representada
pela letra r.
Exemplo 2. As sequências (5, 8, 11, ...) e (7, 5, 3, 1, ...) são
progressões aritméticas cujas razões valem respectivamente 3 e −2.
Em uma progressão aritmética (a1, a2, a3, . . .), para avançar um
termo, basta somar a razão; para avançar dois termos, basta so-
mar duas vezes a razão, e assim por diante. Assim, por exemplo,
a13 = a5 + 8r, pois, ao passar de a5 para a13, avançamos 8 termos;
a12 = a7 + 5r, pois avançamos 5 termos ao passar de a7 para a12;
a4 = a17 − 13r, pois retrocedemos 13 termos ao passar de a17 para a4
e, de modo geral, an = a1 + (n − 1)r, pois, ao passar de a1 para an,
avançamos n− 1 termos.
Exemplo 3. Em uma progressão aritmética, o quinto termo vale
30 e o vigésimo termo vale 50. Quanto vale o oitavo termo dessa
progressão?
Solução. a20 = a5 + 15r, pois ao passar do quinto termo para o
vigésimo, avançamos 15 termos. Logo, 50 = 30+15r e r =4
3. Analoga-
mente, a8 = a5 + 3r = 30 + 3.4
3= 34. O oitavo termo vale 34.
Progressões Aritméticas 3
Exemplo 4. Qual é a razão da progressão aritmética que se obtém
inserindo 10 termos entre os números 3 e 25?
Solução. Temos a1 = 3 e a12 = 25. Como a12 = a1 + 11r, temos
25 = 3 + 11r. Daí, r = 2.
Exemplo 5. O cometa Halley visita a Terra a cada 76 anos. Sua
última passagem por aqui foi em 1986. Quantas vezes ele visitou a
Terra desde o nascimento de Cristo? Em que ano foi sua primeira
passagem na era cristã?
Solução. Os anos de passagem do cometa foram 1986, 1910, 1834,...
e formam uma progressão aritmética de razão −76. O termo de ordem
n dessa progressão é an = a1 + (n − 1)r, isto é, an = 1986 − 76(n −1) = 2062 − 76n. Temos an > 0 quando n <
2062
76= 27, 13 . . . .
Portanto, os termos positivos dessa progressão são os 27 primeiros,
a1, a2, a3, . . . , a27. Logo, ele nos visitou 27 vezes na era cristã e sua
primeira passagem na era cristão foi no ano a27 = 2062−76×27 = 10.
Poderíamos também ter resolvido o problema aproveitando o fato
dos termos dessa progressão serem inteiros.
Em uma progressão aritmética de termos inteiros e razão não-nula,
todos os termos dão o mesmo resto quando divididos pelo módulo
da razão. Como 1986 dividido por 76 dá resto 10, todos os anos
em que o cometa por aqui passou dão resto 10 quando divididos por
76. A primeira visita ocorreu entre os anos 1 e 76, inclusive. Entre
esses anos, o único que dividido por 76 dá resto 10 é o ano 10. Para
descobrir a ordem desse termo, usamos an = a1 + (n − 1)r, isto é,
10 = 1986− 76(n− 1). Daí,
n =2062
76= 27.
4 MA12 - Unidade 6
Muitas vezes é conveniente enumerar os termos de uma progressão
aritmética a partir de zero, conforme mostra o exemplo a seguir.
Exemplo 6. O preço de um carro novo é de R$ 15 000,00 e diminui
de R$1 000,00 a cada ano de uso. Qual será o preço com 4 anos de uso?
Solução. Chamando o preço com n anos de uso de an, temos a0 =
15000 e queremos calcular a4. Como a desvalorização anual é cons-
tante, (an) é uma progressão aritmética. Logo, a4 = a0 + 4r =
15000 + 4× (−1000) = 11000. O preço será de R$11 000,00.
Exemplo 7. Os lados de um triângulo retângulo formam uma pro-
gressão aritmética crescente. Mostre que a razão dessa progressão é
igual ao raio do círculo inscrito.
Solução. Chamemos os lados do triângulo de x − r, x, x + r. Esse
é um bom truque para facilitar as contas; ao representar uma pro-
gressão aritmética com um número ímpar de termos, começar pelo
termo central.
Como a progressão é crescente, a hipotenusa é o último termo.
Pelo Teorema de Pitágoras, (x+ r)2 = (x− r)2 + x2. Daí, x2 = 4rx e,
já que x 6= 0 pois x é um dos catetos, x = 4r. Os lados são então 3r,
4r e 5r. O perímetro é 2p = 3r+4r+5r = 12r e a área éS
p=
6r2
6r= r.
Exemplo 8. Determine 4 números em progressão aritmética cres-
cente, conhecendo sua soma 8 e a soma de seus quadrados 36.
Solução. Um bom truque, para representar progressões aritméticas
com um número par de termos, é chamar os dois termos centrais de
Progressões Aritméticas 5
x− y e x + y. Isso faz com que a razão seja (x + y)− (x− y) = 2y.
Pedro deve preferir o pagamento em seis prestações.
É um absurdo que muitas pessoas razoavelmente instruídas achem
que o primeiro esquema é melhor pois o total pago é de R$480,00 ao
passo que no segundo esquema o total pago é de R$490,00.
Exemplo 6. Pedro tem três opções de pagamento na compra de
vestuário.
i) à vista, com 30% de desconto.
ii) em duas pretações mensais iguais, sem desconto, vencendo a
primeira um mês após a compra.
iii) em três prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a
primeira no ato da compra.
Qual a melhor opção para Pedro, se o dinheiro vale, para ele, 25% ao
mês?
6 MA12 - Unidade 10
Solução. Fixando o preço do bem em 30, temos os três esquemas
abaixo
Figura 3:
Comparando os valores, por exemplo, na época 0, obtemos:
a = 21
b =15
1 + 0, 25+
15
(1 + 0, 25)2= 21.6
c = 10 +10
1 + 0, 25+
10
(1 + 0, 25)2= 24, 4
A melhor alternativa é a primeira e a pior é a em três prestações.
Exemplo 7. Uma loja oferece duas opções de pagamento:
i) à vista, com 30% de desconto.
ii) em duas prestações mensais iguais, sem desconto, a primeira
prestação sendo paga no ato da compra.
Qual a taxa mensal dos juros embutidos nas vendas a prazo?
Matemática Financeira 7
Solução. Fixando o valor do bem em 100, temos os esquemas de
pagamentos abaixo:
Figura 4:
Igualando os valores, por exemplo, na época 0 (a data usada nessas
comparações é chamada de data focal), obtemos 70 = 50+50
1 + i. Daí,
i = 1, 5 = 150%. A loja cobra 150% ao mês nas vendas a prazo.
Exemplo 8. Investindo seu capital a juros mensais de 8%, em quanto
tempo você dobrará o seu capital inicial?
Solução. Temos C0(1 + 0, 08)n = 2C0. Daí,
1, 08n = 2 e n =log 2
log 1, 08∼= 9
Em aproximadamente nove meses você dobrará o seu capital inicial.
Um importante resultado que já foi obtido na Unidade 7 e será
repetido é a
Fórmula das taxas equivalentes. Se a taxa de juros relativamente
a um determinado período de tempo é igual a i, a taxa de juros rela-
tivamente a n períodos de tempo é I tal que 1 + I = (1 + i)n.
8 MA12 - Unidade 10
Exemplo 9. A taxa anual de juros equivalente a 12% ao mês é I
tal que 1 + I = (1 + 0, 12)12. Daí, I ∼= 2, 90 = 290% ao ano.
Um erro muito comum é achar que juros de 12% ao mês equivalem
a juros anuais de 12×12% = 144% ao ano. Taxas como 12% ao mês e
144% ao ano são chamadas de taxas proporcionais, pois a razão entre
elas é igual à razão dos períodos aos quais elas se referem.
Taxas proporcionais não são equivalentes. Um (péssimo) hábito
em Matemática Financeira é o de anunciar taxas proporcionais como
se fossem equivalentes. Uma frase como �144% ao ano, com capitali-
zação mensal� signi�ca que a taxa usada na operação não é a taxa de
144% anunciada e sim a taxa mensal que lhe é proporcional.
Portanto, a tradução da expressão �144% ao ano, com capitaliza-
ção mensal� é �12% ao mês�. As pessoas menos educadas matemati-
camente podem pensar que os juros sejam realmente de 144% ao ano,
mas isso não é verdade. Como vimo no exemplo 9, os juros são de
290% ao ano.
A taxa de 144% ao ano é chamada de taxa nominal e a taxa de
290% ao ano é chamada de taxa efetiva.
Exemplo 11. �24% ao ano com capitalização semestral� signi�ca
�12% ao semestre�; �1% ao mês com capitalização trimestral� signi�ca
�3% ao trimestre� e �6% ao ano com capitalização mensal� signi�ca
�0,5% ao mês�.
Exemplo 12. Verônica investe seu dinheiro a juros de 6% ao ano
com capitalização mensal. Qual a taxa anual de juros à qual está in-
vestido o capital de Verônica?
Matemática Financeira 9
Solução. O dinheiro de Verônica está investido a juros de taxa
i = 0, 5% ao mês. A taxa anual equivalente a I tal que 1+I = (1+i)12.
Daí, I = 0, 0617 = 6, 17% ao ano. A taxa de 6% ao ano é nominal e a
taxa de 6,17% ao ano é efetiva.
Exemplo 13. A taxa efetiva semestral correspondente a 24% ao
semestre com capitalização mensal é I tal que 1 + I = (1 + 0, 04)6.
Daí, I = 26, 53% ao semestre.
Exercícios
1. Investindo R$450,00 você retira, após 3 meses, R$600,00. A que
taxa mensal de juros rendeu seu investimento?
2. Determine as taxas mensais equivalentes a 100% ao ano e a 39%
ao trimestre.
3. Determine as taxas anuais equivalentes a 6% ao mês e a 12%
ao trimestre.
4. Determine as taxas efetivas anuais equivalente a:
a) 30% ao ano, com capitalização mensal.
b) 30% ao ano, com capitalização trimestral.
c) i ao ano, capitalizados k vezes ao ano.
5. Qual o limite, quando k tende para in�nito, da resposta ao item
c) do problema anterior? Neste caso diz-se que os juros estão sendo
capitalizados continuamente e i é chamado de taxa instantânea de ju-
ros.
10 MA12 - Unidade 10
6. Use a resposta do problema anterior para dar uma de�nição �-
nanceira do número e.
7. Determine
a) a taxa efetiva trimestral equivalente a 12% ao trimestre com
capitalização contínua.
b) a taxa instantânea anual equivalente à taxa efetiva anual de
60%.
c) a taxa instantânea semestral equivalente à taxa efetiva anual de
60%.
8. A Mesbla, em vários natais, ofereceu a seus clientes duas alter-
nativas de pagamento:
a) pagamento de uma só vez, um mês após a compra.
b) pagamento em três prestações mensais iguais, vencendo a pri-
meira no ato da compra.
Se você fosse cliente da Mesbla, qual seria a sua opção?
9. O Foto Studio Sonora convidou, em dezembro de 1992, os seus
clientes a liquidarem suas prestações mensais vincendas, oferecendo-
lhes em troca um desconto. O desconto seria dado aos que pagassem,
de uma só vez, todas as prestações a vencer em mais de 30 dias, e
seria de 30%, 40% ou 50%, conforme fossem pagas uma, duas ou três
prestações. Supondo que o dinheiro valia 27% ao mês, a oferta era
vantajosa?
10. Lúcia comprou um exaustor, pagando R$180,00, um mês após
a compra e R$200,00, dois meses após a compra. Se os juros são de
Matemática Financeira 11
25% sobre o saldo devedor, qual é o preço à vista?
11. Uma geladeira custa R$1 000,00 à vista e pode ser paga em
três prestações mensais iguais. Se são cobrados juros de 6% ao mês
sobre o saldo devedor, determine o valor da prestação, supondo que a
primeira prestação é paga:
a) no ato da compra;
b) um mês após a compra;
c) dois meses após a compra.
12. Ângela tomou um empréstimo de R$400,00, por dez meses. Os
juros foram de 3% ao mês durante os quatro primeiros meses, de 5%
ao mês durante os cinco meses seguintes e de 9% ao mês no último
mês. Calcule:
a) a taxa média de juros.
b) o montante pago.
