Logique et raisonnement scientifique cours transversal Collège Doctoral Pr. Alain Lecomte
Logique et raisonnement scientifique
cours transversal
Collège Doctoral
Pr. Alain Lecomte
8- La logique et les processus
Logique linéaire
mathématisation3
bilan
Hilbert méthodes finitistes pour fonder la cohérence des mathématiques, vers les théorèmes d’incomplétude (Gödel, 1931)
Brouwer une exigence de constructibilité– cf. fameuse question: « existe-t-il deux irrationnels x et y
tels que xy soit un rationnel? » Essayons avec x = y =
– Si xy est un rationnel, on a répondu positivement– Sinon (xy)y = 2 et on a répondu positivement
2
La logique et l’informatique
Modèles de calcul
mathématisation5
Un autre problème posé par Hilbert:l’Entscheidungsproblem
Le problème de la décision est résolu si l’on connaît une procédure qui permette de déterminer, en utilisant un nombre fini d’opérations, la validité, respectivement la satisfaisabilité d’une expression logique donnée (1928)
mathématisation6
Turing (1936)
Machines de Turing Machine de Turing universelle Indécidabilité du problème de l’arrêt
mathématisation7
Ruban
Tête de lecture/écriture
mathématisation8
qi
Alphabet : = {#, a0, a1, a2, …, an} , symboles admis sur le ruban# : le blanc, - {#}, symboles d’entréeEnsemble d’états : Q = {q0, q1, …, qm} q0 : état initialF Q : ensemble d’états finaux (peut être vide)
ai1 ai2 ai3 ai4 ai5 ai6 ai7 ai8… … aik
mathématisation9
Règles de transition
Une règle de transition est un quintuplet
(qi, ai, qj, aj, Dir) où Dir{G, D}
écrit aussi: (qi, ai) (qj, aj, Dir)
mathématisation10
exemple
= {0, 1, X, Y, #} = {0, 1} Q = {q0, q1, q2, q3, q4}
F = {q4} Transitions (quintuplets)
(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)
mathématisation11
diagramme
mathématisation12
q0
0 0 0 1 1 1
(q0, 0, q1, X, D)
(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G),
(q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)
mathématisation13
q1
X 0 0 1 1 1
(q1, 0, q1, 0, D)
(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G),
(q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)
mathématisation14
q1
X 0 0 1 1 1
(q1, 0, q1, 0, D)
(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G),
(q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)
mathématisation15
q1
X 0 0 1 1 1
(q1, 1, q2, Y, G)
(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G),
(q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)
mathématisation16
q2
X 0 0 Y 1 1
(q2, 0, q2, 0, G)
(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G),
(q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)
mathématisation17
q2
X 0 0 Y 1 1
(q2, 0, q2, 0, G)
(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G),
(q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)
mathématisation18
q2
X 0 0 Y 1 1
(q2, X, q0, X, D)
(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G),
(q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)
mathématisation19
q0
X 0 0 Y 1 1
(q0, 0, q1, X, D)
(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G),
(q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)
mathématisation20
q1
X X 0 Y 1 1
(q1, 0, q1, 0, D)
(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G),
(q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)
mathématisation21
q1
X X 0 Y 1 1
(q1, Y, q1, Y, D)
(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G),
(q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)
mathématisation22
q1
X X 0 Y 1 1
(q1, 1, q2, Y, G)
(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G),
(q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)
mathématisation23
q2
X X 0 Y Y 1
(q2, Y, q2, Y, G)
(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G),
(q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)
mathématisation24
q2
X X 0 Y Y 1
(q2, 0, q2, 0, G)
(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G),
(q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)
mathématisation25
q2
X X 0 Y Y 1
(q2, X, q0, X, D)
(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G),
(q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)
mathématisation26
q0
X X 0 Y Y 1
(q0, 0, q1, X, D)
(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G),
(q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)
mathématisation27
q1
X X X Y Y 1
(q1, Y, q1, Y, D)
(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G),
(q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)
mathématisation28
q1
X X X Y Y 1
(q1, Y, q1, Y, D)
(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G),
(q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)
mathématisation29
q1
X X X Y Y 1
(q1, 1, q2, Y, G)
(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G),
(q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)
mathématisation30
q2
X X X Y Y Y
(q2, Y, q2, Y, G)
(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G),
(q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)
mathématisation31
q2
X X X Y Y Y
(q2, Y, q2, Y, G)
(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G),
(q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)
mathématisation32
q2
X X X Y Y Y
(q2, X, q0, X, D)
(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G),
(q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)
mathématisation33
q0
X X X Y Y Y
(q0, Y, q3, Y, D)
(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G),
(q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)
mathématisation34
q3
X X X Y Y Y
(q3, Y, q3, Y, D)
(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G),
(q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)
mathématisation35
q3
X X X Y Y Y
(q3, Y, q3, Y, D)
(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G),
(q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)
mathématisation36
q3
X X X Y Y Y
(q3, #, q4, #, D)
(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G),
(q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)
mathématisation37
q4
X X X Y Y Y
(q3, #, q4, #, D)
(q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G),
(q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)
mathématisation38
Le -calcul de Church1934 - 1936
formuler avec précision le problème de la substitution des variables dans une expression qui représente une fonction– Application– Abstraction
Équivalence avec MdT Théorème de Church-Rosser Une condition pour la normalisation : termes
« typés »
mathématisation39
Le calcul des séquents (Gentzen, 1934)comme méthode de décision pour la logique classique et la logique intuitionniste
Prouver:
(A B) ((B C) (A C))
mathématisation40
démonstration
A B, B C, A, B | B, C A B, B C, A, B, C | C
A B, B C, A | A, C A B, B C, A, B | C
A B, B C, A | C
A B, B C | A C
A B | (B C) (A C)
| (A B) ((B C) (A C))
mathématisation41
axiome :
[ D] : A, |- , B [ G] : |- , A B, |- |- , AB A B, |-
[ D] : A, |- [ G] : |- , A
|- , A A, |-
Règles logiques
A, |- , A
coupure : |- , A A, |- ’
, |- , ’
mathématisation42
Règles structurelles
Affaiblissement :à gauche : |- à droite : |-
, A |- |- A, Contraction :à gauche : , A, A |- à droite : |- A, A,
, A |- |- A, Permutationà gauche : , A, B, |- à droite : |- ’, A, B,
, B, A, |- |- ’, B, A,
mathématisation43
Gentzen - suite
Hauptsatz : Le système sans coupure permet de prouver
les mêmes séquents que le système avec coupure !
Alors… La règle de coupure ne sert à rien? Si!
mathématisation44
Calcul intuitionniste
dissymétriser le calcul: les séquents ont au plus une formule en partie droite
empêche tiers exclu et double négation
Isomorphisme de Curry-Howard – types = formules -termes = preuves– réduction = élimination de la coupure
mathématisation45
Pourquoi casser les symétries?
En logique classique, |- A, ’|- B, ’
, ’ |- A B, , ’
et
|- A, |- B, |- A B,
sont équivalentes (à cause des règles de contraction et d’affaiblissement)
mathématisation46
Pourquoi casser les symétries?
Mais si on supprime ces règles?
mathématisation47
Pourquoi casser les symétries?
La logique linéaire (1985) : 1- partie conjonctive
[ G] , A, B |- [ D] |- A, ’|- B, ’, A B |- , ’ |- A B, , ’
[& G]1 , A |- [& D] |- A, |- B,
, A & B |- |- A & B,
[& G]2 , B |- , A & B |-
mathématisation48
Logique linéaire – 2partie disjonctive
[ G] |- A, B, [ D] , A |- ’, B |- ’ |- A B, , ’, A B |- , ’
[ D]1 |- A, [ G] , A |- , B|-
|- A B, , A B |-
[ D]2 |- B, |- A B,
[ D] : A, |- [ G] : |- , A |- , A A, |-
NB : A –o B A B
mathématisation49
Logique linéaire - 3
Retrouver la logique classique?
A B !A –o B Le rôle des exponentielles : réintroduire localement
les règles structurelles
, A |- [intro !] , !A, !A |- [contraction]
, !A |- , !A |-
|- [affaiblissement]
, !A |-
mathématisation50
Le menu….
Prix : 16 € Entrée : au choix jambon ou salade Plat de résistance : entrecôte Accompagnement : frites à volonté Déssert : au choix
fromage ou fruit de saison selon arrivage (pêche ou
pomme)
mathématisation51
Le menu….
Prix : 16 € Entrée : au choix jambon ou salade Plat de résistance : entrecôte Accompagnement : frites à volonté Déssert : au choix
fromage ou fruit de saison selon arrivage (pêche ou
pomme)
mathématisation52
La formule…
16 €
--o
(jambon & salade)
(entrecôte !frites)
(fromage & (pomme pêche))
mathématisation53
Autre exemple
Il y a un siège disponible sur Londres – Bruxelles Marie est à Londres John est à Londres
En principe:
Marie peut prendre l’avion pour Bruxelles
John peut prendre l’avion pour Bruxelles
Donc : Marie et John peuvent prendre l’avion pour Bruxelles
mathématisation54
En réalité…
Soit les prémisses :x (Londres(x) –o Brux(x))
pour tout individu x, s’il est à Londres, il peut aller à Bruxellesmais cette formule est utilisable une seule fois
Londres(Marie)Londres(John)Elles ne permettent pas de déduire Brux(Marie) et
Brux(John)
mathématisation55
déduction
x (Londres(x) –o Brux(x))Londres(Marie) –o Brux(Marie)Londres(Marie) Brux(Marie)
Donc : x (Londres(x) –o Brux(x)), Londres(Marie) Brux(Marie)Londres(John) Londres(John)
Donc : x (Londres(x) –o Brux(x)), Londres(Marie), Londres(John) Brux(Marie) Londres(John)
Ou bien : x (Londres(x) –o Brux(x)), Londres(Marie), Londres(John) Brux(John) Londres(Marie)
mathématisation56
Plus sérieux…
!(e (electron(e) –o z position(e, z)))
!(e (electron(e) –o z’ vitesse(e, z’)))
Impossible de prouver :
!(e (electron(e) –o z position(e, z) z’ vitesse(e, z’)))
mathématisation57
déduction
!(e (electron(e) –o z position(e, z)))
electron(i)
electron(i) –o z position(i, z)
z position(i, z)
Mais electron(i) a été consommé, on ne peut pas le réutiliser pour prouver z’ vitesse(e, z’)
mathématisation58
Réseaux de preuves
C’est ce qui remplace les -termes Soit à démontrer le séquent suivant:
CBCABA ,
mathématisation59
CBCABA ,
mathématisation60
CBCABA
CBCABA
,
,,
mathématisation61
CBCABACBCABACBCBAA
,,,
,
mathématisation62
CBCABACBCABACBCBCCBB
AA
,,,
,
mathématisation63
CBCABACBCABACBCBCCBB
AA
,,,
,
mathématisation64
mais on aurait pu faire autrement
CBCABA
CBCABA
,
,,
mathématisation65
CBCABA
CBCABABBCCAA
,
,,,
mathématisation66
CBCABA
CBCABABBCCAA
CCAA
,
,,,
mathématisation67
CBCABA
CBCABABBCCAA
CCAA
,
,,,
mathématisation68
CBCABA
CBCABABBCCAA
CCAA
,
,,,
CBCABACBCABACBCBCCBB
AA
,,,
,
mathématisation69
CBCABACBCABACBCBCCBB
AA
,,,
,
CBCABA
CBCABABBCCAA
CCAA
,
,,,
i
mathématisation70
BACABA
CBCCB
A
BA
CBBABCCA
CA
i
mathématisation71
BACABA
CBCCB
A
BA
CBBABCCA
CA
i
mathématisation72
BACABA
CBCCB
A
BA
CBBABCCA
CA
mathématisation73
BA C CBA
BA CA CB
mathématisation74
BA C CBA
BA CA CB
: a « right » conjunction
: a « left » conjunction
: a « left » disjunctionA B A B
o oi oi i
i i o
mathématisation75
symmetries
left conjunction = right disjunction right conjunction = left disjunction right formula = negation of left formula left formula = negation of right formula
mathématisation76
BA C CBA
BA CA CB
: a « right » conjunction
: a « right » disjunction (between neg.)
: a « right » conjunction
mathématisation77
BA C CBA
BA CA CB
mathématisation78
BA C CBA
BA CA CB
mathématisation79
correctness criterion
connectivity switches : no cycle in any graph obtained by
removing one edge to each par link
Une « géométrisation » de la logique
mathématisation80
Prouver c’est aussi planifier
cf. une action produit un changement dans le monde
utilise des ressources se réalise par combinaison d’actions plus
élémentaires
mathématisation81
a
c
poser c sur la table
mathématisation82
a
c
poser c sur la table
mathématisation83
a
c
poser c sur la table
mathématisation84
a
c
poser c sur la table
mathématisation85
a c
poser c sur la table
mathématisation86
ca
poser c sur la table
mathématisation87
Passer de l’état du monde: main vide (V) c en haut de pile (donc accessible) (H(c)) c sur a (S(c, a))à main vide c en haut de pile c en bas de pile (B(c)) a en haut de pile
mathématisation88
décrit par le séquent :V, H(c), S(c, a) VH(c)B(c)H(a)
mathématisation89
Actions élémentaires
prendre(x) : V, H(x), B(x) T(x) poser(x) : T(x) VH(x)B(x) oter(x, y) : V, H(x), S(x, y) T(x)H(y) mettre(x, y) : T(x), H(y) VH(x)S(x,
y)
mathématisation90
preuve
T(c) V H(c) B(c) H(a) H(a)------------------------------------------------- -
droiteT(c), H(a) V H(c) B(c) H(a)----------------------------------------------- -
gaucheV, H(c), S(c, a) T(c) H(a) T(c) H(a) V H(c) B(c)
H(a)-----------------------------------------------------------------------------------coupureV, H(c), S(c, a) V H(c) B(c) H(a)
mathématisation91
preuve
poser(c) H(a) H(a)-------------------------------------- -
droiteT(c), H(a) V H(c) B(c)
H(a)------------------------------------ -
gaucheoter(c, a) T(c) H(a) V H(c) B(c) H(a)-----------------------------------------------------------------------------------coupureV, H(c), S(c, a) V H(c) B(c) H(a)
mathématisation92
preuve action?
On peut extraire une composition d’actions d’une preuve
comme on peut extraire un programme d’une preuve (informatique théorique)
mathématisation93
interaction
& : choix « actif » (vous avez le choix entre … et …)
: choix « passif » (l’un ou l’autre, vous ne décidez pas)
: les deux, dans un ordre séquentiel non déterminé
: les deux, en parallèle, par exemple l’échange (l’un contre l’autre)
: le changement de point de vue
mathématisation94
interprétation
Interaction la logique n’est plus seulement interprétable comme
« décrivant un extérieur », elle s’interprète « par rapport à elle-même »,
autrement dit elle réfère à ses propres procédures : l’interprétation des règles se fait dans un dialogue interne et le système se voit ainsi doté d’une dynamique des preuves
mathématisation95
La logique et les processus
une science formelle des processus informationnels convergents
Applications:– Linguistique– Biologie – Sciences cognitives (Krivine)
mathématisation96
biologie
Antoine Danchin: « la cellule est un ordinateur vivant »– Physique : matière, énergie, temps…– Biologie : Physique + information, codage, contrôle…– Arithmétique : chaînes d’entiers, récursivité, codage…– Informatique : arithmétique + programme + machine… »– « comme dans le cas de la construction d’une machine, dans celui
de la construction d’une cellule, on a besoin d’un livre de recettes… cela demande ensuite qu’on soit capable de changer le texte de la recette en quelque chose de concret : ceci consiste dans le « transfert d’information ». Dans une cellule, ce transfert d’information est assuré par le programme génétique »
mathématisation97
conclusion
au cœur d’un processus contemporain de mathématisation à propos d’objets qui n’ont pas pu jusqu’à présent être l’objet d’un tel processus, faute d’outils mathématiques adéquats
il était assez imprévisible et il reste curieux que ce soit la logique, dans son propre développement interne, qui donne aujourd’hui de tels outils, via l’intégration qu’elle opère des lois de fonctionnement de machines abstraites.