BAB IV APLIKASI INTEGRAL TERTENTU Standar Kompetensi Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami penggunaan integral tertentu dalam masalah-masalah praktis. Kompetensi Dasar 1. Mahasiswa dapat menghitung luas suatu luasan dengan menggunakan integral tertentu. 2. Mahasiswa dapat menentukan volume benda putar dengan menggunakan integral tertentu. 3. Mahasiswa dapat menentukan panjang busur suatu kurva dengan menggunakan integral tertentu 4. Mahasiswa dapat menentukan luas permukaan benda pejal dengan menggunakan integral tertentu. Bab IV buku ini membahas hal-hal pokok yang berkaitan dengan aplikasi integral tertentu, antara lain: (1) luas suatu luasan, (2) volume benda putar (3) menentukan panjang busur dan 4) luas permukaan. Integral tertentu dengan berbagai macam sifat-sifatnya yang telah dibahas pada pasal sebelumnya dapat digunakan untuk menentukan selesaian masalah-masalah praktis dalam kehidupan nyata. Beberapa diantara penggunaan integral yang di bahas dalam buku ini adalah menetukan luas suatu luasan, Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 105
40
Embed
Luasan didefinis - Web viewSetelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami penggunaan integral tertentu dalam masalah-masalah ... Pembahasan
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
BAB IV
APLIKASI INTEGRAL TERTENTU
Standar Kompetensi
Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami
penggunaan integral tertentu dalam masalah-masalah praktis.
Kompetensi Dasar
1. Mahasiswa dapat menghitung luas suatu luasan dengan menggunakan integral
tertentu.
2. Mahasiswa dapat menentukan volume benda putar dengan menggunakan integral
tertentu.
3. Mahasiswa dapat menentukan panjang busur suatu kurva dengan menggunakan
integral tertentu
4. Mahasiswa dapat menentukan luas permukaan benda pejal dengan menggunakan
integral tertentu.
Bab IV buku ini membahas hal-hal pokok yang berkaitan dengan aplikasi integral
tertentu, antara lain: (1) luas suatu luasan, (2) volume benda putar (3) menentukan
panjang busur dan 4) luas permukaan.
Integral tertentu dengan berbagai macam sifat-sifatnya yang telah dibahas pada
pasal sebelumnya dapat digunakan untuk menentukan selesaian masalah-masalah
praktis dalam kehidupan nyata. Beberapa diantara penggunaan integral yang di bahas
dalam buku ini adalah menetukan luas suatu luasan, menghitung volume benda pejal,
menentukan panjang busur suatu kurva yang telah ditentukan persamaannya, dan
menentukan luas permukaan benda putar.
Untuk memperjelas masing-masing pembahasan tentang penggunaan integral
tertentu, penulis menggunakan beberapa ilustrasi dan gambar yang diharapkan gambar
tersebut akan memudahkan pembaca untuk memahaminya. Pembahasan selengkapnya
adalah sebagai berikut:
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 105
)(xfy )(yfx
ax bx
dy
cy
Y
XX
Y
RR
4.1 Luas Suatu Luasan
Luasan didefinisikan sebagai suatu daerah dalam bidang XOY dengan
persamaan y= f ( x ) atau x=g( y ) atau y= f ( x ) , x=g( y )yang berbatasan dengan
sumbu-sumbu koordinat atau garis yang sejajar sumbu koordinat. Luasan dalam bidang
dapat dikelompokkan menjadi luasan positip dan luasan negatip. Luasan positip adalah
luasan dengan persamaan y= f ( x ) dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di atas
sumbu X atau luasan dengan persamaan x=g( y ) dan sumbu-sumbu koordinat yang
terletak disebelah kanan sumbu Y . Berikut ini gambar luasan positip yang dimaksud.
Gambar 4.1
Luasan negatif adalah luasan dengan persamaan y=f ( x ) dan sumbu-sumbu
koordinat yang terletak di bawah sumbu X atau luasan dengan persamaan x=g( y )
dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak disebelah kiri sumbu Y . Berikut ini gambar
luasan negatif tersebut.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 106
)(xfy )(yfx
ax bx dy
cy
Y
X
X
Y
R R
Y
R
)(xfy
Xax bx
Gambar 4.2
Luasan positip dan negative sebagaimana telah dijelaskan di atas, pembatasn
juga dapat terjadi bukan hanya satu kurva tetapi dapat juga berupa dua kurva sekaligus,
misalnya y2=f (x ) dan y2=g( x ) . Pembahasan dalam buku ini diawali dengan
menentukan luas luasan menggunakan integral untuk daerah yang dibatasi oleh satu
kuva.
a. Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat.
