http://aotrangtb.com Chương 11 Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc Sau khi học xong chương này, học sinh cần biết : 1. Để có hai đường thẳng d và d ′ vuông góc, có thể chứng minh : → u . − • − → → v = 0, ở đó − → v lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d ′ . u và − • Góc giữa chúng bằng 90 ◦ . • d song song với đường thẳng Δ, còn d ′ vuông góc với Δ (Δ là đường thẳng nào đó). • d⊥(α) mà (α) chứa d ′ , hoặc d ′ ⊥(β) mà (β) chứa d. • Khi d và d ′ cắt nhau, có thể sử dụng các phương pháp trong hình học phẳng như trung tuyến của tam giác cân, định lí đảo của định lí Pytago, . . . 2. Để có đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α), có thể chứng minh : • d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (α). • d ∥ d ′ mà d ′ ⊥(α). • d⊥(β) mà (β) ∥ (α). • d là trục của tam giác ABC nằm trên mặt phẳng (α) (nghĩa là chứng minh d chứa hai điểm cách đều A, B, C). • d là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với (α). • Sử dụng tính chất hai mặt phẳng vuông góc : nếu (α)⊥(β) mà d nằm trong (β) và d vuông góc với giao tuyến của (β) và (α) thì d⊥(α). 3. Để có hai mặt phẳng vuông góc, có thể chứng minh : • Góc giữa chúng bằng 90 ◦ . • Mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. • Mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng song song với mặt phẳng kia. 4. Ngoài ra, chúng ta cần biết xác định góc, xác định khoảng cách giữa các yếu tố. Hệ thức lượng trong tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông tại A, AH, AM tương ứng là đường cao, trung tuyến xuất phát từ A. A B C H M 201
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
http
://ao
trang
tb.co
m
Chương 11
Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc
Sau khi học xong chương này, học sinh cần biết :
1. Để có hai đường thẳng d và d′ vuông góc, có thể chứng minh :
→u .−• − →→v = 0, ở đó − →v lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d′.u và −
• Góc giữa chúng bằng 90◦.
• d song song với đường thẳng ∆, còn d′ vuông góc với ∆ (∆ là đường thẳng nào đó).
• d⊥(α) mà (α) chứa d′, hoặc d′⊥(β) mà (β) chứa d.
• Khi d và d′ cắt nhau, có thể sử dụng các phương pháp trong hình học phẳng như trung tuyến của tam giác cân, định lí đảo
của định lí Pytago, . . .
2. Để có đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α), có thể chứng minh :
• d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (α).
• d ∥ d′ mà d′⊥(α).
• d⊥(β) mà (β) ∥ (α).
• d là trục của tam giác ABC nằm trên mặt phẳng (α) (nghĩa là chứng minh d chứa hai điểm cách đều A, B,C).
• d là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với (α).
• Sử dụng tính chất hai mặt phẳng vuông góc : nếu (α)⊥(β) mà d nằm trong (β) và d vuông góc với giao tuyến của (β) và
(α) thì d⊥(α).
3. Để có hai mặt phẳng vuông góc, có thể chứng minh :
• Góc giữa chúng bằng 90◦.
• Mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
• Mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng song song với mặt phẳng kia.
4. Ngoài ra, chúng ta cần biết xác định góc, xác định khoảng cách giữa các yếu tố.
Hệ thức lượng trong tam giác vuôngCho tam giác ABC vuông tại A, AH, AM tương ứng là đường cao, trung tuyến xuất phát từ A.
A
B CH M
201
http
://ao
trang
tb.co
m
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
• AB2 + AC2
= BC2 (Định lí Pytago);
•1
AH2=
1AB2+
1AC2
; AH =AB.AC
BC ; b• AB2
= BH.BC; AC2 = CH.BC;
• AM =BC2
, nếu C = 30◦ thì AB =BC2
.
Nhắc lại một số hệ thức lượng trong tam giác.Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a,CA = b; ha, hb, hc và ma,mb,mc lần lượt là độ các đường cao và các đường trung tuyến xuất
phát từ A, B,C; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; S là diện tích tam giác ABC; và p =a + b + c
2 là
nửa chu vi tam giác.
1. Định lí hàm số cosin :
a2 = b2
+ c2 − 2bc cos A; cos A =b2 + c2 − a2
2bc .
2. Định lí hàm số sin :a
sin A=
bsin B
=c
sin C= 2R ⇒ a = 2R sin A.
3. Công thức trung tuyến :
m2a =
2(b2+ c2) − a2
4 .
4. Công thức diện tích tam giác:
(a) Tam giác thường
S =12
a.ha =12
b.c. sin A =abc4R= pr =
Èp(p − a)(p − b)(p − c) ⇒ ha =
2Sa ,R =
abc4S , r =
Sp .
(b) Tam giác ABC vuông tại A thì S =12
AB.AC và nếu là tam giác vuông cân cạnh a thì S =a2
2 .
(c) Tam giác ABC đều cạnh a thì S =a2 √
34
và đường cao bằnga √
32
;
ÔÔ5. Diện tích hình vuông cạnh a là S = a2.
6. Diện tích hình chữ nhật cạnh a, b là S = ab.
7. Diện tích hình bình hành ABCD là S = đáy.cao = AB.AD. sin BAD =12
AC.BD. sin(AC, BD).
