GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt NỘI DUNG KIẾN THỨC Điểm Phương pháp tọa độ trong trong không gian: Xác định tọa độ của điểm, vectơ. Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng. Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. 1 §1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ II. TỌA ĐỘ CỦA VÉCTƠ Cho hệ tọa độ Oxyz và u . Khi đó có duy nhất một bộ ba số thực (x; y; z) sao cho . . . u xi yj zk . Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của u và kí hiệu là : (;;) u xyz hoặc (;;) uxyz Vậy : (;;) u xyz . . . u xi yj zk Từ định nghĩa trên ta suy ra : (1; 0; 0), (0;1;0), (0; 0;1) i j k III. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM Cho hệ tọa độ Oxyz và điểm M. Ta gọi tọa độ của OM là tọa độ của điểm M. Như vậy bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của điểm và kí hiệu là (;;) M xyz hoặc (;;) Mxyz nếu : . . . OM xi yj zk . Vậy theo định nghĩa trên, ta có : ( ;0;0) M Ox Mx (0; ;0) M Oy M y (0;0; ) M Oz M z ( ) ( ; ;0) M Oxy Mxy ( ) ( ;0; ) M Oxz Mx z ( ) (0; ; ) M Oyz M yz Gọi 1 2 3 ; ; M M M lần lượt là hình chiếu vuông góc của M(x; y; z) lên 3 trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Khi đó 1 2 3 ( ;0;0), (0; ;0), (0;0; ) M x M y M z Gọi 1 2 3 ; ; M M M lần lượt là hình chiếu vuông góc của M(x; y; z) lên 3 mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz). Khi đó 1 2 3 ( ; ;0), (0; ; ), ( ;0; ) M xy M yz M x z . 2 2 2 1 . . . 0 i j k ij jk ki Trục tung Trục hoành Trục cao Mặt phẳng tọa độ z x y O j i k Oxy Oxz Oyz y M (;,) xyz z k j O x i M 1 ( ; ,0) xy
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
NỘI DUNG KIẾN THỨC Điểm
Phương pháp tọa độ trong trong không gian:
Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách
giữa hai đường thẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
1
§1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
II. TỌA ĐỘ CỦA VÉCTƠ
Cho hệ tọa độ Oxyz và u . Khi đó có duy nhất một bộ ba số thực (x; y; z) sao cho
. . .u x i y j z k . Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của u và kí hiệu là : ( ; ; )u x y z hoặc ( ; ; )u x y z
Vậy : ( ; ; )u x y z . . .u x i y j z k
Từ định nghĩa trên ta suy ra : (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1)i j k
III. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM
Cho hệ tọa độ Oxyz và điểm M. Ta gọi tọa độ của
OM là tọa độ của điểm M. Như vậy bộ ba số (x; y; z) là
tọa độ của điểm và kí hiệu là ( ; ; )M x y z hoặc
( ; ; )M x y z nếu : . . .OM x i y j z k .
Vậy theo định nghĩa trên, ta có :
( ;0;0)M Ox M x
(0; ;0)M Oy M y
(0;0; )M Oz M z
( ) ( ; ;0)M Oxy M x y
( ) ( ;0; )M Oxz M x z
( ) (0; ; )M Oyz M y z
Gọi 1 2 3; ;M M M lần lượt là hình chiếu vuông góc
của M(x; y; z) lên 3 trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Khi đó
1 2 3( ;0;0), (0; ;0), (0;0; )M x M y M z
Gọi 1 2 3; ;M M M lần lượt là hình chiếu vuông góc của M(x; y; z) lên 3 mặt phẳng tọa độ
(Oxy), (Oyz), (Oxz). Khi đó 1 2 3( ; ;0), (0; ; ), ( ;0; )M x y M y z M x z .
