Logica fuzzy si aplicatii

7/26/2019 Logica fuzzy si aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/logica-fuzzy-si-aplicatii 1/33

Multimi fuzzy. Operatii cu multimi fuzzyCapitolul 2

Doru Todinca

Departamentul CalculatoareUPT

http://find/



Cuprins

Multimi fuzzy

Proprietati ale multimilor fuzzy

Operatii cu multimi fuzzy

Proprietati ale operatiilor cu multimi fuzzy

http://find/



Cuprins

Multimi fuzzy




http://find/



Multimi clasice, multimi fuzzy

◮ Consideram o multime clasica (crisp ) X , in care discutam,numita universul discursului (universe of discourse )

◮ Pentru o multime clasica A ⊂ X , pentru orice x ∈ X , avem:fie x ∈ A, fie x /∈ A

◮ Pentru multimea A se poate defini o functie caracteristica

ν A : X → {0, 1}, avand ν A(x ) = 1 daca si numai daca x ∈ Asi ν A(x ) = 0 daca si numai daca x /∈ A (dsnd, sau iff - if and only if )

◮ Pentru o multime fuzzy A, un element x ∈ X apartine

multimii fuzzy ˜A ⊂ X intr-un anumit grad

◮ Functia caracteristica a unei multimi crisp va fi extinsa lafunctia de apartenenta a unei multimi fuzzy, care poate luavalori in intervalul de numere reale [0, 1]

http://find/



Definitii

DefinitionDaca X este o colectie de obiecte (numite universul discursului )notate generic cu x , atunci o multime fuzzy A ⊂ X este multimeaperechilor ordonate

A = {(x , µA(x ))|x ∈ X }

unde µA

(x ) : X → [0, 1] se numeste functie de apartenenta saugrad de apartenenta (membership function or degree of membership ).

Cand intervalul de numere reale [0, 1] este inlocuit de multimeadiscreta {0, 1}, atunci multimea fuzzy A devine multime clasica(crisp).

http://find/



Multimi fuzzy. Exemple de MF

◮ Multimile fuzzy (prescurtat MF) pot fi continue sau discrete◮ Intervalul [0, 1] poate fi extins la [0, k ], unde k > 0

◮ Exista si MF definite pe structuri mai complexe decatintervale de numere reale, de exemplu L-fuzzy sets , unde L

este o multime partial ordonata (a se vedea capitolul 3,Extensii ale MF)

◮ Exemplu de MF discreta (Zimmermann [Zim91]):

◮ MF: casa confortabila pentru o familie de 4 persoane in functiede numarul de dormitoare:

◮ Universul discursului: X = {1, 2, . . . , 10}◮ A ⊂ X va fi

A = {(1, 0.1), (2, 0.5), (3, 0.8), (4, 1.0), (5, 0.7), (6, 0.2)}

http://find/



Exemple de MF (cnt’d)

Exemplu de MF continua:numere reale apropiate de10

◮ X = R (multimea

numerelor reale)◮ Functia de

apartenenta a MFA ⊂ R:

µA(x ) = 11 + (x − 10)2

(1)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-10 -5 0 5 10 15 20

1/(1+(x-10)**2)

Figura 1 : A cu µA

(x ) = 11+(x −10)2

http://find/



Exemple de MF (cnt’d)

Exemplu de MF continua:numere reale mult mai maridecat 11

◮ X = R (multimea numerelor

reale)◮ Functia de apartenenta a

MF:B ⊂ R:

µB (x ) = (x −11)2

1+(x −11)2 daca x ≥ 11

0, daca x < 11

(2)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20

funcB(x)

Figura 2 : B cu µB (x )

http://find/



Notatii pentru multimile fuzzy

1. Perechi (element, valoare) pentru MF discrete (ca in exemplul

cu casa confortabila), respectiv (element generic, functie de apartenenta) pt MF continue: de exemplu (x , µ

A(x ))

