ЛОКАЛЬНО-ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТАМИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего образования

«Национальный исследовательский Томский государственный университет»

На правах рукописи

Мухина Оксана Олеговна

ЛОКАЛЬНО-ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТАМИ

С УЧЕТОМ ЗАПАЗДЫВАНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ

О СОСТОЯНИИ И ПАРАМЕТРАХ МОДЕЛИ

05.13.01 – Системный анализ, управление и обработка информации

(в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)

Диссертация

на соискание ученой степени

кандидата технических наук

Научный руководитель

доктор технических наук, профессор

Смагин Валерий Иванович

Томск – 2016

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ...................................................................................................................... 4

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ ............................................................................................ 13

Глава 1. ЛОКАЛЬНО-ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ С УЧЕТОМ

ЗАПАЗДЫВАНИЙ ПО УПРАВЛЕНИЮ ................................................................... 16

1.1. Постановка задачи .............................................................................................. 18

1.2. Оптимизация локального критерия для модели объекта с запаздываниями 19

1.3. Построение управления при косвенных наблюдениях ................................... 24

1.4. Применение алгоритма локально-оптимального управления к задаче

управления запасами при эшелонном расположении складов с учетом

дополнительных ограничений .................................................................................. 25

1.5. Локально-оптимальное управление запасами для модели оптового и

розничных складов с учетом дополнительных ограничений ................................ 33

1.6. Выводы по главе 1 .............................................................................................. 39

Глава 2. ЛОКАЛЬНО-ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ

ОБЪЕКТОВ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО СОСТОЯНИЮ ......................................... 40


2.2. Оптимизация локального управления для структуры системы управления по

выходу ......................................................................................................................... 42

2.3. Исследование асимптотического поведения замкнутой системы управления

по выходу .................................................................................................................... 56

2.4. Результаты моделирования ................................................................................ 65

2.4.1. Моделирование системы управления 2-го порядка .................................. 65

2.4.2. Задача управления производством и сбытом товара ................................ 66

2.5. Выводы по главе 2 .............................................................................................. 72

Глава 3. УПРАВЛЕНИЕ ПО НАБЛЮДАЕМОМУ ВЫХОДУ ОБЪЕКТАМИ С

ИНТЕРВАЛЬНЫМИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ С УЧЕТОМ

ЗАПАЗДЫВАНИЯ ........................................................................................................ 73

3


3.2. Построение локально-оптимального управления для объекта с

запаздыванием по состоянию и с интервальными неопределенностями ............ 75

3.3. Исследование асимптотического поведения замкнутой системы для объекта

с запаздыванием по состоянию и с интервальными неопределенностями ......... 85

3.4. Результаты моделирования ................................................................................ 92

3.5. Выводы по главе 3 .............................................................................................. 97

Глава 4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЛОКАЛЬНО-ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

УПРАВЛЕНИЯ ПО ВЫХОДУ ОБЪЕКТАМИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО

СОСТОЯНИЮ ............................................................................................................... 98


4.2. Синтез динамической системы управления по выходу с интервальными

неопределенностями ................................................................................................ 100

4.3. Синтез динамической системы управления по выходу со случайными

параметрами ............................................................................................................. 116

4.4. Исследование асимптотического поведения динамической замкнутой

системы управления по выходу ............................................................................. 122

4.5. Результаты моделирования системы управления объектом с интервальными

неопределенностями ................................................................................................ 130

4.6. Результаты моделирования системы управления объектом со случайными

параметрами ............................................................................................................. 133

4.7. Выводы по главе 4 ............................................................................................ 134

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ........................................................................................................... 136

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ .............................. 139

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ........................................................................................... 140

ПРИЛОЖЕНИЕ ........................................................................................................... 159

4

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Одним из широко используемых

подходов к синтезу систем управления является метод прогнозирующего

управления – Model predictive control (MPC). Идеи этого метода начали

развиваться в 50-60-х годах, а в 80-х он начал активно применяться на практике,

так как использование других методов синтеза было затруднено из-за сложности

математических моделей, описывающих производственные и технологические

процессы, а так же в связи с трудностями, возникающими при учете

дополнительных ограничений.

Наряду с методом MPC, при синтезе систем управления так же применяются

алгоритмы, в основу которых положена оптимизация локальных критериев. Такие

алгоритмы представляют собой частный случай метода MPC с прогнозом на один

такт. Этот подход развивается в работах Г.Л. Дегтярева, И.С. Ризаева [10], Г.Л.

Дегтярева, Т.К. Сиразетдинова [11], Н.Н. Моисеева [37], В.И. Зубова [19], Г.К.

Кельманса, А.С. Позняка, А.В. Черницера [23], А.И. Пропоя [59], А.И. Рубана

[60], E.F. Camacho, C. Bordons [89], J.M. Maciejowski [120] и других авторов.

Об актуальности применения MPC-подхода свидетельствуют публикации

научных работ за последние годы. В настоящее время, область использования

метода MPC и, соответственно, метода локально-оптимального управления

охватывает задачи управления техническими системами: B.D.O. Capron, M.T.

Uchiyama [91], C.L. Castillo, W. Moreno, K.P. Valavanis [92], E. Joelianto, E.M.

Sumarjono [109], A. Liu, L. Yu, W. Zhang [115] и др., производственными

системами: М.Ю. Киселева, В.И. Смагин [24 – 27], Е.А. Перепелкин [52], М.Ю.

Приступа, В.И. Смагин [58], A. Seirstad, K. Sydsaeter [137] и т.д., управление

запасами: Е.А. Перепелкин [52], E. Aggelogiannaki, Ph. Doganis, H. Sarimveis [77],

5

J.-C. Henneta [108], P. Conte, P. Pennesi [96], P. Doganis, E. Aggelogiannaki, H.A.

Sarimveis [98], H. Dong, H. Zheng, L.Y. Ping [104], P.H. Lin, S.S. Jang, D.S.H. Wong

[113], P.E. Lopez, B.E. Ydstie, I. Grossmann [116], N. Nandola, D. Rivera [126], H.

Rasku, J. Rantala, H. Koivisto [133], C. Stoica, M. Arahal [141], K. Subramanian, J.B.

Rawlings, C.T. Maravelias [142], W. Wang, D.E. Rivera, K.G. Kempf [146], W.

Wenlin, E. Daniel, A. Rivera [147] и др., финансовую математику: В.В.

Домбровский, Д.В. Домбровский, Е.А. Ляшенко [15, 16], В.В. Домбровский, Д.В.

Домбровский [101], В. Домбровский, T. Объедко [105], B. Piccoli, A. Marigo [131]

и т.д., технологические процессы в химической M.M. Arefi, A. Montazeri [81], I.

Batina [85], S. Mahmoodia, J. Poshtana, M.R.Jahed-Motlaghb, A. Montazeria [121],

Q.N. Tran, J. Scholten, L. Ozkan, T. Backx [145], угольной L. Zhang, X. Xia [150] и

строительной M.Y. Lamoudi, M. Alamor, P. Beguery [111] индустриях, легкой,

пищевой и перерабатывающей промышленности, в аэрокосмических

исследованиях G. Chowdhary, M. Muhlegg [95], в современных системах

энергетики Y. Ma, A. Kelman [119], B. Marinescu, H. Bourles [122] и в других

областях: J. Backman, T. Oksanen, A. Visala [83], M.W. Braun, D.E. Rivera, M.E.

Flores [87], L. Dai, Y. Xia, M. Fu, M. Mahmoud [97], J.M. Maciejowski [120], F.

Oldewurtel, A. Parisio [127], Y. Pan, J. Wang [129], J. Richalet, A. Rault, J.L. Testud,

J. Papon [136].

Модели реальных процессов, как правило, содержат запаздывания по

времени. Очевидно, что, не учитывая запаздывания, можно исказить модель,

сделать ее неадекватной. Естественно, что решение задач синтеза по таким

неадекватным моделям приведет к ошибочным результатам. Синтез управления

системами с запаздываниями рассматривается в большом количестве работ,

например: Х. Гурецкий [8], Р.Т. Янушевский [77], А.Н. Клименко, А.М. Цыкунов

[30], М.Ю. Киселева, В.И. Смагин [28, 29, 110], М.Ю. Приступа, В.И. Смагин [57],

И.Б. Фуртат [74], M. Bobal, P. Kubalcik, J. Dostal, V. Matejicek [86], D. Bresch-

Pietri, J. Chauvin, N. Petit [88], P. Conte, P. Pennesi [96], B. Ding [98], Y.S. Moon, P.

Park, W.H. Kwon, Y.S. Lee [123], M. Reble, F. Allgower [135], Y. Shi, T. Chai, H.

Wang, S. Chun-Yi [138], R. Tang, H. Ma, S. Guo, L. Ren [143], M. Reble, R.M.

6

Esfanjani, S. Kamaleddin, Y. Nikravesh [135], G. Tang, H. Sun, Y. Liu [144], и др.

Вместе с тем, проблемы синтеза управлений, допускающих учет запаздываний в

модели объекта, остаются актуальными для систем с неполной информацией и

неопределенными параметрами.

Неопределѐнности в модели могут быть вызваны неточным заданием

параметров, за счет погрешностей измерений, случайно возникающих сбоев,

влияющих на характеристики объекта и другими причинами. Существуют

различные подходы синтеза систем управления для объектов с неопределенными

параметрами, например: методы адаптивного управления (И.Б. Фуртат [74], М.М.

Коган, Ю.И. Неймарк [31], В.Н. Фомин, А.Л. Фрадков, В.А Якубович [72]),

робастного управления (А.А. Воевода [5], А.Е. Невский, Ю.Л. Сиек [49], Б.Т.

Поляк, П.С. Щербаков [54]), методы линейных матричных неравенств (B.D.O.

Capron, M.T. Uchiyama [91], В.В. Домбровский, Е.В. Чаусова [100]), теория

нечетких множеств (T-S. Lin, S-W. Chan [114], L.A. Zadeh [150]), вероятностные

методы (N. Alon, M. Krivelevich [79], N. Alon, J.H. Spencer [80]) и т.д. Так же, в

работах при построении таких моделей часто используются модели

неопределенностей интервального типа: А.А. Воевода [5], А.А. Воевода, В.В.

Плохотников [6], Ю.М. Гусев, В.Н. Ефанов, В.Г. Крымский, В.Ю. Рутковский [9],

В.Н. Ефанов, В.Г. Крымский, Р.З. Тляшов [17], А.В. Захаров, Ю.И. Шокин [18],

В.А. Кожухарь, С.Г. Пушков [32], А.Е. Невский, Ю.Л. Сиек [49], В.В.

Плохотников [53], Т.А. Фролов, С.В. Фролов [73], F. Farokhi, K. Johansson [106],

B.M. Patre, B. Bandyopadhyay [130] или случайные параметры: В.В. Домбровский,

Е.А. Ляшенко [16], С.В. Смагин [71], Y. Bar-Shalom, R. Sivan [84], M. Cannon, B.

Kouvaritakis, P. Couchman [90], В.В. Домбровский, Е.В. Чаусова [100], В.В.

Домбровский, Д.В. Домбровский [101], В.В. Домбровский, Д.В. Домбровский,

Е.А. Ляшенко [102, 103], J.H. Lee, B.L. Cooley [112], J.A. Primbs [131]. Системы

управления, синтезированные с учетом различных неопределенностей в модели,

более приспособлены для решения задач управления реальными объектами.

Проблема синтеза управлений для объектов, в описании модели которых

учитываются неопределенности, остается актуальной и в настоящее время.

7

Высказанные доводы доказывают актуальность развития методов управления

объектами с учетом запаздываний в условиях неполной информации о состоянии

и параметрах модели.

Актуальность исследования обусловлена необходимостью развития

методов синтеза управления с прогнозирующей моделью путем усложнения

моделей, введения различного рода запаздываний, критериев, присутствия

неопределенностей в модели объекта, придания робастных свойств замкнутой

системе управления, применения современных оптимизационных методов в

реальном масштабе времени, введения ограничений и др. Введение этих

усложнений обусловлено попыткой создания такого метода управления, который

смог бы решить проблемы управления моделями, описывающими реальные

процессы.

Следует отметить недостаток внимания к задачам синтеза прогнозирующего

управления выходом объекта при наличии запаздываний и неопределенностей в

описании модели объекта. Поэтому в данной работе предлагается осуществлять

синтез следящих систем управления по выходу на основе оптимизации

локального критерия, при косвенных измерениях для дискретных объектов с

запаздываниями по состоянию. Управление объектом реализуется без расширения

пространства состояний модели. Для задачи управления дискретными системами

с запаздыванием по состоянию и с интервальными неопределенностями

предложены алгоритмы синтеза со структурой по выходу и на основе обратной

динамической связи, которые реализуются на основе вероятностного метода.

Управление дискретными объектами со случайными параметрами с учетом

запаздываний по состоянию синтезируется на основе обратной динамической

связи.

Применение методов теории управления также актуально в задачах

управления запасами для систем складов сложной структуры.

Цели и задачи диссертационной работы. Цель работы состоит в разработке

систем управления дискретными линейными объектами, функционирующими в

8

условиях ограничений и при неполной информации с учетом запаздываний по

состоянию и управлению на основе оптимизации локального критерия.

В рамках сформулированной цели решены следующие задачи:

1. Разработать алгоритм синтеза локально-оптимального управления

дискретным объектом со случайными возмущениями, запаздываниями по

управлению и состоянию, не применяя классические приемы расширения

пространства состояний;

2. Построить локально-оптимальное управление по наблюдаемому выходу

для дискретного объекта с неопределенностями интервального типа и с

запаздыванием по состоянию на основе вероятностного метода;

3. Разработать алгоритмы динамического локально-оптимального управления

по наблюдаемому выходу для дискретных систем с интервальными

неопределенностями и случайными параметрами с учетом запаздывания по

состоянию. Для систем с интервальными параметрами синтезировать алгоритм на

основе вероятностного метода;

4. Выполнить моделирование систем управления запасами с учетом

запаздываний для различных структур расположения складов и системы

управления производством и сбытом товара. Провести апробацию алгоритмов с

помощью вычислительных экспериментов.

Научная новизна работы заключается в решении задач локально-

оптимального управления системами со многими запаздываниями по управлению

и состоянию без использования метода расширения пространства состояний.

Основная новизна полученных результатов заключается в следующем:

1. Найден локально-оптимальный закон управления дискретными объектами

с учетом многих запаздываний по управлению;

2. Найден локально-оптимальный закон управления по наблюдаемому

выходу для дискретных объектов заданной траектории с запаздыванием по

состоянию в условиях неопределенности описания модели;

3. Разработан закон локально-оптимального управления по наблюдаемому

выходу для дискретных объектов с интервальными неопределенностями с учетом

9

запаздывания по состоянию на основе вероятностного метода, в основе которого

лежит оптимизация локального критерия;

4. Осуществлен синтез динамических локально-оптимальных законов

управления дискретными системами со случайными параметрами и

неопределенностями интервального типа с учетом запаздываний по состоянию;

5. Решены задачи управления запасами с учетом транспортных запаздываний,

ограничений на грузоподъемность транспортных средств и с учетом уровней

страховых запасов. Для решения предлагаются алгоритмы, в основе которых

лежит оптимизация модифицированного локального критерия и критерия

суммарных издержек на скользящем интервале оптимизации. Приведено решение

задач управления производством и сбытом товаров при наличии запаздываний по

состоянию и при неполной информации о модели объекта.

Теоретическая значимость работы состоит в развитии теории локально-

оптимального управления дискретными системами с запаздываниями по

состоянию и управлению без предварительного расширения пространства

состояний, а так же для систем с неопределенными параметрами.

Практическая значимость работы заключается в возможности

использования разработанных и апробированных в рамках диссертационной

работы методов и алгоритмов в различных областях (например, логистика,

производственные системы и пр.), в которых модели управляемых объектов

содержат запаздывания, ограничения, неизвестные параметры и возмущения.

Результаты диссертационной работы используются в ООО «Сибирская

машиностроительная компания» (г. Томск) в службе материально-технического

обеспечения при решении задач управления запасами, а также в учебном процессе

на кафедре исследования операций Национального исследовательского Томского

государственного университета.

Методология и методы исследования. Для достижения поставленных в

диссертационной работе целей используется аппарат теории управления, теории

вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов,

10

численные методы и методы имитационного моделирования. Численные расчеты

и анализ результатов проводился с помощью компьютерного моделирования.

Положения, выносимые на защиту:

1. Решение задачи синтеза локально-оптимального управления состоянием

дискретного объекта со случайными возмущениями, со многими запаздываниями

по управлению;

2. Алгоритмы управления выходом объекта для дискретных систем при

наличии запаздываний по состоянию без использования расширения пространства

состояний;

3. Локально-оптимальный и динамический локально-оптимальный законы

управления по наблюдаемому выходу для дискретного объекта с интервальными

неопределенностями с учетом запаздывания по состоянию на основе

вероятностного метода. Динамический локально-оптимальный закон управления

по наблюдаемому выходу для дискретного объекта со случайными параметрами с

учетом запаздывания по состоянию;

4. Решение задачи управления запасами для различных структур

расположения складов с учетом транспортных задержек, ограничений на

грузоподъемность транспортных средств и уровней страховых запасов;

5. Условия асимптотической устойчивости систем управления по выходу и

динамических систем управления по выходу дискретными объектами с

интервальными неопределенностями и случайными параметрами с учетом

запаздываний по состоянию.

Достоверность и обоснованность полученных результатов

подтверждается тем, что математические вычисления и доказательства проведены

на строгом математическом уровне, а так же результатами численных расчетов,

результатами моделирования систем управления объектами управления запасами

и приведенными в работе иллюстрациями.

Апробация результатов. Основные моменты и результаты диссертационной

работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

11

– Всероссийская научная конференция молодых ученых «Наука. Технологии.

Инновации» (г. Новосибирск, 2008 г.);

– VII, IX, ХI Всероссийская научно-практическая конференция с

международным участием «Информационные технологии и математическое

моделирование» – «ИТММ–2008», «ИТММ–2010», «ИТММ–2012» (г. Анжеро-

Судженск, 2008 г., 2010 г., 2012 г.);

– IX, X Российская конференция с международным участием «Новые

информационные технологии в исследовании сложных структур» (пос. Катунь,

Алтайский край, 2012 г., 2014 г.);

– ХII Всероссийская научно-практическая конференция с международным

участием имени А.Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое

моделирование» – «ИТММ–2013» (г. Анжеро-Судженск, 2013 г.);

– Молодежная всероссийская научно-практическая конференция «Научное

творчество молодежи. Математика. Информатика» (г. Анжеро-Судженск, 2014 г.);

– XV Международная научно-техническая конференция «Измерение,

контроль, информатизация» – «ИКИ–2014» (г. Барнаул, 2014 г.);

– XIII Международная научно-практическая конференция имени А.Ф.

Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование» –

«ИТММ–2014» (г. Анжеро-Судженск, 2014 г.);

– XIV Международная конференция имени А.Ф. Терпугова

«Информационные технологии и математическое моделирование» – «ИТММ–

2015» (г. Анжеро-Судженск, 2015 г.).

По теме диссертационной работы опубликовано 15 работ, в том числе 4

работы [40, 44, 45, 125] опубликованы в журналах, включенных в Перечень

рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные

научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на

соискание ученой степени доктора наук (из них 1 статья [125] в журнале,

индексируемом Web of Science).

Личный вклад автора. Постановка задач, представленных в диссертации,

сделана научным руководителем, доктором технических наук, профессором

12

Смагиным В.И. Основные теоретические результаты, вычисления, а так же

результаты численного моделирования, представленные в диссертации и

выносимые на защиту, принадлежат лично соискателю. В опубликованных

работах основные результаты теоретического исследования и численного

моделирования выполнены автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,

четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации 160 страниц,

в том числе 31 рисунок, 3 таблицы; список литературы насчитывает 151

наименование.

13

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проведен анализ литературы, обоснована актуальность темы

диссертации, обозначен объект и предмет исследования, сформулирована цель,

задачи работы и методы исследования, изложены основные научные результаты,

выносимые на защиту.

В первой главе диссертационной работы дана общая постановка задачи

управления дискретным объектом с учетом многих запаздываний по управлению

со случайными возмущениями. Управление объектом реализуется без расширения

пространства состояний модели с использованием метода локально-оптимального

управления. Рассмотрен случай косвенных наблюдений за вектором состояния.

Дано применение результатов главы к решению задачи управления запасами с

учетом запаздываний в поставках и транспортных ограничений. Выполнено

моделирование систем управления запасами с учетом запаздываний для

эшелонной структуры складов и структуры, состоящей из оптового и 2-х

розничных складов.

Во второй главе для синтеза систем управления дискретными объектами с

запаздываниями предложена стратегия, которая заключается в применении

процедур параметрического синтеза для структуры закона управления по

наблюдаемому выходу. Задача управления выходом решается на основе синтеза

локально-оптимальной следящей системы управления линейным объектом при

косвенных измерениях. Дана методика учета запаздываний, реализованная без

расширения пространства состояний. Получены аналитические выражения для

коэффициентов передачи системы управления выходом. Исследовано

асимптотическое поведение системы управления по выходу объектом с учетом

запаздывания по состоянию. Построены оценки критерия, определяющего

точность слежения. Выполнено моделирование задачи управления производством

14

и сбытом товара с учетом различных запаздываний финансовых потоков в

объекте.

В третьей главе предложен алгоритм синтеза локально-оптимального

управления по наблюдаемому выходу для дискретных объектов с интервальными

неопределенностями с учетом запаздывания по состоянию. Синтез динамической

системы управления осуществляется на основе вероятностного метода без

предварительного расширения пространства состояний. Получены аналитические

выражения для коэффициентов передачи системы управления выходом.

Проведено исследование асимптотического поведения системы с интервальными

неопределенностями с учетом запаздывания по состоянию и получены оценки

критерия, определяющего точность слежения. Выполнено моделирование

алгоритма локально-оптимального управления объектами с интервальными

неопределенностями с запаздыванием по состоянию, которое показало, что

предложенный алгоритм обладает свойством робастности.

В четвертой главе рассматривается задача динамического локально-

оптимального управления по наблюдаемому выходу для дискретных систем с

интервальными неопределенностями и со случайными параметрами с учетом

запаздывания по состоянию. Решение строится на основе синтеза локально-

оптимальной следящей системы управления линейным динамическим объектом

при косвенных измерениях и с введением динамического звена в закон

управления без использования расширения пространства состояний. Синтез

системы управления объектом с интервальными неопределенностями

осуществляется на основе вероятностного метода. Исследовано асимптотическое

поведение систем управления по выходу для объектов со случайными

параметрами и неопределенностями интервального типа с учетом запаздывания

по состоянию. Произведена оценка сверху критерия, определяющего точность

слежения. Получены аналитические выражения для коэффициентов передачи

системы управления выходом. Выполнена апробация алгоритмов с помощью

вычислительных экспериментов. Произведено сравнение критерия оценки

точности отслеживания. Моделирование алгоритмов локально-оптимального

15

управления с динамическим звеном объектами с учетом запаздывания по

состоянию, как с интервальными неопределенностями, так и со случайными

параметрами показало, что оптимальная динамическая система управления,

построенная по интервальным и соответственно случайным параметрам, с

постоянными коэффициентами передачи обладает свойством робастности.

В заключении приводятся основные теоретические и практические

результаты, полученные в диссертационной работе. В приложение включены

копии актов об использовании результатов диссертации.

16

Глава 1. ЛОКАЛЬНО-ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ С УЧЕТОМ

ЗАПАЗДЫВАНИЙ ПО УПРАВЛЕНИЮ

В настоящей главе рассматривается задача локально-оптимального

управления для дискретных объектов с учетом запаздываний по управлению.

В [10, 28, 29, 55, 57, 67, 96] рассмотрены задачи синтеза систем управления с

учетом запаздываний по управлению для дискретных объектов. В работах [28, 29,

55, 57, 96] для решения задачи управления объектами с запаздываниями по

управлению применяется метод MPC. В работе [67] управление объектом

синтезируется на основе модификации оптимизируемого критерия. В [10]

рассматривается метод решения задачи для дискретной системы на основе

преобразования модели с запаздываниями к расширенной модели без

запаздываний.

Процедура расширения пространства состояний моделей позволяет от

модели с запаздываниями перейти к дискретной динамической модели без

запаздываний. Опишем эту процедуру для дискретной модели объекта с

запаздываниями по состоянию и управлению вида:

)()()()1(00

kFskuBhkxAkxM

j

jj

N

i

ii

; (1.1)

;0,,,);()( 1 NN hhx

,,2,1,0;1,),1(,);()( ku MM

0011 hhhh NN ; 01 0 MM,

где nRkx )( – вектор состояния; mRku )( – вектор управления; jih , – величины

запаздываний; )(),( – заданные детерминированные функции начальных

условий; 1)(m

Rks – входные возмущения; FBA ji ,, – заданные матрицы

соответствующих размерностей. Система (1.1) преобразуется к расширенной

системе без запаздываний:

17

)()()()1( ksFkuBkxAkx . (1.2)

В (1.2) вектор )(kx имеет следующую блочную структуру:

.)()2()1()()2()1()()( MN kukukuhkxkxkxkxkx

Матрицы FBA ,, являются блочными (структуры матриц приведены в работе

[10]) следующих размерностей:

)];1([)]1([: MNMN mnhmnhA

;)]1([: mmnhB MN

.)]1([: 1mmnhF MN

Видно, что система (1.1) с запаздываниями размерности n путем расширения

пространства состояний преобразована к системе без запаздываний, но уже

размерности )]1([ MN mnh . Такое преобразование к расширенной модели без

запаздываний приводит к значительному увеличению размерности задачи. В

случае, когда максимальные задержки ( Nh и M ) исходной модели велики,

преобразованная модель будет содержать матрицы больших размерностей, что

приводит к дополнительным сложностям при решении задач и большим

вычислительным затратам. Поэтому проблема синтеза систем с запаздываниями

без использования метода расширения пространства состояний в теории

управления является актуальной.

В главе 1 рассматриваются системы с запаздываниями по управлению.

Вопросы синтеза систем с запаздыванием по состоянию рассмотрены в главах 2,

3, 4. В качестве примера применения метода локально-оптимального управления

объектами с учетом запаздываний по управлению рассматривается задача

управления запасами двух структур расположения складов (эшелонной структуры

[96] и структуры, состоящей из оптового и розничных складов). Различные

модели управления запасами, построенные на основе оптимизационных моделей

без учета динамики процессов, изучаются в работах [20–22, 61, 76]. А задачи

управления запасами с учетом динамики изменения процессов рассматриваются в

[34, 35, 50, 51]. Метод локально-оптимального управления позволяет достаточно

18

просто учитывать дополнительные ограничения. В примерах применения этого

метода к задачам управления запасами будет осуществлена оптимизация

дополнительного критерия издержек на хранение товаров, осуществлен учет

ограничений на управление и учет заданного страхового уровня запасов товаров

на складах.

Основные результаты главы опубликованы в работах [38, 42 – 44, 65].

1.1. Постановка задачи

Пусть дискретная система с запаздываниями по управлению описывается

разностным уравнением:

)()()()1(0

kFskuBkAxkxM

i

ii

; (1.3)

,2,1,0;1,),1(,);()(;)0( 0 kuxx MM ,

01 0 MM,

где nRkx )( – вектор состояния; mRku )( – вектор управления; i

– величины

запаздываний; )( – заданная детерминированная функция начальных условий

на интервале ]1,),1(,[ MM . Предполагается, что )(ks – входные

возмущения (некоторый наблюдаемый случайный процесс); MiFBA i ,0,,, –

заданные матрицы соответствующих размерностей.

Оптимизируемый локальный критерий имеет вид:

M

i

kk

iii SXkuDkukzkwCkzkwMkI0

00 ,/)()())()1(())()1(()( , (1.4)

где MiDDСC ii ,0,0;0 – весовые матрицы; )()( kHxkw – вектор

управляемого выхода; H – матрица выхода системы; )(,),1(),0(0 kxxxX k ;

)(,),1(),0(0

ksssS k ; z(k) – отслеживаемый вектор.

Требуется найти управление объектом (1.3), минимизирующее критерий

(1.4).

19

1.2. Оптимизация локального критерия для модели объекта с

запаздываниями

Будем предполагать, что все компоненты вектора x(k) измеряются точно. Для

того чтобы найти оптимальное управление по критерию (1.4), вычислим значение

этого критерия, при этом будем учитывать свойства операции tr. Вычислим

значение критерия (1.4) для модели объекта (1.3):

)()()()( 00000 kukuDCHBHBtrkI

)()()( 11111 kukuDCHBHBtr

)()()( MMMMM kukuDCHBHBtr

)()()()(( 22110 MM kuHBkuHBkuHBkHAxCHtrB

)())()( 1kukzkHFs

)()()()(( 22001 MM kuHBkuHBkuHBkHAxCHtrB

)())()( 2kukzkHFs

)()()()(( 111100 MMM kuHBkuHBkuHBkHAxCHtrB

)())()( MkukzkHFs

)())()()(( 00 kuCHBkzHFksHAkxtr

)())()()(( 11 kuCHBkzHFksHAkxtr

).())()()(( MM kuCHBkzHFksHAkxtr (1.5)

Перепишем (1.5) в следующем виде:

M

i

i

M

i

iiii kHAxCHtrBkukuDCBBtrkI00

)(()()()()(

)())()()(,0

i

M

ijj

jj kukzkHFskuHB

M

i

HFksHAkxtr0

)()(( ).())( ii kuCHBkz (1.6)

Оптимальное управление определим из условий:

20

.,0;0)(

)(Mi

ku

kI

i

(1.7)

Будем использовать правила дифференцирования функции tr от произведения

матриц по матричному аргументу [2]:

;

BA

X

trAXB

;BAX

BtrAX

.CAXBXBCAX

CtrAXBX

(1.8)

Тогда в силу (1.7) и с учетом (1.8), получим систему векторных уравнений для

определения Miku i ,0),( :

));()()()(

)()(()()(

22

110

1

0000

kzkHFskuHBkuHB

kuHBkHAxCHBDCHBHBku

MM

));()()()(

)()(()()(

22

001

1

1111

kzkHFskuHBkuHB

kuHBkHAxCHBDCHBHBku

MM

)).()()()(

)()(()()(

1111

00

1

kzkHFskuHBkuHB

kuHBkHAxCHBDCHBHBku

MM

MMMMM

(1.9)

Если переписать модель (1.3) в виде:

MM

M

l

l

l

M

i

ii

l

M lkFsAlkuBAkxAkx

1

1

1 0

1 )()()()( ,

то систему (1.9) можно представить в виде:

));()()()(

)(()()(

1101

1

0

1

0000

kzlkFsAHkuBHlkuBAH

kxHACHBDCHBHBku

MM

M

l

lM

j

jj

M

j

jj

l

l

M

));()()()(

)(()()(

11

,001

1

1

1

1111

kzlkFsAHkuBHlkuBAH

kxHACHBDCHBHBku

MM

M

l

lM

jj

jj

M

j

jj

l

l

M

21

)).()()()(

)(()()(

1

1

001

11

kzlkFsAHkuBHlkuBAH

kxHACHBDCHBHBku

MM

M

l

lM

j

jj

M

j

jj

l

l

MMMMMM

(1.10)

Для решения системы уравнений (1.10) необходимо осуществлять прогноз

переменной )(s (следует учитывать, что в текущий и предыдущие моменты

времени значение вектора )(s известно, а для моментов времени большие

текущего, его значение прогнозируется). Прогноз )(s может быть реализован с

использованием методов прогнозирования временных рядов [75].

Построение управления осуществляется по следующему алгоритму:

В момент времени 0, для определения )0(u необходимо решить систему

(1.10) при Mk , которая в этом случае будет представляться в виде:

));()0()()(

)()(

)0(()()(

1

11

001

001

1

0

1

0000

M

l

Mp

lM

j

jMj

M

lj

jMj

l

lM

lj

jMj

l

l

M

zFsHAlFsAHuBH

lBAHluBAH

xHACHBDCHBHBu

M

M

jMM

M

jM

M

M

)0(()()(1

1

1

1111 xHACHBDCHBHBu M

M

M

lj

jMj

l

lM

lj

jMj

l

l

jMM

M

jM

M

lBAHluBAH

001

001

)()(

));()0()()(1

11

,0

M

l

Mp

lM

jj

jMj zFsHAlFsAHuBH M

M

)),()0()()(

)()(

)0(()()0(

1

1

1

0

001

001

11

M

l

Mp

lM

j

jMj

M

lj

jMj

l

lM

lj

jMj

l

l

MMMM

zFsHAlFsAHuBH

lBAHluBAH

xHACHBDCHBHBu

M

M

jMM

M

jM

M

M

(1.11)

22

где )(s и )(p

s – наблюдаемое и прогнозируемое значения вектора )(s для

соответствующих моментов времени.

На следующем шаге, в текущий момент времени 1, для нахождения )1(u

необходимо решить систему (1.10) при 1 Mk , которая в этом случае

записывается в виде:

));1()1()1()(

)1()1(

)1(()()1(

1

11

01101

0101

1

0

1

0000

M

l

Mp

lM

j

jj

M

lj

jMj

l

lM

lj

jMj

l

l

M

zFsHAlFsAHkuBH

lBAHluBAH

xHACHBDCHBHBu

M

M

jMM

M

jM

M

M

));1()1()1()1(

)1()1(

)1(()()1(

1

11

,0

01101

0101

1

1

1

1111

M

l

Mp

lM

jj

jMj

M

lj

jMj

l

lM

lj

jMj

l

l

M

zFsHAlFsAHuBH

lBAHluBAH

xHACHBDCHBHBu

M

M

jMM

M

jM

M

M

)1(()()1(11 xHACHBDCHBHBu M

MMMM

)).1()1()1()1(

)1()1(

1

1

1

0

01101

0101

M

l

Mp

lM

j

jMj

M

lj

jMj

l

lM

lj

jMj

l

l

zFsHAlFsAHuBH

lBAHluBAH

M

M

jMM

M

jM

M

(1.12)

Из систем (1.11), (1.12) видно, что управления, соответствующие моментам

времени 1,,1, MM kk определяются по значениям функции )( , а

остальные по вычисленным ранее значениям управлений

),1(),( MM kuku .

Последний раз значения заданного вектора )( будут использоваться в

текущий момент времени 1M при 12 Mk , а в текущий момент M при

23

Mk 2 значения )( уже не используются, поэтому система (1.10) принимает

вид:

));2()()2(

)2()2(

)(()()2(

1

1

101

1

0

1

0000

MM

l

Mp

l

M

j

jMj

M

j

jMj

l

l

MM

zFsHAlFsAH

uBHluBAH

xHACHBDCHBHBu

M

M

M

M

));2()()2(

)2()2(

)(()()2(

1

1

1,001

1

1

1

1111

MM

l

Mp

l

M

jj

jMj

M

j

jMj

l

l

MM

zFsHAlFsAH

uBHluBAH

xHACHBDCHBHBu

M

M

M

M

)).2()()2(

)2()2(

)(()()(

1

1

1

001

11

MM

l

Mp

l

M

j

jMj

M

j

jMj

l

l

MMMMMM

zFsHAlFsAH

uBHluBAH

xHACHBDCHBHBu

M

M

M

M

(1.13)

При решении систем (1.11), (1.12), (1.13) при соответствующих значениях k

вычисляются значения )( Mku , именно эти управления подаются на объект, а

все остальные векторы управления 1,0),( Miku i являются прогнозами и

непосредственно на объект не подаются. После реализации управления )( Mku

становится известным новое значение вектора состояния для момента

следующего за текущим. При этом ранее вычисленные прогнозы )(p

s , которые

использовались для вычисления )( Mku пересчитываются, в связи с

выполнением одного шага и поступлением новой информации о векторе

возмущений, а прогнозируемая ранее на предыдущем шаге величина

)1( Mp

ks заменяется на истинное значение, полученное по наблюдениям.

24

1.3. Построение управления при косвенных наблюдениях

В настоящем пункте, задача, рассмотренная в п.1.2., обобщается на случай,

когда точное наблюдение всех компонент вектора состояния )(kx невозможно. В

этом случае, введем канал наблюдений, модель которого имеет вид:

).()()( kvkSxky (1.14)

В (1.14) S – матрица канала наблюдения; v(k) – гауссовская случайная

последовательность ошибок измерений ( ;0)( kvM jkkVjvkvM ,)()()( ;

0)()( kVkV – неотрицательно определенная матрица).

Для решения задачи нахождения оптимального управления применим

алгоритм, построенный на основе оптимизации локального критерия (1.4),

принципа разделения, с использованием фильтра Калмана. Тогда, управление

(1.9) для модели (1.3) и канала измерений (1.14) определится из уравнений (1.10),

в которых вместо вектора состояния используются его оценки, вычисленные с

помощью фильтра Калмана [4]. Уравнения для определения управлений примет

вид:

));()()()(

)(ˆ()()(

1101

1

0

1

0000

kzlkFsAHkuBHlkuBAH

kxHACHBDCHBHBku

MM

M

l

lM

j

jj

M

j

jj

l

l

M

));()()()(

)(ˆ()()(

1101

1

1

1

1111

kzlkFsAHkuBHlkuBAH

kxHACHBDCHBHBku

MM

M

l

lM

j

jj

M

j

jj

l

l

M

)),()()()(

)(ˆ()()(

1101

11

kzlkFsAHkuBHlkuBAH

kxHACHBDCHBHBku

MM

M

l

lM

j

jj

M

j

jj

l

l

MMMMMM

(1.15)

где оценки )(ˆM

kx вычисляются с помощью фильтра Калмана:

25

)1()1()1(ˆ)(ˆ0

M

M

i

iMiMM kFskuBkxAkx

)1(ˆ()()[( MMM kxASkykK ))1()1(0

M

M

i

iMi kFskuB ;

;))1(()1()( 1 VSkkSPSkkPkKMMMMM

QAkAPkkPMMM

)1()1( ;

)1(])([)( MMMM

kkPSkKEkP . (1.16)

В (1.16) )(M

kK – коэффициент передачи фильтра Калмана,

)1( MM

kkP – значение дисперсионной матрицы ошибки фильтрации по

наблюдениям, полученным в момент 1M

k , )( MkP – дисперсионная

матрица ошибок фильтрации в текущий момент времени.

Система линейных уравнений (1.15) решается последовательно аналогично

решению системы (1.10) (см. п.1.2).

1.4. Применение алгоритма локально-оптимального управления к задаче

управления запасами при эшелонном расположении складов с учетом

дополнительных ограничений

Рассмотрим модель управления запасами. Система складов состоит из L

последовательно связанных складов. Цепь поставок является вертикальной. Это

означает, что с каждого склада нижнего уровня осуществляются поставки на один

склад следующего уровня выше. Склад верхнего уровня удовлетворяет внешний

спрос. Последний склад № L имеет внешнего поставщика, например

производственные поставки или поставки с оптового склада. Структура модели

эшелонного расположения складов описывается следующими уравнениями [96]:

;,...,2);()()()1()1(

);()()()1()1(

11

11111

Likukukxwkx

kskukxwkx

iiiiiii

(1.17)

где i– номер склада; )(kxi – уровень запаса i-го склада в момент времени k; )(kui –

объем поставок на i-й склад в момент времени k; )(ks – рыночный спрос в момент

26

времени k; i – задержка поставок для i-го склада; iw – коэффициенты потерь при

хранении товара на i-м складе. Поставки на i-й склад осуществляются

транспортными средствами с грузоподъемностями (max)

iG и коэффициентом

использования грузоподъемности транспортного средства не хуже заданного

значения ГК .

Структурная схема эшелонного расположения складов с моделью (1.17)

приведена на рисунке 1.1, где )( LL ku – внешняя поставка.

Рисунок 1.1 − Структурная схема эшелонного расположения складов

Отметим, что модель управления запасами (1.17) исследовалась в работе [96],

в которой решена задача управления запасами с использованием метода MPC.

Однако в этой работе не учитывался страховой запас, ограничения на

грузоподъемность транспортных средств и решалась задача поддержания

количества товаров на заданном уровне. (В настоящей работе рассмотрена другая

основная задача – минимизация издержек на хранение с учетом транспортных

ограничений.)

.

.

.

Склад № L

Склад № 2

Склад № 1

)(11

LL

ku

)(LL

ku

)(11ku

s(k)

27

Модель (1.17) может быть представлена в виде (1.3), поэтому для решения

задачи управления запасами может быть применен метод, описанный в разделах

1.1, 1.2 главы 1. Из уравнений управлений (1.10) получим векторы оптимальных

поставок, подстановкой которых в (1.17) получим вектор состояния склада в

текущий момент времени.

Для учета суммарных издержек на хранение запасов на складах, вводится

дополнительный критерий, учитывающий издержки на хранение товаров,

который оптимизируется на скользящем интервале ],[ kTk . Оптимизируемый

критерий имеет вид:

L

i

k

Тktkz

iiЕ txVkK1

)(min)()( , (1.18)

где Vi – затраты на хранение единицы товара на i-ом складе в единицу времени; Т

– длина скользящего интервала оптимизации, )(kz – отслеживаемый вектор

(входит в локальный критерий). Отметим, что критерий (1.18) использовался в

[69] при решении задачи управления запасами для изолированного склада с

одним запаздыванием. В настоящем разделе эта методика применяется для задачи

управления запасами со многими запаздываниями.

Учет страхового запаса выполняется с помощью введения дополнительных

ограничений. Настраиваться система управления запасами будет при условии, что

страховой запас неприкосновенен. Это обеспечивается выполнением следующего

неравенства:

LikTkkkXkx ст

ii,1],,[),()( .)( , (1.19)

где )(.)( kX ст

i – страховой запас i-го склада. Страховой запас может быть

определен с использованием методов [67, 68, 70].

На объемы поставок накладываются транспортные ограничения, суть

которых заключается в том, что каждая поставка должна быть выполнена с

коэффициентом использования грузоподъемности транспортного средства не

хуже заданного значения ГК . В логистике допустимым считается, если

коэффициент принимает значение 18,0 ГK . Учет ограничений позволяет

28

исключить поставки малого количества товара, что позволяет сократить

транспортные расходы или наоборот, исключает перегруженность транспортных

средств, что также может привести к дополнительным затратам. Учет

транспортных ограничений может быть выполнен по методике предложенной в

работах [69, 70] при решении задачи минимизации общих логистических затрат и

расчет поставок с учетом этих ограничений примет вид:

,)(,

,)(),(

,)(,0

)((max)(max)

(max)(min)

(min)

iii

iiii

ii

i

UkuеслиU

UkuUеслиku

Ukuесли

ku

,,1 Li (1.20)

где )(),...,()( 1 iLii kukuku определяется из решения системы (1.10);

(max)(min)

iГiUKU – минимально допустимый уровень поставок товаров на i-й

склад, в дальнейшем будем обозначать вектором (min)(min)

1

(min) ,..., LUUU );

P

GU i

i

(max)

)(max – максимально допустимый уровень поставок товаров на i-й склад,

в дальнейшем будем обозначать вектором (max)(max)

1

(max) ,..., LUUU (Р – вес

единицы товара). Поставки, объем которых ниже заданного минимального уровня

(min)

iU являются экономически невыгодными и приводят к дополнительным

транспортным издержкам, а те, объем которых выше заданного уровня )(max

iU

приводят к перегруженности транспортных средств.

Рассмотрим пример эшелонной цепи поставок, состоящей из 2-х

однономенклатурных складов, т.е. L=2, с задержками поставок 2,1, ii ,

.2,1 21 В этой задаче спрос является возмущением и при моделировании

выбирался случайным и генерировался в соответствии с формулой:

))(()( ksks , где 0s – константа, определяющая среднюю величину

спроса; )(k – некоторая случайная заданная последовательность с

характеристиками: jkjkMkM

,)}()({;0)}({ ( 0 заданное число).

Модель (1.17) примет вид:

29

).1()2()()1()1(

);()1()()1()1(

12222

1111

kukukxwkx

kskukxwkx (1.21)

В векторно-матричном виде модель складов описывается разностным

уравнением:

)()()()1(2

1

kFskuBkAxkxi

ii

. (1.22)

Матрицы, входящие в модель (1.22) следующие:

;)(

)()(

2

1

kx

kxkx ;2,1,

)(

)()(

2

1

i

ku

kuku

i

ii

;10

01

2

1

w

wA ;

01

011

B ;

10

002

B .

01

F

Необходимо найти управление поставками для данной модели складов.

Моделирование выполнено для следующих исходных данных:

;300300

)0(

x ;00

)2(

;00

)1(

;8,0Г

К ;20P ;8T

;001,01 w ;001,02w ;12000(max)

1 G ;10000(max)

2 G

;20;150 s ;11V 1

2V ; .)(

2

.)(

1

стст XX 100 .

Требуется осуществить синтез системы управления запасами по управлению

так, чтобы издержки на хранение (1.18) были минимальными и при этом

обеспечивалась загруженность транспортных средств с коэффициентом

использования грузоподъемности не менее заданного значения ГК . Будем также

предполагать, что для каждого склада определен страховой запас .)(ст

iX , который

должен оставаться неприкосновенным в условиях нормального

функционирования складов (при отсутствии форс-мажорных ситуаций: к таким

обстоятельствам относятся возможные задержки поставок товаров и

возникновение ажиотажного спроса).

Оптимизация критерия (1.18) производится численно с учетом ограничений

(1.19), (1.20) (при L=2) и осуществляется по желаемому запасу (вектору z(k)).

30

Подставив оптимальные векторы *z в (1.10), можно построить оптимальные

векторы объема поставок )(kui

.

При этом на каждом шаге пересчитываются значения )( iku в

соответствии с (1.10) и с учетом транспортных ограничений. Отметим, что при

решении системы (1.10), прогноз выполняется на скользящем интервале

оптимизации. Найденное значение вектора *z , минимизирующее критерий (1.18),

приводит к минимизации издержек на временном интервале от k – T до k и

обеспечивает загруженность транспортных средств с коэффициентом

использования грузоподъемности транспортных средств не менее заданного

значения ГК . Определение объема поставок в следующий момент )1( iku

производится по найденному вектору *z , и далее, по аналогии, решается задача

минимизации критерия на следующем шаге )1( kK , с учетом всех ограничений

( ]1,1[ kTkk . Вычислив новый вектор *z , определяются поставки в

момент времени 2k , и так далее.

При моделировании с использованием метода «скользящего окна» ширина

окна T=8. В качестве исторических данных взяты данные о количестве товара на

складах с 0-го по 7-ой такт. В качестве функции, используемой для

прогнозирования исследуемой случайной величины взята функция (1.22).

В результате оптимизации определен вектор *z , минимизирующий критерий

(1.18) с ограничениями (1.20):

4,5312,453*z .

Оптимальные векторы объема поставок )(kui

и векторы объема продукции

на складах )(kxi

представлены на графиках. Отметим, что реализация компонент

каждого вектора на графике, представлена, начиная с 9 такта. Это обусловлено

тем, что предыдущие значения векторов не рассчитывались и были заранее

заданными.

На рисунках 1.2., 1.3. приведены реализации поставок на склады и они

удовлетворяют заданным ограничениям (1.20), то есть объемы поставок на

31

каждый из складов находятся в пределах между (min)iU и (max)

iU для того, чтобы

избежать дополнительных транспортных затрат на перевозки. Все транспортные

средства загружены с коэффициентом использования грузоподъемности не менее

заданного коэффициента ГК .

Рисунок 1.2. Диаграмма поставок на 1-ый склад

Рисунок 1.3. Диаграмма поставок на 2-ой склад

На рисунках 1.4., 1.5. показано изменение количества товара на складах. Из

графиков видно, что выполняются ограничения, связанные с необходимым

наличием страхового уровня запаса товара на складах.

32

Рисунок 1.4. Изменение количества товара на 1-ом складе

и страховой уровень

Рисунок 1.5. Изменение количества товара на 2-ом складе


На рисунке 1.6. приведена реализация рыночного спроса (заявок) на верхний

эшелонный склад.

Рисунок 1.6. Реализация спроса

В настоящем разделе описан 1 такт реализации алгоритма. Далее

осуществляется сдвиг скользящего интервала на 1 такт и все расчеты

повторяются. Управление, полученное в результате реализации этого метода,

может быть применимо в системах управления поставками с реальным временем.

33

1.5. Локально-оптимальное управление запасами для модели оптового и

розничных складов с учетом дополнительных ограничений

Рассмотрим модель управления запасами. Структура складов состоит из

оптового и L розничных однономенклатурных складов. Поставки Liku ii ,1),(

осуществляются с оптового склада на розничные с задержками поставок i

h .

Спрос, поступающий на розничные склады в момент времени k, описывается

величиной Liksi ,1),( и диктуется рынком. Оптовый склад имеет внешнего

поставщика, например производственные поставки. Эти поставки так же

происходят с запаздыванием равным 1L . Модель системы складов описывается

следующими уравнениями:

);()()()1()1( 111111 kskukxwkx

);()()()1()1( 222222 kskukxwkx

)()()()1()1( 1111111 kukukxwkx LLLLL

),()( 22 LL kuku (1.23)

где i– номер склада; 1,1),( Likxi

– уровень запаса i-го склада в момент времени

k; 1,1),( Likui

– это заказ, произведенный i-м складом в момент времени k и

полученный i+1 складом; Liksi

,1),( – рыночный спрос на i-й розничный склад в

момент времени k; 1,1, Lii – задержка поставок для i-го склада; (max)(min),ii

UU

– соответственно минимальный и максимальный уровни поставок для i-го склада,

в дальнейшем будем обозначать вектором (min)

1

(min)

1

(min) ,..., LUUU и

(max)

1

(max)

1

(max) ,..., LUUU ; 1,1, Liwi – коэффициенты потерь при хранении

товара на складе.

Структурная схема расположения оптового и L розничных складов с

моделью (1.23) приведена на рисунке 1.7.

34

Рисунок 1.7. Структурное расположение системы складов,

состоящей из оптового и L розничных складов

Модель (1.23) может быть представлена в виде (1.3), поэтому для решения

задачи управления запасами может быть применен метод, описанный в разделах

1.1., 1.2. Методика управления запасами для модели оптового и розничных

складов аналогична методике, описанной в п. 1.4.

Рассмотрим пример структуры складов, состоящей из 1 оптового и 2-х

розничных однономенклатурных складов с задержками поставок

3,1, ii ; .1;3;2 321 В этой задаче спрос является возмущением и при

моделировании выбирался случайным и генерировался в соответствии с

формулой: ))(()( ksks , где 0s – константа, определяющая среднюю

величину спроса; )(k – некоторая случайная заданная последовательность с

характеристиками: jkjkMkM

,)}()({;0)}({ .

Структура складов описывается следующим набором уравнений:

).()()()()1()1(

);()()()1()1(

);()()()1()1(

221133333

222222

111111

kukukukxwkx

kskukxwkx

kskukxwkx

(1.24)

Матрицы, описывающие модель вида (1.24) следующие:

Розничный № 1 Розничный № 2

Оптовый

…

s2(k)

Розничный № L

s1(k) sL(k)

35

)(

)(

)(

)(

3

2

1

kx

kx

kx

kx ; ;3,1,

)(

)(

)(

)(

3

2

1

i

i

i

i

i

ku

ku

ku

hku

3

2

1

100

010

001

k

k

k

A ;

001000001

1B ;

010010000

2B ;

001000000

3B ;

0010

01F .

Моделирование выполнено для следующих исходных данных:

;120150120

)0(

x ;

000

)2(

;

000

)1(

;8,0

ГК ;21P

;20;70 s ;001,01 w ;001,02w ;001,0

3w

;4000(max)

1G ;4500(max)

2G ;9000(max)

3G ;1

1V .1

2V

Критерий (1.18) принимает вид:

3

1)(

min)()(i

k

Тktkz

iiE txVkK . (1.25)

Оптимизация этого критерия производится численно. При моделировании с

использованием метода «скользящего окна» ширина окна взята T=8. Итогом

оптимизации критерия будут оптимальные векторы *z . Используя их, можно

построить оптимальные траектории векторов поставок )(kui . Ограничения на

поставки примут вид (1.20) (L=3), при этом два первых ограничения относятся к

розничным складам, а третье – к оптовому.

В результате оптимизации определен вектор *z , минимизирующий критерий

(1.25) с учетом ограничений:

5,1116,3611,162

*z .

На рисунках 1.8. – 1.10. приведены изменения количества товаров на

складах. Заметим, что количество товара на всех складах не опускается ниже

страхового уровня 15)(

1.ст

рознX , 10)(

2.ст

рознX , 115)( ст

оптX .

Здесь введены следующие обозначения:

)(

1.

ст

рознX ; )(

2.

ст

рознX – страховой запас товара на 1-ом и 2-ом розничных складах;

36

)(

.

ст

оптX – страховой запас товара на оптовом сладе.

Рисунок 1.8. Изменение количества товара на 1-ом розничном складе


Рисунок 1.9. Изменение количества товара на 2-ом розничном складе


Рисунок 1.10. Изменение количества товара на оптовом складе


37

На рисунках 1.11. – 1.13. приведены реализации поставок на оптовый и

розничные склады. Как видно из рисунков, в результате наложенных ограничений

поставки осуществляются не в каждый такт, что позволяет избежать

дополнительных транспортных затрат. Отметим, что реализации поставок для

каждого склада выполняются с коэффициентом использования грузоподъемности

транспортных средств не менее заданного значения

K . Этим условием

обеспечивается эффективное использование транспортных средств.

Рисунок 1.11. Диаграмма поставок на 1-ый розничный склад

Рисунок 1.12. Диаграмма поставок на 2-ой розничный склад

38

Рисунок 1.13. Диаграмма поставок на оптовый склад

На рисунках 1.14, 1.15 приведена реализация рыночного спроса на склады.

Рисунок 1.14. Спрос, поступающий на 1-ый розничный склад

Рисунок 1.15. Спрос, поступающий на 2-ой розничный склад

39

1.6. Выводы по главе 1

1. Разработан алгоритм локально-оптимального управления дискретными

объектами с учетом многих запаздываний по управлению. Управление объектом

реализуется без расширения пространства состояний модели с использованием

метода локально-оптимального слежения. Рассмотрены случаи полного и

косвенного наблюдения вектора состояния.

2. Рассмотрены задачи управления запасами для различных структур

расположения складов с учетом транспортных задержек. Для решения

предлагаются алгоритмы, в основе которых лежит оптимизация локального

критерия и критерия суммарных издержек на скользящем интервале

оптимизации. Предложенные алгоритмы управления запасами могут быть

реализованы в реальном времени. Синтез системы управления осуществляется без

предварительного расширения пространства состояний.

3. Выполнено моделирование систем управления запасами с учетом

запаздываний для таких структур расположения складов, как:

– эшелонная структура расположения складов;

– структура, состоящая из оптового и 2-х розничных складов.

4. Предлагаемые подходы синтеза алгоритмов управления запасами

позволяют минимизировать затраты на хранение товаров на складах, а это

приводит к уменьшению затрат на обслуживание запасов. Поставки

осуществляются так, чтобы транспортные средства были загружены с

коэффициентом использования грузоподъемности не менее заданного значения

KГ, тем самым обеспечивая эффективность использования транспортных средств.

Так же отметим, что поставки определяются с учетом заданного страхового

уровня количества товара на складах.

40

Глава 2. ЛОКАЛЬНО-ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДЛЯ

ДИСКРЕТНЫХ ОБЪЕКТОВ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО СОСТОЯНИЮ

Модели реальных процессов, как правило, содержат запаздывания по

времени. Однако, для упрощения моделирования и синтеза, этими

запаздываниями часто пренебрегают. Совершенно очевидно, что это может

привести к неадекватности модели и решение задач синтеза по таким моделям

может привести к ошибочным результатам. Отметим, что задачи управления

системами с запаздываниями по состоянию рассматриваются в большом

количестве работ и число этих работ постоянно увеличивается. К таким работам

можно отнести: [30, 63, 74, 86, 88, 91, 93, 94, 98, 107, 110, 128, 134, 135, 138, 139,

143, 144, 148, 151] и др.

В данной главе рассматривается задача локально-оптимального управления

по наблюдаемому выходу для дискретных объектов с запаздыванием по

состоянию. В статье [143] рассмотрена близкая задача для управления объектом с

запаздыванием по состоянию при точном измерении компонент вектора

состояния с использованием квадратичного критерия. В работе [10] рассмотрена

задача синтеза системы управления с учетом запаздываний по управлению и

состоянию для дискретных объектов, которая решается на основе преобразования

модели с запаздываниями к расширенной модели без запаздываний, что приводит

к значительному увеличению размерности задачи при больших задержках и тем

самым к дополнительным вычислительным затратам. В работах [56, 72]

рассматривается задача синтеза прогнозирующего управления с учетом

запаздываний по состоянию с использованием фильтра Калмана в контуре

управления.

В настоящей главе синтез следящих систем управления по выходу

осуществляется на основе оптимизации локального критерия при косвенных

41

измерениях для дискретных объектов с запаздываниями по состоянию без

использования расширения пространства состояний. Управление определяется

как функция измеряемых переменных и отслеживаемого сигнала. Исследуется

асимптотическое поведение системы, строятся оценки для асимптотической

точности слежения.

Применение в этих задачах калмановских оценок приводит к необходимости

осуществления расширения пространства состояния. Целью же работы является

синтез управления без расширения пространства состояния, поэтому данный

подход не рассматривается в работе.

Основные результаты главы опубликованы в работах [41, 45, 47, 48].


Управляемый объект с запаздыванием по состоянию описывается


);()()(~

)()1( kqkBuhkxAkAxkx

,2,1,0;1,,2,1,);()( khhhx , (2.1)

модель канала измерений имеет вид:

).()()( kvkSxky (2.2)

В (2.1), (2.2) nRkx )( – вектор состояний; 0h – величина временного

запаздывания (целое число); mRku )( – управление; lRky )( – вектор измерений;

BAA ,~

, – матрицы соответствующих размерностей; S – матрица канала

наблюдения; )( – заданная детерминированная функция начальных условий на

интервале 1,,1, hh , при этом 0)0()0( xx – случайный вектор с

характеристиками: 00 xxM ; 000 xPxxM ; )(kq – гауссовская случайная

последовательность входных возмущений ( 0)( kqM ; ;)()()( , jkkQjqkqM

0)()( kQkQ – неотрицательно определенная матрица); v(k) – гауссовская

случайная последовательность ошибок измерений ( ;0)( kvM ;0)()( jvkqM

42

jkkVjvkvM ,)()()( ; 0)()( kVkV – неотрицательно определенная

матрица).

Оптимизируемый локальный критерий имеет вид:

,/)()())()1(())()1(()(0

kYkDukukzkwCkzkwMkI (2.3)

где )()( kHxkw – управляемый выход системы (H – матрица выхода системы);

0 CC и 0 DD – весовые матрицы; )(,),1(),0(0

kyyyY k ; nRkz )( –

отслеживаемый вектор, удовлетворяющий уравнению:

)()()1( kqkFzkz z ; ,2,1,0;)0( 0 kzz . (2.4)

В (2.4) )(kqz – гауссовская случайная последовательность с характеристиками:

;0)( kqM z ;0)()( jqkqM z ;0)()( jvkqM z )()( jqkqM zz jkz kQ ,)( ;

0z

– начальные условия (случайный вектор с характеристиками: 00 zzM ;

000 zPzzM ;

0000 xzPxzM ; 0000 zxPzxM ); F – матрица динамики модели

отслеживаемого сигнала.

2.2. Оптимизация локального управления для структуры системы

управления по выходу

Рассмотрим решение задачи, поставленной в этой главе (п. 2.1), с

использованием второго подхода, заключающегося в том, что структура закона

управления уже не будет содержать в контуре управления фильтр Калмана, а

будет классифицирована как система управления по наблюдаемому выходу.

Представим закон управления в следующей параметрической форме:

)()()()()()()( 321 kzkKhkykKkykKku

)()()()()()()()()()( 32211 kzkKhkvkKhkSxkKkvkKkSxkK , (2.15)

где коэффициенты передачи )(),(),( 321 kKkKkK подлежат определению. Такая

структура параметрической формы полностью соответствует закону локально-

оптимального управления при полной информации о векторе состояния.

43

Решение задачи локально-оптимального слежения сформулируем в виде

следующей теоремы.

Теорема 2.1. Если для объекта (2.1), канала измерений (2.2) и локального

критерия (2.3) матрицы

;0)( DCHBHBC

0

)(),()(

),()()(),(

)(),()()(

)(

kPkhkSPkSP

ShkkPhkVShkSPShkkSP

SkPSkhkSPkVSkSP

kP

zxzxz

zxxx

zxxx

(2.16)

положительно определены для всех ,2,1,0k , тогда оптимальные в смысле

минимума критерия (2.3) коэффициенты передачи для управления (2.15)

определяются по формулам:

;)()()(32

*

1ckbKkaKkK (2.17)

];][))(([)(3

*

2adEfcdebdkKkK (2.18)

)1][(~)~())([()( 1*

3 bgmcgnagadEfcdkK

,)]~())(( 11 nagadEebd (2.19)

где

;)]()([),( 1 kVSkSPSkhkSPa xx

;)]()([)( 1 kVSkSPSkPb xzx

;)]()([)](),(~

)([ 11 kVSkSPSkPkhkPAHkHAPCHBCcxzxxx

;)]()([),( 1 hkVShkSPShkkSPd xx

;)]()([),( 1 hkVShkSPShkkPe xzx

)(~

),([1 hkPAHkhkHAPCHBCfxx

;)]()([)],( 1 hkVShkSPShkkP xzx

);()( 1 kPkSPgzxz

);(),(~ 1 kPkhkSPn zxz

)()](),(~

)([~ 11 kPkPkhkPAHkHAPCHBCmzzxzxz

. (2.20)

В (2.20) введены обозначения:

),( rkPx

)()( rxkxM ; );,()( kkPkP xx )()(),( rzkzMrkPz

; ),()( kkPkP zz ;

44

)()(),(),( rxkzMkrPrkP xzzx

; ),(),()()( kkPkkPkPkP xzzxxzzx

;

)()(),(),( rzkxMkrPrkP zxxz

; ),(),()()( kkPkkPkPkP zxxzzxxz

,

которые определяются системой разностных матричных уравнений с

запаздываниями, приведенными ниже.

