M A T E M A T I K A

MINISTERSTVO ZA OBRAZOVANIE I NAUKA BIRO ZA RAZVOJ NA OBRAZOVANIETO

OBRAZOVNI STANDARDI

ZA PROVERUVAWE NA POSTIGAWATA NA UÊNICITE PO

M A T E M A T I K A zadolìtelen predmet

I godina

Struki: ekonomsko - pravna i trgovska, tekstilno-koàrska, ugostitelsko-turisti~ka i grafi~ka struka

Skopje, 2008 godina

Matematika za I godina za ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (zadolìtelen predmet za ekonomsko-pravnai trgovska, tekstilno-koàrska, ugostitelsko-turisti~ka i grafi~ka struka)

1

Programsko podra~je: Realni broevi

Nivo na znaewa i sposobnosti

Standard

POMNEWE

- Razlikuva prosti, sloèni i zaemno prosti broevi; - zapi{uva komutativen, asocijativen i distributiven zakon za operacii; - gi znae tablicite za sobirawe i mnoèwe vo binaren broen sistem; - ja iskaùva definicijata za racionalen, iracionalen i realen broj; - gi zapi{uva mnoèstvata na prirodni, celi,racionalni, iracionalni i realni broevi; - ja iskaùva definicijata za apsolutna vrednost na realen broj.

RAZBIRAWE

- Razloùva broevi na prosti mnoìteli; - objasnuva kako se odreduva NZS i NZD; - razlikuva dekaden i binaren broen sistem; - razbira kako se pretvoraat broevi od dekaden vo binaren broen sistem i obratno; - sporeduva prirodni, celi i racionalni broevi; - zapi{uva decimalen broj vo vid na dropka i obratno; - pretstavuva i sporeduva realni broevi na brojna oska; - objasnuva geometrisko pretstavuvawe na intervali; - objasnuva pribli`ni vrednosti i zaokruùvawa.

PRIMENUVAWE

- Gi koristi operaciite so prirodnite broevi i zakonite kaj niv; - odreduva NZS i NZD; - sobira, odzema i mnoì broevi vo binaren sistem; - izvr{uva operacii so celi broevi, dropki i decimalni broevi; - koristi postapka za pretvorawe od beskone~en periodi~en decimalen broj vo dropka; - konstruira iracionalni broevi, zapi{ani vo vid na kvadratni koreni i gi pretstavuva na brojna oska; - vr{i smetkovni operacii so pribli`ni vrednosti.

ANALIZA, SINTEZA I VREDNUVAWE

- Re{ava prakti~ni problemi od delivost na prirodnite broevi; - re{ava zada~i so operacii od kombinirani broevi ( celi, dropki, decimalni).


2

Programsko podra~je: Algebarski racionalni izrazi


Standard

POMNEWE

- Pokaùva osnova i stepenov pokazatel; - prepoznava glavna vrednost i koeficient na monom; - razlikuva monom, binom, trinom, polinom; - dava primer na stepen so stepenov pokazatel cel broj; - razlikuva stepen na monom i polinom; - zapi{uva formuli za skrateno mnoèwe; - nabrojuva na~ini na razloùvawe na polinom na mnoìteli; - razlikuva NZD i NZS na dva polinomi; - dava primer na algebarska dropka.

RAZBIRAWE

- Odreduva stepen na daden monom ili polinom; - objasnuva mnoèwe / delewe na monom so monom, polinom so monom i polinom so polinom; - prepoznava koj monom / polinom e zaedni~ki delitel za pove}e polinomi koi {to se razloèni na mnoìteli;

- zapi{uva broevi vo oblikot ka 10⋅ ;

- odreduva mnoèstvo na dopu{teni vrednosti na promenliva kaj algebarska dropka; - gi objasnuva na~inite za razloùvawe na polinom na mnoìteli; - dava primer za drobno-racionalen izraz.

PRIMENUVAWE

- Mnoì, deli, stepenuva stepen; - stepenuva proizvod i koli~nik; - sveduva monom / polinom vo normalen vid; - presmetuva vrednost na monom / polinom za dadeni vrednosti na promenlivite; - razloùva polinomi na mnoìteli so izvlekuvawe na zaedni~ki mnoìtel pred zagrada, formuli za skrateno mnoèwe i grupirawe; - odreduva NZS i NZD za dva i pove}e polinomi; - re{ava zada~i so koristewe na operacii so polinomi; - pro{iruva i skratuva algebarski dropki; - gi izvr{uva operaciite so algebarski dropki.


- Re{ava zada~i so primena na razloùvawe na polinomi na mnoìteli; - uprostuva drobno-racionalen izraz.


3

Programsko podra~je: Proporcionalnost na veli~inite

Nivo na znaewa i

sposobnosti Standard

POMNEWE

- Dava primeri na ednoimenuvani i pove}eimenuvani broevi; - iskaùva definicii za odnos (razmer) na dve veli~ini i za proporcija; - go znae osnovnoto svojstvo na proporciite; - ja iskaùva definicijata za prodolèna proporcija; - se zapoznae so angliskite merni edinici; - gi znae osnovnite edinici vo SI (za vreme, dolìna, volumen i masa); - zapi{uva procent / promil.

RAZBIRAWE

- Dava primeri na izvedeni edinici vo SI (za vreme, dolìna, volumen i masa); - zapi{uva razmer i proporcija; - sostavuva izvedeni proporcii; - prepoznava prava i obratna proporcionalnost; - gi objasnuva poimite procent i promil; - opi{uva pretvorawe racionalen broj vo procent / promil i obratno; - gi objasnuva procentna / promilna smetka, delbena smetka, smetka na smesi, veri`na smetka i prosta kamatna smetka.

PRIMENUVAWE

- Gi koristi angliskite merni edinici; - sobira i odzema ednoimenuvani i pove}eimenuvani broevi i mnoì imenuvan so neimenuvan broj; - go primenuva osnovnoto svojstvo na proporciite; - re{ava zada~i so prosto trojno pravilo; - re{ava zada~i od procentna i promilna smetka; - re{ava zada~i od delbena smetka, smetka na smesi i veri`na smetka; - re{ava zada~i od prosta kamatna smetka.


- Primenuva soodvetna smetka za re{avawe na prakti~ni zada~i; - umee grafi~ki da pretstavuva (so dijagrami – liniski, povr{inski i stereogrami) i formira tabeli (prosti i kombinirani) za da prikaè konkretni pojavi, sostojbi i procesi; - ,,~ita” podatoci od grafik i/ili tabela.


4

Programsko podra~je: Linearni ravenki, neravenki, funkcija


Standard

POMNEWE

- Iskaùva definicija za odnos na dve veli~ini, proporcii, prodolèna proporcija; - iskaùva definicija za linearna ravenka, re{enie na linearna ravenka; - iskaùva definicija za ekvivalentni ravenki; - iskaùva definicija za linearni neravenki, ekvivalentni neravenki; - prepoznava zadadena linearna ravenka / neravenka; - iskaùva definicija za linearna funkcija; - pretstavuva to~ki vo pravoagolen koordinaten sistem.

RAZBIRAWE

- Formira izvedeni proporcii; - objasnuva prava i obratna proporcionalnost; - odreduva mnoèstvo na dopu{teni vrednosti na promenliva kaj linearni ravenki; - proveruva dali dadena vrednost e re{enie na linearna ravenka; - prepoznava ekvivalentni linearni ravenki / neravenki; - dava primer za linearna ravenka / neravenka; - odreduva koeficient na pravec; - tolkuva rastewe/opa|awe na dadena linearna funkcija; - prepoznava analiti~ki/ grafi~ki zadadena linearna funkcija; - sostavuva tablica na vrednosti na linearna funkcija.

PRIMENUVAWE

- Go koristi osnovnoto svojstvo na proporciite; - formira prodolèni proporcii; - crta grafici za prava i obratna proporcionalnost i gi primenuva pri re{avawe na prakti~ni zada~i; - re{ava linearna ravenka/neravenka so koristewe na ekvivalentni transformacii i re{enieto na neravenkata go pretstavuva geometriski; - re{ava i grafi~ki go interpretira re{enieto na sistemi linearni neravenki so edna nepoznata; - crta grafik na linearna funkcija i odreduva presek na grafikot na linearnata funkcija so koordinatnite oski; - odreduva definiciona oblast i mnoèstvo vrednosti na linearna funkcija; - go koristi uslovot za paralelnost na dve pravi vo zada~i.


- Re{ava drobno-racionalni ravenki {to se sveduvaat na linearni ravenki; - re{ava problemski zada~i {to se sveduvaat na re{avawe na linearni ravenki.


5

Programsko podra~je: Korenuvawe (15 ~asa)


Standard

POMNEWE

- Go usvoi poimot za koren; - ja iskaùva definicijata za n-ti koren od realen broj; - dava primer za koren {to ima/nema vrednost realen broj; - ja iskaùva definicijata za stepen so pokazatel racionalen broj; - prepoznava sli~ni koreni.

RAZBIRAWE

- Objasnuva pro{iruvawe i skratuvawe na koreni; - objasnuva stepenuvawe i korenuvawe na koren; - objasnuva zo{to nekoj koren ne e vo normalen vid; - gi opi{uva postapkite na izvlekuvawe na mnoìtel pred koren i vnesuvawe na mnoìtel vo koren.

PRIMENUVAWE

- Transformira stepen so pokazatel racionalen vo koren i obratno; - primenuva pro{iruvawe i skratuvawe na koreni; - korenuva proizvod i koli~nik; - transformira koren vo normalen vid; - sobira, odzema, mnoì, deli, stepenuva i korenuva koreni; - racionalizira imenitel na dropka od vidot: dcbabaa

n m±± ,, .


- Re{ava zada~i od koreni so primena na operaciite; - odreduva dopu{teni vrednosti na promenliva vo iracionalen izraz; - izvr{uva operacii so iracionalni izrazi; - uprostuva posloèni iracionalni izrazi; - dokaùva identiteti so iracionalni izrazi.


6

Programsko podra~je: Plo{tina na ramninski figuri


Standard

POMNEWE

- Razlikuva vidovi triagolnici / ~etiriagolnici; - imenuva temiwa, strani i agli kaj triagolnik / ~etiriagolnik; - gi imenuva ~etirite zna~ajni to~ki vo triagolnikot; - pomni formuli za plo{tina na triagolnik / ~etiriagolnik; - ja zapi{uva Heronovata formula; - ja iskaùva teoremata za plo{tina na dva sli~ni triagolnici; - go usvoi poimot za plo{tina na mnoguagolnik; - razlikuva kru`nica od krug, kako i delovi na krug; - pokaùva apotema (radius na vpi{ana kru`nica) i radius na opi{ana kru`nica; - gi zapi{uva formulite za perimetar na kru`nica / plo{tina na krug i delovi na krug; - naveduva koi merni edinici se koristat za plo{tina / perimetar.

RAZBIRAWE

- Skicira razni vidovi triagolnici / ~etiriagolnici; - dava primer za sredna linija, teì{na linija, visina, simetrala na agol i simetrala na strana na triagolnik; - objasnuva skladnost i sli~nost na triagolnici; - gi iskaùva relaciite me|u aglite, stranite, stranite i aglite vo triagolnikot; - dava primeri za primena na Pitagorovata teorema kaj triagolnik / ~etiriagolnik; - objasnuva {to e karakteristi~en triagolnik kaj pravilen mnoguagolnik; - objasnuva za odreduvaweto na plo{tina na mnoguagolnik; - dava primeri na delovi od krug (grafi~ki pretstaveni).

PRIMENUVAWE

- Re{ava zada~i so primena na priznacite za skladnost i sli~nost na triagolnici; - gi primenuva vo poednostavni slu~ai relaciite me|u elementite na triagolnikot; - gi konstruira ~etirite zna~ajni to~ki vo triagolnikot; - konstruira triagolnik zadaden so osnovnite elementi; - re{ava zada~i za plo{tina na triagolnik , kvadrat, pravoagolnik, paralelogram, romb, trapez,trapezoid, deltoid; - primenuva Pitagorova teorema za nao|awe nepoznati elementi kaj triagolnik/~etiriagolnik; - primenuva Heronova formula;


7

- re{ava zada~i so primena na karakteristi~en triagolnik, formuli za perimetar i plo{tina na pravilen mnoguagolnik; - re{ava zada~i so primena na formulite za perimetar na kru`nica, dolìna na kruèn lak, plo{tina na krug i delovi na krugot; - primenuva trigonometriski funkcii za presmetuvawe na plo{tina.


- Re{ava zada~i so primena na svojstvata i priznacite na paralelogram; - re{ava prakti~ni zada~i so koristewe na plo{tina na pravoagolnik, kvadrat i romb; - gi koristi svojstvata na trapez i deltoid pri re{avawe zada~i; - konstruira paralelogram, trapez i deltoid so dadeni osnovni elementi; - re{ava prakti~ni zada~i za plo{tina i perimetar na pravilen mnoguagolnik; - re{ava problemi {to se sveduvaat na perimetar i plo{tina na krug i delovi na krug.


OBRAZOVNI STANDARDI



I godina

Struki: elektrotehni~ka, ma{inska, grade`no-geodetska, soobra}ajna, hemisko-tehnolo{ka, geolo{ko-rudarska, metalur{ka, li~ni uslugi (o~na optika)

Skopje, 2008 godina

Matematika za I godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (zadolìtelen predmet za elektrotehni~ka,ma{inska, grade`no-geodetska,soobra}ajna, hemisko-tehnolo{ka, geolo{ko-rudarska, metalur{ka, li~ni uslugi - o~na optika)

1

Programsko podra~je: Realni broevi Nivo na znaewa i


POMNEWE

- Gi iskaùva definiciite za logi~kite operacii; - go znae redosledot na logi~kite operacii; - gi znae tablicite za sobirawe i mnoèwe vo binaren broen sistem; - razlikuva prosti, sloèni i zaemno prosti broevi; - ja iskaùva definicijata za racionalen, iracionalen i realen broj; - gi zapi{uva mnoèstvata na prirodni, celi,racionalni, iracionalni i realni broevi; - zapi{uva komutativen, asocijativen i distributiven zakon za operacii; - ja iskaùva definicijata za apsolutna vrednost na realen broj.

RAZBIRAWE

- Objasnuva {to e iskaz, ilustrira so primeri; - sostavuva tablica za ispituvawe na logi~ka vrednost na iskazna formula; - razloùva broevi na prosti mnoìteli; - objasnuva kako se odreduva NZS i NZD; - razlikuva dekaden i binaren broen sistem; - razbira kako se pretvoraat broevi od dekaden vo binaren broen sistem i obratno; - sporeduva prirodni, celi i racionalni broevi; - zapi{uva decimalen broj vo vid na dropka i obratno; - pretstavuva i sporeduva realni broevi na brojna oska; - objasnuva geometrisko pretstavuvawe na intervali; - objasnuva pribli`ni vrednosti i zaokruùvawa.

