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Los recursos manipulativos y tecnológicos en el uso comprensivo de las fracciones en estudiantes de la Institución Educativa Palmarito
Sede Betania de Pitalito-Huila
Yudi Paola Díaz Rojas
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Sede Manizales
2017
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Los recursos manipulativos y tecnológicos en el uso comprensivo de las fracciones en estudiantes de la Institución Educativa Palmarito
Sede Betania de Pitalito-Huila
Yudi Paola Díaz Rojas
Trabajo de investigación presentado como requisito parcial para optar al título de:
Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Director
Profesor Diego López Cardona Ph.D.
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Sede Manizales
2017
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Dedicatoria
A Dios todopoderoso por permitir la culminación de
esta meta.
A mis padres Ana Delia Rojas y Edgar Díaz por
siempre apoyar mis propósitos y confiar en mí.
A Jesús Antonio Mayorga por su amor y aportes en
la realización de este trabajo que fueron
fundamentales para su terminación.
A los docentes de las ciencias exactas y naturales en
formación y en ejercicio que buscan desde las aulas,
una educación de calidad, para formar seres
competentes que respondan a las exigencias del
mundo actual.
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Agradecimientos
Expreso mis agradecimientos al profesor Diego López Cardona Ph.D por los aportes
realizados para el desarrollo de este trabajo de Grado.
A mis padres Ana Delia Rojas Murcia y Edgar Díaz Sánchez por su apoyo moral y
económico, sin el que no hubiese sido posible terminar este propósito.
De manera muy especial, a la Institución Educativa Municipal Palmarito sede Betania y los
estudiantes quienes brindaron los espacios y disponibilidad necesarios para la aplicación
de los instrumentos.
A la Universidad Nacional sede Manizales por brindarme la oportunidad de realizar mis
estudios de posgrado y a todos los docentes de la MECEN por sus valiosas enseñanzas.
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V
Resumen
Durante esta investigación, se diseñaron e implementaron guías de aprendizaje para
mejorar la comprensión del concepto de fracción, buscando un aprendizaje significativo
mediante la incorporación de materiales manipulativos y actividades mediadas por las
TIC.
Inicialmente, se realizaron algunas investigaciones respecto al uso de situaciones-
problema y un análisis histórico-epistemológico acerca de los significados de la fracción.
Se elaboró y aplicó un pre y post test a equipos de trabajo de estudiantes de grado
séptimo de la Institución educativa Palmarito sede Betania, para identificar las
novedades que presentan durante la resolución de tareas matemáticas referidas a la
fracción como principal constructo de los números racionales.
Se encontró que, con el uso de estas guías, el avance en el aprendizaje del concepto de
fracción fue significativo.
Palabras clave: Significado de la Fracción, número racional, recursos
manipulativos y tecnológicos, aprendizaje significativo.
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The manipulative and technological resources in the comprehensive use of the fractions in students of the Educational Institution Palmarito Betania Headquarters of Pitalito-Huila
Abstract
During this research, learning guides were designed and implemented to improve the
understanding of the concept of fraction, seeking meaningful learning by incorporating
manipulative materials and ICT-mediated activities.
Initially, some investigations were carried out regarding the use of problem-situations and
a historical-epistemological analysis on the meanings of the fraction. A pre, and post-test
was developed and applied to teams of seventh grade students in Betania headquarters
of the Palmarito educational institution, to identify the novelties presented during the
resolution of mathematical tasks referred to the fraction as main construct of rational
numbers.
With the use of these guides It was found a significant advancement in learning of the
concept of fraction.
Key words: Meaning of the fraction, rational number, manipulative and
technological resources, meaningful learning.
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VII
Contenido
Resumen .......................................................................................................................... V
Abstract........................................................................................................................... VI
Lista de figuras ............................................................................................................... IX
Introducción .................................................................................................................. 11
1. Planteamiento de la Propuesta ............................................................................. 14 1.1 Planteamiento del Problema ............................................................................ 14 1.2 Justificación ...................................................................................................... 15
1.2.1 Por la importancia en la formación del profesor de matemáticas ................... 15 1.2.2 Por la pertinencia en la formación matemática de los educandos .................. 16 1.2.3 Por el impacto favorable que se logra en el contexto escolar......................... 18 1.2.4 Por la importancia que ofrecen las fracciones en la formación matemática de los educandos .......................................................................................................... 20
1.3 Objetivos .......................................................................................................... 24 1.3.1 Objetivo General ............................................................................................ 24 1.3.2 Objetivos Específicos..................................................................................... 24
2. Marco Teórico ......................................................................................................... 25 2.1 Diagrama conceptual de los números racionales ............................................. 25 2.2 Descripción conceptual de los números racionales .......................................... 29 2.3 Situaciones de uso, representaciones e interpretaciones de las fracciones .......... 31 2.4 Fracciones Equivalentes y Números Racionales ................................................... 33 2.5 Características De Los Números Racionales ........................................................ 36 2.6 Los Números Decimales y los Números Racionales ............................................. 38 2.7 Orden de las Fracciones y los Números Racionales ............................................. 40
3. Marco Metodológico............................................................................................... 42 3.1 Enfoque metodológico ...................................................................................... 43 3.2 Estructura Metodológica ................................................................................... 44
3.2.1 Momento uno “de identificación de pre saberes”: ........................................... 44 3.2.2 Momento dos “de diseño e implementación de guías haciendo uso de recursos manipulativos y tecnológicos”: ................................................................... 45 3.2.2.1 Situación 1: La fracción como relación parte todo y medida ......................... 46 3.2.2.2 Situación 2: Construyamos fracciones equivalentes ..................................... 47 3.2.2.3 Situación 3: Relacionando significados de una fracción................................ 48 3.2.2.4 Situación 4: Jugando y aprendiendo sobre fracciones .................................. 49 3.2.2.5 Situación 5: Interactuando con la tecnología para aprender más sobre las fracciones y desarrollar competencias matemáticas ................................................. 50 3.2.3 Momento tres “de validación del mejoramiento en la compresión del concepto de fracción”: ............................................................................................................. 51
4. Presentación y análisis de resultados .................................................................. 52 4.1 Presentación y análisis de información obtenida tras el desarrollo de las guías de aprendizaje ............................................................................................................ 52 4.2 Comparativo pre test y pos test grupo experimental ......................................... 76 4.3 Comparativo grupo experimental y grupo de control ........................................ 86
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5. Conclusiones y recomendaciones ........................................................................ 89 5.1 Conclusiones .................................................................................................... 89 5.2 Recomendaciones ............................................................................................ 90
Bibliografía .................................................................................................................... 91
A. Anexo: Pre test y Pos test ..................................................................................... 93
B. Anexo: Situación 1, Actividad 1 ............................................................................ 99
C. Anexo: Situación 1, Actividad 2 .......................................................................... 100
D. Anexo: Situación 2, Actividad 1 .......................................................................... 101
E. Anexo: Situación 2, Actividad 2 .......................................................................... 102
F. Anexo: Situación 3, Actividad 1 .......................................................................... 103
G. Anexo: Situación 3, Actividad 2 .......................................................................... 104
H. Anexo: Situación 3, Actividad 3 .......................................................................... 105
I. Anexo: Situación 4, Actividad 1 .......................................................................... 106
J. Anexo: Situación 5, Actividad 1 .......................................................................... 110
K. Anexo: Fotografías evidencias de desarrollos de guías de aprendizaje .......... 111
L. Anexo: Matriz para el registro de la situación 1 con sus 2 actividades. .......... 116
M. Anexo: Matriz para el registro de la situación 2 con sus actividades. ............. 119
N. Anexo: Matriz para el registro de la situación 3 con sus actividades. ............. 122
O. Anexo: Matriz para el registro de la situación 4 con sus actividades. ............. 128
P. Anexo: Matriz para el registro de la situación 5 con sus actividades. ............. 130
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Lista de figuras
Pág.
Figura 1. Estructura conceptual de los números racionales parte 1. ............................... 26
Figura 2. Estructura conceptual de los números racionales parte 2. ............................... 27
Figura 3. Estructura conceptual de los números racionales parte 3. ............................... 28
Figura 4. Representación de una misma Cantidad. Fuente: Elaboración del autor ......... 34
Figura 5: Resultados Situación 1, Actividad 1, tarea 1. ................................................... 53
Figura 6. Resultados Situación 1, Actividad 1, tarea 2. ................................................... 54
Figura 7. Resultados Situación 1, Actividad 1, tarea 3. ................................................... 55
Figura 8. Resultados Situación 1, Actividad 1, tarea 4. ................................................... 56
Figura 9. Resultados Situación 1, Actividad 2, tarea 1. ................................................... 57
Figura 10. Resultados Situación 1, Actividad 2, tarea 2. ................................................. 58
Figura 11. Resultados Situación 1, Actividad 2, tarea 3, 4 y 5. ....................................... 58
Figura 12. Resultados Situación 1, Actividad 2, tarea 6. ................................................. 59
Figura 13. Resultados Situación 1, Actividad 2, tarea 7. ................................................. 60
Figura 14. Resultados Situación 1, Actividad 2, tarea 8. ................................................. 60
Figura 15. Resultados Situación 2, Actividad 1, tarea 1. ................................................. 61
Figura 16. Resultados Situación 2, Actividad 1, tarea 2. ................................................. 62
Figura 17. Resultados Situación 2, Actividad 1, tarea 3. ................................................. 63
Figura 18. Resultados Situación 2, Actividad 1, tarea 4. ................................................. 64
Figura 19. Resultados Situación 2, Actividad 1, tarea 5. ................................................. 65
Figura 20. Resultados Situación 2, Actividad 1, tarea 6. ................................................. 65
Figura 21. Resultados Situación 2, Actividad 1, tarea 7. ................................................. 66
Figura 22. Resultados Situación 3, Actividad 1, tarea 1. ................................................. 67
Figura 23. Resultados Situación 3, Actividad 1, tarea 2. ................................................. 68
Figura 24. Resultados Situación 3, Actividad 1, tarea 3. ................................................. 69
Figura 25. Resultados Situación 3, Actividad 1, tarea 4. ................................................. 70
Figura 26. Resultados Situación 3, Actividad 1, tarea 5. ................................................. 71
Figura 27. Resultados Situación 3, Actividad 2, tareas 1, 2 y 3. ..................................... 72
Figura 28. Resultados Situación 3, Actividad 3, tareas 1, 2 y 3. ..................................... 73
Figura 29. Resultados Situación 3, Actividad 3, tareas 4. ............................................... 74
Figura 30. Resultados Situación 4, Actividad 1, tareas 1. ............................................... 75
Figura 31. Resultados Situación 5, Actividad 1, tareas 1. ............................................... 76
Figura 32. Comparativo Pre Test y Pos Test, Categoría 1. Grupo Experimental. ........... 77
Figura 33. Categoría 1, Comparativo Pregunta a pregunta Pre Test y Pos Test ............. 78
Figura 34. Respuesta a pregunta 1, en pre test y post test. ............................................ 79
Figura 35. Respuesta a pregunta 2, en pre test y post test. ............................................ 79
Figura 36. Respuesta a pregunta 3, en pre test y post test. ............................................ 80
Figura 37. Respuesta a pregunta 4, en pre test y post test. ............................................ 80
Figura 38. Comparativo Pre Test y Pos Test, Categoría 2. Grupo Experimental. ........... 81
Figura 39. Respuesta a pregunta 5, en pre test y post test. ............................................ 81
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Figura 40. Comparativo Pre Test y Pos Test, Categoría 3. Grupo Experimental ............ 82
Figura 41. Categoría 3, Comparativo Pregunta a pregunta Pre Test y Pos Test ............. 82
Figura 42. Respuesta a pregunta 6, en pre test y post test. ............................................ 83
Figura 43. Respuesta a pregunta 7, en pre test y post test. ............................................ 83
Figura 44. Respuesta a pregunta 8, en pre test y post test. ............................................ 84
Figura 45. Respuesta a pregunta 9, en pre test y post test. ............................................ 84
Figura 46. Comparativo Pre Test y Pos Test, Categoría 4. Grupo Experimental. ........... 85
Figura 47. Respuesta a pregunta 10, en pre test y post test. .......................................... 85
Figura 48. Comparativo Grupo Experimental y Grupo de Control, Categoría 1............... 86
Figura 49. Comparativo Grupo Experimental y Grupo de Control, Categoría 2............... 87
Figura 50. Comparativo Grupo Experimental y Grupo de Control, Categoría 3............... 87
Figura 51. Comparativo Grupo Experimental y Grupo de Control, Categoría 4............... 88
.
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Introducción
Los procesos de enseñanza y de aprendizaje de la matemática se han caracterizado
históricamente por estar centrados en procesos algorítmicos con una perspectiva
predominantemente formalista, en los que se privilegia el lenguaje simbólico sobre la
coherencia sintáctica y la estructura lógica. El tratamiento escolar de las fracciones no es
ajeno a esta problemática. Autores como Cubillos y Ortega (2003) sustentan:
“cómo los docentes dan un especial énfasis en la enseñanza de algoritmos, de
procesos mecánicos, evidenciados sobre todo en el tiempo y esfuerzos que se
dedican al trabajo escolar con las operaciones entre fracciones sin haber
realizado suficiente trabajo sobre el concepto, significado y sentido de las
fracciones. El conocimiento de las múltiples representaciones de las fracciones,
sus usos y contextos en los que estos cobran sentido, etc., abren las puertas a la
construcción por parte de los estudiantes de diferentes rutas para resolver
problemas en los que se requiera el uso de las fracciones”.
Según Cano (2014), una de las posibles causas de las dificultades en los procesos de
enseñanza y aprendizaje de las fracciones es, precisamente, los diferentes significados
que esta puede tomar y los diversos contextos de aplicación que este concepto tiene.
Las nociones de fracción no son triviales, ni siquiera para los estudiantes de secundaria.
Aun cuando el currículo Colombiano en los estándares básicos de competencias,
lineamientos curriculares y los ahora llamados derechos básicos de aprendizaje, plantean
que la enseñanza y aprendizaje de las fracciones se debe dar desde tercero de primaria,
en este grado los estudiantes deben establecer comparaciones entre cantidades y
expresiones que involucran operaciones y relaciones aditivas y multiplicativas y sus
representaciones numéricas; en el grado cuarto de primaria los estudiantes deben
interpretar las fracciones como razón, relación parte – todo, cociente y operador en
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diferentes contextos, además los estudiantes tienen un primer acercamiento a las
fracciones vistas como numero decimal; en el grado quinto de primaria los estudiantes
deben ser capaces de resolver problemas que involucren las fracciones en sus diferentes
interpretaciones; en el grado sexto de secundaria los estudiantes deben interpretar los
fraccionarios y sus diversas operaciones en diferentes contextos, al resolver problemas
de variación, de reparto, particiones y estimaciones; finalmente, en el grado séptimo de
secundaria el estudiante debe tener la capacidad de resolver problemas de mayor
complejidad en contextos escolares y extraescolares, haciendo uso de las operaciones
básicas de las fracciones y sus diferentes interpretaciones, además en el grado séptimo
se llega a la definición formal de numero racional, la cual está directamente relacionada
con el concepto de fracción.
De manera explícita las fracciones se trabajan en los grados antes mencionados, sin
embargo, los diferentes usos de las fracciones, sus operaciones y sus interpretaciones,
se siguen usando hasta finalizar la media e incluso en los primeros semestre de las
universidades, y, de acuerdo a la práctica pedagógica en el aula de clase se evidencia
que en el grado séptimo los estudiantes presentan múltiples dificultades en lo que
respecta al manejo de fracciones para la resolución de problemas que involucran el
concepto, sentido y significado de la fracción.
Dada la importancia de esta temática (los fraccionarios) en el currículo colombiano y la
complejidad de su aprendizaje, es necesario abordar procesos de investigación que
permitan valorar su aprendizaje en el aula de matemáticas. Los desarrollos curriculares
centrados en procesos algorítmicos no brindan a los estudiantes herramientas suficientes
para abordar la multiplicidad de situaciones cotidianas en la que el uso de porcentajes,
probabilidades, razones, particiones, repartos, etc., exigen buen conocimiento de las
fracciones. Al respecto, Obando (2003) afirma que:
“A pesar de su marcada importancia y de los grandes esfuerzos en tiempo y
dedicación que actualmente se consagran, en el currículo de matemáticas, al
desarrollar los procesos de aprendizaje necesarios en los alumnos, éste sigue
siendo un tema de alta complejidad y, por supuesto, sus niveles de logro apenas
si llegan a la comprensión de los conceptos más básicos y elementales”.
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En la sociedad actual se hace necesario incluir recursos tecnológicos y manipulativos en
los procesos de enseñanza y aprendizaje, que permitan a los estudiantes ser activos y
constructores de su propio aprendizaje.
Debido a todas estas limitaciones que se encuentran en el tratamiento escolar de las
fracciones es preciso la realización de investigaciones que centren su atención en la
utilización de diferentes recursos manipulativos y tecnológicos que faciliten el tratamiento
de las fracciones vistas como relación parte todo y la medida, como primer paso para la
construcción del concepto de número racional.
De acuerdo con los planteamientos hasta ahora expresados en la presente investigación
se pretende responder:
¿Cómo mejorar el proceso de enseñanza y aprendizaje del concepto y significado de la
fracción en los estudiantes de grado séptimo de la Institución Educativa Municipal
Palmarito Sede Betania, Pitalito-Huila a través del diseño e implementación de guías que
integren recursos manipulativos y tecnológicos para ayudar a obtener aprendizajes
significativos?
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1. Planteamiento de la Propuesta
A continuación, se encuentra una descripción de la problemática a tratar en este
trabajo de grado, partiendo del planteamiento del problema, la justificación y los
objetivos trazados para su desarrollo.
1.1 Planteamiento del Problema
Los estudiantes de secundaria y media de la institución presentan dificultades cuando se
tratan aprendizajes relacionados con el uso de las fracciones. Para los educandos, el
solo hecho de que en una situación problémica o un ejercicio, aparezcan expresiones de
la forma ( p/q ) ya hace difícil el análisis del problema, es decir, para ellos un problema
que involucre números fraccionarios tiene un nivel de complejidad alto, mucho más alto
que si se tratasen de solo números enteros o naturales.
