Introduction Le langage propositionnel La logique propositionnelle comme syst` eme formel La s´ emantique de la logique propositionnelle Quelques r´ esultats Logique classique Cours 2 : Logique propositionnelle Odile PAPINI POLYTECH Universit´ e d’Aix-Marseille [email protected]http://odile.papini.perso.luminy.univ-amu.fr/sources/LOG.html Odile PAPINI Logique classique
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IntroductionLe langage propositionnel
La logique propositionnelle comme systeme formelLa semantique de la logique propositionnelle
La logique propositionnelle comme systeme formelLa semantique de la logique propositionnelle
Quelques resultats
semantique de la logique propositionnelle
quelques definitions
∀P,Q ∈ L et F ⊂ L
P est satisfaisable ou coherente s’il existe une interpretationσ tq σ(P) = 1
F est satisfaisable s’il existe une interpretation σ tq ∀P ∈ F ,σ(P) = 1
P est insatisfaisable ou incoherente si pour touteinterpretation σ, σ(P) = 0
F est insatisfaisable si pour toute interpretation σ, ∃P ∈ Ftq σ(P) = 0
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IntroductionLe langage propositionnel
La logique propositionnelle comme systeme formelLa semantique de la logique propositionnelle
Quelques resultats
semantique de la logique propositionnelle
exercices
les formules suivantes sont-elles coherentes ?
(a ∨ ¬b) ∧ (¬a ∨ b) ∧ ¬(a↔ b)
b → (¬c → ¬(b → c))
les ensembles de formules suivants sont-ils satisfaisables ?
F = {a ∨ b ∨ c , ¬a ∨ b, ¬a ∨ c , ¬b,¬c}
G = {a ∨ b, ¬a, ¬b}
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Quelques resultats
semantique de la logique propositionnelle
Quelques proprietes
∀P,Q ∈ L,
|= (P → Q) ssi P |= Q
|= (P ↔ Q) ssi P ≡ Q
si |= P et |= (P → Q) alors |= Q
|= (P ∧ Q) ssi |= P et |= Q
si |= P ou |= Q alors |= (P ∨ Q)
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IntroductionLe langage propositionnel
La logique propositionnelle comme systeme formelLa semantique de la logique propositionnelle
Quelques resultats
semantique de la logique propositionnelle
exercice
Montrer :
|= (P → Q) ssi P |= Q
|= (P ↔ Q) ssi P ≡ Q
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Quelques resultats
la logique propositionnelle
Quelques theoremes
theoreme (d’adequation) :∀P ∈ L si ` P alors |= P
(les formules qui sont des theoremes sont des tautologies)
theoreme (de completude faible) :∀P ∈ L si |= P alors ` P
(les formules qui sont des tautologies sont des theoremes )
theoreme (de completude forte) :Soit F un ensemble de formules de L, ∀P ∈ Lsi F |= P alors F ` P
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Quelques resultats
logique propositionnelle
Quelques theoremes
theoreme (de compacite) :Soit F un ensemble de formules de L.Si toute famille finie F ′ ⊂ F est satisfaisable alors F est aussisatisfaisable.
theoreme (de finitude) :Soit F un ensemble de formules de L. Soit Q ∈ Lsi F |= Q alors ∃F ′ ⊂ F fini tq F ′ |= Q
theoreme (de decidabilite) :∀P ∈ L , il existe un programme qui, pour toute formule P,
indique en un temps fini si oui ou non ` P
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Quelques resultats
logique pour l’informatique
formes normales
litteral : une proposition ou la negation d’une propositionclause : disjonction de litterauxcube : conjonction de litterauxforme conjonctive normale : une conjonction de clausesforme disjonctive normale : une disjonction de cubes
theoreme (de normalisation) :
∀P ∈ L, P admet une forme conjonctive normale qui lui estequivalente
∀P ∈ L, P admet une forme disjonctive normale qui lui estequivalente
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Quelques resultats
logique pour l’informatique : algorithme de normalisation
debut
elimination des connecteurs → et ↔remplacer P ↔ Q par (P → Q) ∧ (Q → P)
puis remplacer P → Q par ¬P ∨ Q
application des lois de Morgan
remplacer ¬(P ∧Q) par ¬P ∨¬Q et ¬(P ∨Q) par ¬P ∧¬Q
elimination des doubles negations
remplacer ¬¬P par P
application des regles de distributivite
remplacer P ∨ (Q ∧ R) par (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
et (P ∧ Q) ∨ R par (P ∨ R) ∧ (Q ∨ R)
finOdile PAPINI Logique classique
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Quelques resultats
formes normales
exercice
Mettre sous forme CNF :
¬(a ∨ b → c)
P → (Q → R)
¬((P → Q) ∧ (R → S))
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