Hans Welleman 1 M-V-N-lijnen Nadruk op de differentiaalvergelijking
Hans Welleman 1
M-V-N-lijnenNadruk op de differentiaalvergelijking
Hans Welleman 2
Uitwendige krachten120 kN
40 kN
90 kN30 kN
40 kN
4,0 m 2,0 m 2,0 m
98,49 kN50 kN
werklijnen van de
reactiekrachten
Hans Welleman 3
Inwendige krachten ??
120 kN
98,49 kN50 kN
Kracht kan niet via de
werklijn want daar zit
soms lucht …..
Hans Welleman 4
Ligger (beschouwd als star)
120 kN98,49 kN50 kN
Kracht kan niet via de
werklijn maar moet
via de ligger
4,0 m 2,0 m 2,0 m
?
Hans Welleman 5
Snedekrachten
krachtpunt
staafas
30 kN
• dwarskracht
40 kN
• normaalkracht
120 kNm
• (buigend)
moment
Conclusie:
Kracht in het krachtpunt van de
doorsnede kan worden vervangen door
drie snedekrachten (M, V en N ) t.p.v. de liggeras (NC).
Hans Welleman 6
Totale snede (links en rechts)
• Normaalkracht N
• Dwarskracht V
• Buigend moment M
Actie en reactie dus
snedekrachten komen
paarsgewijs voor
staafas staafas
Hans Welleman 7
Verschil met de pendelstaaf ?
NN
pendelstaaf
NN
V
V MM
Zeer belangrijk, worden teveel fouten
mee gemaakt !
algemene staaf of ligger
Hans Welleman 8
Definities en afspraken
Snedekracht is een “soort” verbindingskracht
Normaalsnede loodrecht op de staafas
Normaalkracht loodrecht op de snede
Dwarskracht loodrecht op de staafas
normaalsnede
staafasM
NV
Volgens Newton: Actie = reactie
Snedekrachten komen paarsgewijs voor
Hans Welleman 9
FORMELE RICHTINGEN
Assenstelsel
Snede-definitie
Afspraken voor N, V en M
z
xn
positieve snede
n
negatieve snede
V
NM
N
VM
Hans Welleman 10
POSITIEVE RICHTINGEN
Een positieve dwarskracht op een positieve snede wijst in de
richting van de positieve z-as
Een positieve normaalkracht werkt in de richting van de normaal
van de snede (trek = positief)
Een positief (buigend) moment op een positieve snede werkt
zodanig dat vezels aan de positieve z-zijde verlengen
M
N
VM
N
VM
NM
z
x
+++++positieve z-zijde
Hans Welleman 11
POSITIEVE RICHTINGEN
Een positieve dwarskracht op een negatieve snede wijst in de
richting van de negatieve z-as
Een positieve normaalkracht werkt in de richting van de normaal
van de snede (trek = positief)
Een positief (buigend) moment op een negatieve snede werkt
zodanig dat vezels aan de positieve z-zijde verlengen
M
N
VM
N
VM
NM
z
x
+++++positieve z-zijde
Hans Welleman 12
DIAGRAMMEN VOOR N, V en M
x-as
N(x)
+normaalkrachtenlijn : N-lijn
x-as
V(x)
+
dwarskrachtenlijn : V-lijn
x-as
M(x)
+
momentenlijn : M-lijn
Zet de grafieken uit met de positieve waarden onder de as.
Hans Welleman 13
BEPALING DIAGRAMMEN
“brute kracht” methode m.b.v. veel sneden….
“wiskundige aanpak” door gebruik te maken
van differentiaalbetrekkingen
“Ingenieursmethode” door handige
combinatie van de eerste twee methoden
hoofdstuk 10
hoofdstuk 11
hoofdstuk 12
Voorbeelden in hoofdstuk 13
Hans Welleman 14
Introductie N-, V- en M-lijn
Puntlasten
Koppels
…..
8,0 m
z
60 kN
2,0
x
z
80 kNm
4,0
x
Hans Welleman 15
Conclusies PUNTLAST
Constante V-lijn voor delen zonder
belasting en een lineaire M-lijn
T.p.v. de puntlast F een sprong F in de
V-lijn en een knik in de M-lijn
Ook een sprong in de V-lijn bij de
opleggingen (logisch …. ?)
