Ltdh ptluong gia cmoi soanco giai

Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC

LỜI NÓI ĐẦU:Kính thưa các đồng nghiệp cùng bạn đọc:Tôi viết chuyên đề giải PTLG này nhằm trao đổi cùng đồng nghiệp để tham khảo.

Bên cạnh đó giúp cho các em học sinh đã học xong chương trình THPT tự học để có thể tự ôn luyện vào các trường đại học theo nguyện vọng của mình.

Nếu nói một chuyên đề PTLG thì phải giới thiệu tất cả các dạng phương trình và cách giải hoặc thuật toán của từng dạng.Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu cách cho đề của các đề thi đại học từ những năm gần đây bản thân tôi rút ra được kinh nghiệm:

+Số chuyên đề của một học sinh phải học quá nhiều, do vậy vấn đề về thời gian dành để ôn luyện cho mỗi chuyên đề phải được tính đến.

+Dạy và ôn như thế nào để phù hợp với xu thế ra đề của Bộ Giáo dục.Do vậy tài liệu này tôi đã tích lũy từ nhiều năm, các bài tập được biên soạn chỉ

ngang tầm với các đề thi đại học đã diễn ra hoặc mức độ chênh lệch nhau không đáng kể.Tài liệu này được viết theo các nội dung chính say đây:

A.Ôn lý thuyết:Không trình bày phần lý thuyết nhằm tránh tài liệu quá dài.B.Sơ đồ hệ thống cách giải các phương trình lượng giác trong các đề thi đại học.(Sau mỗi bài giải hoặc ví dụ,bạn hãy thử xem đối chiếu lại với sơ đồ !)C.Ôn tập cách giải các phương trình thường gặp đã nâng cao.Trong phần này có ví

dụ và có lời giải hoặc hướng dẫn cách giải.Cuối của mỗi mục có phần bài tập hoàn toàn tương tự , do vậy tôi không ghi cách giải. Riêng phần PTLG đẳng cấp bậc n tôi đã biên soạn các ví dụ theo hai cách giải để bạn đọc thấy được ưu điểm của mỗi cách.Số bài tập tương tự mục này nhiều hơn so với những nội dung khác.

D.Phần bài tập để rèn luyện chung cho chuyên đề-phần này tôi biên soạn tương ứng với mức độ các đề thi đại học từ 2002-2009 . Các em học sinh có thể nghiên cứu đáp án các đề thi đại học từ 2002-2009 để giải nó (nếu không giải được).(Nếu các em là học sinh có yêu cầu bài giải phần này thì có thể liên hệ theo email: [email protected] hoặcsố điện thoại: 0984-003114.

E.Nội dung các đề thi đại học các khối từ 2003-2009 để dễ so sánh với các bài tập ở phần D.

F.Nghiên cứu thêm những gợi ý về cách giải các phương trình lượng giác.Tôi hy vọng rằng, nếu đọc kỹ về cách giải PTLG cùng với sơ đồ hệ thống các em

học sinh có thể tự học tốt về chuyên đề này.Chúc tất cả chúng ta thành công và cũng mong đồng nghiệp và các em học sinh

thông cảm cho bản thân tôi trong quá trình biên soạn tài liệu này không sao tránh khỏi những sai sót. Chào thân ái!

A. ÔN LÝ THUYẾT:

• Ôn :giá trị lượng giác các góc đặc biêt, giá trị lượng giác của các cung góc có liên quan đặc biêt. Các công thức cơ bản, công thức lượng giác…

• Ôn : Phương trình lượng giác cơ bản và cách giải.

DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1 Nguyễn Công Mậu

OÂN LUYỆN PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC

mailto:[email protected]


B. SƠ ĐỒ HỆ THỐNG CÁCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002- 2009.

↓

(ẩn phụ)

C.ÔN TẬP CÁCH GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP. VÍ DỤ-CÁCH GIẢI –GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN VÀ BÀI TẬP.

I. Phöông trình baäc hai ñoái vôùi moät haøm soá löông giaùc:

• Phöông trình daïng : a.f2(x) + b.f(x) + c = 0 , trong ñoù f(x) laø haøm soá

löôïng giaùc.

Vaø a, b, c laø caùc heä soá a ≠ 0.

• Caùch giaûi : + Ñaë t = f(x) ( neáu f(x) laø sinx hoaëc cosx thì 1t ≤ )

+ Giaûi phöông trình at2 + bt + c = 0 vaø choïn t thoaû maõn

ñieàu kieän.

+ Giaûi phöông trình f(x) = t.

Ví d ụ 1 ) Giaûi phöông trình :22cos 4 6 s 1 3cos 2

0cos

x co x x

x

+ + + = (1)


PTLG cho trước

PT còn một cung

Còn 1 HSLG

PTĐẠI SỐ

Còn 2 hàm sin và côsin

PTLG cơ bản PTLG THƯỜNG GẶP

PT còn hai cung

Áp dụng: (asinu + bcosu) PTcơ bản

Sinf(x)=sing(x) Hoặccosf(x)=cosg(x)

P.T.Tích

Cần chú ý sự xuất hiện các biểu thức: a.sinx +b.cosx với:a,b = 2;3;1 ±±±


Ví d ụ 2 ) Giaûi phöông trình : 1cos1

sin2)1cos2(cos1 =−

−+−x

xxx(2)

Ví d ụ 3 ) Giaûi phöông trình : 23 2 3(1 ).cotcosx cosx x− = − − (3)

Ví d ụ 4 ) Giaûi phöông trình : 6 6 2sin 2 1x cos x cos x+ = − (4)

Ví d ụ 5 ) Tìm caùc nghieäm treân khoaûng ( )0;π cuûa phöông trình :

sin 3 cos3

7 4 cos 22sin 2 1

x xcosx x

x

− − = − ÷− (5)

Ví d ụ 6 ) Cho phöông trình : cos 2 (2 1)sin 1 0 (*)x m x m+ + − − = .

a) Giaûi phöông trình khi m = 2.

b) Tìm m ñeå phöông trình (*) coù nghieäm treân khoaûng ( );2π π .