8. Diện tích hình thoi ABCD là S = đáy.cao = AB.AD. sin BAD =12
AC.BD.
9. Diện tích hình thang là S =( đáy lớn + đáy nhỏ ) × cao
2 .
10. Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc là S =12
tích hai đường chéo.
11.1 Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ
Vấn đề 1 : Biểu thị một vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng
�Nếu ba vectơ −→a ,
−→b ,−→c không đồng phẳng thì vectơ
−→d bất kì biểu thị được một cách duy nhất qua ba vectơ −→a ,
−→b ,−→c ; nghĩa là tồn tại duy
nhất bộ ba số m, n, p sao cho−→d = m−→a + n
− →c .→b + p−
Bài 11.1 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Đặt−−→AA′ = −→a ,−−→AB =
−→b ,−−→ →c . Gọi I là tâm hình bình hành CDD′C′, J là điểm trênAD = −
cạnh B′C′ sao cho JB′ = k.JC′ (k ∈ R cho trước). Hãy biểu thị các vectơ−−→CB′,
−→ →AI,−IJ theo ba vectơ −→a ,
−→b ,−→c .
Bài 11.2 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′. Đặt −→a =−−→AC′,
−→b =−−→BA′,−→c =
−−→CB′. Gọi M là trung điểm AA′ và G là trong tâm tam giác
ABC. Hãy biểu diễn các vectơ−−→AA′,−−−→B′G,
−−−→MN theo ba vectơ −→a ,
−→b ,−→c .
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Download tài liệu học tập tại : http://aotrangtb.com T r a n g 202
http
://ao
trang
tb.co
m
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Vấn đề 2 : Chứng minh các đẳng thức vectơ
�1. Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp để biến đổi vế này thành vế kia và ngược lại.
2. Sử dụng các tính chất của các phép toán vectơ và các tính chất hình học của hình đã cho.
AB +−−→Bài 11.3 : Cho hình hộp ABCD.EFGH. Chứng minh rằng
−−→AD +
−−→AE =
−−→AG.
Bài 11.4 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng−−→S A +
−−→S C =
−−→S B +
−−→S D.
Bài 11.5 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD. Chứng minh rằng−−→S A2 +−−→S C2
=−−→S B2 +−−→S D2.
Bài 11.6 : Cho đoạn thẳng AB. Trên đường thẳng AB lấy điểm C sao choCACB=
mn
, với m, n > 0. Chứng minh rằng với S bất kì ta
luôn có−−→S C =
nm + n
−−→S A +
mm + n
−−→S B.
Bài 11.7 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Gọi O và O′ theo thứ tự là tâm của hai hình vuông ABCD và A′B′C′D′.
1. Hãy biểu diễn các vectơ−−→AO,−−−→AO′ theo các vectơ
−−→AA′,−−→AB,−−→AD.
2. Chứng minh rằng−−→AD +
−−−→D′C′ +
−−−→D′A′ =
−−→AB.
Bài 11.8 : Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B,C,D phân biệt và không thẳng hàng. Chứng minh rằng điều kiện cần và
đủ để bốn điểm A, B,C,D tạo thành một hình bình hành là :−−→OA +
−−→OC =
−−→OB +
−−→OD.
Vấn đề 3 : Chứng minh các điểm thẳng hàng và quan hệ song song
�1. Để chứng minh ba điểm A, B,C thẳng hàng ta có thể
• Chứng minh vectơ hai−−→AB và
−−→AC cùng phương, tức là
−−→AB = k
−−→AC.
• Chọn một điểm I nào đó và chứng minh−→IC = m
−−→OA + n
−−→OB với m + n = 1.
2. Hai đường thẳng phân biệt AB và CD song song với nhau khi và chỉ khi hai vectơ−−→AB và
−−→CD cùng phương.
3. Đường thẳng AB không nằm trên (P) và AB ∥ (P) khi và chỉ khi có một đường thẳng CD ⊂ (P) sao cho AB ∥ CD hoặc−−→ →u + y−AB = x− →→v trong đó các vectơ − →v có giá song song hoặc nằm trên (P).u và −
Bài 11.9 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Xét các điểm M,N lần lượt trên các đường thẳng A′C và C′D sao cho−−−→MA′ = k
−−→MC,
−−−→NC′ = l
−−→ND (k và l đều khác 1). Đặt
−−→BA = −→a ,
−−→BB′ =
−→b ,−−→BC = −→c .
1. Hãy biểu thị các vectơ−−→BM và BN qua các vectơ −→a ,
−→b ,−→c .
2. Xác định các số k, l để đường thẳng MN song song với đường thẳng BD′.
Bài 11.10 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. M là một điểm trên đường thẳng AB sao cho−−→MA = m
−−→AB. Tìm điểm N trên đường thẳng
B′C và điểm P trên đường thẳng A′C′ sao cho ba điểm M,N, P thẳng hàng (m , 0).
Bài 11.11 : Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho−−→MA = −2
−−→MB,−−→ND = −2
−−→NC. Các điểm I, J,K
lần lượt thuộc AD,MN, BC sao cho−→IA = k
−→ID,−−→JM = k
−−→JN,−−→KB = k
−−→KC. Chứng minh rằng các điểm I, J,K thẳng hàng.
