Loa Automa 1 Ingenieria de Control Moderna-ogata 105155

7/21/2019 Loa Automa 1 Ingenieria de Control Moderna-ogata 105155

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ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROLResumen del libro “Ingeniería de Control Moderno; Katsuhiko Ogata”

PROF. HC!OR M"#O$ ROMRO



INDICE

Capitulo 1 Introducción a los sistemas de control

Capítulo La trans!ormada de Laplace

Capítulo " Modelo matem#tico de sistemas lineales

Capítulo $ An#lisis de la respuesta transitoria

Capítulo % Acciones &#sicas de control ' respuesta de sistemas de control

Capítulo ( An#lisis del lu)ar )eom*trico de las raíces

Capítulo + Dise,o de sistemas de control mediante el m*todo del lu)ar )eom*trico de las raíces

Capítulo - An#lisis de la respuesta en !recuencia

Capitulo . Dise,o de sistemas de control mediante la respuesta en !recuencia

Capítulo 1/ Controles 0ID e introducción al control ro&usto

Capítulo ll An#lisis de sistemas de control en el espacio de estados

Capítulo 1 Dise,o de sistemas de control en el espacio de estados

Capítulo 1" An#lisis de esta&ilidad de Liapuno ' control óptimo cuadr#tico

Ap*ndice Antecedentes necesarios para el uso e!ectio de MATLA2



l3l INTROD4CCI5N 6De!inición de t*rminos &#sicos78

Variable controlada: Es la %antidad o %ondi%i&n 'ue se mide ( %ontrola. Por lo %om)n* es lasalida +el resultado, del sistema.

9aria&le manipulada: E s la %antidad o %ondi%i&n 'ue el %ontrolador modi-i%a ara a-e%tar el /alorde la /ariable %ontrolada.

Controlar signi-i%a medir el /alor de la /ariable %ontrolada del sistema ( ali%ar la /ariablemaniulada al sistema ara %orregir o limitar una des/ia%i&n del /alor medido a artir de un /alordeseado.

Planta "na lanta uede ser una arte de un e'uio* tal /e0 un %on1unto de las artesde una m2'uina 'ue -un%ionan 1untas* el ro&sito de la %ual es e1e%utar una oera%i&n arti%ular.n este libro* llamaremos lanta a %ual'uier ob1eto -ísi%o 'ue se /a a %ontrolar +tal %omo un

disositi/o me%2ni%o* un horno de %ale-a%%i&n* un rea%tor at&mi%o o una na/e esa%ial,.

Procesos. l Diccionario Merriam-Webster de-ine un ro%eso %omo una oera%i&n o undesarrollo natural rogresi/amente %ontinuo* mar%ado or una serie de %ambios graduales 'uese su%eden unos al otros en una -orma relati/amente -i1a ( 'ue %ondu%en a un resultado oro&sito determinado; o una oera%i&n arti-i%ial o /oluntaria rogresi/a 'ue %onsiste en unaserie de a%%iones o mo/imientos %ontrolados* sistem2ti%amente dirigidos ha%ia un resultado o

ro&sito determinado.

CA0IT4LO 1 INTROD4CCI5N A LOS SISTEMAS DE CONTROL



l3l INTROD4CCI5N 6De!inición de t*rminos &#sicos78

n este libro se llama proceso a %ual'uier oera%i&n 'ue se /a a %ontrolar. 3lgunose1emlos son los ro%esos 'uími%os* e%on&mi%os ( biol&gi%os.

Sistemas. "n sistema es una %ombina%i&n de %omonentes 'ue a%t)an 1untos ( reali0an unob1eti/o determinado. "n sistema no ne%esariamente es -ísi%o. l %on%eto de sistema se ali%aa -en&menos abstra%tos ( din2mi%os* tales %omo los 'ue se en%uentran en la e%onomía. Por lo

tanto* la alabra sistema debe interretarse %omo una imli%a%i&n de sistemas -ísi%os* biol&gi%os*e%on&mi%os ( similares. Perturbaciones. "na erturba%i&n es una se4al 'ue tiende a a-e%tar negati/amente el /alor de lasalida de un sistema. 5i la erturba%i&n se genera dentro del sistema se denomina interna, entanto 'ue una erturba%i&n externa se rodu%e -uera del sistema ( es una entrada.

Control realimentado. l %ontrol realimentado se re-iere a una oera%i&n 'ue* en resen%ia deerturba%iones* tiende a redu%ir la di-eren%ia entre la salida de un sistema ( alguna entrada dere-eren%ia ( lo %ontin)a ha%iendo %on base en esta di-eren%ia. 3'uí s&lo se ese%i-i%an %on estet6rmino las erturba%iones imrede%ibles* dado 'ue las erturba%iones rede%ibles o %ono%idassiemre ueden %omensarse dentro del sistema.




13 E:EM0LO DE SISTEMAS DE CONTROL

Re)ulador de elocidad de ;att8 7a %antidad de %ombustible 'ue se admite ara lam2'uina se a1usta de a%uerdo %on la di-eren%ia entre la /elo%idad de la m2'uina 'uese retende al%an0ar ( la /elo%idad real o medida.


<om

<o

Contro-

lador

Driver

Sitemas de

medición



13" CONTROL EN LA=O CERRADO EN COM0ARACI5N CON EL CONTROL ENLA=O A2IERTO

Sistema de control realimentado8 s un sistema 'ue mantiene una rela%i&n res%ritaentre la salida ( la entrada de re-eren%ia* %omar2ndolas ( usando la di-eren%ia %omomedio de %ontrol en %ombina%i&n %on una a%%i&n de %ontrol ade%uada ara redu%ir elerror del sistema.n la r2%ti%a* los t6rminos %ontrol realimentado ( %ontrol en la0o %errado se usan

indistintamente.

Sistema de control en la>o a&ierto8 5on sistemas en los %uales la salida no a-e%tala a%%i&n de %ontrol ali%ada. n otras alabras* no se mide la salida ni se realimentaara %omararla %on la entrada."n e1emlo r2%ti%o es una la/adora. l remo1o* el la/ado ( el en1uague en la la/adoraoeran %on una base de tiemo. 7a m2'uina no mide la se4al de salida* 'ue es lalimie0a de la roa.




13" CONTROL EN LA=O CERRADO EN COM0ARACI5N CON EL CONTROL ENLA=O A2IERTO

Las enta?as de los sistemas de control en la>o a&ierto son las siguientes89. "na %onstru%%i&n sen%illa ( un mantenimiento -2%il.:. 5on menos %ostosos 'ue un sistema e'ui/alente en la0o %errado.. <o e=iste el roblema de estabilidad.>. 5on %on/enientes %uando es di-í%il medir la salida o no son -a%tibles en el ase%to

e%on&mi%o. +Por e1emlo* en el sistema de una la/adora* sería mu( %ostoso o-re%er undisositi/o ara medir la %alidad de la salida ?la limie0a de la roa? de la la/adora.,

Las desenta?as de los sistemas de control en la>o a&ierto son las siguientes89. 7as erturba%iones ( los %ambios en la %alibra%i&n ro/o%an errores ( la salida uedeser di-erente de lo 'ue se bus%a.:. Para %onser/ar la %alidad re'uerida en la salida* es ne%esaria una -re%uentere%alibra%i&n.




Sistema de control de niel de lí@uido

Dia)rama de &lo@ues8

Dia)rama !ísico






CA0T4LO LA TRANSBORMADA DE LA0LACE


















CA0T4LO " MODELAMIENTO MATEMATICO DE SISTEMAS DINÁMICOS

"31 INTROD4CCI5N

"n modelo matem#tico de un sistema din2mi%o se de-ine %omo un %on1unto dee%ua%iones 'ue reresentan la din2mi%a del sistema. @i%has e%ua%iones di-eren%ialesse obtienen a artir de las le(es -ísi%as 'ue gobiernan un sistema determinado* %omolas le(es de <eAton ara sistemas me%2ni%os ( las le(es de Kir%hho-- ara sistemasel6%tri%os.

