LOS OBSTCULOS QUE TIENEN LOS ALUMNOS (DE SEGUNDO GRADO DE
SECUNDARIA) CON LOS DIFERENTES REGISTROS DE REPRESENTACIN DE LA
FUNCIN LINEALTEMA DE ESTUDIO Una de las caractersticas ms
importantes de las matemticas en la actualidad, es su uso en casi
todas las reas del quehacer humano, desde las actividades
cotidianas hasta la investigacin cientfica. La matemtica educativa
estudia los procesos de transmisin, adquisicin y construccin de los
diferentes contenidos matemticos en situacin escolar, se propone
describir y explicar los fenmenos relativos a las relaciones entre
enseanza y aprendizaje del saber matemtico. Donde a partir de los
estudios realizados desde esta disciplina, se han identificado
problemas en el proceso enseanza-aprendizaje de la matemtica y se
ha contribuido adems, con propuestas para mejorar este proceso.La
Reforma Integral de la Educacin Secundaria propone transformar la
prctica educativa a fin de mejorar las oportunidades de aprendizaje
de todos los estudiantes. Para ello, reconoce que es indispensable
fortalecer la continuidad entre los niveles que conforman la
escolaridad bsica, ofertar un currculo que posibilite la formacin
de los adolescentes como ciudadanos democrticos, desarrollar al
mximo las competencias profesionales de los maestros e impulsar
procesos para que las escuelas funcionen colegiadamente y se
constituyan, efectivamente, en comunidades de aprendizaje.La
enseanza de matemticas en secundaria pretende que el alumno se
apropie de contenidos y desarrolle habilidades a partir de la
puesta en prctica del enfoque resolutivo comunicativo el alumno
desarrollara cuatro competencias: resolver problemas de manera
autnoma, comunicar informacin matemtica, manejar tcnicas
eficientemente, validar procedimientos y resultados. Por qu ensear
matemticas? Por qu aprender matemticas? La sociedad del tercer
milenio en la cual vivimos, es de cambios acelerados en el campo de
la Ciencia y tecnologa: los conocimientos, las herramientas y las
maneras de hacer y comunicar la matemtica evolucionan
constantemente; por esta razn, tanto el aprendizaje como la
enseanza de la Matemtica deben estar enfocados en el desarrollo de
las destrezas necesarias para que el estudiantado sea capaz de
resolver problemas cotidianos, a la vez que se fortalece el
pensamiento lgico y creativo.El saber Matemtica, adems de ser
satisfactorio, es extremadamente necesario para poder interactuar
con fluidez y eficacia en un mundo matematizado. La mayora de las
actividades cotidianas requieren de decisiones basadas en esta
ciencia, como por ejemplo, escoger la mejor opcin de compra de un
producto, entender los grficos de los peridicos, establecer
conexiones lgicas de razonamiento o decidir sobre las mejores
opciones de inversin, al igual que interpretar el entorno, los
objetos cotidianos, obras de arte. La necesidad del conocimiento
matemtico crece da a da al igual que su aplicacin en las ms
variadas profesiones y las destrezas ms demandadas en los lugares
de trabajo, son en el pensamiento Matemtico, crtico y en la
resolucin de problemas pues con ello, las personas que entienden y
que pueden hacer Matemtica, tienen mayores oportunidades y opciones
para decidir sobre su futuro. El tener afianzadas las destrezas con
criterio de desempeo matemtico, facilita el acceso a una gran
variedad de carreras profesionales y a varias ocupaciones que
pueden resultar muy especializadas. No todas y todos los
estudiantes, al finalizar su educacin bsica y de bachillerato,
desarrollarn las mismas destrezas y gusto por la matemtica, sin
embargo, todos deben tener las mismas oportunidades y facilidades
para aprender conceptos matemticos significativos bien entendidos y
con la profundidad necesaria para que puedan interactuar
equitativamente en su entorno.El aprender cabalmente Matemtica y el
saber transferir estos conocimientos a los diferentes mbitos de la
vida del estudiantado, adems de aportar resultados positivos en el
plano personal, genera cambios importantes en la sociedad. Siendo
la educacin el motor del desarrollo de un pas, dentro de sta, el
aprendizaje de la Matemtica es uno de los pilares ms importantes ya
que adems de enfocarse en lo cognitivo, desarrolla destrezas
importantes que se aplican da a da en todos los entornos, tales
como razonamiento, el pensamiento lgico, el pensamiento crtico, la
argumentacin fundamentada y la resolucin de problemas.Lo importante
en el aprendizaje de la matemtica es la actividad intelectual del
alumno, cuyas caractersticas tal comoPiagetlas ha descrito, son
similares a aquellas que muestran los matemticos en su actividad
creadora: el pensamiento parte de un problema, plantea hiptesis,
opera rectificaciones, hace transferencias, generalizaciones,
rupturas, etc. para construir poco a poco, conceptos y, a travs de
esta construccin de conceptos, poder edificar sus propias
estructuras intelectuales.
Los modelos lineales son muy importantes en matemticas porque
permiten resolver aquellos problemas de la ciencia que se comportan
linealmente y aproximar otros cuya modelacin es no lineal.
Generalmente se hace uso de las funciones lineales, (an cuando el
ser humano no se da cuenta), en el manejo de cifras numricas en
correspondencia con otra, debido a que se est usando subconjuntos
de los nmeros reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad
para resolver problemas de la vida diaria. Cuando se va al mercado
o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto de
determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en
pesos para as saber cunto podemos comprar; si lo llevamos al plano,
podemos escribir esta correspondencia en una ecuacin de funcin "x"
como el precio y la cantidad de producto como "y". estimacin
funcin: asosiacion de un par de conjuntos Qu es funcin? Las
funciones reales de variable real, que tienen la forma f(x)= ax + b
, son uno de los modelos lineales ms simples y representan para
estudiantes de educacin secundaria el primer contacto formal con el
concepto de funcin, en muchas de las aplicaciones importantes de
las funciones subyace la idea de variacin; la idea de una cantidad
que vara al cambiar los valores de otra. De aqu el inters mostrado
por algunos investigadores, en explicar las dificultades de
aprendizaje enfrentadas por los estudiantes para entender aquellas
nociones relacionadas con las funciones lineales.El problema que
motiva esta investigacin tiene que ver con la inquietud de saber
cules son las dificultades que presentan los estudiantes y las
concepciones que tienen acerca del tema de funcin lineal y las
formas de representacin que conocen y utilizan. Es por ello que he
elegido como tema a desarrollar Obstculos que tienen los alumnos de
segundo grado de secundaria al trabajar con los diferentes
registros de representacin de la funcin lineal ubicado en la lnea
temtica uno: Los adolescentes y sus procesos de aprendizaje donde,
se pretende poner en juego las habilidades para observar a un
pequeo grupo de estudiantes de segundo grado cuando grafican una
funcin lineal en una computadora.La lnea uno sugiere trabajar con 5
estudiantes, sin embargo yo trabaje con 7, para tal motivo, se ha
planteo como objetivo fundamental realizar un anlisis exploratorio
para identificar las dificultades que presentan los estudiantes de
educacin secundaria al trabajar con las diferentes formas de
representacin de la funcin lineal, se pretendi describir cules son
las relaciones que establecen entre las expresiones algebraicas y
su representacin grfica, adems, se da cuenta de una primer
aproximacin del proceso que siguen los estudiantes para construir
dichas relaciones.La fundamentacin de los Contenidos Bsicos Comunes
del rea de Matemtica, subraya la necesidad de garantizar que los
conceptos matemticos cobren sentido para el alumno. Entendemos por
sentido de un concepto el conjunto de problemas, propiedades,
procedimientos y formas de representacin asociados al mismo.
