M - Příprava na pololetku č. 1 - 1SA, 1SB. Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s odkazem na http://www.jarjurek.cz . Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu doSystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz. VARIACE 1
47
Embed
M - Příprava na pololetku č. 1 - 1SA, 1SB. · 2014. 7. 26. · M - Příprava na pololetku č. 1 - 1SA, 1SB. 1 •• číslo, které dělíme, nazýváme dělenec, číslo, kterým
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
M - Příprava na pololetku č. 1 -1SA, 1SB.
Autor: Mgr. Jaromír JuřekKopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s odkazem na http://www.jarjurek.cz.
Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu doSystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.
Přirozená čísla - označujeme N Potřebujeme-li přidat nulu, pak označujeme N0. - jedná se o čísla 1, 2, 3, 4, ... Nejmenší přirozené číslo je 1.
Celá čísla - označujeme Z (Opět můžeme vytvářet např. Z+, Z
-, či Z0+.)
- tento číselný obor dostaneme, když k přirozeným číslům přidáme čísla opačná a nulu
Racionální čísla - označujeme Q (Opět můžeme vytvářet např. Q+, Q
-, či Q0+.)
- jsou to všechna čísla, která můžeme vyjádřit zlomkem s celočíselným čitatelem i jmenovatelem.
Iracionální čísla - nemají své označení, protože ho vlastně nepotřebujeme - patří sem např. čísla p, Ö2, Ö3, apod.
Reálná čísla - označujeme je R (Opět můžeme vytvářet např. R+, R
-, či R0+.)
- jsou to všechna čísla, která můžeme zobrazit na číselné ose
Komplexní čísla - označujeme je C - jsou to čísla, která už nelze zobrazit na jedné číselné ose, ale potřebujeme k tomu dvě na
sebe kolmé osy (podobně jako pro zobrazení bodů v rovině). Rovinu, v níž čísla zobrazujeme, nazýváme Gaussovou rovinou.
Číselné výrazy±
Číselné výrazy, výpočty s reálnými čísly
Výraz je matematický zápis, ve kterém se vyskytují čísla (např. 2, 76, 896), proměnné (např. x, y, z), znaky početních operací (např. +, -, :), případně i pomocné znaky (např. závorky).
Pokud se ve výrazu nevyskytují proměnné, ale pouze čísla, hovoříme o číselném výrazu.
Pozn.: Úpravy číselných výrazů budeme provádět zpaměti, tedy bez použití kalkulačky
Přehled základních operací s číselnými výrazy
1. Sčítání (odečítání) číselných výrazů• členy při sčítání nazýváme sčítanci, výsledek pak součet; při odečítání nazýváme číslo, od něhož odečítáme,
menšenec, číslo, které odečítáme, menšitel a výsledek rozdíl• při sčítání využíváme vhodně komutativnost, případně asociativnost• jedná-li se o složitější čísla, postupujeme odzadu, podobně jako při sčítání (odečítání) písemném - pozor na
odpovídající si řády!• zlomky sčítáme (odečítáme) tak, že je nejprve převedeme na společného jmenovatele
2. Násobení číselných výrazů• členy, které mezi sebou násobíme, nazýváme činitelé, výsledek pak jejich součin• opět výhodně využíváme komutativnost nebo asociativnost• složitější čísla si vynásobíme formou pomocného výpočtu pod sebe, případně můžeme využít některých
dalších pomůcek (např. máme-li číslo vynásobit 25, je vhodné ho vynásobit stem a následně vydělit čtyřmi)• násobíme-li desetinná čísla, má výsledek tolik desetinných míst, kolik jich měly všechny činitelé dohromady• násobíme-li mezi sebou zlomky, pak součin jejich čitatelů lomíme součinem jejich jmenovatelů Pozn.: U zlomku horní číslo nazýváme čitatel, spodní jmenovatel
3. Dělení číselných výrazů
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)2.1.2010 13:22:34 1 z 45
M - Příprava na pololetku č. 1 - 1SA, 1SB. 1
• číslo, které dělíme, nazýváme dělenec, číslo, kterým dělíme, nazýváme dělitel a výsledek podíl• opět můžeme používat různé triky - např. chceme-li číslo dělit 25, pak ho vydělíme stem a následně
vynásobíme čtyřmi• dělíme-li mezi sebou desetinná čísla, postupujeme nejprve tak, že výpočet rozšíříme tak, aby v děliteli
vymizelo desetinné číslo• dělení často vyjadřujeme zlomkem
Pozn.: Zlomky můžeme rozšiřovat (tj. můžeme násobit jejich čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly), dále je můžeme též krátit (tj. dělit jejich čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly). Při rozšiřování nebo krácení zlomků se nemění jejich hodnota. Zlomek je v základním tvaru, pokud už ho nelze dále krátit.
• dělíme-li mezi sebou dva zlomky, násobíme první zlomek (v nezměněné podobě) převrácenou hodnotou druhého zlomku
Pozn.: Převrácenou hodnotu zlomku dostaneme tak, že jeho čitatele nahradíme jmenovatelem a naopak. Pokud u zlomku změníme jen znaménko, dostáváme zlomek opačný. Při této činnosti je jedno, zda napíšeme znaménko do čitatele, do jmenovatele nebo před zlomek.
