M1201 - Mathématiques discrètes TD 3 - Relation binaire de E vers F 2020/2021 - A. RIDARD Exercice 1. On considère l’emploi du temps suivant : Lundi Mardi Mercredi Jeudi Vendredi Algorithmique BDD Communication Algorithmique Systèmes et Réseaux Programmation Programmation Algorithmique Programmation Anglais BDD Systèmes et Réseaux Mathématiques Mathématiques Anglais Économie 1. Modéliser cet emploi du temps à l’aide d’une relation binaire et la représenter graphiquement. 2. Proposer un nouvel emploi du temps, en évitant les créneaux grisés, modélisable cette fois à l’aide d’une fonction. Exercice 2. Soit I un intervalle de R et f : I → R une application. Montrer que si f est strictement croissante [1] , alors elle est injective. Exercice 3. On considère E , F deux ensembles et f : E → F une application. 1. Étant données A, A 0 deux parties de E , montrer : A ⊂ A 0 =⇒ f ( A) ⊂ f ( A 0 ). 2. Étant données B , B 0 deux parties de F , montrer : B ⊂ B 0 =⇒ f -1 (B ) ⊂ f -1 (B 0 ). Exercice 4. On considère E , F deux ensembles et f : E → F une application. 1. Soit A, A 0 deux parties de E . Montrer : (a) f ( A ∪ A 0 ) = f ( A) ∪ f ( A 0 ) (b) f ( A ∩ A 0 ) ⊂ f ( A) ∩ f ( A 0 ) 2. Montrer : ( ∀A, A 0 ⊂ E , f ( A ∩ A 0 ) = f ( A) ∩ f ( A 0 ) ) ⇐⇒ f injective 3. Soit B , B 0 deux parties de F . Montrer : (a) f -1 (B ∪ B 0 ) = f -1 (B ) ∪ f -1 (B 0 ) (b) f -1 (B ∩ B 0 ) = f -1 (B ) ∩ f -1 (B 0 ) Exercice 5. On considère E , F deux ensembles et f : E → F une application. Montrer : 1. ∀A ⊂ E , A ⊂ f -1 ( f ( A) ) 2. ∀B ⊂ F, f ( f -1 (B ) ) ⊂ B 3. ‡ ∀A ⊂ E , A = f -1 ( f ( A) ) · ⇐⇒ f injective 4. ‡ ∀B ⊂ F, f ( f -1 (B ) ) = B · ⇐⇒ f surjective [1]. ∀x, y ∈ I , x < y =⇒ f (x) < f ( y ) 1