Perhatikan gambar 4.3 dibawah ini
Gambar 4.3
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 107
R sebagaimana terlihat pada gambar 4.3 adalah luasan yang dibatasi oleh kurva-
kurva y= f ( x ) , x=a , x=b . Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan R
dinyatakan dengan
A( R )=∫a
b
f ( x )dx
Jika luasan terletak di bawah sumbu X maka integral tertentu di atas bernilai negatif,
karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut
dimutlakkan. Sehingga luas luasan daerah negatif dinyatakan dalam bentuk
A( R )=∫
a
b
− f ( x ) dx=|∫a
b
f ( x )dx|
Untuk menghitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti langkah-langkah
sebagai berikut :
a) Gambar luasan yang akan ditentukan luasnya sehingga tampak jelas batas-batasnya
dan mudah dilihat.
b) Buatlah garis-garis yang sejajar sumbu X atau sumbu Y , selanjutnya bagilah luasan
dalah bidang yang disebut partisi dan berikan nomor pada masing-masing partisi
yang terbentuk.
c) Hampiri luas masing-masing partisi tertentu tersebut dengan menggunakan luas
persegi panjang
d) Jumlahkan luas masing-masing partisi pada luasan yang telah dibentuk.
e) Dengan menggunakan limit dari jumlah luas partisi diatas dengan lebar masing-
masing partisi menuju 0, maka diperoleh integral tertentu yang menrupakan luas
luasan.
Contoh:
1) Segitiga ABC terletak pada XOY , titik-titik sudutnya dinyatakan dalam koordinat
kartesius yaitu A(0,0 ), A(3,0 ) dan C (3,7) . Dengan menggunakan integral tertentu
tentukan luas segitiga ABC.
Jawab
Gambar segitiga ABC adalah
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 108
X
Y
)0,3(B)0,0(A
)7,3(C
Gambar 4.4
Persamaan garis AC dinyatakan dengan rumus
y− y A
x−x A=
y c − y A
xc−x A
Diperoleh persamaan
y−0x−0
=7−03−0
3 y=7 x atau y=7 x3
Sehingga luas yang dicari dinyatakan dengan A( R )=∫
a
b
f ( x ) dx
⇔∫0
37 x3
dx=(76
x2)0
3=( 7
69)=10 , 5
2) Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva y=4−x2 dan sumbu-sumbu
koordinat.
Jawab
Luasan y=4−x2 yang dibatasi sumbu-sumbu koordinat gambarnya adalah
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 109
X2 2
Y
24 xy
R
Gambar 4.5
Tampak pada gambar 4.5 di atas luasan yang diketahui ( R )berada di atas sumbu x
sehingga luasnya dapat dinyatakan dengan menggunakan integral yaitu:
A( R )=∫a
b
f ( x )dx
⇔∫−2
2
( 4− x2 ) dx
⇔2∫0
2
(4−x2 ) dx
⇔2(4 x−13
x3)0
2
⇔2(4 . 2−13
.23)−2(4 .0−13
.03)⇔2(8−8
3 )=323
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 110
R X
Y
4x
2yx
3) Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva x= y2 dan garis x=4
Gambar 4.6
Dengan cara yang sama luas luasan di atas dinyatakan dengan
∫0
4
f ( x )dx +∫0
4
− f ( x )dx
⇔∫
0
4
f ( x )dx +∫0
4
−f (x )dx
⇔∫
0
4
√ x dx +∫0
4
−(−√ x ) dx
⇔2∫
0
4
√ x dx
⇔2( 2
3x3 /2)
0
4
= 43
.8=323
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 111
R)(yfx
Y
X
c
d
Selanjutnya, perhatikan gambar luasan berikut ini :
Gambar 4.7
Luasan R pada gambar 4.7 di atas dibatasi oleh kurva x=g( y ), y=c , y=d , dan x=0 .