Доказательство. Для вычисления локального критерия получим уравнение

состояния путем подстановки (2.15) в (2.1):

)()()(~

)()()()(~

)()1( 1 kSxkBKhkxAkAxkqkBuhkxAkAxkx

)()()()()()()()()( 3221 kqkzkBKhkvkBKhkSxkBKkvkBK . (2.21)

Учитывая (2.1), (2.2), (2.4) и (2.15) вычислим значение локального критерия (2.3):

)()())()1(())()1(()( kDukukzkwCkzkwMkI

)()()()()(~

)((11

kvkHBKkSxkHBKhkxAHkHAxM

)()()()()()( 322 kzkHBKhkvkHBKhkSxkHBK

)(~

)(())()( hkxAHkHAxCkzkHq

)()()()()()()()( 2211 hkvkHBKhkSxkHBKkvkHBKkSxkHBK

)()()()()()(())()()()( 2113 hkSxkKkvkKkSxkKkzkHqkzkHBK

)()()()()()(())()()()( 21132 hkSxkKkvkKkSxkKDkzkKhkvkK

)()())()()()( 32 kCHAxHAkxMkzkKhkvkK

)()()()(~

)(1

kSxkCHBKHAkxhkxACHHAkx

)()()(1

kvkCHBKHAkx )(~

)( kCzHAhkx

)()()()()()( 22 hkvkCHBKHAkxhkSxkCHBKHAkx

)()()()()()()( 3 kCzHAkxkCHqHAkxkzkCHBKPAkx

)(~~

)()(~

)( hkxACHHAhkxkCHAxHAhkx

)()(~

)()()(~

)(11

kvkCHBKHAhkxkSxkCHBKHAhkxT

)()(~

)()()(~

)(22

hkvkCHBKHAhkxhkSxkCHBKHAhkx

)(~

)()()(~

)( 3 kCHqHAhkxkzkCHBKHAhkx

45

)(~

)()()()()(11

hkxACHHBkKSkxkCHAxHBkKSkx

)()()()()()()()( 1111 kvkCHBKHBkKSkxkSxkCHBKHBkKSkx

)()()()(21

hkSxkCHBKHBkKSkx

)()()()(21

hkvkCHBKHBkKSkx

)()()()()()()( 131 kCHqHBkKSkxkzkCHBKHBkKSkx

)()()()()(11

kCHAxHBKkvkCzHBkKSkx

+ )()()()(12

kvkCHBKHBkKShkx )(~

)(1

hkxACHHBKkv

)()()()()()()()( 1111 kvkCHBKHBkKkvkSxkCHBKHBkKkv

)()()()()()()( 2121 hkvkCHBKHBkKkvhkSxkCHBKHBKkv

)()()()()()()( 1131 kCzHBKkvkCHqHBKkvkzkCHBKHBKkv

)(~

)()()()()(22

hkxACHHBkKShkxkCHAxHBkKShkx

)()()()(12

kSxkCHBKHBkKShkx

)()()()( 22 hkSxkCHBKHBkKShkx

)()()()( 22 hkvkCHBKHBkKShkx

)()()()()()()( 232 kCHqHBkKShkxkzkCHKHBkKShkx

)()()()()()()( 122 kvkCHBKHBkKhkvkCzHBkKShkx

)()()()()()()( 322 kCHAxHBkKkzhkvkCHBKHBkKhkv

)()()()()(~

)()(133

kSxkCHBKHBkKkzhkxACHHBkKkz

)()()()()()()()( 3323 kzkCHBKHBkKkzhkSxkCHBKHBkKkz

)()()()()()()(3

kCHAxkzkCHqHkqkCzHBkKkz

)()()()()(~

)(11

kvkDKkKkvhkxACHkz

)()()()()()()()()( 321 kzkCHBKkzhkSxkCHBKkzkSxkCHBKkz

)()()()()()()()( 1111 kvkDKKSkxkSxkDKKSkxkCzkz

)()()()()()(3121

kzkDKKSkxhkSxkDKKSkx

)()()()()()()()( 1221 kSxkDKkKShkxhkvkDKkKkv

46

)()()()()()()()( 3222 kzkDKkKShkxhkSxkDKkKShkx

)()()()()()()()( 2212 hkvkDKkKhkvkvkDKkKhkv

)()()()()()()()(2313

hkSxkDKkKkzkSxkDKkKkz +

)()()()(33

kzkDKkKkz

)()(),(~

)(1

kSPkCHBKHtrAkhkPACHHtrAkCHAPHtrAxxx

)()()(),()( 32 kCPHtrAkPkCHBKHtrAkhkSPkCHBKHtrA zxzxx

)(~~

),(~

hkPACHHAtrhkkCHAPHAtrxx

+ ),()(~

1hkkSPkCHBKHAtr

x

),()(~

)()(~

32hkkPkCHBKHAtrhkSPkCHBKHAtr

zxx

)()(),(~

1kCHAPHBkKtrShkkCPHAtr

xzx

),(~

)(1

khkPACHHBkKtrSx

)()()( 11 kSPkCHBKHBkKtrS x

+

),()()(21

khkSPkCHBKHBkKtrSx

)()()()()( 131 kCPHBkKtrSkPkCHBKHBkKtrS zxzx

khkkk khkVkCHBKHBktrKkVkCHBKHBktrK ,21,11 ),()()()()()(

)(~

)(),()(22

hkPACHHBkKtrShkkCHAPHBkKtrSxx

),()()(12

hkkSPkCHBKHBkKtrSx

+ )()()(22

hkSPkCHBKHBkKtrSx

),()(),()()( 232 hkkCPHBkKtrShkkPkCHBKHBkKtrS zxzx

hkkhkkVkCHBKHBktrK

,12

),()()( +

hkhkVkCHBKHBktrK )()()(

22

),(~

)()()(33

khkPACHHBktrKkCHAPHBktrKxzxz

),()()()()()( 2313 khkSPkCHBKHBktrKkSPkCHBKHBktrK xzx

kkzz kCHQtrPkCPHBktrKkPkCHBKHBktrK ,333 )()()()()()(

)()(),(~

)(1

kSPktrCHBKkhkPAtrCHktrCHAPxzxzxz

47

)()()()(),()( 1132 kSPDKKtrSktrCPkPktrCHBKkhkSPktrCHBK xzzxz

)()()(),()()( 3121 kPkDKkKtrSkhkSPkDKkKtrS zxx

khkkk khkVkDKktrKkVkDKktrK ,21,11 ),()()()()()(

)()()(),()()( 2212 hkSPkDKkKtrShkkSPkDKkKtrS xx

hkkzx hkkVkDKktrKhkkPkDKkKtrS ,1232 ),()()(),()()(

)()()()()()( 13,22 kSPkDKktrKhkVkDKktrK xzhkhk

.)()()(),( 3323 kPkDKktrKkhkSPDKtrK zxz

(2.22)

Приведя подобные слагаемые, получим:

)())(()()())(()( 111 kPSkHBKHACBkKtrSkPSkHBKHACHtrAkI xx

),())(~

()()()(211

khkPSkHBKAHCHtrAkSPkDKkKtrSxx

),())(~

()(21

khkPSkHBKAHCHBkKtrSx

)())((),()()( 321 kPEkHBKCHtrAkhkSPkDKkKtrS zxx

)()()()())(()( 3131 kPkDKkKtrSkPEkHBKCHBkKtrS zxzx

),())((~

1hkkPSkHBKHACHAtr

x

),()(),())(()( 1212 hkkSPDKkKtrShkkPSkHBKHACHBkKtrS xx

AHCHBkKtrShkPSkHBKAHCHAtrx

~()()())(

~(

~22

)()()())( 222 hkSPDKkKtrShkPSkHBK xx

),())((~

3hkkPEkHBKCHAtr

zx

),()()(),())(()( 3232 hkkPkDKkKtrShkkPEkHBKCHBkKtrS zxzx

)())(()())(( 113 kPSkHBKHAtrCkPHASkHBKCHBtrK xzxz

),()~

)(()()()()(2313

khkPAHSkHBKCHBktrKkSPkDKktrKxzxz

),()()(),())(~

(232

khkSPkDKktrKkhkPSkHBKAHtrCxzxz

)())(()())(()( 333 kPkHBKEtrCkPEkPBKCHBktrK zz

)()())(()()()( 1133 kVkKDCHBHBktrKkPkDKkK z

).()()())(( 22 kCHQtrHhkVkKDCHBHBkK (2.23)

48

Входящие в (2.23) моменты ),(),,(),,(),,( jiPjiPjiPjiP zxxzzx определяются

следующими формулами:

)()()(~

)(()1()1()1,1(1

iSxiBKhixAiAxMjxixMjiPx

))()()()()()()()(3221

iqiziBKhivBKhiSxiBKiviBK

BjKjvBjKSjxAhjxAjx )()()()(~

)()((11

))()()()()()()( 322 jqBjKjzBjKhjvBjKShjx

AjxiSxiBKAjxixAAjxiAxM )()()()()(~

)()(1

AhjxiAxAjxiziBKAjxhiSxiBK~

)()()()()()()()(32

AhjxiSxiBKAhjxhixA~

)()()(~

)()(~

1

AhjxiziBKAhjxhiSxiBK~

)()()(~

)()()(32

BjKSjxhixABjKSjxiAx )()()(~

)()()(11

BjKSjxhiSxiBKBjKSjxiSxiBK )()()()()()()()( 1211

BjKjviviBKBjKSjxiziBK )()()()()()()()( 1113

BjKShjxiAxBjKjvhiviBK )()()()()()()( 212

BjKShjxiSxiBKBjKShjxhixA )()()()()()()(~

212

BjKShjxiziBKBjKShjxhiSxiBK )()()()()()()()( 2322

BjKhjvhiviBKBjKhjviviBK )()()()()()()()( 2221

BjKjziSxiBKBjKjzhixABjKjziAx )()()()()()()(~

)()()(3133

)()()()()()()()()()(3332

jqiqBjKjziziBKBjKjzhiSxiBK

AjhiSPiBKAjiSPiBKAjhiPAAjiAPxxxx

),()(),()(),(~

),(21

AhjhiPAAhjiAPAjiPiBKxxzx

~),(

~),(),()(

13

AhjiPiBKAhjhiSPiBKAhjiSPiBKzxxx

~),()(

~),()(

~),()(

321

BjKSjiSPiBKBjKSjhiPABjKSjiAPxxx

)(),()()(),(~

)(),(1111

BjKSjiPiBKBjKSjhiSPiBKzxx

)(),()()(),()(1312

BjKShjiAPBjKjhiViBKx

)(),()(),()(212

49

+ BjKShjhiPAx

)(),(~

2 BjKjiViBK )(),()(

11

BjKShjhiSPiBKBjKShjiSPiBK xx )(),()()(),()( 2221

BjKhjiViBKBjKShjiPiBK zx )(),()()(),()( 2123

BjKjhiPABjKjiAPBjKhjhiViBKxzxz

)(),(~

)(),()(),()(3322

BjKjhiSPiBKBjKjiSPiBK xzxz )(),()()(),()( 3231

jiz jiQBjKjiPiBK ,33 ),()(),()(

)(),()()(),()()(),()( *

31jjiPiBKjjhiPijjiPi

zxxx

)(),()()(),()()(),()( 1

*

3

*

311 jhjiPiBKBjKjiPijhjhiPi zxxzx

BjKjiViBKBjKjiPiBKBjKjhiPi zxz )(),()()(),()()(),()( *

11

*

3

*

3

*

31

jijiQBjKhjhiViBK ,

*

2

*

2 ),()(),()( .

Окончательно, получим:

)(),()()(),()()1,1( 2 jjhiPijjiPijiP xxx

);,()(),()( 122 jiQjhjhiPi x

;,2,1,0, ji )()(),( hjhihjhiPx для 1,0, hji ; 0

)0( xx PP ;

)(),0( 0 xPx ; 0)()0,( xPx , для 1,,2,1, hhh . (2.24)


;)()( *

1SiBKAi ;)(

~)( *

22 SiBKAi

BjKjiPijjiPiBKjiQjiQ xzzxji )(),()()(),()(),(),( *

3

*

3,1

BjKjiPiBKBjKjhiPijhjiPiBK zxzzx )(),()()(),()()(),()( *

3

*

3

*

322

*

3

.)(),()()(),()( *

2

*

2

*

1

*

1

BjKhjhiViBKBjKjiViBK (2.25)

))()(())()(()1()1()1,1( jqFjziqiFzMjzizMjiP zzz

)()()()()()()()()( jqiqFjziziqjqiFzFjziFzM zzzz

;),(),( , jizz jiQFjiFP ;,2,1,0, ji .)0(0zz PP (2.26)

50

AjxiqiFzMjxizMjiPzzx

)())(()(()1()1()1,1(

BjKShjxBjKjvBjKSjxAhjx )()()()()()(~

)(211

))()()()()( 32 jqBjKjzBjKhjv

BjKSjxiFzAhjxiFzAjxiFzM )()()(~

)()()()(1

BjKjziFzBjKShjxiFz )()()()()()( 32

BjKSjiFPAhjiFPAjiFPzxzxzx

)(),(~

),(),(1

BjKjiFPBjKShjiFP zzx )(),()(),( 32

;)(),()(),()(),( 32

BjKjiFPjhjiFPjjiFP zzxzx

;,2,1,0, ji0

)0( zz PP ; );(),0( 0 zPzx

00)0( xzzx PP ; 1,,2,1, hhh . (2.27)

)()()(~

)(()1()1()1,1(1

iSxiBKhixAiAxMjzixMjiPxz

FjziqiziBKhivBKhiSxiBKiviBK )())(()()()()()()()( 3221

FjziSxiBKFjzhixAFjziAxMjqz )()()()()(~

)()())( 1

FjziziBKFjzhiSxiBK )()()()()()( 32

FjiSPiBKFjhiPAFjiAPxzxzxz

),()(),(~

),(1

FjiPiBKFjhiSPiBK zxz ),()(),()( 32

;),()(),()(),()( 32

FjiPiBKFjhiPiFjiPi zxzxz

;,2,1,0, ji0

)0( zz PP ; ;)()0,(0

zPxz

;)0(00zxxz PP 1,,2,1, hhh . (2.28)

Отметим, что в формулах (2.24), (2.27), (2.28) )(x заменяется на

соответствующую заданную детерминированную функцию начальных условий

)( для .1,,2,1, hhh

Полученный результат (2.23) можно переписать в виде:

),()()()(),()()()()( 4321 hkkPktrPkPktrPkhkPktrPkPktrPkI xzxxx

51

),()(),()()()()()( 8765 khkPkPhkkPktrPhkPktrPkPktrP xzzxxxz

)()()()()()()()()( 22119 kCHQtrHhkVkKCktrKkVkKCktrKkPkP z

, (2.29)

где

;)()())(())(()( 11111 SkDKkKSSkBKACHHSkBKAkP

;)()())(~

())(()(21212

SkDKkKSSkBKACHHSkBKAkP

);()())(())(()( 31313 kDKkKSEkPBKCHHSkBKAkP

;)()())(())(~

()(12124


;)()())(())(()( 13135 SkDKkKSkBKACHEkPBKkP

;)()())(~

())(~

()(22226


);()())(())(~

()(32327

kDKkKSEkHBKCHSkBKAkP

;)()())(~

())(()(23238

SkDKkKSkBKACHEkHBKkP

).()())(())(()( 33339 kDKkKEkHBKCEkHBKkP

Вычислим значения градиентов критерия (2.29) по )(),( 21 kKkK и )(3 kK ,

используя правила дифференцирования функции tr от произведения матриц по

матричному аргументу (1.7) [2, 82]. Полученные выражения приравняем к нулю:

SkCHAPHBSkHAPCHBkK

kIxx )()(

)(

)(

1

SkPSkHBKCHBSkSPkCHBKHB xx )()()()( 11

SkhkPACHHBSkSPkKDSkSPkDKxxx

),(~

)()()()(11

SkhkSPkDKSkhkSPkCHBKHB xx ),()(),()( 22

SkPkDKSkCPHBSkPkCHBKHB zxzxzx )()()()()( 33

ShkkSPkHBKCHBShkkPAHCHBxx

),()(),(~

2

SkPkHBKCHBShkkSPkKD xzx )()(),()( 32

)()()()()( 13 kVkCHBKHBSkPkKDSkPCHB xzxz

.0)()()()()()( 111 kVkKDkVkDKkVkHBKCHB (2.30)

52

В силу того, что матрицы DCHBHBDC ,, – симметричные, а так же

),(),( krPrkP xzzx

; ),(),( krPrkP zxxz

выражение (2.28) можно записать в виде:

SkSPkCHBKHBSkHAPCHBkK

kIxx )()(2)(2

)(

)(1

1

SkhkPACHHBSkSPkDKxx

),(~

2)()(21

SkPkCHBKHBSkhkSPkCHBKHB zxx )()(2),()(2 32

SkPkDKSkCPHBSkhkSPkDK zxxzx )()(2)(2),()(2 32

.0)()(2)()(2 11 kVkDKkVkCHBKHB

Приведем подобные слагаемые.

SkCHAPHBSkSPkKDCHBHBkK

kIxx )()()()(

)(

)(1

1

SkPkKDCHBHBSkhkSPkKDCHBHB zxx )()()(),()()( 32

.0)()()()(),(~

1 kVkKDCHBHBSkCPHBSkhkPACHHB

zxx

Введем обозначение )( DCHBHBC , тогда:

SkhkSPkKCSkCHAPHBSkSPkKCkK

kIxxx ),()()()()(

)(

)(21

1

.0)()()(),(~

)()(13

kVkKCSkCPHBSkhkPACHHBSkPkKCzxxzx

Отсюда следует, что необходимый нам коэффициент )(1 kK равняется:

SkhkSPkKCSkCHAPHBCkK xx ),()()(()( 2

1

1

SkhkPACHHBSkPkKCxzx

),(~

)()(3

.))()()()( 1 kVSkSPSkCPHB xzx (2.31)

Аналогично для )(2

kK и )(3

kK :

SkhkSPkHBKCHBSkhkHAPCHBkK

kIxx ),()(),(

)(

)(1

2

ShkkCHPHBSkhkSPkKD xx ),(),()(1

ShkPkCHBKHBShkPACHHBxx

)()()(~

2

ShkSPkDKShkSPkHBKCHB xx )()()()( 22

53

ShkkPkCHBKHBShkSPkKD zxx ),()()()( 32

ShkkPkDKShkkPCHB zxzx ),()(),( 3

SkhkPCHBSkhkPkHBKCHB xzzx ),(),()(3

)()(),()( 23 hkVkCHBKHBSkhkPkKD xz

ShkkSPkCHBKHB x ),()(1

.0)()()()()()( 222 hkVkKDhkVkDKhkVkHBKCHB

ShkkSPkCHBKHBSkhkCHAPHBkK

kIxx ),()(2),(2

)(

)(1

2

ShkPACHHBShkkSPkDKxx

)(~

2),()(21

ShkSPkCHBKHB x )()(2 2

ShkkPkCHBKHBShkSPkDK zxx ),()(2)()(2 32

ShkkPkDKShkkCPHB zxzx ),()(2),(2 3

.0)()(2)()(2 22 hkVkDKhkVkCHBKHB

ShkkSPkKDCHBHBkK

kIx ),()()(

)(

)(1

2

ShkkPkKDCHBHBShkSPkKDCHBHB zxx ),()()()()()( 32

ShkPACHHBSkhkCHAPHBxx

)(~

),(

0)()()(),( 2 hkVkKDCHBHBShkkCPHB zx

Требуемый коэффициент )(2 kK вычисляется по формуле:

ShkPAkhkAPCHHBCkKxx

)](~

),([()( 1

2

ShkkPkKCShkkSPkKC zxx ),()(),()( 31

.))()()(),( 1 hkVShkSPShkkCPHB xzx (2.32)

Дифференциал по )(3 kK :

54

)()()()(

)(1

3

kSPkHBKCHBkHAPCHBkK

kIzxzx

),()(),(~

)()( 21 hkkSPkHBKCHBhkkPACHHBkSPkKD zxzxzx

),()(2 hkkSPkKD zx )()()(1 kCHAPHBkSPkCHBKHB xzxz

),(~

),()()()( 21 khkPACHHBhkkSPkCHBKHBkSPkDK xzxzxz

),()(2 khkSPkDK xz )()()()( 33 kPkHBKCHBkPkCHBKHB zz

.0)()()()()()( 33 kPkKDkPkDKkCPHBkCPHB zzzz

)()(2)(2)(

)(1

3

kSPkDKkCHAPHBkK

kIxzxz

)()(2),(~

21

kSPkCHBKHBkhkPACHHBxzxz

),()(2),()(2 22 khkSPkDKkhkSPkCHBKHB xzxz

0)()(2)()()(2 33 kPkDKkCPHBkPkCHBKHB zzz

)()()()(

)(1

3

kSPkKDCBHBkK

kIxz

)()()(),()()( 32 kPkKDCBHBkhkSPkKDCBHB zxz

.0)(),(~

)( kCPHBkhkPACHHBkCHAPHBzxzxz

SkhkSPkKCkSPkKCCkKxzxz

),()()()(()(21

1

3

).()](),(~

)([ 1 kPkPkhkPAHkHAPCHBzzxzxz

(2.33)

Вычислив )(),(),( 321 kKkKkK и, получив уравнения (2.31) – (2.33), перепишем их

в виде:

])()(),()())()()(([ 321 SkPkKSkhkSPkKkVSkSPkKС zxxx

;)](),(~

)([ SkPkhkPAHkHAPCHBzxxx (2.34)

55

]),()())()()((),()([ 321 ShkkPkKhkVShkSPkKShkkSPkKС zxxx

;)],()(~

),([ ShkkPhkPAHkhkHAPCHBzxxx

(2.35)

)]()(),()()()([ 321 kPkKkhkSPkKkSPkKС zxzxz

)];(),(~

)([ kPkhkPAHkHAPCHBzxzxz

(2.36)

Представим систему матричных уравнений (2.34) – (2.36) в следующем виде:

SkPkhkPAHkHAPCHBkPkKkKkKС zxxx ))(),(~

)([()(])()()([321

ShkkPhkPAHkhkHAP zxxx )),()(~

),((

))].(),(~

)(( kPkhkPAHkHAPzxzxz

(2.37)

В силу (2.16) матрицы С и )(kP невырождены для всех ,2,1,0k ,

следовательно, уравнение (2.37) разрешимо относительно блочной матрицы

])()()([321

kKkKkK и имеет единственное решение )(),(),( *

3

*

2

*

1 kKkKkK ,

представленное в условиях теоремы 2.1 в виде (2.17) – (2.19), которое получается

непосредственным вычислением.

Замечание 2.1. Отметим, что матрицы )(),( 21 kKkK , )(3

kK численно могут

быть получены из (2.37) посредством умножения левой части (2.37) на матрицу

1С слева и )(1 kP справа.

Отметим, что подход, предложенный в настоящем разделе, можно в

дальнейшем развивать для систем с неопределенными параметрами, например с

интервальными параметрами или модернизировать системы управления за счет

включения в закон управления дополнительных динамических звеньев, что и

будет сделано в главах 3, 4.

Замечание 2.2. Если в модели объекта дополнительно содержатся

запаздывания по управлению, то в этом случае можно рекомендовать

осуществить расширение пространства состояний с учетом запаздываний по

управлению.

56

2.3. Исследование асимптотического поведения замкнутой системы

управления по выходу

Асимптотическую точность слежения определим, вычислив оценку

критерия:

2)(lim zkxMJ

k

, (2.38)

где z – постоянный отслеживаемый вектор.

Теорема 2.2. Пусть в описании объекта (2.1), канала измерений (2.2),

критерия (2.3) и модели отслеживаемого вектора (2.4) матрицы

DCНVSQBAA ,,,,,,,~

, – постоянные; .0)(; kqEFz

Тогда, если выполняется

условие (2.16) теоремы 2.1, существует установившееся решение уравнений

(2.24), (2.27), (2.28) и выполняется условие:

121 , (2.39)

тогда для критерия (2.38) справедлива оценка:

2

1

2

22

22

1

2

1

1

211

2

1

2

2

2

1

1

)~

(

1

~

1

2

)1(

QtrrQtrr

rrrJ

)1)(1(

))(3(2

1

2

1

)~

(2

2

11

211

2

22

2

2

1

212

2

1

1

2

221

r

rrQtrr, (2.40)

где

1 s

; 22

s; )(lim *

1

*

1 kKKk

; )(lim *

2

*

2 kKKk

; )(lim *

3

*

3 kKKk

;

)()()()()()()()(~ *

2

*

2

*

1

*

1 kKhkVkBKBkKkVkBKkQkQ

;

BVKBKQ *

2

*

11

~; zr

31 ; EBK *

33 ; zBKr *

32 . (2.41)

Доказательство. Для вычисления оценки (2.38) сначала построим оценку

для критерия 2

)()( zkxMkJ , а для этого вычислим его на k+1 такте:

))1(())1(()()1(2

zkxzkxMzkxMkJ

57

)()()()()()()(~

)(221

hkSxkBKkvkBKkSxkBKhkxAkAxM

)(~

)(())()()()()()(32

hkxAkAxkzkqkzkBKhkvkBK

)()()()()()()()(2221

hkvkBKhkSxkBKkvkBKkSxkBK

)(~

)()()())()()()(3

hkxAAkxkAxAkxMkzkqkzkBK

)()()()()()()()()( 321 kzkBKAkxhkSxkBKAkxkSxkBKAkx

)(~~

)()(~

)()()( hkxAAhkxkAxAhkxkzAkx

)()(~

)()()(~

)(21

hkSxkBKAhkxkSxkBKAhkx

)()()()(~

)()()(~

)(13

kAxBkKSkxkzAhkxkzkBKAhkx

)()()()()(~

)()(111

kSxkBKBkKSkxhkxABkKSkx

)()()()()()()()( 3121 kzkBKBkKSkxkSxkBKBkKSkx

)()()()()()()( 21111 hkvBKBKkvkvBKBKkvkzBkKSkx

)(~

)()()()()(22

hkxABkKShkxkAxBkKShkx

)()()()()()()()( 2212 hkSxkBKBkKShkxkSxkBKBkKShkx

)()()()()()()( 232 kzBkKShkxkzkBKBkKShkx

)()()()()()()()( 2212 hkvkBKBkKhkvkvkBKBkKhkv

)()()()()(~

)()()()()(1333

kSxkBKBkKkzhkxABkKkzkAxBkKkz

)()()()()()()()( 2313 hkSxkBKBkKkzkSxkBKBkKkz

)()()()()()()()()()()( 333 kAxkzkqkqkzBkKkzkzkBKBkKkz

)()()()()()()(~

)(21

hkSxkBKkzkSxkBKkzhkxAkz

.)()()()()( 3 kzkzkzkBKkz (2.42)

Приведем в (2.42) подобные слагаемые:

)())(()()()())(()()1( 111 kxSkBKABkKSkxkxSkBKAAkxMkJ

)())(~

()()()())(~

()(212

hkxSkBKABkKSkxhkxSkBKAAkx

)())(()()()())(()( 313 kzEkBKBkKSkxkzEkBKAkx

58

)())(()()()())((~

)(121

kxSkBKABkKShkxkxSkBKAAhkx

)())(~

(~

)(2

hkxSkBKAAhkx

)())(~

()()( 22 hkxSkBKABkKShkx

)())(()()()())((~

)(323

kzEkBKBkKShkxkzEkBKAhkx

)())()(()())(()()( 113 kxSkBKAkzkxSkBKABkKkz

)())(~

)(()())(~

()()(223

hkxSkBKAkzhkxSkBKABkKkz

kkkQkzEkBKkzkzEkBKBkKkz ,333 )()())()(()())(()()(

)()()()()()()()( 2111 hkvkBKBkKkvkvkBKBkKkv

)()()()()()()()( 2212 hkvkBKBkKhkvkvkBKBkKhkv . (2.43)

Задавая условие, что ,k найдем оценку для (2.43). Учитывая (2.1), (2.2), (2.15)

при коэффициентах передачи *

3

*

2

*

1 ,, KKK , вычислим значение критерия (2.43) для

k+1 такта:

)()()()()()()1( 32 kzkxhkxkxkxkxMkJ

zhkxhkxhkxkxhkx 32222 )()()()()(

Qtrzzhkxzkxz~

)()( 33233 , (2.44)

из которого, в силу неравенства Коши-Буняковского получим оценку:

),(),()()()1( 2212211

2

21

2

1 khkJhkkJhkJkJkJ

QtrrkJrhkJr~

)(2)(2 2

1311312 , (2.45)

где

);1(~

lim)(~

lim~

kQkQQkk

);(lim kVVk

2

1 )()( kxMkJ ;

;)()(3 kxMkJ )()(),(2

hkxkxMhkkJ .

Тогда, учитывая, что траектория замкнутой системы описывается уравнением:

)1()1()1()1()( *

1

*

12 kvBKkSxBKhkxkxkx

)1()1()1( *

3

*

2

*

2 kqzBKhkvBKhkSxBK , (2.46)

59

вычислим рекуррентные соотношения для критериев )(1 kJ , ),(2 hkkJ , )(3 kJ ,

которые входят в состав (2.45):

)1()1(~

)1(()()()()( *

1

2

1 kSxBKhkxAkAxMkxkxMkxMkJ

)1(())1()1()1()1( *

3

*

2

*

2

*

1 kAxkqzBKhkvBKhkSxBKkvBK

)1()1()1()1(~ *

2

*

1

*

1 hkSxBKkvBKkSxBKhkxA

)1()1())1()1( *

3

*

2 kAxAkxMkqzBKhkvBK

)1()1()1(~

)1( *

1 kSxBKAkxhkxAAkx

)1()1( *

2 hkSxBKAkx )1(~

)1( *

1 hkxABKSkx

)1(~~

)1()1(~

)1()1( *

3 hkxAAhkxkAxAhkxzBKAkx

)1(~

)1()1(~

)1( *

2

* hkSxBKAhkxkSxBKAhkx

)1()1(~

)1( *

1

*

3 kAxBKSkxzBKAhkx T

)1()1()1()1( *

2

*

1

*

1

*

1 hkSxBKBKSkxkSxBKBKSkx T

)1()1()1( *

1

*

1

*

3

*

1 kvBKBKkvzBKBKSkx

)1()1()1()1( *

2

*

2

*

1 kAxBKShkxhkvBKBKkv

)1()1()1(~

)1( *

1

*

2

*

2 kSxBKBKShkxhkxABKShkx

zBKBKShkxhkSxBKBKShkx *

3

*

2

*

2

*

2 )1()1()1(

)1()1()1()1( *

2

*

2

*

1

*

2 hkvBKBKhkvkvBKBKhkv

)1()1(~

)1( *

1

*

3

*

3

*

3 kSxBKBKzhkxABKzkAxBKz

.)1()1()1( *

3

*

3

*

2

*

3 kqkqzBKBKzhkSxBKBKz . (2.47)

Приведем подобные слагаемые в (2.47).

)1()~

()1()1()()1()( *

2

*

11 hkxSBKAAkxkxSBKAAkxMkJ

)1()(~

)1())(1( *

1

*

3

*

1 kxSBKAAhkxzBKBKSAkx

zBKBKSAhkxhkxSBKAAhkx *

3

*

2

*

2 )~

)(1()1()~

(~

)1(

)1()()1( *

1

*

1 kxSBKABKSkx

60

)1()~

()1( *

2

*

1 hkxSBKABKSkx

)1()()1( *

1

*

2 kxSBKABKShkx

)1()1()1()~

()1( *

1

*

1

*

2

*

2 kvBKBKkvhkxSBKABKShkx

)1()1()1()1( *

1

*

2

*

2

*

1 kvBKBKhkvhkvBKBKkv

)1()()1()1( *

1

*

3

*

2

*

2 kxASBKBKzhkvBKBKhkv

)1()1()1()~

( *

3

*

3

*

2

*

3 kqkqzBKBKzhkxASBKBKz .

Воспользуемся обозначениями (2.25), (2.41) и симметричностью матриц:

)1()1()1()1()( 21 hkxkxkxkxMkJ

)1()1()(2 2

*

3 kAxhkxzBKhkx

zBKhkxhkxhkx *

3222 )1(2)1()1( )1(~*

3

*

3 kQtrzBKBKz .

Рекуррентное соотношение для )(1

kJ примет вид:

)1,1()1,1()1()( 2122211

2

11 khkJhkkJkJkJ

2

23221

2

2321)1(

~)1(2)1()1(2 rkQtrhkJrhkJkJr . (2.48)

Вычислим рекуррентное соотношение для )(2

kJ :

)()()()(),(2 hkxkxMhkxkxMhkkJ

)1()1(~

)1(( *

1 kSxBKhkxAkAxM

)1(())1()1()1()1( *

3

*

2

*

2

*

1 hkAxkqzBKhkvBKhkSxBKkvBK

)12()1()1()12(~ *

2

*

1

*

1 hkSxBKhkvBKhkSxBKhkxA

)1()1())1()12( *

3

*

2 hkAxAkxMhkqzBKhkvBK

)1()1()12(~

)1( *

1 hkSxBKAkxhkxAAkx

)12()1( *

2 hkSxBKAkx

zBKAkxhkvBKBKkv *

3

*

1

*

1 )1()1()1(

)12(~~

)1()1(~

)1( hkxAAhkxhkAxAhkx

)12(~

)1()1(~

)1( *

2

* hkSxBKAhkxhkSxBKAhkx

61

)1()1(~

)1( *

1

*

3 hkAxBKSkxzBKAhkx

)12(~

)1( *

1 hkxABKSkx

)12()1()1()1( *

2

*

1

*

1

*

1 hkSxBKBKSkxhkSxBKBKSkx

)1()1()1( *

1

*

1

*

3

*

1 hkvBKBKkvzBKBKSkx

)12()1( *

2

*

1 hkvBKBKkv

)12(~

)1()1()1( *

2

*

2 hkxABKShkxhkAxBKShkx

)1()1( *

1

*

2 hkSxBKBKShkx

)12()1( *

2

*

2 hkSxBKBKShkx

)1()1()1( *

1

*

2

*

3

*

2 hkvBKBKhkvzBKBKShkx

)1()12()1( *

3

*

2

*

2 hkAxBKzhkvBKBKhkv

)1()12(~ *

1

*

3

*

3 hkSxBKBKzhkxABKz

)1()1()12( *

3

*

3

*

2

*

3 hkqkqzBKBKzhkSxBKBKz . (2.49)

Приведем в (2.49) подобные слагаемые.

)1()()1(),( *

12 hkxSBKAAkxMhkkJ

)12()~

()1( *

2 hkxSBKAAkx

)1()(~

)1())(1( *

1

*

3

*

1 hkxSBKAAhkxzBKBKSAkx

zBKBKSAhkxhkxSBKAAhkx *

3

*

2

*

2 )~

)(1()12()~

(~

)1(

)1()()1( *

1

*

1 hkxSBKABKSkx

)12()~

()1( *

2

*

1 hkxSBKABKSkx

)1()()1( *

1

*

2 hkxSBKABKShkx

)12()~

()1( *

2

*

2 hkxSBKABKShkx

)1()1()12()1( *

1

*

2

*

2

*

1 hkvBKBKhkvhkvBKBKkv

)1()()12()1( *

1

*

3

*

2

*

2 hkxASBKBKzhkvBKBKhkv

62

)1()1()12()~

( *

3

*

3

*

2

*

3 hkqkqzBKBKzhkxASBKBKz .

Воспользуемся обозначениями (2.25) и (2.41):

)1()1()1()1()( 22 hkxkxhkxhkxMkJ

)12()1()12()1( 222 hkxhkxhkxkx

)1()1()1( *

3

*

32

*

3 hkxBKzzBKhkxzBKkx

1

*

3

*

32

*

3

~)12( QtrzBKBKzhkxBKz . (2.50)


kJ примет вид:

)12,1()1,1()1(),(2212

2

11122hkkJhkkJhkJhkkJ

)1()1()12,1(3123212

2

2hkJrkJrhkhkJ

2

21322322

~)12()1( rQtrhkJrhkJr . (2.51)

По аналогии вычислим рекуррентное соотношение для )(3

kJ :

)1()1(~

)1()()( *

13 kSxBKhkxAkAxMkxMkJ

)1()1()1()1( *

3

*

2

*

2

*

1 kqzBKhkvBKhkSxBKkvBK

.)1()1( *

32 zBKhkxkxM

232313 )1()1()( rhkJkJkJ . (2.52)

Полагая kk ,2,1 и строя последовательно неравенства для )1(3

J ,

)(),2( 33 kJJ , получим:

232313)()0()1( rhJJJ ;

;)1()1()()0()1()1()2( 21323213

2

1232313 rhJhJJrhJJJ

1

1

2

1

1

13

1

123

1

131

1)1()0()1(

k

j

kjkk rhjJJkJ

. (2.53)

Тогда, в силу (2.53) из неравенства (2.51) имеем рекуррентное неравенство:

)12,1()1,1(),( 2

2

22

2

12 hkhkJhkkJhkkJ

211121221)1()12,1( khkJhkkJ , (2.54)

63

где

)1(1

)0( 3

1

1

122

1

2321 hjJr

rJr

k

j

j

)1(1

)0(3

1

1122

1

2

321hjJr

rJr

hk

j

hjh

)1(1

)0(3

1

1

1

12

2

2

1

2

322

1

1hjJr

rJr

hk

j

hjh

)1(1

)0(3

12

1

12

12

2

2

1

2

322

12

1

hjJrr

Jrhk

j

hjh

;

1

1

21

2

22

22

~

1

)(2Qtr

rr

.

Полагая последовательно kk ,2,1 , из (2.54) получим неравенства:

)2,(),0()1,1( 2

2

22

2

12 hhJhJhJ

211121221 )()2,0( hJhJ ;

)21,1()1,1()2,2( 2

2

22

2

12 hhJhJhJ

21

2

1121221)1()21,1( hJhJ

)1()()2,0()2,(),0( 2

11

2

112

3

122

3

12

2

2

2

12

4

1 hJhJhhJhJ

)1()21,1()21,1()1( 1212212

2

2

2

12 hJhJhhJ ;

1

0

2

122

122

2

12 )2,(),0(),(k

j

jkk hjjJhJhkkJ

1

0

1

122

12 )(k

j

jk hjJ

1

0

2

)1(22

1

2

2 )2,(k

j

jk hjhjJ .1

1

1

122

1

2

1

12

1

2

1

1

kk

k (2.55)

Проделаем аналогичные действия для )(1 kJ . Перепишем (2.48) с учетом (2.53):

)1,1()1,1()1()( 2212211

2

11 khkJhkkJkJkJ

64

4311

2

2 )1( khkJ ;

где

1

13122

1

2

323)1(2

1)0(2

k

j

j hjJrr

Jr

1

13

1

1

2

22

1

2

1

1

3

1

122)1(2

1)0(2

hk

j

hj

h

h hjJrr

Jr

;

Qtrr

r~

1

)(2

1

21

2

22

24

.

)0,(),0()0()1( 2212211

2

11 hJhJJJ 4311

2

2)( hJ ;

)1,1()1,1()1()2( 2212211

2

11 hJhJJJ 43

2

11

2

2)1( hJ

)()0,(),0()0( 1

2

2

2

122

3

122

3

11

4

1 hJhJhJJ

)1()1,1()1,1()1()1(1

2

22212214

2

13

2

1

2

1hJhJhJ .

1

0

2

122

122

1

0

122

121

2

11 ),(),()0()(k

j

jkk

j

jkk jhjJhjjJJkJ

1

0

1

)1(22

1

2

2 )(k

j

jk hjJ42

1

2

1

32

1

2

1

11

1

1

1

kk

k . (2.56)

В силу (2.53) значения )1(3 hjJ – ограниченные величины, тогда можно

утверждать, что величины 1 и 3 также ограничены сверху. Следовательно, с

учетом (2.39), 0lim 11

k

k и 0lim 31

k

k.

Оценку критерия (2.38) построим, учитывая неравенства (2.53), (2.55), (2.56).

Тогда, с учетом условия (2.39) и при k из (2.45) получим (2.40). Условие

(2.39) обеспечивает асимптотическую устойчивость замкнутой системы с

запаздываниями по состоянию [141].

Замечание 2.3. В частном случае, при отсутствии запаздываний в объекте,

оценка критерия (2.38) примет вид

65

1

211

2

1

2

2

2

1

1

2

)1(

rrrJ .

1

~

2

1

2

1

Qtr

r (2.57)

Неравенство (2.57) получается из (2.40) при 02 и полностью совпадает с

оценкой критерия аналогичного (2.38), полученной в работе [62], для модели

объекта без запаздываний.

2.4. Результаты моделирования

2.4.1. Моделирование системы управления 2-го порядка

Осуществлено моделирование следящих систем управления для различных

форм отслеживаемого сигнала. Моделирование выполнено для объекта (2.1),

канала измерений (2.2), локального критерия (2.3) и отслеживаемого вектора (2.4),

в которых матрицы и векторы имеют следующие значения:

1025,0105,0

A ;

11,0

B ;

103,010

1A ;

02,00002,0

Q ;

С = 1; D = 0,2; 10S ; 01H ; F = 1; V = 0,16; z = 10.

В результате получены графики, которые демонстрируют, что при заданных

параметрах переменная )(1 kx сходится к желаемому поведению )(kz (пунктирная

линия обозначает отслеживаемый сигнал) (рисунок 2.1.):

Рисунок 2.1. Реализации )(1 kx , )(kz и управления

На рисунках 2.2. и 2.3. приведены результаты моделирования для

отслеживания переменного сигнала z(k).

66


при кусочно-постоянном отслеживаемом векторе


при возрастающем и убывающем отслеживаемом векторе

2.4.2. Задача управления производством и сбытом товара

Рассматривается динамическая модель производства и сбыта товара в

условиях рынка c учетом запаздывания. Подобная модель для непрерывного

времени без учета запаздывания предложена в работе [7]. Модель описывает

производство и продажу на рынке товара повседневного спроса и основана на

соотношениях баланса потоков товара у производителя, на рынке и у

потребителя, а также дохода от продажи товара. Взаимодействие между

производителем и покупателем определяется темпом продаж, который зависит от

цены товара, назначаемой производителем, от количества товара у потребителя и

непроданного товара на рынке, а так же от коэффициента потребления.

Вектор состояния )(kx состоит из трех компонент:

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

3

2

1

kx

kx

kx

kw

kv

kz

kx , (2.58)

67

где )(kz – количество товара на рынке в момент времени k ( ,2,1,0k ); )(kv –

количество товара у потребителя в момент времени k; )(kw – прибыль.

Математические модели динамики изменения количества товара у

потребителя и количества товара на рынке могут быть записаны в следующем

виде:

01)0();()()()1()1( zzkskukzkkz ; (2.59)

02)0();()()1()1( vvkskvkkv . (2.60)

Здесь )(ku – количество товара, выпускаемого в момент времени k (объем

выпуска продукции); 1k – коэффициент потерь ( 10 1 k ); 2k – коэффициент

потребления купленного товара за 1 такт ( 10 2 k ); )(ks – количество

проданного товара в момент времени k .

Рассмотрим два варианта динамики изменения прибыли с учетом

запаздываний финансовых потоков:

030 )0();()()()()1( wwhkzkkuckcskwkw ; (2.61)

Модель (2.61) соответствует случаю, когда задержки происходят при оплате за

хранение товара, например, оплата аренды склада производится до текущего

периода.

030 )0();()()()()1( wwkzkkuchkcskwkw ; (2.62)

Случай, когда существуют задержки при поступлении денег производителю за

проданный товар. Например, когда перевод денег от покупателя к продавцу

осуществляется через банк и требует времени.

В уравнениях (2.61), (2.62) 3k – стоимость хранения единицы товара за 1 такт

времени; 0с – себестоимость производства единицы товара; с – стоимость (цена)

единицы товара; 0h – величина временного запаздывания (целое число).

Количество проданного товара в единицу времени )(ks определяется с помощью

функции продаж:

1

0( ) (1 ( ) ) ( )cs k n e v k Y z k , (2.63)

68

где 0n – коэффициент продаж; Y – объем рынка (потенциальный спрос).

Предположим, что потенциальный спрос неограничен ( Y ), тогда функция

продаж примет вид:

0( ) ( )cs k n e z k . (2.64)

Переменные имеют ограничения )()( kzks ; ;0)( ku max)( uku ;

;0)( kz 0)( kv , где maxu – максимальный объем выпускаемой продукции.

Математическую модель производства и сбыта товара можно представить в

виде (2.1). Матрицы динамики А и А1 для данного объекта в случае, когда

задержки происходят при оплате хранения товара, как в модели (2.61) имеют вид:

10

01

001

0

20

01

c

c

c

ecn

ken

enk

A ;

00000000~

3kA , (2.65)

Матрица В следующая:

0

0

1

c

B . (2.66)

Для второго случая, когда существуют задержки при поступлении денег

производителю за проданный товар (2.62), матрицы динамики имеют следующий

вид:

10

01

001

3

20

01

k

ken

enk

A c

c

;

00000000~

0

cecnA ;

0

0

1

c

B (2.67)

Отметим, что аддитивные возмущения )(kq в (2.1) вводятся для учета

возможных ошибок в модели. Начальное значение 0

x и вектор возмущений )(kq

по предположению являются гауссовскими случайными величинами, для которых

выполняются условия: ;0)( kqM jk

kQjqkqM,

)()()( . Предполагается, что

начальное состояние и вектор возмущений взаимно некоррелированы:

0)0( xxM ; 0)()0( kqxM .

Модель желаемого поведения прибыли зададим в виде:

69

0

** )0();()1()1( wwkwrkw ,

где r – заданный темп роста прибыли.

Моделирование выполнено с использованием системы компьютерной

алгебры Mathcad 14 для следующих начальных данных:

05,0;02,0;0001,0;5,3;1;5,26;1 32100 kkkccnh ;

0062,0;1 rrF ; 1000w .

Весовые матрицы:

01,0;1 DC ;

100

001S ; 100H .

Матрицы возмущений следующие:

095,000

008,00

0011,0

Q ;

05,00

01,2V .

Для оценки работоспособности алгоритма применен второй подход, который

заключается в использовании метода расширения пространства состояний [10] с

последующим применением оценивателей компонент расширенного вектора

состояния [4, 117]. В этом случае система с запаздыванием вида (2.1)

преобразуется к расширенной системе без запаздывания вида:

)()()()1( kqkuBkxAkx . (2.68)

В (2.68) матрицы BA, и вектор )(kx имеют следующую блочную структуру:

)(

)1(

)(

)(

hkx

kx

kx

kx

; ;

000

000

~00

E

E

AA

A

0

0

B

B .

Расширенный канал наблюдения имеет вид:

)()()( kvkxSky ,

где

70

)(

)1(

)(

)(

hky

ky

ky

ky

;

S

S

S

S

000

00

00

;

)(

)1(

)(

)(

hkv

kv

kv

kv

.

Вектор локально-оптимального управления для расширенной системы будет

иметь вид:

))()(ˆ()()( 1* kzkxAHCHBDBCHHBku ,

где вектор )(ˆ kx является оценкой вектора )(kx и вычисляется с помощью

фильтра Калмана. Отметим, что в случае, когда задержки исходной модели

велики, преобразованная модель будет содержать матрицы больших

размерностей, что приводит к дополнительным вычислительным затратам. Чтобы

избежать чрезмерного увеличения размерностей матриц, которые возникают при

синтезе систем с запаздываниями, в настоящей диссертационной работе

предложен другой подход, заключающийся в использовании структуры систем

управления по выходу, предложенный в разделе 2.2.

Результаты моделирования управления производством и сбытом товаров для

разных случаев запаздывания и для двух вариантов построения оптимального

управления приведены на графиках ниже. На рисунках 2.4., 2.5., 2.8., 2.9.

приведены результаты моделирования с использованием оценивателя в контуре

управления, на рисунках 2.6., 2.7., 2.10., 2.11. – по наблюдаемому выходу.

Рисунок 2.4. Реализации )(* kw и )(kw для

случая, когда задержки происходят при оплате

за хранение товара для стратегии с

использованием оценивателя в контуре

управления

Рисунок 2.5. Объем выпуска продукции

фирмой для случая, когда задержки

происходят при оплате за хранение товара

для стратегии с использованием

оценивателя в контуре управления

71


случая, когда задержки происходят при оплате

за хранение товара для стратегии с

управлением по наблюдаемому выходу


фирмой для случая, когда задержки

происходят при оплате за хранение товара

для стратегии с управлением по

наблюдаемому выходу


случая, когда существуют задержки при

поступлении денег производителю за

проданный товар для стратегии с

использованием оценивателя в контуре

управления


фирмой для случая, когда существуют

задержки при поступлении денег

производителю за проданный товар для

стратегии с использованием оценивателя в

контуре управления


случая, когда существуют задержки при

поступлении денег производителю за

проданный товар для стратегии с управлением

по наблюдаемому выходу


фирмой для случая, когда существуют

задержки при поступлении денег

производителю за проданный товар для

стратегии с управлением по наблюдаемому

выходу

72


1. Рассмотрена задача синтеза следящих систем управления объектами с

запаздываниями по состоянию. Предложенный в работе метод заключается в

применении процедур параметрического синтеза для структуры закона

управления по наблюдаемому выходу и позволяет избежать применение метода

расширения пространства состояний.

2. Получены асимптотические оценки системы управления по выходу.

Показано, что при практически естественных ограничениях на класс

динамических систем метод локально-оптимального слежения при косвенных

измерениях с ошибками обеспечивает асимптотическое слежение с точностью,

определяемой интенсивностью аддитивных возмущений и ошибок в канале

измерений, динамическими характеристиками замкнутой системы, значениями

параметров объекта и коэффициентов передачи следящей системы управления

(см. теорему 2.2.).

3. Выполнено моделирование системы локально-оптимального управления в

задаче управления динамической моделью производства и сбыта товара с учетом

запаздываний финансовых потоков в объекте. Анализируя графики можно

сказать, что, начиная приблизительно с 10-го такта, осуществляется отслеживание

желаемой траектории. Отметим, что на первых этапах амплитуда колебания

управляющего воздействия в системе управления с фильтром Калмана выше, чем

в системе управления по выходу, а также, что применение в системе управления

фильтра Калмана, требует использование блочных матриц больших размерностей

при больших запаздываниях в системе.

73

Глава 3. УПРАВЛЕНИЕ ПО НАБЛЮДАЕМОМУ ВЫХОДУ ОБЪЕКТАМИ

С ИНТЕРВАЛЬНЫМИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ С УЧЕТОМ

ЗАПАЗДЫВАНИЯ

В главе рассматривается задача синтеза локально-оптимального управления

по наблюдаемому выходу для дискретных объектов с интервальными

неопределенностями и с запаздыванием по состоянию на основе вероятностного

метода. Работа является обобщением [144] и главы 2 на случай присутствия в

модели интервальных неопределенностей [130]. Эти неопределенности отражают

ситуацию, когда точные параметры модели не определены, а известны только

границы диапазонов их изменения. В этом случае одной из важнейших задач

является построение такого управления, которое бы обеспечивало желаемые

требования, предъявляемые к системе, на всем диапазоне изменяющихся

параметров объекта. Задачи управления с неопределенностями интервального

типа рассматриваются в работах [5, 6, 17, 18, 49, 53, 85, 130]. Для решения

подобных задач с интервальными неопределенностями применяются методы,

использующие интервальную арифметику Кохрена, теорию нечетких множеств

[114, 149], методы линейных матричных неравенств [1, 2, 91, 100] и

вероятностные методы [79, 80].

В настоящей работе предлагается осуществлять синтез следящих систем

управления по выходу при косвенных измерениях для дискретных объектов с

интервальными неопределенностями и с запаздыванием по состоянию на основе

вероятностного метода [79, 80]. Предлагаются алгоритмы, в основе которых

лежит оптимизация локального критерия без предварительного расширения

пространства состояний модели объекта. Управление определяется, как функция

измеряемых переменных и отслеживаемого сигнала. Исследуется

асимптотическое поведение системы, строятся оценки для асимптотической

74

точности слежения [141]. Близкие по постановкам задачи изучались в работах [62,

143], однако, задачи управления по выходу для систем с интервальными

неопределенностями и с учетом запаздываний в них не рассматривались.

Основные результаты главы опубликованы в работах [39, 46, 64, 125].


Пусть управляемый объект с запаздыванием по состоянию описывается


);()()()()~~

()()()1(111

kqkuBBhkxAAkxAAkxr

iii

r

iii

r

iii

,2,1,0;1,,2,1,);()( khhhx , (3.1)


).()()( kvkSxky (3.2)



riBBAAAAiii

,1,,,~

,~

,, – матрицы соответствующих размерностей; S – матрица

канала наблюдения; матрицы B и S полного ранга; пары матриц ( BA, ) и ( ),~

BA

управляемы; пары матриц ),( AS и )~

,( AS наблюдаемы; )( – заданная

детерминированная функция начальных условий на интервале 1,,1, hh ,

при этом 0)0()0( xx – случайный вектор с характеристиками: 00 xxM ;

000 xPxxM ; )(kq – гауссовская случайная последовательность входных

возмущений ( 0)( kqM ; )()( jqkqM jkkQ ,)( ; 0)()( kQkQ –

неотрицательно определенная матрица); v(k) – гауссовская случайная

последовательность ошибок измерений с характеристиками: ;0)( kvM

;0)()( jvkqM jkkVjvkvM ,)()()( ; 0)()( kVkV – неотрицательно

определенная матрица; i

– неопределенные параметры интервального типа.

75

Оптимизируемый локальный критерий представлен следующим образом:

,/)()())()1(())()1(()( 0






)()()1( kqkFzkz z ; ,2,1,0;)0( 0 kzz . (3.4)

В (3.4) )(kqz – гауссовская случайная последовательность с характеристиками

;0)( kqMz

;0)()( jqkqM z ;0)()( jvkqM z )()( jqkqM zz jkz kQ ,)( ;

0z –

начальные условия (случайный вектор с характеристиками: 00 zzM ;

000 zPzzM ;

0000 xzPxzM ; 0000 zxPzxM ); F – матрица динамики модели


Применение теории нечетких множеств, арифметики Кохрена, методов

линейных матричных неравенств, при решении задач с интервальными

неопределѐнностями затруднительно, поэтому в работе применяется

вероятностный метод, который упрощает работу с неопределенностями. Суть

вероятностного подхода заключается в том, что неопределенности интервального

типа заменяются независимыми случайными последовательностями, с

равномерным законом распределения на заданном интервале.

3.2. Построение локально-оптимального управления для объекта с

запаздыванием по состоянию и с интервальными неопределенностями

Управление объектом (3.1) при измерениях (3.2) определим в следующей

параметрической форме:

)()()()()()()(321

kzkKhkykKkykKku

)()()()()()()()()()(32211

kzkKhkvkKhkSxkKkvkKkSxkK , (3.5)

где коэффициенты передачи )(),(),( 321 kKkKkK подлежат определению.

76



Теорема 3.1. Если для объекта (3.1), канала измерений (3.2) и локального

критерия (3.3) матрицы

0)3

1(

1

r

i

ii CHBHBDCHBHBC ;

0

)(),()(

),()()(),(

)(),()()(

)(

kPkhkSPkSP

ShkkPhkVShkSPShkkSP

SkPSkhkSPkVSkSP

kP

zxzxz

zxxx

zxxx

(3.6)



определяются по формулам:

ckbKkaKkK )()()( 32

*

1 ; (3.7)

]][))(([)( 3

*

2 adEfcdebdkKkK ; (3.8)

)1][(~)~())([()( 1*

3 bgmcgnagadEfcdkK

,)]~())(( 11 nagadEebd (3.9)

где

;)]()([),( 1 kVSkSPSkhkSPa xx ;)]()([)( 1 kVSkSPSkPb xzx

SkPHAkhkPAHCHBCc xixi

r

i

i ))(),(~

(3

1[

1

1

;)]()(][))(),(~

)(( 1 kVSkSPSkPkhkPAHkHAPCHB xzxxx

;)]()([),( 1 hkVShkSPShkkSPd xx

;)]()([),( 1 hkVShkSPShkkPe xzx

ShkkPHAhkPAHCHBCf xixi

r

i

i )),()(~

(3

1[

1

1

])),()(~

),(( ShkkPhkPAHhkkHAPCHB zxxx

1)]()([ hkVShkSPx ;

);()( 1 kPkSPgzxz

);(),(~ 1 kPkhkSPn zxz

77

))(),(~

(3

1[~

1

1 kPHAkhkPAHCHBCm xzixzi

r

i

T

i

).(]))(),(~

)((1

kPSkPkhkPAHkHAPCHB zzxzxz

(3.10)


),( rkPx


; ),()( kkPkP zz ;

)()(),(),( rxkzMkrPrkP xzzx

; ),(),()()( kkPkkPkPkP xzzxxzzx

;



,


запаздываниями, приведенными ниже.



)()()()()~~

()()()1(111

kqkuBBhkxAAkxAAkxr

i

ii

r

i

ii

r

i

ii

)()()()()~~

()()( 1

111

kSxkKBBhkxAAkxAAr

i

ii

r

i

ii

r

i

ii

)()()()()()( 2

1

1

1

hkSxkKBBkvkKBBr

i

ii

r

i

ii

)()()()()()()( 3

1

2

1

kqkzkKBBhkvkKBBr

i

ii

r

i

ii

. (3.11)

Учитывая (3.1), (3.2), (3.4) – (3.6), характеристики случайных

последовательностей )(kq , )(kv , вычислим значение локального критерия (3.3) и

приведем подобные слагаемые аналогично главе 2:

)}()())()1(())()1({()( kDukukzkHxCkzkHxkI

)()()(~

)(~

)()({( 1

11

kSxkHBKhkxAHhkxAHkxAHkHAxr

i

i

r

i

ii

)()()()()()()()(21

1

11

1

hkSxkHBKkvkKBHkvkHBKkSxkKBHr

i

ii

r

i

ii

78

)()()()()()( 2

1

22

1

hkvkKBHhkvkHBKhkSxkKBHr

i

ii

r

i

ii

)((())()()()()()( 3

1

3 kHAxCkzkHqkzkKBHkzkHBKr

i

ii

)()()(~

)(~

)( 1

11

kSxkHBKhkxAHhkxAHkxAHr

i

i

r

i

ii

)()()()()()()()( 21

1

11

1

hkSxkHBKkvkKBHkvkHBKkSxkKBHr

i

ii

r

i

ii

)()()()()()( 2

1

22

1

hkvkKBHhkvkHBKhkSxkKBHr

i

ii

r

i

ii

)()(())()()()()()( 13

1

3 kSxkKkzkHqkzkKBHkzkHBKr

i

ii

)()(())()()()()()()()( 13221 kSxkKDkzkKhkvkKhkSxkKkvkK

))})()()()()()()( 3221 z(kkKhkvkKhkSxkKkvkK ;

)())(())(()( 1

Τ

1 kPSkHBKHACSkHBKHAtrkI x

)())(())((tr3

11

r

1i

1 kPSkKHBHACSkKHBHA xiiii

),())(~

())(tr()()()(tr 2111

T khkPSkBKACSkBKAkSPkDKkKS xx

),())(~

())((tr3

12

r

1i

1i khkPSkKHBAHCSkKHBHA xiii

)())(())(tr(),()()(trS 3121 kPEkHBKCSkHBKHAkhkSPkDKkK zxx

)()()(tr)()())((tr3

131

r

1

31ii kPkDKkKSkPkKCHBSkKHBHA zx

i

zxi

),())(())(~

tr( 12 hkkPSkHBKHACSkHBKAH x

),())(())(~

(tr3

11

r

1i

2 hkkPSkKHBHACSkKHBAH xiiii

))(~

tr(),()()(trS 212 SkHBKAHhkkSPkDKkK x

)())(~

( 2 hkPSkHBKAHC x

)())(~

())(~

(tr3

12

r

1i

2 hkPSkKHBAHCSkKHBAH xiiii

79

)()()(tr22

hkSPkDKkKSx

),())(())(~

tr( 32 hkkPEkHBKCSkHBKAH zx

),()())(~

(tr3

13

r

1i

2 hkkPkKBCHSkKHBAH zxiii

)())(())(tr(),()()(tr 1332 kPSkHBKHACEkHBKhkkPkDKkKS xzzx

)()()(tr)())(()(tr3

113

r

1i

13 kSPkDKkSKkPSkKHBHACHBkK xzxziii

),())(~

())(tr(23

khkPSkHBKAHCEkHBKxz

),())(~

()(tr3

1 r

1i

23 khkPSkKHBAHCHBkK xziii

)())(())(tr(),()()(tr 3323 kPEkHBKCEkHBKkhkSPkDKkK zxz

)()()(tr)()()(tr3

133

r

1i

33 kPkDKkKkPkKCHBHBkK zzii

)()()3

1)((tr 1

1

1 kVkKCHBHBDCHBHBkKr

i

ii

)(tr)()()3

1)((tr 2

1

2 kCHQhkVkKCHBHBDCHBHBkKr

i

ii

. (3.12)

При вычислении (3.12) учитывается, что

.3

1

32

1

2

11

1

1

1

32

i

iiii dM

(3.13)

Входящие в (3.12) моменты ),(),,(),,(),,( jtPjtPjtPjtP zxxzzx определяются


)}1()1({)1,1( jxtxjtPx

BjKjtPtjjhtPtjjtPt xzxx )(),()()(),()()(),()( *

32

ixz

r

i

iix

r

i

iix

r

i

i BjKjtPtjhjtPtjjtPt )(),()(3

1)(),()(

3

1)(),()(

3

1 *

3

1

2

11

BjKjhtPtjhjhtPtjjhtPt xzxx )(),()()(),()()(),()( *

32222

)(),()(3

1)(),()(

3

12

1

2

1

2 jhjhtPtjjhtPt T

x

r

iiix

r

ii i

80

)(),()()(),()()(),()(3

12

*

33

*

3

1

jhjtPtBKjjtPtBKBjKjhtPt zxzxixz

r

i

i

iz

r

i

iz BjKjtPtKBBjKjtPtBK )(),()(3

1)(),()( *

3

1

*

3

*

3

*

3

)(),()(3

1)(),()(

3

12

1

*

3

1

*

3 jhjtPtKBBjjtPtKBizx

r

i

iiizx

r

i

i

BjKhjhtVtBKBjKjtVtBK hjhtjk )(),()()(),()( *

2,

*

2

*

1,

*

1

r

i

ijti BKjtVtKB1

*

1,

*

1 ),()(3

1

jt

r

i

ihjhti jtQBKhjhtVtKB ,

1

*

2,

*

2 ),(),()(3

1

.


)(),()(3

1)(),()()(),()()1,1(

1

2 jjtPtjjhtPtjjtPtjtP ix

r

i

ixxx

)(),()()(),()()(),()(3

12222

1

jhjhtPtjjhtPtjhjtPt xxix

r

i

i

)(),()(3

1

1

2 jjhtPt ix

r

ii

),()(),()(3

112

1

2 jtQjhjhtPtix

r

ii

;

;,2,1,0, jt )()(),( hjhthjhtPx для 1,0, hjt ; 0

)0( xx PP ;

)(),0( 0 xPx ; 0)()0,( xPx для 1,,2,1, hhh . (3.14)


StBKAt )()( *

1 ; StBKAt )(~

)( *

22 ; EtBKt )()( *

33 ;

StKBAt iii )()( *

1 ; StKBAt iii)(

~)( *

22 ;

i

r

i

xzixzjt BjKjtPtBjKjtPtjtQjtQ1

*

3

*

3,1 )(),()(3

1)(),()(),(),(

i

r

i

xzixz BjKjhtPtBjKjhtPt1

*

3

*

32 )(),()(3

1)(),()(

BjKjtPtBKjhjtPtBKjjtPtBK zzxzx )(),()()(),()()(),()( *

3

*

32

*

3

*

3

81

r

i

izxii

r

i

zi jjtPtKBBjKjtPtKB1

*

3

1

*

3

*

3 )(),()(3

1)(),()(

3

1

r

iizxi jhjtPtKB

1

2

*

3 )(),()(3

1

BjKhjhtVtBKBjKjtVtBK hjhtjt )(),()()(),()( *

2,

*

2

*

1,

*

1

.),()(3

1),()(

3

1

1

*

2,

*

2

1

*

1,

*

1

r

i

ihjhti

r

i

ijti BKhjhtVtKBBKjtVtKB (3.15)

)}1()1({)1,1( jztzjtPz ;),(),(

, jtzzjtQFjtFP

0)0( zz PP ; ;,2,1,0, jt (3.16)

)}1()1({)1,1( jxtzjtPzx

)(),()(),(2

jhjtFPjjtFPzxzx

;)(),( 3

BjKjtFPz

;,2,1,0, jt0

)0( zz PP ; 00

)0( xzzx PP ;

.1,,2,1,);(),0( 0 hhhzPzx (3.17)

)}1()1({)1,1( jztxjtPxz

;),()(),()(),()(32

FjtPtBKFjhtPtFjtPtzxzxz

;,2,1,0, jt0

)0( zz PP ; ;)()0,( 0

zPxz

;)0(00zxxz PP 1,,2,1, hhh . (3.18)

Отметим, что в формулах (3.14), (3.17), (3.18) )(x заменяется на


)( для .1,,2,1, hhh


)()(),()()()()( 321 kPktrPkhkPktrPkPktrPkI zxxx

)()()()(),()( 654 hkPktrPkPktrPhkkPktrP xxzx

82

)()(),()(),()( 987 kPkPkhkPkPhkkPktrP zxzzx

)()()()()()()( 2211 kCHQtrHhkVkKCktrKkVkKCktrK , (3.19)

где

))(())(()(111

SkBKACHHSkBKAkP

;)()())(())((tr3

1111

r

1i

1 SkDKkKSSkKBACHHSkKBA iiii

))(~

())(()(212

SkBKACHHSkBKAkP

;)()())(~

())((tr3

1212

r

1i


))(())(()(313

EkBKCHHSkBKAkP

);()()())((tr3

1313

r

1i

1 kDKkKSkKCHBHSkKBA iii

))(())(~

()(124

SkBKACHHSkBKAkP

;)()())(())(~

(tr3

1121

r

1i


))(~

())(~

()(225

SkBKACHHSkBKAkP

;)()())(~

())(~

(tr3

1222

r

1i


))(())(~

()(326

EkBKCHHSkBKAkP

);()()())(~

(tr3

1323

r

1i


))(())(()(137

kBKACHHEkBKkP

;)()())(()(tr3

113

r

1i

13 SkDKkKSkKBACHHBkK iii

))(~

())(()(238

kBKACHHEkBKkP

;)()())(~

()(tr3

123

r

1i


))(())(()(339

EkBKCHHEkBKkP

83

)()()()(tr3

133

r

1i

33 kDKkKkKCHBHBkK ii

.

Вычислим значения градиентов критерия (3.19) по )(),( 21 kKkK и )(3 kK

аналогично главе 2. При этом будем использовать правила дифференцирования

функции tr от произведения матриц по матричному аргументу (1.7) [2, 82] и

свойство, что матрицы DC, ,

r

i

ii CHBHBDCHBHB13

1 – симметричные.

r

i

xiixx SkPCHAHBSkCHAPHBSkSPkKCkK

kI

1

1

1

)(3

1)()()(

)(

)(

r

i

iixx ACHHBSkhkPACHHBSkhkSPkKC1

2

~

3

1),(

~),()(

0)()()()()(),(13

kVkKCSkCHPHBSkSPkKCSkhkPzxzxx

.


SkPkKCSkhkSPkKCCkKzxx

)()(),()([)(32

1

1

)(()),(~

)((3

1

1

kHAPCHBSkhkPAkPACHHB xxi

r

i

xii

.)]()(][))(),(~ 1 kVSkSPSkPkhkPAH xzxx (3.20)

Аналогично для )(2

kK и )(3

kK :

ShkkCHAPHBShkkSPkKCkK

kIxx ),(),()(

)(

)(1

2

r

i

xii ShkkPCHAHB1

),(3

1

r

i

xiixx ShkPACHHBShkPACHHBShkSPkKC1

2 )(~

3

1)(

~)()(

.0)()()(),()( 23 hkVkKCSkCHPHBShkkSPkKC zxzx


84

ShkkPkKCShkkSPkKCCkKzxx

),()(),()([)(31

1

2

),(())(~

),((3

1

1

hkkHAPCHBShkPAhkkPACHHB xxi

r

i

xii

.)]()(][)),()(~ 1 hkVShkSPShkkPhkPAH

xzxx (3.21)


r

i

xziixzxzkPCHAHBkCHAPHBkSPkKC

kK

kI

1

1

3

)(3

1)()()(

)(

)(

r

i

xziixzxz khkPACHHBkhkPACHHBkhkSPkKC1

2 ),(~

3

1),(

~),()(

0)()()(3 kCHPHBkSPkKC zz .

),()()()([)(21

1

3khkSPkKCkSPkKCCkK

xzxz

)(()),(~

)((3

1

1

kHAPCHBkhkPAkPACHHB xzxzi

r

i

xzii

.))](),(~ 1 zzxz PkPkhkPAH (3.22)

Вычислив )(),(21

kKkK , )(3

kK и, получив уравнения (3.20) – (3.22), перепишем их

в виде:

])()(),()())()()(([321

SkPkKSkhkSPkKkVSkSPkKСzxxx

SkPkhkPAHkHAPCHB zxxx )](),(~

)([

)];,(~

)([3

1

1

khkPAkPACHHB xi

r

i

xii

(3.23)

))()()((),()([21

hkVShkSPkKShkkSPkKСxx

)(~

),([]),()(3

hkPAHhkkHAPCHBShkkPkKxxzx

)](~

),([3

1)],(

1

hkPAhkkPACHHBShkkP xi

r

i

xiizx

; (3.24)

)([)](),()()()([21

kHAPCHBkPkhkSPkKkSPkKСxzzxzxz

85

)],(~

)([3

1)](),(

~

1

khkPAkPACHHBkPkhkPAH xzi

r

i

xziizxz

. (3.25)

Представим систему матричных уравнений (3.23) – (3.25) в следующем виде:

)(])()()([321

kPkKkKkKС

SkPkhkPAHkHAPCHBzxxx

))(),(~

)([(

)),(~

)((3

1

1

khkPAkPACHHB xi

r

i

xii

ShkkPhkPAHhkkHAPzxxx

)),()(~

),((

))(~

),((3

1

1

hkPAhkkPACHHB xi

r

i

xii

))(),(~

)(( kPkhkPAHkHAPzxzxz

))].,(~

)((3

1

1

khkPAkPACHHB xzi

r

i

xzii

(3.26)

В силу (3.6) матрицы С и )(kP невырождены для всех ,2,1,0k ,


])()()([321

kKkKkK и имеет единственное решение )(),(),( *

3

*

2

*

1 kKkKkK ,

представленное в условиях теоремы 3.1 в виде (3.7) – (3.9), которое получается

непосредственным вычислением.

Замечание 3.1. Отметим, что матрицы )(),( 21 kKkK , )(3

kK численно могут

быть получены из (3.26) посредством умножения левой части (3.26) на матрицу

1С слева и )(1 kP справа.

3.3. Исследование асимптотического поведения замкнутой системы для

объекта с запаздыванием по состоянию и с интервальными

неопределенностями

Асимптотическую точность слежения определим, вычислив оценку

критерия:

86

},)1({lim2

zkxJk

(3.27)




DCVSQBBAAAAiii

,,,,,,,~

,~

,, , ri ,1 – постоянные; .0)(; kqEF z Тогда, если

выполняется условие (3.6) теоремы 3.1, существует установившееся решение

уравнений (3.14), (3.17), (3.18) и выполняется условие:

12

1

2

1 , (3.28)


QtrRrJ

~

)(1][

)(1

)()(2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

122

22

2

2

1

2

21

2

21

12

1

2

1

21212

1

2

1

221211 ~

)(12

1

))](()([2 QtrrR

RrRr

, (3.29)

где

1

s;

22

s;

11 s

; 22

s

; SBKA *

1 ; SBKA *

22

~ ;

r

i

*

iiii

r

i

*

iiii S)KθBθA(S)KθBθ(A1

22

1

11

~; ;

)(lim *

1

*

1 kKKk

; )(lim *

2

*

2 kKKk

; )(lim *

3

*

3 kKKk

;

zr31 ; zBKr *

32 ; zKBR

r

i

ii

1

*

3 ; EBK *

33 ;

r

i

ii BVKKBBVKBKQ1

*

2

*

1

*

2

*

113

1~;

r

i

ii BVKKBBVKBKQQ1

*

1

*

1

*

1

*

13

1~

r

i

i BVKKBBVKBK1

*

1

*

2

*

1

*

23

1.

Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 2.2 в главе 2 для

вычисления оценки (3.27) построим сначала оценку для критерия

})1({)(2

zkxkJ , а для этого вычислим его на k+1 такте:

87

)})1(())1({(})({)1(2

zkxzkxzkxkJ

)()()()()()()( 232 kxhkxzkxhkxkxkxkx

zzhkxzkxzzhkxhkxhkx 332333222 )()()()()(

)()()()()()()()( 2212211 hkxhkxkxhkxhkxkxkxkx

r

i

i

*r

i

*

ii

r

i

*

ii x(k)BθKzzKθBh)(kxzKθB(k)x1

13

1

32

1

31

)()()( *

1

*

1

1 1

*

3

*

3

1

2

*

3 kvBKBKkvzKBBKzhkxBKzr

i

r

i

iii

r

i

i

r

i

r

i

iiii kvKBBKkv1 1

*

1

*

1 )()( )()( *

2

*

2 hkvBKBKhkv

trQhkvKBBKhkvr

i

r

i

iiii

})()(1 1

*

2

*

2 . (3.30)


при коэффициентах передачи *

3

*

2

*

1 ,, KKK , вычислим значение критерия (3.30) для

k+1 такта:

zkxhkxkxkxkxkJ 32 )()()()()()1(

zhkxhkxhkxkxhkx32222

)()()()()(

)()()()(11233

kxkxhkxzkxz

)()()()()()(221221

hkxhkxkxhkxhkxkx

r

i

i

r

i

ii

r

i

ii kxBKzzKBhkxzKBkx1

1

*

3

1

*

32

1

*

31 )()()(

r

i

i

r

i

r

i

iii hkxBKzzKBBKz1

2

*

3

1 1

*

3

*

3 )}( Qtrzz~

33 , (3.31)

из которого, в силу неравенства Коши-Буняковского получим оценку:

),()()()()1( 221211

2

1

2

1 hkkJkJkJ

)()(2)()(),()( 32121

2

2

2

222121 hkJRrhkJkhkJ

QRrkJrR~

tr)()(2 22

13111 , (3.32)

88

где

);1(~

lim)(~

lim~

kQkQQkk

})({)(2

1kxkJ ;

),(2 hkkJ )()( hkxkxM ; )(3 kJ })({ kx .


)1()()1()()1()()( *

1

1

221 kvKBBhkxkxkxr

i

ii

)1()()1()( *

3

1

*

2

1

kqzKBBhkvKBBr

i

ii

r

i

ii , (3.33)



)}()({})({)(2

1kxkxkxkJ

zBKkxhkxkxkxkx *

32 )1()1()1()1()1({

r

i

ii zKBkxhkxkxkxkx1

*

312111 )1()1()1()1()1(

zBKhkxhkxhkxkxhkx *

32222 )1()1()1()1()1(

)1()1()1()( 2212 hkxhkxkxhkx

)1()1( *

3

1

*

32 kxBKzzKBhkxr

i

ii

r

i

ii kxBKzhkxBKkz1

1

*

32

*

3 )1()1()1(

zBKBKzhkxBKzr

i

ii

*

3

*

3

1

2

*

3 )1( QtrzKBBKzr

i

ii

r

i

ii

~

1

*

3

1

*

3

.


kJ имеет вид:

)1,1()(()1()()( 221211

2

1

2

11 hkkJkJkJ

))1,1(2 khkJ )1()()1()(21

2

2

2

23121hkJkJRr

QRrhkJRr~

tr)1()(2 22

23222 . (3.34)

89

Вычислим рекуррентное соотношение для ),(2

hkkJ :

)}()({})()({),(2

hkxkxhkxkxhkkJ

)12()1()1()1({2

hkxkxhkxkx

)12()1()1()1()1( 2111

*

3 hkxkxhkxkxzBKkx

)1()1()1( 2

1

*

31 hkxhkxzKBkxr

i

ii

zBKhkxhkxhkx *

3222)1()12()1(

)12()1()1()1(2112

hkxhkxhkxhkx

)1()1( *

3

1

*

32 hkxBKzzKBhkxr

i

ii

)1()12(1

1

*

3

*

3

*

32

*

3 hkxBKzzBKBKzhkxBKzr

i

ii

1

1

*

3

*

3

1

2

*

3

~)12( QtrzKBBKzhkxBKz

r

i

iiii

r

i

ii

,

где )1(~

lim)(~

lim~

111

kQkQQ

kk.

Рекуррентное соотношение для ),(2

hkkJ примет вид:

)1,1()(),(2

2

1

2

12hkkJhkkJ

))1()12,1()(( 122121 hkJhkkJ

)1()()12,1()( 31212

2

2

2

2 kJRrhkhkJ

)1()()1()( 3213212 hkJRhkJr

1

2

2

2

3222

~)12()( QtrrRhkJRr . (3.35)


kJ :

)()~~

()()()()(11

3 hkxAAkxAAMkxMkJr

i

ii

r

i

ii

)()()()()()( *

2

1

*

1

1

*

1

1

hkSxKBBkvKBBkSxKBBr

i

ii

r

i

ii

r

i

ii

)}()()()( *

3

1

*

2

1

kqzKBBhkvKBBr

i

ii

r

i

ii

90

r

i

ii zKBzBKhkxkxM1

*

3

*

32 )1()1( .

RrhkJkJkJ 232313 )1()1()( . (3.36)

Полагая kk ,2,1 и, строя последовательно неравенства для )1(3

J ,


RrhJJJ 232313

)()0()1( ;

)1()()0()1()1()2(323213

2

1232313hJhJJrhJJJ

);)(1(21

Rr

k

j

kjkk RrhjJJkJ

1

2

1

1312313 )(

1

1)1()0()(

. (3.37)

Аналогично построим последовательно неравенства для ),(2 hkkJ и )(1 kJ , при

kk ,2,1 :

)2,0()(),0()()1,1( 221212

2

1

2

12 hJhJhJ

+ )2,()()()()0()( 2

2

2

2

2121213121 hhJhJJRr

1

22

232223213212

~)2()()()()()( QRrhJRrhJRhJr ;

)2,0())((),0()()2,2(22121

2

1

2

12

2

1

2

12hJhJhJ

)())(()0())(( 12121

2

1

2

13121

2

1

2

1 hJJRr

)()()()2,())((3212

2

1

2

12

2

2

2

2

2

1

2

1hJrhhJ

)2())(()()()(3222

2

1

2

1321

2

1

2

1hJRrhJR

)1()()21,1()()()(312122121

22

1

2

1

2

2

2

1

2

1JRrhJRr

)1()()21,1()()1()(32122

2

2

2

212121hJrhhJhJ

1

22

11

22

23222321

~)(

~)21()()1()( QtrQtrRrhJRrhJR ;

91

k

j

jkk hJhkkJ1

2

1

2

121212

2

1

2

12 )()(),0()(),(

k

j

jk jJRrhjjJ1

3

2

1

2

11212 )1()()()12,1(

k

j

jk hjJ1

1

2

1

2

12121 )1()()(

k

j

jk hjhjJ1

2

2

1

2

1

2

2

2

2 )12,1()()(

k

j

jk hjJRr1

3

2

1

2

1222 )1()()(

)()1()()( 21

1

3

2

1

2

1212 RhjJrk

j

jk

k

j

jk hjJ1

3

2

1

2

1 )12()( )~

(1)(

1)(1

22

22

1

2

1

2

1

2

1 QtrRrk

. (3.38)

)0()(2),0()()0()()1(3121221211

2

1

2

11JRrhJJJ

)()(2)()()0,()(32221

2

2

2

222121hJRrhJhJ

QtrrR~2

2

2 ;

),0())(()0()()2(22121

2

1

2

11

2

1

2

11hJJJ

)0,())(()0())((222121

2

1

2

13121

2

1

2

1hJJRr

)()(2)())(( 322

2

1

2

11

2

2

2

2

2

1

2

1 hJrhJ

2

2

2

1

2

1

22

1

2

1322

2

1

2

1 )()()()()( rRhJRr

)1,1()(~

)( 22121

2

1

2

1 hJQtr

)1()()1,1()()1()(21

2

1

2

1221213121hJhJJRr

QtrRrhJRr~

)1()(2 22

23222 ;

92

)1,1()()()0()()( 2

1

2

1

2

121211

2

1

2

11 hjjJJkJk

j

jkk

k

j

jkk

j

jk jJRr1

2

1

2

12121

1

3

2

1

2

1121 )()()1()()(2

k

j

jk hjJjhjJ1

1

2

1

2

1

2

2

2

22 )1()()()1,1(

k

j

jk hjJRr1

3

2

1

2

1222 )1()()(2

)~

(1)(

1)( 22

22

1

2

1

2

1

2

1 QtrRrk

. (3.39)

Оценку критерия (3.27) построим, учитывая неравенства (3.37) – (3.39). Тогда, с

учетом условия (3.28) и при k из (3.33) получим (3.29). Условие (3.28)

обеспечивает асимптотическую устойчивость замкнутой системы с

запаздыванием по состоянию [141].

3.4. Результаты моделирования

Пусть объект, локальный критерий и канал измерений описываются

следующими матрицами и векторами:

;0005,0

00;

00

005,0;

1

1,0;

003,0

00~;

1025,0

105,021

AABAA

;00

1,003

A ;

0005,000~

;00003,0~

;0000

;1,00

0021654

AAAAA

;002,0000~

;0001,00~

43

AA ;00

00~~65

AA

;25,00

;005,0

;00

654321

BBBBBB

.1;10;1;2,0;1;01;10;16,0;02,00002,0

hzFDCHSVQ

93

Моделирование выполнено для 5-ти вариантов значений интервальных

неопределенностей i , равномерно распределенных на интервале [-1; 1]:

1) ;297,0;472,0;940,0;903,0 4321 ;294,0;814,0 65

2) 660,0;212,0;166,0;023,0;113,0 54321 ; ;510,06

3) 914,0;397,0;672,0;740,0;903,0 54321 ; ;194,06

4) 903,0;257,0;512,0;876,0;103,0 54321 ; ;198,06

5) 814,0;297,0;992,0;040,0;203,0 54321 ; .294,06

В ходе моделирования сравнивалось качество двух систем управления.

Первая система управления моделировалась с оптимальными коэффициентами

передачи, вычисленными с учетом интервальных неопределенностей. Вторая с

коэффициентами, которые рассчитывались по номинальным значениям

параметров. Как показало сравнение, точность слежения в первой системе

управления выше, чем в системе, синтезированной по номинальным значениям

параметров. Для иллюстрации на рисунках 3.1., 3.2. приведены реализации

состояния вектора )()( kHxkw для двух систем управления для каждого из

выбранных вариантов значений параметров i .

Рисунок 3.1. Переходные процессы в оптимальной системе управления

(цифрой отмечена реализация, соответствующая варианту значений i )

94

Рисунок 3.2. Переходные процессы в системе управления, синтезированной по номинальным

значениям параметров (цифрой отмечена реализация, соответствующая варианту значений i )

Рисунок 3.3. Управление в оптимальной системе управления

95

Рисунок 3.4. Управление в системе управления,

синтезированной по номинальным значениям параметров

Как видно из графиков, оптимальная система управления обладает свойством

робастности и точность слежения в такой системе управления выше, чем в

системе, синтезированной по номинальным значениям параметров. Отметим, что

при практически мало отличающихся управлениях достигается более высокая

точность слежения в робастной системе.

В качестве критерия оценки точности отслеживания вектором w(k)

желаемого значения z(k) рассчитывается средняя ошибка оценивания:

,

)()(1

N

kzkw

e

N

k

где z(k) – заданное значение вектора состояния.

Критерий оценки точности отслеживания рассчитывается для двух систем

управления (N=100) для 5-ти различных вариантов значений интервальных

неопределенностей i , распределенных по равномерному закону на интервале [-1;

1]. Усреднение осуществляется по 50 реализациям. Сравнение выполнено для

следующих 2-х алгоритмов:

алгоритм 1 – управление, вычисленное по интервальным неопределенностям;

96

алгоритм 2 – управление, вычисленное по номинальным значениям

параметров.

В таблице 3.1. приведены значения критерия оценки точности отслеживания

ie для двух алгоритмов для 5-ти различных вариантов значений интервальных

неопределенностей i :

Т а б л и ц а 3.1.

Средние ошибки

Алгоритм 1

e 2

e 3

e 4

e 5

e

1 0,260 0,829 0,666 0,463 0,488

2 0,400 0,994 1,004 0,612 0,697

Отметим, что при моделировании, интервал, на котором ведется расчет

критерия, сдвинут на величину переходного процесса (15 тактов).

Из таблицы видно, что средняя ошибка отклонения вектора выхода w(k) от

отслеживаемого вектора z(k) при робастном управлении меньше, чем при

управлении, построенном по номинальным значениям параметров.

97


1. Решена задача управления выходом для дискретного объекта с

интервальными неопределенностями и с запаздыванием по состоянию на основе

локально-оптимальной следящей системы линейным объектом при косвенных

измерениях на основе вероятностного метода.

2. Получены аналитические выражения для коэффициентов передачи

системы управления выходом.

3. Исследовано асимптотическое поведение системы. Показано, что при

практически естественных ограничениях на класс динамических систем с

интервальными неопределенностями метод локально-оптимального слежения при

косвенных измерениях с ошибками обеспечивает асимптотическое слежение с

точностью, определяемой интенсивностью аддитивных возмущений и ошибок в

канале измерений, динамическими характеристиками замкнутой системы,

значениями параметров объекта и коэффициентов передачи следящей системы

управления (см. теорема 3.2.).

4. Моделирование алгоритма локально-оптимального управления объектами

с интервальными неопределенностями и с запаздыванием по состоянию показало,

что оптимальная система управления, построенная по интервальным

неопределенностям, с постоянными коэффициентами передачи обладает

свойством робастности и обеспечивает более высокую точность слежения, чем

система управления, синтезированная по номинальным значениям параметров.

5. Показано, что ошибка отклонения вектора выхода w(k) от отслеживаемого

вектора z(k) при робастном управлении меньше, чем при управлении,

построенном по номинальным значениям параметров.

98

Глава 4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЛОКАЛЬНО-ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

УПРАВЛЕНИЯ ПО ВЫХОДУ ОБЪЕКТАМИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО

СОСТОЯНИЮ

Рассматривается задача динамического локально-оптимального управления

по наблюдаемому выходу для дискретных объектов с запаздыванием по

состоянию с интервальными неопределенностями [5, 6, 9, 17, 28, 49, 53, 73, 86,

130] и случайными параметрами [16, 71, 85, 92, 102, 104-107, 109, 118, 139]. Для

ее решения предлагаются алгоритмы, в основе которых лежит оптимизация

локального критерия без использования расширения пространства состояний.

В целях улучшения качества управления объектами применяется практика

введения в закон управления наблюдателей Люенбергера [118] или динамической

обратной связи пониженной размерности [12, 13, 36].

В настоящей работе для объекта с интервальными неопределенностями

предлагается осуществлять синтез следящих динамических систем управления по

выходу на основе оптимизации локального критерия при косвенных измерениях

на основе вероятностного метода с учетом запаздывания по состоянию.

Для моделей объекта, как с интервальными неопределенностями, так и со

случайными параметрами управление определяется как функция измеряемых

переменных, динамического звена и отслеживаемого сигнала. Исследуется

асимптотическое поведение систем, строятся оценки для асимптотической

точности слежения. Результаты работы являются развитием главы 3 и [64] на

случай синтеза динамической системы управления по выходу для модели объекта

с запаздыванием по состоянию, с интервальными неопределенностями и со

случайными параметрами.

Основные результаты главы опубликованы в работе [40, 64, 124].

99


Пусть управляемый объект с запаздыванием по состоянию описывается


);()()()()~~

()()()1(111

kqkuBBhkxAAkxAAkxr

i

ii

r

i

ii

r

i

ii

,2,1,0;1,,2,1,);()( khhhx , (4.1)


).()()( kvkSxky (4.2)



riBBAAAA iii ,1,,,~

,~

,, – матрицы соответствующих размерностей; S – матрица

канала наблюдения; матрицы B и S полного ранга; пары матриц ( BA, ) и ( ),~

BA

управляемы; пары матриц ),( AS и )~

,( AS наблюдаемы; )( – заданная

детерминированная функция начальных условий на интервале 1,,1, hh ,

при этом 0)0()0( xx – случайный вектор с характеристиками: 00 xxM ;

000 xPxxM ; )(kq – гауссовская случайная последовательность входных

возмущений ( 0)( kqM ; )()( jqkqM jkkQ ,)( ; 0)()( kQkQ –

неотрицательно определенная матрица); v(k) – гауссовская случайная

последовательность ошибок измерений с характеристиками: ;0)( kvM

;0)()( jvkqM jkkVjvkvM ,)()()( ; 0)()( kVkV – неотрицательно

определенная матрица; i

– неопределенные параметры интервального типа.

Оптимизируемый локальный критерий представлен следующим образом:

,/)()())()1(())()1(()( 0






100

)()()1( kqkFzkz z ; ,2,1,0,)0( 0 kzz . (4.4)

В (4.4) )(kqz – гауссовская случайная последовательность с характеристиками

;0)( kqMz

;0)()( jqkqM z ;0)()( jvkqM z )()( jqkqM zz jkz kQ ,)( ;

0z –

начальные условия (случайный вектор с характеристиками: 00 zzM ;

;000 zPzzM

0000 xzPxzM ;

0000 zxPzxM ); F – матрица динамики модели


Требуется найти управление объектом (4.1), используя наблюдения (4.2),

минимизируя критерий (4.3).

Суть вероятностного подхода заключается в том, что неопределенности

интервального типа заменяются независимыми случайными

последовательностями, с равномерным законом распределения на интервале [-

1;1].

4.2. Синтез динамической системы управления по выходу с интервальными

неопределенностями

Динамический закон управления объектом (4.1) при измерениях (4.2)

зададим в виде:

)()()()()()()()()( 3210 kzkKhkykKkykKkkKku

)()()()()()()()( 2110 hkSxkKkvkKkSxkKkkK

)()()()( 32 kzkKhkvkK , (4.5)

где коэффициенты передачи )(),(),(),( 3210 kKkKkKkK подлежат определению, а

переменная )(k определяется с помощью наблюдателя Люенбергера [118] или

динамического звена заданной размерности [12, 13]

0)0();()()()()1( kykBkkAk . (4.6)

Здесь ))(()()),(()(),1()(10

NkBKMkBkMBKLkAnpRk p . Матрица M

удовлетворяет уравнению

,0)( LMKSAM

101

где L – заданная устойчивая матрица (ее собственные числа лежат внутри

единичного круга). Матрица К вычисляется так, чтобы A – KS имела заданные

собственные числа, часть из которых совпадала бы с собственными числами

матрицы L. Так как пара матриц (S, A) наблюдаема, то такую матрицу K всегда

можно построить, применив методы модального управления [3]. Собственные

числа матрицы A KS разбиваются на две группы ),1()1( ii и ),1(

)2( njj ,

причем группа )1(

i состоит из чисел, которые совпадают с собственными числами

матрицы L. Применяя метод [1], строится неособенная матрица ],[ 21 ,

блоки которой 21, формируются из и n линейно независимых столбцов

матриц

n

j

j EKSA1

)2(

1 )( ;

1

)1(

2 ).(i

i EKSA

Тогда матрицы M и K определятся следующими равенствами

11, MK ,

где 1 соответствующий блок матрицы .],[ 211



Теорема 4.1. Пусть 1K , 1M . Если для объекта (4.1), канала

измерений (4.2) и локального критерия (4.3) матрицы

0)3

1(

1

r

i

ii CHBHBDCHBHBC ;

0

)(),(

),()()(

)(),(

)(),(

)()(

),(),(

)()()(

)()(

)(

kPkhkSP

ShkkPhkVShkSP

SkPSkhkSP

kPkhkSP

kSPkP

ShkkSPShkkP

kVSkSPSkP

kSPkP

kP

zxz

zxx

zxx

zx

xzz

xx

xx

x

(4.7)

102



определяются матричными уравнениями:

dkcKkbKkaKkK )()()()( *

3

*

2

*

1

*

0 ; (4.8)

hkgKkfKkeKkK )()()()( *

3

*

2

*

0

*

1 ; (4.9)

rkpKknKkmKkK )()()()( *

3

*

1

*

0

*

2 ; (4.10)

,)()()()( *

2

*

1

*

0

*

3 kklKktKksKkK (4.11)

где

);()( 1 kPkSPax

);(),( 1 kPkhkSPbx

);()( 1 kPkPcz

)),(),(~

(3

1[

1

1 khkPHAkhkPAHCHBCd xixi

r

i

i

);())](),(~

)(( 1 kPkPkhkPAHkHAPCHBzxx

;)]()([)( 1 kVSkSPSkPexx

;)]()([),( 1 kVSkSPSkhkSPf T

xx

;)]()([)( 1 kVSkSPSkPg T

xzx

SkPHAkhkPAHCHBCh xixi

r

i

i ))(),(~

(3

1[

1

1

;)]()(][))(),(~

)(( 1 kVSkSPSkPkhkPAHkHAPCHBxzxxx

;)]()([),( 1 hkVShkSPShkkPmxx

;)]()([),( 1 hkVShkSPShkkSPn xx

;)]()([),( 1 hkVShkSPShkkPp xzx

),(()),()(~

(3

1[

1

1 hkkHAPCHBhkkPHAhkPAHCHBCr xxixzi

r

i

i

;)]()(][)),()(~ 1 hkVShkSPShkkPhkPAH xzxx

);()( 1 kPkPszz

);()( 1 kPkSPt zxz

);(),( 1 kPkhkSPl zxz

))(),(~

(3

1[

1

1 kPHAkhkPAHCHBCk xzixzi

r

i

i

).(]))(),(~

)((1

kPSkPkhkPAHkHAPCHBzzxzxz

(4.12)

103


),( rkPx


; ),()( kkPkP zz ;

;)()(),(),( rxkzMkrPrkP xzzx

),(),()()( kkPkkPkPkP xzzxxzzx

;



;

;)()(),(),( rkzMkrPrkPzz

),(),()()( kkPkkPkPkP zzzz

;

)()(),(),( rxkMkrPrkP xx

; ),(),()()( kkPkkPkPkP xxxx

;

)()()( kkMkP ; ),()( kkPkP ,


запаздываниями.