Bài 11.12 : Cho hai đường thẳng ∆,∆1 cắt ba mặt phẳng song song (α), (β), (γ) lần lượt tại A, B,C và A1, B1,C1. Với điểm O bất kì
trong không gian, đặt−→OI =
−−−→AA1,
−−→OJ =
−−−→BB1,
−−→OK =
−−−→CC1. Chứng minh rằng ba điểm I, J,K thẳng hàng.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Download tài liệu học tập tại : http://aotrangtb.com Trang 203
http
://ao
trang
tb.co
m
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 11.13 : Cho tứ diện ABCD. Gọi B0,C0,D0 lần lượt là trọng tâm các tam giác ACD, ADB và ABC. Gọi G và G0 là trọng tâm tam
giác BCD và B0C0D0. Chứng minh rằng ba điểm A,G0,G thẳng hàng.
Bài 11.14 : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. M là điểm trên cạnh AD sao cho−−→AM =
13−−→AD. N là điểm trên đường thẳng BD1, P là
điểm trên đường thẳng CC1 sao cho ba điểm M,N, P thẳng hàng. Tính���−−−→������MN
−−→NP��� .
Bài 11.15 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Một đường thẳng ∆ cắt các đường thẳng AA′, BC,C′D′ lân lượt tại M,N, P sao cho−−−→NM = 2
−−→NP. Tính
MAMA′
.
Bài 11.16 : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1.
1. Chứng minh rằng đỉnh A, trọng tâm G của tam giác BDA1 và đỉnh C1 thuộc một đường thẳng.
2. Tính tỉ sốGAGC1
.
Bài 11.17 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của mặt phẳng ABB′A′. M là một điểm trên OB′.
Mặt phẳng (MD′C) cắt BC′ ở I và DA′ ở J. Chứng minh rằng ba điểm I,M, J thẳng hàng.
Bài 11.18 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′. Gọi G và G′ lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và A′B′C′, gọi I là giao điểm của
hai đường thẳng AB′ và A′B. Chứng minh rằng hai đường thẳng GI và GG′ song song với nhau.
Bài 11.19 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1, gọi E, F là những điểm lần lượt nằm trên các đường chéo CA1, AB1 của các mặt
bên sao cho EF ∥ BC1. Tìm tỉ sốEFBC1
, xác định vị trí của E, F.
Bài 11.20 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1, điểm M là trung điểm cạnh bên AA1. Trên đường chéo AB1, BC1 của các mặt
bên lần lượt lấy các điểm E, F sao cho EF ∥ CM. Tìm tỉ sốEFCM
, xác định vị trí của E, F.
Bài 11.21 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1. Gọi M,N lần lượt là trung điểm cạnh bên AA1,CC1. Hai điểm E, F lần lượt trên
các đường thẳng CM, AB1 sao cho EF ∥ BN. Tìm tỉ sốEFBN
, xác định vị trí của E, F.
Bài 11.22 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1. Gọi M,N, P lần lượt là các điểm trên các cạnh bên AA1, BB1,CC1 sao choAMAA1
=B1NBB1
=C1PCC1
=34
. Hai điểm E, F lần lượt trên các đường thẳng CM, A1N sao cho EF ∥ B1P. Tìm tỉ sốEFB1P
.
Bài 11.23 : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Chứng minh rằng tồn tại điểm M duy nhất thuộc đường thẳng AC và điểm N duy nhất
thuộc DC1 sao cho MN ∥ BD1. Tính tỉ sốMNBD1
.
Bài 11.24 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Gọi M,N lần lượt là các điểm thuộc AD′ và DB sao cho−−→MA = k
−−−→MD′,
−−→ND = k
−−→NB
(k , 0, k , 1).
1. Chứng minh rằng MN ∥ (A′BC) ;
2. Khi đường thẳng MN ∥ A′C, chứng minh rằng MN vuông góc với AD′ và DB.
Bài 11.25 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi M,N lần lượt là trung điểm CD và DD′; G,G′ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện
A′D′MN và BCC′D′. Chứng minh rằng đường thẳng GG′ và mặt phẳng (ABB′A′) song song với nhau.
Vấn đề 4 : Chứng minh các vectơ đồng phẳng
�Muốn chứng minh các vectơ −→a ,
−→b ,−→c đồng phẳng chúng ta có thể :
1. Dựa vào định nghĩa : Chứng tỏ các vectơ −→a ,−→b ,−→c có giá cùng song song với một mặt phẳng.
2. Ba vectơ −→a ,−→b ,−→c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n duy nhất sao cho −→c = m−→a + n
−→b , trong đó −→a ,
−→b là hai vectơ không
cùng phương.
Bài 11.26 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Hãy xét sự đồng phẳng của các vectơ :
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Download tài liệu học tập tại : http://aotrangtb.com Trang 204
http
://ao
trang
tb.co
m
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1.−−→AB,−−−→A′C′,
−−−→B′D′ ; 2.
−−→AB,−−→BB′,−−−→B′C′ ; 3.
−−→AB,−−−→B′D,
−−−→C′D′.
Bài 11.27 : Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho−−→AM = 3
−−−→MD và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho
−−→NB = −3
−−→NC.
Chứng minh rằng ba vectơ−−→AB,−−→DC,−−−→MN đồng phẳng.
Bài 11.28 : Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABFE và K là giao điểm hai đường
chéo của hình bình hành BCGF. Chứng minh rằng ba vectơ−−→BD,−→IK,−−→GF đồng phẳng.