Dengan integral tertentu luas luasan R yang berada disebelah kanan sumbu x dinyatakan
dalam bentuk
A( R )=∫c
d
g( y )dy
Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu x maka integral tertentu di atas bernilai
negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut
dimutlakkan, sehingga diperoleh:
A( R )=∫c
d
−g( y )dx=|∫c
d
g( y )dy|
Contoh
1) Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva x= y2 dan garis y=−2, y=2
Jawab
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 112
R X
Y
2y
2yx 2y
Luasan x= y2 dan garis y=−2, y=2 dapat digambarkan sebagai berikut:
Gambar 4.8
Sehingga luas luasan tersebut adalah
A( R )=∫
c
d
g( y )dy
⇔∫−2
2
y2 dy
⇔2∫0
2
y2 dy
⇔2(13 y3)
0
2=
163
b. Daerah antara dua kurva
Daerah antara dua kurva adalah luasan yang pembatsanya adalah y= f ( x )dan
y=g (x ) denganf ( x )≥g( x )pada selang [ a ,b ] . Sepertihalnya luasan yang dibatasi oleh
satu kurva, luasan yang dibatasi dua kurva dapat berupa luasan positip dan luasan
negatip. Dengan demikian aturan menentukan luas luasan dengan integral pada luasan
yang dibatasi satu kurva juga berlaku untuk luasan yang dibatasi oleh dua kurva.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 113
X
Y
ax bx
)(xgy
)(xfy
)()( xgxf
x
Perhatikan gambar 4.9 berikut ini.
Gambar 4.9
ΔA≈ ( f ( x )−g( x )) ΔxSehingga luas luasan dinyatakan dengan:
A( R )=∫a
b
( f ( x )−g ( x ))dx
Rumus di atas berlaku untuk luasan di atas sumbu x, jika luasannya disebelah kanan
sumbu y, maka luas luasan yang dibatasi oleh dua kurva dinyatakan dengan
A( R )=∫c
d
( f ( y )−g( y ))dy
Soal-soal
Gunakah integral tertentu untuk menentukan luas luasan berikut.
1. Luasan R dibatasi oleh kurva y=x2−2 dan
y=2 x2+x−4
2. Luasan R dibatasi oleh kurva-kurva y=x , y=2 x dan
y=5−x
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 114
X
Y
ba
)(xfy
3. Luasan R dibatasi oleh kurva y=√x dan y=−x+6
4. Luasan R dibatasi oleh kurva-kurva y=x+6 , y=x3 dan 2 y+ x=0 .
Kemudian hitunglah luasnya.
5. Luasan R dibatasi oleh kurva y2=4−x dan y
2=4−4 x
4.2 Volume Benda Putar
a. Pemutaran mengelilingi sumbu X
Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh y=f ( x ) , x=a , x=b Selanjutnya R
diputar mengelilingi sumbu x . Lintasan kurva karena mengelilingi sumbu x
membentuk bangun berupa benda padat (pejal). Dengan menggunakan integral tertentu
volume benda padat tersebut dapat didekati dengan menggunakan rumus:
V=π∫a
b
y2 dx.
Gambar 4.10
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 115
Gambar 4.11
Jika R dibatasi oleh dua kurva yaitu y1=f (x ), y2=g( x ) , x=a , x=b . Dengan
y1≥ y2 Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu x , maka terbentuk benda pejal yang
volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:
V=π∫a
b
( y12− y2
2 ) dx
Gambar 4.12
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 116
X
Y
)( yfx
dy
cy
b. Pemutaran mengelilingi sumbu Y
Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh x=g( x ) , y=c , y=d Selanjutnya R
diputar mengelilingi sumbu x. Lintasan kurva akan membentuk bangun berupa benda
pejal. Benda tersebut volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu
yaitu: V=π∫
c
d
x2 dy.
Gambar 4.13
Gambar 4.14
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 117
Gambar 4.15
Jika R dibatasi oleh dua kurva yaitu x1= f ( x ) , x2=g( x ), y=c , y=d . Dengan
x1≥x2 Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu y , maka terbentuk benda pejal yang
volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:
V=π∫c
d
(x12−x2
2) dy
Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan besar
volume adalah hasilkali luas alas (luas lingkaran) dan tinggi tabung. Volume dari benda
putar secara umum dapat dihitung dari hasilkali antara luas alas dan tinggi. Bila luas
alas dinyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar adalah panjang selang [ a,b ] maka
volume benda putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut :
V=∫a
b
A ( x )dx
Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah
diputar terhadap suatu sumbu, dilakukan dengan menggunakan dua buah metode yaitu
metode cakram dan kulit tabung.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 118
Metode Cakram
Misal daerah dibatasi oleh diputar dengan
sumbu putar sumbu x . Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan
memandang bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga
cakram yang berpusat di titik-titik pada selang [ a , b ] .
