-
Losungen ausgewahlter Aufgaben
Aufgaben zu Nr. 109
4. Sei a=b:=1, n>2 und fn(x):=O fUr XE [0, ~ - ~J, :=nx+ 1 -
~ fUr XE (~-~, ~J, := 1 2 n 2 2 n 2
flir XE (~, 1] (Zeichnung!). (fn) ist eine Cauchyfolge, besitzt
aber keinen Grenzwert (alles bezug-lich der angegebenen Norm). Mit
A 81.1 sieht man namlich, daB eine Grenzfunktion f auf
[0, ~ - 0] verschwinden und auf [~, 1] gleich 1 sein muBte, und
dies fUr jedes hinreichend kleine 0>0. Das ist aber ein
Widerspruch zur Stetigkeit von f
5. Sei gnE Up [f], gn-+g. Dann ist IIgn -flloSp fUr alle n.
Wegen Satz 109.4 strebt IIgn - fll-> Ilg - fll, also ist auch
IIg - flloS p, d. h. gE Up [fl·
7. Sei UF:={xERP:llx-xolI
-
Losungen ausgewahlter Aufgaben 703
ist. Daraus ergibt sich
IIr'-/o'li ~ L (1110'1111/0-/11)"11/0'11=11/0'1111/0'1111/0-/11
L (1110'1111/0-/11)" n=t n=O
11/0-/11 11/-'12 1 -11/0 '1111/0 -III 0 I·
Aufgaben zu Nr. 111
4. Da M gleichstetig und I/(a) I ~ p., ist, muB M nach A 106.5
normbeschrankt und wegen Satz 111.7 somit eine kompakte Teilmenge
von C[a, b] sein. Da die Abbildung 1>-> S :/dx von M nach R
stetig ist, ergibt sich die Behauptung nun aus Satz 111.9.
6. I(s):=g(s) + -s g(t)dt. 8 ~ '/2 7 0
8. 1m FaIle, daB die Voraussetzungen (I) oder (II) erfUIlt sind,
ist in dem Hinweis das Notige bereits gesagt. Sei (III) erfUIlt und
x v E K fUr 1 ~ 1J ~ n - 1. Fur 1J ~ n - 1 ist dann
IIx,.+,·- xvII = IIA xv- A Xv_ ,II ~qllxv -Xv- ,II
=qIIAxv_' -Axv_211~q21Ixv_' -xv-211~'" ~qVllx, -xoll.
Daraus folgt
IIxn-x, II ~ Ilxn -Xn- til + Ilxn -, -xn-211 + ... + IIx2 -xtll
~(qn-' + qn-2 + ... + q) Ilx, -xoll
1_ qn-' q =q Ilx, -xoll ~ --llx, -xOIl=r3,
1-q 1-q
also Xn E K. Da nun der Beweis des Banachschen Fixpunktsatzes in
Wirklichkeit nur erfordert, daB die Iterationsfolge uberhaupt
existiert, ist die Fixpunktbehauptung bewiesen. - Die
Feh-lerabschatzung erfordert keinen neuen Beweis.
9. a) ist trivial. - b) wird wie im reellen FaIle (F = R)
bewiesen (s. A 14.11); dasselbe gilt fUr c) (s. Beweis des Satzes
103.1). - d) (An) sei eine Cauchyfolge in R(X, F), zu beliebig
gewahltem E>O gebe es also ein no, so daB fUr m, n>no stets
IIAm-AnllocA x (XEX) wird eine Abbildung A von X nach F definiert.
LaBt man in der obigen Abschatzung IIAmx-Anxll < E den Index n
gegen CfJ gehen, so erhalt man IIAmx-A xII ~ E fUr aIle m>no und
aIle x E X, also ist auch
IIAm-Alln = supIIAmx-Axll~E fUr m>no. XEX
Daraus folgt erstens, daB A - Am, also auch A = (A - Am) + Am ZU
R (X, F) gehort, und zweitens, daB (An) bezuglich der Supremumsnorm
gegen A konvergiert. - e) Mit Satz 111.2 ergibt sich so fort, daB
Cb(X, F) ein linearer Raum ist. Die Folge der AnECh(X, F) strebe
nun bezuglich
-
704 Losungen ausgewahlter Aufgaben
der Norm von B(X, F), also beziiglich der Supremumsnorm, gegen
AEB(X, F). Das bedeutet nach c), daB (An) gleichmaBig auf X gegen A
konvergiert. Genau wie im Beweis des Satzes 111.12 sieht man nun,
daB A auf X stetig sein muB. Also liegt A in Ch(X, F), und somit
ist Cb(X, F) ein abgeschlossener Unterraum von B(X, F). 1st Fein
Banachraum, so ist B(X, F) nach d) ebenfalls ein Banachraum; dann
muB aber Cb(X, F) als abgeschlossener Unterraum von B(X, F) auch
ein Banachraum sein.
10. Die Existenz von II A 1100 fo!gt aus Satz 111.9, aUes andere
aus Aufgabe ge, wei! im vorliegenden FaUe C(X,F) = Cb(X,F) ist.
Aufgaben zu Nr.112
7. b) Sei en:=(O, ... ,0,1,0, ... ), wobei 1 an der n-ten Stelle
steht. Dann ist A (nen)=en, also IIA -'enll = IInenll =n lIenll
=n.
11. Ware A unbeschrankt, so gabe es eine Folge (xn) mit IIxnll =
1 und IIA xnll ..... ex). Sie miiBte eine Teilfolge (xnJ enthalten,
so daB (A xnJ konvergiert, also beschrankt ist - in Widerspruch zu
IIA xnJ ..... ex).
12. I: (E, II·II,) ..... (E, 1I·lb) ist stetig, da aus IIxn-xlI,
..... O stets IIIxn-Ixlb= IIxn-xlb ..... O folgt. Also ist I
beschrankt: III x1l2';; 'Y2l1xll" d.h. IIxlb.;; 'Y2I1xll,. Ebenso
beweist man die Ungleichung 1', IIxll, .;; IIx1l2' - Die Umkehrung
ist trivial.
Aufgaben zu Nr.113
1. a) Sei (g, .,,)E R2 beliebig, xn ..... g, Yn ..... .". Dann
strebt
f(xm Yn) = (x~ + y~)eXnYn ..... (g2 + .,,2)e~" = f(g, .,,).
Ganz entsprechend werden b) und c) behandelt.
2. Man braucht nur nach dem Vorbild der Aufgabe 1 zu zeigen, daB
jede Komponentenfunk-tion in den Punkten des Definitionsbereichs
stetig ist. Beispiel a): Sei (g, .,,)E R2 beliebig, xn ..... g, Yn
..... .". Dann strebt
also strebt f(xm Yn) ..... f(g, .,,).
4. b) Sei xn:= lin, Yn:= 11 VII (man rUcke also auf der Parabel
Y= VX gegen den Nullpunkt). Dann strebt f(xm Yn) ..... 1/2 =J. f(O,
0).
Aufgaben zu Nr. 114
(~ 2 2) (' 0 ') 1. a) o 1 ; (3,2). b) 3 1 0 ; (4,4,3). 111
c) G _~); (6,4). d) (-1 2) o 0 ; (4,0).
-
Losungen ausgewiihlter Aufgaben 705
b) G 1 ~ ~).
-
706 Losungen ausgewahlter Aufgaben
Aufgabe zu Nr. 118
1
x 8 -+-3 9 20 50 -x+-27 81
1
x 15 -+-4 16
1 1 flir -""'X""'-, 4 2
1 3 17 51 32 x + 64 flir -""'X""'-, 2 4 3·153 7·153 --x+---4·128
16·128
3 flir "4""'X"'" 1.
Aufgabe zu Nr. 119
Flir n=21 bzw. n=21-1 (/= 1,2, ... ) ist
also
nl2 (X2)2k - 1
"" ( 1)k-I-,:--:-,-_ /::1 (2 k - 1 )! nl2 (X2)2k-2
"" ( 1)k-1 -'---''--_ /::1 (2 k - 2)! 2x
bzw.
(n - 1 )/2 (x2)2k - 1
"" ( 1)k-1 L -'-(2--,.k'--_-1-c"")!
(n+ 1)/2 (X2)2k-2 I ( 1)k - 1 -C..--'---_ k~1 (2k-2)!
2x
-
Losungen ausgewahlter Aufgaben 707
Aufgaben zu Nr.126
1. III,,;;; I/-/d + 1/11,,;;;h+ 1/11; mit Satz 126.4
folgt/EL(1). Aus I/nl,,;;;l/n-/1 + 1/1,,;;;h+ III folgt nun mit
Satz 126.1 der Rest der Behauptung.
2. Da I beschrankt ist, liegen aIle konstanten Funktionen in L
(1). Die Behauptung folgt nun unmittelbar aus Aufgabe 1.
3. Fur aIle n;;;.no und aIle xEI ist I/n(x)-/(x)I,,;;;1. Die
Behauptung folgt nun aus Aufgabe 2.
Aufgaben zu Nr. 129
3. Es ist IgEM(1) nach Satz 129.3 und I/gl,,;;; IIgll"" III.
Nach Satz 129.2 ist also IgEL(1).
4. IEM(1)nB(1) ~ III,,;;; 11/11"" ~ IEL(1) (nach Satz 129.2;
beachte, daB aufeinem beschrank-ten Intervall aIle konstanten
Funktionen L-integrierbar sind).
5. Konstruiere eine Folge von Funktionen I~ mit folgenden
Eigenschaften: In (x):= I(x) auf ei-nem kompakten Intervall
In,fn(x):=O flir xEI\In,fn-+1 fast uberall auf I. Wende nun die
Sat-ze 129.1 und 129.5 an.
Aufgaben zu Nr.130
2. Z. B. I n := [;k - 1, n; 1 - 1 J. wobei k die eindeutig
bestimmte Zahl aus No mit 2k ,,;;;n 1 annehmen. Es sei 1/p + 1/ q =
1. Da I beschrankt ist, liegt die Funktion g = 1 in L q (1). N ach
Satz 130.2 gehort also I = I g zu V (1).
4. Nach Satz 129.5 ist I zunachst meBbar. Aus
Il/n(x)I-I/(x)ll,,;;; I/n(x)-l(x)1 folgt, daB (1/ni) gleichmaBig
auf I gegen III konvergiert. Dann konvergiert aber auch (1/nIP)
gleichmaBig auf I gegen I/IP (benutze, daB die Funktion tP auf I
gleichmiiBig stetig ist; vgl. A 103.13). Nach A 126.3 ist also
IEU(1). Da offenbar lin-liP gleichmaBig auf I gegen 0 strebt,
ergibt eine nochmalige Anwendung von A 126.3, daB II/n-/llp-+O
konvergiert.