4. Umocňování číselných výrazů• umocňujeme-li desetinné číslo, pak výsledek má tolik desetinných míst, kolik je součin desetinných míst u
původního čísla a exponentu mocniny• umocňujeme-li číslo, které končí jednou nebo více nulami, pak umocníme tu část čísla, která vznikne po
pomyslném odstranění nul a připíšeme tolik nul, kolik je součin jejich původního počtu a čísla v exponentu• umocňujeme-li zlomek, pak umocňujeme jeho čitatele i jmenovatele• druhé mocniny čísel do 20 musíme znát zpaměti1
21 11
2121
22
4 122
1443
29 13
2169
42
16 142
1965
225 15
2225
62
36 162
2567
249 17
2289
82
64 182
3249
281 19
2361
102
100 202
400• stejně tak musíme znát zpaměti třetí mocniny čísel do 101
31
23
83
327
43
645
3125
63
2167
3343
83
5129
3729
103
1000
5. Odmocňování číselných výrazů• provádíme-li zpaměti (nebo pomocí tabulek) druhou odmocninu desetinného čísla, musíme nejprve číslo
upravit tak, aby obsahovalo sudý počet desetinných míst a zároveň toto číslo zapsané bez ohledu na desetinnou čárku bylo v rozmezí od jedné do tisíce. To provedeme tak, že buď přidáme nulu na konec čísla, případně provedeme zaokrouhlení. U výsledku pak přibude polovina desetinných míst z jejich původního počtu.
• provádíme-li zpaměti (nebo pomocí tabulek) třetí odmocninu desetinného čísla, postupujeme úplně stejně, jen číslo v prvním kroku upravíme tak, aby počet desetinných míst byl násobkem tří. U výsledku pak přibude třetina desetinných míst z jejich původního počtu.
• jedná-li se o čísla naopak příliš velká (končí jednou nebo více nulami), provedeme zaokrouhlení tak, aby počet nul byl sudé číslo (pro druhou odmocninu) a číslo odpovídající násobku tří (pro třetí odmocninu) a zbytek čísla (po pomyslném oddělení nul) byl z rozmezí od jedné do tisíce. Po odmocnění posuneme desetinnou čárku o tolik míst doprava, kolik je polovina z celkového počtu nul (pro druhou odmocninu) nebo
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)2.1.2010 13:22:34 2 z 45
M - Příprava na pololetku č. 1 - 1SA, 1SB. 1
třetina z celkového počtu nul (pro třetí odmocninu)
Pokud se v číselném výrazu vyskytují závorky, řešíme je na prvním místě s tím, že v první fázi odstraňujeme závorky kulaté, dále hranaté a nakonec teprve závorky složené.
Ukázkové příklady:
Příklad 1:
Řešení:
Příklad 2:Vypočtěte:
Řešení:
Příklad 3:Vypočtěte:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)2.1.2010 13:22:34 3 z 45
M - Příprava na pololetku č. 1 - 1SA, 1SB. 1
Řešení:
Pozn.: Sejdou-li se při úpravě číselného výrazu, pak postupujeme tak, že dvě shodná znaménka nahradíme znaménkem plus a dvě opačná znaménka nahradíme znaménkem minus.
Číselné výrazy - procvičovací příklady±
1. Vypočtěte
3Výsledek:
1841
2. Vypočti
Výsledek:
1845
3. Vypočtěte bez použití kalkulátoru:
úû
ùêë
é--÷
ø
öçè
æ---+--- )9,28,1(
2
1:
4
1)8,0(:4,6)3(214 22
-7,1Výsledek:
1810
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)2.1.2010 13:22:34 4 z 45
M - Příprava na pololetku č. 1 - 1SA, 1SB. 1
4. Vypočti
Výsledek:
1827
5. Vypočti
-0,16Výsledek:
1823
6. Vypočti
0,23Výsledek:
1817
7. Vypočti
Výsledek:
1821
8. Zjednoduš:
Výsledek:
1813
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)2.1.2010 13:22:34 5 z 45
M - Příprava na pololetku č. 1 - 1SA, 1SB. 1
9. Vypočti
Výsledek:
1822
10. Vypočti
4Výsledek:
1832
11. Vypočti
Výsledek:
1826
12. Vypočti
Výsledek:
1825
13. Vypočti
216Výsledek:
1836
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)2.1.2010 13:22:34 6 z 45
M - Příprava na pololetku č. 1 - 1SA, 1SB. 1
14. Vypočti
Výsledek:
1846
15. Vypočti
Výsledek:
1828
16. Vypočti
262Výsledek:
1843
17. Vypočti
206Výsledek:
1838
18. Vypočtěte a zaokrouhlete na desítky
20Výsledek:
1840
19. Vypočti
Výsledek:
1849
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)2.1.2010 13:22:34 7 z 45
M - Příprava na pololetku č. 1 - 1SA, 1SB. 1
20. Vypočti
Výsledek:
1852
21. Vypočti
Výsledek:
1820
22. Vypočti
Výsledek:
1854
23. Vypočti
100 000Výsledek:
1818
24. Vypočtěte:
]1,15625
4:)7,35,2[()7,0(:3,6)2(1,15 3 +---+--
14Výsledek:
1809
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)2.1.2010 13:22:34 8 z 45
M - Příprava na pololetku č. 1 - 1SA, 1SB. 1
25. Vypočti
Výsledek:
1839
26. Vypočti bez zaokrouhlování
Výsledek:
1815
27. Vypočti
-5Výsledek:
1853
28. Vypočti a výsledek zaokrouhli na dvě desetinná místa
-8,43Výsledek:
1848
29. Vypočti
834Výsledek:
1837
30.
240Výsledek:
1811
31. Vypočti:
-11,8Výsledek:
1833
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)2.1.2010 13:22:34 9 z 45
M - Příprava na pololetku č. 1 - 1SA, 1SB. 1
32. Vypočti
Výsledek:
1824
33. Vypočti
-1Výsledek:
1844
34. Vypočti
Výsledek:
1834
35. Vypočti
Výsledek:
1847
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)2.1.2010 13:22:34 10 z 45
M - Příprava na pololetku č. 1 - 1SA, 1SB. 1
36. Vypočti
Výsledek:
1851
37. Vypočti
Výsledek:
1830
38. Zjednoduš zlomek a potom jej převeď na desetinné číslo zaokrouhlené na tisíciny.
-0,182Výsledek:
1812
39. Vypočti
Výsledek:
1819
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)2.1.2010 13:22:34 11 z 45
M - Příprava na pololetku č. 1 - 1SA, 1SB. 1
40. Vypočti
Výsledek:
1855
41. Vypočti
Výsledek:
1816
42. Vypočti
2Výsledek:
1829
43. Vypočti
50Výsledek:
1835
44. Vypočti
3Výsledek:
1842
45. Vypočti
18,1Výsledek:
1831
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)2.1.2010 13:22:34 12 z 45
M - Příprava na pololetku č. 1 - 1SA, 1SB. 1
46. Vypočti číslo b a zapiš jeho převrácenou hodnotu
Výsledek:
1814
47. Vypočti
Výsledek:
1850
Procenta±
Procenta
U příkladů, kde se vyskytují procenta, rozlišujeme tři základní veličiny:- základ (100%) ... z- procentovou část ... č- počet procent ... p
První dvě z uvedených veličin mají vždy stejnou jednotku (tzn. obě jsou například v kilogramech), zbývající třetí je vždy uvedena v procentech.
Zpravidla vždy dvě z uvedených veličin známe, třetí počítáme.
Úlohy na procenta můžeme řešit několika postupy:
1. Řešení přes jedno procento (někdy též říkáme přes procentový trojřádek)
Příklad 1:
Vypočtěte, kolik je 64 % z 12,6 kilogramů mouky.
Řešení: 100 % ... 12,6 kg mouky 1 % ... 12,6 : 100 kg = 0,126 kg mouky 64 % ... 64 . 0,126 kg = 8,064 kg
Závěr: 64 % z 12,6 kg mouky představuje asi 8 kg mouky.
2. Řešení trojčlenkou
Příklad 2:
Vypočtěte, kolik procent představuje 6 minut ze 2,5 hodiny
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)2.1.2010 13:22:34 13 z 45
M - Příprava na pololetku č. 1 - 1SA, 1SB. 1
Řešení:
100 % ... 2,5 hx % ... 6 min = 0,1 h------------------------------------------U procent se vždy jedná o přímou úměrnost, proto "šipky by vždy vedly obě nahoru".Sestavíme výpočet:
x = 100 . 0,1/2,5x = 4 %
Závěr: Šest minut ze 2,5 hodiny představuje 4 %.
3. Řešení podle vzorce
Příklad 3:
Vypočtěte, z kolika kilometrů představuje 8 metrů 20 %.
Řešení:
č = 8 mp = 20 %z = ?--------------------------------z = 100č/pz = 100 . 8/20z = 40 m = 0,04 kmZávěr:Osm metrů představuje 20 % z 0,04 kilometru.
Pozn.:Přehled všech tří vzorců:z = 100č/p č = zp/100 p = 100č/z
4. Řešení na kalkulačce (myšleno na takové, která má klávesu s označením procent)
Klávesa s označením procent má takovou vlastnost, že po jejím stisku se předchozí výpočet automaticky vynásobí stem, předcházelo-li dělení a naopak vydělí stem, předcházelo-li násobení. Jedná se tedy o zrychlení práce, nic víc.
Procenta - procvičovací příklady±
1. Pro nově budovanou cestu musel být delší rozměr obdélníkového pozemku zkrácen o 7 % a kratší o 8 %. Jaké jsou nové rozměry pozemku a o kolik procent se zmenšila jeho plošná výměra? Původní rozměry pozemku byly 60 m a 30 m.
Nové rozměry: 55,8 m, 27,6 m; výměra se zmenšila o 14,4 %.Výsledek:
608
2. Kolika procentům původní ceny se rovná cena zboží, které bylo nejprve o 20 % zdraženo a potom byla jeho nová cena o 20 % snížena?
96 %Výsledek:
607
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)2.1.2010 13:22:34 14 z 45
M - Příprava na pololetku č. 1 - 1SA, 1SB. 1
3. V závodě je zaměstnáno 344 žen. Zbývajících 57 % zaměstnanců jsou muži. Kolik zaměstnanců má závod?
800Výsledek:
586
4. Jaká musí být prodejní cena výrobku, jestliže náklady na jeho výrobu jsou 300 Kč a chci ho prodat se ziskem 20 % z prodejní ceny?