Bài 11.29 : Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD ta lần lượt lấy các
điểm M,N sao choAMAC=
BNBD= k (k > 0).
Chứng minh rằng ba vectơ−−→PQ,−−→PM,−−→PN đồng phẳng.
Bài 11.30 : Cho hai hình bình hành ABCD và AB′C′D′ có chung đỉnh A. Chứng minh rằng các vectơ−−→BB′,
−−−→CC′,
−−−→DD′ đồng phẳng.
Bài 11.31 : Cho hai ngũ giác đều OABCD và OA′B′C′D′ có chung đỉnh O và nằm trên hai mặt phẳng phân biệt. Chứng minh rằng
các vectơ−−→AA′,−−→BB′,−−−→CC′,
−−−→DD′ đồng phẳng.
Bài 11.32 : Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Các điểm M,N lần lượt thuộc các cạnh AD và BB1 sao cho AM = BN. Chứng
minh rằng ba vectơ−−−→MN,
−−→AB,−−−→B1D đồng phẳng.
Bài 11.33 : Cho tứ diện OABC. Gọi M,N, P là ba điểm trong không gian được xác định từ các hệ thức vectơ sau :
−−→OM =
−−→OA + α
−−→OB − 2
−−→OC; −−→ON = (α + 1)
−−→OA + 2
−−→OB +
−−→OC; −−→OP = (α − 2)
−−→OB + 2
−−→OC
với α là số thực. Tìm α để ba vectơ−−→OM,
−−→ON,−−→ d d dOP đồng phẳng.
Bài 11.34 : Cho góc tam diện Oxyz. Chứng minh rằng các phân giác trong của các góc yOz, zOx và phân giác ngoài của xOy thuộc
một mặt phẳng.
Bài 11.35 : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Gọi α là mặt phẳng đi qua đỉnh D1 song song với DA1 và AB1. Mặt phẳng này cắt đường
thẳng BC1 tại M, và giả sử−−→BM = k
−−−→BC1. Hãy tính k ?
Bài 11.36 : Cho tứ diện ABCD. Gọi P,Q là trung điểm các cạnh AB và CD. R, S là hai điểm theo thứ tự thuộc hai cạnh AC và BD sao
choARAC=
BSBD
. Chứng minh rằng bốn điểm P,Q,R, S thuộc một mặt phẳng.
Bài 11.37 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BB′ và A′C′. Điểm K thuộc B′C′ sao cho−−−→KC′ = −2
−−−→KB′.
Chứng minh rằng bốn điểm A, I, J,K cùng thuộc một mặt phẳng.
Bài 11.38 : Cho tứ diện ABCD ; I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD ; M là điểm thuộc AC sao cho−−→MA = k1
−−→MC ; N là điểm
thuộc BD sao cho−−→NB = k2
−−→ND. Chứng minh rằng các điểm I, J,M,N cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi k1 = k2.
Bài 11.39 : Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M,N, P,Q lần lượt thuộc AB, BC,CD,DA sao cho−−→AM =
13−−→AB,−−→BN =
23−−→BC,−−→AQ =
12−−→AD,−−→DP = k
−−→DC. Hãy xác định k để bốn điểm P,Q,M,N cùng nằm trên một mặt phẳng.
11.2 Hai đường thẳng vuông góc
Vấn đề 1 : Tính góc giữa hai vectơ
�1. Dùng trực tiếp định nghĩa : Nếu
−−→OA = −→a ,−−→OB =
−→b thì (−→a ,−→b ) = (
−−→OA,−−→ ÔOB) = AOB. Đặc biệt
• Góc giữa hai vectơ chung gốc hoặc chung ngọn tính bởi công thức
(−−→OA,−−→OB) = (
−−→AO,−−→ ÔBO) = AOB.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Download tài liệu học tập tại : http://aotrangtb.com Trang 205
http
://ao
trang
tb.co
m
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
• Góc giữa hai vectơ có gốc của vectơ này là ngọn của vectơ kia tính bởi công thức
(−−→
OB) = (−−→
AO,−−→
OA,−−→BO) = 180◦ − (
−−→OA,−−→ ÔOB) = 180◦ − AOB.
2. Dùng hệ quả của tích vô hướng : cos(−→u ,−→u .−→v ) =− →v|−→u |.|−→v |
.
Bài 11.40 : Cho tứ diện đều ABCD, gọi H là trung điểm AB. Tính góc giữa các cặp vectơ sau:
1.−−→AC và
−−→CD; 2.
−−→CH và
−−→CD.
Bài 11.41 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Tính góc giữa các cặp vectơ sau:
1.−−−→A′C′ và
−−→AB; 2.
−−−→A′C′ và
−−→AB′; 3.
−−→A′B và
−−−→B′D′.
Bài 11.42 : Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M là trung điểm AB. Tính góc giữa
hai vectơ−−→OM và
−−→BC.
Bài 11.43 : Cho hình chóp tam giác S .ABC có S A = S B = S C = AB = AC = a và BC = a √
2. Tính góc giữa hai vectơ−−→AB và
−−→S C.
Vấn đề 2 : Tính góc giữa hai đường thẳng a và b
�
××× ×××1. Dùng trực tiếp định nghĩa : Lấy hai đường thẳng a′ và b′ cùng đi qua một điểm lần lượt song song hoặc trùng với a và b. Góc
2. Chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b mà b vuông góc với (P).
3. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với (Q) mà (Q) song song với (P).
Ô Ô Ô
Ô
Bài 11.61 : Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, cạnh bên S A vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm BC.
1. Kẻ đường thẳng qua A vuông góc với S I tại H. Chứng minh rằng AH⊥(S BC).
2. Gọi G1,G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và S BC. Chứng minh rằng G1G2⊥(ABC).
Bài 11.62 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thoi và S A = S C.
1. Chứng minh rằng AC⊥(S BD).
2. Kẻ đường thẳng qua S vuông góc với (ABCD) tại I. Chứng minh rằng I cách đều A và C.
Bài 11.63 : Cho hình chóp S .ABC có S A = S B = S C = a, AS B = 90◦, BS C = 60◦, AS C = 120◦. Gọi O là trung điểm cạnh AC.
Chứng minh rằng S O⊥(ABC).
Bài 11.64 : Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều, gọi I là trung điểm cạnh BC.
1. Chứng minh rằng BC⊥(AID).
2. Vẽ đường cao AH của tam giác AID. Chứng minh rằng AH⊥(BCD).
Bài 11.65 : Cho hình chóp S .ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = a √
3, mặt bên S BC vuông tại B, mặt bên S CD
vuông tại D và có S D = a √
5.
1. Chứng minh rằng S A⊥(ABCD) và tính S A.
2. Mặt phẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB,CD tại I, J. gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên S C. Hãy
xác định các giao điểm K, L của S B, S D với (HIJ). Chứng minh rằng AK⊥(S BC), AL⊥(S CD).
3. Tính diện tích tứ giác AKHL.
Bài 11.66 : Cho tam giác ABC. Gọi (α) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CA tại A và (β) là mặt phẳng vuông góc với đường
thẳng CB tại B. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau và giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Bài 11.67 : Cho hình chóp S .ABC có S A = S B = S C. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy ABC. Chứng minh rằng
S O⊥(ABC). Hãy tổng quát hóa bài toán.
Bài 11.68 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác cân, có AB = AC = a và BAC = 120◦, đồng thời S A = S B = S C = 2a.
Gọi D là điểm đối xứng của A qua trung điểm của BC.
1. Chứng minh rằng BC⊥(S AD); 2. Tính góc giữa S B và (ABC).bBài 11.69 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông (A = 90◦), đáy lớn AD = 2a và AB = BC = a, đồng thời
S A = S C = S D. Gọi M là trung điểm AD. Chứng minh rằng S M⊥(ABCD) và AC⊥(S BM).
Vấn đề 2 : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau
�
1. Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
2. Dùng định lí ba đường vuông góc : Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P).
Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a′ của a trên (P).
3. Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng song song với đường thẳng kia.
2. Gọi M là trung điểm CC′. Tính tang của góc giữa đường thẳng BM và (A′B′C′).
Bài 11.87 : Cho tam giác ABC cân tại A, có A = 120◦, BC = a √
3. Lấy điểm D ở ngoài mặt phẳng chứa tam giác sao cho DA = a.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DBC.
1. Chứng minh rằng AO⊥(DBC).
2. Tính góc giữa đường thẳng DA và mặt phẳng (BCD) khi BDC = 90◦.
Bài 11.88 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và có tâm O, biết S A⊥(ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm
các cạnh S A và BC. Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) bằng 60◦.
1. Tính độ dài MN và S O; 2. Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (S BD).ÔBài 11.89 : Cho hình chóp S .ABC có ABC là tam giác cân, AB = AC = a, BAC = α. Biết S A, S B, S C đều hợp với mặt phẳng (ABC)
một góc α.
1. Chứng minh rằng hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
2. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).
Bài 11.90 : Cho lăng trụ đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy bằng a. Đường chéo BC′ của mặt bên BCC′B′ hợp với ABB′A′ góc 30◦.
1. Tính AA′.
2. Tính khoảng cách từ trung điểm M của AC đến mặt phẳng (BA′C′).
3. Gọi N là trung điểm của cạnh BB′. Tính góc giữa MN và mặt phẳng (BA′C′).
Bài 11.91 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC vuông cân tại A, AA′ vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đoạn nối trung điểm M của
AB và trung điểm N của B′C′ có độ dài bằng a, MN hợp với đáy góc α và mặt bên (BCC′B′) góc β.
1. Tính các cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ theo a và α; 2. Chứng minh rằng cos α =√
2 sin β.
Bài 11.92 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = 2a. Mặt phẳng (α) qua BC hợp với AC góc
30◦, cắt S A, S D lần lượt tại M và N. Tính diện tích tứ giác BCNM.
Bài 11.93 : Cho hình chóp S .ABC có các cạnh bên S A, S B, S C cùng tạo với đáy một góc α. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác đáy ABC. Chứng minh rằng S O⊥(ABC). Hãy tổng quát hóa bài toán.
Bài 11.94 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, có AB = a, AC = a √
3. Các cạnh bên S A, S B, S C cùng tạo
với đáy một góc 60◦. Tính góc tạo bởi
1. S A và (S BC); 2. S A và BC.
Bài 11.95 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, có AB = a, AD = a √
2.Các cạnh bên S A, S B, S C, S D cùng tạo
với đáy một góc 45◦. Gọi M là trung điểm AD.
1. Chứng minh rằng BM⊥S A; 2. Tính góc giữa BM và S C.
Vấn đề 4 : Dựng mặt phẳng qua điểm M cho trước và vuông góc với một đường thẳng d cho trước
�Gọi (α) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d.
1. Dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với d và có ít nhất một đường thẳng qua điểm M. Mặt phẳng xác định bởi hai
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌCd d dBài 11.115 : Cho ba tia Ox,Oy,Oz không đồng phẳng sao cho xOy = 90◦, yOz = zOx = 60◦. Tính góc giữa hai mặt phẳng (yOz) và
(zOx).
Bài 11.116 : Trong mặt phẳng (α) cho đường tròn (C ) tâm O bán kính R. Trên đường thẳng vuông góc với (α) tại O lấy điểm S sao
cho OS = R. Gọi M và N là hai điểm khác nhau trên (C ), a và b là hai tiếp tuyến với (C ) tại M và N. Tính góc giữa hai mặt phẳng
(S , a) và (S , b) trong mỗi trường hợp sau :
1. MN là đường kính của đường tròn; Õ2. MON = 90◦.ÔÔ
Bài 11.117 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Các mặt phẳng (S AB) và (S CD) là các tam giác vuông lần lượt
tại A và C, cùng hợp với đáy một góc α, biết ABC = ϕ.
1. Chứng minh rằng S O⊥(ABCD);
2. Chứng minh (S BC) và (S AD) cùng hợp với đáy (ABCD) một góc β thỏa mãn cot β = cot α cos ϕ.
Bài 11.118 : Cho hình chóp S .ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BAC = α, S A⊥(ABC) và S A = a. Gọi ϕ là góc giữa
hai mặt bên (S AC) và (S BC).
1. Chứng minh rằng tan α. tan β =
√1 + cos2 α
cos α;
Ô2. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện gì để β = 60◦.
Bài 11.119 : Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc. Gọi α, β, γ lần lượt là góc tạo bởi các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB)
với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.
Bài 11.120 : Cho lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD = 60◦. Gọi M,N lần lượt là trung điểm
các cạnh AA′ và CC′.
1. Chứng minh bốn điểm B′,M,D,N đồng phẳng. Tứ giác B′MDN là hình gì ?
2. Tính độ dài AA′ theo a để tứ giác B′MDN là hình vuông.
3. Khi tứ giác B′MDN là hình vuông, hãy tính góc giữa hai mặt phẳng (B′MDN) và (ABCD).
Vấn đề 2 : Chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc
�
1. Chứng minh góc giữa (P) và (Q) bằng 90◦.
2. Chứng minh (P) chứa đường thẳng a, trong đó a⊥(Q).
Bài 11.121 : Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm BC, D là điểm đối xứng của A qua I. Trên đường thẳng vuông góc với
mặt phẳng (ABCD) tại D, lấy điểm S sao cho S D =a √
62
. Chứng minh rằng (S BC)⊥(S AD) và (S AB)⊥(S AC).
Bài 11.122 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông, S A⊥(ABCD).
1. Chứng minh rằng (S AC)⊥(S BD).
2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (S BC).
3. Gọi BE,DF là hai đường cao của tam giác S BD. Chứng minh rằng (ACF)⊥(S BC), (AEF)⊥(S AC).
Bài 11.123 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a,OB =a √
3. Gọi (α) là mặt phẳng chứa S D và vuông góc với (S AC). Hãy xác định (α) và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt
phẳng (α).
Bài 11.141 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD). Qua A xác định mặt phẳng (α) vuông góc
với S C cắt S B, S C, S D lần lượt tại E,K,H. Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi (α) khi S A = a √
2.
Bài 11.142 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD), S A = a. Xác định và tính diện tích thiết diện
của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) chứa AN và vuông góc với (S BC), trong đó N là trung điểm của CD.
11.5 Khoảng cách
Vấn đề 1 : Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ cho trước
�∆) tại H. Ta có d(M,∆) = MH.1. Trong mặt phẳng xác định bởi điểm M và đường thẳng ∆ vẽ MH⊥
∆, cắt ∆ tại H. Ta có d(M,∆) = MH.2. Trong không gian dựng mặt phẳng (α) qua M và (α)⊥
Bài 11.143 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O, cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = a. Gọi I là trung điểm cạnh
S C và M là trung điểm đoạn AB.
1. Chứng minh rằng OI⊥(ABCD). 2. Tính d(I,CM).
Bài 11.144 : Cho hình chóp S .ABC; ABC là tam giác vuông cân (AB = AC = a); S B⊥(ABC) và S B = a. Tính khoảng cách từ S đếnÔCM, với M thuộc đoạn AB và AM =a3
.
Bài 11.145 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, S A = AB = 2a, ABC = 60◦ và S A⊥(ABCD).
1. Chứng minh : BD⊥S C, từ đó suy ra khoảng cách từ O đến S C.
2. Tính d(O; S B) và d(D; S C).
Bài 11.146 : Cho tam giác ABC với AB = 7cm, BC = 5cm, CA = 8cm. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy
điểm O sao cho AO = 4cm. Tính d(O, BC).
Bài 11.147 : Cho tam giác ABC vuông tại B (AB = a; BC = 2a). Ax và Cy cùng vuông góc với (ABC) và ở về cùng một phía. Lấy
M ∈ Ax và N ∈ Cy với AM = a,CN = a √
5. Chứng minh rằng AB⊥(BCy). Tính khoảng cách từ M đến BN.
Bài 11.148 : Cho góc vuông xOy và một điểm A nằm ngoài mặt phẳng xOy. Khoảng cách từ A đến Ox,Oy đều bằng a và AO =a √
72
.
Tính khoảng cách từ A đến (xOy).
Vấn đề 2 : Dựng đường thẳng đi qua một điểm A cho trước và vuông góc với một mặt phẳng (P) cho trước.Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P)
�
Bước 1 : Dựng mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với (P).
Bước 2 : Gọi c là giao tuyến của (P) và (Q). Trong (Q) kẻ đường thẳng qua A vuông góc với c tại H, AH chính là đường thẳng cần
dựng và AH là khoảng cách từ H đến mặt phẳng (P).
Nếu đã biết khoảng cách từ B đến (P), để tính khoảng cách từ A đến (P) chúng ta có thể sử dụng mối quan hệ sau :
1. d(M, (ABCD)); 2. d(A, (S BC)); 3. d(O, (S BC)); 4. d(G, (S AC)).
Bài 11.160 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Xác định và tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng cho dưới
đây.
1. Điểm A và mặt phẳng (BDB′D′) ; 2. Điểm A và mặt phẳng (A′BD).
Bài 11.161 : Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính d(B, (ACD)).
Bài 11.162 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Xác định và tính khoảng cách từ điểm A′ đến mặt phẳng (AB′D′).
Bài 11.163 : Cho hình chóp đều S .ABC cạnh a. Xác định chân đường vuông góc hạ từ A đến mặt phẳng (S BC) và tính d(A, (S BC)).
Bài 11.164 : Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a và AC = a. Từ trung điểm H của cạnh AB dựng S H⊥(ABCD) với S H = a.d1. Tính d(H, (S CD)). Từ đó suy ra khoảng cách từ O đến mặt phẳng (S CD).
2. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S BC).
Bài 11.165 : Cho góc vuông xOy và một điểm M nằm ngoài mặt phẳng chứa góc vuông, OM = 23cm và khoảng cách từ M tới hai
cạnh Ox,Oy đều bằng 17cm. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng chứa góc vuông.
Bài 11.166 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có cạnh AB = a nằm trong mặt phẳng (α), cạnh AC = a √
2 và tạo với (α) một góc 60◦.
1. Tính khoảng cách CH từ C tới (α). 2. Chứng minh rằng cạnh BC tạo với (α) một góc bằng 45◦.
Bài 11.167 : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, AB = 2a, S A = 4a. Tính :
1. d(O; (S AB)) ; 2. d(A; (S CD)).
Bài 11.168 : Cho tứ diện DABC, có ABC là tam giác vuông tại A, S B = a, AC = 2a. Các mặt (DAB) và (DAC) cùng hợp với (ABC)
góc α, mặt bên (S BC) vuông góc với (ABC).
1. Tính khoảng cách d từ D đến (ABC) theo a và α ; 2. Tìm số đo α khi biết d =2a√
3, khi đó hãy tính d(C; (DAB)).
Bài 11.169 : Cho hình chóp S .ABC có góc tạo bởi hai mặt phẳng (S BC) và (ABC) là 60◦. Các tam giác S BC và ABC đều, AB = a.
Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (S AC) trong mỗi trường hợp sau :
1. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) nằm miền trong tam giác ABC.
2. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) nằm miền ngoài tam giác ABC.
Bài 11.170 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, S A = a và S A⊥(ABCD), gọi M là trung điểm S C. Tính
1. d(A, (S CD));
2. d(B, (S CD));
3. d(O, (S CD));
4. d(C, (S BD));
5. d(M, (ABCDC));
6. d(M, (S AD)).
Bài 11.171 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a √
3 và các cạnh bên cùng hợp với đáy một
góc 60◦.
1. Tình d(S , (ABC)), d(A, (S BC)), d(C, (S AB));
2. Tính cosin góc giữa S B và AC;
3. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (S AC).
Vấn đề 3 : Đoạn vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
ÔBài 11.254 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật, với AB = a, AD = 2a, cạnh S A vuông góc với đáy, cạnh S B tạo với
mặt đáy một góc 60◦. Trên cạnh S A lấy điểm M sao cho AM =a √
33
. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh S D tại N. Tính thể tích khối chóp
S .BCNM.
Bài 11.255 : Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C′D′ có các cạnh AB = AD = a, AA′ =a √
32 , BAD = 60◦. Gọi M,N lần lượt là trung
điểm của A′D′, A′B′. Chứng minh rằng AC′⊥(BDMN) và tính thể tích A.BDMN. ÔÔBài 11.256 : Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b. Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc với nhau và góc BDC = 90◦.
Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b.
Bài 11.257 : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a và góc BAC = 120◦, cạnh bên BB′ = a.
Gọi I là trung điểm CC′. Chứng minh rằng tam giác AB′I vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB′I).
Bài 11.258 : Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có A′.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA′ = b. Gọi α là góc
giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A′BC). Tính tan α và thể tích khối đa diện A′BB′C′C.
Vấn đề 2 : Tính thể tích hình chóp một cách gián tiếp
�1. Ta thường phải so sánh đường cao, diện tích đáy của hình chóp, diện tích đáy của hình chóp phải tính với một hình chóp đã biết
(hay dễ tính toán hơn).
