m ÁNGULOS IDEAS CLAVE • unión de dos semirrectas • origen común A a o B Figura 3.66 TEN EN CUENTA Cada una de las 90 partes iguales en que se divide un ángulo recto se llama grado y se representa por el símbolo 0. El grado es la unidad de medida de ángulos. Un ángulo es la figura formada por dos semirrectas con el mismo or ; Este origen se denomina vértice y las semirrectas, lados del ángulo. Las dos semirrectas de la figura 3.66 tienen el mismo origen O, y form2- ángulo AOB. Para nombrarlo se puede escribir el signo "1\" sobre el nor del vértice [61 o el signo "4" antes del nombre del ángulo [4AOB]; tarr ; se pueden nombrar mediante una letra griega [al o un número. Los ángulos se clasifican según su medida como se muestra en la tabla - RECTO LLANO 90° Sus lados son per- pendiculares. Mide 900. AGUDO OBTUSO 180 ° Sus lados son se- mirrectas opues- tas. Mide 1800. Mide menos que un ángulo recto. Mide más que un ángulo recto, Tabla 3.: ACTIVIDAD RESUELTA • Clasifica estos ángulos según su medida. al m 4A = 92° bl m 4B = 35° SOLUCiÓN: al Obtuso DESARROLLA TUS COMPETENCIAS INTERPRETA 1. EJERCITACIÓN. Dibuja en tu cuaderno cada uno de los siguientes ángulos. al 90° bl 60° el 180° fl 105° il 190° jl 200° cl 30° gl120° kl 210° d] 45° hl 135° II 270° 2. EJERCITACIÓN. Clasifica los ángulos de las figuras 3.67 y 3.68, según su medida. al!'" .:,~";~':1 ( f Figura 3.67 ) '\ / A " /, ~a168 bl Agudo el Obtuso ARGUMENTA J • 3. COMUNICACiÓN. ¿C))áVes el valor de Ix en cadafi- , gura? Explica/cómo lo calculas. . . al................ b] .. . ." 155' Figura 3.69 Figura 170 4. RAZONAMIENTO. Calcula la medida de 1, 13, 8 de los ángulos que faltan en la figura \,3.71. .1 ~ =/ . .•. ' a 13 <:«: . i = . 80° Figura 3.71 PROPONE I 5. S/4A es un ángulo agudo • y 4B es obtu~o, ,pueden sumar 90°? ¿Por qué? '\ . ......................... / ...
12
Embed
m ÁNGULOS - se728f056fdf0dce1.jimcontent.com · den consecutivos [figura 3.9~. A. ¿Son complementarios los ángulos 4A y 4B, si m 4A m 4B = 50° 40'? 32° 35' Y Como m 4A + m 4B
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
m ÁNGULOS
IDEAS CLAVE• unión de dos
semirrectas
• origen común
A
a
o BFigura 3.66
TEN EN CUENTACada una de las 90 partesiguales en que se divideun ángulo recto se llamagrado y se representa porel símbolo 0. El grado esla unidad de medida deángulos.
Un ángulo es la figura formada por dos semirrectas con el mismo or ;Este origen se denomina vértice y las semirrectas, lados del ángulo.
Las dos semirrectas de la figura 3.66 tienen el mismo origen O, y form2-ángulo AOB. Para nombrarlo se puede escribir el signo "1\" sobre el nordel vértice [61 o el signo "4" antes del nombre del ángulo [4AOB]; tarr ;se pueden nombrar mediante una letra griega [al o un número.
Los ángulos se clasifican según su medida como se muestra en la tabla -
RECTO LLANO
90°
Sus lados son per-pendiculares.Mide 900.
AGUDO OBTUSO
180 °
Sus lados son se-mirrectas opues-tas. Mide 1800.
Mide menos que unángulo recto.
Mide más que un ángulorecto,
Tabla 3.:
ACTIVIDAD RESUELTA
• Clasifica estos ángulos según su medida.al m 4A = 92° bl m 4B = 35°
SOLUCiÓN:
al Obtuso
DESARROLLA TUS COMPETENCIAS
INTERPRETA
1. EJERCITACIÓN. Dibuja en tu cuaderno cada uno delos siguientes ángulos.
al 90° bl 60°
el 180° fl 105°
il 190° jl 200°
cl 30°
gl120°
kl 210°
d] 45°
hl 135°
II 270°
2. EJERCITACIÓN. Clasifica los ángulos de las figuras3.67 y 3.68, según su medida.al!'" . :,~ ";~':1
(
f
Figura 3.67
)
'\
/A
"/,
~a168
bl Agudo el Obtuso
ARGUMENTAJ •
3. COMUNICACiÓN. ¿C))áVes el valor de Ix en cadafi-,gura? Explica/cómo lo calculas.
. .al................ b] .. .." 155'
Figura 3.69 Figura 170
4. RAZONAMIENTO. Calcula la medida de 1, 13, 8 de losángulos que faltan en la figura \,3.71.
.1
~ =/ ..•. '
a13 <:«: .
i = .80°
Figura 3.71
PROPONEI
5. S/4A es un ángulo agudo• y 4B es obtu~o, ,pueden sumar 90°? ¿Porqué? '\ .......................... / ...
~ BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos ángulos con-gruentes.
IDEAS CLAVE
• ángulos con-gruentes
ACTIVIDAD RESUELTA
• Traza la bisectriz del ángulo OOP de la figura 3.72, con regla y compás.
SOLUCiÓN:Para trazar la bisectriz del ángulo OOP, utilizando regla y compás,se sigue este procedimiento: .
10 Se traza un arcocualquiera concentro en O y quecorte a los ladosen dos puntos, Py O [figura 3.73].
o :PFigura 3.73
2.° Con la medida deOP se dibuja unarco con centroen P y otro concentro en O, quese corten en elpunto M [figura3.74l.
o :PFigura 3.74
-ERPRP-A1. MODELACIÓN. Copia el ángulo de la figura 3.76 en
tu cuaderno y traza la bisectriz utilizandoregla y compás.
3ffFigura 3.76
2. MODELACIÓN. Traza las bisectrices de los siguien-tes ángulos. Utiliza regla y cornpás-..,
ta r que pasa porM y el vértice delángulo. Esta rec-ta es la bisectrizdel 400P [figura3.75l.
o PFigura 3.72
o :P
Figura 3.75
ARGUMENTA3. RAZONAMIENTO. Se traza la bisectriz de un ángu-
lo llano. ¿Cuánto miden los ángulos que seforman?
PROPONE4. COMUNICACiÓN. Traza dos rectas secantes que se• corten formando un ángulo de 90° y las bi-
sectrices de los cuatro ángulos formados.¿Cuál es la medida de Ios ángulos obtenidos?
5. Camilo pidió a Sofía rea-. . ..tizar los siguientes pasos:• Traza una circunferencia y dos diámetros
. mutuamente perpendiculares.• Traza la bisectriz de cada uno de los ángulos
que forman los diámetros perpendiculares.• Marca los puntos de intersección de las
bisectrices con la circunferencia. Une lospuntos.
¿Qué figura obtuvo Sofía? .
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
, I
[3ÁNGULOS CONGRUENTES
IDÉAS CLAVE• medidas iguales
TEN EN CUENTA
Dos rectas que se inter-secan forman dos paresde ángulos opuestos porel vértice.
Vértice comúnFigura 3.81
En la figura 3.81, 4ex y4(j son opuestos por elvértice. También lo sonlos ángulos 40 y 4"-·
/
2m 41 = 280
m 44= 1520
Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida. En particularcongruentes los ángulos opuestos por el vértice.
Los ángulos de lados paralelos, son congruentes o son suplementarios
ACTIVIDADES RESUELTAS
A. Con base en la figura 3.81, escribe pares de ángulos congruentes.SOLUCiÓN: Como los ángulos 4a y 4[3 son-opuestos por el vértice, entonces4a ~ 4[3· Análogamente se obtiene 48 ~ 4"-·
B. Calcula los ángulos que faltan en la figura 3.82.
3
75
Figura 3.82
SOLUCiÓN:
41 y 42 son opuestos por el vértice. Luego, m 42 = 28°.43 y 44 son opuestos por el vértice. Luego, m 43 = 152°.45 Y 46 son agudos de lados paralelos a 42. Por tanto,m 45 = m 46 =::: m 42 = 28°.47 Y 48 son obtusos de lados paralelos a 44. Luego,m 47 = m 48 = m 44 = 152°.
DESARRO:....LA TUS COMPETENCIAS
INTERPR!lfA
1. riZONAMIENTO. Calcula la medida de los ángulos,·'a y [3en las figuras 3.83 y 3.84.
~ ~--(j---'---~ I
i ~L¡,a 184 y<, - -1
f Ia = . [3 = .
2. RAZONAMIENTO. A-lalla los valores de los ángulos a,
[3y 8 que faltan en las figuras 3.85 y 3.86.al
bl
a = .. '.. ,.,ex
[3 = ,8 = .' ~J
¡Figura 3.85
ex
I, I
a .:......'·.. 1. .'
[3 : .:' ····1'8 - .:....
~Figura 3.86}I
ARGUMENTA
3. COMUNICACiÓN. En la figura 3.87 hay cuatro parejasde ángulos congruentes. Nómbra cuáles son.
M N
o
P ~Q Figura 3.87
.PROPONE ,
4. pi dos' rectas paralelasson cortadas simuliáneamente por una rectatransversal, se for,lnan ocho ángulos.
A
w x z
v y T
" B Figura 188
Identifica parejasbe ángulos congruentesen la figura 3.88. Utill~~l compás.
. ...............•....................... i .... ~...................•...
(1 CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS CONGRUENTES
)ara construir un ángulo congruente a un ángulo ABC dado, se siguen estosrasos:
=- o Con una abertura equivalente a 6.° Se traza el rayo B' Q [figura 3.94l.
la longitud de MN, se hace cen-tro en el punto P y se traza un I
nuevo arco que corte el obtenidoen el paso anterior, en el puntoQ [figura 3.93l.QZ}
1.° Con el compás, se hace centro 2°en By s·e traza un arco que cortelos lados BA y BC en los puntos iM Y N, respectivamente [figura3.89l.
bM
A
N e Figura 3.89B
3.° Se traza B' C', que será uno de I 4.°los lados del nuevo ángulo [figu-ra 3.91].
A
B~ _
e
B' e Figura 3.91
B' p e Figura 3.93
Con el compás se mide la lon-gitud del segmento MN [figura3.90l.
A
B N eFigura 3.90
IDEAS CLAVE• construcción
geométrica
• regla y compás
EL ESFUERZO
En geometría, una cons-trucción implica el proce-so de elaboración de unafigura o la subdivisión dela misma en partes máspequeñas. A su vez, laspersonas en su vida co-tidiana se plantean ob-jetivos que alcanzan conesfuerzo para construir suproyecto de vida.• Menciona algunas me-
tas o propósitos que ha-gan parte de tu proyectode vida.
-::>RETA
:Ot.4UNICACIÓN. Calca el ángulo ABC de la figura 3.95 en una hoja de papel. Luego, superponlo sobreos ángulos de la figura 3.96 para determinar si son congruentes con él o no.
N S A'
->8- Figura 3.95
Con el compás se mide la lon-gitud de BN y con esta aber-tura se hace centro en B' y setraza u n arco que corte a B' C',en un punto P [figura 3.92l.
~• •B' p e Figura 3.92
B' p e4QB'C' == 4ABC
Figura 3.94
~ lA-ONAMIENTO. Determina si es verdadera o fal-
~= la siguiente afirmación: Si 4A ==~B Y_3 == 4C, entonces 4A == 4C.
5. EJERCITACIÓN. Dada la medida del 4ABC completala tabla 3.7.
MEDIDA DE MEDIDA DEL MEDIDA DEL
4ABC COMPLEMENTO DE SUPLEMENTO DE
4ABC 4ABC33°
131°27°
61°75°
75°45°
125°I 1°
179°Tabla 3.7
6. Por grupos de tres personas, lean• y respondan.
Si AB Y AD son rayos opuestos, y AC es otrorayo cualquiera, entonces t,.CAB y t,.CAD for-man un par lineal (figura 3.1021.
. ~ •B A O Figura 3.102
al ¿Si dos ángulos forman un par lineal, en-tonces son complementarios? Justifiquen.
bl ¿Si dos ángulos forman par lineal, entoncesson suplementarios? Justifiquen.
• ¿Fue fácil para todos comprender la defini-ción? ¿Qué hicieron para que todos enten-dieran lo que se proponía?
7. RAZONAMIENTO. Con base en la figura 3.103, res-• ponde.
Figura 3.103
al ¿Cuáles pares de ángulos son opuestos porel vértice?
bl ¿Cuáles pares de ángulos forman par lineal?
8. EJERCITACIÓN. Ten en cuenta la figura 3.104 y de-termina los elementos indicados. o-~
~ct5
2
Figura 3.104
al Pares de ángulos opuestos por el vértice
bl Pares de ángulos que forman par lineal
el Pares de ángulos complementarios
dl Pares de ángulos suplementarios
ARGUMENTA
9. RAZONAMIENTO. En la figura 3.105, m t,.CBA = 39°y m t,.CBD = 51°. ¿Qué tipo de ángulo est,.ABD? Justifica tu respuesta.
A
e
B o Figura 3.105
10. RAZONAMIENTO. Dados A. B y C colineales y un
punto D que no está sobre AC.al ¿Qué relación hay entre t,.ABD y t,.CBD?
b] ¿Cuánto suman las medidas de los ángulosanteriores? .
PROPONE
11. Si s.C es un ángulo agudo• y el ángulo A es obtuso:
al ¿Sus medidas pueden sumar 180°?
bl ¿Pueden sumar 90°? ¿Por qué?
el Muestra algunos ejemplos.
RECTAS PERPENDICULARES
IDEAS CLAVE
• á"9u osco"g"_e tes
CONVIVENCIA Y PAZCO"¡PETENCIASCIUDADANAS
Los matemáticos de la an-tigüedad intentaron resolvernumerosos problemas conregla y compás, sin embar-go, no todos tenían solución.Pero con el afán de ganarprestigio, algunas personasanunciaban que habían re-suelto problemas irresolu-bles tratando de engañar ala comunidad matemática.• ¿Cómo afecta el engaño,
la confianza entre las per-sonas?
, ..
Si dos rectas m y n se cortan formando cuatro ángulos con la rrusrnmedida, entonces son perpendiculares y se escribe m .L n.Dada una recta AB se puede construir, con regla y compás, la recta Pperpendicular a AB de la siguiente forma:
1.° Con el compás,con una aberturamayor que la mi-tad del segmentoAB, se hace cen-tro en A y se tra-zan dos arcos aambos lados de larecta (figura 3.1061
Figura 3.106
DESARROLLA TUS COMPETENCIAS
INTERPRETA1. EJERCITAclóN.ldentificaen la figura 3.109 las rec-
tas que se indican en cada caso y nómbralas.
.• xFigura 3.109
al Dos rectas que se corten, pero que no seanperpendicu lares.
b] Dos rectas perpendiculares.
2. EJERCITACIÓN.Traza, con regla y compás, una rec-ta perpendicular a cada una de las rectasdadas.
al r Figura 3.110
bl
Figura 3.111
2° Con la misma aber-tura del compás,se hace centro enB y se dibujan dosarcos que cortenlos ya trazados (fi-gura 3.1071.
3° La recta perpen-dicular se trazapor los dos pun-tos de intersec-ción de los arcos(figura 3.108].
p
A . BA B
QQ
Figura 3.107 Figura 3.108
ARGUMENTA3. RAZONAMIENTO.Explica si son verdaderas las si-• guientes afirmaciones.
al Dos rectas perpendiculares forman ánqulosde 90° .
b] Si m es perpendicular a n y n es per-pendicular a "5, entonces m y "5 sonperpendicula res .
el Cuando las manecillas del reloj marc'in las3:00 y las 9:00, estas forman ángulos rectos.
d] La mediatriz de un segmento es perpendi-cular a él. . .
el Toda perpendicular a AB divide al segmentoen dos partes congruentes .