375 KčVýsledek:
584
5. Obchodník prodal čtvrtinu zboží se ziskem 20 % a utržil za ni 1 680 Kč. Druhou čtvrtinu prodal se ziskem 10 %, další čtvrtinu za nákupní cenu a poslední čtvrtinu se ztrátou 5 %. Určete nákupní cenu zboží a obchodníkův zisk.
Nákupní cena 5 600 Kč, zisk obchodníka 350 Kč.Výsledek:
585
6. Co je méně? 8 % z 500 g nebo 6 % z 1 kg. Odpověď zdůvodněte výpočtem.
Méně je 8 % z 500 g.Výsledek:
603
7. Kolik procent činí 40,8 ze 120?
34 %Výsledek:
598
8. Kolik procent je 1 minuta a 48 sekund ze 3 hodin?
1 %Výsledek:
578
9. Kolik procent je 21 ze 105?
20 %Výsledek:
587
10. Zvětšíme-li neznámé číslo o 4 %, dostaneme 780. Určete neznámé číslo.
750Výsledek:
577
11. Z vyrobených výrobků bylo 21 vadných, to je 1,4 %. Kolik výrobků je bez vady?
1 479Výsledek:
590
12. Vypočítejte jednu sedminu z 15 % z čísla 63.
1,35Výsledek:
579
13. Množství krve v lidském těle je přibližně 7,6 % hmotnosti těla. Kolik kg krve je v těle dospělého člověka o hmotnosti 75 kg?
5,7 kgVýsledek:
599
14. Na konci zimní sezóny byla slevněna bunda z 2 100 Kč na 1 800 Kč. O kolik % byla bunda zlevněna?
14,3 %Výsledek:
576
15. Jirka spořil na prázdninový výlet. V lednu uspořil dvě pětiny celé částky, v únoru polovinu toho co v lednu a v březnu 15 % celkové sumy. Do celé částky mu chybí ještě 150 Kč. Kolik bude stát celý výlet a kolik Kč naspořil v jednotlivých měsících?
Celý výlet 600 Kč, v lednu naspořil 240 Kč, v únoru 120 Kč a v březnu 90 Kč.Výsledek:
595
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)2.1.2010 13:22:34 15 z 45
M - Příprava na pololetku č. 1 - 1SA, 1SB. 1
16. Cena ledničky byla dvakrát snížena. Nejprve o 15 %, později ještě o 5 % z nové ceny. Po tomto dvojím snížení cen se lednička prodávala za 2 584 korun. Jaká byla původní cena?
3 200 KčVýsledek:
582
17. V roce 1990 byla cena za 1 litr benzínu special 16 Kč. Nyní stojí 19,20 Kč. O kolik procent se cena zvýšila?
20 %Výsledek:
600
18. Vypočtěte, kolik procent je 18,5 ze 400.
4,625 %Výsledek:
612
19. Z 800 výrobků bylo 16 vadných. Kolik procent výrobků bylo bez vady?
98 %Výsledek:
589
20. Z 1 600 součástek bylo 44 vadných. Kolik procent součástek bylo bez vady?
97,25 %Výsledek:
592
21. Zmenšíme-li neznámé číslo o 427 dostaneme 65 % jeho hodnoty. Určete neznámé číslo.
1 220Výsledek:
606
22. Číslo 72 zvětšete o 25 %. O kolik procent budete muset číslo, které vám vyšlo, zmenšit, abyste opět dostal číslo 72?
20 %Výsledek:
610
23. Podnik přispívá zaměstnancům na stravenky 3,30 Kč na jeden oběd a zaměstnanci platí 78 % hodnoty oběda. Jaká je cena oběda? Kolik korun platí za oběd zaměstnanci?
Oběd stojí 15 Kč, zaměstnanci platí 11,70 Kč.Výsledek:
611
24. Zmenšením neznámého čísla o 427 dostaneme 35 % jeho původní hodnoty. Které je to číslo?
656,9Výsledek:
583
25. Cena ledničky byla dvakrát snížena. Nejprve o 10 %, později ještě o 10 % z nové ceny. Po tomto dvojitém snížení cen se lednička prodala za 4455 Kč. Vypočítejte její původní cenu.
5 500 KčVýsledek:
596
26. 19 % z neznámého čísla je o 12 méně než 23 % z téhož čísla. Určete neznámé číslo.
300Výsledek:
614
27. Obchodník koupil dodávku materiálu a při prodeji vydělal 2 500 Kč následujícím způsobem. Třetinu dodávky prodal o 18 % dráž, čtvrtinu o 11 % dráž a zbytek o 5 % levněji než nakoupil. Kolik zaplatil dodavateli? Proveďte zkoušku.
37 500 Kč.Výsledek:
597
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)2.1.2010 13:22:34 16 z 45
M - Příprava na pololetku č. 1 - 1SA, 1SB. 1
28. Zboží, jehož původní cena byla 2 400 Kč, bylo dvakrát zlevněno. Nejprve o 15 % , později o 10 % z nové ceny. Určete konečnou cenu zboží a počet procent, o kolik bylo zboží celkem zlevněno.