MA 12 - Unidade 11
Matematica Financeira – Problemas
Semana de 09/05 a 15/05
Nesta unidade, continuaremos o estudo de Matematica Financeira iniciado na Unidade 10 e que
se encerrara na Unidade 13. Os principais resultados dessa unidade analisam essencialmente tres tipos
de emprestimos, geralmente de longo prazo como, por exemplo, financiamentos da casa propria ou de
bens duraveis.
O primeiro tipo de emprestimo se refere a situacao em que a taxa de juros e pre-fixada e o valor
da prestacao tambem. O Teorema 2 fornece uma formula que permite saber quanto da dıvida foi pago
apos n pagamentos (amortizacao da dıvida).
Cada parcela paga de um emprestimo consiste de duas partes: uma se refere ao pagamento dos
juros e a outra se refere ao abatimento do principal da dıvida, chamada de amortizacao.
O segundo tipo de emprestimo estudado e o Sistema de Amortizacao Constante (SAC), em que a
parte da prestacao que visa amortizar a dıvida e constante. O Teorema 3 permite calcular a cada mes
o valor da prestacao especificando o valor da amortizacao (constante), o valor da parcela relativa aos
juros (variavel) e, finalmente, o estado atual da dıvida (no caso da pessoa querer quitar a dıvida, por
exemplo).
O terceiro tipo de emprestimo e o Sistema Frances ou Tabela Price, em que as prestacoes e a taxa
de juros sao constantes. O Teorema 4 fornece formulas para calcular, mes a mes, o valor da prestacao
(constante), a parcela relativa a amortizacao do principal, a parcela relativa aos juros pagos e o estado
atual da dıvida.
Os calculos financeiros podem se complicar bastante em presenca de forte inflacao, como foi o caso
no Brasil alguns anos atras.
Finalmente, a unidade se encerra com uma lista de cinco problemas. Resolva o maximo que puder
e transfira o restante para a Unidade 13, onde serao propostos mais sete problemas.
MA12 - Unidade 11
Matemática Financeira
Semana 09/05 a 15/05
Um conjunto de quantias (chamadas usualmente de pagamentos ou
termos), referidas a épocas diversas, é chamada de série, ou de anuidade
(apesar no nome, nada a ver com ano) ou, ainda, renda. Se esses paga-
mentos forem iguais e igualmente espaçados no tempo, a série é dita
uniforme.
Teorema 2. O valor de uma série uniforme de n pagamentos iguais a
P , um tempo antes do primeiro pagamento, é, sendo i a taxa de juros,
igual a A = P1− (1 + i)−n
i.
1
2 MA12 - Unidade 11
Prova.
Figura 1:
O valor da série na época 0 é
A =P
1 + i+
P
(1 + i)2+
P
(1 + i)3+ · · ·+ P
(1 + i)n,
que é a soma de n termos de uma progressão geométrica. temos
A =P
1 + i
1−(
11+i
)n
1− 11+i
= P1− (1 + i)−n
i.
O corolário seguinte trata do valor de uma renda perpétua. Ren-
das perpétuas aparecem em locações. Com efeito, quando se aluga
um bem, cede-se a posse do mesmo em troca de um aluguel, digamos,
mensal. Então, o conjunto dos aluguéis constitui uma renda perpétua
ou perpetuidade.
Corolário. O valor de uma perpetuidade de termos iguais a P , um
tempo antes do primeiro pagamento, é, sendo i a taxa de juros, igual
aP
i.
Prova. Basta fazer n tender para in�nito no teorema.
Matemática Financeira 3
Exemplo 14. Um bem, cujo preço é R$120,00, é vendido em 8
prestações mensais iguais, a primeira sendo paga um mês após a com-
pra. Se os juros são de 8% ao mês, determine o valor das prestações.
Solução. Um pequeno comentário: essas prestações são ditas poste-
cipadas, pois a primeira prestação só é paga um tempo depois da
compra.
Figura 2:
Igualando os valores na época 0 (essa é a escolha natural da data de
comparação: um tempo antes do primeiro termo da série), obtemos:
120 = P1− (1 + 0, 08)−8
0, 08
P = 1200, 08
1− 0, 08−8= 20, 88.
As prestações são de R$20,88.
Exemplo 15. Um bem, cujo preço à vista é R$120,00, é vendido em
6 prestações mensais iguais, antecipadas (isto é, a primeira é paga no
ato da compra). Se os juros são de 10% ao mês, determine o valor das
prestações.
4 MA12 - Unidade 11
Figura 3:
Igualando os valores na época −1 (essa escolha, que pode parecer
exótica, é muito conveniente pois dispomos de uma fórmula que calcula
diretamente o valor da série nessa época), obtemos:
120
1 + 0, 1= P
1− (1 + 0, 1)−6
0, 1
P ∼= 25, 05.
Exemplo 16. Se o dinheiro vale 1% ao mês, por quanto deve ser
alugado um imóvel que vale 40 mil reais?
Solução. Quando você aluga um imóvel, você cede a posse do imóvel
em troca de uma renda perpétua cujos termos são iguais ao valor do
aluguel. Então, o valor do imóvel deve ser igual ao valor do conjunto
de aluguéis. Temos, de acordo com o corolário,
40 =P
i=
P
0, 01= 40× 0, 01 = 0, 4 mil reais.
Exemplo 17. Helena tem duas alternativas para obter uma copi-
adora:
Matemática Financeira 5
a) Alugá-la por 35 ao ano. Nesse caso, o locador se responsabiliza
pelas despesas de manutenção.
b) Comprá-la por 150. Nesse caso, já que a vida econômica da
copiadora é de 5 anos, Helena venderá a copiadora após 5 anos. O
valor residual da copiadora após 5 anos é de 20. As despesas de
manutenção são de responsabilidade de Helena e são de 5 por ano,
nos dois primeiros anos e de 8 por ano, nos anos seguintes. Se o di-
nheiro vale 7% ao ano, qual a melhor opção?
Solução. Vamos tomar receitas como positivas e despesas como ne-
gativas.
Na segunda alternativa, o �uxo de caixa de Helena será:
Figura 4:
Vamos determinar o �uxo uniforme equivalente.
Figura 5:
Igualando os valores na época 0, obtemos
−150− 5
1, 07− 5
1, 072− 8
1, 073− 8
1, 074+
12
1, 075= P
1− 1, 07−5
0, 07.
6 MA12 - Unidade 11
Daí, P = −39, 78. Comprar a copiadora é equivalente a ter um custo
anual de 39,78. Como o aluguel corresponde a um custo anual de
35,00, a melhor alternativa para Helena é alugar.
Quando um banco empresta dinheiro (crédito pessoal ou desconto
de duplicatas), o tomador do empréstimo emite uma nota promissória,
que é um papel no qual o tomador se compromete a pagar ao banco,
em uma data �xada, uma certa quantia, que é chamada de valor de
face da promissória.
O banco então desconta a promissória para o cliente, isto é, recebe
a promissória de valor de face F e entrega ao cliente uma quantia
A (menor que F , naturalmente). A diferença F − A é chamada de
desconto.
Os bancos efetuam o desconto de acordo com a fórmula A =
F (1− d . t), onde d é uma taxa �xada pelo banco e chamada de taxa
de desconto bancário (ou taxa de desconto simples por fora) e t é o
prazo da operação, medido na unidade de tempo a que se refere a taxa.
Exemplo 18. Pedro desconta uma promissória de valor 100, com
vencimento em 60 dias, em um banco cuja taxa de desconto é de 12%
ao mês.
a) Quanto Pedro receberá?
b) Qual a taxa mensal de juros que Pedro está pagando?
Solução. Ora, A = F (1− dt) = 100(1− 0, 12 . 2) = 76.
Logo, Pedro receberá agora 76, para pagar 100 em 60 dias.
Se i é a taxa mensal de juros à qual cresce a dívida de Pedro, temos
100 = 76(1 + i)2. Daí, i = 0, 1471 = 14, 71%.
Observe que anunciar a taxa de desconto e não a taxa de juros é um
Matemática Financeira 7
modo sutil de fazer crer aos mais ingênuos estarem eles pagando juros
menores que os que realmente lhes estão sendo cobrados.
Quando se paga parceladamente um débito, cada pagamento efe-
tuado tem dupla �nalidade. Uma parte do pagamento quita os juros
e outra parte amortiza (abate) a dívida.
Exemplo 19. Pedro tomou um empréstimo de 100, a juros men-
sais de taxa 10%. Quitou-o em três meses, pagando a cada mês os
juros devidos e amortizando 30% da dívida no primeiro mês e 30% e
40% nos dois meses seguintes.
Na planilha abaixo, Ak, Jk, Pk e Dk são, respectivamente, a parcela
de amortização, a parcela de juros, a prestação e o estado da dívida
(isto é, o valor da dívida após o pagamento da prestação) na época k.
k Pk Ak Jk Dk
0 − − − 100
1 40 30 10 70
2 37 30 7 40
3 44 40 4 −
Para facilitar a compreensão, olhe cada linha na ordem Ak, Dk, Jk e
Pk.
Os sistemas usuais de amortização são o sistema de amortização
constante (SAC) e o sistema francês de amortização, também chamado
de Tabela Price (Richard Price foi um economista inglês). O sistema
francês é caracterizado por prestações constantes.
Exemplo 20. Uma dívida de 100 é paga, com juros de 15% ao mês,
em 5 meses, pelo SAC. Faça a planilha de amortização.
8 MA12 - Unidade 11
Solução. Como as amortizações são iguais, cada amortização será de1
5da dívida inicial.
A planilha é, portanto:
k Pk Ak Jk Dk
0 − − − 100
1 35 20 15 80
2 32 20 12 60
3 29 20 9 40
4 26 20 6 20
5 23 20 3 −
Para facilitar a compreensão, olhe cada linha na ordem Ak,Dk, Jk e Pk.
Teorema 3. Na SAC, sendo n o número de pagamentos e i a taxa de
juros, temos
Ak =D0
n, Dk =
n− k
nD0 , Jk = iDk−1, Pk = Ak + Jk.
Prova. Se a dívida D0 é amortizada em n quotas iguais, cada quota
é igual a
Ak =D0
n.
O estado da dívida, após k amortizações, é
Dk = D0 − kD0
n=
n− k
nD0.
As duas últimas fórmulas são óbvias.
Exemplo 21. Uma dívida de 150 é paga, em 4 meses, pelo sistema
francês, com juros de 8% ao mês. Faça a planilha de amortização.
Matemática Financeira 9
No sistema francês, as prestações são constantes. Pelo teorema 2,
cada prestação vale
P = D0i
1− (1 + n)−n= 150
0, 08
1− 1, 08−4= 45, 29.
k Pk Ak Jk Dk
0 − − − 150, 00
1 45, 29 33, 29 12, 00 116, 71
2 45, 29 35, 95 9, 34 80, 76
3 45, 29 38, 83 6, 46 41, 93
4 45, 29 41, 93 3, 35 −
Para mais fácil compreensão, olhe cada linha na ordem Pk, Jk, Ak eDk.
Teorema 4. No sistema francês de amortização, sendo n o número
de pagamentos e i a taxa de juros, temos
Pk = D0i
1− (1 + i)−n,
Dk = D01− (1 + i)−(n−k)
1− (1 + i)−n,
Jk = iDk−1, A = Pk − Jk.
Prova. A primeira fórmula é simplesmente o teorema 2 e as duas últi-
mas fórmulas são óbvias. Quanto à segunda fórmula, observe que Dk é
a dívida que será liquidada, postecipadamente, por n− k pagamentos
sucessivos a Pk. Portanto, novamente pelo teorema 2, temos
Dk = Pk1− (1 + i)−(n−k)
i.
Substituindo o valor de Pk, obteremos a segunda fórmula.
10 MA12 - Unidade 11
Exemplo 22. Em um mês cuja in�ação foi de 25%, Paulo Jorge
investiu seu capital a juros de 30% ao mês. Evidentemente, isso não
signi�ca que Paulo Jorge tenha aumentado seu poder de compra em
30%, pois, embora a quantidade de reais de Paulo Jorge tenha crescido
30%, o valor do real sofreu uma redução. Dizemos nesse caso que 30%
ao mês é a taxa nominal de juros mensais de Paulo Jorge.
Suponhamos que, no início do referido mês, o capital C de Paulo
Jorge pudesse comprar x artigos de preço unitário igual a p. No �m
do mês, o capital passou a ser 1, 3C e o preço unitário passou a ser
1, 25p. Logo, Paulo Jorge poderá agora comprar
1, 3C
1, 25p= 1, 04x artigos.
O poder de compra de Paulo Jorge aumentou de 4% nesse mês.
Essa taxa de 4% ao mês, à qual cresceu o poder de compra de
Paulo Jorge, é chamada de taxa real de juros.
