LOGARİTMA ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT Üstel Fonksiyon ve Logaritma Fonksiyonu 1. Kazanım : Üstel fonksiyonu oluşturur, tanım ve görüntü kümesini açıklar. 2. Kazanım : Üstel fonksiyonların birebir ve örten olduğunu gösterir. 3. Kazanım : Logaritma fonksiyonunu üstel fonksiyonunun tersi olarak kurar. 4. Kazanım : Onluk logaritma fonksiyonunu ve doğal logaritma fonksiyonunu açıklar. 5. Kazanım : Logaritma fonksiyonunun özelliklerini gösterir ve uygulamalar yapar. Üslü ve Logaritmik Denklemler ve Eşitsizlikler 1. Kazanım : Üslü ve logaritmik denklem ve eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulur.
55
Embed
LOGARİTMA ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTpdfkitapindir.net/dosya/mat/11matesen/11_Mat_KA_2blm.pdf · Logaritma 87 ÖRNEK 14 f(x) = log 3 (x2 – 9) + log x x x
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
LOGARİTMA
ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT
Üstel Fonksiyon ve Logaritma Fonksiyonu
1. Kazanım : Üstel fonksiyonu oluşturur, tanım ve görüntü kümesini açıklar.
2. Kazanım : Üstel fonksiyonların birebir ve örten olduğunu gösterir.
3. Kazanım : Logaritma fonksiyonunu üstel fonksiyonunun tersi olarak kurar.
4. Kazanım : Onluk logaritma fonksiyonunu ve doğal logaritma fonksiyonunu açıklar.
5. Kazanım : Logaritma fonksiyonunun özelliklerini gösterir ve uygulamalar yapar.
Üslü ve Logaritmik Denklemler ve Eşitsizlikler
1. Kazanım : Üslü ve logaritmik denklem ve eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulur.
82
LOGARİTMA
9. sınıfta üslü ifadeler ve özelliklerini öğrenmiştik. Bu özellikleri bir kez daha hatırlayalım.
a, b ∈ R+ – {1} ve x, y ∈ R olmak üzere,
ax.ay = ax+y ax.bx = (a.b)x (ax)y = axy
aa a
y
xx y–=
ba
ba
x
x x= b l a
a1xx
– =
Şimdi de üstel fonksiyonu tanımlayalım.
a ∈ R+ – {1} ve x ∈ R olmak üzere, f: R → R+ , f(x) = ax fonksiyonuna, tabanı “a” olan üstel fonksiyon denir.
f(x) = 2x , g(x) = (v2)x ve h(x) = 31 x
c m fonksiyonlarının her biri, birer üstel fonksiyondur.
Bu fonksiyonlardan f(x) = y = 2x fonksiyonunu ele alıp, bu fonksiyonun grafiğini çizerek özelliklerini araştıralım.
f(x) = y = 2x fonksiyonu için x e bazı değerler verip, y değerlerini bulalım.
���
�
�
�
�
�
�
�
�
�����
x = –2 için, y = 2–2 = 41
x = –1 için, y = 2–1 = 21
x = 0 için, y = 20 = 1
x = 1 için, y = 21 = 2
x = 2 için, y = 22 = 4 olur.
O halde, y = 2x fonksiyonunun grafiği , , ,241 1
21– –c cm m, (0, 1), (1, 2) ve (2, 4) noktalarından geçmektedir.
Reel sayıların tümünü y = 2x fonksiyonunda yerine yazıp y değerlerini bularak düzlemde işaretleseydik yuka-
rıdaki grafiği elde ederdik. Bu grafiği incelediğimizde;
∀ x ∈ R için , y = 2x > 0 olduğunu görürüz.
x değerleri büyüdükçe, y değerlerinin büyüdüğünü görürüz.
O halde, f(x) = 2x fonksiyonu artan bir fonksiyondur.
x e verilen farklı değerlerin fonksiyondaki görüntüleri de farklıdır.
Yani, ∀ x1, x2 ∈ R , x1 ≠ x2 için f(x1) ≠ f(x2) dir. O halde , f(x) = 2x fonksiyonu bire bir fonksiyondur.
∀ y ∈ R+ için , 2x = y eşitliğini sağlayan bir x değeri vardır. O halde, f(x) = 2x örten fonksiyondur.