PRIMENUVAWE

- Ispituva vistinitosna vrednost na sloèn iskaz; - ispituva iskazni formuli so pomo{ na tablici; - gi koristi operaciite so prirodnite broevi i zakonite kaj niv; - odreduva NZS i NZD; - sobira, odzema i mnoì broevi vo binaren sistem; - izvr{uva operacii so celi broevi, dropki i decimalni broevi; - koristi postapka za pretvorawe od beskone~en periodi~en decimalen broj vo dropka; - konstruira iracionalni broevi, zapi{ani vo vid na kvadratni koreni i gi pretstavuva na brojna oska; - vr{i smetkovni operacii so pribli`ni vrednosti.


- Proveruva dali dve iskazni formuli se logi~ki ekvivalentni; - re{ava prakti~ni problemi od delivost na prirodnite broevi; - re{ava zada~i so operacii od kombinirani broevi ( celi, dropki, decimalni).


2

Programsko podra~je: Geometriski figuri vo ramnina


Standard

POMNEWE

- Nabrojuva osnovni geometriski poimi i tvrdewa; - dava primeri za izvedeni poimi i tvrdewa; - imenuva otse~ka, prava, poluprava i ramnina; - ja iskaùva definicijata za izvedeni geometriski figuri vo ramnina; - iskaùva definicija za vektori, kolinearni vektori i ednakvi vektori.

RAZBIRAWE

- Gi tolkuva odnosite me|u to~ki i pravi vo edna ramnina; - dava primeri na agli; - objasnuva razlika me|u kru`nica i krug; - objasnuva za ednakvi/sprotivni vektori; - prepoznava kolinearni vektori.

PRIMENUVAWE - Demonstrira strog dokaz na poednostavni teoremi; - gi primenuva odnosite me|u to~ki i pravi vo edna ramnina; - sobira vektori, mnoì vektor so broj i razloùva vektor na dve komponenti.


- Demonstrira strog dokaz na teoremi; - re{ava prakti~ni zada~i so primena na vektori.


3

Programsko podra~je: Trigonometriski funkcii od ostar agol


Standard

POMNEWE

- Ja iskaùva definicijata za sinus, kosinus, tangens i kotangens od ostar agol; - gi znae vrednostite na trigonometriskite funkcii za agli od 300, 450 i 600; - go iskaùva svojstvoto na trigonometriskite funkcii od komplementni agli; - gi zapi{uva vrskite me|u trigonometriski funkcii od ist agol; - gi naveduva osnovnite zada~i za re{avawe na pravoagolen triagolnik; - pokaùva trigonometriska kru`nica vo koordinaten sistem.

RAZBIRAWE

- Objasnuva kako se koristi kalkulator za odreduvawe vrednosti na trigonometriskite funkcii od daden agol i obratno; - objasnuva kako se dobivaat vrednostite za trigonometriskite funkcii od aglite 30o , 45

o i 60o; - go objasnuva menuvaweto na sinus i kosinus koga agolot se menuva od 0o do 90

o; - gi sporeduva po golemina vrednostite na trigonometriski funkcii od ostar agol; - dava primer na vrednosti na sinus i kosinus od agol pogolem od 900 koristej}i; trigonometriska kru`nica; - prepoznava grafik na funkciite xy sin= i xy cos= .

PRIMENUVAWE

- Grafi~ki odreduva vrednost na trigonometriska funkcija; - gi koristi vrednostite na osnovnite trigonometriski funkcii za agli od 30o , 45

o i 60o vo zada~i; - go primenuva svojstvoto na trigonometriskite funkcii od komplementni agli; - re{ava zada~i so koristewe na osnovnite vrski me|u trigonometriskite funkcii od ist agol; - re{ava pravoagolen triagolnik; - gi pokaùva grafi~ki vrednostite na trigonometriskite funkcii od agli: 0o , 90

o , 180o, 270o i 360o ;

- crta grafik na funkciite y=sin x i y=cos x.


- Go primenuva re{avaweto na pravoagolen triagolnik vo geometrijata, praktikata i tehnikata; - gi izveduva trigonometriskite vrski; - uprostuva trigonometriski izrazi.


4



Standard

POMNEWE


RAZBIRAWE

- Odreduva stepen na daden monom ili polinom; - objasnuva mnoèwe / delewe na monom so monom, polinom so monom i polinom so polinom; - prepoznava koj monom / polinom e zaedni~ki delitel za pove}e polinomi koi {to se razloèni na mnoìteli;

- zapi{uva broevi vo oblikot k

a 10⋅ ; - odreduva mnoèstvo na dopu{teni vrednosti na promenliva kaj algebarska dropka; - gi objasnuva na~inite za razloùvawe na polinom na mnoìteli; - dava primer za drobno-racionalen izraz.

PRIMENUVAWE





5

Programsko podra~je: Linearni ravenki, neravenki, funkcija


Standard

POMNEWE

- Iskaùva definicija za odnos na dve veli~ini, proporcii, prodolèna proporcija; - iskaùva definicija za linearna ravenka, re{enie na linearna ravenka; - iskaùva definicija za ekvivalentni ravenki; - iskaùva definicija za linearni neravenki, ekvivalentni neravenki; - prepoznava zadadena linearna ravenka / neravenka; - iskaùva definicija za linearna funkcija; - pretstavuva to~ki vo pravoagolen koordinaten sistem.

RAZBIRAWE

- Formira izvedeni proporcii; - objasnuva prava i obratna proporcionalnost; - odreduva mnoèstvo na dopu{teni vrednosti na promenliva kaj linearni ravenki; - proveruva dali dadena vrednost e re{enie na linearna ravenka; - prepoznava ekvivalentni linearni ravenki / neravenki; - dava primer za linearna ravenka / neravenka; - odreduva koeficient na pravec; - tolkuva rastewe / opa|awe na dadena linearna funkcija; - prepoznava analiti~ki/ grafi~ki zadadena linearna funkcija; - sostavuva tablica na vrednosti na linearna funkcija.

PRIMENUVAWE

- Go koristi osnovnoto svojstvo na proporciite; - formira prodolèni proporcii; - crta grafici za prava i obratna proporcionalnost i gi primenuva pri re{avawe na prakti~ni zada~i; - re{ava linearna ravenka / neravenka so koristewe na ekvivalentni transformacii i re{enieto na neravenkata go pretstavuva geometriski; - re{ava i grafi~ki go interpretira re{enieto na sistemi linearni neravenki so edna nepoznata; - crta grafik na linearna funkcija i odreduva presek na grafikot na linearnata funkcija so koordinatnite oski; - odreduva definiciona oblast i mnoèstvo vrednosti na linearna funkcija; - go koristi uslovot za paralelnost na dve pravi vo zada~i.




6

Programsko podra~je:Triagolnik i ~etiriagolnik


Standard

POMNEWE

- Razlikuva vidovi triagolnici / ~etiriagolnici; - imenuva temiwa, strani i agli kaj triagolnik / ~etiriagolnik; - gi imenuva ~etirite zna~ajni to~ki vo triagolnikot; - pomni formuli za plo{tina na triagolnik / ~etiriagolnik; - ja zapi{uva Heronovata formula; - ja iskaùva teoremata za plo{tina na dva sli~ni triagolnici; - naveduva koi merni edinici se koristat za plo{tina / perimetar.

RAZBIRAWE

- Skicira razni vidovi triagolnici / ~etiriagolnici; - dava primer za sredna linija, teì{na linija, visina, simetrala na agol i simetrala na strana na triagolnik; - objasnuva skladnost i sli~nost na triagolnici; - gi iskaùva relaciite me|u aglite, stranite, stranite i aglite vo triagolnikot; - dava primeri za primena na Pitagorovata teorema kaj triagolnik / ~etiriagolnik.

PRIMENUVAWE

- Re{ava zada~i so primena na priznacite za skladnost i sli~nost na triagolnici; - gi primenuva vo poednostavni slu~ai relaciite me|u aglite, stranite, stranite i aglite vo triagolnikot; - gi konstruira ~etirite zna~ajni to~ki vo triagolnikot; - konstruira triagolnik zadaden so osnovnite elementi; - re{ava zada~i za plo{tina na triagolnik , kvadrat, pravoagolnik, paralelogram, romb, trapez,trapezoid, deltoid; - primenuva Pitagorova teorema za nao|awe nepoznati elementi kaj triagolnik/~etiriagolnik; - re{ava zada~i za presmetuvawe plo{tina na triagolnik so Heronova formula i so primena; na trigonometriskite funkcii.


- Re{ava zada~i so primena na svojstvata i priznacite na paralelogram; - re{ava prakti~ni zada~i so koristewe na plo{tina na pravoagolnik, kvadrat i romb; - gi koristi svojstvata na trapez i deltoid pri re{avawe zada~i; - konstruira paralelogram, trapez i deltoid so dadeni osnovni elementi.


7

Programsko podra~je: Plo{tina na mnoguagolnik ikrug


Standard

POMNEWE

- Go usvoi poimot za plo{tina na mnoguagolnik; - razlikuva kru`nica od krug; - pokaùva apotema (radius na vpi{ana kru`nica) i radius na opi{ana kru`nica; - gi zapi{uva formulite za perimetar na kru`nica / plo{tina na krug i delovi na krug; - gi razlikuva delovite na krug.

RAZBIRAWE - Objasnuva {to e karakteristi~en triagolnik kaj pravilen mnoguagolnik; - objasnuva za odreduvaweto na plo{tina na mnoguagolnik; - dava primeri na delovi od krug (grafi~ki pretstaveni).

PRIMENUVAWE

- Re{ava zada~i so primena na karakteristi~en triagolnik, formuli za perimetar i plo{tina na pravilen mnoguagolnik; - re{ava zada~i so primena na formulite za perimetar na kru`nica, dolìna na kruèn lak, plo{tina na krug i delovi na krugot; - primenuva trigonometriski funkcii za presmetuvawe na plo{tina.


- Re{ava prakti~ni zada~i za plo{tina i perimetar na pravilen mnoguagolnik; - re{ava problemi {to se sveduvaat na perimetar i plo{tina na krug i delovi na krug.

MINISTERSTVO ZA OBRAZOVANIE I NAUKA

BIRO ZA RAZVOJ NA OBRAZOVANIETO

OBRAZOVNI STANDARDI



I godina

Struki: zdravstvena, zemjodelsko-veterinarna (osven za obrazovniot profil veterinaren tehni~ar), {umarsko-drvoprerabotuva~ka i li~ni uslugi (obrazoven profil kozmeti~ki tehni~ar)

Skopje, 2008 godina

Matematika za I godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (zadolìtelen predmet za zdravstvena, zemjodelsko-veterinarna - osven za obrazovniot profil veterinaren tehni~ar - {umarsko-drvoprerabotuva~ka i li~ni uslugi - kozmeti~ki tehni~ar)

1



Standard

POMNEWE

- Gi iskaùva definiciite za logi~kite operacii; - go znae redosledot na logi~kite operacii; - razlikuva prosti, sloèni i zaemno prosti broevi; - ja iskaùva definicijata za racionalen, iracionalen i realen broj; - gi zapi{uva mnoèstvata na prirodni, celi,racionalni, iracionalni i realni broevi; - zapi{uva komutativen, asocijativen i distributiven zakon za operacii; - ja iskaùva definicijata za apsolutna vrednost na realen broj.

RAZBIRAWE

- Objasnuva {to e iskaz, ilustrira so primeri; - sostavuva tablica za ispituvawe na logi~ka vrednost na iskazna formula; - razloùva broevi na prosti mnoìteli; - objasnuva kako se odreduva NZS i NZD; - sporeduva prirodni, celi i racionalni broevi; - zapi{uva decimalen broj vo vid na dropka i obratno; - pretstavuva i sporeduva realni broevi na brojna oska; - objasnuva geometrisko pretstavuvawe na intervali; - objasnuva pribli`ni vrednosti i zaokruùvawa.

PRIMENUVAWE

- Ispituva vistinitosna vrednost na sloèn iskaz; - ispituva iskazni formuli so pomo{ na tablici; - gi koristi operaciite so prirodnite broevi i zakonite kaj niv; - odreduva NZS i NZD; - izvr{uva operacii so celi broevi, dropki i decimalni broevi; - koristi postapka za pretvorawe od beskone~en periodi~en decimalen broj vo dropka; - konstruira iracionalni broevi, zapi{ani vo vid na kvadratni koreni i gi pretstavuva na brojna oska; - vr{i smetkovni operacii so pribli`ni vrednosti.


- Proveruva dali dve iskazni formuli se logi~ki ekvivalentni; - re{ava prakti~ni problemi od delivost na prirodnite broevi; - re{ava zada~i so operacii od kombinirani broevi ( celi, dropki, decimalni).


2



Standard

POMNEWE


RAZBIRAWE

- Odreduva stepen na daden monom ili polinom; - objasnuva mnoèwe / delewe na monom so monom, polinom so monom i polinom so polinom; - prepoznava koj monom / polinom e zaedni~ki delitel za pove}e polinomi koi {to se razloèni na mnoìteli; - odreduva mnoèstvo na dopu{teni vrednosti na promenliva kaj algebarska dropka; - gi objasnuva na~inite za razloùvawe na polinom na mnoìteli; - dava primer za drobno-racionalen izraz.

PRIMENUVAWE





3



Standard

POMNEWE

- Dava primeri na ednoimenuvani i pove}eimenuvani broevi; - iskaùva definicii za razmer na dve veli~ini i za proporcija; - go znae osnovnoto svojstvo na proporciite; - ja iskaùva definicijata za prodolèna proporcija; - gi znae osnovnite edinici vo SI (za vreme, dolìna, volumen i masa); - zapi{uva procent / promil.

RAZBIRAWE


PRIMENUVAWE

- Sobira i odzema ednoimenuvani i pove}eimenuvani broevi i mnoì imenuvan so neimenuvan broj; - go primenuva osnovnoto svojstvo na proporciite; - re{ava zada~i so prosto trojno pravilo; - re{ava zada~i od procentna i promilna smetka; - re{ava zada~i od delbena smetka, smetka na smesi i veri`na smetka; - re{ava zada~i od prosta kamatna smetka.




4

Programsko podra~je: Linearni ravenki i neravenki, linearna funkcija


Standard

POMNEWE

- Iskaùva definicija za linearna ravenka, re{enie na linearna ravenka; - iskaùva definicija za ekvivalentni ravenki; - iskaùva definicija za linearni neravenki, ekvivalentni neravenki; - prepoznava zadadena linearna ravenka / neravenka; - iskaùva definicija za linearna funkcija; - pretstavuva to~ki vo pravoagolen koordinaten sistem.

RAZBIRAWE

- Odreduva mnoèstvo na dopu{teni vrednosti na promenliva kaj linearni ravenki; - proveruva dali dadena vrednost e re{enie na linearna ravenka; - prepoznava ekvivalentni linearni ravenki / neravenki; - dava primer za linearna ravenka / neravenka; - odreduva koeficient na pravec; - tolkuva rastewe/opa|awe na dadena linearna funkcija; - prepoznava analiti~ki/ grafi~ki zadadena linearna funkcija; - sostavuva tablica na vrednosti na linearna funkcija.

PRIMENUVAWE

- Re{ava linearna ravenka / neravenka so koristewe na ekvivalentni transformacii i re{enieto na neravenkata go pretstavuva geometriski; - re{ava i grafi~ki go interpretira re{enieto na sistemi linearni neravenki so edna nepoznata; - crta grafik na linearna funkcija i odreduva presek na grafikot na linearnata funkcija so koordinatnite oski; - odreduva definiciona oblast i mnoèstvo vrednosti na linearna funkcija; - go koristi uslovot za paralelnost na dve pravi vo zada~i.




5



Standard

POMNEWE


RAZBIRAWE


PRIMENUVAWE

- Re{ava zada~i so primena na priznacite za skladnost i sli~nost na triagolnici; - gi primenuva vo poednostavni slu~ai relaciite me|u elementite na triagolnikot; - gi konstruira ~etirite zna~ajni to~ki vo triagolnikot; - konstruira triagolnik zadaden so osnovnite elementi; - re{ava zada~i za plo{tina na triagolnik, kvadrat, pravoagolnik, paralelogram, romb, trapez, trapezoid, deltoid; - primenuva Pitagorova teorema za nao|awe nepoznati elementi kaj triagolnik/~etiriagolnik; - primenuva Heronova formula;


6






OBRAZOVNI STANDARDI



I godina

Struki: zemjodelsko-veterinarna (za obrazovniot profil veterinaren tehni~ar)

Skopje, 2008 godina

Matematika za I godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (zadolìtelen predmet zazemjodelsko-veterinarna struka - veterinaren tehni~ar)

1



Standard

POMNEWE

- Gi iskaùva definiciite za logi~kite operacii; - go znae redosledot na logi~kite operacii; - razlikuva prosti, sloèni i zaemno prosti broevi; - ja iskaùva definicijata za racionalen, iracionalen i realen broj; - gi zapi{uva mnoèstvata na prirodni, celi, racionalni, iracionalni i realni broevi; - zapi{uva komutativen, asocijativen i distributiven zakon za operacii; - ja iskaùva definicijata za apsolutna vrednost na realen broj.

RAZBIRAWE

- Objasnuva {to e iskaz, ilustrira so primeri; - sostavuva tablica za ispituvawe na logi~ka vrednost na iskazna formula; - razloùva broevi na prosti mnoìteli; - objasnuva kako se odreduva NZS i NZD; - sporeduva prirodni, celi i racionalni broevi; - zapi{uva decimalen broj vo vid na dropka i obratno; - pretstavuva i sporeduva realni broevi na brojna oska; - objasnuva geometrisko pretstavuvawe na intervali; - objasnuva pribli`ni vrednosti i zaokruùvawa.

PRIMENUVAWE

- Ispituva vistinitosna vrednost na sloèn iskaz; - ispituva iskazni formuli so pomo{ na tablici; - gi koristi operaciite so prirodnite broevi i zakonite kaj niv; - odreduva NZS i NZD; - izvr{uva operacii so celi broevi, dropki i decimalni broevi; - koristi postapka za pretvorawe od beskone~en periodi~en decimalen broj vo dropka; - konstruira iracionalni broevi, zapi{ani vo vid na kvadratni koreni i gi pretstavuva na brojna oska; - vr{i smetkovni operacii so pribli`ni vrednosti.


- Proveruva dali dve iskazni formuli se logi~ki ekvivalentni; - re{ava prakti~ni problemi od delivost na prirodnite broevi; - re{ava zada~i so operacii od kombinirani broevi (celi, dropki, decimalni).


2

Programsko podra~je: aLGEBARSKI RACIONALNI IZRAZI


Standard

POMNEWE


RAZBIRAWE

- Odreduva stepen na daden monom ili polinom; - objasnuva mnoèwe / delewe na monom so monom, polinom so monom i polinom so polinom; - prepoznava koj monom / polinom e zaedni~ki delitel za pove}e polinomi koi {to se razloèni na mnoìteli; - odreduva mnoèstvo na dopu{teni vrednosti na promenliva kaj algebarska dropka; - gi objasnuva na~inite za razloùvawe na polinom na mnoìteli; - dava primer za drobno-racionalen izraz.

PRIMENUVAWE





3



Standard

POMNEWE

- Dava primeri na ednoimenuvani i pove}eimenuvani broevi; - iskaùva definicii za razmer na dve veli~ini i za proporcija; - go znae osnovnoto svojstvo na proporciite; - ja iskaùva definicijata za prodolèna proporcija; - gi znae osnovnite edinici vo SI (za vreme, dolìna, volumen i masa); - zapi{uva procent / promil.

RAZBIRAWE


PRIMENUVAWE

- Sobira i odzema ednoimenuvani i pove}eimenuvani broevi i mnoì imenuvan so neimenuvan broj; - go primenuva osnovnoto svojstvo na proporciite; - re{ava zada~i so prosto trojno pravilo; - re{ava zada~i od procentna i promilna smetka; - re{ava zada~i od delbena smetka, smetka na smesi i veri`na smetka; - re{ava zada~i od prosta kamatna smetka.




4

Programsko podra~je: Linearni ravenki i neravenki, linearna funkcija


Standard

POMNEWE

- Iskaùva definicija za linearna ravenka, re{enie na linearna ravenka; - iskaùva definicija za ekvivalentni ravenki; - iskaùva definicija za linearni neravenki, ekvivalentni neravenki; - prepoznava zadadena linearna ravenka / neravenka; - iskaùva definicija za linearna funkcija; - pretstavuva to~ki vo pravoagolen koordinaten sistem.

RAZBIRAWE

- Odreduva mnoèstvo na dopu{teni vrednosti na promenliva kaj linearni ravenki; - proveruva dali dadena vrednost e re{enie na linearna ravenka; - prepoznava ekvivalentni linearni ravenki / neravenki; - dava primer za linearna ravenka / neravenka; - odreduva koeficient na pravec; - tolkuva rastewe/opa|awe na dadena linearna funkcija; - prepoznava analiti~ki/ grafi~ki zadadena linearna funkcija; - sostavuva tablica na vrednosti na linearna funkcija.

PRIMENUVAWE

- Re{ava linearna ravenka / neravenka so koristewe na ekvivalentni transformacii i re{enieto na neravenkata go pretstavuva geometriski; - re{ava i grafi~ki go interpretira re{enieto na sistemi linearni neravenki so edna nepoznata; - crta grafik na linearna funkcija i odreduva presek na grafikot na linearnata funkcija so koordinatnite oski; - odreduva definiciona oblast i mnoèstvo vrednosti na linearna funkcija; - go koristi uslovot za paralelnost na dve pravi vo zada~i.




5



Standard

POMNEWE


RAZBIRAWE


PRIMENUVAWE

- Re{ava zada~i so primena na priznacite za skladnost i sli~nost na triagolnici; - gi primenuva vo poednostavni slu~ai relaciite me|u elementite na triagolnikot; - gi konstruira ~etirite zna~ajni to~ki vo triagolnikot; - konstruira triagolnik zadaden so osnovnite elementi; - re{ava zada~i za plo{tina na triagolnik , kvadrat, pravoagolnik, paralelogram, romb, trapez, trapezoid, deltoid; - primenuva Pitagorova teorema za nao|awe nepoznati elementi kaj triagolnik/~etiriagolnik; - primenuva Heronova formula;


6





OBRAZOVNI STANDARDI



II godina

Struki: ekonomsko-pravna i trgovska, tekstilno-koàrska, ugostitelsko-turisti~ka i grafi~ka struka

Skopje, 2008 godina

Matematika za II godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zadolìtelen predmet (ekonomsko-pravna i trgovska, tekstilno-koàrska, ugostitelsko-turisti~ka i grafi~ka stuka)

1

Programsko podra~je: SISTEMI LINEARNI RAVENKI


Standard

POMNEWE

- Ja iskaùva definicijata za sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati; - ja iskaùva definicijata za ekvivalentni sistemi ravenki; - nabrojuva metodi za re{avawe sistemi od dve linearni ravenki so dve nepoznati; - dava primer na sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati; - pokaùva koi broevi se koeficienti kaj op{tiot oblik na sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati.

RAZBIRAWE

- Go objasnuva poimot za re{enie na ravenka so dve nepoznati; - ja odreduva prirodata i brojot na re{enijata na linearna ravenka so dve nepoznati so konstantni koeficienti; - go odreduva brojot na re{enija na sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati so sporeduvawe na koeficientite; - objasnuva deka linearna ravenka so dve nepoznati ima beskone~no mnogu re{enija; - gi objasnuva metodite za re{avawe na sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati; - proveruva dali dadeni vrednosti na promenlivite se re{enija na daden sistem.

PRIMENUVAWE

- Transformira sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati vo op{t vid; - re{ava sistemi od dve linearni ravenki so dve nepoznati ( so zamena, sprotivni koeficienti i gra-fi~ki); - sostavuva sistemi od dve linearni ravenki so dve nepoznati; - upotrebuva pravi za geometrisko pretstavuvawe na brojot na re{enijata na daden sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati.


- Re{ava prakti~ni problemi {to se sveduvaat na re{avawe sistemi ravenki so dve nepoznati; - diskutira za re{enijata na sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati vo zavisnost od parametar; - osmisluva re{avawe na sistemi od povisok red so primena na re{avaweto na sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati.


2

Programsko podra~je: KOMPLEKSNI BROEVI


Standard

POMNEWE

- Iskaùva definicija za imaginarna edinica i kompleksen broj; - gi zapomnuva vrednostite na stepenite na imaginarnata edinica; - identifikuva realen i imaginaren del na kompleksen broj; - iskaùva definicija za ednakvost na kompleksni broevi; - prepoznava konjugirano kompleksni broevi; - dava primer na kompleksen broj i negov sprotiven broj ; - iskaùva definicija za modul na kompleksen broj.

RAZBIRAWE - Zapi{uva kompleksen broj pri dadeni imaginaren i realen del; - objasnuva deka vrednosta na stepenot na imaginarnata edinica se sveduva na vrednostite: -1, 1, -i i i; - opi{uva odreduvawe na modul na kompleksen broj.

PRIMENUVAWE

- Odreduva vrednost na stepen na imaginarna edinica; - re{ava zada~i so koristewe na definicijata za ednakvost na kompleksni broevi; - presmetuva zbir, razlika, proizvod i koli~nik na kompleksni broevi; - odreduva modul na kompleksen broj; - stepenuva kompleksen broj .


- Re{ava zada~i so kombinirani operacii (zbir, razlika, proizvod, koli~nik i stepen) na kompleksni broevi; - re{ava zada~i so primena na ravenstva i neravenstva, koristej}i svojstva na modul na kompleksen broj.


3

Programsko podra~je: KVADRATNI RAVENKI


Standard

POMNEWE

- Gi iskaùva definiciite za kvadratna ravenka i re{enie na kvadratna ravenka; - prepoznava polna i nepolna kvadratna ravenka i dava primeri; - prepoznava koeficienti kaj dadena kvadratna ravenka; - ja zapi{uva formulata za re{enija na kvadratna ravenka i ja imenuva diskriminantata D;

- zapomnuva za koja vrednost na diskriminantata D ravenkata ima realni re{enija; - gi iskaùva Vietovite formuli; - zapi{uva formula za razloùvawe na kvadraten trinom na linearni mnoìteli.

RAZBIRAWE

- Objasnuva kako se re{avaat nepolni kvadratni ravenki; - dava primeri na kvadratni ravenki so razli~ni znaci na koeficientite; - proveruva dali dadeni vrednosti na promenlivata se re{enija na dadena kvadratna ravenka; - ja objasnuva primenata na Vietovite formuli; - ja opi{uva primenata na formulata za razloùvawe na kvadraten trinom na linearni mnoìteli; - ja objasnuva prirodata na re{enijata vo zavisnost od diskriminantata D.

PRIMENUVAWE

- Transformira ravenka vo op{t oblik; - re{ava nepolni kvadratni ravenki (vo R); - re{ava kvadratni ravenki (vo R) so primena na formulata za koreni na kvadratna ravenka; - ja koristi diskriminantata za odreduvawe prirodata na korenite na kvadratna ravenka; - gi primenuva Vietovite vrski pri re{avawe zada~i (odreduvawe na vrednost na izraz zavisen od re{enijata na kvadratna ravenka, bez da se re{ava istata, sostavuvawe na kvadratna ravenka ako se dadeni nejzinite re{enija, odreduvawe na nepoznat parametar vo dadena kvadratna ravenka ako me|u re{enijata e dadena relacija); - transformira kvadraten trinom vo proizvod.


- Re{ava drobno-racionalni ravenki {to se sveduvaat na kvadratni so i bez parametar; - re{ava prakti~ni problemi {to se sveduvaat na re{avawe kvadratni ravenki; - izveduva formula za odreduvawe re{enija na kvadratna ravenka; - diskutira za prirodata, znakot i brojot na re{enija na dadena kvadratna ravenka vo zavisnost od parametar.


4

Programsko podra~je: KVADRATNA FUNKCIJA. KVADRATNA NERAVENKA


Standard

POMNEWE

- Iskaùva definicija za kvadratna funkcija; - prepoznava analiti~ki/grafi~ki/tabelarno zadadena kvadratna funkcija; - dava primer za kvadratna funkcija; - zapi{uva kanoni~en vid na kvadratna funkcija; - zapomnuva formuli za koordinati na teme na parabola; - iskaùva definicija za kvadratna neravenka; - dava primer za kvadratna neravenka.

RAZBIRAWE

- Prepoznava grafik na funkciite: y = ax2, y = ax

2 + c, y = ax

2 + bx + c;

- proveruva dali dadeni to~ki pripa|aat na grafik na dadena kvadratna funkcija; - sostavuva tablica na vrednosti na kvadratna funkcija; - dava primer na parabola svrtena nagore/nadolu vo zavisnost od znakot na koeficientot pred kvadratniot ~len; - objasnuva kako parabolata y = ax

2 + c, y = a(x-α)

2 , y = a(x-α)

2 + β se dobiva so translacija na parabolata y

= ax2 ;

- prepoznava znak na kvadratna funkcija od nejziniot grafik; - povrzuva znak na kvadratna funkcija so kvadratna neravenka.

PRIMENUVAWE

- Crta grafik na funkcijata y = ax2, y = ax

2 + c;

- ja transformira funkcijata y = ax2 + bx + c vo kanoni~en oblik;

- crta grafik na funkcijata y = a(x-α)2 + β;

- skicira grafik na kvadratna funkcija so pomo{ na karakteristi~ni to~ki (nuli, teme i presek so u-oska); - odreduva znak na kvadratna funkcija; - re{ava kvadratni neravenki.


- Ispituva tek i crta grafik na kvadratna funkcija; - re{ava prakti~ni zada~i so koristewe na ekstremni vrednosti na kvadratna funkcija; - re{ava prakti~ni zada~i so koristewe na kvadratna neravenka.


5

Programsko podra~je: PLO[TINA I VOLUMEN NA GEOMETRISKI TELA


Standard

POMNEWE

- Iskaùva koi geometriski tela se rabesti/val~esti; - dava primeri na geometriski tela od okolinata; - imenuva temiwa, rabovi i yidovi kaj geometriski tela; - nabrojuva preseci na geometrisko telo so ramnina Σ; - zapi{uva op{ti formuli za plo{tina i volumen na tela; - pomni formuli za presmetuvawe na plo{tina i perimetar na ramninski figuri; - ja iskaùva Pitagorova teorema; - naveduva koi merni edinici se koristat za plo{tina/perimetar/volumen.

RAZBIRAWE

- Gi skicira geometriskite tela; - prepoznava mreà na geometrisko telo; - objasnuva paralelen presek, dijagonalen presek i oskin presek na prizma so ramnina; - objasnuva paralelen presek i oskin presek na piramida so ramnina; - objasnuva paralelen presek, nadolèn presek i oskin presek na cilindar so ramnina; - objasnuva paralelen presek i oskin presek na konus so ramnina; - povrzuva formuli za presmetuvawe na plo{tini na ramninski figuri so formuli za presmetuvawe plo{tina i volumen na geometriski tela; - objasnuva kade moè da se primenuva Pitagorova teorema.

PRIMENUVAWE

- Izrabotuva model na geometrisko telo; - primenuva Pitagorova teorema za nao|awe nepoznati elementi; - presmetuva plo{tina i volumen na prizma, piramida i potse~ena piramida; - presmetuva plo{tina i volumen na cilindar, konus i potse~en konus; - primenuva formuli od planimetrija i stereometrija za nao|awe nepoznati elementi.


- Izveduva formuli za plo{tina i volumen na geometriskite tela; - re{ava prakti~ni zada~i so koristewe na plo{tina i volumen na tela; - kombinira geometriski tela i presmetuva plo{tina i volumen.


6

Programsko podra~je: KOMBINATORIKA


Standard

POMNEWE

- Iskaùva definicii za permutacii, varijacii i kombinacii bez i so povtoruvawe; - zapi{uva formuli za brojot na permutacii, varijacii i kombinacii bez i so povtoruvawe; - zapomnuva deka 123...)1(!,1!0 ⋅⋅⋅⋅−⋅== nnn ; - gi zapi{uva kombinaciite bez povtoruvawe so binomni koeficienti; - ja zapi{uva binomnata formula;

- zapi{uva formula za op{t ~len od razvojot na binomot nba )( + .

RAZBIRAWE

- Dava primeri za permutacii, varijacii i kombinacii bez i so povtoruvawe; - pravi razlika me|u permutacii, varijacii i kombinacii; - razlikuva permutacii, varijacii i kombinacii bez povtoruvawe od varijacii i kombinacii so povtoruvawe; - go opi{uva Paskaloviot triagolnik; - odreduva koj ~len/ovi e/se sreden/sredni ~lenovi od razvojot na binomot; - razlikuva reden broj na permutacija.

PRIMENUVAWE

- Presmetuva broj na permutacii, varijacii i kombinacii bez i so povtoruvawe direktno so formula; - presmetuva broj na permutacii, varijacii i kombinacii bez i so povtoruvawe; preku prebrojuvawe; - odreduva reden broj na permutacija; - razviva binom so koristewe na binomnata formula; - odreduva ~len od razvojot na binomot so dadeni karakteristiki.


- logi~ki izvlekuva zaklu~ok za brojot na permutacii, varijacii i kombinacii bez i so povtoruvawe; - re{ava zada~i vo vrska so relacii me|u brojot na permutacii, varijacii i kombinacii bez i so povtoruvawe; - re{ava zada~i so koristewe na binomnata formula.


7

Programsko podra~je: VEROJATNOST I STATISTIKA


Standard

POMNEWE

- Dava primer na eksperiment i nastan vo vrska so eksperimentot; - razlikuva povolen broj od moèn broj na nastani; - ja iskaùva klasi~nata definicija na verojatnost; - gi iskaùva osnovnite svojstva za verojatnost; - iskaùva definicijata za uslovna verojatnost; - go iskaùva poimot za statistika; - iskaùva definicija za apsolutna / relativna frekvencija; - pomni {to e medijana, moda i rang; - zapi{uva formula za aritmeti~ka sredina, disperzija i standardna devijacija; - naveduva na~ini na prikaùvawe na statisti~kite podatoci.

RAZBIRAWE

- Objasnuva za mnoèstvo na elementarni nastani pri daden eksperiment; - go objasnuva poimot slu~aen nastan; - povrzuva operacii so mnoèstva i operacii so nastani; - dava primeri za zbir, proizvod i razlika na nastani; - dava primer za uslovna verojatnost; - gi objasnuva poimite za zavisen i nezavisen nastan; - go objasnuva predmetot na prou~uvawe na statistikata; - objasnuva {to e populacija, obele`je i primerok; - ja opi{uva postapkata ,,elementarna statisti~ka obrabotka na podatoci”; - objasnuva {to e aritmeti~kata sredina, medijana i moda; - razlikuva sredna vrednost od disperzija ili standardna devijacija.

PRIMENUVAWE

- Ja primenuva klasi~nata definicija na verojatnost na konkretni zada~i; - koristi sprotiven nastan pri odreduvawe na verojatnost; - gi koristi svojstvata na verojatnost pri re{avawe na konkretni zada~i; - odreduva uslovna verojatnost; - re{ava zada~i so nezavisni nastani; - koristi elementarna statisti~ka obrabotka na podatoci; - upotrebuva apsolutna / relativna frekvencija vo elementarna statisti~ka obrabotka; - presmetuva aritmeti~ka sredina; - odreduva medijana i moda; - presmetuva rang, disperzija, standardna devijacija.


8


- Gi pretstavuva statisti~kite podatoci so tabeli, poligoni i histogrami; - re{ava prakti~ni zada~i so koristewe na statistika.


OBRAZOVNI STANDARDI



II godina Struki: elektrotehni~ka, ma{inska, grade`no-geodetska, soobra}ajna, hemisko-tehnolo{ka, geolo{ko-rudarska, metalur{ka, li~ni uslugi (o~na optika)

Skopje, 2008 godina

Matematika za II godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zadolìtelen predmet (elektrotehni~ka, ma{inska, grade`no-geodetska, soobra}ajna, hemisko-tehnolo{ka, geolo{ko-rudarska, metalur{ka, li~ni uslugi (o~na optika)

1



Standard

POMNEWE


RAZBIRAWE


PRIMENUVAWE

- Transformira sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati vo op{t vid; - re{ava sistemi od dve linearni ravenki so dve nepoznati ( so zamena, sprotivni koeficienti i gra-fi~ki); - sostavuva sistemi od dve linearni ravenki so dve nepoznati; - upotrebuva pravi za geometrisko pretstavuvawe na brojot na re{enijata na daden sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati.


- re{ava prakti~ni problemi {to se sveduvaat na re{avawe sistemi ravenki so dve nepoznati; - diskutira za re{enijata na sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati vo zavisnost od parametar; - osmisluva re{avawe na sistemi od povisok red so primena na re{avaweto na sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati.


2

Programsko podra~je: KORENUVAWE


Standard

POMNEWE

- Go usvojuva poimot za koren; - ja iskaùva definicijata za n-ti koren od realen broj; - dava primer za koren {to ima/nema vrednost realen broj; - ja iskaùva definicijata za stepen so pokazatel racionalen broj; - prepoznava sli~ni koreni.

RAZBIRAWE

- Objasnuva pro{iruvawe i skratuvawe na koreni; - objasnuva stepenuvawe i korenuvawe na koren; - objasnuva zo{to nekoj koren ne e vo normalen vid; - gi opi{uva postapkite na izvlekuvawe na mnoìtel pred koren i vnesuvawe na mnoìtel vo koren.

PRIMENUVAWE

- Transformira stepen so pokazatel racionalen vo koren i obratno; - primenuva pro{iruvawe i skratuvawe na koreni; - korenuva proizvod i koli~nik; - transformira koren vo normalen vid; - sobira, odzema, mnoì, deli, stepenuva i korenuva koreni; - racionalizira imenitel na dropka od vidot: dcbabaa

n m±± ,, .


- Re{ava zada~i od koreni so primena na operaciite; - odreduva dopu{teni vrednosti na promenliva vo iracionalen izraz; - izvr{uva operacii so iracionalni izrazi; - uprostuva posloèni iracionalni izrazi; - dokaùva identiteti so iracionalni izrazi.

Programsko podra~je: KOMPLEKSNI BROEVI


3

Nivo na znaewa i


POMNEWE

- Iskaùva definicija za imaginarna edinica i kompleksen broj; - gi zapomnuva vrednostite na stepenite na imaginarnata edinica; - identifikuva realen i imaginaren del na kompleksen broj; - iskaùva definicija za ednakvost na kompleksni broevi; - prepoznava konjugirano kompleksni broevi; - dava primer na kompleksen broj i negov sprotiven broj; - iskaùva definicija za modul na kompleksen broj.

RAZBIRAWE

- Zapi{uva kompleksen broj vo algebarska forma i kako podreden par od realni broevi; - go odreduva imaginarniot i realniot del na kompleksen broj pretstaven so to~ka vo kompleksna ramnina; - objasnuva deka vrednosta na stepenot na imaginarnata edinica se sveduva na vrednostite: -1, 1, - i i i; - ja voo~uva polo`bata na sprotivnite i konjugiranite kompleksni broevi vo kompleksnata ramnina; - pretstavuva kompleksen broj so vektor; - ja voo~uva vrskata me|u vektorskoto pretstavuvawe na kompleksen broj i negoviot modul.

PRIMENUVAWE

- Odreduva vrednost na stepen na imaginarna edinica; - re{ava zada~i so koristewe na definicijata za ednakvost na kompleksni broevi; - presmetuva zbir, razlika, proizvod i koli~nik na kompleksni broevi; - odreduva modul na kompleksen broj; - stepenuva kompleksen broj ; - sobira i odzema kompleksni broevi pretstaveni so vektori.


- Re{ava zada~i so kombinirani operacii (zbir, razlika, proizvod, koli~nik i stepen) na kompleksni broevi; - re{ava zada~i so primena na ravenstva i neravenstva, koristej}i svojstva na modul na kompleksen broj; - dokaùva ravenstva i neravenstva so kompleksni broevi.


4



Standard

POMNEWE



RAZBIRAWE


PRIMENUVAWE

- Transformira ravenka vo op{t oblik; - re{ava nepolni kvadratni ravenki (vo R); - re{ava kvadratni ravenki (vo R) so primena na formulata za koreni na kvadratna ravenka; - ja koristi diskriminantata za odreduvawe prirodata na korenite na kvadratna ravenka; - gi primenuva Vietovite vrski pri re{avawe zada~i (odreduvawe na vrednost na izraz zavisen od re{enijata na kvadratna ravenka, bez da se re{ava istata, sostavuvawe na kvadratna ravenka ako se dadeni nejzinite re{enija, odreduvawe na nepoznat parametar vo dadena kvadratna ravenka ako me|u re{enijata e dadena relacija); - transformira kvadraten trinom vo proizvod.




5



Standard

POMNEWE


RAZBIRAWE


2 + c, y = ax

2 + bx + c;


2 + c, y = a(x-α)

2 , y = a(x-α)


= ax2 ;


PRIMENUVAWE


2 + c;



- skicira grafik na kvadratna funkcija so pomo{ na karakteristi~ni to~ki (nuli, teme i presek so u-oska) ; - odreduva znak na kvadratna funkcija; - re{ava kvadratni neravenki.




6



Standard

POMNEWE


RAZBIRAWE

- gi skicira geometriskite tela; - prepoznava mreà na geometrisko telo; - objasnuva paralelen presek, dijagonalen presek i oskin presek na prizma so ramnina; - objasnuva paralelen presek i oskin presek na piramida so ramnina; - objasnuva paralelen presek, nadolèn presek i oskin presek na cilindar so ramnina; - objasnuva paralelen presek i oskin presek na konus so ramnina; - povrzuva formuli za presmetuvawe na plo{tini na ramninski figuri so formuli za presmetuvawe plo{tina i volumen na geometriski tela; - objasnuva kade moè da se primenuva Pitagorova teorema.

PRIMENUVAWE

- izrabotuva model na geometrisko telo; - primenuva Pitagorova teorema za nao|awe nepoznati elementi; - presmetuva plo{tina i volumen na prizma, piramida i potse~ena piramida; - presmetuva plo{tina i volumen na cilindar, konus i potse~en konus; - primenuva formuli od planimetrija i stereometrija za nao|awe nepoznati elementi.


- izveduva formuli za plo{tina i volumen na geometriskite tela; - re{ava prakti~ni zada~i so koristewe na plo{tina i volumen na tela; - kombinira geometriski tela i presmetuva plo{tina i volumen.


7

Programsko podra~je: RE[AVAWE KOSOAGOLEN TRIAGOLNIK


Standard

POMNEWE

- Ja iskaùva definicijata za trigonometriskite funkcii od ostar agol / proizvolen agol (od 0o do 360o); - go odreduva znakot na trigonometriskite funkcii vo kvadranti; - iskaùva osnovni trigonometriski identiteti od ist agol; - ja zapi{uva sinusnata teorema; - ja zapi{uva kosinusnata teorema; - razlikuva ostroagolen od tapoagolen triagolnik.

RAZBIRAWE

- Opi{uva odreduvawe na ostanatite trigonometriski funkcii ako e poznata edna od niv; - objasnuva koristewe na osnovnite trigonometriski identiteti; - opi{uva koristewe kalkulator za odreduvawe na vrednostite na trigonometriskite funkcii; - objasnuva re{avawe na pravoagolen triagolnik; - prepoznava koristewe na sinusna / kosinusna teorema vo zada~i; - dava primeri za primena na sinusna / kosinusna teorema.

PRIMENUVAWE

- Izrazuva trigonometriski funkcii od tap agol so trigonometriski funkcii od ostar agol; - primenuva osnovni trigonometriski identiteti za odreduvawe na ostanatite; trigonometriski funkcii ako e poznata edna od niv; - transformira trigonometriski izrazi so koristewe na osnovnite trigonometriski identiteti; - re{ava pravoagolen/kosoagolen triagolnik.


- Re{ava prakti~ni zada~i so primena na trigonometriskite funkcii; - izveduva sinusna / kosinusna teorema; - izveduva razni formuli za odreduvawe plo{tina na triagolnik i ~etiriagolnik; - procenuva primena na re{avaweto na pravoagolen/kosoagolen triagolnik.



