M´ ethodes variationnelles pour la segmentation d’images m´ edicales Olivia MIRAUCOURT a , St´ ephanie SALMON a , Hugues TALBOT b , Nicolas PASSAT c a Universit´ e de Reims, LMR ; b Universit´ e Paris-Est, ESIEE, LIGM ; c Universit´ e de Reims, CReSTIC Contexte : projet ANR VivaBrain 1 ARM Equipes médicales Segmentation Equipes informatiques Simulation d'écoulements sanguins Equipes mathématiques Simulation d'images virtuelles Equipes physiques Segmentation : un double challenge Difficult´ es : D´ etecter des structures tubulaires : • tr` es fines • bruit´ ees • g´ eom´ etriquement complexes Double objectif : • d´ ebruitage • segmentation/r´ ehaussement Etat de l’art : m´ ethodes variationnelles Soit l’image observ´ ee f :Ω ⊂ R N 7→ R telle que f = u + n • u : image originale • n : bruit gaussien Mod` ele Tykhonov (1963) : le probl` eme revient ` a minimiser un crit` ere de r´ egularit´ e convexe sous la contrainte que l’image obtenue u soit la plus proche de l’image observ´ ee f : min u Z Ω |∇u | 2 | {z } terme de r´ egularisation + λ Z Ω ku - f k 2 dx | {z } terme de fid´ elit´ e Mod` ele ROF (1992) : terme de r´ egularisation = R Ω |∇u | Mod` ele TV-L1 (1992) : terme de fid´ elit´ e= R Ω |u - f | Comment bien choisir l’´ energie ? Norme Approche statistique R´ egularisation Fid´ elit´ e |.| M´ ediane Bords lisses Bruit laplacien k.k 2 Moyenne Bords saillants Bruit gaussien Algorithme d’optimisation convexe Importance de la convexit´ e? • minimum local = minimum global • ne d´ epend pas de la condition initiale Choix de l’algorithme : Primal-dual [Chambolle et Pock, 2011] • convergence garantie et rapide • impl´ ementation facile Tubularit´ e de Frangi Soient γ 1 , γ 2 et γ 3 les valeurs propres de la matrice hessienne. Pour une structure tubulaire id´ eale, on a • |γ 1 |≈ 0 • |γ 1 ||γ 2 | • |γ 2 |≈|γ 3 | Fonction de tubularit´ e de Frangi (1998) V (x ) = (1 - e - -R 2 A 2α 2 ) · e - -R 2 B 2β 2 · (1 - e - -S 2 2γ 2 ) • R A = γ 2 γ 3 discrimine les structures planaires et tubulaires • R B = |γ 1 | √ |γ 2 γ 3 | discrimine les structures isotropes (blob) et le bruit • S = p Σ i γ 2 i ´ evalue le niveau de bruit du voisinage Mod` ele hybride λ = λ reg + (1 - α)V (x ) • λ reg : param` etre de r´ egularisation • V (x ) : tubularit´ e de Frangi • α ∈ [0, 1] : pond´ eration entre r´ egularisation et tubularit´ e Image originale Image bruit´ ee Mod` ele ROF ROF+tubularit´ e R´ esultats de segmentation Image r´ etinienne V´ erit´ e terrain Mod` ele Chan-Vese non-local Tubularit´ e de Frangi TV-L1+tubularit´ e(α =0.3) TV-L1+tubularit´ e(α =0.7) Perspectives • Inclure le mod` ele de Chan-Vese [Jezierska, 2014] Fid´ elit´ e= Z Ω ku k 2 ku 1 - f k 2 | {z } r´ egion d’int´ erˆ et + k1 - u k 2 ku 0 - f k 2 | {z } fond dx • Tests sur le r´ eseau vasculaire c´ er´ ebral 3D 1 Cette recherche est financ´ ee en partie par l’Agence Nationale de la Recherche (R´ ef´ erence projet ANR-12-MONU-0010)