This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 129
Discrete Mathematics (Ayrık Matematik)
DoccedilDrBanu DİRİ
e-mail banuceyildizedutr veya diriyildizedutrhttpwwwceyildizedutrpersonalbanud
Kaynaklar
bullDiscrete Mathematics and Its Applications
Kenneth HRosen McGraw Hill
Konular
1 Logic and Proof
propositions (oumlnermeler)
conditional propositions (şartlı oumlnermeler)
logical equivalence (mantıksal denklik)
quantifiers (nicelikler)
proof
2 The Language of Mathematics
sets (kuumlmeler)
sequences and strings (diziler) number systems
relations (ilişkiler)
equivalence relations (eşitlik bağıntıları)
matrices of relations
functions
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 229
3 Algorithms
different algorithms
4 Graph Theory
path and cycles
hamiltonian cycles
a shortest-path algorithm
isomorphisms of graph
5 Trees
terminology and characterizations of tree
spanning tree
binary tree
tree traversals
isomorphisms tree
6 Choromatic polinomial
7 Boolean Algebras and Combinatorial Circuit
8 Automata Grammars and Language
finite-state automata (sonlu durum makineleri)
language and grammars
nondeterministic finite-state automata
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 329
Boumlluumlm 1
Mantık ve İspatlar
(Logic and Proofs)
Mantık (Logic)
Mantık (Logic) = doğru ccedilıkarımı eldeetme ccedilalışmasıdır
Mantığın kullanımıMatematikte kullanımı
Teoremleri ispatlamak
Bilgisayar Bilimlerinde kullanımıProgramların kendilerinden beklenen sonucu uumlretip
uumlretmediğinin kontroluumlduumlr
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 429
Oumlnermeler (Propositions)
Sonucu doğru (true) veya yanlış (false) olanifadelere proposition (oumlnerme) denir
OumlrneklerldquoCuumlneyt programcıdır bu bir oumlnermedir
ldquoKeşke bilge kişi olsaydımrdquo bu bir oumlnerme değildir
Inclusive disjunction OR Sembol vExclusive disjunction OR Sembol vNegation Sembol ~Implication SembolrarrDouble implication Sembolharr
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 529
AND (conjunction) doğruluk tablosu
Conjunction doğruluk tablosu
p q p ^ q
T T T
T F F
F T F
F F F
p ve q bir oumlnerme ise conjunction (p ^ q ) veya(p and q) olarak goumlsterilir
Sadece p ve q nun her ikisinin de doğru olduğudurumda p ^ q doğrudur
Oumlrnek
p = ldquokaplan vahşi bir hayvandırrdquo
q = ldquobalina bir suumlruumlngendirrdquo
p ^ q = kaplan vahşi bir hayvandır andbalina bir suumlruumlngendir
p ^ q yanlıştır Neden
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 629
OR (disjunction) doğruluk tablosu
Disjunction doğruluk tablosu
p q p v q
T T T
T F T
F T T
F F F
p ve q bir oumlnerme ise disjunction (p v q ) veya(p or q) olarak goumlsterilir
Sadece p ve q nun her ikisinin de yanlış olduğu durumdap or q yanlıştırOumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır q = ldquoZeynep avukattırp v q = Cuumlneyt programcıdır or Zeynep avukattır
Exclusive disjunction OR(XOR)
Sadece p doğru ve q yanlış ise veya p yanlış veq doğru ise p or q doğrudur
Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo q = ldquoZeynep avukattırldquop v q = ldquoNe Cuumlneyt programcıdır ne de Zeynep avukattır
p q p v q
T T F
T F T
F T T
F F F
p ve q bir oumlnerme ise exclusive disjunction OR (xor) p or q olarak goumlsterilir Exclusive disjunction doğruluk tablosu
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 729
Tersi (Negation)
p doğru iken ~p yanlıştır
p yanlış iken ~p doğrudur
p ~p
T F
F T
prsquo nin tersi ~p veya prsquo ile goumlsterilir
Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır~p = ldquoCuumlneyt programcı değildir
Birden Fazla Oumlnermenin
Birleştirilmesi
p q r basit oumlnermeler olsun
Birleştirilmiş ifadeleri aşağıdaki gibi goumlsterebiliriz
(porq)^r
por(q^r)
(~p)or(~q)(porq)^(~r)
ve diğer durumlarhellip
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 829
Oumlrnek (porq)^r nin doğruluk tablosu
p q r (p orororor q) ^ r
T T T T
T T F F
T F T T
T F F F
F T T T
F T F F
F F T FF F F F
Şartlı Oumlnermeler ve Mantıksal Denklik(Conditional Propositions andLogical Equivalence)
Şartlı oumlnerme (conditional proposition)
ldquoIf p then qrdquo
şeklinde goumlsterilir
Semboluuml p rarr q Oumlrnek
p = Cuumlneyt programcıdır
q = Zeynep avukattır
p rarr q = ldquoIf Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 929
p rarr q lsquonun Doğruluk Tablosu
Sadece p ve q lsquonun her ikiside doğru veyaprsquonin yanlış olduğu durumlarda p rarr qoumlnermesi doğrudur
p q p rarrrarrrarrrarr q
T T T
T F F
F T T
F F T
Hipotez ve Sonuccedil(Hypothesis and conclusion)
p rarr q şartlı oumlnermesindep antecedent veya hypothesis
q consequent or conclusion
olarak adlandırılır
ldquoif p then q mantıksal olarak p only if qldquo ileaynıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1029
Gereklilik ve Yeterlilik(Necessary and Sufficient)
Gerekli şart (necessary condition ) sonuccedil(conclusion ) tarafından ifade edilir
Yeterli şart (sufficient condition ) hipotez(hypothesis ) tarafından ifade edilir
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329
Ccedilelişki (Contradiction)
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır
p p (~p)
T FF F
Oumlrnek p ^ ~p
De Morgan Kanunu
Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir
~ (p or q) rarr (~p)^(~q)
~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429
Nicelikler (Quantifiers)
P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun
Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı
D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun
Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır
D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)
Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar
Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar
Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır
D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun
if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır
if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529
Her ve Bazı(For every and for some)
Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır
Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees
EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)
The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır
forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır
En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur
ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo
P(x) ldquox has studied calculusrdquo
forallx P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction
P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)
since the conjunction is true if and only
if P(x1) P(x2)P(xn) are all true
Propositional fonksiyonun doğruluğu
forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D
Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D
P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur
P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır
Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon
ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır
foralln isin D = buumltuumln tam sayılar
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Inclusive disjunction OR Sembol vExclusive disjunction OR Sembol vNegation Sembol ~Implication SembolrarrDouble implication Sembolharr
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 529
AND (conjunction) doğruluk tablosu
Conjunction doğruluk tablosu
p q p ^ q
T T T
T F F
F T F
F F F
p ve q bir oumlnerme ise conjunction (p ^ q ) veya(p and q) olarak goumlsterilir
Sadece p ve q nun her ikisinin de doğru olduğudurumda p ^ q doğrudur
Oumlrnek
p = ldquokaplan vahşi bir hayvandırrdquo
q = ldquobalina bir suumlruumlngendirrdquo
p ^ q = kaplan vahşi bir hayvandır andbalina bir suumlruumlngendir
p ^ q yanlıştır Neden
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 629
OR (disjunction) doğruluk tablosu
Disjunction doğruluk tablosu
p q p v q
T T T
T F T
F T T
F F F
p ve q bir oumlnerme ise disjunction (p v q ) veya(p or q) olarak goumlsterilir
Sadece p ve q nun her ikisinin de yanlış olduğu durumdap or q yanlıştırOumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır q = ldquoZeynep avukattırp v q = Cuumlneyt programcıdır or Zeynep avukattır
Exclusive disjunction OR(XOR)
Sadece p doğru ve q yanlış ise veya p yanlış veq doğru ise p or q doğrudur
Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo q = ldquoZeynep avukattırldquop v q = ldquoNe Cuumlneyt programcıdır ne de Zeynep avukattır
p q p v q
T T F
T F T
F T T
F F F
p ve q bir oumlnerme ise exclusive disjunction OR (xor) p or q olarak goumlsterilir Exclusive disjunction doğruluk tablosu
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 729
Tersi (Negation)
p doğru iken ~p yanlıştır
p yanlış iken ~p doğrudur
p ~p
T F
F T
prsquo nin tersi ~p veya prsquo ile goumlsterilir
Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır~p = ldquoCuumlneyt programcı değildir
Birden Fazla Oumlnermenin
Birleştirilmesi
p q r basit oumlnermeler olsun
Birleştirilmiş ifadeleri aşağıdaki gibi goumlsterebiliriz
(porq)^r
por(q^r)
(~p)or(~q)(porq)^(~r)
ve diğer durumlarhellip
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 829
Oumlrnek (porq)^r nin doğruluk tablosu
p q r (p orororor q) ^ r
T T T T
T T F F
T F T T
T F F F
F T T T
F T F F
F F T FF F F F
Şartlı Oumlnermeler ve Mantıksal Denklik(Conditional Propositions andLogical Equivalence)
Şartlı oumlnerme (conditional proposition)
ldquoIf p then qrdquo
şeklinde goumlsterilir
Semboluuml p rarr q Oumlrnek
p = Cuumlneyt programcıdır
q = Zeynep avukattır
p rarr q = ldquoIf Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 929
p rarr q lsquonun Doğruluk Tablosu
Sadece p ve q lsquonun her ikiside doğru veyaprsquonin yanlış olduğu durumlarda p rarr qoumlnermesi doğrudur
p q p rarrrarrrarrrarr q
T T T
T F F
F T T
F F T
Hipotez ve Sonuccedil(Hypothesis and conclusion)
p rarr q şartlı oumlnermesindep antecedent veya hypothesis
q consequent or conclusion
olarak adlandırılır
ldquoif p then q mantıksal olarak p only if qldquo ileaynıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1029
Gereklilik ve Yeterlilik(Necessary and Sufficient)
Gerekli şart (necessary condition ) sonuccedil(conclusion ) tarafından ifade edilir
Yeterli şart (sufficient condition ) hipotez(hypothesis ) tarafından ifade edilir
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329
Ccedilelişki (Contradiction)
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır
p p (~p)
T FF F
Oumlrnek p ^ ~p
De Morgan Kanunu
Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir
~ (p or q) rarr (~p)^(~q)
~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429
Nicelikler (Quantifiers)
P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun
Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı
D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun
Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır
D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)
Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar
Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar
Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır
D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun
if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır
if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529
Her ve Bazı(For every and for some)
Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır
Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees
EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)
The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır
forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır
En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur
ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo
P(x) ldquox has studied calculusrdquo
forallx P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction
P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)
since the conjunction is true if and only
if P(x1) P(x2)P(xn) are all true
Propositional fonksiyonun doğruluğu
forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D
Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D
P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur
P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır
Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon
ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır
foralln isin D = buumltuumln tam sayılar
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Inclusive disjunction OR Sembol vExclusive disjunction OR Sembol vNegation Sembol ~Implication SembolrarrDouble implication Sembolharr
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 529
AND (conjunction) doğruluk tablosu
Conjunction doğruluk tablosu
p q p ^ q
T T T
T F F
F T F
F F F
p ve q bir oumlnerme ise conjunction (p ^ q ) veya(p and q) olarak goumlsterilir