Aufgaben zu Nr.131
2. Wahle in der Definition der absoluten Stetigkeit E = 1 und
bestimme ein zugehOriges 13 > O. Sei Meine naturliche Zahl
>(b-a)/13 und Zo eine aquidistante Zerlegung von [a, bj in M
Teilintervalle (die Lange eines Teilintervalls von Zo ist dann
-
708 Losungen ausgewahlter Aufgaben
chen, wollen wir im folgenden auch "ausgeartete" Intervalle :=
te] zulassen. Es ist I ('Yk - 'Yk) < 0 und somit I IF( 'Yk) - F(
'Yk)1 < E. Da die Intervalle < F( 'Yk), F( 'Yk) > (k = 1,
2, ... ) die Bildmenge F(N) iiberdecken, folgt nun, daB F(N) eine
Nullmenge ist.
6. Sei I L-integrierbar auf 1:= [a. b), F(x):= J~/(t)dt (a,;;;
x,;;; b) und E>O. Nach A 129.7 gibt es Funktionen g. hEL(l)
mit
I=g+h. Ig(t)I,;;;M ftir alle tEl und J: Ih(t)ldt
-
Uisungen ausgewlihlter Aufgaben 709
6. 1st f monoton und n ~ 1, so gibt es ein gE [ - 'IT, 'IT], so
daB gilt:
J" J~ J" sinng 'IT an = f(x)cosnxdx=f(-'lT) cosnxdx+f('IT)
cosnxdx=(f(-'lT)-f('IT)]--· -'11' -1T e n
Daraus folgt sofort die Behauptung tiber (an), und die tiber
(bn) beweist man entsprechend.
7. 'lTan=J" f(x)cOSnxdx=.!(f(X)SinnX]~,,-.!J" f'(x)sinnxdx -'1t'
n n -'11'
= -.! J" f'(x)sinnxdx; n _"
wegen Satz 134.2d strebt also nan->O. Istp>1, so hat
man
1J" 1 1J" 'lTan= -- f'(x)sinnxdx=2"[f'(x)cosnx]~"-2"
f"(x)cosnxdx n -'11' n n -'1T
1J"f" dx = - 2" (x)cosnx = .... n _"
Die Behauptung tiber (nP an) folgt dann wieder aus Satz 134.2d.
Die Aussage tiber (nP bn) sieht man ganz entsprechend ein.
Aufgaben zu Nr. 135
1 h 1-2sin(I/2) . 1· d did 1 . 1 d • (I) = . -> 0 fUr 1->0
(zwelma 1ge Anwen ung er Rege von e 'Hosplta 0 er 2/sm(t/2)
Potenzreihenentwicklung).
2. Sei g(/):=f(x+I) +f(x-t)-2s(x), h die Funktion aus Aufgabe 1.
Dann ist
g(t) Dn(t) dt = g(t)Dn(t)dt + g(t)h(t)sin(2n+ 1) - dt. J" J" J"
t o 0 0 2 Da h nach Aufgabe 1 auf [0, 'IT] stetig ist, folgt aus
dem Satz von Riemann-Lebesgue, daB
J" t g(t)h(t)sin(2n+ 1) - dt->O o 2
strebt fUr n-> ex). Daraus ergibt sich die erste, auf Satz
135.1 beztigliche Behauptung. Die zweite folgt entsprechend.
Aufgaben zu Nr. 136
1. Eine Lipschitz-stetige Funktion ist nach Satz 91.4 von
beschrlinkter Variation.
2. Verfahre wie beim Beweis der Aussage von Satz 136.3 tiber
sttickweise beschrlinkt differen-zierbare Funktionen.
-
710 Losungen ausgewahlter Aufgaben
Aufgaben zu Nr. 138
1. cos a x ist gerade, also sind aIle bn = 0, und es ist
2 J~ (-1Y 2asina'IT an = - cosaxcosnxdx = -- 2 2'
'IT 0 'IT a -n
7. Entwickle die 2'IT-periodische ungerade Funktion
1 cosx fUr XE(O, 'IT),
j(x):= -cosx fUr XE( -'IT, 0), j(x + 2 'IT) =j(x), o fUr x=o,
±'IT,
"h "h j) 8 ~ n . 2 In 1 re Founerrel e: (x = - L..., --2 -SIn
nx. 'lTn~14n-1
'IT CD (-1Y -1 (-1y+1 ) 8. j(x) = - + L 2 cosnx + sinnx . 4 n~1
'lTn n
Aufgaben zu Nr. 141
1. Satz 141.1 => Satz 141.3: 1st UEU orthogonal zu (uo, Uh
U2, ... ), so ist U = I (ul Uk) Uk = IO·Uk=O. Die Umkehrung wurde
schon in Nr. 141 bewiesen. k~O
2. Es gelte Satz 141.3. Dann gilt, wie in Nr. 141 bewiesen
wurde, auch Satz 141.1. Also gibt es
zu-jedem jEL2 undjedem E>O ein n mit Ik - ktO (II Uk) Uk
II
-
Losungen ausgewahlter Aufgaben 711
Sei g das eindeutig bestimmte Element aus L 2 mit
0':= (ao, a" a2, ... ) =A g und
Dann ist
Die zweite Aussage wird am einfachsten wie die zweite Aussage in
Aufgabe 2 bewiesen.
Aufgaben zu Nr. 143
1. Benutze Satz 143.4.
2. Benutze Satz 143.4.
4. Nach Satz 142.4 gibt es eine 271"-periodische U-Funktion f
mit
f(t) - I (-ansinnt+bncosnt). n=t
Mit Satz 143.4 folgt
r x 00 ( cos n x - 1 sin n x) Fo(x):= J 0 f(t)dt = n~' an n + bn
-n- .
Wegen der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung ist L an (1/n)
konvergent, und somit ist auch
~ (an bn .) F(x):= L -cosnx+-smnx n=1 n n
auf R vorhanden. Die restlichen Behauptungen erhalt man aus Satz
131.1.
Aufgaben zu Nr. 146
3. a) C, x cos (lnx) + C2 xsin(lnx). c) C, x 2 + C2 x 2 lnx + C3
xcos(lnx) + C4 x sin (In x).
4. Aus (140.3) mit f = 1 und der Darstellung (140.7) des
Poissonschen Kerns erhiilt man
- dt=1; 1 J" 1-r2 271" _" 1-2rcos(t-
-
712 Losungen ausgewahlter Aufgaben
Aufgaben zu Nr. 155
1. Sei bE U,(a). Dann ist I>:=E-d(b, a»O, und aus XE Us (b)
folgt
d(x, a)~d(x, b)+d(b, a)+d(b, a)=E.
Somit gilt Us(b)e U,(a), also ist U,(a) offen. - Sei c aus dem
Komplement von U,[a), also d(c, a»E. Dann ist I>:=d(c,
a)-E>O, und aus XE Us (c) folgt
E=d(c, a)-I>~d(c, x)+d(x, a)-I>+d(x, a)-I>=d(x, a).
Somit liegt auch Us(c) in dem Komp1ement von U,[a), dieses
Komplement ist also offen, und daher muB U, [a) abgeschlossen sein
(einen anderen Beweis kann man mit Hilfe von A 154.1 in Verbindung
mit Satz 155.7d flihren).
2. E bestehe aus mindestens zwei Punkten und werde mit der
diskreten Metrik versehen. Dann ist Ut (a) = {a} abgeschlossen,
also = Ut (a), wahrend Uda) = E# U t (a) ist.
3. Die diskreten Raume.
5. Zu aE G\A gibt es U, V E U (a) mit U e G und V nA = 0. Dann
ist Un Veine in G\A liegen-de Umgebung von a, und somit ist G\A
offen.
6. Sei a ein Beriihrungspunkt von A \ G. Dann enthalt jede
Umgebung von a einen Punkt, der zu A, aber nicht zu G gehort. Also
ist jedenfalIs aEA =A. Ware aE G, so gabe es, im Wider-spruch zu
dem eben FestgestelIten, eine Umgebung von a, deren Punkte aIle in
G liegen. Also ist a ¢ G, insgesamt daher a E A \ G. Infolgedessen
ist A \ G abgeschlossen.
7. D sei der Durchschnitt alIer abgeschlossenen Obermengen von
M. Da M abgeschlossen und :::>M ist, muB DeM sein. Es ist aber
auch Me D. Jede Umgebung von aEM schneidet namlich M, erst recht
also jedes abgeschlossene A :::> M. Somit gehort a zu jedem
derartigen A und des-halb auch zu D. Insgesamt ist also M = D.
8. G sei die Vereinigung alIer offenen Teilmengen von M. Da M
offen und eM ist, muB MeG sein. Es ist aber auch GeM. Ein aE G
gehort namlich zu einer offenen Menge GoeM, und da Go eine (offene)
Umgebung von a ist, muB a ein innerer Punkt von M sein, also zu M
gehoren. Insgesamt ist also M = G.
9. Die Gleichung oM = M n (E\M) ist trivial. Die
Abgeschlossenheit von oM folgt nun sofort mit Hilfe der Satze 155.4
und 155.5b.
11. Sei aEM und au irgendein Punkt aus UnM (UEU(a». Dann ist
(au) ein M-wertiges Netz auf ..1:= U(a), das gegen a konvergiert. -
Sei nun a Grenzwert eines M-wertigen Netzes (aa) auf irgendeiner
gerichteten Menge ..1. Dann gibt es zu jedem U E U (a) ein a aE U,
also ist UnM#0 und somit aEM.
12. Folgt aus Aufgabe 11 in Verbindung mit Satz 155.4.
Aufgaben zu Nr. 156
3. Sei A eX relativ abgeschlossen und A die AbschlieBung von A
in E. Dann ist A abgeschlos-sen, und man sieht leicht, daB A = An X
ist. - Nun habe A die Form A = M n X, M abge-schlossen. aE X sei
ein relativer Beriihrungspunkt von A, jede relative Umgebung von a
schnei-
-
Losungen ausgewahlter Aufgaben 713
de also A. Dann schneidet sie auch M, erst recht wird also M
vonjeder Umgebung von a ge-schnitten. a ist daher Beriihrungspunkt
von M und somit ein Element von M, muB also auch zu A gehoren. -
Einen zweiten Beweis erhalt man, wenn man beachtet, daB eine
Teilmenge A von X genau dann relativ abgeschlossen ist, wenn X\A
relativ offen ist; man braucht dann nur noch den Satz 156.1 und die
Morganschen Komplementierungsregeln heranzuziehen.
Aufgaben zu Nr. 157
1. Jede Cauchyfolge (an) enthalt eine konvergente Teilfolge.
Deren Grenzwert ist auch Grenz-wert von (an).
3. 0 und alle endlichen Teilmengen (beachte, daB alle
Teilmengen, auch die einpunktigen, of-fen sind).
4. Alle Teilmengen, weil nur 0 und der gesamte Raum offen
sind.
