Loop-Quanten-Kosmologie Max Camenzind – Würzburg SS2018 Planck-Epoche Vorgänger Universum
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Loop-Quanten-Kosmologie
Max Camenzind – Würzburg SS2018
Planck-Epoche
Vorgänger Universum
Inhalt
• Quantisierung der Geometrie – Spin-Netzwerke
• LQC: Die Effektiven Friedmann-Gleichungen.
• Die Inflaton-Dynamik.
• Was ist die Slow-Roll-Bedingung?
• Warum überhaupt Inflation?
• Inflation in der Loop Quanten-Kosmologie:
• Quadratische Inflation.
• Starobinsky-Inflation.
• Fluktuationen aus der Inflationsepoche.
Der Raum ist auch gequantelt
Loop-Quanten-Gravitation Rovelli: https://www.youtube.com/watch?v=Mp4fpwl9loQ
Loop-Quanten-Gravitation LQG • In der Einstein-Theorie ist die Metrik g der Raum-
Zeit die Grundvariable, von der alle geometrischen Eigenschaften (wie Krümmung) abgeleitet werden.
• Diese eignet sich nicht zur Quantisierung!
• In der kanonischen Quantisierung von Ashtekar (1986) treten 3 „elektrische Felder“ Ea an die Stelle der Metrik von Hyperflächen t = const und ein su(2)-wertiges Vektorpotenzial A = Ai dxi, in Analogie zu einer SU(2) Yang-Mills Theorie. Dieses Potenzial beschreibt den Transport von Spin-1/2 Teilchen, so wie Gluonen den Transport von Quarks in der QCD beschreiben.
LQG Hilbert-Raum der Zustände
• Quantenmechanische Zustände der Loop-Quanten-Gravitationen sind jetzt Funktionen Y(A) vom Potenzial A.
• Da die Lie-Algebra su(2) kein kompakter Raum ist (Integration unendlich), geht man zu Holonomien (Parallel-Transport) über, die jetzt Elemente der Gruppe SU(2) sind. Damit werden die Zustände von LQG zu Wellenfunktionen auf der Gruppe SU(2) ~ S³.
• Die möglichen Zustände sind vollständig durch die Spins j charakterisiert Spin-Netzwerke.
QCD-Eichtheorie auf dem Gitter Gluonen vermitteln den Transport Holonomie
Gluonen in
Lie Algebra
der SU(3)
Transport
Linkvariable
= Holonomie
a
Wilson-Loop
Der Hilbertraum
der Geometrie-Zustände Die Lie-Algebra su(2) ist kein kompakter Raum.
Übergang zu Gruppenraum SU(2) via Holonomien.
SU(2) ~ S³ topologisch, d.h. g durch 3 Winkel gegeben.
L = # Links pro Knoten Produktgruppenraum
Die Zustände der Gravitation sind Wellenfunktionen Y(Ul)
von L (4) Gruppenelementen in SU(2) mit Skalarprodukt
Holonomien - Spin-Netzwerke
Zustände der Quanten-Geometrie sind durch beliebige
Graphen G (Knoten + Links) gegeben, deren Links
Gruppenelemente g der Holonomien SU(2) repräsentieren.
Nach dem Peter-Weyl Theorem werden diese Zustände
durch ihren Spin j gekennzeichnet (Drehimpuls).
Peter-Weyl Theorem
Peter-Weyl Theorem 1:
Die irreduziblen Darstellungsmatrizen Dj(g) für die
Gruppe SU(2) erfüllen die Orthogonalitätsrelation
Peter-Weyl Theorem 2:
Die Darstellungsmatrizen Dj(g)mn bilden eine vollständige
Basis der quadrat-integrablen Funktionen auf SU(2)
Harmonische Analyse auf SU(2)
LQG SU(2)-YM
Gauss
Impuls
Hamilton
Aia, Ea
i Operatoren auf Spin-Netzwerken
Operatoren & Zwangsbedingungen
p df/dt
Quanten-Geometrie Gravitation = Geometrie – Geometrie= Gravitation
Der Raum ist ein Netzwerk von Polyedern
als duales Netzwerk des Spin-Netzwerkes
Triangulation einer Fläche mit
Graph des dualen Spin-Netzwerks
Parkettierung eines Würfels mit
Graph des dualen Spin-Netzwerks
Parkettierung eines Würfels Volumen 0 ist unphysikalisch
a ~ Planck-Länge
Observablen eines Tetraeders
Wähle die 4 Vektoren
La (a=1,…,4): L3 = ½ e1 x e2
4 Normale mit Norm
= Fläche.
