M etóda K onečných P rvkov vo výrobných technológiach

Metóda Konečných Prvkovvo výrobných technológiach

prednáška č. 5

prednáška č.5 - 2/67

Obsah prednášky

• Nosníkové prvky Rovinný nosníkový prvok

• Rovinné prvky Rovinný prvok konštantnej napätosti

Rovinný prvok konštantnej deformácie

Osovosymetrické prvky

Príklad – štvoruzlový lineárny izoparametrický prvok

• Priestorové prvky

prednáška č.5 - 3/67

Nosníkový prvok

Rovnice rovinného nosníkového prvku konštantnej tuhosti:• prenáša ťah/tlak + ohyb (+ krútenie)• pre malé deformácie predpokladáme, že prierezy nosníka sa posunú

a natočia ako tuhý celok a zostanú rovinné• neuvažujeme vplyv šmykového napätia• výpočet posunutí, deformácií a napätí potom spočíva v nájdení

funkcií us(x), vs(x), s(x) strednice prvku

0),,(

)(),,(

)()()(

)(),,(

zyxw

xvzyxv

xyxudx

xvdyxuzyxu

s

ss

s

prednáška č.5 - 4/67

Nosníkový prvok

Ti

j L, E, A, I

i

x - GSS

y - GSS

x - LSS

y - LSS

Ni

vj uj

j

Mi

q(x)

prednáška č.5 - 5/67

Nosníkový prvok

• celkovo má prvok 6° voľnosti

• aproximačné funkcie volíme v tvare

2654

36

2543

21

32 xx

xxxv

xu

s

s

s

αΦu s

s

s

s

e

xx

xxx

x

v

u

6

5

4

3

2

1

2

32

321000

100

00001

prednáška č.5 - 6/67

Nosníkový prvok

Vektor posunutí elementu v LSS:

Vektor uzlových síl elementu v LSS:

T][jjjiii

e vuvu a

T][ jjjiiie MTNMTNf

prednáška č.5 - 7/67

Aαa

6

5

4

3

2

1

2

32

321000

100

00001

001000

000100

000001

LL

LLL

Lv

u

v

u

j

j

j

i

i

i

e

e

j

j

j

i

i

i

v

u

v

u

LLLL

LLLL

LL

aAα 1

2323

22

6

5

4

3

2

1

/1/20/1/20

/1/30/2/30

000100

000010

00/100/1

000001

prednáška č.5 - 8/67

posunutie ľubovolného bodu strednice

kde matica tvarových funkcií

2

2

3

2

22

2

3

2

2

2

32

3

3

2

2

2

32

3

3

2

2

32660

341

660

230

22310

00001

L

x

L

x

L

x

L

x

L

x

L

x

L

x

L

xL

x

L

x

L

x

L

x

L

x

L

xx

L

x

L

xL

x

L

x

esN

Nosníkový prvok

ees

es

e aNaAΦu 1

prednáška č.5 - 9/67

pre posunutie ľubovolného bodu strednice nosníka v smere osi x LSS platí

transformačná matica pretvorení

kde

Nosníkový prvok

22

2

23

2

2212

2

13

2

21

3266341

661

)()(

L

x

L

xyv

L

x

L

xyu

L

x

L

x

L

xyv

L

x

L

xyu

L

x

xyxuu s

eex

e aBε

232232

621261641261

L

x

Ly

L

x

Ly

LL

x

Ly

L

x

Ly

LeB

prednáška č.5 - 10/67

L

EIL

EI

L

EISYM

L

EAL

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

e

4

612

00

260

4

6120

612

0000

23

2

2323

K

0AAA

2

A

dyUdyI ee

Nosníkový prvok

maticu tuhosti dvojuzlového rovinného nosníkového prvku získame

kdedxddL

e AVA

T

V

T BDBBDBK

prednáška č.5 - 11/67

transformácia spojitého zaťaženia q(x) prvku do uzlov

pre prípad q(x) = q = konšt

xdxqL

x

L

x

L

x

L

x

L

x

L

xx

L

x

L

x

xdxq

L

x

L

x

L

x

L

x

L

x

L

x

L

x

L

xL

x

L

x

L

x

L

x

L

x

L

xx

L

x

L

xL

x

L

x

xd

L

L

Les

e

)(23

0223

10

0

)(

0

32660

341

660

230

22310

00001

T

02

32

3

3

2

2

2

32

3

3

2

2

0

T

2

2

3

2

22

2

3

2

2

2

32

3

3

2

2

2

32

3

3

2

2

0

T

A

pNf

T 22A 12/2/012/2/0 LLLLqe f

Nosníkový prvok

prednáška č.5 - 12/67

100

0cossin

0sincos

,

000

000

000

,

T0T0

0TTaTa eeee kde

transformačná matica medzi LSS a GSS

pre dvojuzlový element

Nosníkový prvok

i

ie = i

ey

x - GSS

x - LSS

y

ui

e vie

uie

vie i´

ei

ei

ei

ei

e

i

ei

ei

ei v

u

v

u

aTa

100

0cossin

0sincos

prednáška č.5 - 13/67

Nosníkový prvok

t.j. pre dvojuzlový rovinný nosníkový prvok

Obdobné transformačné vzťahy platia i pre transformáciu uzlových síl

ee

ej

eyj

exj

ei

eyi

exi

ej

ej

ej

ei

ei

ei

e

M

Q

Q

M

Q

Q

M

T

N

M

T

N

qTf

100000

0cossin000

0sincos000

000100

0000cossin

0000sincos

ee

ej

ej

ej

ei

ei

ei

e

j

ej

ej

e

i

ei

ei

e

v

u

v

u

v

u

v

u

aTa

100000

0cossin000

0sincos000

000100

0000cossin

0000sincos

prednáška č.5 - 14/67

Príklad - jednorozmerná úloha

Vypočítajte deformácie a reakcie v rámovej sústave.