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ: Ví dụ 1) +Đk ππ

mx +≠2

.

(1) ( ) 02cos312cos1(312cos22 2 =++++−⇔ xxx

+±=

=⇔

=

=⇔=+−⇔

ππ

π

kx

kx

x

xxx

6

2

2

12cos

12cos012cos32cos2 2

Họ 2

πkx = thỏa ĐK khi k = 2h πhx =⇒

Vậy (1) có 3 họ nghiệm là: Zkhkxhx ∈+±== ,;6

; πππ .

Ví dụ 2) + ĐK : π21cos mxx ≠⇔≠(2) 0sin2)sin1(2cos1sin2coscos21 22 =−−−⇔−=−−−⇔ xxxxxx

2sin2

2sin02sin2sin2 2 =∨−=⇔=−−⇔ xxxx (loại)

+=

+−=⇔

−=−=

ππ

πππ

24

5

24

4sin

2

2sin

kx

kxx

Ví dụ 3) +ĐK : πmx ≠

(3) ⇔−−=−⇔x

xxx

2

2

sin

cos)cos1(322cos3 ⇔

−−−=−

x

xxx

2

2

cos1

cos)cos1(322cos3

02coscos6cos1

cos32cos3 2

2

=−+⇔+

−=−⇔ xxx

xx

+−±=

+±=⇔

−=

=⇔

π

ππ

2)3

2arccos(

23

3

2cos

2

1cos

kx

kx

x

x

(Thỏa các ĐK)



Ví dụ 4) +Biến đổi:

( )

4

12cos

4

3

2sin4

31)cos(sincossin3)cos(sin

)(cossincossin

2

22222322

323266

+=

=−=+−+=

=+=+

x

xxxxxxx

xxxx

(4) 012cos42cos32cos4

12cos

4

3 22 =+−⇔=+⇔ xxxx

+±=

=⇔

=

=⇔

π

π

23

1arccos

2

1

3

12cos

12cos

kx

kx

x

x

Ví dụ 5) *Giải PT(5):

+ĐK : sinx

+≠

+≠⇔≠

ππ

ππ

212

212

5

2

1

mx

mx

+Ta có )cossin1)(cos(sin4)cos(sin3cos3cos4sin4sin33cos3sin 33 xxxxxxxxxxxx −+−+=+−−=−

)12sin2)(cos(sin)1cossin4)(cos(sin −+=−+= xxxxxxx

xxx

xxcossin

12sin2

3cos3sin +=−

−⇒

(5) )sin21(4sin72cos4)coscos(sin7 2 xxxxxx −−=⇔−=−+⇔

3sin2

1sin03sin7sin2 2 =∨=⇔=+−⇔ xxxx (loại)

+=

+=⇔=

ππ

ππ

26

5

26

2

1sin

kx

kxx

*Chọn nghiệm trên khoảng ( )π;0 ta được hai nghiệm của phương trình là:

6

5;

6

ππ == xx

Ví dụ 6) (*) 01sin)12(sin21 2 =−−++−⇔ mxmx

0sin)12(sin2 2 =++−⇔ mxmx

[ ]1;1;sin;0)12(2)( 2 −∈==++−=⇔ txtmtmttf

a)Khi m=2: 22

10252)( 2 =∨=⇔=+−= tttttf (loại)

+=

+=⇔=⇔=

ππ

ππ

26

5

26

2

1sin

2

1

kx

kxxt



b)Tìm m để PT (*) có nghiệm trên khoảng ( );2π π : Khi ( ) 012; <≤−⇒∈ tx ππ .

Vậy ta phải có :

<≤−

∅∈⇔

=−∨<−

<≤−

≥−>≥∆

⇔

<≤−<<<≤−

<≤≤−

01

0)1(0)1().0(

02

1

0)1(;0)0(;0

01

01

01

21

21

21

m

m

fff

S

afaf

tt

tt

tt

[ )0;1−∈⇔m

BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ :

1) Giaûi phöông trình :2 24sin 2 6sin 9 3cos 2

0cos

x x x

x

+ − − =

2) Giaûi phöông trình : ( ) 2cos 2 3 2 2 1

11 sin 2

x sinx cos x

x

+ − −=

+

3) Giaûi phöông trình : 25 2 3(1 ). tansinx sinx x− = −

4) Giaûi phöông trình : 8 8 217

sin 216

x cos x cos x+ =

5 Tìm caùc nghieäm treân khoaûng ( )0;2π cuûa phöông trình :

cos3 sin 3

5 3 cos 21 2sin 2

x xsinx x

x

+ + = + ÷+

6) Cho phöông trình : cos 2 (2 1)cos 1 0 (*)x m x m− + + + = .

a) Giaûi phöông trình khi m = 3/2.

b) Tìm m ñeå phöông trình (*) coù nghieäm treân khoaûng 3

;2 2

π π ÷ .

II. Phöông trình baäc nhaát theo sin vaø coâsin cuøng moät cung:

Phöông trình daïng : asinx + bcosx = c , vôùi a.b ≠ 0

+ Ñieàu kieän phöông trình coù nghieäm : a2 + b2 ≥ c2.

+ Caùch giaûi :

- Chia 2 veá phöông trình cho 2 2a b+ ta ñöôïc :



2 2 2 2 2 2

cosasinx b x c

a b a b a b+ =

+ + +

- Ñaët 2 2 2 2sin

a bcos

a b a bα α= ⇒ =

+ + vaø ñaët 2 2sin

c

a bβ =

+ ta coù

phöông trình: sin( ) sinx α β+ = Ví duï 1: Giaûi phöông trình : xxxx 2cos34cos26sin32cos4 3 +=+ (1)

Ví duï 2: Giaûi phöông trình : 3 1

8sinxcosx sinx

= + (2)

Ví duï 3: Giaûi phöông trình : 0sincos2cos2sin =−−− xxxx (3)

Ví duï 4: Giaûi phöông trình : 82cos2sin3cos3sin9 =+−+ xxxx (4)

Ví duï 5: Giaûi phöông trình : 32 cos 2 0cos x x sinx+ + = (5)

Ví duï 6: Giaûi phöông trình : 3 3sin x cos x sinx cosx+ = − (6)

Ví duï 7: Giaûi phöông trình : 44 4(sin ) 3 sin 4 2x cos x x+ + = (7)

Ví d ụ 8 : Giải phương trình : xxxx sin3cos)cos3(sin3 +=− (8)

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ 1: (1) ( ) xxxx 4cos26sin32cos32cos4 3 =+−⇔

xxxxxx 4cos6sin2

36cos

2

14cos26sin36cos =+⇔=+⇔

xx 4cos3

6cos =

−⇔ π

.

Ví dụ 2: + ĐK : ( )Zmm

xxx

x∈≠⇔≠⇔

≠≠

202sin

0cos

0sin π

+ (2) xxxxxxxx cossin3)3cos(cos2cossin3sin2sin4 +=−⇔+=⇔

xxxxx 3cos3

cos3cossin2

3cos

2

1 =

+⇔=−⇔ π

Ví dụ 3: (3) ( ) 01coscos2)sincossin2( 2 =−+−−⇔ xxxxx

0)1cos)(sin1cos2(

0)1)(cos1cos2()1cos2(sin

=−−−⇔=+−−−⇔

xxx

xxxx

1)4

sin(22

1cos =−∨=⇔ π

xx

Ví dụ 4: (4) ( ) ( ) 09cos2cos3cossin6sin9 2 =−++−⇔ xxxxx

0)3)(cos3cos2()cos23(sin3 =+−+−⇔ xxxx

03sin3cos0)3sin3)(cos3cos2( =+−⇔=+−−⇔ xxxxx

ααα sinsinsincoscos10

3sin

10

3cos

10

1 −=−⇔−=−⇔ xxxx



10

3sin;

10

1cos;

2cos)cos( ==

+=+⇔ αααπαx

Ví dụ 5: (5) 0)sin1()1(coscos20sin1cos2cos2 223 =−−+⇔=+−+⇔ xxxxxx

0)sin1()1)(cossin1)(sin1(2 =−−++−⇔ xxxx

[ ]

0)12sincos2sin2)(sin1(

01)cos1)(sin1(2)sin1(

=+++−⇔=−++−⇔

xxxx

xxx

[ ] 0)cos(sin)cos(sin2)sin1( 2 =+++−⇔ xxxxx

=+

=−⇔=+++−⇔

0cossin

0sin10)2cos)(sincos)(sinsin1(

xx

xxxxxx

Ví dụ 6: (6) xxxxxx cossin)cossin1)(cos(sin −=−+⇔ xxxxxxxx cossin)cos(sincossincossin −=+−+⇔ 0)cossinsin2(cos0)cos(sincossincos2 2 =−−⇔=+−⇔ xxxxxxxxx

0)2sin2cos3(cos0)2sin2

1

2

2cos12(cos =−+⇔=−−−⇔ xxxx

xx

0cos =⇔ x

Ví dụ 7: + Biến đổi : xxxxx 4cos4

1

4

3)4cos1(

4

112sin

2

11cossin 244 +=−−=−=+

+ (7) 2

14sin

2

34cos

2

124sin34cos3 −=+⇔=++⇔ xxxx

⇔3

2cos

34cos

ππ =

−x xxxx sin3cos)cos3(sin3 +=−

Ví dụ 8: (8) xxxxxxxx cos2

3sin

2

13cos

2

13sin

2

3cos3sin3cos3sin3 +=−⇔+=−⇔

+=

−⇔

3sin

63sin

ππxx

BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ :

1) Giaûi phöông trình : xxxx 3sin43cos29cos33sin3 3+=−

2) Giaûi phöông trình : 3 1

8sin

cosxx cosx

= +

3) Giaûi phöông trình : 2sin 2 2sin 1 4 2 2sin cos 2x x sin xcosx cos x x x+ − = + −

4) Giaûi phöông trình : 4cos sin 2 2cos 2 1sinx x x x+ − + =

5) Giaûi phöông trình : 32sin cos 2 0x x cosx− + =

6) Giaûi phöông trình : 3 3sin x cos x sinx cosx− = +

7) Giaûi phöông trình : ( ) 24sin33cossin8 66 =−+ xxx

8) Giải phương trình : xxxx cos3sin)sin3(cos3 −=+

III. Phöông trình ñaúng caáp thuaàn nhaát theo sin vaø coâsin cuøng moät cung: 1) Phöông trình ñaúng caáp thuaàn nhaát baäc hai theo sin vaø coâsin cuøng moät cung:DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 7 Nguyễn Công Mậu


• Phöông trình coù daïng : asin2x + bsinxcosx + ccos2x + d = 0. (1)

• Caùch giaûi 1 : (Dùng công thức hạ bậc đưa về PT bậc nhất theo sin và côsin cùng cung)

(1) ⇔ 1 cos 2 1 cos 2

sin 2 02 2 2

x b xa x c d

− ++ + + =

sin 2 ( ) cos 2 (2 )b x c a x d a c⇔ + − = − + + .

• Caùch giaûi 2 : (Đưa về PT bậc hai đối với hàm tanx)

Xeùt hai tröôøng hôïp :

+ Neáu x = ;2

k k Zπ π+ ∈ coù laø nghieäm phöông trình hay khoâng.

+ Neáu x ;2

k k Zπ π≠ + ∈ , chia hai veá phöông trình cho cos2x ta ñöôïc:

atan2x + btanx + c + d(1 + tan2x) = 0

⇔ (a + d)tan2x + btanx + c + d = 0.

Ví duï 1: Giaûi phöông trình cos2x - 3 sin2x = 1 + sin2x (1)

Ví duï 2: Giaûi phöông trình 4sin2x – 3sinxcosx + ( )3 4+ cos2x = 4 (2)

Ví dụ 3: Giaûi phöông trình : 10cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = 4 (3)

Ví dụ 4: Giaûi phöông trình : cos2x + sinxcosx + 3sin2x = 3. (4)

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: (1) ( ) 12sin32cos12sin3sincos 22 =−⇔=−−⇔ xxxxx

3

cos3

2cos2

12sin

2

32cos

2

1 ππ =

+⇔=−⇔ xxx

Ví dụ 2: +Xét cosx = 0 thì 1sin 2 =x nghiệm đúng phương trình (2).

Vậy (2) có nghiệm ππkx +=

2.

+Xét 0cos ≠x . Chia hai vế PT(2) cho x2cos và thay xx

22

tan1cos

1 += và đặt ăn

phụ t = tanx :

Ta có : πππkxxtttt +=⇔=⇔=⇔+=++−

66tantan

3

3)1(44334 22

Vậy PT (2) có hai họ nghiệm là : ππkx +=

2 ; Zkkx ∈+= ;

6ππ

Ví dụ 3: (3) 3)2cos1(2

32sin

2

5)2cos1(5 =−+−+⇔ xxx



72sin52cos7 −=−⇔ xxVí d ụ 4: +Xét cosx = 0 thì 1sin 2 =x nghiệm đúng phương trình (2).

Vậy (2) có nghiệm ππkx +=

2.

+Xét 0cos ≠x . Chia hai vế PT(2) cho x2cos và thay xx

22

tan1cos

1 += và đặt ăn

phụ t = tanx : Ta có : πkxxtttt +=⇔=⇔=⇔+=++ 2arctan2tan2)1(331 22

BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ:

1) Giaûi phöông trình : 3sin2x - 5 3 sinxcosx – 6cos2x = 0

2) Giaûi phöông trình : sin2x +2(1 3)sin cos 3 0x x cos x+ + =

3) Giaûi phöông trình : 2sin2x + sinxcosx – 5cos2x = 1

4) Giaûi phöông trình : cos2x – 3sin2x – 4sinxcosx = 0

2) Phöông trình ñaúng caáp thuaàn nhaát baäc cao theo sin vaø coâsin cuøng moät cung:

• Đây là loại phương trình được mở rộng từ PT đẳng cấp bậc hai dựa trên cơ sở sau: + Một biểu thức theo sinx hoặc cosx có bậc k có thể biến đổi thành một biểu thức theo sinx và cosx có bậc k + 2n nhờ đẳng thức : 1cossin 22 =+ xx . ),( Nnk ∈Chẳng hạn : sinx (bậc 1) = sinx. xxxxx 2322 cossinsin)cos(sin +=+ (bậc 3).Hoặc sinx = sinx. xxxxxxx 4235222 cossincossin2sin)cos(sin ++=+ (bậc 5). + Chú ý : i) Số 0 không có bậc. Một hằng số khác 0 có bậc là 0. ii) Xác định bậc của mỗi hạng tử trong PTLG chứa sin và côsin là khi chúng đã cùng một cung ( ví dụ với cung 3x thì sin3x có bậc 1, với cung 1x thì sin3x có bậc 3)

• Từ những ý tưởng trên ta có thể nêu định nghĩa về PTLG đẳng cấp bậc n theo sin và côsin của cùng một cung như sau:

“ PT đẳng cấp bậc n theo sinx và cosx là PT có bậc các hạng tử hơn, kém nhau 2k, k N∈ ”• Cách giải 1 : ( tương tự đẳng cấp bậc 2) (Cách giải này thường phát hiện được cách giải ngay từ ban đầu và có thuật toán, nhưng nhược điểm dài hơn cách giải thứ hai) +Bước 1: Xét cosx = 0 có nghiệm đúng PT không. (nếu đúng ghi nhận kết quả)

+Bước 2: -Xét cosx ≠ 0. Chia hai vế PT cho xncos và thay ( ) kk

xx

22

tan1cos

1 +=

.

-Đặt ẩn phụ t = tanx và thu gọn thì được PT đa thức bậc n theo t. -Giải tìm nghiệm t = t0 rồi giải PT tanx = t0 để tìm x.• Cách giải 2 : (Biến đổi về PT tích theo sin và côsin)

( Cách giải này thường ngắn gọn nhưng không định hướng được kết quả biến đổi. Đòi hỏi kỷ năng phân tích đa thức thành nhân tử của mỗi học sinh).Không có thuật toán như cách 1. Sau đây là một số ví dụ:



Ví dụ 1: Giải phương trình: xxxx 2coscossintan −= (1)

Giải cách 1:

+ĐK: ππmx +≠

2 .

+(1) xxxx 32 coscossinsin −=⇔ (*) (đẳng cấp bậc 3).+cosx = 0 không nghiệm đúng PT. (vì 01 =± ; vô lý)+cosx ≠ 0, chia hai vế (*) cho cos3x được :

ππkxxttxxx +−=⇔−=⇔−=⇔−=⇔−=+

41tan111tan)tan1(tan 32 (t = tanx)

Gi ải cách 2 :

(*) xxxxx 3332 cossincos)cos1(sin −=⇔−=−⇔ (**) ππ

kxxx +−=⇔−=⇔−=4

1tan1tan 3

Chú ý:Theo cách giải 2 đã nêu là biến đổi về PT tích nên tôi minh họa lại như sau: (**) 0)2sin2)(cos(sin0)cossin1)(cos(sin0cossin 33 =−+⇔=−+⇔=+⇔ xxxxxxxxx

ππkxxxx +−=⇔−=⇔=+⇔

41tan0cossin

.

Ví dụ 2: Giải phương trình: xxx cossincos3 += (2) (đẳng cấp bậc 3)Giải cách 1:+ cosx = 0 không nghiệm đúng (2)+ cosx ≠ 0, chia hai vế (2) cho cos3x được : )tan1()tan1(tan1 2 xxx +++=

πkxxtttt =⇔=⇔=⇔=++⇔ 0tan00)1( 2 (với t = tanx )Gi ải cách 2 :(2) 0)1cos(sinsin0sinsincossin)1(coscos 22 =+⇔=+⇔=−⇔ xxxxxxxxx

πkxxxx =⇔=⇔=+⇔ 0sin0)22(sinsin

Ví dụ 3: Giải phương trình: 0cos2cossincos2sin3 233 =++− xxxxx (3)(đẳng cấp bậc 3)

Giải cách 1:+ cosx = 0 không nghiệm đúng (3)+ cosx ≠ 0, chia hai vế (3) cho cos3x được : 0)3(3033)tan1(2tan2tan3 223223 =+⇔=+⇔+++− ttttxxx

+−=

=⇔

−=

=⇔

−=

=⇔

πππ

kx

kx

x

x

t

t

33tan

0tan

3

0

Gi ải cách 2 :

(3) ( ) 0)cos1(cos2cossinsin3 223 =−++⇔ xxxxx

( ) 0cos3sin3sin0sincos2)cossin3(sin 222 =+⇔=++⇔ xxxxxxxx

+−=

=⇔

−=

=⇔

=+

=⇔

ππππ

kx

kx

x

kx

xx

x

33tan0cos3sin

0sin

Ví dụ 4 : Giaûi phöông trình 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 0 (4) (đẳng cấp bậc 4)

Giải cách 1: + cosx = 0 thì sinx = 1± không nghiệm đúng ptrình . Vậy cosx 0≠



+ Chia hai vế (2) cho cos4x rồi đặt ẩn phụ t = tan2 x thì được: 310342 =∨=⇔=+− tttt

Gi ải cách 2 :(4) 0)sincos(sin)cossin3cos3( 422224 =−−−⇔ xxxxxx

0)sin(cossin)sin(coscos3 222222 =−−−⇔ xxxxxx

±=

=⇔=−⇔

3tan

02cos0)sincos3(2cos 22

x

xxxx

Ví dụ 5: Giải phương trình : xxxxx cossin2coscossin 266 −=+ (5)Giải cách 1:Nếu biến đổi : )cossincos)(sincos(sincossin 22442266 xxxxxxxx −++=+ = = xxxx 2244 cossincossin −+Và biến đổi : xxxxxxx 22442222 cossin2sincos)sin(cos2cos −+=−=Thì PT (5) 0cossincossin 22 =+⇔ xxxx (*)Khi đó PT (*) giải tiếp theo cách giải 1 hoặc cách giải 2 đã nêu trên là đơn giản+ Nếu từ PT: xxxxxx cossin)sin(coscossin 22266 −−=+ (đẳng cấp bậc 6)Làm theo cách giải (1) sau bước 2 đã thu gọn ta được phương trình: (Với t = tanx )

=++++

=⇔=++++

)1.5(012

002

234

2345

tttt

tttttt

Khi đó PT (5.1) 0211

011

22

22

2 =+

++

+⇔=++++⇔

tt

tt

tttt (5.2)

PT (5.2) đặt ẩn phụ t

tu1+= thì được PT bậc hai 1002 −=∨=⇔=+ uuuu .

Trở lại với ẩn t thì các PT này vô nghiệm. + Với t = 0 πkxx =⇔=⇔ 0tan .Chú ý: Khi xét cosx = 0 thì nó nghiệm đúng PT đẳng cấp bậc 6 nên:

ππkx +=

2 cũng là nghiệm PT. Kết hợp nghiệm thì được x =

2

πk. Phù hợp với mọi

cách giải.

BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ: Có thể giải lại các bài trong các ví dụ và bài tập tương tự ở phân PT đưa về PT bậc nhất theo sin và côsin cùng một cung như :

1) Giaûi phöông trình sinxsin2x + sin3x = 6cos3x (đẳng cấp bậc 3)

2) Giaûi phöông trình sin3x + cos3x + 2cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3)

3) Giaûi phöông trình sinx – 4sin3x + cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3)

4) Giaûi phöông trình : 3 3sin x cos x sinx cosx− = + (đẳng cấp bậc 3)

5) Giaûi phöông trình : ( ) 24sin33cossin8 66 =−+ xxx (đẳng cấp bậc 6)

6) Giải phương trình : xxxx cos3sin)sin3(cos3 −=+ (đẳng cấp bậc 3)

7) Giaûi phöông trình : 3 3sin x cos x sinx cosx+ = − (đẳng cấp bậc 3)

8) Giaûi phöông trình : 44 4(sin ) 3 sin 4 2x cos x x+ + = (đẳng cấp bậc 4)



9) Giải phương trình : xxxx sin3cos)cos3(sin3 +=− (đẳng cấp bậc 3)

10) Giaûi phöông trình : 8 8 217

sin 216

x cos x cos x+ = (đẳng cấp bậc 8)

11) Giaûi phöông trình : 6 6 2sin 2 1x cos x cos x+ = − (đẳng cấp bậc 6)IV. Phương trình chứa tổng (hoặc hiệu) và tích của sin và côssin cùng một cung:

1) Phương trình chứa tổng và tích (còn gọi là phương trình đối xứng theo sin và côsin)

• Dạng phương trình : a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c )R∈ (1)

• Cách giải : Đặt t = sinx + cosx = 24

sin2 ≤⇒

+ tx

π

(*)2

1cossincossin21

22 −=⇒+=⇒ t

xxxxt

(1) )1.1(02202

1. 2

2

=−++⇔=+−+⇔ bcatbtct

bat .

Giải phương trình (1.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn 20 ≤t . Thay giá trị t0 vào PT (*) và giải PT sin2x = 12

0 −t để tìm x.2) Phương trình chứa hiệu và tíc h ( còn gọi là phương trình phản xứng)

• Dạng phương trình : a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c )R∈ (2)

• Cách giải : Đặt t = sinx - cosx = 24

sin2 ≤⇒

− tx

π

(**)2

1cossincossin21

22 t

xxxxt−=⇒−=⇒

(1) )1.2(02202

1. 2

2

=−−−⇔=+−+⇔ bcatbtct

bat .

Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn 20 ≤t . Thay giá trị t0 vào PT (**) và giải PT sin2x = 1- 2

0t để tìm x.

Ví dụ 1: Giải phương trình ( ) 02cos12)sin(cos122sincossin =+−+− xxxxxx (1)

Ví dụ 2: Giải phương trình

+−=−

4sin27cos2sin3sin2sin32cos8

πxxxxxx (2)

Ví dụ 3: Giải phương trình 02cos2sinsin 23 =−++ xxx (3)Ví dụ 4: Giải phương trình 12cossin)2sincos(sin12cossin 22 =−+−+ xxxxxxx (4)Ví dụ 5: Giải phương trình 1)1(sin2sin2coscossinsin 2 =−++− xxxxxx (5)Ví dụ 6: Giải phương trình 0sincos2cos)1cos(sin =−+− xxxxx (1)

HƯỚNG DẪN CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ 1: (1) ⇔ ( )[ ] 012)cos(sin122sincossin =−+−− xxxxx

=+−+

=−⇔

)1(0122sin)cos(sin12

)1(0cossin

bxxx

axx

(1a) ππkx +=⇔

4



(1b) ( )xxttt

ttt cossin1

13

1013122 +=−=⇒

=

−=⇔=−−⇔

2

02sin1πk

xxt =⇔=⇔−=+

+ Vậy (1) có 2 họ nghiệm là )(2

;4

Zkk

xkx ∈=+= πππ

Ví dụ 2: (2) ( )[ ] 072sin3)sin(cos8sincos =+−−+⇔ xxxxx

=+−−

=+⇔

)2(072sin3)sin(cos8

)2(0cossin

bxxx

axx

(2a) ππkx +−=⇔

4 (2b) : Đặt t = (*)12sin2sin1)2(;sincos 22 txxttxx −=⇒−=⇒≤−

(2b) 3

2

3

2

20483 2 −=⇒

−=

−=⇔=++⇔ t

t

ttt , thay t = -2/3 vào (*):

Sin2x =

+−=

+=⇔

ππ

π

kx

kx

9

5arcsin

2

9

5arcsin

2

1

9

5

Ví dụ 3: (3) 0)1cossincos)(sincos1( =−++−⇔ xxxxx

=

=⇔

=−++

=⇔

2

2

01cossincossin

1cosππ

kx

kx

xxxx

x

Ví dụ 4: (4) ⇔

( )[ ]

=+−−

=−⇔

=+−−−⇔

012)cos(sin12cossin

0cossin

012)cos(sin12cossincossin

xxxx

xx

xxxxxx

=

=⇔

2

4π

π

kx

x

Ví dụ 5: (5) ( ) 0)1(sin2sin2)coscos(sin1sin 2 =−+−−−⇔ xxxxxx

( )( ) ( )( )( )

=++−

=⇔

=++−−⇔=−+−−+−⇔

012sin2cossin

1sin

012sin2cossin1sin

0)1(sin2sin21sincos1sin1sin

xxx

x

xxxx

xxxxxx

Ví dụ 6: (6) ( )( ) ( ) 0sincossincos1cossin 22 =−+−−⇔ xxxxxx

( )( )( ) ( ) 0sincossincossincos1cossin =−++−−⇔ xxxxxxxx

[ ( )( ) ] 01sincos1cossin)sin(cos =++−−⇔ xxxxxx

=++−

=−⇔

)6(01)sin)(cos1cos(sin

)6(0sincos

bxxxx

axx



(6a) ππkx +=⇔

4 (6b): Đặt t = sinx +cosx ( 2≤t ) ; 12sin2sin1 22 −=⇒+= txxt (*)

(6b) ⇔ 01.12

12

=+

−−

tt

0233 =+−⇔ tt 0)2)(1( 2 =−+−⇔ ttt

12

1=⇒

−=

=⇔ t

t

t thay vào (*) thì sin2x = 0

2

πkx =⇔

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Giải các phương trình sau :

1) 24

cos2)1cos(sin2sin2 =

−+−+ π

xxxx .

2) xxxxx cossin4sin2

1cossin 44 −=+−

3) 02sin2coscos 23 =−++ xxx

4) ( )( ) )cos2(8sin3sin3 2 xxx −=++5) 0sincos)cossin1(2cos =+++ xxxxx 6) 06cos6sin3sin 23 =+−− xxx

D. PHẦN BÀI TẬP NÀY ĐƯỢC BIÊN SOẠN TƯƠNG TỰ CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2003-2009

(Không hướng dẫn-bạn tự nghiên cứu đáp án các đề thi đại học)

Baøi 1:Giaûi caùc phöông trình sau :

a) xx

xx 2cos3

cos21

3sin2sin4 −=

−+ ; b) xxxx 4cossin3cos2sin 2222 +=+

c) 04sin32cos43sin =+−− xxx ; d) 012sin2

1sin2cos3sin 2 =++++ xxxx

e) 02cos2

cossincossinsincos 2266

=−

−++x

xxxxxx ; g) x

xx

xxx

sin

cossin4

cos

1cot.cos 2 −=+


a) ( )

0sin22

34

cos4

sin2cossin2 44

=−

−

−

+++

x

xxxxππ

b) ( ) xxxxxxxxx cos.sincossin2cos.2coscotcossin 233 +++=+

c) xgxxxx 22 cot).2cos(cos32coscos10 −=−+

d) ( )( ) xxxxx sin32sincossin23cos2 −=+−


a) 0cossin2cos2sincossin1 33 =+−−−−+ xxxxxx ; b) xxxx

22

tan

1cot.cossin1 =+−

c) )cos1(sin2sincos)sin1(1 22 xxxxx ++=++ ;



d) 02cot2cottan2tan 22 =−++− xxxx

Baøi 4 : Giaûi caùc phöông trình :

a) ( )( )

012sin2sin34

cossincossin82

66

=−+−

−+x

x

xxxx ; b) 0sin2cos.3sin 22 =+ xxx

c) 032cos5

2cos2cossincossin 4466

=−

−+++x

xxxxx ; d) xxxx tan2sintan.sin =+

e) )cos1(sin2sincos)sin1(1 22 xxxxx ++=++ ; g) xxx 7cos1coscos2 2 −=+

Baøi 5 : Giaûi caùc phöông trình :

a) 12sinsin)cos1(cos)sin1( 22 −=−−− xxxxx ; b) 21cos32

cos2

sin2

+=+

− x

xx

c) 02cossin2sin2)2cos1(cos3 =+++− xxxxx ;

d)

−=

−

−

− 4

5cos4

2

3sin

1

2cos

1 πππ

x

xx

e) 02cossin2sin2)2cos1(cos3 =+++− xxxxx

f) xxxxxxx cossin3cossin2coscos3sin 2233 +=++

Bài 6: a) Giải phương trình ( )

3)cos1)(cos21(

sincos21 =+−

+xx

xx

b) Giải phương trình : 2cos2cos

3sin3cos2cos2 3

−=+−x

x

xxx

c) Giải phương trình 3cos

cossin43cos3 2

=−x

xxx

E. CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2003-2009.


a) (KA-2003) xxx

xx 2sin

2

1sin

tan1

2cos1cot 2 −+

+=−

b) (KB-2003) xxxx

2sin

22sin4tancot =+−

c) (KD-2003) 02

costan.42

sin 222 =−

− x

xx π

Baøi 2:Giaûi caùc phöông trình sau : a) (KB-2004) xxx 2tan)sin1(32sin5 −=−

b)(KD-2004) xxxxx sin2sin)cossin2)(1cos2( −=+−



c) (KA-2004) Cho ABC∆ khoâng tuø thoaû ñieàu kieän :3cos22cos222cos =++ CBA .

Tính ba goùc cuûa ABC∆ .

Baøi 3:Giaûi caùc phöông trình sau : a) (KA-2005) 0cos2cos.3cos 22 =− xxx b) (KB-2005) 02cos2sincossin1 =++++ xxxx

c) (KD-2005) 02

3)

43sin().

4cos(sincos 44 =−−−++ ππ

xxxx


a) (KA-2006) ( )

0sin22

cossinsincos2 66

=−

−+x

xxxx

b) (KB-2006) 4)2

tan.tan1(sincot =++ xxxx

c) (KD-2006) 01cos2cos3cos =−−+ xxx

Baøi 5:Giaûi caùc phöông trình sau : a) (KA-2007) xxxxx 2sin1sin)cos1(cos)sin1( 22 +=+++

b) (KB-2007) xxx sin17sin2sin2 2 =−+

c) (KD-2007) 2cos32

cos2

sin2

=+

+ x

xx


a) (KA-2008)

−=

−

+ x

xx 4

7sin4

2

3sin

1

sin

1 ππ

b) (KB-2008) xxxxxx cossin3cossincos3sin 2233 −=−

c) (KD-2008) xxxx cos212sin)2cos1(sin2 +=++Baøi 7:Giaûi caùc phöông trình sau :

a) (KA-2009) Giải phương trình ( )

( ) ( )1 2sin x cos x

3.1 2sin x 1 s inx

−=

+ −

b) (KB-2009) Giải phương trình 3sin x cos x sin 2x 3 cos3x 2(cos 4x sin x)+ + = +

c) (KD-2009) Giải phương trình 3 cos5x 2sin 3x cos2x sin x 0− − = .

F. MỤC THAM KHẢO THÊM VỀ CÁCH GIẢI PH.TRÌNH LƯỢNG GIÁC.

* Vieäc giaûi PTLG laø vaán ñeà thöôøng gaëp trong caùc ñeà thi ñaïi hoïc .Phöông phaùp thöôøng söû duïng khi giaûi phöông trình löôïng giaùc laø



thöïc hieän moät soá pheùp bieán ñoåi löôïng giaùc thích hôïp keå caû vieäc bieán ñoåi ñaïi soá ñeå ñöa PTLG veà daïng phöông trình löôïng giaùc cô baûn hay caùc phöông trình löôïng giaùc thöôøng gaëp hoaëc ñöa veà daïng phöông trình tích hoaëc ñaët aån phuï ñeå ñöa veà phöông trình ñaïi soá baäc hai,baäc ba…;hoaëc ñoâi khi coøn phaûi söû duïng ñeán phöông phaùp ñaùnh giaù hai veá cuûa phöông trình. Ñeå ñaït ñöôïc keát quaû cao trong vieäc giaûi PTLG yeâu caàu hoïc sinh caàn naém vöõng caùc yeâu caàu toái thieåu sau ñaây :

1)Hoïc thuoäc (hoaëc thoâng qua suy luaän) caùc coâng thöùc löôïng giaùc,caùc cung, goùc coù lieân

quan ñaëc bieät,giaù trò löôïng giaùc cuûa caùc cung(goùc) ñaëc bieät. 2)Caàn naém vöõng caùch giaûi PTLG cô baûn vaø caùc tröôøng hôïp ñaëc

bieät.Caùch giaûi caùc phöông trình löôïng giaùc thöôøng gaëp .3)Phaûi coù thoùi quen laø ñeà caäp ñeán TXÑ cuûa phöông trình (laáy

ñieàu kieän) tröôùc khi tieán haønh pheùp bieán ñoåi vaø ñoái chieáu ñieàu kieän khi coù keát quaû.* Taïi sao ñeà caäp ñeán vieäc bieán ñoåi thích hôïp:Vì caùc ñoàng nhaát

thöùc löôïng giaùc thöôøng raát ña daïng.Chaúng haïn :-Neáu caàn bieán ñoåi cos2x thì tuyø theo ñaàu baøi ta seõ söû duïng moät

trong caùc ñoàng nhaát sau: Cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x -1 = 1-2sin2x.Ví duï : Giaûi phöông trình : a) cos2x = sinxcosx → bieán ñoåi Cos2x = cos2x – sin2x b) cos2x = cosx → bieán ñoåi Cos2x = 2cos2x -1 c) cos2x = sinx → bieán ñoåi Cos2x = 1-2sin2x-Neáu caàn bieán ñoåi cos4x-sin4x thì tuyø theo ñaàu baøi ta seõ söû duïng

moät trong caùc ñoàng nhaát sau: cos4 x-sin4x = cos2x – sin2x = Cos2x = 2cos2x -1 = 1-2sin2x.*Caàn chuù yù ñeán caùc ñoàng nhaát löôïng giaùc thöôøng gaëp khi giaûi

toaùn nhö: 1 ± sin2x = (sinx ± cosx)2

Cos3x.sin3x+sin3x.cos3x = 4

3sin4x

4

4cos3

2

2cos12sin

2

11sincos

2244 xx

xxx+=+=−=+

8

4cos35

4

2cos312sin

4

31sincos

2266 xx

xxx+=+=−=+

*Caàn chuù yù ñeán caùc soá haïng coù chöùa thöøa soá (cosx+sinx) laø: cos2x ; cos3x+sin3x ;

Cos4x-sin4x ; cos3x-sin3x ; 1+tanx ; cotx-tanx ;

+

4sin2

πx ….Töông töï

ñoái vôùi caùc soá haïng coù chöùa thöø soá cosx-sinx.*Caùc pheùp bieán ñoåi löôïng giaùc thöôøng ñöôïc tieán haønh theo

caùc höôùng sau: +Haï baäc phöông trình(neáu coù).



+Ñöa veà cuøng cung: -Neáu cuøng haøm vaø cuøng cung thì tieán haønh ñaët aån phuï. -Neáu cuøng cung nhöng coøn hai haøm sin vaø coâsin thì thöôøng

bieán ñoåi veà ph. trình tích

(Söû duïng caùc phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû nhö: ñaët nhaân töû chung,duøng haèng ñaúng thöùc,nhoùm haïng töû,nghieäm tam thöùc baäc hai)

-Neáu cuøng cung vaø coøn hai haøm sin ; coâsin vôùi baäc caùc haïng töû hôn,keùm nhau 2n (vôùi n laø soá töï nhieân) thì ta coù theå chia hai veá cuûa phöông trình cho coskx hoaëc sinkx (k laø baäc lôùn nhaát trong phöông trình) ñeå ñöa phöông trình ñaõ cho veà daïng coøn chöùa duy nhaát haøm tang hoaëc coâtang cuûa moät cung roài tieán haønh ñaët aån phuï. *Khi ñaùnh giaù hai veá cuûa phöông trình thì caùc baát ñaúng thöùc thöôøng ñöôïc duøng ñeå öôùc löôïng nhö: 1sin ≤x ; 1cos ≤x ;

22cossin baxbxa +≤+ ; 1cossincossin 22 =+≤± xxxx nm (vôùi 3,;, ≥∈ nmNnm )

-Ñoái vôùi phöông trình sinax ±sinbx = 2±

±=±±=

⇔1sin

1sin

bx

ax (daáu ±

laáy töông öùng)Töông töï ñoái vôùi caùc phöông trình : cosax ±cosbx = 1± ; sinax ±

cosbx = 2±

CHÚ Ý: Vì trong tài liệu này tôi biên soạn theo nhiều thời điểm khác nhau, sau đó gộp lại nên có hai phông chữ đó là Times New Roman và VNI-Times . Vậy khi sử dụng có gì trở ngại bạn tự đổi phông chữ!









±=±±=

⇔1sin

1sin

bx

ax (daáu ±


cosbx = 2±










±=±±=

⇔1sin

1sin

bx

ax (daáu ±


cosbx = 2±










±=±±=

⇔1sin

1sin

bx

ax (daáu ±


cosbx = 2±



Ltdh ptluong gia cmoi soanco giai

Documents