Exemplo 23. Em algumas situações (prazos pequenos, juros de
mora) são usados juros simples e não juros compostos. No regime
de juros simples, os juros em cada época são calculados sobre o prin-
cipal e não sobre o montante da época anterior. Por exemplo, um
principal igual a 100, a juros simples de 10% ao mês evolui de acordo
com a tabela abaixo:
n 0 1 2 3 4 . . .
Cn 100 110 120 130 140 . . .
Não há di�culdade em calcular juros simples pois a taxa incide sempre
sobre o capital inicial. No nosso exemplo, os juros são sempre de 10%
de 100, ou seja, 10.
Matemática Financeira 11
É claro então que, Cn = C0 + niC0, o que faz com que os valores
de Cn formem uma progressão aritmética.
Olhando para os grá�cos de evolução de um mesmo principal C0 a
juros de taxa i, a juros simples e a juros compostos, observamos que
o montante a juros compostos é superior ao montante a juros simples,
exceto se o prazo for menor que 1. É por isso que juros simples só são
utilizados em cobranças de juros em prazos inferiores ao prazo ao qual
se refere a taxa de juros combinada.
Figura 6:
Exercícios
1. Um televisor, cujo preço à vista é de R$400,00, é vendido em dez
prestações mensais iguais. Se são pagos juros de 6% ao mês sobre o
saldo devedor, determine o valor das prestações, supondo a primeira
prestação paga:
a) no ato da compra.
b) um mês após a compra.
12 MA12 - Unidade 11
c) dois meses após a compra.
2. Se a taxa corrente de juros é de 0,6% ao mês, por quanto se aluga
um imóvel cujo preço à vista é R$50 000,00, supondo:
a) o aluguel mensal pago vencido?
b) o aluguel mensal pago adiantadamente?
3. Supondo juros de 0,5% ao mês, quanto você deve investir men-
salmente, durante 30 anos, para obter ao �m desse prazo, por 30 anos,
uma renda mensal de R$100,00?
4. Supondo juros de 0,5% ao mês, quanto você deve investir men-
salmente, durante 35 anos, para obter, ao �m desse prazo, uma renda
perpétua de R$100,00.
5. Faça as planilhas de amortização de uma dívida de R$ 3 000,00,
em 8 pagamentos mensais, com juros de 10% ao mês:
a) pela tabela Price.
b) pelo SAC.
MA 12 - Unidade 12
Matematica Financeira – Resolucao de Problemas
Semana de 16/05 a 22/05
Esta lista se refere ao conteudo da Unidade 10 e consta de dez problemas. Acrescente a eles aqueles
problemas que voce nao resolveu naquela unidade e redija com cuidado as suas solucoes.
MA12 - Unidade 12
Matemática Financeira
Resolução de Problemas
Semana 16/05 a 22/05
Exercícios
1. Leigh investiu 30% do seu capital a juros de 10% ao mês e os 70%
restantes a 18% ao mês. Qual a taxa média de juros obtidas?
2. Laura quer comprar um violão em uma loja que oferece um des-
conto de 30% nas compras à vista ou pagamento em três prestações
mensais, sem juros e sem desconto. Determine a taxa mensal de juros
embutida nas vendas a prazo, supondo o primeiro pagamento:
a) no ato da compra.
b) um mês após a compra.
1
2 MA12 - Unidade 12
c) dois meses após a compra.
3. Regina tem duas opções de pagamento:
a) à vista, com x% de desconto.
b) em duas prestações mensais iguais, sem juros, vencendo a pri-
meira um mês após a compra.
Se o dinheiro vale 5% ao mês, para que valores de x ela preferirá a
segunda alternativa?
4. Um banco efetua descontos à taxa de 6% ao mês. Qual a taxa
mensal de juros cobrada pelo banco nas operações:
a) de um mês?
b) de dois meses?
c) de três meses?
5. Um banco efetua descontos à taxa de 6% ao mês, mas exige que
20% do valor efetivamente liberado sejam aplicados no próprio banco,
a juros de 2% ao mês. Essa é a chamada reciprocidade. Qual a taxa
mensal de juros paga pelos tomadores de empréstimo por dois meses?
6. No cálculo de juros, considera-se sempre o ano comercial de 360
dias, ou seja, 12 meses de 30 dias. Essa é a chamada �regra dos ban-
queiros�. Os juros assim calculados são chamados de ordinários, ao
passo que os juros calculados com o ano de 365 (ou 366) dias são
chamados de exatos e não são usados em lugar nenhum.
a) Mostre que, dados o principal e a taxa anual, os juros ordinários
produzidos em t dias são maiores que os exatos.
b) Para um principal de R$1 000,00 e juros de 12% ao ano, deter-
Matemática Financeira - Resolução de Problemas 3
mine os juros simples, ordinários e exatos, produzidos em 16 dias.
c) Refaça o item b) para juros compostos.
7. Uma conta de R$700,00 vencia no dia 25 de outubro de 1996 e
foi paga em 5 de novembro de 1996. Quais os juros pagos, se os juros
de mora são de 12% ao mês?
8. Determine a melhor e a pior alternativa para tomar um empréstimo
por três meses:
a) juros simples de 16% ao mês.
b) juros compostos de 15% ao mês.
c) desconto bancário com taxa de desconto de 12% ao mês.
9. Henrique vai emprestar dinheiro a Mário, por quatro meses e
pretende receber juros compostos de 12% ao mês. Como Mário só
pretende pagar juros simples, qual a taxa mensal de juros simples que
Henrique deve cobrar?
10. Quando uma operação é pactuada por um número inteiro de
períodos de tempo, há três modos de calcular os juros relativos a
frações de períodos:
a) Só são pagos juros nos períodos inteiros de tempo.
b) São pagos juros compostos durante todo o período. Essa é a
chamada convenção exponencial.
c) São pagos juros compostos nos períodos inteiros e juros simples
nas frações de períodos de tempo. Essa é a chamada convenção linear.
Evidentemente o processo a) se aplica quando os bancos pagam e, o
4 MA12 - Unidade 12
processo c), quando recebem.
Em 5 de janeiro de 1996 foi feito um investimento de 300 reais, a juros
de 15% ao mês. Determine, pelos três processos, o montante em 12 de
abril de 1996.
MA 12 - Unidade 13
Matematica Financeira– Resolucao de Problemas
Semana de 16/05 a 22/05
Esta lista se refere ao conteudo da Unidade 11 e consta de sete problemas. Acrescente a eles
aqueles que voce nao resolveu naquela unidade e redija com cuidado as suas solucoes.
MA12 - Unidade 13
Matemática Financeira
Resolução de Problemas
Semana 16/05 a 22/05
Exercícios
1. Considere a amortização de uma dívida de R$ 35 000,00, em 180
meses, com juros de 1% ao mês, pelo sistema francês. Determine:
a) o valor da centésima prestação.
b) o estado da dívida nessa época.
2. Refaça o problema anterior pelo SAC.
3. Considere a amortização de uma dívida em 150 meses, com ju-
ros de 1% ao mês, pelo sistema francês.
1
2 MA12 - Unidade 13
a) De quanto se reduzirá a prestação, dobrando-se o prazo?
b) Que fração da dívida já terá sido amortizada na época do 75o
pagamento?
4. Considere a amortização de uma dívida em 150 meses, com ju-
ros de 1% ao mês, pelo SAC.
a) De quanto se reduzirá a prestação inicial, dobrando-se o prazo?
b) Que fração da dívida já terá sido amortizada na época do 75o
pagamento?
5. Uma lanterna de Gol, original, custa R$280,00 e tem vida útil
de 5 anos. Uma lanterna alternativa custa R$70,00 e tem vida útil de
1 ano. Gilmar precisa trocar a lanterna de seu Gol. Considere que o
dinheiro vale 12% ao ano, que lanterna ele deve preferir?
6. Um equipamento pode ser alugado por R$75,00 mensais ou com-
prado por R$2 000,00. A vida útil do equipamento é de 30 meses
e o valor residual ao �m desse período é de R$300,00. Se o equipa-
mento for comprado, há um custo mensal de R$5,00 de manutenção.
Considere o valor do dinheiro de 1% ao mês, qual deve ser a decisão:
comprar ou alugar?
7. As cadernetas de poupança renderam 1 416% em um ano cuja
in�ação foi de 1 109%. Qual a rentabilidade real?
MA 12 - Unidade 14
Combinatoria
Semana de 30/05 a 05/06
Combinatoria e um vasto e importante campo da matematica, que engloba temas como a Combi-
natoria Enumerativa, Combinatoria Algebrica, Combinatoria Extrema, Teoria de Grafos e muito mais.
As suas aplicacoes sao inumeras e vao desde Probabilidade e Estatıstica e Teoria dos Jogos ate campos
tao abstratos quanto a Computacao Teorica.
A combinatoria foi responsavel pela introducao de novos metodos em matematica e requereu o
desenvolvimento de um modo proprio de raciocınio. Para se ter sucesso no seu estudo, e preciso
adquirir certas atitudes e formas de pensar.
No nosso curso, veremos apenas rudimentos de Combinatoria Enumerativa, que e essencialmente
a arte da contagem. Contar e uma atividade basica e saber faze-lo corretamente e importante e de
grande utilidade pratica.
No Ensino Medio, a parte da matematica que se ocupa de contagem chama-se Analise Combi-
natoria e geralmente ela e considerada uma materia difıcil. Ali se aprendem formulas para arranjos,
combinacoes, com repeticao ou sem repeticao, permutacoes, permutacoes circulares, caoticas, etc.,
mas nao se aprende o essencial, que e raciocinar!
Ao inves de apresentar um formulario e pedir para que seja decorado, o que se propoe aqui e focar
em alguns princıpios e tecnicas basicas e desenvolver um raciocınio combinatorio proprio que permitira
resolver uma grande gama de problemas.
Esta unidade baseia-se no Princıpio Fundamental da Contagem que diz simplesmente que, se temos
x modos de escolher um objeto e y modos de escolher outro, temos x× y modos de escolher os dois
objetos. Esse princıpio e utilizado nas mais variadas situacoes.
Ao final da unidade, temos uma lista de 9 problemas. Resolva quantos voce puder.
Vıdeos relacionados:
1. PAPMEM Metodos de Contagem, Prof. Morgado (Segunda Edicao) - Julho 2006, Volume 2
2. PAPMEM - Livro Temas e Problemas Elementares. Combinatoria. Prof. Paulo Cesar Carvalho.
Janeiro 2009 - Volume 1.
MA12 - Unidade 14
Combinatória
Semana 30/05 a 05/06
O princípio fundamental da contagem diz que se há x modos de tomar
uma decisão D1 e, tomada a decisão D1, há y modos de tomar a decisão
D2, então o número de modos de tomar sucessivamente as decisões D1
e D2 é xy.
Exemplo 1. Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos de
pode formar um casal?
Solução. Formar um casal equivale a tomar as decisões:
D1: Escolha do homem (5 modos).
D2: Escolha da mulher (5 modos).
Há 5× 5 = 25 modos de formar casal.
1
2 MA12 - Unidade 14
Exemplo 2. Uma bandeira é formada por 7 listras que devem ser
coloridas usando apenas as cores verde, azul e cinza. Se cada listra
deve ter apenas uma cor e não se pode usar cores iguais em listras
adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira?
Solução. Colorir a bandeira equivale a escolher a cor de cada listra.
Há 3 modos de escolher a cor da primeira listra e, a partir daí, 2 mo-
dos de escolher a cor de cada uma das outras 6 listras. A resposta é
3× 26 = 192.
Exemplo 3. Quantos são os números de três dígitos distintos?
Solução. O primeiro dígito pode ser escolhido de 9 modos, pois ele
não pode ser igual a 0. O segundo dígito pode ser escolhido de 9 mo-
dos, pois não pode ser igual ao primeiro dígito. O terceiro dígito pode
ser escolhido de 8 modos, pois não pode ser igual nem ao primeiro
nem ao segundo dígitos.
A resposta é 9× 9× 8 = 648.
Você deve ter percebido nesses exemplos qual é a estratégia para
resolver problemas de Combinatória:
1) Postura. Devemos sempre nos colocar no papel da pessoa que
deve fazer a ação solicitada pelo problema e ver que decisões devemos
tomar. No exemplo 3, nós nos colocamos no papel da pessoa que deve-
ria escrever o número de três dígitos; no exemplo 2, nós nos colocamos
no papel da pessoa que deveria colorir a bandeira; no exemplo 1, nós
nos colocamos no papel da pessoa que deveria formar o casal.
2) Divisão. Devemos, sempre que possível, dividir as decisões a serem
tomadas em decisões mais simples. Formar um casal foi dividido em
escolher o homem e escolher a mulher; colorir a bandeira foi dividido
Combinatória 3
em colorir cada listra; formar um número de três dígitos foi dividido
em escolher cada um dos três dígitos.
Vamos voltar ao exemplo anterior − Quantos são os números de
três dígitos distintos? − para ver como algumas pessoas conseguem,
por erros de estratégia, tornar complicadas as coisas mais simples.
Começando a escolha dos dígitos pelo último dígito, há 10 modos
de escolher o último dígito. Em seguida, há 9 modos de escolher o
dígito central, pois não podemos repetir o dígito já usado. Agora
temos um impasse: de quantos modos podemos escolher o primeiro
dígito: A resposta é �depende�. Se não tivermos usado o 0, haverá 7
modos de escolher o primeiro dígito, pois não poderemos usar nem o
0 nem os dois dígitos já usados nas demais casas; se já tivermos usado
o 0, haverá 8 modos de escolher o primeiro dígito.
Um passo importante na estratégia para resolver problemas de
Combinatória é:
3) Não adiar di�culdades. Pequenas di�culdades adiadas costumam
se transformar em imensas di�culdades. Se uma das decisões a serem
tomadas for mais restrita que as demais, essa é a decisão que deve ser
tomada em primeiro lugar. No exemplo 3, a escolha do primeiro dígito
era uma decisão mais restrita do que as outras, pois o primeiro dígito
não pode ser igual a 0. Essa é portanto a decisão que deve ser tomada
em primeiro lugar e, conforme acabamos de ver, postergá-la só serve
para causar problemas.
Exemplo 4. O código Morse usa duas letras, ponto e traço, e as
palavras têm de 1 a 4 letras. Quantas são as palavras do código
4 MA12 - Unidade 14
Morse?
Solução. Há 2 palavras de uma letra. Há 2× 2 = 4 palavras de duas
letras, pois há dois modos de escolher a primeira letra e dois modos
de escolher a segunda letra; analogamente, há 2× 2× 2 = 8 palavras
de três letras e 2×2×2×2 = 16 palavras de 4 letras. O número total
de palavras é 2 + 4 + 8 + 16 = 30.
Exemplo 5. Quantos divisores inteiros e positivos possui o número
360? Quantos divisores são pares? Quantos são ímpares? Quantos
são quadrados perfeitos?
Solução. a) 360 = 23×32×5. Os divisores inteiros e positivos de 360
são os números da forma 2α × 3β × 5γ, com
α ∈ {0, 1, 2, 3} , β ∈ {0, 1, 2} e γ ∈ {0, 1}.
Há 4 × 3 = 24 maneiras de escolher os expoentes α, β e γ. Há 24
divisores.
b) Para o divisor ser par, α não pode ser 0. Há 3 × 3 × 2 = 18
divisores pares.
c) Para o divisor ser ímpar, α dever ser 0. Há 1×3×2 = 6 divisores
ímpares. Claro que poderíamos ter achado essa resposta subtraindo
(a)-(b).
d) Para o divisor ser quadrado perfeito, os expoentes α, β e γ
devem ser pares. Há 2 × 2 × 1 = 4 divisores que são quadrados
perfeitos.
�
Exemplo 6. Quantos são os números pares de três dígitos distintos?
Solução. Há 5 modos de escolher o último dígito. Note que começamos
Combinatória 5
pelo último dígito, que é o mais restrito; o último dígito só pode ser
0, 2, 4, 6 ou 8.
Em seguida, vamos ao primeiro dígito. De quantos modos se pode
escolher o primeiro dígito? A resposta é �depende�: se não tivermos
usado o 0, haverá 8 modos de escolher o primeiro dígito, pois não
poderemos usar nem o 0 nem o dígito usado na última casa; se tivermos
usado o 0, haverá 9 modos de escolher o primeiro dígito, pois apenas
o 0 não poderá ser usado na primeira casa.
Esse tipo de impasse é comum na resolução de problemas e há dois
métodos de vencê-lo.
O primeiro método consiste em voltar atrás e contar separada-
mente. Contaremos separadamente os números que terminam em 0 e
os que não terminam em 0.
Para os que não terminam em 0, há 4 modos de escolher o último
dígito, 9 modos de escolher o primeiro e 8 modos de escolher o dígito
central. Há 1× 9× 8 = 72 números que não terminam em 0.
Para os que não terminam em 0, há 4 modos de escolher o último
dígito, 8 modos de escolher o primeiro e 8 modos de escolher o dígito
central. Há 4× 8× 8 = 256 números que não terminam em 0.
A resposta é 72 + 256 = 328.
O segundo método consiste em ignorar uma das repetições do pro-
blema, o que nos fará contar em demasia. Depois descontaremos o
que houver sido contado indevidamente.
Primeiramente fazemos de conta que o 0 pode ser usado na primeira
casa do número. Procedendo assim, há 5 modos de escolher o último
dígito (só pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8), 9 modos de escolher o primeiro dígito
(não podemos repetir o dígito usado na última casa; note que estamos
permitindo o uso do 0 na primeira casa) e 8 modos de escolher o dígito
6 MA12 - Unidade 14
central. Há 5× 9× 8 = 360 números, aí inclusos os que começam por
0.
Agora vamos determinar quantos desses números começam por
zero; são esses os números que foram contados indevidamente. Há
1 modo de escolher o primeiro dígito (tem que ser 0), 4 modos de
escolher o último dígito (só pode ser 2, 4, 6 ou 8 − lembre-se que
os dígitos são distintos) e 8 modos de escolher o dígito central (não
podemos repetir os dígitos já usados). Há 1 × 4 × 8 = 32 números
começados por 0.
A resposta é 360− 32 = 328.
É claro que este problema poderia ter sido resolvido com um truque.
Para determinar quantos são os números pares de três dígitos distin-
tos, poderíamos fazer os números de três dígitos distintos menos os
números ímpares de três números distintos.
Para os números de três dígitos distintos, há 9 modos de escolher o
primeiro dígito, 9 modos de escolher o segundo e 8 modos de escolher
o último. Há 9× 9× 8 = 648 números de três dígitos distintos.
Para os números ímpares de três dígitos distintos, há 5 modos de
escolher o último dígito, 8 modos de escolher o primeiro e 8 modos de
escolher o dígito central. Há 5× 8× 8 = 320 números ímpares de três
dígitos distintos.
A resposta é 648− 320 = 328.
Exercícios
1. Quantos são os gabaritos possíveis de um teste de 10 questões de
múltipla-escolha, com 5 alternativas por questão?
Combinatória 7
2. Quantos subconjuntos possui um conjunto que tem n elementos?
3. De quantos modos 3 pessoas podem se sentar em 5 cadeiras em �la?
4. De quantos modos 5 homens e 5 mulheres podem se sentar em
5 bancos de 2 lugares, se em cada banco deve haver um homem e uma
mulher?
5. De quantos modos podemos colocar 2 reis diferentes em casas
não-adjacentes de um tabuleiro 8× 8? E se os reis fossem iguais?
6. De quantos modos podemos colocar 8 torres iguais em um ta-
buleiro 8 × 8, de modo que não haja duas torres na mesma linha ou
na mesma coluna? E se as torres fossem diferentes?
7. De um baralho comum de 52 cartas, sacam-se sucessivamente e
sem reposição duas cartas. De quantos modos isso pode ser feito se a
primeira carta deve ser de copas e a segunda não deve ser um rei?
8. O conjunto A possui 4 elementos e, o conjunto B, 7 elementos.
Quantas funções f : A→ B existem? Quantas delas são injetoras?
9. a) De quantos modos o número 720 pode ser decomposto em um
produto de dois inteiros positivos? Aqui consideramos, naturalmente,
8× 90 como sendo o mesmo que 90× 8.
b) E o número 144?
8 MA12 - Unidade 14
Sugestões aos Exercícios
2. Para formar um subconjunto você deve perguntar a cada elemento
do conjunto se ele deseja participar do subconjunto.
3. A primeira pessoa pode escolher sua cadeira de 5 modos; a se-
gunda, de 4; a terceira, de 3.
4. A primeira mulher pode escolher sua posição de 10 modos. A
segunda, de 8 modos. As outras, de 6, de 4 e de 2 modos. O primeiro
homem, de 5 modos. Os demais, de 4, de 3, de 2, de 1.
5. O tabuleiro de 64 casas possui 4 casas de canto (vértices), 24
casas laterais que não são vértices e 36 casas centrais. Cada casa de
canto possui 3 casas adjacentes; cada lateral possui 5 casas adjacentes
e cada central possui 8 casas adjacentes. Conte separadamente con-
forme o rei negro ocupa uma casa de canto, lateral ou central.
Se os reis fossem iguais, a resposta seria a metade da resposta anterior.
6. Haverá uma torre em cada linha. A torre da primeira linha pode
ser colocada de 8 modos. A da segunda linha, de 7 modos, pois não
pode �car na mesma coluna da anterior, etc.
Se as torres são diferentes, devemos primeiramente escolher qual a
torre que �cará na primeira linha (8 modos) e depois escolher onde
colocá-la na primeira linha (8 modos). Há 8 × 8 modos de colocar a
torre da primeira linha; analogamente, há 7 × 7 modos de colocar a
torre da segunda linha etc.
7. Conte separadamente os casos em que a carta de copas é um rei e
Combinatória 9
em que a carta de copas não é um rei.
8. Para construir uma função, você deve perguntar a cada elemento
de A quem ele deseja �echar em B.
9a. 720 = 24 × 32 × 5 tem 30 divisores positivos.
9b. Note que 144 = 12× 12.
MA 12 - Unidade 15
Combinatoria – Continuacao
Semana de 30/05 a 05/06
Nesta unidade, sao estudadas as permutacoes e as combinacoes, desenvolvendo modos especıficos
de contagem. Nao ha formulas a decorar, mas, procedimentos de contagem a compreender.
A unidade termina com uma lista de 10 problemas; resolva quantos puder, redigindo as suas solucoes.
Vıdeos relacionados:
1. Aulas do Professor Augusto Cesar Morgado - Analise Combinatoria, Julho de 2005.
2. PAPMEM - Livro Temas e Problemas. Combinatoria. Prof. Paulo Cesar Carvalho. Janeiro 2007
- Volume 1.
MA12 - Unidade 15
Combinatória
Semana 30/05 a 05/06
Há alguns (poucos) problemas de Combinatória que, embora sejam
aplicações do princípio básico, aparecem com muita frequência. Para
esses problemas, vale a pena saber de cor as suas respostas. O primeiro
desses problemas é o:
Problema das permutações simples
De quantos modos podemos ordenar em �la n objetos distintos?
A escolha do objeto que ocupará o primeiro lugar pode ser feita de
n modos; a escolha do objeto que ocupará o segundo lugar pode ser
feita de n− 1 modos; a escolha do objeto que ocupará o terceiro lugar
pode ser feita de n− 2 modos, etc...; a escolha do objeto que ocupará
o último lugar pode ser feita de 1 modo.
1
2 MA12 - Unidade 15
A resposta é n(n− 1)(n− 2) . . . 1 = n!.
Cada ordem que se dá aos obejtos é chamada de uma permutação
simples dos objetos. Assim, por exemplo, as permutações simples das
letras a, b e c são (abc), (acb), (bac), (bca), (cab) e (cba).
Portanto, o número de permutações simples de n objetos distintos
é Pn = n!.
Exemplo 1. Quantos são os anagramas da palavra �calor�? Quantos
começam com consoantes?
Solução. cada anagrama corresponde a uma ordem de colocação
dessas 5 letras. O número de anagramas é P5 = 5! = 120.
Para formar um anagrama começado por consoante devemos pri-
meiramente escolher a consoante (3 modos) e, depois, arrumar as qua-
tro letras restantes em seguida à consoante (4! = 24 modos). Há
3× 24 = 72 anagramas começados por consoante.
Exemplo 2. De quantos modos podemos arrumar em �la 5 livros
diferentes de Matemática, 3 livros diferentes de Estatística e 2 livros
diferentes de Física, de modo que livros de uma mesma matéria per-
maneçam juntos?
Solução. Podemos escolher a ordem das matérias de 3! modos. Feito
isso, há 5! modos de colocar os livros de Matemática nos lugares que
lhe foram destinados, 3! modos para os de Estatística e 2! modos para
os de Física.