Aufgaben zu Nr. 158
6. f- I : Y ..... X ist nach Satz 158.4 genau dann stetig, wenn
das Urbild jeder abgeschlossenen Menge A c X abgeschlossen ist.
Dieses Urbild ist f(A). Nun ist A wegen Satz 157.3 kompakt, f(A)
nach Satz 158.5 also ebenfalls kompakt und somit abgeschlossen
(Satz 157.4).
7. Wird mit Hilfe des Satzes 158.2 ganz ahnlich bewiesen wie
Satz 34.4: Aus x" ..... g folgt g(x,,) ..... gW und darausf(g(x,,))
..... f(g(g)).
8. Sei gE Xo und Vo eine Yo-Umgebung von r,:= fo W = fW. Dann
gibt es eine Y-Umgebung V von 1J mit Vo= Vn Yo. Zu V existiert eine
X-Umgebung U von g, so daB f(U)c V ist. Uo:= UnXo ist eine
Xo-Umgebung von g, und mit A 13.3b folgt
f(Uo)cf(U)nf(Xo)c Vn Yo= Vo.
Aufgaben zu Nr. 160
1. E sei zusammenhangend und AcE sowohl offen als auch
abgeschlossen. Dann ist B:= E\A offen und E = A v B, A n B = 0. Es
folgt, daB A oder B leer, also A = 0 oder = E sein muB. -Nun seien
0 und E die einzigen Teilmengen von E, die gleichzeitig offen und
abgeschlossen sind. Dann kann es keine Darstellung E=A vB mit
offenen, nichtleeren und disjunkten Men-gen A und B geben, weil A
=E\B auch abgeschlossen und somit A =0 oder =E, in letzterem Falle
aber B=0 sein mUBte.
4. Verfahre wie im Beweis des Hilfssatzes 160.6.
6. Benutze, daB zwischen zwei rationalen Zahlen stets eine
irrationale Zahlliegt.
7. Die Intervalle (0, 1) und (2, 3) sind zwar offen in R, aber
abgeschlossen in E.
8. Wegen Satz 153.1 ist die Behauptung trivial.
9. Sei Bn:=A 1 v ... vAn. Mit Hilfssatz 160.5 erkennt man,
daBjedes Bn zusammenhiingend ist. Und da sich die Bn offen bar
paarweise schneiden, folgt nun - wiederum kraft des genannten
Hilfssatzes -, daB B1 vBz v ... = A1 vA z v ... zusammenhiingend
ist.
-
714 Losungen ausgewahlter Aufgaben
Aufgaben zu Nr. 161
2. C sei eine Komponente von X und Xo ein beliebiger Punkt von
C. Dann gibt es eine offene Kugel K urn xo, die in X liegt. Kist
zusammenhiingend (Satz 161.3), und damit ist auch Cu K
zusammenhangend (Hilfssatz 160.5). Es muB also CuK=C und damit KcC
sein: C ist of-fen.
7. a) ist trivial.
b) Wir dUrfen A, J-l>0 annehmen. Offenbar ist
(A+J-l)KcAK+J-lK. Wegen der Konvexitat von Kist aber auch
A J-l --K+--KcK, also A+J-l A+J-l
c) FUr n = 1 ist die Behauptung trivial. Angenommen, es sei
n:;;. 2, und die Behauptung sei richtig flir n - 1. Wir dUrfen o.
B. d. A. At. ... , An als positiv annehmen. Sei
n-I J-l:=An und
Ak . J-lk:=- fur k=1, ... ,n-1.
A
n-I Die J-lk sind positive Zahlen mit Summe 1; nach
Induktionsvoraussetzung ist also 2: J-lk Xk E K.
k~1
Da A, J-l > 0 und A + J-l = 1 ist, folgt nun aus der
Konvexitat von K die Beziehung
8. b) Sei K die konvexe HUIle von M und co(M) die Menge aller
konvexen Kombinationen von Elementen aus M. Nach Aufgabe 7c ist
co(M) cK. Urn die umgekehrte Inklusion (und da-mit die Behauptung)
zu beweisen, genUgt es zu zeigen, daB co(M) konvex ist. Seien
x:=A1xl + ... +Anxn' Y:=J-lIYI + ... +J-lmYm zwei konvexe
Kombinationen von Elementen aus M und ex, {3 zwei nichtnegative
Zahlen mit Summe 1. Dann sind aIle Zahlen exA}, (3J-lk
nichtne-gativ, ihre Summe ist 1, und infolgedessen ist
Aufgaben zu Nr. 162
1. a) c/f(x,y)
ox2 c/f(x, y) 2
oyox = -8xy+12y,
o2f(x, y) 2 2 oy2 = -4x +24xy+ 12y ,
-
Losungen ausgewiihlter Aufgaben 715
b) Of~:Y) = (x2y+2x+y3)exy, 02~~;y) = (x2y2+4xy+y4+2)eY,
02f(x,y) = (x3y+3x2+xy3+3y2)exy, of(x,y) = (x3+ xy2+2y)eXY, oyox
oy
c)
d)
02 f(x, y) 02f(x, y) (X4 + X2 y2 +4xy+ 2)eXY, (X3 y+ 3x2 + Xy3 +
3 y2)exy.
oy2 oxoy
of(x,y, z) . ax =xyzcos(x+y+z)+yzsm(x+y+z),
02f(x, y, z) . ox2 = -xyzsm(x+y+z)+2yzcos(x+y+z),
02f(x,y, z)
oyox
02f(x,y, z)
ozox
of(x,y, z)
oy
02f(x,y, z)
oxoy
02f(x,y, z) oy2
02f(x,y, z)
ozoy
of(x,y, z)
oz
(z-xyz)sin(x+ y+ z) + (x z+ y z) cos (x + y+ z),
(y- xyz)sin(x+ y+ z) + (xy+ yz)cos(x + y+ z),
xy zcos(x + y+ z) + x z sin (x + y+ z),
(z-xyz) sin (x + y+ z) + (xz+ y z) cos (x + y+ z),
- xyzsin(x + y+ z) + 2xzcos(x + y+ z),
(x-xyz)sin(x + y+ z) + (xy+xz)cos(x+ y+ z),
xyzcos(x+ y+ z) + xysin(x + y+ z),
02f(x, y, z) . oxoz = (y-xyz)sm(x+y+z)+(xy+yz)cos(x+y+z),
02f(x,y, z) (x -xy z) sin (x + y+ z) + (xy+xz)cos(x+ y+ z),
oyoz
02f(x,y, z) OZ2
of(x,y, z)
ax
of(x,y, z)
oy
of(x,y, z)
oz
- xyzsin(x+ y+ z) + 2xycos(x+ y+ z).
z
x eY 02f(x, y, z) Z oxoy
x eY 02f(x, y, z) Z2' oxoz
z 02f(x,y, z)
0, oyox
eY 02f(x, y, z) Z oy2
eY 02f(x, y, z) - Z2' oyoz
02f(x,y, z)
ozox
xeY 02f(x,y, z) xeY
z ozoy -7' xeY 02f(x,y, z) 2xeY
-
716 Losungen ausgewahlter Aufgaben
Aufgaben zu Nr. 164
1. Die Differenzierbarkeit ergibt sich in allen Fallen aus Satz
164.3.
a) f'(x,y)=(l, 1). b) I'(x,y, z)= (:!::,~, _ x;). z z z
d) f'(x) = (~x ) . \ 3x2
( -Sinx) c) f'(x) = . cosx
f) f' (x, y, z) = ( -:; 0 0) . vY2vY 2~
e) f'(x, y) = (~ 2~). 2VX
4. 1 sei in ~ differenzierbar. Mit
f'(~)= (~tt ... atP) und h:= (hh:pt) aqt·· ·aqp
ist dann
(!t(~+h)-/tW) (attht+ ... +atphp) (rt(h») :
=!(~+h)-!W=f'(~h+r(h) = : + : , Iq(~+h)-Iq(~ aqtht + ... +aqphp
rq(h)
wobei lim r(h) = 0, also auch lim rj(h) = 0 ist. Durch
Komponentenvergleich erhalt man h_ ~H h_ ~H
lim rAh) = o. h~O IlhH
Es folgt, daB liW vorhanden und = (ajh ... , ajp) ist. Also gilt
auch (164.16). Durchlauft man die Schliisse in umgekehrter
Richtung, so erhalt man den zweiten Teil der Behauptung.
5. Es ist !(~+h)-!(~)=f'(~)h+ Hhll p (h) mit limp (h) = 0 (dabei
ist h#O). Bestimme ,5>0 so, h~O
daB Hp(h)H~l fUr 0< Hhll
-
Losungen ausgewahlter Aufgaben 717
und somit
(1+h)U-1 cp'(1) = lim f(x) = af(x).
h~O h
Andererseits ist cp(t + h) - cp(t) = f(x + hx) - f(x), also
(0,
cp(1 + h) - cp(1) = hj'(x)x + r(hx) Ilxll Ilxll '
falls x=O,
falls xfO.
Infolgedessen haben wir
'(1) _ {O, falls x = 0, cp - j'(x) x, falls xfO.
Da aber j' (0) 0 = ° ist, gilt die Gleiehung cp'(1) = j'(x)
x
aueh im FaIle x=O. Aus dieser und der obigen Darstellung von
cp'(t) erhalten wir j'(x)x=af(x) fUr jedes x.
Aufgaben zu Nr. 165
1. dtp/dt= -2It3 +4t3•
3. dtp/dt=2t.
2. dtp/dt=2sinteos 2 t-sin3 t.
4. dtp/ dt = 4 e21•
'() 1 ( 2 1 2 2 2X) S.cp x,y = 22 2 2xy +2' XY-3' x y +x/y y
y
6. tp'(x,y)=(2x+y- 2xy+ y2+ 2xy2, x-2y+2xy _x2+6y2+2x2y).
7. (fg)' (x, y) = e X +Y (sin (xy) + yeos (xy), sin (xy) +xeos
(xy», (f/ g)' (x, y) = e -(x+Y)(yeos (xy) - sin (xy), xeos(xy) -
sin (xy».
9. dV(O)/dt= -0,018 m 3/h.
Aufgaben zu Nr. 166
1. Richtungsableitung
a)
b)
2V2 1 -V3 2
Richtung GroBe des starks ten Anstiegs in t
G) (~) 1
-
718 Losungen ausgewiihlter Aufgaben
c)
d) 2e
V6 V3e
2. Sie sind senkrecht zur Richtung des stiirksten Anstiegs.
x2 y2 5. f(x, y) = 2: + "2 + C, C eine beliebige Konstante.
Aufgaben zu Nr. 167
2. Es ist (f-g), =/' -g' =0 auf G; aus Satz 167.5 folgt also
f-g=c.
Aufgaben zu Nr. 168
1. Es ist
/,(xo+h) = (:~ (Xo+h»). Setze
0,..1,..1.
Dann ist
und
Die Abschiitzung (168.9) ist trivial.
2. Man wende fortlaufend Produktintegration an.
4 Xo ( • h . k 1 h2 . hk 1 k2 . 1 h3 . . e smyo+ smyo+ cosYo +"2
smyo+ cosYo -"2 smyo + 6" smyo
12 1 2 , 13 ) +"2h kcosyo - "2hk smyo - 6"k cos Yo .
5. 1,05 1,02 ~ 1,0510. Restgliedabschiitzung liefert 11,05 1•02
-1,05101
-
Aufgaben zu Nr.170
2. ~ = _ 4X3+2cosy ox cosz
oz 2xsiny oy=~
Losungen ausgewahlter Aufgaben 719
3. Das System wird jedenfalls von dem Tripel x=O, y= V875, Z=
v475 befriedigt. Es ist y'= -3x/5y, z'=x/5z.
4. Das System wird gewiB von dem Quadrupel x=O, y= V1/10+1/12,
U= 1/v'fO, V= 1/V12 gelost. Es ist ou/ox=5x/u, ou/oy=6y/u, ov/ox=
-4x/v, ov/oy= -5y/v.
5. lluloy=O, ovloy= -1 an der Stelle (0, -1).
Aufgaben zu Nr.171
2. Z. B. G:= { (;) : -
-
720 Losungen ausgewahlter Aufgaben
1 t="2,1)=-1
e) t=1)=O t=O, 1)= 1 t=O, 1)=-1
5. a=b=c=20.
6. a=b=c=30.
7. x=2a/3, 1=2.
Aufgaben zu Nr. 174
Maximum
Minimum Maximum Maximum
-6
0 2/e 2/e
1. Maximum 1/4 in (1/2,1/2); kein Minimum.
2. Lokales Minimum 0 in (1,0); lokales Maximum 4/27 in
(1/3,2/3); keine globalen Extre-ma.
3. Der Punkt kleinsten Abstandes hat naherungsweise die
Koordinaten t = 1,44 und 1) = 0,36.
4.
-
Losungen ausgewahlter Aufgaben 721
Aufgaben zu Nr. 177
1. a) b)
(X2 -XI) ( -rsint) Geschwindigkeitsvektor 12-YI reost
Geschwindigkeit V(X2 -XI)' +(Y2 - YI)2
Weglange ~. (X2 - XI)2 + (Y2 _ YI)2 2'Tfr
4. a) asinh Xo . b) a-rr Vi +4-rr2 + i arsinh(2-rr). a
Aufgaben zu Nr. 178
6.6a. 7. ~ (10 VTIl -1). 27
1 3 8.1 +-In-.
2 2
Aufgaben zu Nr. 180
c)
2 (-rSin2t) rcos2t
2r
4'Tfr
c) 8a.
1. 1. 2. 24. 3. 2e-2. 5. --rr.
7. 36 Joule.
Aufgaben zu Nr. 181
d) e)
(-rsint) (r(~-cost)) reost rsmt
h
Vr2+h2 2rlsin~1 4'TfVr2+h2 16r
1. Das Integral iiber f sei wegunabhiingig, und y: [a,
bj-->RP sei geschlossen: y(a)=y(b). Dann hat auch y- den
Anfangspunkt yea) und den Endpunkt y(b), also ist
und somit
1st umgekehrt s,,f. dx = 0 fUr jedes geschlossene y und sind y"
Y2 zwei Wege mit denselben Anfangs- und Endpunkten, so ist Yt
EE> y 2- geschlossen, also
und somit r f-dx = r f-dx. J 1'1 J Y2
Der erste BeweisteillaBt sich iibrigens auch sehr rasch mit
Hilfe der Satze 181.3 und 181.2 erle-digen.
y2 4.
-
722 Losungen ausgewahlter Aufgaben
1 7. q>(x,y, z) = - 2'
(n - 2)1""-
8. Das Vektorfeld besitzt eine Stammfunktion q>(x, y, z):= J
~ tf(t)dt.
Aufgaben zu Nr. 182
Aufgaben zu Nr. 183
1. Ja; q>(x,y)=6x2y+3x. 2. Nein. 3. Ja; q>(x,y)=x3y.
5. Nein.
6. Ja; q>(x,y, z)=x2/2- y2/2+xz-yz.
Aufgaben zu Nr.184
1. 2. 2.2. 3. 3 sinh 1- 2eosh 1 + ~ sinh 2 + ~.
Aufgaben zu Nr.185
1. O. 2. i bzw. 2i.
Aufgaben zu Nr.188
68 43 1 a) y=-+-x.
. 35 35
3. 1 bzw. 1 +i.
30 27 b) y=---x.
13 26
4. -'IT.
2 - 64 281 x ~ 2 • Y - 55 + 220 + 44 x .
km 6. n=17, also H::d7 6' h 'ah .
see· 10 Lie tJ re
Aufgaben zu Nr.190
lnx y3 1. Exakt; -+ x 2 + -= C.
y 3 2. Exakt; x 2 e" - x + y = c.
3. Exakt; x 3y2+y2+2yx-x=C. Die Losungen der Anfangswertprobleme
sind die Funktio-nen
x l+x x 2 y(x):= - 1+x3 ± --3 + 32' l+x (l+x)
-
Losungen ausgewahlter Aufgaben 723
4. Nicht exakt. Integrierender Faktor z.B. 1/x2. Explizite
Losung Y(X):=X2- Cx.
5. Nicht exakt. Integrierender Faktor z.B. 1/x2. Explizite
Losung y(x):=x+ V C + Si:X . 6. Nicht exakt. Integrierender Faktor
z. B. 1/y4. Implizite Losung Cy 3 + y2_X2=0. AuBerdem ist auch y
(x) == 0 eine Losung.
Aufgaben zu Nr. 198
1. Sei Z:=Zt x ... x Zp eine Zerlegung von lund Z' eine
Verfeinerung von Z. Man betrachte zuerst den Fall, daB Z' aus Z
hervorgeht, indem man zu genau einem der Zj genau einen weite-ren
Teilpunkt hinzufUgt, und schlieBe im ubrigen ganz entsprechend wie
im Beweis des Hilfs-satzes 82.1.
Aufgaben zu Nr. 200
1. 25. 2. 7/12. 3. e4 _2e3 +e2• 4. 2. 5.4In(16/15). 6.
1T/48.
7. Am elementarsten laBt sich die Behauptung durch den Ruckgriff
auf die Netzdefinition des Integrals beweisen.
8. L =.! J [f(X) + f(y)] d(x,y) = J f2j)+{(y) d(x,y).", J
Id(x,y)=(b-a)2. 2 I f(y) f(x) I 2 (x) (y) I
Zur Abschatzung des Integranden wurde die Ungleichung zwischen
dem arithmetischen und geometrischen Mittel benutzt:
9. Wegen der Monotonievoraussetzung ist in der letzten Gleichung
fUr R-L (im "Hinweis") der Integrand .", O.
Aufgaben zu Nr. 201
1. Verfahre ganz ahnlich wie beim Beweis des Satzes 85.6. Ziehe
zum Beweis der zweiten Be-hauptung den Satz 160.4 heran.
2. Verfahre wie beim Beweis des Satzes 104.4.
3. Es genugt, die Ungleichung fUr den Fall zu beweisen, daB B
ein Intervall ist. Zu diesem Zweck kann man ganz ahnlich vorgehen
wie beim Beweis der eindimensionalen HOider-schen Ungleichung (Satz
85.2).
4. Die Menge V der rationalen Zahlen in [0, 1] leistet das
Gewunschte.
5. Es ist If = B u a B. Wende nun die Satze 201.2 und 201.6 an.
6. Nach Aufgabe 5 ist If lordan-meBbar. Da If auBerdem kompakt ist,
muB f auf IfR-inte-grierbar sein. Ziehe nun Satz 201.7 heran. -
Gegenbeispiel: B:=(O, 1], f(x):=1/x fUr xEB, :=0 fUr x=O.
-
724 Losungen ausgewiihlter Aufgaben
Aufgaben zu Nr. 203
1. 3. 2. 2/3. 3. 40/3.
Aufgaben zu Nr. 204
3. g S~f(x,y)dxdy. 4. n g'f(x,y)dxdy. 5. Sb J::C~inxf(x,y)dydx.
SIr VI-x' 6. oj f(x,y)dydx. vr=x 7. 64/15.
10. 1/24.
13. 1/24.
16. 32'll".
8. 1/4. 9. 1/12.
11. 6/55. 12. 2/3.
14. ab'Y'll". 15. 'll"/2.
17. l-cosl ~0,46.
Aufgaben zu Nr. 206
4. 3'll" a2• 5 2 2 • a.
1 ( 4) 3 14. 3" 'll"-3" R. 1
17. 32' 1
18. g'
2
21 ~ • 4
1 15. 3" 'll"abc(4- V2). 4 16. is'll".
23. Sei B die Kugel mit Radius R urn den Nullpunkt und Bo:= B\
{O}. Bo sei mit einer Masse angefUllt, deren Dichte das Reziproke
des Abstandes vom Nullpunkt ist. Das Ergebnis der Aufgabe 20 wird
man als die Masse von Bo interpretieren. Das Ergebnis der Aufgabe
21 wird man auffassen als die Masse des Raumes R3, wenn dieser mit
einer Masse belegt ist, deren Dichte p(x,y, z)=1/(1 +X2+y2+Z2)3
ist.
24 2'll"a 3 'll"b R4 '-3- R +""4 . 71
25. 210'
26. Die Masse M in B ist genau dann endlich, wenn a> -3 und
/3< -3 ist; in diesem Falle ist M=4'll" (_1 __ 1 ).
3+a 3+/3
( 3 3 3 ) 27. gR, gR, gR .
-
Losungen ausgewahlter Aufgaben 725
Aufgaben zu Nr. 207
1. 4. 2. 1. 3. 1. 3
4. i'IT.
5. O. 9. 24 'IT.
Aufgaben zu Nr. 208
15. 'IT.
Aufgaben zu Nr. 209
2. a) (1- x 2)i+ (2x z- x)k, b) (xcosy- 2x z)i- sinyj+ Z2 k,
c) (x 2e' - xy)i - 2xyeZ j + (y z- xeXY)k. x3 x2 y2
7. b=a. cp(x,y, z) = - + - y + - + ayz. 3 2 2
8. Die beiden Integrale in (209.5) haben den gemeinsamen Wert
'lTa 2 •
9. O.
Aufgaben zu Nr. 210
1. a) 2xyz-sinysinz,
8 ~ . 2 10. 24 'IT. 11. 135 'IT.
-
726 Losungen ausgewiihlter Aufgaben
Aufgaben zu Nr. 211
1. a) O. b) 3.d •. 2. 3. c) 8.d1,2-4.d1,3-4.d2•3. d) 2.d1.2.
3'
2. a) 3.d1,2.3.4' b) -.d •. 2•3.4.
Aufgaben zu Nr. 212
2. a) dyi\dz. b) ydxi\dy+zdxi\dz. c) xexYdyi\dx+dxi\dz.
d) dx i\ dy.
3. a) O. b) (cosz-1+yz)dxi\dyi\dz.
5. 0, falls der Grad r von w ungerade ist, - 2 dw i\ d" falls r
gerade ist.
Aufgaben zu Nr. 214
Aufgaben zu Nr. 220
1. Geht man wie bei dem Kugelbeispiel am Ende der Nr. 220 vor
und benutzt man sinngemliB dieselben Bezeichnungen, so erhiilt
man
U (P) = {- G ml z, wenn P im AuBenraum der Schale liegt,
-21TpG(R~-RD, wenn P im massefreien Innenraum der Schale liegt.
Aufgaben zu Nr. 230
2. M sei relativ kompakt. Zu einer vorgegebenen Folge (xn) aus M
existiert eine Folge (yn) aus M mit IIxn - Ynll < 11n.
VoraussetzungsgemliB enthiilt (yn) eine konvergente Teilfolge
(Yn.)' Ihr Grenzelementy muB in Mliegen, und offenbar strebt
Xn.-+y. Also ist Mkompakt. Die Umkeh-rung ist trivial.
Aufgaben zu Nr. 231
11. Angenommen, f sei nicht abgeschlossen. Dann existieren
Folgen (xn), (Yn), so daB gilt: Xn-+x,YnEf(xn) und Yn-+y, aber
y¢f(x). Da f(x) abgeschlossen und y¢f(x) ist, gibt es offene
Umgebungen V und W von f(x) mit j7 c W und y¢ W. Wegen der
Oberhalbstetigkeit von f kann man zu Veine Umgebung Uvon x tinden,
so daBf(u)c VfUr alle UE Uist. Fur n>no(U) liegen aIle Xn in U,
also haben wir f(xn) c V fUr aIle n > no und somit erst recht Yn
E V fUr aIle n > no. Dann muB aber y in V, urn so mehr also in W
liegen, im Widerspruch zur Konstruktion von W.
-
Literaturverzeichnis
[1] Apostol, T. M.: Mathematical Analysis. Massachusetts-London
1957
[2] Bauer, H.: Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundztige der
MaBtheorie. 3. Aufl. Berlin-New York 1978
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Stone-WeierstraB Theorem. Proc. Amer. Math. Soc. 81, 1 (1981)
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[10] Kuhn, H.: Ein elementarer Beweis des WeierstraBschen
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the Brouwer fixed point theo-rem. Amer. Math. Monthly 85, No.7
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[13] Nikaido, H.: Convex structures and economic theory. New
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[14] No beling, G.: Integralslitze der Analysis. Berlin-New York
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[15] Rinow, W.: Lehrbuch der Topologie. Berlin 1975
[16] Rogers, C.A.: A less strange version of Milnor's proof of
Brouwer's fixed point theorem. Amer. Math. Monthly 87 (1980)
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[17) Walter, J.: On elementary proofs of Peano's existence
theorems. Amer. Math. Monthly 80, no. 3 (1973) 282-286
[18] Weissinger, J.: Zur Theorie und Anwendung des
Iterationsverfahrens. Math. Nachr. 8 (1952) 193-212
[19] Zemanek, J.: A simple proof of the Weierstrass-Stone
theorem. Comment. Math. 20 (1977) 495-497
[20] Zygmund, A.: Trigonometric series 1. Cambridge 1959
Lehrbticher der Analysis sind im Literaturverzeichnis des ersten
Bandes aufgeftihrt.
-
Symbolverzeichnis
Symbole, die immer wiederkehren (wie of lox, hf(x)dx usw.), und
solche, die bereits im Symbolverzeichnis des Teiles 1 erscheinen,
wurden in dieses Verzeichnis nicht aufgenommen.
\S(a) 205 U(a) 203 B(X,F) 39 U, (f), U, [fl 13,206 (c) 13 ,8,,8*
440
c- L ak 155 IZI 440 CO(Xb ... ,xm) 604 (Z,O") 440
C(X) 35,233 C(x, F) 40 Lit, .djl •...• )r 525f. Cb(X,F) 39 Ojk
307 cm(G) 250 oM 219 div 521 00", o(tP, + ... + tPm ) 547, 549 dXj,
df 532f. a (g, , ... ,gr)/o (Uh . .. , Ur) 541 F(X) 208 Of(T) 444
grad 273 Wf(x) 444 i,j, k 499 l(tP),l(S) 505f. IIAII 41 Jf{g) 260
IIA lice 39f. L(A) 590 [A] 51 L(/),L(a,b) 86, 582 An=*-A 42 L +
(/)' L + (a, b) 85,582 axb 500 L2 125
fB 453 U(/) 106, 586 fl (if'n) 85 L(y), L(y, Z) 350 (fIg) 127
L(T) 360 Ill,IBI 439,453 52(E), E(E,F) 40 M 62, 219 reP) 12 if 219
LH(X1> ... ,Xm) 605 n meA) 587 M,+···+Mn, L Mk 611 M(/) 104, 586
k~'
IDl(q,p) 52 M,-M2 611 Ixl 270 R(/), R(B) 441,453 [Xo,Xt, ... ,Xr
] 545 rot 515
S(f,Z,T) 276 x·y 269
sign 305 Sr 545 YI EB ... EB Ym r l EB ... EB Tn 241 T(l)
84,447,582 tP 1\ 'P, W 1\ 1] 528, 531 0, O(a) 204 0", + ... + O"rn,
tPI + ... + tPm 547f.
-
N amen- und Sachverzeichnis
Kursiv gedruckte Zahlen geben die Seiten an, auf denen die
Lebensdaten der aufgefuhr-ten Personen zu finden sind.
Abbildung, beschrlinkte 39 -, beschrlinkte lineare 41 -,
dehnungsbeschrlinkte 34 -, folgenstetige 231 -, gleichmliBig
stetige 34, 235 -, Grenzwert einer 35 -, kontrahierende 34, 223
-,lineare 40f., 50f. -, Lipschitz-stetige 34 -, offene 232, 302 -,
stetige 31, 230 Abbildungsnorm einer Matrix 56 Abel, N. H. 684,
696, 697 Abelsche Summe 160 abgeschlossene Hiille (AbschlieBung)
62, 219, 222 - Menge 33, 220, 222 abgeschlossener Quader 33
Ableitung 26lf., 33lf., 345, 687f., 690f. -, gemischte 249 -,
hahere partielle 248 f. -, linksseitige 333 -, partielle 247 -,
rechtsseitige 333 AbschlieBung 62, 219, 222 Abschnittsdeterminante
309 absolutstetige Funktion 113, 117 abzlihlbar additiv 590 affine
Abbildung 490 d'Alembert, J. B. Ie Rond 118f., 684, 686ff., 689
Aigarotti 659 Allokation 630 alternierende r-Linearform 527
Aneinanderhlingen von Wegen 376 Anfangspunkt eines Weges 241
Antidifferentiation 661 Antiphon 640, 675 Aphel575 Approximation im
quadratischen Mittel 130 Approximationssatz 602 - von Bernstein 66
::- - WeierstraB 63, 66, 160 Aquipotentiallinie 418 liquivalente
Normen 19, 45 (A 112.12) - Simplexe 546 f. Archimedes 437, 636,
640ff., 646, 647, 649, 650f.,
657,661,677 archimedische Spirale 357, 647 Aristoteles 640, 646,
647 Arithmetisierung der Analysis 685 ff., 693, 696
699 Astroide 366 A-summierbare Reihe 160ff. atomistische
Geometrie 643, 664 Aufpunkt 563
Ausgleichsgerade 410 Ausgleichsparabel411 Ausgleichspolynom 411
liuBere Normale 521 liuBerer Punkt 218 liuGeres Differential 533
AuBeres einer Menge 219 liuBeres Produkt 528, 531 Auto 435
A-Verfahren 160
Banach,S. 16 Banachalgebra 23 Banachraum 16 Banachscher
Fixpunktsatz 35, 39, 223 f. Barrow, 1. 65lf., 653 ff., 656, 660,
662, 664, 668, 672,
673 Basis 605 Basisumgebung 205 Becker, O. 634 Berkeley, G.
677ff. Bernoulli, Daniel 122,253,681,687,694 -,Jakob
150,570,675,681,683 -, Johann 150, 568, 570, 675, 677, 681, 683,
685 -, Nikolaus 681 Bernoullische Gleichung 253 Bernstein, S. N. 66
Bernsteinsche Polynome 66 beriihren 218 Beriihrungspunkt 218, 222
Beschleunigung 428 Beschleunigungsvektor 428 beschrlinkte Abbildung
39 - Foige 15 - lineare Abbildung 41 - Menge 15 Bessel, F. W. 130
Besselsche Gleichung 130, 131 - Ungleichung 130, 131
Bestapproximation 601 Betafunktion 491 Betrag eines Vektors 270
Bewegung 648, 697 Bildbereich einer r-Kette 548 binomische Reihe
661 f., 696 Birkhoff, G. 634 Bogen 241, 349 -, glatter 365 -,
stiickweise glatter 365 Bogenkomponente 244 Bogenllinge 360, 363 f.
bogenzusammenhlingende Menge 243 Bohme, J. 657 du Bois-Reymond, E.
592
-
730 Namen- und Sachverzeichnis
Bolzano, B. 689f., 691 Bonbon 511 Borel, E. 698 Brachistochrone
568 Breidert, W. 677 Brosowski, B. 59, 599 Brouwer, L. E. J. 593
Brouwerscher Fixpunktsatz 593 Budgetmenge 625 Burckhardt, J. 646
BV-Normalbereich 496, 498
Calculus 655, 659 ff., 670 ff. Cantor, G. 122, 698f. Carleson,
L. 154 Clisar 645 Cauchy, A. L. 247, 688, 690ff., 695 f., 697, 698
Cauchyfolge, komponentenweise 19 - in metrischem Raum 212 - in
normiertem Raum 16 Cauchynetz 216 Cauchyprodukt 25, 159
Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen
347 Cauchysche Ableitungsformeln 402 - Abschlltzungsformel 402 -
Integralformel 398 Cauchyscher Integralsatz 396 Cauchysches
Integrabilitlltskriterium 336, 692 - Konvergenzkriterium 20, 690,
693 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung 270 Cavalieri, B. 468, 649 f.
