M2-Glava2 Final 2010

СОДРЖИНА II. Реална функција од повеќе реални променливи ............................... 1

1. Дефиниција на реална функција од повеќе променливи ................................... 1

1.1. n-димензионална точка ...................................................................................... 1 1.2. Низи од n-димензионални точки....................................................................... 2 1.3. Функција од повеќе реални променливи ......................................................... 3 1.4. Гранична вредност и непрекинатост на реална функција

од повеќе реални променливи ........................................................................... 6 2. Диференцијално сметање на реална функција од повеќе

реални променливи ................................................................................................. 10 2.1. Парцијални изводи од прв ред ........................................................................ 10 2.2. Диференцијабилност на функција од повеќе променливи

Прв диференцијал............................................................................................. 12 2.3. Парцијални изводи од прв ред и прв диференцијал од сложена функција 19 2.4. Парцијални изводи од прв ред и прв диференцијал од имплицитно

зададена функција ............................................................................................ 20 2.5. Извод на функција по правец. Градиент ....................................................... 21 2.6. Геометриска интерпретација на парцијалните изводи од прв ред .............. 23 2.7. Tангентна рамнина и нормала на површина ................................................. 24 2.5. Геометриска интерпретација на првиот диференцијал ................................ 27 2.6. Парцијални изводи и диференцијали од повисок ред .................................. 28 2.9. Тајлорова теорема ............................................................................................ 32 2.10. Екстремни вредности на функција од повеќе реални променливи ............. 34

1

II. Реална функција од повеќе реални променливи 1. Дефиниција на реална функција од повеќе променливи

1.1. n-димензионална точка

Ако на секој елемент од множеството X ⊆ на единствен начин му се придружи елемент од множеството Y ⊆ , тогаш велиме дека е дефинирана реална функција од една реална променлива :f X Y→ . Познато е дека на секоја точка од реалната права може да и се придружи реален број x∈ , и обратно, на секој реален број еднозначно му одговара точка од реалната права. Слично, секоја точка од една рамнина може да се окарактеризира со подредена двојка реални броеви ( ),x y , а исто така, секоја точка во тридимензионалниот простор може да се окарактеризира со една подредена тројка реални броеви ( ), ,x y z . Кога се работи за рамнина и простор потребно е да се избере соодветен координатен систем.

Дефиниција. Секоја подредена n-торка реални броеви ( )1 2, , , nx x x… , n∈ се

нарекува n-димензионална точка ( )1 2A , , , nx x x… .

Реалниот број , 1ix i n≤ ≤ е i-та координата на точката А. Две точки

( )1 2A , , , nx x x… и ( )1 2B , , , ny y y… се еднакви ако и само ако им се еднакви соодветните координати, т.е. , 1i ix y i n= ≤ ≤ .

Множеството подредени n-торки (т.е. n-димензионални точки) го означуваме со n , n∈ . Во n дефинираме операции собирање точки и множење точка со број на

следниов начин: ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2, , , , , , , , ,n n n nx x x y y y x y x y x y+ = + + +… … … ,

( ) ( )1 2 1 2, , , , , , , е реална константа.n nk x x x kx kx kx k=… …

Дефиниција. Реалниот број ( ) ( ) ( ) ( )22 21 1 2 2A, B n nd x y x y x y= − + − + + − се

нарекува растојание меѓу точките ( )1 2A , , , nx x x… и ( )1 2B , , , ny y y… во n .

За 1n = , ( ) ( )21 1 1 1A, Bd x y x y= − = − , за 2n = , ( ) ( ) ( )2 2

1 1 2 2A, Bd x y x y= − + − , а за

3n = , ( ) ( ) ( ) ( )22 21 1 2 2 3 3A, Bd x y x y x y= − + − + − .

Множеството од сите n-димензионални точки за кои е воведен поимот

растојание со горната дефиниција, се вика n-димензионален Евклидски простор.

Дефиниција. Множеството од сите точки ( )1 2X , , , nx x x… за кои ( )A, Xd ε< ,

0ε > , т.е. ( ) ( ) ( )22 21 1 2 2 n nx a x a x a ε− + − + + − < , каде што ( )1 2A , , , na a a… е

точка во n , се нарекува ε-околина на n-димензионалната точка А.

2

За 1n = ε-околина на точката A( )a е отворениот интервал со центар во A( )a и должина 2ε, т.е. отворениот интервал ( , )a aε ε− + . За 2n = тоа е внатрешноста на круг со центар во точката ( )1 2A ,a a и радиус ε, зададена со неравенството

( ) ( )2 2 21 1 2 2x a x a ε− + − < , а за 3n = тоа е внатрешноста на сфера со центар во точката

( )1 2 3A , ,a a a и радиус ε, зададена со неравенството ( ) ( ) ( )22 2 21 1 2 2 3 3x a x a x a ε− + − + − < .

1.2. Низи од n-димензионални точки Ако на секој природен број k според некое правило му придружиме единствена

n-димензионална точка ( )1 2A , , ,k k k nka a a… добиваме низа од n-димензионални точки

1 2A , A , ,A ,k… … , која ја означуваме со { } 1Ak k

∞

=. Точката ( )1 2A , , ,k k k nka a a… се

нарекува општ член на низата.

Дефиниција. Точката ( )1 2A , , , nna a a ∈… , n∈ се нарекува граница или

лимес на низата { }Ak ако за секој 0>ε , постои природен број N кој зависи од ε (понатаму означуваме ( )εN ), така што ( )A , And ε< кога ( )εNn > и пишуваме lim A Akk→∞

= , или A Ak → кога k →∞ .

Од дефиницијата следува дека точката ( )1 2A , , , na a a… е гранична вредност

на низата { }Ak ако секоја ε-околина на точката А содржи бесконечно многу членови на низата, а надвор од неа се наоѓаат конечно многу членови на низата

1 2 ( )A , A , , AN ε… .

Низата за која постои гранична вредност се вика конвергентна низа. Својствата на низите од реални броеви може да се пренесат и на низите од n-

димензионални точки. Нека е дадена низата { }Ak од n-димензионални точки:

( ) ( ) ( )1 11 21 1 2 12 22 2 1 2A , , , , A , , , , , A , , , ,n n k k k nka a a a a a a a a… … … … …

За секој 1, 2, ,i n= формираме по една низа { }ika од i-тите координати на точките

Ak при што добиваме n низи од реални броеви { } { } { }1 2, , ,k k nka a a… кои ги

нарекуваме компонентни низи на низата { }Ak . И обратно, од n низи реални броеви може да се формира една низа од n-димензионални точки.

Теорема 2.1. Низата од n-димензионални точки { }Ak е конвергентна со

граница ( )1 2A , , , na a a… ако и само ако секоја од компонентните низи

{ } { } { }1 2, , ,k k nka a a… е конвергентна со граница 1 1lim kka a

→∞= , 2 2lim kk

a a→∞

= , ...,

lim nk nka a

→∞= .

3

Пример. Низата { }Ak е зададена со општиот член 2

2 3A ,k k k⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

. Да се определат

неколку нејзини први членови. Дали низата е конвергентна?

( )1 2 3 42 2 2

3 2 3 1 3A 2,3 , A 1, , A , , A , , 2 3 3 2 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

… .

Од тоа што 2lim 0

k k→∞= и 2

3lim 0k k→∞

= следува lim (0,0)kkA

→∞= . ▲

1.3. Функција од повеќе реални променливи

Дефиниција. Нека nX ⊆ , а mY ⊆ , ,n m∈ се непразни множества. Ако по некое правило, на секој елемент од множеството X му се придружува единствен елемент од множеството Y, тогаш велиме дека е зададена функција од n реални променливи. Најчесто функцијата :f X Y→ е зададена само со правилото на придружување

во облик ( )1 2, , , ny f x x x= … . Множеството nX ⊆ го нарекуваме дефинициона област или домен и го означуваме со fD .

Множеството ( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2, , , , , , mn n ff X f x x x x x x D= ∈ ⊆… … го нарекуваме

множество вредности или кодомен на функцијата и го означуваме со fV . Бројот

fy V∈ се вика зависно променлива или слика на елементот ( )1 2, , , nx x x… , а

( )1 2, , , nx x x… е независно променлива или аргумент на функцијата f . Ако 1=m тогаш функцијата се нарекува реална функција. За 1n m= = имаме

реална функција од една реална променлива. Ако 2, 1n m= = , тогаш со функцијата :f X Y→ , 2X ⊆ , Y ⊆ на секоја

точка ( )1 2,x x X∈ и се придружува единствен реален број 1 2( , )y f x x= . Ваквата функција се нарекува реална функција од два реални аргументи (од две реални променливи). Така на пример, функцијата 2 2

1 2y x x= + е реална функција од две реални променливи.

Во општ случај, за , 1n m∈ = со функцијата :f X Y→ , nX ⊆ , Y ⊆ на секоја точка ( )1 2, , , nx x x… и се придружува единствен реален број

( )1 2, , , ny f x x x= … , и таа се нарекува реална функција од n реални променливи.

За 1, 1n m> > , со функцијата :f X Y→ , nX ⊆ , mY ⊆ на секоја точка ( )1 2, , , nx x x… и се придружува единствена точка ( ) ( )1 2 1 2, , , , , ,m ny y y f x x x=… … , и таа се нарекува векторска функција од n реални променливи. Притоа,

( )1 1 1 2, , , ny f x x x= … , ( )2 2 1 2, , , ny f x x x= … , . . . , ( )1 2, , ,m m ny f x x x= … се реални

функции од n реални променливи дефинирани над множеството nX ⊆ и се нарекуваат компоненти на векторската функција f .

Понатаму функциите кои ќе ги изучуваме се реални функции од повеќе реални променливи.

4

Нека ( )1 2, , , ny f x x x= … е реална функција од n реални променливи. Множеството подредени n+1-торки

( )( ) ( ){ }1 2 1 2 1 2, , , , , , , , , ,f n n n fG x x x f x x x x x x D= ∈… … …

се вика график на функцијата .: YXf →

График на реална функција од една реална променлива

( ): ,f y f x→ = е множеството точки

( ) ( ){ }, , fx y y f x x D= ∈

и претставува крива во рамнината 2 . График на реална функција од две

реални променливи ( )2: , ,f z f x y→ =

е множеството точки ( ) ( ) ( ){ }, , , , , fx y z z f x y x y D= ∈

и претставува површина во просторот 3 .

( ),z f x y=

Vf

( ),x yDf

( ), ,x y z

На пример, z ax by c= + + ( , a b и c се константи) е линеарна функција од две реални променливи и нејзиниот график е рамнина во 3 (слика долу лево), а графикот на функцијата sin sinz x y= + е површината чиј дел е претставен на сликата долу десно.

z ax by c= + +

sin sinz x y= +

Пример. Да се определи дефиниционата област на функцијата

2 2 2 2( , ) ln(4 ) 1z f x y x y x y= = − − + + − .

5

1 2x

1

2

y

Дефиниционата област на логаритамската функција е определена со неравенството 2 24 0x y− − > , а дефиниционата област на функцијата квадратен корен е определена со неравенството 2 2 1 0x y+ − ≥ . Пресек на добиените дефини-циони области е кружниот прстен 2 21 4x y≤ + < (слика горе десно). ▲

Функциите од повеќе променливи, како и функциите од една променлива, може

да се задаваат аналитички, табеларно и графички. Најчесто функцијата се задава со правилото (формулата) со кое на секој елемент

од множеството X му се придружува единствен елемент од множеството Y . Во тој случај велиме дека функцијата f е зададена аналитички. Постојат три облици на аналитичко задавање на функциите: експлицитен, имплицитен и параметарски облик.

Ако правилото на реална функција од n реални променливи :f X Y→ е зададено во облик ( )1 2, , , ny f x x x= … , тогаш велиме дека функцијата е зададена експлицитно.

Ако постои реална функција од 1n + променливи :F X Y× → , каде што nX ⊆ , Y ⊆ , ( ){ } 1

1 2 1 2, , , , ( , , , ) , nn nX Y x x x y x x x X y Y +× = ∈ ∈ ⊆… … ,

( )1 2, , , ny f x x x= … , така што ( )( )1 2 1 2, , , , , , , 0n nF x x x f x x x =… … , тогаш функцијата :f X Y→ е зададена имплицитно.

Ако постојат реални функции : , 1,i T i nϕ → = и :Tψ → , така што

( )i ix tϕ= , ( )y tψ= , , 1,t T i n∈ = , тогаш велиме дека функцијата е зададена во параметарски облик. Променливата t се вика параметар на функцијата.

Забелешка. Имплицитниот и параметарскиот облик често пати се користат за дефинирање површини, кои не мораат да бидат функции. На пример, со равенката

2 2 2 2x y z r+ + = , 0r > без ограничувања за y , дефинирана е една површина-сфера со центар во координатниот почеток и радиус r . Но со дадената равенка

2 2 2 2x y z r+ + = , 0r > не се дефинира функција, бидејќи на секоја вредност ( , )x y , 2 2 2x y r+ < и одговараат две вредности за z , а тоа се 2 2 2z r x y= ± − − . Притоа,

2 2 2z r x y= − − е функција чиј график е горната, а 2 2 2z r x y= − − − е функција чиј график е долната полусфера со центар во координатниот почеток и радиус r .

Збир, разлика, производ и количник на две функции од повеќе реални

променливи, како и производ на функција од повеќе реални променливи со константа се дефинира на ист начин како и кај реални функции од една реална променлива.