Misal pusat cakram (x0 ,0 )dan jari-jari r=f (x0 ) . Maka luas cakram dinyatakan :
A (x0 )=πf 2 (x0 )Oleh karena itu, volume benda putar :
V=∫a
b
π ( f ( x ))2 dx
Sedang bila grafik fungsi dinyatakan dengan x=g( y ), x=0 , y=c dan y=d diputar
mengelilingi sumbu y maka volume benda putar :
V=∫c
d
π ( g( y ))2 dy
Bila daerah yang dibatasi oleh y=f ( x )≥0 , y=g ( x )≥0 , f ( x )≥g (x )untuk setiap
x∈ [ a , b ] , x=a dan x=b diputar dengan sumbu putar sumbu X maka volume:
V=∫a
b
π ( f 2( x )−g2( x )) dx
Bila daerah yang dibatasi oleh x= f ( y )≥0 , x=g ( y )≥0 , f ( y )≥g ( y ) untuk setiap
y∈ [ c , d ] , y=c dan y=d diputar dengan sumbu putar sumbu y maka volume :
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 119
V=∫c
d
π ( f 2( y )−g2 ( y )) dy
Contoh :
1. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh : y=x2 dan y
2=8 xdiputar mengelilingi
a. sumbu x .
b. sumbu y
Jawab :
Kedua kurva berpotongan di titik ( 0,2 ) dan ( 2,4 ).
a. Pada selang [ 0,2 ] ,√8 x≥x2 .
Volume benda diputar mengelilingi sumbu x dinyatakan oleh
V=π∫0
2
( (√8 x )2−( x2)2) dx=485
π
b. Pada selang [ 0,4 ] ,√ y≥ y2
8
Volume benda diputar mengelilingi sumbu y dinyatakan oleh
V=π∫0
2
( (√ y )2−( y2
8 )2) dy=48
5π
2. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva :
y=2−x2 , y=−x dan sumbu y bila diputar mengelilingi garis y=−2
Jawab :
Kedua kurva berpotongan di (−1,1 ) dan (2 ,−2 ) . Pada selang [−1,0 ] berlaku
2−x2≥−x .
Jarak kurva y=2−x2 , y=−x terhadap sumbu putar (garis y = -2) dapat
dipandang sebagai jari-jari dari cakram, berturut-turut adalah (4−x ) dan
(2−x ) .
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 120
Sehingga volume benda putarnya adalah:
V=π∫−1
0
( ( 4−x2)2−(2−x )2) dx=365
π
Metode Kulit Tabung
Metode kulit tabung sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda
putar yang mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan metode
cakram. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari kulit
luar dan dalamnya berbeda, maka volume yang akan dihitung adalah volume dari kulit
tabung. Untuk lebih memperjelas kita lihat uraian berikut.
Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut r1 dan
r2 , tinggi tabung h. Maka volume kulit tabung adalah :
ΔV =(πr2−πr1)h=2π rh Δr
dengan :r2−r1
2=r (rata−rata, jari− jari ) , r2−r1=Δr
Bila daerah yang dibatasi oleh y=f ( x ) , y=0 , x=a , x=b diputar mengelilingi sumbu
Y maka kita dapat memandang bahwa jari-jari r=x dan Δr=Δx dan tinggi tabung
h=f (x ) Oleh karena itu volume benda putar yang terjadi adalah
V=∫a
b
2 π xf ( x ) dx
Misal daerah dibatasi oleh kurva
y= f ( x ) , y=g ( x ) , f ( x )≥g ( x ) , x∈ [ a , b ] , x=a dan x=bdiputar mengelilingi sumbu y .
Maka volume benda putar
V=∫a
b
2 πx ( f ( x )−g (x )) dx
Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan x= f ( y ) , x=0 , y=c , y=d
diputar mengelilingi sumbu y , maka volume =
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 121
V=∫c
d
2 πy ( f ( y )) dy
Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh
x= f ( y ) , x=g ( y ) , f ( y )≥g( y ) , y∈ [ c , d ] , dan y=c dan y=d diputar mengelilingi
sumbu x . Maka volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan
V=∫c
d
2 πy ( f ( y )−g( y )) dx
Contoh :
1. Hitung volume benda putar bila daerah yang terletak di kuadran pertama dibawah
parabola
Jawab
y=2−x2 dan di atas parabola y=x2
diputar mengelilingi sumbu y .
V=2 π∫0
1
x [ (2−x2 )−x2 ] dx=π
Bila kita gunakan metode cakram, maka daerah kita bagi menjadi dua bagian yaitu :
pada selang 0≤ y≤1 dibatasi x=√2− y dan sumbu y sedang pada selang
dibatasi 1≤ y≤2
dan sumbu y . Oleh karena itu volume =
V=π∫0
1
(√ y )2 dx+π∫1
2
(√2− y )2 dy=π
2. Hitung volume benda putar bila daerah D yang dibatasi oleh y=1−x2 , sumbux
dan sumbu y bila diputar mengelilingi garis x = 1
Jawab
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 122
BPn
2P
Y
X
)(xfy iP
jP
APo
1P
Misal di ambil sembarang nilai x pada daerah D maka didapatkan tinggi benda
pejal, (1−x2 )dan jari-jari ( jarak x terhadap sumbu putar / garis x = 1 ), ( 1 + x ).
Oleh karena itu,
volume benda putar :
V=2 π∫−1
0
(1+x ) (1−x2) dx= 56
π
4.3 Panjang Busur
Gambar 4.16
Pada gambar 4.16, AB adalah suatu bagian kurva y=f ( x ) . Berdasarkan
definisi, AB merupakan limit penjumlahan dari panjang sekumpulan tali busur
AP1 , P1 P2 ,P3 P4 , . .. Pn−2 Pn−1 , Pn−1 B yang menghubungkan titik-titik pada busur itu. Jika
banyaknya titik-titik pada kurva y=f ( x )banyaknya menuju tak hingga maka panjang
tiap tali busur tersebut menuju nol.
Selanjutnya jika A( a , c )dan B(b ,d )sebarang dua titik pada kurva y= f ( x )dengan
turunan y= f ( x ) adalah y '= f ' ( x )yang masing-masing kontinu pada interval
a≤x≤b maka panjang tali busur dinyatakan oleh
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 123
s=∫AB
ds
=∫a
b
√1+(dydx )
2dx
Dengan cara yang sama, jika A( a , c )dan B(b , d )dua titik pada kurva yang
persamaannya dinyatakan dengan x=f ( y ) dengan x= f ( y ) turunannya adalah
x '=f ' ( y )yang masing-masing kontinu pada c≤ y≤d maka panjang busur AB
dinyatakan oleh
s=∫AB
ds
=∫c
d
√1+(dxdy )
2dy
Apabila persamaan kurva dinyatakan dalam bentuk persamaan parametrik
{x=f ( t )¿ ¿¿¿Dan jika syarat kontinuitasnya dipenuhi maka panjang tali busur AB dinyatakan oleh:
s=∫AB
ds
=∫t1
t 2
√(dxdt )
2+(dy
dt )2du
Contoh
1) Gunakan dengan teknik integral untuk menentukan panjang ruas garis y=2 x+3
antara titik (1,5) dan (3,9). Bandingkan hasilnya dengan menggunakan rumus jarak.
Jawab
Karena y=2 x+3 diperoleh
dydx
=2 sehingga
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 124
s=∫1
3
√1+(dydx )
2dx
⇔∫1
3
√1+(2 )2 dx
⇔ (√5 x )13=3√5−1√5=2√5
Dengan menggunakan rumus jarak yang menghubungkan dua titik
|AB|=√( X B −X A )2+(Y B−Y A)2
|AB|=√(3−1 )2+(9−5 )2
¿√4+16=√20=2√5Kedua cara memberikan hasil yang sama.
2) Tentukan panjang tali busur AB pada kurva y2=8 x2
jika A(0,0 ) dan B(1,2)
Jawab
Karena y2=8 x2
maka 2 y dy
dx=16 x
atau
dydx
=16 x√8 x2
dan berubah dari x=0 dan
x=1 sehingga
s=∫0
1
√1+(dydx )
2dx
⇔∫0
1
√1+(16 x√8 x2 )
2dx
⇔∫0
1
√1+(32 ) dx
=( x √33 )01
=(√33 )
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 125
3) Tentukan panjang tali busur AB pada kurva x=3 y3/2−1 untuk 0≤ y≤4 .