Cavalierisches Prinzip 649 Cavendish, H. 576 Cesaro, E. 155
characteristica universalis 670 charakteristisches Dreieck 654,
673, 676 Cicero 645 cm-Funktion 250, 257 C'-Normalbereich 517
Cornusche Spirale 358 Cosimo de' Medici 646 Cousin, P. 698 Cramer,
G. 306 Cramersche Regel 306 C-summierbare Reihe 155, 159
C-Verfahren 155 Darbouxsche Integrale 443 Darstellungsmatrix 51
Debreu, G. 631 Dedekind, R. 698, 699f. Definitheitskriterium 309
dehnungsbeschrllnkte Abbildung 34 Dehnungsschranke 34 Demokrit 643,
669 Descartes, R. 67, 652, 655, 668 Determinante 304ff. Deutsch, F.
59, 599 dicht liegen 62, 22lf. Diderot, D. 682 Diffeomorphismus 301
Differential 675, 689, 691 -, lIuBeres 533 - einer Nullform 533
Differentialform, exakte 540 -, geschlossene 540 -, stetige 533 -
der Klasse em 533
- vom Grade r 531 Differentialgleichung, exakte 416 - der
Wlirmeleitung 562 - n-ter Ordnung 77 f. Differentialquotient 673,
689 f. differenzierbare Funktion 259,262,330,332,345
differenzierbarer Weg 353 Differenz von Teilmengen eines
Vektorraumes
611 D-integrierbare Funktion 443 Dirichlet, P. G. Lejeune- 695
Dirichletsche Regel 138 Dirichletscher Kern 135 Divergenz eines
Vektorfeldes 52lf., 560 Divergenzsatz 522, 561 dominantes Element
625 Don Quichotte 349 Drehimpuls 570 Dreiecksungleichung fur
L-Integrale 91 - - R-Integrale 278, 280, 336, 447, 456
Durchlaufungssinn 374
Ecke 545 Einheitsmatrix 54 Einheitssimplex 545 Einstein, A. 246
Ellipse 357 f., 362 Ellipsenbogen 361 f. Ellipsengleichung 362
Ellipseninhalt 469, 491 Ellipsoidinhalt 469, 491 endlich additiv
590 endliche Durchschnittseigenschaft 229 Endpunkt eines Weges 241
Energiesatz 429 Entwicklungssatz fur holomorphe Funktionen
401 Epsilontik 697 Erdmasse 576 Erstausstattung 621 erster
Hauptsatz der Differential- und Integral-
rechnung 117, 655, 674, 693 erste und letzte Verhllitnisse 664
f., 678 erweiterter Mittelwertsatz fUr mehrfache Integrale
460 Eudoxos 635, 636ff., 697, 700 Euklid 636, 638 f., 640, 646,
664, 700 euklidische Norm 271 Euler, L. 150, 174, 189, 195,247,
249, 491, 680,
681ff., 683ff., 685 f., 687, 689, 691 --Cauchyscher Polygonzug
69 f. --Fouriersche Formeln 124 --Lagrangesche
Differentialgleichung 423, 425f. Eulersche Differentialgleichung
186 f. Eulerscher Multiplikator 418 - Satz fUr homogene Funktionen
266 Ii-Umgebung 14,206 exakte Differentialgleichung 416
Exhaustionsmethode 637, 639, 641, 650f., 664 Existenzsatz von Peano
69, 72, 75, 78, 617 - - Picard-Linde1of 67,75,78 Expansion des
Weltalls 411 Exponentialfunktion in Banachalgebren 28, 344
Extremale 423 Extremum, globales 311 -,lokales 310 - mit
Nebenbedingungen 319 Extremwertkriterium 312, 313 f.
-
Faltung 24 fast iiberall gleich 444 - - stetig 444 Fatou, P. 97
Feinheitsmaf3 einer Zerlegung 440 Fejer, L. 155 Fejerkern 156 de
Fermat, P. 65 Iff., 654, 655 Fixpunkt einer Abbildung 34 - -
Korrespondenz 614 Fixpunktsatz von Banach 35, 39, 223 f. - -
Brouwer 593 - - Kakutani 614 - - Schauder, erster 606, zweiter 608
- - Weissinger 40 Flache 502, 541 Flacheninhalt 453 - einer Flache
505 - - Rotationsflache 511 - eines Flachenstiicks 506 - - -
z=J(x,y) 51Of. Flachensatz 571 Flachenstiick 502 Fluente 663, 666
Fluf3dichte 559 Fluxion 663, 666, 678, 687 Fluxionsrechnung,
Hauptaufgaben der 663 -, Kritik der 677 ff. Folge, beschrankte 15
-, fast konstante 215 -, konvergente 14,211 f. folgenstetige
Abbildung 231 Fortsetzung, gerade 152 -, ungerade 152 Fourier, J.
B. J. 3, 124,562,692, 694f. Fourierkoeffizienten 124 Fourierreihe
125, 126, 692, 695 Frechet, R. M. 331 Frechetsche Ableitung 331
Fredholm, I. 79 Fredholmsche Integralgleichung 79 Fredholmscher
Integraloperator 79 Friedrich der Grof3e 669 Friedrich II (Staufer)
646 Fubini, G. 448 Funktion 685 ff., 694 f. -, absolutstetige 113,
117 -, differenzierbare 259, 262, 330, 332, 345 -, D-integrierbare
443 -,ganze 406 -, harmonische 524 -, holomorphe 347 -, homogene
266 -, implizit definierte 289 -, integrierbare 441 -,
L-integrierbare 87, 582 -, logarithmisch konvexe 198 -, mef3bare
103 f., 586 -, offene 302 -, partiell differenzierbare 247 -,
partielle 247 -, quadratisch integrierbare 125 -, R-integrierbare
277, 335, 441, 453 -, stetig differenzierbare 262, 332 -,
stiickweise beschrankt differenzierbare 140 -, - Lipschitz-stetige
144 -, - monotone 140 -, - stetig differenzierbare 141
Namen- und Sachverzeichnis 731
-, - stetige 140 -, unstetige (im Sinne Eulers) 686
Funktionaldeterminante 310 Funktionalmatrix 260
Galilei, G. 617, 647ff., 651, 654, 657, 660, 685 Gammafunktion
195ff. ganze Funktion 406 Gauf3, C. F. 196f., 247, 658, 691
Gauf3scher Integralsatz im Raum 522, 558, 561 - - in der Ebene 498,
558 Gauf3sches Fehlerintegral 20Of., 491 Gebiet 244, 279 gemeinsame
Verfeinerung 440 gemischte Ableitung 249 geradlinige T- Kette 547
Gesamtausstattung 629 Gesamtnachfragemenge 629 geschlossener Weg
384 Geschof3bahn 647 Geschwindigkeit 353 Geschwindigkeitsvektor 353
gewohnliche Differentialgleichung 119 Gibbon, E. 645 glatter Bogen
365 - Weg 365 Gleichgewicht, labiles 429 -, stabiles 429
gleichmaf3ige Konvergenz 697 - - einer Folge linearer Abbildungen
42 gleichmaf3ig stetige Abbildung 34, 235, 693, 698 gleichstetige
Funktionenfamilie 235 Gleichung der schwingenden Saite 118 globales
Extremum 311 Goethe, J. W. 669 Gradient 273, 275 Gradientenfeld 380
Grandi, G. 676, 683 Gravitationsfeld 380, 563, 565
Gravitationspotential 563 ff. Green, G. 498 Greensche Formeln 523
f. Greenscher Satz 498 Gregorius a Sancto Vincentio 651, 668
Gregory, J. 651, 660, 673, 682 Grenznutzen 272 Grenzproduktivitat
254 Grenzwertbegriff 639 f., 650, 663 ff., 691, 694, 696f.
Grenzwert einer Abbildung 35 - - Folge 14,211,212 - eines Netzes
216 Gudermann, Chr. 697
Hahn, H. 342 --Banachscher Fortsetzungssatz 342 Halbnorm 207
Halbparameter einer Ellipse 575 Halley, E. 657, 677 f.
Hamiltonsches Prinzip 432 Hankel, H. 690, 695 harmonische Funktion
524 harmonischer Oszillator 433 Haufungspunkt 35, 218, 222
Hausdorff, F. 212, 694 Hausdorffmetrik 230 Hausdorffraum 212 Hegel,
G. W. F. 67, 559, 572 Heine, E. 698
-
732 Namen- und Sachverzeichnis
v. Helmholtz, H. 617 Hermite, Ch. 84 Hertz, H. 495 Herzkurve 357
Hesse, L. 0.312 Hessesche Matrix 312 Hilbert, D. 592 Hippasos von
Metapont 635, 636, 643, 697 Hobbes, Th. 651 Hllhenlinie 286
Hilldersche Ungleichung 107,460 holomorphe Funktion 347 homogene
Funktion 266 de I'Hospital, G. F. A. 673 Hubble, E. P. 4J1
Hubblesche Konstante 411 Huxley, A. 659 Huygens, Ch. 568, 651, 668
Hypatia 645 Hyperebene 444
Identitiitssatz fiir holomorphe Funktionen 404 implizit
definierte Funktion 289 indefinite Matrix 308 Indifferenzkurve 272
Indivisibeln 643, 648 f., 651, 664 Indivisibelnhypothese 643, 648
f., 664 ff. Infinitesimalbetrachtung 649, 653 f., 661, 664
672 f., 679 infinitesimale Gro/3e 648, 665, 676f., 679 f., 688
Inhalt, iiu/3erer (innerer) 455 - der p-dimensionalen Einheitskugel
469 - eines Intervalls 439 Inkrement 254 Innengebiet 367
Innenprodukt 127, 168, 269 innerer Punkt 218 Inneres einer Menge
219 Integrabilitatsbedingung 386 Integration einer Differentialform
541 f. Integrationsbereich 453 integrierbar 441, 453 integrierender
Faktor 418 Intervall im RP 581 -, kompaktes 439 -, offenes 439
-,p-dimensionales 439, 581 Invarianz des Inhalts unter
Kongruenz-
abbildungen 490 Inverse 26 invertierbares Element 26
Invertierbarkeitskriterium fiir Matrizen 306 irrationale Zahl 636,
697 ff. Isobare 288 Isochrone 568 isolierter Punkt 218 isometrisch
23 isoperimetrisehe Ungleichung 578 Isotherme 288 iteriertes
Integral 448, 587
Jacobi, C. G. J. 247, 260 Jacobimatrix 260 Jordan, C. 353, 367
Jordanbogen 359, 365 -, rektifizierbarer 360 Jordandarstellung
einer Jordankurve 361 - eines Bogens 359
Jordan-Inhalt 453 Jordankurve 361 -, rektifizierbare 361
Jordan-me/3bare Menge 453, 591 Jordansche Nullmenge 458 Jordanscher
Kurvensatz 367 Jordanweg 353
Kantenlange 462 Kardioide 357 Katharina I 681 Keilprodukt 528
Kepler, J. 571 f., 647, 649, 650 Keplersche Gesetze 572 Kern 79 -,
Illsender 81 -, n-fach iterierter 80 Kettenregel 267 ff., 672 f.
kinetische Energie 428 v. Koch, H. 366 Kolumbus 647 kommensurabel
635 kompakte Menge 33, 227 kompakter Quader 33 - Wiirfel462
kompaktes Intervall 439 Komponente eines topologischen Raumes 238
Komponentenfunktion 46 Kompressionsmethode 644 Kongruenzabbildung
490 Konjugierte einer Funktion 64 konservatives Kraftfeld 427
Kontinuitlitsprinzip 676 kontrahierende Abbildung 34, 223
Kontraktionskonstante 34 konvergente Folge 14, 211 f. - Reihe 20,
693 konvergentes Netz 216 Konvergenz im quadratischen Mittel 163
Konvergenzradius 21 Konvergenzsatz fiir Potenzreihen 21 - von Beppo
Levi 94, 583 - - Lebesgue 96,97,583 konvexe Hiille 245, 604 -
Kombination 245 - Menge 242, 245 Kopernikus, N. 572 Korrespondenz
609 -, abgeschlossene 612 -, beschrankte 631 -, kompaktwertige 609
-, konvexwertige 611 -, oberhalbstetige 609 Kosinusreihe 126
Kreisbogen 361 f., 364 Kreisesatz 638 Kreisgleichung 362
Kreisinhalt 467 Kreislinie 361 f. Kreisperipherie 361 f.
