Logaritmo e Exponencial - social.stoa.usp.br · Logaritmo da Potência log b a N = N log b a Derek Paiva Logaritmo e Exponencial. ... log9 32 = x Derek Paiva Logaritmo e Exponencial.

Logaritmo e ExponencialEscalas Logarítmicas

Derek Paiva

EDUCAFRO - Núcleo Kalunga

[email protected]

2018

Derek Paiva Logaritmo e Exponencial

De�nição de Logaritmo (Função Logarítmica e Exponencial)

Seja x , y , b ∈ R, y > 0, b 6= 0 e b > 1

logb y = x ⇔ bx = y

Exemplo 1. Parte a

Seja uma função exponencial do tipo

y = bx ⇒ y = 2x

Exemplo 1. Parte b

A função logarítmica equivalente, nesse caso da exponencial, é do

tipo

y = logb x ⇒ y = log2 x



Seja x , y , b ∈ R, y > 0, b 6= 0 e b > 1


Exemplo 1. Parte a


y = bx ⇒ y = 2x

Exemplo 1. Parte b


tipo




Seja x , y , b ∈ R, y > 0, b 6= 0 e b > 1


Exemplo 1. Parte a


y = bx ⇒ y = 2x

Exemplo 1. Parte b


tipo



A função exponencial tem alguns de seus valores expressos na

tabela abaixo.

x y...

...

0 1

1 2

2 4

3 8...

...

10 1024...

...

20 1048576...

...

Tabela: Tabela dos valores da função exponencial y = 2x .


E a função logarítmica (inversa da exponcial anterior) tem alguns

de seus valores expressos na tabela a seguir, como na tabela

anterior.

x y...

...

1 0

2 1

3 1,584...

4 2...

...

10 3,321......

...

20 4,321......

...

Tabela: Tabela dos valores da função logarítmica y = log2x .


Representação das funções y = 2x e y = log2 x

Figura: Representação grá�ca. Em verde, y = 2x e em vermelho,

y = log2x .


Prpriedades Operatórias

Sejam logb a, logb c , c 6= 0 e N ∈ R, vale as propriedades seguintes.

Logaritmo do Produto

logb(a · c) = logb a+ logb c

Logaritmo do Quociente

logb

(ac

)= logb a− logb c

Logaritmo da Potência

logb aN = N · logb a







logb

(ac

)= logb a− logb c









logb

(ac

)= logb a− logb c









logb

(ac

)= logb a− logb c




Propriedades Operatórias

Mudança de Base

Seja logb n 6= 0, temos

logn x =logb m

logb n

Exemplo a.

log

(a√b

c3

)

Exemplo b.

Dados loga m = 11 e loga n = 6, quanto vale a expressão

loga(m3 · n2)?



Mudança de Base


logn x =logb m

logb n

Exemplo a.

log

(a√b

c3

)

Exemplo b.


loga(m3 · n2)?



Mudança de Base


logn x =logb m

logb n

Exemplo a.

log

(a√b

c3

)

Exemplo b.


loga(m3 · n2)?


Escalas Logarítmicas

O que é uma escala logarítmica?

Uma escala que utiliza do logaritmo de uma grandeza, ao invés da

grandeza propriamente dita.

Temos muitos exemplos de modelos matemáticos que utilizam das

escalas logarítmicas para previsões, manuntenções, observações de

fenômenos naturais, sociais, econômicos e políticos.


Exemplos de Escalas Logarítmicas

Terremotos: A Escala Richter

Também conhecida como escala de magnitude local, foradesenvolvida por Charles Francis Richter e Beno Gutenberg na

intenção de quanti�car a magnitude de um sismo.

A escala se baseia em logaritmo de base 10, bastante comum nas

ciências em geral. Sua equação é do tipo

ML =2

3log

E

E0

Onde, E é a quantidade de energia liberada em um determinado

terremoto e E0 = 7× 10−3kWh.


Escala Richter

Figura: Figura explicativa sobre a escala Richter.


Exemplo: QUESTÃO 180 - ENEM 2016 (CADERNO AZUL)

Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter causou

um devastador tsunami no Japão, provocando um alerta na usina

nuclear de Fukushima. Em 2013, outro terremoto, de magnitude

7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China),

deixando centenas de mortos e milhares de feridos. A magnitude de

um terremoto na escala Richter pode ser calculada por

ML =2

3log

E

E0

sendo E a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e E0 uma

constante real positiva. Considere que E1 e E2 representam as

energias liberadas nos terremotos ocorridos no Japão e na China,

respectivamente. Qual a relação entre E1 e E2?(A) E1 = E2 + 2 (B) E1 = 102E2 (C) E1 = 103E2

(D) E1 = 1097E2 (E) E1 =

9

7E2


Exemploe de Esacalas Logarítmicas

pH (Potencial Hidrogeniônico)

Utilizada em química, a escala de pH tem por �nalidade especi�car

a acidez ou basicidade de uma solução aquosa. O pH é o logaritmo

na base 10 do inverso da respectiva concentração de H3O+ (íon

hidroxônio). Soluções com valores menores do que 7 são

consideradas ácidas e soluções com valores maiores do que 7, são

consideradas básicas. Temos, então

pH = − log[H+]

Exemplo

O cérebro humano contém um líquido cuja a concentração de

H3O+ é 4, 8× 10−8mol/l (em média). Podemos calcular o pH

desse líquido.

Dados log 2 ' 0, 30 e log 3 ' 0, 47


Exemploe de Esacalas Logarítmicas

pH (Potencial Hidrogeniônico)

Utilizada em química, a escala de pH tem por �nalidade especi�car

a acidez ou basicidade de uma solução aquosa. O pH é o logaritmo

na base 10 do inverso da respectiva concentração de H3O+ (íon

hidroxônio). Soluções com valores menores do que 7 são

consideradas ácidas e soluções com valores maiores do que 7, são

consideradas básicas. Temos, então

pH = − log[H+]

Exemplo

O cérebro humano contém um líquido cuja a concentração de

H3O+ é 4, 8× 10−8mol/l (em média). Podemos calcular o pH

desse líquido.

Dados log 2 ' 0, 30 e log 3 ' 0, 47


Escala do pH

Figura: Escala de pH com escala de pOH


Logaritmos Dados

A partir de alguns logaritmos dados, podemos obter o valor

aproximado de um grande número de logaritmos, usando as

propriedades conhecidas.

Dados log 2 ' 0, 30 e log 3 ' 0, 48

Exemplo a.

log 6 = log(2 · 3) = log 2+ log 3 = 0, 78

Exemplo b.

log 30 = log(3 · 10) = log 3+ log 10 = 1, 48

Exemplo c.

log 8 = log 23 = 3 · log 2 = 0, 90


Logaritmos Dados




Dados log 2 ' 0, 30 e log 3 ' 0, 48

Exemplo a.

log 6 = log(2 · 3) = log 2+ log 3 = 0, 78

Exemplo b.

log 30 = log(3 · 10) = log 3+ log 10 = 1, 48

Exemplo c.

log 8 = log 23 = 3 · log 2 = 0, 90


Logaritmos Dados




Dados log 2 ' 0, 30 e log 3 ' 0, 48

Exemplo a.

log 6 = log(2 · 3) = log 2+ log 3 = 0, 78

Exemplo b.

log 30 = log(3 · 10) = log 3+ log 10 = 1, 48

Exemplo c.

log 8 = log 23 = 3 · log 2 = 0, 90


Logaritmos Dados




Dados log 2 ' 0, 30 e log 3 ' 0, 48

Exemplo a.

log 6 = log(2 · 3) = log 2+ log 3 = 0, 78

Exemplo b.

log 30 = log(3 · 10) = log 3+ log 10 = 1, 48

Exemplo c.

log 8 = log 23 = 3 · log 2 = 0, 90


Logaritmos Dados

Exemplo d.

log√3 = log 3

12 =

1

2· log 3 = 0, 24

Exemplo e.

log2 3 =log 3

log 2= 1, 60

Vamos lá!

Calculem agora!

log9 32 = x


Logaritmos Dados

Exemplo d.

log√3 = log 3

12 =

1

2· log 3 = 0, 24

Exemplo e.

log2 3 =log 3

log 2= 1, 60

Vamos lá!

Calculem agora!

log9 32 = x


Logaritmos Dados

Exemplo d.

log√3 = log 3

12 =

1

2· log 3 = 0, 24

Exemplo e.

log2 3 =log 3

log 2= 1, 60

Vamos lá!

Calculem agora!

log9 32 = x


Logaritmo e Exponencial - social.stoa.usp.br · Logaritmo da Potência log b a N = N log b a Derek Paiva Logaritmo e Exponencial. ... log9 32 = x Derek Paiva Logaritmo e Exponencial.

Documents