En el grado Séptimo es donde se profundiza en el tema, relacionando los fraccionarios
con números racionales, es decir, el principal constructo de los números racionales
suelen ser las fracciones, dada la misma definición de números racionales, es por esto
que se hace importante realizar trabajos de investigación encaminados en las diferentes
interpretaciones que tienen la fracción y que, por supuesto, cada una de estas
interpretaciones tiene aplicabilidad, no solo en contextos matemáticos, sino también en
diferentes áreas del conocimiento, como física, química o biología.
Es importante señalar que los estudiantes al llegar al grado séptimo, según el plan de
estudio definido en la institución ya han tenido contacto con las fracciones, desde grado
tercero de primaria, sin embargo, parece ser que solo se ha trabajado la parte operativa,
algorítmica, es decir, los estudiantes llegan sabiendo mecánicamente ciertos procesos,
pero se les dificulta cuando las situaciones son planteadas en contextos cotidianos, por
ejemplo, sacar un porcentaje, ubicar una fracción en la recta numérica, de una parte
definir la unidad, resolver problemas de repartos, entre otros.
Las pruebas internas y externas (pruebas supérate), muestran que los estudiantes de
séptimo grado se les dificulta la competencia de resolución de problemas en lo que
respecta a situaciones en las cuales están inmersas las diferentes representaciones de
los números racionales, es por esto que en esta investigación se busca contribuir en el
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mejoramiento de la comprensión del concepto de fracción en sus diferentes
interpretaciones.
1.2 Justificación
De acuerdo al objetivo principal que se pretende alcanzar en el desarrollo de trabajo de
grado referente a “mejorar la comprensión del concepto de fracción a través de la
incorporación de materiales manipulativos y actividades mediadas por las TIC en
estudiantes de grado séptimo” este justifica su realización a partir de cuatro aspectos
fundamentales:
1.2.1 Por la importancia en la formación del profesor de matemáticas
El proyecto de grado “Los recursos manipulativos y tecnológicos en el uso comprensivo
de las fracciones” es importante porque permite aportar conocimiento didáctico a los
profesores en formación de matemáticas, dado que el interés es la incorporación de
materiales manipulativos y tecnológicos que permitan valorar la comprensión que los
estudiantes tienen de la fracción a partir de la relación parte – todo, como primer paso
para la construcción del concepto de número racional. Ello permitirá que el profesor
reconozca la importancia de no utilizar los libros de texto como el único organizador, sino
que tenga en cuenta otros organizadores planteados por Rico (1997), “como la estructura
conceptual del objeto matemático, sus diferentes sistemas de representación, las
diversas situaciones que modela, los fenómenos en los cuales cobra significado y
sentido, la evolución histórica, las dificultades y obstáculos en el aprendizaje, los
recursos y materiales a utilizar en el aula, etc., los cuales le permiten al profesor de
matemáticas tomar decisiones sobre el qué enseñar, para qué enseñar, cómo enseñar,
con qué enseñar”.
De manera particular, en lo relativo a los procesos de formación de profesores de
matemáticas en la Universidad Nacional, el proyecto es pertinente porque aporta a los
intereses formativos del proyecto curricular de la Maestría en Enseñanza de las Ciencias
Exactas y Naturales dado que su propósito es ofrecer al docente de educación media
una formación que integre tanto el conocimiento disciplinar sólido de los contenidos
científicos en las ciencias exactas y naturales (Matemáticas, Estadística, Física, Química,
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Biología, Geociencias, Astronomía) como las estrategias didácticas que le permitan
enseñar estos contenidos con los medios a su disposición y adecuado a las
características de su entorno. Al mismo tiempo, el programa aspira a formar docentes
que sean capaces de crear y evaluar sus propias estrategias de enseñanza, de
actualizarse por sí mismos y de establecer redes académicas que soporten su trabajo
(Universidad Nacional de Colombia, sf).
Con respecto al objetivo de la maestría, en el desarrollo del proyecto de grado se ha
estudiado y seleccionado la manera más adecuada de utilizar diferentes materiales y
recursos tecnológicos para la enseñanza y aprendizaje de los conceptos y significados
que involucra el número fraccionario, de igual forma se hace especial énfasis en el
análisis y selección de actividades que sean coherentes para el aprendizaje de los
números fraccionarios teniendo en cuenta el contexto de los estudiantes. Por otra parte,
el proyecto de grado contribuye a la organización y gestión del trabajo en equipo.
1.2.2 Por la pertinencia en la formación matemática de los educandos
Moreno & Flores (sf) plantean lo siguiente
“Para la enseñanza de las fracciones se pueden emplear materiales y recursos
relacionados con la enseñanza de los números, como los marcadores, los
ábacos, etc. También se pueden materiales generales, como el tangram, la
calculadora, el círculo de fracciones, los puzles troquelados de fracciones, el
dominó de fracciones, la baraja de fracciones y cualquier objeto que se preste a la
partición y estudio de las relaciones entre las partes. Hay que destacar la
importancia de los instrumentos de medida en la enseñanza de los racionales:
reglas graduadas, escalas, vasos graduados, jeringuillas, calibradores, cartulinas,
papel cuadriculado, etc”.
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Cuando el profesor hace uso de diferentes materiales y recursos en el desarrollo de una
clase se pone en juego el conocimiento matemático tanto del profesor como del
estudiante, pues cuando se interactúa con los estudiantes muchas veces pueden surgir
situaciones que no han sido planeadas por el docente, y en lo posible el estudiante, debe
saber cómo sortearlas. De allí la importancia de que el futuro docente sea conocedor, en
la medida de lo posible, del saber sabio, pues el dominar más contenido del que se va a
enseñar le permite tener una visión más amplia y profunda de cómo enseñar y además le
permite hacer conexiones y transferencias entre los diversos saberes matemáticos (Ríos,
2007). Frente a lo cual el desarrollo del trabajo de grado es importante porque este exige
que el futuro magister tenga un conocimiento didáctico, en este caso de todos los
conceptos que involucra el número racional o fracción.
De esta forma el proyecto de grado busca aportar elementos que permitan validar la
importancia del uso de materiales manipulativos y tecnológicos en la enseñanza de las
fracciones como una posibilidad de contar con recursos específicos que permitan
movilizar procesos de pensamiento en los educandos sin limitarse al desarrollo de
algoritmos muchas veces memorizados y sin sentido.
Por otro lado, la apoca en la que estamos viviendo se caracteriza principalmente por la
rápida evolución de las TIC, de gran importancia dentro la dinámica de un mundo
globalizado, por lo cual se hace necesario que cualquier persona tenga las
competencias, habilidades y valores suficientes para desempeñarse apropiadamente en
los diferentes contextos, y precisamente en esto, la educación juega un papel muy
importante (especialmente en el sector rural, donde se encuentra ubicada la Institución),
por lo que debe asumir los nuevos retos e implementar el uso de las TIC como recurso
pedagógico en el aula.
Los recursos tecnológicos son un instrumento que permite incentivar y dinamizar los
procesos didácticos en el aula a partir del desarrollo de competencias digitales e
informáticas, promover el aprendizaje autónomo, la creatividad, dinamizar y motivar la
participación en los procesos de enseñanza y acceder a múltiples fuentes de información,
colaboración y apoyo entre docentes y estudiantes. El uso de los diferentes instrumentos,
lenguajes y materiales en el aula permiten mejorar la accesibilidad al conocimiento,
promueven el protagonismo del estudiante, fomentan el trabajo cooperativo e incentivan
el trabajo individual y además contribuyen a la consecución de la visión que la institución
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educativa municipal Palmarito tiene: -“Para el año 2020 la Institución Educativa Municipal
Palmarito estará posicionada como una de las mejores a nivel del sector rural y estará
ubicada entre las siete mejores Instituciones Educativa en el municipio de Pitalito,
ofreciendo una formación integral fundamentada en el respeto a la dignidad humana, la
democracia participativa, la justicia, la libertad y la disciplina. Tendremos niños y jóvenes,
con capacidad de trabajar por un bien común, buscando siempre la superación dentro de
los adelantos científicos y tecnológicos, capaces de desarrollarse como miembros activos
de la comunidad y con un espíritu productivo propio que los identifique” (Institución
Educativa Municipal Palmarito, 2017).
En consecuencia, el proyecto es pertinente porque fortalece procesos de enseñanza y
aprendizaje y contribuye con la formación de personas que responden a las exigencias
que promueven los ámbitos sociales y culturales, donde se notifica que los procesos de
formación actual, deben estar direccionados a desarrollar las capacidades y actitudes
adecuadas en las que se priorice las competencias, dadas en cualquier contexto.
La matemática analizada dentro del currículo tradicional han sido estigmatizadas por su
estructura, complejidad y exigencia, por tanto en necesario desarrollar estrategias
creativas e innovadoras capaces de llamar la atención de los estudiantes para el
aprendizaje de las ciencias básicas, y este proyecto responde a esa necesidad, dado que
con el uso pedagógico de las TIC, usando como herramienta básica herramientas
digitales encontradas en la web y trabajando en conjunto con el área de tecnología e
informática, es posible incentivar a los estudiantes y cambiar la visión peyorativa que se
tiene sobre esta área.
1.2.3 Por el impacto favorable que se logra en el contexto escolar
Otro elemento importante que sustenta la necesidad del proyecto de grado, es su
pertinencia con los desarrollos curriculares de un contexto específico: el grado séptimo
del Institución Educativa Municipal Palmarito-Sede Betania (IEMPB), dado que es en este
grado donde se tiene planteada la enseñanza de los números racionales cuyo principal
constructo son las fracciones.
Una de las finalidades del proyecto de grado es mejorar el proceso de enseñanza y
aprendizaje de los números racionales teniendo como constructo la fracción vista como
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relación parte todo y como medida, además utilizar diferentes materiales y recursos para
el desarrollo de la clase.
Fernando Corbalán (1998), plantea la importancia de introducir diferentes recursos en la
enseñanza de las matemáticas, donde el estudiante sea un aprendiz activo, constructor
de su propio aprendizaje. Las clases de matemáticas deben ser un espacio para
divertirse en donde no solo se abre la mente del estudiante sino también la del profesor,
a través del uso de diferentes materiales, que lleven a crear una atmosfera mágica en
clase.
Cuando se hace uso de diferentes materiales manipulativos y tecnológicos el profesor ya
no es el único proveedor de saberes, con ello el estudiante ya puede sacar sus propias
conclusiones, indagar sobre el que el mismo ya sabe, y tratar de reflexionar, confirmar o
revalidar el conocimiento que ya tiene, obviamente el profesor es el experto que
acompaña este proceso, y que además tiene que estar atento a los intereses de sus
alumnos para así mismo planificar su clase, buscando siempre cumplir con las
finalidades de la educación matemática que plantea Goñi (2002): “las matemáticas como
conocimiento que desarrolla capacidades cognitivas de alto valor, las matemáticas como
instrumento que sirve para trabajar en otras áreas, sobre todo científicas y la aplicación
funcional de las matemáticas, su utilización en los diferentes ámbitos de la vida diaria”.
El estudio de la fracción desde la relación parte - todo y la medida, además el empleo de
diferentes materiales manipulativos causa un impacto favorable en el contexto escolar
porque permite reflexionar y afianzar los conceptos que ya el estudiante tiene, además, el
estudiante cobra un papel relevante durante el proceso, pues es él, el que va a
reconstruir su propio conocimiento a través de las diversas situaciones que sean
propuestas por el docente, como lo dice Geary (1995) (Citado por Schunk,s.f), los
individuos deben ser participantes activos y deben construir el conocimiento, el
aprendizaje es un proceso constructivo que implica “buscar significados”, y es
precisamente eso lo que se busca en el desarrollo del proyecto de grado, que el
estudiante tenga en cuenta los diferentes significados que puede asumir una fracción, y
así sea más fácil construir el concepto de numero racional.
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1.2.4 Por la importancia que ofrecen las fracciones en la
formación matemática de los educandos
La importancia que ofrece el conocimiento de las fracciones desde sus diferentes
interpretaciones, usos y significados, en los programas de formación, desde la escuela
básica primaria hasta la educación media, radica en que se desarrolla paulatinamente y
se articula a otros conceptos matemáticos especialmente referidos a números y
operaciones.
En un cierto modo los esquemas tradicionales de enseñanza y aprendizaje, parecen
estar centrados a una serie de contenidos y por último recaer sobre la resolución de
problemas; evidentemente, como lo expresa Ríos (2001), según ciertos historiadores
matemáticos, hay un común acuerdo en el hecho de que las fracciones aparecen en la
resolución de problemas sobre repartos en Egipto (1650 A.C), por lo que las fracciones
surgen en un contexto referido a la resolución de problemas. En este sentido, más que lo
que conlleva a una planificación curricular y contextualizar los contenidos, se hace
necesario, como lo expresan los lineamientos curriculares, el trabajo social sobre los
conceptos a tratar, teniendo en cuenta los intereses y la efectividad del niño y del joven,
ofreciendo una multiplicidad de respuestas y opciones que se entrecruzan con el mundo
actual.
Al respecto Gutiérrez & Triana (2015) plantean la necesidad de que los docentes tomen
conciencia de la importancia de contextualizar y tener en cuenta los diferentes tópicos
matemáticos que involucran las fracciones en el lenguaje cotidiano usado por los
educandos, que le permitirá alcanzar aprendizajes significativos y además le ayudará a
desarrollar competencias matemáticas.
En este orden de ideas, es tarea del docente potenciar y desarrollar las capacidades y
competencias del estudiante, mediante el diseño y aplicación de tareas acordes a las
expectativas de trabajo, nivel cognitivo y ajustar estas tareas dependiendo de su
demanda cognitiva a lograr.
Es precisamente en este momento del proceso de enseñanza y aprendizaje en donde se
pueden presentar dificultades, como lo plantea Cano (2014):
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“El docente puede que tenga claro el concepto de fracción en sus diferentes
formas, pero, en la transmisión y construcción de este conocimiento con los niños
no utiliza la didáctica adecuada, como, por ejemplo, el uso de material concreto
que permita la manipulación y el trabajo de los niños con material tangible que
enriquezca la apropiación significativa de este concepto” (p.12).
Con base en lo anterior y de acuerdo con las exigencias de la actividad matemática que
debe ser activa por parte del alumno, le permita desarrollar autonomía intelectual frente a
sus procesos de aprendizaje; lógicamente esta necesidad es consecuente con los
cambios que se han dado en las concepciones sobre las matemáticas, la enseñanza y el
aprendizaje de las mismas. Lograr este fin es algo que trasciende ampliamente la mera
selección de los contenidos apropiados que se deben enseñar, o el diseño de técnicas
metodológicas a través de las cuales se pueda hacer más eficiente la enseñanza. Se
debe hacer de la escuela un gran laboratorio de investigación, en el cual la reflexión
constante sobre las prácticas pedagógicas del maestro, así como sobre las producciones
de los alumnos, sean motor constante de nuevas decisiones pedagógicas.
En consideraciones complementarias, se debe reconocer y tener en claro las exigencias
sociales y las finalidades educativas referidas a las competencias matemáticas en la
cultura y en los distintos ámbitos en los cuales requiera poner a prueba la práctica de los
números racionales en cualquier situación en particular; es decir que los niños (as) sean
capaces de interpretar, argumentar y comunicar las distintas interpretaciones y
situaciones de uso al igual que las distintas representaciones en las cuales se presente
el constructo “fracción”; es decir que como lo manifiesta Obando (2003) cada día los
medios de comunicación entregan grandes volúmenes de información, que es
cuantificada en términos de porcentajes, probabilidades, razones, fracciones, etc., y una
buena comprensión de los números racionales es fundamental para analizarla e
interpretarla. Por ejemplo, los números racionales son necesarios para entender: los
resultados de las encuestas y poder juzgar su credibilidad, los indicadores económicos y
sociales del país, las tasas de interés que ofrece una cuenta de ahorro o que afectan a
un crédito hipotecario, los descuentos de los supermercados, la probabilidad de ganar
una lotería, la predicción del clima, etc. También son importantes en los procesos
escolares dado que los números racionales constituyen una base fundamental, no sólo
para el estudio de la matemática, sino también para la formación en otras disciplinas
como la física, la química, la biología, etcétera.
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En consecuencia, el concepto de fracción resulta de gran importancia en la construcción
del concepto de número racional, por lo que la presente investigación se centrará en
aplicar tareas matemáticas referentes a las fracciones a partir de la relación parte – todo,
usando uno de los organizadores curriculares, materiales y recursos, que argumentarán
el trabajo dentro del aula de clase.
Según Obando (2003) la fracción como relación parte – todo es interpretada como un
número que expresa la relación cuantitativa entre una cierta cantidad tomada como
unidad (todo) y otra cantidad tomada como parte, de acuerdo a ello, es pertinente
abordar el concepto de fracción desde la relación parte – todo porque esta permite
encontrar una serie de caracterizaciones como:
La relación parte - todo constituye un eje a través del cual acceder a otros
conceptos de los números racionales. Las medidas, las fracciones decimales, los
números decimales no enteros, los cocientes, algunos tipos de razones, la recta
numérica, entre otros, encuentran en la relación parte - todo una fuente
importante para iniciar su proceso de conceptualización.
A través de la relación parte - todo se tiene un puente de entrada a la
conceptualización de la unidad como un todo divisible en partes más pequeñas,
sin que por esto deje de ser unidad. Por lo tanto, se inicia un trabajo en la noción
del continuo real. Pero, además, lo anterior hace necesario un análisis de las
relaciones entre la unidad aritmética y la unidad geométrica, proceso
indispensable en la construcción conceptual de las fracciones de unidad como
números
La relación parte - todo es un camino natural para la conceptualización de
algunas propiedades (como la que conduce a la denominación “fracción propia” e
“impropia”), algunas relaciones (como la de equivalencia), y algunas operaciones
(como la suma y la resta).
La relación parte - todo constituye un contexto importante a partir del cual se
conceptualiza la unidad en sus dos características básicas: tipo de unidad (simple
o compuesta) y tipo de magnitud (continua o discreta).
Ahora bien, además del dominio conceptual del docente, en función de la relación parte-
todo, como una interpretación del constructo (fracción), él debe considerar otros aspectos
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referidos al tema en particular (relación parte - todo) antes de su ejecución; según
Moreno & Flores (s.f), el conocimiento de los obstáculos, errores y dificultades anticipa
al profesor los conceptos que van a tener una especial dificultad, pero también permite el
diseño de instrumentos para su diagnóstico y tratamiento, y así poder hacer una
planificación adecuada. Bajo los anteriores criterios los autores exponen los siguientes
errores y dificultades que el profesor debe tener en cuenta en el diseño de su unidad
didáctica:
Algunos errores conceptuales aparecen al relacionar distintas interpretaciones de
la fracción. La identificación de la fracción con una cantidad es un obstáculo para
interpretar y manejar la fracción como razón, y para el número racional.
La noción de equivalencia de fracciones es origen de errores debidos al manejo
simultáneo de diversos sentidos de fracción y de equivalencia, y otras veces por
los problemas originados ante la transitividad del signo igual.
La introducción temprana del cálculo algorítmico puede provocar confusiones en
su manejo. Estos equívocos también se pueden producir por la similitud entre las
notaciones de los números naturales y las fracciones. En este sentido se puede
considerar que las operaciones aprendidas con los números naturales son un
obstáculo para las operaciones realizadas con racionales ya que, por ejemplo, la
multiplicación no significa siempre un aumento de la cantidad.
En el aprendizaje de los números decimales, los alumnos encuentran dificultades
en las operaciones, en el uso del cero, en la lectura y escritura de los números y
en el orden. Estas dificultades se deben en gran medida a la persistencia de
conocimientos de los números naturales.
En virtud de lo anterior, con respecto a la interpretación de fracción como relación parte-
todo y la medida, y mediante sus diferentes caracterizaciones, esta permite el
acercamiento de número racional, teniendo en cuenta una gama de actividades, en las
que se pone en evidencia el rol que desempeña la implementación de los recursos
tecnológicos y materiales manipulativos para la enseñanza y aprendizaje del número
racional.
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1.3 Objetivos
1.3.1 Objetivo General
Mejorar la comprensión del concepto de fracción a través de la incorporación de
materiales manipulativos y actividades mediadas por las TIC en estudiantes de grado
séptimo de la Institución Educativa Palmarito Pitalito – Huila
1.3.2 Objetivos Específicos
Identificar los pre-saberes del grupo de estudiantes con relación al concepto de
fracción.
Implementar recursos manipulativos y tecnológicos para el desarrollo de las guías
de trabajo
Validar el mejoramiento de la comprensión del concepto de fracción
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2. Marco Teórico
Este apartado se desarrolla a partir de la descripción de un diagrama conceptual que
muestra el conocimiento matemático que debe tener el profesor al enseñar los números
racionales, haciendo énfasis en las relaciones que él puede encontrar entre los diferentes
conceptos que han surgido a través de la historia. La importancia de este diagrama
conceptual radica en que, con él, el profesor identifica los conceptos que deben
abordarse y los diversos significados que estos pueden tomar.
Posteriormente se encuentra una descripción del diagrama conceptual donde se
evidencia como podría desarrollarse el proceso de construcción del concepto de número
racional.
2.1 Diagrama conceptual de los números racionales
Para la interpretación del diagrama conceptual se debe tener en cuenta las siguientes
convenciones:
I.S1: Interpretaciones y situaciones de Uso
S.1: Sistema de representación simbólico.
D.1: Representación decimal.
E.F.1: Equivalencia de Fracciones.
R.1: Recta Numérica.
C.I.1: Clases de equivalencia y fracciones irreductibles.
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Figura 1. Estructura conceptual de los números racionales parte 1.
Fuente: Elaboración del autor
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Figura 2. Estructura conceptual de los números racionales parte 2.
Fuente: Elaboración del autor
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Figura 3. Estructura conceptual de los números racionales parte 3.
Fuente: Elaboración del autor
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2.2 Descripción conceptual de los números racionales
De acuerdo con la revisión bibliográfica realizada, en lo que respecta a la enseñanza y
aprendizaje de número racional (Q) subyace la necesidad de hacer una exploración
conceptual de los diferentes términos que involucran la construcción del concepto de
número racional, es decir, hacer un estudio del conocimiento matemático, pensando
también sobre la misma matemática escolar, con el fin de articular una serie de
elementos que facilitarán tanto la enseñanza como el aprendizaje de la noción de número
racional.
Según Segovia y Rico (2001):
“la fenomenología es uno de los organizadores curriculares que se debe tener en
cuenta para el diseño de las unidades didácticas. El análisis fenomenológico
describe los fenómenos que implícita o explícitamente están asociados y/o
relacionados con los conceptos matemáticos, en este caso con el conjunto de los
números racionales. Es importante tener en cuenta este organizador porque
permite relacionar conceptos con los fenómenos de los cuales han surgido, pero a
su vez estos nuevos conceptos dan paso a otros conceptos mucho más generales
que confirman que el conocimiento matemático está en crecimiento continuo”.
En la evolución histórica del concepto de fracción se notan las diferentes
interpretaciones, representaciones y situaciones de uso que se le ha dado a la fracción. A
partir de las situaciones de uso subyace el concepto de equivalencia de fracciones dentro
de las cuales emergen las clases de equivalencia y las fracciones irreductibles que tras
un proceso de abstracción se asumirá como el camino más apropiado para hacer un
acercamiento a lo que corresponde a la definición del conjunto de los números
racionales. Así mismo las situaciones de uso de la fracción nos llevan de manera
implícita a distinguir las relaciones de orden y las distintas operaciones que se pueden
presentar en el conjunto de los números racionales.
En virtud de lo anterior se inicia con la introducción histórica epistemológica del concepto
de fracción; en particular y hasta nuestros días encontramos fenómenos como medir
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longitudes, áreas, pesos, tiempo y otro tipo de medidas que en la antigüedad generaron
ciertos conflictos a la hora de ser representadas en números, pues solo se conocían los
números naturales y evidentemente no eran suficientes para las necesidades de
medición que aparecían, ya que no todas las veces la cantidad de magnitud que se
deseaba medir estaba contenida un numero entero de veces a la unidad escogida. Sobre
todo los Babilonios y los Egipcios reconocieron que no era posible considerar solo la
unidad aritmética como algo indivisible (la unidad relacionada a lo contable a medidas
discretas), sino que además es necesario recurrir a las unidades geométricas como otro
tipo de medidas que dieran respuestas a estas necesidades (medir); en últimas habría
que relacionar las unidades aritméticas y geométricas y con ello ampliar el concepto de
número, pues el hecho de contar y medir ya no solamente implicaría la utilización de
números naturales, sino que dentro de esta quedaban pequeñas cantidades que no
correspondían a la unidad, por lo cual surge el concepto de fracción.
Para fundamentar lo anterior Simón Stevin (Citado por Obando, 2003) plantea que:
“el creciente comercio de la Europa de finales de la Edad Media y la gran
diversidad de sistemas de medida existentes en aquella época, se constituían en
una gran barrera para efectuar los negocios de manera eficiente y precisa. Sobre
la base de tal necesidad, Stevin se lanza a la tarea de diseñar un sistema de
medida que permitiera la estandarización de estos sistemas en todas las
regiones, y que además facilitara el cálculo necesario en las mediciones y, por
ende, en las transacciones comerciales. Con este fin se apoya en la utilización
cada vez más generalizada del sistema de numeración decimal, y propone el
diseño de conjuntos de sistemas de medida (uno para las longitudes, uno para los
pesos, etc.) en cada uno de los cuales se tomará una unidad como fundamental
(o unidad patrón) y otras unidades construidas guardando una relación de 1 a 10
entre unidades consecutivas (tal como en nuestro sistema métrico decimal). De
esta manera, las técnicas de cálculo desarrolladas para los números podían ser
aplicadas a los procesos de medición. Este proceso lleva a Stevin a identificar la
unidad geométrica de los procesos de medición, con la unidad aritmética origen
de los números y, por tanto, a determinar que la unidad aritmética es también un
número y, en consecuencia, divisible en fracciones de unidad (al igual que se
podía dividir la unidad geométrica)”.
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Este autor logra romper con la dicotomía que existía entre lo continuo-discreto, la unidad
aritmética-unidad geométrica, introduciendo además la notación decimal para la escritura
de las fracciones de unidad que persisten hasta nuestros días categorizadas como
números.
De acuerdo a lo anterior se puede inferir la importancia que tiene el concepto de fracción;
se han considerado dos definiciones, una que solo involucra el conjunto de los números
naturales que de acuerdo a la historia son las primeras que aparecieron, según Ríos
(2007) en el caso de las fracciones, este conjunto se define como
{𝑎. 𝑏^(−1)/ 𝑎 ∈ 𝑁 𝑦 𝑏 ∈ 𝑁 }
considerando como primer elemento del conjunto de los números naturales el 1; la
segunda se fundamenta en el conjunto de los números enteros para lo cual se define la
fracción como un par ordenado de números enteros expresados en la forma a/b, con b≠0,
considerando esta última definición como la más pertinente para cumplir con los objetivos
de este trabajo.
2.3 Situaciones de uso, representaciones e interpretaciones de las fracciones
Una vez definidas las fracciones es importante considerar y tener claras las diferentes
interpretaciones y representaciones que de estas se pueden derivar, pues evidentemente
hay algunas que hacen explicitas algunas propiedades del concepto, mientras otras no,
de igual forma habrá situaciones problemas que pueden ser resueltas con algún tipo de
representación. Además, el hecho de utilizar diferentes representaciones permitirá que el
alumno desarrolle procesos mentales como comparación, análisis, síntesis y
planteamiento de inferencias, procesos propios del razonamiento matemático. En
diferentes investigaciones se puede evidenciar que las principales dificultades en el
aprendizaje de las fracciones se deben a las diversas representaciones (acepciones,
interpretaciones, concepciones, constructos) que admiten, en consecuencia, se debe
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tener claro los distintos constructos de las fracciones para la enseñanza y aprendizaje de
los números racionales. Algunas de las situaciones de uso e interpretaciones que se
pueden considerar son:
Situaciones de Reparto, en estas situaciones el significado que se le da a la fracción es
como partidor o como parte de un todo: se divide “un todo” (unidad) discreto o continuo
en partes iguales, se producen partes congruentes como cantidad de superficie o
cantidad de objetos. La fracción indica la relación que existe entre un número de partes y
el número total de partes. (Martinez y Solano).
Desde este tipo de situaciones se abordará todo lo referente al fraccionamiento de
magnitudes, haciendo uso de representaciones pictóricas (esquemas gráficos), para
fortalecer especialmente la idea de Unidad como un todo.
Situaciones de Medida, en estas situaciones existe una cantidad de magnitud a medir
que no equivale a la unidad o alguno de sus múltiplos. Para precisar más la medida se
divide la unidad en partes iguales y si una cantidad de magnitud mide a/b unidades
quiere decir que dividiendo la unidad en b partes iguales la cantidad de magnitud a medir
equivale a un número a de dichas partes (Godino & Otros, 2004).
También se pueden considerar situaciones de medida en la que se comparan dos
cantidades de una magnitud, estableciendo cuantas veces tiene que ser repetida cada
una de ellas para obtener dos cantidades iguales; en muchas ocasiones suele ser
pertinente emplear la recta numérica para expresar estas magnitudes, pues de alguna
forma permite visualizar y comprender la conmensurabilidad entre ellas, sobre todo
cuando superponemos segmentos de la recta para encontrar una medida común. A partir
de estas representaciones también se evidencian las relaciones de orden de las
fracciones que más adelante llevaran también a definir el orden de los números
racionales en donde se reconocerá la densidad del numero racional, es decir, para
cualquier par de números racionales existe otro número racional situado entre ellos,
propiedad que no está presente en los números naturales y en los números enteros. Por
eso se dice que los números racionales son densos en la recta de los números reales.
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Situaciones de Razón, en este caso el número racional es un índice comparativo, es
decir, una razón es una comparación de dos cantidades de igual o diferente magnitud. Es
de aclarar que el número racional visto como una razón también puede representar una
proporción o un porcentaje, dependiendo del contexto en el cual se desarrolle. Es
importante aquí hacer énfasis en lo referente a la representación porcentual, pues está
en la vida cotidiana es muy utilizada
Situaciones de Transformación, estas situaciones estudian el cambio de un objeto, un
conjunto de objetos o una cantidad de magnitud, cuando se compara un estado actual
con otro pasado o futuro también se utilizan fracciones. En este caso la fracción tiene un
uso como función u operador que se aplica sobre una cantidad inicial para hallar una
cantidad final. En este tipo de situaciones es necesario hacer uso de representaciones
simbólicas, es decir, por lo general estas transforman de un lenguaje verbal a un lenguaje
de símbolos matemáticos (Godino & Otros, 2004).
Situaciones de división no entera, en el contexto algebraico, la solución de la ecuación
𝑎 = 𝑏𝑥, con a y b enteros y cuando b no es un divisor de a y distinto de 0, se expresa
mediante la fracción a/b, dejando indicado el cociente entre los números a y b. En el
proceso de solución de las situaciones anteriores puede haber una fase (con frecuencia
implícita) en la que las cantidades que aparecen se reducen a sus respectivas medidas
(números enteros). Con ello se pasa de una situación empírica a otra formal (algebraica)
en la que la fracción expresa el cociente indicado de los números correspondientes. Es
en este tipo de situaciones es donde se fortalece el sistema de representación decimal
(Godino & Otros, 2004).
2.4 Fracciones Equivalentes y Números Racionales
Teniendo en cuenta los diferentes constructos de las fracciones, antes mencionados, se
puede abstraer que en algunas ocasiones un par (pueden ser mas) de fracciones pueden
representar el mismo resultado, por ejemplo, 1/2 y 2/4, producen el mismo resultado en
una situación determinada. Estas dos fracciones pueden mostrar que de 16 personas
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asistentes a una actividad lúdica 1/2 son mujeres o 2/4 son mujeres, y ambas fracciones
nos llevan a un mismo resultado: 8 personas son mujeres. Esto nos lleva a inferir que
una fracción dispone de infinitas fracciones que representan un mismo resultado, es a
estas a las que se les llama fracciones equivalentes entre sí.
Utilizando representaciones pictóricas se puede evidenciar que fracciones equivalentes
presentan los mismos resultados:
Figura 4. Representación de una misma Cantidad. Fuente: Elaboración del autor
Una definición simbólica sobre la relación de equivalencia de fracciones la plantea Ríos
García (2007):
R es la relación de equivalencia definida sobre 𝑍𝑥𝑍∗ de la siguiente manera
(𝑎, 𝑏)𝑅 (𝑐, 𝑑) ↔ 𝑎. 𝑑 = 𝑏. 𝑐
Así, de acuerdo a la definición anterior se pueden enunciar las tres propiedades que
cumplen las relaciones de equivalencia:
Reflexiva: toda fracción es equivalente a si misma
Simétrica: si una fracción 𝑎𝑏⁄ es equivalente a otra 𝑐
𝑑⁄ esta última es equivalente a la
primera.
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Transitiva: si 𝑎𝑏⁄ es equivalente a 𝑐
𝑑⁄ y esta es equivalente a 𝑓
𝑔⁄ , entonces 𝑎𝑏⁄ es
equivalente a 𝑓
𝑔⁄ .
Estas tres propiedades confirman que las fracciones equivalentes a otras son infinitas.
Cuando se refiere a fracciones equivalentes se infiere que a procesos de complificación y
simplificación, con el primero se determinan fracciones equivalentes multiplicando la
fracción por un numero; con el segundo se puede encontrar fracciones equivalentes, pero
además descubrir fracciones irreductibles, que según Godino y otros (2004), se definen
como una fracción en la que el numerador y el denominador no tienen ningún factor
primo común además del 1.
También cuando se considera el concepto de fracciones equivalentes, se refiere a cada
conjunto de fracciones equivalentes como una clase de equivalencia y es precisamente
la fracción irreductible de esa clase de equivalencia la que representa dicha clase, y el
conjunto de todas las fracciones que representan una clase de equivalencia constituye el
conjunto de los números racionales. Es de resaltar que es precisamente en el momento
en que el concepto de fracción se descontextualiza, que aparece la representación de
fracción como número racional, formalizando el conocimiento. Se define entonces de
manera formal el conjunto de los números racionales como:
𝑄 = {𝑎
𝑏/𝑎 𝜀 𝑍 𝑦 𝑏 𝜀 𝑍∗ 𝑦 𝑚𝑐𝑑 (𝑎, 𝑏) = 1 }
Cuando se toma este conjunto, cada número racional representa una clase de
equivalencia formada por pares ordenados equivalentes, Ríos (2001).
De acuerdo a lo anterior se puede afirmar que una fracción es una forma de representar
un número racional, después de un proceso de abstracción, es decir, la única condición
para que un par de números de la forma 𝑎
𝑏 sea fracción es que 𝑏 ≠ 0, en cambio para
que esa fracción represente un numero racional se requiere, además de la condición
para que sea fracción, que numerador y denominador no tengan ningún factor primo
común, además del 1 (Batanero, 2004).
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2.5 Características De Los Números Racionales
Godino, J. D. y otros (2004), caracteriza el número racional de la siguiente forma:
1. Si 𝑎 ≠ 𝑏, los números racionales representados por las fracciones 𝑎/𝑏 y 𝑏/𝑎 son
distintos.
Esta propiedad es evidente en cualquiera de las situaciones. Se dice que los racionales
𝑎/𝑏 y 𝑏/𝑎 son inversos el uno del otro.
2. El denominador de una fracción no puede ser cero, el numerador si puede serlo. El
denominador de una fracción no puede ser cero porque no tiene sentido fraccionar la
unidad de medida en cero partes o repartir entre cero individuos. En cambio, un
numerador cero indica que no se toma ninguna de las partes en que se ha dividido la
unidad, o que en la cantidad de magnitud a medir no cabe ninguna de dichas partes, lo
que sí es posible.
3. El racional 0 es el que tiene como representante cualquier fracción de la forma 0/𝑏
Si en la medida, bien por fraccionamiento de la unidad, bien por conmensurabilidad, de la
cantidad de magnitud de un objeto, se obtiene un racional 0/b eso significa que ese
objeto no tiene cantidad de magnitud, lo que en términos de números naturales se
expresa diciendo que la cantidad de magnitud es 0.
4. Las fracciones con numerador igual al denominador son equivalentes y representan al
número racional 1
Esta propiedad se justifica porque si una cantidad de magnitud mide b/b unidades
significa que la unidad se divide en b partes y se toman esas b partes y esto equivale a la
unidad.
En las situaciones de reparto proporcional también podemos decir que repartir en la
razón 4: 4 equivale a repartir en la razón 1:1.
5. El numerador de una fracción puede ser mayor, igual o menor que el denominador y
en consecuencia hay números racionales mayores, iguales o menores que la unidad.
6. Si el número racional se interpreta como una razón no hay ningún problema, tanto
sentido tiene la razón 7: 3 como la 3: 7.
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Puede ser más difícil de justificar en las situaciones de partición de un todo, pues si, por
ejemplo, se descompone un todo en 3 partes, el racional 7/3 indica que se han tomado 7
de dichas partes y ¿de dónde salen las 7 partes que se toman si inicialmente sólo se
dispone de 3?
En las situaciones de medida por fraccionamiento de la unidad 7/3 indica que la cantidad
de magnitud de un objeto equivale a 7 terceras partes de la unidad de medida. En la
práctica, primero contamos cuántas veces cabe la unidad entera en la cantidad de
magnitud a medir y utilizamos el fraccionamiento de la unidad para dar la medida del
resto. En ese caso en vez del racional 7/3 aparece como resultado de la medida el
'número mixto' 21
3.
A las fracciones del tipo 7/3 se las ha llamado, tradicionalmente, 'fracciones impropias',
porque se consideraba que la forma correcta de expresar la medida correspondiente era
convirtiéndolas en un número mixto (Al número expresado como suma de un número
natural a y una fracción b/c se le llama ‘número mixto’ y se representa por 𝑎𝑏
𝑐omitiendo el
símbolo de la suma).
La técnica de convertir las fracciones impropias en números mixtos consiste en efectuar
la división entera entre el numerador y el denominador. El cociente obtenido será la parte
entera del número mixto y el resto será el numerador de la nueva fracción, que deja de
ser una fracción impropia.
8. Las fracciones de denominador 1 representan a los números naturales que son, por
tanto, un subconjunto de los racionales.
En la situación de medida por fraccionamiento de la unidad, si una cantidad de magnitud
mide, por ejemplo, 4/1 unidades significa que la unidad no se ha descompuesto en partes
y, por lo tanto, equivale a decir que mide 4 unidades.
En el caso de medida por conmensurabilidad, si la cantidad de magnitud A mide 7/1
unidades, significa que A es igual a 7 veces la unidad, lo que también permite identificar
7/1 con el número natural 7.
9. Todo número entero es racional, puesto que cualquier entero se puede poner en forma
de fracción.
Todo numero decimal es un racional, pues cualquier numero decimal se puede poner en
forma de fracción (con denominador múltiplo de 10)
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2.6 Los Números Decimales y los Números Racionales
En la última de las características de los números racionales aparece la relación entre un
numero decimal y un número racional es importante hablar un poco del porque necesidad
de expresar un numero racional como un numero decimal, que desde la historia ya se ha
mencionado.
La importancia de los números decimales se debe sobre todo a la necesidad de medir de
manera aproximada cantidades continuas, lo que supone abordar un problema de interés
práctico (Centeno, 1988; Ferrari, 2006, referenciados por Konic, Godino, & Rivas, 2010).
Por otro lado, desde una perspectiva teórica, la matemática va exigiendo de una
generalización que permita ir solucionando tanto las limitaciones que cada teoría muestra
para determinados avances, como la necesaria descontextualización. La utilidad de los
números decimales para el desenvolvimiento social de las personas se reconoce tanto en
las investigaciones educativas como en las prescripciones curriculares (Irwin, 2001;
Ministerio de Educación y Ciencia (2006), citado por Konic, Godino, & Rivas, 2010.
Desde un punto de vista histórico fue la civilización árabe quien introdujo el uso de la
línea vertical y horizontal al simbolizar fracciones. Entre sus aportes se menciona el
trabajo inicial con las fracciones decimales, evidenciado en el manuscrito supérstite del
kitaba al-fusulfial-Hindi obra de Al-Uquilidisi de los 953-53. Al estudiar el libro, su
traductor A. S. Saidan afirmó: “la idea más notable de esta obra es la fracción decimal.
Al-Uquilidisi usa las fracciones decimales como tales, aprecia la importancia de un signo
decimal y sugiere uno bueno” (Godino & Otros, 2004).
Entendiéndose por fracción decimal a aquella que su denominador se puede expresar
como una potencia de diez. Una definición formal de número decimal es dada por
Godino, J. D. y otros (2004):
“El conjunto D de los números decimales es un subconjunto de Q, definido de la
siguiente forma 𝐷 = {𝑎
10𝑛 /𝑎 ∈ 𝑍 𝑦 𝑛 ∈ 𝑁}. Los números decimales son aquellos
racionales para los que se puede encontrar una fracción decimal que los
represente”.
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De acuerdo con la definición anterior se puede decir que existen números racionales que
no se puede escribir como un número decimal o con una expresión decimal finita, sin
embargo, se pueden escribir como una expresión decimal, ya sea periódica pura
(repetición indefinida del periodo) o periódica mixta (cuando existe una parte no
periódica) como lo afirman en el documento “los números decimales en la EGB”. (Equipo
de curriculum y capacitación Matemática Gobierno de Mendoza, 2008).
Es importante tener en cuenta la representación decimal que de un número racional se
puede hacer pues en muchas ocasiones el manejo de algoritmos resulta mucho más fácil
haciendo uso de la notación decimal en vez de la fracción, como lo afirma Godino, J. D. y
otros (2004):
“El interés de la representación decimal de las fracciones decimales se debe a la
posibilidad que proporcionan de utilizar los algoritmos de cálculo definidos para
los números naturales. Desde el momento en que la parte decimal de un número
decimal se construye siguiendo las mismas reglas que se usan para la parte
entera podemos trasladar los algoritmos de suma, resta, multiplicación y división
entera al caso de los números decimales sin más que añadir algunas
consideraciones acerca de la colocación de las comas. Esto permite abreviar los
cálculos con fracciones decimales. Si además el sistema de unidades de medida
es decimal, todas las medidas pueden expresarse mediante números decimales y
las operaciones entre ellas se hacen más fáciles. Esto último se puso en práctica
a partir de la instauración del Sistema Métrico Decimal, creado en Francia a
finales del siglo XVIII”.
Retomando lo que dice el autor, es indudable que, para realizar operaciones con
números decimales, el procedimiento es el mismo que para los números naturales, sin
embargo, hay que tener claro que eso no quiere decir que un número decimal pueda
considerarse como dos números naturales separados por una coma. También es de
aclarar que no es apropiado hablar de operaciones con expresiones decimales periódicas
puras o finitas, por lo que esas expresiones decimales pueden ser aproximadas a un
número decimal y así realizar operaciones con un error tan pequeño como queramos.
Esta es otra de las ventajas de trabajar los números racionales con representación
decimal; además, cabe resaltar que cuando se expresan números racionales con una
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notación decimal es mucho más cómodo determinar cuál es mayor o menor, cosa que no
pasa cuando utilizamos la representación de fracciones.
2.7 Orden de las Fracciones y los Números Racionales
Con lo hablado de números decimales ya se ha hecho referencia el orden de las
fracciones, para comparar entre sí dos números racionales se comparan dos fracciones
representantes de cada uno de los dos números racionales que se desea comparar.
Dadas dos fracciones con el mismo denominador es menor la que tiene menor
numerador; si las fracciones tienen igual numerador será menor la que tenga el mayor
denominador; si no tienen iguales los numeradores ni los denominadores se reducen a
común numerador o denominador y se aplica una de las reglas anteriores.
Ejemplo: Si una cantidad de magnitud mide 3/11 unidades será menor que la cantidad de
magnitud que mide 7/11 unidades y también menor que la que mide 3/5 unidades.
También se puede ver que si un individuo recibe en un reparto en la razón 3: 11 recibirá
menos que si se repartiera en la razón 7: 11.
La definición algebraica de orden en Q requiere previamente decir cuándo consideramos
que un racional es positivo. Esto se puede hacer del siguiente modo: El racional [m/n] es
positivo si m y n ∈ N
Después de esto podemos decir que el racional x es menor que y, x<y, si la diferencia y-x
es positiva.
Propiedades de la ordenación en Q:
Las siguientes propiedades son consecuencias de la definición de número racional
positivo, de la definición de relación de orden y del hecho de que los racionales positivos
son cerrados respecto de la multiplicación y adición.
Tricotomía: Si r y s con números racionales, entonces una de las siguientes relaciones es
verdadera: r < s, r > s, o r = s.
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Transitividad: Para números racionales r, s, y t, si r < s y s < t, entonces r < t. Aditividad:
Para números racionales r, s, y t, si r < s, entonces r+t < s + t. Mutiplicatividad: Para
números racionales r, s y t:
Si r < s y t > 0, entonces, t.r<t.s:
Si r < s y t < 0, entonces, t.r>t.s
Este tema de las relaciones de orden se puede abordar desde una de las situaciones de
uso que han sido expuestas arriba, y es la de la medida, pues evidentemente la medida
puede ser estudiada desde la recta numérica, y desde esta se puede abordar de manera
más apropiada las relaciones de orden. Una propiedad muy importante del orden de
racionales es que dados dos racionales, por muy próximos que los elijamos siempre
podemos encontrar tantos racionales como queramos que sean mayores que uno de
ellos y menores que el otro. Esta propiedad se suele enunciar diciendo que entre dos
números racionales distintos existen siempre infinitos racionales. También se dice que el
conjunto de los números racionales es un conjunto denso. Todo esto implica que en los
números racionales, a diferencia de lo que sucede en los naturales, deja de tener sentido
el concepto de número ‘siguiente’ o ‘anterior’ ya que nunca podremos encontrar dos
racionales que no tengan otros racionales entre ellos.
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3. Marco Metodológico
El presente trabajo de aplicación denominado “Los recursos manipulativos y tecnológicos
en el uso comprensivo de las fracciones en estudiantes de grado séptimo”, se llevará a
cabo en la INSTITUCIÓN EDUCATIVA MUNICIPAL PALMARITO – SEDE BETANIA.
La sede Betania es la segunda más grande de la institución con una población,
aproximada, de 150 estudiantes; es una institución de carácter oficial y rural, con NIT:
813007389-0 y código Dane 241551000122432, perteneciente a la secretaria de
Educación del municipio de Pitalito-Huila.
En el año 2017 ofrece sus servicios desde preescolar hasta grado undécimo, siendo esta
la primera promoción de bachilleres académicos.
El pre test y pos test se aplicó en la sede principal (22 estudiantes, grupo control) de la
institución y en la sede Betania (18 estudiantes, grupo experimental), con el fin de
contrastar resultados de ambas sedes y enriquecer el análisis de resultados respecto a la
intervención realizada en la sede Betania.
El grupo objeto de este estudio está conformado por 18 estudiantes, 10 niñas y 8 niños,
de edades entre los 11 y 15 años y con estrato económico bajo.
Con este proyecto de aula se pretende mejorar la comprensión del concepto y significado
de la fracción a través del diseño e implementación de guías que integren recursos
manipulativos y tecnológicos que ayuden a obtener aprendizajes significativos.
En este contexto, a continuación, se define el enfoque que se trabajó y la estructura
metodológica que se desarrolló.
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3.1 Enfoque metodológico
Para el proceso de evaluación, asumido este como un proceso de indagación sistemática
de los aprendizajes de los estudiantes sobre los fraccionarios a medida que utilizaron
materiales y recursos tecnológicos, se asumió un enfoque integral en el que lo cualitativo
y lo cuantitativo se complementan para dar cuenta de las características del desempeño
de los estudiantes (lo cualitativo) a partir de la identificación e interpretación de las
respuestas dadas a los indicadores de aprendizaje definidos para cada una de las tareas
aplicadas.
Para el proceso de aplicación de tareas matemáticas, se tomó como referente
metodológico el enfoque problémico en el que el uso de “Situaciones problema” se ha
sustentado a partir de los aportes de los Lineamientos curriculares en matemáticas, los
que particularmente señalan que las “situaciones problemáticas procedentes de la vida
diaria, de las matemáticas y de las otras ciencias es el contexto más propicio para poner
en práctica el aprendizaje activo, la inmersión de las matemáticas en la cultura, el
desarrollo de procesos de pensamiento y para contribuir significativamente tanto al
sentido como a la utilidad de las matemáticas”. (Ministerio de Educación Nacional (MEN),
2006)
El arraigo de metodologías en las que el profesor explica los conceptos o definiciones,
las ejemplifica y se mecanizan a través de ejercicios y problemas están llamadas a ser
revaluadas para dar paso a procesos de conocimiento constructivos en los que la
participación activa de los estudiantes en el análisis, discusión y matematización de las
situaciones problemáticas les permita ser gestores de su propio conocimiento. De esta
manera el reconocimiento de los contextos en los que convive y se forma el estudiante
cobra vital importancia. “El contexto tiene un papel preponderante en todas las fases del
aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas, es decir, no sólo en la fase de aplicación
sino en la fase de exploración y en la de desarrollo, donde los educandos descubren o
reinventan las matemáticas” (MEN, 2006); por lo cual se hace necesario crear ambientes
de aprendizaje en los que los alumnos tengan la oportunidad de indagar problemas,
diseñar preguntas y reflexionar sobre modelos matemáticos que encuentren. Los
lineamientos curriculares plantean la importancia de la enseñanza a partir de situaciones
problemáticas porque con ello se enfatiza en procesos de pensamiento, de aprendizaje y
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además los contenidos matemáticos dejan ya de ser los únicos importantes en el proceso
y se da mayor importancia a los procesos de pensamiento eficaces.
3.2 Estructura Metodológica
El mejoramiento en el proceso de enseñanza y aprendizaje del concepto y significado de
la fracción en los estudiantes de grado séptimo de la Institución Educativa Municipal
Palmarito Sede Betania, Pitalito-Huila a través del diseño e implementación de guías que
integren recursos manipulativos y tecnológicos que ayuden a obtener aprendizajes
significativos, se realizará a partir de tres momentos:
3.2.1 Momento uno “de identificación de pre saberes”:
En este momento se aplicó un instrumento para identificar los pre saberes del grupo
experimental y de control de grado séptimo de la institución educativa Palmarito. El pre
test fue de 10 preguntas de selección múltiple con única respuesta que indagan por los
conceptos básicos del significado y sentido de las fracciones (Ver Pre test en el Anexo
A.).
La duración de la prueba fue de, aproximadamente, 60 minutos, en donde se evidencio la
inseguridad de los estudiantes a la hora de responder las preguntas, pues algunos,
inclusive manifestaban no saber qué hacer.
El pre test y pos test se clasifica en cuatro categorías, así:
Conceptos básicos de las fracciones partiendo de su interpretación como parte de
un todo (Preguntas 1 a 4)
Fracciones en procesos de medición (pregunta 5)
Relaciones de orden y fracciones equivalentes en problemas de aplicación
(Preguntas 6-9)
Fracciones en su interpretación de porcentajes (Pregunta 10)
Los resultados se muestran en el capítulo de análisis de resultados.
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3.2.2 Momento dos “de diseño e implementación de guías haciendo uso de recursos manipulativos y tecnológicos”:
En este momento se diseñó e implemento guías de aprendizaje referidas al concepto y
significado de la fracción utilizando recursos manipulativos y tecnológicos.
Respecto al espacio físico y los materiales de apoyo que se utilizaron para el desarrollo
de cada una de las tareas matemáticas, se puede decir que: las clases fueron
desarrolladas en aulas normales y en algunos espacios que brinda el colegio, como la
cancha y la sala de informática.
De igual forma, es importante aclarar que algunas de las actividades que fueron
desarrolladas han sido referenciadas del documento fracciones, juego y aprendizaje,
implementado en el marco de talleres de capacitación en competencias matemáticas
realizados por el ministerio de educación nacional.
Por otro lado, es a partir de las tareas matemáticas que se les propuso a los alumnos en
donde se empieza gestionar un buen desarrollo de la actividad matemática, por lo que
cada tarea matemática fomento la curiosidad y el entusiasmo del alumno por aprender,
indagar y reflexionar sobre los procesos matemáticos.
Cada guía que fue aplicada se realizó inicialmente de manera individual, en cuyo espacio
el estudiante se confronta con su saber anterior y toma en consideración todos sus
recursos para dar cuenta de cada tarea, sin embargo, el docente interactúa con los
estudiantes a través de preguntas cuestionadoras sobre los procesos o los obstáculos
que éste enfrenta.
Después, se pasó a un trabajo en equipos de tres estudiantes, en el cual confrontaron las
producciones de cada estudiante y tomaron decisiones sobre las estrategias, argumentos
y procedimientos que llevaron a la plenaria, y que constituyó el tercer momento de
negociación de saberes, dónde el papel del maestro fue determinante porque los
cuestionamientos que realizó y reflexionó dirigieron la construcción colectiva y personal
de los saberes puestos en juego en la secuencia. (Becerra et al, 2012)
En consecuencia, las actividades y tareas propuestas para ser aplicadas fueron las
siguientes:
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3.2.2.1 Situación 1: La fracción como relación parte todo y medida
CAPACIDAD: Movilizar el concepto de fracción como relación parte todo y medida a
través de la comparación de diferentes regletas teniendo en cuenta la cantidad de
longitud y expresando estas relaciones en forma fraccionaria (unidad continua).
ACTIVIDAD 1:
Construcción del material para trabajar con las regletas de Cuisenaire (ver Anexo B)
ACTIVIDAD 2:
Recortar libremente párrafos pequeños de periódico para leerlos, lanzamiento de dado
para definir características y responder a preguntas (Ver Anexo C)
Evidencias de los desarrollos (Ver anexo K)
En la primera actividad el grupo de estudiantes se mostró bastante activo, aunque se
hizo notar que algunos estudiantes entendieron más rápido la actividad a desarrollar.
Por otro lado, en un principio se planteó la actividad para que fuera desarrollada de forma
individual y sin embargo se notó que entre los estudiantes hubo una colaboración
constante.
En esta tarea los educandos debían tener una habilidad con la utilización de la regla para
hacer los cortes de las regletas, algunos presentaron dificultades, aunque al final todos
lograron terminar la actividad como se pretendía.
Es así como los equipos de trabajo pudieron identificar diferentes conveniencias de
formar la unidad a través de las regletas, además evidenciaron que, según la cantidad de
cortes así mismo fue el denominador de la fracción.
En lo que se refiere a la segunda actividad, el grupo se mostró muy interesado en su
desarrollo, aunque se presentó un problema, y fue que algunos niños terminaban más
rápidamente con la tarea propuesta y ocasionaban un poco de desorden, pero finalmente
se puedo controlar y terminar la actividad con éxito.
Los estudiantes no tuvieron ningún tipo de dificultad en reconocer el texto como un todo
que se compone por palabras que pueden ser identificadas de acuerdo a ciertas
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características, además se nota que los estudiantes son capaces de dar una
representación tanto verbal como simbólica de cada caso propuesto.
En general todos los estudiantes pudieron desarrollar todas las tareas sin ninguna
dificultan, aunque se evidencio que los niños no tenían muy claro las diferencias entre
contextos continuos y discretos.
3.2.2.2 Situación 2: Construyamos fracciones equivalentes
CAPACIDAD: Determina conjuntos de fracciones equivalentes utilizando las regletas.
ACTIVIDAD 1: Usa las regletas para construir fracciones equivalentes y realizar las
tareas matemáticas 1 (Ver anexo D)
ACTIVIDAD 2: Usa los conocimientos que has adquirido con el trabajo realizado con las
regletas y responde las siguientes tareas (Ver anexo E)
Evidencias de Desarrollos (Ver anexo K)
Los estudiantes en estas actividades se mostraron muy animados, puesto que esta fue
desarrollada en la cancha, por lo que se generó un ambiente de aprendizaje apropiado
para el desarrollo exitoso de la actividad. Todos los educandos cumplieron con la
actividad, sin embargo, se notaron algunos errores conceptuales, por ejemplo, uno de los
estudiantes manifestó que una fracción equivalente no se podía simplificar. Por otro lado,
se evidencio que algunos de los estudiantes presentaron dificultades para sumar
fracciones. Al final de la actividad se cuestionó a los estudiantes acerca de lo que sabían
de número racional, y se logró identificar que tenían claro que un número racional se
puede representar por una fracción que representa una clase de equivalencia.
En lo que se refiere a representar fracciones equivalentes en figuras, los niños no
presentaron ninguna dificultad, todos pudieron desarrollar la actividad sin ningún
contratiempo.
Los estudiantes fueron capaces de encontrar fracciones equivalentes a partir de las
regletas, y además fueron capaces de escribir verbalmente las relaciones, aunque
algunos con dificultad.
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3.2.2.3 Situación 3: Relacionando significados de una fracción
CAPACIDAD: Establecer relaciones de orden entre fracciones con el uso del tangram e
interpreta las fracciones como un porcentaje haciendo uso de pepitas de café.
ACTIVIDAD 1: Construcción del Tangram Chino. Con la orientación del docente se
construirá el tangram chino doblando y separando las figuras (ver anexo F)
ACTIVIDAD 2: Observe el rectángulo y las particiones que tiene y compara la cantidad
de su superficie. Responda las preguntas (ver anexo G).
ACTIVIDAD 3: Teniendo en cuenta las 100 pepitas de café, o semillas que trajiste,
responde las siguientes preguntas (hablar de porcentajes es hablar de “cuantos de 100”).
También usarás la tableta y la aplicación móvil “trucos de matemáticas” para fortalecer
tus competencias (ver anexo H)
Evidencias de desarrollos (Ver anexo K)
Estas actividades fueron desarrolladas de manera grupal en el aula de clase. En lo
referente a la primera actividad se notó cierta dificultad en los estudiantes para identificar
lo que representaba cada parte del tangram con respecto al todo. Cabe resaltar que uno
de los niños que mejor desenvolvimiento había tenido en las actividades anteriores
presento la mayor dificultad, por lo cual se puede inferir que el estudiante había
mecanizado procesos y al cambiarle el contexto en que se trabajaba tuvo problemas. En
lo que se refiere al orden de las fracciones se notó que al final los estudiantes estaban
confundidos y algunos no eran capaces de identificar que fracción era mayor o menor.
Dado que, solo tres de los seis equipos pudieron identificar y responder las tareas
matemáticas solicitadas, el docente pide a estos equipos que compartan con los demás
compañeros como ellos desarrollaron la actividad y con esto todos los estudiantes del
grado se apropiaron de las relaciones que se podían establecer con el tangram.
En lo que se refiere a la segunda actividad de esta situación se notó cierta dificultad para
identificar cuantas veces estaba el cuadrado en el rectángulo, por ejemplo, un estudiante
afirmo “cabe 10 veces el rectángulo pequeño”, otros dijeron que 16. En vista de tales
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dificultades se optó por plantearles una situación similar, pero con un rectángulo dibujado
en el tablero al cual se le se le dibujaron pequeños rectángulos que eran acordes a la
superficie del cuadrado de manera tal que se evidenciara cuantos rectángulos pequeños
formaban el rectángulo grande y, así, finalmente volver a la actividad original, la cual se
desarrolló normalmente. También se notó que algunos estudiantes se les dificulta
comunicar lo piensan.
En el caso de la tercera actividad, los estudiantes se mostraron muy animados, puesto
que, el trabajo se realizó con pepitas de café que previamente se les había solicitado.
Luego de algunas aclaraciones respecto a una noción de porcentaje como lo que se
toma de 100, los estudiantes iniciaron su trabajo. Todos los estudiantes pudieron
desarrollar las distintas tareas, sin embargo, en la última tarea en donde debían hallar
porcentajes de una cantidad diferente de 100, los estudiantes se mostraron un poco
confundidos, por tanto, para terminar de consolidar este significado de la fracción se hizo
uso de la aplicación móvil “Trucos de matemáticas”, con la cual los estudiantes
interactuaron e identificaron algunos criterios básicos para determinar porcentajes. Los
equipos de trabajo estuvieron muy activos y colaborativos entre todos, tratando de
entender la forma como trabaja los porcentajes la aplicación, y luego se retaron entre
ellos mismos a los que más niveles pasaran en tres estrellas.
3.2.2.4 Situación 4: Jugando y aprendiendo sobre fracciones
CAPACIDAD: Establece relaciones entre distintas formas de representación de las
fracciones.
ACTIVIDAD 1: Haciendo un dominó de fracciones con la modalidad para jugar de 2 a 4
personas (ver anexo I).
Evidencias de desarrollos (Ver anexo K)
En lo que respecta al desarrollo de esta actividad se logró comprobar que los
estudiantes, aunque con dificultad, lograron representar una fracción en una gráfica e
identificaron fracciones equivalentes. En general la actividad fue bastante activa, y se
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50
considera que con ella se hizo un resumen de todo lo que se había trabajado en las otras
clases, por lo cual se notó, nuevamente, dificultad para sumar fracciones y en algunas
ocasiones para simplificar fracciones.
Los diferentes equipos de trabajo, haciendo uso de las fichas de dominó, construidas por
ellos mismo, se autoevaluaron respecto a los conocimientos adquiridos hasta ese
momento. Se evidencio una interacción constante entre los integrantes de los equipos de
trabajo, buscando que sus compañeros no se equivocaran en la ficha con la que jugaban
y haciéndolos caer en cuenta de los errores que cometían.
3.2.2.5 Situación 5: Interactuando con la tecnología para aprender más sobre las fracciones y desarrollar competencias matemáticas
CAPACIDAD: Establecer relaciones entre fracciones al relacionarlas con su
representación gráfica o pictórica.
ACTIVIDAD 1: Con base en los conocimientos ya adquiridos hasta el momento, ahora
vas a jugar con las fracciones haciendo parejas de su representación numérica y gráfica,
gráfica y gráfica, numérica y numérica, según sean los casos en la aplicación móvil
fraction-matcher_es.html, instalada en la tableta. (Ver anexo J).
Evidencias de desarrollos (Ver anexo K)
Los estudiantes en esta actividad se mostraron muy animados y manifestaban que el
juego de las fracciones les había ayudado a entender mejor algunos procesos.
Con la aplicación móvil los estudiantes pudieron armar parejas de fracciones teniendo en
cuenta fracciones equivalentes, representaciones gráficas y pictóricas. Además,
trabajaron con fracciones mayores que la unidad, construyendo relaciones de orden, e
inclusive pudieron darse cuenta de algunos procesos algorítmicos que podían desarrollar
con las fracciones mixtas.
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3.2.3 Momento tres “de validación del mejoramiento en la compresión del concepto de fracción”:
Este momento tuvo como propósito verificar el mejoramiento en la comprensión del
concepto de fracción al hacer uso de guías que involucran recursos manipulativos y
tecnológicos, con la aplicación de un pos test, en cual los estudiantes se demoraron 60
minutos, aproximadamente, en su solución. Se notó que los estudiantes estaban más
seguros en la presentación de la prueba, comparado con la presentación del pre test.
Por otro lado, también se evaluó los resultados logrados en el desarrollo de las tareas
matemáticas.
Estos resultados se muestran en el capítulo 4 de presentación y análisis de resultados.
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4. Presentación y análisis de resultados
La presentación y análisis de resultados se divide en tres momentos, el primero, presenta
los resultados obtenidos en el desarrollo de cada una de las guías de aprendizaje
aplicadas.
El segundo, teniendo en cuenta el pre test y pos test aplicado al grupo experimental (18
estudiantes) para realizar un comparativo entre dicha información.
El tercero, un comparativo entre el pre test y pos test aplicado en el grupo de control (22
estudiantes) y grupo experimental.
4.1 Presentación y análisis de información obtenida tras el desarrollo de las guías de aprendizaje
Para hacer una mejor interpretación de la información obtenida tras la aplicación de cada
una de las guías y para cada uno de los equipos de trabajo se realizaron 5 matrices que
se encontraran en los anexos, teniendo en cuenta la evidencia de aprendizaje para cada
una de las tareas matemáticas planteadas para luego hacer un análisis de la información.
El equipo 1 (E1) fue: Miguel Ángel Quiroga Díaz, Kevin David Rodríguez y Andy Yuliana
Pillimue; el E2 fue: Maria Isabel Canacue Puentes, Lulian Perafan Duran y Eduar Stiven
Cacais; el E3 fue: Marly Yurany Castillo Mamian, Luis Alejandro Santiago y Laura
Vanessa; el E4 fue: Jhon Sebastian Quisabony Muñoz, Yeny Paola Chavarro Chaux y
Karol Niyereth Guerrero Díaz; el E5 fue: Brigni Valentina Ultengo, Vianny Lorena Lozada
Laguna y Jose Ferney Barrios Anacona y el E6 fue: Leydi Yolanda Burbano Rivera,
Yuliana Puentes Ramos y Breyner Javier Puentes.
Con base en la matriz de registro de la información de la situación 1 con sus actividades
(ver anexo L), se hace el siguiente análisis descriptivo porcentual.
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Situación 1, Actividad 1 - Tarea 1: Respecto a esta tarea, algunas de las respuestas de
los estudiantes fueron:
1
10+
1
10+
1
10+
1
10+
1
10+
1
2= 1
1
8+
1
8+
1
4+
1
10+
1
10+
1
10+
1
5= 1
Como se evidencia en algunas de las respuestas dadas por los estudiantes, se les
dificulto argumentar de forma escrita las semejanzas y diferencias que habían entre las
partes de las regletas, sin embargo, en la figura 5, un 89% de los estudiantes estuvieron
en un nivel medio, es decir, que casi todos identificaron que cada parte en las que se
dividen las regletas era igual, además fueron capaces de argumentar que las regletas
pueden dividirse de diferentes maneras y a su vez identificaron que entre más se divida
la regleta más partes iguales se obtienen. En lo que respecta al 11% de nivel bajo, es
sobre todo porque a algunos estudiantes se les dificulto identificar que las partes en que
se divide la regleta eran iguales.
Situación 1, Actividad 1 - Tarea 2: Respecto a esta tarea, algunas de las respuestas de
los estudiantes fueron:
Se obtienen 2, 3, 4…, dependiendo de los cortes que se hagan.
Depende de los cortes
Figura 5: Resultados Situación 1, Actividad 1, tarea 1. Fuente: elaborado por el autor.
89%
11%
0%
NIVEL MEDIO NIVEL BAJO NIVEL MUY BAJO
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54
Como se muestra en algunas de las respuestas dadas por los estudiantes, no hay
ninguna dificultad para identificar la regleta como la unión de todas sus partes, y además
que esas partes son iguales. La figura 6 evidencia que el 100% de los estudiantes se
encontraron en un nivel medio, es decir, desarrollaron la tarea sin problemas. A partir de
la identificación de unidad en cada una de las regletas los estudiantes realizaron los
respetivos cortes y divisiones, de esa forma comprendiendo la relación directa de
proporcionalidad existente entre dividir y partes de una misma unidad.
Figura 6. Resultados Situación 1, Actividad 1, tarea 2. Fuente: elaborado por el autor
Situación 1, Actividad 1 - Tarea 3: Respecto a esta tarea, algunas de las respuestas de
los estudiantes fueron:
Si es posible, por ejemplo: 1
4+
1
4+
1
6+
1
6+
1
6= 1
es posible, 1
4+
1
4+
1
4+
1
8+
1
8= 1
Los estudiantes en esta tarea se mostraron muy animados e hicieron distintas
comparaciones con las regletas, como lo hace notar las respuestas obtenidas. En la
figura 7, un 75% de los estudiantes estuvo en un nivel medio, es decir, desarrollaron la
actividad sin ningún inconveniente. Con respecto al 25% que se encuentra en un nivel
bajo, fue porque algunos educandos tuvieron algunas dificultades cuando empezaron a
comparar las regletas y no pudieron explicar de forma escrita como se constituían las
diferentes unidades, hicieron énfasis sobre todo en la representación de fracciones, pero
100%
0%0%
NIVEL MEDIO NIVEL BAJO NIVEL MUY BAJO
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55
finalmente lograron desarrollar la actividad con éxito. En esta tarea se evidenció un
conocimiento previo por parte de los alumnos sobre equivalencia de fracciones al realizar
diferentes combinaciones con las diferentes fracciones para formar la unidad.
Figura 7. Resultados Situación 1, Actividad 1, tarea 3. Fuente: elaborado por el autor
Situación 1, Actividad 1 - Tarea 4: Respecto a esta tarea, algunas de las respuestas de
los estudiantes fueron:
1
2+
1
4+
1
4= 1
1
4+
1
4+
1
12+
1
12+
1
12+
1
12+
1
12= 1
El desarrollo de esta tarea se buscó formalizar lo construido en la tarea anterior, es decir
expresar simbólicamente la relación entre fracciones equivalentes y de acuerdo al
análisis de los resultados, en la figura 8, el 67 % de los estudiantes desarrollaron la tarea
sin gran dificultad, a diferencia del 33% de los educandos a los cuales se les dificultó
representar en un lenguaje matemático formal lo anteriormente expresado mediante el
proceso de superposición entre las regletas y sus partes, complementario a la tarea 3.
Además, se logró observar que los estudiantes pudieron representar numéricamente
75%
25%
NIVEL MEDIO NIVEL BAJO NIVEL MUY BAJO
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56
partes y conjuntos de partes de una regleta, y en cierta medida explicaban el significado
del numerador y denominador de cada fracción obtenida.
Figura 8. Resultados Situación 1, Actividad 1, tarea 4. Fuente: elaborado por el autor
Situación 1, Actividad 2 - Tarea 1: Respecto a esta tarea, algunas de las respuestas de
los estudiantes fueron:
Hay 25 palabras en el texto
26
Hay 29 palabras en el texto
Hay 18.
Durante el desarrollo de esta tarea se logró observar que los educandos identificaron sin
ninguna dificultad las palabras como partes del texto, evidenciado en la figura 9. Es decir,
se mostró la apropiación conceptual de las fracciones (desde lo discreto) como una
relación parte todo al identificar como unidad un párrafo, independientemente de la
cantidad de palabras que lo conformarán.
67%
33%
0%
NIVEL MEDIO NIVEL BAJO NIVEL MUY BAJO
Page 57
57
Figura 9. Resultados Situación 1, Actividad 2, tarea 1. Fuente: Elaborado por el autor
Situación 1, Actividad 2 - Tarea 2: Respecto a esta tarea, algunas de las respuestas de
los estudiantes fueron:
Hay 1 de 14
2
29 palabras que tienen tilde
Hay nueve palabras con dos
Letras 9
29
Los estudiantes desarrollaron la actividad sin ninguna dificultad, incluso trataron de
buscar características que no estaban planteadas, así, en la figura 10, un 100% de los
estudiantes se encuentran en un nivel medio. De manera general, en esta tarea se buscó
reafirmar el concepto de relación parte todo desde lo discreto, contextualizando el
concepto en un campo de mayor relación y dominio por parte de los estudiantes.
100%
0%0%
NIVEL MEDIO NIVEL BAJO NIVEL MUY BAJO
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58
Figura 10. Resultados Situación 1, Actividad 2, tarea 2.
Fuente: elaborado por el autor
Situación 1, Actividad 2 - Tarea 3, 4 y 5: Respecto a estas tareas, algunas de las
respuestas de los estudiantes fueron:
5
18 palabras que inician con vocal
2
14 palabras que tienen seis letras
En el desarrollo de esta tarea se dio libertad a los estudiantes para que escogieran las
características en común, acordes al contenido del texto. Fueron ellos participes activos
en la construcción de su propio aprendizaje, y en la figura 11, el 92% de los estudiantes
entendían la relación parte todo sin mayor dificultad.
Figura 11. Resultados Situación 1, Actividad 2, tarea 3, 4 y 5. Fuente: elaborado por el autor.
100%
0%0%
NIVEL MEDIO NIVEL BAJO NIVEL MUY BAJO
92%
8% 0%
NIVEL MEDIO NIVEL BAJO NIVEL MUY BAJO
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59
Situación 1, Actividad 2 - Tarea 6: Respecto a esta tarea, algunas de las respuestas de
los estudiantes fueron:
Las fracciones cambian al aumentar una palabra
Todas las fracciones cambian
En la figura 12, el 83% de los estudiantes dijeron que el todo ya se conformaba por mas
palabras, porque tenían que hacer nuevamente el conteo, y que todas las características
que habían desarrollado también cambiaban, es decir, que tanto el numerador como el
denominador de las fracciones se ven afectados al aumentar palabras, sin embargo,
hubo al menos un equipo de trabajo que mostró dificultan para expresar su razonamiento
de manera verbal o escrita.
Figura 12. Resultados Situación 1, Actividad 2, tarea 6. Fuente: elaborado por el autor
Situación 1, Actividad 2 - Tarea 7: Respecto a esta tarea, algunas de las respuestas de
los estudiantes fueron:
Una se cuenta y en la otra se mide
Superponiendo y contando
Se notó gran dificultad en el desarrollo de esta tarea, en la figura13, el 83% de los
estudiantes está en un nivel bajo, sin embargo, después de recordarles la actividad de
las regletas y de hacerles diferentes preguntas, como: ¿Qué tuvieron que hacer para
encontrar las relaciones de las palabras con el texto? ¿Y qué hicieron para dividir las
regletas?, los estudiantes manifestaron términos como: “contar, medir, superponer”, con
lo que se puede inferir que los estudiantes tenían una idea intuitiva de contextos
discretos y continuos.
83%
17%
0%
NIVEL MEDIO NIVEL BAJO NIVEL MUY BAJO
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60
Figura 13. Resultados Situación 1, Actividad 2, tarea 7. Fuente: elaborado por el autor
Situación 1, Actividad 2 - Tarea 8: Respecto a esta tarea, algunas de las respuestas de
los estudiantes fueron:
En los párrafos era contar palabras
La unidad es el total de palabras y en la Regleta es la medida
Discretos y continuos
Con el desarrollo de la tarea número 8, los estudiantes hicieron referencia a contextos
discretos y continuos. En el ejemplo de respuesta 2, se manifiesta que la unidad en el
texto es el total de palabras, mientras que en las regletas había que medir y comparar
para definir la unidad, en consecuencia, en la figura 14, el 100% de los estudiantes se
encuentra en un nivel medio.
Figura 14. Resultados Situación 1, Actividad 2, tarea 8. Fuente: elaborado por el autor
17%
83%
0%
NIVEL MEDIO NIVEL BAJO NIVEL MUY BAJO
100%
0%0%
NIVEL MEDIO NIVEL BAJO NIVEL MUY BAJO
Page 61
61
Teniendo en cuenta matriz de registro de la información de la situación 2 con sus
actividades (ver anexo M), se hace el siguiente análisis descriptivo porcentual.
Situación 2, Actividad 1 – Tarea 1: En esta tarea algunas de las respuestas dadas por los
estudiantes se expresan a continuación.
1
3+
1
3+
1
5+
1
8= 1
1
4+
1
4+
1
2= 1
1
8+
1
8=
1
4
1
9+
1
9+
1
9=
1
3
Aunque ya se había trabajado con las regletas algunos estudiantes mostraron algunas
dificultades en lo que se refiere a las relaciones que se podían encontrar entre ellas, las
relaciones que se trataron de rescatar son las que se refieren a las fracciones
equivalentes, la intención de la tarea fue de afianzar la comprensión y significación de
equivalencia de fracciones. En la figura 15, un 33% de los estudiantes está en el nivel
bajo. La primera respuesta muestra dificultades para obtener fracciones equivalentes; en
la práctica por lo menos tres equipos de trabajo presentaron ese tipo de dificultades. Las
otras tres respuestas evidencian que los estudiantes encuentran fracciones equivalentes
sin ninguna dificultad, en un 67%.
Figura 15. Resultados Situación 2, Actividad 1, tarea 1. Fuente: elaborado por el autor
67%
33%
0%
NIVEL MEDIO NIVEL BAJO NIVEL MUY BAJO
Page 62
62
Situación 2, Actividad 1 – Tarea 2: En esta tarea algunas de las respuestas dadas por los
estudiantes se expresan a continuación
No hay fracciones equivalentes
Es muy difícil encontrar.
Una fracción equivalente representa el mismo numero
Letras que terminan en “a” 4
7 , si se duplica el párrafo
8
14 y si se triplica el párrafo
12
21.
4
7=
8
14=
12
21.
La intencionalidad fue llevar la tarea a otro contexto, en este caso, al contexto discreto,
de tal manera que los estudiantes adquirieran mayor significación y apropiación sobre las
fracciones equivalentes. Pero la tarea se desarrolló con un grado de dificultad pues,
aunque los estudiantes manifestaron como obtener fracciones equivalentes, en el párrafo
no se comprobaba tales fracciones. De ahí que, en la figura 16, el 25% de los equipos de
trabajo están en un nivel bajo, esto es que desarrollaron la tarea, pero con dificultades.
Sin embargo, el 75% de los equipos de trabajo hicieron una interpretación adecuada,
como lo muestra el último ejemplo mostrado.
Figura 16. Resultados Situación 2, Actividad 1, tarea 2.
Fuente: elaborado por el autor
75%
25%
0%
NIVEL MEDIO NIVEL BAJO NIVEL MUY BAJO
Page 63
63
Situación 2, Actividad 1 – Tarea 3: En esta tarea algunas de las respuestas dadas por los
estudiantes se expresan a continuación
2
3=
4
6=
6
9=
8
12
6
12=
12
24=
24
48=
3
6
5
2=
10
4=
15
6
2
4=
1
2=
6
12=
12
4
Estas respuestas muestran de que todos los estudiantes pudieron obtener fracciones
equivalentes a partir de las regletas sin dificultad, sin embargo, en la figura 17, el 33%
están en un nivel bajo; las razones fueron porque se notaron dificultades para sumar; ya
que estos manifestaron una carencia de representación simbólica lo que implicaba el
desarrollo de operaciones como la suma y el producto de números fraccionarios, pero
estos a su vez le daban el significado y aspectos procedimental como si fueran
operaciones desarrolladas con número enteros.
Figura 17. Resultados Situación 2, Actividad 1, tarea 3. Fuente: elaborado por el autor
Situación 2, Actividad 1 – Tarea 4: En esta tarea algunas de las respuestas dadas por los
estudiantes se expresan a continuación
Son múltiplos entre si
Se multiplica, se suman.
67%
33%
0%
NIVEL MEDIO NIVEL BAJO NIVEL MUY BAJO
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64
Cuando el denominador es 250 el numerador es 100
Cuando el numerador es 100, el denominador es 150
Se amplifica
Se complifica
Durante el desarrollo de esta tarea los educandos no presentaron ninguna dificultad, se
notó que tenían claro lo que representaba tanto el denominador como el numerador en la
fracción, además las respuestas dadas por los estudiantes evidencian que por lo menos
ya tenían noción de procesos de amplificación y complificación. En la figura 18, el 100%
de los estudiantes desarrolló la tarea sin dificultad.
Figura 18. Resultados Situación 2, Actividad 1, tarea 4. Fuente: elaborado por el autor
Situación 2, Actividad 1 – Tarea 5: En esta tarea algunas de las respuestas dadas por los
estudiantes se expresan a continuación
Las respuestas muestran que todos los estudiantes pueden obtener fracciones
equivalentes a partir de tablas, lo cual quiere decir que entienden el todo como la suma
de sus partes, en la figura 19, el 100% de los estudiantes desarrollaron las tareas sin
dificultad.
100%
0%0%
NIVEL MEDIO NIVEL BAJO NIVEL MUY BAJO
Page 65
65
Figura 19. Resultados Situación 2, Actividad 1, tarea 5. Fuente: elaborado por el autor
Situación 2, Actividad 1 – Tarea 6: En esta tarea algunas de las respuestas dadas por los
estudiantes se expresan a continuación
La b
La respuesta correcta es la b
Puede ser la c, pero no, es la b.
En esta tarea un equipo de trabajo (17%) presentó un cierto grado de dificultad, debido a
que, en el momento de realizar la tarea se le notó inseguridad, lo que deja claro que,
aunque en tareas anteriores manifestó una buena apropiación tanto conceptual como
procedimental, no tuvo la capacidad de implementar conceptos anteriormente
manifestados. En la figura 20, el 83% de los equipos de trabajo desarrollo la tarea sin
problema.
Figura 20. Resultados Situación 2, Actividad 1, tarea 6. Fuente: elaborado por el autor
100%
0%0%
NIVEL MEDIO NIVEL BAJO NIVEL MUY BAJO
83%
17%
0%
NIVEL MEDIO NIVEL BAJO NIVEL MUY BAJO
Page 66
66
Situación 2, Actividad 1 – Tarea 7: En esta tarea algunas de las respuestas dadas por los
estudiantes se expresan a continuación
3
30=
3
5=
9
15
1
30=
3
3=
9
15
1
4=
8
32
2
4=
8
32
1
2=
3
6
3
3=
9
9=
20
20
En particular, esta tarea no fue bien entendida por los estudiantes, por lo que se presentó
gran dificultad en su desarrollo, pues en la figura 21, el 58% de los equipos de trabajo
tuvo algún conflicto para su realización, como lo muestran algunos de los ejemplos a
respuestas dadas, por otro lado, el 42% no tuvo ninguna dificultad en describir el método
que usaron y en terminar la tarea.
Sin embargo, al final todos los equipos de trabajo pudieron completar, mediante la
aplicación de operaciones, como el producto, para encontrar fracciones equivalentes.
Figura 21. Resultados Situación 2, Actividad 1, tarea 7. Fuente: elaborado por el autor
42%
58%
0%
NIVEL MEDIO NIVEL BAJO NIVEL MUY BAJO
Page 67
67
Teniendo en cuenta matriz de registro de la información de la situación 3 con sus
actividades (ver anexo N), se hace el siguiente análisis descriptivo porcentual.
Situación 3, Actividad 1 – Tarea 1: Algunas de las respuestas dadas por los equipos de
trabajo se muestran a continuación:
El triángulo A es 1
4 del todo.
El triángulo C es 1
8 del todo
El triángulo D es 1
16 del todo
El paralelogramo es 1
8 del todo
El cuadrado representa 1
8 del todo
Se necesitan 16 triángulos Pequeños para formar todo el Tangram.
Aunque con dificultad en algunos equipos de trabajo, en la figura 22, el 17%, tuvo
problemas, sobre todo en encontrar la fracción que correspondía a cada una de las
partes del tangram, sin embargo, el 83% definieron características de acuerdo a su
tamaño, es decir, que se tenían nociones previas a la semejanza entre figuras
geométricas para hacer construcciones que posibilitaron observar figuras equivalentes y
con ellas posteriormente hacer notar las relaciones de orden.
Lo interesante de esta tarea fue que los equipos de trabajo que pudieron desarrollar la
actividad sin ningún conflicto, estuvieron atentos en la colaboración con los compañeros
que aún no podían realizar la actividad, mostrando así, un trabajo colaborativo.
Figura 22. Resultados Situación 3, Actividad 1, tarea 1. Fuente: elaborado por el autor
83%
17%
0%
NIVEL MEDIO NIVEL BAJO NIVEL MUY BAJO
Page 68
68
Situación 3, Actividad 1 – Tarea 2: Algunas de las respuestas dadas por los equipos de
trabajo se muestran a continuación:
En la figura 23, el 50% de los equipos de trabajo mostraron dificultad para encontrar
como relacionar las superficies, sin embargo, luego de buscar y de apoyarse en el otro
50% de los equipos de trabajo que, si habían podido desarrollar la tarea, encontraron que
superponiendo las figuras podían definir algunas relaciones y así fue como obtuvieron las
conclusiones requeridas.
Figura 23. Resultados Situación 3, Actividad 1, tarea 2. Fuente: elaborado por el autor
50%50%
0%
NIVEL MEDIO NIVEL BAJO NIVEL MUY BAJO
= 1
16
1
16
1
8
1
16
1
16
= 1
8
1
16
1
16
= 1
8
Page 69
69
Situación 3, Actividad 1 – Tarea 3: Algunas de las respuestas dadas por los equipos de
trabajo se muestran a continuación:
1
16+
1
16+
1
8=
1
4
2
16+
1
8=
1
4
El resultado de esta tarea fue consecuente con el desarrollo del anterior, ya que permitía
tener un manejo sobre los conceptos ya mencionados. En la figura 24, el 67% de los
equipos pudo desarrollar de la tarea, sobre las relaciones que debían encontrarse entre
las superficies.
Figura 24. Resultados Situación 3, Actividad 1, tarea 3. Fuente: elaborado por el autor
Situación 3, Actividad 1 – Tarea 4: Algunas de las respuestas dadas por los equipos de
trabajo se muestran a continuación:
1
8+
1
8+
1
8+
1
8=
4
8=
1
2
En la superficie del cuadrado el triángulo B
Representa 1
2 de la superficie
4
8 representa la misma cantidad que
2
4 y
1
2
67%
33%
0%
NIVEL MEDIO NIVEL BAJO NIVEL MUY BAJO
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70
En la figura 25, el 44% de los equipos tuvo al menos una dificultad en el desarrollo de la
tarea, sobre todo en las relaciones que debían encontrarse entre las superficies.
Figura 25. Resultados Situación 3, Actividad 1, tarea 4. Fuente: elaborado por el autor
Situación 3, Actividad 1 – Tarea 5: Algunas de las respuestas dadas por los equipos de
trabajo se muestran a continuación:
2
8𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛 𝑎
1
4
1
8𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛 𝑎
2
16
1
2𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛 𝑎
2
4
En la figura 26, el 50% de los equipos de trabajo tuvo dificultad para el desarrollo de esta
actividad, explícitamente, en la realización de sumas, sin embargo, el otro 50% que
desarrollo la tarea, hizo su trabajo de colaboración con los demás equipos y finalmente
los estudiantes comprendieron como se podían sumar fracciones y a su vez, la forma de
usar la superposición de figuras para encontrar fracciones equivalentes.
Situación 3, Actividad 2 – Tarea 1, 2 y 3: Algunas de las respuestas dadas por los
equipos de trabajo se muestran a continuación:
4
16 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜
56%
44%
0%
NIVEL MEDIO NIVEL BAJO NIVEL MUY BAJO
Page 71
71
𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
4 veces cabe el cuadrado en el rectángulo
El cuadrado sombreado representa 1
4
Figura 26. Resultados Situación 3, Actividad 1, tarea 5. Fuente: elaborado por el autor
Estas tareas fueron aún más complicadas para los estudiantes que las del tangram,
según la figura 27, el 83% de los equipos tuvo complicaciones para su desarrollo, dado
que, la forma como estaban planteadas las figuras se salían del contexto desarrollado
hasta el momento, no podían identificar cómo hacer para ver cuántas veces estaba el
cuadrado en el rectángulo, sin embargo, para lograr una apropiación pertinente sobre
esta nueva tarea se tuvo que recurrir a figuras congruentes y semejantes, de tal forma
que ellos notaran las equivalencias entre las áreas de dichos rectángulos, triángulos y
cuadrados. En consecuencia, luego de diferentes explicaciones e intentos por parte de
los estudiantes lograron ver la relación que podía encontrarse y terminar la actividad
satisfactoriamente.
Un equipo de trabajo mostró desde el inicio una apropiación muy precisa de conceptos
como, para poder representar la fracción, debo garantizar que las superficies sean
iguales, es por esto que el 17% está en un nivel medio.
Situación 3, Actividad 3 – Tarea 1, 2 y 3: Algunas de las respuestas dadas por los
equipos de trabajo se muestran a continuación:
50%50%
0%
NIVEL MEDIO NIVEL BAJO NIVEL MUY BAJO
Page 72
72
Figura 27. Resultados Situación 3, Actividad 2, tareas 1, 2 y 3. Fuente: elaborado por el autor
50
100 son verdes
Secas 30 pepitas 50
100
Para sacar un cuarto de las cien pepas de café se dividen en 4 grupos iguales de
25 y de esos 4 grupos se escoge 1 grupo para que de un cuarto.
1
4=
25
100
3
4 son 75 pepitas de café
Rojas 50%
Porque si 100 pepitas son el 100%, entonces, 50 pepitas (la mitad) representan el
50% y el 25% representarían 25 pepitas
Respecto a estas tareas, se puede notar que, en la figura 28, el 79% de los estudiantes
las desarrollaron sin dificultad, es estas se buscó que el estudiante encontrara un sentido
a la idea de porcentaje y su relación con las fracciones.
El 21% de los equipos de trabajo mostro dificultad para identificar la fracción como
operador, sin embargo, luego de algunas preguntas orientadoras pudieron terminar la
actividad.
17%
83%
0%
NIVEL MEDIO NIVEL BAJO NIVEL MUY BAJO
Page 73
73
Figura 28. Resultados Situación 3, Actividad 3, tareas 1, 2 y 3. Fuente: elaborado por el autor
Situación 3, Actividad 3 – Tarea 4: Algunas de las respuestas dadas por los equipos de
trabajo se muestran a continuación:
20% de 35 pepas es 7 pepas
50% es aproximadamente 17
20% de 35 pepas es 15
Con esta tarea se buscó que los estudiantes aplicaran los conocimientos ya adquiridos
respecto a la determinación de porcentajes de forma rápida y con sentido.
En la figura 29, el 67% de los estudiantes tuvo algunas dificultades en el desarrollo de la
actividad, dado que, al inicio de la actividad los estudiantes no encontraban una forma de
iniciar el ejercicio, sin embargo, luego de empezar el trabajo con la aplicación móvil los
estudiantes se mostraron entusiasmados y empezaron a entender mejor las situaciones y
a identificar formas para determinar porcentajes. Por otro lado, el 33% de los estudiantes
desarrollo sin dificultad las tareas planteadas, y reforzaron sus conocimientos con el
trabajo desarrollado en la aplicación.
79%
21%
0%
NIVEL MEDIO NIVEL BAJO NIVEL MUY BAJO
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74
Figura 29. Resultados Situación 3, Actividad 3, tareas 4.
Fuente: elaborado por el autor
Teniendo en cuenta matriz de registro de la información de la situación 4 con sus
actividades (ver anexo O), se hace el siguiente análisis descriptivo porcentual.
Situación 4, Actividad 1 – Tarea 1: Algunas de las respuestas dadas por los equipos de
trabajo se muestran a continuación:
Esta actividad permitió mostrar con mayor claridad la apropiación de todos los conceptos
hasta el momento desarrollados, ya que era una actividad en la que se colocaba a
prueba muchas competencias contenidas dentro de sus propios procesos cognitivos,
interpretativos y argumentativos
En la figura 30, el 78% de los equipos de trabajo se les dificultaba sumar fracciones, a
otros relacionar la gráfica que les aparecía con la representación numérica, así mismo
como hacer operaciones mentales sencillas, también como para encontrar fracciones
equivalentes.
33%
67%
0%
NIVEL MEDIO NIVEL BAJO NIVEL MUY BAJO
1
2
1
3
Page 75
75
Figura 30. Resultados Situación 4, Actividad 1, tareas 1. Fuente: elaborado por el autor
Teniendo en cuenta matriz de registro de la información de la situación 5 con sus
actividades (ver anexo P), se hace el siguiente análisis descriptivo porcentual.
Situación 5, Actividad 1 – Tarea 1: Algunas de las respuestas dadas por los equipos de
trabajo se muestran a continuación:
El denominador es el número de partes es que se debe partir la unidad
Para representar una fracción es necesarios que las superficies sean congruentes
Puedo hallar fracciones equivalente multiplicando por el mismo número el
numerador y el denominador
Con esta tarea se buscó consolidar algunos de los conceptos trabajados en las
anteriores actividades, sin embargo, esta vez se hizo uso de la tecnología y se encontró
buena actitud de los estudiantes en el desarrollo de las tareas. En la figura 31, el 87% de
22%
78%
0%
NIVEL MEDIO NIVEL BAJO NIVEL MUY BAJO
1
3
1
2
5
6
Page 76
76
los equipos de trabajo desarrollo las actividades sin dificultad y mostraban una
apropiación adecuada de los conceptos, mientras que el 13% tuvo dificultad en el
desarrollo de la última tarea en específico, dado que, implicaba un nivel de abstracción
elevado.
Figura 31. Resultados Situación 5, Actividad 1, tareas 1. Fuente: elaborado por el autor
4.2 Comparativo pre test y pos test grupo experimental
Con base en las categorías previamente establecidas, así:
Conceptos básicos de las fracciones partiendo de su interpretación como parte de
un todo (Preguntas 1 a 4)
Fracciones en procesos de medición (pregunta 5)
Relaciones de orden y fracciones equivalentes en problemas de aplicación
(Preguntas 6-9)
Fracciones en su interpretación de porcentajes (Pregunta 10)
Se muestra el siguiente análisis de información respecto al pre tes y pos test en el grupo
experimental.
87%
13% 0%
NIVEL MEDIO NIVEL BAJO NIVEL MUY BAJO
Page 77
77
Respecto a la categoría número uno, en la cual se buscó evaluar los conocimientos
básicos de los estudiantes en lo que respecta a la fracción desde su interpretación como
parte de un todo, teniendo en cuenta fracciones propias e impropia, se concluye que,
hubo una mejoría considerable con la intervención en el aula de clase, dado que, en la
figura 32, en el pre test, el 56% de los educandos respondían de manera correcta a las
preguntas de esta categoría, mientras que con la aplicación del pos test se pasa a un
79%.
Figura 32. Comparativo Pre Test y Pos Test, Categoría 1. Grupo Experimental. Fuente: elaborado por el autor
Con las dos preguntas iniciales se buscó que los estudiantes se enfrentaran a una
situación en la que ellos mismos debían realizar las particiones iguales para poder definir
la fracción que la representaba, así pues, no se limitó el problema a simplemente contar
cuantas estaban pintadas. De igual forma, para responder de manera correcta estas
preguntas el estudiante debía tener claro el significado del numerador y el denominador
en una fracción.
La intención principal de la pregunta 3 es que los estudiantes piensen en las diversas
formas que puede haber para construir la unidad.
En el interrogante 4 se trata de indagar acerca de la noción y la capacidad del estudiante
para representar la unidad, pero partiendo de una fracción impropia, es decir, una
0%
20%
40%
60%
80%
Categoría 1
56%
79%
Comparativo Pre Test y Post Test, Grupo Experimental.
Pre Test
Pos Test
Page 78
78
fracción y un gráfico que representa más de una unidad, y así, de manera implícita
entienda las fracciones como una forma de medir magnitudes y no como un numero sin
sentido.
En la figura 33, el 61% de los estudiantes responde de manera correcta la pregunta
número 1 en el pre test, mientras que en el pos test es el 94% de los estudiantes, un
comportamiento similar se muestra en las demás preguntas.
Figura 33. Categoría 1, Comparativo Pregunta a pregunta Pre Test y Pos Test Fuente: elaborado por el autor
En la figura 34, se evidencian algunas de las respuestas dadas por los estudiantes en el
momento antes de la intervención en el aula de clase y después, respectivamente. En
ella se señala que, antes, algunos estudiantes se les dificultaban entender que la unidad
debía partirse en superficies iguales, mientras que, después, hacen las particiones y
justifican su elección.
En la pregunta 2, los porcentajes de pre test y pos test son, respectivamente, 67% y
89%, que muestra un aumento significativo en las respuestas correctas.
En la figura 35, se evidencia algunas de las respuestas dadas por los estudiantes en
ambos momentos.
0%
20%
40%
60%
80%
100%
1 2 3 4
61% 67%
83%
11%
94% 89% 94%
39%
Comparativo pregunta a pregunta Pre Test y Post Test, Categoria 1.
Pre Test Pos Test
Page 79
79
Figura 34. Respuesta a pregunta 1, en pre test y post test. Fuente: elaborado por el autor
Figura 35. Respuesta a pregunta 2, en pre test y post test. Fuente: Elaborado por el autor
En el caso de la pregunta 3 el porcentaje de respuestas correctas es, respectivamente,
83% y 94%, algunas respuestas se muestran en la figura 36.
En la pregunta número 4, se pasó de un 11% a un 39%, implica que la intervención en el
aula de clase, funcionó, aunque no para la totalidad de estudiantes, en la figura 37, se
evidencian algunas respuestas, en conclusión, antes los estudiantes tenían mayor
dificultad en la comprensión de que el “todo” se conserva, aun cuando se ha divido en
partes con igual superficie; mientras que, después se mostró una evidente mejoría.
En la figura 38 se muestran los resultados obtenidos en la segunda categoría definida
como las fracciones en contextos de medición.
Page 80
80
Figura 36. Respuesta a pregunta 3, en pre test y post test. Fuente: elaborado por el autor
Figura 37. Respuesta a pregunta 4, en pre test y post test. Fuente: elaborado por el autor
El objetivo principal de esta categoría fue identificar si el estudiante tiene claro que las
fracciones sirven para medir longitudes, entendiendo esta interpretación como una forma
para evitar dificultades en el tratamiento de fracciones mayores que la unidad (impropias)
y con las operaciones básicas entre fracciones. En la figura 38, en el pre test el
porcentaje de respuestas correctas es el 11%, y en el pos test el 67%, lo que indica que
los estudiantes mejoraron sus desempeños una vez realizada la intervención en el aula
de clase, usando la fracción de mejor manera para medir longitudes a partir de una
unidad.
Page 81
81
Figura 38. Comparativo Pre Test y Pos Test, Categoría 2. Grupo Experimental. Fuente: elaborado por el autor
Un ejemplo de respuestas dadas por los educandos en el pre test y pos test se muestra
en la figura 39.
Figura 39. Respuesta a pregunta 5, en pre test y post test. Fuente: elaborado por el autor
En la figura 40, están los resultados de la categoría 3. Esta categoría es clave, pues se
trabajaron las relaciones de orden y las fracciones equivalentes, conceptos esenciales
para mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje de las operaciones básicas con
fracciones y además para que el estudiante vea una fracción como un número normal, no
como un extraño con el que es más difícil realizar operaciones.
0%
20%
40%
60%
80%
Categoría 2
11%
67%
Comparativo Pre Test y Pos Test, Categoría 2. Grupo Experimental.
Pre Test
Pos Test
Page 82
82
En la figura 40, se pasó de un 18% a un 40%, una notable mejoría en la comprensión del
orden de las fracciones.
Figura 40. Comparativo Pre Test y Pos Test, Categoría 3. Grupo Experimental Fuente: elaborado por el autor
Teniendo en cuenta la figura 41 se tiene que, en las preguntas número 6 y 7 se buscó
identificar la idea que los estudiantes tenían sobre fracciones equivalentes para
solucionar problemas de contexto, o a su vez si eran capaces de desarrollar un algoritmo
por ellos mismos para dar respuesta a las preguntas.
En el caso de la pregunta 6, se pasó de un 33% a un 56%, evidenciando una mejoría considerable.
Figura 41. Categoría 3, Comparativo Pregunta a pregunta Pre Test y Pos Test
Fuente: elaborado por el autor
En la figura 42 se muestran ejemplos de respuestas dadas en el pre test y pos test,
viéndolo de izquierda a derecha.
0%
20%
40%
60%
Categoria 3
18%
40%
Comparativo Pre Test y Pos Test, Categoría 3. Grupo Experimental.
Pre Test
Pos Test
0%
20%
40%
60%
6 7 8 9
33%22%
6%11%
56%
28%
56%
22%
Comparativo Pre Test y Post Test, Categoria 3.
Pre Test Pos Test
Page 83
83
Figura 42. Respuesta a pregunta 6, en pre test y post test. Fuente: elaborado por el autor
En la pregunta 7, se pasó de un 22% a un 28%, evidenciando una mejoría no tan alta. En
la figura 43 se muestran ejemplos de respuestas dadas en el pre test y pos test, de
izquierda a derecha.
Figura 43. Respuesta a pregunta 7, en pre test y post test. Fuente: elaborado por el autor
Respecto a la pregunta número 8, antes solo un 6% de los estudiantes respondían de
manera correcta y después un 56%, lo que indica que las relaciones de orden de las
fracciones mejoraron, inclusive algunos estudiantes hicieron uso de las fracciones
impropias para hacer notar estas relaciones, como se muestra en la figura 44.
Page 84
84
Figura 44. Respuesta a pregunta 8, en pre test y post test. Fuente: elaborado por el autor
Los porcentajes de pre test y pos test de la pregunta número 9, son respectivamente
11% y 22%. Se evidencia una leve mejoraría en este ítem, dado que, para su solución se
requería un nivel de abstracción alto. Algunas respuestas se muestran en la figura 45.
Figura 45. Respuesta a pregunta 9, en pre test y post test. Fuente: elaborado por el autor
Finalmente, los resultados de la categoría 4 se exponen en la figura 46, referida a las
fracciones en su interpretación como porcentaje.
Page 85
85
Los resultados revelan que, se pasó de un 50% de respuestas correctas a un 61%,
implica que hubo mejoría en la interpretación de situaciones de aplicación con el uso de
porcentajes.
Figura 46. Comparativo Pre Test y Pos Test, Categoría 4. Grupo Experimental. Fuente: elaborado por el autor
En la figura 47, se evidencian algunos ejemplos.
Figura 47. Respuesta a pregunta 10, en pre test y post test. Fuente: elaborado por el autor
0%
20%
40%
60%
80%
Categoría 4
50%61%
Comparativo Pre Test y Pos Test, Categoría 4. Grupo Experimental.
Pre Test
Pos Test
Page 86
86
4.3 Comparativo grupo experimental y grupo de control
Teniendo en cuenta las 4 categorías establecidas se realiza el análisis de la información
de la siguiente forma.
La figura 48 expone que, en la categoría 1, en el grupo experimental hay un avance de
23% tras la intervención en el aula de clase, mientras que en el grupo de control el
progreso fue de solo el 2%.
Figura 48. Comparativo Grupo Experimental y Grupo de Control, Categoría 1. Fuente: elaborado por el autor
La figura 49 presenta que, en la categoría 2, el grupo experimental tuvo una evolución de
56% mientras que el grupo de control avanzo en un 4%. Se puede concluir que la
aplicación de la estrategia en el grupo experimental funciono considerablemente,
respecto al grupo de control.
0%
20%
40%
60%
80%
Grupo Experimental Grupo de Control
56%50%
79%
52%
Comparativo Grupo Experimental y Grupo de Control, Categoria 1.
Pre Test Pos Test
Page 87
87
Figura 49. Comparativo Grupo Experimental y Grupo de Control, Categoría 2. Fuente: elaborado por el autor
En relación a la categoría 3, la figura 50 demuestra que, el grupo experimental avanzo un
22% mientras que el grupo de control un 4%, en consecuencia, se puede afirmar que la
gestión de las tareas en el aula clase sirvió para mejorar la compresión del concepto de
fracción en lo que respecta a las relaciones de orden.
Figura 50. Comparativo Grupo Experimental y Grupo de Control, Categoría 3 Fuente: elaborado por el autor
0%
20%
40%
60%
80%
Grupo Experimental Grupo de Control
11% 23%
67%
27%
Comparativo Grupo Experimental y Grupo de Control, Categoria 2.
Pre Test Pos Test
0%
10%
20%
30%
40%
50%
Grupo Experimental Grupo de Control
18%11%
40%
15%
Comparativo Grupo Experimental y Grupo de Control, Categoria 3.
Pre Test Pos Test
Page 88
88
Para el caso de la categoría 4, el avance del grupo experimental fue de 11% mientras
que en el grupo de control hubo un retroceso de 4%, esto quizás se deba a que el grupo
de control estuvo durante el tercer periodo académico (tiempo en que se desarrolla esta
temática, según plan de estudios institucional) sin docente durante un tiempo y luego
tuvo algunos cambios bruscos de docentes. Tras realizar un dialogo con el docente
encargado en el momento, este manifiesta, que esta quedado en programación, además
que ha tratado de abarcar en muy poco tiempo mucha temática.
Figura 51. Comparativo Grupo Experimental y Grupo de Control, Categoría 4. Fuente: elaborado por el autor
0%
20%
40%
60%
80%
Grupo Experimental Grupo de Control
50%
18%
61%
14%
Comparativo Grupo Experimental y Grupo de Control, Categoria 4.
Pre Test Pos Test
Page 89
89
5. Conclusiones y recomendaciones
5.1 Conclusiones
Tras realizar la comparación de los resultados obtenidos en el pre test y el pos test, de
acuerdo a las categorías establecidas, se evidencia un avance considerable, por lo cual
se concluye que, el uso de material manipulativo y recursos TIC beneficia la comprensión
del concepto de fracción.
El hecho de incorporar materiales manipulativos y recursos TIC para mejorar la
comprensión del concepto de fracción en estudiantes de grado séptimo, facilitan una
mayor apropiación de contenidos, pero de manera más contextualizada, ya que las
distintas actividades posibilitan cambiar los distintos ambientes de aprendizaje,
movilizando de esta manera un mayor compromiso, atención y motivación en el
desarrollo de competencias matemáticas.
El uso de situaciones problema fomenta el desarrollo de competencias matemáticas,
sobre todo en lo que se refiere a los procesos de argumentación, de aplicación de
conocimientos en diferentes contextos y de proposición de alternativas de solución, en
consecuencia, se deben involucrar las situaciones problema en el desarrollo de
actividades de aprendizaje, no solo de matemáticas, sino de todas las áreas.
Tras el uso de recursos manipulativos en las actividades de aprendizaje desarrolladas se
evidencio motivación al inicio de cada tarea, sin embargo, en la medida que se
aumentaba el nivel de complejidad en las preguntas algunos equipos de trabajo se
dispersaban. Mientras que cuando se usó la tecnología se notó un impacto mayor, dada
la motivación constante que mostraban los estudiantes, y también la interacción de los
educandos en los mismos equipos de trabajo ayudándose entre ellos para la realización
de las tareas.
La planeación y ejecución de las actividades de aprendizaje fundamentada en la solución
de situaciones problema, permitió desarrollar en los estudiantes procesos de
pensamiento que los llevaron a comprender de manera implícita conceptos y significados
Page 90
90
de la fracción, que demostraron cuando debían formalizar procesos, pero reconocían de
donde salían y no precisamente solo memorizando algoritmos.
El desarrollo de las actividades de aprendizaje propuestas, permitió fortalecer el trabajo
en equipo, y no solo de los equipos de trabajo formados, sino también del grupo en
general, dado que, cuando un equipo de trabajo tenía dificultades para el desarrollo de
alguna tarea, otro equipo que ya la hubiese comprendido, explicaba a sus compañeros,
de esta manera la mayoría de estudiantes se apropiaban de las tareas matemáticas y se
motivaban a solucionarlas.
5.2 Recomendaciones
Teniendo en cuenta los resultados obtenidos con el desarrollo de esta propuesta, se
sugiere aplicar este modelo, no solo en la secundaria, sino desde la básica primaria para
el tratamiento de las fracciones.
El uso de material manipulativo y recursos tecnológicos puede ser utilizado en diferentes
áreas de conocimiento para el fortalecimiento de competencias, en consecuencia, se
recomienda a las instituciones educativas hacer uso de estos recursos físicos en los
procesos de enseñanza y aprendizaje.
Esta estrategia puede ser analizada en un periodo de tiempo mayor e incluyendo
diferentes contenidos matemáticos con los cuales se pueda probar un mejoramiento en
los resultados de pruebas internas y externas.
Page 91
91
Bibliografía
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academicos/posgrados/maestria-en-ensenanza-de-las-ciencias-exactas-y-
naturales/
Page 93
93
A. Anexo: Pre test y Pos test
Page 99
99
B. Anexo: Situación 1, Actividad 1
Page 100
100
C. Anexo: Situación 1, Actividad 2
Page 101
101
D. Anexo: Situación 2, Actividad 1
Page 102
102
E. Anexo: Situación 2, Actividad 2
Page 103
103
F. Anexo: Situación 3, Actividad 1
Page 104
104
G. Anexo: Situación 3, Actividad 2
Page 105
105
H. Anexo: Situación 3, Actividad 3
Page 106
106
I. Anexo: Situación 4, Actividad 1
Page 110
110
J. Anexo: Situación 5, Actividad 1
Page 111
111
K. Anexo: Fotografías evidencias de desarrollos de guías de aprendizaje
Evidencias de desarrollo de situación 1, actividad uno.
Evidencias de desarrollo de situación 1, actividad dos.
Page 112
112
Evidencias de desarrollo de situación 2, actividad uno.
Evidencias de desarrollo de situación 2, actividad dos.
Page 113
113
Evidencias de desarrollo de situación 3, actividad uno.
Evidencias de desarrollo de situación 3, actividad dos.
Page 114
114
Evidencias de desarrollo de situación 3, actividad tres.
Evidencias de desarrollo de situación 4, actividad uno.
Page 115
115
Evidencias de desarrollo de situación 5, actividad uno.
Page 116
116
L. Anexo: Matriz para el registro de la situación 1 con sus 2 actividades.
Matriz para el registro de la situación 1 con sus 2 actividades, desarrolladas en el aula de
clase
Nombre de la situación 1: "La fracción como relación parte todo y medida"
Descripción de capacidades a
fortalecer en los estudiantes:
Movilizar el concepto de fracción como relación parte todo y la
medida a través de la comparación de diferentes regletas teniendo
en cuenta la cantidad de longitud y expresando estas relaciones en
forma fraccionaria (unidad continua).