Kreuzprodukt 500f. kritische Stelle 311 Kroneckersymbol 307 Kugel,
abgeschlossene 14, 206 -,offene 14,206 Kugelinhalt 468 f., 491
Kugelkoordinaten 489 -, Transformation auf 489 f., 494
-
-, verallgemeinerte 491 Kugeloberfliiche 503, 506 Kuhn, H. 59,
599 Kurve 241 - kOrzester Laufzeit 568 Kurvenintegral 374
Lacroix, S. F. 689 Lagrange, J. L. 423, 680, 681, 683, 687ff.,
689, 693f. Lagrangesche Funktion 432 - Gleichungen 430, 433 -
Multiplikatoren 320 - Multiplikatorenregel 320 Lagrangesches
Restglied 688 Liinge des Kreisbogens 363 - einer Jordankurve 363 -
eines Jordanbogens 360 - eines Weges 350, 354ff. Laplace, P. S. 11,
522 Laplaceoperator 522 Laplacesche Differentialgleichung 407, 562
f.,
565 Laplacescher Differentialausdruck (in Polar-,
Zylinder- und Kugelkoordinaten) 494 Laugwitz, D. 680 Lebesgue,
H. 84 Lebesguesches Integrabilitiitskriterium 446, 455 - Integral
86, 582 - Mal3 587 Leibniz, G. W. 202, 568, 654, 655f., 668ff.,
676f., 680, 683, 685, 691, 693 Leibnizsches Kriterium 693 Lemma
von Brosowski-Deutsch-Kuhn 599 - von Fatou 97 Lemniskate 490
Leonardo da Vinci 646 Leukipp 643 Levi, B. 94 U-Funktion 125
Lichtenberg, G. Chr. 701 LindelOf, E. 67 Iineare Abbildung 50 f. -
Differentialgleichung n-ter Ordnung 78 - Hiille 605 - Systeme von
Differentialgleichungen 75f., 344f. Linearform 343, 525
linsksseitig differenzierbar 333 Iinksseitige Ableitung 333
L-integrierbar 87, 582, 590 Liouville, J. 406 Lipschitzbedingung
67, 74f. Lipschitzkonstante 34 Lipschitz-stetige Abbildung 34 L 2 -
Konvergenz 163 logarithmische Ableitung 190 logarithmisches
Potential 385 logarithmisch konvexe Funktion 198 lokales Extremum
310 - - mit Nebenbedingungen 319 - Maximum 310 - - mit
Nebenbedingungen 319 lokales Minimum 310 - - mit Nebenbedingungen
319 lokale Umkehrbarkeit 301 Lorenzo il magnifico 646 Lotoperator
601 l'-Norm 12 Ludwig XIV 668
Namen- und Sachverzeichnis 733
Majorantenkriterium 21 Marcellus 641 Masse eines Bogens 390 f. -
- FliichenstOcks 507 - - riiumlichen Bereichs 492 f. Mal3 einer
Menge 587 Massendichte 390, 438 Massenkorper 564 Massenmittelpunkt
493 Matrix 51 Matrixalgebranorm 57 Matrixnorm 56 -, vertriigliche
57 maximale Orthogonalfolge 165 Maximum, glob ales 311 -, lokales
310 - mit Nebenbedingungen 319 Maximumprinzip 302, 404 Maximumsnorm
II, 12, 36,40, 234 mechanische Methode 641 f. mehrfaches Integral
441 Menge, abgeschlossene 33, 220, 222 -, beschriinkte 15 -,
bogenzusammenhiingende 243 -, Jordan-mel3bare 453, 591 -, kompakte
33, 227 -, konvexe 242, 245 -, mel3bare 587 -, offene 36, 219 -,
relativ abgeschlossene 226 -, relativ kompakte 605 -, relativ
offene 226 -, sternformige 245, 386 -, unzusammenhangende 236 - yom
Mal3 0 444, 590 -, X-abgeschlossene 226 -, X-offene 226 -,
zusammenhangende 236 mel3bare Funktion 103 f., 586 - Menge 587
Methode der ersten und letzten Verhaltnisse
664f. - - kleinsten Quadrate 408 f. Metrik, diskrete 210 -,
erzeugte 224 -, induzierte 224 metrischer Raum, vollstandiger 212
Milnor, J. 599 Minimalfolge 602 Minimalfunktion 422 Minimum, glob
ales 311 -, lokales 310 - mit Nebenbedingungen 319 Minimumprinzip
302, 407 Minkowskische Ungleichung 107 Mittelwertsatz fUr
banachraumwertige Funktionen
337 f. - - mehrfache Integrale 456 - - - -, erweiterter 460 - -
reellwertige Funktionen 276, 688 - - vektorwertige Funktionen 278,
280 mittlere Entfernung der Erde von der Sonne
576 - Sonnenentfernung eines Planeten 576 f. Moliere 647 Morera,
G. 403 Multilinearform Yom Grade r 524 f. Multiplikationssatz fOr
Determinantel! 308
-
734 Namen- und Sachverzeichnis
Nachfragekorrespondenz 627 Nachfragemenge 625 nattirlich
geordnetes r-Tupel 526 negativ definite Matrix 308 Neil, W. 366
Neilsche Parabel 366 Netz in topologischem Raum 215 -, konvergentes
216 Neumann, C. 26 Neumannsche Reihe 26, 44 Newton, H. 656, 658
Newton, I. 512, 567, 571 ff., 648, 651, 655, 656ff.,
668, 670f., 672, 674, 676, 678 f., 680, 682, 685, 688,
691,696
Newtonfolge 412 -, vereinfachte 412 N ewtonsches Kraftgesetz 428
- Potential 380 - Verfahren 412 - -, vereinfachtes 412ff. nicht
iiberlappende Mengen 459 Nikaido, H. 631, 633 Niveaulinie 286
non-standard-analysis 680 Norm 11 Normalbereich beziiglich der
x-Achse 470 - - - xy-Ebene 471 - - - y-Achse 471 Normale, auBere
521 Normaleneinheitsvektor 510 Normalenvektor 504 Normalgleichungen
409 f. Norm einer Iinearen Abbildung 41 normierte Algebra 23
normierter Raum 11 - -, vollstandiger 16 normiertes Element 13
Normkonvergenz 42 Nullform 525, 531 Nullmatrix 52 Nullmenge 444 -,
lordansche 458 Nullstellensatz von Bolzano 689, 691 numerische
Exzentrizitat 358, 575
Oberflachenintegral eines Skalarfeldes 507 - - Vektorfeldes 508
Obersumme 443 offene Abbildung 232, 302 - Menge 36, 219 -
Uberdeckung 37 - Umgebung 220, 246 - Umgebung einer Menge 609
offenes Intervall 439 Omar 645 Ordinatenmenge 466 -,
verallgemeinerte 467 Ores me, N. 649 orientiert, entgegen dem
Uhrzeigersinn 362 -, im Uhrzeigersinn 362 -, negativ 362 -, positiv
362, 496, 498 orientierter Rand 547 ff. - Weg 241 orientiertes
geradliniges r-Simplex 545 f. - r-Simplex 547 f. Orientierung 374
orthogonale Funktionen 127
- Vektoren 270 Orthogonalfolge 127 -, maximale 165 -,
vollstandige 165 Orthogonalitatsrelationen 123 Orthonormalfolge 128
Oszillation 444
Paarvertauschung 544 Parallelogrammsatz 133, 602 Parameter 241
Parameterbereich 502, 541 Parameterdarstellung eines Bogens 241 - -
F1achenstiicks 502 Parameterintegral 49, 101 ff., 459
Parameterwechsel, negativer 509 -, positiver 509 -, zulassiger 506
Parseval, M.-A. 167 Parsevalsche Gleichung 167, 170 - -,
verallgemeinerte 169 Partialbruchzerlegung von ncotna 153 - -
ncothan 151 partiell differenzierbare Funktion 247, 339 partielle
Ableitung 247, 248 f., 339f. - Differentialgleichung 118 f. -
Funktion 247 Pascal, B. 651, 654, 668, 673 Pauli, W. 408
p-dimensionales Intervall 439 Peano, G. 366, 700 Peanobogen 366
Peanokurve 366 Perihel575 Permanenzsatz des A-Verfahrens 160 - -
C-Verfahrens 155 Peter der GroBe 669 n 363 Picard, E. 67
Planetenmasse 577 Platon 364, 646 f. Plutarch 437, 641, 645
Poisson, D. 162 Poissonsche Integraldarstellung 400 Poissonscher
Kern 162 Poissonsches Integral 186, 187 Polarkoordinaten 182 -,
Transformation auf 272, 485 f., 494 -, verallgemeinerte 491
Polarwinkel 182 polygonaler Weg 377 polygonal wegunabhangiges
Integral 384 Polygonzug 242 -, achsenparalleler 244 -,
einbeschriebener 350 Polynom in mehreren Veranderlichen 47 - mit
variablen Koeffizienten 299 Pope, A. 657 positiv definite Matrix
308 Potential 380, 385, 427 Potentialgleichung 565 potentielle
Energie 427 Potenzreihe 21, 27, 662, 687f., 693 -, formale 217
Praferenzordnung 622 -, konvexe 623, 624 -, monotone 623 -, stetige
623, 624
-
-, strikte 622 -, strikt konvexe 624 Preissystem 624 Preisvektor
624 Problem der Dido 577 f. Produktdarstellung von sin 1tX 190
Produktintegration 114 Produkt von Matrizen 54 Proportionenlehre
636 f., 700 Protagoras 581 punktetrennend 61 punktierte Umgebung
204 Punktprodukt 269 punktweise Konvergenz 42 Pythagoras 634f.,
647, 657, 700
quadratische Form 308 quadratisch integrierbare Funktion 125
Quadratsummennorm 57 Quadratur 651 Quelle 560 Quellendichte 560
Quotientenkriterium 693
Radiusvektor 570 Rand einer Menge 219 Randpunkt 218
Randwertproblem 120 rationale Funktion von mehreren Veranderlichen
47 rationaler Punkt 442 Raum, chaotischer 210 -, diskreter 210 -,
indiskreter 210 -, metrischer 206 -, normierter II -, topologischer
204 -, vollstandiger metrischer 212 -, - normierter 16 rechtsseitig
differenzierbar 333 rechtsseitige Ableitung 333 Regressionsgerade
410 regulares Element 26 Reihe 20 -, absolut konvergente 21 -,
konvergente 20 -, unbedingt konvergente 21 rektifizierbare
Jordankurve 361 rektifizierbarer Jordanbogen 360 - Weg 350 relativ
kompakte Menge 605 relative Topologie 225 - Umgebung 225 r- Flache
541 r- Flache in G 541 r-Form 531 Richtungsableitung 273
Richtungsvektor 272 Riemann, B. 118, 122, 695f. Riemannfolge 276,
335, 441 Riemann-integrierbar 277, 335, 441, 453 Riemannsche Summe
276, 335, 441, 693 Riemannscher Lokalisationssatz 136 Riemannsches
Integrabilitatskriterium 446 - Integral 276[., 335, 441, 453, 696 -
Netz 336, 441 Riemannsche s-Funktion 199 Riesz, F. 170 Rieszscher
Darstellungssatz 170
Namen- und Sachverzeichnis 735
R-Integral 277, 335, 441, 453 R-integrierbare Funktion 277, 280,
335, 441, 453 r-Kette 548 -, geradlinige 547 r-Linearform 524f. de
Roberval, G. P. 650, 652 Rogers, C. A. 599 Rolle, M. 680 Rotation
515 -, Rechenregeln 515 Rotationsflache 511 rotationsfrei 516
r-Simplex, orientiertes 547 f. -, - geradliniges 545 f.
Salomo 363 Satz des Eudoxos 637 - iiber die Vertauschung der
Integrationsreihen-
folge 450, 471, 584 - von Arzela 100 - - Arzehi-Ascoli 235 - -
Beppo Levi 94, 583 - - Bolzano-Weierstral3 22 - - Carleson 154 - -
Cavalieri 468 - - Dini 235 - - Euler fiir homogene Funktionen 266 -
- Fejer 157, 159 - - Fubini 450, 583 - - Gale, Nikaido und Debreu
631 - - Heine-Borel 37, 698 - - Lebesgue 96, 97, 583 - - Liouville
406 - - Morera 403 - - Peano 69, 72, 75, 78, 617 - -
Picard-Lindeliif 67,75,78 - - Pythagoras 132 - - Riemann-Lebesgue
132 - - Schwarz 251 - - Stone-Weierstral3 61, 63 f., 234, 599 - -
Taylor fUr reellwertige Funktionen einer
vektoriellen Veranderlichen 282 - - Tonelli 587 - - Weierstral3
iiber trigonometrische Appro-
ximation 66, 159 Sauerstoffverbrauch 253 Schauder, J. P. 606
Schauderscher Fixpunktsatz, erster 606 - -, zweiter 608 Schneeball
511 Schnitt 700 Schopenhauer, A. 701 Schraubenlinie 355 f.
Schwarzsche Ungleichung 128, 460 Schwerpunkt 493 schwingende Saite
118f., 174ff., 253, 686 f., 692 Schwingungen, gedampfte 179 ff.
Senke 560 senkrechte Vektoren 270 Separationsansatz 119 separierter
topologischer Raum 212 cr-additiv 590 Sinusreihe 126 Skalar II
Skalarfeld 380 -, differenzierbares 380 -, stetiges 380
Skalarkorper II
-
736 Namen- und Sachverzeichnis
Snell, W. 647 Sonnenmasse 576 Spaltensummennorm 57 Spurtopologie
225 Stammfunktion 380, 396, 417 Standarddarstellung einer
alternierenden
r-Linearform 527 - - r-Form 532 stationiire Temperaturverteilung
562 sternformige Menge 245, 386 Sternkurve 366 Sternmittelpunkt 386
stetig differenzierbare Funktion 262, 332 stetige Abbildung 31, 230
- Differentialform 533 Stetigkeit der Metrik 217 Stetigkeitsbegriff
689 f., 691, 697 Stevin, S. 651 Stokes, G. G. 512 Stokesscher
Integralsatz 512 f., 557 - Satz fiir r-Ketten 555 Stone, M. H. 59
Struik, D. J. 634 stiickweise beschriinkt differenzierbare
Funktion
140 - glatter Bogen 365 - - Weg 365 . - Lipschitz-stetige
Funktion 144 - monotone Funktion 140 - stetig differenzierbare
Funktion 141 - - differenzierbarer Weg 355 - stetige Funktion 140
Substitutionsfunktion 516 Substitutionsregel 114, 478 Summe von
Bogen 241 - - Korrespondenzen 611 - - Teilmengen eines Vektorraumes
611 - - Wegen 241 Superposition 122 Supremumsnorm 11, 39
symmetrische Matrix 308
Tangentenkonstruktion 652 ff., 660 Tangentenproblem 647, 652 -,
inverses 674 Tangentialvektor 355 Tartaglia, N. 647
Tauschwirtschaft, reine 624 Tautochrone 568 Taylor, B. 688
Taylorformel erster Oidnung fUr die Ableitung
285 - zweiter Ordnung fUr vektorwertige Funktionen
einer vektoriellen Veriinderlichen 284 Taylorsche Reihe 688
Taylorscher Satz fUr reellwertige Funktionen einer
vektoriellen Veriinderlichen 282 - - mit Integralrestglied fUr
reelle Funktionen
285 TeiIintervall einer Zerlegung 439 Teilpunkt einer Zerlegung
439 Temperaturverteilung 182 ff. Theophilos 645 Tonelli, L. 587
Topologie 204 -, chaotische 210 -, diskrete 210 -, erzeugte 225
-, indiskrete 210 -, induzierte 225 .-, metrische 206 -,
natiirliche 205 -, relative 225 -, separierte 212 - der
gleichmiiBigen Konvergenz auf allen kom-
pakten Teilmengen von X 208 - - gleichmiiBigen Konvergenz auf X
208 - - komponentenweisen Konvergenz 207 - - punktweisen Konvergenz
auf X 209 topologischer Raum 204 - -, unzusammenhiingender 236, 239
- -, zusammenhiingender 236, 239 Torricelli, E. 65lf. totale Menge
von Linearformen 343 Transformationssatz 544 Transformierte einer
Differentialform 537 Transposition 544 Treppenfunktion 84, 447, 581
triangulum characteristicum 654, 673 trigonometrische Reihe 121,
687, 692, 694 f. trigonometrisches Polynom 65 Tschebyscheffsche
Ungleichung 452 T-Transformierte 537
Oberdeckungssatz von Heine-Borel 37, 698 OberschuBnachfrage 629
OberschuBnachfragekorrespondenz 629 Ulam, S. 634 Umgebung 203 f.,
206 -,offene 220, 246, 609 -, punktierte 204 -, relative 225
Umgebungsaxiome 203, 204 Umgebungsbasis 205 Umgebungsfilter 203,
204 Umkehrsatz 300 Umordnung, gerade (ungerade) 545 unbestimmtes
Integral 110 f. unendliches Produkt 190, 194 unendlich kleine GroBe
648, 676f., 687 Unteralgebra einer normierten Algebra 28
Unterdeterminante 310 Unterraum 224, 226 - eines normierten Raumes
28 Untersumme 443 unvergleichbar kleine GroBe 676f.
unzusammenhiingend 236, 239
Valerio, L. 651 Variable 696 f. Variationsnorm 12
Variationsrechnung 421 Varignon, P. 676 Vektorfeld 380 -,
differenzierbares 380 -, stetiges 380 Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
500f. Verbindungsstrecke 242 Verfeinerung einer Zerlegung 440
Vieta, F. 655 vollstiindiger metrischer Raum 212 - normierter Raum
16 Vollstiindigkeitssatz 165, 167, 170 Vollstiindigkeit von R 690
f., 693 f., 698 Voltaire 577, 658, 669, 680 Volterra, V. 82
-
Volterrasche Integralgleichung 82 Volterrascher Integraloperator
82 Volumen 453
Wallis, J. 651, 655, 662 Wallissches Produkt 194 van der Waals,
J. D. 254 van der Waalssche Gleichung 254 Walras, L. 628
Walrasgleichgewicht 630 Walrassches Gesetz 628 f. Walter, J. 73
Warmeflufl 561 Warmeleitfahigkeit 561 Warmeleitung 561 f., 692
warmesuchende Korper 436 Weber, H. 700 Weg 241, 349, 356 -,
differenzierbarer 353 -, geschlossener 384 -, glatter 365 -,
inverser 241, 360 -, orientierter 241 -, polygonaler 377 -,
rektifizierbarer 350 -, stiickweise glatter 365 -, stiickweise
stetig differenzierbarer 355 -, umgekehrt durchlaufener 241
Wegintegral 369, 391, 496 - im Komplexen 393 Weglange 350, 354ff.
Weglangenfunktion 352 Wegnahmesatz 637 wegunabhangiges Integral
382, 395 Weierstrafl, K. 59, 690, 696f., 698
Namen- und Sachverzeichnis 737
Weierstraflscher Approximationssatz 63, 66, 160 -
Doppelreihensatz 406 f. Wettbewerbsgleichgewicht 630, 632
Wettbewerbspreissystem 630 Widerstand 253 f. Winkelfunktionen,
Definition der 364 Winkelgeschwindigkeit 434 Wirkungsintegral 432
Wirkungsverlauf von Medikamenten 318 Wiirfel, kompakter 462
Wurzelkriterium 21, 693
X-abgeschlossen 226 X-offen 226 X-Umgebung 225
Zeilensummennorm 56 Zemanek, J. 59 Zenon 640 Zentralkraft 570
Zentripetalbeschleunigung 435 Zentripetalkraft 434 Zerlegung eines
Intervalls 439 Zerlegungsnullfolge 441 Zerlegungssatz 238, 475
zusammenhangend 236, 239 Zustandsgleichung von Gasen 254 zweiter
Hauptsatz der Differential- und Integral-
rechnung 654f., 661, 693 Zwischenpunkt einer Zerlegung 440
Zwischenvektor einer Zerlegung 440 Zwischenwertsatz 237 Zykloide
356 Zykloidenpendel 568 Zylinderkoordinaten 488, 494 -,
Transformation auf 488 f., 494
-
Mathematische Leitfaden
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