PROPONE4. Observa los objetos de tu
salón de clase. Identifica y determina parejasde segmentos que sean perpendiculares.
Se c;onstruye una recta PO per-pendicular a MN. PO es para-lela a AB [figura 3.113].
A
Figura 3.113
8
N
ARGUMENTA3. RAZONAMIENTO. Justifica si son verdaderas o falsas
las siguientes afirmaciones.al Dos rectas paralelas a una misma recta, son
paralelas entre sí .
bl Si m es perpendicular a n y n es per-pendicular a "*5, entonces m y "*5 son pa-ralelas .
el El borde superior y el borde del lado dere-cho de un libro son paralelos .
d] Las líneas laterales de las canchas de fút-bol, voleibol y baloncesto, son paralelas.
el El borde superior y el borde inferior delas puertas de una casa no son paralelas.
PROPONE4. Propón tres situaciones
de tu contexto donde se evidencien rectasparalelas.
m POLÍGONOS
IDEAS CLAVE• unión de
segmentos• línea poligonal
cerrada
SABíAS QUE •••
La palabra polígono estáformada por dos vocesde origen griego: "polys":muchos y "qonía": ángu-los; por lo tanto, describeuna figura con varios án-gulos.
Una línea poligonal es la unión de varios segmentos cuyos puntos corr ,son sus extremos.
Un polígono está formado por una línea poligonal cerrada.
Los elementos de un polígono son:
• Lados: son los segmentos de recta que componen la línea poligonal :-rrada.
• Ángulos: están formados por los lados consecutivos.
• Vértices: son los puntos en común entre dos lados consecutivos.
• Diagonales: son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos
Los polígonos se pueden clasificar según sus ángulos, en convexos y c -cavos.
Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores son convexos [ _nores que 180°].
Un polígono es cóncavo si alguno de sus ángulos interiores es cóncavo [ 2-yor que 180°].
Los polígonos también se pueden clasificar según el número de lados:
7. EJERCITACIÓN. Lee la información y luego responde.En todo polígono regular se puede dibujar sucircunferencia circunscrita cuyo centro coin-cide con el del polígono y que pasa por susvértices. En este caso, se dice que el polígonoestá inscrito en la circunferencia.Indica cuáles polígonos son regulares. De serposible traza la circunferencia circunscrita.al bloEQc
A 8 Figura 3.128
M
oO KFigura 3.129
P J
cl
PROPONE
8. RAZONAMIENTO. Completa cada enunciado, deacuerdo con la figura 3.131.
O e
EB
A Figura 3.131
al Según el número de lados, el polígonoABCOE es un .
bl Los vértices del polígono ABCOE son .
el Los lados del polígono A8COE son .
d] 4A. 4B, 4C, 40 y 4E son los .del polígono ABCOE.
9. EJERCITACIÓN. Dibuja en tu cuaderno las siguien-tes figuras planas.al Un polígono cóncavo regular.bl Una figura que no sea un polígono.cl Un polígono cóncavo de cuatro lados, con
dos de estos congruentes.
10. Dibuja en tu cuadernopolígonos convexos de tres, cuatro y cincolados con sus correspondientes diagonales.¿Cuántas diagonales hay en cada uno?
AMPLíA TUS CONOCIMIENTOS EN www.e-sm.net/6ajm18
~ POlíGONOS CONGRUENTES
ACTIVIDAD RESUELTA
• Comprueba que un cuadrado y un rombo conpueden ser polígonos distintos [figura 3.132].
los lados congruentes
IDEAS CLAVE• pot'qo=o• congruenc a• corresponden-
cia
Dos polígonos son congruentes si tienen los lados correspondientes con-gruentes y los ángulos correspondientes también congruentes .