Jawab
Karena x=3 y3/2−1 maka
dxdy
=92 √ y
sehingga
S=∫c
d
√1+( dxdy )
2dy
⇔∫0
4
√1+( 92 √ y)
2dy
⇔∫0
4
√1+814
y dy
Dengan menggunakan substitusi .
Misal m=√1+
814
ydiperoleh
m2=1+814
y sehingga
2mdm=814
dy
Karena y=0 maka m=1 dan
Karena y=4 maka m=√90
Sehingga
⇔∫0
4
√1+814
y dy=∫1
√90
m( 8m81
dm)= 881 ( 1
3m3)
1
√90
= 881 (30√90−1
3 )4) Tentukan panjang tali busur pada kurva 24 xy=x4+8 antara x=1 dan x=2
Jawab
Karena 24 xy=x4+8 maka 24 ( xdy+ ydx )=4 x3dx
Atau (24 x ) dy=( 4 x3−24 y ) dx sehingga diperoleh
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 126
dydx
= 4 x3−24 y24 x
=24 x3−24( x4+8
24 x )24 x
= x4−168 x3
Karena y berubah dari x=1 dan x=2 sehingga
s=∫1
2
√1+( dydx )
2dx
⇔∫1
2 √1+( x4−168 x2 )dy
\
⇔∫1
2 √ 164 ( x4+16
x2 )2
dx
⇔∫1
218 (x2+16
x2 )dx
⇔ 18 ( 1
3x3−32
x )1
2
⇔ 18 ( 8
3−16)−1
8 ( 13−32)=1
8 (553 )=55
24
5) Tentukan panjang tali busur pada kurva x=1+t , y=2+3 t , 0≤t≤1
Jawab
Karena x=1+t maka
dxdt
=1 dan karena y=2+3 t maka
dydt
=3
Sehingga diperoleh
s=∫AB
ds
=∫t1
t 2
√(dxdt )
2+(dy
dt )2dt
⇔∫0
1
√ (1 )2+(3 )2 dt
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 127
⇔∫0
1
√10 dt
⇔ (t √10 )01=√10
Soal-soal
Tentukan panjang tali busur yang ditunjukkan oleh
1)y=2
3( x2+1 )3/2
antara x=1 dan x=2
2) y=( 4−x2/3)3/2 antara x=1 dan x=8
3) x=3 y3/2−1 antara y=0dan y=4
4) 6 xy=x4+3 antara x=1 dan x=2
5)x=3 t2+2 , y=2 t3−1
2, 1≤t≤4
6)x=4 sin t , y=4 cos t−5,0≤t≤ π
2
4.4 Luas Permukaan Benda Putar
Jika sebuah luasan R yang terbatas bidang XOY mengelilingi salah satu sumbu pada
bidangnya maka lintasan kurva tersebut membentuk benda pejal yang permukaannya
dapat ditentukan luasnya dengan menggunakan integral ternntu
Perhatikan gambar berikut.
R adalah suatu luasan yang dibatasai oleh kurva y= f ( x ) , x=a , x=b diputar
mengelilingi sumbu x
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 128
X
X)(xfy
R
ax bx
X
X)(xfy
Rax bx bx
Gambar 4.17
Selanjutnya R sebagaimana gambar di atas di atas diputar mengelilingi sumbu sehingga
terbentuk benda pejal
Gambar 4.18
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 129
Gambar 4.18 di atas berupa kerucut terpancung yang mempunyai jari-jari alas r1 dan r2
Dengan tinggi t. Luas permukaan kerucut terpancung tersebut adalah
A=2 π (rerata jari− jari )( tinggi )atau
A=2 π (r1+r2
2 ) t
Selanjutnya andaikan y= f ( x ) , a≤x≤b dengan cara membuat partisi [a,b] menjadi n
bagian dengan menggunakan a=xo<x1< x 2 <x3<. ..<xn−1<xn . Dengan demikian
kurva yang terbagi terdiri atas n bagian. Andaikan Δsi menyatakan panjang potongan
ke−i dan andaikan y i adalah sebuah titik pada potongan Δsi . Karena pita potongan
diputar mengelilingi sumbu x maka luas pita tersebut dapat dihampiri oleh
Ai=2 πy i Δsi . Apabila luas semua potongan pita dijumlahkan denganΔxi →0diperoleh
luas permukaan benda pejal dan ditunjukkan dengan limit partisi sebagai berikut:
A= lim|P|→0
∑i=1
n
2 πy i Δsi
A=∫a
b
2π yds
=2 π∫a
b
y √1+(dydx )
2dx
Dengan cara yang sama jika luasan diputar mengelilingi sumbu y dalam batasan garis
y=c dan y=d maka luas permukaannya dinyatakan dengan
A=∫c
d
2 π xds
=2 π∫c
d
x √1+(dxdy )
2
dy
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 130
xy 6Y
Y
X X1x 1x
xy 6
R
Jika persamaan kurva dinyatakan dalam bentuk persamaan parametrik
x= f ( t ) , y=g ( t )dengan a≤t≤b maka luas permukaan benda pejal dinyatakan oleh
rumus
A=∫a
b
2π yds
=2 π∫a
b
g( t )√(dxdt )
2
+(dydt )
2
dt
Contoh soal
1) Luasan R dibatasi oleh kurva y=6 x , x=0 , x=1 diputar mengelilingi sumbu x .
Dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas permukaannya dengan terlebih
dahulu menggambar benda putarnya.
Gambar 4.19
Karena y=6 x maka
dydx
=6
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 131
Dengan menggunakan integral integral tertentu, luas permukaan benda putar di atas
dapat ditentukan dengan rumus:
A=∫a
b
2π yds
=2 π∫0
1
y √1+(dydx )
2dx
=2 π∫0
1
6 x √1+(6 )2dx
=2 π∫0
1
6 x √37 dx
=12√37 π (1
2x2)
0
1
=12√37 π (12 )=6√37 π
2) Luasan R dibatasi oleh kurva y=x2 , y=0 , y=1 diputar mengelilingi sumbu y.
dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas permukaannya dengan terlebih
dahulu menggambar benda putarnya.
Jawab
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 132
X X
YY
2xy 1
Gambar 4.20
Karena y=x2 maka x=√ y sehingga
dxdy
= 12√ y
Dengan menggunakan integral integral tertentu, luas permukaan benda putar di atas
dapat ditentukan dengan rumus:
A=∫a
b
2 π xds
⇔2 π∫0
1
√ y √1+( dxdy )
2dy
⇔2 π∫0
1
√ y √1+( 12√ y )
2dy
⇔2 π∫0
1
√ y √1+( 12√ y )
2
dy
⇔2 π∫0
1
√ y √ 4 y+14 y
dy
⇔2 π∫0
112 √ y √ 4 y+1
ydy
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 133
X
Y Y
X
⇔π∫0
1
√4 y+1 dy
⇔π ( 23
. 14
(4 y+1 )32 )
0
1
= π
6(5√5−1 )
3) Kurva y=√25−x2 ,−2≤x≤3 diputar mengelilingi sumbu x, tentukan luas
permukaan benda pejal dengan terlebih dahulu menggambarkan.
Jawab
Gambar 4.21
Karena y=√25−x2maka diperoleh
dydx
=− x√25−x2
Dengan menggunakan integral integral tertentu, luas permukaan benda putar di atas
dapat ditentukan dengan rumus:
A=∫a
b
2 π yxds
⇔2 π∫0
1
√25−x2√1+( dydx )
2dx
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 134
⇔2 π∫0
1
√25−x2√1+( −x√25−x2 )
2
dy
⇔2 π∫0
1
√25−x2√1+( x2
25−x2 )dx
⇔2 π∫−2
3
√25−x2√2525−x2 dx
⇔10 π (x )−23
=10 π (3−(−2))=50 π
Soal-soal
1) Sebuah luasan R dibatasi kurva y= x3
3,1≤x≤√7
diputar mengelilingi sumbu x,
dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih dahulu
menggambar benda putarnya.
2) Sebuah luasan R dibatasi kurva y= x6+2
8 x2 ,1≤x≤3 diputar mengelilingi sumbu x,
dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih dahulu
menggambar benda putarnya.
3) Sebuah luasan R dibatasi kurva x+ y=3 , x=0 , y=0 dan diputar mengelilingi
sumbu y, dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih
dahulu menggambar benda putarnya.
4) Sebuah luasan R dibatasi kurva x=√9−x2 ,−3≤x≤3 dan diputar mengelilingi
sumbu y, dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih
dahulu menggambar benda putarnya.
5) Luasan R dibatasi oleh fungsi parametrik dan diputar menglilingi sumbu x.