Logika & razvedrilna matematika 1 Kombinacija dveh tapetnih grup
Logika & razvedrilna matematika 2
Barvni sudoku
V n n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n tako, da bo v vsaki vrstici,
v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve nastopalo vseh n števil.
1.
5
2
1
3
4
6
1
6
5
23
4
2
1 4
2
3
1
4
5
3
1
6
4
5
5
1
1
6
2
1
34
1 3
2
4
1 2
3
3
4
4
2
1
3 4
2
3
4
4
1
3
1
4
3
1 3
4
1
4
Logika & razvedrilna matematika 3
2.
2
1
4
35
2
5
2
2
1
6
3
1
5
3
5
2
4
3
5
5
3
4
5
2
4
3
4
6
6
5
2
4
3
2
5
1
4 1
2
3
3
2
46
1
4
3
5
2
5 6
4
3
1
4
2
5
2
4 5
2
1
3
5
4
2
4
1
2
4
Logika & razvedrilna matematika 4
Latinski kvadrati
V n n kvadratkov moraš vpisati začetne črke A, B, C, … tako, da bodo v vsaki vrstici in
vsakem stolpcu nastopalo vse te črke.
B A DA E
B DC
C A
B A C
A
B
A
B
A C
E AB A
D
E D B
C EA
BD E
D B
A BA C B
E DD E
C
D A
A B
A
D B
C A
C B
A
C
D
D CA
A E D
C A
B D
D C
B C
A
A
B D
B
Logika & razvedrilna matematika 5
Sudoku s črkami
V n n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n tako, da bo v vsaki vrstici,
v vsakem stolpcu in v kvadratkih z isto črko nastopalo vseh n števil.
D
D
A
A
B
B
A
D
C
C
C
B
B
C
D
A
4
1
2
D
B
C
B
C
B
C
D
A
A
A
A
D
B
D
C1
4
3B
A
C
A
B
B
D
C
B
A
D
D
C
A
D
C1 2
4
A
B
B
A
D
D
C
D
D
B
A
C
A
B
C
C
1 2
3
D
B
A
C
B
B
C
C
A
D
A
A
B
D
C
D2
4
1
B
C
A
B
A
D
C
A
D
D
B
B
C
A
C
D
4
1 2
D
A
B
D
D
B
C
D
A
A
A
B
B
C
C
C
1 2 4
C
C
B
C
B
C
B
D
A
A
A
D
D
B
A
D
3
1 4
D
B
D
A
C
C
C
B
D
C
D
B
B
A
A
A
2
4
3
A
D
B
A
B
D
C
C
B
A
C
C
D
D
A
B
4
3
2C
A
B
D
C
A
B
B
A
D
D
D
C
C
B
A4
1 2D
D
A
D
A
B
C
C
B
C
A
A
B
D
B
C
4 1 3
Logika & razvedrilna matematika 6
Futoshiki
V n n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n tako, da bo v vsaki vrstici
in v vsakem stolpcu nastopalo vseh n števil ter da bodo izpolnjene vse relacije.
Logika & razvedrilna matematika 7
Določi razpored
A JE DESNO OD
B.
R
B JE SOSEDA OD
C.
N
B JE LEVO OD C. R
A JE DESNO OD
B.
N
B JE LEVO OD D. N
A JE LEVO OD B. N
C JE DESNO OD D. N
B JE DESNO OD D. R
A JE LEVO OD D. N
A JE DESNO OD D. R
A JE DESNO OD B. R
C JE DESNO OD D. N
C JE SOSEDA OD D. N
C JE DESNO OD E. R
B JE DESNO OD E. N
C JE DESNO OD D. R
D JE DESNO OD E. R
C JE LEVO OD D. R
A JE LEVO OD C. N
A JE SOSEDA OD C. N
A JE SOSEDA OD D. N
A JE DESNO OD D. N
A JE DESNO OD E. R
B JE LEVO OD C. R
A JE SOSEDA OD D. N
A JE LEVO OD D. N
A JE LEVO OD B. R
A JE SOSEDA OD C. N
B JE DESNO OD D. R
B JE SOSEDA OD D. R
A JE DESNO OD C. R
B JE SOSEDA OD E. N
C JE SOSEDA OD D. R
D JE LEVO OD E. N
Logika & razvedrilna matematika 8
Gobelini Kvadratke v razpredelnici moraš pobarvati sivo tako, da bo zaporedje sivih pasov v vrstici
ustrezalo zaporedju števil na desni in da bo zaporedje sivih pasov v stolpcu ustrezalo
zaporedju števil pod njim.
1
1
1, 1
1, 1
1, 1
1, 1, 1
3 1 1 1 3
3
3
5
3
1 4 4 4 1
1, 1
2, 2
1 1
1
1
1
1
1, 1
1, 1
3
1, 1
4 1 4
3
1, 1, 1
1
1
1 1 4 1 1
1, 1
1, 1
1
1
1 1 2 1 1
3
1, 1
3
3
4 1
2
4
5
1
1
1 1 3 1 1
1
5
3
5
1
1
3 4 3 1
1
1
5
1 1 1
1
1 1
3
1, 1, 1
1, 1, 1
1
1
1 2
1
1 1
1
Logika & razvedrilna matematika 9
Križne vsote Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da je vsota števk v
zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in stolpcih enaka številu, ki je zapisano v rdečem
kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem pa morajo biti vse števke
v posamezni vrstici (stolpcu) različne.