2 2 2
1
. . . 0
i j k
i j j k k i
Trục tung Trục
hoành
Trục
cao
Mặt phẳng tọa độ
z
x
y
O j
i
k
Oxy
Oxz
Oyz
y
M ( ; , )x y z
z
k
j
O
x
i
M1 ( ; ,0)x y
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
Cho ( ; ; ), ( ; ; )A A A B B BA x y z B x y z . Khi đó ( ; ; )B A B A B AAB x x y y z z
IV. CÁC CÔNG THỨC THƯỜNG DÙNG
Cho hai véctơ 1 2 3 1 2 3( ; ; ), ( ; ; )a a a a b b b b . Khi đó :
1. Tổng hiệu hai véctơ : 1 1 2 2 3 3( ; ; )a b a b a b a b
2. Tích một số với một véctơ : 1 2 3. ( ; ; ) m a ma ma ma m R
3. Độ dài của véctơ : 2 2 2
1 2 3a a a a ; 2 2 2
1 2 3b b b b
4. 2 2 2
1 1 2 2 3 3a b a b a b a b
5. 2 2 2
1 1 2 2 3 3a b a b a b a b
6. Tích vô hướng của hai véctơ : a) . . .cos( ; )a b a b a b ; b) 1 1 2 2 3 3.a b a b a b a b
7. 1 1 2 2 3 3. 0 0a b a b a b a b a b
8. Góc giữa hai véctơ : 1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.cos( ; ) = ; ( ; 0)
. .
a b a b a ba ba b a b
a b a a a b b b
9.
2 2 2
1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
sin ,a b a b a b a b a b a b
a ba a a b b b
10. Hai véctơ bằng nhau : 1 1 2 2 3 3; ;a b a b a b a b
11. Véctơ a cùng phương với b 31 2
2 2 3
aa a
b b b
12. Khoảng cách giữa hai điểm ( ; ; )A A AA x y z ; ( ; ; )B B BB x y z :
2 2 2( ) ( ) ( )B A B A B AAB AB x x y y z z
13. Tọa độ trung điểm I của đoạn AB : ; ;2 2 2
A B A B A BI I I
x x y y z zx y z
14. Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC :
; ;3 3 3
A B C A B C A B CG G G
x x x y y y z z zx y z
15. Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD :
; ;4 4 4
A B C D A B C d A B C DG G G
x x x x y y y y z z z zx y z
16. Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ( 1k ), nghĩa là .MA k MB thì tọa độ của M là
. . .; ;
1 1 1
A B A B A BM M M
x k x y k y z k zx y z
k k k
V. MẶT CẦU
1. Phương trình mặt cầu :
Dạng Phương trình Tâm Bán kính
Chính tắc 2 2 2 2x a y b z c R
I(a; b; c) R
Tổng quát x
2 + y
2 + z
2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0
điều kiện: 2 2 2 0a b c d I(–a; –b; –c) 2 2 2R a b c d
Đặc biệt x2 + y
2 + z
2 = R
2 O(0, 0, 0) R
2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng :
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
Cho mp ( ) : 0Ax By Cz D và mặt cầu 2 2 2 2( ) : ( ) ( ) ( )S x a y b z c R
Gọi ( ;( )d I là khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng ( ) :
1. ( ) ( ) ( ;( )
2. ( ) ( ) ( ;( ) . ( )
3. ( ) ( ) ( ;( )
S d I R
S d I R
S d I R
caét maët caàu
tieáp xuùc maët caàu Khi ñoù goïi laø tieáp dieän
khoâng caét maët caàu
Khi ( ) cắt mặt cầu (S) thì giao tuyến là đường tròn (C):
Phương trình là:
2 2 2 2
0( ) :
Ax By Cz DC
x a y b z c R
Tâm H là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu I lên mặt phẳng ( )
Bán kính 2 2 ( , )r R d I
3. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện :
Tâm I và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD :
2 2
2 2
2 2
;
IA IB
IA IC R IA
IA ID
VD: Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0), B(3; 1; 2), C(-1; 1; 2) và
D(1; -1; 2). ĐS: 2 2 2
1 1 2 4x y z
Cách 1: Gọi I(x; y; z)
2 2
2 2
2 2
1;1;1 , 2
IA IB
IB IC I R IA
IC ID
Cách 2:
Gọi phương trình mặt cầu là: 2 2 2 2 2 22 2 2 0 0x y z ax by cz d a b c d
Mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D nên:
2 2 2 0
6 2 4 14 01; 2; 2
2 2 4 6 0
2 2 4 6 0
a b d
a b c da b c d
a b c d
a b c d
Kết luận: Phương trình mặt cầu là: 2 2 2
1 1 2 4x y z
VI. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ
1. Định nghĩa : Trong không gian Oxyz, cho hai véctơ 1 2 3 1 2 3( ; ; ), ( ; ; )a a a a b b b b .