6

Нека ( )1 2, , , nu f x x x= … е реална функција од n реални променливи, каде што

1 2( , , , )i i kx t t tϕ= … , 1,i n= се реални функции од k реални променливи. Тогаш велиме дека е дефинирана сложена реална функција u од k реални променливи, зададена со равенката ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( , , , ) ( , , , ), ( , , , ), , ( , , , )k k k n ku t t t f t t t t t t t t tϕ ϕ ϕ=… … … … … .

1.4. Гранична вредност и непрекинатост на реална функција

од повеќе реални променливи

Дефиниција. Нека множеството nX ⊆ , n∈ има бесконечно многу членови. Точката ( )1 2A , , , na a a… е точка на натрупување на множеството X , ако секоја ε-околина на точката А содржи барем еден елемент од мно-жеството X различен од A .

Се покажува дека ако А е точка на натрупување на множеството X , тогаш

секоја ε-околина на точката А содржи бесконечно многу елементи од множеството X различни од А.

Дефиниција. Нека ( )1 2A , , , na a a… е точка на натрупување за множеството n

fD ⊆ и : mff D → , ,n m∈ . Точката ( )1 2B , , , m

mb b b ∈… е гранична

вредност на функцијата f во точката ( )1 2A , , , na a a… ако ( ) ( )( )0 0ε δ ε∀ > ∃ >

така што ( )( )1 2X , , n fx x x D∀ ∈… важи ( (X), B)d f ε< кога 0 (X,A)d δ< < и пишуваме

X Alim (X) Bf→

= или ( ) ( )1 1

2 2

1 2 1 2lim , , , , , , .

n n

n mx ax a

x a

f x x x b b b→→

→

=… …

Се покажува дека ако постои граничната вредност тогаш таа е единствена. Исто

така, ако A е точка на натрупување на дефиниционата област на функциите f и g и функциите f и g имаат во точката A гранични вредности B и C соодветно, тогаш

и функциите f g± , f g⋅ , kf (k-константа) и fg

имаат во точката A гранични вред-

ности B C± , B C⋅ , kB и BC

( 0C ≠ ), соодветно.

Ќе разгледаме случај на функција од две реални променливи, ( ),z f x y= .

Дефиниција. Нека ( )0 0A ,x y е точка на натрупување за множеството 2

fD ⊆ . Бројот L∈ е гранична вредност на функцијата f во точката

( )0 0A ,x y ако ( ) ( )( )0 0ε δ ε∀ > ∃ > така што ( )( )X , fx y D∀ ∈ важи ( , )f x y L ε− <

кога ( ) ( )2 20 00 x x y y δ< − + − < и пишуваме

Alim (X)

Xf L

→= или ( ) ( )

0 0 0

0

( , ) ( , )lim , lim , .x x x y x yy y

f x y f x y L→ →→

= =

7

Граничната вредност ( ) ( ) 00 0

0

, ,lim ( , ) lim ( , )

x xx y x yy y

L f x y f x y→→→

= = се нарекува тотална или

двојна гранична вредност на функцијата f во точката ( )0 0,x y . Аналогна особина на сендвич-функција која ја користевме кај реални функции од една реална променлива важи и за рални функции од две реални променливи. Оваа особина најчесто се користи при докажување дека двојната гранична вредност постои и е еднаква на нула. Ќе нагласиме дека ако постои L и ако постои граничната вредност по некоја крива по која се доближуваме до точката ( )0 0A ,x y , тогаш овие гранични вредности се еднакви. Најчесто во задачите ќе користиме дека ако не постои гранична вредност по некоја крива, или граничните вредности по различни криви постојат, но се разликуваат, тогаш L не постои.

M( , )x y0 0

Пример 1. Дали постои двојната гранична вредност на функцијата ( )2 2

2 2, x yf x yx y−

=+

во точката (0,0). Ќе покажеме дека граничните вредности по правите 0x = и 0y = постојат, но се разликуваат, од каде ќе заклучиме дека не постои L.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 2, 0, 0 , 0, 0 , 0, 00

lim lim lim ( 1) 1,x y x y x y

x

x y yx y y→ → →

=

− −= = − = −

+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 2, 0, 0 , 0, 0 , 0, 00

lim lim lim 1 1.x y x y x y

y

x y xx y x→ → →

=

−= = =

+ ▲

Граничните вредности 0 0

12 lim lim ( , )x x y y

L f x y→ →

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

и 0 0

21 lim lim ( , )y y x x

L f x y→ →

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

се

нарекуваат итерирани, сукцесивни или последователни гранични вредности на функцијата f во точката ( )0 0,x y .

Теорема 2.2. Ако постои двојната гранична вредност ( ) ( )0 0, ,

lim ( , )x y x y

L f x y→

= и ако

постои една од последователните гранични вредности 0 0

12 lim lim ( , )x x y y

L f x y→ →

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

или 0 0

21 lim lim ( , )y y x x

L f x y→ →

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, тогаш 12 21L L L= = .

Јасно е дека ако постои L , тогаш не мора да постојат последователните граници

12L и 21L , како што покажува и следниот пример. Пример 2. Да се определат последователните и двојната гранична вредност на

функцијата ( ) 1 1, ( )sin sinf x y x yx y

= + во точката (0,0).

8

Од тоа што 0

1lim sinx x→

не постои следува дека не постојат

12 0 0

1 1lim lim ( )sin sinx y

L x yx y→ →

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ и 21 0 0

1 1lim lim ( )sin siny x

L x yx y→ →

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠.

Ќе покажеме дека постои двојната гранична вредност L и 0L = . Користејќи ја особината на сендвич-функција, од неравенството

1 1 1 10 ( )sin sin sin sin | | | |x y x y x y x yx y x y

≤ + = + ≤ + ≤ +

и од тоа што ( ) ( )

( ), 0, 0

lim | | | | 0x y

x y→

+ = добиваме ( ) ( ), 0, 0

1 1lim ( )sin sin 0x y

x yx y→

+ = . Следува дека

( ) ( ), 0, 0

1 1lim ( )sin sin 0x y

x yx y→

+ = . ▲

Последица. Ако постојат 12L и 21L и 12 21L L≠ , тогаш L не постои.

Пример 3. Да се определат последователните и двојната гранична вредност на функ-

цијата ( )3 2

2 2

3 6, x yf x yx y−

=+

во точката (0,0).

3 2 3

12 2 2 20 0 0 0 0 0

3 6 3lim lim ( , ) lim lim lim 3 lim 0,x y x y x x

x y xL f x y xx y x→ → → → → →

⎛ ⎞−⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ +⎝ ⎠

3 2 2

21 2 2 20 0 0 0 0 0

3 6 6lim lim ( , ) lim lim lim lim( 6) 6y x y x x x

x y yL f x yx y y→ → → → → →

⎛ ⎞− −⎛ ⎞= = = = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ +⎝ ⎠.

Бидејќи 12 21L L≠ заклучуваме дека L не постои во точката (0,0). ▲

Јасно е дека ако постојат 12L и 21L и 12 21L L= , може, но не мора да постои L, како што покажува следниот пример. Пример 4. Да се определат последователните и двојната гранична вредност на функ-

цијата ( )3

6 2, x yf x yx y

=+

во точката (0,0).

3

12 6 20 0 0 0 0lim lim ( , ) lim lim lim 0 0,x y x y x

x yL f x yx y→ → → → →

⎛ ⎞⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ +⎝ ⎠

3

21 6 20 0 0 0 0lim lim ( , ) lim lim lim 0 0y x y x y

x yL f x yx y→ → → → →

⎛ ⎞⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ +⎝ ⎠.

Значи 12L и 21L постојат и се еднакви, но оттука не следува дека постои L. Ќе покажеме дека граничните вредности по правата 0x = и кривата 3y x= постојат, но се разликуваат, од каде ќе заклучиме дека не постои L.

( ) ( ) ( ) ( )

3

6 2 2, 0, 0 , 0, 00

0lim lim 00x y x y

x

x y yx y y→ →

=

⋅= =

+ +,

( ) ( ) ( ) ( )3

3 6

6 2 6 6, 0, 0 , 0, 0

1lim lim2x y x y

y x

x y xx y x x→ →

=

= =+ +

. ▲

9

Аналогно како кај реална функција од една реална променлива се дефинира двојна гранична вредност на функцијата ( )2: , ,f z f x y→ = кога ( , ) ( , )x y → ±∞ ±∞ .

Дефиниција. Нека ( )0 0A ,x y е точка на натрупување за множеството 2

fD ⊆ . Функцијата ( )2: , ,f z f x y→ = е непрекината во точката

( )0 0A , fx y D∈ ако ( ) ( )( )0 0ε δ ε∀ > ∃ > така што ( )( )X , fx y D∀ ∈ важи

( ) ( )0 0, ,f x y f x y ε− < кога ( ) ( )2 20 00 x x y y δ< − + − < .

Значи, реалната функцијата f е непрекината во точката ( )0 0A ,x y ако и само ако:

1. f е дефинирана во точката ( )0 0,x y , 2. постои тоталната гранична вредност

( ) ( )0 0, ,lim ( , )

x y x yf x y

→∈ ,

3. ( ) ( )

( )0 0

0 0, ,lim ( , ) ,

x y x yf x y f x y

→= .

Се покажува дека, ако f и g се непрекинати функции во точката ( )0 0A ,x y ,

тогаш во точката ( )0 0A ,x y се непрекинати и функциите f g± , f g⋅ , c f⋅ ( c е

константа) и fg

, ако (A) 0g ≠ .

Функцијата е непрекината на множеството 2X ⊆ ако е непрекината во секоја точка од тоа множество. Ако еден од горните три услови не е исполнет, тогаш точката ( )0 0,x y е точка на прекин за функцијата f. Слично се дефинира непрекинатост на реална функција од повеќе реални променливи.

Аналогна теорема за непрекинатост на сложена функција важи и кај функции од повеќе реални променливи како и кај функции од една реална променлива. Ако функциите iϕ , 1,i n= се непрекинати во точката 1 2( , , , )ka a a… , а функцијата

( )1 2, , , nu f x x x= … е непрекината во точката

1 1 2 2 1 2 1 2( ( , , , ), ( , , , ), , ( , , , ))k k n ka a a a a a a a aϕ ϕ ϕ… … … … , тогаш и сложената функција

( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( , , , ) ( , , , ), ( , , , ), , ( , , , )k k k n ku t t t f t t t t t t t t tϕ ϕ ϕ=… … … … … е непрекината во точката 1 2A( , , , )ka a a… .

Пример 5. Функцијата ( ) 3 2, 3 6f x y x y= + е непрекината во секоја точка од нејзината

дефинициона област 2fD = . Функцијата ( )

3 2

2 2

3 6, x yg x yx y+

=+

има прекин во точката

(0,0) бидејќи не е дефинирана во оваа точка, a функцијата

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 , , 2,1,

3, , 2,1x y x y

h x yx y

⎧ + ≠⎪= ⎨ =⎪⎩

има прекин во точката ( )2,1 , бидејќи ( ) ( ), 2,1

lim ( , ) 5 (2,1) 3x y

h x y h→

= ≠ = . ▲

10

2. Диференцијално сметање на реална функција од повеќе

реални променливи

2.1. Парцијални изводи од прв ред

Нека ( ),z f x y= е реална функција од две реални променливи. Во точката

( )0 0M ,x y која припаѓа на дефиниционата област на функцијата 2fD ⊆ ги

дефинираме следниве видови нараснувања на функцијата:

x0 x0+Dxx

y0

y0+D y

y

10 Ако ( )0 0M ,x y е внатрешна точка на fD , тогаш нараснувањето

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0M , , , P , , 0,0 ,fz f P f f x x y y f x y D x yΔ = − = + Δ + Δ − ∈ Δ Δ ≠

се нарекува тотално нараснување на функцијата ( ),z f x y= во точката

( )0 0M ,x y .

20 Ако постои 0xδ > , така што за секој xx δΔ < и ( )0 0N , ,fx x y D+ Δ ∈ тогаш нараснувањето

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0N M , , , 0x z f f f x x y f x y xΔ = − = + Δ − Δ ≠

се нарекува парцијално нараснување на функцијата ( ),z f x y= по променлива-

та x во точката ( )0 0M ,x y .

30 Ако постои 0yδ > , така што за секој yy δΔ < и ( )0 0Q , ,fx y y D+ Δ ∈ тогаш нараснувањето

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0Q M , , , 0y z f f f x y y f x y yΔ = − = + Δ − Δ ≠

се нарекува парцијално нараснување на функцијата ( ),z f x y= по променлива-

та y во точката ( )0 0M ,x y .

11

Дефиниција. Ако постои граничната вредност (конечна или бесконечна)

( ) ( )0 0 0 0

0 0

, ,lim lim ,x

x x

f x x y f x yzx xΔ → Δ →

+ Δ −Δ=

Δ Δ

тогаш таа се нарекува прв парцијален извод на функцијата ( ),z f x y= во

точката M по променливата x и се означува со ( )Mzx∂∂

или ( )' Mxz .

Ако постои граничната вредност (конечна или бесконечна) ( ) ( )0 0 0 0

0 0

, ,lim lim ,y

y y

z f x y y f x yy yΔ → Δ →

Δ + Δ −=

Δ Δ

тогаш таа се нарекува прв парцијален извод на функцијата ( ),z f x y= во

точката M по променливата y и се означува со ( )Mzy∂∂

или ( )' Myz .