2. Doar prin functia de apartenenta (pentru MF continue)

3. Ca “suma” pt MF discreta, respectiv “integrala” pt MF

continue (aceasta notatie poate genera confuzii !!):

A =n

i =1

µA

(x i )

x i =

µA

(x 1)

x 1+

µA

(x 2)

x 2+ . . . +

µA

(x n)

x n

A =

µ

A(x )

x

Atentie, nu e vorba de sume sau integrale, acestea sunt doar

notatii !!!

http://find/



Cuprins

Multimi fuzzy




http://find/



Proprietati ale MF: MF normale

1. MF normale

◮ O multime fuzzy se numeste normala daca supx µA(x ) = 1,

unde sup este supremul MF

◮ Diferenta dintre maximul si supremul unei multimi: maximul

apartine multimii, supremul poate sa nu apartina multimii◮ Daca o MF nu este normala, ea se poate normaliza prin

impartirea functiei de apartenenta la supremul multimii,rezultind functia de apartenenta normalizata:

µAnorm(x ) = µ

A

(x )

supx µA(x )

http://find/

http://goback/



Proprietati ale MF: suport, nucleu, margine

2. Suportul unei MF

◮

Suportul unei MF (notat supp ) este multimea crisp pentrucare µA

(x ) > 0

◮ La exemplul cu casa confortabila este multimeasupp (A) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

◮ De obicei elementele unei MF avind gradul de apartenenta 0nu se afiseaza

3. Nucleul unei MF (core):

◮ este multumea crisp pentru care µA

(x ) = 1

4. Marginea (boundary) unei MF:

◮ este multimea crisp pentru care 0 < µA

(x ) < 1

Exercitiu: sa se reprezinte grafic pentru o multime fuzzy continuatrapezoidala suportul, nucleul si marginea ei.

http://find/



Proprietati ale MF: taieturi de nivel α

5. Taieturi de nivel α (α-cuts sau α-level sets ):

◮

Taietura de nivel α (unde α ∈ [0, 1]) a multimii fuzzy ˜A avandfunctia de apartenenta µ

A(x ) este multimea crisp Aα pentru

care µA

(x ) ≥ α

◮ Se poate defini strong α cut ca fiind multimea crisp A′α

pentru care µA

(x ) > α

◮ Pentru exemplul cu casa confortabila, undeA = {(1, 0.1), (2, 0.5), (3, 0.8), (4, 1.0), (5, 0.7), (6, 0.2)},taieturile de nivel α ale multimii fuzzy A vor fi:

◮ A0.1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = supp A (suportul lui A)

◮ A0.2 = {2, 3, 4, 5, 6}◮ A0.5 = {2, 3, 4, 5}◮ A0.7 = {3, 4, 5}◮ A0.8 = {3, 4}◮ A1.0 = {4} = coreA (nucleul lui A)

http://find/



Proprietati ale MF: taieturi de nivel α

◮ Se poate demonstra ca pentru orice multime fuzzy A, are loc:

A =α

α · Aα

◮

Adica orice multime fuzzy se poate scrie ca reuniunea dupatoate valorile lui α ale produsului dintre α si taietura de nivelα

◮ Aceasta proprietate este foarte importanta si face legaturadintre multimile fuzzy si cele crisp

◮ Si este foarte utilizata pentru demonstrarea unor proprietatiale multimilor fuzzy

http://find/





Proprietati ale MF: convexitatea

6. Convexitatea unei multimi fuzzy

◮ O multime fuzzy A ⊂ X este convexa daca si numai daca∀x 1, x 2 ∈ X si ∀λ ∈ [0, 1] are loc relatiaµA

(λ · x 1 + (1 − λ) · x 2) ≥ min(µA

(x 1), µA

(x 2))

◮ Expresia λ · x 1 + (1 − λ) · x 2 se refera la segmentul situat intrepunctele de abscisa x 1 si x 2

