Logika biner (aljabar boolean, gerbang logika)

Logika BinerNugroho Adi Pramono

[email protected] [email protected]

terdiri

variabel biner

operasi logika

Variabel Biner

A, B, C

x, y, z

punya dua (dan hanya dua) kemungkinan nilai

0, 1

Operasi Logika

AND

OR

NOT

AND

x . y = z

x AND y is equal to z

x DAN y sama dengan z

xy = z

OR

x + y = z

x OR y is equal to z

x ATAU y sama dengan z

NOT

x’ = z

NOT x is equal to z

BUKAN x sama dengan z

(operasi komplemen)

Logika Biner ≠ Aritmatika Biner

1 + 1 = 10 -> satu tambah satu sama dengan dua(aritmatika)

1 + 1 = 1 -> satu ATAU satu sama dengan satu (logika)

Tabel Kebenaran

Gerbang Logika

Rangkaian elektronik

Beberapa input

Satu output

Gerbang Logika

Gerbang AND

Gerbang AND

Gerbang AND

Gerbang AND

Gerbang OR

Gerbang OR

Gerbang OR

Gerbang OR

Gerbang NOT

Gerbang NOT

The Timing Diagram

Bagaimana timing-diagram-nya

jika inputnya lebih dari dua

Aljabar Boolean

Definisi

S adalah himpunan

x, y adalah obyek

x ∈ S artinya x anggota S

y ∉ S artinya y bukan elemen S

Definisi

A = [1, 2, 3, 4]

Elemen himpunan A adalah angka 1, 2, 3, 4

Operator Biner

a * b = c

* adalah operator biner

untuk mendapatkan c dari pasangan (a, b)

syarat a,b,c ∈ S

* bukan operator biner jika a,b ∈ S dan c ∉ S

Postulat

Closure

Associative Law

Commutative Law

Identity Element

Inverse

Distributive Law

Closure

Closure, tertutup

untuk setiap a, b ∈ N

selalu ada c ∈ N

yang memenuhi a + b = c

N tidak tertutup jika menggunakan operator -

Associative Law

( x * y ) * z = x * ( y * z )

untuk semua x, y, z, ∈ S

Commutative Law

x * y = y * x

untuk semua x, y ∈ S

Identity Element

e * x = x * e = x untuk setiap x ∈ S

x + 0 = 0 + x = x untuk setiap x ∈ I

himpunan N tidak punya elemen identitas

Identity Element

e * x = x * e = x untuk setiap x ∈ S

x + 0 = 0 + x = x untuk setiap x ∈ I

himpunan N tidak punya elemen identitas

Inverse

jika S punya elemen identitas e

maka x ∈ S dikatakan punya invers y ∈ S

jika memenuhi x * y = e

Distributive Law

x * ( y . z ) = ( x * y ) . ( x * z )

Gunakan timing diagram !Bagaimanakah f dan g?

Gunakan timing diagram !Bagaimanakah f dan g?

Axioma

himpunan B

Axioma

bersifat tertutup untuk operator + dan .

Axioma

0 adalah elemen identitas untuk +

1 adalah elemen identitas untuk .

Axioma

operator + bersifat komutatif

x + y = y + x

Axioma

operator . bersifat komutatif

x . y = y . x

Axioma

operator + bersifat distributif

x . ( y + z ) = ( x . y ) + ( x . z )

Axioma

operator .bersifat distributif

x + ( y . z ) = ( x + y ) . ( x + z )

Axioma

untuk setiap x ∈ B

terdapat x’ ∈ B (komplemen)

sehingga x + x’ = 1

dan x . x’ = 0

Axioma

terdapat setidaknya dua elemen

x, y ∈ B

yang memenuhi x ≠ y

“Hati-hati terhadap sifat distributif”

Dualitas

kita dapat menukar OR dan AND dengan mengganti 0 dengan 1 atau sebaliknya

Dualitas

x + 0 = x

x . 1 = x

Dualitas

x + 1 = 1

x . 0 = 0

Dan dia hidup bahagia selama-lamanya...

F = A + B

Dan dia hidup bahagia selama-lamanya...

A B F

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

F = AB + B

Dan dia hidup bahagia selama-lamanya...

A B AB F

0 0 0 0

0 1 0 0

1 0 0 1

1 1 1 1

F = A + BC

Dan dia hidup bahagia selama-lamanya...

A B C BC F

0 0 0 0 0

0 0 1 0 0

0 1 0 0 0

0 1 1 1 1

1 0 0 0 1

1 0 1 0 1

1 1 0 0 1

1 1 1 1 1

–Johnny Appleseed

“Type a quote here.”

Dan dia hidup bahagia selama-lamanya...

Selesai

Dan dia hidup bahagia selama-lamanya...