(sep,Los objetivos centrales de la enseanza de la Matemtica en la
escuela es hacer posible que el alumno descubra la Matemtica como
una herramienta til para interpretar y analizar fenmenos y
situaciones de diversa naturaleza. Kant nosotros le impones
nuestras ideas a la realidad En tanto esta postura instala en el
mbito escolar la elaboracin de conceptos como instrumentos
apropiados para la resolucin de problemas, se pone en primer plano
el aspecto modelizador de la actividad matemtica. Este objetivo
plantea un desafo: proponer problemas a travs de las cuales el
alumno tenga la oportunidad de seleccionar cules son las variables
que deber estudiar, de utilizar el lenguaje de la Matemtica para
establecer relaciones entre esas variables, de operar con las
relaciones establecidas, y de reinsertar los resultados en el
problema que dio origen a la situacin. A travs de este tipo de
actividad el alumno podr ir elaborando el concepto de modelo
matemtico. Genere modelos a pesar de que no sea capaz de decir que
son Durante mis estancias en las escuelas secundarias he observado
que los docentes utilizamos un aprendizaje basado en la memorizacin
de una serie de rutinas, es decir, un conjunto de algoritmos de
aplicacin inmediata. Esta forma de enseanza no es siempre la
adecuada para que los estudiantes puedan reconstruir los procesos y
tambin para usar lo que ya saben para resolver problemas despus de
cierto tiempo. Los estudiantes que adquieren un aprendizaje de este
tipo no tienen la habilidad y el manejo suficientes para resolver
problemas donde tienen que utilizar los algoritmos aprendidos pero
no de una forma mecnica.Generalmente en la enseanza de la funcin
lineal, se obtiene la grfica a travs de la expresin algebraica pero
muy rara vez se obtiene la expresin algebraica a partir de su
grfica. Dicho problema de enseanza y de aprendizaje puede consistir
en que los estudiantes no construyen una relacin entre las
expresiones verbales y las imgenes, puede ser que en la enseanza se
abordan de manera aisladas, as, se pretende describir las ideas que
tienen los estudiantes de una representacin grfica y algebraica. As
mismo, a travs de este trabajo se pretende que sirva para
contribuir al conocimiento de los obstculos por los cuales los
alumnos no logran establecer las relaciones entre las diferentes
representaciones.Definicin didctica, pretende encontrar los mejores
procesos para obtener los mejores resultados estudio de construccin
y significado Por lo general en la enseanza slo se realiza el paso
de una frmula a una representacin grfica trazando puntos aislados;
sin embargo, el proceso inverso, que presenta mayores problemas, no
se trata como debiera. Para efectuar el paso inverso la aproximacin
punto por punto, constituye un obstculo, lo mismo ocurre para la
construccin de cualquier concepto matemtico, no basta trabajar las
actividades dentro de un solo sistema de representacin, es decir,
no es suficiente graficar una funcin a partir de su expresin
algebraica, sino tambin se sugiere iniciar dando una grfica obtener
su expresin algebraica, stas actividades son las que se supone
propician la construccin de los conceptos matemticos.Para orientar
este ensayo recepcional se plantearon las siguientes preguntas:1.
Cules son las estrategias que el alumno utiliza para representar
funciones de la formas: f(x) = mx; f(x) = mx+b? 2. Qu obstculos
tienen los estudiantes de secundaria cuando representan las
funciones: f(x) = mx; f(x) = mx+b? 3. Cules obstculos tienen los
alumnos para establecer alguna relacin entre una expresin
algebraica y su grfica? 4. Cules son los obstculos que tienen los
estudiantes para modificar sus ideas previas relacionadas con las
funciones: f(x) = mx; f(x) = mx+b durante una intervencin didctica?
En resumen se pretende describir los obstculos que tienen los
estudiantes para adquirir las nociones de las funciones de las
formas f(x) = mx; f(x) = mx+bEs importante la relacin del objeto
con su espacio, el desarrollo del anlisis fue planteado en la
escuela secundaria general oficial nmero 312 Pastor Velzquez
Hernndez Turno: matutino la cual est situada en el municipio de
Zinacantepec en San Luis Mextepec sobre la vialidad Adolfo Lpez
Mateos en el turno matutino especficamente con segundo grado grupos
B y C.La escuela est en una zona semiurbana del municipio de
Zinacantepec en San Luis Mextepec. En los ltimos aos, se ha
dedicado al comercio de mariscos, acociles, no abandonando la
actividad agrcola y el comercio. En trminos generales el nivel de
escolaridad medio de las personas de la comunidad es de
preparatoria, dentro de la institucin el clima de trabajo es ameno
puesto que no hay problemas de disciplina de los estudiantes, el
respeto entre alumnos y maestros est bien marcado, hay constantes
reuniones y asistencia de padres de familia para tratar asuntos
relacionados con el aprovechamiento de sus hijos, existe
participacin en conjunto los resultados en pruebas estandarizadas y
en evaluaciones bimestrales.La institucin escolar est conformada
por doce grupos, cuatro por grado respectivamente, la misma cuenta
con las condiciones de infraestructura necesaria para atender a su
comunidad escolar la escuela cuenta con amplios espacios,
conformada por seis edificios.1.- rea administrativa direccin,
orientacin, laboratorio de ciencias papelera en la planta baja y en
la planta alta los cuatro grupos de primer grado y el aula de
tecnologa.2.- Aulas de segundo grado con cuatro grupos, subdireccin
turno vespertino y en la parte superior biblioteca y un
laboratorio.3.- Aulas de Tercer grado del grupo B al D y
sanitarios.4.- Aula de Tercer grado grupo A sala de maestros, y
aula de usos mltiples.5.- rea del taller de corte y confeccin
(tecnologas).6.- Aula de cmputo.Anexos. Cuenta con tres canchas de
basquetbol, una de futbol, explanada cvica, cafetera escolar, reas
verdes, jardn de recreo, un huerto donde trabajan los alumnos,
bodega, estacionamiento y cuarto de intendencia. La escuela cuenta
con dos accesos y se encuentra rodeada por una barda
perimetralCroquis 36Cafetera Acceso 11542Acceso 2
El anlisis y planteamiento del tema a tratar se realizo con el
segundo grado grupo C de la Escuela Secundaria Oficial Numero 00312
Pastor Velzquez Hernndez es un grupo curioso, activo, e inquieto,
por lo mismo fcilmente se distrae y no atiende las indicaciones del
profesor situacin que hace necesario mantenerlos trabajando a lo
largo de la sesin, en su mayora levantan la mano para aclarar sus
dudas, aquellos alumnos que tienen un buen desempeo y salen bien en
los exmenes pero por el otro lado hay alumnos que no participan con
resultado realmente bajos.Dentro del aula hay pequeos grupos que se
encuentran muy marcados, donde hay separaciones, en algunos casos
se muestran actitudes de rechazo hacia algunos compaeros, uno de
esos grupos es el de los alumnos con mejor promedio del saln
quienes toman la iniciativa durante la clase de matemticas
acaparando as la atencin de los docentes, los dems se limitan
solamente a la simulacin de su trabajo en el mismo grupo
recurriendo a la copia de los productos de la clase hay alumnos que
requieren de una intervencin diferente puesto que les cuesta mucho
trabajo comprender.Los alumnos se encuentran organizados en filas
de siete personas un total de seis hileras de alumnos, de manera
indistinta la forma como se encuentran ubicados cambia de una
asignatura a otra, y constantemente hay movimientos de este tipo,
el mobiliario es suficiente para la totalidad de los alumnos y se
encuentra en muy buen estado, butacas y Pintarrn en la parte
frontal y pizarrn en el otro extremo. El grupo tiene en su mayora,
bajos resultados en exmenes, problemas en la comprensin de la
asignatura lo que rece en un ligero rechazo hacia las matemticas,
lo ms recurrente son dificultades en operaciones bsicas y les es
muy complicado resolver un problema aplicando algoritmos que ya
manejan, aunado a un incumplimiento recurrente de parte de los
alumnos, que se agrava debido a la forma de evaluar del docente,
donde para poder tener derecho a la calificacin deben presentar
todas las tareas y trabajos en excelentes condiciones.
Constantemente hay inasistencia de uno o dos alumnos debido a
llegadas tarde a la institucin, o faltan porque no hicieron alguna
tarea o por el mismo incumplimiento de trabajo son suspendidos de
uno a tres das dependiendo del caso.Durante la primera visita y
anlisis del grupo, fue observable el problema que tanto para el
docente como para el alumno genera el hecho de no dominar nociones
bsicas o anteriores necesarias para el desarrollo de un nuevo tema,
lo cual se da nicamente en una parcialidad del mismo, en donde los
alumnos ms adelantados son quienes coordinan las actividades
relegando al resto a sus compaeros, forzndolos a avanzar sin haber
entendido, el tema en cuestin, generando que no haya aprendizaje,
que se apropien de nociones errneas o dbiles que a final de cuentas
tienden a ser olvidadas.Por ello considero necesario tomar en
cuenta los conocimientos previos de los alumnos hasta los errneos,
hacerlos evidentes y analizar cmo han llegado los alumnos a esas
concepciones, para partiendo de ah generar situaciones en las que
se pueda reconstruir de manera correcta aquellos conocimientos y
nociones errneas, contrastndolo con lo que ya sabe para que as
mismo entienda como corregir y seguir avanzando.En la escuela hay 4
grupos de segundo grado de secundaria, el trabajo para el
desarrollo del ensayo se hizo con un grupo integrado por 26 mujeres
y 22 hombres. Con el propsito de averiguar en trminos generales qu
hacen cotidianamente en la clase de matemticas, el nivel
socioeconmico y las actividades que realizan fuera de la escuela,
se administr un cuestionario de opinin (Ver anexo 1). A continuacin
se mencionan la informacin recabada de dicho instrumento.De los
alumnos de segundo grado, 36 de ellos aseguran que su nico
acercamiento al estudio y aprendizaje de las matemticas es en la
escuela secundaria, no toman clases extras, ni participan en clubes
de matemticas, adems mencionan que su nica obligacin es ir a la
escuela pues no tienen ningn trabajo extra por el que les paguen.En
un da normal de escuela los nios usan entre 2 y 3 horas para ver
televisin o videos, una hora para jugar o platicar con amigos
diferentes a los de la escuela y entre 1 y 2 horas para hacer
labores de la casa, con lo cual, se puede decir que son nios de
hogar sin necesidades de tener que trabajar para recibir un pago,
adems 10 de ellos utilizan una hora para jugar video juegos, 15 en
su mayora nios utilizan entre 1 y 2 horas para practicar algn
deporte y 20 aplica una hora para leer un libro, pero slo un 5 del
alumnado utiliza un poco de su tiempo para estudiar matemticas o
hacer trabajos de matemticas, pero este poco tiempo se traduce a
menos de una hora, por lo tanto, queda claro que los alumnos
prefieren realizar cualquier actividad que no tenga que ver con la
clase de matemticas fuera de la escuela.37 de 45 de las mams de los
alumnos por lo menos termino la prepa o carrera corta y todos los
paps terminaron por lo menos la preparatoria o carrera corta, esto
nos indica que los padres, tanto mam como pap tienen un nivel de
estudios ms all de la educacin bsica y se encuentran ms o menos a
la par en cuanto a nivel de estudios. 40 de los alumnos esperan
terminar la universidad o normal, 2 quieren terminar la
preparatoria o una carrera corta y 3 no sabe qu nivel le gustara
tener, tal vez, porque su nivel econmico no es muy bueno o porque
sus calificaciones no le permiten acceder al siguiente nivel de
estudios.Los alumnos en su casa tienen alrededor de 50 y 100
libros, sin contar las revistas, peridicos o libros de la escuela,
esto se puede percibir porque en su mayora los padres tienen un
nivel de estudios ms all de la escuela bsica y por lo tanto han
tenido que leer algunos libros.Los nios tienen el nivel
socioeconmico que les permite tener los siguientes recursos;
calculadora, escritorio o mesa donde trabajan sus hermanos y paps,
diccionario, televisin, radio, celular, dvd, lavadora, horno de
microondas, telfono y slo 4 personas no tiene automvil y 13 de los
alumnos tiene que compartir su recmara con algn hermano, estos
datos sugieren que tienen los recursos ms que suficientes para
terminar la escuela secundaria.14 de los alumnos aceptan que las
matemticas son difciles pero les gustan y 31 piensan que las
matemticas son difciles y que adems no les gustan. Todos coinciden
en que las matemticas son la materia ms difcil de la escuela pero a
pesar de eso 15 de ellos no se esfuerzan por entenderlas y se
consideran que no son muy talentosos para las matemticas. 12 de los
alumnos piensan que cuando no entienden un tema de matemticas, estn
seguros que nunca ms lo van a entender, porque dicen que ese tema
nunca ms lo volver a ver y nunca volvern a trabajar con l. Y 10
partes del grupo piensan que son buenos en otras materias pero no
en matemticas, porque poseen otras habilidades que no les permiten
ser buenos en esta rea.Todos los alumnos piensan que para tener un
buen aprovechamiento en matemticas en la escuela se necesita tener
un talento o habilidad natural, adems de trabajar muy duro en casa,
de todos ellos 40 piensan que adems se necesita tener buena suerte,
el resto dice que no es suerte, es solo cuestin de esforzarse un
poco ms y que la suerte es solo un excusa, porque no quieren
trabajar y as justifican sus bajas calificaciones. Adems 42 del
grupo opinan que no es necesario memorizarse los apuntes o libros
para obtener una buena calificacin, pues ellos aseguran que lo que
se necesita es trabajar, practicar y entregar trabajos para obtener
la mayora de escala posible.Slo 10 de los alumnos les gustan las
matemticas, aunque muchos del resto de los alumnos afirman que no
les gustan las matemticas por el maestro, ya sea porque no les
gusta cmo les ensea o su forma de evaluar.38 alumnos afirman que no
les gustara utilizar la computadora para aprender matemticas, en
primer lugar porque piensan que las matemticas son aburridas y en
segundo lugar porque nunca han aprendido matemticas por medio de la
computadora, por lo tanto, no saben qu resultados obtendrn, puesto
que la computadora con acceso a internet solo la utilizan para
chatear, muy raras veces para jugar y para obtener informacin de
proyectos de matemticas y nunca la usan para tener contacto con
estudiantes de otras escuelas para trabajar en proyectos de
matemticas.Todos los alumnos piensan que las matemticas son
importantes en todos los aspectos de la vida pero 45 de ellos no
les gustara tener un trabajo que involucrarn a las matemticas,
adems 42 piensan que las matemticas son aburridas, son una materia
difcil y que no disfrutan de ellas.Los alumnos tienen diferentes
opiniones del por qu necesitan ser buenos en matemticas, primero de
todos los encuestados 45 de ellos piensan que necesitan ser buenos
en matemticas para conseguir el trabajo que quieren, 5 alumnos para
complacer a sus padres, 40 para sentirse bien consigo mismos, pero
todos coinciden en que necesitan ser buenos para ser aceptados en
la preparatoria y la universidad.Los alumnos opinan que el maestro
de matemticas generalmente les ensea cmo resolver problemas de
matemticas, siempre copian los apuntes del pizarrn, as como
realizar exmenes o cuestionarios, en cuanto a las tareas el maestro
siempre les deja tarea y el maestro las califica una vez que los
alumnos las revisen y las discuten. Pero lo que nunca o muy rara
vez realiza el maestro es trabajar en proyectos, usar calculadoras
y computadoras, trabajar en equipos, empezar a realizar las tareas
en la clase y nunca usan el can.Adems, los alumnos dicen que
generalmente cuando inician un tema de matemticas, empiezan por una
explicacin de las reglas, la discusin de una prctica o un problema
de la vida real, el maestro nos hace preguntas acerca del tema
nuevo y resuelven problemas relacionados al tema nuevo y muy rara
vez inician trabajando en pares o en pequeos grupos en un proyecto
o problema, nunca buscan el libro de texto mientras el maestro
platica acerca del nuevo tema como tampoco los alumnos presentan y
explican el tema, eso siempre lo hace el maestro.
DESARROLLO DEL TEMA: OBSTCULOS QUE TIENEN LOS ALUMNOS DE SEGUNDO
GRADO DE SECUNDARIA AL TRABAJAR CON LOS DIFERENTES REGISTROS DE
REPRESENTACIN DE LA FUNCIN LINEALEn esta seccin se da cuenta de
algunos estudios que se han hecho de las funciones lineales y
definiciones sobre las mismas. Tales estudios hablan de las
diferentes formas de graficar una funcin y las diferentes formas en
como los alumnos ven a las variables que componen a la expresin
general de una funcin lineal y funcin afn. As mismo, se habla
acerca de lo acontecido durante dos sesiones trabajando con cuatro
alumnos el tema de funcin lineal utilizando la tecnologa, haciendo
uso de la computadora y del programa graphmatica.Lo que se sabe del
temaLa graficacin de funciones forma parte de los niveles medio
bsico y medio superior y es desarrollada con frecuencia y casi
exclusivamente a travs del mtodo de localizacin de puntos
(punteo[footnoteRef:1]) y tabulacin, lo que puede ser una fuente de
error en el aprendizaje e interpretacin de las grficas. La
graficacin que se apoya en el punteo localiza puntos sobre la
grfica en cuestin a partir de la eleccin de una abscisa para
obtener una ordenada, mediada por la ecuacin, para despus hacer uso
de la continuidad y construir la curva en su totalidad.
(Schoenfeld, 1989) [1: Punteo: proceso de localizacin en la grfica,
cuando se conocen las coordenadas. ]
Actualmente se considera importante, en la enseanza de las
matemticas, no slo conocer distintos representantes del objeto
matemtico sino tambin la posibilidad de establecer relaciones entre
ellos, en este caso, las representaciones grficas y algebraicas
involucradas en el proceso de graficacin y su asociacin con su
expresin algebraica.Para desarrollar un proceso que relacione las
representaciones algebraicas y grficas del mismo objeto matemtico,
tomamos en cuenta el punto de vista semitico donde se consideran a
los signos de la grfica y de la ecuacin en sus mutuas relaciones
significativas a los (signos o smbolo) de la grfica.En el
aprendizaje de la graficacin la apariencia juega un papel
fundamental debido a que es la base de la aprehensin perceptiva, es
decir, el primer acercamiento a la tarea de graficacin. Considerar
la graficacin como un proceso que tiende un puente de significados
en dos sentidos; por una parte es un trabajo til y necesario para
la enseanza de la matemtica y por otro lado ampla y diversifica la
informacin sobre las caractersticas asociadas a los objetos o
conceptos (Claudia Acua 2001). (buscar un lugar aadecuado)La
construccin de la grfica nos proporciona un conjunto de objetos
geomtricos relacionados entre s analticamente y cada elemento sobre
la grfica tiene un par expresado a travs del lenguaje algebraico,
un punto, una recta o una curva. De hecho, la graficacin se
desarrolla como la interaccin de dos estructuras.En la graficacin
con apoyo de grapmatica facilita la asociacion entre las diversas
representaciones, haciendo explicito la relacin entre nmeros y
puntos de la grafica. Aunque la localizacin de puntos sobre la
grfica a partir de una pareja parce no representar un problema
importante para la mayora de ellos, siempre y cuando la informacin
sobre los nombres de las coordenadas, las posiciones de las
entradas as como la posicin de los ejes, est disponible. Sin
embargo, cuando la localizacin de los puntos depende adems de las
relaciones determinadas por los objetos geomtricos de la grfica,
los aciertos en la tarea descienden notablemente. (Acua, 1999).
(ver si la respuesta de los estudiantes apoya esta afirmacin)El
punteo ha sido, hasta hace poco tiempo, el nico mtodo con el que ha
contado el profesor y el estudiante para graficar, y si ste se
utilizara como un instrumento para interpretar la grfica desde el
punto de vista analtico resultara insuficiente, ya que no explica
las relaciones entre los objetos matemticos graficados como los
puntos, ya que estn expresados a travs de la grfica o de la
ecuacin.Un concepto figural es aquel que tiene caractersticas tanto
de las figuras como de las ideas (conceptos). Insuficiente resulta
tambin reconocer las propiedades de los smbolos grficos desligados
de la funcin as como las propiedades figurales que aparecen tales
como pendiente, concavidad, inflexin, entre otras, que no explican
por s mismas sus cualidades. Graphmatica. Es un programa que
representa funciones, creado por Keith Hertzer, las funciones estn
definidas de forma explcita, por ejemplo, f(x)=sin(1/x) o de forma
numrica a travs de una tabla de doble entrada. Su principal
objetivo es ayudar a los estudiantes a graficar funciones. Le fue
concedido un segundo premio en el concurso de programas educativos
para ordenador organizado por el ministerio de educacin y ciencia
del ao 1993.Este software educativo, puede ser utilizado por el
profesor para proponer actividades complementarias a las trabajadas
en el aula, es decir, el alumno o alumna desde cualquier lugar
fuera de la escuela puede acceder al programa por el hecho de ser
gratuito.Es un programa muy funcional porque los alumnos tienen muy
fcil acceso a l y es muy fcil de trabajar con el programa y permite
que los alumnos vean de manera visual el comportamiento de las
funciones en general y de las funciones lineales( operaciones con
funciones lineales)Las representaciones grficas en el plano
cartesiano requieren de un tratamiento visual, adems del
algebraico, ya que los puntos tienen propiedades figurales y
espaciales. Una de las actividades cognitivas ligadas al
tratamiento de las representaciones grficas es la visualizacin,
entendiendo por visualizacin al uso de propiedades espaciales y
relaciones de representaciones particulares en los cuales un
problema es presentado y procesado (shama y dreyfus 1994)
(ubicarlo)La representacin grfica posee la propiedad de permitir un
trabajo heurstico a travs de la visin y la visualizacin (Duval,
1998). La representacin externa acta como apoyo a la intuicin y
sugiere transformaciones que conducen a la solucin del problema
planteado, adems las formas grficas proveen de elementos para
desarrollar experimentos mentales adecuados para el descubrimiento
de propiedades matemticas.Adems en el tema de estudio ya se seal
que los alumnos no relacionan expresiones verbales e imgenes,
puesto que segn las teoras psicolgicas, las imgenes y las
expresiones verbales (conceptos) se conciben distintos, porque las
imgenes corresponden a una percepcin sensorial de un objeto y las
verbalizaciones a una representacin simblica y posee un significado
general correspondiente a un conjunto de representaciones concretas
con respecto a lo que tienen en comn (Piron en Fischbein, 1957).
Sin embargo, Efraim Fischbein en su teora los conceptos figurales
afirma que en matemticas las imgenes geometricas y los conceptos,
no pueden ser considerados ni conceptos puros ni meras imgenes
comunes, porque poseen cualidades conceptuales entre s, ya que en
el razonamiento matemtico uno no se refiere a ellos como objetos
materiales ni como dibujos. Los objetos materiales (slidos o
dibujos), slo son modelos materializados, slo en un sentido
conceptual uno piensa en los conceptos de la matemtica.Fischbein
centra la atencin en los objetos geomtricos a pesar el autor de
este ensayo supone que sucede lo mismo con cualquier objeto de la
matemtica, por supuesto con sus particularidades.En la vida
cotidiana la representacin mental de una palabra es una
generalizacin, por ejemplo un perro, y al ver un perro te genera la
idea de ese perro en particular pero si piensas en la palabra perro
generas una idea general de perro, y en matemticas tiene que tener
un significado para los alumnos, cualquier palabra construida, debe
tener un significado preciso y estar asociado con diferentes
representaciones al pensar en y= mx+b piensas en todo el conjunto
de rectas y si piensas en y=2x te imaginas esa recta en
particular.Porque a la hora de graficar cualquier funcin es
importante que los alumnos aprendan ms de una forma de hacerlo, ya
que de acuerdo a las condiciones de construccin visuales, (Duval
1993) propone tres maneras diferentes para construir una
representacin grfica, una forma cuantitativa de punteo (tabulacin),
una forma cualitativa-cuantitativa de extensin de trazo y una forma
de interpretacin global de las propiedades de las funciones.Desde
la perspectiva de la matemtica se dice que es inusual la restriccin
de que las imgenes deben ser manipuladas mentalmente. Puesto que la
visualizacin se toma como la habilidad para trazar con lpiz y papel
un esquema. El esquema sirve para representar un concepto matemtico
o un problema y ayuda a comprender el concepto o a resolver el
problema. La visualizacin no es un fin en s mismo sino un medio
para conseguir entendimiento. (Zimmermann, W. & Cunningham,
S.1991).Duval recalca que no se deben confundir los objetos
matemticos con su representacin y define los registros de
representacin como un medio de expresin que se caracteriza por sus
signos propios y la forma en que stos se organizan. Es decir, un
registro est constituido por signos en el sentido ms amplio de la
palabra: trazos, smbolos, conos y estos signos estn asociados de
manera interna y externa. De manera interna, segn los lazos del
contexto y de pertenencia a una misma red semntica. De manera
externa, segn las reglas de combinacin de los signos en expresiones
o configuraciones; estas reglas son propias de la red semntica
involucrada. (lenguaje)Por otro lado, el concepto de funcin admite
una gran variedad de diferentes registros de representacin; se
puede representar mediante tablas, grficas, expresiones algebraicas
y expresiones verbales, mediadas por el lenguaje cotidiano y por
operaciones entre funciones. En cuanto a los problemas que tienen
los alumno cuando tabulan una funcin es comn que el intervalo les
dificulte la tarea, adems hay problemas vinculados con los
diferentes usos que se le da a las variables, entendiendo por
variable un smbolo para el cual uno substituye nombres por algunos
objetos, por lo general nmero en lgebra. Una variable siempre es
asociada con un juego de objetos cuyos nombres pueden ser
substituidos para ello. Van Engen (1959).Pero Wagner (1983), seala
la complejidad del concepto variable y las dificultades que tienen
los estudiantes que inician el estudio del lgebra al trabajar con
variables, pues afirma que el concepto de variable no es fcil de
definir, ya que su significado puede variar, su significado puede
cambiar con el contexto en el cual aparece.Adems Usiskin (1998)
menciona que el lgebra no es fcilmente definida y seala que el
lgebra que se ensea en la escuela bsica no es la misma a la enseada
en la universidad, y puesto que las variable tienen cinco
diferentes usos en; (1) una frmula (A= bh), (2) una ecuacin a
resolver (2x=20), (3) una identidad (sen x = cos xtan x), (4) una
propiedad (1=n(1/x)) y (5) una funcin (y=mx+b), adems, hay un
problema distinto cuando aparece ms de una letra en una expresin.En
este documento se trata principalmente el concepto 5 denominado El
algebra como el estudio de relaciones entre cantidades (funcin),
puesto que en ella se dice que la forma y = mx + b, es tanto modelo
entre variables como una frmula. Esta expresin describe una lnea
general y las variables involucradas que en este caso representan
nmeros generales que pueden, por lo tanto, asumir cualquier valor.
Sin embargo para una lnea particular, m y b, no representan nmeros
generales, sino constantes. Para resolver una funcin de este tipo
los estudiantes deben de ser capaces de trabajar con nmeros
generales, como constantes, como incgnitas, como variables en una
relacin funcional y poder pasar de una a otra interpretacin, an
cuando estas caracterizaciones de la variable tengan la misma
representacin simblica. Porque un usuario competente del lgebra es
capaz de interpretar la variable de modos distintos dependiendo del
problema en el cual aparece, por ejemplo, cuando una expresin
representa una ecuacin (1), y la variable representa una incgnita
especfica cuyo valor puede determinarse con precisin; y cuando una
expresin representa una tautologa (2), y la variable representa un
valor indeterminado. Es capaz de distinguir estas expresiones a
pesar de que luzcan muy similares.x+5=x+1(1)x+5=5+5 (2)Matz (1982),
menciona que un usuario competente es capaz de simplificar una
expresin algebraica, de trabajar con la idea de variacin cuando las
variables estn involucradas en una relacin funcional y de
discriminar entre las acciones a tomar en caso particular. Para l,
las diferencias que caracterizan los distintos usos de la variable,
pueden parecer y hasta insignificantes, sin embargo, reconocerlas
es crucial para los principiantes. El no reconocerlas se torna
frecuentemente un obstculo que bloquea el aprendizaje del lgebra.De
igual manera menciona que en matemticas se usan generalmente los
smbolos literales para representar variables. Los mismos smbolos
son usados para denotar diferentes caracterizaciones de la
variable, y diferentes smbolos son empleados para representar la
misma caracterizacin de la variable. Este uso de los smbolos
literales pueden contribuir a opacar las diferencias entre las
distintas caracterizaciones de la variable y ocultar las
condiciones que determinan el dnde y cmo pueden variar su
valor.Kchermann (1980) identific seis diferentes maneras de
interpretar los smbolos literales: letra evaluada, letra no usada,
letra como objeto, letra como incgnita especfica, letra como nmero
generalizado y letra como variable. Letra evaluada: A la letra se
le asigna un valor numrico. Letra no usada: La letra es ignorada o
su existencia es reconocida pero no se le atribuye ningn
significado. Letra como incgnita especfica: La letra representa un
nmero particular pero desconocido y los alumnos son capaces de
operar directamente sobre ella. Letra como nmero generalizado: Se
considera que la letra representa o es capaz de asumir distintos
valores. Letra como variable: Se considera que la letra representa
un rango de valores no especificado y que existe una relacin
sistemtica entre dos conjuntos de valores de este tipo.Estos
resultados destacan el hecho de que los alumnos tienen diferentes
maneras de interpretar las letras usadas para representar las
variables. Esto indica que los que se inician en el estudio del
lgebra consideran que los smbolos literales usados como variables
pueden interpretarse de diferentes modos, y que su significado
puede variar con el problema. Pero los resultados de Kchemann
muestran tambin que la interpretacin dada por los nios no es
siempre la apropiada y frecuentemente es la fuente de respuestas
errneas.Desde una perspectiva piagetiana, Kcheman considera que
esta clasificacin de la interpretacin de los smbolos literales
refleja un grado de dificultad creciente. Considera que las tres
primeras categoras indican un bajo nivel de respuesta, y argumenta
que para que un nio tenga una comprensin de los inicios del lgebra,
es necesario que se capaz de trabajar, por lo menos, con problemas
simples que requieran el uso de la letra como incgnita especfica.Ya
que afirma que un nio habr comprendido perfectamente el uso de los
smbolos literales en lgebra, cuando sea capaz de trabajar con la
letra como variable. Si bien puede ser valido considerar que los
alumnos se acercan al lgebra cuando sus respuestas pertenecen a las
ltimas tres categoras, la visin jerrquica que refleja la
clasificacin de Kchemann podra estar insinuando un orden en el cual
deberan ensearse los distintos usos de las variables. Por lo tanto,
considerar que para los alumnos es ms fcil trabajar con una
interpretacin del smbolo literal que con otra implica que es ms
fcil trabajar con una caracterizacin de la variable que con otra.La
habilidad para generalizar es una de las caractersticas ms
importantes de la inteligencia (Krutetskii, 1976). Es una habilidad
general, esto es, se usa en diferentes campos y aparece desde
edades muy tempranas. Sin embargo, Krutetskii y su grupo
encontraron que la habilidad para generalizar en matemticas es una
habilidad especfica: es la habilidad de generalizar relaciones
numricas y especiales, expresadas a travs de nmeros smbolos
literales.Encontraron adems que existe una relacin muy estrecha
entre la habilidad para generalizar material matemtico y la
habilidad para estudiar matemticas. Argumentan por ejemplo, que los
alumnos, que tenan facilidades para las matemticas podan detectar
rpidamente cules eran los rasgos generales que caracterizaban
situaciones exteriormente distintas, mientras que los alumnos menos
hbiles necesitaban mucho entrenamiento y prctica para poder
generalizar.Krutetskii sugiere que la capacidad para generalizar en
matemticas sigue un camino evolutivo desde la habilidad para ver lo
que ya es conocido y generar en lo particular, a la habilidad de
ver lo que es desconocido. Se evoluciona desde la necesidad de
analizar muchos ejemplos particulares, a la habilidad para
generalizar a partir de un nico ejemplo particular.La variable es
un instrumento que se usa en matemticas para expresar una
generalizacin. Cuando se quiere expresar matemticamente un patrn,
una regularidad o un mtodo en general, se usan las variables para
representar los nmeros generales involucrados.Distintos estudios
que investigaron la capacidad que tienen los alumnos para trabajar
con la variable como nmero general cuando aparece en tareas
algebraicas tradicionales, encontraron que la gran mayora tena
dificultades para trabajar con esa caracterizacin de la variable.
Se encontr que los alumnos tienden a interpretarla de varios modos
distintos dependiendo del problema: la ignoran; la interpretan como
una incgnita especfico asignndole un valor especfico; la
interpretan como un objeto, (Kchemann, 1980; Booth, 1984).
Resultados similares se obtuvieron en un estudio desarrollado en
Mxico con alumnos de secundaria (Avila et al, 1990).Estos
resultados muestran que ante la necesidad de interpretar un smbolo
literal usado para representar un nmero general los estudiantes
estn bastante desorientados. Booth (1984) por ejemplo, sugiere que
los alumnos tienden de manera natural a interpretar las letras como
nmeros especficos. Tanto Booth (1984) como Kchermann (1980)
sugieren que la dificultad para interpretar la letra como nmero
general puede depender del desarrollo cognitivo.Por otra parte, los
resultados de otras investigaciones desarrolladas en ambientes
computacionales no sustentan esta hiptesis y muestran que en estos
ambientes y con ayuda, los alumnos pueden desarrollar la capacidad
de interpretar la letra como nmero general. Thomas y Tall (1986),
por ejemplo, disearon materiales computacionales cuyo objetivo era
ayudar a estudiantes de 12 aos de edad sin experiencia algebraica,
a que mejoraran su comprensin de los conceptos algebraicos
generales, por medio de una exploracin estructurada de ejemplos
particulares.Se prest atencin especial al uso de letras como nmeros
generales y de letras como variables (adoptando la definicin de
Kchermann). Los resultados de una evaluacin aplicada en seguida
despus de terminado el estudio y de una evaluacin posterior,
mostraron que las respuestas dadas por el grupo experimental eran
significativamente mejores que las del grupo del control, para
preguntas que requeran una comprensin del uso de letras como
incgnitas especficas, letras como nmeros generales y letras como
variables.Los resultados obtenidos en ambientes computacionales
sugieren que acercamientos no tradicionales pueden ayudar a reducir
las dificultades y ayudar a los alumnos a trabajar con la idea de
nmero general y su representacin simblica. Adems est tambin la
sugerencia para que los alumnos construyan la idea de nmero general
y desarrollen un significado para el smbolo usado para
representarlo. De aqu se desprende la necesidad de buscar
acercamientos alternativos a los tradicionales que ayuden a los
alumnos a trabajar con la idea de nmero general y su
simbolizacin.Sugerencias como las anteriores no son nuevas, Masn
(1985), por ejemplo, estudi cmo se podra ayudar a los nmeros a
trabajar con aritmtica generalizada. Analizando el proceso de
generalizacin identific cuatro pasos, a saber: observacin,
percepcin mental de un patrn o de una regularidad; verbalizacin,
articulacin de lo observado en palabras; notacin, uso de smbolos
para generar la formulacin. En consecuencia Masn enfatiza la
importancia de ofrecer a los alumnos la, oportunidad de percibir
patrones o relaciones y de estimar la necesidad de expresarlos
antes de apresurarlos para que trabajen con los nmeros
literales.Estos argumentos sugieren la conveniencia de trabajar con
la idea de nmero general antes de la introduccin del lenguaje
algebraico formal. Esto, implcitamente seala que algunas de las
dificultades a las que se enfrentan los alumnos al trabajo con los
smbolos literales que representan nmeros generales, pueden reflejar
un entendimiento pobre del concepto representado por el smbolo. El
diseo de ambientes didcticos especiales podra ayudar a los alumnos
con antecedentes aritmticos, a pasar del trabajo directo con nmeros
especficos a considerarlos como objetos que pueden ser incluidos en
el concepto ms amplio de nmero general. De este modo podra ayudarse
a los alumnos a acercarse a la idea del nmero general o de su
simbolizacin antes de introducirlos al lgebra formal.Las variables
pueden ser usadas para expresar una relacin funcional entre dos
cantidades cuyos valores pueden estar cambiando. Lo que caracteriza
este uso de las variables es, por un lado, su movimiento dentro de
ciertos rangos de valores (aspecto dinmico), y por el otro, el
hecho de que el valor que se asigna a una de las variables afecta
el valor de la otra variable (aspecto esttico). El aspecto dinmico
es enfatizado cuando se considera una relacin funcional como una
manera de expresar variacin. El trabajar con la idea de cambio, no
es fcil para los alumnos Kchermann (1980), encontr que slo algunos
alumnos podan interpretar la letra como variable y considerar que
los cambios en un conjunto de valores dependan de los cambios en
otro conjunto de valores. Las maneras en que los nios representan
situaciones que implican la idea de cambio sugieren que los
procesos dinmicos son frecuentemente percibidos de manera esttica
(Bernardz y Dufour-Janvier, 1991). Cuando trabajan con procesos
dinmicos los alumnos parecen observar slo algunas caractersticas
esenciales que pueden describirse de manera puntual. Tienen tambin
dificultades para percibir el cambio cuando este es representado
por medio de grficas u otros cdigos empleados en matemticas para
ilustrar conceptos dinmicos. Hay una tendencia a interpretar estas
representaciones de manera esttica. Dificultades para trabajar con
la idea de cambio fueron observadas tanto en nios de 1 y 2 (Bednarz
y Dufour-Janvier, 1991), como en los alumnos que empezaban el
estudio del algebra elemental (Keid y Kunkie, 1988).Adems de que al
trabajar con tablas de valores variables sobre un cierto rango de
nmeros, generadas por computadora, puede ayudar a los alumnos a
percibir como cambian los valores de ciertas expresiones
algebraicas dadas. A travs del anlisis de las tablas los alumnos
pudieron deducir los dominios en que las funciones crecan o
decrecan, y pudieron apreciar cmo los cambios afectaban las
variables relacionadas.Sin embargo, puede ser que la notacin
tabular no sea de gran ayuda cuando se trabaja con funciones no
lineales. Kieran (1992) encontr que alumnos de 9 grado (15 aos de
edad) con cierta experiencia algebraica previa, tenan dificultad
para deducir el comportamiento global de funciones no lineales, as
como identificarse mximos y mnimos, con base al anlisis de tablas
numricas. En contraste, el trabajar con una representacin grfica
ayudaba a los estudiantes a obtener una perspectiva global. Pero
(Heid, 1989) en otros estudios encontr que alumnos jvenes o de bajo
rendimiento sugieren que las nociones que subyacen a la idea de
relacin funcional (por ejemplo; Dominio, imagen) deberan
introducirse a travs de la nocin grfica cuando se trabaja con
estudiantes considerados de nivel alto, y a travs de tablas cuando
se trabaja con alumnos de bajo rendimiento.Durante la escuela
primaria y antes de cualquier acercamiento al lgebra, los nios
empiezan a trabajar con problemas simples en los que se les pide
determinar el valor de una incgnita especfica. Usualmente el valor
de la incgnita no es representado por un smbolo literal, sino por
un cuadrito, una lnea o un espacio vaco. Cuando los nios inician el
estudio del algebra estos signos son substituidos por un smbolo
literal y los nios empiezan a trabajar con variables como incgnitas
especficas.Los nios que se inician en el estudio del lgebra son
capaces de razonar con incgnitas y encontrar el valor correcto
cuando estas aparecen en problemas verbales simples. Karplus
(1982), encontr que alumnos entre 12 y 14 aos de edad podan
resolver problemas de acertijos del tipo: pienso un nmero, le
agrego 12, multiplico el resultado por 6 y obtengo 90. Cul es el
nmero que pens? (Karplus et al., 1981. P. 148). Observ que el patrn
de razonamiento que los nios usaban con ms frecuencia para resolver
este tipo de problemas, era el de trabajar hacia atrs a partir del
resultado dado. La segunda estrategia ms frecuente era en ensayo y
error. Pero cuando una incgnita especfica aparece en ecuaciones con
una estructura ms complicada, los nios tienen serias dificultades
para trabajar con ellas. Estas ecuaciones no pueden ser resueltas
de un solo paso. Para resolverlas es necesario realizar primero
ciertas operaciones numricas y/o operar con la incgnita. Esto
implica la capacidad de percibir la ecuacin de manera global a fin
de reordenar los trminos, antes de intentar calcular el valor de la
incgnita especfica (Herscovics y Linchevski, 1991). Cuando se
encuentran a este tipo de ecuaciones, los novatos utilizan
diferentes estrategias a fin de evitar operar con los nmeros y con
las incgnitas. Por ejemplo, se observ que una de las estrategias
que los nios usan para tratar de resolver ecuaciones con una
aparicin de la incgnita pero con ms de un trmino numrico despus del
signo de igualdad, consiste en cortar la ecuacin despus del primer
trmino numrico, e ignorar los otros (Kleran, 1984).Resolver
ecuaciones del tipo ax+b+cx=d, implica ser capaz de operar con
incgnitas especficas. Es decir, este tipo de ecuaciones no pueden
resolverse usando solo operaciones aritmticas. Operar con la
incgnita especfica presenta dificultades para los que se inician en
el estudio del lgebra. Se han observado distintas estrategias todas
tendientes a evitar la operacin con la incgnita. Por ejemplo, los
nios pueden tratar de resolver este tipo de ecuaciones invirtiendo
las operaciones antes de agrupar los trminos similares (Kieran,
1984). Esto sugiere un intento de aplicar a la resolucin de estas
ecuaciones un procedimiento que resulta exitoso para resolver
ecuaciones de un paso. Otro acercamiento observado es el de tratar
de determinar la incgnita especfica por medio de situaciones
sistemticas (Herscovics y Linchevski, 1991).La enseanza tradicional
que tiende a desarrollar y fortalecer las habilidades manipulativas
no parece ser adecuada para ayudar a los nios a superar estas
dificultades. Adems, parece ser que algunos de los acercamientos a
las incgnitas especficas usados en la escuela primaria pueden ser
los que originan algunas de las estrategias incorrectas que usan
los nios para resolver una ecuaciones. Adems es muy frecuente que
se ensee a los nios que resolver una ecuacin es equivalente a
invertir las operaciones. Kieran (1988) sugiere que este
acercamiento puede llevar a los alumnos a concebir la variable como
el resultado de un grupo de operaciones inversas y a considerar la
letra sin existencia propia en la ecuacin dada (Kieran, 1988, p.