6 93
1120
2111
55
13
10 2117
11 56
1113
2215 12
1121
7
8 13
7
3
6
11
13 15
16
4
8
8
5 16
12
14
18
6
4
7
11 4
5
12
17
16
8
13
15 1413
1322
1216
1211
4
16 916
614
113
1117
3
5 106
7 57
138
2410 11
618
10
11 3
3
17
14
8
16
6
10 36
1514
912
104
11
13 1916
4 1110
912
139 10
49
7
Logika & razvedrilna matematika 10
Križni produkti
Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 2 do 9 tako, da bo zmnožek števk
v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in stolpcih enak številu, ki je zapisano v sivem
kvadratku na zač
števke v posamezni vrstici (stolpcu) različne.
40 45 48
360
240
14 27
21
90
90
72
24
54
63 90
18
40 27
63
18
15
189
15 504
24
162
24
15 63 12
108
105
36 56
63
315
288
18
45
14
20 15
15
20
Logika & razvedrilna matematika 13
Poveži sličici, ki pripadata isti grupi
6
13 17
10 5
9 11
14 15
8 7
3 1
4 16
2 12
Logika & razvedrilna matematika 15
Prostorska predstavljivost a) Katero število moramo vpisati na mesto znaka ??, da bosta stranici pripadali istemu robu
poliedra?
65
1
117
4
8
103
2??
9
12
2 31
5??4
67
128
10
119
21
39
54
712
86
10
??11
62??
4
951
7
12
103 8
116 ??91
74
5
82
3
101211
615
47
12
283
10??
119
6
8
27
341
59??
2 ??
3
78
41
5
96
6
1
??2
73
8
54
9
57
426
3
8
1 ??
75
4 2
6 3??
8
1
75
24
36
8
??
1
2
5??
64
7 98
3 1
7 2
8 41
69
35
??
2
54
6
1
8
??7
39
Logika & razvedrilna matematika 16
b) Katero številko moramo vpisati na mesto znaka ??, da bosta oglišči pripadali istemu
oglišču poliedra?
4
25 6
38??
1
7
43
62
7??
851
??2
156
7
8 43
12
?? 5
3
4 87 6 2
3
??8
514
76
1237
85??
46
??
1 34
62
5
??
412
65
31
5
4
2
??63
3
4??
52
132
??1
54
231
?? 45
62 14
3??5 1
6
42
3
5??3
2
4 56
1??
Logika & razvedrilna matematika 17
Labirinti na robovih poliedra
V naslednjih nalogah moramo povezati dve oglišči poliedra, ki je podan z mrežo. Poiskati moramo
pot od oranžne do modre točke. Iz ene točke lahko gremo do druge točke, če je med njima debelejša
črta ali pa točki predstavljata isto oglišče poliedra.
1.
1
2
3
4
5
6
7
2.
1
2
3
45
6
7
8
9
10
11
12
13
Logika & razvedrilna matematika 19
Odstranjene kocke Dan je kvader, ki sestoji iz kockic. Odstranimo vse kocke, ki so zaznamovane črno od vrha do
dna, od leve do desne in od spredaj do zadaj. Koliko kock smo odstranili?
Logika & razvedrilna matematika 20
Kocki določi mrežo
Vsaki mreži na desni (večja mreža) določi mrežo iste kocke na levi.
Logika & razvedrilna matematika 21
Labirint v kvadru
Kvader sestoji iz vodoravnih slojev kockastih oddelkov (zgornji, srednji in spodnji sloj so dani od
leve proti desni). Odebeljene črte preprečujejo prehajanje med sosednjima oddelkoma istega sloja.
Med oddelkom in oddelkom neposredno pod njim lahko prehajamo, če in samo če je prvi pobarvan
belo.
Poišči najkrajšo pot od oddelka z 1 do oddelka z A! Pot označi z zaporednimi naravnimi števili.
Prvi oddelek je že označen z 1, vsak naslednji sosednji oddelek (kocko) pa s številom, večjim za 1.
1A
1
A
1
A
1 A
Logika & razvedrilna matematika 22
Labirinti na ploskvah
Podan je labirint na pravokotniku. Moramo poiskati pot od temnejše do svetlejše pike. Prehod med
sosednimi kvadratki je možen, če med njima ni odebeljene črte. Skica na levi pomeni, kako sta
nasprotni stranici pravokotnika povezani (miselno ju moramo zlepiti).
Logika & razvedrilna matematika 23
Labirinti na projekcijah teles
Telo je projicirano v ravnino. Na projekciji je podan labirint, kjer odebeljene črte preprečujejo
prehod iz projekcije mejne ploskve na projekcijo sosedne mejne ploskve.