A resposta é 3!5!3!2! = 6× 120× 6× 2 = 8 640.
Exemplo 3. Quantos são os anagramas da palavra �BOTAFOGO�?
Solução. Se as letras fossem diferentes a resposta seria 8!. Como as
Combinatória 3
três letras O são iguais, quando as trocamos entre si obtemos o mesmo
anagrama e não um anagrama distinto, o que aconteceria se fossem
diferentes. Isso faz com que na nossa contagem de 8! tenhamos con-
tado o mesmo anagrama várias vezes, 3! vezes precisamente, pois há
3! modos de trocar as letras O entre si.
A resposta é8!
3!= 6 720.
De modo geral, o número de permutações de n objetos, dos quais
α são iguais a A, β são iguais a B, γ são iguais a C, etc, é Pα,β,γ,...n =
n!
α!β!γ! . . ..
Exemplo 4. De quantos modos podemos dividir 8 objetos em um
grupo de 5 objetos e um de 3 objetos?
Solução. Um processo de fazer a divisão é colocar os objetos em �la;
os 5 primeiros formam o grupo de 5 e os 3 últimos formam o grupo de
3.
Há 8! modos de colocar os objetos em �la.
Entretanto, note que �las como abcde | fgh e badce | ghf são �las
diferentes e geram a mesma divisão de grupos. Cada divisão em gru-
pos foi contada uma vez para cada ordem dos objetos dentro de cada
grupo. Há 5!3! modos de arrumar os objetos em cada grupo. Cada
divisão em grupos foi contada 5!3! vezes.
A resposta é8!
5!3!= 56.
O segundo problema importante é o:
Problema das combinações simples
De quantos modos podemos selecionar p objetos distintos entre n
4 MA12 - Unidade 15
objetos distintos dados?
Cada seleção de p objetos é chamada de uma combinação simples
de classe p dos n objetos. Assim, por exemplo, as combinações sim-
ples de classe 3 dos objetos a, b, c, d e são {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e},{a, c, d}, {a, c, e}, {a, d, e},{b, c, d}, {b, c, e}, {b, d, e} e {c, d, e}. Repre-sentamos o número de combinações simples de classe p de n elementos
por Cpn ou
(np
). Assim, C3
5 =(53
)= 10.
Para resolver o problema das combinações simples basta notar que
selecionar p entre os n objetos equivale a dividir os n objetos em um
grupo de p objetos, que são selecionados, e um grupo de n−p objetos,que são os não-selecionados.
Esse é o problema de exemplo 4 e a resposta é
Cpn =
n!
p!(n− p)!.
Exemplo 5. Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissões de 5
pessoas, com exatamente 3 homens, podem ser formadas?
Solução. Para formar a comissão devemos escolher 3 dos homens e 2
das mulheres. Há C35 · C2
4 = 10× 6 = 60 comissões.
Exemplo 6. Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissões de 5
pessoas, com pelo menos 3 homens, podem ser formadas?
Solução. Há comissões com: 3 homens e 2 mulheres, 4 homens e 1
mulher, 5 homens. A resposta é
C25 · C2
4 + C45 · C1
4 + C55 = 10× 6 + 5× 4 + 1 = 81.
Exemplo 7. Tem-se 5 pontos sobre uma reta R e 8 pontos sobre
uma reta R′ paralela a R. Quantos triângulos e quantos quadriláteros
convexos com vértices nesses pontos existem?
Combinatória 5
Solução. Para formar um triângulo ou você toma um ponto em R e
dois pontos em R′, ou toma um ponto em R′ e dois pontos em R. O
número de triângulos é 5 · C28 + 8 · C2
5 = 140 + 80 = 220.
Também se poderia pensar em tomar 3 dos 13 pontos e excluir
dessa contagem as escolhas de pontos colineares, o que daria
C313 − C3
8 − C35 = 286− 56− 10 = 220.
Para formar um quadrilátero convexo, devemos tomar dois pontos
em R e dois pontos em R′, o que pode ser feito de C35 ·C2
8 = 10·28 = 280
modos.
Exemplo 8. De quantos modos 5 crianças podem formar uma roda
de ciranda?
Figura 1:
Solução. À primeira vista parece que para formar uma roda com as
cinco crianças basta escolher uma ordem para elas, o que poderia ser
feito de 5! = 120 modos. Entretanto, as rodas ABCDE e EABCD são
iguais, pois na roda o que importa é a posição relativa das crianças
entre si e a roda ABCDE pode ser �virada� na roda EABCD. Como
6 MA12 - Unidade 15
cada roda pode ser �virada� de cinco modos, a nossa contagem de 120
rodas contou cada roda 5 vezes e a resposta é 120/5 = 24.
De modo geral, o número de modos de colocar n objetos em cír-
culo, de modo que disposições que possam coincidir por rotação sejam
consideradas iguais, isto é, o número de permutações circulares de n
objetos é (PC)n =n!
n= (n− 1)!.
O exemplo a seguir mostra um tipo de racíocinio que, apesar de
inesperado, pode ser muito e�ciente.
Exemplo 9. Quantos são os anagramas da palavra �BÚLGARO�
que não possuem duas vogais adjacentes?
Solução. Vamos primeiramente arrumar as consoantes e, depois, va-
mos entremear as vogais. O número de modos de arrumar em �la as
consoantes B, L, G, R é P4 = 4! = 24. Arrumadas as consoantes, por
exemplo na ordem BLGR, devemos colocar as vogais U, A, O nos 5
espaços da �gura. Como não podemos colocar duas vogais no mesmo
espaço, três dos espaços serão ocupados, cada um com uma vogal e
dois dos espaços �carão vazios. Temos C35 = 10 modos de escolher os
três espaços que serão ocupados e P3 = 3! = 6 modos de colocar as
vogais nos espaços escolhidos.
B L G R
A resposta é 24× 10× 6 = 1440.
Exemplo 10. Quantas são as soluções inteiras e não-negativas da
equação x1 + x2 + · · ·+ xn = p?
Combinatória 7
Solução. A resposta deste problema é representada por CRpn.
Para determinar o valor de CRpn, vamos representar cada solução
da equação por uma �la de sinais + e || . Por exemplo, para a equação
x + y + z = 5, as soluções (2,2,1) e (5,0,0) seriam representadas por
++ |++|+ e +++++||, respectivamente. Nossa representação, as
barras são usadas para separar as incógnitas e a quantidade de sinais
+ indica o valor de cada incógnita.
Para a equação x1 + x2 + · · · + xn = p, cada solução seria repre-
sentada por uma �la com n− 1 barras (as barras são para separar as
incógnitas; para separar n incógnitas, usamos n− 1 barras) e p sinais
+. Ora, para formar uma �la com n − 1 barras e p sinais +, basta
escolher dos n + p − 1 lugares da �la os p lugares onde serão colo-
cados os sinais +, o que pode ser feito de Cpn+p−1 modos. Portanto,
CRpn = Cp
n+p−1.
Exemplo 11. De quantos modos podemos comprar 3 sorvetes em
um bar que os oferece em 6 sabores distintos?
Solução. A resposta não é C36 = 20. C3
6 seria o número de modos de
comprar três sorvetes diferentes.
Chamando de xk o número de sorvetes do k-ésimo sabor que vamos
comprar, devemos determinar valores inteiros e não-negativos para xk,
k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, tais que x1 + x2 + · · · + x6 = 3. Isso pode ser feito
de CR36 = C3
8 = 56 modos.
Exercícios
1. Quantos são os anagramas da palavra �CAPÍTULO�.
8 MA12 - Unidade 15
a) possíveis?
b) que começam e terminam por vogal?
c) que têm as vogais e as consoantes intercaladas?
d) que têm as letras c, a, p juntas nessa ordem?
e) que têm as letras c, a, p juntas em qualquer ordem?
f) que têm a letra p em primeiro lugar e a letra a em segundo?
g) que têm a letra p em primeiro lugar ou a letra a em segundo?
h) que têm p em primeiro lugar ou a em segundo ou c em terceiro?
i) nos quais a letra a é uma das letras à esquerda de p e a letra c
é uma das letras à direita de p?
2. Se A é um conjunto de n elementos, quantas são as funções
f : A→ A bijetoras?
3. De quantos modos é possível colocar 8 pessoas em �la de modo
que duas dessas pessoas, Vera e Paulo, não �quem juntas?
4. De quantos modos é possível colocar 8 pessoas em �la de modo
que duas dessas pessoas, Vera e Paulo, não �quem juntas e duas ou-
tras, Helena e Pedro, permaneçam juntas?
5. Quantas são as permutações simples dos números
1, 2, 3, . . . , 10,
nas quais o elemento que ocupa o lugar de ordem k, da esquerda para
a direita, é sempre maior que k − 3?
6. De quantos modos é possível dividir 15 atletas em três times de 5
Combinatória 9
atletas, denominados Esporte, Tupi e Minas?
7. De quantos modos é possível dividir 15 atletas em três times de 5
atletas?
8. De quantos modos é possível dividir 20 objetos em 4 grupos de
3 ou 2 grupos de 4?
9. Um campeonato é disputados por 12 clubes em rodadas de 6 jogos
cada. De quantos modos é possível selecionar os jogos da primeira
rodada?
10. Permutam-se de todas as formas possíveis os algarismos 1, 2,
4, 6, 7 e escrevem-se os números assim formados em ordem crescente.
Determine:
a) que lugar ocupa 62 417.
b) que número que ocupa o 66o lugar.
c) qual o 166o algarismo escrito.
d) a soma dos números assim formados.
Sugestões aos Exercícios
1c. Os anagramas podem começar por vogal ou por consoante.
1d. Tudo se passa como se cap fosse uma letra só.
1e. Escolha inicialmente a ordem das letras c,a,p. Recai-se no item
anterior.
1g. Ao somar os que têm p em primeiro com os que têm a em segundo,
10 MA12 - Unidade 15
os que têm p em primeiro e a em segundo são contados duas vezes.
Um diagrama de conjuntos ajuda.
1h. Um diagrama de conjuntos ajuda.
1i. Há 3! = 6 ordens possíveis para essas letras. A resposta é1
6do
total de anagramas.
3. Faça o total menos aquelas nas quais elas �cam juntas. Não se
esqueça que elas podem �car juntas em 2! ordens possíveis.
4. Faça todas com Helena e Pedro juntos menos aquelas nas Helena e
Pedro estão juntos e Vera e Paulo também estão juntos.
5. As posições mais restritas são as últimas.
6. Você deve escolher 5 jogadores para o Esporte, depois escolher 5
dos que sobraram para o Tupi e formar o Minas com os restantes.
Ou então, ponha os 15 jogadores em �la: os 5 primeiros formam o
Esporte, os 5 seguintes o Tupi, os 5 últimos o Minas. Note que, tro-
cando a ordem dentro de cada bloco, você muda a �la mas não muda
a divisão em times.
7. A resposta é a anterior dividida por 3!, pois agora, trocando os
times entre si, a divisão é a mesma.
9. Você pode colocar os 12 times em uma matriz 6×2 . Note que tro-
car as linhas entre si, ou trocar em uma linha a ordem dos elementos
não altera a seleção dos jogos. Você também poderia pensar assim:
Tenho 11 modos de escolher o adversário do Botafogo; depois tenho
9 modos de escolher o adversário do primeiro (em ordem alfabética)
time que sobrou, depois tenho 7...
10a. Para descobrir o lugar do 62 417 você tem que contar quantos
números o antecedem. Antecedem-no todos os números começados em
1, em 2, em 4, em 61, etc.
10c. O 166o algarismo escrito é o 1o algarismo do 34o número.
Combinatória 11
10d. A soma das unidades dos números é (1 + 2 + 4 + 6 + 7) · 4!,pois cada um dos algarismos 1, 2, 4, 6, 7 aparece como algarismo
das unidades em 4! números. Determine analogamente a soma das
dezenas, etc.
Um truque, bonito, mas truque, é agrupar os 5! = 120 números em 60
casais do seguinte modo: o cônjuge de cada número é o número que
dele se obtém trocando a posição do 1 com o 7 e a posição do 2 com
o 6. Teremos 60 casais e a soma em cada casal é 88 888. A resposta
é 88 888× 60.
MA 12 - Unidade 16
Combinatoria – O Binomio de Newton
Semana de 06/06 a 12/06
A unidade se inicia com o triangulo de Tartaglia-Pascal, que e uma tabela de formato triangular (nao
limitada), de numeros naturais, facil de construir e que permite obter de modo imediato os coeficientes
do desenvolvimento de (a+ b)n.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
· · · · · · · · · · · · · · ·
Esse triangulo foi descoberto pelo matematico chines Yang Hui (1238-1298) e suas propriedades
aritmeticas foram estudadas pelo matematico frances Blaise Pascal (1623-1662). Este escreveu o livro
Traite du Triangle Arithmetique, publicado em 1654, razao pela qual o triangulo leva o seu nome.
Pascal, junto com Fermat, foi o criador da Analise Combinatoria (assunto das Unidades 14-19) e da
Teoria de Probabilidades, que estudaremos nas Unidades 21-24.
Dentre as propriedades notaveis do triangulo de Pascal, destacam-se a simetria axial com relacao
ao eixo vertical central e a relacao de Stifel(n− 1
m− 1
)+
(n− 1
m
)=
(n
m
),
onde (n
m
)=
n!
m!(n−m)!,
numero esse tambem denotado por Cmn .
Essa relacao e a base da construcao do triangulo, pois permite determinar os elementos de uma linha
conhecendo os elementos da linha anterior. Destacam-se tambem o Teorema das linhas o Teorema das
colunas, dentre muitas outras propriedades.
A seguir, e apresentado o Binomio de Newton, ou seja, a formula que fornece o desenvolvimento
de (a + b)n de um modo diferente do que foi feito na Unidade 4. Aqui se utilizam argumentos
combinatorios, ao inves dos argumentos algebricos que foram utilizados la.
O Binomio de Newton era conhecido muito antes de Newton, mas leva o seu nome porque ele teve
a formidavel ideia de usar esse desenvolvimento com expoentes racionais para fazer uma generalizacao
inesperada do classico Teorema da Funcao Implıcita para equacoes polinomiais f(X, Y ) = 0, onde
f(0, 0) = 0, em condicoes onde nao se aplica o teorema classico, ou seja, quando
∂f
∂x(0, 0) = 0 e
∂f
∂y(0, 0) = 0.
Como sao definidos tais desenvolvimentos? Bem, formalmente, podemos definir, para n racional e
m natural os coeficientes binomiais como de costume(n
m
)=n(n− 1) · · · (n−m+ 1)
m!.
Note que, se n for inteiro (fixado), entao(nm
)se anula para m ≥ n + 1, o que nao e o caso se n for
um numero racional α que nao e natural. Nessa situacao, o coeficientes binomiais nunca se anulam.
Portanto, podemos escrever formalmente, como Newton fez, o desenvolvimento em serie infinita
(1 +X)α = 1 + αX +α(α− 1)
2X2 + · · ·+ α(α− 1) · · · (α−m+ 1)
m!Xm + · · · . (1)
Essa serie foi responsavel pelo famoso paradoxo do binomio, que intrigou os matematicos ate
ser definitivamente esclarecido por Gauss. Esse paradoxo se obtem, por exemplo, fazendo em (1) a
substituicao X = −2 e α = −1, obtendo
−1 = 1 + 2 + 22 + · · ·
A razao do surgimento desse paradoxo, como explicado por Gauss, consiste em tratar somas infinitas
como se fossem finitas. A igualdade so vale se a serie da direita for convergente, o que so ocorre quando
|X| < 1, e isso nao e o caso quando X = −2. Por aı pode-se ter uma nocao da genialidade de Gauss,
que introduziu a nocao de convergencia para series, iniciando o ramo da Analise Matematica. Gauss
fez o estudo completo da serie hipergeometrica, que contem, como casos particulares, varias series
conhecidas. Infelizmente, a matematica de Gauss e muito pouco abordada no Ensino Medio.
Para finalizar, resolva a lista de problemas propostos e leia a secao “Sobre o Ensino de Combi-
natoria”.
MA12 - Unidade 16
Combinatória
Semana 06/06 a 12/06
1 O Triângulo Aritmético
Chamamos de triângulo aritmético de Tartaglia1-Pascal2 ao quadro
1. Com 7 vitaminas diferentes, quantos coquetéis de duas ou mais
vitaminas podemos formar?
2. Determine p para que seja máximo:
a) Cp10.
b) Cp21.
3. Determine o termo independente de x no desenvolvimento de(x3 − 1
x2
)10
.
4. Determine o coe�ciente de xn no desenvolvimento de (1 − x)2 ·(x+ 2)n.
5. Determine o valor da soma C0n + 3C1
n + 32C2n + · · ·+ 3nCn
n .
6. Se (1 + x + x2)n = A0 + A1x + A2x2 + · · · + A2nx
2n, determine
o valor de:
a) A0 + A1 + A2 + · · ·+ A2n
b) A0 + A2 + A4 + · · ·+ A2n.
7. Determine o termo máximo do desenvolvimento de(1 +
1
2
)100
.
6 MA12 - Unidade 16
8. Prove que 10150 > 9950 + 10050.
Sugestões aos Exercícios
3. O termo independente de x é o termo em x0.
5. A soma pedida é o desenvolvimento de um binômio de Newton.
6a. Faça x = 1.
6b. Faça x = −1.
8. 101 = 100 + 1 e 99 = 100 − 1. O melhor modo de mostrar que
a > b é mostrar que a− b é positivo.
3 Sobre o Ensino de Combinatória
1. Não faça fórmulas demais ou casos particulares demais. Isso obscu-
rece as ideias gerais e torna as coisas mais complicadas. Quem troca
o princípio básico da contagem por fórmulas de arranjos, permutações
e combinações tem di�culdade de resolver até mesmo o nosso segundo
exemplo (o das bandeiras).
2. Aprenda e faça com que os alunos aprendam com os erros. É
importante, diante de uma solução errada, analisar porque ela está
errada.
3. Você quer mostrar que é o bom ou quer que seus alunos apren-
dam? Se você prefere a segunda alternativa, resista à tentação de em
cada problema buscar solução mais elegante. O que deve ser procurado
é um método que permita resolver muitos problemas e não um truque
Combinatória 7
que resolva maravilhosamente um problema. Sendo mais especí�co:
no exemplo 6, da seção de princípios básicos, foram apresentados dois
métodos e um truque. Não se deve mostrar o truque antes de mostrar
os métodos. A beleza de alguns truques só pode ser apreciada por
quem tem domínio dos métodos.
Combinatória não é difícil; impossível é aprender alguma coisa ape-
nas com truques em vez de métodos.
4. Não dê preferência a raciocínios destrutivos, raciocínios do tipo
contar a mais e depois descontar o que não servia e foi contado inde-
vidamente. Os raciocínios que resolvem a maior parte dos problemas
de Combinatória são essencialmente construtivos. Embora em cer-
tos casos seja melhor usar um raciocínio destrutivo, seus alunos só se
sentirão seguros quando dominarem os raciocínios construtivos.
Por exemplo, no exemplo 7 da parte de combinações, a primeira
solução apresentada é melhor do que a segunda para educar o raciocínio
do aluno.
5. Um processo seguro de tornar as coisas complicadas é começar
assim: esse é um problema de arranjos ou de combinações? Como se
resolveriam, por exemplo, os problemas dos exemplos 2, 3 e 5 da seção
2.1 e os problemas propostos números 10, 14, 17 e 19 da mesma seção?
Aliás, para que servem arranjos?
MA 12 - Unidade 17
Combinatoria – Resolucao de Problemas
Semana de 06/06 a 12/06
Nesta unidade, voce tera 12 exercıcios para resolver. Resolva o maximo que puder, redigindo as
suas solucoes com cuidado.
MA12 - Unidade 17
Combinatória
Problemas
Semana 06/06 a 12/06
1. Em um corredor há 900 armários, numerados de 1 a 900, inicial-
mente todos fechados. 900 pessoas, numeradas de 1 a 900, atravessam
o corredor. A pessoa de número k reverte o estado de todos os ar-
mários cujos números são múltiplos de k. Por exemplo, a pessoa de
número 4 mexe nos armários de números 4, 8, 12, . . . , abrindo os que
encontra fechados e fechando os que encontra abertos. Ao �nal, quais
armários �carão abertos?
2. Dispomos de 5 cores distintas. De quantos modos podemos colorir
os quatro quadrantes de um círculo, cada quadrante com uma só cor,
1
2 MA12 - Unidade 17
se quadrantes cuja fronteira é uma linha não podem receber a mesma
cor?
3. De quantos modos podemos formar uma palavra de 5 letras de
um alfabeto de 26 letras, se a letra A deve �gurar na palavra mas não
pode ser a primeira letra da palavra? E se a palavra devesse ter letras
distintas?
4. As placas dos veículos são formadas por três letras (de um al-
fabeto de 26) seguidas por 4 algarismos. Quantas placas poderão ser
formadas?
5. Um vagão do metrô tem 10 bancos individuais, sendo 5 de frente e
5 de costas. De 10 passageiros, 4 preferem sentar de frente, 3 preferem
sentar de costas e os demais não têm preferência. De quantos modos
eles podem se sentar, respeitadas as preferências?
6. Escrevem-se os inteiros de 1 até 2 222. Quantas vezes o alga-
rismo 0 é escrito?
7. Quantos são os inteiros positivos de 4 dígitos nos quais o alga-
rismo 5 �gura?
8. Em uma banca há 5 exemplares iguais da �Veja�, 6 exemplares
iguais da �Manchete� e 4 exemplares iguais da �Isto é�. Quantas
coleções não-vazias de revistas dessa banca podem ser formadas?
9. Uma turma tem aulas as segundas, quartas e sextas, de 13h às
Combinatória - Problemas 3
14h e de 14h às 15h. As matérias são Matemática, Física e Química,
cada uma com duas aulas semanais, em dias diferentes. De quantos
modos pode ser feito o horário dessa turma?
10. O problema do exemplo 1 − Com 5 homens e 5 mulheres, de
quantos modos se pode formar um casal?− foi resolvido por um aluno
do modo a seguir: �A primeira pessoa do casal pode ser escolhida de 10
modos, pois ela pode ser homem ou mulher. Escolhida a primeira pes-
soa, a segunda pessoa só poderá ser escolhida de 5 modos, pois deve
ser de sexo diferente da primeira pessoa. Há portanto 10 × 5 = 50
modos de formar um casal�. Onde está o erro?
11. Escrevem-se números de 5 dígitos, inclusive os começados em
0, em cartões. Como 0, 1 e 8 não se alteram de cabeça para baixo e
como 6, de cabeça para baixo, se transforma em 9 e vice-versa, um
mesmo cartão pode representar dois números (por exemplo, 06198 e
86190). Qual é o número mínimo de cartões para representar todos os
números de 5 dígitos?
12. Qual a soma dos divisores positivos de 360?
Sugestões aos Exercícios
1. O armário de número k é mexido pelas pessoas cujos números são
divisores de k. Um armário �cará aberto se for mexido um número
ímpar de vezes.
Lembre-se que o número de divisores positivos de 2α × 3β × 5γ × . . . é
4 MA12 - Unidade 17
igual a (α + 1)(β + 1)(γ + 1) . . .
2. Conte separadamente os casos em que os quadrantes 1 e 3 têm
cores iguais e cores diferentes.
3. Note que no caso em que são permitidas repetições, a condição
da letra A �gurar na palavra é terrível, pois ela pode �gurar uma só
vez, ou duas, etc... Por isso é melhor contar todas as palavras do al-
fabeto e diminuir as que não têm A e as que começam por A.
No caso sem repetição, você poderia também contar diretamente: há
4 modos de escolher a posição A, 25 modos de escolher a letra da
primeira casa restante, 24 para a segunda casa restante, etc.
6. Conte quantas vezes o 0 aparece nas unidades, some com o número
de vezes que ele aparece nas dezenas, etc.
7. Note que como são permitidas repetições, a condição do 5 �gurar
no número é terrível, pois ele pode �gurar uma só vez, ou duas, etc...
É melhor fazer todos os números menos aqueles em que o 5 não �gura.
8. Para formar uma coleção, você deve decidir quantas �Veja� farão
parte da coleção, etc. Não esqueça de retirar da sua contagem a coleção
vazia.
9. Há 3 modos de escolher os dias de Matemática; escolhidos os dias,
digamos segundas e quartas, há 2 modos de escolher o horário da aula
de Matemática da segunda e 2 modos de escolher o horário da aula de
Matemática da quarta. Há 2 modos de escolher os dias da Física (não
Combinatória - Problemas 5
podem ser os mesmos da Matemática senão a Química �caria com as
aulas no mesmo dia), etc.
11. Há três tipos de cartões: os que não podem ser virados de cabeça
para baixo, os que virados de cabeça para baixo continuam represen-
tando o mesmo número e os que virados de cabeça para baixo passam
a representar números diferentes. Se há x, y e z cartões de cada um
esses tipos, respectivamente, a resposta é x + y +z
2. É fácil calcular
y, z + y e x+ y + z.
MA 12 - Unidade 18
Combinatoria – Resolucao de Problemas
Semana de 13/06 a 19/06
Nesta unidade, voce tera mais quinze exercıcios relativo a materia da Unidade 15. Redija com
cuidado as suas solucoes.
MA12 - Unidade 18
Combinatória
Problemas
Semana 13/06 a 19/06
1. De quantos modos é possível colocar r rapazes e m moças em �la
de modo que as moças permaneçam juntas?
2. Quantos dados diferentes é possível formar gravando números de 1
a 6 sobre as faces de um cubo?
a) Suponha uma face de cada cor.
b) Suponha faces iguais.
c) Suponha que as faces são iguais e que a soma dos pontos de
faces opostas deva ser igual a 7.
1
2 MA12 - Unidade 18
3. Resolva o problema anterior, no caso b), para os outros 4 poliedros
regulares.
4. Determine n para quen∑
k=1
k! seja um quadrado perfeito.
5. Quantos são os anagramas da palavra �ESTRELADA�?
6. O conjunto A possui n elementos. Quantos são os seus subconjun-
tos com p elementos?
7. Uma faculdade realiza seu vestibular em dois dias de provas, com
4 matérias em cada dia. Este ano a divisão foi: Matemática, Por-
tuguês, Biologia e Inglês no primeiro dia e Geogra�a, História, Física
e Química no segundo dia. De quantos modos pode ser feito o cal-
endário de provas?
8. Qual é o erro da solução abaixo?
�Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissões de 5 pessoas, com
pelo menos 3 homens, podem ser formadas?
Solução: Primeiramente vamos escolher 3 homens para a comissão, o
que pode ser feito de C35 = 10 modos. Agora devemos escolher mais
duas pessoas para a comissão, homens ou mulheres, entre as 6 pessoas
restantes, o que pode ser feito de C26 = 15. A resposta é 10×15 = 150.�
9. Quantas diagonais possui:
a) um octaedro regular?
b) um icosaedro regular?
c) um dodecaedro regular?
d) um cubo?
Combinatória - Problemas 3
e) um prisma hexagonal regular?
10. Sejam Im = {1, 2, . . . ,m} e In = {1, 2, . . . , n}, com m 6 n.
Quantas são as funções f : Im → In estritamente crescentes?
11. Quantos são os números naturais de 7 dígitos nos quais o dígito
4 �gura exatamente 3 vezes e o dígito 8 exatamente 2 vezes?
12. Quantos são os subconjuntos de {a1, a2, . . . , an}, com p elementos,
nos quais:
a) a1 �gura;
b) a1 não �gura;
c) a1 e a2 �guram;
d) pelo menos um dos elementos a1, a2 �gura;
e) exatamente um dos elementos a1 e a2 �gura.
13. De um baralho de pôquer (7, 8, 9, 10, valete, dama, rei e ás,
cada um desses grupos aparecendo em 4 naipes: copas, ouros, paus,
espadas), sacam-se simultaneamente 5 cartas.
a) Quantas são as extrações possíveis?
Quantas são as extrações nas quais se forma:
b) um par (duas cartas em um mesmo grupo e as outras três em
três outros grupos diferentes)?
c) dois pares (duas cartas em um grupo, duas em outro grupo e
uma em um terceiro grupo)?
d) uma trinca (três cartas em um grupo e as outras duas em dois
outros grupos diferentes)?
e) um �four� (quatro cartas em um grupo e uma em outro grupo)?
4 MA12 - Unidade 18
f) um �full hand� (três cartas em um grupo e duas em outro grupo)?
g) uma sequência (5 cartas de grupos consecutivos, não sendo todas
do mesmo naipe)?
h) um ��ush� (5 cartas do mesmo naipe, não sendo elas de 5 grupos
consecutivos)?
i) um �straight �ush� (5 cartas de grupos consecutivos, todas do
mesmo naipe)?
j ) um �royal straight �ush� (10, valete, dama, rei e ás de um mesmo
naipe)?
14. O conjunto A possui p elementos e o conjunto B possui n ele-
mentos. Determine o número de funções f : A → B sobrejetoras
para: a) p = n; b) p = n+ 1; c) p = n+ 2.
15. Considere um conjunto C de 20 pontos do espaço que tem um
subconjunto C1 formado por 8 pontos coplanares. Sabe-se que toda
vez que 4 pontos de C são coplanares, então eles são pontos de C1.
Quantos são os planos que contêm pelo menos três pontos de C?
Sugestões aos Exercícios
2a. Devemos colocar 6 números em 6 lugares. A resposta é 6!.
2b. Agora, quando mudamos o cubo de posição obtemos o mesmo
dado. Por exemplo, um dado que tem o 1 e o 6 em faces opostas:
Antes, colocar o 1 em cima, na face preta, e o 6 em baixo, na face
branca, era diferente de colocar o 6 em cima e o 1 embaixo. Agora
não, é o mesmo dado de cabeça para baixo. A resposta é a anterior
Combinatória - Problemas 5
dividida pelo número de posições de colocar um cubo. Há 6 modos de
escolher a face que �ca em baixo e 4 modos de escolher nessa face a
aresta que �ca de frente.
4. Se k > 4, k! termina em 0.
9. Os segmentos que ligam dois vértices são diagonais, arestas ou di-
agonais de faces.
10. A função �ca determinada quando se escolhem os m elementos de
In que formarão a imagem.
11. Ignore o problema do 0 na primeira casa. Escolha os lugares dos
4, dos 8, preencha as casas restantes. Desconte os números começados
em 0.
13b. Há 8 modos de escolher o grupo das suas cartas que formarão
o par propriamente dito; há C24 modos de escolher os naipes dessas
cartas; há C37 modos de escolher os grupos das outras três cartas e 43
modos de escolher seus naipes.
14a. Essas funções são bijetoras.
14b. Um elemento de B tem sua imagem inversa formada por dois
elementos e os demais têm imagens inversas unitárias.
14c. Há duas possibilidades: um elemento de B tem sua imagem
inversa formada por três elementos e os demais têm imagens inversas
unitárias ou dois elementos de B têm imagens inversas formadas por
dois elementos e os demais têm imagens inversas unitárias.
MA 12 - Unidade 19
Combinatoria – Resolucao de Problemas
Semana de 13/06 a 19/06
Nesta unidade, voce tem mais quinze exercıcios para resolver. Resolva o maximo que puder,
redigindo as suas solucoes com cuidado.
MA12 - Unidade 19
Combinatória
Problemas
Semana 13/06 a 19/06
1. Uma �la de cadeiras no cinema tem 10 poltronas. De quantos mo-
dos 3 casais podem se sentar nessas poltronas de modo que nenhum
marido se sente separado de sua mulher?
2. Quantos são os anagramas da palavra �PARAGUAIO� que não
possuem consoantes adjacentes?
3. De quantos modos podemos selecionar p elementos do conjunto
{1, 2, . . . , n} sem selecionar dois números consecutivos?
1
2 MA12 - Unidade 19
4. Onze cientistas trabalham num projeto sigiloso. Por questões de
segurança, os planos são guardados em um cofre protegido por muitos
cadeados de modo que só é possível abri-los todos se houver pelo menos
5 cientistas presentes.
a) Qual é o número mínimo possível de cadeados?
b) Na situação do item a), quantas chaves cada cientista deve ter?
5. Depois de ter dado um curso, um professor resolve se despedir
de seus 7 alunos oferecendo, durante 7 dias consecutivos, 7 jantares
para 3 alunos cada. De quantos modos ele pode fazer os convites se
ele não deseja que um mesmo par de alunos compareça a mais de um
jantar?
6. Formam-se as combinações simples de classe 5 dos elementos
a1, a2, . . . , a12, as quais são escritas com os elementos em ordem cres-
cente de índices. Quantas são as combinações nas quais o elemento a8
ocupa o 3o lugar?
7. De quantos modos é possível colocar em �la h homens e m mulhe-
res, todos de alturas diferentes, de modo que os homens entre si e as
mulheres entre si �quem em ordem crescente de alturas?
8. Em uma escola, x professores se distribuem em 8 bancas exa-
minadoras de modo que cada professor participa de exatamente duas
bancas e cada duas bancas têm exatamente um professor em comum.
a) Calcule x.
b) Determine quantos professores há em cada banca.
Combinatória - Problemas 3
9. A partir de um conjunto de a atletas formam-se t times de k atletas
cada. Todos os atletas participam de um mesmo número de times e
cada par de atletas �ca junto no mesmo time um mesmo número de
vezes. Determine:
a) de quantos times cada atleta participa;
b) em quantos times cada par de atletas �ca junto.
10. De quantos modos podemos formar uma mesa de buraco com
4 jogadores?
11. De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com 5
meninos e 5 meninas de modo que pessoas de mesmo sexo não �quem
juntas?
12. De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com
6 crianças, de modo que duas delas, Vera e Isadora, não �quem juntas?
13. Quantas são as soluções inteiras e positivas de x+ y + z = 7?
14. Quantas são as soluções inteiras e não-negativas de x+y+z 6 6?
15. Uma indústria fabrica 5 tipos de balas que são vendidas em caixas
de 20 balas, de um só tipo ou sortidas. Quantos tipos de caixas podem
ser montados?
Sugestões aos Exercícios
1. Escolhida a ordem em que cada casal vai se sentar (marido à di-
reita, mulher à esquerda ou vice-versa), você tem que formar uma �la
4 MA12 - Unidade 19
com 3 casais e 4 lugares vazios.
2. Arrume primeiramente apenas as vogais e depois entremeie as con-
soantes.
3. Marque, no conjunto {1, 2, . . . , n} , com o sinal + os elementos
selecionados para o subconjunto e com o sinal − os elementos não
selecionados. Você tem que formar uma �la com p sinais + e n − p
sinais − , sem que haja dois sinais + adjacentes.
4. Um grupo de 4 cientistas, ABCD, é barrado por pelo menos um
cadeado. Na situação do número mínimo de cadeados, por exatamente
um cadeado. Batizemos esse cadeado de ABCD, A, B, C, D não têm
a chave desse cadeado e todos os outros cientistas a têm. Não pense
mais nos cadeados e sim nos seus nomes.
5. Prove inicialmente que cada aluno comparece a exatamente 3
jantares.
8. Um bom nome para o professor que pertence às bancas 1 e 2 é
professor 1− 2.
13. Chamando x de 1 + a, y de 1 + b e z de 1 + c, você tem de deter-
minar soluções inteiras e não-negativas para a+ b+ c = 4.
14. De�na, para cada solução, a folga, que é a diferença entre o valor
máximo que x+y+z poderia atingir e o valor que x+y+z realmente
atinge. Por exemplo, a solução x = 1, y = 2, z = 1 tem folga 2. Cada
solução da inequação x + y + z 6 6 corresponde a uma solução da
equação x+ y + z + f = 6 e vice-versa.
MA12 - Unidade 20
Atividade Especial
Semana de 20/06 a 26/06
Esta unidade será dedicada a resolver um problema de combinatória comuma inesperada aplicação.
O problema que resolveremos é um típico problema de contagem em pre-sença de simetrias, utilizando uma técnica que é empregada em muitas situ-ações onde dois elementos de um conjunto são identificados quando são ima-gens um do outro por certas transformações dadas.
Fabricando Pulseiras
Um artesão possui contas coloridas de n cores distintas com grande quanti-dade de contas de cada cor. Ele quer fabricar pulseiras com um determinadonúmero fixado de contas cada uma, levando em consideração que a moda daestação dita que cada pulseira tenha que ser formada com um número primop de contas e que nem todas as contas sejam de uma só cor.
2 Unidade 20
O seu processo de fabricação consiste em produzir lotes formados de to-das as correntes distintas que podem ser feitas com p contas enfiadas emum cordão, para serem posteriormente fechadas amarrando as extremidades,formando assim as pulseiras.
Por exemplo, com duas cores (n = 2): preto (P) e branco (B) e trêscontas em cada corrente (p = 3), o lote de fabricação consiste das seguintescorrentes:
−−−P −−−−− P −−−−− B −−−−−−P −−−−−B −−−−− P −−−−−−B −−−−− P −−−−− P −−−−−−B −−−−−B −−−−− P −−−−−−B −−−−− P −−−−− B −−−−−−P −−−−− B −−−−− B −−−−−−P −−−−− P −−−−− P −−−−−−B −−−−−B −−−−−B −−−
das quais ele descarta as duas últimas que são monocromáticas.Note que, estritamente falando, a primeira e a terceira corrente, bem
como a quarta e a sexta, são iguais entre si, pois é só girar uma de 180 grauspara obter a outra. Entretanto, para o nosso pouco perspicaz artesão, elassão consideradas distintas.
Ao vender cada lote de correntes, ele quer embalar em pacotes separadoscada conjunto de correntes que ao final produzem a mesma pulseira.
Note que, no exemplo acima, a primeira, a segunda e a terceira correnteformam pulseiras iguais, o mesmo ocorrendo com a quarta, a quinta e a sextacorrente.
Vejamos, inicialmente, quantas correntes terá cada lote. O princípio fun-damental da contagem nos diz que podemos formar np correntes distintas,como acima, com p contas de n cores. Dessas correntes, devemos retirar aque-las onde as p contas têm mesma cor, ou seja, as n correntes correspondentesa cada uma das n cores. Portanto, o número total de correntes é np − n.
Vejamos agora como separar o conjunto C dessas np − n correntes empacotes onde as correntes de cada pacote produzem pulseira iguais, de tal
Atividade Especial 3
modo que dois pacotes distintos não possuam nenhuma pulseira em comum.Note que se em uma corrente pegarmos a primeira conta e a colocarmos no
final da fila, obtemos uma corrente que produz uma pulseira igual à anterior.Por exemplo, com duas cores (n = 2): preto (P) e branco (B), considere
a corrente com p (= 3) contas
−−−P −−−−− P −−−−− B −−−Ao efetuarmos a transformação acima nesta corrente, obteremos a corrente
−−−P −−−−−B −−−−− P −−−
que produz uma pulseira igual à anterior, quando se amarram as pontas.Esta transformação nada mais é do que uma função de C em si mesmo,
que denotaremos por σ : C → C.Façamos algumas observações sobre essa função σ:
1) A função σ é uma bijeção de C. De fato, esta função é invertível cujainversa σ−1 é a função que desfaz o que σ faz; isto é, pega a última conta deuma corrente e a coloca no início da fila.
2) Dada uma corrente C, a corrente σ(C) produz a mesma pulseira.
Podemos compor cada uma das funções σ e σ−1 consigo mesma quantasvezes quisermos:
Define-se σ1 = σ e σ0 = Id, onde Id é a função identidade de C3) Convença-se de que σp = Id, ou seja, se repetirmos p vezes a operação σ
em uma corrente qualquer C, voltamos a ter a mesma corrente C.
4) Mostre que se 0 ≤ i < p, então σ−i(C) = σp−i(C), para todo C em C.5) Convença-se de que para C ∈ C, tem-se que σ(C) 6= C.Sugestão Mostre que se σ(C) = C, então σi(C) = C, para todo i, e com
4 Unidade 20
algum argumento simples mostre que a corrente C seria necessariamentemonocromática.
Vamos agora à preparação dos pacotes.Pegue uma corrente C1 de C ao acaso. Forme o pacote:
C1 ={C1, σ(C1), σ2(C1), . . . , σp−1(C1)
}.
Vamos inicialmente mostrar que se k é o menor inteiro positivo tal queσk(C1) = C1, então k = p.
De fato, pelas Observações 3 e 5, temos que 1 < k ≤ p. Pelo algoritmoda divisão euclidiana, podemos escrever
p = kq + r, com 0 ≤ r < k, (1)
logo
C1 = σp(C1) = σr(σk ◦ · · · ◦ σk︸ ︷︷ ︸
q vezes(C1)
)= σr(C1).
Portanto, σr(C1) = C1, o que implica que r = 0, pois k é o menor dosexpoentes positivos para os quais σk(C1) = C1 e r < k.
Portanto, de (1), temos que p = kq. Sendo p um número primo e sendok > 1, temos necessariamente k = p.
Em seguida, vamos mostrar que o pacote C1, acima, possui p elementosdistintos.
Suponha que
σi(C1) = σj(C1), para alguns i e j, com 0 ≤ i ≤ j < p,
Portanto, σj−i(C1) = C1 e como 0 ≤ j − i < p, temos que j = i, em virtudeda minimalidade de p com a propriedade de que σp(C1) = C1.
Atividade Especial 5
Para gerar o segundo pacote, tomamos uma corrente C2 qualquer que nãoesteja no pacote C1 e formamos o pacote
C2 ={C2, σ(C2), σ2(C2), . . . , σp−1(C2)
},
que possui p elementos distintos, como verificado anteriormente para o pacoteC1.
Vamos agora mostrar que C1 ∩ C2 = ∅.De fato, se σi(C1) = σj(C2), com 0 ≤ i < p e 0 ≤ j < p, então
C2 =
{σi−j(C1), se i ≥ j
σp−(j−i)(C1), se i < j,
o que mostraria que C2 ∈ C1; contradição.Para formar o terceiro pacote, tome C3 6∈ C1 ∪ C2 e tome
C3 ={C3, σ(C3), σ2(C3), . . . , σp−1(C3)
},
que possui p elementos distintos e não tem elementos em comum com ospacotes C1 e C2 (mesmo raciocínio que acima).
Continuamos, desse modo, a formar pacotes até esgotarmos todos os el-ementos de C. Denotando por N o número de pacotes assim obtidos, temosentão que
Np = np − n.
Portanto, chegamos à conclusão de que se p é um número primo, então, paratodo número natural n, o número np − n é divisível por p. Assim, o númeroN de pacotes de pulseiras iguais que o artesão produz em cada lote de suaprodução é dado por
N =np − n
p.
A Conexão Inesperada
A contagem que acabamos de realizar dá uma prova combinatorial de umdos teoremas mais notáveis da aritmética, o Pequeno Teorema de Fermat,cujo enunciado damos a seguir.
6 Unidade 20
Pequeno Teorema de Fermat Seja p um número primo. Dado um númeronatural n, qualquer, tem-se que p divide o número np − n.
Este teorema foi divulgado por Fermat em uma de suas cartas de 1640,sem porém divulgar a sua demostração, que ele classificava como trabalho-sa. As primeiras provas que se conhecem foram dadas por Leibniz (nãopublicada) e por Euler, cerca de um século mais tarde. Este teorema nãopara de surpreender pelas aplicações que tem encontrado na matemática e,mais recentemente, na criptografia, conforme teremos oportunidade de verna disciplina Aritmética I, do póximo semestre. A prova combinatorial quedemos acima é devida a S. W. Golomb1.
Só para apreciar o conteúdo aritmético desse resultado, vamos analisá-lopara p igual a 2, 3 e 5.
Para p = 2, temosn2 − n = n(n− 1),
e o resultado é óbvio, pois de dois inteiros consecutivos, um deles é par.Para p = 3, temos
n3 − n = n(n2 − 1) = n(n− 1)(n + 1),
e o resultado é também óbvio, pois de três inteiros consecutivos, um deles émúltiplo de três.
Para p = 5, temos
n5 − n = n(n− 1)(n + 1)(n2 + 1),
e o argumento acima já não funciona mais. Pode-se provar o resultado, nestecaso, supondo que se nenhum dos números n − 1, n, n + 1 é múltiplo de 5,então n2 + 1 é múltiplo de 5.
Deixamos ao leitor a tarefa de tentar mostrar diretamente o caso p = 7.A prova aritmética do Pequeno teorema de Fermat será dada na disciplina
Aritmética I, do próximo semestre.1publicada no artigo Combinatorial proof of Fermat’s little theorem. American
Mathematical Monthly, 63(10) pag. 718, Dezembro de 1956. Reproduzido emhttp://www.math.upenn.edu/∼ kennardl/math170/reading/Golomb_FLTnecklaces.pdf
MA 12 - Unidade 21
Probabilidade
Semana de 27/06 a 03/07
Iniciamos, nesta unidade, o estudo de Probabilidade, uma das aplicacoes da Combinatoria. A Teoria
de Probabilidade, como diz o nome, e o estudo de fenomenos que envolvem a incerteza e se originou
como instrumento para modelar jogos de azar, como cartas e dados.
Probabilidade e a base para a Estatıstica, ciencia utilizada nas mais diversas atividades humanas,
sendo fundamental em varias areas, como Ciencias Humanas, Ciencias da Saude, Economia e Financas,
Ecologia e Teoria dos Jogos, entre muitos outros. Do ponto de vista teorico, atualmente, a Teoria de
Probabilidade e utilizada como ferramenta em algumas areas da Fısica e, cada vez mais, em areas da
propria Matematica. Por esse motivo, o ensino de Probabilidade no Ensino Medio e importante e atual.
Esse assunto e muito vasto, mas aqui so trataremos de alguns conceitos basicos e suas aplicacoes.
Definem-se o conjunto espaco amostral e a nocao de probabilidade como sendo uma funcao numerica
com domınio no conjunto das partes desse espaco. Os subconjuntos do espaco amostral sao os chama-
dos eventos. As propriedades basicas da funcao probabilidade sao dadas no Teorema 1, que bastarao
para resolver os problemas dessa unidade.
No final dessa unidade, estao propostos 9 problemas; resolva quantos puder.
Vıdeos associados:
1. PAPMEM. Livro Temas e Problemas Elementares. Probabilidade, Prof. Paulo Cezar Carvalho.
Janeiro 2009, Volume 2 (nıvel fundamental).
2. PAPMEM. Probabilidade, Prof. Paulo Cezar Carvalho. Segunda Edicao, Julho 2006, Volume 2
(nıvel fundamental).
MA12 - Unidade 21
Probabilidade
Semana 27/06 a 03/07
1 Conceitos Básicos
Experiências que repetidas sob as mesmas condições produzem geral-
mente resultados diferentes são chamadas de aleatórias. Por exemplo,
retira-se uma carta de um baralho e veri�ca-se se ela é ou não um
curinga; compra-se uma lâmpada e veri�ca-se se ela queima ou não
antes de 100h de uso; joga-se um dado até se obter um seis e conta-se
o número de lançamentos.
Chamaremos de espaço amostral o conjunto de todos os resulta-
dos possíveis de uma experiência aleatória. Representaremos o espaço
amostral por S e só vamos considerar aqui o caso de S ser �nito ou
1
2 MA12 - Unidade 21
in�nito enumerável. Os subconjuntos de S serão chamados de even-
tos. Diremos que um evento ocorre quando o resultado da experiência
pertence ao evento.
Exemplo 1. Lança-se uma moeda e observa-se a face que cai voltada
para cima. O espaço amostrai é S = {cara, coroa} e há 4 eventos: ∅,
A = {cara}, B = {coroa} e S. ∅ é um evento que não ocorre nunca e
é chamado de evento impossível. O evento A ocorre se e somente se o
lançamento resulta em cara. S ocorre sempre e é chamado de evento
certo.
Exemplo 2. Lança-se um dado e observa-se a face que cai voltada
para cima. O espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e há 64 eventos.
Alguns desses eventos são: ∅, que não ocorre nunca; S, que ocorre
sempre; A = {2, 4, 6}, que ocorre se e somente se o resultado do lança-
mento for par, etc.
Se o resultado do lançamento for seis, ocorrem os eventos {6}, {5, 6},{2, 4, 6} etc.
Exemplo 3. Se A e B são eventos em um mesmo espaço amostral
S, A ∪ B é o evento que ocorre se e somente se ocorre o evento A ou
ocorre o evento B, isto é, ocorre pelo menos um dos eventos A e B;
A∩B é o evento que ocorre se e somente se ocorrem ambos os eventos
A e B; A − B é o evento que ocorre se e somente se ocorre o evento
A mas não ocorre o evento B; A, chamado de evento oposto a A, é o
evento que ocorre se e somente se o evento A não ocorre.
Associaremos a cada evento um número, que chamaremos de pro-
Probabilidade 3
babilidade do evento e que traduzirá nossa con�ança na capacidade
do evento ocorrer.
De�nição. Uma probabilidade é uma função que associa a cada
evento A um número P (A) de forma que:
i) Para todo evento A, 0 6 P (A) 6 1.
ii) P (S) = 1
iii)Se A e B são eventos mutuamente excludentes, isto é, even-
tos que não podem ocorrer simultaneamente (A ∩ B = ∅) então
P (A ∪B) = P (A) + P (B).
Exemplo 4. Lança-se uma moeda e observa-se a face que cai voltada
para cima. O espaço amostral é S = {cara, coroa} e há 4 eventos:
∅ , A = {cara}, B = {coroa}, S. Uma probabilidade que pode ser