OBRAZOVNI STANDARDI



II godina

Struki: zdravstvena, zemjodelsko-veterinarna, {umarsko-drvoprerabotuva~ka i li~ni uslugi (profil: kozmeti~ki tehni~ar)

Skopje, 2008 godina

Matematika za II godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zadolìtelen predmet (zdravstvena, zemjodelsko-veterinarna, {umarsko-drvoprerabotuva~ka i li~ni uslugi (profil: kozmeti~ki tehni~ar)

1



Standard

POMNEWE


RAZBIRAWE


PRIMENUVAWE

- Transformira sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati vo op{t vid; - re{ava sistemi od dve linearni ravenki so dve nepoznati (so zamena, sprotivni koeficienti; i gra-fi~ki); - sostavuva sistemi od dve linearni ravenki so dve nepoznati; - upotrebuva pravi za geometrisko pretstavuvawe na brojot na re{enijata na daden sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati.


- Re{ava prakti~ni problemi {to se sveduvaat na re{avawe sistemi ravenki so dve nepoznati; - diskutira za re{enijata na sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati vo zavisnost od parametar; - osmisluva re{avawe na sistemi od povisok red so primena na re{avaweto na sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati.


2



Standard

POMNEWE



RAZBIRAWE


PRIMENUVAWE

-Transformira ravenka vo op{t oblik; - re{ava nepolni kvadratni ravenki (vo R); - re{ava kvadratni ravenki (vo R) so primena na formulata za koreni na kvadratna ravenka; - ja koristi diskriminantata za odreduvawe prirodata na korenite na kvadratna ravenka; - gi primenuva Vietovite vrski pri re{avawe zada~i (odreduvawe na vrednost na izraz zavisen od re{enijata na kvadratna ravenka, bez da se re{ava istata, sostavuvawe na kvadratna ravenka ako se dadeni nejzinite re{enija, odreduvawe na nepoznat parametar vo dadena kvadratna ravenka ako me|u re{enijata e dadena relacija); - transformira kvadraten trinom vo proizvod.




3



Standard

POMNEWE


RAZBIRAWE


2 + c, y = ax

2 + bx + c;


2 + c, y = a(x-α)

2 , y = a(x-α)


= ax2 ;


PRIMENUVAWE


2 + c;



- skicira grafik na kvadratna funkcija so pomo{ na karakteristi~ni to~ki (nuli, teme i presek so u-oska); - odreduva znak na kvadratna funkcija; - re{ava kvadratni neravenki.




4



Standard

POMNEWE


RAZBIRAWE

- Gi skicira geometriskite tela; - prepoznava mreà na geometrisko telo; - objasnuva paralelen presek, dijagonalen presek i oskin presek na prizma so ramnina; - objasnuva paralelen presek i oskin presek na piramida so ramnina; - objasnuva paralelen presek, nadolèn presek i oskin presek na cilindar so ramnina; - objasnuva paralelen presek i oskin presek na konus so ramnina; - povrzuva formuli za presmetuvawe na plo{tini na ramninski figuri so formuli za presmetuvawe plo{tina i volumen na geometriski tela; - objasnuva kade moè da se primenuva Pitagorova teorema.

PRIMENUVAWE

- Izrabotuva model na geometrisko telo; - primenuva Pitagorova teorema za nao|awe nepoznati elementi; - presmetuva plo{tina i volumen na prizma, piramida i potse~ena piramida; - presmetuva plo{tina i volumen na cilindar, konus i potse~en konus; - primenuva formuli od planimetrija i stereometrija za nao|awe nepoznati elementi.


- Izveduva formuli za plo{tina i volumen na geometriskite tela; - re{ava prakti~ni zada~i so koristewe na plo{tina i volumen na tela; - kombinira geometriski tela i presmetuva plo{tina i volumen.


5

Programsko podra~je: STATISTIKA


Standard

POMNEWE

- Go iskaùva poimot za statistika; - iskaùva definicija za apsolutna / relativna frekvencija; - pomni {to e medijana, moda i rang; - zapi{uva formula za aritmeti~ka sredina, disperzija i standardna devijacija; - naveduva na~ini na prikaùvawe na statisti~kite podatoci.

RAZBIRAWE

- Go objasnuva predmetot na prou~uvawe na statistikata; - objasnuva {to e populacija, obele`je i primerok; - ja opi{uva postapkata ,,elementarna statisti~ka obrabotka na podatoci”; - objasnuva {to e aritmeti~kata sredina, medijana i moda.

PRIMENUVAWE

- Koristi elementarna statisti~ka obrabotka na podatoci; - upotrebuva apsolutna / relativna frekvencija vo elementarna statisti~ka obrabotka; - presmetuva aritmeti~ka sredina; - odreduva medijana i moda.




6

Programsko podra~je: BLAGORODNI METALI


Standard

POMNEWE - Gi nabrojuva na~inite na izrazuvawe finost na blagorodni metali; - gi imenuva edinicite za finost kaj angliskiot na~in; - zapi{uva simboli za ~isto srebro i zlato i oznaki za podobra/polo{a finost kaj angliskiot na~in.

RAZBIRAWE

- Go objasnuva poimot finost na blagorodni metali; - opi{uva standardna finost na zlaten/srebren predmet kako merilo za podobra/polo{a finost na legurite; - ja objasnuva proporcijata za promilna smetka.

PRIMENUVAWE

- Presmetuva procent i promil od nekoja golemina; - odreduva finost na zlaten / srebren predmet; - izrazuva finost od angliski na~in na promilen na~in i obratno; - presmetuva finost, masa na blagorodni metali vo legura i masa na legura.


- Re{ava prakti~ni problemi za blagorodni metali.


OBRAZOVNI STANDARDI



III godina

za site struki

Skopje, 2008 godina

Matematika za II godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zadolìtelen predmet xa site struki

1

Programsko podra~je: EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA I LOGARITAMSKA FUNKCIJA


Standard

POMNEWE

- Povtoruva operacii so stepeni; - iskaùva definicija za eksponencijalna/logaritamska funkcija; - prepoznava analiti~ki/grafi~ki zadadena eksponencijalna/logaritamska funkcija; - gi nabrojuva svojstvata na eksponencijalna/logaritamska funkcija; - dava primer na eksponencijalna/logaritamska funkcija; - gi iskaùva pravilata za logaritmirawe; - gi iskaùva logaritamskite identiteti; - ja iskaùva definicijata za eksponencijalna/logaritamska ravenka; - prepoznava zadadena eksponencijalna/logaritamska ravenka.

RAZBIRAWE

- Odreduva definiciona oblast na dadena eksponencijalna/ logaritamska funkcija; - sostavuva tabela na vrednosti na dadena eksponencijalna/logaritamska funkcija; - prepoznava grafik na eksponencijalna/logaritamska funkcija; - ja objasnuva translacijata na grafikot na eksponencijalna/logaritamska funkcija; - objasnuva kako se proveruva dali dadena vrednost e re{enie na eksponencijalna/logaritamska ravenka; - dava primeri za eksponencijalna/logaritamska ravenka.

PRIMENUVAWE

- Go koristi poimot stepen so realen pokazatel i negovite svojstvata pri re{avawe zada~i; - crta grafik na elementarna eksponencijalna/logaritamska funkcija; - tolkuva svojstva od daden grafik; - re{ava zada~i vo vrska so definicijata za logaritam; - logaritmira proizvod, koli~nik i stepen; - gi koristi logaritamskite identiteti; - transformira eksponencijalni/logaritamski ravenki; - re{ava eksponencijalni ravenki od vidot: Ax

+m=0 i Af(x)+m=0 ;

- re{ava logaritamski ravenki so primena na definicijata za logaritam i so pravilata za logaritmirawe.


- Crta grafik i ispituva tek na eksponencijalna/logaritamska funkcija; - re{ava eksponencijalni ravenki od vidot: a(A

f(x))

2+bA

f(x) +c=0;

- re{ava logaritamski ravenki so logaritmirawe, so voveduvawe na nova promenliva i so koristewe na logaritamskite identiteti; - dokaùva logaritamski identiteti; - re{ava poednostavni logaritamsko-eksponencijalni ravenki.


2

Programsko podra~je: TRIGONOMETRISKI FUNKCII OD PROIZVOLEN AGOL


Standard

POMNEWE

- Iskaùva definicija za proizvolen agol i orientiran agol; - iskaùva definicija za trigonometriskite funkcii od ostar/proizvolen agol; - nabrojuva merni edinici za agol; - gi iskaùva osnovnite trigonometriski vrski; - zapomnuva znaci na trigonometriskite funkcii po kvadranti; - iskaùva definicija za trigonometriskata kru`nica; - iskaùva definicija za parna/neparna funkcija; - prepoznava trifonometriska funkcija; - zapi{uva osnoven period.

RAZBIRAWE

- Dava primer za proizvolen agol prikaàn grafi~ki; - dava primeri na trigonometriski funkcii vo pravoagolen triagolnik; - objasnuva za primenata na osnovnite trigonometriski vrski; - objasnuva sveduvawe na trigonometriska funkcija od proizvolen na ostar agol; - opi{uva menuvawe na trigonometriski funkcii; - prepoznava parna/neparna trigonometriska funkcija; - objasnuva {to zna~i period na trigonometriska funkcija; - ja razbira ulogata na koeficientite vo trigonometriskite funkcii dcbxay ++= )sin( i

dcbxay ++= )cos( .

PRIMENUVAWE

- Ja koristi vrskata me|u stepeni i radijani za pretvorawe od edna vo druga merna edinica; - re{ava zada~i so primena na osnovnite trigonometriski vrski; - sveduva trigonometriski funkcii od proizvolen na trigonometriski funkcii od ostar agol; - odreduva osnoven period i period na trigonometriska funkcija; - ispituva parnost na trigonometriska funkcija; - crta grafik na trigonometriski funkcii od vidot dcbxay ++= )sin( , dcbxay ++= )cos( i

dcbxatgy ++= )( ; - tolkuva svojstva od daden grafik.


- Ispituva tek na trigonometriski funkcii od vidot dcbxay ++= )sin( , dcbxay ++= )cos( i

dcbxatgy ++= )( ; - re{ava prakti~ni zada~i.


3

Programsko podra~je: TO^KA VO RAMNINA


Standard

POMNEWE - Zapi{uva to~ka vo koordinaten sistem; - imenuva koordinati na to~ka; - zapi{uva formula za rastojanie me|u dve to~ki/koordinati na delbena to~ka/plo{tina na triagolnik.

RAZBIRAWE

- Pretstavuva to~ki vo pravoagolen koordinaten sistem; - objasnuva za primena na rastojanie me|u dve to~ki; - prepoznava sredna to~ka na otse~ka; - sostavuva odnos vo koj to~ka deli dadena otse~ka pri dadeni uslovi; - objasnuva za karakteristi~ni to~ki i otse~ki na triagolnik.

PRIMENUVAWE

- Odreduva rastojanie me|u dve to~ki; - odreduva koordinati na sredna to~ka na otse~ka; - odreduva koordinati na to~ka koja deli otse~ka vo daden odnos; - odreduva plo{tina na triagolnik so dadeni temiwa.


- Re{ava zada~i vo vrska so rastojanie me|u dve to~ki / delewe na otse~ka vo daden odnos / plo{tina na triagolnik; - re{ava prakti~ni zada~i.


4

Programsko podra~je: PRAVA VO RAMNINA


Standard

POMNEWE

- Zapi{uva op{t / ekspliciten / segmenten / normalen oblik na ravenka na prava; - zapi{uva ravenka na prava niz edna to~ka so poznat koeficient na pravec i ravenka na prava niz dve to~ki; - iskaùva formula za rastojanie od to~ka do prava i za agol me|u dve pravi; - razlikuva uslov za paralelnost / normalnost na pravi.

RAZBIRAWE

- Prepoznava prava vo op{t / ekspliciten / segmenten / normalen oblik; - dava primer za ravenka na prava niz edna to~ka so poznat koeficient na pravec i ravenka na prava niz dve to~ki; - opi{uva primena na formula za rastojanie od to~ka do prava; - objasnuva za presek na dve pravi i agol me|u dve pravi; - dava primer za paralelni i normalni pravi; - prepoznava koeficienti od op{t i ekspliciten oblik, segmenti od segmenten oblik.

PRIMENUVAWE

- Transformira ravenka na prava od eden vo drug oblik; - odreduva ravenka na prava vo razni oblici pri dadeni uslovi; - odreduva nepoznat parametar vo ravenka na prava pri dadeni uslovi; - primenuva formula za rastojanie od to~ka do prava; - presmetuva plo{tina na triagolnik {to dadena prava go zafa}a so koordinatnite oski; - primenuva uslov za paralelnost / normalnost na pravi, agol me|u dve pravi i presek na dve pravi vo zada~i.


- Izveduva ravenka na prava vo ekspliciten / segmenten / normalen oblik; - izveduva ravenka na prava niz to~ka so poznat koeficient na pravec i ravenka na prava niz dve to~ki; - re{ava prakti~ni zada~i so koristewe na elementite od temata prava vo ramnina.


OBRAZOVNI STANDARDI


M A T E M A T I K A

IZBOREN PREDMET VO FUNKCIJA NA MATURA

za III godina Za tekstilno-koàrska struka

Skopje, 2008 godina

Matematika za III godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - izboren predmet vo funkcija na matura za tekstilno-koàrska struka

1

Programsko podra~je: POLINOMI


Standard

POMNEWE

- Iskaùva definicija za polinom, identi~ni polinomi, polinomna ravenka i nula na polinom; - razlikuva monom, binom, trinom, polinom; - prepoznava glavna vrednost i koeficient na monom; - razlikuva stepen na monom i polinom; - ja iskaùva teoremata na Bezu za odreduvawe na koli~nik i ostatok pri delewe so binomot x - α; - ja iskaùva osnovnata teorema na algebrata; - ja iskaùva obop{tenata Vietova teorema.

RAZBIRAWE

- Dava primeri na polinomi so razni stepeni; - go objasnuva metodot na neopredeleni koeficienti; - ja objasnuva postapkata za delewe na polinomi; - ja opi{uva Hornerovata {ema za odreduvawe koli~nik i ostatok pri delewe so binomot x - α; - diskutira za primenata na teoremata na Bezu; - povrzuva re{enija na polinomna ravenka so koeficientite na istata.

PRIMENUVAWE

- Sobira, odzema, mnoì polinomi; - go koristi metodot na neopredeleni koeficienti pri re{avawe zada~i; - deli polinomi so i bez ostatok; - koristi Hornerova {ema za odreduvawe koli~nik i ostatok pri delewe so binomot x - α; - ja koristi teoremata na Bezu za odreduvawe ostatok pri delewe so binomot x - α; - re{ava ednostavni zada~i so koristewe na obo{tenata Vietova teorema; - re{ava zada~i so koristewe na svojstvata na polinomite so celi koeficienti.


- Re{ava razni zada~i so koristewe na delivost na polinomi; - gi primenuva posledicite na osnovnata teorema na algebrata.


2

Programsko podra~je: SISTEM OD LINEARNA I KVADRATNA RAVENKA


Standard

POMNEWE - Prepoznava sistem od linearna i kvadratna ravenka vo op{t vid; - pokaùva koi broevi se koeficienti kaj op{tiot oblik na sistem od linearna i kvadratna ravenka; - zapi{uva mnoèstvo re{enija na sistem od linearna i kvadratna ravenka vo vid na podredeni parovi.

RAZBIRAWE

- Objasnuva kako se re{ava sistem od linearna i kvadratna ravenka; - go opi{uva brojot na re{enija na sistem od linearna i kvadratna ravenka; - proveruva dali dadeni vrednosti na promenlivite se re{enija na daden sistem od linearna i kvadratna ra-venka; - dava grafi~ka interpretacija na sistem od linearna i kvadratna ravenka.

PRIMENUVAWE - Transformira vo op{t vid sistem od linearna i kvadratna ravenka; - re{ava sistem od linearna i kvadratna ravenka so metod na zamena; - tolkuva (geometriski) re{enie na sistem od linearna i kvadratna ravenka.


- Sostavuva i re{ava sistemi od linearna i kvadratna ravenka; - re{ava prakti~ni problemi {to se sveduvaat na re{avawe sistem od linearna i kvadratna ravenka; - diskutira za re{enijata na sistem od linearna i kvadratna ravenka vo zavisnost od parametar.

Programsko podra~je: SISTEM OD DVE KVADRATNI RAVENKI


Standard

POMNEWE - Prepoznava sistem od dve kvadratni ravenki vo op{t oblik; - prepoznava homogena kvadratna ravenka so dve promenlivi; - zapi{uva re{enie na sistem kvadratni ravenki kako mnoèstvo od podredeni parovi.

RAZBIRAWE

- Objasnuva kako se re{ava sistem od dve kvadratni ravenki; - go opi{uva brojot na re{enija na sistem od dve kvadratni ravenki; - proveruva dali dadeni vrednosti na promenlivite se re{enija na daden sistem od dve kvadratni ravenki; - dava grafi~ka interpretacija na sistem od dve kvadratni ravenki; - objasnuva dobivawe na homogena kvadratna ravenka od daden sistem od dve kvadratni ravenki.


3

PRIMENUVAWE

- Transformira vo op{t oblik sistem od dve kvadratni ravenki; - tolkuva (geometriski) re{enie na sistem od dve kvadratni ravenki; - formira linearna vrska od dadenite kvadratni ravenki i koristi re{avawe na sistem od linearna i kvadratna ravenka; - koristi soodvetna smena za transformirawe na homogenata kvadratna ravenka so dve promenlivi vo kvadratna ravenka so edna promenliva; - re{ava sistem od dve kvadratni ravenki koristej}i transformacija vo homogena kvadratna ravenka.


- Re{ava prakti~ni problemi {to se sveduvaat na re{avawe sistem od dve kvadratni ravenki.

Programsko podra~je: NEKOI PRIMENI NA DVI@EWA


Standard

POMNEWE - Iskaùva definicija za translacija / osna simetrija / centralna simetrija / rotacija; - iskaùva koi geometriski transformacii se dvièwa.

RAZBIRAWE - Diskutira deka pri dvièwata se zapazuva rastojanieto me|u dve to~ki; - objasnuva kako se preslikuva to~ka, otse~ka, prava, agol, mnoguagolnik so dvièwata.

PRIMENUVAWE - Preslikuva to~ka, otse~ka, prava, agol, mnoguagolnik so dvièwata. ANALIZA, SINTEZA I VREDNUVAWE

- Re{ava problemi od geometrija i od prakti~niot ìvot so primena na dvièwata; - dokaùva deka sostav od dve ili pove}e dvièwa e, isto taka, dvièwe.


4

Programsko podra~je: ADICIONI FORMULI. TRIGONOMETRISKI RAVENKI


Standard

POMNEWE

- Zapi{uva formuli za zbir i razlika na dva agli na trigonometriski funkcii; - zapi{uva formuli za trigonometriski funkcii od dvoen i od polovina agol; - zapi{uva formuli za transformacija od zbir na trigonometriski funkcii vo proizvod na trigono-metriski funkcii i obratno; - ja iskaùva definicijata za trigonometriska ravenka; - znae deka trigonometriskata ravenka ima beskone~no mnogu re{enija.

RAZBIRAWE

- Diskutira vo koi slu~ai se primenuvaat Adicionite formuli; - objasnuva kako se uprostuva trigonometriski izraz; - opi{uva kako se dokaùva trigonometriski identitet; - povrzuva deka site drugi formuli se posledici od Adicionite formuli; - prepoznava osnovna trigonometriska ravenka; - opi{uva vidovi trigonometriski ravenki; - diskutira koga trigonometriskata ravenka ima edno/dve mnoèstva re{enija; - dava primeri na re{enija vo radijani i stepeni; - grafi~ki opredeluva agol pri dadena vrednost na trigonometriska funkcija.

PRIMENUVAWE

- Transformira trigonometriski izrazi so koristewe na Adicionite formuli i nivnite posledici; - dokaùva trigonometriski identiteti; - opredeluva vrednosti na trigonometriska funkcija vo kvadranti so koristewe na Adicionite formuli i nivnite posledici; - re{ava osnovni trigonometriski ravenki; - re{ava trigonometriski ravenki od vidot: sin(nx)=a, sin(x+p)= a, sin(nx+p)=a, kako i ravenki od istiot vid so ostanatite trigonometriski funkcii; - re{ava poednostavni trigonometriski ravenki {to se sveduvaat na kvadratni ravenki.


- Re{ava trigonometriski ravenki od vidot asinx + bcosx = c; - re{ava trigonometriski ravenki so voveduvawe na nova promenliva; - gi izveduva posledicite od Adicionite formuli; - gi kombinira Adicionite formuli i nivnite posledici i osmisluva na~in za nivno obop{tuvawe.



OBRAZOVNI STANDARDI


M A T E M A T I K A izboren predmet vo funkcija na matura

III godina

Struki: geolo{ko-rudarska, grade`no-geodetska, elektrotehni~ka, ma{inska, li~ni

uslugi, soobra}ajna, hemisko-tehnolo{ka i tekstilno-koàrska struka

Skopje, 2008 godina

Matematika za III godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - izboren predmet vo funkcija na matura (geolo{ko-rudarska, grade`no-geodetska, elektrotehni~ka, ma{inska, hemisko-tehnolo{ka, tekstilno-koàrska struka i licni uslugi)

Programsko podra~je: KOMBINATORIKA Nivo na znaewa i sposobnosti

Standard

POMNEWE

- Iskaùva definicii za permutacii, varijacii i kombinacii bez i so povtoruvawe; - zapi{uva formuli za brojot na permutacii, varijacii i kombinacii bez i so povtoruvawe; - zapomnuva deka 123...)1(!,1!0 ⋅⋅⋅⋅−⋅== nnn ; - gi zapi{uva kombinaciite bez povtoruvawe so binomni koeficienti; - ja zapi{uva binomnata formula;

- zapi{uva formula za op{t ~len od razvojot na binomot nba )( + .

RAZBIRAWE

- Dava primeri za permutacii, varijacii i kombinacii bez i so povtoruvawe; - pravi razlika me|u permutacii, varijacii i kombinacii; - razlikuva permutacii, varijacii i kombinacii bez povtoruvawe od varijacii i kombinacii so povtoruvawe; - go opi{uva Paskaloviot triagolnik; - odreduva koj ~len/ovi e/se sreden/sredni ~lenovi od razvojot na binomot; - razlikuva reden broj na permutacija.

PRIMENUVAWE

- Presmetuva broj na permutacii, varijacii i kombinacii bez i so povtoruvawe direktno so formula; - presmetuva broj na permutacii, varijacii i kombinacii bez i so povtoruvawe; preku prebrojuvawe; - odreduva reden broj na permutacija; - razviva binom so koristewe na binomnata formula; - odreduva ~len od razvojot na binomot so dadeni karakteristiki.


- Logi~ki izvlekuva zaklu~ok za brojot na permutacii, varijacii i kombinacii bez i so povtoruvawe; - re{ava zada~i vo vrska so relacii me|u brojot na permutacii, varijacii i kombinacii bez i so povtoruvawe; - ja sogleduva vrskata me|u kombinacii, varijacii i premutacii; - re{ava zada~i so koristewe na binomnata formula.


Programsko podra~je: VEROJATNOST I STATISTIKA


Standard

POMNEWE

- Dava primer na eksperiment i nastan vo vrska so eksperimentot; - razlikuva povolen broj od moèn broj na nastani; - ja iskaùva klasi~nata definicija na verojatnost; - gi iskaùva osnovnite svojstva za verojatnost; - iskaùva definicijata za uslovna verojatnost; - go iskaùva poimot za statistika; - iskaùva definicija za apsolutna / relativna frekvencija; - pomni {to e medijana, moda i rang; - zapi{uva formula za aritmeti~ka sredina, disperzija i standardna devijacija; - naveduva na~ini na prikaùvawe na statisti~kite podatoci.

RAZBIRAWE

- Objasnuva za mnoèstvo na elementarni nastani pri daden eksperiment; - go objasnuva poimot slu~aen nastan; - povrzuva operacii so mnoèstva i operacii so nastani; - dava primeri za zbir, proizvod i razlika na nastani; - dava primer za uslovna verojatnost; - gi objasnuva poimite za zavisen i nezavisen nastan; - go objasnuva predmetot na prou~uvawe na statistikata; - objasnuva {to e populacija, obele`je i primerok; - ja opi{uva postapkata ,,elementarna statisti~ka obrabotka na podatoci”; - objasnuva {to e aritmeti~kata sredina, medijana i moda; - razlikuva sredna vrednost od disperzija ili standardna devijacija.

PRIMENUVAWE

- Ja primenuva klasi~nata definicija na verojatnost na konkretni zada~i; - koristi sprotiven nastan pri odreduvawe na verojatnost; - gi koristi svojstvata na verojatnost pri re{avawe na konkretni zada~i; - odreduva uslovna verojatnost; - re{ava zada~i so nezavisni nastani; - koristi elementarna statisti~ka obrabotka na podatoci; - upotrebuva apsolutna / relativna frekvencija vo elementarna statisti~ka obrabotka; - presmetuva aritmeti~ka sredina. - Odreduva medijana i moda; - presmetuva rang, disperzija, standardna devijacija.




Programsko podra~je: ADICIONI FORMULI. TRIGONOMETRISKI RAVENKI


Standard

POMNEWE

- Zapi{uva formuli za zbir i razlika na dva agli na trigonometriski funkcii; - zapi{uva formuli za trigonometriski funkcii od dvoen i od polovina agol; - zapi{uva formuli za transformacija od zbir na trigonometriski funkcii vo proizvod na trigono-metriski funkcii i obratno; - ja iskaùva definicijata za trigonometriska ravenka; - znae deka trigonometriskata ravenka ima beskone~no mnogu re{enija.

RAZBIRAWE

- Diskutira vo koi slu~ai se primenuvaat Adicionite formuli; - objasnuva kako se uprostuva trigonometriski izraz; - opi{uva kako se dokaùva trigonometriski identitet; - povrzuva deka site drugi formuli se posledici od Adicionite formuli; - prepoznava osnovna trigonometriska ravenka; - opi{uva vidovi trigonometriski ravenki; - diskutira koga trigonometriskata ravenka ima edno/dve mnoèstva re{enija; - dava primeri na re{enija vo radijani i stepeni; - grafi~ki opredeluva agol pri dadena vrednost na trigonometriska funkcija.

PRIMENUVAWE

- Transformira trigonometriski izrazi so koristewe na Adicionite formuli i nivnite posledici; - dokaùva trigonometriski identiteti; - opredeluva vrednosti na trigonometriska funkcija vo kvadranti so koristewe na Adicionite formuli i nivnite posledici; - re{ava osnovni trigonometriski ravenki; - re{ava trigonometriski ravenki od vidot: sin(nx)=a, sin(x+p)= a, sin(nx+p)=a, kako i ravenki od istiot vid so ostanatite trigonometriski funkcii; - re{ava poednostavni trigonometriski ravenki {to se sveduvaat na kvadratni ravenki;

ANALIZA, - Re{ava trigonometriski ravenki od vidot asinx + bcosx = c;


SINTEZA I VREDNUVAWE

- re{ava trigonometriski ravenki so voveduvawe na nova promenliva; - gi izveduva posledicite od Adicionite formuli; - gi kombinira Adicionite formuli i nivnite posledici i osmisluva na~in za nivno obop{tuvawe.

Programsko podra~je: POLINOMI


Standard

POMNEWE

- Iskaùva definicija za polinom, identi~ni polinomi, polinomna ravenka i nula na polinom; - prepoznava glavna vrednost i koeficient na monom; - razlikuva monom, binom, trinom, polinom; - razlikuva stepen na monom i polinom; - ja iskaùva teoremata na Bezu za odreduvawe na koli~nik i ostatok pri delewe so binomot x - α; - ja iskaùva osnovnata teorema na algebrata; - ja iskaùva obop{tenata Vietova teorema.

RAZBIRAWE

- Dava primeri na polinomi so razni stepeni; - go objasnuva metodot na neopredeleni koeficienti; - ja objasnuva postapkata za delewe na polinomi; - ja opi{uva Hornerovata {ema za odreduvawe koli~nik i ostatok pri delewe so binomot x - α; - diskutira za primenata na teoremata na Bezu; - povrzuva re{enija na polinomna ravenka so koeficientite na istata.

PRIMENUVAWE

- Sobira, odzema, mnoì polinomi; - go koristi metodot na neopredeleni koeficienti pri re{avawe zada~i; - deli polinomi so i bez ostatok; - koristi Hornerova {ema za odreduvawe koli~nik i ostatok pri delewe so binomot x - α; - ja koristi teoremata na Bezu za odreduvawe ostatok pri delewe so binomot x - α; - re{ava ednostavni zada~i so koristewe na obo{tenata Vietova teorema; - re{ava zada~i so koristewe na svojstvata na polinomite so celi koeficienti.


- Re{ava razni zada~i so koristewe na delivost na polinomi; - gi primenuva posledicite na osnovnata teorema na algebrata.


OBRAZOVNI STANDARDI



III godina

Struki: ekonomsko-pravna i trgovska, grafi~ka, zdravstvena, zemjodelsko-veterinarna,

ugostitelsko-turisti~ka, {umarsko-drvoprerabotuva~ka Matematika za III godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - izboren predmet vo funkcija na matura (ekonomsko-pravna i

trgovska, grafi~ka, zdravstvena, zemjodelsko-veterinarna

1

Skopje, 2008 godina

Programsko podra~je: EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA I LOGARITAMSKA FUNKCIJA Nivo na znaewa i sposobnosti

Standard

POMNEWE

- Povtoruva operacii so stepeni; - iskaùva definicija za eksponencijalna/logaritamska funkcija; - prepoznava analiti~ki/grafi~ki zadadena eksponencijalna/logaritamska funkcija; - gi nabrojuva svojstvata na eksponencijalna/logaritamska funkcija; - dava primer na eksponencijalna/logaritamska funkcija; - gi iskaùva pravilata za logaritmirawe; - gi iskaùva logaritamskite identiteti; - ja iskaùva definicijata za eksponencijalna/logaritamska ravenka; - prepoznava zadadena eksponencijalna/logaritamska ravenka.

RAZBIRAWE

- Odreduva definiciona oblast na dadena eksponencijalna/ logaritamska funkcija; - sostavuva tabela na vrednosti na dadena eksponencijalna/logaritamska funkcija; - prepoznava grafik na eksponencijalna/logaritamska funkcija; - ja objasnuva translacijata na grafikot na eksponencijalna/logaritamska funkcija; - objasnuva kako se proveruva dali dadena vrednost e re{enie na eksponencijalna/logaritamska ravenka; - dava primeri za eksponencijalna/logaritamska ravenka.

PRIMENUVAWE

- Go koristi poimot stepen so realen pokazatel i negovite svojstvata pri re{avawe zada~i; - crta grafik na elementarna eksponencijalna/logaritamska funkcija; - tolkuva svojstva od daden grafik; - re{ava zada~i vo vrska so definicijata za logaritam; - logaritmira proizvod, koli~nik i stepen; - gi koristi logaritamskite identiteti; - transformira eksponencijalni/logaritamski ravenki; - re{ava eksponencijalni ravenki od vidot: Ax

+m=0 i Af(x)+m=0 ;

- re{ava logaritamski ravenki so primena na definicijata za logaritam i so pravilata za logaritmirawe.


- Crta grafik i ispituva tek na eksponencijalna/logaritamska funkcija; - re{ava eksponencijalni ravenki od vidot: a(A

f(x))

2+bA

f(x) +c=0 ;

- re{ava logaritamski ravenki so logaritmirawe , so voveduvawe na nova promenliva i so koristewe na logaritamskite identiteti; - dokaùva logaritamski identiteti; - re{ava poednostavni logaritamsko-eksponencijalni ravenki.

2

Programsko podra~je: TRIGONOMETRISKI FUNKCII OD PROIZVOLEN AGOL


Standard

POMNEWE

- Iskaùva definicija za proizvolen agol i orientiran agol; - iskaùva definicija za trigonometriskite funkcii od ostar/proizvolen agol; - nabrojuva merni edinici za agol; - gi iskaùva osnovnite trigonometriski vrski; - zapomnuva znaci na trigonometriskite funkcii po kvadranti; - iskaùva definicija za trigonometriskata kru`nica; - iskaùva definicija za parna/neparna funkcija; - prepoznava trifonometriska funkcija; - zapi{uva osnoven period.

RAZBIRAWE

- Dava primer za proizvolen agol prikaàn grafi~ki; - dava primeri na trigonometriski funkcii vo pravoagolen triagolnik; - objasnuva za primenata na osnovnite trigonometriski vrski; - objasnuva sveduvawe na trigonometriska funkcija od proizvolen na ostar agol; - opi{uva menuvawe na trigonometriski funkcii; - prepoznava parna/neparna trigonometriska funkcija; - objasnuva {to zna~i period na trigonometriska funkcija; - ja razbira ulogata na koeficientite vo trigonometriskite funkcii dcbxay ++= )sin( i

dcbxay ++= )cos( .

PRIMENUVAWE

- Ja koristi vrskata me|u stepeni i radijani za pretvorawe od edna vo druga merna edinica; - re{ava zada~i so primena na osnovnite trigonometriski vrski; - sveduva trigonometriski funkcii od proizvolen na trigonometriski funkcii od ostar agol; - odreduva osnoven period i period na trigonometriska funkcija; - ispituva parnost na trigonometriska funkcija; - crta grafik na trigonometriski funkcii od vidot dcbxay ++= )sin( , dcbxay ++= )cos( i

dcbxatgy ++= )( ; - tolkuva svojstva od daden grafik.


- Ispituva tek na trigonometriski funkcii od vidot dcbxay ++= )sin( , dcbxay ++= )cos( i

dcbxatgy ++= )( ; - re{ava prakti~ni zada~i.

3

Programsko podra~je: TO^KA VO RAMNINA


Standard

POMNEWE - Zapi{uva to~ka vo koordinaten sistem; - imenuva koordinati na to~ka; - zapi{uva formula za rastojanie me|u dve to~ki/koordinati na delbena to~ka/plo{tina na triagolnik.

RAZBIRAWE

- Pretstavuva to~ki vo pravoagolen koordinaten sistem; - objasnuva za primena na rastojanie me|u dve to~ki; - prepoznava sredna to~ka na otse~ka; - sostavuva odnos vo koj to~ka deli dadena otse~ka pri dadeni uslovi; - objasnuva za karakteristi~ni to~ki i otse~ki na triagolnik.

PRIMENUVAWE

- Odreduva rastojanie me|u dve to~ki; - odreduva koordinati na sredna to~ka na otse~ka; - odreduva koordinati na to~ka koja deli otse~ka vo daden odnos; - odreduva plo{tina na triagolnik so dadeni temiwa.


- Re{ava zada~i vo vrska so rastojanie me|u dve to~ki / delewe na otse~ka vo daden odnos / plo{tina na triagolnik; - re{ava prakti~ni zada~i.

Programsko podra~je: PRAVA VO RAMNINA


Standard

POMNEWE

- Zapi{uva op{t / ekspliciten / segmenten / normalen oblik na ravenka na prava; - zapi{uva ravenka na prava niz edna to~ka so poznat koeficient na pravec i ravenka na prava niz dve to~ki; - iskaùva formula za rastojanie od to~ka do prava i za agol me|u dve pravi; - razlikuva uslov za paralelnost / normalnost na pravi.

RAZBIRAWE

- Prepoznava prava vo op{t / ekspliciten / segmenten / normalen oblik; - dava primer za ravenka na prava niz edna to~ka so poznat koeficient na pravec i ravenka na prava niz dve to~ki; - opi{uva primena na formula za rastojanie od to~ka do prava; - objasnuva za presek na dve pravi i agol me|u dve pravi; - dava primer za paralelni i normalni pravi; - prepoznava koeficienti od op{t i ekspliciten oblik, segmenti od segmenten oblik.

4

PRIMENUVAWE

- Transformira ravenka na prava od eden vo drug oblik; - odreduva ravenka na prava vo razni oblici pri dadeni uslovi; - odreduva nepoznat parametar vo ravenka na prava pri dadeni uslovi; - primenuva formula za rastojanie od to~ka do prava; - presmetuva plo{tina na triagolnik {to dadena prava go zafa}a so koordinatnite oski; - primenuva uslov za paralelnost / normalnost na pravi, agol me|u dve pravi i presek na dve pravi vo zada~i.


- Izveduva ravenka na prava vo ekspliciten / segmenten / normalen oblik; - izveduva ravenka na prava niz to~ka so poznat koeficient na pravec i ravenka na prava niz dve to~ki; - re{ava prakti~ni zada~i so koristewe na elementite od temata prava vo ramnina.



OBRAZOVNI STANDARDI



IV godina

za strukite {to go izu~uvaat predmetot

Skopje, 2008 godina

Matematika za IV godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zdolìtelen predmet za strukite {to go izu~uvaat predmetot)

Programsko podra~je: NIZI I PROGRESII


Standard

POMNEWE

- Iskaùva definicija za niza, op{t ~len na niza, rang na niza, monotonost na niza i ograni~enost na niza; - iskaùva definicija za aritmeti~ka progresija; - gi iskaùva svojstvata na ~lenovite na aritmeti~ka progresija: ak + an-(k-1) = a1 + an i ak

2 = ak-1 + ak+1;

- ja zapi{uva formulata za zbir na prvite n-~lenovi na aritmeti~ka progresija; - iskaùva definicija za geometriska progresija; - gi iskaùva svojstvata na ~lenovite na geometriska progresija: ak . an-(k-1) = a1 . an i ak

2 = ak-1 . ak+1;

- ja zapi{uva formulata za zbir na prvite n-~lenovi na geometriska progresija; - definira okolina na to~ka i to~ka na natrupuvawe na nizi; - iskaùva definicija za zbir, proizvod i koli~nik na dve nizi.

RAZBIRAWE

- Razlikuva niza {to raste od niza {to opa|a i dava primeri; - zapi{uva niza ako e daden op{tiot ~len; - zapi{uva op{t ~len na niza ako se dadeni prvite nekolku ~lenovi; - razlikuva konvergentna od divergentna niza; - go objasnuva poimot granica na niza; - objasnuva monotonost, ograni~enost i konvergentnost na niza, na konkretni primeri; - objasnuva koga nizata an = q

n konvergira.

PRIMENUVAWE

- Opredeluva op{t ~len na aritmeti~ka progresija; - opredeluva op{t ~len na geometriska progresija; - ja koristi formulata za zbir na prvite n-~lenovi na aritmeti~ka progresija; - ja primenuva aritmeti~kata progresija vo zada~i; - ja koristi formulata za zbir na prvite n-~lenovi na geometriska progresija; - ja primenuva geometriskata progresija vo zada~i; - odreduva to~ka na natrupuvawe na nekoi nizi; - odreduva granica na nekoi nizi po definicija; - odreduva grani~na vrednost od zbir, proizvod i koli~nik na dve nizi; - granicata lim(1+1/n)

n ja koristi vo zada~i; - odreduva zbir na ~lenovite na beskrajna geometriska progresija pri q<1 i toa go koristi vo zada~i.


- Ja sogleduva vrskata me|u monotona ograni~ena niza i konvergentna niza, na konkretni primeri; - voo~uva deka nizata an=(1+1/n)

n e monotona, ograni~ena i konvergentna so granica e = 2,71828....


Programsko podra~je: FUNKCII I GRANI^NA VREDNOST


Standard

POMNEWE

- Iskaùva definicija za: parnost, ograni~enost, monotonost, estremni vrednosti i periodi~nost na funkcija; - iskaùva definicija za sloèna funkcija; - iskaùva definicija za inverzna funkcija; - iskaùva definicija za grani~na vrednost na funkcija; - iskaùva definicija za leva i desna granica na funkcija; - gi iskaùva svojstvata za grani~na vrednost na zbir, proizvod, koli~nik i stepen; - iskaùva definicija za neprekinata funkcija.

RAZBIRAWE

- Go objasnuva poimot funkcija; - gi objasnuva na~inite na zadavawe na funkcija; - opi{uva elementarni funkcii; - razlikuva definiciona oblast i mnoèstvo vrednosti na funkcija; - diskutira deka grafikot na funkcijata i na nejzinata inverzna funkcija se simetri~ni vo odnos na pavata u=x; - go objasnuva poimot granica na funkcija; - povrzuva leva i desna granica na funkcija so konvergentnost; - gi opi{uva granicite lim(sinx/x) = 1 i lim(1+1/x)

x = e;

- razlikuva horizontalna, vertikalna i kosa asimptota na kriva.

PRIMENUVAWE

- Odreduva definiciona oblast, mnoèstvo vrednosti na funkcija, nuli, parnost, periodi~nost, ekstremni vrednosti na funkcija i monotonost na funkcija; - odreduva sostav na funkciite: f(x) i g(x), t.e. f(g(x)) ili g(f(x)); - odreduva inverzna funkcija na dadena funkcija (ednostavni slu~ai); - primenuva inverzna funkcija za opredeluvawe na definiciona oblast i mnoèstvo vrednosti na funkcija; - skicira grafik na nekoi funkcii so pomo{ na graficite na elementarnite funkcii; - odreduva grani~ni vrednosti na funkcii po definicija; - re{ava zada~i za nao|awe grani~ni vrednosti na funkcii; - odreduva asimptoti na nekoi krivi.


- Re{ava posloèni zada~i za nao|awe grani~ni vrednosti na funkcii; - ispituva odnesuvawe na funkcijata vo okolina na vertikalni asimptoti i ispituva neprekinatost na funkcii.


Programsko podra~je: IZVOD NA FUNKCII


Standard

POMNEWE

- Iskaùva definicija na izvod na funkcija, lev i desen izvod na funkcija i zapi{uva so soodvetna oz-naka; - zapi{uva izvod na nekoi (elementarni) funkcii (sostavuva tablica na izvodi); - zapi{uva formula za izvod od zbir, proizvod i koli~nik na dve funkcii.

RAZBIRAWE

- Razlikuva narasnuvawe na argument od narasnuvawe na funkcijata vo dadena to~ka; - go interpretira geometriski narasnuvaweto na argumentot i na funkcijata; - tolkuva diferencijal na funkcija geometriski; - razlikuva funkcija {to ima izvod vo dadena to~ka, od funkcija {to nema izvod vo taa to~ka i toa go objasnuva so primeri; - opi{uva postapka za opredeluvawe izvod na sloèna funkcija; - objasnuva pod koi uslovi dadena funkcija ima vtor izvod vo dadena to~ka; - go objasnuva poimot diferencijal na funkcija.

PRIMENUVAWE

- Go odreduva narasnuvaweto na funkcijata za dadeno narasnuvawe na argumentot; - odreduva izvod na nekoi (elementarni) funkcii so pomo{ na narasnuvawe (po definicija); - ja koristi tablicata za odreduvawe izvod na nekoi funkcii; - odreduva izvod od zbir, proizvod i koli~nik na dve funkcii; - odreduva vtor izvod na dadena funkcija; - odreduva izvod od povisok red na dadena funkcija; - presmetuva pribli`na vrednost na funkcija vo blizina na dadena to~ka.


- Odreduva izvod na nekoi sloèni funkcii.


Programsko podra~je: PRIMENA NA IZVOD NA FUNKCIJA


Standard

POMNEWE

- Povtoruva tablici za izvod od elementarni funkcii; - zapi{uva ravenka na tangenta i normala na kriva; - zapi{uva potreben / dovolen uslov za ekstrem; - naveduva koga ekstremot e maksimum / minimum; - zapi{uva monotonost na funkcija vo zavisnost od izvodot.

RAZBIRAWE

- Go objasnuva poimot za izvod so pomo{ na tangenta na dadena kriva; - opi{uva (grafi~ki) vrska me|u ekstrem i tangenta; - objasnuva dobivawe na ravenka na tangenta i normala na kriva; - opi{uva odreduvawe na ekstrem i negova priroda.

PRIMENUVAWE

- Odreduva tangenta / normala na kriva; - odreduva ekstremi na funkcija so pomo{ na izvod; - odreduva drugi (kriti~ni) to~ki na funkcija so pomo{ na izvod; - ja ispituva prirodata na kriti~nite to~ki na dadena funkcija vo daden interval so pomo{ na izvod od povisok red.


- Go ispituva tekot i crta grafik na dadena funkcija, so pomo{ na izvodi; - re{ava prakti~ni zada~i za maksimum i minimum; - koristi izvodi pri re{avawe zada~i od strukata.



OBRAZOVNI STANDARDI



IV godina

Struki: geolo{ko-rudarska, grade`no-geodetska, elektrotehni~ka, ma{inska, li~ni uslugi,

soobra}ajna, hemisko-tehnolo{ka i tekstilno-koàrska struka

Skopje, 2008 godina

Matematika za I godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (izboren predmet vo funkcija na matura zageolo{ko-rudarska, grade`no-geodetska, elektrotehni~ka, ma{inska, li~ni uslugi, soobra}ajna, hemisko-tehnolo{ka i tekstilno-koàrska struka

Programsko podra~je: MATEMATI^KA INDUKCIJA Nivo na znaewa i sposobnosti

Standard

POMNEWE - Nabrojuva ~ekori na matemati~ka indukcija; - ja zapi{uva binomnata formula i op{tiot ~len na razvojot na (a + b)

n ; - zapi{uva binomen koeficient.

RAZBIRAWE

- Gi objasnuva poimite empiriska i matemati~ka indukcija, potpolna i nepotpolna indukcija i nivnata primena; - go usvoi principot na matemati~kata indukcija; - ja opi{uva induktivnata postapka za dobivawe na ~lenovite vo binomnata formula so nabquduvawe na Paskaloviot triagolnik; - gi usvojuva osnovnite svojstva na binomnite koeficienti.

PRIMENUVAWE - Go primenuva principot na matemati~kata indukcija pri re{avawe na poednostavni zada~i; - re{ava zada~i vo vrska so odreduvawe koeficienti i ~lenovi vo razvojot na (a + b)

n. ANALIZA, SINTEZA I VREDNUVAWE

- Dokaùva ravenstvo, neravenstvo i delivost so principot na matemati~ka indukcija.


Programsko podra~je: TRIGONOMETRISKA FORMA NA KOMPLEKSEN BROJ


Standard

POMNEWE - Imenuva modul i argument na kompleksen broj vo trigonometriska forma; - zapi{uva trigonometriska forma na kompleksen broj; - zapi{uva formuli za operacii so kompleksni broevi vo trigonometriska forma.

RAZBIRAWE

- Gi prepoznava raznite formi na kompleksen broj; - dava primer za kompleksen broj vo trigonometriska forma; - gi komentira formulite za operacii so kompleksni broevi vo trigonometriska forma; - objasnuva pretvorawe na trigonometriski broj od edna vo druga forma.

PRIMENUVAWE - Mnoì, deli, stepenuva i korenuva kompleksni broevi vo trigonometriskata forma; - izvr{uva pretvorawe na trigonometriski broj od edna vo druga forma.


- Ja dokaùva Moavrovata formula; - izveduva formula za korenuvawe na kompleksen broj; - re{ava zada~i od praktikata so koristewe na kompleksen broj vo trigonometriska forma.


Programsko podra~je: KRIVI OD VTOR RED


Standard

POMNEWE

- Zapomnuva deka konusnite preseci se kru`nica, elipsa, hiperbola i parabola; - zapi{uva ravenka na kru`nica i centralna ravenka na elipsa, hiperbola i parabola; - znae deka krivite od vtor red imaat najmnogu dve zaedni~ki to~ki pri presek so prava; - prepoznava ravenka od vtor stepen, koja pretstavuva ravenka na kru`nica; - povrzuva ravenki od vtor stepen so krivi od vtor red; - zapi{uva uslov za dopir na prava so kriva od vtor red; - zapi{uva ravenka na tangenta i normala vo to~ka od krivata.

RAZBIRAWE

- Iskaùva definicija za kru`nica, elipsa, hiperbola i parabola; - gi imenuva elementite na sekoja od krivite od vtor red; - dava primeri na ravenki na kru`nica i centralna ravenka na elipsa, hiperbola i parabola; - ja objasnuva polo`bata na sekoja kriva od vtor red vo koordinatna ramnina, spored nejzinata ravenka; - ilustrira grafi~ki presek na prava so kriva od vtor red i presek na dve krivi od vtor red; - opi{uva re{avawe na razni vidovi na zada~i.

PRIMENUVAWE

- Gi odreduva elementite na sekoja kriva od vtor red pri dadeni uslovi; - sostavuva ravenka na kriva od vtor red pri dadeni uslovi; - gi odreduva koordinatite na prese~nata to~ka kriva od vtor red i prava; - proveruva zaemna polo`ba na prava i kriva od vtor red; - odreduva ravenka na tangenta i normala na kriva od vtor red.


- Re{ava zada~i vo vrska so zaedni~ki tangenti na krivi od vtor red.


Programsko podra~je: NEOPREDELEN INTEGRAL Nivo na znaewa i sposobnosti

Standard

POMNEWE - Iskaùva definicija za primitivna funkcija i neopredelen integral; - gi pamti, prepoznava i nabrojuva tabli~nite integrali; - gi nabrojuva osnovnite svojstva na neopredeleniot integral.

RAZBIRAWE

- Gi objasnuva poimite primitivna funkcija i neopredelen integral; - objasnuva deka operacijata integrirawe e obratna operacija na operacijata diferencirawe; - opi{uva deka mnoèstvoto na primitivni funkcii {to se dobivaat od neopredeleniot integral za razli~ni vrednosti na konstantata e beskone~no i geometriski pretstavuva mnoèstvo od beskone~no mnogu krivi; - go objasnuva metodot na zamena; - go objasnuva metodot na parcijalna integracija.

PRIMENUVAWE

- Re{ava integrali {to se sveduvaat na tabli~ni; - gi koristi osnovnite svojstva na neopredeleniot integral; - re{ava integrali po metodot na zamena; - re{ava zada~i so metod na parcijalna integracija; - re{ava integrali od vidot:

∫++ cbxax

dx

2, ∫

++

+

cbxax

nmx

2dx , ∫

+ kx

dx

2, ∫ + kx

2dx, ∫ ++ cbxax

2 dx

kade a, b, c, m, n, k se realni konstanti; - re{ava integrali od trigonometriski funkcii od vidot:

bxdxsinaxsin∫ , ∫ bxdxcosaxcos , ∫ ,dx)xcos,x(sinR ∫ dxbxaxR )cos,(sin .


- Re{ava intagrali od racionalni funkcii od vidot:

∫−

r)ax(

Adx i ∫++

+dx

)cbxax(

BAx

r2 , pri {to ax

2+bx+c < 0;

- re{ava integrali so trigonometriski smeni t.e integrali od vidot:

∫ − dxxa,x(R22 i dx)xa,x(R∫ +

22 ;

- izveduva nekoi rekurentni formuli.


OBRAZOVNI STANDARDI



IV godina

Struki: ekonomsko-pravna i trgovska, grafi~ka, zdravstvena, zemjodelsko-veterinarna,

ugostitelsko-turisti~ka, {umarsko-drvoprerabotuva~ka

Skopje, 2008 godina

Matematika za IV godina za ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovani e (izboren predmet vo funkcija na matura za ekonomsko-pravna i trgovska, grafi~ka, zdravstvena, zemjodelsko-veterinarna, ugostitelsko-turisti~ka, {umarsko-prerabotuva~ka struka)

1

Programsko podra~je: NIZI I PROGRESII


Standard

POMNEWE

- Iskaùva definicija za niza, op{t ~len na niza, rang na niza, monotonost na niza i ogra-ni~enost na niza; - iskaùva definicija za aritmeti~ka progresija; - gi iskaùva svojstvata na ~lenovite na aritmeti~ka progresija: ak + an-(k-1) = a1 + an i ak

2 = ak-1 +

ak+;1

- ja zapi{uva formulata za zbir na prvite n-~lenovi na aritmeti~ka progresija; - iskaùva definicija za geometriska progresija; - gi iskaùva svojstvata na ~lenovite na geometriska progresija: ak . an-(k-1) = a1 . an i ak

2 = ak-1 .

ak+;1

- ja zapi{uva formulata za zbir na prvite n-~lenovi na geometriska progresija; - definira okolina na to~ka i to~ka na natrupuvawe na nizi; - iskaùva definicija za zbir, proizvod i koli~nik na dve nizi.

RAZBIRAWE

- Razlikuva niza {to raste od niza {to opa|a i dava primeri; - zapi{uva niza ako e daden op{tiot ~len; - zapi{uva op{t ~len na niza ako se dadeni prvite nekolku ~lenovi; - razlikuva konvergentna od divergentna niza; - go objasnuva poimot granica na niza; - objasnuva monotonost, ograni~enost i konvergentnost na niza, na konkretni primeri; - objasnuva koga nizata an = q

n konvergira.

PRIMENUVAWE

- Opredeluva op{t ~len na aritmeti~ka progresija; - opredeluva op{t ~len na geometriska progresija; - ja koristi formulata za zbir na prvite n-~lenovi na aritmeti~ka progresija; - ja primenuva aritmeti~kata progresija vo zada~i; - ja koristi formulata za zbir na prvite n-~lenovi na geometriska progresija; - ja primenuva geometriskata progresija vo zada~i;


2

- odreduva to~ka na natrupuvawe na nekoi nizi; - odreduva granica na nekoi nizi po definicija; - odreduva grani~na vrednost od zbir, proizvod i koli~nik na dve nizi; - granicata lim(1+1/n)

n ja koristi vo zada~i; - odreduva zbir na ~lenovite na beskrajna geometriska progresija pri q<1 i toa go koristi vo zada~i.


- Ja sogleduva vrskata me|u monotona ograni~ena niza i konvergentna niza, na konkretni primeri; - voo~uva deka nizata an=(1+1/n)

n e monotona, ograni~ena i konvergentna so granica e = 2,71828... .


3

Programsko podra~je: FUNKCII I GRANI^NA VREDNOST


Standard

POMNEWE

- Iskaùva definicija za: parnost, ograni~enost, monotonost, estremni vrednosti i periodi~nost na funkcija; - iskaùva definicija za sloèna funkcija; - iskaùva definicija za inverzna funkcija; - iskaùva definicija za grani~na vrednost na funkcija; - iskaùva definicija za leva i desna granica na funkcija; - gi iskaùva svojstvata za grani~na vrednost na zbir, proizvod, koli~nik i stepen; - iskaùva definicija za neprekinata funkcija.

RAZBIRAWE

- Go objasnuva poimot funkcija; - gi objasnuva na~inite na zadavawe na funkcija; - opi{uva elementarni funkcii; - razlikuva definiciona oblast i mnoèstvo vrednosti na funkcija; - diskutira deka grafikot na funkcijata i na nejzinata inverzna funkcija se simetri~ni vo odnos na pavata u=x; - go objasnuva poimot granica na funkcija; - povrzuva leva i desna granica na funkcija so konvergentnost; - gi opi{uva granicite lim(sinx/x) = 1 i lim(1+1/x)

x = e;

- razlikuva horizontalna, vertikalna i kosa asimptota na kriva.

PRIMENUVAWE

- Odreduva definiciona oblast, mnoèstvo vrednosti na funkcija, nuli, parnost, periodi~nost, ekstremni vrednosti na funkcija i monotonost na funkcija; - odreduva sostav na funkciite: f(x) i g(x), t.e. f(g(x)) ili g(f(x)); - odreduva inverzna funkcija na dadena funkcija (ednostavni slu~ai); - primenuva inverzna funkcija za opredeluvawe na definiciona oblast i mnoèstvo vrednosti na funkcija; - skicira grafik na nekoi funkcii so pomo{ na graficite na elementarnite funkcii;


4

- odreduva grani~ni vrednosti na funkcii po definicija; - re{ava zada~i za nao|awe grani~ni vrednosti na funkcii; - odreduva asimptoti na nekoi krivi.


- Re{ava posloèni zada~i za nao|awe grani~ni vrednosti na funkcii; - ispituva odnesuvawe na funkcijata vo okolina na vertikalni asimptoti i ispituva neprekinatost na funkcii.


5

Programsko podra~je: IZVOD NA FUNKCII


Standard

POMNEWE

- Iskaùva definicija na izvod na funkcija, lev i desen izvod na funkcija i zapi{uva so soodvetna oznaka; - zapi{uva izvod na nekoi (elementarni) funkcii (sostavuva tablica na izvodi); - zapi{uva formula za izvod od zbir, proizvod i koli~nik na dve funkcii.

RAZBIRAWE

- Razlikuva narasnuvawe na argument od narasnuvawe na funkcijata vo dadena to~ka; - go interpretira geometriski narasnuvaweto na argumentot i na funkcijata; - tolkuva diferencijal na funkcija geometriski; - razlikuva funkcija {to ima izvod vo dadena to~ka, od funkcija {to nema izvod vo taa to~ka i toa go objasnuva so primeri; - opi{uva postapka za opredeluvawe izvod na sloèna funkcija; - objasnuva pod koi uslovi dadena funkcija ima vtor izvod vo dadena to~ka; - go objasnuva poimot diferencijal na funkcija.

PRIMENUVAWE

- Go odreduva narasnuvaweto na funkcijata za dadeno narasnuvawe na argumentot; - odreduva izvod na nekoi (elementarni) funkcii so pomo{ na narasnuvawe (po definicija); - ja koristi tablicata za odreduvawe izvod na nekoi funkcii; - odreduva izvod od zbir, proizvod i koli~nik na dve funkcii; - odreduva vtor izvod na dadena funkcija; - odreduva izvod od povisok red na dadena funkcija; - presmetuva pribli`na vrednost na funkcija vo blizina na dadena to~ka.


- Odreduva izvod na nekoi sloèni funkcii.


6

Programsko podra~je: PRIMENA NA IZVOD NA FUNKCIJA


Standard

POMNEWE

- Povtoruva tablici za izvod od elementarni funkcii; - zapi{uva ravenka na tangenta i normala na kriva; - zapi{uva potreben / dovolen uslov za ekstrem; - naveduva koga ekstremot e maksimum / minimum; - zapi{uva monotonost na funkcija vo zavisnost od izvodot.

RAZBIRAWE

- Go objasnuva poimot za izvod so pomo{ na tangenta na dadena kriva; - opi{uva (grafi~ki) vrska me|u ekstrem i tangenta; - objasnuva dobivawe na ravenka na tangenta i normala na kriva; - opi{uva odreduvawe na ekstrem i negova priroda.

PRIMENUVAWE

- Odreduva tangenta / normala na kriva; - odreduva ekstremi na funkcija so pomo{ na izvod; - odreduva drugi (kriti~ni) to~ki na funkcija so pomo{ na izvod; - ja ispituva prirodata na kriti~nite to~ki na dadena funkcija vo daden interval so pomo{ na izvod od povisok red.


- Go ispituva tekot i crta grafik na dadena funkcija, so pomo{ na izvodi; - re{ava prakti~ni zada~i za maksimum i minimum; - koristi izvodi pri re{avawe zada~i od strukata.

M A T E M A T I K A

Documents