LPM-MATEMATICAS-2-V2-P-027-076

8/7/2019 LPM-MATEMATICAS-2-V2-P-027-076

1/50

x= -8.000

y

4x - 5y

2x + 10y


2/50

45

90

135

4.500

7.000

3

29

BLOQUE 3


3/50

28 L ib ro para e l maestro

12

secuencia 18

En esta secuencia construirs sucesiones de nmeros con signo a

partir de una regla dada y obtendrs la regla que genera una sucesinde nmeros con signo.

CUL ES LA REGLA?Para empezarSucesiones de nmeros

En la secuencia 3 de tu libro Mtmt i, volm i trabajaste con sucesiones defguras y con sucesiones de nmeros. En esta secuencia, continuars estudiando las su-cesiones de nmeros y las reglas que permiten obtener cada uno de sus trminos.

Consideremos lo siguienteCompleta los trminos que altan en la siguiente sucesin de nmeros:

5, 2, , 4, 7, 10, , 16, , , 25, 28, 31, , 37, ,

a) Escribe una regla para obtener cada uno de los trminos de la sucesin.

b) Cul es el trmino que est en el lugar 30?

c) Qu lugar ocupa el nmero 121 en esta sucesin?

Comparen sus respuestas. Comenten cmo hicieron para encontrar la regla.

Manos a la obrai. Seala cules de las siguientes sucesiones se pueden obtener utilizando la regla su-

mar tres al trmino anterior.

15, 11, 7, 3, 1, 5,

3, 6, 9, 12, 15, 18,

4, 1, 2, 5, 8, 11,

8, 3, 2, 7, 12, 17,

7, 4, 1, 2, 5, 8, 11,

14, 6, 2, 10, 18, 26,

12, 9, 6, 3, 0, 3,

SESin 1

Sucesiones denmeros con signo

: :

Propsitos de la sesin. Obtener la regla

verbal que genera una sucesin de nmeros

con signo en la que el valor de los trminos va

aumentando; en la regla se dice cunto hay que

sumar a cada trmino para obtener el siguiente

y cul es el primer trmino de la sucesin.

Obtener la sucesin a partir de una regla de

ese tipo.

Sugerencia didctica. Si lo considera

conveniente recuerde a los alumnos a qu se

reieren las expresiones trminoy lugar del

trmino. Puede preguntarles Cul es el primer

trmino de la sucesin y el segundo?, En qu

lugar de la sucesin est el trmino 7 y el 25?

Descripcin del video. Se hace una introduc-

cin al tema con la presentacin y descripcin

de sucesiones amosas a lo largo de la historia

tales como la sucesin de Fibonacci y la dada

por Gauss para obtener la suma de los primeros100 nmeros naturales.

Propsito de la sesin en el aula de medios.

Hallar los nmeros que altan para completar

una tabla que contiene nmeros con signo.

Si se dispone de aula de medios, esta actividad

puede realizarse en lugar de la sesin 1.

Propsito de la actividad. La sucesin es

parecida a las que se trabajaron en primero, la

dierencia es que ahora se incluyen trminos

negativos. Se espera que los alumnos logrenexpresar la regla de manera verbal.

Posibles procedimientos. Es relativamente

sencillo que los alumnos logren identiicar que

los trminos van aumentando de 3 en 3 ; es

posible que identiiquen esta regularidad

primero con los nmeros positivos y que despus

la apliquen a los nmeros negativos con los que

inicia la sucesin.

Para ormular la regla general es probable que

la expresen verbalmente por ejemplo: van de

tres en tres, aumenta de tres en tres y

empieza en 5 , Se suma tres al trmino

anterior. La regla algebraica es 3n 8, sin

embargo es poco probable que los alumnos la

expresen de esa manera; en caso de que alguno

llegara a ormularla, invtelo a que la compare

con las reglas verbales de otros compaeros.

Para encontrar el trmino en el lugar 30 pueden

hacer la lista con los primeros 30 trminos.

Tambin es probable que algunos alumnos

continen la lista hasta los primeros 43 trminos

para determinar que lugar ocupa el nmero 121.

Durante el intercambio grupal motive a los

alumnos para que identiiquen una o ms reglas

que permitan obtener la sucesin.

Propsito del interactivo. Explorar dierentes

sucesiones numricas. Que los alumnos analicen

y completen dierentes sucesiones numricas.

Propsito de las actividades I y II. Se espera

que los alumnos identiiquen que, con una regla

verbal del tipo sumar tres al trmino anterior o

sumar cinco al trmino anterior, se pueden

obtener muchas sucesiones distintas, pero si se

indica cul es el primer trmino, entonces slo

se obtiene una sucesin.

Respuestas.

3, 6, 9, 12, 15, 18,

4, 1, 2, 5, 8, 11,

7, 4, 1, 2, 5, 8, 11,

12, 9, 6, 3, 0, 3,

1 13 19 22 34 40

Van de tres en tres, Aumenta de tres en tres y empieza en -5

82

El lugar 43


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29L ib ro para e l maestro

13

IIMATEMTICASII. Responde las preguntas:

a) Con la regla sumar cinco al trmino anterior, podemos obtener muchas sucesio-

nes o una sola sucesin?

b) Encuentra una sucesin que se obtenga con esta regla.

c) Una regla ms precisa para obtener la sucesin que escribiste es sumar cinco al

trmino anterior y el primer trmino es

d) Por qu crees que esta regla sea ms precisa?

Comparen sus respuestas y comenten: la diferencia entre dos trminos consecuti-vos de una sucesin se obtiene al restar a un trmino el trmino anterior. Cul es ladiferencia entre dos trminos consecutivos de las sucesiones que encontraron en elinciso b)? . Obtengan tres sucesiones en las que la diferencia entre dostrminos consecutivos sea 7.

III.Completa lo que falta en las siguientes expresiones y responde las preguntas:

a) Una regla para obtener la sucesin 5, 11, 17, 23, 29, 35, es sumar seis al tr-

mino anterior y el primer trmino es

b) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de la sucesin?

c) Una regla para obtener la sucesin 12, 10, 8, 6, 4, 2, es sumar

al trmino anterior y el primer trmino es

d) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de la sucesin?

e) Escribe la sucesin que se obtiene con la regla sumarcinco al trmino anterior y

el primer trmino es14:

f) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de esa sucesin?

A lo que llegamos

En las sucesiones en las que la diferencia entre dos trminos consecutivos es constante,cada trmino se obtiene sumando una misma cantidad al trmino anterior.

La regla verbal para obtener este tipo de sucesiones se puede expresar diciendo cuntohay que sumar a cada trmino para obtener el siguientey cul es el primer trmino.Por ejemplo:

En la sucesin 8, 3, 2, 7, 12, 17,

: :

Sugerencia didctica. Comente con sus

alumnos a qu se reiere la expresin La

diferencia entre dos trminos consecutivos de

una sucesin; si lo considera conveniente pida

a algunos alumnos que pasen al pizarrn a hacer

la resta para encontrar la dierencia en una

sucesin. La dierencia entre dos trminos les

servir, posteriormente, para encontrar las reglas

algebraicas y para distinguir si una sucesin escreciente o decreciente.

Propsitos de la actividad. Que obtengan la

dierencia entre dos trminos consecutivos de

cada sucesin; identiiquen la regla verbal que

sirve para obtener de manera nica una

sucesin, y que obtengan una sucesin a partir

de la regla verbal.

Respuestas:

a) Sumar seis al trmino anterior y el primertrmino es 5.

b) La dierencia es 6.

c) Sumar dos al trmino anterior y el primer

trmino es 12.

d) La dierencia es 2.

e) 14, 9 , 4 , 1 , 6, 11,

) La dierencia es 5.

Sugerencia didctica. Lea esta inormacin

junto con sus alumnos apoyndose en el ejemplo

que se muestra. Posteriormente puede pedir a

los alumnos que propongan otra sucesin

numrica como ejemplo y que den la reglaverbal para obtener esta sucesin.

Eje

Sentido numrico y pensamiento algebraico.

Tema

Signifcado y uso de las literales.

Antecedentes

En la secuencia 3 de Matemticas I,volumen I, los alumnos aprendieron arepresentar sucesiones numricas o coniguras a partir de una regla dada y viceversa;en la secuencia 4 del mismo libro aprendierona interpretar las letras como nmerosgenerales con los que es posible operar.

En Matemticas II se retoman las sucesionesnumricas con la fnalidad de que los alumnoscontinen buscando regularidades, y de queaprendan a ormularlas, y a argumentar suvalidez. En esta ocasin las sucesiones incluyennmeros con signo.

Propsitos de la secuencia

Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de nmeros con signo.

Sesin Propsitos de la sesin Recursos

1

Cul es la regla?Obtener la regla verbal que genera una sucesin denmeros con signo en la que el valor de los trminosva aumentando; en la regla se dice cunto hay quesumar a cada trmino para obtener el siguiente ycul es el primer trmino de la sucesin. Obtener lasucesin a partir de una regla de ese tipo.

VideoSucesiones de nmeros

Interactivo

Sucesiones de nmeroscon signoAula de medios

Descripcin de programas(Calculadora)

2

Nmeros que crecenConstruir sucesiones de nmeros con signo a partirde una regla de la orma an+ b, con a> 0.Obtener la regla algebraica que genera una sucesinde nmeros con signo de este tipo.

InteractivoSucesiones de nmeros

con signo

3

De mayor a menorConstruir sucesiones de nmeros con signo a partirde una regla de la orma an+ b, con a< 0.Obtener la regla algebraica que genera una sucesinde nmeros con signo de este tipo.

InteractivoSucesiones geomtricas

con LogoPrograma integrador 13


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14

secuencia 18

La diferencia entre dos trminos consecutivos se calcula al restar a un trmino el trmi-

no anterior, por ejemplo: 7 2 = 5.

La regla verbal es: sumar5al trmino anterior y el primer trmino es8.

Si no se indica cul es el primer trmino, se pueden obtener muchas sucesiones utilizan-

do la misma regla.

iV.Una regla para obtener la sucesin 5, 2, 1, 4, 7, 10, (es la misma que est en el

apartado Consideremos lo siguiente) es sumar al trmino anterior y el

primer trmino es

a) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de la sucesin?

b) Completa la siguiente tabla con algunos de los trminos de la sucesin.

Lugar del trmino Trmino de la sucesin

1 5

2 2

3 1

4 4

5 7

10

15

20

30

40

c) Para pasar del trmino en el lugar 30 al trmino en el lugar 40, se avanza 10 lu-

gares. Cunto cambia el valor del trmino?

d) Cul es el trmino que est en el lugar 50?

e) Cul es el trmino que est en el lugar 100?

Comparen sus respuestas y comenten cmo hicieron para encontrar todos los trminos.

: :

Propsito de la actividad. Que amplen lasucesin que trabajaron en el apartado

Consideremos lo siguientecon la inalidad de

que identiiquen la diicultad de encontrar

cualquier trmino utilizando slo una regla

verbal.

Posibles procedimientos. Pueden observar

que, si se avanza 5 lugares, por ejemplo del

trmino en el lugar 5 al trmino en el lugar 10,

el valor del trmino aumenta 15 y si se avanza

10 lugares, el valor del trmino aumenta 30.

Respuestas.

c) Aumenta 30.

d) 142.

e) 292 .

22

37

52

82

112

3

3

5


6/50


Propsito de la actividad. Que los alumnos

identiiquen que con distintas reglas, se obtienen

sucesiones en las que la dierencia entre dos

trminos consecutivos es la misma.

15

IIMATEMTICASLo que aprendimosResponde las preguntas para la siguiente sucesin:

23, 16, 9, 2, 5, 12,19, ...


b) Cul es la regla verbal que nos permite obtener cada uno de los trminos de la suce-sin?

nMEROS QUE CRECEnPara empezarEn la sesin anterior encontraste la regla verbal para una sucesin de nmeros con signodiciendo cunto hay que sumar a cada trmino para obtener el siguiente y cul es elprimer trmino. En esta sesin obtendrs la regla algebraica utilizando el lugar que ocu-pa cada trmino.

Para la siguiente sucesin de nmeros:

2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34,


b) Sealen con cules de las siguientes reglas podemos obtenerlos trminos de la sucesin. La n indica el lugar del trmino.

2n + 4.

Sumar cuatro al trmino anterior y el primer trmino es2.

4n + 2.

4n 2.

c) Comenten si algunas de las reglas anteriores son equivalentes.

Consideremos lo siguienteCompleta la siguiente tabla para encontrar los trminos que se indican en cada sucesin:

Lugar deltrmino

Reglas algebraicas

3n 3n + 1 3n 7 3n 10 3n 16

1

2

3

4

10

100

115

Recuerdenque:

Ladiferenciaentredost

rminos

consecutivossecalculaalr

estar

auntrminoeltrminoant

erior.

Cuandohayvariasreglaspara

obtenerlamismasucesind

e

nmeros,sedicequesonre

glas

equivalentes.

SESin 2

: :

Respuestas.

a) La dierencia es 7.

b) La regla verbal es: sumar7 al trmino

anterior y el primer trmino es23 .

Propsitos de la sesin. Construir sucesiones

de nmeros con signo a partir de una regla de la

orma an+ b, con a>0. Obtener la regla

algebraica que genera una sucesin de nmeros

con signo de este tipo.

Propsito de la actividad. Proponer reglas

verbales y algebraicas en las que utilizan el

lugar del trmino .

Respuestas.


b) Hay dos respuestas correctas: 4n 2 y sumar

cuatro al trmino anterior y el primer trmino

es 2.

c) Las reglas equivalentes son sumar cuatro

al trmino anterior y el primer trminoes2 y 4n 2.

Sugerencia didctica. En el inciso b) se espera

que los alumnos identiiquen las dos reglas

correctas, en caso de que slo identiiquen una

de ellas usted puede animarlos a buscar si hay

otra ms. Si eligen una regla incorrecta, durante

la conrontacin grupal pdales que identiiquen

los primeros trminos de la sucesin que se

obtienen con esa regla.

Para el inciso c) invtelos a que justiiquen por

qu consideran que tales reglas son equivalentes.

Propsito del Interactivo. Que los alumnos

identiiquen que con distintas reglas, se obtienen

sucesiones en las que la dierencia entre dos

trminos consecutivos es la misma.

3 4 4 7 13

6 7 1 4 10

9 10 2 1 7

12 13 5 2 4

30 31 23 20 14

300 301 293 290 284

345 346 338 335 329


7/50


16

secuencia 18

a) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos en cada una de estas sucesiones?

b) Para la sucesin 5, 2, 1, 4, 7, Cul es la regla algebraica que nos permite en-

contrar el trmino que est en el lugar n?

c) Aparece en esta sucesin el nmero 278?

Comparen sus respuestas y comenten cmo hicieron para encontrar la regla.

Manos a la obra

i. Responde las preguntas sobre la sucesin que se obtiene con la regla 3n 7.

a) Una regla equivalente para obtener esta sucesin es sumar al trmino

anterior y el primer trmino es

b) Cul es el trmino que est en el lugar 40?

c) Cul de las dos reglas utilizaste para encontrar ese trmino?


ii. Responde las preguntas sobre la sucesin 1, 4, 7, 10, 13, 16,

a) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de esta sucesin?

b) Observa las dos sucesiones

3, 6, 9, 12, 15, 18,

1, 4, 7, 10, 13, 16,

Cul es la regla algebraica para obtener la primera sucesin (3, 6, 9, 12,

15, 18, )?

c) Subraya la operacin que debemos hacer para pasar de cada trmino en la prime-

ra sucesin a su correspondiente trmino en la segunda sucesin:

Restar 2

Sumar 2

d) Cul es la regla algebraica para obtener la sucesin 1, 4, 7, 10, 13, 16, ?

: :

Respuestas.a) La dierencia es 3.

b) 3n8.

c) El nmero 278 no aparece en la sucesin.

Sugerencia didctica. Si observa que algunos

alumnos tienen diicultades para encontrar la

regla de la sucesin 5 , 2, 1, 4, 7, ... puede

sugerirles que intenten encontrar los trminos

de otras sucesiones que tengan reglas en las

que la nse multiplica por 3.

Si tienen diicultades para determinar si el

nmero 278 est en la sucesin, usted puede

sugerirles que obtengan algunos trminos de la

sucesin que se acerquen a 300 . Un buen

procedimiento es encontrar el trmino en el

lugar 100 (es 292 ) y observar que 289 , 286 ,

283 , 280 y 277 s estn en la sucesin, pero

278 no.

Otra orma de resolver, es explorar si 278

resulta de la aplicacin de la regla 3n 8: a

278 se le suma 8, y el resultado se divide entre

3. Este procedimiento implica despejar a n; no

se espera que los alumnos lo resuelvan de esta

manera, pero si algunos de ellos se acercan a

este procedimiento, usted puede ayudarles

precisando las relaciones entre los datos.

Sugerencia didctica. Es importante que los

alumnos comenten cmo cambian las sucesiones

cuando cambia la regla, para ello usted puede

preguntar cmo cambia el valor del primer

trmino en cada una de las sucesiones.

Propsito de la actividad. Que comparen la

utilidad de los dos tipos de reglas (la verbal y la

algebraica) para encontrar cualquier trmino en

la sucesin.

Respuestas.

a) Sumar3al trmino anterior y el primer

trmino es4 .

b) 113.

d) 137.

Sugerencia didctica. Es probable que algunos

alumnos consideren que la regla algebraica es

ms dicil de utilizar que la regla verbal; si uera

el caso usted puede preguntarles cmo

utilizaran cada una de las reglas para encontrar

el trmino que est en el lugar 1 350. Con este

ejemplo se espera que los alumnos identiiquen

la utilidad de la regla algebraica.


conozcan una orma de establecer la regla

algebraica de una sucesin.

Se comparan los trminos de la sucesin que se

obtiene con la regla 3ncon los de la otra

sucesin (1, 4, 7, 10, 13, 16, ), esto se hacecon la inalidad de establecer la operacin que

permite pasar de un trmino de la primera

sucesin, al trmino que le corresponde en la

segunda sucesin y de esta manera encontrar la

regla algebraica para obtener la segunda

sucesin. En este caso la operacin que se debe

hacer es restar 2 y entonces la regla algebraica

para obtener la sucesin 1, 4, 7, 10, 13, 16,

es 3n 2.

Es posible que algunos alumnos hayan

encontrado sus propios procedimientos para

obtener la regla algebraica. Se sugiere que pida

a esos alumnos que pasen al pizarrn a explicar

sus procedimientos.


b) 3n.

c) Restar 2.

d) 3n 2.


8/50


17

IIMATEMTICASIII.Observa el diagrama y responde las preguntas.

5, 10, 15, 20, 25, 30,

6, 11, 16, 21, 26, 31,

a) Cul es la regla algebraica para obtener la primera sucesin?

b) Cul es la operacin que debemos hacer para pasar de cada trmino en la prime-

ra sucesin a su correspondiente trmino en la segunda sucesin?

c) Cul es la regla algebraica para obtener la sucesin 6, 11, 16, 21, 26, 31, ?


Comparen sus respuestas. Comenten cmo hicieron para encontrar las reglas algebraicasy encuentren la regla verbal y la regla algebraica para obtener la sucesin 11, 6, 1,4, 9, 14,

A lo que llegamosEn las sucesiones en las que la diferencia entre dos trminos consecu-

tivos es una constante, podemos dar la regla algebraica multiplican-do el lugar del trmino por la diferencia de los trminos consecutivos

y sumando o restando una constante adecuada.

Por ejemplo:

En la sucesin 8, 3, 2, 7, 12, 17, ,la diferencia es de 5.

Para encontrar la regla, sabemos que para pasar de cada trminoen la sucesin que se obtiene con la regla 5n, a su correspondientetrmino en la sucesin 8, 3, 2, 7, 12, 17, , debemos restar13.

Entonces la regla para obtener la sucesin8, 3, 2, 7, 12, 17, es 5n 13.

: :


comparen la sucesin que se obtiene con la

regla 5ncon dos sucesiones en las que la

dierencia entre dos trminos consecutivos es 5,

de esta manera lograrn obtener la regla

algebraica de cada sucesin.

En la conrontacin grupal usted puede pedir a

un alumno que pase al pizarrn a hacer eldiagrama para comparar la sucesin que se

obtiene con la regla 5ncon la sucesin 11, 6 ,

1, 4, 9, 14,

Respuestas.

a) 5n.

b) Sumar 1.

c) 5n+ 1.

d) 5n20.

Sugerencia didctica. Lea y comente esta

inormacin con sus alumnos apoyndose en el

ejemplo que se muestra. Posteriormente usted

puede proponer otra sucesin para que

identiiquen la dierencia entre los trminos

consecutivos y para que establezcan la regla

algebraica.


9/50


Respuestas.

a) 492 .

b) No.

c) S.

d) 142.

e) Est en el lugar 28.

Una orma de averiguar si un nmero est en una

sucesin determinada, es por medio de estimacio-

nes: a partir de un trmino que ya se conoce de la

sucesin y que sea cercano al trmino propuesto.

Para obtener el lugar de un trmino, se puede

proceder tambin por aproximaciones; otra orma

es recurrir a la misma regla para despejar a n, por

ejemplo, para encontrar el lugar del trmino del

nmero 132 a partir de la regla 5n 8, se suma

8 y luego se divide entre 5.

Sugerencia didctica. La sucesin que seobtiene con la regla del inciso c) tiene nmeros

decimales; es importante que los alumnos

practiquen el manejo de estos nmeros al

obtener la sucesin.

Respuestas.

a) 19, 11, 3 , 5, 13, 21, 29, 37, 45, 53,

b) 18, 11, 4 , 3, 10, 17, 24, 31, 38 , 45,

c) 2.5, 0.5, 1.5, 3.5 , 5.5 , 7.5, 9.5 , 11.5,

13.5, 15.5,

18

secuencia 18

iV.Para la sucesin que se obtiene con la regla 5n 8:

a) Cul es el trmino que est en el lugar 100?

b) El nmero 500 est en la sucesin?

c) El nmero 497 est en la sucesin?


e) En que lugar de trmino est el nmero 132?Comparen sus respuestas.

Lo que aprendimos1. Encuentra los primeros 10 trminos de las sucesiones que se obtienen con las si-

guientes reglas:

a) Sumar8al trmino anterior y el primer trmino es19

b) 7n 25

c) 2n 4.5

2. Responde las preguntas para la sucesin 23, 16, 9, 2, 5, 12,19,


b) Cul es la regla algebraica para obtener la sucesin?

c) La regla verbal para obtener esta sucesin es sumar al trmino an-

terior y el primer trmino es

d) Cul es el trmino que ocupa el lugar 78?

e) En qu lugar de trmino est el nmero 201?

3. Responde a las preguntas sobre la siguiente sucesin:

2.5, 1.5, 0.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5,


b) Expresa la regla algebraica para obtener la sucesin.

c) Cul es el trmino que ocupa el lugar 25 en la sucesin?

d) Cul es el trmino que ocupa el lugar 278?

e) Qu lugar ocupa el nmero 101.5 en esta sucesin?

: :


trabajen con sucesiones en las que la dierencia

entre dos trminos sucesivos es 1, por lo que en

la regla algebraica la naparece sin coeiciente,

al estar multiplicada por 1.


b) n 3.5

c) 21.5

d) 274.5

e) El lugar 105.

Respuestas.


b) 7n 30.

c) Sumar7 al trmino anterior y el primertrmino es23 .

d) 516.

e) En el lugar 37.


10/50


11/50


Propsito de la actividad. Identiicar que hay

tres reglas posibles para obtener esta sucesin:

dos reglas verbales y la regla algebraica.

Durante la sesin se utilizan reglas verbales del

tipo sumar(4 ) al trmino anterior y el primer

trminoes, para que identifque que, en estas

sucesiones, la dierencia entre dos trminos

consecutivos es 4 y en la regla algebraica se

multiplica la npor 4.

Respuestas.

Restar4al trmino anterior y el primer

trmino es6.

4n+ 10.

Sumar (4) al trmino anterior y el primertrmino es6.


expresen la regla verbal para obtener una

sucesin en la que los trminos van disminuyen-

do y que encuentren la dierencia entre dos

trminos consecutivos de esa sucesin.

Respuestas.

a) Van aumentando.

b) 4.

c) Van disminuyendo.

d) Restar4 al trmino anterior y el primer

trmino es14.

e) Sumar4al trmino anterior y el primer

trmino es14.

) 10 14 = 4.

20

secuencia 18

Manos a la obrai. Seala con cules de las siguientes reglas podemos obtener cada uno de los trminos

de la sucesin.

Sumar4 al trmino anterior y el primer trmino es6.

Restar4 al trmino anterior y el primer trmino es6.

4n 2

4n+ 10

4n + 2

Sumar(4) al trmino anterior y el primer trmino es6.

ii. Responde las preguntas:

a) En la sucesin 7, 3, 1, 5, 9, los trminos van aumentando o disminuyendo?

b) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de esta sucesin?

c) En la sucesin 14, 10, 6, 2, 2, los trminos van aumentando o disminuyendo?

d) Una regla verbal para obtener esta ltima sucesin es restar al


e) La sucesin tambin la podemos obtener con la regla sumar al


f) Para calcular la diferencia entre dos trminos consecutivos, haz la resta del segun-

do trmino menos el primer trmino: =

iii.Encuentra los primeros diez trminos de las sucesiones que se obtienen con las reglasindicadas.

Lugar deltrmino

Regla algebraica

4n + 6 4n 2 4n 5

1 (4) 1 + 6 = (4) 1 2 = (4) 1 5 =

2 (4) 2 + 6 = (4) 2 2 = (4) 2 5 =

3

4

5

6

7

8

9

10

Recuerdaque:

Lasmultiplicaciones

ydivisionesse

hacenantesquelas

sumasyrestas.

: :

2 6 9

2 10 13

6 14 17

10 18 21

14 22 25

18 26 29

22 30 33

26 34 37

30 38 41

34 42 45


apliquen reglas algebraicas en las que la nest

multiplicada por un nmero negativo.


12/50


21

IIMATEMTICASa) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de estas sucesiones?

b) En estas sucesiones, los trminos van aumentando o disminuyendo?

Comparen sus respuestas.

IV.Responde las preguntas sobre la sucesin 7, 3, 1, 5, 9, 13,

a) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de esta sucesin?

b) En la regla algebraica para obtener cada uno de los trminos de la sucesin, debe-

mos multiplicar la npor

c) Observa las dos sucesiones:

4, 8, 12, 16, 20, 24,

7, 3, 1, 5, 9, 13,

Cul es la operacin que debemos hacer para pasar de cada trmino en la prime-

ra sucesin a su correspondiente trmino en la segunda sucesin?


Comparen sus respuestas. Encuentren la regla algebraica para obtener la sucesin11, 15, 19, 23, 27, 31,

A lo que llegamosPara las sucesiones en las que la diferencia entre dos trminos consecutivos es una constante:

Si la constante es positiva, los trminos van aumentando.

Si la constante es negativa, los trminos van disminuyendo.

En estas sucesiones podemos dar la regla algebraica multiplicando el lugar del trminopor la diferencia de los trminos consecutivosy sumando o restando una constanteadecuada.

Por ejemplo:En la sucesin 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, ., la diferencia es de 3.

Para encontrar la regla, sabemos que para pasar de cada trmino en la sucesin que seobtiene con la regla 3n, a su correspondiente trmino en la sucesin 2, 5, 8, 11,14

,17

,20

, , debemos sumar1

.Entonces la regla para obtener la sucesin 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, es 3n+ 1.

: :

Respuestas.


b) Van disminuyendo.


comparen la sucesin que se obtiene con la

regla 4ncon la sucesin 7, 3, 1, 5, 9, 13,

..., para obtener la regla algebraica de la

sucesin que se les presenta.

Respuestas.

a) 4.

b) 4.

c) Sumar 11.

d) 4n+ 11.

Respuesta.

La regla es 4n7.

Sugerencia didctica. Pida a los alumnos que

regresen al problema del apartado Considere-

mos lo siguientey que apliquen el mismo

procedimiento que se plantea en la actividad IV

para veriicar si la regla que propusieron es

correcta o no.

Sugerencia didctica. Lea y comente esta

inormacin con los alumnos, posteriormente

puede pedirles que escriban en sus cuadernos

otras sucesiones y sus reglas algebraicas en las

que la dierencia sea negativa.


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Respuestas.

a) 23, 17, 11, 5, 1, 7, 13, 19, 25, 31.

b) 6n+ 29.

c) 7, 2, 3 , 8 , 13, 18, 23, 28, 33, 38.

d) S son equivalentes.

Sugerencia didctica. Si los alumnos tienen

diicultades usted puede pedirles que obtengan

los primeros trminos de cada sucesin. Una

manera algebraica de ver que son equivalente

es transormando la segunda expresin en una

suma: 23 6n= 23 + (6n)= 6n+ 23.

Respuesta.

Son equivalentes.

Sugerencia didctica. Usted puede pedirles a

dos alumnos que pasen al pizarrn a obtener

los primeros trminos de cada sucesin. Otra

manera de verlo es:

7 n= 7 + (n) = n+ 7.

Respuestas.

a) Van aumentando.

b) 5.

c) 5n 17.

d) Sumar5al trmino anterior y el primertrmino es12.

e) Van disminuyendo.

) 5.

g) 5n.

h) Sumar5al trmino anterior y el primertrmino es5.

22

secuencia 18

V. Responde las preguntas.

a) Encuentra los primeros 10 trminos de la sucesin que se obtiene con la reglasumar(6) al trmino anterior y el primer trmino es23.

b) Cul es la regla algebraica para obtener la sucesin?

c) Cules son los primeros 10 trminos de la sucesin que se obtiene con la regla

5n+ 12?

d) Son equivalentes las reglas 6n + 23 y 23 6n? Explica tu respuesta:

Comparen sus respuestas. Comenten si son equivalentes las reglas 7 n y n + 7.

Lo que aprendimos1. Responde las preguntas.

a) En la sucesin 12, 7, 2, 3, 8, 13, los trminos van aumentando o disminu-

yendo?

b) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos en la sucesin?

c) Cul es la regla algebraica para obtener la sucesin?

d) Otra regla para obtener la sucesin es sumar al trmino anterior y

el primer trmino es

e) En la sucesin 5, 10, 15, 20, 25, 30, los trminos van aumentando o

disminuyendo?

f) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos en la sucesin?

g) Cul es la regla algebraica para obtener la sucesin?

h) Otra regla para obtener la sucesin es sumar al trmino anterior y

el primer trmino es

2. Encuentra los primeros10 trminos de la sucesin que se obtiene con la regla n 18.Indica la diferencia entre dos trminos consecutivos de la sucesin.

: :

Integrar al portaolios. Considere los

problemas 2, 3 y 4 para evaluar los aprendizajes

de los alumnos.

Respuestas problema 2.

Primeros 10 trminos de la sucesin: 19, 20,

21, 22 , 23, 24, 25, 26, 27, 28.

La dierencia entre dos trminos sucesivos es 1.


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23

IIMATEMTICAS3. Encuentra una regla para las siguientes sucesiones:

a) Que el segundo trmino sea 7 y el cuarto trmino sea 19.

b) Que el tercer trmino sea 1 y el sexto trmino sea 14.

4. En la columna de la izquierda se presentan algunas reglas algebraicas y en la colum-na de la derecha, algunas reglas verbales. Relaciona las columnas con las reglas equi-valentes.

Regla algebraicas Reglas verbales

( ) 4n 12

( ) 4n 8

( ) 7n+ 10

( ) 7n 10

( ) 4n 12

( ) 7n 4

(a) Sumar(7) al trmino anteriory el primer trmino es10

(b) Sumar4 al trmino anteriory el primer trmino es12

(c) Sumar7 al trmino anteriory el primer trmino es3

(d) Sumar(4) al trmino anteriory el primer trmino es16

(e) Sumar(7) al trmino anteriory el primer trmino es3

(f) Sumar7 al trmino anteriory el primer trmino es3

(g) Sumar4 al trmino anterior y elprimer trmino es8

(h) Sumar(4) al trmino anteriory el primer trmino es12

5. Para conocer ms sucesiones de nmeros con signo pueden ver el programaSucesio-nes de nmeros con signo.

Para saber ms

Consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:

Ruiz, Concepcin y Sergio de Rgules. El piropo matemtico, de los nmeros a las estrellas. Mxico: SEP/Edi-

torial Lectorum, Libros del Rincn, 2003.

Sobre las sucesiones de nmeros con signo consulta:

http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Bach_HCS_2/Sucesiones_numeros_reales_limites/Progresiones_

aritmeticas.htm

[Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007].

Proyecto Descartes. Ministerio de Educacin y Ciencia. Espaa.

Explora las actividades del interactivo Sucesiones geomtricas con Logo.

: :

Propsito de la actividad. Este problema

presenta un grado de diicultad mayor, pues no

se conocen dos trminos consecutivos; este tipo

de problemas permite que los alumnos exploren

otros aspectos de las sucesiones numricas y de

las reglas que las determinan; en este caso, les

permite indagar sobre las condiciones presenta-

das que establecen la dierencia entre dos

trminos consecutivos.

Posibles procedimientos. Una estrategia para

resolver es calcular cunto cambi el valor de

los trminos considerando el nmero de lugares

entre un trmino y otro: en la primera sucesin,

la dierencia entre 7 y 19 es 12 unidades, y hay

2 lugares entre ambos trminos: 12 2= 6 ; la

dierencia entre dos trminos consecutivos es 6.

La sucesin es 1, 7, 13, 19, 25, 31, En la

segunda sucesin, entre 1 y 14 se disminuye

15 unidades, y hay 3 lugares entre esos dos

trminos: 15 3 = 5; la dierencia entre dos

trminos consecutivos es 5. La sucesin es 11,

6, 1, 4, 9, 14, 19,

Respuestas:

a) Regla verbal: sumar6al trmino anterior y elprimer trmino es1. Regla algebraica: 6n 5.

b) Regla verbal: sumar5al trmino anterior y

el primer trmino es11. Regla algebraica:5n+ 16.

Propsito del programa integrador 13.

Ejempliicar cmo se construye una sucesin de

nmeros con signo a partir de una regla dada y

mostrar cmo se obtiene la regla que genera

una sucesin de este tipo.

Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar

la cartelera para saber horario y das de

transmisin.

g

h

e

c

d

Propsito del interactivo. Explorar y construir

sucesiones geomtricas.


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24

secuencia 19

Ecuaciones deprimer grado

En esta secuencia resolvers problemas que impliquen el plantea-miento y resolucin de ecuaciones con una incgnita.

Piensa un nmero

Para empezar El jugador A piensa un nmero y sin mostrarlo al jugador B, lo escribe en el cuadro

etrd. Despus realiza las operaciones indicadas y le dice a B el nmero que obtu-

vo en el cuadro sld.

Entrada

Smale 12

Salida

Multiplcalo por 10

Diagrama 1

El jugador B tiene que encontrar el nmero que el jugador A escribi en la etrd ydecrselo.

Cuando el jugador B acierte, cambian los papeles y juegan otro turno.

Consideremos lo siguienteLos nmeros de la siguiente tabla resultaron de aplicar las operaciones del diagrama

anterior. Escriban los nmeros de entrada correspondientes.

Nombre Entrada Salida

Brenda 53 542

Sal 69 702

Jess 824.5

Ral 4

Comparen sus respuestas y expliquen cmo las obtuvieron.

sesin 1

: :

Propsito de la sesin. Resolver problemasque impliquen el planteamiento y resolucin deecuaciones de la orma ax+ b= c, invirtiendolas operaciones y el orden en que aparecen.

Sugerencia didctica. Con la inalidad de quelas reglas queden claras, inicie usted el juegoadivinando los nmeros que piensen dos otres de sus alumnos.Primero puede pedir a los alumnos que piensennmeros naturales de 1 o 2 ciras,posteriormente puede indicarles que utilicennmeros decimales y negativos.


Resolver ecuaciones de primer grado de la ormaax+ b= c.

Si se dispone de aula de medios, esta actividadpuede realizarse en lugar de la sesin 1.

Propsito de la actividad. Se espera que losalumnos puedan identiicar que, para obtener elnmero de entrada, es necesario invertir lasoperaciones: al nmero que se obtiene en lasalida, se le resta 12 y luego se divide entre 10.

Posibles diicultades. En caso de que algunosalumnos hayan optado por un procedimientoerrneo, ese procedimiento encontrar suslimitaciones en el caso de Ral, pues el nmerode entrada es negativo.

Respuestas.

Jess: 81.25

Ral: 0.8

Eje


Tema

Signifcado y uso de las literales.

Antecedentes

En Matemticas I, los alumnos aprendierona resolver ecuaciones de la orma a+ x= b,ax= b y ax+ b= c, con coeicientesenteros positivos. En esta secuenciaaprendern a plantear y resolver ecuacionesde la orma ax+ b= cx+ d y con parnte-sis, con coeicientes enteros o raccionarios,enteros y negativos.

Propsitos de la secuenciaResolver problemas que impliquen el planteamiento y resolucin de ecuaciones con una incgnita.


1

Piensa un nmeroResolver problemas que impliquen el planteamiento yresolucin de ecuaciones de la orma ax+ b= c,invirtiendo las operaciones y el orden en que aparecen.

Aula de mediosEcuaciones (2)

(Hoja de clculo)

2

El modelo de la balanzaResolver problemas que impliquen el planteamiento y reso-lucin de ecuaciones de la orma ax+ b= cx+ d,utilizando las propiedades de la igualdad.

VideoLa balanzaInteractivo

Resolucin de ecuacionesAula de medios

Nmeros perdidos(Calculadora)

3

Ms all del modelo de la balanzaResolver problemas que impliquen el planteamiento yresolucin de ecuaciones de la orma ax+ b= cx+ dycon parntesis, con coeicientes enteros y raccionarios,positivos y negativos.

4

Miscelnea de problemasAplicar lo aprendido en las tres primeras sesiones mediantela solucin de problemas que impliquen el planteamiento yresolucin de ecuaciones de primer grado.

Programa integrador 14


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IIMATEMTICASManos a la obraI. Consideren que el nmero de Salida es 72. Escriban los nmeros que deben ir en el

crculo azul y en el cuadro rojo.

72

Entrada

Smale 12

Salida

Multiplcalo por 10

Diagrama 2

a) Qu operacin hicieron con el nmero 72 para encontrar el nmero que va en el

crculo azul?

b) Qu operacin hicieron con el nmero delcrculo azul para encontrar el nmero

del cuadro de Entrada?

c) Completen el siguiente diagrama escribiendo las operaciones que hicieron paraencontrar los nmeros faltantes.

824.5

Entrada Salida

Diagrama 3

II. Completen el siguiente diagrama.

8

Entrada Salida

Smale 12Multiplcalo por 10

: :

Propsito de la actividad. Que los alumnosidentiiquen la regla que permite encontrar elnmero de Entrada.

Respuestas.

a) Restar: 72 12 = 60

b) Dividir: 6010 = 6

Sugerencia didctica. Aclare a los alumnos quelas lneas punteadas indican el procedimientode regreso para encontrar el nmero inicial.

Divdelo entre 10 Rstale 12


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secuencia 19

iii. Consideren la siguiente adivinanza:

Pens un nmero. Lo llamp, le rest5, el resultado lo divid entre4 y obtuve2.75.

a) Cul de los siguientes diagramas sirve para encontrar el valor de p?

Diagrama 1 p 2.75

Rstale 5Divdelo entre 4


Diagrama 2 p 2.75

Divdelo entre 4Rstale 5

Multiplcalo por 4Smale 5

Diagrama 3 p 2.75



b) Cul de las siguientes ecuaciones corresponde a la adivinanza? Subryenla.

p

4+ 5 = 2.75

p 5

4= 2.75

(p 5) 4 = 2.75

c) Cul es el valor de p?

Comparen sus respuestas y verifquen sus soluciones usando el diagrama que escogieron.

Recuerden que:

Unaecuacinesunaigualdaddondehay

un valordesconocido llamadoincgnita.

Resolverlaecuacinsignifcaencontrarel

valordela incgnita.

: :

Respuestas.

a) Diagrama 2

b) p 54

= 2.75

c) 16

Sugerencia didctica. Organice la comparacinde resultados empezando por pedir el valor de py revise con todo el grupo que, con las operacio-nes indicadas, se obtenga 2.75. Para verifcar quela ecuacin que sealaron es la correcta, puedepedir a tres alumnos que pasen al pizarrn asustituir la p por el valor encontrado.

El valor de pes 16,

En la primera ecuacin p4

+ 5 = 2.75, seobtiene 16

4+ 5 = 4 + 5 = 9. No es igual a 2.75

En la segunda ecuacin p 54

= 2.75, se obtiene16 5

4= 11

4= 2.75

En la tercera ecuacin (p 5) 4 = 2.75, seobtiene (16 5) 4 = 11 4 = 44. No esigual a 2.75

Aproveche este momento para precisar que esnecesario invertir las operaciones que se indicanen el diagrama 2; esto puede verse de manerams clara en el apartado A lo que llegamos.


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27

IIMATEMTICAS

A lo que llegamosLa ecuacin 10y+ 12 = 4 se puede resolver haciendo un diagrama e invirtiendo lasoperaciones de la siguiente manera.

Con lenguaje algebraico, se escribe: Haciendo un diagrama, se escribe:

10y+ 12 = 4y 10y+ 12 = 4

+ 12 10

10y

10y= 4 12

10y= 8

y 10y+ 12 = 4

+ 12 10

10y

12

y= (8) 10

y= 0.8

y 10y+ 12 = 4

+ 12 10

10y

12 10

IV. Completen el siguiente diagrama para resolver la ecuacin 6x+ 22 = 4.

Cul es el valor de x? x= x 4

Sumar 22Multiplcalo por 6

6x

Comparen sus respuestas y verifquen sus soluciones usando el diagrama que escogieron.

Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente. Para cada rengln de la

tabla escriban la ecuacin correspondiente considerando que xes el nmero de entrada.

Resuelvan la ecuacin y verifquen si es el resultado que haban obtenido.

: :

Respuestas.

Se resta 22 y despus se divide entre 6. El valorde xes 3 .

Sugerencia didctica. Durante la conronta-cin, usted puede escribir los dos pasos pararesolver la ecuacin

6x+ 22 = 4

6x= 422 Primer paso

6x= 18

x= 186

Segundo paso

x= 3

Sugerencia didctica. Solicite a los alumnosque realicen la verifcacin en sus cuadernos. Paraverifcar pueden utilizar el diagrama o puedensustituir por el valor de y.

Verifcacin. En la ecuacin 10y+ 12 = 4, sesustituye la ypor 0.8.

10 (-0.8 ) + 12 = (8 ) + 12 = 4.


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secuencia 19

Lo que aprendimos1. Planteen y resuelvan la ecuacin que corresponde al siguiente diagrama:

a) Ecuacin:

b) Cul es el valor de p? p=

2. Resuelvan la ecuacin 7x+ 18 = 31. Verifquen las soluciones.

eL MODeLO De LA BALAnZA

Para empezarLa balanza

El modelo de la balanza nos permite representar y resolver ecuaciones. Para ello es nece-sario que las acciones que se realicen en ambos lados de la balanza mantengan siempreel equilibrio.

Consideremos lo siguienteLa siguiente balanza est en equilibrio. En ella se colocaron anillos y pesas deun gramo 1 . El peso de los anillos no se conoce, pero todos los anillos pesan lo mismo.

=

Figura 1

Cunto pesa cada anillo?

Comparen sus respuestas y comenten cmo encontraron el valor de cada anillo.

sesin 2

p 34.5


: :

Respuestas.

a) p4 5 = 34.5

b) 158

Sugerencia didctica. En caso de que losalumnos tengan diicultades para plantear laecuacin, usted puede, con la participacin de

todo el grupo, hacer el planteamiento:p4 5 = 34.5

p4

= 34.5 +5 = 39.5

p = 4 x 39.5 = 158

Respuesta.

x= 137

Veriicacin:

7(137 ) + 18 =13 + 18 = 31

Sugerencia didctica. La veriicacin se puedehacer usando el diagrama.

Propsito de la sesin. Resolver problemasque impliquen el planteamiento y resolucin deecuaciones de la orma ax+ b= cx+ d,utilizando las propiedades de la igualdad.

Descripcin del video. Se muestra cmo enuna balanza pueden representarse ecuacionesde primer grado y resolverlas manteniendo

siempre el equilibro. Conviene que se observe elvideo antes de comenzar la actividad para quelos alumnos vean cmo unciona una balanzapara mantener el equilibrio y despus trasladarel ejemplo aplicando las propiedades de laigualdad.

Propsito de la sesin en el aula de medios.Resolver problemas que impliquen el plantea-miento y resolucin de ecuaciones de la ormaax+ b= cx+ d, utilizando las propiedades dela igualdad.


Propsito del interactivo. Que los alumnosse amiliaricen con el modelo de la balanzapara resolver ecuaciones.

Posibles procedimientos. Los alumnos puedenresolver el problema si identiican que ladierencia entre el lado izquierdo y el derecho dela balanza es de 4 anillos, y si consideran las 2pesas de un gramo de la balanza izquierda: Elpeso de los 4 anillos equivale a las 22 pesas de

un gramo del lado derecho, menos las 2 pesasde un gramo del lado izquierdo. Esto es cadaanillo pesa 5 gramos.

Un posible error es que dividan los 22 gramosentre los 4 anillos sin considerar las 2 pesas queya estn del lado izquierdo.

Sugerencia didctica. Invite a los alumnos acomentar cmo es y para qu sirve una balanza,de ser posible lleve una balanza.

Comente tambin con los alumnos qu quieredecir que la balanza se mantenga en equilibrio


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29

IIMATEMTICASManos a la obraI. Cules de las siguientes acciones mantendran la balanza en equilibrio? Subryenlas.

Pasar un anillo del lado izquierdo al lado derecho.

Quitar 1 anillo de ambos lados.

Cambiar un anillo por una pesa de 1 gramo en el lado derecho.

Quitar el mismo nmero de pesas de 1 gramo en ambos lados.

Quitar 1 pesa de 1 gramo en ambos lados.

Comparen sus respuestas y comenten porqu creen que mantienen el equilibrio de labalanza.

II. A continuacin se presenta una nueva situacin con la balanza, completa lo que se tepide para hallar el peso de estos otros anillos.

a) Cuntas pesas de 1 gramo se pueden qui-

tar de cada lado sin que la balanza pierda el

equilibrio?

b) Ahora, cuntos anillos del mismo peso pue-

den quitarse de cada lado sin que se altere el

equilibrio de la balanza?

Despus de quitar las pesas de 1 gramo y los ani-llos del mismo peso,

c) cuntos anillos quedan del lado izquierdo dela balanza?

d) Cuntas pesas de 1 gramo quedan del lado

derecho?

e) Si dos anillos pesan28 gramos, cuntos gra-mos pesa cada anillo?

: :

Respuesta. La segunda, cuarta y quintaacciones son correctas.

Sugerencia didctica. Propicie que los alumnosconcluyan que, para mantener el equilibrio de labalanza, se tiene que hacer la misma accin enambos lados.

Tambin puede ilustrar cmo se pierde elequilibrio haciendo acciones dierentes enambos lados.

Respuestas.

a) 2b) 1

c) 2

d) 28

e) 14 gramos


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30

secuencia 19

Comparen sus respuestas. Verifquenlas sustituyendo el peso de los anillos en la ba-

lanza. Despus lean con ayuda de su profesor la siguiente informacin.

A lo que llegamosPara encontrar un peso desconocido en el modelo de la balanza se

realizan las mismas acciones en ambos lados de la balanza de manera

que siempre se mantenga el equilibrio.

En la siguiente balanza se tiene representada la ecuacin:

6x+ 3 = 2x+ 15

Donde xrepresenta el peso de un cubo.

Para encontrar xse pueden

quitar de ambos lados 3

pesas de 1 gramo.

6x+ 3 3 = 2x+ 15 3

6x= 2x+ 12

Despus, se pueden quitar deambos lados 2 cubos.

6x 2x= 2x+ 12 2x

4x= 12

Al fnal, el peso de se

puede encontrar dividiendo

las 12 pesas de 1 gramo

entre 4.

x=12

4= 3

Cada cubo pesa 3 gramos.

: :

Sugerencia didctica. Pregunte a los alumnospor qu en este caso conviene quitar en amboslados 3 pesas de un gramo y por qu convienequitar 2 cubos en ambos lados. Esto se hacepara que de un lado de la balanza slo quedencubos y del otro lado slo queden pesas.

Despus de que revisen la inormacin en este

apartado puede indicarles que, para veriicar lasolucin, es necesario sustituir la xpor el valorencontrado.

Veriicacin: El valor de xes 3, al hacer lasustitucin se obtiene, del lado izquierdo, 6 (3) +3 = 21, y del lado derecho, 2(3) + 15 = 21.Como en ambos lados se obtiene el mismoresultado, esto quiere decir que el valor de xencontrado es la solucin de la ecuacin.

Solicite a los alumnos que realicen en suscuadernos la veriicacin de la solucin de lasegunda ecuacin.

Propsito del interactivo. Mostrar dinmica-mente que, para mantener el equilibrio en labalanza se necesitan realizar las mismasacciones en ambos lados.


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31

IIMATEMTICASResolvamos otro ejemplo, la ecuacin 4x+ 75 = 13x+ 3.

Primero se puede restar 3 de ambos lados:

4x+ 75 3 = 13x+ 3 3

4x+ 72 = 13x

Despus, se puede restar 4xde ambos lados:

4x+ 72 4x= 13x 4x

72 = 9x

Finalmente el valor de la incgnita se encuentra dividiendo 72 entre 9.

x=72

9= 8

III. El mtodo de la balanza tambin se puede usar con nmeros decimales y fracciona-rios, por ejemplo, la ecuacin:

3.2x+ 9 = 5.7x+ 1.5

a) Qu nmero pueden restar en ambos lados de la ecuacin para eliminar uno de

los trminos numricos? Escriban cmo queda la ecuacin:

b) Cul expresin con la letra xpueden restar en ambos lados de la ecuacin ante-

rior para que slo quede un trmino numrico y un trmino con la incgnita x?

Escriban cmo queda la ecuacin:

c) Cul es el valor de x?

Comparen sus respuestas con las de otros compaeros, observen cmo pueden restartrminos en diferente orden pero, si lo hacen correctamente, todos llegan al mismoresultado.

Lo que aprendimosResuelve las siguientes ecuaciones utilizando el mtodo de la balanza:

a) 4x+ 3 = 2x+ 5

b) 3x+ 1 = x+ 5

c) x+ 10 = 5x+ 2

d) 32

x+ 1 = x+ 2

: :

Respuestas.

Los pasos para resolver la ecuacin son lossiguientes:

Se resta 1.5

3.2x+ 9 1.5 = 5.7x+ 1.5 1.5

Queda 3.2x+ 7.5 = 5.7x

Se resta 3.2x

3.2x+ 7.5 3.2x= 5.7x 3.2x

Queda 7.5 = 2.5x

Se divide ambos lados entre 2.5

x= 3

En el modelo de la balanza, en el primer paso nose puede restar 9 y en el segundo paso no sepuede restar 5.7x, porque de un lado quedarauna cantidad negativa, y esto no tiene sentidoen una balanza. Al resolver ecuaciones si puede

hacerse, pero es ms conveniente realizarlo delmodo mostrado, porque de esta manera se evitatrabajar con signos negativos.

Sugerencia didctica. En la conrontacingrupal pida a los alumnos que hagan laveriicacin. sta se hace al resolver lasoperaciones separando los lados de la igualdadcomo se muestra:

Lado izquierdo:

3.2(3) + 9 = 9.6 + 9 = 18.6

Lado derecho:

5.7(3) + 1.5 = 17.1 + 1.5 = 18.6

Propsito del interactivo. Expresar algebraica-mente las transormaciones que se hacen en labalanza.

Respuestas.

a) x= 1

b) x= 2

c) x= 2

d) x= 2

Sugerencia didctica. Se sugiere darle unaatencin especial a la ecuacin del inciso d)

32x+ 1 = x+ 2

32x+ 11 = x+ 2 1

32x= x+ 1

32xx= x+ 1x

12x= 1

x= 2, porque la mitad de 2 es 1.

Integrar al portaolios. Diga a los alumnosque le den una copia de sus respuestas a estoscuatro incisos. Si lo considera necesario,propngales otras ecuaciones para practicar laresolucin por el modelo de la balanza.


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32

secuencia 19

Ms ALL DeL MODeLO De LA BALAnZA

Para empezarEn la sesin anterior resolviste algunas ecuaciones mediante el modelo de la balanza. Enesta sesin resolvers ecuaciones con coefcientes negativos, con parntesis y con deno-minadores.

Consideremos lo siguienteDurante un juego de adivinaza de nmeros, Luis y Ana pensaron un mismo nmero, hi-cieron dierentes operaciones y al fnal obtuvieron el mismo resultado.

Luis pens un nmero, lo multiplic por 3 y al resultado obtenido le sum 5.

Ana pens el mismo nmero que Luis, lo multiplic por 2, al producto obtenido lerest 3 y obtuvo el mismo resultado fnal que Luis.

Hicieron un diagrama y les qued de la siguiente manera.

Entrada

+ 5

Salida

3

3 2

a) Qu ecuacin puede plantearse para encontrar el valor de x?

b) Cul ue el nmero que pensaron Luis y Ana?

Comparen sus respuestas y comenten sus procedimientos.

Manos a la obrai. Relaciona los diagramas siguientes de la columna derecha con su correspondiente

ecuacin en la columna izquierda.

sesin 3

: :

Propsito de la sesin. Resolver problemasque impliquen el planteamiento y resolucin deecuaciones de la orma ax+ b= cx+ dy conparntesis, con coeicientes enteros y racciona-rios, positivos y negativos.

Propsito de la actividad. Que a partir de dos

ecuaciones que se plantean a travs de dosdiagramas, los alumnos exploren la posibilidadde plantearlas en una sola ecuacin.

Sugerencia didctica. Es posible que seanpocos los alumnos que logren plantear laecuacin que se les solicita; lo importante eneste momento es que puedan comprender lasituacin y que exploren alguna orma deplantearla; en las actividades del siguienteapartado podrn verifcar y, si es necesario,corregir sus respuestas.

Respuestas.

a) 3x+ 5 = 2x3

b) 8


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33

IIMATEMTICAS

( ) (3x) (2) = 5x 3

( ) 3x+ 2x= 5 3

( ) 3x+ 2 = 5x 3

( ) 3x+ 5 = 2x 3

Entrada

+ 5

Salida

3

3 2

Diagrama A

Entrada

2

Salida

3

3 5

Diagrama B

Entrada

+ 2

Salida

3

3 5

Diagrama C

II. El mtodo de la balanza se puede utilizar para resolver la ecuacin:

3x+ 5 = 2x 3

Para eso hay que realizar siempre las mismas operaciones en ambos lados de la ecua-cin de manera que se conserve la igualdad. Contesta lo que se te pide.

a) Resta 5 en ambos lados de la ecuacin 3x+ 5 = 2x 3

b) Reduce los trminos semejantes: =

: :

Respuestas.

( B ) (3x) (2) = 5x 3

( ) 3x+ 2x= 5 3

( C ) 3x+ 2 = 5x 3

( A ) 3x+ 5 = 2x 3

Propsito de la actividad. Que los alumnoslogren identiicar el tipo de ecuaciones quepueden resolver utilizando el modelo de labalanza.

Respuestas.

a) 3x+ 5 5 = 2x 3 5

b) 3x= 2x 8


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secuencia 19

c) Qu te conviene hacer para que del lado izquierdo del igual quede slo x?

Si lo haces, cmo queda la ecuacin?

d) Cul es el nmero que pensaron Luis y Ana?

Comparen sus soluciones. Verifquenlas sustituyendo el valor de xen el diagrama deAna y Luis.

A lo que llegamos

Para solucionar cualquier ecuacin usando el modelo de la balanza hay que conservar

la igualdad realizando las mismas operaciones en ambos lados de la ecuacin.

Por ejemplo, al resolver la ecuacin: 3x+ 5 = 6 + (2x)

Para eliminar el trmino +5 se resta 5

en ambos lados de la igualdad.

3x+ 5 5 = 6 + (2x) 5

Se reducen los trminos semejantes 3x = 1 + (2x)

Para eliminar el trmino 2xse suma 2x

en ambos lados de la igualdad.

3x+ 2x= 1 + (2x)+ 2x

Se reducen los trminos semejantes 5x= 1

Finalmente, se divide 1 entre 5 para

encontrar el valor de x.x= 1

5

iii. No siempre se puede usar de manera inmediata el modlo d l blz para resol-ver ecuaciones. En ocasiones hay que hacer operaciones antes de comenzar a elimi-nar trminos.

Por ejemplo, para resolver la ecuacin

5 (2x 3) = 6x+14

a) Primero se puede hacer la multiplicacin que indica el parntesis. Completa:

5 (2x 3) = 6x+14

= 6x+ 14

: :

Respuestas.

c) El trmino que conviene restar en amboslados es 2x.

d) 8

Sugerencia didctica. Lea y comente estainormacin junto con sus alumnos; posterior-mente presente otro ejemplo.

Propsito de la actividad. Que los alumnossepan cmo trabajar con el modelo de labalanza cuando se les presentan ecuacionescon parntesis.

Respuesta.

a) 10x 15 = 6x+ 14


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35

IIMATEMTICASb) Encuentra el valor de x y verifcalo.

x=

IV. Para resolver la ecuacin:

y 4

5

=y+ 1

3

a) Se pueden aplicar los productos cruzados paraeliminar los denominadores.

y 4

5=

y+ 1

3= 3 (y 4) = 5 (y+ 1)

b) Realiza las multiplicaciones indicadas y encuentra el valor de y. Verifcalo.

y=

Comparen sus soluciones.

Lo que aprendimos1. Juan pens un nmero y lo introdujo en la entrada del siguiente diagrama compues-

to. Por ambas rutas obtuvo el mismo resultado.

Entrada

7

Salida

1

3+ 6

Recuerdaque:

Si 2fraccionessonequivalentes,e

ntonces

susproductoscruzadossoniguale

s.

A

B

=CD

entonces

AD=BC

: :

Respuesta.

b) x= 7.25

Posibles procedimientos. Esta ecuacin sepuede resolver de varias ormas:

Para evitar signos negativos en el coeicientedel trmino de primer grado.

3y12 = 5y+ 5

3y 12 5 = 5y+ 5 5

3y 17 = 5y

3y173y= 5y3y

17 = 2y

y= 172

= 8.5

Para que el trmino de primer grado quedeen el lado izquierdo

3y12 = 5y+ 5

3y 12 +12 = 5y + 5 + 12

3y= 5y + 17

3y 5y= 5y+ 17 5y

2y= + 17

y= 172

= 8.5

Sugerencia didctica. Lea y comente junto conlos alumnos la inormacin del Recuerda que;esta inormacin es importante porque permitejustiicar el procedimiento para eliminar losdenominadores en dos racciones equivalentes.


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Respuestas.

a) (p 1) (7) = (p+ 6) (3)

b) 6.25

Respuestas.

a) 3x+ 12= 5x 36

8x= 48

x= 6

b) 5r+ 30 = 5r+ 20

10r= 10

r= 1

c) 9z 54 = 4z+ 16

5z= 70

z= 14

Propsito de la sesin. Aplicar lo aprendidoen las tres primeras sesiones mediante lasolucin de problemas que impliquen elplanteamiento y resolucin de ecuaciones deprimer grado.

36

secuencia 19

a) Cul es la ecuacin que hay que resolver?

b) Qu nmero ue el que pens Juan?

2. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 3(x+ 4) = 5x 36

b)r+ 6

5=

r 4

5

c)z 6

4=

z + 4

9

MISCELNEA DE PROBLEMAS

Lo que aprendimosResuelve los problemas siguientes mediante el planteamiento y resolucin de unaecuacin.

1. El hexgono rojo y el rectngulo azul tienen igual permetro. Contesta lo que se tepide para encontrar el permetro de cada fgura.

a 2x 1 B

c

De

x

FaB = De

Bc = cD = eF = Fa

2x+ 4.5

x

SESIN 4

: :

Sugerencia didctica. Aclare a los alumnosque xrepresenta la medida en centmetros delancho del rectngulo.

Integrar al portaolios. Considere el problema1 para evaluar los aprendizajes de los alumnos.


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IIMATEMTICASa) Cul es la expresin algebraica que representa el permetro del hexgono?

b) Cul es la expresin algebraica que representa el permetro del rectngulo?

c) Cul es la ecuacin que hay que resolver para encontrar el valor de x?

d) Resuelve la ecuacin anterior en tu cuaderno. Cul es el valor de x?

e) Cul es el permetro del rectngulo?

f) Cul es el permetro del hexgono?

2. Para cultivar y mantener una hectrea de jitomate se invierte en planta, fertilizante,fumigante y agua de riego cinco veces lo que se invierte en mano de obra. El costototal por hectrea es $80 000.00.

Ecuacin:

Cunto dinero cuesta la mano de obra para cultivar y atender 3.5 hectreas de jito-mate?

3. Un avin que vuela a una velocidad de 1 040 kilmetros por hora, va a alcanzar aotro que lleva una delantera de 5 horas y est volando a 640 kilmetros por hora.Cunto tardar el primer avin en alcanzar al segundo?

Ecuacin:

4. La edad actual de Jos es 38

de la de su hermano, y dentro de 4 aos tendr 12

de laque entonces tenga su hermano. Cul es la edad actual del hermano?

Ecuacin:

5. Una cancha de volibol se encuentra dentro de una cancha de basquetbol. El largo dela cancha de volibol es el doble de su ancho.

2x

x

: :

Respuestas.

a) 2(2x 1) + 4x= 4x 2 + 4x= 8x 2

b) 2(x+ 4.5) + 2x= 2x+ 9 + 2x= 4x+ 9

c) 8x2 = 4x+ 9

d) 114

= 2.75

e) 20

) 20

Sugerencia didctica. En los problemas 2, 3 y4 se propone una ecuacin para resolverlos,pero no es necesario que los alumnos utilicen lamisma ecuacin o la misma variable. Inclusopodran resolverlos con otros mtodos, sinutilizar explcitamente las ecuaciones. Loimportante en estos problemas es que losalumnos intenten encontrar la solucin y quesean capaces de argumentar sus respuestas, an

cuando stas sean incorrectas.

Respuesta.

$ 46,666 .66

Respuesta.

8 horas.

Respuesta.

16 aos.

5x+ x= 280 000

1 040t= 640 t+ 3 200

38h+ 4 = 1

2(h+ 4)


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38

secuencia 19

Las medidas de ambas canchas se relacionan como sigue:

El largo de la cancha de basquetbol es 10 metros mayor que el largo de la canchade volibol.

El ancho de la cancha de basquetbol es 6 metros, mayor que el ancho de la canchade volibol.

El rea de la cancha de basquetbol es 258 m2 mayor que el rea de la cancha devolibol.

Contesta lo que se te pide para encontrar cules son las medidas de cada cancha.

La letra xrepresenta la medida del ancho de la cancha de volibol.

a) Cmo se representa la medida del largo de la cancha de volibol?

b) Cmo se representa el rea de la cancha de volibol?

c) Cmo se representa la medida del ancho de la cancha de basquetbol?

d ) Cmo se representa la medida del largo de la cancha de basquetbol?

e) Cmo se representa el rea de la cancha de basquetbol?

) Qu ecuacin representa la relacin El rea de la cancha de basquetbol es258 m2

mayor que el rea de la cancha de volibol?. Compltala y resulvela.

Pista: el trmino 22 se elimina en ambos lados de la igualdad.

(2x+ 10) (x+ 6) = 258 +

g) Completa la tabla siguiente para verifcar tu solucin.

Cancha Largo Ancho rea

Volibol

Basquetbol

6. Para conocer ms sobre la solucin de ecuaciones pueden ver el programa ecuacio-ns d primr grado n la vida cotidiana.

: :

Respuestas. En este problema se espera que losalumnos encuentren dos expresiones para elrea de la cancha de bsquetbol.

a) 2x

b) 2x2

c) 2x+10

d) x+ 6

e) (2x+ 10) (x+ 6) = 2x2 + 22x+ 60

Aqu los alumnos podran escribir comorespuesta:

2x2 + 258 , lo cual es correcto.

Si los alumnos dan esta respuesta se sugiereusted pregunte:

Qu obtienen al multiplicar el largo de lacancha de bsquetbol por su ancho?

(2x+ 10) (x+ 6)

Esto permitir a los alumnos encontrar otraexpresin equivalente al rea:

2x2 + 22x+ 60.

Lo que lleva a establecer la ecuacin:

2x2 + 22x+ 60 = 2x2 + 258

2x2 + 22x+ 60 2x2 = 2x2 + 258 2x2

22x+ 60 = 258

22x= 198

x= 9

18 m 9 m 162 m2

28 m 15 m 420 m2

Propsito del programa integrador 14.

Mostrar dierentes mtodos para resolverproblemas que impliquen el planteamientode ecuaciones de primer grado de la ormaax+ bx+ c= dx+ ex+ f.

Se transmite por la red satelital Edusat. Consultarla cartelera para saber horario y das detransmisin.


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IIMATEMTICASPara saber ms

Sobre la resolucin de problemas mediante el planteamiento y solucin de ecuacio-nes consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:

Ruiz, Concepcin y Sergio de Rgules. Algebra egipcia y babilnica, El epitafo deDioanto, La dama misteriosa, en Crnicas algebraicas. Mxico: SEP/Santillana,

Libros del Rincn, 2003.

Bosch Carlos y Claudia Gmez. La balanza y las ecuaciones, Resolucin de ecuacio-nes lineales en Una ventana a las incgnitas. Mxico: SEP/Santillana, Libros delRincn, 2003.

Hernndez, Carlos. Ecuaciones de primer grado en Matemticas y deportes. Mxico:SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

Tahan, Malba. El hombre que calculaba. Mxico: SEP/Editorial Limusa, Libros del Rin-cn, 2005, pp. 97,125-128, 180,183.

Sobre resolucin de ecuaciones de primer grado consulta:http://descartes.cnice.mecd.es

Ruta: Aplicaciones lgebra Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Resolverecuaciones de 1r y 2 grado Resolucin de ecuaciones sencillas; o Resolucin deecuaciones de primer grado.

[Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007].Proyecto Descartes, Ministerio de Educacin y Ciencia, Espaa.

: :


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secuencia 20

En el mundo y en el Universo nos podemos encontrar con un sinn de

enmenos donde una cantidad depende de otra: el costo de unos

tomates y su peso; lo que tarda una piedra en caer y su altura; la

uerza de atraccin entre planetas y su distancia; etctera.

A estas relaciones, se les conoce como relaciones uncionales. Y para

entenderlas, el ser humano ha inventado las expresiones algebraicas

y las grfcas.

LA COLA DE LAS TORTILLAS

Para empezarEn tu libro de Mtmt i, volm ii hiciste las grfcas de situaciones de proporcio-

nalidad directa e inversa. Aprendiste que el plano cartesiano tiene dos ejes: el eje de las

abscisas y de las ordenadas, y que cada punto del plano tiene dos coordenadas.

En esta sesin estudiars algunas grfcas donde los ejes no estn graduados; no te pre-

ocupes, no es necesario graduar ni medir las longitudes. Slo observa con cuidado cmo

estn acomodados los datos.

Consideremos lo siguienteUn lunes por la tarde, en la tortillera El Rosario, se hizo una larga cola para comprar las

tortillas. Haba personas de dierentes estaturas y edades como se puede ver en la ima-

gen de abajo.

SESIn 1

Relacin funcional

Jorge Lola Jess Alma Luis Valentina

: :

Propsito de la sesin. Considerar las grficas

como un objeto que permite hacer lecturas

cualitativas de datos.

Sugerencia didctica. Trace la grfica en el

pizarrn para que la comenten en grupo.

Resalte cosas como las siguientes: las dos

personas ms altas son la anciana y uno de los

jvenes; el anciano y el otro joven tienen lamisma estatura; el nio es quien tiene la menor

estatura de todos, etctera.

Propsito del interactivo. Recordar cmo se

pueden representar datos en el plano

cartesiano.

Propsitos de la secuenciaReconocer en situaciones problemticas asociadas a fenmenos de la fsica, la biologa, la economa y otras

disciplinas, la presencia de cantidades que varan una en funcin de la otra y representar esta relacin medianteuna tabla o una expresin algebraica de la forma: y=ax+b.

Construir, interpretar y utilizar grficas de relaciones lineales asociadas a diversos fenmenos.


1La cola de las tortillasConsiderar a las grficas como un objeto quepermite hacer lecturas cualitativas de datos.

InteractivoDescripcin de fenmenos con rectas

2

Cmo hablan por telono!Recordar que al representar cantidadesdirectamente proporcionales se obtiene unarecta y redescubrir este hecho como unapropiedad til para interpretar grficas.

Aula de mediosVariacin lineal(2)

(Hoja de clculo)

3

El taxiConstruir la grfica asociada a un fenmenodonde dos cantidades estn relacionadas conuna expresin de la forma y=mx+byreconocer estas grficas como lneas rectas.


Aula de mediosGrficas de funciones(Logo)

4

El resorteReconocer fenmenos lineales a partir de datosen una tabla y describirlos mediante unarelacin del tipoy= mx+ b.


Aula de mediosGrados Fahrenheit o centgrados?(Calculadora)

5

El plan perectoUsar expresiones lineales y grficas para darrespuesta a problemas que involucran lacomparacin de varias relaciones.

VideoLos celulares


Programa integrador 15

Eje


Manejo de la inormacin.

Tema

Signiicado y uso de las literales.

Representacin de la inormacin.

Antecedentes

En primer grado los alumnos resolvieron

problemas que implicaron ecuaciones de

primer grado de la forma ax+ b= c;analizaron la relacin entre cantidades que

varan proporcionalmente y la representaronmediante una tabla, una grfica y la expresin

y=kx. En esta secuencia se pretende que los

alumnos retomen esas relaciones entrecantidades reconocindolas en situaciones

particulares.


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41

IIMATEMTICASEn el siguiente plano cartesiano se han representado con un punto la estatura y edad decada persona.

Edad

Estatura

F

D

A

C

B

E

Anoten en cada punto de la grfca el nombre de la persona, segn corresponda.


Manos a la obraI. Ana y Beto llegaron a ormarse en la cola despus. En el siguiente plano cartesiano se

han dibujado los puntos que les corresponden.

Edad

Estatura

Ana

Beto

a) Quin tiene mayor estatura, Ana o Beto?

b) Quin tiene mayor edad?

: :

Posibles diicultades. Algunos alumnos

encontrarn confusa la grfica, pues los ejes no

estn graduados. Es posible que piensen que

para poderla interpretar necesitan saber la edad

de las personas, la estatura, o las coordenadas

de los puntos A, B, ..., F. Explqueles que no es

necesario conocer el valor exacto de cada punto

de la grfica, basta con observar dnde est

cada punto con respecto a los otros. Dles

tiempo para que lo resuelvan y no se preocupe si

no lo logran, ms adelante habr algunas

preguntas que los ayudarn.

Respuestas.

A - Jess.

B - Lola.

C - Alma.

D - Valentina.

E - Luis.

F - Jorge.

Sugerencia didctica. Si considera que existen

dudas sobre cmo interpretar las grficas haga

nfasis en que mientras ms arriba se encuentre

un punto con respecto al eje Edad, la persona

ser ms vieja; y que mientras ms hacia la

derecha se encuentre un punto con respecto al

eje Estatura, la persona ser ms alta.

Puede ser til que, tomando como ejemplo a una

familia en la que haya personas de distintas

edades y estaturas, hagan una grfica como

stas en el pizarrn.

Respuestas.

a) Beto tiene mayor estatura.

b) Ana tiene mayor edad.


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42

secuencia 20

Comparen sus respuestas y comenten:

Cules de las siguientes afrmaciones son verdaderas (V) y cules alsas (F)?

Entre m lt sea una persona, m rrb est el punto que la representa.

Entre m dd tenga una persona, m rrb est el punto que la representa.

Si dos puntos estn en la mm l horzotl, las personas representadas porestos puntos tienen la mm dd.

Si dos puntos estn en la mm l vrtl, las personas representadas por

estos puntos tienen la mm dd.

ii. De las personas que estaban ormadas en la cola, antes de que llegaran Ana y Beto:

a) Quienes son las ms altas?

b) En cules puntos deben de estar sus nombres?

c) Qu nombre debe estar en el punto B?

d) Qu nombre debe ir en el punto E?

A lo que llegamosLas coordenadas de puntos en el plano cartesiano permiten comparar los datos que se

presentan en l.

Por ejemplo, en la grfca de la derecha

se puede ver que:

Patricia y Mauro tienen la misma edad,pues estn sobre la misma lnea hori-

zontal y son los de mayor edad, pues

estn hasta arriba.

Jos y Guillermo tienen la misma estatu-

ra, pues estn en la misma lnea vertical.

El ms alto es Mauro, pues es el que

est ms a la derecha.

Las siguientes reglas permiten comparar

las coordenadas de puntos en el plano:

Entre ms a la derecha est un punto,

ms grande ser el valor de su abscisa.

Entre ms arriba est un punto, ms

grande ser el valor de su ordenada.

E

dad

Estatura

Patricia Mauro

Jos

Brenda Guillermo

: :

Respuestas.

a) Lola y Luis.

b) B y E.

c) Lola.

d) Luis.

Sugerencia didctica. Puede hacer ms

preguntas como:

Quin es la persona con ms edad y msestatura?, en cul punto debe estar su

nombre?

Quin es la persona con menos edad y

menos estatura?, en cul punto debe estar

su nombre?

En la grfica es cierto que a mayor edad

mayor estatura?, y viceversa?

Sugerencia didctica. Pida a dos alumnos que

escriban en una cartulina esta informacin y

pguenla en el saln. Si lo considera necesario,

aadan cul es el eje de las abscisas (el de

las x) y cul el de las ordenadas (el de las y).

F

V

V

F


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43

IIMATEMTICASLo que aprendimos1. Observen las fguras geomtricas de la izquierda y escriban el nombre de la fgura que

corresponde en cada punto del plano de la derecha.

Trapec io Cuadrado Rectngulo Tr ingulo

Base

Altura

2. Dibujen en sus cuadernos cuatro rectngulos distintos con permetro 20 cm. Anoten

la base y la altura de cada uno en la tabla. Para cada rectngulo localicen en el plano

el punto correspondiente.

Altura

Base

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

RectnguloMedida

de la base(cm)

Medidade altura

(cm)

A

B

C

D

: :

Respuestas. En el orden de escritura (de

izquierda a derecha y de arriba a abajo) las

figuras son:

Rectngulo(es tan alto como el tringulo, pero

tiene menor base).

Tringulo(tiene mayor base, por eso el punto

est ms a la derecha que el del rectngulo).

Cuadrado(tiene la misma altura que el trapecio

pero menor base y sta es igual a la del

tringulo).

Trapecio(es el de mayor base, por ello el punto

es el que est ms a la derecha, y tiene la misma

altura que el cuadrado).

Posibles respuestas. Los alumnos deben hallar

cuatro rectngulos distintos con permetros igual

a 20 cm, por lo que en la tabla la medida de la

base ms la de la altura ser igual a 10 cm. Por

ejemplo:

Base Altura

A 7 3

B 5 5

C 7.5 2.5

D 1 9

Al graficar las medidas se encontrarn con que

todos los puntos estn sobre la lnea roja.

Analice con los alumnos esta situacin

preguntndoles por qu creen que sucede as.

Recuerde que. Un rectngulo es un paralelogra-

mo con todos sus ngulos rectos, por lo que un

cuadrado es tambin un rectngulo.

Propsito del interactivo. Presentar diferentes

problemas para que los alumnos interpreten

cualitativamente los datos presentados en

grficas y encuentren la grfica correspondiente

a una descripcin cualitativa dada.


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44

secuencia 20

CMO HABLAn POR TELFOnO!Para empezarEn Mxico y en el mundo, las compaas telenicas tienen dierentes tarias. Por ejemplo,una compaa mexicana decidi no cobrar renta mensual y slo cobrar por las llamadasrealizadas. La orma de cobrar cambia de acuerdo con los siguientes tipos de llamadas:

1. Llmd lol. Son las llamadas hechas entre nmeros telenicos dentro de lamisma ciudad. Se cobran por llamada, no importa cuntos minutos dure.

2. Llmd d lrg dt. Son las llamadas hechas entre nmeros ubicados endierentes lugares de Mxico o en el Mundo. Se cobran por minuto y el costo porminuto depende de la ciudad o el pas al que se hable. Un slo minuto es ms caroque el costo de toda una llamada local.

Consideremos lo siguienteEn la casa de Jess contrataron el servicio telenico con la compaa arriba menciona-da. Jess vive con sus padres y sus tres hermanos: Jos, Ivn y Luis. Durante el mes dediciembre, cada miembro de la amilia hizo una sola llamada telenica y apunt l o-to y l dr. Por rdenes del pap cada uno redonde l dr de la llamada alminuto entero siguiente, por ejemplo:

Si la llamada dur 3 mto y 18 gdo, apuntaron que la duracin ue de 4 m-to, para los dos tipos de llamadas: locales o de larga distancia.

Con los datos anotados se obtuvo la siguiente grfca contesten las siguientes preguntas:

SESIn 2

a) Un miembro de la amilia hizo una llamadalocal, quin ue?

b) Uno de los miembros de la amilia hizo una

llamada que tuvo el mismo costo que la llama-

da de Jos, quin la hizo?

c) Quin pag el mayor costo por minuto?

d) Tres miembros de la amilia hicieron llamadas

que tenan el mismo precio por minuto, quie-

nes crees que ueron? ,

y


Duracin (minutos)

Costo

(pesos)

Luis

Jess

Madre

Ivn

Padre Jos

Grfca 1

: :

Propsito de la sesin. Recordar que lascantidades en proporcin directa estn sobre

una recta y redescubrir este hecho como una

propiedad til para interpretar grficas.


Analizar de forma grfica las caractersticas de

relaciones lineales de la forma y=ax+bmediante ejemplos.


Sugerencia didctica. Pida a un alumno que

lea en voz alta esta informacin. Es importante

que se asegure de que todos los alumnos la hancomprendido antes de pasar al siguiente

apartado, ya que si existen dudas no les serposible contestarlo. Tambin puede ser til

anotar la informacin en el pizarrn para que la

tengan siempre presente y puedan volver a ellacuando la necesiten.

Sugerencia didctica. Haga nfasis en esta

informacin para que no existan confusionesdebido a cmo se determina la duracin de las

llamadas. Puede plantearles otros casos, como:

Una llamada que dura 2 minutos y 1 segundo

cmo se cobra?

Qu es ms caro, hacer una llamada de largadistancia que dura 4 minutos y 59 segundos

o una que dura 4 minutos y 1 segundo?,

cmo se anotaran en el registro dellamadas?

Posibles diicultades. Quiz para algunosalumnos estas preguntas sean capciosas o crean

que se trata de descifrar algn truco para poder

responderlas.

Siempre es importante que los alumnos

entiendan qu es lo que les estn preguntando

aunque en un primer momento no sepan lasrespuestas ni se imaginen cmo obtenerlas. Si es

el caso, pida a dos o tres estudiantes queexpliquen sus dificultades al resto del grupo.

Pregunte: alguien tiene una duda parecida?,

alguien sabe cmo solucionar la duda delcompaero?, alguien tiene una duda distinta?

Sugerencia didctica. Para poder contestarestas preguntas es necesario tener presente la

informacin sobre el tipo de llamadas y su costo.

Si anot la informacin en el pizarrn invite alos alumnos a que la consulten ah, de lo

contrario, pdales que vuelvan a leer el apartadoPara empezarde esta sesin.

Si los alumnos no logran contestar correctamen-te las preguntas no les diga las respuestas ni les

d pistas, permtales continuar y luego regresen

a esta parte para corregir los errores.

Respuestas.

a) Las dos llamadas ms baratas (la de Jess y lade Luis) tuvieron distinta duracin (la de Jess

fue ms larga). Entonces puede inferirse que

la llamada de Jess fue la llamada local,porque a pesar de haber durado ms tiempo

que la de Luis, cost menos. Recuerde a los

alumnos que la llamada local tiene un preciofijo sin importar la duracin.

b) El padre.

c) Las llamadas del padre y de Jos fueron las

ms caras, sin embargo, la de Jos dur ms

tiempo, as que quien pag ms por minutofue el padre.

d) Podran ser Luis, Ivn y Jos porque son losnicos tres donde se observa una relacin

mayor duracin mayor costo, pero esto no

asegura que en verdad lo sean. Ms adelantese vern algunos elementos que ayudarn a

dar respuesta con certeza.

La pregunta d) requiere reconocer el costo porminuto a partir de la grfica. Muchos alumnos

podran confundir esto con el costo de lallamada, pero insista en que no es as, se trata

del precio de la llamada entre el nmero de

minutos que dur.


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IIMATEMTICASManos a la obraI. Contesten las siguientes preguntas:

a) En una ocasin, en casa de Jess, alguien anot que una llamada cost $15 y dur

5 minutos, cunto cost cada minuto de esta llamada?

b) Si otra llamada cost lo mismo por cada minuto que la anterior y dur 10 minu-

tos, cunto se debi pagar por esta llamada?

c) Y si la llamada hubiera durado 8 minutos, cunto se debera pagar?

d) Completen la siguiente tabla usando este costo por minuto y dibujen la grfcacorrespondiente.

Duracinde la llamada(en minutos)

Costode la llamada

(en pesos)

1

2

3

4

5 15

6

7

8

9

10

II. En otra ocasin, en casa de Jess, se hicieron tres llamadas de larga distancia dondeel costo por minuto ue el mismo.

Cul de las siguientes grfcas se obtuvo con esos datos?

Duracin (minutos)

Costo

(pesos)

30

28

26

24

22

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

2 4 6 8 10 12 14 16 1 8 20 22 24 26 2 8 30

Duracin (minutos)

Costo(pesos)

Duracin (minutos)

Costo

(pesos)

Duracin (minutos)

Costo

(pesos)

Duracin (minutos)

Costo

(pesos)

a) b) c) d)

: :

Propsito de la actividad. Se pretende que el

alumno reconozca que las llamadas que cuestanlo mismo por minuto representan cantidades que

estn en proporcin directa y que su grficadebe ser una coleccin de puntos sobre una

lnea recta que pasa por el origen.

Posibles diicultades. Las grficas a) y d)presentan situaciones que los alumnos quiz no

asocien a relaciones de proporcionalidad directa,

sin embargo, es posible que duden entre las

grficas b) y c). La diferencia es que sta ltima

no pasa por el origen, mientras que la recta b)

s, lo que la hace la opcin correcta, ya que es

cierto que una llamada de cero minutos cuesta

cero pesos. Si algunos alumnos tienen problemas

para contestar esta pregunta, sugirales que la

comparen con la grfica que acaban de hacer en

la actividad I y hagan comentarios grupales

sobre lo que implica en el contexto de las

llamadas que la recta pase por el origen o no.

Sugerencia didctica. Plantee la siguiente

actividad a los alumnos: pdales que trabajen en

parejas y asigne a cada pareja una de las cuatro

grficas. El ejercicio consiste en que uno de los

miembros de la pareja tiene que utilizar todos

los argumentos que pueda para convencer a su

compaero de que es cierto que la grfica que

les toc corresponde a tres llamadas de larga

distancia en donde el costo por minuto fue el

mismo. Cuando termine de exponer sus

argumentos, el compaero debe hacer lo mismo

pero tratando de convencerlo de que esa

afirmacin es falsa. Aclare que es un juego, quetienen que pensar que la grfica que les toc es

la correcta (o bien, la incorrecta) aunque ellos

no lo crean as. D aproximadamente 10

minu

LPM-MATEMATICAS-2-V2-P-027-076

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