95). Esta interpretacin de la incgnita especfica puede ser un
obstculo para otorgar sentido a una ecuacin que no puede ser
resuelta invirtiendo las operaciones as como para operar con o
sobre la incgnita especfica. No puede esperarse que los nios
superen esas dificultades espontneamente. Como ya lo enfatizaron
Filloy y Rojano (1989), ayudar a los nios a superar las
dificultades que tienen para operar sobre y con la incgnita
especfica, es una tarea educativa.Distintos acercamientos se han
usado para ayudar a los nios a superar las dificultades
mencionadas. Filloy y Rojano (1989), por ejemplo, usaron modelos
concretos (el modelo geomtrico; el modelo de la balanza) para
ayudar a los nios a operar con la incgnita especfica. Los
resultados que obtuvieron muestran que si bien en esos ambientes
los alumnos eran capaces de resolver ecuaciones con ms de una
aparicin de la incgnita especfica, el hecho de usar modelos puede
ocultar lo que se pretende ensear. Los modelos pueden anclar a los
nios a un contexto concreto y a progresar dentro de este contexto,
demorando la construccin de la sintaxis algebraica. Se encontr que
las intervenciones de enseanza eran cruciales para ayudar a los
nios a progresar desde el modelo a la construccin de nociones
algebraicas.Tambin se encontr (Herscovics y Linchvski, 1991),que la
instruccin individualizada, diseada especialmente para ayudar a los
nios a superar la inhabilidad para operar sobre o con la incgnita
especfica, puede llevar a los nios a adquirir la capacidad de
agrupar trminos similares en una ecuacin. Sin embargo, se observ
que las dificultades persisten cuando los alumnos tienen que operar
con incgnitas de coeficiente unitario y, por tanto, no
explcitamente sealado.Chalouh y Herscovics (1988) sealan otro
aspecto que puede ser crucial a tomar en cuenta para ayudar a los
nios a trabajar con la incgnita especfica, a saber: buscar en los
antecedentes de los nios una base cognitiva sobre la cual construir
el conocimiento nuevo. Estos investigadores disearon un experimento
de enseanza cuyo objetivo era ayudar a que nios, sin experiencia
previa en lgebra formal, lograran dar un significado de expresiones
con una incgnita y una operacin, y a expresiones ms de una incgnita
y ms de una operacin.Los resultados que obtuvieron muestran que los
nios fueron capaces de pasar del uso de un signo para representar
un espacio a llenar (place holder), al uso de smbolos literales; al
uso de un smbolo literal para representar una cantidad desconocida.
Pudieron tambin trabajar con expresiones algebraicas con varios
trminos. Encontraron tambin que el hecho de indicar explcitamente
el marco de referencia y pedir a los nios que respondieran en
lgebra fue un elemento esencial que ayud a los nios a pasar de un
contexto aritmtico a uno algebraico. Estos resultados indican que
para los que se inician en el estudio del algebra puede ser crucial
saber con claridad el contexto matemtico en el cual se espera que
trabajen. Esto sugiere que algunos de los comportamientos errneos
pueden ser consecuencia directa de no tener claro el contexto en el
cual se espera que un problema sea resuelto.Pero tambin muestran
que se han hecho grandes esfuerzos con el fin de encontrar
acercamientos que puedan ayudar a los nios a superar las
dificultades que tienen en relacin a las incgnitas especficas. Sin
embargo, se requiere de ms trabajo para ayudar a los alumnos a que
se apropien de la idea de la variable como incgnita especfica y que
sean capaces de trabajar con esta caracterizacin de la variable
para resolver problemas y resolver ecuaciones.A manera de resumen.
Se puede percibir que el uso de las variables se pueden generalizar
en tres grandes grupos; en el primer grupo se habla del
comportamiento que tienen los alumnos al trabajar con las
variables. Por ejemplo (Kchemann, 1980; Booth, 1984), menciona que
los alumnos tienden a interpretarla de varios modos distintos
dependiendo del problema: la ignoran; la interpretan como una
incgnita especfico asignndole un valor especfico; la interpretan
como un objeto. Sin embargo los estudios realizados en ambientes
computacionales muestran que en estos ambientes y con ayuda, los
alumnos pueden desarrollar la capacidad de interpretar la letra
como nmero general. Thomas y Tall (1986). Dichos trabajos
demuestran que acercamientos no tradicionales pueden ayudar a
reducir las dificultades de los alumnos a trabajar con la idea de
nmero general y su representacin simblica. Adems est tambin la
sugerencia para que los alumnos construyan la idea de nmero general
y desarrollen un significado para el smbolo usado para
representarlo. En el segundo grupo se describen el uso de las
letras, ya que, se maneja que las variables pueden ser usadas para
expresar una relacin funcional entre dos cantidades cuyos valores
pueden estar cambiando. Lo que caracteriza este uso de las
variables es, por un lado, su movimiento dentro de ciertos rangos
de valores (aspecto dinmico), y por el otro, el hecho de que el
valor que se asigna a una de las variables afecta el valor de la
otra variable (aspecto esttico). El aspecto dinmico es enfatizado
cuando se considera una relacin funcional como una manera de
expresar variacin. Aunque trabajar con la idea de cambio, no es
fcil para los alumnos Kchermann (1980), menciona que slo algunos
alumnos podan interpretar la letra como variable y considerar que
los cambios en un conjunto de valores dependan de los cambios en
otro conjunto de valores. Las maneras en que los nios representan
situaciones que implican la idea de cambio sugieren que los
procesos dinmicos son frecuentemente percibidos de manera esttica
(Bernardz y Dufour-Janvier, 1991). Cuando trabajan con procesos
dinmicos los alumnos parecen observar slo algunas caractersticas
esenciales que pueden describirse de manera puntual. Tienen tambin
dificultades para percibir el cambio cuando este es representado
por medio de grficas u otros cdigos empleados en matemticas para
ilustrar conceptos dinmicos. Hay una tendencia a interpretar estas
representaciones de manera esttica. Dificultades para trabajar con
la idea de cambio fueron observadas tanto en nios de 1 y 2 grado
(Bednarz y Dufour-Janvier, 1991), como en los alumnos que empezaban
el estudio del algebra elemental (Keid y Kunkie, 1988).Por ltimo el
tercer grupo habla de la relacin funcin, donde las variables
dependen de un intervalo, es decir, la variacin de x determina la
variacin de y. Anteriormente ya se menciono que cuando una incgnita
especfica aparece en ecuaciones con una estructura en las cuales se
requiere hacer ms de un paso para resolverla, los alumno tienen
serias dificultades para trabajar con ellas, Puesto que para
resolverlas es necesario realizar primero ciertas operaciones
numricas y/o operar con la incgnita. Esto implica la capacidad de
percibir la ecuacin de manera global a fin de reordenar los
trminos, antes de intentar calcular el valor de la incgnita
especfica (Herscovics y Linchevski, 1991).Los alumnos tambin
presentan dificultades para determinar el valor de la incgnita
especfica cuando esta aparece en ambos lados del signo de igualdad
(Kieran, 1984; Filloy y Rojano, 1984, 1989; Herscovics y
Linchervski, 1991). Por ejemplo, Filloy y Rojano (1984,1989),
encontraron que el paso de la resolucin de ecuaciones de la forma
x+a=b a la resolucin de ecuaciones de la forma ax+b=cx+d, no es
inmediato ni espontaneo. Para resolver este tipo de ecuaciones, es
muy frecuente que los nios que inician el estudio del algebra usen
el ensayo y error y asignen diferentes valores a las diferentes
apariciones de la incgnita especfica en una misma expresin.Ideas
bsicas para el ensayo de la matemtica escolar. Funcin. Una funcin
tiene tres elementes, un conjunto llamado dominio, otro conjunto
llamado codominio y una regla de correspondencia que asigna a cada
uno de los elementos del dominio a un nico elemento del codominio.