Од дефиницијата е јасно дека првите парцијални изводи (парцијални изводи од

прв ред) 'xz и '

yz се изводи на функции од една променлива, сметајќи ја другата променлива за константа.

Пример 1. Користејќи ја дефиницијата да се определат првите парцијални изводи на функцијата ( ) 2, sinf x y x xy y x= + + во точката (0,1).

( ) ( )2'

0 0

sin(0 ,1) (0,1)0,1 lim lim 2,x x x

x x xf x ffx xΔ → Δ →

Δ + Δ + Δ+ Δ −= = =

Δ Δ

( )'

0 0

(0,1 ) (0,1) 00,1 lim lim 0.y y y

f y ffy yΔ → Δ →

+ Δ −= = =

Δ Δ

Парцијалните изводи во точката (0,1) може да се добијат и од парцијалните изводи во произволна точка ( , )x y . Од ' ( , ) 2 cosxf x y x y y x= + + и ' ( , ) sin ,yf x y x x= +

добиваме ' (0,1) 2xf = и ' (0,1) 0yf = . ▲ Пример 2. Да се определат првите парцијални изводи на функцијата

( )3 3

6 26 2 6 2

6 2

, 0 , ( , ) (0,0),

0, 0 0, ( , ) (0,0)

x y x yx y x yf x y x y x y

x y x y

⎧ ⎧+ ≠ ≠⎪ ⎪= =+ +⎨ ⎨

⎪ ⎪+ = =⎩ ⎩

.

Дали функцијата е непрекината во точката (0,0)? За парцијалните изводи во точки ( ) ( ), 0, 0x y ≠ имаме:

( )( )

( )( )

2 2 6 3 6 2' '

2 26 2 6 2

3( , ) , ( , ) .x y

x y y x x x yf x y f x y

x y x y

− −= =

+ +

Парцијалните изводи во точката (0,0) ги добиваме користејќи ја дефиницијата:

( )

( )( )

3

6 2'

0 0

00

0(0 , 0) (0,0)0,0 lim lim 0,x x x

x

xf x ffx xΔ → Δ →

Δ ⋅−

Δ ++ Δ −= = =

Δ Δ

12

( ) ( )

3

26'

0 0

0 00(0, 0 )0,0 lim lim 0.y y y

yyf yf

y yΔ → Δ →

⋅Δ−

+ Δ+ Δ= = =

Δ Δ

Нека претпоставиме дека функцијата е непрекината во точката (0,0). Тогаш

( ) ( )( )

, 0, 0lim ( , ) 0, 0 0

x yL f x y f

→= = = без разлика на кривата по која се доближуваме до точ-

ката (0,0) . Но, граничната вредност L по правата 3y x= е

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3

3 6 6

6 2 6 6 6, 0, 0 , 0, 0 , 0, 0

1lim lim lim 022x y x y x y

y x

x y x xx y x x x→ → →

=

= = = ≠+ +

,

па заклучуваме дека функцијата има прекин во точката (0,0). ▲ Познато е дека од диференцијабилноста на функција од една реална променлива во некоја точка 0x (т.е. постоење на конечен извод во точката 0x ) следува непрекинатост на функцијата во таа точка. Од горниот пример заклучуваме дека ова тврдење не важи кај функции од повеќе реални променливи. Функцијата во примерот има конечни парцијални изводи во точката (0,0), а има прекин во таа точка. Аналогно како кај функција од две реални променливи, се дефинираат и парцијални изводи на функција од повеќе реални променливи. Ако постои граничната вредност (конечна или бесконечна)

( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0 01 2 1 1 2 1

0

, , , , , , , , , ,lim ,

i

i i n n n n

xi

f x x x x x x f x x x xx− −

Δ →

+ Δ −

Δ

… … …

тогаш таа се нарекува прв парцијален извод на функцијата ( )1 2, , , ny f x x x= … во

точката ( )0 0 0 01 2 1M , , , ,n nx x x x−… по променливата ix и се означува со ( )M

i

fx∂∂

или

( )' Mixy . Од дефиницијата е јасно дека првите парцијални изводи се први изводи на

функции од една променлива, сметајќи ги другите променливи за константи.

2.2. Диференцијабилност на функција од повеќе променливи.

Прв диференцијал

Познато е дека ( )y f x= е диференцијабилна функција во точката x ако постои конечен прв извод на функцијата во точката x

.lim)()(lim)('00 x

yx

xfxxfxfxx Δ

Δ=

Δ−Δ+

=→Δ→Δ

Тогаш 0

( ) ( )lim '( ) 0x

f x x f x f xxΔ →

+ Δ −⎡ ⎤− =⎢ ⎥Δ⎣ ⎦, т.е. ( )( ) ( ) '( )f x x f x f x x

xα+ Δ −

− = ΔΔ

, каде

што ( )0

lim 0x

xαΔ →

Δ = . Значи ( )y f x= е диференцијабилна функција во точката x ако

нараснувањето на функцијата yΔ може да се запише во облик ( )( ) ( ) '( )y f x x f x f x x x xαΔ = + Δ − = ⋅Δ + Δ ⋅Δ ,

13

каде што ( )0

lim 0x

xαΔ →

Δ = .

Аналогно ќе дефинираме диференцијабилност на реална функција од две реални променливи. Нека ( ),z f x y= е функција од две променливи и нека точката

( )0 0M ,x y припаѓа на дефиниционата област на функцијата 2fD ⊆ .

Дефиниција. За функцијата ( ),z f x y= велиме дека е диференцијабилна во

точката ( )0 0M ,x y ако постојат 1 2, D D ∈ така што нејзиното тотално

нараснување zΔ во точката ( )0 0M ,x y може да се запише во облик

1 2 1 2( , ) ( , )z D x D y x y x x y yα αΔ = Δ + Δ + Δ Δ ⋅Δ + Δ Δ ⋅Δ ,

каде што ( ) ( )

( )( ) ( )

( )1 2, 0,0 , 0,0lim , lim , 0

x y x yx y x yα α

Δ Δ → Δ Δ →Δ Δ = Δ Δ = .

Функцијата од xΔ и yΔ дефинирана со 1 2D x D yΔ + Δ се нарекува прв диферен-

цијал (тотален диференцијал) на функцијата ( ),z f x y= во однос на нараснувањата

xΔ и yΔ во точката ( )0 0M ,x y и се означува со (M)dz . Следнава теорема дава врска меѓу диференцијабилност и непрекинатост , како и

врска меѓу диференцијабилност и постоење на конечни парцијални изводи од прв ред кај реална функција од две реални променливи.

Теорема 2.3. Нека функцијата ( ),z f x y= е диференцијабилна во точката

( )0 0M ,x y . Тогаш:

1) функцијата ( ),z f x y= е непрекината во точката ( )0 0M ,x y ,

2) постојат конечни парцијални изводи од прв ред во точката ( )0 0M ,x y и важи

( ) ( )1 2M , Mz zD Dx y∂ ∂

= =∂ ∂

.

Доказ. 1) Нека функцијата ( ),z f x y= е диференцијабилна во точката ( )0 0M ,x y . Тогаш од дефиницијата за диференцијабилност следува

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 2 1 2, 0,0 , 0,0

lim lim , , 0x y x y

z D x D y x y x x y yα αΔ Δ → Δ Δ →

Δ = Δ + Δ + Δ Δ ⋅Δ + Δ Δ ⋅Δ = .

Од тоа што ( ) ( )0 0 0 0, ,z f x x y y f x yΔ = + Δ + Δ − добиваме

( ) ( )( ) ( )0 0 0 0, 0,0

lim , ,x y

f x x y y f x yΔ Δ →

+ Δ + Δ = .

Воведувајќи замена 0 0, x x x y y y= + Δ = + Δ добиваме ( ) ( )

( ) ( )0 0

0 0, ,lim , ,

x y x yf x y f x y

→= , од

каде следува дека ( ),z f x y= е непрекината функција во точката ( )0 0M ,x y .

2) Ќе докажеме дека ( )1 MzDx∂

=∂

. Од диференцијабилноста на функцијата ( ),z f x y=

во точката ( )0 0M ,x y следува дека за 0xΔ ≠ и 0yΔ = важи

( ) ( ) ( )0 0 0 0 1 1, , ,z f x x y f x y D x x y xαΔ = + Δ − = Δ + Δ Δ ⋅Δ ,

14

каде што ( ) ( )

( )1, 0,0lim , 0

x yx yα

Δ Δ →Δ Δ = . Добиваме

( ) ( ) ( )0 0 0 01 1

, ,,

f x x y f x yD x y

xα

+ Δ −= + Δ Δ

Δ,

од каде ( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 0 01 1 10 0

, ,M lim lim ,

x x

f x x y f x yz D x y Dx x

αΔ → Δ →

+ Δ −∂= = + Δ Δ =

∂ Δ.

Аналогно се покажува дека ( )2 MzDy∂

=∂

. ■

Од теорема 2.3. заклучуваме дека ако ( ),z f x y= е диференцијабилна функција

во точката ( )0 0M ,x y , тогаш тоталното нараснување zΔ во точката ( )0 0M ,x y може да се запише во облик

( ) ( ) ( ) ( )1 2

( , ) ( , )

M M , , ,

z f x x y y f x yz zx y x y x x y yx y

α α

Δ = + Δ + Δ − =∂ ∂

= Δ + Δ + Δ Δ ⋅Δ + Δ Δ ⋅Δ∂ ∂

каде што( ) ( )

( )( ) ( )

( )1 2, 0,0 , 0,0lim , lim , 0

x y x yx y x yα α

Δ Δ → Δ Δ →Δ Δ = Δ Δ = . Слично како кај реална функ-

ција од една реална променлива, за мали вредности на xΔ и yΔ , нараснувањето на функцијата zΔ во точката ( )0 0M ,x y може да се апроксимира со

( ) ( )M Mz zx yx y∂ ∂

Δ + Δ∂ ∂

, односно ( ) ( ) ( )M M Mz zz x yx y∂ ∂

Δ ≈ Δ + Δ∂ ∂

, од каде добиваме

( ) ( ) ( ) ( ), , M M .z zf x x y y f x y x yx y∂ ∂

+ Δ + Δ ≈ + Δ + Δ∂ ∂

Пример 1. Да се пресмета приближно 2,020,97 . Ја разгледуваме функцијата ( , ) yf x y x= . Ставаме 1x = , 0,03xΔ = − , 2y = и

0, 2yΔ = . За првите парцијални изводи добиваме 1yz yxx

−∂=

∂ и lnyz x x

y∂

=∂

, па

(1, 2) 2zx∂

=∂

и (1, 2) 0zy∂

=∂

. Тогаш

(0.97, 2.02) (1, 2) (1, 2) ( 0,03) (1, 2) 0, 2z zf fx y∂ ∂

≈ + ⋅ − + ⋅∂ ∂

, од каде следува

2.020.97 1 2 ( 0,03) 0 0, 2 0,94≈ + ⋅ − + ⋅ = . ▲

Познато е дека за функцијата од една реална променлива z x= важи dz dx x= = Δ . Аналогно за функцијата z y= важи dz dy y= = Δ . Значи првиот тотален диференцијал на диференцијабилната функција ( ),z f x y= во точката ( )0 0M ,x y

може да се запише во облик 1 2(M) (M) (M)z zdz D x D y dx dyx y∂ ∂

= Δ + Δ = +∂ ∂

, т.е.

.z zdz dx dyx y∂ ∂

= +∂ ∂

15

Забележуваме дека ако ( )z f x= е функција од една реална променлива, тогаш

се добива познатата формула за прв диференцијал 0 ( )zdz dx dy f x dxx∂ ′= + ⋅ =∂

.

Нека растојанието меѓу точките ( )0 0M ,x y и ( )0 0P ,x x y y+ Δ + Δ го означиме со

( ) ( )2 2x yρ = Δ + Δ .

Тогаш изразот 1 2( , ) ( , )x y x x y yα αΔ Δ ⋅Δ + Δ Δ ⋅Δ го трансформираме на следниов начин:

1 21 2 1 2

x y x yx y α αα α ρ α α ρρ ρ ρ

⎛ ⎞⋅Δ + ⋅Δ Δ Δ⋅Δ + ⋅Δ = ⋅ = ⋅ + ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Ставаме ( ) 1 2, x yx yα α αρ ρΔ Δ

Δ Δ = ⋅ + ⋅ , па ( )1 2 ,x y x yα α α ρ⋅Δ + ⋅Δ = Δ Δ ⋅ . Ќе покажеме

дека од ( ) ( )1 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0)lim , lim , 0

x y x yx y x yα α

Δ Δ → Δ Δ →Δ Δ = Δ Δ = следува ( )

( , ) (0,0)lim , 0

x yx yα

Δ Δ →Δ Δ = .

Од ( ) ( ) ( )2 2 2x y x xρ = Δ + Δ ≥ Δ = Δ следува 1xρΔ

≤ . Аналогно 1yρΔ

≤ . Тогаш

( ) 1 2 1 2 1 20 , x y x yx yα α α α α α αρ ρ ρ ρΔ Δ Δ Δ

≤ Δ Δ = ⋅ + ⋅ ≤ + ≤ + .