I
H
R
M
HM
R
I
I
R
rH
M
)(S
)(S
)(S
)(C
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
Tích có hướng của hai véctơ a và b là một véctơ, kí hiệu là ,a b
, và được xác định như sau :
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
, ; ;
b b b
a a a a a aa b
b b b
2. Tính chất :
1. a cùng phương với b , 0a b
2. ,a b
vuông góc với cả hai véctơ a và b
3. , ,b a a b
4. , . .sin( ; )a b a b a b
3. Các ứng dụng :
1. Xét sự đồng phẳng của ba véctơ : Ba véctơ ; ; a b c đồng phẳng , . 0a b c
Bốn điểm A, B, C, D tạo thành tứ diện , . 0AB AC AD
2. Tính diện tích tam giác : 221 1
, . .2 2
ABCS AB AC AB AC AB AC
3. Tính thể tích hình hộp : . ' ' ' ' , .ABCD A B C DV AB AC AD
4. Tính thể tích tứ diện : 1
, .6
ABCDV AB AC AD
5. Tìm tọa độ chân đường cao của tứ diện : AH là đường cao của tứ diện ABCD. Tọa độ
điểm H cho bởi :
. 0
. 0
, , [ , ] 0
AH BC AH BC
AH BD AH BD
BC BD BH BC BD BH
ñoàng phaúng
BÀI TẬP
1. Cho A(3; 4; −1); B(2; 0; 3); C(−3; 5; 4). Tìm độ dài các cạnh của tam giác ABC. Tính cosin
các góc A, B, C. Tính diện tích tam giác ABC. ĐS: 33; 51; 62;AB BC CA
45 4011 21cos ;cos ;cos ;22046 1683 3162
A B C S
2. Cho tam giác ABC với A(1; 2; −1), B (2; −1; 3), C(−4; 7; 5). Tính độ dài đường phân giác
trong góc B. ĐS: 15143
BD
3. Cho a = (2; 3; 1), b = (5; 7; 0), c = (3; −2; 4 ). CMR: a , b , c không đồng phẳng.
Cho d = (4; 12; 3). Hãy phân tích vectơ d theo 3 vectơ a , b , c .
ĐS: , . 35 0;a b c d a b c
4. Cho A(1; 2; 4), B(2; −1; 0), C(−2; 3; −1). Gọi M(x, y, z) ∈ (ABC). Tìm hệ thức liên hệ giữa x,
y, z. Tìm tọa độ điểm D biết ABCD là hình bình hành và tính diện tích hình bình hành ABCD.
HD + ĐS: 19 17 8 29 0; ( 1;0; 5); 714ABCx y z D S
5. Cho tứ diện ABCD với A(2; 3; 1), B(1; 1; −2), C(2; 1; 0), D(0; −1; 2). Đường cao AH. Tìm
tọa độ H và độ dài AH. ĐS: 143 13; ; ;2 2 2
H AH
6. Cho A(1; 2; −1). Tìm B đối xứng với A qua Oxy và C đối xứng với A qua Oz. Tính S△ABC.
a
b
,a b
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
§2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
ĐS: (1;2;1); ( 1; 2; 1); 2 5B C S
7. Cho A(1; 2; −1), B(4; 3; 5). Xác định M thuộc Ox, sao cho M cách đều A, B. ĐS: (0;0;4)M
8. Cho A(−4; −1; 2), B(3; 5; −1). Tìm C biết trung điểm của AC thuộc Oy và trung điểm của BC
thuộc Oxz. ĐS: (4; 5; 2)C
9. Cho A(−1; 2; 7), B(5; 4; −2). AB cắt Oxy tại M. Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số nào? Tìm tọa
độ M. ĐS: 7 3211; ( ; ;0)2 3 9
k M
10. Cho 0v . Gọi α , β , γ là 3 góc tạo bởi v với Ox, Oy, Oz. CMR: cos2α + cos
2β + cos
2γ = 1.
HD: ( ; ; ) (0;0;0);cos cos( ; );...v a b c v i
I. VÉCTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG
Véctơ 0n được gọi là véctơ pháp tuyến của mp ( ) nếu giá của n vuông góc với mp ( ) ,
kí hiệu là ( )n .
Nếu hai véctơ a và b không cùng phương và giá của
chúng song song hoặc nằm trên mp ( ) (ta còn gọi hai
véctơ a và b là cặp véctơ chỉ phương của mp ( ) ) thì
mp ( ) nhận ;n a b
làm véctơ pháp tuyến.
II. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. Phương trình tham số : Mặt phẳng ( ) đi qua 0 0 0( ; ; )M x y z và có cặp VTCP 1 2 3( ; ; ),a a a a
1 2 3( ; ; )b b b b có phương trình tham số là :
0 1 1 1 2
0 2 1 2 2 1 2
0 3 1 3 2
( , )
x x a t b t
y y a t b t t t
z z a t b t
2. Phương trình tổng quát :
Mặt phẳng ( ) đi qua 0 0 0( ; ; )M x y z và có VTPT ( ; ; )n A B C có
phương trình tổng quát là :
0 0 0( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z
Mỗi mặt phẳng đều có phương trình tổng quát dạng :
0Ax By Cz D với 2 2 2 0A B C (1)
Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (1) đều là phương trình của
một mặt phẳng và mặt phẳng đó có một VTPT là ( ; ; )n A B C .
3. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn :
Mặt phẳng ( ) không đi qua gốc tọa độ O
và cắt Ox tại ( ;0;0)A a , cắt Oy tại (0; ;0)B b
cắt Oz tại (0;0; )C c có phương trình là :
( ) : 1x y z
a b c .
A
B
C
ab
c
O
x
y
z
0M
( ; ; )n A B C
[ , ]n a b
ab
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
4. Các dạng chính tắc :
Mặt phẳng ( ) Phương trình VTPT
1 Qua gốc tọa độ Ax + By + Cz = 0 (D = 0) ( ; ; )n A B C
2 Song song Ox hay vuông góc (Oyz) By + Cz + D = 0 (0; ; )n B C
3 Qua (chứa) Ox By + Cz = 0 (0; ; )n B C
4 Song song Oy hay vuông góc (Oxz) Ax + Cz + D = 0 ( ;0; )n A C
5 Qua (chứa) Oy Ax + Cz = 0 ( ;0; )n A C
6 Song song Oz hay vuông góc (Oxy) Ax + By + D = 0 ( ; ;0)n A B
7 Qua (chứa) Oz Ax + By = 0 ( ; ;0)n A B
8 Vuông góc Oz hay song song (Oxy) Cz + D = 0 (0;0; )n C
9 Trùng (Oxy) z = 0 (0;0;1)n
10 Vuông góc Ox hay song song (Oyz) Ax + D = 0 ( ;0;0)n A
11 Trùng (Oyz) x = 0 (1;0;0)n
12 Vuông góc Oy hay song song (Oxz) By + D = 0 (0; ;0)n B
13 Trùng (Oxz) y = 0 (0;1;0)n
5. Chùm mặt phẳng :
Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai
mặt phẳng ( ) và ( ) được gọi là một chùm mặt phẳng.
Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng
1 1 1 1( ) : 0A x B y C z D và 2 2 2 2( ) : 0A x B y C z D .
Khi đó mỗi mặt phẳng (P) chứa (d) có phương trình dạng :
2 2
1 1 1 1 2 2 2 2( ) ( ) 0, 0m A x B y C z D n A x B y C z D m n
III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG
Cho hai mặt phẳng 1 1 1 1( ) : 0A x B y C z D và 2 2 2 2( ) : 0A x B y C z D .
1. ( ) cắt ( ) 1 1 1 2 2 2: : : :A B C A B C ; 2. ( ) // ( ) 1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
3. ( ) ( ) 1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D ; 4. ( ) ( ) A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0
IV. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Góc giữa hai mặt phẳng 1 1 1 1 1( ) : 0A x B y C z D
và 2 2 2 2 2( ) : 0A x B y C z D là góc (với 0 00 90 )
thỏa mãn : 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 2 1 1 1 2 2 2
.cos
.
n n A A B B C C
n n A B C A B C
trong đó 1 2;n n là hai véctơ pháp tuyến của 1 2( );( ) .
V. KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ điểm 0 0 0 0( ; ; )M x y z đến mặt phẳng ( ) : 0Ax By Cz D là
0 0 0
2 2 2( , )
Ax By Cz Dd M
A B C
VD: Lập phương trình mặt cầu tâm I(3; 2; 1), tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x + 2y + 2z – 3 = 0
P
d
2 2 2 2( ; ; )n A B C
1 1 1 1( ; ; )n A B C
00 900
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
ĐS: 2 2 2 64
3 2 19
x y z
2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song : ( , ) ( , ), ( )d d M M .
3. Khoảng cách từ 0 0 0 0( ; ; )M x y z đến các mặt phẳng tọa độ :
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tọa độ là
0 0 0 0( ; ; )M x y z
Oxy 0;d M mpOxy z
Oxz 0;d M mpOxz y
Oyz 0;d M mpOyz x
BÀI TẬP MẪU
ĐS: 2 3 3 0x y z
ĐS: 11 7 2 21 0x y z
ĐS: 02 1 0; 60x y z
ĐS: 11 2 15 3 0x y z
ĐS: ( ) :3 0P x y hoặc ( ) : 3 0P x y
ĐS: ( ) : 26 3 3 0x y z hoặc ( ) : 26 3 3 0x y z
ĐS: 1max3
a b c d
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
ĐS: 31,( ) ;22
d O d m
ĐS: 15; 10 22 45 0V x y z
1 2( ) :3 2 6 21 0;( ) :189 28 48 591 0x y z x y z
ĐS: 1 2( ) : 5 1 0;( ) :5 17 19 27 0x y z x y z
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1. Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa gốc tọa độ O và vuông góc với :
( ) : 7 0,( ) :3 2 12 5 0P x y z Q x y z . ĐS: ( ) : 2 3 0x y z
2. Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua (1;2;1)M và chứa giao tuyến của :
( ) : 1 0,( ) : 2 3 0P x y z Q x y z . ĐS: ( ) : 2 2 1 0x y z
3. Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa 3 0
:3 2 1 0
x y z
x y z
vuông góc với mặt phẳng
( ) : 2 3 0P x y z . ĐS: ( ) :3 4 47 0x y z
4. Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4). Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Tính khoảng cách
từ O đến mặt phẳng (ABC). Viết phương trình mặt phẳng qua O, A song song với BC.
ĐS: ( ) : 9 0; ,( ) 3 3;( ) :10 17 0ABC x y z d O ABC x y z
5. Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4). Viết phương trình mặt phẳng qua C, A và vuông góc với
( ) : 2 3 1 0x y z . ĐS: ( ) : 1 0x y z
6. Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4). Viết phương trình mặt phẳng qua O và vuông góc với
( ) : 2 3 1 0x y z và ( )ABC . ĐS: ( ) :5 2 3 0x y z
7. Cho hai mặt phẳng ( ) : 2 3 1 0,( ) : 5 0x y z x y z và điểm M(1; 0; 5). Tính
khoảng cách từ M đến ( ) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của ( ) , ( )
đồng thời vuông góc với mặt phẳng (Q) : 3x – y + 1 = 0.
ĐS: 18
,( ) ;( ) :3 9 13 33 014
d M P x y z
8. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1; 1; 3), B(-1; 3; 2), C(-1; 2; 3). Tính
khoảng cách từ O đến (P). Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện OABC.
ĐS: 3 3( ) : 2 2 9 0; ,( ) 3; ;2 2ABC OABCP x y z d O P S V
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
9. Cho A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3). Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của OA và BC. P
và Q là hai điểm nằm trên OC và AB sao cho 2
3
OB
OC và hai đường thẳng MN và PQ cắt
nhau. Viết phương trình mặt phẳng (MNPQ) và tìm tỉ số .AQ
AB
ĐS: 2( ) : 6 3 6 0;3
MNPQ x y z k
10. Tìm trên Oy các điểm cách đều hai mặt phẳng ( ) : 1 0;( ) : 5 0P x y z Q x y z .
ĐS: (0; 3;0)M
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
§3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
I. VÉCTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG
1. Véctơ 0u được gọi là VTCP của đường thẳng d nếu giá của
u song song hoặc trùng với d.
2. Nhận xét :
Mỗi đường thẳng có vô số véctơ chỉ phương, các véctơ này cùng phương với nhau.
Nếu u là một VTCP của đường thẳng d thì . ( )k u k R cũng là một VTCP của đường thẳng d.
Hai véctơ a và b không cùng phương và cùng vuông góc với đường thẳng d thì ;a b
là một
VTCP của d.
II. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Đi qua VTCP Phương trình Ghi chú
Đường
thẳng
d
0 0 0( ; ; )M x y z
1 2 3( , , )u a a a
1) Phương trình tham số :
0 1
0 2
0 3
; ( )
x x a t
y y a t t
z z a t
2) Phương trình chính tắc :
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
Nếu mẫu bằng 0 thì tử
bằng 0. ( ; ; )A A AA x y z
( ; ; )B B BB x y z
AB 3) A A A
B A B A B A
x x y y z z
x z y y z z
Giao tuyến
của hai mặt
phẳng
4) Phương trình tổng quát :
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
với
1 1 1 2 2 2: : : :A B C A B C
5) Phương trình của các trục tọa độ :
Trục Ox có VTCP 1;0;0 : 0
0
x t
i Ox y
z
Trục Oy có VTCP
0
0;1;0 :
0
x
j Oy y t
z
Trục Oz có VTCP
0
0;0;1 : 0
x
k Oz y
z t
6) Chuyển dạng phương trình tổng quát sang dạng tham số, chính tắc :
u
d
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
VTPT của hai mặt phẳng là :
1 1 1 1
2 2 2 2
; ;
; ;
n A B C
n A B C
VTCP của d : 1 2,u n n
Tìm điểm 0 0 0 0( ; ; ) ( ) ( )M x y z Phương trình chính tắc : 0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
Đặt tỉ số này bằng t Phương trình tham số
III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Giả sử : 1
2
qua v có l
qua v có l
d A à VTCP à u
d B à VTCP à v
1. 1d và 2d chéo nhau 3 véctơ ; ; u v AB không đồng phẳng ; . 0u u AB
.