Konečno prvkový model

L L

F M E, I, A

e1

1 2 3

e2

prednáška č.5 - 15/67

22

22

22

22

3

1

222111

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

LLLL

LLI

AL

I

ALLLLL

LLI

AL

I

AL

L

EIe

vuvu

K

22

22

22

22

3

2

333222

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

LLLL

LLI

AL

I

ALLLLL

LLI

AL

I

AL

L

EIe

vuvu

K

Matice tuhosti prvkov

6

5

4

3

2

1

1el

9

8

7

6

5

4

2el

prednáška č.5 - 16/67

22

22

222

222

22

22

3

333222111

460260000

61206120000

0000000

260800260

612002406120

00002

00

000260460

00061206120

0000000

LLLL

LLI

AL

I

ALLLLLL

LLI

AL

I

AL

I

ALLLLL

LLI

AL

I

AL

L

EI

vuvuvu

K

Matica tuhosti konštrukcie

22

22

22

22

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

LLLL

LLI

AL

I

ALLLLL

LLI

AL

I

AL

e1

1 2 3

e2

prednáška č.5 - 17/67

22

22

222

222

22

22

3

333222111

460260000

61206120000

0000000

260800260

612002406120

00002

00

000260460

00061206120

0000000

LLLL

LLI

AL

I

ALLLLLL

LLI

AL

I

AL

I

ALLLLL

LLI

AL

I

AL

L

EI

vuvuvu

K

Matica tuhosti konštrukcie

22

22

22

22

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

LLLL

LLI

AL

I

ALLLLL

LLI

AL

I

AL

e1

1 2 3

e2

prednáška č.5 - 18/67

22

22

222

222

22

22

3

333222111

460260000

61206120000

0000000

260800260

612002406120

00002

00

000260460

00061206120

0000000

LLLL

LLI

AL

I

ALLLLLL

LLI

AL

I

AL

I

ALLLLL

LLI

AL

I

AL

L

EI

vuvuvu

K

Matica tuhosti konštrukcie

prednáška č.5 - 19/67

Výsledná sústava rovnovážnych rovníc

3

3

3

2

2

2

1

1

1

3

3

3

2

2

2

1

1

1

22

22

222

222

22

22

3

333222111

460260000

61206120000

0000000

260800260

612002406120

00002

00

000260460

00061206120

0000000

M

F

F

M

F

F

M

F

F

v

u

v

u

v

u

LLLL

LLI

AL

I

ALLLLLL

LLI

AL

I

AL

I

ALLLLL

LLI

AL

I

AL

L

EI

y

x

y

x

y

x

vuvuvu

prednáška č.5 - 20/67

3

3

3

2

2

2

1

1

1

2

2

2

22

22

222

222

22

22

3

0

0

0

0

0

0

460260000

61206120000

0000000

260800260

612002406120

00002

00

000260460

00061206120

0000000

333222111

M

F

F

M

F

F

M

F

F

v

u

LLLL

LLI

AL

I

ALLLLLL

LLI

AL

I

AL

I

ALLLLL

LLI

AL

I

AL

L

EI

y

x

y

x

y

x

vuvuvu

Redukovaná sústava rovníc konštrukcie

okrajové podmienky:

u1 = v1 = 1 = u3 = v3 = 3 = 0

prednáška č.5 - 21/67

Redukovaná sústava rovníc konštrukcie

výpočet neznámych posunutí

M

Fv

u

L

I

AL

L

EI0

800

0240

002

2

2

2

2

2

3

3

3

3

2

2

2

1

1

1

3

3

3

2

2

2

1

1

1

22

22

222

222

22

22

3

333222111

460260000

61206120000

0000000

260800260

612002406120

00002

00

000260460

00061206120

0000000

M

F

F

M

F

F

M

F

F

v

u

v

u

v

u

LLLL

LLI

AL

I

ALLLLLL

LLI

AL

I

AL

I

ALLLLL

LLI

AL

I

AL

L

EI

y

x

y

x

y

x

vuvuvu

prednáška č.5 - 22/67

Redukovaná sústava rovníc konštrukcie

výpočet neznámych reakcií

3

3

3

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

3

260

6120

00

260

6120

00

M

F

F

M

F

F

v

u

LL

LI

ALLL

LI

AL

L

EI

y

x

Y

x

3

3

3

2

2

2

1

1

1

3

3

3

2

2

2

1

1

1

22

22

222

222

22

22

3

333222111

460260000

61206120000

0000000

260800260

612002406120

00002

00

000260460

00061206120

0000000

M

F

F

M

F

F

M

F

F

v

u

v

u

v

u

LLLL

LLI

AL

I

ALLLLLL

LLI

AL

I

AL

I

ALLLLL

LLI

AL

I

AL

L

EI

y

x

y

x

y

x

vuvuvu

prednáška č.5 - 23/67

Príklad - dvojrozmerná úloha

Vypočítajte deformácie a reakcie v rámovej sústave.