Logika & razvedrilna matematika 25
Analiziraj pogoje nalog
Dobro definirana naloga je naloga, pri kateri so njeni pogoji potrebni in zadostni za njeno rešitev.
To pomeni, da noben pogoj ni odveč in da ima naloga enolično rešitev. Pri zastavljeni nalogi imamo
lahko več možnosti:
Naloga nima rešitve, pogoji so protislovni.
Naloga ima več rešitev, to je, pogoji niso zadostni (za enolično rešitev).
Naloga ima enolično rešitev, vendar pogoji niso potrebni (vsaj en pogoj bi lahko izpustili in bi
naloga še vedno imela enolično rešitev).
Naloga ima enolično rešitev in pogoji so potrebni (neodvisni) in seveda zadostni. Naloga je dobro
definirana.
V naslednjih nalogah moramo ugotoviti, kako je s pogoji naloge.
Poiskati moramo imena A, B,C, … likov, ki so označeni z 1, 2, 3, …, če so izpolnjeni pogoji na
desni strani slike. Ugotoviti moramo tudi, ali so pogoji neodvisni.
Logika & razvedrilna matematika 26
Nagradne naloge
V letošnjim letu imamo tri nagradne uganke: nagradno logično nalogo, nalogo v esperantu in
nagradni labirint (ali simetrijo). Za vsako bomo med pravilnimi rešitvami izžrebali tri nagrajence.
Prva nagrada bo komplet poševna prizma in drugi modeli, druga bo Jovo mini komplet, tretja pa
poševna tristrana prizma (to je, dosedanja nagrada). Tri šole z največjim številom poslanih
odgovorov bomo tudi nagradili z omenjeno prvo nagrado.
Reševalce prosimo, da ob rešitvi čitljivo napišejo svoj domači (in ne šolski naslov), na katerega
bomo poslali morebitno nagrado. Po žrebu bodo vsi ti podatki uničeni. Rešitve pošljite z navadno
in ne priporočeno pošto. Če naloge rešujete v okviru pouka, vse rešitve posamezne naloge pošljite v
eni kuverti (ni treba dati za vsakega učenca v posebno kuverto). Če rešujete dve ali tri naloge,
zberite posamezne naloge v manjše kuverte in vse pošljite v eni večji kuverti. Posamezniki lahko
pošljete vse rešitve v eni kuverti, vendar mora biti vsaka rešitev na svojem listu in opremljena s
čitljivim naslovom.
Poševna prizma in drugi modeli je komplet 40 okvirjev Polydron (20 enakostraničnih trikotnikov,
18 kvadratov in 2 pravokotna enakostranična trikotnika). Tako boste lahko sestavili dvajseterec,
osmerec, četverec in kocko, če naštejemo le nekaj možnosti.
Jovo mini model sestoji iz dveh petkotnih, osmih kvadratnih in petnajstih trikotnih ploščic ter
ključa. Obstaja 29 enakorobnih poliedrov, katerih stranice (mejne ploskve) so pravilni
mnogokotniki in jih lahko sestavimo s tem kompletom.
Poševna prizma je komplet za sestavljanje poševne tristrane prizme. Spodaj je fotografija vseh treh
nagrad. Ker nam je 2. nagrada pošla, bomo reševalce nalog 4. številke nagradili z dvema prvima
nagradama.
Tokrat smo dobili 95 odgovorov. Logično nalogo je reševalo 58 učencev, nalogo v esperantu 35,
nalogo iz simetrije pa 2.
Največ odgovorov za logično nalogo smo dobili iz OŠ Šmarje-Sap, za nalogo v esperantu pa iz OŠ
Dragotina Ketteja iz Ilirske Bistrice.
1. nagrado dobijo: M.V.K., Šmarje-Sap, N.P., Ribnica ter A.K., Domžale.
2. nagrado dobijo: M.L., Ilirska Bistrica, M.D., Begunje pri Cerknici ter M.K., Domžale.
3. nagrado dobijo: A. F. Šmarje-Sap in N.B. Vrhnika.
Logika & razvedrilna matematika 27
Nagradna logična naloga
Štiri prijateljice (Iva, Maja, Dora, Nina) imajo z razlicnine konje (Blisk, Tornado, Mistral, King), ki
so razlicnih pasem (frizijec, vranec, rjavec, islandec).
Za vsako doloci ime, ime konja in njegovo pasmo.
1. Nina nima ne islandca ne vranca.
2. King ni ne vranec ne frizijec.
3. Tornado je islandec.
4. Nina nima Kinga.
5. Iva nima Kinga.
6. Iva nima vranca.
7. Blisk ni vranec.
8. Dora nima vranca.
Iva
Maja
Dora
Nina
frizijec
vranec
rjavec
islandec
Bli
sk
Torn
ado
Mis
tral
Kin
g
friz
ijec
vra
nec
rjav
ec
isla
ndec
Iva
Maja
Dora
Nina
ime konj pasma
Rešitev nagradne uganke pošljite do 15.8.2019 na naslov Logika d.o.o., Svetčeva pot 11, 1241
Kamnik, s pripisom »Nagradna uganka«. Prosimo vas, da napišete domači in ne šolski naslov, da
vam, če boste izžrebani, pošljemo nagrado.
Če pošiljate v istem pismu tudi rešitev drugih nagradnih ugank, na vsako rešitev napišite svoj
naslov.
Logika & razvedrilna matematika 28
Nagradni labirint
Dan je Zemljin zemljevid v obliki mreže kocke. Na njem imamo labirint, kjer so pregrade rdeče
črte. Poveži piki cianidne barve, tako da povezave ne bodo sekale rdečih črt.
Rešitev nagradne uganke pošljite do 15.8.2019 na naslov Logika d.o.o., Svetčeva pot 11, 1241
Kamnik, s pripisom »Labirint«. Prosimo vas, da napišete domači in ne šolski naslov, da vam, če
boste izžrebani, pošljemo nagrado Če pošiljate v istem pismu tudi rešitev drugih nagradnih ugank,
na vsako rešitev napišite svoj naslov.
Logika & razvedrilna matematika 29
Nagradna naloga v esperantu
Kvar amikinoj (Belindo, Olivo, Gerda, Sonja) kun diversaj familiaj nomoj (Metla, Li, Dupont,
MacDonald) havas diversajn profesiojn (artistino, instruistino, policistino, verkistino).
Divenu iliajn nomojn, familiajn nomojn kaj profesiojn.
1. Sonja ne estas policistino.
2. La familia nomo de Olivo estas nek Li nek MacDonald.
3. Sinjorino MacDonald estas nek verkistino nek instruistino.
4. La familia nomo de Sonja ne estas MacDonald.
5. La profesio de sinjorino Dupont estas policistino.
6. Sonja ne estas verkistino.
7. Gerda ne estas artistino.
8. La profesio de sinjorino Li ne estas instruistino.
Rešitev nagradne uganke pošljite do 15.8.2019 na naslov Logika d.o.o., Svetčeva pot 11, 1241
Kamnik, s pripisom »Esperanto«. Prosimo vas, da napišete domači in ne šolski naslov, da vam, če
boste izžrebani, pošljemo nagrado. Če pošiljate v istem pismu tudi rešitev drugih nagradnih ugank,
na vsako rešitev napišite svoj naslov.
Logika & razvedrilna matematika 30
Modeli iz ploščic Na OŠ Kašelj že vrsto let organiziramo noč v knjižnici. V petek popoldne začnemo in končamo v
soboto popoldne. Z učenci izvajamo delavnice s področja gledališča, filma, geografije in vsako leto
se jim pridružimo tudi matematiki s svojo delavnico.
Letos smo si zadali, da bomo iz ploščic izdelali nenavadne, velike poliedre. Zanimanje je bilo
veliko, zato smo morali omejiti število učencev. Na spletu smo poiskali slike poliedrov. Nekaj idej
so prispevali tudi sodelavci Matheme. Naloga je bila za učence velik izziv. Z veliko vnemo so se
lotili dela. Delali so v parih ali skupinah, da so se lahko pogovorili in načrtovali delo. Razdelili so si
vloge: iskanje ploščic, barvno usklajevanje in sestavljanje poliedra. Vmes so se po želji zamenjali.
Kmalu so nastali prvi poliedri.
Sestavili so ozvezdene poliedre, velik dvanajsterec iz petkotnikov, velike poliedre z različnimi
vdrtinami. Na koncu so začeli sestavljati zapolnitev prostora s kockami.
Logika & razvedrilna matematika 32
Učenec iz 6. razreda in učenec iz 7. razreda sta sestavljala najbolj motiviran par. Medsebojno sta si
pomagala, svetovala, naredila veliko in bila zelo razočarana, ko smo morali zaključiti z delavnico.
Ponudila sem jima, da lahko v naslednje tednu prihajata po pouku k meni v učilnico in sestavita še
telesa za katera je zmanjkalo časa.
Dela sta se lotila z veliko natančnostjo. Ogledala sta si enobarvne slike poliedrov in se odločila,
kako bosta sestavila polieder iz več barv, kjer bo vse usklajeno. Nastalo je nekaj pravih umetnin.
Na koncu sta še nadgradila že začeto zapolnitev prostora s kvadrati.
Predloga, po kateri je izdelan polieder iz 420 trikotnih ploščic:
Barvno usklajen polieder izdelan po tem modelu:
Logika & razvedrilna matematika 36
Kocka H
1. slika 2. slika
Kocka H je kocka, ki je razdeljena na 11 delov, kot prikazuje 4. slika.
3. slika 4. slika
5. slika
Logika & razvedrilna matematika 37
6. slika 7. slika 8. slika
9. slika 10. slika 11. slika
12. slika 13. slika
14. slika 15. slika
Logika & razvedrilna matematika 39
22. slika 23. slika
24. slika 25. slika
26. slika 27. slika
27. slika prikazuje leseno skulpturo poliedra, ki jo je ustvaril Franc Savnik, ki je bil študent prof.
Bilinskega v letu 1959.
Matematika kocke H
Kocka H je geometrijski model za formulo (x+y)3=x3+3xy(x+y)+y3, kjer je x=1 y= (zlato
število). Tedaj velja 2=1+ in 3=(+1)=2+1.
Sledi (1+)3=3+32+3+1=3+3(+1)+1=43+1, torej obstaja razdelitev te kocke z 1+ v štiri
kocke z robom in eno z robom 1. S kocko H lahko sestavimo le eno kocko z robom . Lahko pa
sestavimo 4 kvadre dimenzij 1(+1) (5. slika).
Prostornina splošnega poliedra Bilinskega (RD2, rombskega dvanajsterca 2. vrste) je polovica
prostornine kvadra na spodnji sliki, d1d2(d1+d2)/2.
Logika & razvedrilna matematika 40
d 1
d 2
d 1 d 2 2
Strani Bilinskijevega dvanajsterca so skladni rombi, ki imajo zlato število za razmerje med
diagonalama. V našem primeru vzamemo d1=2 (=zlato število), d2=2, prostornina je torej
8(1+)/2=42=43. Pričakujemo, da lahko četrtino dvajseterca razdelimo in iz delov sestavimo
kocko z robom . V resnici smo našli takšno razdelitev v 4 dele (12. slika).
Naloge:
1. Izračunaj 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (poenostavi na obliko a+b, kjer sta a in b racionalni števili).
2. Pokaži, da velja +2=3, 2+3=4, n+n+1=n+2, kjer je n naravno število.
Logika & razvedrilna matematika 41
3. Pokaži, da je 1/=-1.
4. Izračunaj (2)3. Pokaži, da velja (2(+1))3=6(43)+8(2(+1)).
5. Sestavi dve polovici poliedra RD2, nato pa preuredi dele, tako da dobiš kvader (10. in 11. slika).
Identiteta za prostornino je 12(2+2)=43=8+4.
6. Uporabi prejšnje primere in se prepričaj da imata dva poliedra RD2 skupaj prostornino, enako
prostornini kocke z robom 2.
7. Izračunaj prostornine delcev kocke H. Šest delov so osmine poliedra RD2.
8. Koliko so dimenzije kvadrov na 16. in 17. sliki?
9. Koliko je prostornina luknje v obliki koničastega romboedra na 21. sliki?
10. Če primerno združimo dela na 25. sliki, bomo dobili kocko brez dveh manjših kock v
nasprotnih ogliščih. Koliko je prostornina luknje v obliki ploščatega romboedra v tej kocki?
11. Uporabi rezultata iz 10. in 11. primera in pokaži, da je prostornina poliedra RD2 enaka skupni
prostornini dveh koničastih in dveh ploščatih romboedrov. Še več, polieder RD2 lahko sestavimo iz
teh romboedrov. To da identiteto 2(2+22)=43=8+4.
12. Izračunaj prostornino poševnih prizem na 14. in 15. sliki.
13.Koliko različnih kvadrov lahko sestaviš, če uporabiš vse dele razen kocke?
Literatura:
[1] Izidor Hafner "Geometric Analog of Cube of Sum"
http://demonstrations.wolfram.com/GeometricAnalogOfCubeOfSum/
Wolfram Demonstrations Project
Published: February 21 2019
[2] Izidor Hafner "Dissecting a Large Cube into a Bilinski Dodecahedron and a Small Cube"
http://demonstrations.wolfram.com/DissectingALargeCubeIntoABilinskiDodecahedronAndASmall
Cube/
Wolfram Demonstrations Project
Published: February 26 2019
[3] Izidor Hafner "Dissection of a Cube to a Quarter of a Rhombic Dodecahedron of the Second
Kind"
http://demonstrations.wolfram.com/DissectionOfACubeToAQuarterOfARhombicDodecahedronOf
TheSecond/
Wolfram Demonstrations Project
Published: March 7 2011
Izidor Hafner
Logika & razvedrilna matematika 42
Rešitve Barvni sudoku 1.
6
5
4
2
1
3
1
3
5
6
4
2
2
4
3
1
6
5
4
2
1
3
5
6
3
1
6
5
2
4
5
6
2
4
3
1
1
4
2
3
4
1
3
2
3
2
1
4
2
3
4
1
1
3
4
2
4
2
1
3
2
1
3
4
3
4
2
1
2
1
3
4
5
3
5
4
1
2
4
2
5
3
1
5
4
1
2
3
1
3
2
5
4
3
6
2
1
5
4
5
1
6
4
2
3
4
2
5
3
6
1
1
5
3
6
4
2
6
3
4
2
1
5
2
4
1
5
3
6
2
3
4
1
1
4
3
2
3
1
2
4
4
2
1
3
3
1
4
2
1
3
2
4
4
2
3
1
2
4
1
3
2
3
4
1
3
2
1
4
1
4
2
3
4
1
3
2
3
2
1
4
2
3
4
1
1
4
3
2
4
1
2
3
1
3
4
2
3
1
2
4
4
2
1
3
2
4
3
1
2
3
1
4
1
4
2
3
4
2
3
1
3
1
4
2
2
3
1
4
4
1
3
2
1
2
4
3
3
4
2
1
Logika & razvedrilna matematika 43
2.
3
2
4
1
2
3
1
4
4
1
2
3
1
4
3
2
1
6
2
3
5
4
2
5
1
4
3
6
3
4
6
5
1
2
5
3
4
2
6
1
6
2
3
1
4
5
4
1
5
6
2
3
3
5
4
2
1
2
4
1
3
5
1
2
5
4
3
4
1
3
5
2
5
3
2
1
4
4
2
1
5
3
6
5
6
2
3
1
4
1
3
4
6
5
2
3
5
6
2
4
1
2
1
3
4
6
5
6
4
5
1
2
3
3
2
5
1
4
1
5
4
2
3
4
3
2
5
1
2
4
1
3
5
5
1
3
4
2
3
1
4
2
1
3
2
4
2
4
1
3
4
2
3
1
4
3
1
2
1
4
2
3
3
2
4
1
2
1
3
4
5
2
4
3
6
1
1
4
2
6
3
5
6
3
1
5
2
4
2
6
5
4
1
3
3
5
6
1
4
2
4
1
3
2
5
6
4
3
2
5
1
5
2
1
3
4
1
4
5
2
3
2
1
3
4
5
3
5
4
1
2
5
1
4
2
3
4
2
3
1
5
3
5
1
4
2
1
3
2
5
4
2
4
5
3
1
5
2
1
3
4
3
1
4
5
2
4
3
2
1
5
1
4
5
2
3
2
5
3
4
1
3
4
1
2
2
1
3
4
1
2
4
3
4
3
2
1
Logika & razvedrilna matematika 44
Latinski kvadrati
B A C D EA D E C BE C D B AC B A E DD E B A C
A D C B
B C D A
D B A C
C A B D
D B C A
C A B D
A C D B
B D A C
E A D B CD B A C EB C E A DC D B E AA E C D B
C B D E AE A B C DB C A D EA D E B CD E C A B
E D C A BA C B E DB E D C AC B A D ED A E B C
C A B D
B D A C
D B C A
A C D B
D B A C
A D C B
B C D A
C A B D
C A D B
B C A D
D B C A
A D B C
E B A D CC A D B EA E B C DD C E A BB D C E A
C B D A
B C A D
D A C B
A D B C
A C B D
D B A C
B D C A
C A D B
Logika & razvedrilna matematika 45
Sudoku s črkami
D
D
A
A
B
B
A
D
C
C
C
B
B
C
D
A
3
2
4
1
2
1
3
4
1
4
2
3
4
3
1
2
D
B
C
B
C
B
C
D
A
A
A
A
D
B
D
C
4
3
2
1
1
4
3
2
2
1
4
3
3
2
1
4
B
A
C
A
B
B
D
C
B
A
D
D
C
A
D
C
2
4
3
1
3
1
4
2
4
2
1
3
1
3
2
4
A
B
B
A
D
D
C
D
D
B
A
C
A
B
C
C
2
3
1
4
3
1
4
2
4
2
3
1
1
4
2
3
D
B
A
C
B
B
C
C
A
D
A
A
B
D
C
D
3
4
1
2
2
3
4
1
4
1
2
3
1
2
3
4
B
C
A
B
A
D
C
A
D
D
B
B
C
A
C
D
3
4
2
1
4
2
1
3
1
3
4
2
2
1
3
4
D
A
B
D
D
B
C
D
A
A
A
B
B
C
C
C
3
1
4
2
1
3
2
4
4
2
3
1
2
4
1
3
C
C
B
C
B
C
B
D
A
A
A
D
D
B
A
D
4
2
3
1
2
3
1
4
3
1
4
2
1
4
2
3
D
B
D
A
C
C
C
B
D
C
D
B
B
A
A
A
1
3
2
4
2
4
3
1
3
1
4
2
4
2
1
3
A
D
B
A
B
D
C
C
B
A
C
C
D
D
A
B
3
4
2
1
4
3
1
2
1
2
3
4
2
1
4
3
C
A
B
D
C
A
B
B
A
D
D
D
C
C
B
A
3
2
1
4
1
3
4
2
4
1
2
3
2
4
3
1
D
D
A
D
A
B
C
C
B
C
A
A
B
D
B
C
2
1
4
3
3
2
1
4
4
3
2
1
1
4
3
2
Logika & razvedrilna matematika 47
Razpored znakov
B A C A B C
C D B A C D B A
B E D A C C E A B D
D E A B C E C D B A
Gobelini
1
1
1, 1
1, 1
1, 1
1, 1, 1
3 1 1 1 3
3
3
5
3
1 4 4 4 1
1, 1
2, 2
1 1
1
1
1
1
1, 1
1, 1
3
1, 1
4 1 4
3
1, 1, 1
1
1
1 1 4 1 1
1, 1
1, 1
1
1
1 1 2 1 1
3
1, 1
3
3
4 1
2
4
5
1
1
1 1 3 1 1
1
5
3
5
1
1
3 4 3 1
1
1
5
1 1 1
1
1 1
3
1, 1, 1
1, 1, 1
1
1
1 2
1
1 1
1
Logika & razvedrilna matematika 48
Križne vsote
1 2
5 7 8
3 8
4 1
9 4
6 93
1120
2111
55
13
8 9
2 4 9 4
8 7 9 2 1
4 9 8
2 5
10 2117
11 56
1113
2215 12
1121
7
6 1
2 3 1
9 2
8 13
7
3
6
11
9 7
4 3 1
5 3
13 15
16
4
8
8
3 9
2 7 9
3 1
2 5
5 16
12
14
18
6
4
7
2 3
9 1 7
1 7
4 9
11 4
5
12
17
16
8
13
8 5
7 9 6
7 9
2 9
1 3
15 1413
1322
1216
1211
4
9 7
7 2 5
1 2
8 9
1 2
16 916
614
113
1117
3
1 5
4 3 6 2
2 8 7 1 3
5 4 9
2 8
5 106
7 57
138
2410 11
618
10
2 1
9 2 3
9 7
5 1
11 3
3
17
14
8
16
6
4 2
6 1 7
8 4
3 1
2 9
10 36
1514
912
104
11
7 9
6 4 3 9
6 3 7 1 2
6 1 2
3 4
13 1916
4 1110
912
139 10
49
7
Logika & razvedrilna matematika 49
Križni produkti
5 9
2 5 3 2
7 2 8 6 5
8 2 7
9 4
10 315
45
18 10
10
16
6
224
14 240
18
112
36
9 3
5 9 4
8 7
5 8
9 6
45 27
27
32
180
315
56
48
40
54
2 9 7
8 2 6
16 18 42
126
96
5 3
7 2 4 3
6 8 5 9 6
4 3 7
7 8
35 36
15
36 18
14
32
12
280
48 270
21
84
56
7 6
9 4
63 24
42
36
7 3
4 6
28 18
21
24
Logika & razvedrilna matematika 50
Labirint na kocki
1 2
3
4
5
67
8
91011
12
131415
16
17 18
19 20
21
22
2324
2526
27
28
2930
31
32
33 34
3536
37 38
3940
4142
43
4445
46
47
48 49
50
51
52
53
54 55 56
57
58 59
60
61
62
63
64 65
66
6768
69
70 71
7273 74
7576
12345
6
7
8
9
10 11
12 13
14
15
16 17
18
19 20 21
22
232425
26
27 28
29303132333435
36
37 38
39
40 41 42
43
44
45
4647
48 49
5051
52
53
5455
5657
5859
60
1
2 3
4 5
6 7
8
9
10
11
1213
14
15 16 17 18
19 20
21
22 23
24
25
2627
28
29
30
31
32 33
34
35
36 37 38 39 40
414243
44
45 46
47 48
49
50 51
5253
1
2 3 4 5
6
7
8
9
10
1112
13
14
1516
17
1819
2021
22
23 24
25 26
27 28 29 30
3132
33 34
35
3637
3839
40
41
4243
44
45 46 47
484950
51
52 53 54 55 56
575859
12
3 4 5
6 7
8
9 10
11 12
1314
15 16
171819
20 21
22232425
26 27
28
29
30 31 32 33 34 35 36
373839
40 41
42 43
44
45
4647
48 49 50
5152 53
5455 56
5758
5960
61 62
63 64
65
6667
68
1
2
34
5
6
78 9 10 11
12
13 14
15
16
1718
19 20
2122
232425
26272829
30313233
3435
36
37 38
39
40 41
42
43 44 45
46
47 48 49
505152 53545556
5758
5960
6162
63
64 65 66
67
6869
70
Logika & razvedrilna matematika 51
Labirinti na enostavnih poliedrih
1
2 3 4
56
7
89
10
11
12 13
14 15
16
17 18
19
20
21
22
23
24 25
26
27 28 29
30 31 32
3334
35
36 37 38
39
40
414243
44
45 46
47
48 49 50
5152
53
54
55
1234
5 6 7 8 9
10 11
12
13
14
15
161718
19 20 21
2223
24
252627
28
29 30
31 32
33 34 35
36
37
3839
40
41
42 43 44
4546
47
48 49
50
51
52 53
54
5556
57
58
59 60
61 62
63 64
65
1
2
34
56
78 9
10 11
12
1314
15
1617
18
19
20
21
22
23
24
25
26
2728
29
30
31
32
33
3435
36 37
3839
4041
42 43 1 2
34
5
6
7
8
9
10 11
12
13
14
1516
171819
20
2122
23
24
25
26
27
28
29
3031 32
3334
1
2
3
45
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1516
17
18 19
20
21
2223 24
25 26
27
28
2930
31
32
33
34
35
36
3738
3940
41
12
34
56 7
8
9 10 11
1213
14
15
161718
19
20
21 22 2324
25
2627
28
29
30
31
3233
3435
3637
3839
40
4142
4344
45
46
47
48
49
Logika & razvedrilna matematika 52
Grupe
Linearne grupe:
a) {6, 1, 4, 3, 5, 7, 2}, {7, 6, 4, 3, 5, 2, 1}
b) {2, 6, 4, 3, 1, 7, 5}, {6, 2, 5, 7, 3, 4, 1}
Prostorska predstavljivost
a)
1 2 3
1
2
3
4
5
8 11 12
1 1 12
7 1 5
3 2 5
8 9 6
b)
1 2 3
1
2
3
4
5
4 3 1
1 7 1
1 1 5
1 4 1
6 6 5
Labirinti na robovih poliedra
1.
6
8
7
3
1
2
6
7 2
1
7
8
3
2
1
46
3 8
5
3
5
4
1
5
8
6
4
{2,3,8,6,1}
Logika & razvedrilna matematika 53
2.
12
8
11
14
14
1312
5
8
12
8
611
11
10
14
7
9
13
14
10
45
12
13
9
1
2
6
8
5
6
2
3
10
11
7
4
9
5 4
11
3
2
3
7
10
1
4
7
3
{3,7,10,14,12,5,1,2} Labirinta na zemljevidu 1.
1
2
3
4
5
6
7
89
10
1112
13
14
15
16
17
18
19
20 21 22
2324
25
26
2728
2930
3132
33
34
3536
37
38
39 40
41
42
43 44
45
Logika & razvedrilna matematika 54
2.
1
2 3
4
5
67
8
9
10
11
12
13
14
15
1617
18
19
20
21
22
23 24
25
26
27
28
2930
3132
33
3435
36
37
38
39
40
Odstranjene kocke
52 83 53
89 51 54
56 77 74
97 81 57
Kocki določi mrežo {4, 2, 4, 2, 1, 1}
Logika & razvedrilna matematika 55
Labirint v kvadru
12 3
4 56
789
10 11 12
1314
15
161718
1 2
3 4
5 6
7
89
1011 12 13
1415
16
17
1 23
4
5 6
7 8 9
1011
121314 1516
1 2 3
456 7 8
910 11 12
13
14 15
Logika & razvedrilna matematika 56
Labirint na ploskvah
1
23
45
6
7 8 9
10 11 12
13 14 15 16
1718
19202122
23 24 25 26 27
28 29
30
31
32 33
34
1
2
3 4
567
8
910
11 12
13
14
1516
17
18
1920
21
22
2324
25
26
27
2829
30
313233
3435
36
37
12
3
4 5
6
7 8
9 10 11
12 13
14151617
18
19 20 21 22
23
1
2 3
4
567
89
10 11
12131415
16 17 18
19 20
21222324
252627
28 29
303132
333435
3637
3839
4041
42 43
Logika & razvedrilna matematika 58
Labirinti na mreži valja in stožca 1.
12
3
45
6
78
9
1011
1213
14
151617
1819
20 21 22
23 24 25
2627
28
29 30
3132
33 34
35 36
37
38
3940
41
4243
44
4546
474849
5051
52
53
2.
1
2 3
4
5
67
8 9
10
1112
13
14
15
16
17 18
19
20
21
22
2324
25
26
2728
29
3031
323334
353637
383940
4142
43
4445
46
47484950
3.
1 2 3 4
5
67
8
9
1011121314
15
16
1718
19
20
21 22
2324
25
26
272829
303132
Logika & razvedrilna matematika 59
Analiziraj pogoje nalog
Izdaja: Založniško podjetje LOGIKA d.o.o., Svetčeva pot 11, 1241 Kamnik. Poslovni račun pri NLB:
02312-0016592829. Davčna številka: SI56917309. Podjetje je zavezanec za DDV po zakonu o DDV.
Za izdajatelja: Izidor Hafner. E-mail: [email protected]
Spletna stran: http://www.logika.si.
Revija Logika & razvedrilna matematika je vpisana v register medijev pri Ministrstvu za kulturo pod številko 759. Strokovni pokrovitelj: Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko - oddelek za teoretično
računalništvo.
Glavni in odgovorni urednik: dr. Izidor Hafner (http://mat03.fe.uni-
lj.si/html/people/izidor/homepage/)
Člana časopisnega sveta: prof. dr. Tomaž Pisanski in Darjo Felda, prof. Recenzent: Vilko Domajnko, prof.
Sodelavci: mag. Urša Demšar, dr. Gregor Dolinar, Monika Kavalir, dr. Meta Lah, Boštjan
Kuzman,Teja Oblak, Hiacinta Pintar, Maja Pohar, mag. Katka Šenk in dr. Aleš Vavpetič. Oblikovanje: Ana Hafner
Jezikovni pregled: Besana
Za objavljene prispevke ne plačujemo honorarjev.
© 2019 LOGIKA d.o.o. ISSN 2350-532X
LOGIKA & RAZVEDRILNA MATEMATIKA, letnik XXVIII, št. 4 od 4, 2018/2019
Elektronska izdaja. Cena revije: 0 €.