L´ogica - fermat.azc.uam.mxfermat.azc.uam.mx/aguilarzavoznik/pdf/MD/Logica.pdf · La paradoja de Russel se puede expresar de las siguientes formas, ninguna es una proposicio´n:

Matematicas Discretas

Logica

Logica

Universidad Autonoma Metropolitana - Azcapotzalco

Alejandro Aguilar Zavoznik

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Logica

Proposiciones

Una proposicion es una frase que toma exactamente uno de losvalores verdadero o falso.

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Logica

Proposiciones

Una proposicion es una frase que toma exactamente uno de losvalores verdadero o falso.

◮ Hoy es lunes.

◮ ¡Auxilio!

◮ La puerta esta abierta y hace mucho calor.

◮ Manana va a llover.

◮ Esta frase es falsa.

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Proposiciones

La paradoja de Russel se puede expresar de las siguientesformas, ninguna es una proposicion:

◮ Paradoja del mentiroso.

◮ Paradoja del barbero.

◮ Paradoja de la omnipotencia.

◮ • La frase siguiente es verdadera.• La frase anterior es falsa.

◮ M = {x : x 6∈ x}.

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Proposiciones

Usaremos las letras minusculas para representar unaproposicion, por lo general, tomaremos las que se encuentrandespues de la p.

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Logica

Proposiciones


Una variable proposicional es una variable que puede tomar unvalor en el conjunto A = {V, F}.

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Logica

Proposiciones


Una variable proposicional es una variable que puede tomar unvalor en el conjunto A = {V, F}.

Podemos utilizar una variable proposicional para representaruna proposicion. Usaremos la letra mayuscula correspondiente ala que usamos para representar a la segunda. Por ejemplo, P esla variable asociada a p.

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Logica

Funciones logicas

Una funcion logica esf : An → A

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Logica

Funciones logicas

Conectores logicos

Una funcion logica unario es una funcion:

f : A → A

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Logica

Funciones logicas

Conectores logicos

Una funcion logica unario es una funcion:

f : A → A

Unicamente existen cuatro distintas:

f1(V ) = V

f1(F ) = V

f2(V ) = V

f2(F ) = F

f3(V ) = F

f3(F ) = V

f4(V ) = F

f4(F ) = F

A f1 y a f4 se les conoce como las funciones constantes. f2 es laidentidad y f4 la negacion.

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Funciones logicas

Para representar una funcion logica, se suelen usar tablas deverdad:

p f1 f2 f3 f4

V V V F F

F V F V F

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Funciones logicas

Una funcion logica binaria es

f : A2 → A,

existen dieciseis.

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Funciones logicas

Las primeras ocho son:

p q f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12

V V V V V V V V V V

V F V V V V F F F F

F V V V F F V V F F

F F V F V F V F V F

f5 - Constante (V).f6 - Disyuncion.f7 - Implicacion inversa.f8 - Proyeccion de p.

f9 - Implicacion.f10 - Proyeccion de q.f11 - Equivalencia.f12 - Conjuncion.

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Funciones logicas

Las otras ocho son:

p q f13 f14 f15 f16 f17 f18 f19 f20

V V F F F F F F F F

V F V V V V F F F F

F V V V F F V V F F

F F V F V F V F V F

f13 - Negacion de la conjuncion (nand).f14 - Disyuncion exclusiva (xor).f15 - Negacion de la proyeccion de q.f16 - Negacion de la implicacion.f17 - Negacion de la proyeccion de p

f18 - Proyeccion (de q)f19 - Negacion de la disyuncion (nor).f20 - Constante (F).

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Funciones logicas

De las funciones anteriores, las que nos interesaran son:

p ¬p

V F

F V

p q p ∨ q p ∧ q p ⇒ q p ⇔ q

V V V V V V

V F V F F F

F V V F V F

F F F F V V

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Funciones logicas

La negacion ¬ de una proposicion p es una frase que esverdadera cuando p es falsa y es falsa cuando p es verdadera.

La conjuncion ∧ es una proposicion que es verdadera cuando lasdos originales lo son.

La disyuncion ∨ es verdadera cuando al menos una de lasoriginales lo es.

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Funciones logicas

p q p ⇒ q

V V V

V F F

F V V

F F V

La implicacion es verdadera si el hechode que P = V tiene como consecuenciaQ = V .

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Funciones logicas

p q p ⇔ q

V V V

V F F

F V F

F F V

La equivalencia es verdadera si las dosproposiciones elementales lo son.

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Funciones logicas

Una cadena de sımbolos α es una formula bien formada si:

1 α es una proposicion atomica.

2 Si α es una formula bien formada, entonces ¬α tambien loes.

3 Si α1 y α2 son formulas bien formadas, y ◦ ∈ {∨,∧,⇒,⇔},entonces α1 ◦ α2 es una formula bien formada.

4 Si α es una formula bien formada, (α) tambien lo es.

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Funciones logicas

El sımbolo ≡ tiene la misma tabla de verdad que ⇔, pero loutilizaremos cuando queremos comparar dos formulas bienformadas.

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Funciones logicas

En ocasiones, una formula bien formada puede ser ambigua.Para evitar esto, usaremos paretesis siempre que sea necesarioaclarar que es lo que queremos expresar; sin embargo, se puedeusar el siguiente orden de las operaciones para que hacer loanterior no sea necesario.

¬∧∨⇒⇔

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Funciones logicas

En ocasiones, una formula bien formada puede ser ambigua.Para evitar esto, usaremos paretesis siempre que sea necesarioaclarar que es lo que queremos expresar; sin embargo, se puedeusar el siguiente orden de las operaciones para que hacer loanterior no sea necesario.

¬∧∨⇒⇔

Ası,

¬P ⇒ P ∨Q ∧R ≡ (¬p) ⇔(

(P ∧Q) ∨R)

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Funciones logicas

Si una proposicion es verdadera sin importar los valores quetoman las proposiciones atomicas, diremos que es unatautologıa.

Si siempre es falsa, diremos que es una contradiccion.

En cualquier otro caso, diremos que es una contingencia.

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Funciones logicas

Si una proposicion es verdadera sin importar los valores quetoman las proposiciones atomicas, diremos que es unatautologıa.

Si siempre es falsa, diremos que es una contradiccion.

En cualquier otro caso, diremos que es una contingencia.

El sımbolo V0 representa una tautologıa y F0 una contradiccion.

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Funciones logicas

1 * ¬(¬p) ≡ p.

2 (Conmutatividad de la conjuncin) p ∧ q ≡ q ∧ p.

3 * (Conmutatividad de la disyuncin) p ∨ q ≡ q ∨ p.

4 T (Contrapositiva) (p ⇒ q) ≡ (¬q ⇒ ¬p).

5 * (Forma disyuntiva de la implicacion) (p ⇒ q) ≡ (¬p ∨ q).

6 * (p ⇔ q) ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p).

7 (Leyes de De Morgan) ¬(p ∧ q) ≡ (¬p ∨ ¬q).

8 T (Leyes de De Morgan) ¬(p ∨ q) ≡ (¬p ∧ ¬q).

9 T (Ley de asociatividad de la conjuncin)(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r).

10 *(Ley de asociatividad de la disyuncin)(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r).

11 T (Leyes de distributividad) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r).

12 (Leyes de distributividad) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r).

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Funciones logicas

13 (Principio del tercero excluido) p ∨ ¬p ≡ V0

14 T (Principio de no contradiccion) ¬(p ∧ ¬p) ≡ V0.

15 (Principio de identidad) p ⇒ p ≡ V0.

16 (Leyes de idempotencia) p ∨ p ≡ p.

17 T(Leyes de idempotencia) p ∧ p ≡ p.

18 T(Leyes del neutro) p ∨ F0 ≡ p.

19 (Leyes del neutro) p ∧ V0 ≡ p.

20 (Leyes de dominacion) p ∨ T0 ≡ V0.

21 T(Leyes de dominacion) p ∧ F0 ≡ F0.

22 (Leyes de absorcion) p ∨ (p ∧ q) ≡ p.

23 T (Leyes de absorcion) p ∧ (p ∨ q) ≡ p.

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Funciones logicas

(1) ¬(1)p ¬p ¬(¬p)

V F V

F V F

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Logica

Funciones logicas

(1) ¬(1)p ¬p ¬(¬p)

V F V

F V F

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Logica

Funciones logicas

¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q

(1) ∧ (2) ¬(3) ¬(1) ¬(2) (5) ∨ (6)(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)p q p ∧ q ¬(p ∧ q) ¬p ¬q ¬p ∨ ¬q

V V V F F F F

V F F V F V V

F V F V V F V

F F F V V V V

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Logica

Funciones logicas

¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q

(1) ∧ (2) ¬(3) ¬(1) ¬(2) (5) ∨ (6)(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)p q p ∧ q ¬(p ∧ q) ¬p ¬q ¬p ∨ ¬q

V V V F F F F

V F F V F V V

F V F V V F V

F F F V V V V

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Logica

Funciones logicas

p ⇒ q ≡ ¬p ∨ q

¬(1) (4) ∨ (2)(1) (2) (3) (4) (5)p q p ⇒ q ¬p ¬p ∨ q

V V V F V

V F F F F

F V V V V

F F V V V

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Logica

Funciones logicas

p ⇒ q ≡ ¬p ∨ q

¬(1) (4) ∨ (2)(1) (2) (3) (4) (5)p q p ⇒ q ¬p ¬p ∨ q

V V V F V

V F F F F

F V V V V

F F V V V

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Logica

Funciones logicas

p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

(1) ⇔ (2) (1) ⇒ (2) (2) ⇒ (1) (4) ∧ (5)(1) (2) (3) (4) (5) (6)p q p ⇔ q p ⇒ q q ⇒ p (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

V V V V V V

V F F F V F

F V F V F F

F F V V V V

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Logica

Funciones logicas

p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

(1) ⇔ (2) (1) ⇒ (2) (2) ⇒ (1) (4) ∧ (5)(1) (2) (3) (4) (5) (6)p q p ⇔ q p ⇒ q q ⇒ p (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

V V V V V V

V F F F V F

F V F V F F

F F V V V V

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Logica

Funciones logicas

Funciones de verdad de una proposicion

Diremos que una f es la funcion de verdad asociada a la funcionlogica g

f : {0, 1}n → {0, 1}

g : An → A

si dada la biyeccion:

h : {0, 1} → {V, F}0 7→ F

1 7→ V

se cumplef = h−1 ◦ g ◦ h

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Funciones logicas

Dada una proposicion, existen varias reglas de correspondenciaque dan la misma funcion de verdad. Por ejemplo, para laproposicion p ∧ q:

f(P,Q) = PQ g(P,Q) = mın(P,Q)

f(0, 0) = g(0, 0) = 0f(0, 1) = g(0, 1) = 0f(1, 0) = g(1, 0) = 0f(1, 1) = g(1, 1) = 1

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Logica

Funciones logicas

Las variables que usaremos en las funciones de verdad tambienseran las letras mayusculas correspondientes a la proposicionasociada.

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Logica

Funciones logicas

Las variables que usaremos en las funciones de verdad tambienseran las letras mayusculas correspondientes a la proposicionasociada.

Notemos que si P = 0, P 2 = 0 y si P = 1, P 2 = 1. Por lo tanto,P 2 = P . En general P k = P para todo k ∈ Z

+.

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Funciones logicas

Usaremos la notacion FV (p) para denotar a la funcion deverdad de la proposicion p.

FV (¬p) =

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Logica

Funciones logicas


FV (¬p) = 1− P

FV (p ∧ q) =

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Logica

Funciones logicas


FV (¬p) = 1− P

FV (p ∧ q) = PQ

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Logica

Funciones logicas

p ∨ q ≡ ¬(

¬(p ∨ q))

= ¬(¬p ∧ ¬q)

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Logica

Funciones logicas

p ∨ q ≡ ¬(

¬(p ∨ q))

= ¬(¬p ∧ ¬q)

FV (p ∨ q) = FV(

¬(¬p ∧ ¬q))

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Logica

Funciones logicas

p ∨ q ≡ ¬(

¬(p ∨ q))

= ¬(¬p ∧ ¬q)

FV (p ∨ q) = FV(

¬(¬p ∧ ¬q))

= 1− FV (¬p ∧ ¬q)

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Logica

Funciones logicas

p ∨ q ≡ ¬(

¬(p ∨ q))

= ¬(¬p ∧ ¬q)

FV (p ∨ q) = FV(

¬(¬p ∧ ¬q))

= 1− FV (¬p ∧ ¬q)= 1− FV (¬p)FV (¬q)

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Logica

Funciones logicas

p ∨ q ≡ ¬(

¬(p ∨ q))

= ¬(¬p ∧ ¬q)

FV (p ∨ q) = FV(

¬(¬p ∧ ¬q))

= 1− FV (¬p ∧ ¬q)= 1− FV (¬p)FV (¬q)= 1− (1− P )(1−Q)

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Logica

Funciones logicas

p ∨ q ≡ ¬(

¬(p ∨ q))

= ¬(¬p ∧ ¬q)

FV (p ∨ q) = FV(

¬(¬p ∧ ¬q))

= 1− FV (¬p ∧ ¬q)= 1− FV (¬p)FV (¬q)= 1− (1− P )(1−Q)= 1− (1− P −Q+ PQ)

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Logica

Funciones logicas

p ∨ q ≡ ¬(

¬(p ∨ q))

= ¬(¬p ∧ ¬q)

FV (p ∨ q) = FV(

¬(¬p ∧ ¬q))

= 1− FV (¬p ∧ ¬q)= 1− FV (¬p)FV (¬q)= 1− (1− P )(1−Q)= 1− (1− P −Q+ PQ)= P +Q− PQ

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Logica

Funciones logicas

p ⇒ q ≡ ¬p ∨ q

FV (p ⇒ q) = FV (¬p ∨ q)

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Logica

Funciones logicas

p ⇒ q ≡ ¬p ∨ q

FV (p ⇒ q) = FV (¬p ∨ q)= FV (¬p) + FV (q)− FV (¬p)FV (q)

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Logica

Funciones logicas

p ⇒ q ≡ ¬p ∨ q

FV (p ⇒ q) = FV (¬p ∨ q)= FV (¬p) + FV (q)− FV (¬p)FV (q)= (1− P ) +Q− (1− P )Q

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Logica

Funciones logicas

p ⇒ q ≡ ¬p ∨ q

FV (p ⇒ q) = FV (¬p ∨ q)= FV (¬p) + FV (q)− FV (¬p)FV (q)= (1− P ) +Q− (1− P )Q= 1− P +Q−Q+ PQ

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Logica

Funciones logicas

p ⇒ q ≡ ¬p ∨ q

FV (p ⇒ q) = FV (¬p ∨ q)= FV (¬p) + FV (q)− FV (¬p)FV (q)= (1− P ) +Q− (1− P )Q= 1− P +Q−Q+ PQ

= 1− P + PQ

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Logica

Funciones logicas

p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

FV (p ⇔ q) = FV(

(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

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Logica

Funciones logicas

p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

FV (p ⇔ q) = FV(

(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

= FV (p ⇒ q)FV (q ⇒ p)

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Logica

Funciones logicas

p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

FV (p ⇔ q) = FV(

(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

= FV (p ⇒ q)FV (q ⇒ p)= (1− P + PQ)(1 −Q+ PQ)

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Logica

Funciones logicas

p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

FV (p ⇔ q) = FV(

(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

= FV (p ⇒ q)FV (q ⇒ p)= (1− P + PQ)(1 −Q+ PQ)= (1−Q)(1 − P + PQ) + PQ(1− P + PQ)= (1−Q)(1 − P + PQ) + PQ− P 2Q+ P 2Q2

= (1−Q)(1 − P + PQ) +✘✘✘✘✘PQ− PQ+ PQ

= (1−Q)(1 − P + PQ) + PQ

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Logica

Funciones logicas

p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

FV (p ⇔ q) = FV(

(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p))


= (1−Q)(1 − P + PQ) +✘✘✘✘✘PQ− PQ+ PQ

= (1−Q)(1 − P + PQ) + PQ

= 1− P + PQ−Q+ PQ✘✘✘✘✘✘✘−PQ✁2 + PQ

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Logica

Funciones logicas

p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

FV (p ⇔ q) = FV(

(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p))


= (1−Q)(1 − P + PQ) +✘✘✘✘✘PQ− PQ+ PQ

= (1−Q)(1 − P + PQ) + PQ

= 1− P + PQ−Q+ PQ✘✘✘✘✘✘✘−PQ✁2 + PQ

= 1− P −Q+ 2PQ

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Logica

Funciones logicas

En resumen:

FV (¬p) = 1− P

FV (p ∧ q) = PQ

FV (p ∨ q) = P +Q− PQ

FV (p ⇒ q) = 1− P + PQ

FV (p ⇔ q) = 1− P −Q+ 2PQ

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Logica

Funciones logicas

Dada una formula bien formada q con proposiciones atomicasp1, . . . , pk, existe un unico polinomio f(P1, . . . , Pk) donde cadauna de las variables no aparece con una potencia mayor que 1,tal que los valores de verdad de q sean los de la funcion f .

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Logica

Funciones logicas

Dada una formula bien formada q con proposiciones atomicasp1, . . . , pk, existe un unico polinomio f(P1, . . . , Pk) donde cadauna de las variables no aparece con una potencia mayor que 1,tal que los valores de verdad de q sean los de la funcion f .

Por lo anterior, para decidir si dos formulas bien formadas p, qson equivalentes, basta ver que sus polinomios correspondientesson iguales.

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Logica

Funciones logicas

Usaremos funciones de verdad para demostrar algunas de laspropiedades de los conectores logicos:

2 p ∧ q ≡ q ∧ p.

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Logica

Funciones logicas


2 p ∧ q︸︷︷︸

f

≡ q ∧ p︸︷︷︸

g

.

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Logica

Funciones logicas


2 p ∧ q︸︷︷︸

f

≡ q ∧ p︸︷︷︸

g

.

f = FV (p ∧ q)

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Logica

Funciones logicas


2 p ∧ q︸︷︷︸

f

≡ q ∧ p︸︷︷︸

g

.

f = FV (p ∧ q) = PQ.

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Logica

Funciones logicas


2 p ∧ q︸︷︷︸

f

≡ q ∧ p︸︷︷︸

g

.

f = FV (p ∧ q) = PQ.

g = FV (q ∧ p)

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Logica

Funciones logicas


2 p ∧ q︸︷︷︸

f

≡ q ∧ p︸︷︷︸

g

.

f = FV (p ∧ q) = PQ.

g = FV (q ∧ p) = QP.

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Logica

Funciones logicas


2 p ∧ q︸︷︷︸

f

≡ q ∧ p︸︷︷︸

g

.

f = FV (p ∧ q) = PQ.

g = FV (q ∧ p) = QP.

f = PQ = QP = g

Como el producto en Z es conmutativo, entonces f = g. Por lotanto, las afirmaciones son equivalentes.

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Logica

Funciones logicas

7 ¬(p ∧ q)︸︷︷︸

f

≡ ¬p ∨ ¬q︸︷︷︸

g

.

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Logica

Funciones logicas

7 ¬(p ∧ q)︸︷︷︸

f

≡ ¬p ∨ ¬q︸︷︷︸

g

.

f = FV(

¬(p ∧ q))

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Logica

Funciones logicas

7 ¬(p ∧ q)︸︷︷︸

f

≡ ¬p ∨ ¬q︸︷︷︸

g

.

f = FV(

¬(p ∧ q))

= 1− FV (p ∧ q)

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Logica

Funciones logicas

7 ¬(p ∧ q)︸︷︷︸

f

≡ ¬p ∨ ¬q︸︷︷︸

g

.

f = FV(

¬(p ∧ q))

= 1− FV (p ∧ q)= 1− PQ

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Logica

Funciones logicas

7 ¬(p ∧ q)︸︷︷︸

f

≡ ¬p ∨ ¬q︸︷︷︸

g

.

f = FV(

¬(p ∧ q))

= 1− FV (p ∧ q)= 1− PQ

g = FV (¬p ∨ ¬q)

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Logica

Funciones logicas

7 ¬(p ∧ q)︸︷︷︸

f

≡ ¬p ∨ ¬q︸︷︷︸

g

.

f = FV(

¬(p ∧ q))

= 1− FV (p ∧ q)= 1− PQ

g = FV (¬p ∨ ¬q)= FV (¬p) + FV (¬q)− FV (¬p)FV (¬q)

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Logica

Funciones logicas

7 ¬(p ∧ q)︸︷︷︸

f

≡ ¬p ∨ ¬q︸︷︷︸

g

.

f = FV(

¬(p ∧ q))

= 1− FV (p ∧ q)= 1− PQ

g = FV (¬p ∨ ¬q)= FV (¬p) + FV (¬q)− FV (¬p)FV (¬q)= (1− P ) + (1−Q)− (1− P )(1−Q)

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Logica

Funciones logicas

7 ¬(p ∧ q)︸︷︷︸

f

≡ ¬p ∨ ¬q︸︷︷︸

g

.

f = FV(

¬(p ∧ q))

= 1− FV (p ∧ q)= 1− PQ

g = FV (¬p ∨ ¬q)= FV (¬p) + FV (¬q)− FV (¬p)FV (¬q)= (1− P ) + (1−Q)− (1− P )(1−Q)= 2✟✟−P−✓✓Q− 1 +��P + ✓✓Q− PQ

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Logica

Funciones logicas

7 ¬(p ∧ q)︸︷︷︸

f

≡ ¬p ∨ ¬q︸︷︷︸

g

.

f = FV(

¬(p ∧ q))

= 1− FV (p ∧ q)= 1− PQ


= 1− PQ

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Logica

Funciones logicas

7 ¬(p ∧ q)︸︷︷︸

f

≡ ¬p ∨ ¬q︸︷︷︸

g

.

f = FV(

¬(p ∧ q))

= 1− FV (p ∧ q)= 1− PQ


= 1− PQ

Como f = g, se cumple la propiedad.

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Logica

Funciones logicas

7 p ∨ (q ∧ r)︸︷︷︸

f

≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)︸︷︷︸

g

.

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Logica

Funciones logicas

7 p ∨ (q ∧ r)︸︷︷︸

f

≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)︸︷︷︸

g

.

f = FV(

p ∨ (q ∧ r))

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Logica

Funciones logicas

7 p ∨ (q ∧ r)︸︷︷︸

f

≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)︸︷︷︸

g

.

f = FV(

p ∨ (q ∧ r))

= FV (p) + FV (q ∧ r)− FV (p)FV (q ∧ r)

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Logica

Funciones logicas

7 p ∨ (q ∧ r)︸︷︷︸

f

≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)︸︷︷︸

g

.

f = FV(

p ∨ (q ∧ r))

= FV (p) + FV (q ∧ r)− FV (p)FV (q ∧ r)= P +QR− P (QR)

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Logica

Funciones logicas

7 p ∨ (q ∧ r)︸︷︷︸

f

≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)︸︷︷︸

g

.

f = FV(

p ∨ (q ∧ r))

= FV (p) + FV (q ∧ r)− FV (p)FV (q ∧ r)= P +QR− P (QR)= P +QR− PQR

36 / 36


Logica

Funciones logicas

7 p ∨ (q ∧ r)︸︷︷︸

f

≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)︸︷︷︸

g

.

f = FV(

p ∨ (q ∧ r))


g = FV(

(p ∨ q) ∧ (p ∨ r))

36 / 36


Logica

Funciones logicas

7 p ∨ (q ∧ r)︸︷︷︸

f

≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)︸︷︷︸

g

.

f = FV(

p ∨ (q ∧ r))


g = FV(

(p ∨ q) ∧ (p ∨ r))

= FV (p ∨ q)FV (p ∨ r)

36 / 36


Logica

Funciones logicas

7 p ∨ (q ∧ r)︸︷︷︸

f

≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)︸︷︷︸

g

.

f = FV(

p ∨ (q ∧ r))


g = FV(

(p ∨ q) ∧ (p ∨ r))

= FV (p ∨ q)FV (p ∨ r)= (P +Q− PQ)(P +R− PR)

36 / 36


Logica

Funciones logicas

7 p ∨ (q ∧ r)︸︷︷︸

f

≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)︸︷︷︸

g

.

f = FV(

p ∨ (q ∧ r))


g = FV(

(p ∨ q) ∧ (p ∨ r))


= (P✁2 +✘✘✘✘✘✘PR− P✁2R) + (Q− PQ)(P +R− PR)

36 / 36


Logica

Funciones logicas

7 p ∨ (q ∧ r)︸︷︷︸

f

≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)︸︷︷︸

g

.

f = FV(

p ∨ (q ∧ r))


g = FV(

(p ∨ q) ∧ (p ∨ r))


= (P✁2 +✘✘✘✘✘✘PR− P✁2R) + (Q− PQ)(P +R− PR)

= P +✟✟PQ+QR−PQR−✚✚✚P✁2Q+PQR− PQR✁2

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Logica

Funciones logicas

7 p ∨ (q ∧ r)︸︷︷︸

f

≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)︸︷︷︸

g

.

f = FV(

p ∨ (q ∧ r))


g = FV(

(p ∨ q) ∧ (p ∨ r))


= (P✁2 +✘✘✘✘✘✘PR− P✁2R) + (Q− PQ)(P +R− PR)


= P +QR− PQR

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Logica

Funciones logicas

7 p ∨ (q ∧ r)︸︷︷︸

f

≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)︸︷︷︸

g

.

f = FV(

p ∨ (q ∧ r))


g = FV(

(p ∨ q) ∧ (p ∨ r))


= (P✁2 +✘✘✘✘✘✘PR− P✁2R) + (Q− PQ)(P +R− PR)


= P +QR− PQR

Como f = g, se cumple la propiedad.

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L´ogica - fermat.azc.uam.mxfermat.azc.uam.mx/aguilarzavoznik/pdf/MD/Logica.pdf · La paradoja de Russel se puede expresar de las siguientes formas, ninguna es una proposicio´n:

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