Hans Welleman 16
Conclusies KOPPEL
Constante V-lijn en de plaats van het
koppel vind je niet terug in de V-lijn
Lineaire M-lijn met een sprong T t.p.v.
het koppel T
Helling van de M-lijn is constant
Hans Welleman 17
“Brute kracht” voorbeeld 1
x
M-lijn ?
V-lijn ?
Aanpak:
Maak om de meter
een snede en bepaal
daar V en M. Neem
positieve richtingen
aan voor V en M.
5,0 m
z
10 kN/m
Krachtenevenwicht
V(1,0) = 40 kN
Momentenevenwicht
M(1,0) = -80 kNmx
4,0 m
10 kN/m
M(1,0)
V(1,0)
1,0 m Voorbeeld : snede op 1,0 m
let op: positieve snedekrachten
op een negatieve snede !
negatieve
snede
Hans Welleman 18
RESULTAATx V [kN] M [kNm]
0 50 -125
1 40 -80
2 30 -45
3 20 -20
4 10 -5
5 0 0
50
V-lijn [kN]
M-lijn [kNm]
-125
Hans Welleman 19
“Brute kracht” voorbeeld 2M-lijn ?
V-lijn ?
5,0 m
z
10 kN/m
25 kN25
x
4,0 m
10 kN/m
M(1,0)
V(1,0)
1,0 m
Voorbeeld : snede op 1,0 m
let op: positieve snedekrachten
op een negatieve snede !
negatieve
snede 25 kN
Krachtenevenwicht
V(1,0) = 15 kN
Momentenevenwicht
M(1,0) = 20 kNm
Hans Welleman 20
RESULTAATx V [kN] M [kNm]
0 25 0
1 15 20
2 5 30
3 -5 30
4 -15 20
5 -25 0
25
V-lijn [kN]
-25
M-lijn [kNm]
30
20?
Hans Welleman 21
Exacte verloop bepalen
Voorbeeld 15,0 m
z
10 kN/m
Voorbeeld 2
5,0 m
z
10 kN/m
ff doen !
Hans Welleman 22
Voorlopige ontdekking ….
De V-lijn is mogelijk de afgeleide van
het moment ? Anders gezegd : De
helling van de M-lijn is gelijk aan de V-
lijn.
De helling van de V-lijn is op het teken
na gelijk aan de q-last ?
TU-Delft : Dit moeten we bewijzen !
Differentiaalvergelijkingen
Hans Welleman 23
Hans Welleman 24
EXTENSIE : Evenwicht
x
nN+ N
nN
qx
x
Horizontaal evenwicht:
0x
x
N q x N N
Nq
x
0
dlim
d
ddifferentiaalvergelijking
d
x
x
N N
x x
Nq
x
De verandering van de normaalkracht is in absolute zin gelijk
aan de verdeelde belasting
Hans Welleman 25
VOORBEELD
5,0 m
10 2xq x 21
1
1
2
d10 2
d
(één keer integreren)
( ) 10
randvoorwaarde:
5,0 0
invullen:
0 10 5,0 25,0
25,0
( ) 10 25
Nx
x
N x x x C
x N
C
C
N x x x
25,0
6,25
N [kN]
vrije randvaste rand
Hans Welleman 26
0
0
dlim
d
dMlim
d
x
x
V V
x x
M
x x
Verticaal evenwicht:
0z
z
V q x V V
Vq
x
Momentenevenwicht om
rechtersnede:
12
12
( ) 0z
z
M V x
q x x M M
Mq x V
x
0x
Differentiaalvergelijk voor buiging:Momentevenwicht en verticaal krachtenevenwicht voor een stukje ligger met lengte Δx
qz
M +M
VM
z
x
V+V
x
Hans Welleman 27
Verticaal evenwicht:
0z
z
V q x V V
Vq
x
Momentenevenwicht om
rechtersnede:
12
12
( ) 0z
z
M V x
q x x M M
Mq x V
x
0x
qz
M +M
VM
z
x
V+V
x
d
d
d
d
z
Vq
x
MV
x
Differentiaalvergelijk voor buiging:Momentevenwicht en verticaal krachtenevenwicht voor een stukje ligger met lengte Δx
Hans Welleman 28
VOORBEELD
5,0 m
z
10 kN/m
1
1 1
10
(één keer integreren)
( ) 10
randvoorwaarde:
5,0 0
invullen
0 10 5 50
dV
dx
V x x C
x V
C C
( ) 10 50V x x
2
2
2
2
10 50
(één keer integreren)
( ) 5 50
randvoorwaarde:
5,0 0
invullen
0 5 25 50 5
125
dMV x
dx
M x x x C
x M
C
C
2( ) 5 50 125M x x x
x
Voor grafieken zie vorige les.
Hans Welleman 29
RESULTAAT
1 differentiaalvergelijking voor extensie
2 differentiaalvergelijkingen voor buiging
en dwarskracht
d
d
d
d
d
d
x
z
Nextensie q
x
Vq
xbuiging
MV
x
Hans Welleman 30
Conclusies
Helling van de N-lijn (dN/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in x-richting
Helling van de V-lijn (dV/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in z-richting
Helling van de M-lijn (dM/dx) is gelijk aan de
dwarskracht (V)
Hans Welleman 31
Gevolg : buiging
Geen q-last in z-richting
constante V-lijn
lineair verlopende M-lijn
q-last constant in z-richting
lineair verlopende V-lijn
parabolisch verlopende M-lijn
Hans Welleman 32
Nadeel “wiskundige aanpak”
D.V. geldt alleen voor velden waar “niets” verandert (continue beschrijving)
Bij iedere discontinuiteit eindigt een veld en begint een nieuw veld………
“Grof geschut” in verhouding tot de complexiteit van de problemen
T Fq q
6 velden, voor ieder veld een eigen set van D.V. oplossen ???
Hans Welleman 33
Ingenieurs – aanpak (volgende les)
Maak zoveel mogelijk gebruik van aanwezige
voorkennis (beschreven m.b.v. de wiskundige
verbanden)
Construeer de M-lijn door voor een aantal
karakteristieke punten m.b.v. de snede-
aanpak het moment te bepalen
Verzin iets op het probleem met het
assenstelsel …..
Hans Welleman 34
x
Tekenproblemen voor V- en M
N-, V- en M-lijn ?
60 kN
45 kN
FOUTGOED
Hans Welleman 35
Oplossing voor buiging
“verbuigingsteken”
Hans Welleman 36
Dwarskracht
ook wel “fietstrappers”
genoemd …
Hans Welleman 37
VERVORMINGSTEKENS
Normaalkracht : “trek (+) en druk (-)”
Dwarskracht : “fietstrappers”
Moment : “verbuigingsteken”
VISUELE AANPAK
Hans Welleman 38
M-lijn en verbuigingsteken
open zijde naar de ligger-as gericht
Hans Welleman 39
V- en
M ?helling 0
helling 0
helling 0
helling 0
Hans Welleman 40
V- en
M ?helling 0
helling 0
helling 0
helling 0
Eenvoudig voorbeeld M-lijn en
V-lijn
Hans Welleman 41
Hans Welleman 42
5,0 kN/m
4,0 ml = 8,0 m
10 kN
AB
C
Hans Welleman 43
5,0 kN/m
4,0 ml = 8,0 m
10 kN
0,125 ql2= 40 kNm
40 kNm
10 kNVB-rechtsMB
AB
C
M-lijn
helling = 15
helling = 25
helling = 10
V-lijn
10 kN
25 kN
15 kN M maximaal waar V=0 !
3,0 mMmax = 22,5 kNm
40 kNm20 kNm
Hans Welleman 44
5,0 kN/m
4,0 ml = 8,0 mA
BC
10 kN
40 kNm
20 kNm
4,0 m
3,0 m
22,5 kNm
10 kN
25 kN
15 kN
35 kN
35 kN15 kNCONTROLEER
• Knikken in M-lijn ?
• Sprongen in V-lijn ?
• Lineair en parabolisch ?
LiteratuurToegepaste Mechanica – Deel 1 (Evenwicht)
• Hoofdstuk 11 – Wiskunde beschrijving van het verband tussen snedekrachten en en
belasting
Ondersteunend materiaal:
• Hoofdstuk 10 – Snedekrachten
• Hoofdstuk 12 – M-V-N-lijnen
En nu oefenen
Coz blok 5 – M & V-lijnen