7a din2mi%a de mu%hos sistemas* (a sean me%2ni%os* el6%tri%os* t6rmi%os*e%on&mi%os* biol&gi%os* et%.* ueden ser des%ritas or un mismo modelo matem2ti%o.

Obtener un modelo matem2ti%o ra0onable es la arte m2s imortante de todo an2lisisde sistemas din2mi%os* (a 'ue se debe %on1ugar el grado de %omle1idad del modelo (el error del mismo.

Sistemas lineales8 "n sistema es lineal si es ali%able el rin%iio de suerosi%i&n.Por tanto* la resuesta a /arias entradas se %al%ula tratando una entrada a la /e0 (sumando los resultados.




"31 INTROD4CCI5N 6continuación7

Sistemas lineales8 5on sistemas din2mi%os -ormados or %omonentes dear2metros %on%entrados lineales in/ariantes %on el tiemo se des%riben mediantee%ua%iones di-eren%iales lineales in/ariantes %on el tiemo +de %oe-i%ientes%onstantes,.

Sistemas no lineales8 "n sistema es no lineal si no se ali%a el rin%iio de suerosi%i&n. Por tanto*ara un sistema no lineal la resuesta a dos entradasno uede %al%ularse tratando %ada una a la /e0 (sumando los resultados.

3un'ue mu%has rela%iones -ísi%as se reresentan a menudo mediante e%ua%ioneslineales* en la ma(or arte de los %asos las rela%iones reales no son /erdaderamentelineales. @e he%ho* un estudio %uidadoso de los sistemas -ísi%os re/ela 'ue in%luso losllamados “sistemas lineales” s&lo lo son en rangos de oera%i&n limitados. n lar2%ti%a* mu%hos sistemas ele%trome%2ni%os* hidr2uli%os* neum2ti%os* et%.* in/olu%ran

rela%iones no lineales entre las /ariables.




"31 INTROD4CCI5N 6continuación7

Sistemas lineales e@uialentes”. stos sistemas s&lo son /2lidos en un rangolimitado de oera%i&n. "na /e0 'ue se aro=ima un sistema no lineal mediante unmodelo matem2ti%o lineal* mediante la “Lineali>ación de sistemas no linealesueden ali%arse las herramientas lineales ara el an2lisis ( el dise4o del sistema.

Cur/as %ara%terísti%as ara di/ersas no linealidades.

Á




"3 B4NCI5N DE TRANSBERENCIA

Bunción de trans!erencia8 7a -un%i&n de trans-eren%ia de un sistema des%rito

mediante una e%ua%i&n di-eren%ial lineal e in/ariante %on el tiemo se de-ine %omo el%o%iente entre la trans-ormada de 7ala%e de la salida +-un%i&n de resuesta, ( latrans-ormada de 7ala%e de la entrada +-un%i&n de e=%ita%i&n, ba1o la suosi%i&n de'ue todas las %ondi%iones ini%iales son %ero.

DondeF 'F es la salida del sistema. GF es la entrada.B+s,8Fun%i&n de trans-ren%ia

Á





Comentarios acerca de la !unción de trans!erenciaF

9. 7a H6s7 de un sistema es un modelo matem2ti%o 'ue e=resa la e%ua%i&ndi-eren%ial 'ue rela%iona la /ariable de salida %on la /ariable de entrada* +an#lisis delsistema,.:. 7a H6s7 es una propiedad del sistema* indeendiente de la magnitud ( naturale0ade la entrada o -un%i&n de e=%ita%i&n.. 7a H6s7 rela%iona la entrada %on la salida; sin embargo* no roor%iona in-orma%i&na%er%a de la estru%tura -ísi%a del sistema. 3sí* la H6s7 de mu%hos sistemas -ísi%amentedi-erentes ueden ser id6nti%as.>. 5i se %ono%e la H6s7 de un sistema* se estudia la salida o resuesta ara /arias-ormas de entrada* %on la inten%i&n de %omrender la naturale0a del sistema.. 5i se des%ono%e la H6s7 de un sistema* uede estable%erse e=erimentalmenteintrodu%iendo entradas %ono%idas ( estudiando la salida del sistema* 6síntesis delsistema78D.7a H6s7 roor%iona una des%ri%i&n %omleta de las %ara%terísti%as din2mi%as delsistema* a di-eren%ia de su des%ri%i&n -ísi%a.

Á





O&tención de la Bunción de trans!erencia8 Para obtener la -un%i&n de trans-eren%ia*

ro%edemos de a%uerdo %on los asos siguientes89. s%riba la e%ua%i&n di-eren%ial ara el sistema.:. !ome la trans-ormada de 7ala%e de la e%ua%i&n di-eren%ial* suoniendo 'ue todaslas %ondi%iones ini%iales son %ero.. !ome el %o%iente entre la salida Eo+s, ( la entrada Er+s,. ste %o%iente es la -un%i&nde trans-eren%ia.

E?emploFF(t)/2: Fuerza de empuje de cada reactor

T(t): ar T(t) = F*L

8 Momento de iner%ia alrededor del e1ede rota%i&n en el %entro de la masa






Inte)ral de conolución8 Para un sistema lineal e in/ariante %on el tiemo* la -un%i&n

de trans-eren%ia B+s, es8

@onde8 G+s, es la trans-ormada de 7ala%e de la entrada. E+s, es la trans-ormada de 7ala%e de la salida5uoniendo 'ue todas las %ondi%iones ini%iales in/olu%radas son %ero* se obtiene 'uela salida E+s, se es%ribe %omo <6s7 H6s7JK6s7

7a multili%a%i&n en el dominio %omle1o es e'ui/alente a la %on/olu%i&n en el dominiodel tiemo* or lo 'ue la trans-ormada in/ersa de 7ala%e de la e%ua%i&n anterior seobtiene mediante8

Con g+t, ( =+t, ara t J .






Respuesta3impulso8 Para una entrada imulso unitario %on %ondi%iones ini%iales

nulas es <6s7 H6s7

7a trans-ormada in/ersa de 7ala%e de H6s7 reresenta la resuesta del sistema anteun imulso unitario.

"3" DIAHRAMAS DE 2LO4ES7a reresenta%i&n en diagrama de bloques muestra las rela%iones e=istentes entrelos di/ersos %omonentes. E a di-eren%ia de una reresenta%i&n matem2ti%auramente abstra%ta* un diagrama de blo'ues tiene la /enta1a de indi%ar en -orma m2srealista el -lu1o de las se4ales del sistema real.

Elemento del dia)rama de &lo@uesF7a unta de -le%ha 'ue se4ala el blo'ueindi%a la entrada* ( la unta de -le%ha 'uese ale1a del blo'ue reresenta la salida.

7a se4al s&lo uede asar en la dire%%i&n de las -le%has. Por tanto* un diagrama deblo'ues de un sistema de %ontrol muestra e=lí%itamente una roiedad unilateral.

B+s,K6s7 <6s7

<6s7H6s7JK6s7





Punto suma. U n %ír%ulo %on una %ru0 es el símbolo 'ueindi%a una oera%i&n de suma. l signo de m2s o de menosen %ada unta de -le%ha indi%a si la se4al debe sumarse orestarse.

Punto de ramiicaci!n: " s a'uel a artir del %ual la se4al deun blo'ue /a de modo %on%urrente a otros blo'ues o untossuma.

Dia)rama de &lo@ues de un sistema en la>o cerradoF

sta -ormado or un %omarador* “unto suma”* unalanta “B+s,” ( una retroalimenta%i&n “H+s,”.

C(s) = G(s)*E(s)

E(s) = R(s) - B(s)

E(s) = R(s) - H(s)C(s)

C6s7R6s7H6s71H6s7JP6s7Q

"3" DIAHRAMAS DE 2LO4ESF Cual'uier sistema de %ontrol lineal uedereresentarse mediante un diagrama de blo'ues -ormado or untos suma* blo'ues (untos de rami-i%a%i&n.





"3" DIAHRAMAS DE 2LO4ES

Sistema en la>o cerrado su?eto a una pertur&aciónF Cuando se resentan dos

entradas +la entrada de re!erencia ' la pertur&ación, en un sistema lineal* el e-e%toen la salida de %ada una de ellas ueden sumarse ara obtener la salida %omleta.

5i8 se tiendea surimir el e-e%to de la erturba%i&n

5i8or lo 'ue /aria%iones de B9+s, ( B:+s, noa-e%tan la Fde! en la0o %errado






0rocedimientos para di&u?ar un dia)rama de &lo@ues.

1.s%ribir las e%s. 'ue des%riben el %omortamiento din2mi%o de %ada %omonente.. !omar las !r. de 7. de estas e%s* %on %ondi%iones ini%iales son %ero". Reresentar en -orma de blo'ues %ada e%. trans-ormada or el m6todo de 7ala%e.$. Integrar los elementos en un diagrama de blo'ues %omleto.1emlo8

Circuito #C

dia)rama de &lo@ues del circuito#C





"3" DIAHRAMAS DE2LO4ES

Reducción de undia)rama de&lo@ues8 "ndiagrama de blo'ues%omle1o 'ue%ontenga mu%hosla0os derealimenta%i&n sesimli-i%a mediante unreordenamiento asoa aso mediante lasre)las del #l)e&ra delos dia)ramas de&lo@ues.

re)las del #l)e&ra de los dia)ramas de &lo@ues.






E?emplo de reducción de un dia)rama de &lo@ues






E?emplos de modelamiento matem#tico de sistemas 6a desarrollar en clases7






Lineali>ación de modelos matem#ticos 6a desarrollar en clases7



CA0T4LO $ ANÁLISIS DE LA RES04ESTA TRANSITORIA




$3 SISTEMAS DE 0RIMER ORDEN BdeTF

$881F Respuesta impulso unitario de sistemas de primer orden8

r+t, δ+t,





$88F Respuesta escalón unitario de sistemas de primer orden8

C+s,+9L+!sN9,s

t C+t, e+t,

. 9.

.D: .DQ

: .QD .9

. .

> .Q: .9Q

. .S

D .Q .:

S . .9

r+t,u+t,





$88"F Respuesta rampa unitaria de sistemas de primer orden8

r+t,tt





$88$F Respuesta sinusoidal de sistemas de primer orden8

C+s, 9+!5N9,LA+ssNAA,R+s,A+ssNAA,

r+t,sen+:T-t, %+t, L+9!,: N- :e?+t!,NL9U+9!,:N- :V+.,sen+:T-t?θ, θatn+:T-!,

θ

r+t,

%+t,





$3" SISTEMAS DE SEH4NDO ORDEN BdeTF

R+s, 9

$8"81FRespuesta de un sistemas de se)undo orden ante pertur&ación impulsoF





$8"81FRespuesta de un sistemas de se)undo orden ante pertur&ación impulsoF

r+t, δ+t,




l error resenta una os%ila%i&nsenoidal amortiguada.

n el in-inito* el error tiende a %ero


Primer %aso8 oJ J9; An#lisis del error

Para ; Resuesta no amortiguada* os%ila%iones inde-inidamente.

$8"81F Respuesta de un sistema de se)undo orden ante pertur&ación impulso







Primer %aso8 oJ J9; sub?amortiguado os%ila%iones amortiguadas

Para tW

$8"8FRespuesta de un sistema de se)undo orden ante una pertur&ación escalón




C 4 O S S S 4 S S O

Primer %aso8 oJ J9; %ontinua%i&n









Para 9; Críti%amente amortiguado

Para W 9; Caso sobre?amortiguado

5i W: 7a resuesta es similar a la deun sistema de rimer orden.

resuesta es%al&n unitario aro=imada* %uando uno delos olos se uede desre%iar.

$8"8F Resumen de las respuestas de un sistema de se)undo orden ante pertur&ación escalón












$8"8"FRespuesta de sistemas de se)undo orden ante pertur&ación rampaF

R+s, 9

c(t)= t-[2.ξ/f n]+ [1/f n(1-ξ2)0.5].e-(ξ.fn.t) .sen{2π.f n(1-ξ2)0.5t-θ}

Con:

θ=2.arc.cos[-(1-ξ2)0.5/ξ]

r(t)=t2Para: 0< >




R+s,-+ssN--,

r+t,sen+:T.-.t,

θ

r+t,

%+t,

L-+s.sN-.-,

$8"8$FRespuesta de sistemas de se)undo orden ante pertur&ación sinusoidalF

c(t)= [(f 2*f n2)/(f n

2-f 2)0.5]*[(1/f )sen(2πft-φ1)+[1/{f n(1-ξ2)0.5}]e-ξfnt *sen{2πf n(1-ξ2)0.5t-φ2}]

Con:

φ1=atn[(2π2ξff n)/ (f n2-f 2)]

φ2=atn[{-2π2ξf n2(1-ξ2)0.5}/{f 2-f n

2(1-2ξ2)}]

Para: 0< >

CA0T4LO - ANÁLISIS DE LA RES04ESTA EN BREC4ENCIA



-31 INTROD4CCI5N5e llama resuesta en -re%uen%ia a la resuesta de un sistema en estado estable anteuna entrada senoidal.

Mediante este ensa(o se uede obtener la F.de !. +e'uio %omle1o,s relati/amente simle.Permite dise4ar desre%iando los ruido así %omo e=tender este an2lisis ( dise4o aalgunos sistemas de %ontrol no lineales.

Salida en estado esta&le para una entrada senoidalFPara sistemas estables %on entrada “=+t,3.sen+A.t,” la resuesta esta%ionaria es

“%+t,X.sen+A.tNφ,“; Con8 X3YB+1A,Y; ( φ3ngLB+1A,

salida senoidal de la misma-re%uen%ia 'ue la entrada.la amlitud ( la -ase de la salida ser2ndi-erentes de las de la entrada.




-31 INTROD4CCI5N

7a F.de!. 5enoidal H6?7R6?7C6?7 es una %antidad %omle1a* reresentado or unm&dulo ( un 2ngulo de -ase en -un%i&n de la -re%uen%ia.

"n φ negati/o se denomina atraso de -ase."n φ ositi/o se denomina adelanto de -ase.B+1A, se obtiene sustitu(endo 1A or s en la F. de !. del sistema.

0resentación de las características de la respuesta en !recuencia en !orma)r#!ica87a -un%i&n de trans-eren%ia senoidal* se %ara%teri0a or su magnitud ( 2ngulo de -ase.se usan tres reresenta%iones gr2-i%as89. 7as tra0as de Xode o tra0as logarítmi%as:. 7a tra0a de <('uist o tra0a olar . 7a tra0a de magnitud logarítmi%a %ontra la -ase




-381 El !actor )ananciaF G(!) = "

%ur/a de 2ngulo de -ase

Cur/a de magnitud logarítmi%a




G(!)=!(-+1)

-38 Bactores inte)ral ' deriadoF 6polos ' ceros en el ori)en78

Para G(!)=!(-+n)




G(!)= (1+!#) (-1)

-38"3a Bactor de primer orden en atraso

Cur/a de magnitud ( -ase




G(!)= (1+!#) (+1)

-38"3& Bactor de primer orden en adelanto

Cur/a de magnitud

Cur/a de -ase




2ngulo de -ase

G(!)=[1+2ξ(!/!n) +(!/!n)2] (-1)

-38$ Bactor de se)undo orden en atraso

magnitud logarítmi%a




-38$ Bactor de se)undo orden en atraso +%ontinua%i&n,

Brecuencia de resonancia ;r ' el alor de la amplitud de resonancia Mr



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