Closure Bedingung
C = L1 + L2 + L3 + L4 = 0
Diese La`s bestimmen
alle weiteren Eigen-
schaften des Tetraeders
Flächen: Aa = |La|
Volumen:
L1
L2
L3
L4
A1
e1
e2
e3
Polyeder-Theorem von Minkowski
„Ein Polyeder ist eindeutig bestimmt
durch seine Flächen und Normalen.“
Theorem von Minkowski (1897):
Wenn n1,…,nF nicht-koplanare Einheits-
vektoren sind und A1,…,AF positive Zahlen, so
dass die Closure Bedingung C=Sumi Aini = 0
gilt, dann gibt es ein konvexes
Polygon mit Normalen ni und
Flächen Ai.
Quantisierung der Geometrie
Gravitation ist Geometrie – Geometrie ist
Gravitation.
Ein Polyeder (Tetraeder) repräsentiert ein
bestimmtes Gravitationsfeld, das nun
quantisiert werden muss:
Die Normalen La werden zu Operatoren:
La = Aana Ea = 8pg LP² La .
mit E1 + E2 + E3 + E4 = 0 .
Diese 4 Vektoren La erfüllen die Drehimpuls-
Algebra, die aus der Hamilton-Dynamik des
Gravitationsfeldes hergeleitet wird.
Quantisierungs-Postulat LQG
Dies ist benfalls eine Realisierung der
Drehimpulsalgebra SU(2) für jeden La, als
Ausdruck der Symmetrie des Tetraeders.
Die Geometrie wird durch La bestimmt
bis auf Rotationen (= Eichtransformationen).
Körnigkeit der Quanten-Geometrie
Eigenwerte des Flächenoperators
Ein neuer Parameter
2ˆ( ) , 8 ( 1) ,pA j l j j jpgG GS
( ) 2 1Dim j j
j
2 2
2
( ) det( )
ˆ ˆ ( ) ( )i aj
a i j
A d h
d E E n n
S
S
S
S
, jG
:g Immirzi Parameter
Rovelli & Smolin 1995
Volumen-Spektrum Tetraeders
Zustände des
Tetraeders
mit gleichem
Spin j
j x j x j x j
Einheit Vol in
Planck-
Einheiten
8pL³Pg ~ 10-106
Kreise:
Numerik
Punkte: WKB-
Näherung Grafik: Eugenio Bianchi 2013
m
Spin-Netzwerk – Knoten, Links & j
Die einzelnen Knoten und Linien repräsentieren denkbar winzige Raumgebiete: Ein
Knoten entspricht einem Planck-Volumen (Kubik-Planck-Länge) und eine Linie einer
Planck-Fläche (Planck-Länge zum Quadrat). Doch mit Vielfachen dieser Einheiten lässt
sich jede Hülle 'ausmessen' - der Größe und Komplexität solcher Spin-Netzwerke sind
nach oben keine Grenzen gesetzt - um den Quantenzustand des gesamten Universums
abzubilden, würde man ein gigantisches Spin-Netz mit etwa 10184 Knoten benötigen.
Relationale Quantenmechanik
Verhalten müssen sich die Raumquanten nur relativ zu
ihren Artgenossen. Ein jedes hat eine endliche Zahl von
Verbindungen zu den anderen (sog. „Links“) - so, wie
ein Polyeder eine definierte Anzahl Grenzflächen hat.
Sofern man nicht vergisst, dass diese Quanten nicht im
Raum existieren (sondern ihn erst aufbauen), kann
man sie sich auch als Polyeder vorstellen. Die
Verbindungen können nun verschiedene diskrete
Stärkewerte annehmen, welche die lokale Krümmung
des Raumes auf Quantenebene angeben. Man kann sie
sich als verschiedene Größen der Polyederflächen
vorstellen.
Wo ist die Zeit geblieben?
Durch die Quantisierung auf Hyperflächen
t = const ist die Zeit entfallen. Damit wird
die von Einstein geforderte Einheit von
Raum und Zeit wieder zerstört!
Normalerweise beschreibt der Hamilton-
Operator H die Zeitentwicklung in der
Quantentheorie. Da H = 0 in LQG
(Hamilton-Constraint), haben wir ein
Problem, das bis heute nicht gelöst ist!
Zeit entsteht durch Übergänge zwischen Quantenzuständen
Auch die heutige Zeit ist physikalisch durch einen Quantenübergang im Caesium-133-Atom definiert!
E
ine
Se
kun
de
ist
das
9.1
92
.63
1.7
70
-fac
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r P
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ms
Cae
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33
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rich
t.