◮ Expresia µA(λ · x 1 + (1 − λ) · x 2) se refera la imaginea acestuisegment prin functia µ

A(x )

◮ Echivalent, o multime fuzzy A este convexa daca si

numai daca toate taieturile sale de nivel α sunt convexe

◮ Adica, daca MF nu e convexa, exista taieturi de nivel α alesale care nu sunt convexe, adica exista segmente x α1 x α2 caresunt “intrerupte” (nu sunt continue)

Ex: Sa se reprezinte grafic o multime fuzzy continua convexa siuna continua neconvexa.

http://find/



Proprietati ale MF: cardinalitatea

7. Cardinalitatea unei multimi fuzzy

◮ Cardinalitatea unei MF finite A ⊂ X , notata |A| se definesteca fiind:

|A| =n

i =1

µA

(x i )

◮ Pentru o multime fuzzy continua A ⊂ X , cardinalitatea sa sedefineste:

|A| =

x

µA

(x )dx

daca integrala exista

7’ Cardinalitatea relativa a unei multimi fuzzy◮ Se noteaza ||A||

◮ Se defineste ca fiind ||A|| = |A||X | , daca exista, unde X este

universul discursului pentru multimea A

f

http://find/



Alegerea functiilor de apartenenta

◮ Ca si in alte aspecte ale teoriei fuzzy, nu exista “retete” clare

pentru alegerea functiilor de apartenenta ale multimilor fuzzy

◮ Daca se doreste simplificarea calculelor se pot alege functii deapartenenta liniare, adica triunghiuri sau trapeze

◮ Exista situatii cind se prefera functii de apartenenta neliniare

(trigonometrice, de tip Gauss, etc):◮ Exista cercetatori care considera ca functiile de apartenenta

liniare nu dau rezultate suficient de bune pentru anumiteprobleme, pe cind functiile neliniare sunt mai potrivite

◮ Problema sau domeniul pot necesita anumite tipuri de functii

de apartenenta◮ Daca logica fuzzy se combina cu alte metode, de exemplu cu

retele neuronale, poate fi necesar sa se utilizeze functii deapartenenta potrivite si pt metodele respective

C i

http://find/



Cuprins

Multimi fuzzy


Operatii cu multimi fuzzyProprietati ale operatiilor cu multimi fuzzy

O ii MF i i i l

http://find/



Operatii cu MF: reuniune, intersectie, complement

◮ Fiind date doua multimi fuzzy A = {(x , µA

(x ))|x ∈ X } si

B = {(x , µB

(x ))|x ∈ X } avand acelasi univers al discursului

X , se pot defini operatiile de reuniune, intersectie sicomplement. Se defineste:

◮ reuniunea multimilor fuzzy A si B ca fiind multimea fuzzyC = A ∪ B , data de C = {(x , µ

C (x ))|x ∈ X }, unde

µC (x ) = max(µA(x ), µB (x ))

◮ intersectia multimilor fuzzy A si B ca fiind multimea fuzzyD = A ∩ B , data de D = {(x , µ

D (x ))|x ∈ X }, unde

µD (x ) = min(µA(x ), µB (x ))

◮ complementul lui A in raport cu X ca fiind multimea fuzzyE = C

AX data de E = {(x , µ

E (x ))|x ∈ X }, unde

µE (x ) = 1 − µA(x )

O tii MF i l i lit t

http://find/



Operatii cu MF: incluziune, egalitate

◮ incluziunea MF: fiind data doua MF A si B incluse in X , areloc incluziunea A ⊆ B daca si numai daca µ

A(x ) ≤ µ

B (x ),

(∀)x ∈ X

◮ egalitatea a doua MF: doua multimi fuzzy A si B incluse in X sunt egale daca si numai daca µ

A(x ) = µ

B (x ), (∀)x ∈ X

◮ Echivalent, doua multimi fuzzy A si B incluse in X sunt egaledaca si numai daca A ⊆ B si B ⊆ A

O tii MF l

http://find/



Operatii cu MF: exemple

1. Sa se determine reuniunea si intersectia multimilor fuzzy A =

casa confortabila pentru o familie patru persoane si B = casamica, undeA = {(1, 0.1), (2, 0.5), (3, 0.8), (4, 1.0), (5, 0.7), (6, 0.2)} siB = {(1, 1), (2, 0.8), (3, 0.4), (4, 0.1)}:A∪B = {(1, max(0.1, 1)), (2, max(0.5, 0.8)), (3, max(0.8, 0.4)),(4, max(1, 0.1)), (5, max(0.7, 0)), (6, max(0.2, 0)} ={(1, 1), (2, 0.8), (3, 0.8), (4, 1), (5, 0.7), (6, 0.2)}A ∩ B = {(1, min(0.1, 1)), (2, min(0.5, 0.8)), (3, min(0.8, 0.4)),(4, min(1, 0.1)), (5, min(0.7, 0)), (6, min(0.2, 0)} =

{(1, 0.1), (2, 0.5), (3, 0.4), (4, 0.1), (5, 0), (6, 0)}A ∪ B poate fi citit “casa confortabila pentru o familie depatru persoane sau mica”, iar A ∩ B este “casa confortabilapentru o familie de patru persoane si mica”

O e atii c MF e e le (co ti a e)

http://find/



Operatii cu MF: exemple (continuare)

2. Sa se determine CA

X , unde X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}:

(casa ne-confortabila pentru o familie de patru persoane)CA

X = {(1, 1 − 0.1), (2, 1 − 0.5), (3, 1 − 0.8), (4, 1 − 1), (5, 1 −0.7), (6, 1 − 0.2), (7, 1 − 0), (8, 1 − 0), (9, 1 − 0), (10, 1 − 0)} ={(1, 0.9), (2, 0.5), (3, 0.2), (4, 0), (5, 0.3), (6, 0.8), (7, 1), (8, 1),

(9, 1), (10, 1)}3. Sa se determine reuniunea si intersectia multimilor fuzzy A =

numere reale apropiate de 10 si B = numere reale mult maimari decat 11.

◮ Analitic: C = A ∪ B si D = A ∩ B , unde

µC (x ) = max{µA(x ), µB (x )},µD

(x ) = min{µA

(x ), µB

(x )}. . .

◮ Grafic: (mai potrivit in acest caz), in urmatoarele slide-uri:

Exemple de operatii cu MF: reuniunea

http://find/



Exemple de operatii cu MF: reuniunea

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-10 -5 0 5 10 15 20

1/(1+(x-10)**2)

Figura 3 : A avind µA

(x )

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20

funcB(x)

Figura 4 : B avind µB (x )

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20

fA(x)funcB(x)

max(fA(x), funcB(x))

Figura 5 : A, B si A ∪ B

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20

max(fA(x), funcB(x))

Figura 6 : A ∪ B

Exemple de operatii cu MF: intersectia

http://find/



Exemple de operatii cu MF: intersectia

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-10 -5 0 5 10 15 20

1/(1+(x-10)**2)

Figura 7 : µA

(x )

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20

funcB(x)

Figura 8 : µB (x )

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20

fA(x)funcB(x)

min(fA(x), funcB(x))

Figura 9 : A, B si A ∩ B

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 5 10 15 20

min(fA(x), funcB(x))

Figura 10 : A ∩ B (detaliu)

Operatii cu multimi fuzzy: exercitii

http://find/



Operatii cu multimi fuzzy: exercitii

1. Sa se determine CB

X , unde B este MF casa mica, iarX = {1, 2, . . . , 9, 10}

2. Sa se determine complementul unei multimi fuzzy avindfunctia de apartenenta continua trapezoidala

3. Pentru aceasta MF, sa se determine reuniunea si intersectiadintre MF data si complementul ei. Ce observati ?

Cuprins

http://find/



Cuprins

Multimi fuzzy


Operatii cu multimi fuzzyProprietati ale operatiilor cu multimi fuzzy

Prorietati ale operatiilor cu multimi clasice si fuzzy

http://find/



Prorietati ale operatiilor cu multimi clasice si fuzzyPentru multimi clasice in universul discursului X au locurmatoarele proprietati (dupa [NR74]):

1. Comutativitate:A ∪ B = B ∪ A

A ∩ B = B ∩ A

2. Asociativitate:

(A ∪ B ) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )

(A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )

3. Distributivitate:

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C )A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C )

4. Idempotenta:A ∪ A = A

A ∩ A = A

Prorietati ale operatiilor cu multimi clasice si MF

http://find/




5. Identitate: A ∪ ∅ = ∅ ∪ A = A

A ∪ X = X ∪ A = X

A ∩ ∅ = ∅ ∩ A = ∅

A ∩ X = X ∩ A = A

6. Tranzitivitate: daca A ⊆ B si B ⊆ C , atunci A ⊆ C

7. Involutie: A = A, unde A = CAX

8. De Morgan:A ∪ B = A ∩ B

A ∩ B = A ∪ B


http://find/




9. Absorbtie:

A ∪ (A ∩ B ) = A

A ∩ (A ∪ B ) = A

10. Legile tertului exclus (excluded middle laws):

A ∪ A = X

A ∩ A = ∅

◮ Proprietatile 1–9 au loc si pentru multimi fuzzy, dar NU si

proprietatea 10.

◮ Unii cercetatotri considera neindeplinirea legilor tertului exclusca fiind caracteristica principala a multimilor fuzzy.

Axiomatizarea operatiilor cu multimi fuzzy

http://find/



Axiomatizarea operatiilor cu multimi fuzzy

◮ Bellmann si Giertz au propus un set de axiome (proprietati) pe

care ar trebui sa le indeplineasca operatiile de reuniune,intersectie si complement ale MF

◮ Ei au vrut sa vada daca, pe baza acelui set de axiome, seobtin si alte operatii decit maxim pentru reuniune, minim

pentru intersectie si 1 − µA(x ) pt intersectie◮ Bellman si Giertz au determinat ca doar operatorii maxim pt

reuniune si respectiv minim pt intersectie indeplinesc setul deaxiome propus de ei

◮ In cazul complementului, nu au obtinut un unic operator.

◮ Pentru a obtine unicitate si in cazul complementului, auadaugat cerinta suplimentara ca negatul (complementul) lui1/2 sa fie 1/2.

Directii de dezvoltare ale logicii fuzzy

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Directii de dezvoltare ale logicii fuzzy

1. Directia urmata de matematicieni, care incearca

◮ pe de o parte, sa fundamenteze teoretic rezultatele din logicafuzzy (LF), operatorii si formulele utilizate in LF (ca siBellmann si Giertz)

◮ pe de alta parte, incearca sa extinda alte domenii, matematicesau ne-matematice, prin intermediul LF.

◮ Astfel, exista numere fuzzy, aritmetica fuzzy, functii fuzzy,analiza matematica fuzzy, probabilitati fuzzy, dar si automatefuzzy, bistabile fuzzy, coduri fuzzy

2. A doua directie este cea urmata de ingineri, economisti,lingvisti, medici, etc, care aplica rezultatele logicii fuzzy indomeniile lor de activitate

◮ Ei trebuie sa urmareasca si progresele realizate dematematicieni in cadrul logicii fuzzy

CV Negoita and DA Ralescu.

http://find/



Mult imi vagi si aplicat iile lor .Editura Tehnica, 1974.

H.-J. Zimmermann.

Fuzzy Set Theory – and Its Applications, Second, Revised Edition.Kluwer Academic Publishers, 1991.

http://find/

Logica fuzzy si aplicatii

Documents