1 Logica del primo Logica del primo ordine ordine Antonella Santone Nella logica proposizionale un atomo rappresenta una frase dichiarativa che può essere vera o falsa Molte idee NON possono essere trattate in questo semplice modo Ragionamento Esempio: “Ogni uomo è mortale. Poiché Confucio è un uomo, allora è mortale” p: “Ogni uomo è mortale” q: “Confucio è un uomo” r: “Confucio è mortale” Ragionamento corretto ma r non è conseguenza logica dip e q Le strutture dip, q e r non vengono utilizzate nella logica proposizionale Logica I ordine Logica I ordine T T T T F F T T T T F T T F F T T T T F T F T F T T F F T F F F (p∧q)→ →r r q p Sintassi Sintassi Insieme finito Cdi simboli di costante {c1 , c2 , …, cn } Insieme finito Vdi simboli di variabile {X1 , X2 , …, Xm } Insieme finitoFdi simboli di funzione {f1 , f2 , …, fk } Insieme finito Pdi simboli di predicato {p 1 , p 2 , …, p l} Connettivi: ¬ ¬ ¬ ¬, ∧ ∧ ∧ ∧, ∨ ∨ ∨ ∨, →, ↔ ↔ ↔ ↔ Quantificatori: ∀ ∀ ∀ ∀,∃ ∃ ∃ ∃ Parentesi: ( ) Costanti & Variabili Costanti & Variabili Costanti: singole entità del dominio Esempio: maria,giovanni(iniziale minuscola) Variabili: entità non note del dominio (iniziale maiuscola) Esempio: X, YFunzioni & Predicati Funzioni & Predicati Funzione n-aria: individua univocamente un oggetto del dominio del discorso mediante una relazione tra altri noggetti del dominio Esempio: madre(maria) Costante: una funz ione con arietà 0 Importante: le funzioni, in logica, non presuppongono alcun concetto di valutazione Predicato n-ario: generica relazione (che può essere vera o falsa) fra noggetti del dominio Esempio: parente(maria, luca) Termine Termine Termine (definito ricorsivamente): una variabile è un termine una costante è un termine sefè un simbolo di funzione n-aria e t1 ,...,tn sono termini, alloraf(t1 ,...,tn ) è un termine Esempio: maria, f(X)
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Un’interpretazione di una formula F nella logica del primoordine è costituita da un dominio D e da un assegnamento
di valori ad ogni costante, simbolo di funzione e simbolo
di predicato presente in F nel seguente modo:
ad ogni costante si assegna un elemento in D;
ad ogni simbolo di funzione n-aria si assegna unacorrispondenza da Dn → D;
ad ogni simbolo di predicato n-ario si assegna unarelazione in Dn, cioè un sottoinsieme di Dn oppureuna corrispondenza da Dn a {T,F}
EsempioEsempioLinguaggio del primo ordine:
una costante “0”; un simbolo di funzione unaria “s”; un simbolo di predicato binario “p”.
Interpretazione I1D: numeri naturali. “0” rappresenta il numero zero. “s” rappresenta il successore di un numero naturale “p” rappresenta la relazione binaria “≤”
Interpretazione I2D: numeri interi negativi “0” rappresenta il numero zero “s” rappresenta il predecessore di un numero naturale
“p” rappresenta la relazione binaria “≤”
Valori di verità Valori di verità
Formula atomica ground: ha valore vero sotto un'interpretazione quando il corrispondente
predicato è soddisfatto; ha valore falso quando il corrispondente predicato non è soddisfatto
Esempio Interpretazione I1
p(0,s(0)) vero p(s(0), 0) falso
Interpretazione I2 p(0,s(0)) falso
p(s(0), 0) vero
I1 : D: numeri naturali.“0” rappresenta lo zero.“s” rappresenta il successore
“p” rappresenta “≤”
I2: D: numeri inte ri negativi
“0” rappresenta lo zero“s” rappresenta il predecessore
“p” rappresenta “≤”
Valori di verità (cont.) Valori di verità (cont.)
Formula composta
il valore di verità di una formula composta rispettoa un’interpretazione si ottiene da quello delle sue
componenti utilizzando le tavole di verità dei
connettivi logici
Valori di verità (cont.) Valori di verità (cont.)Formula quantificata esistenzialmente
∃X F è vera in un’interpretazione I se esiste almeno unelemento d del dominio D tale che la formula F', ottenutaassegnando d alla variabile X, è vera in I. In caso contrarioF ha valore falso.Esempio
∃X p(X,s(0)) Interpretazione I1
Vero: “esiste zero, minore di uno”
Interpretazione I2 Vero: “esiste -2, minore di -1”
I1 : D: numeri naturali.“0” rappresenta lo zero.“s” rappresenta il successore
“p” rappresenta “≤”
I2: D: numeri inte ri negat ivi“0” rappresenta lo zero“s” rappresenta il predecessore
“p” rappresenta “≤”
Valori di verità (cont.) Valori di verità (cont.)Formula quantificata universalmente
∀X F è vera in un’interpretazione I se per ogni elementod del dominio D, la formula F', ottenuta da F sostituendod alla variabile X, è vera in I. Altrimenti F ha valore falso.
Esempio
∀ Y p(0,Y)
Interpretazione I1
vero: “0 è minore o uguale a ogni
intero positivo Y”
Interpretazione I2
falso: non è vero che
“0 è minore o uguale a –1”
I1 : D: numeri naturali.“0” rappresenta lo zero.
“s” rappresenta il successore“p” rappresenta “≤”
I2 : D: numeri inte ri negativi“0” rappresenta lo zero“s” rappresenta il predecessore
X q(X) ∃X (p(X) ∨ q(X)) equivale a ∃X p(X) ∨ ∃X q(X)
∀X (p(X) ∨ q(X)) NON equivale a ∀X p(X) ∨ ∀X q(X)
∃X (p(X) ∧ q(X)) NON equivale a ∃X p(X) ∧ ∃ X q(X)
Esempio
p= pari, q=dispari
Regole (cont.)Regole (cont.)Modus Ponens (MP):
A, A → B
B
Specializzazione (Spec ):
∀∀∀∀X A(X)
A(t)
Dimostrazioni di teoremiDimostrazioni di teoremi
Dimostrazione: sequenza finita di fbf f 1, f 2, ..., f n, tale checiascuna f i o è un assioma oppure è ricavabile dalle fbf precedenti mediante una regola di inferenza
Teorema: L’ultima fbf di ogni dimostrazione
Prova del teorema: sequenza di regole di inferenza applicate
Una fbf F è derivabile in una teoria T ( T |- F ) se esiste unasequenza di fbf f 1, f 2, ..., f n, tale che f n = F e, per ogni i, o f i èun assioma di T, oppure è ricavabile dalle fbf precedentimediante una regola di inferenza di T
EsempioEsempio Teoria T: “relazione di ≤ sui numeri naturali”
A1: p(0,0)
A2: ∀X ∀ Y (p(X,Y) → p(X,s(Y)))
A3: ∀X p(X,X)
Teorema p(0,s(0))
EsempioEsempio
∀X ∀ Y (p(X,Y) → p(X,s(Y))) Spec
∀ Y (p(0,Y) → p(0,s(Y))) Spec
p(0,0) → p(0,s(0)) MP usando A1
p(0,s(0))
A1: p(0,0)
A2:∀∀∀∀X∀∀∀∀ Y (p(X,Y) →→→→ p(X,s(Y))) A3:∀∀∀∀X p(X,X)
Si trasformino le seguenti frasi nella logica del I ordine:
Tutti i cavalli sono più veloci di tutti i cani
Esiste un levriero e questo levriero è più veloce diogni lepre
Ralph è una lepre
Esercizio (soluzione)Esercizio (soluzione)
∀X ∀ Y ((cavallo(X) ∧ cane(Y)) → piu_veloce(X,Y))
∃X levriero(X) ∧ ∀ Y (lepre(Y) → piu_veloce(X,Y))
lepre(ralph)
Nota: (p ∧ q) → r = p → (q → r)
Significato: alberi possibilmente diversi per scimmie diverse
Il dominio contiene differenti oggetti (scimmie, alberi, …)
Procedimento Top-down:
∀ X (scimmia (X) → A(X))
dove A(X) è una formula logica non atomica che rappresenta“X e’ fuggito su un albero”, ovvero esiste un albero su cui X e’
fuggito:
A(X) =∃ Y (albero(Y) ∧ fugge(X,Y))
Dunque:
∀X ∃ Y (scimmia (X) →fugge(X,Y)∧ albero(Y))
““ Tutte le scimmie sono fuggite su un albero” Tutte le scimmie sono fuggite su un albero” ““ Tutte le scimmie sono fuggite su un albero” Tutte le scimmie sono fuggite su un albero”
Altro significato: “Tutte le scimmie sono fuggite sullo stesso albero”
In altro modo: Esiste un albero su cui sono fuggite tutte le scimmie
Procedimento Top-down:
∃ Y (albero(Y)∧ ∀ X (scimmia (X) →fugge(X,Y)))
Errore!
∀X ∃ Y (scimmia (X)∧ fugge(X,Y)∧ albero(Y))Ovvero:
∀X scimmia (X)∧ ∃ Y (fugge(X,Y)∧ albero(Y))
Afferma che tutti gli oggetti sono scimmie e tutti gli oggetti sono fuggiti
sull’albero
EsercizioEsercizio
Esiste una tartaruga che è più vecchia di ogniessere umano
Non tutti gli studenti seguono sia il corso di
storia che quello di biologia
SoluzioneSoluzione
∃∃∃∃X (tartaruga(X) ∧∧∧∧ (∀∀∀∀ Y umano(Y)→piu_vecchio(X,Y)))
Antonio, Michele e Giovanni sono iscritti al CAI (Club AlpinoItaliano). Ogni appartenente al Club che non è sciatore è unoscalatore. Gli scalatori non amano la pioggia. Ogni personache non ama la neve non è uno sciatore. Antonio non ama ciòche Michele ama. Antonio ama la pioggia e la neve. Si
rappresenti tale conoscenza come un insieme di predicati delprimo ordine. Si mostri, mediante la risoluzione:
"C'è un iscritto al CAI che è uno scalatore, ma non uno
Antonio, Michele e Giovanni sono iscritti al CAI (Club Alpino Italiano). Ogni appartenente al Club che non è
sciatore è uno scalatore. Gli scalatori non amano la
pioggia. Ogni persona che non ama la neve non è unosciatore. Antonio non ama ciò che Michele ama. Antonio ama la pioggia e la neve. Si rappresenti taleconoscenza come un insieme di predicati del primo
ordine. Si mostri, mediante la risoluzione:"C'è un membro del CAI che è uno scalatore, manon uno sciatore?"