Spin-Schäume Zeitentwicklung
Das Universum wächst wie ein
Seifenschaum
Auch die Zeit nimmt in der LQG einen diskreten Charakter
an; sie wird hier definiert durch die Abfolge diskreter Züge,
die das Netzwerk (den Raum) umordnen. Zeit fließt nicht
kontinuierlich, sondern ist nun diskret und 'hüpft' in kleinen
Intervallen - vergleichbar den in Zeitlupe sichtbaren
Einzelbildern eines (Zelluloid-)Films. Sie tickt gewissermaßen
wie eine Uhr, wobei jedes Ticken ungefähr einer Planck-Zeit
(10–43 Sekunden) entspricht.
Schwarz-Loch Entropie & LQG
• Bekenstein-Entropie eines Schwarzen Lochs
• SBH(A) = kB (A/4LP²) - A: Horizontfläche
Bekenstein- Entropie S
Spin-Netzwerk Schwarzes Loch
Das Wesen der LQG
Der Raum ist ein Spin-Netzwerk, in dem die
Knoten die elementaren Körnchen und die
Links ihre Beziehung zur Umgebung
darstellen, durch Spin j gegeben.
Der physikalische Raum setzt sich aus
Quanten zusammen, wie Teilchen Quanten
von Feldern (Photonen, Gluonen, …) sind.
Die Quanten des Gravitationsfeldes sind
Raumquanten, die körnigen Bestandteile des
Raumes – im Unterschied zu Stringtheorien.
Kritik an der LQG
LQG ist nicht exakt die Umsetzung der
Yang-Mills Quantisierung auf die
Gravitation nicht die Triaden, sondern
Krümmung wäre kanonischer Impuls!
LQG verletzt die lokale Lorentz-Invarianz.
LQG enthält keine fermionischen und
bosonischen Anregungen, die den Teilchen
im Standardmodell entsprechen. Flächen-
und Volumen-Operatoren können nicht die
einzigen Observablen einer Quantentheorie
der Gravitation sein.
Semiklassische Näherung
• Eine semiklassische Näherung in der Quanten-physik steht für eine Näherung an ein System, in der die niedrigste quantenmechanische Korrektur zur klassischen Behandlung des Systems betrachtet wird.
• Ashtekar und Bojowald haben 2001 die semiklassische Näherung der Loop-Quanten-Kosmologie berechnet (d.h. führende Korrekturen zur klassischen Theorie).
Effektive Friedmann-Gleichung:
Effektive Friedmann-Gleichung
Bounce: r(tB) = rcrit
H(tB) = 0 a(tB) = aB
rcrit = 0,41 MP/LP³
l² = 5,2 LP² b = g H
Was ist Inflation ?
• Die wesentliche Annahme der Inflations-modelle ist eine Zeitspanne im frühen Universum, in der sich der Kosmos im wesentlichen exponentiell ausdehnt.
• Mathematisch: Inflation ist beschleunigte Expansion:
Planck-Temperatur & Planck-Dichte
Die Planck-Temperatur wird erreicht, wie das Universum 32 Größenordnungen kleiner war, zur Zeit von etwa 10 Millionen Planck-Zeiten! Da erreichte die Dichte ebenfalls Planck-Dichte. Quanten-Gravitation spielt bereits in jener Zeit eine entscheidende Rolle.
Die Pioniere der Inflation
* 1947 * 1948 * 1948
Warum Inflation ?
• Das wichtigste Problem ist der Urknall selbst. Wie kann alles aus dem Nichts entstehen? Gab es doch etwas davor? Jede Singularität in einer physikalischen Theorie markiert die Grenze dieser Theorie!
• Das Horizont-Problem: Man beobachtet eine hochgradige Isotropie in der Materieverteilung und in der kosmischen Hintergrundstrahlung.
Das Horizont-Problem
Das Horizont-Problem CMB
Das Flachheits-Problem
• Der Bereich des heute sichtbaren Universums weist praktisch keine Krümmung auf, Wk ~ 0.
• Im Rahmen einer Standardexpansion ohne Inflation würde dies unmittelbar nach dem Urknall eine unglaublich genaue Abstimmung der Parameter verlangen, für die es im Rahmen der Standard-Kosmologie keine Erklärung gibt.
• Für den Fall einer inflationären Epoche wäre dies nur eine Konsequenz der ungeheuren Ausdehnung: aEnde/aBegin > 1030.
Das Eindeutigkeits-Problem
• Warum gibt es überhaupt ein Universum?
• Warum ist das Universum so, wie es ist? Wären die Wechselwirkungskonstanten wie Feinstrukturkonstante a und starke WW gs nur gering anders, hätte sich das Universum in eine völlig andere Richtung entwickelt!
• Dies ist eines der schwierigsten Probleme der Metaphysik, mit dem sich Physiker im Ruhestand gerne beschäftigen.
Postulat: Existenz des Inflatonfeldes
(µ, n = 0,1,2,3)
XXX
XXX
Das Feld ist homogen
Was ist die „Slow-Roll“ Bedingung ?
• Wird ein homogenes skalares Feld angenommen, so folgt aus dem Dichte-ausdruck
XXX
Slow-Roll und Quark-Gluon Plasma
1. Slow-Roll im flachen Potenzial
V
F Grafik: A. Linde
Umsetzung Feldenergie in Quark-Suppe
2. Expansion bremst ab Slow-Roll
V
F Grafik: A. Linde
Umsetzung Feldenergie in Quark-Suppe
Chaotic Inflation
Eternal Inflation
Linde 1983
Grafik: A. Linde
Friedmann-Gleichung:
Klein-Gordon-Gleichung:
Chaotische Inflation
Wie ein Oszillator mit Reibung:
Für große f ist der Hubble-Parameter groß, Reibung ist stark, f bleibt
nahezu konstant. die Friedmann-Gleichung hat eine einfache Lösung
Dynamik des Inflatonfeldes
Die Flächen mit konstanter Dichte sind Ellipsoide.
Slow-Roll ist ein Attraktor
Dissipation der Feldenergie
Phasenplot limitiert durch krit. Dichte Inflation ist ein Attraktor
Parameter der Inflation
Zustandsgleichung:
Slow-Roll-Parameter:
Dauer der Inflation:
Chaotische Inflation Loop-Kosmologie tB: Bounce Zeit; fB: Anfangswert des Inflatonfeldes
Grafik: Tao Zhu et al. 2017
Planck-Epoche universell
Übergang zu Slow-Roll
Chaotische Inflation Zustandsglg.
Bounce Planck-Epoche
Übergangs- phase
Slow-Roll
Grafik: Tao Zhu et al. 2017
Chaotische Inflation Slow-Roll
Grafik: Tao Zhu et al. 2017
Übergangs- phase
Slow-Roll
R²-Inflation in Loop-Kosmologie Starobinsky-Inflation
R²-Inflation Loop-Kosmologie
Grafik: Tao Zhu et al. 2017
Planck-Epoche universell
Übergang zu Slow-Roll
R²-Inflation Zustandsgleichung
Grafik: Tao Zhu et al. 2017
Übergang zu Slow-Roll
Planck-Epoche
R²-Inflation Slow-Roll
Grafik: Tao Zhu et al. 2017
Slow-Roll
Dauer der Inflation: Ninf = ln(aEnde/aT)
Sollwert = 60 - 70
Grafik: Tao Zhu et al. 2017
Was legt den Anfangswert des Feldes fest?
Inflation in Quanten-Kosmologie
Hubble-Radius - Fluktuationen entstehen innerhalb Horizont c/H
Fluktuationen entstehen in der Singularität
Fluktuationen entstehen im Vorgänger-Universum
Constraints an GWellen Planck Potenz-Inflation ausgeschlossen, R² möglich
Martin Rees zur Inflation • „Die Inflation sollte man möglicherweise gar nicht als
spezifische Theorie, sondern lieber als »Szenario« ansehen. Und in diesem allgemeineren Sinne ist die Inflation noch höchst lebendig: Es ist immer noch die beste Idee, die wir haben, um die Größe des Kosmos und die Eigenschaften der Fluktuationen der Hintergrundstrahlung zu erklären. Das Problem ist allerdings, dass wir keine solide Vorstellung der Physik bei den immensen Energien haben, bei denen die Inflation auftritt (sie ist eine Billion Mal höher als das, was wir mit Teilchenbeschleunigern erreichen können). Messungen der Eigenschaften der Fluktuationen liefern uns zwar Einschränkungen für diese Physik und könnten zu neuen Tests führen oder gar Indizien gegen die Inflation liefern. Aber noch ist die Inflation ein gutes Konzept und es lohnt sich, darauf zu setzen.“
Martin Rees zu Lage der Physik
• „Jede Vereinigung von Gravitation und Quantentheorie muss beispielsweise mit großer Wahrscheinlichkeit die Planck-Länge beinhalten – und diese ist zwanzig Größenordnungen kleiner als ein Atomkern. Auf dieser Längenskala könnte der leere Raum eine komplexe Struktur zeigen. Es könnte sich dabei um die Struktur handeln, die sich aus der String-Theorie ergibt. Oder aus der Quantenschleifengravitation. Oder aus etwas völlig anderem. Die Optimisten hoffen, dass irgendeine derartige Theorie eines Tages zu Glaubwürdigkeit gelangt, weil sie die bislang unerklärlichen Parameter des Standardmodells erklärt, oder weil neue kosmologische Beobachtungen das Vakuum nahe der Planck-Skala überprüfen können. Wir wissen aber weder welche, noch ob überhaupt eine der gegenwärtigen Ideen auf der richtigen Spur ist.“
Nächstes Semester 22.10.2018 300 Milliarden Sterne & Planeten
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