)()()()()~~

()()()1(111

kqkuBBhkxAAkxAAkxr

i

ii

r

i

ii

r

i

ii

)()()()()~~

()()( 0

111

kkKBBhkxAAkxAAr

i

ii

r

i

ii

r

i

ii

)()()()()()()()( 2

1

1

1

1

1

kKBBkvkKBBkSxkKBBr

i

ii

r

i

ii

r

i

ii

)()()()()()()()( 3

1

2

1

kqkzkKBBhkvkKBBhkSxr

i

ii

r

i

ii

. (4.13)


последовательностей )(kq , )(kv , вычислим значение локального критерия (4.3) и

приведем подобные слагаемые аналогично главам 2, 3:

)}()())()1(())()1({()( kDukukzkHxCkzkHxkI

)()()(~

)(~

)()({( 0

11

kkHBKhkxAHhkxAHkxAHkHAxr

i

i

r

i

ii

)()()()()()()()( 11

1

10

1

kvkHBKkSxkKBHkSxkHBKkkKBHr

i

ii

r

i

ii

)()()()( 21

1

hkSxkHBKkvkKBHr

i

ii

104

)()()()( 22

1

hkvkHBKhkSxkKBHr

i

ii

)()()()( 32

1

kzkHBKhkvkKBHr

i

ii

)(~

)()((())()()()(1

3

1

hkxAHkxAHkHAxCkzkHqkzkKBHr

i

ii

r

i

ii

)()()()()()()(~

10

1

0

1

kSxkHBKkkKBHkkHBKhkxAHr

i

ii

r

i

i

)()()()( 11

1

kvkHBKkSxkKBHr

i

ii

)()()()()()( 2

1

21

1

hkSxkKBHhkSxkHBKkvkKBHr

i

ii

r

i

ii

)()(2 hkvkHBK

))()()()()()()()(3

1

32

1

kzkHqkzkKBHkzkHBKhkvkKBHr

i

ii

r

i

ii

)()()()()()()()()()(( 22110 hkvkKhkSxkKkvkKkSxkKkkK

)()()()()()()()(())()(21103

hkSxkKkvkKkSxkKkkKDkzkK

)())(())(())})()()( 1132 kPSkBKACHHSkBKAtrz(kkKhkvkK x

),())(~

())(( 21 khkPSkBKACHHSkBKAtr x

)()())(( 01 kPkCHBKHSkBKAtr x

)())(())(( 31 kPEkBKCHHSkBKAtr zx

)())(())((tr3

11

r

1i

1i kPSkKBAHCHSkKBA xiii

),())(~

())((tr3

12

r

1i

1i khkPSkKBAHCHSkKBA xiii

)()())((tr3

10

1

r

1i

1i kPkKBHCHSkKBA x

r

i

ii

)()())((tr3

13

1

r

1i

1i kPkKBHCHSkKBA zx

r

i

ii

105

),())(())(~

( 1Τ

2 hkkPSkBKACHHSkBKAtr x

)())(~

())(~

( 2Τ

2 hkPSkBKACHHSkBKAtr x

),()())(~

(0

Τ

2hkkPkCHBKHSkBKAtr

x

),())(())(~

(3

Τ

2hkkP-EkBKCHHSkBKAtr

zx

),())(())(~

(tr3

1 r

1i

1i

r

1i

2i hkkPSkKBAHCHSkKBA xii

)())(~

())(~

(tr3

1 r

1i

2i

r

1i

2i hkPSkKBAHCHSkKBA xii

),()())(~

(tr3

1 r

1i

0

r

1i

2i hkkPkKBHCHSkKBA xii

)())(()(),()(~

3

110

r

1i

3i kPSkBKACHHBktrKhkkPCHkKCBAtr xzxi

),())(~

()()()()(2

Τ

01

Τ

0khkPSkBKACHHBktrKkSPkDKktrK

xx

)()()(),()()(0

Τ

02

Τ

0kPkCHBKHBktrKkhkSPkDKktrK

x

)())(()()()()(3000

kPEkBKCHHBktrKkPkDKktrKz

)())(()(3

1)()()(

r

1i

1i030 kPSkKBACHHBkKtrkPkDKktrK xiiz

),())(~

()(3

1 r

1i

2i0 khkPSkKBACHHBkKtr xii

)()()(3

1)()()(

3

1 r

1i

30

r

1i

00 kPkKCHBHBkKtrkPkKCHBHBkKtr ziiii

),()()(3

1 r

1i

32 hkkPkKCHBHBkKStr zxii

)()()()())(())(( 1313 kSPkDKktrKkPSkBKACHHEkBKtr xzxz

),())(~

())(( 23 khkPSkBKACHHEkBKtr xz

),()()( 23 khkSPkDKktrK xz

)()()()()())((0303

kPkDKktrKkPkCHBKHEkBKtrzz

)()()()())(())(( 3333 kPkDKktrKkPEkBKCHHEkBKtr zz

106

)())(()(3

1 r

1i

1i3 kPSkKBACHBkKtr xii

)())(()(tr3

11

r

1i

3 kPSkKBACHHBkK xziii

),())(~

()(3

1 r

1i

2i3 khkPSkKBACHBkKtr xzii

)()()(3

1)()()(

3

1 r

1i

33

r

1i

03 kPkKCHBHBkKtrkPkKCHBHBkKtr ziizii

)()()()()()(1101

kSPkDKkKtrSkPkDKkKtrSxx

)()()(),()()(3121

kPkDKkKtrSkhkSPkDKkKtrSzxx

),()()(02

hkkPkDKkKtrSx

)()()(),()()(2212

hkSPkDKkKtrShkkSPkDKkKtrSxx

)(),()()( 32 ktrCHQhkkPkDKkKtrS zx

)()()3

1)((tr 1

1

1 kVkKCHBHBDCHBHBkKr

i

ii

)()()3

1)((tr 2

1

2 hkVkKCHBHBDCHBHBkKr

i

ii

. (4.14)

При вычислении (4.14) учитывается (3.13), а входящие в (4.14) моменты ),,( jtPx

),,( jtPz ),,( jtPxz ),,( jtPzx ),,( jtPx ),,( jtP x ),,( jtP z ),,( jtPz ),( jtP определяются


)}1()1({)1,1( jxtxjtPx

BjKjtPtjhjtPtjjtPt xxx )(),()()(),()()(),()( *

02

)(),()(3

1)(),()(

3

1)(),()( 2

11

*

3 jhjtPtjjtPtBjKjtPtix

r

i

iix

r

i

ixz

ixz

r

i

iix

r

i

i BjKjtPtBjKjtPt )(),()(3

1)(),()(

3

1 *

3

1

*

0

1

BjKjhtPtjhjhtPtjjhtPt xxx )(),()()(),()()(),()( *

02222

)(),()(3

1)(),()(

1

2

*

32 jjhtPtBjKjhtPt ix

r

iixz

107

ix

r

iiix

r

ii

BjKjhtPtjhjhtPt )(),()(3

1)(),()(

3

1 *

0

1

22

1

2

)(),()(3

1)(),()()(),()( *

1

*

02

*

0

*

0 jjtPtKBjhjtPtBKjjtPtBK ix

r

i

ixx

)(),()()(),()(3

1 *

3

*

2

1

*

0 jjtPtBKjhjtPtKB zxix

r

i

i

)(),()(3

1)(),()( *

1

*

32

*

3 jjtPtKBjhjtPtBK izx

r

i

izx

BjKjtPtBKjhjtPtKB izx

r

i

i )(),()()(),()(3

1 *

0

*

0

*

2

1

*

3

i

r

iiz BjKjtPtKBBjKjtPtBK )(),()(

3

1)(),()( *

01

*

0

*

3

*

0

BjKjtVtBKBjKjtPtKB jtiz

r

i

i )(),()()(),()(3

1 *

1,

*

1

*

3

1

*

0

BjKjtPtBKBjKhjhtVkBK zhjht )(),()()(),()( *

0

*

3

*

2,

*

2

r

i

iziz BjKjtPtKBBjKjtPtBK1

*

0

*

3

*

3

*

3 )(),()(3

1)(),()(

r

i

r

i

ijtiizi BjKjtVtKBBjKjtPtKB1 1

*

1,

*

1

*

3

*

3 )(),()(3

1)(),()(

3

1

jt

r

i


1

*

2,

*

2 ),(),()(3

1

.


)(),()(3

1)(),()()(),()()1,1(

1

2 jjtPtjhjtPtjjtPtjtP ix

r

i

ixxx

)(),()()(),()(3

122

1

jjhtPtjhjtPt xix

r

i

i

)(),()(22

jhjhtPtx

)(),()(3

1

1

2 jjhtPt ix

r

ii

),()(),()(3

112

1

2 jtQjhjhtPt ix

r

ii

;


)0( xx PP ;

108

)(),0( 0 xPx ; 0)()0,( xPx для 1,,2,1, hhh . (4.15)

Здесь введены обозначения:

;)()(;)(~

)(;)()( *

33

*

22

*

1 EtBKtStBKAtStBKAt

StKBAtStKBAt iiiiii )(~

)(;)()( *

22

*

1 ;

BjKjtPtjtQ x )(),()(),( *

01

BjKjtPt xz )(),()( *

3

ixz

r

i

iix

r

i

i BjKjtPtBjKjtPt )(),()(3

1)(),()(

3

1 *

3

1

*

0

1

BjKjhtPt x )(),()( *

02

BjKjhtPt xz )(),()( *

32

ix

r

ii

BjKjhtPt )(),()(3

1 *

0

1

2

)(),()(3

1)(),()()(),()( *

1

*

02

*

0

*

0 jjtPtKBjhjtPtBKjjtPtBK ix

r

i

ixx

)(),()()(),()(3

1 *

3

*

2

1

*

0 jjtPtBKjhjtPtKB zxix

r

i

i

)(),()(3

1)(),()( *

1

*

32

*

3 jjtPtKBjhjtPtBK izx

r

i

izx

BjKjtPtBKjhjtPtKB izx

r

i

i )(),()()(),()(3

1 *

0

*

0

*

2

1

*

3

i

r

i

iz BjKjtPtKBBjKjtPtBK )(),()(3

1)(),()( *

0

1

*

0

*

3

*

0

BjKjtVtBKBjKjtPtKB jtiz

r

i

i )(),()()(),()(3

1 *

1,

*

1

*

3

1

*

0

BjKjtPtBKBjKhjhtVtBK zhjht )(),()()(),()( *

0

*

3

*

2,

*

2

r

i

iziz BjKjtPtKBBjKjtPtBK1

*

0

*

3

*

3

*

3 )(),()(3

1)(),()(

r

i

r

i

ijtiizi BjKjtVtKBBjKjtPtKB1 1

*

1,

*

1

*

3

*

3 )(),()(3

1)(),()(

3

1

jt

r

i


1

*

2,

*

2 ),(),()(3

1

. (4.16)

109

)}1()1({)1,1( jxtzjtPzx

BjKjtFPjhjtFPjjtFPzzxzx

)(),()(),()(),(02 ;)(),(

3

BjKjtFPz

;,2,1,0, jt 00

)0( xzzx PP ; 0)0( zP ; 0

)0( zz PP ;

.1,,2,1,);(),0( 0 hhhzPzx (4.17)

)}1()1({)1,1( jztxjtPxz

FjtPtBKFjhtPtFjtPtzxzxz

),()(),()(),()(02 ;),()(

3

FjtPtBKz

;,2,1,0, jt ;)0(00zxxz PP ;)()0,( 0

zPxz 0

)0( zz PP ;

;0)0( zP .1,,2,1, hhh (4.18)

)}1()1({)1,1( jwtxjtPx

)(),()()(),()()(),()(02

jBSjtPtBKjAjhtPtjAjtPtxxx

)(),()()(),()()(),()(20

jBSjhtPtjBSjtPtjAjtPtBKxx

)(),()()(),()(33

jBSjtPtBKjAjtPtBKzxz );(),()( ,1 jBjtVtBK jt

;,2,1,0, jt 0)0()0()0( PPP xx ; 0)0,( xP ; 0

)0( xx PP ;

0)0( zP ; 00

)0( xzzx PP ; 0)()0,( xPx для 1,,2,1, hhh . (4.19)

)}1()1({)1,1( jxtjtPx

BjKjtPtAhjhjtPtAjjtPtAxx

)(),()()(),()()(),()(02

)(),()()(),()()(),()(23

jhjtSPtBjjtSPtBBjKjtPtAxxz

BjKjtSPtBBjKjtSPtBxzx

)(),()()(),()(30

;)(),()(1,

BjKjtVtBjt

;,2,1,0, jt 0)0()0()0( PPP xx ; 0),0( xP ; 0)0( zP ;

0)0( xx PP ; ;)0(

00zxxz PP )(),0( 0 xPx для .1,,2,1, hhh (4.20)

)}1()1({)1,1( jtjtP

110

)(),()()(),()()(),()( jAjtSPtBjBSjtPtAjAjtPtAxx

);(),()()(),()(,

jBjtVtBjBSjtSPtBjtx

;,2,1,0, jt 0)0()0()0( xx PPP ; 0

)0( xx PP . (4.21)

)}1()1({)1,1( jztzjtPz ;),(),(

, jtzzjtQFjtFP

0)0(;,2,1,0, zz PPjt . (4.22)

)}1()1({)1,1( jtzjtPz

);(),()(),( jAjtFPjBSjtFPzzx

;,2,1,0, jt 00

)0( xzzx PP ; 0)0( zP . (4.23)

)}1()1({)1,1( jztjtPz

;),()()(),()( FjtSPtBjFjtPtAxzz

;,2,1,0, jt ;)0(00zxxz PP 0)0( zP . (4.24)

Отметим, что в формулах (4.15), (4.17) – (4.24) )(x заменяется на


)( для .1,,2,1, hhh


)()(),()()()()( 321 kPktrPkhkPktrPkPktrPkI xxx

)()(),()()()( 654 hkPktrPhkkPktrPkPktrP xxzx

)()(),()(),()( 987 kPktrPhkkPktrPhkkPktrP xzxx

)()()()(),()( 121110 kPktrPkPktrPkhkPktrP zx

)()()()(),()()()( 16151413 kPktrPkPktrPkhkPktrPkPktrP zzxzxz

)()()()()()()( 2211 ktrHCHQhkVkKCktrKkVkKCktrK , (4.25)

где

))(())(()( 111 SkBKACHHSkBKAkP

SkDKkKSSkKBACHHSkKBA iiii )()())(())((tr3

1111

r

1i

1

+

111

)())(()(3

1 r

1i

1i3 kPSkKBACHBkKtr xii

.

))(~

())(()( 212 SkBKACHHSkBKAkP

;)()())(~

())((tr3

1212

r

1i


)())(()( 013 kCHBKHSkBKAkP

);()()())((tr3

1010

r

1i


))(())(()( 314 EkBKCHHSkBKAkP

);()()())((tr3

1313

r

1i


))(())(~

()( 125 SkBKACHHSkBKAkP

;)()())(())(~

(tr3

1121

r

1i


))(~

())(~

()( 226 SkBKACHHSkBKAkP

;)()())(~

())(~

(tr3

1222

r

1i


)())(~

()( 027 kCHBKHSkBKAkP

);()()())(~

(tr3

1020

r

1i


))(())(~

()( 328 EkBKCHHSkBKAkP

);()()()(tr3

1)(

~tr

3

132

r

1i

32

r

1i

3 kDKkKSkKCHBHBkKSkKCHBHA iiii

))(()()( 109 SkBKACHHBkKkP

;)()())(()(tr3

110

r

1i


))(~

()()( 2010 SkBKACHHBkKkP

;)()())(~

()(tr3

120

r

1i


112

)()()( 0011 kCHBKHBkKkP

);()()()(tr3

100

r

1i


))(()()( 3012 EkBKCHHBkKkP

);()()()(tr3

130

r

1i


))(())(()( 3313 EkBKCHHEkBKkP

;)()())(()(tr3

1131

r

1i


))(~

())(()( 2314 SkBKACHHEkBKkP

;)()())(~

()(tr3

1232

r

1i


)())(()( 0315 kCHBKHEkBKkP

);()()()(tr3

1030

r

1i

3 kDKkKkKCHBHBkK ii

))(())(()( 3316 EkBKCHHEkBKkP

)()()()(tr3

1333

r

1i

3 kDKkKkKCHBHBkK ii

.

Вычислим значения градиентов критерия (4.25) по )(),(),( 210 kKkKkK и )(3 kK

аналогично главам 2 и 3. При этом будем использовать правила

дифференцирования функции tr от произведения матриц по матричному аргум

аргументу (1.7) [2, 82] и свойство, что матрицы ,, DC ,DCHBHB

r

i

ii CHBHB13

1 – симметричные.

)]()(),(~

[),()()(

)(2

0

kPkBAPkhkPACHHBkhkSPkKCkK

kIzxxx

r

i

xixiix khkPAkPACHHBkSPkKC1

1 )],(~

)([3

1)()(

0)()()()(30

kPkKCkPkKCz .

113


)()(),()()()([)(321

1

0kPkKCkhkSPkKCkSPkKCCkK

zxx

)),(~

)((3

1

1

khkPAkPACHHB xi

r

i

xii

).())](),(~


(4.26)

Аналогично для )(),( 21 kKkK и )(3

kK :

SkPhkPAhkkAPCHHBSkSPkKCkK

kIzxxxx )]()(

~),([)()(

)(

)(1

1

r

i

xixiix ShkkPAhkPACHHBSkPkKC1

0 )],()(~

[3

1)()(

.0)()()()(),()( 132 kVkKCSkPkKCSkhkSPkKC zxx


SkPkKCkhkSPkKCSkPkKCCkKzxxx

))()(),()()()([()(320

1

1

)(()),(~

)((3

1

1

kHAPCHBSkhkPAkPACHHB xxi

r

i

xii

.)]()(][))(),(~ 1 kVSkSPSkPkhkPAH xzxx (4.27)


ShkSPkKCShkkSPkKCShkkPkKCkK

kIxxx )()(),()(),()(

)(

)(210

2

ShkkPhkPAhkkPCHHBShkkPkKC zxxxzx )],()(~

),([),()(3

.0)()()],()(~

[3

12

1

hkVkKChkkPAhkPACHHB xi

r

i

xii

ShkkPkKhkkPkKhkkSPkKCCkKzxxx

)),()(),()(),()(([)(301

1

2

),(())(~

),((3

1

1

hkkHAPCHBhkPAhkkPACHHB xxi

r

i

xii

.)]()())][,()(~ 1 hkVShkSPhkkPhkPAH xzxx (4.28)

),()()()()()(

)(

)(210

3

khkSPkKCkSPkKCkPkKCkK

kIxzxzz

)](),(~

)([)()(3 kPkhkPAkAPCHHBkPkKC zxzxzz

114

.0)]()(~

[3

1

1

kPAkPACHHB xzi

r

i

xzii

)),()()()()()(([)(210

1

3khkSPkKkSPkKkPkKCCkK

xzxzz

)(()),(~

)((3

1

1


r

i

xzii

).())](),(~ 1 kPkPkhkPAH zzxz

(4.29)

Вычислив )(),(),( 210 kKkKkK , )(3

kK и, получив уравнения (4.26) – (4.29),

перепишем их в виде:

)]()(),()()()()()([3210

kPkKkhkSPkKkSPkKkPkKСzxx

)](),(~

)([ kPkhkPAHkHAPCHBzxx

)];,(~

)([3

1

1

khkPAkPACHHB xwi

r

i

xwii

(4.30)

))()()(()()([ 10 kVSkSPkKSkPkKС xwx

SkPkKSkhkSPkK zxx )()(),()( 32


)([

)],(~

)([3

1

1

khkPAkPACHHB xi

r

i

xii

; (4.31)

ShkkSPkKShkkPkKС xx ),()(),()([ 10

]),()())()()(( 32 ShkkPkKhkVhkSPkK zxx

ShkkPhkPAHhkkHAPCHB zxxx )],()(~

),([

)];(~

),([3

1

1

hkPAhkkPACHHB xi

r

i

xii

(4.32)

)]()(),()()()()()([3210

kPkKkhkSPkKkSPkKkPkKСzxzxzz

)](),(~

)([ kPkhkPAHkHAPCHB zxzxz

)];(~

),([3

1

1

hkPAhkkPACHHB xi

r

i

xii

(4.33)

115

Окончательно, представим систему матричных уравнений (4.30) – (4.33) в

следующем виде:

)(])()()()([ 3210 kPkKkKkKkKС

)](),(~

)([[ kPkhkPAHkHAPCHBzxx

)],(~

)([3

1

1

khkPAkPACHHB xi

r

i

xii


)([

)],(~

)([3

1

1

khkPAkPACHHB xi

r

i

xii

ShkkPhkPAHhkkHAPCHB zxxx ),()(~

),([

)](~

),([3

1

1

hkPAhkkPACHHB xi

r

i

xii

)](),(~


)]].(~

),([3

1

1

hkPAhkkPACHHB xi

r

i

xii

(4.34)

В силу условия (4.7) матрицы С и )(kP невырождены для всех ,2,1,0k ,


])()()()([3210

kKkKkKkK и имеет единственное решение

)(),(),(),( *

3

*

2

*

1

*

0 kKkKkKkK , представленное в условиях теоремы 4.1 в виде (4.8) –

(4.11), которое получается непосредственным вычислением.

Замечание 4.1. Отметим, что матрицы )(),(),( 210 kKkKkK , )(3

kK численно

могут быть получены из (4.34) посредством умножения левой части (4.34) на

матрицу слева )(1 kС и справа на )(1 kP .

116

4.3. Синтез динамической системы управления по выходу со случайными

параметрами

Рассмотрим случай, когда управляемый объект с запаздыванием по

состоянию описывается разностным уравнением:

)())(~~

()())(()1(11

hkxkAAkxkAAkxr

i

ii

r

i

ii );()())((1

kqkukBBr

i

ii

,2,1,0;1,,2,1,);()( khhhx . (4.35)

Модель канала измерений имеет вид (4.2).

В (4.35) nRkx )( – вектор состояний; 0h – величина временного запаздывания

(целое число); mRku )( – управление; riBBAAAA iii ,1,,,~

,~

,, – матрицы

соответствующих размерностей; матрица B и матрица канала наблюдения S –

полного ранга; пары матриц ( BA, ) и ( ),~

BA управляемы; пары матриц ),( AS и

)~

,( AS наблюдаемы; )( – заданная детерминированная функция начальных

условий на интервале 1,,1, hh , при этом 0)0()0( xx – случайный

вектор с характеристиками: 00 xxM ; 000 xPxxM ; )(kq – гауссовская

случайная последовательность входных возмущений ( 0)( kqM ;

)()( jqkqM jkkQ ,)( ; 0)()( kQkQ – неотрицательно определенная

матрица); )(ki

– гауссовские случайные последовательности ( 0)( kM ;

)()( jkM ii jk , ).

Оптимизируемый локальный критерий имеет вид (4.3), а отслеживаемый

вектор – (4.4). Требуется найти управление объектом (4.35), используя

наблюдения (4.2), минимизируя критерий (4.3). Динамический закон управления

объектом (4.35) при измерениях (4.2) зададим в виде (4.5), с методом

формирования динамического звена аналогичному разделу 4.2. Тогда, решение

задачи локально-оптимального слежения сформулируем в виде следующей

теоремы.

117

Теорема 4.2. Пусть 1K , 1M . Если для объекта (4.35), канала

измерений (4.2) и локального критерия (4.3) матрицы

0)()(1

r

i

ii CHBHBDCHBHBkC ;

)(kP

)()(

),(),(

)()()(

)()(

kSPkP

ShkkSPShkkP

kVSkSPSkP

kSPkP

xzz

xx

xx

x

0

)(),(

),()()(

)(),(

)(),(

kPkhkSP

ShkkPhkVShkSP

SkPSkhkSP

kPkhkSP

zxz

zxx

zxx

zx

(4.36)



определяются матричными уравнениями (4.8) – (4.11), где ,,,, ecba

ltspnmgf ,,,,,,, определены в (4.12), а:

)),(),(~

()[(1

1 khkPHAkhkPAHCHBkCd xixi

r

i

i

);())](),(~


SkPHAkhkPAHCHBkCh xixi

r

i

i ))(),(~

()[(1

1

;)]()(][))(),(~

)(( 1 kVSkSPSkPkhkPAHkHAPCHBxzxxx

)),()(~

()[(1

1 hkkPHAhkPAHCHBkCr xixzi

r

i

i ),(( hkkHAPCHB x

;)]()(][)),()(~ 1 hkVShkSPShkkPhkPAH xzxx

))(),(~

()[(1

1 kPHAkhkPAHCHBkCk xzixzi

r

i

T

i

).(]))(),(~

)((1

kPSkPkhkPAHkHAPCHBzzxzxz

(4.37)

Введенные обозначения ),( rkPx

, )(kPx

, ),( rkPz

, )(kPz

, ),( rkPzx

, )(kPzx

, ),( rkPxz

,

)(kPxz

, ),( rkPz

, )(kPz

, ),( rkPx

, )(kPx

, )(kP

, )(kP

полностью соответствуют

обозначениям, введенным в разделе 4.2 в (4.12).

118



)())(~~

()())(()1(11

hkxkAAkxkAAkxr

i

ii

r

i

ii

+

)()()()()()()()(( 110

1

kvkKkSxkKkkKkBBr

i

ii

)()(2 hkSxkK )())()()()( 32 kqkzkKhkvkK . (4.38)


последовательностей )(),(),( kkvkq i вычислим значение локального критерия

(4.3) и приведем подобные слагаемые аналогично разделу 4.2. В его состав будет

входить момент ),( jtPx

, определяющийся формулой:

)}1()1({)1,1( jxtxjtPx

jtix

r

i

ixx jjtPtjhjtPtjjtPt ,

1

2 )(),()()(),()()(),()(

)(),()()(),()( 2,2

1

jjhtPtjhjtPt xjtix

r

i

i

)(),()(22

jhjhtPtx

jtix

r

ii

jjhtPt ,

1

2 )(),()(

jtjtix

r

ii

jtQjhjhtPt ,1,2

1

2 ),()(),()(

;


)0( xx PP ;

)(),0( 0 xPx ; 0)()0,( xPx для 1,,2,1, hhh . (4.39)


;)()(;)(~

)(;)()( *

33

*

22

*

1 EtBKtStBKAtStBKAt

StKBAtStKBAt iiiiii )(~

)(;)()( *

22

*

1 ;

BjKjtPtjtQ x )(),()(),( *

01

BjKjtPt xz )(),()( *

3

jtixz

r

i

ijtix

r

i

i BjKjtPtBjKjtPt ,

*

3

1

,

*

0

1

)(),()()(),()(

119

BjKjhtPt x )(),()( *

02

BjKjhtPt xz )(),()( *

32

jtix

r

ii

BjKjhtPt ,

*

0

1

2 )(),()(

)(),()()(),()(2

*

0

*

0jhjtPtBKjjtPtBK

xx

jtix

r

i

i jjtPtKB ,

*

1

*

0 )(),()(

)(),()()(),()( *

3,

*

2

1

*

0 jjtPtBKjhjtPtKB zxjtix

r

i

i

jtizx

r

i

izx jjtPtKBjhjtPtBK ,

*

1

*

32

*

3 )(),()()(),()(

BjKjtPtBKjhjtPtKB jtizx

r

i

i )(),()()(),()( *

0

*

0,

*

2

1

*

3

jti

r

i

iz BjKjtPtKBBjKjtPtBK ,

*

0

1

*

0

*

3

*

0 )(),()()(),()(

BjKjtVtBKBjKjtPtKB jtjtiz

r

i

i )(),()()(),()( *

1,

*

1,

*

3

1

*

0

BjKjtPtBKBjKhjhtVtBK zhjht )(),()()(),()( *

0

*

3

*

2,

*

2

r

i

jtiziz BjKjtPtKBBjKjtPtBK1

,

*

0

*

3

*

3

*

3 )(),()()(),()(

r

i

jtizi BjKjtPtKB1

,

*

3

*

3 )(),()(

r

i

jtijti BjKjtVtKB1

,

*

1,

*

1 )(),()(

jt

r

i

jtihjhti jtQBKhjhtVtKB ,

1

,

*

2,

*

2 ),(),()(

. (4.40)

А так же моменты ),,(),,(),,(),,(),,(),,( jtPjtPjtPjtPjtPjtPzxxzxxzz

),,( jtPz

),( jtP

, которые определяются формулами, введенными в разделе 4.2, а именно

(4.17) – (4.24).

Отметим, что в формулах (4.41), (4.17) – (4.24) )(x заменяется на


)( для .1,,2,1, hhh

120

Вычислим значения коэффициентов )(),(),( 210 kKkKkK и )(3 kK аналогично

разделу 4.2, то есть, продифференцировав вычисленный критерий (4.3). При этом

будем использовать правила дифференцирования функции tr от произведения

матриц по матричному аргументу (1.7) [2, 82] и свойство, что матрицы

r

i

ii CHBHBDCHBHBDC1

,,, – симметричные.

),()()()()()()[()( 21

1

0 khkSPkKkCkSPkKkCkCkK xx

)),(~

)(()()()(1

3 khkPAkPACHHBkPkKkC xi

r

i

xiiz

).())](),(~


(4.41)

),()()()()()()[(()( 20

1

1 khkSPkKkCSkPkKkCkCkK xx

SkhkPAkPACHHBSkPkKkC xi

r

i

xiizx )),(~

)(())()()(1

3

.)]()(][))(),(~

)(( 1 kVSkSPSkPkhkPAHkHAPCHB xzxxx (4.42)

),()(),()()(()[()( 01

1

2 hkkPkKhkkSPkKkCkCkK xx

))(~

),(()),()(1

3 hkPAhkkPACHHBShkkPkK xi

r

i

xiizx

))],()(~

),(( hkkPhkPAHhkkHAPCHB zxxx

.)]()([ 1 hkVShkSPx (4.43)

)),()()()()()()(()[()( 210

1

3 khkSPkKkSPkKkPkKkCkCkK xzxzz

)(()),(~

)((1


r

i

xzii

).())](),(~ 1 kPkPkhkPAH zzxz

(4.44)

121

Вычислив )(),(),( 210 kKkKkK , )(3

kK и, получив уравнения (4.41) – (4.44),

перепишем их в виде:

)(])()()()()[( 3210 kPkKkKkKkKkС

)](),(~

)([[ kPkhkPAHkHAPCHBzxx

)],(~

)([1

khkPAkPACHHB xi

r

i

xii


)([

)],(~

)([1

khkPAkPACHHB xi

r

i

xii

ShkkPhkPAHhkkHAPCHBzxxx

)],()(~

),([

)](~

),([1

hkPAhkkPACHHB xi

r

i

xii

)](),(~


)]].(~

),([1

hkPAhkkPACHHB xi

r

i

xii

(4.45)

В силу условия (4.36) матрицы )(kС и )(kP невырождены для всех ,2,1,0k ,


])()()()([3210

kKkKkKkK и имеет единственное решение

)(),(),(),( *

3

*

2

*

1

*

0 kKkKkKkK , сформулированное в условиях теоремы 4.2 в виде (4.8)

– (4.11), которое получается непосредственным вычислением.

Замечание 4.2. Предположение, что )(k , )(kq – гауссовские случайные

последовательности является необязательным. Величины )(k , )(kq могут быть

произвольными процессами с нулевым средним и с заданным центральным

моментом второго порядка, но это приведет к незначительным изменениям

основных расчетных формул, причем эти изменения будут зависеть от вида

распределения.

Замечание 4.3. Для случая, когда модель объекта имеет вид:

122

)())(~~

()())(()1(11

hkxhkAAkxkAAkxr

iii

r

iii

),()())((1

kqkukBBr

i

ii

все вычисления производятся аналогичным путем, но с учетом того, что процесс

)(k является некоррелированным, в результате чего формулы упрощаются.