Convenciones
1: Desarrolló sin dificultad la tarea
2: Desarrolló con algún nivel de dificultad la
tarea
3: No logró desarrollar la tarea
Descripción
de actividad
Descripción de
tareas matemáticas
Evidencias de
aprendizaje
Equipos
E1 E2 E3 E4 E5 E6
Valoración al desempeño
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
ACTIVIDAD
UNO
Se cortan tiras
de papel de la
misma medida
para todos los
estudiantes,
teniendo
cuidado de
que cada uno
manejara
diferentes
colores, luego
cada unidad
recibe un
tratamiento
especial así:
La primera
unidad se deja
sin cortar, la
T1: Escriba las
semejanzas y
diferencias entre
cada una de las
partes que se
obtienen regletas
I1: Identifica que cada
parte es igual
I2: Argumenta que la
regleta se puede dividir
de n maneras
I3: Identifica que entre
más se divida la regleta
más partes iguales
tiene.
T2: Al hacer las
divisiones de las
regletas, ¿Cuantas
partes de la misma
longitud de medida
resultaron?
I1: Identifica la cantidad
de las partes iguales de
cada regleta
I2: Identifica la regleta
como la composición de
todas las partes
T3: ¿Es posible I1: Compara partes de
Page 117
117
segunda
unidad se
divide en dos
partes iguales,
la tercera en
tres partes
iguales, la
cuarta unidad
en cuatro
partes iguales
y así
sucesivamente
hasta llegar a
quince partes
iguales (en
éste caso),
teniendo
especial
cuidado de
intercalar
colores.
Mientras se
hace el corte
de material, se
procede al
análisis de las
partes y luego
a marcar cada
una de ellas
con el símbolo
numérico que
representan es
decir: 1/2, 1/3,
1/4, 1/7 entre
otros.
formar unidades con
diferentes partes de
las resultantes? Si es
así, construya
mínimo cinco
unidades diferentes y
explique la forma
como se constituyen.
distintas regletas
I2: Establece relaciones
de equivalencia entre
fracciones
T4: Represente
numéricamente estas
construcciones
I1: Representa
numéricamente partes y
conjuntos de partes de
una regleta (y
viceversa)
I2: Explica el significado
del numerador y
denominador en una
fracción utilizando las
partes de la regleta
ACTIVIDAD
DOS
Recortar
libremente
párrafos
pequeños de
periódico para
leerlos y
responder a
preguntas.
Haciendo uso
de un dado
para escoger
algunas
características.
T1: Tome como
unidad el número de
palabras del párrafo
¿Cuántas palabras
tiene el párrafo?
I1: Identifica que el
párrafo como una
unidad conformada por
partes
T2: ¿Cuántas
palabras del párrafo
llevan tilde? ¿Qué
fracción representan
las palabras que
llevan tilde con
relación al total de
palabras? Escríbela.
I1: Propone distintas
formas de particionar el
párrafo
T3: Establece la
Page 118
118
misma relación con
palabras que
empiezan por la letra
a. Con palabras que
son nombres propios.
Con palabras que
terminan en o.
I1: Representa
numéricamente cada
parte de la unidad
T4: Inventa nuevas
relaciones entre
palabras con alguna
característica y el
total de palabras del
trozo de enunciado.
I2: Explica el significado
del numerador y
denominador en una
fracción utilizando las
partes de la regleta
T5: Escribe para
cada caso la fracción
que representan las
palabras especiales y
el total de palabras
del párrafo.
T6: Indica cómo se
altera la fracción si
se añaden más
palabras al párrafo,
otro párrafo, por
ejemplo. Discute esta
circunstancia con tu
profesor.
I1: Explica las
implicaciones que
tienen las partes en
cambiar la unidad y
viceversa
T7: Establece la
diferencia entre las
fracciones obtenidas
con las regletas y las
fracciones obtenidas
por este medio
I1: Explica el significado
de una fracción en cada
una de las actividades
realizadas.
T8: Describa cómo
son las unidades en
cada caso y como
son las partes
I1: Argumenta las
relaciones entre las
partes y las unidades en
cada una de las
actividades realizadas.
Page 119
119
M. Anexo: Matriz para el registro de la situación 2 con sus actividades.
Matriz para el registro de la situación 2 con sus actividades
Nombre de la situación 2: "Construyamos fracciones equivalentes"
Descripción de capacidades a fortalecer
en los estudiantes:
Determinar conjuntos de fracciones equivalentes utilizando las
regletas.
Convenciones
1: Desarrolló sin dificultad la tarea
2: Desarrolló con algún nivel de dificultad la
tarea
3: No logró desarrollar la tarea
Descripción de
actividad
Descripción de tareas
matemáticas
Evidencias de
aprendizaje
Equipos
E1 E2 E3 E4 E5 E6
Valoración al desempeño
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
ACTIVIDAD UNO
Esta actividad se
desarrollará con las
tiras de papel que
se recortaron en la
primera actividad
de la situación uno.
T1: Organice las regletas
y observe las partes que
coinciden en longitud
I1: Establece
relaciones entre
partes de un
unidad
I2: Identifica
cantidades de
partes que
representan la
misma cantidad de
fracción
I3: Reconoce
fracciones que
representan la
misma cantidad
como fracciones
equivalentes
Page 120
120
T2: Encuentra por lo
menos dos casos de
fracciones equivalentes
para el caso de las
relaciones de las palabras
de los párrafos de
periódico
I1: Identifica partes
y conjuntos de
partes que me
representen la
misma fracción del
párrafo
I2: Sustenta
porqué dos
fracciones son
equivalentes
T3: Utilizando las regletas
para hallar como mínimo
tres fracciones
equivalentes a: 1/3= ;
6/12= ;
3/2= ; 2/4= ; 2/5=
I1: Propone y
sustenta
fracciones
equivalentes a una
dada, utilizando
las regletas
T4: Observe los
numeradores de cada una
de las secuencias de
fracciones equivalentes
que ha obtenido. ¿Cómo
son éstos números entre
sí? Teniendo en cuenta lo
anterior, si el numerador
en el primer caso es 100,
¿Cuál será el
denominador?
En el caso de 2/5 cuando
una fracción equivalente
tiene denominador 250,
¿Cuál es su numerador?
¿Cuál puede ser un
procedimiento para
obtener fracciones
equivalentes en cualquier
momento?
I1: Explica la
secuencia de los
numeradores en
un conjunto
ordenado de
fracciones
equivalentes
I2: Explica la
secuencia de los
denominadores en
un conjunto
ordenado de
fracciones
equivalentes
I3: Explica algunos
procedimientos
para obtener
fracciones
equivalentes (Al
menos dos)
T5: En la tabla se está
representando 2/3 en la
misma tabla, representa
dos fracciones
equivalentes a ésta.
I1: Representa
gráficamente
fracciones
equivalentes
explicando las
relaciones
existentes entre
Page 121
121
ellas.
T6: Selecciona la
representación de una
fracción gráficas dadas
I1: Compara e
identifica
fracciones
equivalentes en
representación
gráfica.
T7: Escriba el término que
falta para obtener
fracciones equivalentes
I1: Identifica el
término que falta
para obtener dos
fracciones
equivalentes
I2: Explica
diferentes
procedimientos
para obtener el
número que falta
en la igualdad de
dos fracciones.
Page 122
122
N. Anexo: Matriz para el registro de la situación 3 con sus actividades.
Matriz para el registro de la situación 3 con sus actividades, desarrolladas en el aula de
clase
Nombre de la situación 3: "Relacionando significados de la fracción"
Descripción de capacidades a
fortalecer en los estudiantes:
Establecer relaciones de orden entre fracciones con el uso del tangram
e interpretar las fracciones como un porcentaje haciendo uso de
pepitas de café
Convenciones
1: Desarrolló sin dificultad la tarea
2: Desarrolló con algún nivel de dificultad la tarea
3: No logró desarrollar la tarea
Descripción de
actividad
Descripción
de tareas
matemáticas
Evidencias de
aprendizaje
Estudiantes
E1 E2 E3 E4 E5 E6
Valoración al desempeño
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
ACTIVIDAD UNO
Construcción del
Tangram Chino. Con
la orientación del
docente se construirá
el tangram chino
doblando y separando
las figuras así. Dos
triángulos grandes A
y B
Un triángulo mediano
C
Dos triángulos
pequeños D y E
Un cuadrado F
Un paralelogramo G
a) Construya
diferentes figuras
libremente con las
T1: Compare
cantidad de
superficie de
las piezas del
tangram,
obtenga y
escriba
relaciones
existentes
entre ellas.
I1: Identifica la cantidad
de partes que
conforman el tangram
I2: Reconoce que la
cantidad de partes se
conserva así el
tangram cambie de
forma
I3: Establece
relaciones entre las
partes del tangram
T2: Indique las
figuras que
tiene la misma
superficie que
los triángulos
I1:Identifica partes y
conjuntos de partes
que me representen la
misma fracción del
tangram
Page 123
123
fichas del tangram.
b) Construya un
triángulo grande
utilizando los dos
triángulos pequeños y
el cuadrado.
c) Construya un
triángulo utilizando los
dos triángulos
pequeños y el
paralelogramo.
d) Construya un
cuadrado utilizando
los triángulos
pequeños, un
triángulo grande y el
paralelogramo.
e) Construya un
cuadrado utilizando
los triángulos
grandes.
pequeños D y
E juntos.
Establezca la
relación entre
la cantidad de
superficie de
las figuras
obtenidas y las
partes y al
contrario.
Escriba estas
relaciones
numéricamente
.
I2: Sustenta porqué
dos fracciones son
equivalentes
T3: Construya
un triángulo
grande usando
otras figuras y
establezca la
relación
numérica entre
sus superficies.
I1: Propone y sustenta
fracciones equivalentes
a una dada, utilizando
el tangram
T4: Al construir
un cuadrado
con los dos
triángulos
grandes,
¿Cómo es el
área del
cuadrado
obtenido con
relación al área
del triángulo
C?, ¿Qué
fracción de
superficie es
en relación al
triángulo B?
I1: Explica la secuencia
de los numeradores en
un conjunto ordenado
de fracciones
equivalentes
I2: Explica la secuencia
de los denominadores
en un conjunto
ordenado de fracciones
equivalentes
I3: Explica algunos
procedimientos para
obtener fracciones
equivalentes (Al menos
dos)
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124
T5: Escriba
otras
relaciones en
forma
fraccionaria
que se pueden
obtener entre
las figuras del
tangram.
Encuentre
superficies
equivalentes y
fracciones
equivalentes a
partir de esas
comparaciones
. Use la adición
para tales
efectos.
I1: Representa
simbólicamente
fracciones y obtiene
fracciones equivalentes
explicando las
relaciones existentes
entre ellas.
ACTIVIDAD 2
Observe el rectángulo
y las particiones que
tiene y compara la
cantidad de su
superficie. Responda
las siguientes
preguntas:
T1: ¿Qué
fracción del
rectángulo es
el cuadrado
sombreado?
¿Qué fracción
del cuadrado
es uno de los
triángulos
pequeños?
El cuadrado,
¿Qué fracción
es del
rectángulo?
¿Qué fracción
del rectángulo
es uno de los
triángulos
grandes?
I1: Compara partes de
una figura geométrica
T2: Los dos
triángulos
grandes, ¿Qué
fracción
representan del
rectángulo?
La parte no
sombreada,
¿Qué fracción
I1: Compara conjuntos
de partes de figuras
geométricas.
Page 125
125
representa del
rectángulo?
T3: Un
triángulo
grande ¿a qué
superficie de
otra figura
figuras
equivale?
Un cuadrado, a
¿qué figuras
equivale?:
Dos triángulos
grandes ¿a
qué figuras
equivalen?
Dos triángulos
pequeños ¿a
qué figuras
equivalen?
Un triángulo
grande y uno
pequeño, ¿a
qué figuras
equivalen?
Cuatro
triángulos
pequeños, ¿a
qué figuras
equivalen?
I1: Compone figuras
que representen
fracciones equivalentes
ACTIVIDAD 3
Teniendo en cuenta
las 100 pepitas de
café, o semillas que
trajiste, responde las
siguientes preguntas
(hablar de
T1: Clasifica las pepitas de acuerdo a sus características, y define qué fracción del total las representa.
L1:Identifica la fracción
con la comparación de
dos cantidades en este
caso la idea de cuantas
de 100, según sus
características.
Page 126
126
porcentajes es hablar
de “cuantos de 100”).
También usarás la
tableta y la aplicación
móvil “trucos de
matemáticas” para
fortalecer tus
competencias.
T2: Cuantas
pepas
representan ½
del total, y
cuantas ¼, 1/5,
y 1/10.
Representa las
siguientes
fracciones con
las pepitas de
café y diga
cuantas pepas
del total son: ¾
, 4/2, 5/10, 6/5
L1: Propone ejemplos
de cantidades que se
relacionan entre si
según correspondan a
una fracción dada.
L2:Construye y utiliza
representaciones
pictóricas para
comparar fracciones.
T3: ¿Qué
porcentaje
representa
cada cantidad
de pepitas
según sus
características
?
Explica, ¿Por
qué se puede
decir que 25
pepitas del
total,
representa el
25% de las
pepitas?
Si 30 de cada
100 pepitas
son de café
verde, ¿es lo
mismo decir
que representa
el 30%?
L1:Interpreta la relación
parte – todo y la
representa por medio
de fracciones, razones
o porcentajes
L2:Establece, justifica y
utiliza criterios para
comparar fracciones y
decimales.
Page 127
127
T4: Ahora con
35 pepitas diga
cuál es,
aproximadame
nte, el 20% ,
30%, 50%,
75% y 80% de
las pepas.
Usando la
tableta y la
aplicación
“trucos de
matemáticas”
en el ítem
entrenamiento
y luego
porcentajes,
vas a
interactuar con
la aplicación,
analizando
cómo se
pueden sacar
porcentajes de
manera rápida,
puedes
apoyarte con
tus
compañeros de
equipo de
trabajo.
Ahora si a
jugar con la
aplicación,
ingresa al
juego de nivel
básico e inicia.
El objetivo es
que puedas ir
pasando
niveles con las
tres estrellas
pintadas en su
totalidad.
L1:Construye y
compara expresiones
numéricas que
contienen decimales,
porcentajes y
fracciones.
L2: Determina las
operaciones suficientes
y necesarias para
solucionar diferentes
tipos de problemas.
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O. Anexo: Matriz para el registro de la situación 4 con sus actividades.
Matriz para el registro de la situación 4 con sus actividades, desarrolladas en el aula de
clase
Nombre de la situación 4: "Jugando y aprendiendo sobre facciones"
Descripción de capacidades a
fortalecer en los estudiantes : Establecer relaciones entre distintas formas de representación de las fracciones
Convenciones
1: Desarrolló sin dificultad la tarea
2: Desarrolló con algún nivel de dificultad la tarea
3: No logró desarrollar la tarea
Descripción de
actividad
Descripción
de tareas
matemática
s
Evidencias de
aprendizaje
Equipos
E1 E2 E3 E4 E5 E6
Valoración al desempeño
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
ACTIVIDAD
UNO
Juego del dominó:
juegan de 2 a 4
personas
Materiales: dados y 42
fichas de dominó.
Instrucciones:
a) Se reparten las
fichas según el
número de
participantes, dejando
la última para iniciar el
juego.
b) Se sortea la
iniciación del juego.
c) Se colocan las
fichas visibles a todos.
T1:
Relacione la
representaci
ón gráfica
con la
representaci
ón numérica
a que
corresponda
I1: Identifica la
representación gráfica
de una fracción
I2: identifica la
representación numérica
de una fracción
I3: Establece relaciones
entre la representación
gráfica y la
representación numérica
de una fracción
I4: Simplifica fracciones
I5: Complifica
fracciones
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d) El juego consiste
en: confrontar a cada
figura sombreada el
fraccionario
correspondiente y a
cada fraccionario, la
figura sombreada
correspondiente.
e) Como se repartieron
las fichas no se
dispone para robar,
por consiguiente, el
jugador sede el turno
las veces que sea
necesario.
f) Si cierra el juego,
gana quien tenga el
menor número de
fichas.
g) Si quedaron con
igual número de fichas
gana el que tenga la
sumatoria mayor de
fraccionarios.
I6: Adiciona fracciones
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P. Anexo: Matriz para el registro de la situación 5 con sus actividades.
Matriz para el registro de la situación 5 con sus actividades, desarrolladas en el aula de
clase
Nombre de la situación 5: "Interactuando con la tecnología para aprender más sobre las
fracciones”
Descripción de capacidades a fortalecer
en los estudiantes:
Establecer relaciones entre fracciones al relacionarlas con su
representación gráfica o pictórica.
Convenciones
1: Desarrolló sin dificultad la tarea
2: Desarrolló con algún nivel de dificultad la
tarea
3: No logró desarrollar la tarea
Descripción de actividad
Descripción de
tareas
matemáticas
Evidencias de
aprendizaje
Equipos
E1 E2 E3 E4 E5 E6
Valoración al desempeño
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
ACTIVIDAD UNO
Con base en los
conocimientos ya adquiridos
hasta el momento, ahora vas
a jugar con las fracciones
haciendo parejas de su
representación numérica y
gráfica, gráfica y gráfica,
numérica y numérica, según
sean los casos en la
aplicación móvil fraction-
matcher_es.html, instalada en
la tableta.
T1: ¿Qué
significado tiene
el numerador y
el denominador
de una
fracción?
¿Es necesario
que las
superficies de
las particiones
sean iguales?
¿Por qué?
¿Existen
I1: Identifica la
representación
gráfica de una
fracción
I2: identifica la
representación
numérica de una
fracción
I3: Identifica
fracciones
equivalente en sus
diferentes formas
de representación.
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diferentes
formas de
representar una
misma
cantidad?
¿cómo?
¿Cómo puedes
hallar
fracciones
equivalentes?
Diga por los
menos dos
formas
diferentes.
Inventa 6
fracciones
diferentes
(positivas y
negativas) y
ubícalas en una
recta numérica.
En el
rectángulo a y b
están
representadas
dos fracciones,
represéntalas
numéricamente;
en el rectángulo
c represente
gráficamente la
suma de a y b,
luego
represéntelo
numéricamente.
I4: Establece
relaciones entre la
representación
gráfica y la
representación
numérica de una
fracción