This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
١
توابع نمایی و لگاریتم : جلسه اول
به را a که اگر مبنا یعنی b عددیست مانند a در مبنای xلگاریتم ھر عدد مانند : این مطلب را اینطور می نویسیم . بدست می آید xعدد برسانیم b توان
x blog b a xa
8 :مثال 3
2l og 3 2 8 4 و یا 22l og 2 2 4
27 33l og 3 3 27 16 یا و 8
2l og 8 ( 2) 16
81 3 93
l og 9 ( 3) 81 3 یاو 1
2255
1l og 2 525
: پس . عددھای منفی و صفر لگاریتم ندارند :نکته
0 تعریف نشده 8l og 8 تعریف نشده
4l og 100تعریف نشده8l og
ریتم یـک در ھـر او لگـ . ریتم ھر عدد در مبنای خودش برابر یک اسـت الگ : نکته
: پس . مبنایی برابر صفر است 1
al og 0 و aal og 1 5 و
5l og 1 1 و7l og 0
10ربه این معنی است که مبنـای آن برابـ . ریتم بدون مبنا بود ااگر یک لگ : نکته
.است
a a10l og l og 7 و 7
10l og l og و x x10l og l og
اگر این قسمت. در این قسمت به این مطالب باید خوب دقت کنید . وجه نشوید را مت
.ا آخر این مبحث را با مشکل مواجه خواھید شد ت . پس مطالب زیر خیلی مھم ھستند
7 x در اکثر تمرینھا اگر عددی در لگاریتم ضرب شده بود این عدد باید تـوان :نکته مھم
وان لگاریتم بود این عدد را بایـد بـه یعنی اگر عددی ت : لگاریتم قرار گیرد و بالعکس قانون سوم و ششم را مجددا ((. پشت لگاریتم و بعنوان ضریب لگاریتم قرار دھیم
))مطالعه کنید
: معادالت زیر را حل کنید :تمرین 8 1l og(x )9 6
2l og 28 1l og(x ) l og( )9 6
: یعنی . م را از طرفین تساوی فوق حذف کنیم می توانیم لگاریت
مثال. گاھی در معادالت لگاریتمی می خواھند سر ما را گول بمالند چـون ھمـه معادلـه زیـر بـر . حواسـمان جمـع باشـد در تمرین زیر باید
. را ھم به لگاریتم تبدیل کنیم 1لذا باید عدد . حسب لگاریتم نوشته شده است چـون در معادلـه زیـر . اسـت 1می دانیم لگاریتم ھر عدد در مبنـای خـودش برابـر
10: می توانیم بنویسیم 1 است پس بجای عدد 10اھا برابر ھمه مبن10l og 1
l og x 5 l og 2x 3 1 l og30
1010l og x 5 l og 2x 3 l og l og30 طبق قانون اول
l og ( x 5)( 2x 3)(10) l og30 تم را از طرفین حذف می کنیمیرالگ
l og ( x 5)( 2x 3)(10) l og 30 ( x 5)( 2x 3)(10) 30
2 210 2x 13x 15 30 2x 13x 15 3 می رسانیم٢طرفین به توان
2 22x 13x 15 9 2x 13x 6 0 x 6 تنھا جواب قابل قبول
. نامعادله زیر را حل کنید :تمرین x 2l og 1
5
پس الزم 1در اینجا یک طرف نامساوی لگاریتم داریم و طرف دیگر نامساوی عدد ــیم ــی دانــــ ــود مــــ ــدیل شــــ ــاریتم تبــــ ــه لگــــ ــدد بــــ ــن عــــ ــت ایــــ : اســــ
عددی باید نوشته شود ؟ ھمه شما به راحتی می گویید ای عالمت سوال چبج ۴عدد
,1اگر از شما سوال شـود در مجموعـه اعـداد 3 , 5 , بجـای عالمـت سـوال چـه ?
٧ ؟ ھمه شما به راحتی جواب می دھیدعددی قرار می گیردھمه دنباله ھا . به این مجموعه اعدادی که در باال مثال زدیم یک دنباله می گوییم
و اگـر غیـر از ایـن بـود شـما نمـی توانـستید . از یک قانون خاص پیروی مـی کننـد ھـا داشـتن قـانون و نظـم در دنبالـه . جمالت بعدی این دنبالـه ھـا را حـدس بزنیـد
ــود . الزامـــی اســـت ــان مـــی شـ ــکل بیـ ــن شـ ــه ایـ ــه بـ ــک دنبالـ ــانون یـ ــثال قـ مـ.na 2n 1 n N, در این قانون n N پس ما باید به n اعدادی از مجموعـه
: اعداد طبیعی یعنی N 1,2 , 3 , 4 , ... ا می کنیم ھمین کار ر. بدھیم :
1 1n 1 a 2(1) 1 t 3 جمله اول
2 2n 2 a 2(2) 1 t 5 جمله دوم
3 1n 3 a 2(3) 1 t 7 جمله سوم
1 1n 4 a 2(4) 1 t 9 جمله چھارم
3پس جمالت این دنباله بصورت , 5 , 7 ,9, خواھد بود از روی این دنباله شما ...