L = 1 m A = 1.10-4 m2 I = 1.10-6 m4 E = 2.105 MPa

q = 2000 Nm-1 F = 1000 N

L

L

F q

E, I, A

e1

1 2

3

e2 e3

4

prednáška č.5 - 24/67

22

22

22

22

3

1

222111

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

LLLL

LLI

AL

I

ALLLLL

LLI

AL

I

AL

L

EIe

vuvu

K

22

22

22

22

3

32

2224443

1113332

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

LLLL

LLI

AL

I

ALLLLL

LLI

AL

I

AL

L

EIee

vuvue

vuvue

KK

Matice tuhosti prvkov v LSS

6

5

4

3

2

1

1el

3

2

1

9

8

7

2el

6

5

4

12

11

10

3el

prednáška č.5 - 25/67

Transformačné matice prvkov medzi LSS a GSS

pre element č.1: = 0° cos = 1 sin = 0

pre element č.2,3: = 90° cos = 0 sin = 1

100000

0cossin000

0sincos000

000100

0000cossin

0000sincos

T

100000

010000

001000

000100

000010

000001

1eT

100000

001000

010000

000100

000001

000010

32 ee TT

prednáška č.5 - 26/67

22

22

22

22

31

222111

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

LLLL

LLI

AL

I

ALLLLL

LLI

AL

I

AL

L

EIe

vuvu

K

22

22

22

22

332

2224443

1113332

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

LLLL

LLI

AL

I

ALLLLL

LLI

AL

I

AL

L

EIee

vuvue

vuvue

KK

Matice tuhosti prvkov v GSS

eeee TKTKT

prednáška č.5 - 27/67

81204120

1224012240

0020000200

41208120

1224012240

0020000200

1051

222111

e

vuvu

K

81204120

1224012240

0020000200

41208120

1224012240

0020000200

10532

2224443

1113332

ee

vuvue

vuvue

KK

Matice tuhosti prvkov v GSS

prednáška č.5 - 28/67

Zostavovanie matice tuhosti konštrukcie v GSS

*1

5

222111

81204120

1224012240

0020000200

41208120

1224012240

0020000200

10

e

vuvu

KK

K

81204120

1224012240

0020000200

41208120

1224012240

0020000200

1051

2221111

e

vuvue

K

prednáška č.5 - 29/67

Zostavovanie matice tuhosti konštrukcie v GSS

*1

5

222111

81204120

1224012240

0020000200

41208120

1224012240

0020000200

10

e

vuvu

KK

K

prednáška č.5 - 30/67

Zostavovanie matice tuhosti konštrukcie v GSS

*2

*1

5

222111

81204120

1224012240

0020000200

412016240

1224024480

0020000400

10

ee

vuvu

KKK

K

81204120

1224012240

0020000200

41208120

1224012240

0020000200

1052

1113332

e

vuvue

K

+

prednáška č.5 - 31/67

*2

*1

5

333222111

8120

12240

00200

81204120

1224012240

0020000200

412016240

1224024480

0020000400

10

ee

vuvuvu

KKK

K

Zostavovanie matice tuhosti konštrukcie v GSS

81204120

1224012240

0020000200

41208120

1224012240

0020000200

1052

1113332

e

vuvue

K

prednáška č.5 - 32/67

*2

*1

5

333222111

81204120

1224012240

0020000200

81204120

1224012240

0020000200

412016240

1224024480

0020000400

10

ee

vuvuvu

KKK

K

81204120

1224012240

0020000200

41208120

1224012240

0020000200

1052

1113332

e

vuvue

K

Zostavovanie matice tuhosti konštrukcie v GSS

prednáška č.5 - 33/67

*2

*1

5

333222111

81204120

1224012240

0020000200

81204120

1224012240

0020000200

4120412016240

122401224024480

002000020000400

10

ee

vuvuvu

KKK

K

81204120

1224012240

0020000200

41208120

1224012240

0020000200

1052

1113332

e

vuvue

K

Zostavovanie matice tuhosti konštrukcie v GSS

prednáška č.5 - 34/67

Zostavovanie matice tuhosti konštrukcie v GSS

*2

*1

5

333222111

81204120

1224012240

0020000200

81204120

1224012240

0020000200

4120412016240

122401224024480

002000020000400

10

ee

vuvuvu

KKK

K

prednáška č.5 - 35/67

Zostavovanie matice tuhosti konštrukcie v GSS

*3

*2

*1

5

444333222111

8120

12240

00200

81204120

1224012240

0020000200

81204120

1224012240

0020000200

4120412016240

122401224024480

002000020000400

10

eee

vuvuvuvu

KKKK

K

81204120

1224012240

0020000200

41208120

1224012240

0020000200

1053

2224443

e

vuvue

K

prednáška č.5 - 36/67

Zostavovanie matice tuhosti konštrukcie v GSS

*3

*2

*1

5

444333222111

8120

12240

00200

81204120

1224012240

0020000200

16004120

048012240

0040000200

4120412016240

122401224024480

002000020000400

10

eee

vuvuvuvu

KKKK

K

81204120

1224012240

0020000200

41208120

1224012240

0020000200

1053

2224443

e

vuvue

K

+

prednáška č.5 - 37/67

Zostavovanie matice tuhosti konštrukcie v GSS

*3

*2

*1

5

444333222111

8120

12240

00200

81204120

1224012240

0020000200

412016004120

12240048012240

002000040000200

4120412016240

122401224024480

002000020000400

10

eee

vuvuvuvu

KKKK

K

81204120

1224012240

0020000200

41208120

1224012240

0020000200

1053

2224443

e

vuvue

K

prednáška č.5 - 38/67

Zostavovanie matice tuhosti konštrukcie v GSS

*3

*2

*1

5

444333222111

81204120

1224012240

0020000200

81204120

1224012240

0020000200

412016004120

12240048012240

002000040000200

4120412016240

122401224024480

002000020000400

10

eee

vuvuvuvu

KKKK

K

81204120

1224012240

0020000200

41208120

1224012240

0020000200

1053

2224443

e

vuvue

K

prednáška č.5 - 39/67

Matica tuhosti konštrukcie v GSS

*3

*2

*1

5

444333222111

81200004120000

1224000012240000

0020000000200000

00081200004120

0001224000012240

0000020000000200

412000016004120

12240000048012240

002000000040000200

0004120412016240

000122401224024480

000002000020000400

10

eee

vuvuvuvu

KKKK

K

prednáška č.5 - 40/67

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

5

81200004120000

1224000012240000

0020000000200000

00081200004120

0001224000012240

0000020000000200

412000016004120

12240000048012240

002000000040000200

0004120412016240

000122401224024480

000002000020000400

10

M

F

F

M

F

F

M

F

F

M

F

F

v

u

v

u

v

u

v

u

y

x

y

x

y

x

y

x

Výsledná sústava rovnovážnych rovníc

faK

prednáška č.5 - 41/67

Redukovaná sústava rovníc konštrukcie

okrajové podmienky:

u1 = v1 = 1 = u4 = v4 = 4 = 0

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

3

3

3

2

2

2

5

0

0

0

0

0

0

81200004120000

1224000012240000

0020000000200000

00081200004120

0001224000012240

0000020000000200

412000016004120

12240000048012240

002000000040000200

0004120412016240

000122401224024480

000002000020000400

10

M

F

F

M

F

F

M

F

F

M

F

F

v

u

v

u

y

x

y

x

y

x

y

x

prednáška č.5 - 42/67

Posunutia a zaťaženia v uzlových bodoch

náhradné vonkajšie sily od spojitého zaťaženia prvku e1 v LSS

T

T 22A

667,16610000667,16610000

12/2/012/2/0

LLLLqef

1A

11A

eee fTf

prednáška č.5 - 43/67

Vektor zaťažení v uzlových bodoch (GSS)

4

4

4

1

1

1

4

4

4

1

1

1

2

2

4

4

4

1

1

1

*1

A1

A

667,166

1000

0

667,166

1000

1000

0

0

0

667,166

1000

0

667,166

1000

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1000

0

0

0

12/

2/

0

12/

2/

0

0

0

0

0

0

0

0

0

M

F

F

M

F

F

M

F

F

M

F

F

qL

qL

qL

qL

M

F

F

F

M

F

F

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

ee fqfqf

prednáška č.5 - 44/67

Redukovaná sústava rovníc konštrukcie

výpočet neznámych posunutí

výpočet neznámych reakcií

667,166

1000

0

667,166

1000

1000

8120000

12240000

00200000

0001600

0000480

00000400

10

3

3

3

2

2

2

5

v

u

v

u

4

4

4

1

1

1

3

3

3

2

2

2

5

0004120

00012240

00000200

41204120

1224012240

0020000200

10

M

F

F

M

F

F

v

u

v

u

y

x

y

x

prednáška č.5 - 45/67

Neznáme posunutia uzlov

Reakcie vo väzbách

],[10

667,291

167,104

0

417,10

833,20

5,2

5

3

3

3

2

2

2

radm

v

u

v

u

664,291

996,624

500

664,291

008,625

500

667,291

167,104

0

417,10

833,20

5,2

0004120

00012240

00000200

41204120

1224012240

0020000200

0004120

00012240

00000200

41204120

1224012240

0020000200

10

4

4

4

1

1

1

4

4

4

1

1

1

3

3

3

2

2

2

5

M

F

F

M

F

F

M

F

F

M

F

F

v

u

v

u

y

x

y

x

y

x

y

x

prednáška č.5 - 46/67

Nosníkový prvok

Nosníkové prvky v ANSYSe:• 2D

BEAM3 2-D Elastic Beam

BEAM23 2-D Plastic Beam

BEAM54 2-D Elastic Tapered Unsymmetric Beam

• 3DBEAM4 3-D Elastic Beam

BEAM24 3-D Thin-walled Beam

BEAM44 3-D Elastic Tapered Unsymmetric Beam

BEAM188 3-D Linear Finite Strain Beam

BEAM189 3-D Quadratic Finite Strain Beam

• ExplicitBEAM161 Explicit 3-D Beam

prednáška č.5 - 47/67

Rovinná napätosť:• pre telesá, ktoré majú malý rozmer v smere jednej osi

• všetky zaťaženia sú rovnobežné so stredovou rovinou a

rovnonomerne rozdelené po hrúbke t• ak os z je kolmá na rovinu takejto steny (membrány) potom

z = yz = zy = xz = zx = 0 (z 0)

Rovinné prvky

y y

z x p

ds

),(

),(

yxv

yxuu

prednáška č.5 - 48/67

εσ D

xy

y

x

xy

y

xE

2

1

2

00

010

001

1

xyxyxyyyxx

xyyx

EEE

x

v

y

u

y

v

x

u

)1(2)(

1)(

1

xyxyxyyyxx

EEE

)1(2

)(1

)(1 22

tdzE

t

tyxyxz

2/

2/

)()(1

prednáška č.5 - 49/67

potom potenciálna energia prvku

Rovinné prvky

i

n

ii

e dddt Fus-A-A2

1

1

T

s

T

A

T

A

T

puγuσε

prednáška č.5 - 50/67

Rovinné prvky

Rovinná deformácia:• pre telesá, ktoré sú dlhé v smere jednej osi• a ktorých prierez a zaťaženie sa nemení v pozdĺžnom smere

• hrúbka t sa volí jednotková

z = yz = zy = xz = zx = 0 (z 0)

y y

z x p

ds

),(

),(

yxv

yxuu

prednáška č.5 - 51/67

εσ D

xy

y

x

xy

y

xE

22100

01

01

)21)(1(

xyxyxyyyxx

yxz

xyxyzxyyzyxx

xyyx

EEE

EEE

x

v

y

u

y

v

x

u

)1(2)1()1(

1)1()1(

1

)(

)1(2)(

1)(

1

22

xyxyxyyyxx

EEE

)1(2

)(1

)(1 22

prednáška č.5 - 52/67

potom potenciálna energia prvku

Rovinné prvky

i

n

ii

e ddd Fus-A-A2

1

1

T

s

T

A

T

A

T

puγuσε

prednáška č.5 - 53/67

Osovosymetrické prvky:• pre telesá, ktorých tvar, zaťaženie a okrajové podmienky spĺňajú