Konečná cena 1836 Kč, zlevněno bylo o 23,5 %.Výsledek:
581
29. Dva společníci si rozdělili zisk 66 000 Kč tak, že druhý dostal o 20 % více než první. Kolik dostal každý?
První dostal 30 000 Kč, druhý 36 000 Kč.Výsledek:
605
30. Na výměře 5 ha bylo sklizeno v určitém roce 19 tun obilí. V následujícím roce byla výměra pro osev obilí snížena o 12 %, ale hektarový výnos se proti předchozímu roku zvýšil o 12 %. Kolik tun obilí se v tomto roce sklidilo?
18,7 tVýsledek:
593
31. Za vykonanou práci si vydělali 3 pracovníci celkem 80 400 Kč. Rozdělili se tak, že první dostal o 20 % více než druhý a třetí o 15 % více než druhý. Kolik Kč dostal každý z nich?
První 28 800 Kč, druhý 24 000 Kč, třetí 27 600 KčVýsledek:
575
32. V nově založeném sadu se ujalo 1 470 stromků, což je 98 % všech sazenic. Kolik stromků vysadili?
1 500 stromkůVýsledek:
601
33. Cena ledničky byla dvakrát snížena. Nejprve o 15 % , později o 5 % z nové ceny. Po tomto dvojím snížení ceny se lednička prodávala za 9 690 Kč. Vypočtěte její původní cenu.
12 000 KčVýsledek:
609
34. Kolik stála původně halenka, jestliže po slevě o 15 % stála 459 Kč?
540 KčVýsledek:
591
35. Pětina žáků třídy je nemocná, 40 % žáků šlo na soutěž a ve třídě zůstalo 10 žáků. Kolik žáků má tato třída?
25 žákůVýsledek:
580
36. Zboží v hodnotě 400 Kč bylo nejprve zdraženo o 10 % a pak zlevněno o 10 % z nové ceny. Určete jeho konečnou hodnotu.
396 KčVýsledek:
604
37. Ze 700 výrobků bylo 20% vadných. Kolik výrobků bylo bez vady?
560Výsledek:
588
38. Rozhlasový přijímač, jehož původní cena byla 2 200 Kč, byl po technickém zdokonalení zdražen o 20 %. Později byl o 15 % z nové ceny zlevněn. Jaká byla jeho konečná cena?
2 244 KčVýsledek:
602
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)2.1.2010 13:22:34 17 z 45
M - Příprava na pololetku č. 1 - 1SA, 1SB. 1
39. Z jakého čísla je číslo 8 20%?
40Výsledek:
613
40. Sedlák vzal do města tři pětiny svých úspor a z této částky utratil 18 %. Kolik procent všech uspořených peněz mu zbylo?
89,2 %Výsledek:
594
41. Turisté ušli první den výletu 35 % cesty, druhý den 41 % . Na poslední, třetí den, jim zbývá ujít 15,6 km. Jak dlouhá byla celá cesta?
65 kmVýsledek:
574
Poměr, trojčlenka±
Poměr
Poměr je matematický zápis ve tvaru zlomku, případně ve tvaru dělení.
Např.: 7 : 5 (čteme sedm ku pěti)
Jednotlivá čísla nazýváme členy poměru.
Poměr může mít dva, ale i více členů.
Má-li poměr více než dva členy, nazýváme ho poměr postupný.
Poměr můžeme rozšiřovat a krátit, podobně jako zlomky. Platí zde i stejná pravidla, protože vlastně každý poměr můžeme napsat i ve tvaru zlomku.
Poměr je v základním tvaru, jsou-li jeho členy čísla navzájem nesoudělná.
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)2.1.2010 13:22:34 18 z 45
M - Příprava na pololetku č. 1 - 1SA, 1SB. 1
---------------------------------------------------------Změna čísla v poměru:
Změnit dané číslo v poměru, znamená vynásobit toto číslo poměrem ve tvaru zlomku.
Příklad 3:
Číslo 25 změňte v poměru 7 : 2
Řešení:
5,872
175
2
7.25 ==
Výsledné číslo je 87,5.
Je-li první člen poměru větší než druhý, jedná se o zvětšení.Je-li první člen poměru menší než druhý, jedná se o zmenšení.
----------------------------------------------------------Rozdělení čísla v poměru:
Pokud máme dané číslo rozdělit v poměru, musíme nejprve jednotlivé členy poměru sečíst. Následně určíme hodnotu jednoho dílu, a to tak, že původní číslo dělíme získaným součtem. Na závěr spočteme hodnoty jednotlivých dílů, které vyjadřuje poměr.
Příklad 4:
Číslo 81 rozdělte v poměru 2 : 7
Řešení:
2 + 7 = 9 ... počet dílů81 : 9 = 9 ... hodnota jednoho dílu2 . 9 = 18 ... hodnota odpovídající prvnímu členu poměru7 . 9 = 63 ... hodnota odpovídající druhému členu poměru
Dané číslo jsme tedy rozdělili na dvě čísla, a to 18 a 63. Jsou v poměru 2 : 7.
Z každého postupného poměru můžeme vytvořit jeden nebo více poměrů jednoduchých.
Příklad 5:
Je dán postupný poměr 2 : 5 : 7. Vytvořte z něj alespoň dva poměry jednoduché.
Řešení:
Vybereme kterékoliv dva členy poměru - tedy např. 2 : 5 a 2 : 7
Změna jednoduchých poměrů na postupný:
Máme-li dva nebo více poměrů jednoduchých, můžeme z nich vždy vytvořit poměr postupný.
Příklad 6:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)2.1.2010 13:22:34 19 z 45
M - Příprava na pololetku č. 1 - 1SA, 1SB. 1
Jsou dány jednoduché poměry 2 : 7 a 3 : 8. Vytvořte z nich jeden poměr postupný.
Řešení:
Jednoduché poměry musíme nejprve upravit rozšířením nebo krácením tak, aby jeden z členů měly společný. Tedy např. 2 : 7 /*4 8 : 28Nyní máme v obou poměrech člen 8 a toho využijeme: 8 : 28 3 : 8Závěr: Hledaný postupný poměr může být 3 : 8 : 28
Jak už sám název napovídá, jedná se o výpočet, kde figurují tři členy; přesněji řečeno tři členy známe a čtvrtý budeme počítat. Jedná se o postup, který má obrovské praktické využití, proto ho musí každý bezpečně ovládat. Pokud řešíme příklad pomocí trojčlenky, vždy • nejprve sestavíme zápis, a to tak, že stejné veličiny musí být pod sebou a neznámou doporučuji vždy
ponechat ve druhém řádku. V dalším kroku • rozhodneme, zda jsou veličiny ve vztahu přímé nebo nepřímé úměrnosti. Zobrazíme si pomocné šipky. Bez
jakéhokoliv dlouhého uvažování tam, kde máme neznámou (ve druhém řádku), uděláme šipku směrem nahoru.
• Jedná-li se o úměrnost přímou, pak na druhé straně bude šipka stejným směrem (tedy též nahoru) a jedná-li se o úměrnost nepřímou, bude na druhé straně šipka opačným směrem (tedy dolů).
• Na základě šipek sestavíme výpočet, po jehož vyřešení obdržíme výsledek.
Příklad 7:
Tři kilogramy pomerančů stojí 66,- Kč. Kolik korun bude stát pět kilogramů pomerančů?
Řešení:
3 kg pomerančů ..... 66,- Kč 5 kg pomerančů ..... x Kč (šipky by v tomto případě vedly obě vzhůru) --------------------------------------------------
110
3
5.66 ==x
x = 110,- KčPět kilogramů pomerančů bude stát 110,- Kč.
Příklad 8:
Pět zaměstnanců postaví přístřešek za 7 dní. Kolik zaměstnanců musíme na práci přibrat, má-li stavba být hotova už za 4 dny?
Řešení:
5 zaměstnanců ... 7 dní x zaměstnanců ... 4 dny (šipky by v tomto případě vedly vlevo vzhůru a vpravo dolů) -------------------------------------------------
75,8
4
7.5 ==x
x = 8,75 zaměstnance 8,75 - 5 = 3,75Přibrat bychom tedy měli 3,75 zaměstnance, což znamená z praktických důvodů, že musíme přibrat ještě 4 zaměstnance.
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)2.1.2010 13:22:34 20 z 45
Jedná se vlastně o dva nebo více výpočtů spojených do jednoho. Místo použití složené trojčlenky můžeme většinou bez problémů použít dvakrát nebo vícekrát za sebou trojčlenku obyčejnou.
Příklad 9:
Šest dělníků opracuje za 5 směn 1020 součástek. Za jak dlouho opracuje 10 dělníků 2000 součástek při stejném výkonu?
Řešení:
6 dělníků ... 5 směn ... 1020 součástek 10 dělníků ... x směn ... 2000 součástek ------------------------------------------------------------------------------Střední šipka - bez uvažování směrem vzhůru. Pak musíme rozhodnout, zda okrajové veličiny jsou s veličinou střední postupně ve vztahu přímé nebo nepřímé úměrnosti. Zde vychází u levé veličiny šipka dolů a u pravé šipka vzhůru.
9,5
1020
2000.
10
6.5 ==x
x = 5,9 směny (přibližně)Deset dělníků opracuje 2000 součástek zhruba za 5,9 směny.
Poměr, trojčlenka - procvičovací příklady±
1. K upečení bábovky ze 4 vajec je potřeba 160 g tuku, 240 g mouky, 200 g cukru. Kolik g tuku, mouky a cukru je potřeba na upečení bábovky ze 3 vajec?
120 g tuku, 180 g mouky, 150 g cukruVýsledek:
840
2. Jaká je výměra obdélníkové zahrady, když plot kolem celé zahrady měří 160 m a sousední strany jsou v poměru 3 : 2 ?
1 536 m2Výsledek:
854
3. Jestliže píce vystačí 300 kusům dobytka na dva týdny, kolika kusům vystačí na tři týdny?
200 kusůmVýsledek:
848
4. Počet žáků, kteří do školy dojíždějí, k počtu žáků, kteří docházejí pěšky, je dán poměrem 2 : 7 .a) Kolik žáků má škola, když dojíždějících je 96?b) Kolik procent žáků školy dojíždí (zaokrouhlete na jedno desetinné místo)?
Ve škole je 432 žáků, dojíždí jich 22,2 %.Výsledek:
845
5. Rodina Novákova měla roční spotřebu cukru 60 kg. Rozhodla se ji v následujícím roce snížit v poměru 5 : 8. Skutečná spotřeba však činila 45 kg. O kolik procent byla plánovaná spotřeba překročena?
20 %Výsledek:
855
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)2.1.2010 13:22:34 21 z 45
M - Příprava na pololetku č. 1 - 1SA, 1SB. 1
6. Číslo 6 zvětšete tak, aby bylo s hledaným číslem v poměru 3 : 7.
14Výsledek:
862
7. Tři stejně výkonná čerpadla naplní nádrž za 72 minut. Za kolik minut se naplní nádrž osmi stejně výkonnými čerpadly?
27 minutVýsledek:
844
8. Číslo 40 rozdělte v poměru 3 : 5.
1. díl ... 15; 2. díl ... 25Výsledek:
851
9. Šest lidí splní určitý úkol za 12 hodin. Kolik času by potřebovalo na tuto práci 9 lidí?
8 hodinVýsledek:
860
10. Na těleso působí dvě navzájem kolmé síly F1, F2 , které jsou v poměru 3:4. Menší síla (F1) má velikost 12 N. Najděte výslednici F početně i graficky.
F = 20 NVýsledek:
858
11. 120 kg pomerančů se má rozdělit na dvě části tak, aby byly v poměru 12,6 : 9 . Určete hmotnosti obou částí.
50 kg a 70 kgVýsledek:
842
12. Dva stroje vyrobí za 50 hodin 2 000 výrobků. Kolik strojů potřebujeme přikoupit, abychom za 30 hodin vyrobili 15 000 výrobků?
23 strojůVýsledek:
843
13. Počet odpracovaných hodin dvou dělníků při stejné hodinové mzdě byl v poměru 5 : 7. Vypočtěte, kolik každý z nich dostal po 15% srážce daně, jestliže hrubá mzda pro oba dělníky činí 6 960 Kč.
První vydělal 2 465 Kč, druhý vydělal 3 451 Kč.Výsledek:
857
14. Na plánu města zhotoveném v měřítku 1 : 1 500 má parcela tvaru lichoběžníku délku základen 40 mm a 56 mm a výšku 30 mm. Vypočtěte skutečnou výměru této parcely.
3 240 m2Výsledek:
853
15. Čtyři dělníci vyhloubí příkop za 18 dní. Kolik dělníků musíme přidat do pracovní skupiny, aby byl příkop hotov už za 12 dní?
2 dělníkyVýsledek:
863
16. Na záhonu kvetou bílé a žluté narcisy. Bílých je o 12 více než žlutých. Poměr počtu bílých a počtu žlutých je 7 : 4. Kolik kvete na záhonu narcisů celkem?
44 narcisůVýsledek:
846
17. Jestliže lA'B'l : lABl = 2 : 3 a délka úsečky AB je 24 cm, kolik pak bude velikost úsečky A'B'?
16 cmVýsledek:
861
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)2.1.2010 13:22:34 22 z 45
M - Příprava na pololetku č. 1 - 1SA, 1SB. 1
18. Na plánu v měřítku 1 : 2 500 je zanesen pozemek tvaru obdélníka o rozměrech 2 cm, 4 cm. Vypočtěte, kolik hektarů je výměra pole.
0,5 haVýsledek:
852
19. Barva se míchá s ředidlem v poměru 5 : 2 . Kolik bude potřeba barvy a kolik ředidla, má-li být výsledné směsi 1,4 litru?
1 litr barvy a 0,4 litru ředidlaVýsledek:
856
20. Šest strojů zpracuje zásobu materiálu za 15 směn. Za kolik směn zpracuje tuto zásobu materiálu osm stejných strojů?
11,25 směnyVýsledek:
849
21. Plán má měřítko 1 : 2 500 . Jakými rozměry bude na plánu zakreslena ovocná zahrada, má-li ve skutečnosti délku 425 m a šířku 240 m?
17 cm a 9,6 cmVýsledek:
865
22. Zemědělské družstvo zaselo na 192 ha oves, ječmen, žito a pšenici v poměru 1 : 1,4 : 1,8 : 2,2 . Kolik hektarů každého druhu obilí zaseli?
30 ha ovsa, 42 ha ječmene, 54 ha žita, 66 ha pšeniceVýsledek:
864
23. Tři stejně výkonní sklenáři opravili okna školní budovy za 32 hodin. Za kolik hodin by tuto opravu provedli čtyři stejně výkonní sklenáři?
24 hodinVýsledek:
841
24. 6 dělníků by vykonalo práci za 30 dnů. Práce má být hotová za 20 dnů. Kolik dělníků se musí na práci přibrat?
3 dělníciVýsledek:
839
25. 4,5 kg jablek stojí 81 Kč. Kolik stojí 2,5 kg?
45 KčVýsledek:
847
26. Směs s bodem tuhnutí -32 °C můžeme připravit smísením vody, lihu a glycerínu v poměru objemů 4,3 : 4,2 : 1,5. Kolik vody a lihu je třeba přidat ke 4,5 litrům glycerínu, aby vznikla směs s daným bodem tuhnutí?
12,9 litru vody, 12,6 litru lihuVýsledek:
859
27. Za 0,75 hodiny se vyfrézuje 36 zubů. Kolik minut trvá vyfrézování 50 zubů?
62,5 minutyVýsledek:
850
Mocniny a odmocniny pro učební obory±
Mocniny a odmocniny
1. Mocniny s přirozeným mocnitelemDef.: Mocninou a
b nazýváme přirozené číslo, které je součinem b činitelů rovných číslu a.
Zapisujeme: ab = a . a . a . ... . a
b-krátPro čísla a, b, r, s platí: a
r . a
s = a
r+s
(a.b)r = a
r . b
r
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)2.1.2010 13:22:34 23 z 45
M - Příprava na pololetku č. 1 - 1SA, 1SB. 1
(a:b)r = a
r : b
r
(ar)s = a
rs
ar : a
s = a
r-s
Umocňujeme-li kladné číslo lichou mocninou, je výsledek kladný.Umocňujeme-li záporné číslo lichou mocninou, je výsledek záporný.Umocňujeme-li kladné číslo sudou mocninou, je výsledek kladný.Umocňujeme-li záporné číslo sudou mocninou, je výsledek kladný.
Na rozdíl od předchozí kapitoly, kdy jsme v exponentu mocniny uvažovali pouze přirozené číslo, nyní si přídáme i nulu a celá čísla záporná.
Nejprve tedy exponent nula. V tomto případě platí, že jakékoliv číslo umocněné na nultou je vždy jedna.
a0 = 1
Máme-li v exponentu číslo záporné, můžeme se ho zbavit tak, že celou mocninu, ale s kladným exponentem, napíšeme do jmenovatele zlomku, jehož čitatel bude jedna.
n
n
aa
1=-
Ukázkový příklad:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)2.1.2010 13:22:34 24 z 45
U desetinných čísel pracujeme s číslem bez ohledu na desetinnou čárku (případně si ho zaokrouhlíme tak, aby se v číslu vyskytovaly nejvýše tři číslice - počítané od první nenulové zleva), ve výsledku oddělíme dvojnásobný počet desetinných míst než mělo původní zaokrouhlené číslo.
Příklad:
0,235 456 8972
- zaokrouhlíme:0,235
2
- určíme 2352 = 55 225
- oddělíme 6 desetinných míst, proto výsledek je 0,055 225
U velkých čísel pracujeme s číslem bez ohledu na nuly na konci (případně si ho zaokrouhlíme tak, aby číslice od čtvrté pozice zleva byly nulové), k výsledku připíšeme dvojnásobný počet nul než mělo původní zaokrouhlené číslo.
Příklad:
247 256 8952
- zaokrouhlíme:247 000 000
2
- určíme 2472 = 61 009
- připíšeme 12 nul, proto výsledek je 61 009 000 000 000 000
3. Na kalkulačce
Můžeme postupovat obdobným způsobem jako při určování z Tabulky, případně pokud máme dokonalejší kalkulačku, můžeme původní číslo zadat rovnou. Výsledek ale může kalkulačka udat např. (viz výše uvedený příklad) ve tvaru 6,1009 16, což ve skutečnosti znamená 6,100 9 . 10
16 a převedeno do klasického čísla tedy
musíme u čísla 6,100 9 posunout desetinnou čárku o 16 míst vpravo.Pozn.: Pokud je exponent záporný, posouváme desetinnou čárku vlevo. Týká se to umocňování velmi malých
Máme-li číslo velmi malé, pak ho zaokrouhlíme tak, aby počet číslic od první nenulové zleva byl nejvýše tři a zároveň celkový počet desetinných míst u zaokrouhleného čísla byl sudý. Pak určíme druhou odmocninu ze vzniklého čísla bez ohledu na desetinnou čárku. Ve výsledku nakonec posuneme desetinnou čárku o tolik míst vlevo, kolik představuje polovina počtu desetinných míst u zaokrouhleného čísla.
Příklad:
Určete Ö0,000 000 246 897 458- zaokrouhlíme na Ö0,000 000 25- určíme Ö25 = 5- posuneme desetinnou čárku o 4 místa vlevo, proto výsledek je 0,000 5
Máme-li číslo naopak hodně velké, zaokrouhlíme ho tak, aby mělo od čtvrté pozice zleva určitě samé nuly a zároveň aby počet nul byl sudý (pokud to nelze dosáhnout, zaokrouhlíme tak, aby už na třetí pozici zleva byla nula). Pak určíme druhou odmocninu z čísla, které vznikne po pomyslném oddělení sudého počtu nul a ve výsledku posuneme desetinnou čárku doprava o tolik míst, kolik představuje polovina počtu oddělených nul.
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)2.1.2010 13:22:34 37 z 45
M - Příprava na pololetku č. 1 - 1SA, 1SB. 1
Příklad:
Určete Ö249 123 456 789- zaokrouhlíme na Ö250 000 000 000- určíme Ö25 = 5,00- posuneme desetinnou čárku o 5 míst vpravo, proto výsledek je 500 000
2. Pomocí kalkulačky
- postup lze použít opět stejný jako při určování z Tabulek, opět ale musíme vzít v úvahu, že kalkulačka může vytvořit výsledek ve tvaru c. 10
n.
Určování třetí mocniny
Postupy jsou stejné jako u druhé mocniny, pouze nebereme dvojnásobek nul nebo desetinných míst, ale trojnásobek.
Postup je opět stejný jako u určování druhé odmocniny, pouze s tím rozdílem, že číslo zaokrouhlujeme tak, abychom měli počet nul nebo počet desetinných míst, který odpovídá libovolnému celočíselnému násobku čísla 3.