حتمـا ھمـه شـما مـی گوییـد . به راحتی می توانید جمالت بعدی را حدس بزنیـد اما اگر از شما سوال کنم جمله . این حرف درست است . است 11جمله بعدی
3بیستم این دنباله چیست ؟ شما اگر بخواھیـد در دنبالـه , 5 , 7 ,9, جمـالت را ...
اما بـا داشـتن . ادامه دھیدتا به جمله بیستم برسد با مشکل مواجه خواھید شد مـی . قانون یک دنباله شما به راحتی می توانیـد بگوییـد جملـه بیـستم چیـست
:پرسید
ونه ؟گــــــــچ
20aجمله بیستم یعنی n 20 پس در دنباله na 2n 1 n N, داریم :
حسابی ھر گاه در مساله ای مجموع و حاصلضرب سه عدد را که دنباله تشکیل می دھند را بدھند و از ما بخواھند که این دنباله را مشخص کنیم راه حل این است که سه جمله این دنباله را به شکل زیر در نظر بگیریم
(a d) , a , (a d)
و 21اله حسابی تشکیل می دھنـد برابـر مجموع سه عدد که یک دنب :٨تمرین دنبالـه صـعودی . (( این سه عدد را بدست آوریـد . می باشد 168حاصلضرب آنھا
))است (a d) a (a d) 21 3a 21 a 7
2 2 a 7 2(a d) a (a d) 168 a(a d ) 168 7(49 d ) 168
2 2 21 6 87 (4 9 d ) 1 6 8 (4 9 d ) (4 9 d ) 2 4 d 57
aبا داشتن , d ایـن دنبالـه ھـا را فقـط بـرای (( : این سه عدد را مـی نویـسیم
))حالت صعودی می نویسمa 7,d 5
(a d),a,(a d) 2,7,12
و 33له حسابی تشکیل می دھند برابـر مجموع سه عدد که یک دنبا : :٩تمرین دنباله صـعودی . (( این سه عدد را بدست آورید . می باشد 792حاصلضرب آنھا
))است (a d) a (a d) 33 3a 33 a 11
a 112 2 2(a d) a (a d) 792 a(a d ) 792 11(121 d ) 792
2 2 279211(121 d ) 792 (121 d ) 121 d 72 d 711
4 سه عدد خواسته شده به شرط صعودی بودن دنباله 11,18,
و حاصلضربـشان برابـر 15له حـسابی سه جمله اول یک دنبا مجموع :١٠تمرین ))دنباله صعودی است . (( جمله دھم این دنباله را مشخص نمایید . است 80
(a d) a (a d) 15 3a 15 a 5
a 52 2 2(a d) a (a d) 80 a(a d ) 80 5(25 d ) 80
2 2 2805(25 d ) 80 (25 d ) 16 25 d 16 d 35
2, 5 , 8 سه عدد خواسته شده به شرط صعودی بودن دنباله
ریشه گیری و توان رسانی :جلسه سوم گیری از اعداد آشنا شـده در سالھای قبل شما با مفھوم رادیکال و جذر و ریشه
:است که شما خوب یاد بگیرید این ه من می خواھم ھمهاما چیزی را ک.اید یعنی اگـر یـک رادیکـال فرجـه . تمام ھویت یک رادیکال به فرجه این رادیکال است
.خود را از دست بدھد نابود می شود و از بین می رود ؟ یک رادیکال چگونه می تواند فرجه خود را از دست بدھد
3اگر به عبارت . اسـت 3می بینـیم کـه فرجـه ایـن رادیکـال عـدد . دقت کنید 8یعنی رادیکال را نابود کنیم می . برای اینکه بتوانم فرجه این رادیکال را از بین ببرم
: د شوم توانم از دو راه اساسی وار
با استفاده از رابطه :الف n
m n ma a داریم :1
3 38 8 می بینـیم کـه رادیکـال از . بین رفت
38می دانیم کـه :ب 2 33 لـذا 8 2 3 2 یعنـی تـوان زیـر رادیکـال بـا فرجـه می بینیم به محض اینکه یـک رادیکـال . خط بخورد و ساده شود رادیکال می تواند
نـابود شـده و از بـین مـی رود وعـدد زیـر )) خط خـورد (( فرجه خود را از دست داد . رادیکال از زیر رادیکال آزاد می شود
: به مثالھای زیر دقت کنید 33 125 5 3 5
24 9 3 4 2 3 3 55 32 2 5 2
17 75 5
37 3 74 4
. امید وارم تا اینجای درس را خوب یاد گرفته باشید
دانیـد کـه در ضـرب و مـي . کم و بیش با قوانین توانھا آشنا ھستید شما وشـته و نماھـا را بـا ھـم توانھا ھر گاه پایه ھا مساوی باشند یکی از پایـه ھـا را ن
و ھر گاه نماھا با ھم مساوی باشند باید یکی از نماھا را نوشته . جمع می کنیم . و پایه ھا را در ھم ضرب کنیم
3مثال فرض کنید بخواھیم مقدار 32 5 با توجه به اینکه توان . را حساب کنیم. سیم و پایه ھا را در ھم ضرب می کنیم ھا مساویند یکی از توانھا را می نوی