4.4. Исследование асимптотического поведения динамической замкнутой

системы управления по выходу

Асимптотическую точность слежения для объекта вида (4.1) определим,

вычислив оценку критерия:

},)1({lim2

zkxJk

(4.46)




DCVSQBBAAAA iii ,,,,,,,~

,~

,, , ri ,1 – постоянные; .0)(; kqEF z Тогда, если

выполняется условие (4.7) теоремы 4.1, существует установившееся решение

уравнений (4.15), (4.17) – (4.20) и выполняется условие:

12

1

2

1 , (4.47)


)(1

)]()][(~

)()[(2

1

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

QtrrgRGJ

)(1

~)()(

)(22

1

2

1

1

2

2

2

2121

QtrrgRG

1

211212

1

))(())(()(2

RGrgrg

QtrRGrg~

)()( 22

1 , (4.48)

где

123

1 s

; 22

s

; s1 ;

22

s ;

SBKA *

1 ; SBKA *

22

~ ; EBK *

33 ;

r

i

*

iiii

r

i

*

iiii S)KθBθA(S)KθBθ(A1

22

1

11

~; ;

)(lim *

1

*

1kKK

k ; )(lim *

2

*

2 kKKk

; )(lim *

3

*

3 kKKk

;

zr31 ; zBKr *

32 ; zKBR

r

i

ii

1

*

3 ; *0BKg ;

r

i

ii KBG1

*

0 ;

r

i

ii BVKKBBVKBKQ1

*

2

*

1

*

2

*

113

1~;

r

i

ii

T BVKKBBVKBKQQ1

*

1

*

1

*

1

*

13

1~

r

i

ii BVKKBBVKBK1

*

1

*

2

*

1

*

23

1.

Замечание 4.4. Для случая, когда модель объекта имеет вид (4.35)

постановка теоремы 4.3 остается прежней, за исключением замены модели

объекта на (4.35), )(ki и обозначении величин, входящих в (4.49):

r

i

*

iiii

r

i

*

iiii S)KkθBkθA(S)KkθBkθ(A1

22

1

11 )()(~

;)()( ;

zKkBRr

i

ii

1

*

3)( ;

r

i

ii KkBG1

*

0)( ;

r

i

ii BVKKBBVKBKQ1

*

2

*

1

*

2

*

11

~;

r

i

ii BVKKBBVKBKQQ1

*

1

*

1

*

1

*

1

~

r

i

ii BVKKBBVKBK1

*

1

*

2

*

1

*

2 .

В остальном, доказательство теоремы 4.3 для модели объекта (4.35) будет

полностью совпадать с приведенным ниже доказательством.

Доказательство. Аналогично доказательству теорем 2.2, 3.2 в главах 2 и 3

для вычисления оценки (4.46) построим сначала оценку для критерия

})1({)(2

zkxkJ , а для этого вычислим его на k+1 такте:

)})1(())1({(})({)1(2

zkxzkxzkxkJ

124

)()()()()()( *

02kBKkxhkxkxkxkx

)()()()()(21113

hkxkxkxkxzkx

)()( 2

1

*

31

1

01 kxh)(kxzKB(k)xkKθB(k)xr

i

ii

r

i

*

ii

)(22 hkxh)(kx xhkxzhkxkBKhkx 1232

*

02 )()()()(

)()()()(1

0222 kKθBhkxhkxhkxr

i

*

ii

)()()()()( 2

*

0

*

0

1

32 hkxBKkwkxBKkwzKθBhkxr

i

*

ii

)()()()()()()()( 33

*

0

*

0

*

0 kxkkkzkzkBKkBKBKk

)()()()()()()()()()( *

033323kBKkzkzkkkzhkxkkkz

r

i

ii

r

i

ii hkxBKkkxBKk1

2

*

0

1

1

*

0 )()()()(

r

i

r

i

iiii

r

i

r

i

iiii zKBBKkkKBBKk1 1

*

3

*

0

1 1

*

0

*

0 )()()(

r

i

ii

r

i

ii hkxBKzkxBKz1

2

*

3

1

1

*

3 )()(

r

i

r

i

iiii

r

i

r

i

iiii zKBBKzkKBBKz1 1

*

3

*

3

1 1

*

0

*

3 )(

)()()()( *

2

*

2 hkvBKBKhkvkqkq

r

i

r

i

iiii hkvKBBKhkv1 1

*

2

*

2 )()(

}.)()()()(1 1

*

1

*

1

*

1

*

1

r

i

r

i

iiii kvKBBKkvkvBKBKkv (4.49)


при коэффициентах передачи *3

*2

*1

*0 ,,, KKKK , вычислим значение критерия (4.49)

для k+1 такта:

)()()()()()()1( *

02kBKkxhkxkxkxkxkJ

125

)()()()()(21113

hkxkxkxkxzkx

)()( 2

1

*

31

1

01 kxh)(kxzKB(k)xkwKθB(k)xr

i

ii

r

i

*

ii

)(22

hkxh)(kx

xhkxzhkxkBKhkx1232

*

02)()()()(

)()()()(1

0222 kKθBhkxhkxhkxr

i

*

ii

)()()()()( 2

*

0

*

0

1

32 hkxBKkkxBKkzKθBhkxr

i

*

ii

)()()()()()( 33

*

0

*

0

*

0 kxkzkzBKkkBKBKk

)()()()()( *

033323kBKzkzkzhkxkz

r

i

ii

r

i

ii hkxBKkkxBKk1

2

*

0

1

1

*

0 )()()()(

r

i

r

i

iiii

r

i

r

i

iiii zKBBKkkKBBKk1 1

*

3

*

0

1 1

*

0

*

0 )()()(

r

i

ii

r

i

ii

r

i

ii BKzhkxBKzkxBKz1

*

3

1

2

*

3

1

1

*

3 )()(

r

i

r

i

iiii

r

i

ii kQtrzzzKBBKzkKB1 1

33

*

3

*

3

1

*

0 )(~

})( , (4.50)

из которого в силу неравенства Коши-Буняковского получим оценку:

),()()()()1( 221211

2

1

2

1 hkkJkJkJ

)()]()([2 3111 kJrgRG

),()()()( 221211

2

2

2

2 khkJhkJ

)()]()([2 3122 hkJrgRG QRGrg~

tr)()( 22

1 , (4.51)

где

);1(~

lim)(~

lim~

kQkQQkk

})({)(2

1kxkJ ;

),(2 hkkJ )()( hkxkxM ; )(3 kJ })({ kx .


126

)1()()1()()1()()( *

0

1

221 kKBBhkxkxkxr

i

ii

)1()()1()( *

2

1

*

1

1

hkvKBBkvKBBr

i

ii

r

i

ii

)1()( *

3

1

kqzKBBr

i

ii , (4.52)



)}()({})({)(2

1kxkxkxkJ

)1()1()1()1()1()1({ *

02kBKkxhkxkxkxkx

)1()1()1()1()1(2111

*

3hkxkxkxkxzBKkx

r

i

ii kKBkx1

*

01 )1()1(

)1()1()1()1( 2

1

*

31 kxhkxkzKBkxr

i

ii

)1()1(22

hkxhkx )1()1(12

kxhkx

)1()1()1( *

02

*

32kBKhkxzBKhkx

r

i

ii kKBhkxhkxhkx1

*

0222 )1()1()1()1(

r

iii

kxBKkzKBhkx1

*

0

*

32)1()1()1(

)1()1()1()1( *

0

*

02

*

0 kBKBKkhkxBKk

r

i

ii kxBKkzBKBKk1

1

*

0

*

3

*

0 )1()1()1(

r

i

r

i

iiii

r

i

ii kKBBKkhkxBKk1 1

*

0

*

0

1

2

*

0 )1()1()1()1(

r

i

r

i

iiii kzKBBKk1 1

*

3

*

0 )1()1(

)1()1()1( 2

*

3

*

3 hkxBKkzkxBKz

127

)1()1( 0

*

3 kBKBKkz

r

i

ii

r

i

ii hkxBKzkxBKzzBKBKz1

2

*

3

1

1

*

3

*

3

*

3 )1()1(

r

i

iiii

r

i

iiii zKBBKzkKBBKz1

*

3

*

3

1

*

0

*

3 )1(

)1()1()1()1( *

2

*

2 hkvBKBKhkvkqkq

r

i

r

i

iiii hkvKBBKhkv1 1

*

2

*

2 )1()1(

}.)1()1()1()1(1 1

*

1

*

1

*

1

*

1

r

i

r

i

iiii kvKBBKkvkvBKBKkv


kJ имеет вид:

)1()()( 1

2

1

2

11 kJkJ )1())()((2 3121 kJGRrg

))1,1()1,1()(( 222121 khkJhkkJ

)1()( 1

2

2

2

2 hkJ )1())()((2 3222 hkJRGrg

).1(~

)()( 2

2

2 kQtrrgRG (4.53)

Вычислим рекуррентное соотношение для ),(2

hkkJ :

)}()({})()({),(2 hkxkxhkxkxhkkJ

)12()1()1()1({ 2 hkxkxhkxkx

zBKkxhkBKkx *

3

*

0)1()1()1( )1()1(

11hkxkx

r

i

ii hkKBkxhkxkx1

*

0121 )1()1()12()1(

)1()1()1( 2

1

*

31 hkxhkxzKBkxr

i

ii

)1()1()12()1( *

0222hkBKhkxhkxhkx

)1()1()1( 12

*

32 hkxhkxzBKhkx

128

r

i

ii hkKBhkxhkxhkx1

*

0222 )1()1()12()1(

)1()1()1( 1

*

0

1

*

32 hkxBKkzKBhkxr

i

ii

)1()1()12()1( *

0

*

02

*

0 hkBKBKkhkxBKk

)1()1()1(1

1

*

0

*

3

*

0 hkxBKkzBKBKkr

i

ii

)12()1(1

2

*

0 hkxBKkr

i

ii

)1()1(1

*

0

*

0 hkKBBKkr

i

iiii

)1()1( *

3

1

*

3

*

0 hkxBKzzKBBKkr

i

iiii

zBKBKzhkBKBKzhkxBKz *

3

*

3

*

0

*

32

*

3 )1()12(

)12()1(1

2

*

3

1

1

*

3 hkxBKzhkxBKzr

i

ii

r

i

ii

1

1

*

3

*

3

1

*

0

*

3

~)1( QtrzKBBKzhkKBBKz

r

i

iiii

r

i

iiii

.

Рекуррентное соотношение для ),(2

hkkJ примет вид:

)1,1()(),(2

2

1

2

12hkkJhkkJ

)1())()(()12,1()( 312122121 kJRGrghkkJ

)1()( 12121 hkJ

)12,1()( 2

2

2

2

2 hkhkJ

)1()))(())((( 321221 hkJRGrg

)12())()(( 3222 hkJRGrg 1

22

2

~)()( QtrRGrg , (4.54)

где )1(~

lim)(~

lim~

111

kQkQQ

kk.


kJ :

129

)()(3 kxMkJ zBKkBKhkxkxM *

3

*

02)1()1()1( .

grhkJkJkJ 232313 )1()1()( . (4.55)

Полагая kk ,2,1 и, строя последовательно неравенства для )1(3

J ,


grhJJJ 232313 )()0()1( ;

)()()0()1()1()2( 213213

2

1232313 rghJJgrhJJJ

;)1( 232 rghJ

k

j

kjkk grhjJJkJ

1

2

1

1312313 )(

1

1)1()0()(

. (4.56)

Аналогично, построив последовательно неравенства для ),(2

hkkJ и )(1

kJ , при

kk ,2,1 получим рекуррентные неравенства:

),0()(),(2

2

1

2

12hJhkkJ k

k

j

jk hjjJ1

2

2

1

2

12121 )12,1()()(

k

j

jkk

j

jk jJRGjJgr1

3

2

1

2

11

1

3

2

1

2

121 )1()()()1()()(

k

j

jk hjJ1

1

2

1

2

12121 )1()()(

)()(()12,1()()( 221

1

2

2

1

2

1

2

2

2

2 RGgrhjhjJk

j

jk

)( 22 gr

k

j

jk hjJGR1

3

2

1

2

11 )1()())(

k

j

jk hjJGRrg1

3

2

1

2

1222 )12()())()((

)~

)()((1)(

1)(1

22

22

1

2

1

2

1

2

1 QtrRGrgk

. (4.57)

130

)1,1()()()0()()( 2

1

2

1

2

121211

2

1

2

11 hjjJJkJk

j

jkk

k

j

jk jJGRgr1

3

2

1

2

1121 )1()())()((2

k

j

jk jhjJ1

2

2

1

2

12121 )1,1()()(

k

j

jk hjJgrRG1

1

2

1

2

1222

2

2

2

2 )1()())(2)(2)((

)~

)()((1)(

1)( 22

22

1

2

1

2

1

2

1 QtrRGrgk

. (4.58)

Оценку критерия (4.35) построим, учитывая неравенства (4.57) – (4.59). Тогда при

k из (4.51) получим (4.48). Условие (4.47) обеспечивает асимптотическую

устойчивость замкнутой системы с запаздываниями по состоянию [141].

Замечание 4.5. Исследование асимптотических оценок для системы

управления по выходу со случайными параметрами (4.35) проводится

аналогичным образом, но с учетом того факта, что )()( jkM ii rijk ,1,, .

Замечание 4.6. Отметим, что все результаты, представленные в главах 2, 3, 4

могут быть обобщены на нестационарный случай, когда матрицы

riSBBAAAAiii

,1,,,,~

,~

,, зависят от времени.

4.5. Результаты моделирования системы управления объектом с

интервальными неопределенностями

Пусть объект, локальный критерий и канал наблюдений описываются

следующими матрицами и векторами:

;0005,000

;00005,0

;11,0

;003,000~

;1025,0105,0

21

AABAA

;001,00

3

A ;005,000~

;00003,0~

;0000

;01,0000

21654

AAAAA

131

002,0000~

;00001,00~

43 AA ;

0000~~

65 AA ;

;1010

;1;025,00

;0005,0

;00

654321

zFBBBBBB

.1;2,0;1;01;10;02,00002,0

hDCHSQ (4.59)

Моделирование проводилось для 5-ти вариантов значений интервальных

неопределенностей i , равномерно распределенных на интервале [-1; 1]. Эти

значения следующие:

1) ;572,0;272,0;440,0;303,0 4321 ;894,0;914,0 65

2) 723,0;548,0;898,0;226,0;927,0 54321 ; ;192,06

3) 302,0;548,0;172,0;828,0;174,0 54321 ; ;401,06

4) 718,0;127,0;172,0;428,0;174,0 54321 ; 401,06 ;

5) 718,0;127,0;172,0;228,0;174,0 54321 ; 401,06 ;

На рисунке 4.1. приведены по одной реализации состояния вектора w(k) для

каждого из выбранных вариантов значений интервальных неопределенностей.

Рисунок 4.1. Переходные процессы в динамической системе управления, синтезированной по

интервальным неопределенностям

(цифрой отмечена реализация, соответствующая варианту значений i )

132

Для обоснования целесообразности введения в закон управления

динамического звена )(k выполнено моделирование четырех систем управления

(алгоритмов):

алгоритм 1 – управление, построенное по номинальным значениям

параметров без включения динамического звена;

алгоритм 2 – локально-оптимальное управление, вычисленное с

использованием вероятностного метода учета интервальных неопределенностей;

алгоритм 3 – управление, синтезированное по номинальным значениям

параметров и с введением в закон управления динамической составляющей;

алгоритм 4 – локально-оптимальное управление с динамическим звеном,

вычисленное с учетом неопределенностей интервального типа.

В качестве критерия оценки точности отслеживания вектора желаемого

значения z(k) рассчитывается средняя ошибка оценивания, аналогичная главам 2,

3:

,

)()(1

N

kzkw

e

N

k

i

(4.60)

где z(k) – желаемое значение вектора состояния.

Критерий оценки точности отслеживания рассчитывается для четырех

алгоритмов (N=30) для 5-ти различных вариантов значений параметров i ,

распределенных по равномерному закону на интервале [-1; 1]. Усреднение

осуществляется по 50 реализациям.

В таблице 4.1. приведены средние ошибки оценивания 4-х алгоритмов,

вычисленные по (4.60) для каждого из 5-ти вариантов значений параметров i .

Т а б л и ц а 4.1.


Алгоритм 1e 2e 3

e 4e 5

e

1 1,732 0,329 2,066 1,632 0,646

2 1,579 0,312 1,947 1,531 0,593

3 0,449 0,307 0,830 0,611 0,281

4 0,384 0,258 0,819 0,572 0,274

133

Отметим, что при моделировании интервал, на котором ведется расчет

критерия, сдвинут на величину переходного процесса (5 тактов).

Из таблицы видно, что минимальная средняя ошибка отклонения вектора

состояния x(k) от отслеживаемого вектора z(k) достигается при четвертом

алгоритме, то есть при локальном управлении с динамическим звеном,

построенном по коэффициентам передачи, вычисленным с учетом интервальных

неопределенностей.

4.6. Результаты моделирования системы управления объектом со

случайными параметрами

Пусть объект и локальный критерий описываются матрицами и векторами

(4.59). Параметры )(ki

моделируются как гауссовские случайный величины с

математическим ожиданием равным 0 и среднеквадратическим отклонением

равным 1.

Аналогично разделу 4.5. для обоснования целесообразности введения в закон

управления динамического звена )(k выполнено моделирование четырех систем

управления (алгоритмов):

алгоритм 1 – управление, построенное по номинальным значениям

параметров без включения динамического звена;

алгоритм 2 – локально-оптимальное управление, вычисленное с учетом

случайных параметров;

алгоритм 3 – управление, синтезированное по номинальным значениям

параметров и с введением в закон управления динамической составляющей;

алгоритм 4 – локально-оптимальное управление с динамическим звеном,

вычисленное с учетом случайных параметров.

В качестве критерия оценки точности отслеживания вектором состояния x(k)

желаемого значения z(k) рассчитывается средняя ошибка оценивания (4.60)

134

(N=30). Усреднение осуществляется по 50 реализациям. В таблице 4.2. приведены

значения критерия качества сходимости для четырех систем управления.

Т а б л и ц а 4.2.


Алгоритм 1 2 3 4 e 0,910 0,897 0,611 0,589

Из таблицы видно, что минимальная средняя ошибка отклонения вектора

состояния x(k) от отслеживаемого вектора z(k) достигается при четвертом

алгоритме, то есть при локальном управлении с динамическим звеном,

построенном по коэффициентам передачи, вычисленным с учетом случайных

параметров. Учет случайных параметров, при построении управления улучшает

качество управляемости системы примерно на 10 %, а введение в закон

управления динамического звена еще на 30 %.


1. Решена задача управления выходом для дискретных объектов с

запаздыванием по состоянию, с интервальными неопределенностями и

случайными параметрами на основе синтеза локально-оптимальной следящей

системы управления линейным динамическим объектом при косвенных

измерениях и с введением динамического звена в закон управления. Для решения

задачи управления объектом с неопределенностями интервального типа

применяется вероятностный метод.

2. Получены аналитические выражения для коэффициентов передачи систем

управления выходом.

3. Исследовано асимптотическое поведение систем. Показано, что при

практически естественных ограничениях на класс динамических систем с

интервальными неопределенностями и случайными параметрами метод локально-

135

оптимального управления с использованием в контуре управления

дополнительного динамического звена при косвенных измерениях с ошибками

обеспечивает асимптотическое слежение с точностью, определяемой

интенсивностью аддитивных возмущений и ошибок в канале измерений,

динамическими характеристиками замкнутой системы, значениями параметров

объекта и коэффициентов передачи следящей системы управления (см. теорема

4.2.).

4. Показано, что при введении в систему динамического регулятора

переходные процессы становятся менее чувствительными к изменению

параметров, и система практически на них не реагирует. Таким образом, введение

в систему динамического регулятора улучшает качество работы системы.

5. Моделирование алгоритмов локально-оптимального управления с

динамическим звеном объектами с запаздыванием по состоянию, как с

интервальными неопределенностями, так и со случайными параметрами показало,

что оптимальная динамическая система управления, построенная по

интервальным неопределенностям и соответственно случайным параметрам, с

постоянными коэффициентами передачи обладает свойством робастности и

обеспечивает более высокую точность слежения, чем система управления,

синтезированная по номинальным значениям параметров как с введением

динамической составляющей в закон управления, так и без него.

136

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена разработке систем локально-

оптимального управления дискретными линейными объектами с учетом

запаздываний в условиях неполной информации о состоянии и параметрах

объекта модели без использования концепции расширения пространства

состояний. Основные результаты диссертационной работы заключаются в

следующем:

1) Решена задача управления по локально-оптимальному критерию для

дискретного объекта со случайными возмущениями с учетом многих

запаздываний по управлению. Предложен алгоритм последовательного решения

системы векторных уравнений с запаздываниями по управлению с

использованием прогнозов управлений и возмущений. Управление объектом

реализуется без расширения пространства состояний модели на основе

оптимизации локального критерия. Рассмотрен алгоритм построения управления

дискретным объектом с учетом многих запаздываний по управлению при

косвенных наблюдениях за вектором состояния. Дано применение результатов

главы к решению задачи управления запасами с учетом запаздываний в

поставках, транспортных ограничений и дополнительных критериев. Выполнено

моделирование систем управления запасами при эшелонном расположении

складов и для структуры, состоящей из оптового и розничных складов.

2) Рассмотрена задача локально-оптимального управления дискретными

объектами с запаздываниями по состоянию. Предложена методика учета

запаздываний, реализованная без расширения пространства состояний, которая

заключается в применении процедур параметрического синтеза для закона

137

управления по наблюдаемому выходу. Задача управления выходом решается на

основе синтеза локально-оптимальной следящей системы управления линейным

объектом при косвенных измерениях. Исследовано асимптотическое поведение

системы управления по выходу объектом с учетом запаздывания по состоянию.

Построены оценки критерия, определяющего точность слежения. Дано

применение результатов главы к моделированию следящих систем управления

для различных форм отслеживаемого сигнала и к решению задачи управления

производством и сбытом товара с учетом различных запаздываний финансовых

потоков в объекте.

3) Описано решение задачи синтеза локально-оптимального управления по

наблюдаемому выходу для дискретных объектов с интервальными

неопределенностями и с запаздыванием по состоянию. Синтез системы

управления осуществляется на основе вероятностного метода и без

предварительного расширения пространства состояний. Проведено исследование

асимптотического поведения системы с неопределенностями интервального типа

с учетом запаздывания по состоянию и получены асимптотические оценки

критерия точности слежения. Выполнено моделирование алгоритма локально-

оптимального управления объектами с интервальными неопределенностями с

запаздыванием по состоянию, которое показало, что предложенный алгоритм

обладает меньшей чувствительностью к изменению параметров.

4) Решена задача динамического локально-оптимального управления по

наблюдаемому выходу для дискретных систем с интервальными

неопределенностями и со случайными параметрами с учетом запаздывания по

состоянию. Решение строится на основе синтеза локально-оптимальной следящей

системы управления линейным динамическим объектом при косвенных

измерениях и с введением дополнительного динамического звена в закон

управления. Синтез динамической системы управления объектом с

интервальными неопределенностями осуществляется на основе вероятностного

метода. Исследовано асимптотическое поведение динамических систем

управления по выходу для объектов со случайными параметрами и

138

интервальными неопределенностями с учетом запаздывания по состоянию.

Выполнена апробация алгоритмов с помощью вычислительных экспериментов.

Произведено сравнение критерия оценки точности отслеживания. Моделирование

алгоритмов локально-оптимального управления с динамическим звеном

объектами с учетом запаздывания по состоянию, как с интервальными

неопределенностями, так и со случайными параметрами показало, что

оптимальная динамическая система управления, построенная по

неопределенностям интервального типа и, соответственно, случайным

параметрам, с постоянными коэффициентами передачи обладает свойством

робастности. Показано, что при введении в систему динамического регулятора

усредненные характеристики точности слежения становятся менее

чувствительными к изменению параметров.

139

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

nR – n-мерное эвклидово пространство;

A – транспонированная матрица;

nE – единичная матрица порядка nn ;

trA – след квадратичной матрицы;

}{xM – математическое ожидание случайной величины x;

}/{. yM – условное математическое ожидание;

ji, – Символ Кронекера

;если,0

,если,1, ji

jiji

n

i

n

j

ijaA1 1

2

– евклидова норма;

iis

A max – спектральная норма;

где nii ,,2,1}{ – так называемые сингулярные числа матрицы А.

Сингулярным числом матрицы А называется собственное значение матрицы

AA ;

.0если,0

,0если,)(

x

xxx

140

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абгарян, К.А. Матричные и асимптотические методы в теории

линейных систем [Текст] / К.А. Абгарян. – М.: Наука, 1973. – 431 с.

2. Амосов, А.А. Скалярно-матричное дифференцирование и его

приложения к конструктивным задачам теории связи [Текст] / А.А.

Амосов, В.В. Колпаков // Проблемы передачи информации. – 1972. – №1. –

С. 3-15.

3. Андреев, Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами

[Текст] / Ю.Н. Андреев. – М.: Наука, 1976. – 424 с.

4. Браммер, К. Фильтр Калмана-Бьюси [Текст] / К. Браммер, Г. Зиффлинг. –

М.: Наука, 1982. – 199 с.

5. Воевода, А.А. Синтез робастных линейных систем управления для

объектов с интервальными параметрами [Текст] / А.А. Воевода //

Информатика и процессы управления. – 1995. – С. 12-16.

6. Воевода, А.А. Синтез систем управления с интервальными параметрами

[Текст] / А.А. Воевода, В.В. Плохотников // Матер. научно-практ. семинара

«Проблемы синтеза и проектирования систем автоматического управления».

– Новосибирск, 2001. – С. 9-11.

7. Горский, А.А. Динамическая модель производства, хранения и сбыта

товара повседневного спроса [Текст] / А.А. Горский, И.Г. Колпаков, Б.Я.

Локшин // Изв. РАН Теория и системы управления. 1998. – №1. – С. 144-149.

141

8. Гурецкий, X. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием

[Текст] / Х. Гурецкий. – М.:Машиностроение, 1974. – 328 с.

9. Гусев, Ю.М. Анализ и синтез линейных интервальных динамических

систем (состояние проблемы). I. Анализ с использованием интервальных

характеристических полиномов. II. Анализ устойчивости интервальных

матриц и синтез робастных регуляторов [Текст] / Ю.М. Гусев, В.Н.

Ефанов, В.Г. Крымский, В.Ю. Рутковский // Техническая кибернетика. –

1991. – № 1,2.

10. Дегтярев, Г.Л. Синтез локально-оптимальных алгоритмов управления

летательными аппаратами [Текст] / Г.Л. Дегтярев, И.С. Ризаев. – М.:

Машиностроение, 1991. – 304 с.

11. Дегтярев, Г.Л. Теоретические основы оптимального управления

упругими космическими аппаратами [Текст] / Г.Л. Дегтярев, Т.К.

Сиразетдинов. – М.: Машиностроение, 1986. – 216 с.

12. Домбровский, В.В. Синтез динамических регуляторов пониженного

порядка при H -ограничениях [Текст] / В.В. Домбровский // Автоматика

и телемеханика. – 1996. – № 11. – С. 10-17.

13. Домбровский, В.В. Понижение порядка систем оценивания и управления

[Текст] / В.В. Домбровский. – Томск: Изд-во Том. ун-та, 1994. – 175 с.

14. Домбровский, В.В. Управление с прогнозирующей моделью системами

со случайными зависимыми параметрами при ограничениях и

применение к оптимизации инвестиционного портфеля [Текст] / В.В.

Домбровский, Д.В. Домбровский, Е.А. Ляшенко // Автоматика и

телемеханика. – 2006. – № 12. – С. 71-85.

15. Домбровский, В.В. Управление с прогнозирующей моделью системами

со случайными параметрами и мультипликативными шумами и

применение к оптимизации инвестиционного портфеля [Текст] / В.В.

Домбровский, Д.В. Домбровский, Е.А. Ляшенко // Автоматика и

телемеханика. – 2005. – № 5. – С. 84-97.

142

16. Домбровский, В.В. Линейно-квадратичное управление дискретными

системами со случайными параметрами и мультипликативными

шумами с применением к оптимизации инвестиционного портфеля

[Текст] / В.В. Домбровский, Е.А. Ляшенко // Автоматика и телемеханика. –

2003. – № 10. – С. 50-65.

17. Ефанов, В.Н. Синтез алгоритма управления многосвязным объектом с

интервальными параметрами [Текст] / В.Н. Ефанов, В.Г. Крымский Р.З.

Тляшов Р.З. // Изв. вузов. Приборостроение. – 1991. – № 8. – С. 48-54.

18. Захаров, А.В. Синтез систем управления при интервальной

неопределенности параметров их математической модели [Текст] / А.В.

Захаров, Ю.И. Шокин // ДАН СССР. – 1998. – Т. 299, № 2. – C. 292-295.

19. Зубов, В.И. Лекции по теории управления [Текст] / В.И. Зубов. – М.:

Наука, 1975. – 495 с.

20. Исаев, В.К. О некоторых моделях управления многопродуктовыми

запасами [Текст] / В.К. Исаев, Е.Н. Хоботов // Сб. тр. конф. «Проблемы

машиностроения». – М., 2008. – С. 254-258.

21. Калинин, Н.М. Модели управления многопродуктовыми запасами при

постоянном спросе [Текст] / Н.М. Калинин, Е.Н. Хоботов // Автоматика и

телемеханика. – 2008. – № 9. – С. 156-169.

22. Калинин, Н.М. Управление многопродуктовыми запасами в условиях

постоянного и случайного спроса [Текст] / Н.М. Калинин, Е.Н. Хоботов //

Сб. тр. ИСА РАН «Динамика неоднородных структур». – 2008. – Т. 33, вып.

12. – С. 185-199.

23. Кельманс, Г.К. Локально-оптимальное управление объектами с

неизвестными параметрами [Текст] / Г.К. Кельманс, А.С. Позняк, А.В.

Черницер // Автоматика и телемеханика. 1982. – №10. – С. 80-95.

24. Киселева, М.Ю. Прогнозирующее управление производством, хранением

и поставками товаров с учетом случайных факторов [Текст] / М.Ю.

Киселева // Материалы докладов Всероссийской научно-технической

143

конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия

ТУСУР – 2009». Часть 4. – Томск: В-Спектр, 2009. – С. 273-275.

25. Киселева, М.Ю. Прогнозирующее управление системой производства,

хранения и поставками товаров с учетом случайных факторов и

запаздываний [Текст] / М.Ю. Киселева, В.И. Смагин // Материалы XII

Международной научно-практической конференции «Измерение, контроль,

информатизация. (ИКИ-2011)». – Изд-во АлтГТУ, Барнаул, 2011. – С. 177-

179.

26. Киселева, М.Ю. Управление производством и поставками товаров с

учетом запаздываний [Текст] / М.Ю. Киселева, В.И. Смагин // Материалы

VIII Всероссийской научно-практической конференции с международным

участием «Информационные технологии и математическое моделирование».

– Изд-во ТГУ, 2009. – С. 272-276.

27. Киселева, М.Ю. Управление производством, хранением и поставками

товаров на основе прогнозирующей модели выхода системы [Текст] /

М.Ю. Киселева, В.И. Смагин // Вестник Томского государственного

университета. Управление, вычислительная техника и информатика. – 2009. –

№ 2(7). – С. 24-31.

28. Киселева, М.Ю. Управление с прогнозирующей моделью с учетом

запаздываний [Текст] / М.Ю. Киселева, В.И. Смагин // Материалы VIII

Российской конференции с международным участием «Новые

информационные технологии в исследовании сложных систем». – Томск:

Изд-во НТЛ, 2010. – С. 74.

29. Киселева, М.Ю. Управление с прогнозирующей моделью с учетом

запаздываний по управлению [Текст] / М.Ю. Киселева, В.И. Смагин //

Вестник томского государственного университета. Управление,

вычислительная техника и информатика. – 2010. – № 2(11). – С. 5-12.

30. Клименко, А.Н. Адаптивный динамический регулятор для управления

по выходу нелинейным объектом с запаздыванием по состоянию [Текст]

144

/ А.Н. Клименко, А.М. Цыкунов // Вестник Астраханского гос. тех. у-та. – №

1. – 2006. – С. 34-39.

31. Коган, М.М. Адаптивное локально-оптимальное управление [Текст] /

М.М. Коган, Ю.И. Неймарк // Автоматика и телемеханика. 1987. – №8. – С.

126-136.

32. Кожухарь, В.А. К общей теории нечетких систем: нечеткая линейность и

нечеткие динамические системы [Текст] / В.А. Кожухарь, С.Г. Пушков //

Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. – 2008. –

№ 5. – С. 77-86.

33. Красовский, А.А. Системы автоматического управления летательных

аппаратов [Текст] / А.А. Красовский, Ю.А. Вавилов, А.И. Сучков. – ВВИА

им. Жуковского, 1985. – 476 с.

34. Лотоцкий В.А. Управление запасами при частично наблюдаемом спросе

[Текст] / В.А. Лотоцкий // Статистические методы теории управления. – М.:

Наука, 1978. – С. 222-224.

35. Лотоцкий, В.А. Модели и методы управления запасами [Текст] / В.А.

Лотоцкий, А.С. Мандель. – М.: Наука, 1991. – 189 с.

36. Луценко, И.В. Синтез дискретных Н2-оптимальных регуляторов

пониженного порядка [Текст] / И.В. Луценко, Ю.В. Садомцев // Автоматика

и телемеханика. – 2009. – № 10. – C. 114-132.

37. Моисеев, Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем [Текст] /

Н.Н. Моисеев. – М.: Наука, 1971. – 424 с.

38. Мухина, О.О. Моделирование системы управления запасами для

эшелонной модели складов [Текст] / О.О. Мухина // Наука. Технологии.

Инновации. Материалы всероссийской научной конференции молодых

ученых в 7-ми частях. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2008. – Ч. 1. – С. 22-23.

39. Мухина, О.О. Управление объектами с интервальными параметрами с

учетом запаздываний [Текст] / О.О. Мухина // Научное творчество

молодежи. Математика. Информатика: материалы XVIII Всероссийской

145

научно-практической конференция (24-25 апреля 2014 г.). – Томск: Изд-во

Том. Ун-та, 2014. – С. 38-41.

40. Мухина, О.О. Динамические локально-оптимальные системы

управления по выходу для объектов с интервальными параметрами с

запаздыванием по состоянию [Текст] / О.О. Мухина, В.И. Смагин //

Вестник Томского государственного университета. Управление,

вычислительная техника и информатика. – 2014. – № 4 (29). C. 4-15.

41. Мухина, О.О. Локально-оптимальные следящие системы управления

при косвенных измерениях с ошибками для объектов с запаздываниями

по состоянию [Текст] / О.О. Мухина, В.И. Смагин // Информационные

технологии и математическое моделирование (ИТММ-2012): Материалы ХI

Всероссийской научно-практической конференции с международным

участием. – Кемерово: Практика, 2012. – Ч. 1. – С. 73-76.

42. Мухина, О.О. Локально-оптимальное управление дискретными

системами с запаздываниями по управлению [Текст] / О.О. Мухина, В.И.

Смагин // Новые информационные технологии в исследовании сложных

структур: материалы Девятой Российской конференции с международным

участием. – Томск: Изд-во НТЛ, 2012. – С. 115-116.

43. Мухина, О.О. Локально-оптимальное управление запасами при

эшелонном расположении складов [Текст] / О.О. Мухина, В.И. Смагин //

Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-

2008): Материалы VII Всероссийской научно-практической конференции с

международным участием (14-15 ноября 2008 г.). – Томск: Изд-во Том. Ун-

та, 2008. – Ч. 1. – С. 193-194.

44. Мухина, О.О. Локально-оптимальное управление запасами с учетом

запаздываний в поставках и транспортных ограничений [Текст] / О.О.

Мухина, В.И. Смагин // Вестник Томского государственного университета.

Управление, вычислительная техника и информатика. – 2012. – № 2 (19). – С.

42-50.

146

45. Мухина, О.О. Локально-оптимальное управление по выходу для

дискретных объектов с запаздыванием по состоянию [Текст] / О.О.

Мухина, В.И. Смагин // Вестник Томского государственного университета.

Управление, вычислительная техника и информатика. – 2014. – № 1 (26). – С.

4-12.

46. Мухина, О.О. Управление дискретными системами с интервальными

параметрами по локально-оптимальному критерию с учетом

запаздываний [Текст] / О.О. Мухина, В.И. Смагин // Материалы XIII

Международной научно-практической конференции имени А. Ф. Терпугова

«Информационные технологии и математическое моделирование» (ИТММ –

2014). Анжеро-Судженск (Россия). Ноябрь 20-22. – Томск: Изд-во Том. Ун-

та, 2014. – Ч. 2 – С.83-87.

47. Мухина, О.О. Управление по выходу дискретными объектами с

запаздыванием по состоянию [Текст] / О.О. Мухина, В.И. Смагин // Новые

информационные технологии в исследовании сложных структур» материалы

Десятой российской конференции с международным участием. – Томск:

издательский Дом Томского государственного университета, 2014. – С. 66-

67.

48. Мухина, О.О. Управление производством, хранением и сбытом товара с

учетом запаздываний [Текст] / О.О. Мухина, В.И. Смагин // Измерение,

контроль, информатизация: материалы XV международной научно-

технической конференции. – Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2014. – С. 194-197.

49. Невский, А.Е. Синтез робастных законов управления многомерными

линейными динамическими объектами с интервальными параметрами

[Текст] / А.Е. Невский, Ю.Л. Сиек // Изв. вузов. Приборостроение. – 1998. –

№ 6. – С. 26-30.

50. Параев, Ю.И. Решение задачи об оптимальном производстве, хранении и

сбыте товара [Текст] / Ю.И. Параев // Изв. РАН. Теория и системы

управления. – 2000. – № 2. – С.103-107.

147

51. Первозванский, А.А. Математические модели в управлении

производством [Текст] / А.А. Первозванский. – М.: Наука, 1975. – 616 с.

52. Перепелкин, Е.А. Прогнозирующее управление экономической системой

производства, хранения и поставок товара потребителям [Текст] / Е.А.

Перепелкин // Экономика и математические методы. – 2004. – Т.40, №1. – С.

125-128.

53. Плохотников, В.В. Обеспечение устойчивости систем управление с

интервальными параметрами [Текст] / В.В. Плохотников // Тез. IV

Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике. –

Новосибирск, 2000. – Ч. IV. – С. 40.

54. Поляк, Б.Т. Робастная устойчивость и управление [Текст] / Б.Т. Поляк,

П.С. Щербаков. – Москва, 2002. – 273 с.

55. Приступа, М.Ю. Адаптация в дискретных системах с запаздыванием по

управлению на основе прогнозирующей модели [Текст] / М.Ю. Приступа

// Материалы XVI Всероссийской научно-практической конференции

«Научное творчество молодежи». – Изд-во ТГУ, 2012. – Ч.1 – С. 96-99.

56. Приступа, М.Ю. Синтез прогнозирующего управления в дискретных

нестационарных системах в условиях неполной информации,

ограничений и запаздываний [Текст]: дис… канд. тех. наук: 05.13.01:

защищена: 31.10.2012 / Приступа Марина Юрьевна. – Томск, 2012. – 152 с. –

Библиогр.: с. 138-150.

57. Приступа, М.Ю. Дискретное прогнозирующее управление с

запаздыванием по управлению и неизвестными возмущениями [Текст] /

М.Ю. Приступа, В.И. Смагин // Материалы X Всероссийской научно-

практической конференции с международным участием «Информационные

технологии и математическое моделирование (ИТММ-2011)». – Изд-во ТГУ,

2011. – С. 53-57.

58. Приступа, М.Ю. Прогнозирующее управление дискретными системами с

неизвестным входом и его применение к задаче управления

экономическим объектом [Текст] / М.Ю. Приступа, В.И. Смагин // Вестник

148

Томского государственного университета. Управление, вычислительная

техника и информатика. – 2012. – № 1(18). – С. 5-15.

59. Пропой, А.И. Применение методов локального программирования для

синтеза импульсных автоматических систем [Текст] / А.И. Пропой //

Автоматика и телемеханика. – 1963. – № 7. – С. 912-920.

60. Рубан, А.И. Идентификация и чувствительность сложных систем [Текст]

/ А.И. Рубан. – Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1982. – 302 с.

61. Рыжиков, Ю.И. Теория очередей и управление запасами [Текст] / Ю.И.

Рыжиков. – Спб.: Питер, 2001, – 376 с.

62. Смагин, В.И. Локально-оптимальные следящие системы управления

при косвенных измерениях с ошибками [Текст] / В.И. Смагин // Изв.

Вузов. Авиационная техника. – 1995. – № 1. – С. 26-30.

63. Смагин, В.И. Управление с прогнозирующей моделью с запаздыванием

по состоянию [Текст] / В.И. Смагин, М.Ю. Киселева // Материалы IX

Всероссийской научно-практической конференции с международным

участием «Информационные технологии и математическое моделирование

(ИТММ-2010)». – Изд-во ТГУ, 2010. – С. 140-145.

64. Смагин, В.И. Динамические локально-оптимальные системы

управления для объектов с интервальными параметрами [Текст] / В.И.

Смагин, О.О. Мухина // Материалы ХII Всероссийской научно-практической

конференции с международным участием имени А.Ф. Терпугова

«Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-

2013)». – Томск: Изд-во Том. Ун-та, 2013. – Ч. 2. С. 154-158.

65. Смагин, В.И. Моделирование системы управления запасами для

системы складов, состоящей из оптового и розничных складов [Текст] /

В.И. Смагин, О.О. Мухина // Информационные технологии и математическое

моделирование (ИТММ-2010): Материалы IX Всероссийской научно-

практической конференции с международным участием (19-20 ноября 2010

г.). – Томск: Изд-во Том. Ун-та, 2010. – Ч. 1. – С. 146-149.

66. Смагин, В.И. Синтез следящих систем управления по квадратичным

149

критериям [Текст] / В.И. Смагин, Ю.И. Параев Ю.И. – Томск: Изд-во. Том.

ун-та., 1996. – 170 с.

67. Смагин, В.И. Адаптивное управление запасами с учетом ограничений и

транспортных запаздываний [Текст] / В.И. Смагин, С.В. Смагин // Вестник

Томского государственного университета. Управление, вычислительная

техника и информатика. – 2008. – № 3(4). – C. 19-26.

68. Смагин, В.И. Минимизация затрат при переменном спросе в задаче

управления запасами с учетом ограничений [Текст] / В.И. Смагин, С.В.

Смагин // Материалы VI Международной научнотехнической конференции

«ИКИ-2005», «Измерение, контроль, информатизация». – Барнаул: Изд-во

АлтГУ, 2005. – С. 108-109.

69. Смагин, В.И. Управление запасами по двум критериям с учетом

ограничений [Текст] / В.И. Смагин, С.В. Смагин // Вестник Томского

государственного университета. – 2006. – № 290. – С. 244-246.

70. Смагин С.В. Синтез локально-оптимальных систем управления

выходом для дискретных стохастических объектов с неполной

информацией [Текст]: дис... канд. тех. наук: 05.13.01: защищена 30.09.2010 /

Смагин Сергей Валерьевич. – Томск, 2010. – 132 с. – Библиогр.: с. 121-130.

71. Смагин, С.В. Управление выходом линейной дискретной системы с

мультипликативными возмущениями [Текст] / С.В. Смагин // Вестник

Томского государственного университета. – 2006. – № 293 – С. 126-128.

72. Фомин, В.Н. Адаптивное управление динамическими объектами [Текст] /

В.Н. Фомин, А.Л. Фрадков, В.А. Якубович. – М.: Наука, 1980. – 408 с.

73. Фролова, Т.А. Решение интервальных математических моделей

технологических процессов [Текст] / Т.А. Фролова, С.В. Фролов // Наука и

образование. – 2012. – С. 113-114.

74. Фуртат, И.Б. Адаптивное управление объектом с запаздыванием по

управлению без использования прогнозирующих устройств [Текст] / И.Б.

Фуртат // Управление большими системами: сборник трудов. – 2012. – Т. 40.

– С. 144-163.

150

75. Ханк, Д.Э. Бизнес-прогнозирование [Текст] / Д.Э. Ханк, Д.У. Уичерн. – М.:

Издательский дом «Вильямс», 2003. – 656 с.

76. Хоботов, Е.Н. Задачи и методы управления многономенклатурными

запасами в условиях производства продукции [Текст] / Е.Н. Хоботов //

Известия РАН. Теории и системы управления. – 2011. – № 6. – C. 221-232.

77. Янушевский, Р.Т. Управление объектами с запаздыванием [Текст] / Р.Т.

Янушевский. – М.: Наука, 1978. – 410 c.

78. Aggelogiannaki, E. An Adaptive Model Predictive Control Configuration for

Production-Inventory Systems [Text] / E. Aggelogiannaki, Ph. Doganis, H.

Sarimveis // International Journal of Production Economics. – 2008. – Vol. 114. –

P. 165-178.

79. Alon, N. Extremal and Probabilistic Combinatorics [Text] / N. Alon, M.

Krivelevich // Princeton Compantion to Mathematics, W. T. Gowers, Ed. –

Princeton University Press, 2008. – P. 562-575.

80. Alon, N. The Probabilistic Method, 3rd ed. [Text] / N. Alon, J.H. Spencer. –

Wiley, 2008. – 373 p.

81. Arefi, M.M. Model-Predictive Control of Chemical Processes with a wiener

identification approach [Text] / M.M. Arefi, A. Montazeri // Industrial

Technology. – 2006. – P. 1735-1740.

82. Athans, M. The Matrix Minimum Principle [Text] / M. Athans // Information

and control. – 1968. – N 11. – P. 592-606.

83. Backman, J. Navigation system for agricultural machines: Nonlinear model

predictive path tracking original research article [Text] / J. Backman, T.

Oksanen, A.Visala // Computers and Electronics in Agriculture. – 2012. – Vol. 82.

– P. 32-43.

84. Bar-Shalom, Y. On the optimal control of discrete-time linear systems with

random parameters [Text] / Y. Bar-Shalom, R. Sivan // IEEE Trans. Automatic

Control February 1969. – Vol.14, Issue1 – P. 3-8.

151

85. Batina, I. Model predictive control for stochastic systems by randomized

algorithms: thesis Ph.D. Dutch Institute of Systems and Control [Text] / I.

Batina. – 2004. – 146 p.

86. Bobal, V. Adaptive predictive control of time-delay systems [Text] / V. Bobal,

M. Kubalcik, P. Dostal, J. Matejicek // Computers & Mathematics with

Applications. – 2013. – Vol. 66, Issue 2. – P. 165-176.

87. Braun, M. W. A model predictive control framework for robust management

of multiproduct, multi-echelon demand networks [Text] / M.W. Braun, D.E.

Rivera, M.E. Flores, W. M. Carlyle, K. G. Kempf // Annual Reviews in Control. –

2003. – Vol. 27, N 2. – P. 229-245.

88. Bresch-Pietri, D. Adaptive control scheme for uncertain time-delay systems

[Text] / D. Bresch-Pietri, J. Chauvin, N. Petit // Automatica. – 2012. – Vol. 48,

Issue 8. – P. 1536-1552.

89. Camacho, E. F. Model predictive control [Text] / E. F. Camacho, C. Bordons. –

London: Springer-Verlag, 2004. – 405 p.

90. Cannon, M. Mean-variance receding horizon control for discrete time linear

stochastic systems [Text] / M. Cannon, B. Kouvaritakis, P. Couchman //

Proceedings of the 17th World Congress The International Federation of

Automatic Control Seoul, Korea. – 2008. – P.15321-15326.

91. Capron, B.D.O. Linear matrix inequality-based robust model predictive

control for time-delayed systems [Text] / B.D.O. Capron, M.T. Uchiyama, D.

Odloak // IET Control Theory and Applications January 2012. – Vol. 6, Issue 1. –

P. 37-50.

92. Castillo, C. L. Unmanned helicopter waypoint trajectory tracking using model

predictive control [Text] / C. L. Castillo, W. Moreno, K. P. Valavanis // Control

& Automation, 2007. MED '07. Mediterranean Conference on Athens, 27-29 June

2007. – P. 1-8.

93. Chen, S.F. Asymptotic stability of discrete-time systems with time-varying

delay subject to saturation nonlinearities [Text] / S.F. Chen // Chaos, Solitons

and Fractals. – 2009. – Vol. 42, N 2. – P. 1251-1257.

152

94. Chen, C.-L. Delay-dependent stability analysis and controller synthesis for

discrete-time T-S Fuzzy systems with time-delays [Text] / C.-L. Chen, G. Feng,

X.-P. Guan // IEEE Transactions on Fuzzy Systems October 2005. – Vol. 13, Issue

5. – P. 630-643.

95. Chowdhary G. Concurrent learning adaptive model predictive control [Text] /

G. Chowdhary, M. Muhlegg // Advances in Aerospace Guidance, Navigation and

Control. – 2013. – P. 29-47.

96. Conte, P. Inventory control by model predictive control methods [Text] / P.

Conte, P. Pennesi // Proceedings of the 16th IFAC World Congress 4-8 July 2005.

– P.1-6.

97. Dai, L. Discrete-time model predictive control. Advances in discrete time

systems [Text] / L. Dai, Y. Xia, M. Fu, M. Mahmoud. – InTech, 2012. – P. 77-

116.

98. Ding, B. Robust model predictive control for multiple time delay systems with

polytopic uncertainty description [Text] / B. Ding // International Journal of

Control. – 2010. – Vol. 83, Issue 9. – P. 1844-1857.

99. Doganis, P. Model predictive control and time series forecasting framework

for supply chain management [Text] / P. Doganis, E. Aggelogiannaki, H. A.

Sarimveis // International Journal of Mechanical, Aerospace, Industrial,

Mechatronic and Manufacturing Engineering. – 2008. – Vol. 2, N 3. – P.315-319.

100. Dombrovskii, V.V. Model predictive control for linear systems with interval

and stochastic uncertainties [Text] / V.V. Dombrovskii, E.V. Chausova //

Reliable computing. – 2014. – N 19(4). – P. 351-360.

101. Dombrovskii, V.V. Predictive control of random-parameter systems with

multiplicative noise. Application to investment portfolio optimization [Text] /

V.V. Dombrovskii, D.V. Dombrovskii, E.А. Lyashenko // Automation and

Remote Control. – 2005. – Vol. 66, Issue 4. – P. 583-595.

102. Dombrovsky, V.V. Model predictive control of systems with random

dependent parameters under constraints and its application to the investment

portfolio optimization [Text] / V.V. Dombrovsky, D.V. Dombrovsky, E.А.

153

Lyashenko // Automation and remote control. – 2006. – Vol. 67, Issue 12. – P.

1927-1939.

103. Dombrovskii, V.V. A linear quadratic control for discrete systems with

random parameters and multiplicative noise and its application to investment

portfolio optimization [Text] / V.V. Dombrovskii, E.A. Lyashenko // Automation

and remote control. – 2003. – Vol. 64, Issue 10. – P. 1558-1570.

104. Dombrovskii, V. Model predictive control for constrained systems with

serially correlated stochastic parameters and portfolio optimization [Text] / V.

Dombrovskii, T. Obyedko // Automatica. – 2015. – Vol. 54. – Р. 325-331.

105. Dong, H. Model predictive control for inventory management in supply chain

planning [Text] / H. Dong, H. Zheng, Y.P. Li // Procedia Engineering. – 2011. –

Vol. 15. – P. 1154-1159.

106. Farokhi, F. Limited model information control design for linear discrete-time

systems with stochastic parameters [Text] / F. Farokhi, K.H. Johansson // 2012

IEEE 51st IEEE Conference on Decision and Control (CDC) 10-13 December

2012. – P. 855-861.

107. , . . Robust model predictive control for time delayed systems with

optimizing targets and zone control [Text] / A.H. o e , D. Odloak // Robust

Control, Theory and Applications. – 2011. – P. 339-370.

108. Hennet, J.-C. A globally optimal local inventory control policy for multistage

supply chains [Text] / J.-C. Hennet // International Journal of Production

Research. – 2009. – Vol. 47, Issue 2. – P. 435-453.

109. Joelianto, E. Model predictive control for autonomous unmanned helicopters

[Text] / E. Joelianto, E.M. Sumarjono // Aircraft Engineering and Aerospace

Technology. – 2011. – Vol. 83, Issue 6, P. 375-387.

110. Kiseleva, M. Y. Model predictive control of discrete systems with state and

input delays [Text] / M. Y. Kiseleva, V. I. Smagin // Tomsk State University

Journal of Control and Computer Science. – 2011. – N 1(14). – P. 5-12.

111. Lamoudi, M.Y. Model predictive control for energy management in buildings.

Part 1: Zone model predictive control [Text] / M.Y. Lamoudi, M. Alamir, P.

154

Beguery // 4th IFAC Nonlinear Model Predictive Control Conference August

2012. – Vol. 4. – P. 21-26.

112. Lee, J.H. Optimal feedback control strategies for state-space systems with

stochastic parameters [Text] / J.H. Lee, B.L. Cooley // IEEE Trans. Automatic


113. Lin, P.-H. Predictive control of a decentralized supply chain unit [Text] / P.-H.

Lin, S.-S. Jang, D.S.-H. Wong // Industrial Engineering & Chemistry Research. –

2005. – Vol. 44. – P. 9120-9128.

114. Lin, T.-S. Robust adaptive fuzzy sliding mode control for a class of uncertain

discrete-time nonlinear systems [Text] / T-S. Lin, S-W. Chan, C.-H. Hsu //

International Journal of Innovative Computing, Information and Control. – 2012. –

Vol. 8, N 1(A). – P. 347-359.

115. Liu, A. Switched model predictive control for networked control systems with

time delays and packet disordering [Text] / A. Liu, L. Yu, W. Zhang // Preprints

of the 19th World Congress The International Federation of Automatic Control

Cape Town. – 2014. – Vol. 19. – P. 3764-3769.

116. Lopez, P.E. A model predictive control strategy for supply chain management

[Text] / P.E. Lopez, B.E. Ydstie, I. Grossmann // Computers & Chemical

Engineering. – 2003. – Vol. 27, N 8. – P. 1201-1218.

117. Lu, X. Kalman filtering for time-delayed linear systems [Text] / X. Lu, W.

Wang // Science in China Series F: Information Sciences. – 2006. – Vol. 49, Issue

4. – P. 461-470.

118. Luenberger D.G. An introduction to observers [Text] / D.G. Luenberger //

Automatic Control. – 1972. – Vol. 16, Issue 6. – P. 596-602.

119. Ma, Y. Predictive control for energy efficient buildings with thermal storage

[Text] / Y. Ma, A. Kelman, A. Daly, F. Borrelli // IEEE Control Systems February

2012. – Vol. 32, Issue 1. – P. 44-64.

120. Maciejowski, J.M. Predictive control with constraints [Text] / J.M.

Maciejowski. – Prentice Hall, 2002. – 331 p.

155

121. Mahmoodia, S. Nonlinear model predictive control of a pH neutralization

process based on Wiener–Laguerre model [Text] / S. Mahmoodia, J. Poshtana,

M. R. Jahed-Motlagh, A. Montazeri // Chemical Engineering Journal. – 2009. – N

146. – P. 328-337.

122. Marinescu, B. Robust state-predictive control with separation property: A

reduced-state design for control systems with non-equal time delays [Text] / B.

Marinescu, H. Bourles // Automatica. – 2000. – Vol. 36. – P. 555-562.

123. Moon, Y.S. Delay-dependent robust stabilization of uncertain state-delayed

systems [Text] / Y. S. Moon, P. Park, W. H. Kwon, Y. S. Lee // International

Journal of Control. – 2001. – Vol. 74, Issue 14. – P. 1447-1455.

124. Mukhina, O.O. Dynamic locally optimal control of discrete state delay

systems with random parameters [Text] / O.O. Mukhina, V.I. Smagin //

Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ –

2015): материалы XIV Международной конференции имени А.Ф. Терпугова

18-22 ноября 2015. – Ч. 1 – С.177-181.

125. Mukhina, O. Locally optimal control for discrete time delay systems with

interval parameters [Text] / O.O. Mukhina, V.I. Smagin // Information

Technologies and Mathematical Modeling. – 2014. – Vol. 487. – P. 301-311. –

(Communications in Computer and Information Science).

126. Nandola, N. An improved formulation of hybrid model predictive control with

application to production-inventory systems [Text] / N.Nandola, D. Rivera //

IEEE Transactions on Control Systems Technology 23 December 2011. – 2013. –

Vol. 21, Issue 1. – P. 121-135.

127. Oldewurtel, F. Use model predictive control and weather forecasts for energy

efficient building climate control [Text] / F. Oldewurtel, A. Parisio, C.N. Jones,

D. Gyalistras, M. Gwerder, V. Stauch, B. Lehmann, M. Morari // Energy and

Buildings February 2012. – Vol. 45. – P. 15-27.

128. Pakzad, M.A. Kalman filter design for time delay systems [Text] / M. A.

Pakzad // Wseas transactions on systems. – 2012. – Vol. 11, Issue 10. – P. 551-

560.

156

129. Pan, Y. Robust model predictive control using a discrete-time recurrent

neural network [Text] / Y. Pan, J. Wang // Lecture Notes in Computer Science. –

2008. – Vol. 5263. – P. 883-892.

130. Patre, B.M. Robust control for two-time-scale discrete interval systems [Text]

/ B.M. Patre, B. Bandyopadhyay // Reliable computing. – 2006. – N 12. – P.45-58.

131. Piccoli, B. Model predictive control for portfolio optimization [Text] / B.

Piccoli, A. Marigo // Proc. 2nd IFAC Symp. System, Structure, and Control. –

2004. – P.1-6.

132. Primbs, J.A. Stochastic receding horizon control of constrained linear systems

with state and control multiplicative noise [Text] / J.A. Primbs // 2007 American

Control Conference New York, NY, 9-13 July 2007. – P. 4470-4475.

133. Rasku, H. Model reference control in supply chain and inventory

management. The implementation of a more suitable cost function [Text] / H.

Rasku, J. Rantala, H. Koivisto // Informatics in control, automation and robotics I.

– 2006. – P. 111-116.

134. Reble, M. General design parameters of model predictive control for

nonlinear time-delay systems [Text] / M. Reble, F. Allgower // 49th IEEE

Conference on Decision and Control (CDC) Atlanta, GA, 15-17 December 2010. –

P. 176-181.

135. Reble, M. Model predictive control of constrained nonlinear time-delay

systems [Text] / M. Reble, R.M. Esfanjani, S. Kamaleddin, Y. Nikravesh, F.

Allgower // Decision and Control, 2009 held jointly with the 2009 28th Chinese

Control Conference. CDC/CCC 2009. Proceedings of the 48th IEEE Conference

on Shanghai, China, 15-18 December 2009. – P. 1324-1329.

136. Richalet, J. Model predictive heuristic control: Applications to industrial

processes [Text] / J. Richalet, A. Rault, J.L. Testud, J. Papon // Automatica. –

1978. –Vol. 14(5). – P. 413-428.

137. Seirstad, A. Optimal control theory with economic applications [Text] / A.

Seirstad, K. Sydsaeter. – Elscvier. Amsterdam, 2002. – 445 p.

157

138. Shi, Y.-J. Delay-dependent robust model predictive control for time-delay

systems with input constraints [Text] / Y.-J. Shi, T. Chai, H. Wang, S. Chun-Yi

// 2009 American Control Conference St. Louis, MO, 10-12 June 2009. – P. 4880-

4885.

139. Song, X. Robust passive output feedback control for uncertain discrete time

T-S fuzzy systems with state and input delays [Text] / X. Song, L. Liu //

Scientific Journal of Mathematics Research. – 2013. – Vol. 3, Issue 4. – P. 105-

113.

140. Stoica, C. Application of robustified model predictive control to a production-

inventory system [Text] / C. Stoica, M.R. Arahal, D.E. Rivera, P. Rodrígue -

Ayerbe, D. Dumur // Decision and Control, 2009 held jointly with the 2009 28th

Chinese Control Conference. CDC/CCC 2009. Proceedings of the 48th IEEE

Conference on Shanghai, China, 15-18 December 2009. – P. 3993-3998.

141. Stojanovic, S. On the asymptotic stability of linear discrete time delay systems

[Text] / S. Stojanovic, D. Debeljkovic // Mechanical Engineering. – 2004. – Vol. 2,

N 1. – P. 35-48.

142. Subramanian, K. Economic model predictive control for inventory

management in supply chains [Text] / K. Subramanian, J.B. Rawlings, C.T

Maravelias. // Computers & Chemical Engineering. – 2014. – Vol. 64. – P. 71-80.

143. Tang, R. Optimal tracking control for linear time-delay large-scale systems

with persistent disturbances [Text] / R. Tang, H. Ma, S. Guo, L. Ren // Systems

Engineering and Electronics. – 2009. – Vol. 20, Issue 5. – P. 1058-1064.

144. Tang, G. Optimal tracking control for discrete time-delay systems with

persistent disturbances [Text] / G. Tang, H. Sun, Y. Liu // Asian Journal of


145. Tran, Q.N. A model-free approach for auto-tuning of model predictive control

[Text] / Q.N. Tran, J. Scholten, L. Ozkan, T. Backx // Preprints of the 19th World

Congress The International Federation of Automatic Control Cape Town, South

Africa, 24-29 August 2014. – P. 2189-2194.

158

146. Wang, W. A novel model predictive control algorithm for supply chain

management in semiconductor manufacturing [Text] / W. Wang, D.E. Rivera,

K.G. Kempf // Proceedings of American Control Conference 8-10 June 2005. – P.

208-213.

147. Wang, W. Model predictive control strategy for supply chain management in

semiconductor manufacturing under uncertainty [Text] / D.E. Rivera, K.G.

Kempf, K.D. Smith // Proceedings of American Control Conference 30 June 2004-

2 July 2004. – Vol. 5. – P. 4577-4582.

148. Xu, S. Robust H∞ control for uncertain discrete-time-delay fuzzy systems via

output feedback [Text] / S. Xu, J. Lam // IEEE Transactions on Fuzzy Systems. –

2005. – N 13(1). – P. 82-93.

149. Zadeh, L. A.: Fuzzy sets [Text] / L. Zadeh // Information and Control. – 1965. –

Vol. 8. – P. 338-353.

150. Zhang, L. A Model predictive control for coal beneficiation dense medium

cyclones [Text] / L. Zhang, X. Xia // Preprints of the 19th World Congress The

International Federation of Automatic Control Cape Town, South Africa, 24-29

August 2014. – P. 9810-9815.

151. Zhilin, L. Robust model predictive control of time-delay systems [Text] / L.

Zhilin // Proceedings of IEEE Conference on Control Applications Istanbul, 23-25

June 2003. – Vol. 1. – P. 470-473.

159

ПРИЛОЖЕНИЕ

160

ЛОКАЛЬНО-ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТАМИ

Documents