2. Dùng phương pháp chia tách khối đa diện.
3. Sử dụng kết quả sau: Cho khối chóp S .ABC. Trên tia S A, S B, S C lần lượt lấy ba điểm A′, B′,C′ khác với S . Khi đó
VS .ABC
VS .A′B′C′=
S AS A′.
S BS B′.
S CS C′.
Chú ý : Công thức tỉ số thể tích trên chỉ áp dụng cho hai hình chóp tam giác có chung đỉnh và chung các cạnh bên.
Bài 11.259 : Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V . Gọi M, P lần lượt là trung điểm của AB và CD, N thuộc cạnh AD sao cho
DA = 3NA. Tính thể tích tứ diện BMNP theo P.
Bài 11.260 : Cho hình chóp S .ABCD có thể tích là V; ABCD là hình bình hành. Gọi M,N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh
BC,CD, S D. Tính thể tích tứ diện AMNP theo V .
Bài 11.261 : Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh S A vuông góc với đáy. Từ A kẻ đường AD vuông góc với S B
và AE vuông góc với S C. Biết AB = a, BC = b, S A = c. Hãy tính thể tích hình chóp S .ADE.
Bài 11.262 : Cho hình chóp đều S .ABCD. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với S C cắt S B, S C, S D lần lượt tại B′,C′,D′. Biết rằng
AB = a,S B′
S B=
23
.
1. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S .AB′C′D′ và S .ABCD.
2. Tính thể tích khối chóp S .AB′C′D′.
Bài 11.263 : Cho hình chóp đều S .ABCD có cạnh đáy và đường cao cùng bằng a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm S B, S D ; P là giao
điểm của mặt phẳng (AMN) với S C. Tính thể tích khối chóp S .AB′C′D′.
Bài 11.264 : Cho chóp S .ABCD đáy là hình vuông, cạnh a, có S A⊥(ABCD). Mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với S C, cắt
S B, S C, S D lần lượt tại B′,C′,D′ và biếtS B′
S B=
23
. Tính thể tích hình chóp S .AB′C′D′.
Bài 11.265 : Cho chóp S .ABCD đáy là hình vuông tâm O, cạnh a, có S A⊥(ABCD) và S AÔ = a √
2. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu
của A lên S B và S D. Chứng minh rằng S C⊥(AHK). Tính thể tích khối chóp OAHK.
Bài 11.266 : Cho hình chóp S .ACBD có đáy là hình thoi cạnh a, BAD = 60◦, S A⊥(ABCD) và S A = a. Gọi C′ là trung điểm của S C.
Mặt phẳng (P) đi qua AC′ và song song với BD cắt các cạnh S B, S D lần lượt tại B′,D′. Tính thể tích khối chóp S .AB′C′D′.
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌCÔBài 11.306 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD = 60◦, S A vuông góc với mặt phẳng (ABCD), S A = a.
Gọi C′ là trung điểm của cạnh S C. Mặt phẳng (P) đi qua AC′ và song song với BD, cắt các cạnh S B, S D của hình chóp lần lượt tại
B′,D′. Tính thể tích khối chóp S .AB′C′D′.
Bài 11.307 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, S A vuông góc với đáy. Cho AB = a, S A = a √
2. Gọi H và
K lần lượt là hình chiếu của A lên S B, S D. Chứng minh S C⊥(AHK) và tính thể tích hình chóp O.AHK.
Bài 11.308 : Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho AC = R. Trên
đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (S BC) bằng 60◦. Gọi H,K lầ lượt là hình
chiếu vuông góc của A trên S B, S C. Chứng minh tam giác AHK vuông và tính VS .ABC.
11.7.2 Hình chóp đều
ĐỊNH NGHĨA : Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau (đường cao vuông góc với đáy tại tâm
đáy).
Chóp tứ giác thì chọn gốc tọa độ là tâm đáy ; chóp tam giác thì chọn gốc tọa độ là trung điểm M của BC (hình dưới) :
S
A
B C
D
O
x
y
z
S
A
B
C
MO
x
z
y
Câu hỏi : Hãy tìm tọa độ các đỉnh của hình chóp trong mỗi trường hợp ở trên, biết độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h.
Các yếu tố xác định hình chóp đều : biết cạnh dáy là a và
1. độ dài đường cao là h ;
2. độ dài cạnh bên bằng b, khi đó sẽ tính được chiều cao ;
3. góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng α, khi đó sẽ tính được chiều cao ;
4. góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng β, khi đó sẽ tính được chiều cao.
Câu hỏi 1 : Cho hình chóp đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a. Hãy gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ Oxyz như hình trên và tìm tọa độ
các đỉnh của hình chóp trong mỗi trường hợp sau :
1. Đường cao bằng a √
2 ;
2. Cạnh bên bằng a √
3 ;
3. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30◦ ;
4. Côsin góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng23
.
Câu hỏi 2 : Hãy làm bài toán trên với giả thiết là hình chóp đều S .ABC có độ dài cạnh đáy bằng a.
Chú ý : Tứ diện đều là tứ diện có tất cả các cạch bằng nhau.
Bài 11.309 : Cho hình tứ diện đều có tất cả các cạnh bằng a = 6 √
2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC.
Bài 11.310 : Cho khối chóp đều S .ABCD có AB = a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60◦. Tính thể tích khối chóp S .ABCD theo a.
Bài 11.311 (B07) : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm
của S A, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai