Lugar de Las Raices

Sobre el Lugar de las Raíces

Por Carlos A. Pérez

GeneralidadesFunción de Transferencia de Lazo Cerrado

)().(1

)(

)(

)(

sHsG

sG

sR

sC

H(s)

G(s)+-

R(s) C(s)

Ecuación Característica

• Es el denominador de la función de transferencia de lazo cerrado• Sus raíces o ceros son entonces los valores de s que

satisfacen 1+G(s).H(s)=0, es decir, G(s)H(s)=-1

)().(1

)(

)(

)(

sHsG

sG

sR

sC

Plano GH

Ecuación característica

)().(1

)(

)(

)(

sHsG

sG

sR

sC

1 + G(s).H(s)=0

G(s).H(s) = -1

-1real

imag.

1

Condiciones de módulo y ángulo

|G(s)H(s)| = 1

G(s)H(s) = -180°

Los valores de s que son raíces de la ecuación característica hacen cumplir en el plano GH las condiciones de ángulo y módulo

Respuesta del sistema

• Los polos de lazo cerrado son, entonces, los ceros o raíces de la ecuación característica• La posición de los polos de lazo cerrado influyen

directamente en la respuesta del sistema• Los valores de s que satisfacen G(s)H(s)=-1 pueden

localizarse en cualquier punto del plano s• ¿Cómo influyen en la respuesta?

C(s) G(s)---- = --------------R(s) 1 + G(s).H(s)

Condición de Magnitud y Angulo• G(s)H(s)= -1• La magnitud o valor absoluto o módulo de G(s)H(s)

debe ser 1• El argumento de G(s)H(s) debe ser 180º

• La parte real de G(s)H(s) debe ser -1• La parte compleja de G(s)H(s) debe ser 0.j

Ganancia K

0)(

)(.1)()(1

sQ

sPKsHsG

En muchos casos, es posible escribir la ecuación característica 1+G(s)H(s) de la siguiente manera

0))...()((

))...()((1

21

21

n

m

pspsps

zszszsK

Explicación de K• Si tenemos un polinomio P(s)=0• Se puede factorear como

Donde A = coeficiente de mayor grado de “s”Z1,…,Zm = raíces de P(s)

0))...()(( 21 mzszszsA

Explicación de K• Si tenemos un polinomio Q(s)=0• Se puede factorear como

Donde B = coeficiente de mayor grado de “s”P1,…,Pm = raíces de Q(s)

0))...()(( 21 mpspspsB

Explicación de K• Al dividir ambas queda

Y llamando K = A/B (una constante) queda))...()((

))...()((

21

21

m

m

pspspsB

zszszsA

))...()((

))...()((

21

21

m

m

pspsps

zszszsK

Ganancia KK debe ser positivaK no puede ser complejaK representa toda una familia de curvas

0))...()((

))...()((1

21

21

n

m

pspsps

zszszsK

Polos y Ceros de Lazo Abierto

0))...()((

))...()((1

21

21

n

m

pspsps

zszszsK

ZZii= cero de lazo abierto, porque hace cero a G(s)H(s)

Pi=polo de lazo abierto, porque hace indeterminado a G(s)H(s)

Polos y Ceros de Lazo Abierto

0))...()((

))...()((1

21

21

n

m

pspsps

zszszsK

Los ceros de L.A. son constantes

Los polos de L.A. son constantes

Para un sistema dado..

¿Qué se grafica en el diagrama del lugar de las raíces?

0))...()((

))...()((1

21

21

n

m

pspsps

zszszsK

Se grafican las Se grafican las variaciones de “s” variaciones de “s” cuando varía la ganancia cuando varía la ganancia KK

¿Qué se grafica?

• Para cada K desde 0 a infinito• Graficar en un plano “s” los valores de las raíces de esa

ecuación por cada valor de K

• El diagrama obtenido se llama “Lugar de las Raíces”

01044

123

sss

K

Hay un problema…

01044

123

sss

K

01044 23 Ksss

Si queremos resolver analíticamente, debemos hallar el resolvente del polinomio y graficar cada raíz al variar KImposible para grado 4 y subsiguientes..

Método nemotécnico

• Permite hallar el diagrama SIN hallar su solución analítica.• Dependiendo del tipo de sistema, tiene de 6 a 9

pasos nemotécnicos.• El diagrama se “deduce”• Por lo tanto, no es “perfecto” sino “suficientemente

bueno”• Sólo los puntos de interés se calculan analíticamente

Paso 1• Dibujar en el plano s los polos y ceros de lazo abierto

Paso 2

• Determinar el lugar de las raíces sobre el eje real.• un punto forma parte del lugar de las raíces sobre un punto forma parte del lugar de las raíces sobre

el eje real si al contar la cantidad de polos y ceros el eje real si al contar la cantidad de polos y ceros de lazo abierto a su derecha dicho número es de lazo abierto a su derecha dicho número es impar. impar. • De lo contrario, ese punto no forma parte del De lo contrario, ese punto no forma parte del

lugar de las raíces. lugar de las raíces.

Paso 3 - Asintotas

• Cálculo de las asíntotas.• las ramas del lugar de las raíces tocan a las

asíntotas en el infinito• en hallar dos elementos de las asíntotas: el punto

donde se encuentran (punto de nacimiento) y el ángulo con que salen de dicho punto.

Paso 3 - Asíntotas• Para k=0,1,2,3,… a infinito.• m= orden de P(s)• n= orden de Q(s)• Angulo de las asíntotas

• Origen de las asíntotas

mn

k

)12(º180

mn

finitoscerosfinitospolosa

Paso 4 – Puntos de ruptura

Paso 4 – Puntos de ruptura• Por ejemplo, en el sistema siguiente:

Reescribir K=f(s)

Los puntos de ruptura estarán en las raíces de dK/ds=0

01044

123

sss

K

)1044( 23 sssK

Paso 5• Hallar los puntos sobre el eje imaginario del plano “s”

donde las ramas cortan al mismo• En la ecuación característica se hace s=jw, • se iguala a cero la parte real y la imaginaria

obteniendo 2 ecuaciones• se resuelve para w y K. • w da la frecuencia en el punto de corte del eje

imaginario, y K el valor de la ganancia en dicho punto.

Paso 6

• Visualmente, “inferir” el diagrama• Las ramas salen del punto de ruptura

tangencialmente a 90 grados• Deben pasar por los puntos de corte en el eje

imaginario• Deben ir a “buscar” las asíntotas del diagrama