ÜSTEL FONKSİYON
Logaritma
83
f(x) = y = 21 x
c m fonksiyonunu ele alıp, bu fonksiyonun grafiğini çizerek özelliklerini araştıralım.
���
�
�
�
�
�
�
�
�
�����
x = –2 için, y = 21 4
2–=c m
x = –1 için, y = 21 2
1–=c m
x = 0 için, y = 21 1
0=c m
x = 1 için, y = 21
211
=c m
x = 2 için, y = 21
412
=c m olur.
O halde, y = 21 x
c m fonksiyonunun grafiği, (–2, 4), (–1, 2), (0, 1), , , ,121 2
41
c cm m noktalarından geçmektedir.
Bulduğumuz bu grafiği incelediğimizde;
∀ x ∈ R için y = 21 0>
xc m olduğunu görürüz.
x değerleri büyüdükçe, y değerlerinin küçüldüğünü görürüz.
O halde, f(x) = 21 x
c m fonksiyonu azalan fonksiyondur.
∀ x1, x2 ∈ R , x1 ≠ x2 için f(x1) ≠ f(x2) dir. f(x) = 21 x
c m fonksiyonu bire bir fonksiyondur.
∀ y ∈ R+ için 21 x
c m = y eşitliğini sağalayan bir x değeri vardır. O halde, f(x) = 21 x
c m örten fonksiyondur.
a ∈ R+ – {1} olmak üzere, f: R → R+ , f(x) = ax fonksiyonu
a > 1 için artan fonksiyon, 0 < a < 1 için azalan fonksiyondur.
f(x) = ax fonksiyonu bire bir ve örtendir.
Üstel fonksiyonların özellikleri yardımıyla bir çok denklemin çözüm kümesini elde edebileceğimizi biliyoruz.
Ancak 2x = 5 , 3x = 23 , 5x–1 = 16 gibi denklemleri sağlayan x değerlerini üslü ifadelerin kuralları yardımıy-la bulamayız. Bu tür denklemlerin çözüm kümelerini bulmak için yeni bir fonksiyon olan logaritma fonksiyonunu tanımlayacağız.
Logaritma
84
ÖRNEK 1
Aşağıda bazı logaritmalı ifadeler, üstel biçimde yazıl-mıştır. İnceleyiniz.Çözüm
log2x = 5 ⇔ x = 25 = 32
log5x = 1 ⇔ x = 51 = 5
log7x = 0 ⇔ x = 70 = 1
log2x = 21
log 3 x = 4 ⇔ x = 3 4^ h = 9
ÖRNEK 2
log3(log2x) = 1
eşitliğini sağlayan x değerini bulunuz.
Çözüm
f: R → R+ , a ∈ R+ – {1} için f(x) = ax fonksiyonunun bire bir ve örten bir fonksiyon olduğunu öğrendik. O halde bu fonksiyonun ters fonksiyonu vardır.
a ∈ R+ – {1} ol mak üze re, f: R → R+ , f(x) = ax fonk si yo nu nun ters fonk si yo nu na, a ta ba nı na gö re lo ga rit ma fonk si yo nu de nir. f: R+ → R , f(x) = logax biçiminde gösterilir.
Bu tanıma göre, y = ax ⇔ x = logay dir.
���� �� �� ������������
�������������������
���������������
������
� �
Yandaki şema incelendiğinde, üstel fonksiyonun verilen belli bir tabana “üs koyma” işlemi,
logaritma fonksiyonunun ise verilen belli bir tabana göre “üs indirme” işlemi olduğu söylenebilir.
y = logax eşitliğini, “y eşittir a tabanına göre logaritma x” biçiminde okuruz. Bu eşitlikte,
x sayısının pozitif gerçek sayı
a sayısının 1 den farklı bir pozitif gerçek sayı
y sayısının bir gerçek sayı olduğuna dikkat ediniz.
Örneğin, log216 ifadesinin değerini, “2 sayısının hangi üssü 16 dır?” biçiminde düşünerek bulabiliriz.
Bu durumda, 24 = 16 olduğundan log216 = 4 sonucuna ulaşabiliriz.
Benzer şekilde,
log327 = x eşitliğini sağlayan x değerini bulmak için, “3 sayısının hangi üssü 27 dir?” sorusuna cevap bul-malıyız. 33 = 27 olduğundan log327 = 3 olur.
Bu durumu daha sade olarak ab = c ⇔ b = logac biçiminde ifade edebiliriz. Örneğin,
Aşağıda ab = c ⇔ logac = b eşitliğinden yararlanıla-
rak üstel biçimde verilmiş ifadeler logaritma kullanıla-
rak yazılmıştır. İnceleyiniz.
Çözüm
2x = 3 ⇔ log23 = x
3x = 5 ⇔ log35 = x
2x–1 = 10 ⇔ log210 = x – 1
⇔ x = 1 + log210
5x+2 = 2 ⇔ log52 = x + 2
⇔ x = (log52) – 2 olur.
ÖRNEK 7
f(x) = 3x–1 ise f–1(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 8
f(x) = 23x–1 ise f–1(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
86
LOGARİTMA FONKSİYONUNUN EN GENİŞ TANIM KÜMESİNİ BULMA
f(x) = logax fonksiyonunda a ∈ R+ – {1} ve x ∈ R+
olduğundan bu fonksiyonun en geniş tanım kümesini bulurken, a > 0 , x > 0 ve a ≠ 1 koşullarını birlikte sağlayan aralıklar bulunur.
ÖRNEK 9
f(x) = log3(x – 4) fonksiyonunun en geniş tanım kü-mesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 10
f(x) = log2(9 – x2) fonksiyonunun en geniş tanım kü-mesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 11
f(x) = log4–x(x – 1) fonksiyonunun en geniş tanım kü-
mesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 12
f(x) = log2–x(x2 – x – 12) fonksiyonunun en geniş ta-
nım kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 13
f(x) = log(x2 – 2mx + 4) fonksiyonu ∀ x ∈ R için ta-nımlı bir fonksiyon ise m nin değer aralığını bulunuz.
Çözüm
Logaritma
87
ÖRNEK 14
f(x) = log3(x2 – 9) + logx x
x3
5 –+c m
fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
Çözüm
ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU
ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONUTabanı 10 olan logaritma fonksiyonuna, onluk logaritma fonksiyonu denir.
f(x) = log10x veya f(x) = logx biçiminde gös-terilir.
ÖRNEK 15
Aşağıda ab = c ⇔ logac = b eşitliğinden yararlanıla-
rak üstel biçimde verilmiş ifadeler logaritma kullanıla-
rak yazılmıştır. İnceleyiniz.
100 = 1
101 = 10
102 = 100 ⇔ log10100 = 2
103 = 1000 ⇔ log101000 = 3
10–1 = 101
10–2 = 1001
ETKİNLİK
Okyanus coğrafyası (oşinografi) alanındaki araştırmalar sonucunda, plajın eğimi ile üzerindeki kum tanecikleri-nin büyüklüğü arasındaki ilişkiyi ortaya çıkarmıştır.
Plajın eğimi: m , Kum taneciklerinin ortalama çapı: d mm olmak üzere,
m = 0,159 + 0,118.logd bağıntısı vardır.
Örneğin, kum taneciklerinin ortalama çapı: 0,2 mm olan bir plajın eğimini hesap makinesi yardımıyla
m = 0,159 + 0,118.log(0,2) ≅ 0,159 + 0,118.(–0,299) ≅ 0,159 – 0,035 ≅ 0,124 bulunur.
Benzer şekilde işlem yaparak aşağıdaki tabloyu siz doldurunuz.
Çap (d)
0,08 mm
0,6 mm
1 mm
5 mm
Kum türü
‹nce kum
Kal›n kum
Çok iri taneli kum
Çak›l
Plaj›n e¤imi (m)
Logaritma
88
e Sayısı
Bir çok bilim dalında ve mühendisliklerde yaygın olarak kullanılan e sayısı da π sayısı gibi irrasyonel bir sa-yıdır. Bu sayıyı kimin bulduğu tam bilinmesede Euler’in bulduğu kabul edilmektedir. Dolayısıyla e, Euler Sayısı olarak adlandırılmıştır.
Euler x
1 1 x+c m ifadesinin, x sonsuz büyüdüğünde 2,718281828459...... sayısına yaklaştığını tespit etmiş ve
bu sayıyı virgülden sonraki 23 ondalığa kadar hesaplamıştır.
Hesap makinesi yardımıyla doldurulan aşağıdaki iki tabloyu inceleyiniz.
10
100
1000
1 000 000
1 000 000 000
2,59374246
2,704813829
2,716923932
2,718282031
2,718281827
1+1x
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
x
x
–10
–100
–1000
–1 000 000
–1 000 000 000
2,867971991
2,731999026
2,719642216
2,718281758
2,718281827
1+1x
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
x
x
Bu iki tabloda, x sayısının alacağı çok büyük pozitif ve çok küçük negatif değerler için x
1 1 x+c m ifadesinin bir
sayıya yaklaştığı görülmektedir. Bu sayı e sayısı olup
e = 2,718281828459045235360287471..... dir.
Tabanı e olan loga rit ma fonk si yo nu na, doğal lo ga rit ma fonk siyonu denir.
f(x) = lo gex ve ya f(x) = lnx bi çi min de gös te ri lir.
Leonhard Euler (1707 - 1783) İsviçre’li matemmatikçi ve fizikçi.
18. Yüzyıl’ın en önemli ve tüm zamanların önde gelen matematik-çilerinden biri kabul edilmektedir.
Euler matematiğin neredeyse bütün dallarında çalışmıştır. Temel analiz, grafik teorisi ve şu anda inşaat, elektrik ve havacılık mü-hendisliklerine temel teşkil eden matematiğin fiziksel uygulamala-rının bir çoğunun kurucusu olmuştur.
DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU
89
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. x
y = 3x
–2 –1 0 1 2
Yukarıdaki tabloyu doldurarak elde ettiğiniz nok-taları analitik düzlemde işaretleyerek
f: R → R+ , f(x) = 3x fonksiyonunun grafiğini elde ediniz.
2. � � � � � �
�!
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟�
��
Yukarıdaki tabloyu doldurarak elde ettiğiniz nok-taları analitik düzlemde işaretleyerek
f : R → R+ , f(x) = 31 x
c m fonksiyonunun grafiğini
elde ediniz.
3. a ∈ R+ – {1}, y ∈ R+ ve x ∈ R olmak üzere aşa-ğıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş kutularaD yanlış olanlar için Y yazınız.
f(x) = ax fonksiyonu bire bir dir.
f(x) = ax fonksiyonu örten değildir.
a > 1 için, f(x) = ax artan bir fonksiyondur.
0 < a < 1 için, f(x) = ax azalan bir fonksi-
yondur.
4. Aşağıdaki eşitliklerin her birinde x değerini bulu-nuz.
a. 2x =321
b. 3x–1 = 3v3
c. 2x – 2x+1 + 2x–1 = –1
d. 2x + 2x + 2x + 2x = 2x.2x.2x
e. 4 4
2 2 257
x x
x x x
1
1 1–
++ + =
+
+
f. 32x – 9x–1 = 24
5. Aşağıdaki logaritmalı ifadelerin her birini, üstel bi-çimde yazıp x değerlerini bulunuz.
a. log3x = 4
b. log2x = 2
c. log8x = 1
d. log x21 = 9
e. log x 62 =
f. log5 x1 = –2
g. logx2 1–
31 =
ALIŞTIRMALAR – 1
Logaritma
90
ES
EN
YAY
INLA
RI
6. log2(log3x) = 2 eşitliğini sağlayan x değerini bu-lunuz.
7. log3[log2(log4x)] = 0 eşitliğini sağlayan x değe-rini bulunuz.
1. Aşağıdaki ifadelerden her birini sonuçlandırınız.
a. log216 + log3v3 + log
101
b. log2 42 – log55v5
c. lnve + lne12
– lne
d. log10 – log101 + log1000
e. log0,1 + log0,001 – log100
2. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş ku-tulara D yanlış olanlar için Y yazınız.
log(x + y) = logx.logy
log(x.y) = logx + logy
logyx
c m = logx – logy
loglog
yx = logx – logy
logxn = n.logx
logx.yn = n.logx.y
(logx)n = n.logx
3. log2 = x ve log3 = y ise aşağıdakilerin her biri-nin x ve y cinsinden değerlerini bulunuz.
a. log18
b. log0,24
c. log3600
d. log75
e. log2716
4. log2[log3(5 – log25625)]
ifadesinin eşitini bulunuz.
5. 2log25 + 4log2v3 + 2 ifadesini tek bir logaritma
cinsinden yazınız.
6. log2(a.b) = 12 ve log2 ba = 4 ise a + b kaçtır?
ALIŞTIRMALAR – 2
Logaritma
100
ES
EN
YAY
INLA
RI
7. log23 = x ise log1854 ifadesinin x cinsinden de-
ğerini bulunuz.
8. logaba.logba
2 = 16 ise a kaçtır?
9. logv2v6.log
v3v2.logv6 813
ifadesinin eşiti kaçtır?
10. log2 = 0,30103 ise log625 in değerini bulunuz.
11. log5 = a ise log ,0 0004 ifadesinin eşitini bulu-nuz.
12. log34.log45.logv5x = 2 ise x kaçtır?
13. Aşağıdaki işlemlerin her birini sonuçlandırınız.
a. 2log23
b. 4log25
c. 3log92
d. 101–log3
e. eln5
f. e1+ln2
14. 2log4(x+1) = v5 ise x kaçtır?
15. log215! = a ise log216! ifadesinin a cinsindendeğerini bulunuz.
16. log21 + log
32 + log
43 + ..... + log
10099
ifadesinin eşiti kaçtır?
Logaritma
101
ES
EN
YAY
INLA
RI
17. 349log x
41
=2 – 9 ise x kaçtır?
18. 2a = 3b ise log1627 ifadesinin a ve b cinsin-den değerini bulunuz.
19. log23 = a ise log6 32 ifadesinin a cinsinden de-
ğerini bulunuz.
20. eln(2x–2) = log2(1 + log327)
eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?
21. f(x) = ex–2 ise f–1(e2) kaçtır?
22. f(x) = 2 – log2(3 – x) ise f–1(–1) kaçtır?
23. f(x) = 2 + log3x ise (fof)(3) kaçtır?
24. f(x) = ( )log x2
3 1–2+ ise f–1(x) fonksiyonunu
bulunuz.
25. f(x) = 2 + ex–1 ve g(x) = 2 – lnx ise
(fog–1)(2) kaçtır?
26. f(x) = ln(ex – 1) ise f–1(x) fonksiyonunu bulunuz.
27. log35 = x ise log81125 ifadesinin x cinsindendeğerini bulunuz.
28. f(x) = log2(x + 1) ve g(x) = log3(3 – x) ise
(gof–1)(0) kaçtır?
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
102
Bir Gerçek Sayının Logaritmasının Hangi İki Ardışık Tam Sayı Arasında Olduğunu Bulma
ÖRNEK 57
Aşağıdaki ifadelerin hangi iki ardışık tam sayı arasın-da olduğunu bulunuz.
a. log240 b. log3142
c. ln4 d. log170
e. log1257 f. log0,004
g. log0,0032 h. log0,000102
Çözüm
Bu sonuçlara göre,
1 den büyük bir sayının onluk logaritması pozitif-tir.
0 ile 1 arasındaki bir sayının onluk logaritması negatiftir.
1 den büyük bir sayının onluk logaritmasının tam kısmı, sayının tam kısmının 1 eksiğine eşittir.
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
103
0 ile 1 arasındaki bir sayının onluk logaritması,
ondalık yazılışta, sıfırdan farklı ilk rakamın solun-
daki sıfır sayısının 1 eksiğinin negatif işaretlisidir.
Bu sonuçlara göre doldurulmuş aşağıdaki tablo-
yu inceleyiniz.
Onluk say›n›nlogaritmas›
log4
log12
log937
log756,23
log1457
log10021,361
log0,0216
log0,00010321
log0,01010203
Onluk logaritman›ntam k›sm›
0
1
2
2
3
4
–1
–3
–1
Bu tablodan aşağıdaki sonuçlara da ulaşabiliriz.
1 den büyük bir sayının tam kısmının kaç basa-
maklı olduğunu bulmak için sayının logaritması
alınır ve çıkan sayının tam kısmına 1 eklenir.
0 ile 1 arasındaki bir sayının onluk gösteriminde-
ki sıfırdan farklı ilk rakamının solunda kaç sıfır ol-
duğunu bulmak için sayının logaritması alınır ve
çıkan sayının mutlak değerinin tam kısmına 1 ek-
lenir.
ÖRNEK 58
logx = 26,123 ise x sayısı, 26 + 1 = 27 basamak-lı bir sayıdır.
logx = 253,246 ise x sayısı 253 + 1 = 254 basa-maklı bir sayıdır.
ÖRNEK 59
log2 = 0,30103 ise 220 sayısının kaç basamaklı bir sayı olduğunu bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 60
log2 = 0,30103 ise 4040 sayısı kaç basamaklı bir sayıdır?
Çözüm
ÖRNEK 61
log2 = 0,30103 ise log80 ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
104
ÖRNEK 62
log27,5 = a ise log0,275 ifadesinin a cinsinden de-
ğerini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 63
log2 = 0,30103 ise log0,004 ifadesinin eşitini bu-
lunuz.
Çözüm
ÖRNEK 64
log2 = 0,30103 ise log250 ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
f(x) = lo gax fonk si yo nu
a > 1 için ar tan fonk siyon
0 < a < 1 için azalan fonksiyondur.
ÖRNEK 65
a = log22 , b = log24 , c = log28
sayılarını karşılaştırınız.
Çözüm
ÖRNEK 66
, ,log log loga b c2 4 821
21
21= = =
sayılarını karşılaştırınız.
Çözüm
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
105
ÖRNEK 67
a = log25 , b = log215 ve c = log210 sayıları arasın-
daki sıralamayı bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 68
,log log loga b ve c7 42 1831
31
31= = =
sayıları arasındaki sıralamayı bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 69
a = log76 , b = log45 ve c = log310
sayıları arasındaki sıralamayı bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 70
a = log34 , b = log
43 ve c = log
65
sayıları arasındaki sıralamayı bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 71
a = log16125 , b = logv225 ve c = log
251
21 sayıları
arasındaki sıralamayı bulunuz.Çözüm
ÖRNEK 72
a < b ve a ile b ardışık tam sayılardır.
a < log 6013
< b olduğuna göre, a + b kaçtır?
Çözüm
Logaritma
106
Bir f(x) fonksiyonu ile bu fonksiyonun tersi olan f–1(x) fonksiyonlarının grafikleri y = x doğrusuna göre simet-riktir. Buna göre, f(x) = ax fonksiyonu ile f –1(x) = logax fonksiyonlarının grafikleri y = x doğrusuna göre simet-rik olur. f(x) = ax fonksiyonu ile ilgili özellikleri bir kez daha hatırlayalım.
f(x) = ax fonksiyonunda,
x
y
0
y=ax
1
a > 1 iken
f(x) = ax fonksiyonu artandır.
∀ x ∈ R için f(x) = ax > 0 dır.
x = 0 için y = f(0) = a0 = 1 noktasından geçer.
Bu bilgiler ışığında, f(x) = ax fonksiyonunun
a > 1 iken grafiği yandaki gibidir.
x
y
0
y=ax
1
0 < a < 1 iken
f(x) = ax fonksiyonu azalandır.
∀ x ∈ R için f(x) = ax > 0 dır.
x = 0 için y = f(0) = a0 = 1 dir.
Yani f(x) in grafiği (0, 1) noktasından geçer.
Bu bilgiler ışığında, f(x) = ax fonksiyonunun
0 < a < 1 iken grafiği yandaki gibidir.
Elde ettiğimiz bu iki grafiğin de y = x doğrusuna göre simetriklerini çizersek f(x) = logax fonksiyonunun gra-fiğini elde ederiz.
�
�
�
���
�
�
��
������
�
�
�
����
�
��������
a > 1 için 0 < a < 1 için
ÜSTEL FONKSİYON VE LOGARİTMA FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
107
ÖRNEK 73
f(x) = 2x–1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
ÖRNEK 74
f(x) = 2x + 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
ÖRNEK 75
f(x) = 21 2–
xc m fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
Pratik Yol
c > 0 olmak üzere,
y = f(x) + c fonksiyonunun grafiği;
y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin y ekseni üzerinde c kadar kaydırılmışıdır.
x
y
0
y = f(x) + c
c
c
y = f(x)
y = f(x) – c
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
108
ÖRNEK 76
y = 2x fonksiyonunun grafiğinden yararlanarak,
y = 2x + 2 , y = 2x + 1 , y = 2x – 1 ve y = 2x – 2fonksiyonlarının grafikleri çizilmiştir. İnceleyiniz.
�
�
�
��� �
��� �
���
�
����
����
�
�
!
ÖRNEK 77
f(x) = ( )log x 421 + fonksiyonunun grafiğini çiziniz.