Es decir, una funcin es una terna formada por: un primer conjunto
no vaco llamado el dominio de la funcin, un segundo conjunto
llamado el contradominio (o codominio) de la funcin y una regla de
correspondencia que tenga las siguientes propiedades: Por medio de
esta regla de correspondencia a cualquier elemento del dominio de
la funcin se le puede asociar un nico elemento del contradominio.
Ningn elemento del dominio ha de quedarse sin su asociado en el
contradominio. Ningn elemento del dominio puede tener ms de un
asociado en el contradominio.Si denotamos a la regla de
correspondencia de la funcin con una letra, por ejemplo f,
denotaremos al dominio como Df , al rango como Rf y al elemento del
contradominio que le asociamos a x como f(x) (se lee f de x), a
esta variable f(x), que tambin solemos llamar y, la llamaremos
variable dependienteLlamamos rango o imagen de una funcin al
subconjunto del contradominio de la funcin constituido por los
elementos que han sido asociados a algn elemento del dominio bajo
la regla de correspondencia dada.Si el dominio y el contradominio
son los nmeros reales diremos que la funcin es real, tambin se
acostumbra decir que es una funcin real de variable real.Para las
funciones reales de variable real definidas mediante una frmula sin
ms especificaciones, sobreentenderemos que el dominio es el
subconjunto de los nmeros reales para los cuales la frmula tiene
sentido. A diario tenemos ejemplos de estas asignaciones: el mdico
dosifica un antibitico que depende del peso del beb, nos cobran el
pasaje con relacin a la distancia recorrida.Una funcin es una
correspondencia entre dos magnitudes (numricas o no numricas).
Ahora bien, cuando nos referimos a funciones, la correspondencia
siempre hay que entenderla en una direccin determinada, por
ejemplo, el espacio funcin del tiempo (el espacio sera la imagen y
el tiempo el dominio). No obstante, hay que advertir que no se
considera funcin a cualquier correspondencia, sino que para que una
correspondencia sea funcin, la imagen de cada elemento tiene que
ser nica y estar bien determinada. Por ejemplo, la relacin entre
los ciudadanos y los pases del mundo mediante la nacionalidad no es
una funcin, porque existen ciudadanos con doble nacionalidad.
Pensemos en una relacin entre la estatura y los seres humanos;
cuando colocamos a la estatura en el dominio y a los seres humanos
en el contradominio no tenemos una funcin porque la misma altura le
corresponde a ms de un ser humano, a cambio, cuando pensamos a los
seres humanos como el dominio de la funcin y su contradominio a la
altura entonces la correspondencia si es una funcin.Aunque el
concepto de funcin nace del estudio de la relacin existente entre
dos magnitudes que estn vinculadas por una relacin de causalidad
(causa-efecto), y se establece la causa como variable independiente
y el efecto como variable dependiente; sin embargo, en Matemticas
se pueden establecer funciones entre dos magnitudes, aunque no
exista ningn tipo de causalidad entre ellas. Es decir, se pueden
establecer relaciones de manera artificial.La idea de funcin que se
adquiere en los primeros contactos con el Clculo, tanto en la
Enseanza Secundaria como en el Bachillerato, por lo comn, suele
identificar el concepto de funcin con una frmula, en estos niveles
se enfatiza la regla de correspondencia y se deja relegada las
ideas del dominio, contradominio e imagen, por ejemplo y = x2 5x +
6, y se entiende que esta frmula asocia a cada nmero real x otro
nmero real y. Basta sustituir x por un nmero concreto y hacer las
operaciones indicadas, para obtener su imagen. Tambin se comprende
que ciertas frmulas tales como g(x)=x 4, no estn definidas para
todos los nmeros reales, y por tanto, que haya nmeros reales que no
tengan imagen mediante dichas funciones, de ah el estudio de los
dominios. Sin embargo, el alumno de Secundaria, e incluso el de
Bachillerato, se suele resistir a comprender que haya funciones
definidas a trozos, en partes, o segn los casos. Es decir,
funciones en las que no todos los nmeros tienen el mismo
tratamiento, sino que segn sea el nmero se le aplica una frmula u
otra para calcular su imagen (Fernando Hitt 2003). Otra asociacin
de ideas que tambin suele resultar perniciosa a la hora de
generalizar el concepto de funcin es el identificar la funcin con
su grfica. Tanto la frmula como la grfica son dos instrumentos que
nos ayudan a comprender el concepto de funcin, pero no debemos
identificar los instrumentos con el concepto mismo, ni sentirnos
atrapados por los instrumentos a la hora de generalizar los
conceptos. Fregoso dice que una grafica y una formula es lo
mismo.Representacin de una funcin. La grfica de una funcin lineal
es una lnea recta que pasa por el origen, es decir, donde b es
distinta de cero en la expresin y=x + b; cuando la b es distinta de
cero la funcin se llama afn; por costumbre la educacin bsica a
cualquier grafica que sea una recta se le llama funcin lineal,
conservaremos este nombre a menos que sea indispensable la
distincin ente funcin lineal y funcin afn
(http://www.vitutor.com/fun/2/c_4.html. fecha de consulta abril
2011).Existen diversas maneras de visualizar una funcin, las ms
usuales son mediante las cuatro representaciones siguientes:1.
Verbal mediante una descripcin con palabras.2. Numrica mediante una
tabla de valores.3. Algebraica mediante una ecuacin.4. Visual
mediante una grfica,un diagrama de flechas, una mquina.Plano
cartesiano. En matemticas, el sistema de referencia se forma sobre
un plano con dos rectas perpendiculares que se intersecan en un
punto, que se denota con la letra O.
El punto O recibe el nombre de origen de coordenadas. Se escoge
tambin una unidad de medida, con la que se marcan con signo
positivo las distancias en las semirrectas desde el origen hacia
arriba y hacia la derecha, y con signo negativo desde el origen
hacia abajo y hacia la izquierda. El eje perpendicular se denomina
eje de abscisas o eje de las x, mientras que el eje vertical se
denomina eje de ordenadas o eje de las y. Este sistema de
referencia se denomina sistema de ejes cartesianos o sistema
cartesiano (de Cartesius, nombre latinalizado de Ren Descartes,
filsofo y matemtico francs del siglo XVII). Con ello, todo el plano
queda dividido en cuatro cuadrantes (I, II, III y IV), que se
numeran en sentido contrario al movimiento de las agujas de un
reloj.