v cylindrických súradniciach (r,y,) podmienky rotačnej symetrie

• potom možno úlohu zredukovať na dvojrozmernú

Rovinné prvky

r,u

y,v

r dr

y

dy dA

tvoriaca plocha axisymetrického

telesa

ds

),(

),(

yrv

yruu

prednáška č.5 - 54/67

εσ D

ry

y

r

ry

y

r

E

221000

01

01

01

)21)(1(

ryry

yrryyyrr

ryry

yr

E

EEE

r

v

y

u

r

u

y

v

r

u

)1(2

)(1

)(1

)(1

00

prednáška č.5 - 55/67

potom potenciálna energia prvku

Rovinné prvky

i

n

ii

e ddd Fus-S-S2

12

1

T

s

T

A

T

A

T

puγuσε

s2AA2V drddrd

s

TA

A

TV

A0

T

A

T

s~

2

A2

A2

A2

0

rd

rd

rd

rd

e

e

e

e

pNf

γNf

εDBf

BDBK

prednáška č.5 - 56/67

Rovinné prvky v ANSYSe:• PLANE2 2-D 6-Node Triangular Structural Solid• PLANE132-D Coupled-Field Solid • PLANE25Axisymmetric-Harmonic 4-Node Structural Solid• PLANE352-D 6-Node Triangular Thermal Solid• PLANE422-D Structural Solid• PLANE532-D 8-Node Magnetic Solid• PLANE552-D Thermal Solid• PLANE75Axisymmetric-Harmonic 4-Node Thermal Solid• PLANE772-D 8-Node Thermal Solid• PLANE78Axisymmetric-Harmonic 8-Node Thermal Solid • PLANE822-D 8-Node Structural Solid• PLANE83Axisymmetric-Harmonic 8-Node Structural Solid• PLANE121 2-D 8-Node Electrostatic Solid• PLANE145 2-D Quadrilateral Structural Solid p-Element • PLANE146 2-D Triangular Structural Solid p-Element• PLANE162 Explicit 2-D Structural Solid• PLANE182 2-D 4-Node Structural Solid• PLANE183 2-D 8-Node Structural Solid• PLANE223 2-D 8-Node Coupled-Field Solid• PLANE230 2-D 8-Node Electric Solid

Rovinné prvky

prednáška č.5 - 57/67

Trojuholníkové prvky odvodené pomocou lineárnych tvarových funkcií označujeme ako prvky konštantného pretvorenia!

(Program ANSYS napr. takéto prvky ani nepoužíva.)

Trojuholníkové prvky odvodené pomocou kvadratických tvarových funkcií označujeme ako prvky lineárneho pretvorenia!

Rovinné prvky

prednáška č.5 - 58/67

Príklad – štvoruzlový bilineárny izoparametrický rovinný prvok

Určte matice prvku s t = konšt.

= -1 = -1

= -1 = 1

= 1 = -1

= 1 = 1

[0,0]

k

i j

l

)1)(1(),(

)1)(1(),(

)1)(1(),(

)1)(1(),(

41

41

41

41

l

k

j

i

N

N

N

N

prednáška č.5 - 59/67

Funkcia posunutí všeobecného bodu prvku

Funkcia súradníc všeobecného bodu prvku izoparametrický prvokizoparametrický prvok

e

el

el

ek

ek

ej

ej

ei

ei

lkji

lkjie

v

u

v

u

v

u

v

u

NNNN

NNNN

v

uaNu ),(

0000

0000

),(

),(

e

el

el

ek

ek

ej

ej

ei

ei

lkji

lkjie

y

x

y

x

y

x

y

x

NNNN

NNNN

y

xxNx ),(

0000

0000

),(

),(

prednáška č.5 - 60/67

Transformačná matica deformácií prvku

- problém derivovania (integrovania) funkcií s prirodzenými súradnicami.

0

00

00

xN

yN

yN

xN

ei

eeeel

ek

ej

ei

e

ii

i

i

kde BaBaBBBBε

y

y

Nx

x

NN iii

y

Nx

N

yx

yx

N

N

i

i

e

i

i

J

i

i

ei

i

e

i

i

N

N

xx

yy

N

N

y

Nx

N

JJ

det

11

prednáška č.5 - 61/67

Matica tuhosti prvku s konštantnou hrúbkou t

Vektor prvkového zaťaženia (napr. od teploty)

ji

ee

n

j

n

i

eeeji

eeeeeeee

wwt

ddtdxdytd

,1 1

T

1

1

1

1

T

A

T

V

T

det

detV

JBDB

JBDBBDBBDBK

ji

ee

n

j

n

i

eeeji

eeeeeeee

wwt

ddtdxdytd

,1 10

T

1

1

1

10

T

A0

T

V0

T

det

detV0

JεDB

JεDBεDBεDBf

prednáška č.5 - 62/67

Matica tuhosti osovosymetrického prvku

ji

ee

n

j

n

i

e

kkk

eeji

e

kkk

eeeeeee

rNww

ddrNdrdyrd

,1 1

4

1

T

1

1

1

1

4

1

T

A

T

v

T

det2

det22V

JBDB

JBDBBDBBDBK

prednáška č.5 - 63/67

3D modely:• sieť je tvorená 4 – 6 stenovými prvkami• každý uzol prvku má 3° voľnosti (platí pre štrukturálne úlohy)• pomer tvoriacich strán by mal byť 1:1:1• 5 stenové prvky sa najčastejšie používajú ako prechodové

• Generovanie siete:zvnútra telesa smerom k obvodovým stenám

z hraničných plôch dovnútra objemu

Priestorové prvky

prednáška č.5 - 64/67

• nárast počtu stupňov voľnosti

Príklad:

rovinná úloha: 20 x 20 = 400 uzlov x 2° voľnosti na uzol = 800 rovníc

šírka pásu matice 20 x 2 = 40 (pre prípad optimálneho číslovania

uzlov)

priestorová úloha: 20 x 20 x 20 = 8000 x 3° = 24000 rovníc

šírka pásu matice 20 x 20 x 3 = 1200(pre prípad optimálneho číslovania uzlov)

Priestorové prvky

prednáška č.5 - 65/67

Priestorové prvky

ij

kl

mn

op

i

j

k,l

m

n

o,p

i

j

k,l

m,n,o,p

• lineárne prvky

prednáška č.5 - 66/67

Priestorové prvky v ANSYSe:• SOLID5 3-D Coupled-Field Solid• SOLID45 3-D Structural Solid• SOLID46 3-D 8-Node Layered Structural Solid• SOLID62 3-D Magneto-Structural Solid• SOLID64 3-D Anisotropic Structural Solid• SOLID65 3-D Reinforced Concrete Solid• SOLID69 3-D Coupled Thermal-Electric Solid• SOLID70 3-D Thermal Solid• SOLID87 3-D 10-Node Tetrahedral Thermal Solid• SOLID90 3-D 20-Node Thermal Solid• SOLID92 3-D 10-Node Tetrahedral Structural Solid• SOLID95 3-D 20-Node Structural Solid• SOLID96 3-D Magnetic Scalar Solid• SOLID97 3-D Magnetic Solid• SOLID98 Tetrahedral Coupled-Field Solid• SOLID117 3-D 20-Node Magnetic Edge

Priestorové prvky

prednáška č.5 - 67/67

Priestorové prvky v ANSYSe:• SOLID117 3-D 20-Node Magnetic Edge• SOLID122 3-D 20-Node Electrostatic Solid• SOLID123 3-D 10-Node Tetrahedral Electrostatic Solid• SOLID127 3-D Tetrahedral Electrostatic Solid p-Element• SOLID128 3-D Brick Electrostatic Solid p-Element• SOLID147 3-D Brick Structural Solid p-Element • SOLID148 3-D Tetrahedral Structural Solid p-Element • SOLID164 Explicit 3-D Structural Solid• SOLID168 Explicit 3-D 10-Node Tetrahedral Structural Solid• SOLID185 3-D 8-Node Structural Solid• SOLID186 3-D 20-Node Structural Solid or Layered Solid• SOLID187 3-D 10-Node Tetrahedral Structural Solid• SOLID191 3-D 20-Node Layered Structural Solid• SOLID226 3-D 20-Node Coupled-Field Solid• SOLID227 3-D 10-Node Coupled-Field Solid• SOLID231 3-D 20-Node Electric Solid• SOLID232 3-D 10-Node Tetrahedral Electric Solid

Priestorové prvky