2. 1d và 2d cắt nhau 3 ; ;
2 ;
u v AB
u v
veùctô khoâng ñoàng phaúng
veùctô khoâng cuøng phöông
; 0
; . 0
u v
u v AB
3. 1d song song 2d ; 0
; 0
u v
u AB
4. 1d trùng 2d ; 0
; 0
u v
u AB
5. d1 d2 . 0u v 6. d1 và d2 đồng phẳng , 0u v AB
IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
+ Đường thẳng 0 0 0qua ( ; ; )
:có là ( ; ; )
M x y zd
VTCP u a b c
. + Mặt phẳng ( ) có VTPT là ( ; ; )n A B C
1. d cắt ( ) . 0u n ; 2. d song song với . 0
( )( )
u n
M P
3. d nằm trong . 0
( )( )
u n
M P
; 4. ( ) : : : :d n u a b c A B C cuøng phöông vôùi
V. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
1. Góc giữa hai đường thẳng :
+ d1 đi qua M1(x1; y1; z1) và có VTCP 1 2 3( ; ; )u a a a
+ d2 đi qua M2(x2; y2; z2) và có VTCP 1 2 3( ; ; )v b b b
n
M du
n
M
du
u n
n
M du
A
B u
1d
2dv
Au
v
1d
2d
B
A B u v1d
2d
u
v
A
B
1d
2d
1 2 3( ; ; )u a a a
1d
2d1 2 3( ; ; )v b b b
00 900
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
Góc 0 00 ;90 giữa d1 , d2 xác định bởi :
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.cos cos( , )
.
u v a b a b a bu v
u v a a a b b b
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
+ d đi qua M0(x0; y0; z0) và có VTCP ( ; ; )u a b c
+ mp(α) có VTPT ( ; ; )n A B C
Góc 0 00 ;90 giữa d và mp(α) xác định bởi :
2 2 2 2 2 2
.sin cos( , )
.
u n aA bB cCu n
u n a b c A B C
VI. KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng :
Khoảng cách từ điểm ( ; ; )M M MM x y z đến mặt phẳng ( ) : 0Ax By Cz D là :
2 2 2
, ( )M M MAx By Cz D
d MA B C
Nếu ( ) song song với ( ) thì ( ),( ) ( ),( )d d M
Nếu đường thẳng song song với mp ( ) thì , ( ) , ( )d d M
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :
Cho đường thẳng đi qua A và có VTCP u .
Khoảng cách từ điểm ( ; ; )M M MM x y z đến đường thẳng là :
[ , ]
, ( )AM u
d Mu
VD: Lập phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; 1), tiếp xúc với đường thẳng 1 1 2
( ) :2 1 2
x y z
ĐS: 2 2 2
1 2 1 9x y z
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :
Giả sử 1
2
qua và có là
qua và có là
A VTCP u
B VTCP v
Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 và 2 là :
1 2
[ , ].,
[ , ]
u v ABd
u v
VII. HÌNH CHIẾU VÀ SỰ ĐỐI XỨNG
1. Điểm
Điểm M(x; y; z) Điểm M(x; y; z)
Chiếu lên Tọa độ là Đối xứng qua Tọa độ là
Ox (x; 0; 0) Ox (x; y; z)
Oy (0; y; 0) Oy (x; y; z)
Oz (0; 0; z) Oz (y; x; z)
( ; ; )n A B C
d
( ; ; )u a b c
0 00 90
A
B
u
v
1
2
Hu
0 0 0( ; ; )A x y z
M
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
mp(Oxy) (x; y; 0) mp(Oxy) (x; y; z)
mp(Oxz) (x; 0; z) mp(Oxz) (x; y; z)
mp(Oyz) (0; y; z) mp(Oyz) (x; y; z)
Gốc tọa độ (x; y; z)
2. Đường thẳng
Hình chiếu lên mặt phẳng tọa độ Phương trình
của đường
thẳng d
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t
z z a t
Oxy
0 1
0 2
0
x x a t
y y a t
z
Oxz
0 1
0 3
0
x x a t
y
z z a t
Oyz 0 2
0 3
0x
y y a t
z z a t
VIII. GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
B1. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp
B2. Xác định tọa độ các điểm cần dùng.
B3. Sử dụng kiến thức tọa độ giải toán.
VD: Bài 10/81 SGK – ban cơ bản. Giải bài toán sau bằng phương pháp toạ độ: