M103 Linearna algebra 1 Tema: Linearni operatori 8. 5. 2018. predavaˇ c: Darija Markovi´ c asistent: Darija Markovi´ c
M103 Linearna algebra 1
Tema: Linearni operatori
8. 5. 2018.
predavač: Darija Marković asistent: Darija Marković
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Matrični zapis linearnog operatora
1 Matrični zapis linearnog operatora
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 2/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Matrični zapis linearnog operatora
Primjer 2.34.
Neka je V = LuM pri čemu je dimL = k i dimV = n. Znamo datada svaki vektor x ∈ V ima jedinstven zapis u oblikux = a+ b, a ∈ L, b ∈M. Neka je sada preslikavanje P : V → Vdefinirano formulom
Px = a.
P se zove projektor na potprostor L u smjeru potprostora M .
Primjer 2.35.Pogledajmo operator deriviranja
D ∈ L(Pn), Dp = p′
na prostoru polinoma Pn.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 3/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Matrični zapis linearnog operatora
Primjer 2.34.
Neka je V = LuM pri čemu je dimL = k i dimV = n. Znamo datada svaki vektor x ∈ V ima jedinstven zapis u oblikux = a+ b, a ∈ L, b ∈M. Neka je sada preslikavanje P : V → Vdefinirano formulom
Px = a.
P se zove projektor na potprostor L u smjeru potprostora M .
Primjer 2.35.Pogledajmo operator deriviranja
D ∈ L(Pn), Dp = p′
na prostoru polinoma Pn.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 3/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Matrični zapis linearnog operatora
Napomena 2.36.
Za A ∈ L(V,W ) pišemo
[A]fe = [αij ] ∈Mmn.
Sjetimo se baze {Eij : i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n} prostora L(V,W )koju smo konstruirali u dokazu teorema 2.27. Lako se vidi da u toj bazioperatoru A pripada rastav
A =
m∑i=1
n∑j=1
αijEij ,
gdje su αij upravo matrični koeficijenti iz matrice [A]fe .
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 4/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Matrični zapis linearnog operatora
Propozicija 2.37.
Neka su e = {e1, . . . , en} i f = {f1, . . . , fm} baze vektorskih prostoraV i W , neka je x ∈ V i A ∈ L(V,W ). Tada je
[Ax]f = [A]fe [x]e.
Propozicija 2.38.
Neka su redom e = {e1, . . . , en}, f = {f1, . . . , fm} i g = {g1, . . . , gl}baze vektorskih prostora V , W i X , neka je A ∈ L(V,W ) iB ∈ L(W,X). Tada za operator BA ∈ L(V,X) vrijedi
[BA]ge = [B]gf [A]
fe .
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 5/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Matrični zapis linearnog operatora
Propozicija 2.37.
Neka su e = {e1, . . . , en} i f = {f1, . . . , fm} baze vektorskih prostoraV i W , neka je x ∈ V i A ∈ L(V,W ). Tada je
[Ax]f = [A]fe [x]e.
Propozicija 2.38.
Neka su redom e = {e1, . . . , en}, f = {f1, . . . , fm} i g = {g1, . . . , gl}baze vektorskih prostora V , W i X , neka je A ∈ L(V,W ) iB ∈ L(W,X). Tada za operator BA ∈ L(V,X) vrijedi
[BA]ge = [B]gf [A]
fe .
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 5/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Matrični zapis linearnog operatora
Napomena 2.39.Isprva se definicija matričnog množenja uvijek čini kao zamršen ineintuitivan koncept. Sad, nakon prethodnih dviju propozicija, vidimostvarnu prirodu te definicije. Matrično množenje je, zapravo, i definiranotako kako jest upravo zato da bismo imali pravila računanja kakva suiskazana u prethodnim dvjema propozicijama.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 6/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Matrični zapis linearnog operatora
Propozicija 2.40.
Neka su e = {e1, . . . , en} i f = {f1, . . . , fm} baze vektorskih prostoraV i W , te neka je A ∈ L(V,W ). Tada je
r(A) = r([A]fe ).
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 7/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Matrični zapis linearnog operatora
Korolar 2.41.
Neka je V vektorski prostor nad poljem F i neka je e = {e1, . . . , en}baza za V . Tada je
Φ : L(V )→Mn(F), Φ(A) = [A]ee
izomorfizam algebri.
Korolar 2.42.
Neka je V vektorski prostor nad F i neka je e = {e1, . . . , en} baza za V .Operator A ∈ L(V ) je regularan ako i samo ako je [A]ee regularnamatrica.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 8/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Matrični zapis linearnog operatora
Korolar 2.41.
Neka je V vektorski prostor nad poljem F i neka je e = {e1, . . . , en}baza za V . Tada je
Φ : L(V )→Mn(F), Φ(A) = [A]ee
izomorfizam algebri.
Korolar 2.42.
Neka je V vektorski prostor nad F i neka je e = {e1, . . . , en} baza za V .Operator A ∈ L(V ) je regularan ako i samo ako je [A]ee regularnamatrica.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 8/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Matrični zapis linearnog operatora
Teorem 2.43.
Neka je A ∈ L(V,W ) i neka su e = {e1, . . . , en}, e′ = {e′1, . . . , e′n} tef = {f1, . . . , fm}, f ′ = {f ′1, . . . , f ′m} po dvije baze prostora V ,odnosno W . Neka su operatori T ∈ L(W ) i S ∈ L(V ) definirani nabazama f , odnosno e, s
Tfi = f′i , i = 1, . . . ,m,
iSej = e
′j , j = 1, . . . , n.
Tada je[A]f
′
e′ = ([T ]ff )−1[A]fe [S]
ee
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 9/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Matrični zapis linearnog operatora
Definicija 2.44.Matrica
[S]ee = [I]ee′ ,
zove se matrica prijelaza iz baze e u bazu e′.
Korolar 2.45.
Neka je A ∈ L(V ), neka su e = {e1, . . . , en} i e′ = {e′1, . . . , e′n} dvijebaze za V te neka je [S]ee = [I]
ee′ , matrica prijelaza iz baze e u bazu e
′.Tada je
[A]e′e′ = ([S]
ee)−1[A]ee[S]
ee
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 10/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Matrični zapis linearnog operatora
Definicija 2.44.Matrica
[S]ee = [I]ee′ ,
zove se matrica prijelaza iz baze e u bazu e′.
Korolar 2.45.
Neka je A ∈ L(V ), neka su e = {e1, . . . , en} i e′ = {e′1, . . . , e′n} dvijebaze za V te neka je [S]ee = [I]
ee′ , matrica prijelaza iz baze e u bazu e
′.Tada je
[A]e′e′ = ([S]
ee)−1[A]ee[S]
ee
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 10/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Matrični zapis linearnog operatora
Korolar 2.46.
Neka su e = {e1, . . . , en} i e′ = {e′1, . . . , e′n} dvije baze za V , neka je[S]ee = [I]
ee′ , matrica prijelaza iz baze e u bazu e
′. Tada je
([S]ee)−1 = ([I]ee′)
−1,
matrica prijelaza iz baze e′ u bazu e.
Korolar 2.47.
Neka su e = {e1, . . . , en} i e′ = {e′1, . . . , e′n} dvije baze za V , neka je[S]ee = [I]
ee′ , matrica prijelaza iz baze e u bazu e
′. Tada za svaki vektor xiz V vrijedi
[x]e′
= ([S]ee)−1[x]e.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 11/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Matrični zapis linearnog operatora
Korolar 2.46.
Neka su e = {e1, . . . , en} i e′ = {e′1, . . . , e′n} dvije baze za V , neka je[S]ee = [I]
ee′ , matrica prijelaza iz baze e u bazu e
′. Tada je
([S]ee)−1 = ([I]ee′)
−1,
matrica prijelaza iz baze e′ u bazu e.
Korolar 2.47.
Neka su e = {e1, . . . , en} i e′ = {e′1, . . . , e′n} dvije baze za V , neka je[S]ee = [I]
ee′ , matrica prijelaza iz baze e u bazu e
′. Tada za svaki vektor xiz V vrijedi
[x]e′
= ([S]ee)−1[x]e.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 11/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Matrični zapis linearnog operatora
Primjer 2.48.
Neka je e kanonska baza u R2, a e′ = {e′1, e′2}, e′1 = (2,−1),e′2 = (−1, 1). Neka je operator A ∈ L(R2) zadan s
A(x1, x2) = (x1 + x2, x1 − x2)
te neka je x = (1, 1). Izračunat ćemo [Ax]e i [Ax]e′.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 12/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Matrični zapis linearnog operatora
Definicija 2.49.
Neka su A,B ∈Mn(F). Kažemo da je matrica B slična matrici A akopostoji regularna matrica S ∈ GL(n,F) takva da je
B = S−1AS.
Korolar 2.50.
Neka je V konačnodimenzionalan vektorski prostor i A ∈ L(V ). Matričniprikazi operatora A u raznim bazama su slične matrice.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 13/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Matrični zapis linearnog operatora
Definicija 2.49.
Neka su A,B ∈Mn(F). Kažemo da je matrica B slična matrici A akopostoji regularna matrica S ∈ GL(n,F) takva da je
B = S−1AS.
Korolar 2.50.
Neka je V konačnodimenzionalan vektorski prostor i A ∈ L(V ). Matričniprikazi operatora A u raznim bazama su slične matrice.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 13/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Matrični zapis linearnog operatora
Napomena 2.51.
Često se nameće potreba za obratnim postupkom: za danu matricu Atrebamo naći linearan operator čiji će matrični zapis u nekom paru baza (iliu nekoj bazi, ako je matrica kvadratna) biti upravo A. Evo kako to možemoučiniti. Neka je zadana matrica A = [αij ] ∈Mmn(F).Uzmimo dva vektorska prostora V i W nad F tako da je dimV = n idimW = m, zatim neke baze e = {e1, . . . , en} u V if = {f1, . . . , fm} u W te uz pomoć propozicije 2.10. definirajmoà ∈ L(V,W ) formulom
Ãej =
m∑i=1
αijfi, ∀j = 1, . . . , n.
Jasno je da vrijedi [Ã]fe = A.Još uočimo: ako je polazna matrica A kvadratna onda se može uzetiW = V i f = e.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 14/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Matrični zapis linearnog operatora
Napomena 2.52.
Neka je Ax = b proizvoljan sustav linearnih jednadžbi i Ax = 0 pridruženhomogeni sustav.Uvedemo li kao u prethodnoj napomeni prostore V i W , operator à i(analognim postupkom) vektor b̃ ∈W takav da je
[b̃]f = b,
primjenom propozicija 2.29. , 2.30. i 2.37. rješavanje polaznog sustavasvodi se na rješavanje vektorske jednadžbe
Ãx = b̃.
To omogućuje alternativni (i zapravo znatno brži i elegantniji) tretmansustava linearnih jednadžbi. Npr. informacija o dimenziji prostora rješenjahomogenog sustava dobije se sada kao direktna posljedica teorema orangu i defektu.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 15/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
Matricni zapis linearnog operatora