Para comprobar si dos polígonos son congruentes se coloca uno sobre otrhaciendo coincidir al menos un vértice y un lado. Si los demás elementoscoinciden, entonces son congruentes.
Por ello, la primera condición que deben cumplir es tener el mismo númerde lados.
También se debe cumplir que los lados de uno midan lo mismo que l05lados del otro.
Sin embargo, todo eso no es suficiente, también se debe comprobar la COI"'-
gruencia de los ángulos.
3cm
"----------'1~ 3 cm-.
Figura 3.132
SOLUCiÓN: La diferencia entre ellos es la medida de los ángulos: en elcuadrado todos son rectos y en el rombo, ninguno es de 90°.
DESARROLLA TUS COMPETENCIAS
INTERPRETA
1. RAZONAMIENTO. ¿Son congruentes los rectángulosde la figura 3.133?
T¡--¡.2cl~f--- 4 cm ---1
T4cm
L---.J11-2 cm-l
Figura 3.133
'ARGUMENTA •
2. COMUNICACiÓN. Si dos cuadrados tienen un ladocongruente, ¿se puede decir que son con-gruentes? Justifica tu respuesta.
3. COMUNICACiÓN. Si dos rombos tienen un lado con-gruente, ¿se puede decir que son congruentes?
4. COMUNICACiÓN. ¿Son congruentes dos hexágonosregulares con los lados congruentes?
,......................................... , .
5. RAZONAMIENTO. ¿Son congruentes los romboidesde la figura 3.134? ¿Por qué?
Figura 3.134
PROPONE
6. Dibuja en tu cuaderno untriángulo congruente con el triángulo de lafigura 3.135.¿Cómo son sus lados y sus ángulos respec.;al f:.ABC? B
00 SUMA DE LA MEDIDA DE LOS ÁNGULOS DE UN POlÍGONO
La suma de la medida de los ángulos interiores de un polígono de n lados es:180° . (n - 2)
En cada polígono el número de triángulos en los que queda dividido es dosunidades menor que el número de lados que tiene.
Observa cómo al trazar las diagonales desde uno de los vértices de los distintospolígonos de la figura 3.136, estos quedan divididos en triángulos.
B
o
eA
o EFigura 3.136
La suma de sus ángulos es: 180° X el número de triángulos.
STn es la suma de los ángulos internos del triángulo Tn'
En el cuadrilátero: ST1 + ST2 = 2 . 180° = 360°
En el pentágono: ST1 + ST2 + ST3 = 3 . 180° = 540°
En el hexágono: ST1 + ST2 + ST3 + ST4 = 4 . 180° = 720°
DESARROLLA TUS CÓMP'tffÑ-CIAS'
INTERPRETA1. RAZONAMIENTO. En un triángulo rectángulo un án-
gulo agudo mide 30°. i
¿Cuánto mide el otro?
.•RGUMENTA2. COMUNICACiÓN. ¿Se puede construir un triángulo
de rl!anera que sus ángulos midan 105°, 45°Y 35°? Razona la respuesta.
3. COMUNICACiÓN. Contesta a las siguientes pregun-tas sobre un heptágono regular.al ¿Cuál es la suma de sus ángulos interiores?
bl ¿Cuánto mide cada uno de ellos?
el Si el heptágono fuera irregular, ¿mediríanlo mismo?
4. COMUNICACiÓN. El lado de un triángulo mide• 48 mm y sus ángulos contiguos, 35° y" 80°
En otro, un lado mide 0,48 dm y el ánguloopuesto, 65°. ¿Se puede afirmar que son,congruentes?
PROPONE5. COMUNICACiÓN. Construye un octágono regular en
una 'circunferencia circunscrita de 8 cm dediámetro. Une con segmentos los vérticesno consecutivos del octágono. La figura queobtienes de este modo, ¿es regular?
6. En el cuadrado de la figura• 3.137 se construyeron cuatro triángulos, uno
equilátero y los otros tres isósceles, tal comose indica en la figura 3.137. Calcula la medidadel ángulo a.A [j Indicación: Los lados