Logisticki modelˇ Deﬁnicija modela 1.3. LOGISTICKI MODELˇ … · 2014-11-07 · Logisticki modelˇ Deﬁnicija modela Logisticki model - naziv dao Verhulst (1845) bez objašnjenja

Logisticki model Definicija modela

1.3. LOGISTICKI MODEL

1.3.1. Definicija modela

Eksponencijalni rast je neogranicen:

10 20 30 40 50 60 70

10

100

1000

104

Eksponencijalni model:N ′ = αN

α - brzina rasta - konstantna

1 / 85


Ideja - brzina rasta promjenjljiva:

N ′ = g(N)N

Za N = 0, g(0) = α

Za N = C nema rasta→ g(C) = 0.

C - razina zasicenosti (engl. carrying capacity)

Najjednostavnija funkcija g koja zadovoljava

g(0) = α i g(C) = 0

je

g(N) = α

(1− N

C

)

2 / 85


Logisticki model:

N ′ = α

(1− N

C

)N

Parametri modela: α, C

Alternativni zapis modela:

N ′ = aN − bN2

3 / 85


Pierre Francois Verhulst

1804, Bruxelles, Belgija (tada Francusko carstvo) - 1849, Bruxelles,Belgija

Belgijski statisticar i demograf. Radio na rastu populacije.

P.F. Verhulst (1845) Recherches mathématiques sur la loid´accroissement de la population. Nouv. mém. de l´Académie Royaledes Sci. et Belles-Lettres de Bruxelles 18:1–41.

Verhulstov model.4 / 85


Logisticki model - naziv dao Verhulst (1845) bez objašnjenja (courbelogistique) nacrtavši je zajedno s courbe logarithmique(eksponencijalnom krivuljom)

Sljedecih godina model nije znacajnije korišten.

Ponovno otkriven 1920. godine

Raymond Pearl (1879–1940)

Lowell J. Reed (1886–1966)

Pearl, R. and L. J. Reed (1920). On the rate of growth of the populationof the United States since 1870 and its mathematical representation.Proceedings of the National Academy of Sciences 6, 275–288.

Kemijske lancane reakcije: Wilhelm Ostwald, Njemacka, 1883.

Statistika - logit model/transformacija, Joseph Berkson, SAD,(1899–1982)

5 / 85


Rješenje diferencijalne jednadžbe

N ′ = α

(1− N

C

)N, N(0) = N0

N ′(1− N

C

)N

= α /

∫·dt

∫N ′(

1− NC

)N

dt =

∫αdt

∫dN(

1− NC

)N

= αt + D

1(1− N

C

)N

=A

1− NC

+BN

=1C

1− NC

+1N

6 / 85


∫ 1C dN

1− NC

+

∫dNN

= αt + D

ln N − ln(

1− NC

)= αt + D

lnN

1− NC

= αt + D

N1− N

C

= eαt+D = D eαt

N =D eαt

1 + DC eαt

7 / 85


Pocetni uvjet: N(0) = N0 ⇒

N0

1− N0C

= D eα0 = D

N =

N0

1−N0C

eαt

1 +

N0

1−N0C

C eαt

N(t) =1

1C +

(1

N0− 1

C

)e−αt

8 / 85


Graf logisticke funkcije

Logisticka funkcija (α = 1, C = 2, N= = 0.01)

0 2 4 6 8 10 12 14

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

9 / 85


Inicijalni eksponencijalni rast

Usporedba:Eksponencijalna funkcija, α = 1, N0 = 0.01Logisticka funkcija, α = 1, C = 2, N0 = 0.01

0 2 4 6 8 10 12 14

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

10 / 85


Usporedba:Eksponencijalna funkcija, α = 1, N0 = 0.01Logisticka funkcija, α = 1, C = 2, N0 = 0.01

