MA111 - Cálculo I Aula 3 - Os problemas da tangente e da velocidade. O limite de uma função. Marcos Eduardo Valle
MA111 - Cálculo IAula 3 - Os problemas da tangente e da velocidade.
O limite de uma função.
Marcos Eduardo Valle
O Problema da Tangente
Tangente = “tocando”.
Uma tangente é uma reta que toca uma curva e deve ter amesma inclinação da curva no ponto tocado.
Secante = “corta”.Uma secante é uma reta que intersecta uma curva em doispontos.
Reta:Lembre-se que uma reta pode ser descrita pela equação
y = mx + b.
Exemplo:
Encontre a equação da reta tangente à parábola y = x2 no pontoP(1,1).
Considere um ponto Q(x , x2), com P 6= Q, ou seja, x 6= 1.
A inclinação da reta secante PQ é
mPQ =x2 − 1x − 1
.
Para Q(0,0), temos mPQ = 1.
Para Q(0.5,0.25), temos mPQ = 1.5.
Para Q(0.9,0.81), temos mPQ = 1.9.
Para Q(2,4), temos mPQ = 3.
Para Q(1.5,2.25), temos mPQ = 2.5.
Para Q(1.1,1.21), temos mPQ = 2.1.
Esses resultados sugerem que a reta tangente tem inclinaçãom = 2.
Sua equação é
y − 1 = 2(x − 1)⇐⇒ y = 2x − 1.
Numa linguagem mais formal, dizemos que a inclinação da retatangente é o limite das inclinações das retas secantes.
Simbolicamente, escrevemos:
limQ→P
mPQ = m,
Noexemplo, temos
limx→1
x2 − 1x − 1
= 2.
O Problema da Velocidade
Velocidade Média =Mudança de posição
tempo decorrido
Velocidade média de uma bola lançada do alto da Torre CN, emToronto, a 450m acima do solo.
Intervalo de Tempo (s) Velocidade Média (m/s)5 ≤ t ≤ 6 53.9
5 ≤ t ≤ 5.1 49.495 ≤ t ≤ 5.01 49.0495 ≤ t ≤ 5.001 49.0049
Podemos dizer que a velocidade instantânea em t = 5 s é v = 49m/s.
O Limite de Uma FunçãoO problema da tangente e o problema da velocidade estãorelacionados ao conceito de limite de uma função.
Ideia do conceito de limite de uma função:
Suponha que uma função f seja definida próximo de a.Escrevemos
limx→a
f (x) = L ⇐⇒ f (x)→ L quando x → a,
e dizemos
“O limite de f (x), quando x tende a a, é L”
se pudermos tomar f (x) arbitrariamente próximos de L tomando xpróximo de a.
limx→1
x − 1x2 − 1
= 0.5.
limt→0
√t2 + 9− 3
t2 =16.
Cuidado, construir uma tabela com a calculadora pode darvalores falsos!
limx→0
sin xx
= 1.
limx→0
sinπ
xnão existe.
Considere a função de Heaviside:
H(x) =
{0, x < 01, x ≥ 0.
limx→0
H(x) não existe.
Limites Laterais
Limite à esquerda
Dizemos que o limite à esquerda de f (x) quando x tende a a éigual a L e escrevemos
limx→a−
f (x) = L,
se pudermos tornar os valores de f (x) arbitrariamente próximosde L para x suficientemente próximo de a com x < a.
Limites Laterais
Limite à direitaDizemos que o limite à direita de f (x) quando x tende a a é iguala L e escrevemos
limx→a+
f (x) = L,
se pudermos tornar os valores de f (x) arbitrariamente próximosde L para x suficientemente próximo de a com x > a.
Limites Laterais e o Limite
Relação entre os Limites
limx→a
f (x) = L ⇐⇒ limx→a−
f (x) = L e limx→a+
f (x) = L.
Limites Infinitos
Limite InfinitoA notação
limx→a
f (x) = +∞,
significa que podemos fazer os valores de f (x) tão grande quantoquisermos tomando x suficientemente próximo de a, x 6= a.
Limites Laterais:Notação análoga para limites laterais infinito!
Limites Infinitos
Limite Menos InfinitoAnalogamente,
limx→a
f (x) = −∞,
significa que podemos fazer os valores de f (x) arbitrariamentegrandes, porém negativos, tomando x suficientemente próximo dea, x 6= a.
Limites Laterais:Notação análoga para limites laterais menos infinito!
limx→0
1x2 = +∞.
limx→3+
2xx − 3
= +∞ e limx→3−
2xx − 3
= −∞.
Assíntota Vertical
A reta x = a é uma assíntota vertical de y = f (x) se o limite àesquerda ou à direita (ou ambos), quando x tende a a, é infinitoou menos infinito.
A função tan(x) possui assíntotas verticais em x = (2n + 1)π/2,para qualquer n ∈ Z.
Considerações Finais
Iniciamos a aula de hoje apresentamo o problema da retatangente e o problema da velocidade.
Esses dois problemas estão relacionados à noção de limite.
O limite de uma função é usado para estudar o comportamentoda função próximo de um ponto que, muitas vezes, não pertenceao domínio da função.
Na próxima aula, apresentaremos a definição formal do conceitode limite.
Muito grato pela atenção!