Од тоа што ( ) ( )1 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0)lim , lim , 0

x y x yx y x yα α

Δ Δ → Δ Δ →Δ Δ = Δ Δ = и од особината на сендвич-

функција следува ( , ) (0,0)

lim ( , ) 0x y

x yαΔ Δ →

Δ Δ = . Поради претходно покажаното, понатаму ќе ја користиме следнава дефиниција за диференцијабилност.

Дефиниција. Функцијата ( ),z f x y= е диференцијабилна во точката ( )0 0M ,x y ако постојат 1 2, D D ∈ така што нејзиното тотално нараснување zΔ во точката

( )0 0M ,x y може да се запише во облик

( ) ( )2 21 2 ( , )z D x D y x y x yαΔ = Δ + Δ + Δ Δ ⋅ Δ + Δ ,

каде што ( , ) (0,0)

lim ( , ) 0x y

x yαΔ Δ →

Δ Δ = .

Пример 2. Користејќи ја дефиницијата за диференцијабилност да се провери дали функцијата 3( , )f x y xy= е диференцијабилна во точката (0,0)?

( )

( )

3'

0 0

3'

0 0

(0 , 0) (0,0) 0 00,0 lim lim 0,

0 0(0, 0 )0,0 lim lim 0.

x x x

y y y

f x f xfx x

yf yfy y

Δ → Δ →

Δ → Δ →

+ Δ − Δ ⋅ −= = =

Δ Δ

⋅Δ −+ Δ= = =

Δ Δ

Нека претпоставиме дека функцијата е диференцијабилна во точката (0,0). Тогаш

16

( ) ( ) ( ) ( )2 2' '(0 ,0 ) (0,0) 0,0 0,0 ( , )x yf x y f z f x f y x y x yα+ Δ + Δ − = Δ = Δ + Δ + Δ Δ ⋅ Δ + Δ ,

од каде ( ) ( )2 23 ( , )x y x y x yαΔ ⋅Δ = Δ Δ ⋅ Δ + Δ , каде што ( , ) (0,0)

lim ( , ) 0x y

x yαΔ Δ →

Δ Δ = .

Ќе покажеме дека ( ) ( )

3

2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0)lim ( , ) lim 0

x y x y

x yx y

x yα

Δ Δ → Δ Δ →

Δ ⋅ΔΔ Δ = ≠

Δ + Δ.

Оваа гранична вредност по правата y xΔ = Δ е

( ) ( )( )

( ) ( )

233

32 2 2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0)

1 1lim lim lim2x y x y x y

y x

xx yxx y x xΔ Δ → Δ Δ → Δ Δ →

Δ =Δ

ΔΔ ⋅Δ= = = ∞

ΔΔ + Δ Δ + Δ,

од каде следува дека

( , ) (0,0)lim ( , ) 0

x yx yα

Δ Δ →Δ Δ ≠ , што е противречно на претпоставката

дека функцијата е диференцијабилна во точката (0,0). ▲ Од теоремата 2.3. следува дека ако функцијата ( ),z f x y= има прекин во

точката ( )0 0M ,x y , тогаш таа не е диференцијабилна во точката ( )0 0M ,x y . Таква е на

пример функцијата ( )3

6 2 , ( , ) (0,0),

0, ( , ) (0,0)

x y x yf x y x y

x y

⎧≠⎪= +⎨

⎪ =⎩

. Во пример 2 од 2.1. покажавме

дека таа има прекин во точката (0,0), па според тоа таа не е диференцијабилна во (0,0). Исто така, од теоремата 2.3. следува дека ако не постојат конечни парцијални изводи од прв ред во точката ( )0 0M ,x y за функцијата ( ),z f x y= , тогаш таа не е диференци-

јабилна во точката ( )0 0M ,x y . Обратното тврдење од теоремата 2.3. не важи. Функцијата може да е непрекината во точката ( )0 0M ,x y , или да постојат конечни парцијални изводи од прв

ред во точката ( )0 0M ,x y , но да не е диференцијабилна во таа точка ( )0 0M ,x y , како што покажува следниов пример. Пример 3. Да се покаже дека функцијата

( )2

2 2 , ( , ) (0,0),

0, ( , ) (0,0)

x y x yf x y x y

x y

⎧≠⎪= +⎨

⎪ =⎩

е непрекината во точката (0,0), има конечни парцијални изводи од прв ред во точката (0,0), но не е диференцијабилна во точката (0,0). Ќе покажеме дека постои двојната гранична вредност L во точката (0,0) и

0 (0,0)L f= = , од каде ќе следува непрекинатост на функцијата во точката (0,0). Користејќи ја особината на сендвич-функција, од неравенството

2 2 2

2 2 2 2

| || | | | 10 | || | 2 | || | 2

x y x y x y xx y x y x y

≤ = ≤ =+ +

17

и од тоа што ( , ) (0,0)

1lim | | 02x y

x→

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, следува 2

2 2( , ) (0,0)lim 0

x y

x yx y→

=+

, од каде заклучуваме

2

2 2( , ) (0,0)lim 0

x y

x yLx y→

= =+

. (Во горното неравенство го користевме неравенството

2 2 2x y xy+ ≥ добиено од ( )2 0x y− ≥ ).

( )

( )( )

2

2 2'

0 0

00

0(0 , 0) (0,0)0,0 lim lim 0,x x x

x

xf x ffx xΔ → Δ →

Δ ⋅−

Δ ++ Δ −= = =

Δ Δ

( ) ( )

2

22'

0 0

0 00(0, 0 )0,0 lim lim 0.y y y

yyf yf

y yΔ → Δ →

⋅Δ−

+ Δ+ Δ= = =

Δ Δ

Нека претпоставиме дека функцијата е диференцијабилна во точката (0,0). Тогаш

( ) ( ) ( ) ( )2 2' '(0 ,0 ) (0,0) 0,0 0,0 ( , )x yf x y f z f x f y x y x yα+ Δ + Δ − = Δ = Δ + Δ + Δ Δ ⋅ Δ + Δ , од каде добиваме

( )( ) ( )

( ) ( )2

2 22 2 ( , )x y

x y x yx y

αΔ Δ

= Δ Δ ⋅ Δ + ΔΔ + Δ

,

каде што ( , ) (0,0)

lim ( , ) 0x y

x yαΔ Δ →

Δ Δ = .

Ќе покажеме дека ( )

( ) ( )( )2

3/ 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 2 2lim ( , ) lim 0

x y x y

x yx y

x yα

Δ Δ → Δ Δ →

Δ ΔΔ Δ = ≠

Δ + Δ. Оваа гранична

вредност по правата y xΔ = Δ е

( )( ) ( )( )

( )( )( )

2 3

3/ 2 3/ 2 3( , ) (0,0) ( , ) (0,0)2 2 2

1lim lim22x y x y

y x

x y x

x y xΔ Δ → Δ Δ →Δ =Δ

Δ Δ Δ= =

Δ + Δ Δ,

од каде следува дека ( , ) (0,0)

lim ( , ) 0x y

x yαΔ Δ →

Δ Δ ≠ , што е противречно на претпоставката

дека функцијата е диференцијабилна во точката (0,0). ▲ Теорема 2.3. дава потребен услов за диференцијабилност на функцијата

( ),z f x y= . Доволниот услов за диференцијабилност е даден во наредната теорема.

Теорема 2.4. Ако функцијата ( ),z f x y= има конечни парцијални изводи од

прв ред во некоја околина на точката ( )0 0M ,x y и ако тие изводи се

непрекинати во точката ( )0 0M ,x y , тогаш функцијата ( ),z f x y= е

диференцијабилна во точката ( )0 0M ,x y . Обратното тврдење од теоремата 2.4. не важи. Функцијата може да е диференцијабилна во точката ( )0 0M ,x y и да има конечни парцијални изводи од прв

ред во некоја околина на точката ( )0 0M ,x y , но тие да бидат прекинати во точката

( )0 0M ,x y , како што покажува следниов пример.

18

Пример 4. Да се покаже дека функцијата

( ) ( )2 22 2

1sin , ( , ) (0,0),

0, ( , ) (0,0)

x y x yx yf x y

x y

⎧ + ≠⎪ += ⎨⎪ =⎩

е диференцијабилна во точката (0,0) и има парцијални изводи од прв ред во некоја околина на точката (0,0) кои се прекинати во точката (0,0). За првите парцијални изводи во точката (0,0) добиваме

( )( )

( )( )

22

'20 0 0

1sin 0(0 , 0) (0,0) 10,0 lim lim lim sin 0,x x x x

xxf x ff x

x x xΔ → Δ → Δ →

Δ −⎛ ⎞Δ+ Δ − ⎜ ⎟= = = Δ ⋅ =⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠

( )( )

( )( )

22

'20 0 0

1sin 0(0, 0 ) 10,0 lim lim lim sin 0.y y y x

yyf yf y

y y yΔ → Δ → Δ →

Δ −⎛ ⎞Δ+ Δ ⎜ ⎟= = = Δ ⋅ =⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠

Од тоталното нараснување на функцијата во точката (0,0)

( ) ( ) ( ) ( )2 2' '(0 ,0 ) (0,0) 0,0 0,0 ( , )x yf x y f z f x f y x y x yα+ Δ + Δ − = Δ = Δ + Δ + Δ Δ ⋅ Δ + Δ ,

добиваме ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 2

2 21sin ( , )x y x y x y

x yαΔ + Δ = Δ Δ ⋅ Δ + Δ

Δ + Δ. Бидејќи

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 22 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0)

2 2

20

1lim ( , ) lim sin

1 lim sin 0( , ) (0,0) 0

x y x y

t

x y x yx y

x y t ttx y t

αΔ Δ → Δ Δ →

→

Δ Δ = Δ + Δ =Δ + Δ

⎧ ⎫Δ + Δ =⎪ ⎪= = =⎨ ⎬Δ Δ → ⇒ →⎪ ⎪⎩ ⎭

следува дека функцијата е диференцијабилна во точката (0,0). За парцијалните изводи во точки ( ) ( ), 0, 0x y ≠ имаме:

'2 2 2 2 2 2

'2 2 2 2 2 2

1 2 1( , ) 2 sin cos ,

1 2 1( , ) 2 sin cos .

x

y

xf x y xx y x y x y

yf x y yx y x y x y

= −+ + +

= −+ + +

Според ова

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2 2 2'

2 2 2 2 2 2'

1 2 12 sin cos , , 0, 0( , )

0 , , 0, 0

1 2 12 sin cos , , 0, 0( , )

0

x

y

xx x yx y x y x yf x y

x y

yy x yx y x y x yf x y

⎧ − ≠⎪ + + += ⎨⎪ =⎩

− ≠+ + +=

( ) ( ).

, , 0, 0x y

⎧⎪⎨⎪ =⎩

Се покажува дека изводните функции ' ( , )xf x y и ' ( , )yf x y се прекинати во точката (0,0). ▲ Ако функцијата ( ),z f x y= е диференцијабилна во секоја точка од множеството

fX D⊆ , тогаш велиме дека ( ),z f x y= е диференцијабилна на множеството X .

19

Аналогно како кај реална функција од две реални променливи, се дефинира диференцијабилност и прв диференцијал кај реална функција од повеќе реални променливи. Така, првиот диференцијал за функцијата ( )1 2, , , ny f x x x= … е

1 21 2

nn

f f fdy dx dx dxx x x∂ ∂ ∂

= + + +∂ ∂ ∂

… .

Пример 5. Да се определи првиот диференцијал за функцијата ( , ) arctg yz f x yx

= = .

2 2 2 2

2

1

1

z y yyx x x yx

∂ ⎛ ⎞= ⋅ − = −⎜ ⎟∂ +⎝ ⎠+ и 2 2 2

2

1 1

1

z xyy x x yx

∂= ⋅ =

∂ ++.

( )2 2 2 2 2 2

1z z y xdz dx dy dx dy xdy ydxx y x y x y x y∂ ∂

= + = − + = −∂ ∂ + + +

. ▲

2.3. Парцијални изводи од прв ред и прв диференцијал од сложена функција

Нека е дадена сложената функција ( ),z f u v= , каде што ( ),u u x y= и

( ),v v x y= , т.е. ( ) ( )( ), , ,z f u x y u x y= . Претпоставуваме дека функциите u и v се дефинирани во некоја околина на точката ( , )x y , а функцијата f е дефинирана во некоја околина на точката ( ),u v , каде што ( ),u u x y= и ( ),v v x y= . Се докажува дека

ако функцијата f е диференцијабилна во точката ( ),u v , а функциите u и v се диференцијабилни во точката ( , )x y , тогаш сложената функција

( ) ( )( ), , ,z f u x y u x y= е диференцијабилна во точката ( , )x y и за првите парцијални изводи важат формулите

, .z z u z v z z u z vx u x v x y u y v y∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Користејќи ги формулите за извод од сложена функција за првиот диференцијал на функцијата z во точката ( , )x y добиваме:

.

z z z u z v z u z vdz dx dy dx dyx y u x v x u y v y

z u u z v vdx dy dx dyu x y v x yz zdu dvu v

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ ∂

= +∂ ∂

Забележуваме дека првиот диференцијал ја задржува формата независно дали u и v се независни променливи или зависни променливи (функции). Велиме дека првиот диференцијал има инваријантна форма. Специјално, ако ( ),z f x y= , каде што ( )x x t= и ( )y y t= , т.е. ( )( ), ( )z f x t y t= , тогаш

20

dz z dx z dydt x dt y dt

∂ ∂= ⋅ + ⋅∂ ∂

.

Ако пак, ( ),z f x y= , каде што ( )y y x= , т.е. ( ), ( )z f x y x= , тогаш dz z z dydx x y dx

∂ ∂= + ⋅∂ ∂

.

Нека ( )1 2, , , nu f x x x= … е реална функција од n реални променливи, каде што

1 2( , , , )i i kx t t tϕ= … , 1,i n= се реални функции од k реални променливи. Тогаш аналогни равенства важат и за сложената реална функција u од k реални променливи зададена со равенката ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( , , , ) ( , , , ), ( , , , ), , ( , , , )k k k n ku t t t f t t t t t t t t tϕ ϕ ϕ=… … … … … :

1 2

1 2

, 1, .n

i i i n i

xx xu u u u i kt x t x t x t

∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= ⋅ + ⋅ + + ⋅ =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂…

2.4. Парцијални изводи од прв ред и прв диференцијал од имплицитно

зададена функција

Ако постои реална функција од три променливи :F X Y× → , каде што 2X ⊆ , Y ⊆ , ( ){ } 3, , ( , ) ,X Y x y z x y X z Y× = ∈ ∈ ⊆ , ( ),z f x y= , така што

( ), , 0F x y z = , тогаш велиме дека функцијата :f X Y→ е зададена имплицитно.

Нека функцијата ( , , )F x y z е диференцијабилна во точката ( , , )x y z и ' ( , , ) 0zF x y z ≠ , а функцијата ( ),z f x y= е диференцијабилна во точката ( , )x y .

Ако равенката ( ), , ( , ) 0F x y z x y = ја диференцираме по x (притоа y ја сметаме

за константа) добиваме 0F F zx z x

∂ ∂ ∂+ ⋅ =

∂ ∂ ∂, од каде

'

' .x

z

FFz x

Fx Fz

∂∂ ∂= − = −

∂∂∂

Аналогно се добива

'

' .y

z

FFz y

Fy Fz

∂∂ ∂= − = −

∂∂∂

Да забележиме дека кај овие формули, при определување на Fx

∂∂

, y и z ги сме-

таме за константи. Аналогно при определување на Fy

∂∂

, x и z ги сметаме за

константи, а при определување на Fz

∂∂

, x и y ги сметаме за константи.

21

Првите парцијални изводи zx∂∂

и zy∂∂

може да се определат и директно преку

диференцирање на равенката ( ), , 0F x y z = прво по x , а потоа по y .

Пример. Да се определат парцијалните изводи од прв ред и првиот диференцијал за функцијата ( ),z f x y= зададена имлицитно со равенката 3 33z xyz a− = ( a е константа). Прв начин. Диференцирајќи ја функцијата ( ) 3 3, , 3 0F x y z z xyz a= − − = по x, y и z

добиваме 3F yzx

∂= −

∂, 3F xz

y∂

= −∂

и 23 3F z xyz

∂= −

∂. Според тоа

2 2

33 3

Fz yz yzx

Fx z xy z xyz

∂∂ −∂= − = − =

∂∂ − −∂

и 2 2

33 3

Fz xz xzy

Fy z xy z xyz

∂∂ −∂= − = − =

∂∂ − −∂

.

Втор начин. Ако равенката 3 33z xyz a− = ја диференцираме по x добиваме 23 3 3 0z zz yz xy

x x∂ ∂

− − =∂ ∂

,

од каде се добива 2

z yzx z xy∂

=∂ −

. Аналогно ако равенката 3 33z xyz a− = ја диференци-

раме по y добиваме 2

z xzy z xy∂

=∂ −

.

За првиот диференцијал добиваме

2 2 2 ( ).z z yz xz zdz dx dy dx dy ydx xdyx y z xy z xy z xy∂ ∂

= + = + = +∂ ∂ − − −

▲

2.5. Извод на функција по правец. Градиент

Парцијалните изводи од прв ред на реална функција од две реални променливи ја изразуваат промената на вредноста на функцијата во однос на промената на аргументот долж права која е паралелна со една од координатните оски.

Дефиниција. Нека x yu u i u j= + е единичен вектор. Ако постои граничната вредност (конечна или бесконечна)

( ) ( ) ( )0 0 0 00 0 0

, ,, lim ,x y

u h

f x hu y hu f x yD f x y

h→

+ + −=

тогаш таа се нарекува извод од функцијата ( ),z f x y= во точката ( )0 0,x y

по правец на векторот ( ),x yu u u= .

Значи, изводот по правец на векторот ( ),x yu u u= ја дава промената на вредноста

на функцијата долж права паралелна со векторот ( ),x yu u u= која не мора да биде паралелна со координатните оски.

22

Пример 1. Да се најде ( )1, 2uD f ако ( ) 2 2, 6z f x y x y= = − − , а 2 22 2

u i j= + .

Векторот u има интензитет 2 2

2 2 12 2

u⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. Користејќи ја дефиницијата, за

изводот од дадената функција по правец на векторот u во точката (1, 2) добиваме:

( )( )

( )

0

2 2

0

0

2 21 ,2 1,12 2

1, 2 lim

2 26 1 2 6 1 42 2

lim

lim 3 2 3 2.

u h

h

h

f h h fD f

h

h h

hh

→

→

→

⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟

⎝ ⎠= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =

= − − = −

▲ Ако u i= , тогаш

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 '0 0 0 0 0 00

, ,, , lim , .u xi h

f x h y f x yD f x y D f x y f x y

h→

+ −= =

Слично, ако u j= , тогаш

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 '0 0 0 0 0 00

, ,, , lim , .u yj h

f x y h f x yD f x y D f x y f x y

h→

+ −= =

Теорема 2.5. Ако ( ),z f x y= е диференцијабилна функција во точката

( )0 0,x y и x yu u i u j= + е единичен вектор, тогаш

( ) ( ) ( )' '0 0 0 0 0 0, , , .u x x y yD f x y f x y u f x y u= +

Со други зборови, изводот на функцијата ( ),z f x y= по правец на единичниот

вектор u е еднаков на скаларниот производ од векторите ( ),x yu u u= и

( ) ( )( )' '0 0 0 0, , ,x uf x y f x y .

Пример 2. Да се најде ( )2,1uD f ако ( ) 2 2, 2 1z f x y x y= = − − , а 3 4u i j= + . Бараниот извод може да го најдеме определувајќи ја граничната вредност, како што беше покажано во пример 1. Овде ќе покажеме дека до истиот резултат може да се дојде со примена на теоремата 2.5. Прво гo определуваме векторот

( ) ( )( ) ( )' '2,1 , 2,1 8, 2x uf f = − . Интензитетот на векторот u е 2 23 4 5u = + = , што значи тој не е единичен вектор. Единичниот вектор кој го има правецот на векторот u е

03 45 5

u i j= + , па

( ) ( ) ( )' '0 0

3 4 161, 2 2,1 2,1 8 2 .5 5 5u x x y yD f f u f u= + = ⋅ − ⋅ = ▲

23

Дефиниција. Нека функцијата ( ),z f x y= има конечни парцијални изводи во

точката ( )0 0,x y . Градиент на функцијата ( ),z f x y= во точката ( )0 0,x y е векторот

( ) ( ) ( ) ( )' '0 0 0 0 0 0 0 0grad , , , , .x yf x y f x y f x y i f x y j= ∇ = +

Значи, градиентот е векторска функција од две реални променливи. Очигледно е дека

( ) ( )0 0 0 0, , .uD f x y f x y u= ∇ ⋅ Како што истакнавме изводот по правец на векторот u ја дава промената на вредноста на функцијата долж права паралелна со векторот u . Од друга страна, од горното равенство е јасно дека изводот по правец е максимален ако векторите u и

gradf f∇ = се колинеарни и со иста насока, а минимален ако векторите u и gradf f∇ = се колинеарни и со спротивна насока. Според тоа gradf f∇ = го

определува правецот на најбрзото растење на функцијата.

Пример 3. Да се најде ( )grad ,f x y ако ( ), sinxz f x y e y= = .

( ) ( ) ( )' 'grad , , , sin cos .x xx yf x y f x y i f x y j e y i e y j= + = + ▲

Аналогно се дефинира извод во правец и градиент на реална функција од три реални променливи. Ако x y zu u i u j u k= + + е единичен вектор, тогаш извод од

функцијата ( ), ,w f x y z= во точката ( )0 0 0, ,x y z по правец на векторот ( ), ,x y zu u u u= е

( ) ( ) ( ) ( )' ' '0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, , , , , , , , ,u x x y y z zD f x y z f x y z u f x y z u f x y z u= + +

а ( ) ( ) ( ) ( )' ' '0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0grad , , , , , , , , .x y zf x y z f x y z i f x y z j f x y z k= + +

2.6. Геометриска интерпретација на парцијалните изводи од прв ред

Нека ( ),z f x y= е функција за која постојат конечни парцијални изводи од прв

ред во точката ( )0 0M ,x y која припаѓа на дефиниционата област на функцијата 2

fD ⊆ . Јасно е дека графикот на оваа функција претставува некоја површина S во

просторот 3 . Точката ( )0 0M ,x y претставува ортогонална проекција на точката

( )0 0 0 0N , , ( , )x y f x y врз Ox y рамнината. Ако S ја пресечеме со рамнина која минува низ точката M и е паралелна со Oy z рамнината се добива крива 1L . Равенката на

оваа рамнина е 0x x= , па кривата 1L е определена со ( )

0

,z f x yx x=⎧⎪

⎨=⎪⎩

, т.е.

( )0 1, ( )z f x y f y= = . Добиената функција 1( )z f y= е функција од една реална променлива y , па според геометриското толкување на првиот извод кај функции од една реална променлива следува '

1 0( ) tgf y β= , каде што β е аголот меѓу позитивната насока на y -оската и тангентата на кривата 1L во точката N . Од друга страна,

24

'1 0( ) (M)zf y

y∂

=∂

, па заклучуваме дека (M) tgzy

β∂=

∂, т.е. (M)z

y∂∂

е коефициент на

правец на тангентата на кривата 1L во точката N .

Аналогно се добива дека (M) tgzx

α∂=

∂, каде што α е аголот меѓу позитивната

насока на x -оската и тангентата на кривата 2L во точката N (кривата 2L се добива како пресек на површината S со рамнина која минува низ точката M и е паралелна

со Ox z рамнината). Значи (M)zx∂∂

е коефициент на правец на тангентата на кривата

2L во точката N .

( ),z f x y=

β

t1

x0

y0

L1

M

N ( ),z f x y=

α

x0 y0

t2

M

N

L2

Според тоа, тангентите 1t и 2t во точката N на кривите 1L и 2L , соодветно

имаат равенки

0 01

0

(M)( ):

zz z y yyt

x x

∂⎧ − = −⎪ ∂⎨⎪ =⎩

и 0 02

0

(M)( ):

zz z x xt x

y y

∂⎧ − = −⎪∂⎨

⎪ =⎩

.

Нивните канонични равенки се:

0 0 01 :

0 1 (M)

x x y y z zt zy

− − −= =

∂∂

и 0 0 02 :

1 0 (M)

x x y y z zt zx

− − −= =

∂∂

.

2.7. Tангентна рамнина и нормала на површина

Нека S е површина зададена со ( ), , 0F x y z = . Точката ( )M , ,x y z од S е несингуларна (регуларна) точка на S ако постојат непрекинати паријални изводи од

прв ред , ,F F Fx y z

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

во точката М и ( ) ( ) ( ) ( )M , M , M 0,0,0F F Fx y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂≠⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

. Точката

25

( )M , ,x y z од S е сингуларна точка на S ако ( ) ( ) ( ) ( )M , M , M 0,0,0F F Fx y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂=⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

или

барем еден од парцијалните изводи не постои во М. Пример 1. Да се определат сингуларните точки на површината 2 2 2z x y= + . Ставаме ( ) 2 2 2, , 0F x y z x y z= + − = и за првите парцијални изводи добиваме

2 , 2 , 2F F Fx y zx y z

∂ ∂ ∂= = = −

∂ ∂ ∂. Очигледно е дека 0F F F

x y z∂ ∂ ∂

= = =∂ ∂ ∂

во точката

( )0,0,0 , па заклучуваме дека таа е сингуларна точка за дадената конусна површина.▲ Нека ( ), ,F x y z е диференција-билна функција и S е површина зададена со ( ), , ,F x y z c= c е реална константа. Може да се покаже дека ако точката ( )0 0 0N , ,x y z лежи на повр-

шината S и ( )0 0 0grad , , 0F x y z ≠ (т.е. N е несингуларна точка), тогаш

( )grad NF е вектор кој е нормален на секоја крива k од S која минува низ точката N (т.е. на тангентниот вектор на секоја крива k од S која минува низ точката N).

N

( )grad NF

( ), ,F x y z c=k

Оттука е јасно дека сите тангентни вектори на површината S во точката N лежат во една иста рамнина. Рамнината која ги содржи сите тангенти повлечени во несингуларната точка N на површината S се нарекува тангентна рамнина на површината S во точката N и се означува со t∑ . Нормалниот вектор на оваа рамнина е :

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0grad , , , , , , , , , ,F F FF x y z x y z x y z x y zx y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

.

Според тоа, равенката на тангентната рамнина на површината S: ( ), , 0F x y z =

повлечена во несингуларната точка ( )0 0 0N , ,x y z ќе биде:

( )( ) ( )( ) ( )( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0: , , - , , - , , - 0.tF F Fx y z x x x y z y y x y z z zx y z

∂ ∂ ∂Σ + + =

∂ ∂ ∂

Ако површината S е график на функцијата ( , )z f x y= , можеме да ставиме

( ), , ( , ) 0F x y z f x y z= − = , па , , 1F z F z Fx x y y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂.

Според тоа, ( )( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0grad , , , , , , , 1z zF x y f x y x y x yx y

⎛ ⎞∂ ∂= −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

и за тангентната

рамнина на површината S : ( , )z f x y= во точката ( )( )0 0 0 0N , , ,x y f x y добиваме

26

( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0: ( , ) ( , ) 0.tz zx y x x x y y y z zx y∂ ∂

∑ − + − − − =∂ ∂

Равенката на тангентната рамнина може да се добие и како равенка на рамнина низ тангентите 1t и 2t кои се сечат во точката N. Равенките на тангентите 1t и 2t се дадени во параграф 2.6. Нормалниот вектор на t∑ е

1 2 0 0 0 0 0 0

0 0

0 1 ( , ) ( , ), ( , ), 1

1 0 ( , )

i j kz z zn t t x y x y x yy x yz x yx

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= × = = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∂∂

.

t1

t2

t3n

NΣt

( ),z f x y=

Правата што е нормална на тангентната рамнина t∑ и минува низ точката N се вика нормала на површината S во точката N и се означува со n . Јасно е дека нормалата на површината S определена со ( ), ,F x y z c= во точката

N има правец определен со ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0grad , , N , N , NF F FF x y zx y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

, па

нејзините канонични равенки се

( ) ( ) ( )0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

: ,, , , , , ,

x x y y z zn F F Fx y z x y z x y zx y z

− − −= =

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

односно, ако површината S е график на функцијата ( , )z f x y=

0 0 0

0 0 0 0

: .1( , ) ( , )

x x y y z zn z zx y x yx y

− − −= =

∂ ∂ −∂ ∂

Пример 1. Да се напише равенка на тангентна рамнина и нормала на површината

( ), sin xz f x yy

= = во точката ( )0N ,1, zπ .

27

Ја наоѓаме апликатата на точката N : 00

0

sin sin 01

xzy

π= = = .

Од ' 1( , ) cosxxf x y

y y= и '

2( , ) cosyx xf x yy y

= − добиваме ' ( ,1) 1xf π = − и ' ( ,1)yf π π= .

Тогаш за тангентната рамнина и нормала во точката ( )N ,1,0π добиваме

( ) ( ) ( ): 1 1 0 0t x y zπ π∑ − − + − − − = , т.е. : 0t x y zπ∑ − + = (рамнина која минува низ

координатниот почеток) и 1 0: 1 1

x y zn ππ

− − −= =

− −. ▲

Пример 2. Да се напише равенка на тангентна рамнина и нормала на графикот на функцијата ( ),z f x y= зададена имлицитно со равенката 3 33z xyz a− = , a е константа во точката A(0,0, )a .

Диференцирајќи ја функцијата ( ) 3 3, , 3 0F x y z z xyz a= − − = по x, y и z добиваме

3F yzx

∂= −

∂, 3F xz

y∂

= −∂

и 23 3F z xyz

∂= −

∂. Оттука, (A) 0F

x∂

=∂

, (A) 0Fy

∂=

∂ и

2(A) 3F az

∂=

∂, па добиваме дека тангентната рамнина во точката A(0,0, )a има равенка

( )2: 3 0t a z a∑ − = , т.е. : t z a∑ = (рамнина паралелна на Ox y рамнината), а равенки-те на нормалата во точката A(0,0, )a се

0 0: 0 0

x y z ana

− − −= = , т.е. :

0 0x y z an

a−

= = . ▲

2.5. Геометриска интерпретација на првиот диференцијал

Нека ( ),z f x y= е диференцијабилна функција во точката ( )0 0M ,x y која

припаѓа на дефиниционата област на функцијата 2fD ⊆ . Јасно е дека графикот на

оваа функција претставува некоја површина S во просторот 3 . Точката ( )0 0M , ,0x y

претставува проекција на точката ( )0 0 0 0N , , ( , )x y f x y врз Ox y рамнината. Видовме

дека тангентната рамнина на површината S во точката ( )0 0 0 0N , , ( , )x y f x y има равенка

( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0: ( , ) ( , )tz zx y x x x y y y z zx y∂ ∂

∑ − + − = −∂ ∂

.

Ако ставиме 0x x x dx− = Δ = и 0y y y dy− = Δ = , тогаш од горната равенка добиваме

0(M)dz z z= − , каде што z е апликатата на точката ( )0 0T , ,x x y y z+ Δ + Δ од

тангентната рамнина t∑ . Значи 0(M) TQdz z z= − = ± , каде што ( )0 0 0Q , ,x x y y z+ Δ + Δ .

Разликата меѓу zΔ и dz во точката ( )0 0M ,x y , а во однос на нараснувањата xΔ и yΔ може да се види на следната слика.

28

Според горната дискусија, дифе-ренцијалот dz во точката ( )0 0M ,x y ја дава промената долж тангентната рамнина t∑ на графикот на функцијата (површината S ) повлечена во точката ( )0 0 0 0N , , ( , )x y f x y . Кога се користи диференцијалот dz

во точката ( )0 0M ,x y за апроксимација на нараснувањето zΔ во точката

( )0 0M ,x y , т.е. (M) (M)z dzΔ ≈ , тогаш

површината S во ( )0 0 0 0N , , ( , )x y f x y се апроксимира со тангентната рамни-на на површината во таа точка.

z0 NΣt

Mx0

y0y y0+Δ

x x0+Δ P

z z0+ΔΔz

TdzQ

2.6. Парцијални изводи и диференцијали од повисок ред

Нека функцијата ( ),z f x y= има парцијални изводи од прв ред на множеството

fX D⊆ . Тогаш zx∂∂

и zy∂∂

се исто така функции од две променливи дефинирани на

множеството X (изводни функции). Ако и овие функции имаат парцијални изводи на множеството X , тогаш овие изводи се нарекуваат втори парцијални изводи (или парцијални изводи од втор ред) на функцијата ( ),z f x y= . Значи

( )''' '( )xx x xz x z= , ( )''' '( )yy y y

z x z= , ( )''' '( )xy x yz x z= и ( )''' '( )yx y x

z x z= .

Ги користиме и следниве ознаки:

2

2

z zx x x∂ ∂ ∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

, 2

2

z zy y y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

, 2z z

x y x y⎛ ⎞∂ ∂ ∂

= ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ и

2z zy x y x∂ ∂ ∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

.

Првите два изводи се викаат чисти парцијални изводи од втор ред, а последните два се мешани парцијални изводи од втор ред.

Аналогно се дефинираат парцијални изводи од трет, четврт, ..., n-ти ред на функцијата ( ),z f x y= . Така на пример, парцијалните изводи од трет ред за

функцијата ( ),z f x y= се

3 2

3 2

z zx x x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

, 3 2

3 2

z zy y y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

, 3 2

2

z zx y x x y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

, 3 2z z

x y x x y x⎛ ⎞∂ ∂ ∂

= ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠,

3 2

2 2

z zy x y x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

, 3 2

2 2

z zx y x y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

, 3 2

2

z zy x y y x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

и 3 2z z

y x y y x y⎛ ⎞∂ ∂ ∂

= ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠.

29

По дефиниција нултиот извод на функцијата е самата функција ( ),z f x y= .

Во општ случај 2 2z z

x y y x∂ ∂

≠∂ ∂ ∂ ∂

, како што покажува следниов пример.

Пример 1. За првите парцијални изводи на функцијата

( )2 2

2 2 , ( , ) (0,0),

0, ( , ) (0,0)

x yxy x yf x y x y

x y

⎧ −≠⎪= +⎨

⎪ =⎩

добиваме

( )4 4 2 2

22 2

4 , ( , ) (0,0)

0, ( , ) (0,0)

x y x yy x yfx y

xx y

⎧ − +≠⎪∂

= +⎨∂ ⎪=⎩

и ( )4 4 2 2

22 2

4 , ( , ) (0,0)

0, ( , ) (0,0)

x y x yx x yfx y

yx y

⎧ − −≠⎪∂

= +⎨∂ ⎪=⎩

.

Вторите мешани парцијални изводи 2 fx y∂∂ ∂

и 2 fy x∂∂ ∂

во точката (0,0) ги наоѓаме по

дефиниција. ( )( )

5

42

0 0

0(0,0 ) (0,0)(0,0) (0,0) lim lim 1

y y

yf fy yf f x xy x y x y yΔ → Δ →

− Δ∂ ∂ −+ Δ − Δ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ∂ ∂= = = = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ Δ Δ⎝ ⎠,

( )( )

5

42

0 0

0(0 ,0) (0,0)(0,0) (0,0) lim lim 1

x x

xf fx xf f y yx y x y x xΔ → Δ →

Δ∂ ∂ −+ Δ −Δ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ Δ Δ⎝ ⎠

.

Значи 2 2

(0,0) (0,0)z zx y y x∂ ∂

≠∂ ∂ ∂ ∂

. ▲

Важи следнава теорема кој дава доволен услов за еднаквост на мешаните

парцијални изводи од втор ред.

Теорема 2.6. Ако функцијата ( ),z f x y= има парцијални изводи од прв ред и

непрекинати парцијални изводи од втор ред на множеството 2fX D⊆ ⊆ ,

тогаш нејзините мешани парцијални изводи од втор ред се еднакви на множеството X , т.е. важи

2 2

( ) ( ), z zM M M Xx y y x∂ ∂

= ∀ ∈∂ ∂ ∂ ∂

.

Важи следново поопшто тврдење од теорема 2.6. Ако функцијата ( ),z f x y=

има непрекинати парцијалните изводи до n -ти ред на множеството 2fX D⊆ ⊆ ,

тогаш нејзините мешани парцијални изводи до n -ти ред не зависат од редоследот на барање на извод.

30

Слично како изводи од повисок ред се дефинираат и диференцијали од повисок ред. Ако функцијата ( ),z f x y= е диференцијабилна и има непрекинати парцијални

изводи од втор ред на 2fD ⊆ , тогаш

2

2 2 2

2

( ) ( ) ( )

z z z z z zd z d dz d dx dy d dx d dx d dy d dyx y x x y y

z z z zdx dy dx dx dy dyx x y x x y y y

z z zdx dy dxx y x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= = + = + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

2

2

zdx dy dyx y y

⎛ ⎞∂+ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

2 2 2 2

2 22 2 .z z z zdx dxdy dxdy dy

x y x x y y∂ ∂ ∂ ∂

= + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

се нарекува втор диференцијал (или диференцијал од втор ред) на функцијата

( ),z f x y= . Притоа се користи фактот што dx x= Δ и dy y= Δ се константи, па

( ) 0d dx = и ( ) 0d dy = . Бидејќи функцијата ( ),z f x y= има непрекинати парцијални

изводи од втор ред на 2fD ⊆ , од теорема 2.6. следува

2 2

(M) (M)z zx y y x∂ ∂

=∂ ∂ ∂ ∂

,

M fD∀ ∈ . Тогаш 22 2 2

2 2 22 22 .z z zd z dx dxdy dy dx dy z

x x y y x y⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + + = +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Аналогно за третиот диференцијал на функцијата ( ),z f x y= се добива

33 3 3 33 3 2 2 3

3 2 2 33 3 .z z z zd z dx dx dy dxdy dy dx dy zx x y x y y x y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + = +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Со помош на математичка индукција се покажува дека ако функцијата ( ),z f x y= има непрекинати парцијални изводи до n -ти ред на 2

fD ⊆ , тогаш нејзиниот диференцијал од n -ти ред е

( ) ( )0

.nnn

n k knn k k

k

n zd z dx dy dx dy zk x y x y

−

−=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑

Аналогно се дефинираат изводи и диференцијали од повисок ред и кај реална функција од повеќе реални променливи. Пример 2. Да се определат диференцијалите од прв и втор ред за функцијата

( )3( , )z f x y x y= = − . За првите парцијални изводи добиваме:

23( )z x yx∂

= −∂

и 23( )z x yy∂

= − −∂

.

Првиот диференцијал можеме да го определиме со користење на формулата

( )2 2 23( ) 3( ) 3( )z zdz dx dy x y dx x y dy x y dx dyx y∂ ∂

= + = − − − = − −∂ ∂

,

31

или директно ( )( ) ( ) ( )3 2 23 ( ) 3 ( )dz d x y x y d x y x y dx dy= − = − − = − − .

За вторите парцијални изводи добиваме:

( )2

22 3( ) 6( )z z x y x y

x x x x∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= = − = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

, ( )2

22 3( ) 6( )z z x y x y

y y y y⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

= = − − = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠.

Сите парцијални изводи до втор ред се непрекинати функции, па следува еднаквост на вторите мешани изводи.

( )2 2

23( ) 6( )z z zx y x yx y x y x y x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = − − = − − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

. .

Аналогно и вториот диференцијал може да се определи со користење на формулата

( ) ( )

2 2 22 2 2 2 2

2 2

22 2

2 6( ) 2 6( ) 6( )

6( ) 2 6( ) ,

z z zd z dx dxdy dy x y dx x y dxdy x y dyx x y y

x y dx dxdy dy x y dx dy

∂ ∂ ∂= + + = − − ⋅ − + − =∂ ∂ ∂ ∂

= − − + = − −

или директно ( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )( )

2 2 2 2

2

2

( ) 3( ) 3 ( ) 3( )

3 2( ) 3( )

6( ) .

d z d dz d x y dx dy d x y dx dy x y d dx dy

x y dx dy dx dy x y d dx d dy

x y dx dy

= = − − = − − + − − =

= ⋅ − − − + − − =

= − −

▲ Пример 3. Да се определат чистите парцијални изводи од втор ред за функцијата

( ),z f x y= зададена имлицитно со равенката 3 33z xyz a− = , a е константа.

Во примерот од параграфот 2.4. видовме дека 2

z yzx z xy∂

=∂ −

и 2

z xzy z xy∂

=∂ −

. За

вторите парцијални изводи добиваме:

( )( )

( )( )

( )

22

22 2 2 2

32

2 32 22 2

2

2 2 .

z zz xy z z yz z yz z x xy y

x x x x z xy x z xy z xy

y yz yz xy zz xy z z yz xy z xyz xy z xy

∂ ∂⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎝ ⎠= = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −

⎡ ⎤⎛ ⎞= − − − = −⎢ ⎥⎜ ⎟− −⎝ ⎠− −⎣ ⎦

Аналогно се добива ( )

2 3

32 2

2 .z z x yzy y y z xy

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ −

▲

Нека е дадена сложената функција ( ),z f u v= , каде што ( ),u u x y= и

( ),v v x y= , т.е. ( ) ( )( ), , ,z f u x y u x y= . Претпоставуваме дека функциите u и v се дефинирани во некоја околина на точката ( , )x y , а функцијата f е дефинирана во некоја околина на точката ( ),u v , каде што ( ),u u x y= и ( ),v v x y= . Видовме дека

ако функцијата f е диференцијабилна во точката ( ),u v , а функциите u и v се диференцијабилни во точката ( , )x y , тогаш функцијата z е диференцијабилна во точката ( , )x y и првиот диференцијал има инваријантна форма. Особината за инваријантност не важи за вториот диференцијал 2d z . Навистина,

32

2

2 2

22

2

( ) ( ) ( )

2

z z z z z zd z d dz d du dv d du d du d dv d dvu v u u v v

z z z z z zdu dv du d u du dv dv d vu u v u u u v v v v

z duu

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + = + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂

= +∂

2 22 2 2

2 .z z z zdudv dv d u d vu v v u v∂ ∂ ∂ ∂

+ + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

За разлика од случајот кога u и v се независни променливи, па ( ) 0d du = и ( ) 0d dv = , во овој случај 2( )d du d u= и 2( )d dv d v= . Затоа 2d z во случај кога u и v

се функции (т.е. ( ),z f u v= е сложена функција) содржи два дополнителни собироци

2z d uu∂∂

и 2z d vv∂∂

.

2.9. Тајлорова теорема Теорема 2.7. (теорема на Тајлор) Нека функцијата ( ),z f x y= е (n+1) пати диференцијабилна во точката 0 0( , )x y . Тогаш за секоја точка ( , )x y од околина на точката 0 0( , )x y важи Тајлоровата формула

( ) ( ) ( ) ( )20 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1( , ) , , , , ( , ),1! 2! !

nnf x y f x y df x y d f x y d f x y R x y

n= + + + + +

каде што ( ) ( ) ( )( )1

0 0 0 01( , ) , , 0 1

1 !n

nR x y d f x x x y y yn

θ θ θ+= + − + − < <+

е оста-

ток.

Нагласуваме дека функцијата ( ),z f x y= е n пати диференцијабилна во точката

0 0( , )x y , ако сите нејзини парцијални изводи до n-ред се диференцијабилни во точката 0 0( , )x y . Од теорема 2.4. следува дека доволен услов за диференцијабилност од n-ред во точката 0 0( , )x y е сите парцијални изводи до n-ред да бидат непрекинати во точката 0 0( , )x y . Според ова, теоремата на Тајлор можеме да ја запишеме преку парцијалните изводи на следниов начин.

Теорема на Тајлор. Нека функцијата ( ),z f x y= има непрекинати изводи до n-ти ред и постои конечен (n+1)-ви извод во околина на точката 0 0( , )x y . Тогаш за секоја точка ( , )x y од околина на точката 0 0( , )x y важи Тајлоровата формула

( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

0 0 0 0 0 0 0 0

2 2 22 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 2

0 0 0 0

1( , ) , , ,1!

1 , 2 , ,2!

1 , ( , ),!

n

n

f ff x y f x y x y x x x y y yx y

f f fx y x x x y x x y y x y y yx x y y

x x y y f x y R x yn x y

⎡ ⎤∂ ∂= + − + − +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

⎡ ⎤∂ ∂ ∂+ − + − − + − +⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦

⎛ ⎞∂ ∂+ + − + − +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

33

каде што

( ) ( ) ( ) ( )( )1

0 0 0 0 0 01( , ) , ,

( 1)!

n

nR x y x x y y f x x x y y yn x y

θ θ+

⎛ ⎞∂ ∂= − + − + − + −⎜ ⎟+ ∂ ∂⎝ ⎠

0 1θ< < е остаток. Полиномот

( ) ( )( ) ( )( )0 0 0 0 0 0 0 01( , ) , , ,1!n

f fT x y f x y x y x x x y y yx y

⎡ ⎤∂ ∂= + − + − +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

( )( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

2 2 22 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 2

0 0 0 0

1 , 2 , ,2!

1 ,!

n

f f fx y x x x y x x y y x y y yx x y y

x x y y f x yn x y

⎡ ⎤∂ ∂ ∂+ − + − − + − +⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦

⎛ ⎞∂ ∂+ + − + −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

се нарекува Тајлоров полином од n -ти степен за функцијата ( ),z f x y= по степените на 0( )x x− и 0( )y y− . Значи, Тајлоровата формула го добива обликот

( , ) ( , ) ( , )n nf x y T x y R x y= + . Јасно е дека, ( , ) ( , )nf x y T x y= важи само за полиномни функции. Тајлоровата формула овозможува да се добие приближна вредност на функ-цијата ( ),z f x y= во произволна точка ( , )x y која припаѓа во некоја околина на точката 0 0( , )x y преку пресметување на вредноста на Тајлоровиот полином во таа точка, т.е. важи ( , ) ( , )nf x y T x y≈ за ( , )x y во некоја околина на точката 0 0( , )x y .

За 0 0 0x y= = се добива формулата на МакЛорен:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2 22 2

2 2

1( , ) 0,0 0,0 0,01!

1 0,0 2 0,0 0,02!

1 0,0 ( , ),!

n

n

f ff x y f x yx y

f f fx xy yx x y y

x y f R x yn x y

⎡ ⎤∂ ∂= + + +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

⎡ ⎤∂ ∂ ∂+ + + +⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦

⎛ ⎞∂ ∂+ + + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠…

каде што ( )1

1( , ) , ,0 1( 1|)!

n

nR x y x y f x yn x y

θ θ θ+

⎛ ⎞∂ ∂= + < <⎜ ⎟+ ∂ ∂⎝ ⎠

.

Пример. Функцијата ( ) 3 3, 3z f x y x y xy= = + − да се разложи со Тајлоровата форму-ла во околина на точката (1,1) . За парцијалните изводи на дадената функција добиваме

23 3z x yx∂

= −∂

, 23 3z y xy∂

= −∂

, ( )2

22 3 3 6z z x y x

x x x x∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

,

( )2

22 3 3 6z z y x y

y y y y⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

= = − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠, ( )

223 3 3z z x y

x y x y x⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

= = − = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠,

3

3 6zx∂

=∂

, 3

3 6zy∂

=∂

, 3

2 0zx y∂

=∂ ∂

, 3

2 0zx y∂

=∂ ∂

.

Сите парцијални изводи од ред поголем од три се нули. Тогаш

34

(1,1) 1f = − , (1,1) 0zx∂

=∂

, (1,1) 0zy∂

=∂

,2

2 (1,1) 6zx∂

=∂

, 2

2 (1,1) 6zy∂

=∂

, 2

(1,1) 3zx y∂

= −∂ ∂

,

3

3 (1,1) 6zx∂

=∂

, 3

3 (1,1) 6zy∂

=∂

, 3

2 (1,1) 0zx y∂

=∂ ∂

, 3

2 (1,1) 0zx y∂

=∂ ∂

.

Според тоа,

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 22 2

2 2

3 3 3 33 2 2 3

3 2 2 3

1( , ) (1,1) (1,1) 1 (1,1) 11!

1 (1,1) 1 2 (1,1) 1 1 (1,1) 12!

1 (1,1) 1 3 (1,1) 1 1 3 (1,1) 1 1 (1,1) 12!

f ff x y f x yx y

f f fx x y yx x y y

z z z zx x y x y yx x y x y y

R

⎡ ⎤∂ ∂= + − + − +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

⎡ ⎤∂ ∂ ∂+ − + − − + − +⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂+ − + − − + − − + − +⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦

+ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 3( , ) 1 3 1 3 1 1 3 1 1 1 ( , ),n nx y x x y y x y R x y= − + − − − − + − + − + − +

каде што ( , ) 0nR x y = . Забележуваме дека поради тоа што функцијата ( , )f x y е полиномна, следува ( , ) ( , )nf x y T x y= . Ако полиномната функција ( ) 3 3, 3z f x y x y xy= = + − треба да се разложи во околина на точката (0,0) , тогаш се користи МакЛореновата формула и во овој случај МакЛореновиот полином е дадената функција. ▲

Аналогна Тајлорова формула важи и кај реални функции од повеќе реални променливи.

2.10. Екстремни вредности на функција од повеќе реални променливи а) Локални екстреми

Дефиниција. Функцијата ( ),z f x y= дефинирана на множеството 2fD ⊆

има локален максимум (локален минимум) во точката 0 0( , ) fx y D∈ ако постои околина U на точката 0 0( , )x y така што

0 0( , ) ( , ), ( , ) ff x y f x y x y U D≤ ∀ ∈ ∩ (односно 0 0( , ) ( , ), ( , ) ff x y f x y x y U D≥ ∀ ∈ ∩ ).

Локалниот минимум и максимум се нарекуваат локални екстреми на

функцијата. Следнава теорема дава потребен услов за постоење локален екстрем на

функција од две реални променливи.

Теорема 2.8. Нека функцијата ( ),z f x y= дефинирана на множеството 2fD ⊆

има локален екстрем во точката 0 0( , ) fx y D∈ . Ако постојат првите парцијални

изводи zx∂∂

и zy∂∂

во точката 0 0( , )x y , тогаш

0 0( , ) 0z x yx∂

=∂

и 0 0( , ) 0z x yy∂

=∂

.

35

Доказ. Нека функцијата ( ),z f x y= има локален екстрем во точката 0 0( , ) fx y D∈ и

нека постојат првите парцијални изводи 0 0( , )z x yx∂∂

и 0 0( , )z x yy∂∂

.

Ако 0y y= , тогаш ( )0 1, ( )z f x y f x= = е функција од една реална променлива x

која има локален екстрем во точката 0x . Од тоа што постои '1 0 0 0( ) ( , )zf x x y

x∂

=∂

и од

теоремата на Ферма следува '1 0( ) 0f x = , т. 0 0( , ) 0z x y

x∂

=∂

.

Аналогно се покажува дека 0 0( , ) 0z x yy∂

=∂

. ■

Аналогна теорема важи и за реална функција од повеќе реални променливи. Реална функција од две реални променливи може да има локален екстрем само

во оние точки од нејзиниот домен во кои барем еден од првите парцијални изводи не постои или двата први парцијални изводи се еднакви на нула. Овие точки се нарекуваат критични или стационарни точки. Критичната точка во која функцијата не достигнува локален екстрем се нарекува седло за графикот на функцијата. Аналогно се дефинираат критични точки кај реална функција од повеќе реални променливи.

Пример 1. Да се определат критичните точки на функциите: а) 2 2( , )z f x y y x= = − , б) 2 2( , )z f x y x y= = + .

а) Од условот 2 0z xx∂

= − =∂

, 2 0z yy∂

= =∂

добиваме една критична точка (0,0).

б) Првите парцијални изводи 2 2

2z xx x y∂

=∂ +

и 2 2

2z yy x y∂

=∂ +

не постојат во точката

(0,0) , па според тоа таа е критична точка за дадената функција. ▲

Од теорема 2.3. следува дека ако функцијата ( ),z f x y= е диференцијабилна во

точката ( )0 0,x y , тогаш постојат парцијалните изводи од прв ред во точката

( )0 0,M x y , па според тоа стационарни точки за диференцијабилната функција

( ),z f x y= се само оние точки од нејзиниот домен во кои двата први парцијални изводи се еднакви на нула.

Од дефиницијата на прв диференцијал на функцијата ( ),z f x y= заклучуваме

дека потребен услов за диференцијабилната функција ( ),z f x y= да има локален екстрем во точката 0 0( , ) fx y D∈ е 0 0( , ) 0dz x y = за кои било ( , ) (0,0)dx dy ≠ .

Следнава теорема дава доволни услови за постоење локален екстрем на реална функција од две реални променливи ( ),z f x y= , а аналогна теорема важи и за реална функција од повеќе реални променливи.

Теорема 2.9. Нека функцијата ( ),z f x y= е диференцијабилна во околина на

точката 0 0( , ) fx y D∈ која е нејзина стационарна точка. Нека ( ),z f x y= има непрекинати втори парцијални изводи во околина на точката 0 0( , )x y . Тогаш

36

1) Ако 20 0( , ) 0d z x y > за ( , ) (0,0)dx dy ≠ , тогаш f има локален минимум во

точката 0 0( , )x y . 2) Ако 2

0 0( , ) 0d z x y < за ( , ) (0,0)dx dy ≠ , тогаш f има локален максимум во точката 0 0( , )x y .

3) Ако 20 0( , )d z x y го менува знакот за различни ( , ) (0,0)dx dy ≠ , тогаш f нема

локален екстрем во точката 0 0( , )x y . 4) Ако 2

0 0( , ) 0d z x y = за ( , ) (0,0)dx dy ≠ , тогаш се потребни понатамошни испитувања.

Како последица на теорема 2.9. се добива следнава теорема која претставува полесен критериум за испитување на природата на стационарните точки кај функција од две реални променливи.

Теорема 2.10. Нека функцијата ( ),z f x y= е диференцијабилна во околина на

точката 0 0( , ) fx y D∈ која е нејзина стационарна точка. Нека ( ),z f x y= има непрекинати втори парцијални изводи во околина на точката 0 0( , )x y и

2

0 02 ( , )zA x yx∂

=∂

, 2

0 0( , )zB x yx y∂

=∂ ∂

и 2

0 02 ( , )zC x yy∂

=∂

.

Тогаш 1) Ако 2 0AC B− > , тогаш f има локален екстрем во точката 0 0( , )x y , и тоа - ако 0A > тогаш f има локален минимум во точката 0 0( , )x y , - ако 0A < тогаш f има локален минимум во точката 0 0( , )x y . 2) Ако 2 0AC B− < , тогаш f нема локален екстрем во точката 0 0( , )x y . Во овој

случај, точката 0 0( , )x y е седло. 3) Ако 2 0AC B− = , тогаш се потребни понатамошни испитувања.

Пример 2. Да се определат локалните екстреми на функцијата 3 3 3z x y xy= + − . Стационарните точки ги наоѓаме со решавање на системот

2

2

3 3 0

3 3 0

z x yxz y xy

∂⎧ = − =⎪∂⎪⎨∂⎪ = − =∂⎪⎩

.

Од првата равенка добиваме 2y x= , со чија замена во втората равенка добиваме 4 0x x− = . Решенија на оваа равенка се 1 0x = и 2 1x = . За y добиваме 1 0y = и 2 1y = .

Значи стационарни точки се M(0,0) и N(1,1) . Испитувањето на природата на стационарните точки ќе го спроведиме на два начини, првиот начин е со примена на теорема 2.9., а вториот начин со примена на теорема 2.10.

Прв начин. Од тоа што ( )2

22 3 3 6z z x y x

x x x x∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

,

( )2

22 3 3 6z z y x y

y y y y⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

= = − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ и ( )

223 3 3z z x y

x y x y x⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

= = − = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠, следува

37

2 2 22 2 2 2

2 22 6 6 6z z zd z dx dxdy dy xdx dxdy ydyx x y y∂ ∂ ∂

= + + = − +∂ ∂ ∂ ∂

.

Забележуваме дека 2 (0,0) 6d z dxdy= − го менува знакот за различни ( , ) (0,0)dx dy ≠ , па поради тоа f нема локален екстрем во точката (0,0). Бидејќи

( )( )( )

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

(1,1) 6 6 6 3 2 2 2

3 2

3 ( ) 0

d z dx dxdy dy dx dxdy dy

dx dy dx dxdy dy

dx dy dx dy

= − + = − + =

= + + − + =

= + + − >

за ( , ) (0,0)dx dy ≠ , тогаш f има локален минимум во точката (1,1). Втор начин. Од тоа што

2

2 (0,0) 0zAx∂

= =∂

, 2

(0,0) 3zBx y∂

= = −∂ ∂

и 2

2 (0,0) 0zCy∂

= =∂

.

следува 2 9 0AC B− = − < , од каде заклучуваме дека функцијата f нема локален екстрем во точката (0,0).

2

2 (1,1) 6zAx∂

= =∂

, 2

(1,1) 3zBx y∂

= = −∂ ∂

и 2

2 (1,1) 6zCy∂

= =∂

.

Значи за точката N(1,1) важи 2 25 0AC B− = > , па следува дека функцијата f има локален екстрем во точката (1,1). Од тоа што 6 0A = > следува f имама локален минимум во точката (1,1), и тој изнесува min (1,1) 1f f= = − . ▲ б) Условни екстреми

Дефиниција. Функцијата ( ),z f x y= дефинирана на множеството 2fD ⊆

има условен максимум (условен минимум) во точката 0 0( , ) fx y D∈ на множеството fG D⊆ ако постои околина U на точката 0 0( , )x y така што

0 0( , ) ( , ), ( , )f x y f x y x y U G≤ ∀ ∈ ∩ (односно 0 0( , ) ( , ), ( , )f x y f x y x y U G≥ ∀ ∈ ∩ ).

Нека { }( , ) : ( , ) 0G x y g x y= = и нека ( ),f x y и ( ),g x y има непрекинати први парцијални изводи на множеството G . За определување на условните екстреми на функцијата ( ),z f x y= при услов

( , ) 0g x y = , може од равенката ( , ) 0g x y = една од променливите да се изрази преку другата (ако е тоа можно) и да се замени во функцијата ( ),z f x y= . Со тоа се добива функција од една реална променлива, па задачата се сведува на наоѓање на локален екстрем на функција од една реална променлива. Но често пати експлицитното изразување на една од променливите преку другата променлива од равенката ( , ) 0g x y = е комплицирано, па дури и невозможно. Во тој случај го користиме Лагранжовиот метод на неопределен множител. Формираме помошна функција (функција на Лагранж):

( , , ) ( , ) ( , )F x y f x y g x yλ λ= + ,

38

и потоа за функцијата ( , , )F x y λ ги определуваме локалните екстреми. Се покажува дека добиените локални екстреми за функцијата ( , , )F x y λ претставуваат условни екстреми на функцијата ( ),z f x y= при услов ( , ) 0g x y = .

( ),z f x y=

( , ) 0g x y =

условен максимум

условен минимум

Графикот на условната функција зададена со равенката ( , ) 0g x y = претставува цилиндрична површина во просторот 3 . Геометриски проблемот на наоѓање условни екстреми на функцијата ( ),z f x y= при услов

( , ) 0g x y = претставува определување на оние локални екстреми на функцијата ( ),z f x y= кои лежат на цилиндричната површина ( , ) 0g x y = .

Овој метод може да се прошири и на функции од повеќе реални променливи, како и при повеќе услови. Така на пример, ако треба да се определат условните екстреми на функцијата ( ),z f x y= при услови 1( , ) 0g x y = , 2 ( , ) 0g x y = , ...,

( , ) 0ng x y = , тогаш Лагранжова функција има облик

1 2 1 1 2 2( , , , , , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )n n nF x y f x y g x y g x y g x yλ λ λ λ λ λ= + + + +… … .

Пример 3. Да се определат условните екстреми на функцијата ( , ) 2z f x y x y= = + под услов 2 2 5x y+ = .

2z x y= +условен максимум

условенминимум

x +y2 2=5

Функцијата на Лагранж е :

( )2 2

( , , ) ( , ) ( , )

2 5 .

F x y f x y g x y

x y x y

λ λ

λ

= + =

= + + + −

Стационарните точки ги наоѓаме со решавање на системот

2 2

1 2 0

2 2 0

5 0

F xxF yyF x y

λ

λ

λ

⎧∂= + =⎪ ∂⎪

∂⎪ = + =⎨ ∂⎪⎪∂

= + − =⎪∂⎩

.

Од првата и втората равенка добиваме 12

xλ

= − и 1yλ

= − соодветно. Со замена во

третата равенка добиваме 2 2

1 1 54λ λ

+ = . Решенија на оваа равенка се 112

λ = − и

39

212

λ = . За x и y добиваме 1 1x = − , 1 2y = − и 2 1x = , 2 2y = . Значи стационарни

точки за функцијата F се ( 1, 2)M − − и (1,2)N .

Од тоа што 2

2 2Fx

λ∂=

∂,

2

2 2Fy

λ∂=

∂ и

2

0Fx y∂

=∂ ∂

, следува

2

2 ( 1, 2) 1FAx

∂= − − =∂

, 2

( 1, 2) 0FBx y∂

= − − =∂ ∂

и 2

2 ( 1, 2) 1FCy

∂= − − =∂

.

Бидејќи 2 1 0AC B− = > , следува дека функцијата F има локален екстрем во точката ( 1, 2)M − − . Од тоа што 1 0A = > следува F има локален минимум во точката ( 1, 2)M − − , т.е. дадената функција f има условен минимум во точката ( 1, 2)M − − и

тој изнесува min ( 1, 2) 5f f= − − = − . 2

2 (1, 2) 1FAx

∂= = −∂

, 2

(1, 2) 0FBx y∂

= =∂ ∂

и 2

2 (1, 2) 1FCy

∂= = −∂

.

Бидејќи 2 1 0AC B− = > , следува дека функцијата F има локален екстрем во точката (1, 2)N . Од тоа што 1 0A = − < следува F има локален максимум во точката (1,2)N ,

т.е. дадената функција f има условен максимум во точката (1, 2)N и тој изнесува

max (1, 2) 5f f= = . ▲ в) Апсолутни екстреми

Дефиниција. Функцијата ( ),z f x y=

дефинирана на множеството 2fD ⊆

има апсолутен максимум (апсолутен минимум) во точката 0 0( , ) fx y D∈ ако

0 0( , ) ( , ), ( , ) ff x y f x y x y D≤ ∀ ∈ (односнo

0 0( , ) ( , ), ( , ) ff x y f x y x y D≥ ∀ ∈ ).

апсолутенминимум

Ако ( ),z f x y= има апсолутен максимум (најголема вредност) или апсолутен

минимум (најмала вредност) во точката 0 0( , ) fx y D∈ , тогаш велиме дека таа има апсолутен (глобален) екстрем во таа точка.

Така на пример, функцијата 2 2( , ) 1z f x y x y= = + + постигнува најмала вредност (апсолутен минимум) во точката (0,0) и таа изнесува (0,0) 1f = . Графикот на оваа функција е параболоид скициран на горната слика.

Често пати наместо на целата дефинициона област се бара апсолутен екстрем на функција над дадена затворена и ограничена област. Непрекинатата функција

( ),z f x y= постигнува апсолутен екстрем на затворена и ограничена област 2

fX D⊆ ⊆ или во точки од работ на областа X или во стационарните точки кои припаѓаат на областа X . Со споредба на вредноста на функцијата во овие точки се определуваат апсолутните екстреми.

40

апсолутенминимум

апсолутенмаксимум

X

Пример 4. Да се определат апсолутните екстреми на функцијата 3( , ) 3f x y x y= на единичниот квадрат { }( , ) : 0 1, 0 1K x y x y= ≤ ≤ ≤ ≤ .

Ги определуваме стационарните точки кои припаѓаат во внатрешноста на квадратот K . Со решавање на системот

2

3

9 0

3 0

f x yxf xy

∂⎧ = =⎪∂⎪⎨∂⎪ = =∂⎪⎩

добиваме дека точките од облик (0, )y , y∈ се стационарни точки за дадената функција. Но тие не припаѓаат во внатрешноста на квадратот K . Според тоа, дадената функција достигнува апсолутен екстрем во некоја точка од работ на K .

1) Ако 0x = и 0 1y≤ ≤ , тогаш дадената функција се анулира, т.е. ( , ) 0z f x y= = .

2) Ако 1x = и 0 1y≤ ≤ дадената функција го добива обликот

1( , ) 3 ( )f x y y f y= = . Ги бараме апсолутните екстреми на функцијата од една променлива 1( )f y на сегментот [0,1] . За 0 1y< < , функцијата нема стацио-нарни точки бидејќи '

1 ( ) 3 0f y = ≠ , [0,1]y∀ ∈ , па 1f постигнува апсолутен ми-

41

нимум во точката 0y = и тој изнесува 1(0) 0f = и апсолутен максимум во точката 1y = и тој изнесува 1(1) 3f = .

3) Ако 0y = и 0 1x≤ ≤ , тогаш дадената функција се анулира, т.е. ( , ) 0z f x y= = .

4) Ако 1y = и 0 1x≤ ≤ дадената функција го добива обликот 3

2( , ) 3 ( )f x y x f x= = . Ги бараме апсолутните екстреми на функцијата од една променлива 2 ( )f x на сегментот [0,1] . За 0 1x< < , функцијата има стацио-нарни точки 1 1x = − и 2 1x = кои се добиваат со решавање на равенката

' 22 ( ) 9 0f x x= = . Точката 1 1x = − не припаѓа на сегментот [0,1] . Со споредба на

вредноста на функцијата 2 ( )f x во точките 0x = и 1x = , заклучуваме дека 2f достигнува апсолутен минимум во точката 0x = и тој изнесува 2 (0) 0f = и апсолутен максимум во точката 1x = и тој изнесува 2 (1) 3f = .

Според тоа, дадената функција 3( , ) 3f x y x y= има апсолутен минимум во точките од облик (0, )y , 0 1y≤ ≤ , како и во точките од облик ( ,0)x , 0 1x≤ ≤ и тој изнесува min 0f = . Функцијата има апсолутен максимум во точката (1,1), max 3f = . ▲