1 2 3 4

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1 2 3 4

0.02

0.05

0.10

0.20

0.50

11 / 85


Utjecaj parametra N0

Logisticka funkcija, α = 1, C = 2

N0 = 0.01 N0 = 0.1 N0 = 0.5

0 2 4 6 8 10 12 14

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

12 / 85


Utjecaj parametra C

Logisticka funkcija, α = 1

C = 1, N0 = 0.01 C = 2, N0 = 0.02 C = 3, N0 = 0.03

0 2 4 6 8 10 12 14

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

13 / 85


Utjecaj parametra α

Logisticka funkcija, C = 1, N0 = 0.01

α = 1 α = 2 α = 3

0 2 4 6 8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

14 / 85


3. Domaca zadaca.Izvedite logisticki model iz Taylorovog razvoja funkcije prirasta koristeciaproksimaciju polinomom treceg stupnja.

Predaja domace zadace: SUTRA.

15 / 85

Logisticki model Ekvilibrij

1.3.2. Ekvilibrij.

ZadatakFunkcija g(y) = g1− y/C nije jedina funkcija koja zadovoljava uvjetef (C) = 0.Odredite tri razlicite funkcije g koje zadovoljavaju g(1) = 0.

16 / 85


g(y) = 1− y

Model: y ′ = y (1− y)

0 5 10 15 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

17 / 85


g(y) = (1− y)2

Model: y ′ = y(1− y)2

0 5 10 15 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

18 / 85


g(y) = (1− y)3

Model: y ′ = y(1− y)3

0 5 10 15 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

19 / 85


g(y) = cos(π

2y)

Model: y ′ = y cos(π

2y)

0 5 10 15 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

20 / 85


g(y) = tg(π

4(1− y)

)

Model: y ′ = y tg(π

4(1− y)

)

0 5 10 15 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

21 / 85


g(y) =sh(1− y)

sh1

Model: y ′ = ysh(1− y)

sh1

0 5 10 15 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

22 / 85


Usporedba.

0 5 10 15 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

23 / 85


DefinicijaZa diferencijalnu jednadžbu

y ′ = f (y)

ekvilibrij (ravnotežno stanja) je vrijednost y∗ za koju je (konstantna)funkcija y(t) = y∗ rješenje diferencijalne jednadžbe.

Uocimo, ukoliko rješenje u nekom trenutku poprimi vrijednost y∗ (dodeu ravnotežno stanje), tada u tom stanju i ostane jer je y(t) = y∗ zat ≥ t0 rješenje diferencijalne jednadžbe

y ′ = f (y), y(t0) = y∗.

y(t) = y∗ ⇒ y ′(t) = 0 ⇒ f (y) = f (y∗) = 0

Ekvilibrij je nultocka funkcije f .24 / 85


Primjer

Odredite ekvilibrije logistickog modela.

Rješenje.Logisticki model:

y ′ = αy(

1− yC

)f (y) = αy

(1− y

C

)f (y) = 0 ⇒ αy

(1− y

C

)= 0

Ekvilibriji:y∗ = 0 i y∗ = C

25 / 85


Ekvilibriji logistickog modela.

y ′ = y(1− y)

2 4 6 8 10

0.5

1.0

1.5

2.0

26 / 85


Stabilnost ekvilibrija.

Stabilnost ekvilibrija - nakon pomaka, sustav se vrac u ekvilibrij

Globalno stabilan ekvilibrij - nakon svakog pomaka, sustav se vraca uekvilibrij

Lokalno stabilan ekvilibrij - nakon malog pomaka, sustav se vraca uekvilibrij

27 / 85


DefinicijaEkvilibrij y∗ je globalno stabilan ako za svaki y0 rješenjediferencijalne jednadžbe

y ′ = f (y), y(t0) = y0

zadovoljavalim

t→∞y(t) = y ∗ .

DefinicijaEkvilibrij y∗ je lokalno stabilan ako postoji okolina od y∗ tako da zasvaki y0 iz te okoline rješenje diferencijalne jednadžbe

y ′ = f (y), y(t0) = y0

zadovoljavalim

t→∞y(t) = y ∗ .

28 / 85


PrimjerIspitajte stabilnost ekvilibrija eksponencijalnog modela

y ′ = −αy ,

gdje je α > 0.

Rješenje.

f (y) = −αyf (y) = 0 ⇒ −αy = 0 ⇒ y = 0

Ekvilibrij. y∗ = 0Rješenje: y(t) = y0 e−αt

Stabilnost:lim

t→∞y(t) = lim

t→∞y0 e−αt = 0

za sve y0.

Ekvilibrij je stabilan29 / 85


Stabilnost ekvilibrija eksponencijalnog modela

y ′ = −y

1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

y∗ = 0 je stabilan ekvilibrij.

30 / 85


Stabilnost ekvilibrija eksponencijalnog modela

y ′ = y

1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

y∗ = 0 nije stabilan ekvilibrij.

31 / 85


ZadatakIspitajte stabilnost ekvilibrija logistickog modela

y ′ = αy(

1− yC

),

gdje su α > 0 i C > 0.

Rješenje.

f (y) = αy(

1− yC

)f (y) = 0 ⇒ αy

(1− y

C

)= 0 ⇒ y = 0 ili y = C

Ekvilibriji: y∗ = 0 i y∗ = C.Rješenje:

y(t) =1

1C +

(1y0− 1

C

)e−αt

32 / 85


Stabilnost:

1. y0 > C1y0− 1

C< 0

1C

+

(1y0− 1

C

)e−αt > 0

limt→∞

y(t) = limt→∞

11C +

(1y0− 1

C

)e−αt

= C

33 / 85


2. 0 < y0 < C1y0− 1

C> 0

limt→∞

y(t) = limt→∞

11C +

(1y0− 1

C

)e−αt

= C

3. y0 < 01y0− 1

C< 0

Nazivnik je 0 za neki t > 0:

0 =1C

+

(1y0− 1

C

)e−αt ⇒ t = −1

αln

y0

y0 − C> 0

jer0 <

y0

y0 − C< 1.

Prekid u i t . Treba gledati limt→t y(t)(= −∞).34 / 85


Stabilnost ekvilibrija logistickog modela

y ′ = y(1− y)

1 2 3 4 5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0


y∗ = C = 1 je stabilan ekvilibrij.

35 / 85


Stabilnost ekvilibrija logistickog modela

y ′ = y(1− y)

1 2 3 4 5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0


y∗ = C = 1 je stabilan ekvilibrij.

Prekid rješenja za y0 < 0!

36 / 85

Logisticki model Linearizacija diferencijalne jednadžbe

1.3.3. Linearizacija diferencijalne jednadžbe

Promatramo diferencijalnu jednadžbu

y ′ = f (y), y(0) = y0.

Zanima nas ponašanje kada krecemo iz tocke blizu ekvilibrija y∗

(f (y∗) = 0): y0 = y∗ + ε. Taylorov red:

f (x) =∞∑

k=0

f (k)(a)

k !(x − a)k .

Taylorov polinom:f (x) ≈ f (a) + f ′(a)(x − a)

Ako krenemo s malim pomakom dobijemo rješenje yε:

y ′ε = f (yε), yε(0) = y∗ + ε.

Definiramo funkciju ε(t): yε(t) = y∗ + ε(t)37 / 85


Koliko je yε(t) daleko od y∗?

ddt

yε(t) = f (yε(t)),⇒

ddt

yε(t) =ddt

(y∗ + ε(t)) =ddt

y∗ +ddtε(t) = fracddtε(t)

S druge strane

ddt

yε(t) = f (yε(t)) = f (y∗ + ε(t)) ≈ f (y∗) + f ′(y∗)ε(t) = f ′(y∗)ε(t)

⇒ ddtε(t) = f ′(y∗)ε(t)

Rješenje je eksponencijalna funkcija.Ako je f ′(y∗) > 0 ekvilibrij y∗ nije lokalno stabilanAko je f ′(y∗) < 0 ekvilibrij y∗ je lokalno stabilan

38 / 85


Primjer

Ispitajte stabilnost ekvilibrija logistickog modela

y ′ = αy(

1− yC

),

gdje su α > 0 i C > 0.

Rješenje.

f (y) = αy(

1− yC

)⇒ Ekvilibriji y∗ = 0, y∗ = C

f ′(y) = α(

1− yC

)− α y

Cf ′(0) = α > 0, f ′(C) = −α < 0.

0 nije stabilan ekvilibrij

C je stabilan ekvilibrij.39 / 85

Logisticki model MATHEMATICA

1.3.4. MATHEMATICA

PrimjerUpotreba programskog paketa Mathematica.

Datoteka: math1.nb

Primjer

Rješenje kolokvija iz Matematicke analize 2 pomocu programskogpaketa Mathematica.

Datoteka: MA2.pdfMA2.nb

PrimjerMalo više primjera upotrebe programskog paketa Mathematica. .

Datoteka: math3.nb40 / 85

Logisticki model Odredivanje parametara modela

1.3.5. Odredivanje parametara modela

Podaciyi izmjerena velicina (broj stanica, volumen i sl.) u trenutku ti

n mjerenja

(xi , ti), i = 1, . . . ,n

1 2 3 4 5

5

10

15

20

41 / 85


Koja krivulja najbolje opisuje podatke?

1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

30

42 / 85


Udaljenost krivulje od tocke.

Ht0, y0L

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

43 / 85



d

Ht0, y0L

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

d = mint

[(t − t0)2 + (y(t)− y0)2

]Udaljenost nije lako izracunati.

44 / 85



d1d2

d3d3

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

Kao npr. ovdje.

45 / 85


Odstupanje krivulje od tocke.

r

Ht0, y0L

Ht0, yHt0LL

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

Odstupanje: r = y(t0)− y0

Apsolutno odstupanje: |y(t0)− y0|

Kvadratno odstupanje: (y(t0)− y0)2

46 / 85


Odstupanje krivulje od podataka.

Podaci: (ti , yi)

n tocaka

Ukupno kvadratno odstupanje:n∑

i=1

(y(ti)− yi)2

Srednje kvadratno odstupanje:1n

n∑i=1

(y(ti)− yi)2

’Najbolja’ krivulja → krivulja s najmanjim ukupnim kvadratnimodstupanjem

47 / 85


Primjer: Eksponencijalni model.

y ′ = α y , y(0) = y0

Rješenje:y(t) = y0 eα t = y(t ;α, y0)

y ovisi i o parametrima modela (α, y0).

Ukupno kvadratno odstupanje:

Φ(α, y0) =n∑

i=1

(y0 eα ti −yi

)2

ovisi o parametrima modela (α, y0).

48 / 85


’Najbolja’ krivulja → Odrediti parametre α∗, y∗0 takve da je

Φ(α∗, y0∗) ≤ Φ(α, y0) ∀α, y0 (≥ 0)

(α∗, y∗0 ) je tocka minimuma funkcije Φ.

Odredivanje parametara:

Φ(α, y0) =n∑

i=1

(y0 eα ti −yi

)2 α,y0−−→ min

49 / 85


Metoda najmanjih kvadrataModel

y ′ = f (y ; p1, . . . ,pk ), y(0) = y0

p1, . . . ,pk , y0 - parametri modela

Parametri se odreduju iz zahtjeva da minimiziraju funkcional

Φ(p1, . . . ,pk , y0) =n∑

i=1

(y(ti ; p1, . . . ,pk , y0)− yi)2 p1,...,pk ,y0−−−−−−→ min

Ovakav pristup odredivanju parametara modela se naziva metodanajmanjih kvadrata

50 / 85


Za minimizaciju funkcionala Φ koriste se metode za numerickuminimizaciju.

Najpoznatije metode su:Nelder-Meadova simpleks metoda

Newtonova metoda

gradijentna metoda

kvazi-Newtonove metode

51 / 85


Primjer

Odredite konstantu koja najbolje opisuje podatke (xi , yi), i = 1, . . . ,n usmislu najmanjih kvadrata.

Rješenje.Model: y(x) = cKonstantu c odredujemo iz uvjeta

Φ(c) =n∑

i=1

(c − yi)2 c−→ min

Tocku minimuma dobijemo iz uvjeta Φ′(c) = 0:

⇒ 0 =n∑

i=1

2(c − yi) ⇒ 0 =n∑

i=1

c −n∑

i=1

yi = nc −n∑

i=1

yi

⇒ c =1n

n∑i=1

yi

52 / 85


Napomena. Uocite da je Φ ∈ C2:

Φ(c) =n∑

i=1

(c − yi)2

Da smo koristili apsolutno odstupanje, funkcija

Φa(c) =n∑

i=1

|c − yi |

nije derivabilna.Zato se najcešce koristi kvadratno odstupanje, odnosno metodanajmanjih kvadrata.

53 / 85


Nužni uvjet za minimum funkcije više varijabli.

U slucaju više parametara:

Φ(α, β)α,β−−→ min

54 / 85


Neka je (α∗, β∗) tocka minimuma.Fiksirajmo β = β∗ i definirajmo funkciju

φβ(α) = Φ(α, β∗)

55 / 85


Neka je (α∗, β∗) tocka minimuma.Fiksirajmo β = β∗ i definirajmo funkciju

ϕβ(α) = Φ(α, β∗)

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

α∗ je tocka minimuma funkcije ϕβ.

56 / 85


⇒ ϕ′β(α∗) = 0

Oznaka:∂

∂αΦ(α, β) :=

ddα

ϕβ(α)

Uvjet:∂Φ

∂α(α∗, β∗) = 0

Isto i za β.

Kriticna tocka je rješenje jednadžbe

∂Φ

∂α(α, β) = 0

∂Φ

∂β(α, β) = 0

57 / 85


Gradijent:

∇Φ(α, β) =

[∂Φ∂α (α, β)

∂Φ∂β (α, β)

]Ukoliko imamo više parametara, p = (p1,p2, . . . ,pk ),

∇Φ(α, β) =

∂Φ∂p1

(p)

∂Φ∂p2

(p)

...∂Φ∂pk

(p)

Nužni uvjet minimuma:

∇Φ(p) = 0

58 / 85


ZadatakIzracunajte sve parcijalne derivacije za izraze

1 x + y2

2 ax − xa

3 sin(ax) + x eb

4 axy

Rješenje.1.

∂

∂x(x + y2) = 1,

(∂

∂xy2 = 0

)∂

∂y(x + y2) = 2y

59 / 85


2.∂

∂x

(a x − x

a

)= a− 1

a∂

∂a

(a x − x

a

)= x +

xa2

3 .∂

∂x

(sin(a x) + x eb

)= a cos(a x) + eb

∂

∂a

(sin(a x) + x eb

)= x cos(a x)

∂

∂b

(sin(a x) + x eb

)= x eb

60 / 85


4 .∂

∂x(a xy ) = a y xy−1 za y 6= 0

∂

∂y(a xy ) = a xy ln x

∂

∂a(a xy ) = xy

61 / 85


ZadatakOdredite pravac koji najbolje opisuje podatke (xi , yi), i = 1, . . . ,n.

Rješenje.Model:

y(x) = a + b x

Φ(a,b) =n∑

i=1

(a + b xi − yi)2

0 =∂Φ

∂a=

n∑i=1

2(a + b xi − yi) ⇒ n a + bn∑

i=1

xi −n∑

i=1

yi = 0

0 =∂Φ

∂b=

n∑i=1

2(a + b xi − yi)xi ⇒ an∑

i=1

xi + bn∑

i=1

x2i −

n∑i=1

xiyi = 0

62 / 85


Sustav linearnih jednadžbi:

a +1n

n∑i=1

xi b =1n

n∑i=1

yi = 0

1n

n∑i=1

xi a +1n

n∑i=1

x2i b =

1n

n∑i=1

xiyi

- Sustav normalnih jednadžbi

63 / 85


ZadatakOdredite eksponencijalnu funkciju (y = β eα x ) koja najbolje opisujepodatke (xi , yi), i = 1, . . . ,n.

Rješenje.Model:

y(x) = β eα x

Φ(a,b) =n∑

i=1

(β eα xi −yi)2

Nelinearni sustav jednadžbi:

0 =∂Φ

∂α=

n∑i=1

2 (β eα xi −yi)β xi eα xi

0 =∂Φ

∂β=

n∑i=1

2 (β eα xi −yi) eα xi

64 / 85


Treba numericki minimizirati funkciju Φ.

U programskom paketu Mathematica:NonlinearModelFit

FindFit

LinearModelFit

Linearni problem najmanjih kvadrata

Nelinearni problem najmanjih kvadrata

65 / 85


Linearizacija modela.Odredimo parametre na logaritmiranim podacima:

zi = ln yi

z(x) = ln y(x)

Sada je

Φ =n∑

i=1

(z(xi)− zi)2 =

n∑i=1

(ln y(xi)− ln yi)2

Za eksponencijalni model:

y(x) = β eα x ⇒ z(x) = lnβ + α x = b + α x

- linearni model

66 / 85


5. Domaca zadaca

Iz podataka rasta tumorskih sferoida odredite vrijeme udvostrucenja.

Vrijeme Volumen(dani) (mm3)4.56 0.00163085.66 0.00321486.68 0.0056147.89 0.01185988.81 0.020159.79 0.027538

10.99 0.03454611.99 0.0660812.86 0.07893215.17 0.155

67 / 85

Logisticki model Modeliranje gubitka populacije

1.3.6. Modeliranje gubitka populacije

Ograniceno trajanje života jedinke (umiranje)

Svaka jedinka živi tocno τ jedinica vremena

U trenutku t umiru jedinke rodene u trenutku t − τ

Brzina umiranja u trenutku t jedinka je brzini radanja u trenutkut − τ

Eksponencijalni model: brzina radanja: αN(t)

brzina rasta = brzina radanja - brzina umiranja

N ′(t) = αN(t)− αN(t − τ)

Uocite, diferencijalna jednadžba nije oblika y ′ = f (t , y)

→ diferencijalna jednadžba s kašnjenjem

68 / 85


Rješenje diferencijalne jednadžbe N ′(t) = αN(t)− αN(t − τ)

Rješenje potražimo u obliku

N(t) = c eb t

Odredimo b i c tako da je fiferencijalna jednadžba zadovoljena.

cb eb t = αc eb t −αc eb (t−τ)

⇒ b = α− α e−b τ

⇒ b1− e−b τ = α

Postoji li rješenje ove nelinearne jednadžbe?

Promotrimo funkciju

h(b) =b

1− e−b τ

69 / 85


Graf funkcije h:

-2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

3

4

5

h je strogo rastuca ⇒ bijekcija ⇒ postoji inverzna funkcija

⇒ postoji jedinstveno rješenje jednadžbe: b = h−1(α)

c odredujemo iz pocetnih uvjeta.

Rješenje je eksponencijalna funkcija;

N(t) = c eb t

70 / 85


Umiranje se modelira s −βN(t).

Za eksponencijalni model:

N ′ = αN − βN = (α− β)N = αN

Rast bez ogranicenja + ograniceno trajanje života jedinke ⇒eksponencijalni model

71 / 85


Izlov populacije.

brzina rasta = brzina prirasta - brzina izlova

Rast bez izlova:N ′ = f (N)

Konstantni izlov.Izlov zadan fiksnom kvotom.Lovi se fiksna kolicina u jedinici vremena.

⇒ Brzina izlova konstantna. ⇒ Brzina izlova = K .

Model:N ′ = f (N)− K

72 / 85


Primjer

Pretpostavimo da logisticki rast opisuje rast populacije riba (N) bezizlova. Neka se ribarenjem izlovljava dio riba konstantnom brzinom K .Tada je rast populacije s izlovom opisan s

N ′ = αN(

1− NC

)− K

Napomena. Desna strana se može faktorizirati, pa je jednadžba oblika

N ′ = a(b − N)(c + N)

73 / 85


Utjecaj izlova

Ekvilibriji za y ′ = y(1− y) i y ′ = y(1− y)− 0.1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-0.1

0.0

0.1

0.2

N

Brz

ina

rast

a

Koliki je najveci moguci izlov, a da se populacija ne pocne smanjivati?Populacija raste ⇒

N ′ = αN(

1− NC

)− K ≥ 0.

74 / 85


Rješavamo jednadžbu

αN(

1− NC

)− K = 0

Za populaciju velicine N0, maksimalni izlov je

Kmax = αN0

(1− N0

C

)

75 / 85


Maksimalni održivi prinos

Koliki je najveci moguci izlov, a da se populacija ne izlovi?

(Populacija se može i smanjivati!)

Najveci izlov je moguc kada je rast najbrži.

N ′ = αN(

1− NC

)− K

Na desnoj strani je kvadratna funkcija, maksimum za N =C2

N ′ = 0 ⇒ Kodr = αC2

(1−

C2C

)=αC4

76 / 85


Konstantni izlov

N ′ = N(1− N)− K , N(0) = 0.3, Kmax = 0.21

K = 0 K = 0.1 K = 0.215

0 2 4 6 8

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Za K > Kmax potpuni izlov

77 / 85


Maksimalni održivi prinos

N ′ = N(1− N)− Kodr = N(1− N)− 0.25, N(0) = N0

N0 = 1.2 N0 = 0.8 N0 = 0.6 N0 = 0.4

0 2 4 6 8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Za N0 <C2 = 0.5 potpuni izlov

78 / 85


Izlov s konstantnim naporom

Pretpostavka: riba se lovi s konstantnim naporom

Ogranicen broj licenci, brodova za lov, broj sati lova, ...

Ulov je proporcionalan uloženom naporu i velicini populacije.

⇒ Brzina izlova = e N.

Model:N ′ = f (N)− e N

Za logisticki model

N ′ = αN(

1− NC

)− e N

79 / 85


N ′ = (α− e)N − αNNC

=

= (α− e)N(

1− NC(1− e/α)

)=

= aN(

1− NC

)- Logisticki model.

Efekt izlova:Smanjuje se brzina rastaSmanjuje se razina zasicenosti

Stabilan ekvilibrijN∗ = C

(1− e

α

)80 / 85


Brzina ulova za N = N∗ je

eN∗ = C e(

1− eα

)

Mali napor → mali ulov

Povecanjem napora se povecav ulov ali se i smanjuje populacija→ smanjenje ulova

Optimalni napor (koji maksimizira ulov):

eopt =α

2

Optimalna brzina ulova

eoptN∗ =C α

4Isto kao i kod konstantnog izlova!

81 / 85


Koja je razlika u modelima?

Ako namjerno ili slucajno dode do prekoracenja ulova:Model s konstantnim izlovom - istrebljenje populacije

Model s konstantnim naporom - smanjit ce se ulov ali ce stabilniekvilibrij ostati nepromijenjen, ali s manjom populacijom

Može se pokazati da ukoliko se nešto nepredvideno dogodi populaciji:brži oporavak u modelu s konstantnim naporom

82 / 85


Konstantni napor

N ′ = N(1− N)− e N, N(0) = 0.3

e = 0 e = 0.2 e = 0.5 e = 0.8

0 2 4 6 8

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

83 / 85


Optimalni prinos

N ′ = N(1− N)− eopt = N(1− N)− 0.25N, N(0) = N0

N0 = 1.2 N0 = 0.7 N0 = 0.3 N0 = 0.1

0 2 4 6 8

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

84 / 85


Napomena. Modificirajte model ukoliko se riba lovi samo na površini(površinskom sloju).

površina ∝ volumen2/3 ⇒ brzina izlova = e N2/3

N ′ = αN(

1− NC

)− e N2/3

85 / 85

Logisticki modelˇ Deﬁnicija modela 1.3. LOGISTICKI MODELˇ … · 2014-11-07 · Logisticki modelˇ Deﬁnicija modela Logisticki model - naziv dao Verhulst (1845) bez objašnjenja

Documents