Lý thuyết lấy mẫu

Trao đổi trực tuyến tại:

http://www.mientayvn.com/Y_online.html

LYÙ THUYEÁT

LAÁY MAÃU

– Daân soá (toång theå): Taäp hôïp taát

caû caùc phaàn töû (caù theå) chuùng ta

caàn nghieân cöùu.

– Maãu: Moät soá phaàn töû (caù theå)

ñöôïc choïn ngaãu nhieân trong daân

soá ñeå khaûo saùt.

I. ÑAÏI CÖÔNG

Ta chæ tính toaùn vaø xöû lyù treân maãu

roài suy ra keát quaû cho toaøn boä daân soá

neân coù theå maéc sai laàm.

Ñeå traùnh khoûi sai laàm, vieäc laáy maãu

phaûi thöïc hieän sao cho moïi phaàn töû coù

cô hoäi ñoàng ñeàu ñöôïc quan saùt.

Coù 2 caùch laáy maãu

a.Laáy maãu coù hoaøn laïi:

Phaàn töû vöøa quan saùt ñöôïc traû laïi cho

toång theå tröôùc khi quan saùt laàn sau.

b.Laáy maãu khoâng hoaøn laïi:

Phaàn töû vöøa quan saùt khoâng traû laïi

cho toång theå tröôùc khi quan saùt laàn sau.

° Neáu toång theå coù raát nhieàu phaàn töû thì

2 caùch laáy maãu ñöôïc ñöôïc coi nhö nhau.

• Thoâng thöôøng, ta laáy maãu ñeå öôùc

löôïng nhöõng ñaïi löôïng chöa bieát nhö:

tæ leä, trung bình, phöông sai,…

• Goïi X1, X

2, X

3,…,X

n laø nhöõng keát

quaû quan saùt. Thoâng thöôøng chuùng ta

laáy maãu trong 1 toång theå raát nhieàu

neân caùc bieán soá ngaãu nhieân X1, X

2,…,

Xn ñöôïc coi nhö ñoäc laäp vaø cuøng phaân

phoái.

II. THOÁNG KEÂ

• Ñeå nghieân cöùu moät ñaëc tính naøo ñoù

cuûa moät daân soá, ta laáy maãu ngaãu

nhieân (X1, X

2, … ,X

n) töø daân soá ñoù vaø

tính caùc giaù trò töông öùng nhöõng giaù

trò naøy, laø moät haøm theo maãu, ta goïi

laø thoáng ke

• Kyù hieäu:

1 2 nT T(X ,X , X ) T X

Khi ñaõ quan saùt ñöôïc maãu, ta coù

theå tính ra giaù trò cuûa moät thoáng keâ.

Vì maãu laø ngaãu nhieân, neân T cuõng

laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân, nghóa laø T coù

qui luaät xaùc suaát, coù voïng trò, coù

phöông sai, coù haøm maät ñoä…

Tuøy theo töøng vaán ñeà nghieân cöùu,

ta coù theå ñaët ra moät hay nhieàu thoáng

keâ khaùc nhau.

Caùc thoáng keâ thöôøng duøng laø:

1. Trung bình maãu:

2. Phöông sai maãu:

3.Hieäu hai trung bình:

4.Tæ soá hai phöông sai:

1 2 nX X X

X

n

2 2

1 n2

X X X X

S

n 1

XY

2

1

2

2

S

S

Thí duï:

Quan saùt chieàu cao X (cm) cuûa 10

ngöôøi, ta ghi ñöôïc:

158cm, 163cm, 157cm, 162cm,

154cm, 152cm, 160cm, 159cm,

165cm, 156cm

Vôùi maãu treân ta tính ñöôïc:

Trung bình maãu:

Phöông sai cuûa maãu:

X 158.60 cm2 2

S 16.49 cm

III. THOÁNG KEÂ TRUNG BÌNH MAÃU

1. Ñònh nghóa:

Cho maãu (X1, X

2, …, X

n) trung bình maãu

laø:

2. Qui luaät xaùc suaát cuûa :

• a. Ñònh lyù:

Neáu maãu ngaãu nhieân (X1, X

2, …, X

n) ruùt

töø 1 daân soá coù phaân phoái baát kyø, vôùi

trung bình vaø bieán trò

n

1 2 n

i

i 1

X X X 1X X

n n

X

E X

2

2

Var X

n

: goïi laø ñoä leäch chuaån cuûa

Giaù trò naøy coøn goïi laø sai soá chuaån

cuûa soá trung bình. Sai soá naøy cuõng coøn

goïi laø sai soá do choïn maãu.

Thaät vaäy neáu , maãu trôû thaønh

chính daân soá ñoù,

khoâng coøn sai soá nöõa.

Var X

n

X

n0 vaø X

n

b. Ñònh lyù:

Neáu maãu ngaãu nhieân (X1, X

2, …,X

n)

ruùt töø moät daân soá coù phaân phoái bình

thöôøng:

thì 2

X ~ N , 2

X ~ N ,

n

• c. Ñònh lyù giôùi haïn trung taâm:

Vôùi maãu (X1, X

2, …, X

n) ruùt töø daân soá coù

voïng trò , phöông sai

thì khi n

neân

Ñònh lyù naøy raát quan troïng ñoái vôùi ngöôøi

laøm thoáng keâ, Vôùi maãu lôùn thì gaàn nhö

coù phaân phoái Bình thöôøng, baát chaáp ñaëc

tính X trong daân soá coù phaân phoái gì.

2

2

X ~ N ,

n

Xn ~ N(0;1) khi n

X

IV. THOÁNG KEÂ PHÖÔNG SAI MAÃU

1. Ñònh nghóa:

Cho maãu (X1, X

2, …, X

n), ta coù

phöông sai maãu laø:

n

22

i

i 1

1S X X

n 1

• YÙ nghóa cuûa phöông sai:

Ta coù laø caùc

khoaûng caùch töø caùc giaù trò ñeán

soá trung bình .

Neáu soá lieäu phaân taùn roäng, thì S2 seõ

lôùn.

Neáu soá lieäu phaân taùn heïp, thì S2 seõ

nhoû.

Do ñoù: S2 ño löôøng möùc ñoä phaân taùn

cuûa soá lieäu.

i 2 nX X, X X,...,X X

1 2 nX ,X , X

X

• 2. Caùch tính S2

Thoâng thöôøng laø moät soá leû, do ñoù

leû , vaäy neáu duøng coâng thöùc

ñònh nghóa ñeå tính S2 thì raát vaát vaû.

Ta coù theå tính phöông sai baèng

coâng thöùc.

X

iX X

22

i2X nX

S

n 1

3. Qui luaät xaùc suaát cuûa S2:

Voïng trò cuûa S2:

Ñònh lyù: Caùc phaân phoái lieân quan tôùi

S2:

Neáu maãu (X1, X

2, …, X

n) ruùt töø daân soá

coù phaân phoái chuaån thì:

i)

ii)

2 2

E S

2

N , 2

2

2

SY (n 1) ~ (n 1)

XT . n ~ Student(n 1)

S

TOÙM TAÉT

LYÙ THUYEÁT LAÁY MAÃU

I. ÑAÏI CÖÔNG

Daân soá : Taäp hôïp taát caû caùc phaàn

töû chuùng ta caàn nghieân cöùu.

Maãu: Moät soá phaàn töû ñöôïc choïn

ngaãu nhieân trong daân soá ñeå khaûo

saùt.

• II. THOÁNG KEÂ TRUNG BÌNH MAÃU .

1.Ñònh nghóa:

Cho maãu (X1, X

2, …, X

n) trung bình maãu laø:

2.Qui luaät xaùc suaát cuûa :

a. Ñònh lyù:

Neáu maãu ngaãu nhieân (X1, X

2, …, X

n) ruùt

töø 1 daân soá coù phaân phoái baát kyø,vôùi trung

bình vaø phöông sai thì:

n

1 2 n

i

i 1

X X X 1X X

n n

X

2

E X 2

Var X

n

X

• b.Ñònh lyù:

Neáu maãu ngaãu nhieân (X1, X

2, …, X

n) ruùt

töø moät daân soá coù phaân phoái bình thöôøng:

thì

c.Ñònh lyù giôùi haïn trung taâm:

Vôùi maãu (X1, X

2, …, X

n) ruùt töø daân soá coù

voïng trò ,phöông sai ,

thì

neân

2

X ~ N , 2

X ~ N ,

n

2 2

X ~ N ,

n

Xn ~ N(0;1) khi n

III. THOÁNG KEÂ PHÖÔNG SAI MAÃU S2

1.Ñònh nghóa:

Cho maãu (X1, X

2, …, X

n), ta coù phöông sai maãu

laø:

2.Caùch tính S2

n

22

i

i 1

1S X X

n 1

1n

XnXS

22

i2

• 3.Qui luaät xaùc suaát cuûa S2:

Voïng trò cuûa S2:

Ñònh lyù: Caùc phaân phoái lieân quan

tôùi S2:

Neáu maãu (X1, X

2, …, X

n) ruùt töø daân

soá coù phaân phoái chuaån thì.

i)

ii)

2 2

E S

2

N , 2

2

2

SY (n 1) ~ (n 1)

XT . n ~ Student(n 1)

S

• 1. Ño löôïng cholesterlemie (ñôn vò:

mg%) cuûa moät soá ngöôøi, ta ñöôïc:

• a.Tính trung bình maãu vaø ñoä leäch tieâu

chuaån cuûa .

• b.Moät maãu thöù nhì cuõng quan saùt löôïng

cholesterlemie Y (mg%) cuûa 30 ngöôøi,

tính ñöôïc = 180 mg%, .

Nhaäp 2 maãu laïi, tính trung bình vaø ñoä

leäch chuaån cuûa maãu nhaäp.

X(mg%) 150-160 160-170 170-180 180-190 190-200 200-210

Soá ngöôøi 2 4 5 6 4 3

%mg16SYY

X

XS

1.Giaûi

• a. Ta coù:

• n = 24 ngöôøi

• mg%

• mg%

• b. Nhaäp maãu

• Soá laàn quan saùt N = 24 + 30 = 54 ngöôøi

25,181X

98,14SX

Quan saùt Trung bình Ñoä leäch

Maãu 1

Maãu 2

24

30

181.25 mg%

180 mg%

14.98 mg%

16 mg%

• Nhaäp trung bình :

• Maãu 1: = (24)(181,25) = 4350 mg%

• Maãu 2: = (30)(180) = 5400 mg%

• Maãu nhaäp:

• = = 9750 mg%

• Trung bình maãu nhaäp:

X

Y

Z YX

Z 9750Z 180,56mg%

N 54

• Nhaäp ñoä leäch:

•

• Maãu 1:

• Maãu 2:

1n

XnXS

22

2

X

2

22

XXnXS)1n(

2

2

X

2XnS)1n(X

2222%)mg(71,793598)25,181(24)98,14)(23(X

2 2 2 2

Y (29)(16) (30)(180) 979424(mg%)

• Maãu nhaäp:

• Phöông sai maãu nhaäp:

53

)56,180(547092,1773022

1N

ZNZ

S

222

2

Z

= 236,21

%mg37,15SZ

7092,1773022YXZ222

• 2. Coù 3 maãu quan saùt söùc naëng con

ngöôøi, keát quaû ghi nhaän ñöôïc nhö sau:

• Nhaäp chung 3 maãu laïi, tính trung bình vaø

ñoä leäch maãu nhaäp.

Laàn quan saùt Trung

bình

Ñoä leäch

Maãu 1

Maãu 2

Maãu 3

70

75

95

55 kg

57 kg

54 kg

8.30 kg

8.60 kg

8.50 kg

2. Giaûi

• Soá laàn quan saùt: N = 70 + 75 + 95 = 240 ng

• Nhaäp trung bình:

• Maãu 1: = 3850 kg

• Maãu 2: = 4275 kg

• Maãu 3: = 5130 kg

• Maãu nhaäp:

• Trung bình maãu nhaäp:

X

X X nX

n

)55(70X1

)57(75X2

)54(95X3

kg13255XXXX321

kg23,55

240

13255

N

XX

• Nhaäp ñoä leäch:

• Maãu 1:

• Maãu 2:

• Maãu 3:

222

22

2XnS)1n(X

1n

XnXS

2 2 2

1

X 69(8,30) 70(55) 216503,41

2 2 2

2

X 74(8,60) 75(57) 249148,04

2 2 2

3

X 94(8,50) 95(54) 283811,50

• Maãu nhaäp:

• Phöông sai maãu nhaäp:

• =

• = 72,71

• S = 8,53 kg.

95,749462XXXX3

2

2

2

1

22

1N

XNXS

22

2

239

)23,55(24095,7494622

• 3. Ño ñoä daøi cuûa 30 chi tieát ñöôïc choïn ngaãu

nhieân cuûa moät loaïi saûn phaåm ta ñöôïc baûng

soá lieäu sau:

• a.Tính caùc ñaëc tröng maãu .

• b.Laäp baûng phaân phoái thöïc nghieäm.

• c.Tìm haøm phaân phoái thöïc nghieäm töông

öùng vôùi maãu treân.

39 43 41 41 40 41 43 42 41 39

40 42 44 42 42 41 41 42 43 40

41 42 43 39 40 41 39 40 42 41

3. Baûng soá lieäu ban ñaàu coù theå thu goïn, khi

xeùt ñeán taàn soá cuûa caùc giaù trò quan saùt, ta

ñöôïc baûng sau:

Xi 39 40 41 42 43 44

ni 4 5 9 7 4 1

6

1i

i30n

)44+43.4+42.7+41.9+40.5+39.4(

30

1=X

,ni laø taàn soá cuûa X

i trong

maãu ñaõ cho.

a.

= 41,17

Ñoä leäch chuaån

n

1i

2

i

2)XX(

1n

1S

n

1i

k

1i

22

ii

22

iXnXn

1n

1)XnX(

1n

1

80.117.413050893

29

1 2

34,1=80,1=S

c. Töø baûng phaân phoái thöïc nghieäm deã

daøng tìm ñöôïc phaân phoái F30

(x) theo

quy taéc “coäng doàn sang traùi”:

F(x)=P(Xx)

Xi 39 40 41 42 43 44

n

ni

30

4

30

5

30

9

30

7

30

4

30

1

b. Baûng phaân phoái thöïc nghieäm:

30

0 neáu x 39

439 x 40

30

940 x 41

30

18F (x) 41 x 42

30

2542 x 43

30

2943 x 44

30

1 44 x

• 4. Khi kieåm tra theå löïc moät nhoùm sinh

vieân ta coù keát quaû veà caân naëng nhö sau:

• a.Tính .

• b.Laäp baûng phaân phoái thöïc nghieäm.

• c.Tìm haøm phaân phoái thöïc nghieäm.

Xi(kg) 42.5-

47.5

47.5-

52.5

52.5-

57.5

57.5-

62.5

62.5-

67.5

Soá SV 8 14 28 18 12

S,S,X2

• 4. Giaûi

• Khi caùc giaù trò maãu thì ta

laáy .

)b,a(xiii

2

b+a=x

ii

i

X(kg) 45 50 55 60 65

Soá sv 8 14 28 18 12

80nni

•Töø ñaáy ta coù baûng soá lieäu thu goïn

75,55xn

n

1X

ii

87,34XX

1n

1S

2

i

2

b.Ta coù baûng phaân phoái thöï nghieäm

91,5S

Xi 45 50 55 60 65

Pi

80

8

80

14

80

28

80

18

80

12

c.Haøm phaân phoái thöïc nghieäm

0 neáu x 45

845 x 50

80

2250 x 55

80F (x)

5055 x 60

80

6860 x 65

80

1 65 x