Sadece p ve q nun her ikisinin de doğru olduğudurumda p ^ q doğrudur
Oumlrnek
p = ldquokaplan vahşi bir hayvandırrdquo
q = ldquobalina bir suumlruumlngendirrdquo
p ^ q = kaplan vahşi bir hayvandır andbalina bir suumlruumlngendir
p ^ q yanlıştır Neden
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 629
OR (disjunction) doğruluk tablosu
Disjunction doğruluk tablosu
p q p v q
T T T
T F T
F T T
F F F
p ve q bir oumlnerme ise disjunction (p v q ) veya(p or q) olarak goumlsterilir
Sadece p ve q nun her ikisinin de yanlış olduğu durumdap or q yanlıştırOumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır q = ldquoZeynep avukattırp v q = Cuumlneyt programcıdır or Zeynep avukattır
Exclusive disjunction OR(XOR)
Sadece p doğru ve q yanlış ise veya p yanlış veq doğru ise p or q doğrudur
Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo q = ldquoZeynep avukattırldquop v q = ldquoNe Cuumlneyt programcıdır ne de Zeynep avukattır
p q p v q
T T F
T F T
F T T
F F F
p ve q bir oumlnerme ise exclusive disjunction OR (xor) p or q olarak goumlsterilir Exclusive disjunction doğruluk tablosu
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 729
Tersi (Negation)
p doğru iken ~p yanlıştır
p yanlış iken ~p doğrudur
p ~p
T F
F T
prsquo nin tersi ~p veya prsquo ile goumlsterilir
Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır~p = ldquoCuumlneyt programcı değildir
Birden Fazla Oumlnermenin
Birleştirilmesi
p q r basit oumlnermeler olsun
Birleştirilmiş ifadeleri aşağıdaki gibi goumlsterebiliriz
(porq)^r
por(q^r)
(~p)or(~q)(porq)^(~r)
ve diğer durumlarhellip
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 829
Oumlrnek (porq)^r nin doğruluk tablosu
p q r (p orororor q) ^ r
T T T T
T T F F
T F T T
T F F F
F T T T
F T F F
F F T FF F F F
Şartlı Oumlnermeler ve Mantıksal Denklik(Conditional Propositions andLogical Equivalence)
Şartlı oumlnerme (conditional proposition)
ldquoIf p then qrdquo
şeklinde goumlsterilir
Semboluuml p rarr q Oumlrnek
p = Cuumlneyt programcıdır
q = Zeynep avukattır
p rarr q = ldquoIf Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 929
p rarr q lsquonun Doğruluk Tablosu
Sadece p ve q lsquonun her ikiside doğru veyaprsquonin yanlış olduğu durumlarda p rarr qoumlnermesi doğrudur
p q p rarrrarrrarrrarr q
T T T
T F F
F T T
F F T
Hipotez ve Sonuccedil(Hypothesis and conclusion)
p rarr q şartlı oumlnermesindep antecedent veya hypothesis
q consequent or conclusion
olarak adlandırılır
ldquoif p then q mantıksal olarak p only if qldquo ileaynıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1029
Gereklilik ve Yeterlilik(Necessary and Sufficient)
Gerekli şart (necessary condition ) sonuccedil(conclusion ) tarafından ifade edilir
Yeterli şart (sufficient condition ) hipotez(hypothesis ) tarafından ifade edilir
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329
Ccedilelişki (Contradiction)
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır
p p (~p)
T FF F
Oumlrnek p ^ ~p
De Morgan Kanunu
Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir
~ (p or q) rarr (~p)^(~q)
~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429
Nicelikler (Quantifiers)
P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun
Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı
D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun
Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır
D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)
Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar
Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar
Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır
D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun
if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır
if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529
Her ve Bazı(For every and for some)
Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır
Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees
EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)
The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır
forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır
En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur
ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo
P(x) ldquox has studied calculusrdquo
forallx P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction
P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)
since the conjunction is true if and only
if P(x1) P(x2)P(xn) are all true
Propositional fonksiyonun doğruluğu
forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D
Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D
P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur
P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır
Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon
ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır
foralln isin D = buumltuumln tam sayılar
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Inclusive disjunction OR Sembol vExclusive disjunction OR Sembol vNegation Sembol ~Implication SembolrarrDouble implication Sembolharr
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 529
AND (conjunction) doğruluk tablosu
Conjunction doğruluk tablosu
p q p ^ q
T T T
T F F
F T F
F F F
p ve q bir oumlnerme ise conjunction (p ^ q ) veya(p and q) olarak goumlsterilir
Sadece p ve q nun her ikisinin de doğru olduğudurumda p ^ q doğrudur
Oumlrnek
p = ldquokaplan vahşi bir hayvandırrdquo
q = ldquobalina bir suumlruumlngendirrdquo
p ^ q = kaplan vahşi bir hayvandır andbalina bir suumlruumlngendir
p ^ q yanlıştır Neden
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 629
OR (disjunction) doğruluk tablosu
Disjunction doğruluk tablosu
p q p v q
T T T
T F T
F T T
F F F
p ve q bir oumlnerme ise disjunction (p v q ) veya(p or q) olarak goumlsterilir
Sadece p ve q nun her ikisinin de yanlış olduğu durumdap or q yanlıştırOumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır q = ldquoZeynep avukattırp v q = Cuumlneyt programcıdır or Zeynep avukattır
Exclusive disjunction OR(XOR)
Sadece p doğru ve q yanlış ise veya p yanlış veq doğru ise p or q doğrudur
Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo q = ldquoZeynep avukattırldquop v q = ldquoNe Cuumlneyt programcıdır ne de Zeynep avukattır
p q p v q
T T F
T F T
F T T
F F F
p ve q bir oumlnerme ise exclusive disjunction OR (xor) p or q olarak goumlsterilir Exclusive disjunction doğruluk tablosu
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 729
Tersi (Negation)
p doğru iken ~p yanlıştır
p yanlış iken ~p doğrudur
p ~p
T F
F T
prsquo nin tersi ~p veya prsquo ile goumlsterilir
Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır~p = ldquoCuumlneyt programcı değildir
Birden Fazla Oumlnermenin
Birleştirilmesi
p q r basit oumlnermeler olsun
Birleştirilmiş ifadeleri aşağıdaki gibi goumlsterebiliriz
(porq)^r
por(q^r)
(~p)or(~q)(porq)^(~r)
ve diğer durumlarhellip
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 829
Oumlrnek (porq)^r nin doğruluk tablosu
p q r (p orororor q) ^ r
T T T T
T T F F
T F T T
T F F F
F T T T
F T F F
F F T FF F F F
Şartlı Oumlnermeler ve Mantıksal Denklik(Conditional Propositions andLogical Equivalence)
Şartlı oumlnerme (conditional proposition)
ldquoIf p then qrdquo
şeklinde goumlsterilir
Semboluuml p rarr q Oumlrnek
p = Cuumlneyt programcıdır
q = Zeynep avukattır
p rarr q = ldquoIf Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 929
p rarr q lsquonun Doğruluk Tablosu
Sadece p ve q lsquonun her ikiside doğru veyaprsquonin yanlış olduğu durumlarda p rarr qoumlnermesi doğrudur
p q p rarrrarrrarrrarr q
T T T
T F F
F T T
F F T
Hipotez ve Sonuccedil(Hypothesis and conclusion)
p rarr q şartlı oumlnermesindep antecedent veya hypothesis
q consequent or conclusion
olarak adlandırılır
ldquoif p then q mantıksal olarak p only if qldquo ileaynıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1029
Gereklilik ve Yeterlilik(Necessary and Sufficient)
Gerekli şart (necessary condition ) sonuccedil(conclusion ) tarafından ifade edilir
Yeterli şart (sufficient condition ) hipotez(hypothesis ) tarafından ifade edilir
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329
Ccedilelişki (Contradiction)
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır
p p (~p)
T FF F
Oumlrnek p ^ ~p
De Morgan Kanunu
Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir
~ (p or q) rarr (~p)^(~q)
~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429
Nicelikler (Quantifiers)
P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun
Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı
D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun
Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır
D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)
Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar
Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar
Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır
D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun
if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır
if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529
Her ve Bazı(For every and for some)
Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır
Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees
EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)
The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır
forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır
En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur
ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo
P(x) ldquox has studied calculusrdquo
forallx P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction
P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)
since the conjunction is true if and only
if P(x1) P(x2)P(xn) are all true
Propositional fonksiyonun doğruluğu
forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D
Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D
P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur
P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır
Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon
ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır
foralln isin D = buumltuumln tam sayılar
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 529
AND (conjunction) doğruluk tablosu
Conjunction doğruluk tablosu
p q p ^ q
T T T
T F F
F T F
F F F
p ve q bir oumlnerme ise conjunction (p ^ q ) veya(p and q) olarak goumlsterilir
Sadece p ve q nun her ikisinin de doğru olduğudurumda p ^ q doğrudur
Oumlrnek
p = ldquokaplan vahşi bir hayvandırrdquo
q = ldquobalina bir suumlruumlngendirrdquo
p ^ q = kaplan vahşi bir hayvandır andbalina bir suumlruumlngendir
p ^ q yanlıştır Neden
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 629
OR (disjunction) doğruluk tablosu
Disjunction doğruluk tablosu
p q p v q
T T T
T F T
F T T
F F F
p ve q bir oumlnerme ise disjunction (p v q ) veya(p or q) olarak goumlsterilir
Sadece p ve q nun her ikisinin de yanlış olduğu durumdap or q yanlıştırOumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır q = ldquoZeynep avukattırp v q = Cuumlneyt programcıdır or Zeynep avukattır
Exclusive disjunction OR(XOR)
Sadece p doğru ve q yanlış ise veya p yanlış veq doğru ise p or q doğrudur
Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo q = ldquoZeynep avukattırldquop v q = ldquoNe Cuumlneyt programcıdır ne de Zeynep avukattır
p q p v q
T T F
T F T
F T T
F F F
p ve q bir oumlnerme ise exclusive disjunction OR (xor) p or q olarak goumlsterilir Exclusive disjunction doğruluk tablosu
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 729
Tersi (Negation)
p doğru iken ~p yanlıştır
p yanlış iken ~p doğrudur
p ~p
T F
F T
prsquo nin tersi ~p veya prsquo ile goumlsterilir
Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır~p = ldquoCuumlneyt programcı değildir
Birden Fazla Oumlnermenin
Birleştirilmesi
p q r basit oumlnermeler olsun
Birleştirilmiş ifadeleri aşağıdaki gibi goumlsterebiliriz
(porq)^r
por(q^r)
(~p)or(~q)(porq)^(~r)
ve diğer durumlarhellip
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 829
Oumlrnek (porq)^r nin doğruluk tablosu
p q r (p orororor q) ^ r
T T T T
T T F F
T F T T
T F F F
F T T T
F T F F
F F T FF F F F
Şartlı Oumlnermeler ve Mantıksal Denklik(Conditional Propositions andLogical Equivalence)
Şartlı oumlnerme (conditional proposition)
ldquoIf p then qrdquo
şeklinde goumlsterilir
Semboluuml p rarr q Oumlrnek
p = Cuumlneyt programcıdır
q = Zeynep avukattır
p rarr q = ldquoIf Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 929
p rarr q lsquonun Doğruluk Tablosu
Sadece p ve q lsquonun her ikiside doğru veyaprsquonin yanlış olduğu durumlarda p rarr qoumlnermesi doğrudur
p q p rarrrarrrarrrarr q
T T T
T F F
F T T
F F T
Hipotez ve Sonuccedil(Hypothesis and conclusion)
p rarr q şartlı oumlnermesindep antecedent veya hypothesis
q consequent or conclusion
olarak adlandırılır
ldquoif p then q mantıksal olarak p only if qldquo ileaynıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1029
Gereklilik ve Yeterlilik(Necessary and Sufficient)
Gerekli şart (necessary condition ) sonuccedil(conclusion ) tarafından ifade edilir
Yeterli şart (sufficient condition ) hipotez(hypothesis ) tarafından ifade edilir
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329
Ccedilelişki (Contradiction)
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır
p p (~p)
T FF F
Oumlrnek p ^ ~p
De Morgan Kanunu
Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir
~ (p or q) rarr (~p)^(~q)
~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429
Nicelikler (Quantifiers)
P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun
Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı
D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun
Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır
D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)
Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar
Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar
Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır
D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun
if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır
if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529
Her ve Bazı(For every and for some)
Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır
Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees
EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)
The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır
forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır
En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur
ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo
P(x) ldquox has studied calculusrdquo
forallx P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction
P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)
since the conjunction is true if and only
if P(x1) P(x2)P(xn) are all true
Propositional fonksiyonun doğruluğu
forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D
Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D
P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur
P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır
Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon
ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır
foralln isin D = buumltuumln tam sayılar
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 629
OR (disjunction) doğruluk tablosu
Disjunction doğruluk tablosu
p q p v q
T T T
T F T
F T T
F F F
p ve q bir oumlnerme ise disjunction (p v q ) veya(p or q) olarak goumlsterilir
Sadece p ve q nun her ikisinin de yanlış olduğu durumdap or q yanlıştırOumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır q = ldquoZeynep avukattırp v q = Cuumlneyt programcıdır or Zeynep avukattır
Exclusive disjunction OR(XOR)
Sadece p doğru ve q yanlış ise veya p yanlış veq doğru ise p or q doğrudur
Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo q = ldquoZeynep avukattırldquop v q = ldquoNe Cuumlneyt programcıdır ne de Zeynep avukattır
p q p v q
T T F
T F T
F T T
F F F
p ve q bir oumlnerme ise exclusive disjunction OR (xor) p or q olarak goumlsterilir Exclusive disjunction doğruluk tablosu
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 729
Tersi (Negation)
p doğru iken ~p yanlıştır
p yanlış iken ~p doğrudur
p ~p
T F
F T
prsquo nin tersi ~p veya prsquo ile goumlsterilir
Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır~p = ldquoCuumlneyt programcı değildir
Birden Fazla Oumlnermenin
Birleştirilmesi
p q r basit oumlnermeler olsun
Birleştirilmiş ifadeleri aşağıdaki gibi goumlsterebiliriz
(porq)^r
por(q^r)
(~p)or(~q)(porq)^(~r)
ve diğer durumlarhellip
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 829
Oumlrnek (porq)^r nin doğruluk tablosu
p q r (p orororor q) ^ r
T T T T
T T F F
T F T T
T F F F
F T T T
F T F F
F F T FF F F F
Şartlı Oumlnermeler ve Mantıksal Denklik(Conditional Propositions andLogical Equivalence)
Şartlı oumlnerme (conditional proposition)
ldquoIf p then qrdquo
şeklinde goumlsterilir
Semboluuml p rarr q Oumlrnek
p = Cuumlneyt programcıdır
q = Zeynep avukattır
p rarr q = ldquoIf Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 929
p rarr q lsquonun Doğruluk Tablosu
Sadece p ve q lsquonun her ikiside doğru veyaprsquonin yanlış olduğu durumlarda p rarr qoumlnermesi doğrudur
p q p rarrrarrrarrrarr q
T T T
T F F
F T T
F F T
Hipotez ve Sonuccedil(Hypothesis and conclusion)
p rarr q şartlı oumlnermesindep antecedent veya hypothesis
q consequent or conclusion
olarak adlandırılır
ldquoif p then q mantıksal olarak p only if qldquo ileaynıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1029
Gereklilik ve Yeterlilik(Necessary and Sufficient)
Gerekli şart (necessary condition ) sonuccedil(conclusion ) tarafından ifade edilir
Yeterli şart (sufficient condition ) hipotez(hypothesis ) tarafından ifade edilir
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329
Ccedilelişki (Contradiction)
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır
p p (~p)
T FF F
Oumlrnek p ^ ~p
De Morgan Kanunu
Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir
~ (p or q) rarr (~p)^(~q)
~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429
Nicelikler (Quantifiers)
P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun
Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı
D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun
Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır
D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)
Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar
Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar
Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır
D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun
if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır
if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529
Her ve Bazı(For every and for some)
Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır
Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees
EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)
The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır
forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır
En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur
ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo
P(x) ldquox has studied calculusrdquo
forallx P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction
P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)
since the conjunction is true if and only
if P(x1) P(x2)P(xn) are all true
Propositional fonksiyonun doğruluğu
forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D
Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D
P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur
P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır
Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon
ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır
foralln isin D = buumltuumln tam sayılar
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329
Ccedilelişki (Contradiction)
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır
p p (~p)
T FF F
Oumlrnek p ^ ~p
De Morgan Kanunu
Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir
~ (p or q) rarr (~p)^(~q)
~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429
Nicelikler (Quantifiers)
P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun
Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı
D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun
Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır
D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)
Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar
Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar
Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır
D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun
if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır
if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529
Her ve Bazı(For every and for some)
Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır
Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees
EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)
The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır
forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır
En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur
ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo
P(x) ldquox has studied calculusrdquo
forallx P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction
P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)
since the conjunction is true if and only
if P(x1) P(x2)P(xn) are all true
Propositional fonksiyonun doğruluğu
forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D
Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D
P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur
P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır
Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon
ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır
foralln isin D = buumltuumln tam sayılar
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329
Ccedilelişki (Contradiction)
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır
p p (~p)
T FF F
Oumlrnek p ^ ~p
De Morgan Kanunu
Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir
~ (p or q) rarr (~p)^(~q)
~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429
Nicelikler (Quantifiers)
P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun
Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı
D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun
Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır
D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)
Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar
Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar
Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır
D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun
if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır
if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529
Her ve Bazı(For every and for some)
Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır
Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees
EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)
The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır
forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır
En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur
ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo
P(x) ldquox has studied calculusrdquo
forallx P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction
P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)
since the conjunction is true if and only
if P(x1) P(x2)P(xn) are all true
Propositional fonksiyonun doğruluğu
forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D
Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D
P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur
P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır
Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon
ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır
foralln isin D = buumltuumln tam sayılar
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329
Ccedilelişki (Contradiction)
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır
p p (~p)
T FF F
Oumlrnek p ^ ~p
De Morgan Kanunu
Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir
~ (p or q) rarr (~p)^(~q)
~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429
Nicelikler (Quantifiers)
P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun
Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı
D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun
Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır
D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)
Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar
Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar
Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır
D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun
if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır
if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529
Her ve Bazı(For every and for some)
Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır
Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees
EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)
The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır
forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır
En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur
ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo
P(x) ldquox has studied calculusrdquo
forallx P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction
P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)
since the conjunction is true if and only
if P(x1) P(x2)P(xn) are all true
Propositional fonksiyonun doğruluğu
forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D
Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D
P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur
P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır
Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon
ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır
foralln isin D = buumltuumln tam sayılar
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329
Ccedilelişki (Contradiction)
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır
p p (~p)
T FF F
Oumlrnek p ^ ~p
De Morgan Kanunu
Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir
~ (p or q) rarr (~p)^(~q)
~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429
Nicelikler (Quantifiers)
P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun
Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı
D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun
Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır
D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)
Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar
Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar
Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır
D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun
if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır
if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529
Her ve Bazı(For every and for some)
Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır
Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees
EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)
The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır
forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır
En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur
ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo
P(x) ldquox has studied calculusrdquo
forallx P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction
P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)
since the conjunction is true if and only
if P(x1) P(x2)P(xn) are all true
Propositional fonksiyonun doğruluğu
forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D
Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D
P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur
P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır
Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon
ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır
foralln isin D = buumltuumln tam sayılar
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329
Ccedilelişki (Contradiction)
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır
p p (~p)
T FF F
Oumlrnek p ^ ~p
De Morgan Kanunu
Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir
~ (p or q) rarr (~p)^(~q)
~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429
Nicelikler (Quantifiers)
P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun
Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı
D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun
Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır
D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)
Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar
Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar
Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır
D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun
if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır
if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529
Her ve Bazı(For every and for some)
Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır
Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees
EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)
The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır
forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır
En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur
ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo
P(x) ldquox has studied calculusrdquo
forallx P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction
P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)
since the conjunction is true if and only
if P(x1) P(x2)P(xn) are all true
Propositional fonksiyonun doğruluğu
forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D
Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D
P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur
P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır
Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon
ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır
foralln isin D = buumltuumln tam sayılar
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329
Ccedilelişki (Contradiction)
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır
p p (~p)
T FF F
Oumlrnek p ^ ~p
De Morgan Kanunu
Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir
~ (p or q) rarr (~p)^(~q)
~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429
Nicelikler (Quantifiers)
P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun
Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı
D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun
Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır
D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)
Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar
Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar
Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır
D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun
if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır
if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529
Her ve Bazı(For every and for some)
Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır
Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees
EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)
The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır
forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır
En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur
ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo
P(x) ldquox has studied calculusrdquo
forallx P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction
P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)
since the conjunction is true if and only
if P(x1) P(x2)P(xn) are all true
Propositional fonksiyonun doğruluğu
forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D
Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D
P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur
P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır
Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon
ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır
foralln isin D = buumltuumln tam sayılar
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329
Ccedilelişki (Contradiction)
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır
p p (~p)
T FF F
Oumlrnek p ^ ~p
De Morgan Kanunu
Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir
~ (p or q) rarr (~p)^(~q)
~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429
Nicelikler (Quantifiers)
P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun
Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı
D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun
Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır
D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)
Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar
Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar
Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır
D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun
if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır
if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529
Her ve Bazı(For every and for some)
Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır
Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees
EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)
The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır
forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır
En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur
ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo
P(x) ldquox has studied calculusrdquo
forallx P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction
P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)
since the conjunction is true if and only
if P(x1) P(x2)P(xn) are all true
Propositional fonksiyonun doğruluğu
forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D
Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D
P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur
P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır
Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon
ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır
foralln isin D = buumltuumln tam sayılar
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429
Nicelikler (Quantifiers)
P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun
Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı
D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun
Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır
D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)
Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar
Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar
Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır
D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun
if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır
if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529
Her ve Bazı(For every and for some)
Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır
Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees
EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)
The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır
forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır
En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur
ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo
P(x) ldquox has studied calculusrdquo
forallx P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction
P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)
since the conjunction is true if and only
if P(x1) P(x2)P(xn) are all true
Propositional fonksiyonun doğruluğu
forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D
Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D
P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur
P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır
Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon
ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır
foralln isin D = buumltuumln tam sayılar
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529
Her ve Bazı(For every and for some)
Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır
Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees
EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)
The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır
forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır
En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur
ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo
P(x) ldquox has studied calculusrdquo
forallx P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction
P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)
since the conjunction is true if and only
if P(x1) P(x2)P(xn) are all true
Propositional fonksiyonun doğruluğu
forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D
Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D
P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur
P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır
Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon
ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır
foralln isin D = buumltuumln tam sayılar
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction
P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)
since the conjunction is true if and only
if P(x1) P(x2)P(xn) are all true
Propositional fonksiyonun doğruluğu
forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D
Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D
P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur
P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır
Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon
ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır
foralln isin D = buumltuumln tam sayılar
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292
İspatlar (Proofs)
Bir matematik sistemi
Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)
Tanımlar (Definitions)
Aksiyomlar (Axioms)
Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır