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lodo os direitos reservados. Nenhuma parte deste livropod 5 r reproduzida por processo mecânico, electrónicoou outro sem autorização escrita do editor.
Luísa Madureira
roblemas de equaçõesiferenciais ordináriastransformadas de Laplace
3.a edição
li dice
Pr fácio. 11
Introdução. 13
Capítulo 1
quações diferenciais de primeira ordem. 151.1 Equações diferenciais de variáveis separáveis. 15
, I 'I I ililli'ilC,tlS nu i dif r nças divididas. 179
" I I I qUtlr, s cI drf r ncas. 180
I I ,11111t,,1o ti qu ç o de diferenças. 180
" 1'1 d valor inicial. 180
I II qlltl~ dif r nças lineares homogéneas de coeficientes constantes. 182
',11 d p ssoapasso.183
" I) D l rmin ção da solução geral como combinação linear de soluções. 183
I, I ',oluV1 d quação de diferenças não homogénea. Método dos coeficientes
111111'1 rrnin dos. 188
' •. 1\ l rminação de uma solução particular. 189
fia. 193
Itldl r missivo. 195
'I11111
I r fácio
NrI últimas décadas tem-se assistido ao extraordinário desenvolvimento das capacida-
des computacionais existentes e o crescente acesso a poderosos produtos que
nos permitem facilmente executar tarefas outrora ciclópicas ou irrealizáveis. É as-
sim possível hoje em dia, com recurso a essesprodutos, resolver numericamente
sistemas de milhares de equações diferenciais não lineares que caracterizam um
vasto número de problemas com que nos deparamos na Engenharia. Estes no-
vos paradigmas geram a necessidade de, em muitos aspectos, reequacionarmos
a forma como o estudo da Matemática deve ser ministrado aos cursos de Enge-
nharia mas também, indubitavelmente, reforçam a necessidade de se adquirir
um conhecimento sólido dos princípios elementares da Matemática, no sentido
de se ser capaz de desenvolver, interpretar e correctamente utilizar essas novas
ferramentas. Há etapas da aprendizagem que não devem ser queimadas sob
pena de se hipotecar o desenvolvimento dessascompetências.
O livro da Prof." LuísaMadureira, Problemas de Equações Diferenciais Ordinárias e Trans-
formadas de Laplace, pretende ser um contributo nalgumas dessasetapas fun-
damentais. Escrito numa linguagem acessível, mas com rigor, visa sobretudo
fornecer ao aluno um conjunto variado de problemas que lhes permitam melhor
compreender aqueles assuntos que são ministrados nas aulas teóricas e práticas
nos prim ires anos dos cursos de Engenharia. E permanecerá para os alunos
futuros ngenheiros como uma fonte de consulta onde poderão encontrar
inform c út is p ra a solução de muitos problemas que enfrentarão no seu
(utur I lud nt profissionai .
I( " ,( ",di <11' ,
(1'1111 (!lII'lIlo1I11 ( 11.1 I !lI til<lolcll' di' 111111 1111011101 cloI lJlllvl'I',lcloIill cio I ()J to)
a equação resolve-se integrando ambos os membros de (2)
J g(y) dy = J !(x) dx + C (4)
onde C é uma constante arbitrária.
Problema 1.1Calcular a solução da equação diferencial (I - cosx) y' = sen x . y
Resolução
Escrevendo a equação na forma
dy senx dxy 1- cosx
integrando tem-se
Inlyl = In 11- cos x] + In C
R olvendo em ordem a y
y = C (I - cos x)
Problema 1.2Determinar a equação da curva que tem a propriedade do declive da tangente em
qualquer dos seus pontos ser n vezes maior que o declive da recta que une esse
ponto à origem das coordenadas.
Resolução
o declive da tangente à curva é dado por dy e o declive da recta que une umdx
ponto (x,y) ao ponto (O, O) dado por Zx
fl1l,
d y y-=n-dx x
e separando variáveis obtém-se
dy dx-=n-y x
e portanto
o que conduz a
In Iyl= lnlx"l + In C
A solução é então
y = C x"
Prohlema 1.3I . acordo com a lei de Newton a velocidade de arrefecimento de um corpo é
proporcional à diferença entre a temperatura T desse corpo e a temperatura am-
hi .nte To. Sabendo que uma dada substância se encontra à temperatura 100°C e é
colocada num ambiente à temperatura 20°C tendo arrefecido até 80°C ao fim de
minutos, determinar quanto tempo será necessário para que a temperatura seja
I xluzida para 40°C.
Resolução
A relação de proporcionalidade descrita tem a expressão
dT = k (T - 20)di
p rando v riáv is obtém-se
d'f'- t: di'r - ()
I'ntlfl"<!)I,I(dlllltll"('d(lI1'.t,H1IP ',IIJ1'''V(/QIl( 1,11'" (), I 11I11,1111,
ti" (11 I (lO" '
T (0)=20 + C1
obtendo-se assim o valor da constante
Tem-se então T (t) = 20 + 80 il
Determine-se agora o, valor de k. Sabendo que para t = 2 o valor de T é de
80°C, tem-se
( )k2T 2 = 80 = 20 + 80 e
o que é equivalente a
k2 80 - 20e
80
e portanto
k = ..!..ln 80 - 20 = ..!.. In 22 80 2 4
Finalmente para um valor da temperatura igual a 40°C tem-se
40 = 20 + 80 eO,5 In (3'1/4)
ou
0,5In(3'1/4) 1e =-4
o que conduz a
t = 9,638 min
Problemas1.4 Resolva as equações diferenciais:
a y'. .r: li
\')(I+er)YY'=ex
11) \ Ji:I + yy'~1 + x2 =0
\ I' I' (I + y') = I
I} v' + 5 x 4 i = O, y (O) = I
11m ponto material de massa I g está animado de movimento rectilíneo, sob
1I 11\'I,'lIO de uma força directamente proporcional ao tempo decorrido desde o mo-
1111 1110 I = O e inversamente proporcional à velocidade do ponto. Sabe-se que no
11 11li 11 .nto 1= 10 s a velocidade era de 0,5 m/s e a força era de 4x 10-5N. Qual será
11 wlo 'idade do ponto I minuto após o início do movimento?
I/I I 'termine a funçãof(x) que satisfaz a condição: f(x) = 2 + f ;'f(t)dt.1.7 I 'termine f(x) que satisfaz a condição:
F(x)+2xef(x)=0 e f(O)=OI H Uma curva de equação cartesiana y = f(x) passa na origem. Linhas traçadas
1'" li 'lamente aos eixos coordenados a partir de um ponto arbitrário da curva de-
1111 'Ill um rectângulo conjuntamente com os eixos coordenados. A curva divide o
I \ túngulo em duas áreas uma das quais é n vezes superior à da outra. Determine
, til" ':io/(x).1.1' IJm tanque tem uma secção quadrangular de 60 em de lado. A água escoa-se
1111IV:S de um orifício na base de 10 em? de área. Se o nível inicial da água estiver
11 rt() '111 de altura qual o tempo necessário para se situar a 30 em?
oluções1,tl
3 4) -=':::""-+C
4
b)y. (x_l)eX
) ,I~ • '4' In (I + e,l )
ti) JII \ 1 I JI I I' •
1f)y=--
x5 + 1x 1
g) are tg e = 2 + C2 sen y
1.5 v = so.J2gem /s
1.6 f(x) = 2 /<-I}
J17 y=Jn --
x2 +1
1.8 Y = kx" ou y=kX'/"
1.936,897 s
1.2 Equações diferenciais homogéneas
Uma função M (x,y) diz-se homogénea de grau n se para qualquer À positivo se tem
Uma equação diferencial homogénea é do tipo
M (x,y)dx+ N(x,y)dy = O
em que M (x, y) e N (x,y) são funções homogéneas do mesmo grau n,Neste caso a substituição Y = ux transforma a equação (6) numa equação de variáveis
separáveis em u e x. Analogamente, a substituição x = vy transforma a equação
(6) numa equação de variáveis separáveis em v e y.
Se e equação (6) for escrita na forma
dy = _ M (x,y)dx N(x,y)
pod -s substituir por Àx I por À , se À>O. Tom nd t r À v I r
.1 \!l1l .IIIVIl nu .1' \ III'q"llvo, 11'111 ,I'
IM(l,Y/X)
M(x,y) M(Àx,ÀY) N(1,y/x)'x>O
N(x,y) = N(Àx,ÀY) = M(-l,-y/x)
(.x e O
N -l,-y/x)
(8)
1111 VI "fica-se que o resultado se pode escrever como uma função de 1'. e portanto
" equação diferencial (7) pode ser escrita na forma x
(9)
o que permite concluir que se a equação diferencial y' = F(x,y) é tal que
F(Àx,ÀY) = F(x,y) (10)
então ela é homogénea.
11 011 ma
I I!''Iu cáo diferencial y' = F (x, y) é homogénea então a mudança de variável y = uxti nsforma esta equação numa equação diferencial em LI, de variáveis separá-
vis.
(5) I «111 n tração
"1 "(, [u cão é homogénea pode ser escrita como
(6)I ""',leI r - e agora a mudança de variável y = ux. Tem-se
lIy du-u+x-
tlx dx
port nto
dll111-;(- - FCu)
lx(7)
e separando variáveis tem-se
du dxF(u)-u x
que é uma equação de variáveis separáveis podendo portanto ser integrada
como descrito em 1.1, após o que se substitui u por I.x
Problema 1.10Resolver a equação diferencial xi = y(lny-lnx)+ y
ResoluçãoVerificando que a equação é homogénea começa-se por escrevê-Ia na forma
',I' 11 ('lJllde, (2) não for uma equação diferencial exacta é possível em certos casos
11,111 f rmá-Ia numa equação exacta multiplicando-a por uma função particular.
I)" 111 11111 ,LI (x,y) é um factor integrante da equação não exacta se multiplicando a
qu c o por esta função
It(.r,y)[ M (x,y)dx+N(x,y)dy] = O (33)
I s reduz a uma equação diferencial exacta. Como as equações (25) e (33) são
quivalentes então têm a mesma solução geral.
(' 1 quação (33) é exacta então
B a-;-(I-LM) = -(.uN)()y ax (34)
ou
(iiM BN) a/-! aI-"1' --- -N--M-
iJy ãs fi fly (35)
dAI IiN
ti" d\
dl'N (1\
1'
111'M ily _ N íll n 1' _ M ri In ,LI
l' cJx ()y(36)
tlIII tld I''1IIt1I,.í( ( ) P lv I d t rminarfactores integrantes. Os casos mais simples
1i 11<111('1(' -rn qu o f tor integrante é uma função só de x ou só de y.
111111
11 ItllllllltlO (J11 quação diferencial (25) é não exacta, se
(37)
1111lima função só de x, sejaf(x), o factor integrante é
() f /(x)dxI' \ -(' , (38)
1111 1111110 laoo se tem que
I (()M ON)/11 ()y OX
(39)
I' 11111,1 função só de y, seja g(y), então o factcr integrante é
() - f f;( )')dvI' Y -(' .. (40)
111111111'1' O
IljI'"II111 ',I' prim iramente que fL = ,u (x), então : = O e a equação (36) escreve-se
I (fiM _(W)=dIIl/-!=f(x) (41)N (I)' õx dx
"P Itlnl
(42)
" () Id( tOI ínt r nt função só de x
(38)
1111'111111 I'
(43)
o que é equivalente a
ln u = - f g(y)dy (44)
o factor integrante neste caso é então dado pela função só de y
(40)
•
Problema 1.52Resolver a equação diferencial (x4ln x - 2xy3)dx+ 3x2ldy = O,
Resolução4 3 2 ?Neste caso M = x In x - 2xy e N = 3x y- Então
aM aN 2 2--- = -6xy -6xyay õx
Dividindo por N tem-se
f(x) =-~x
e o factor integrante é
4J --dx/-l(x)=e x
ou
()Inx-4
/-l x = e
que é equivalente a
()-4
1' ' -
Mlllilplll tllldo ,lInl)
( I ' 2 -3 3) d 3 -2 2d O11);- X Y x+ x y y=
integrando obtém-se a solução da equação dada
I -? 3 Cx nx-x+x -y =
I'whlcma 1.53I I 01ver a equação diferencial cos xd.x + (y + senx) dy = O,
Resolução
C I I d aM aN di 'd"cu an o - - - e IVI Indo por M tem-seay õx
~(aM _ aN) =_1_( -cosx) =-1M ay õx cosx
I m-se neste caso a considerar Il; como função de y
Após multiplicação da equação diferencial por este factor integrante a equa-
çtlo screve-se
I' mt r ndo obtém-se a solução
1'111""'11I111>
I, ItI '11 IISS' iuint s equações diferenciais:
( \ ' I li \) 1\ \)1 rly - ()
I..(,\,' '.1' • c" \ .om y. ()par;1 .r. ()
I.5X (y / x)dx+(i -In x)dY = O
1.60 (I - x tg x + seny) dx + cos y tg xdy = O
(2.1' ) 11.61 e - yx dx = -2,xdy
Soluções
21.54 y+x = Cy
31.55 Y3 -31nlxl=C
x
1 56 3x 2x. y=e -e
C -x'/2 2 21.57 Y = e +x-1 2
1.58 -lnlxl+L=Cy 2
C+e-x1.59y=ln Fx
1.60 x cos x + senysenx = C
1 11 2x1.61 ln x + - ye - = C2
1.5 Equações diferenciais lineares
Um equ ç o diferencial linear de primeira ordem em y é do tipo
(1\ )
IJIII 11 111\11011 I 111
1111111111.1'. IlIlIll I
!I. I 1',11 lil' () (.1') • O ,1
',I'Jldl, v('i li/-
I' I' I" POdl'lld II( \) , J( \) 'I qutli lU I íun do ,«1t11111 I,
quaçc lrc nsf rm - numa equação diferencial de variáveis
qu
I" I 1'(.\).1' - O (46)
d qu ão homogénea associada a (45). Note-se que esta equação não é
lic 111 n a no sentido referido em 1.2. (equação (6)). No entanto é costume
11',,11 a m sma terminologia para designar a equação (46). A solução desta
I'CJlI,IÇ que se designa por Yh é obtida por integração de
til' - -I (x)dxI'
(47)
1111 ,1'1'111,
1111.1'1- - f P(x)dx (48)
I Jl rt nto a solução da equação homogénea é
I'" - (49)
I J 1111111 () m todo da variação da constante é possível determinar a solução geral da
I'ql1tlÇ o não homogénea. Considera-se que a solução geral tem a forma
( )-fp(r\AxI'.C x e -r- (50)
I' I m-s
li. "(x)e- f P(x)dx _ p(x)C(x)e- f P(x)dx (51)
1111 1lIllillc1o n quação (45) obtém-se
c (01')('- f IJ(x)dx _ p(x)C (x)e- f P(x)dx + p(x)C (x) e- f P(x)dx = Q(x) (52)
I' !l011,'1 l
(o/ ) ( ) f 1'( \) d.\. .1 {' (53)
(111' P '1IIIill' lil lIltll '(.\)
Fin 1m nte a solução da equação (45) é então
(55)
Problema 1.62R 'solver a equação diferencial xy' = x3 - 2y.
Resolução
A quação pode escrever-se como
, 2 2y+-y=xx
e a equação homogénea associada é
, 2 OY +-y=X
Separando variáveis tem-se~;, f
e integrando obtém-se
Inlyl = -2Inlxl+ ln C
ou
C -2y" = x
Procurando agora a solução geral na forma
tcmso. d riv ndo m ord m x
H1'1111,101111
(" I) \ '
ul: 1IIIIIIIdn 1101 ('qUtlc,t 1111 I I l m
, 11111111111 ()
\ ~
Inlll!,')O ntão
I IlIhl. 111111.(13I. "I 11\ -quação diferencial x(x+l)y'+y=x(x+l)2senx.
II luç o()/I\ ndo por escrever a equação na forma
I1'/ I (--) Y = (x + 1)senx
.r x+ I
/\ ('C/LI o homogénea associada é
1I" I y=O
.I'(x+ I)I' ~ p r ndo variáveis tem-se
ti \I c/x
x( + I)11\\ 'c) nd obt m-se
I'" lu d
I'",.\ I
onsid r - agora omo solução da equação dad
x+1y=C(x)-
x
e portanto
Substituindo y e y' na equação tem-se
C' (x) x + 1 = (x + 1)senxx
e portanto
C'(x)=xsenx
donde se obtém para C (x)
C (x) = -x cos x + senx + C
Finalmente a solução é
x+l ) x+ly = C -- - (x + 1 cos x + -- senxx x
Problemas1.64 Resolver as seguintes equações diferenciais tendo em conta as condições
iniciais dadas:
) , 3 2x y=O para x=O e x E ]-oo,+oo[a y- y=e ,
~ b) xy'-2y=x5, y=l para x = 1 e x E ]O,+oo[
dx 21X = 1 t=O t E ]-00, + oo[~ c) -+x=e , para e
dt
.& d) y' + xy = x3, y=O para x=O e x El-oo,+oor
1.65 rráflco duma fun ã .l x) passa por PO. (O, I) '1'\ (I, () , I 111'1Ilodo
O ponto urhilrllio (ln 'lII'ViI, p( I', y),lI .urvu stlÍ SilU11(11Ipw 111111di 1'(\1dI Ih/),
I 10 I \( I li \ I '1'111\1'\lilll1l" '1Ididll snrrc li 'UI'VII ' ti corda li)p é igual a .1'.1,
11 I, 111111111I 1t111~'!0./'(,1),
"" li. 11uulnnr li sulução ) irul da equação y'scn .r « ycosx = I para x E ]O,Jí[.
s di ferenciais:
I" \ ' I I' 'ot '\' - S n 2x
') ,I I' +.I"Y=2x
I U \ \1' I \' - 4e \~111 11" __ Y_.I".1e.l"
I!I 1'1os s 'guintes problemas:
I' 'I' iundo ti lei de Newton, a taxa de variação da temperatura de um cor-
I'" I tlllI'l'l!Im .nrc proporcional à diferença entre a sua temperatura e a do meio
111111\1111'(s '.ia k a constante de proporcionalidade). Se y = f(r) é a temperatura
" I IlIlh -cida) do corpo no instante teM (t) designa a temperatura (conhecida) do
111'1IIIIIIIli '111.cscrever a equação diferencial que traduz a referida lei de Newton.
I' 11111obj 'cio arrefece de 200°C a 120°C em meia hora num meio com tempe-
11111111I 11IIslunlc de 60°C.I) \11"iI temperatura do objecto ao fim de t minutos?
11) uul () tempo necessário para que o objecto atinja a temperatura T?I ) I ct .rminar o tempo ao fim do qual a temperatura do objecto é de 90°C.
I 1111Itll'IlIll(.JO que a temperatura do meio ambiente embora a 60°C quando o ob-
I \111 11 \ 00° diminui de JOC em cada 10 minutos, determinar a nova lei que
I 1111'111'1111ratura do objecto ao fim de t minutos.
I 11 d -xint • 'ração do elemento rádio é tal que são necessários aproximadamen-I 11.1111 lHOSpara que uma dada quantidade se reduza a metade. Determinar qual
I I" \1\ 1\1\ ' '1\\ de uma dada quantidade de rádio que se desintegra em 100 anos,
"" IId\1qu ' 11V lo 'ida le de desintegração do rádio é directamente proporcional à1111111 1\110instante considerado.
',Olll
11111li) \' (,\\ a \
2 2 1 5b)y=-x+-x3 32 -t 1 21
C) X = -e +-e3 3
_x2
d) y = 2e2 + x2- 2
?1.65 Y = 5x - 6x- + 1
x+C1.66 y=--
senx
I ( ,.2 I)1.67 Y = - Ce --x2 22 2 C
1.68 y=-sen x+--3 senx
1.69 y=2+C~
? 2 r1.71 Y = Cx- + X e
1.72 y' = -k(Y- M (t))
1.73
a) T = 140e-kl + 60
b) T=~[lnI40-ln(T-60)]k
C) 54,542 minutos
(1 ) -kl t 1d) T = 140-- e +60--+-
10k 10 10k
1.74'" 4,2%
1.5.1 Equ ç O d B rnoulli
li I'q\loIl .lO dill'll'll< 1011 cll·111 111<1\1111 I' dI) Ilpo
kIn7 -ln3
Nota: =---30
y' + p(x)y = Q(x)yP (56)
com P(x) e Q(x) contínuas num domínio D, e no caso de p '" O é redutível a
uma equação diferencial linear de primeira ordem por uma mudança de variável.
Sendo p = O ou p = 1 a equação (56) é linear.
1 orema
onsidere-se a equação (56). Ao efectuar a mudança de variável
(57)
a equação transforma-se numa equação diferencial linear de primeira ordem
em v e x.
monstração
nsidere-se a mudança de variável v = yl-p Obtém-se
(58)
e ao multiplicar a equação (56) por (I - p) y- (J tem-se
(59)
e é equivalente a
v' + p (x)( 1 - p) v = (1 - p) Q (x) (60)
que é uma equação linear de primeira ordem. Após obter a solução v desta
quação e usando (57) tem-se a solução da equação (56) em y.
lli) ,1 o d P > O a equação (56) admite sempre como solução y == O. •
1'/'c,hh'IIIH 1.75I kl 1 minur 11 S ilu 'I O la IUH '130 Iif rCI1 ial y' - 2yeX = 2JYex
.
NI"dl' (d',O 11
1'-.1'
I I =; I
li ••• - V -)12 -
I
multiplicando a equação por ~ y - 2 obtém-se2
I II -2 I -2 x x-y y-y e =e2
é equivalente a
que é uma equação linear de primeira ordem em v. A sua solução é
v = Cee' -1
e as soluções da equação inicial, nas variáveis dadas, são
( ,_ )2Y = Ce" - 1 ; Y'= O
Problemas
Determinar a solução das seguintes equações diferenciais:
1.76 y' - 4y = 2eXy.Y,
o 1.77 y' - y = -/ (x2 + x + J)
1.78 xy' - 2y = 4x3yh
1.80 y' + y = /
1.81 3y' + y = (I - 2x) l
oProblemas de equações diferenciais ordinárias e transformadas de Laplace
I, ,
Ii 'I' I' I"
\1"' ('\
I' I'.1'
11( hl"l x~y II -Oy
I 1((, I" I ytgx+2y2scnx=0
I li tl'l'nlinar a solução das seguintes equações diferenciais com os valores iniciais
dlldllS:
1.1'7 vy'+x/-x = O; y(O) =-1J
LXX 2/+3-Y-=3y3; y(e)=Oxlnx
Soluções
1.76 Y = (ce2x- eX t; y = O
1.77 Y = (ce-x + x2- x + 2 r'; y = O
1.78 Y = (cx + x3 t; y = O
x2
1.79 y=--; y=Oc-x
I1.80 y=--; y=O
I+Cex
1.81 y-3 =Cex -2x-l; y=O
I C1.82/ =-senx+--
2 senx
x2
1 83 . Y = O. y = C - eX (x3 - 3x2 + 6x - 6) ,
51Equações diferenciais de primeira ordem
x2
1.84 y=--; y=Oc :>1.85 i = __ 1_; y=O
x2 +Cxcosx
1.86 Y = 2 ' Y = OC+sen x
J 1.87 y=-1
2
1.88 y3 =X(l __ l_)Inx
1.5.2 Equação de Riccati
A equação de Riccati é do tipo
/+p(x)y+Q(x)/ = R(x) (61)
com P(x) , Q(x) e R(x) contínuas num domínio D. Para esta equação não é
possível descrever um método de calcular a solução geral. No entanto, no caso
de ser conhecida uma solução particular a integração da equação já é possível
por um processo simples.
Teorema
Considere-se a equação de Riccati (61). No caso de ser conhecida uma solução particu-
lar u (x) a mudança de variável
1y=u(x)+-Z
(62)
transforma a equação numa equação diferencial linear de primeira ordem em
z ex.
Demonstração
Considere-se a mudança de variável y = LI (x) +~. Entãoz
, ,() I ,y=u --zz2
111l~lilll"lCjCl 1'111 (rI I) ollt '111 ',1'
(64)
simplificando esta equação e considerando que u (x) é solução de (61) tem-se
1I'(X)+P(X)U(X)+Q(X)U2 (x)+I I 1 I- - z' + P (x) - +2Q(x) U(x) - +Q(x)? = R (x)
z2 Z Z z"(65)
e portanto
I I 1 I-?z' + p(x)-+ 2Q(x )u(x)-;+ Q(x)2" = Oz- z ~ z
(66)
I Iljl( a-se então que ela se reduz a uma equação diferencial linear de primeira ordem
mz
~' -[P(x)+2Q(x)u(x)]z = Q(x) (67)
•
1'10111 'ma 1.89I· lucão d -,2211 1\'lmlllar a so uçao a equaçao xy - y + y = x .
Resolução
Uma solução da equação é y = x como facilmente se verifica. Considere-se
ntão
Iy •• x+-• Z
inda
, I I ,Y - -2"zz
\11 tituindo na quação e simplificando obtém-se
.v I - I~'--+-+--O
~ ,,(. z
1(\ I' ,I' jl 1(1 ('~ I 'V 'I om
Considerando a equação homogénea associada
2x-]z'---z=O
x
vai obter-se
d: 2x-1-=--dxz x
o que integrando conduz a
Usando o método da variação da constante considera-se a solução na forma
e2xZ=C(X)-
x
e substituindo na equação homogénea em z e x tem-se a equação em C' (x)
C'(x) = e-2x
e portanto
()1 -2x CC x =--e +-2 2
I
o que dá como solução da equação em z
1 c>z=--+--2x 2x
e portanto as soluções da equação inicial são
2xy=x+_ ;y=x
Ce2x -1
ProblemasResolver as seguintes equações diferenciais considerando que admitem uma so-
lução constante:
1.'>0 v' I \' I v
t ,I) 1 y' + xy + xl = 6x
I I volver as seguintes equações diferenciais sabendo que admitem a solução uti nln,
1.1'2/=x3(y_x)2+x-ly; u=x
I 'I,' ' - r 2 r .r••, •• y = e 'y + y - e'; u.= e
I,W, v' cosx = cos2X - ysenx+ i; u = senx
Ju=-
xI
u=-x
Soluções
Ce3x +21,90y= ;y=1;y=-2Ce3x -1
51,91y=2+---;y=2;y=-35x2
Ce 2 -1
N problemas 1,92 a 1,98, as solucões incluem também as funções u dadas,
5x1.2 y=x+--
C_x5
I1.31-1+----
l-x+Ce-x
I. t]. _ex + 2-~r
19' Y -.r l-I2
'(' I -I
I I) 1 \" "\I \ I('1\1 \ "11\
Ce3X2 -1+ 6x1.97 v= ,3x-Cxe -x
C l-aX +a
1.98 y = ( )X Cxl-a +1
1.6 Equações não resolvidas em ordem à derivada
Considere-se a equação diferencial
f(x,y,y') = O
Supondo que não é possível resolvê-la em ordem à derivada e tomando
y'= p
tem-se
f(x,y,p)=O
e derivando em ordem a x obtém-se
af + af p + af dp = Oõx ay õp d.x
Eliminando x e d.x usando as equações (69) e (70) obtém-se a nova equação diferencial
f(y,p,dy,dp) = O
ou em alternativa, eliminando y e dy
f(x,p,dx,dp) = O
o que integrando conduz a
FI (y,p)=C
011
(68)
(69)
(70)
(71)
(72)
(73)
(74)
(75)
"1I11i'II'llle eliminando p de (70) e (74) (ou (75)) obtém-se
FI (x,y,C) = O (76)
que é o integral geral da equação dada.
I'tllhh'ma 1.99II ulvcr a equação diferencial 2y,2 -2xy' _2y+x2 =0.
Resolução
Hesolvendo a equação em ordem a y tem-se
2,2 , xY=y -xy +-. 2
lomando y' = p obtém-se
22 X\'=p -xp+-
2
derivando em ordem a x
dp dpp = 2p-- p-x-+x
dx dx
qu é equivalente a
{2p_x)dp =2p-xdx
C n id rem-se agora dois casos possíveis.
1.° C o:p-x O t rn-se
I' P II"'II!
p=x+C
que conduz a
ou
2X 2y=Cx+-+C2
2.0 caso:
Se 2 p - x = O tem-se
xp=-
2
e portanto vai obter-se o integral singular
ou
que deve sempre confirmar-se se é solução da equação.
Problema 1.100
2ty'Integrar a equação y = -'-2 .
1+ y'
Resolução
Fazendo y' = p tem-se
2xpy=--
1+ p2e derivando em ordem x obtém-
/1 I - /1 d/I/1- , I ••\ ,
I I // (I I ,,') 111
ou
v' - P 1- p2 dp--=2x -I + ,} (1+ p2)2 dx
l' equivalente a
ou ainda a
=, 2dp =0r p( 1+ p2)
que é uma equação diferencial de variáveis separáveis. Integrando, a solução
d sta equação é dada por
ou
C(I + p2)\ c -'--;,----'-
p2
Iliminando p usando esta equação e a seguinte
2xp\'.--
1+ p2
ol l m-se
N so de p = ±I tem-se
I' inl r I ingul r é
I" - \ - - ()
ProblemasResolver as seguintes equações diferenciais:
1.101 y,2 - (2x+ y) y' + x2 + xy = O
1.104 y,2 _ yy' + e' = O
1.106 y = y,2 + 2lny'
Soluções
x21.101 y=-+c, y=Cex-x-1
2x
102 lnCy =x±2e2, y = O
( )2 2 2.105 y-ax-C =Cl sen x
12
x=2p--+C1.106 p
Y = p2 + 21n p
1.6.1 Equação de Lagrange
A equação de Lagrange é do tipo
(11)
( m cp(y') ••v'."""1\(10 y' = p a equação escreve-se
(78)
( derivando em ordem a x obtém-se
1'=cp(p)+XCP'(p)dp + ll/(p)dpdx dx
(79)
dxI I .lllwlldo em ordem a - tem-se
dp
lIx
IIp(80)
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem em x com p como
v riável independente. Integrando esta equação e eliminando p obtém-se o
Integral geral.
1'1 uhlcrna 1.107I I ,\1v 'r li equação diferencial y = x (I + y') + y'2.
Resolução
tornando y' = p a equação escreve-se
( d rivando em ordem a x tem-se
dp dp11.I+p+x-+2p-
dx dx
qu quival nte à equação diferencial linear de primeira ordem
dI' .r-- prlli
 1I11( tjl,l , [.'1
'/, I' I ) I II
Então a solução da equação diferencial é dada por
ou
Jy=[Ce-P+2(1-P)](1+p)+p2
lx=ce-P+2(J-p)
ProblemasResolver as seguintes equações de Lagrange:
1 (, 4)1.108 y=2"x y +7
( ') ,21.109 y= l+y x+ y
,2 J1.110 y = xy - =;y
, 11.111 y = 2xy - (i
Y
Soluções
x2
1 108 y=C+-, y=±2x. C
{
x=ce-P -2p+21.109 ? 2
y=C(J+p)e-1 -p +2
Cp2 +2p-lx = 2
2p2(p-l)
Cp2+2p-l1y= 2 --
2(p-l) P
1.110
{
2 2 -3x= Cp" + P1.111 I 2
y-2 17- +317-
I .2 Equação de Clairaut
I'qllação de Clairaut é um caso particular da equação de Lagrange
y = xy' + lJ.!(y') (81)
e resolve-se fazendo a substituição
y'=p (82)
111'llv,mdo em ordem a x tem-se
dp ,() dpp = p+x-+1jJ p-dx dx
(83)
o que é equivalente a
dp = O se x + lJ.!'(p ) ",.Odx
(84)
e integrando tem-se
p=C (85)
() 1111' ral geral é então
(86)
d x + 1// (p) = O obtém-se a solução singular.
I'whlcma I.U2
I I ulv 'I' H quação diferencial y = xy' - b.1+y,2
lu
I( m.md y' - p qu
\' 'li J 1i I
I, 1I
e derivando em ordem a x obtém-se
dp r.-21
2 P dp-'\j1+p -p
dp dx ~l+p2 dx0= x- ---------'-~--
dx 1+ p2
o que conduz a
dp = O se x - 1 3/2 '" Odx (I+ p2)
Por integração obtém-se
e portanto a solução geral é
Para se obter a solução singular elimina-se p das duas seguintes equações
p J
y=xp- ~l+/ e x= (J+p2t'2
A segunda equação pode escrever-se
e substituindo na primeira tem-se
p p
(. 2 )3/2J+ py = ( 2 )3/2
1+p (2 )1/21+ p
Finalmente, das duas últimas equações resulta
ProblemasRes Iver as seguintes cquaçõ s dif r nciais:
I.IIJ I'l
11" I
1,114 y=xy'+y'2
I. H 5 v = xy' + ~. y'
1.I1(, v = xy' +~. ?y'-
1.117 y = xy' +a~1 + y'2
Soluções
31.113 y=Cx+-
2C'
1.114 y=Cx+x2,
I115 y=Cx+-
C'
?y- = 6x
2Y =4x
1.116 Y = Cx + ~ 4i = 27ax2
C2 '
1.117 y=Cx+a~1+C2, x2+/ =c?
Capítulo 2quações diferenciais de ordem superior à primeira
NI'~t capítulo são estudadas as equações diferenciais de ordem n geralmente repre-
sentadas por
F( ,,, (n))_ox,y,y ,y , ... ,y - (1)
.1 Redução da ordem das equações diferenciais
1111 di jun casos é possível reduzir a ordem de uma equação diferencial do tipo (1) ob-
l ndo equações diferenciais de ordem inferior que sejam mais fáceis de resolver.
" I) de i os casos mais simples em que esta redução de ordem se aplica.
, I d',O:
d tipo (2), isto é, não aparecem y, y', ... , y(k-I) explicitamente
1,'( (1.) (I.,.i) (/1))-0\. Y ,.I' , ... , I (2)
I, 1111 111110
(3)
a ordem da equação é reduzida em k unidades obtendo-se
F(- ' (n-k))_oX,Z,z, ... ,Z -(4)
que integrando conduz à solução
(5)
Integrando em seguida a equação (3) k vezes obtém-se
(6)
2.0 caso:
A equação é do tipo
F( ,,, (/1))-0y,y ,y , ... ,y -(7)
isto é, não contém a variável independente x. Neste caso faz-se a substituição
(8)z(y)=/
e tem-se
, dyy =-=z
dx
(9)
" d: d: dy d;y =_=--=z-
dx dy dx dy
y"'=~(ZdZ\=~(ZdZ\dY = ((dZ\2 +zd2z1zdx dy) dy dy) dx dy) di
1,1 suh lillliç, O condu/ a urn r duc d um unideo n or m d eu c o d d()I)I '111',1' 1111Itll'q\l.l<", (l <I\I('101\(1.l111,1 Vtlt!, vol ln 1('1' 'nu '111( )1.
", uhlcma 2.1I I ulvcr a equação diferencial x2y'" + xy" = 1.
Resolução
Considerando
z = y"
tem-se a equação
.2 ,.\ Z + xz= 1
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem.I
Começando por
I so ver a equação homogénea associada
2 dz.v -+xz = Odx
ou
d; dx
" x
qu integrando conduz a
P lo método da variação da constante tem-se _ C (x)obt rn- e z - -x- e na equação inicial
,I' ( , (x)x-C(X)) C(x)2 +x--=]
x x
() qu C nduz a
('(.I')-Inlxl
I' 1)()II,1\\1 ) ,,~ I\lç, 1,\ uaç,I
\
Para obter a solução y(x) basta integrar duas vezes. Após a primeira integra-
ção tem-se
e integrando novamente tem-se
que é a solução geral da equação dada.
Problema 2.2Resolver a equação diferencial yy" - y'(1 + y') = o.
Resolução
.. d dySubstituin o - por z. tem-sedx
d: ( )yz-- z l+z = Ody
e esta equação integra-se por separação de variáveis
dz = dyl+z y
e a solução é
S b. . dy
u strtui-se agora z por -dx
que integrando conduz a
1',1 II-VI'IUI!)1'111111<11'11101 \'lIhll'lll ',i li '1011, ,lO',\ t ('
que é equivalente a
1','HhlcmasI I',olver as seguintes equações diferenciais:
,\ \ /' + y' = 1 + x2
,I \.1''' = y' + x2
,, " 'I Y,~, \.1' =y n-
x
,71"(I+(y')2)=ay"
,M I'.\''' + (yf - (y')3 In y = O
,')y"=(yf-y, y(l)=-~ e y'(I)=~4 2
,lI) .li" + y' = xex
I cxulver o seguinte problema:.11 Uma partícula move-se ao longo de uma linha recta de tal modo que o pro-
dl1to (h aceleração pela velocidade é constante e igual a 2 cm2s-3. Determinar a
posi ·rroe a velocidade da partícula no instante t = 9 s sabendo que partiu do re-P0l1S0 no instante t = O s e que se encontra nesse instante afastada 5 em da origemdlls .spaç s.
luç
\
') .1'-.\' .:) , ',lnll'l·'
1\
2 6 X C,.ul I eC,X+1 + C. y=-e -2 2CI CI
2.7 x+C2 =aln\sen(~+c[)\
2.8X=cll+ylny+C2
x2 12.9Y=4-"2
I .\ 3 \ C -~\ C2.10 y=-xe --e - [e + 22 4
2.11 s=4Icm, v=6cms-1
2.2 Equações diferenciais lineares de ordem n
As equações diferenciais lineares de ordem 11 são do tipo
ao (x)y(n) + ai (X)y("-I) + ...+a,,_1 (x)y' +a" (x)y = f(x)
comao(x)",OEstaequação é linear em y e nassuasderivadas. Oscoeficientes ao (x), ai (x),
ef(x) são funções contínuas num dado domínio.
No caso de f (x) '" O a equação diz-se homogénea e escreve-se
... , an (x)
( ) (n) () (,,-I) (-)' (-) - Oao x y + a[ x y + ...+ a,,_1 x Y + a" x y-
TeoremaConsiderando a equação (12) nas condições descritas, se Xo é um ponto do domínio de
ao (x), ai (x), ... , a" (x)ef(x)edadosvaloresreaisko, k[, ... , kn_l,existeuma
única solução y(x)de (12)tal que y(xo) = ko,y' (xo) = kl, .)"-1) (xo) = k"_I·
(12)
(13)
1 Soluções da equação homogénea e não homogénea
111 I ma
, ,I', lunções YI, Y2, ... , )'/11 são m. soluções particulares da equação (13) então qual-
quer combinação linear dessas soluções é também solução da equação homo-
génea.
li, 1,1 nstração
li, ',111'1 -se por z(x) a combinação linear das 1'1"1. soluções
Note-se ainda que este método, pelo que ficou mostrado, se aplica igualmente a equa-
ções diferenciais lineares de coeficientes não constantes.
Problema 2.32Calcular a solução geral da equação diferencial ylll - 2y" + y' = xex
.
ResoluçãoSeja a equação característica
e das suas raízes O e 1, sendo esta dupla, obtém-se a solução da equação
homogénea
A solução geral pelo método da variação das constantes é
o sistema que determina Cí (x), C; (x) e C3 (x) é
\
Cí(X)+C2(x)ex +C3(x)xeX =0
O + C; (x) eX + C3 (x) ( eX + xex) = O
O+ C; (x) e' + C3 (x) (2ex + xex) = xex
e tem Wronskiano
1 x xexew(x)= O eX (x+ 1)eX 2x=e
O eX (x+2)e"
nl< I m·
O eX xxeO eX (x+ 1) eX
xex x (x+2)eXeCí (x) =
e2x
1 O xxeO O (x+ l)eX
O xex (x+ 2)eX
Cí (x) =e2x
I eX O
O eX O
O eX xexC3 (x) = '----.--!
e2x
obtendo-se
e portanto
C()fX < x-I X = xe dx = xe' - e + CI
li m-se ainda
2 (x) = -(l+x)x
donde se obtém
2 3. (,)= f -(x+l)xdx=-~-~+C2
2 3
(I fin 1m nt sendo
'\(.1")- .
I ,III'V!'I H1(1 IIIJ(lI li ,I ,ol! /(,' (I til li '111',(
que é equivalente a
sendo
1 2 x I 3 xy=--xe +-xe2 6a solução particular.
ProblemasResolver as seguintes equações diferenciais:
/ 233 y" + y = tg x
~ 234 y'" + y' = sec x
-x2.35 y" + 2y' + y = ~
x
236 y" - 6y' + 9y = e3xln x
2.37 y" + 9y = sec 3x
j 23ã, y" - 2y' + 5y = 2xex
x239 y"_2y,+y=_e_
x2 +x
2.40 y'" - y' = eX + e-x
J QY"_y=_2_'l ~ l+ex
Soluções
, 2.34 Y = CI + C2senx+ C3 cos x+ Injsec.c-s tgxl+ senx ln Icosxl-xcosx
3x 3x 3 2 3 r X2
3 r2.36 y=Cle +C2xe --x e' +-Inxe'4 2
I I2.37 Y = CI cos 3x+ C')sen3x+ -cos 3x ln Icos3xl+ -xsen3x
- 9 3
2.39 Y = Cle·r +C2xex _ex Inlx+ q+xex ln~x+l
2 40 C C -.r C .r X -r X r. y = I + ? e . + 3e' + - e . + - e"- . 2 2
241 y=Cle-x +c2ex+(ex _e-x)ln(l+ex)_(I+xer
)
Modo do anulador
I onsidere-se uma equação diferencial linear de coeficientes constantes (40) e seja o
operador diferencial
L DI'I DI'I-I D= +a1 + ...+a,,_1 +a"
sendo o operador D dado por
D=~dx
1111,10 equação diferencial (40) pode ser escrita como
L(y) = .f(x)
,I I" d ar o operador diferencial A, de coeficientes constantes, tal que
A [.l(x)] = O
11l dil u A111 'llil)1 \lI) (' 11IdÇ(
nul ar d f(x). Aplicando o operador A a ambos os
ir r n i I (O) bt m-
(58)
,\ I ( i' ()
(59)
(60)
(61)
( )
ou seja, obteve-se então uma equação diferencial linear homogénea de
coeficientes constantes cuja solução y* contém a solução y" da equação
homogénea associada a (60) e portanto considerando a parcela
(63)
tal que satisfaz (60) está encontrada a solução particular desta equação. Basta
então encontrar uma solução yp de AL(Y) = O tal que
(64)
e obtém-se uma solução particular de (60). A sua solução geral é então a soma
da solução y" da equação homogénea associada com a solução particular yp'Existem anuladores de algumas funções que são simples de calcular Por exemplo o
anulador de k.x é 02
(65)
Generalizando (sem efectuar agora a demonstração que deverá ser feita pelo método
de indução) deduz-se que o anulador de kx" é 0"+ I.
(66)
No caso de funções exponenciais tem-se que o anulador de keax
é O - a
Se considerarmos xeax o anulador é (O - a)2 como se pode verificar e no caso de
n ax I d ,(O )"+1X e o anu a or e - a .No caso das funções senf3x ecos f3x o anulador é D
2 + 132
e no caso de eaxsenf3x e eax cos f3x o anulador é 02
- 2aO + a2
+ 132
Resumem-se na tabela seguinte (Tabela 2.1) os anula dores de algumas funçõ s
(67)
função anulador
1 O
x 02
kx" 0"+1
keax O-a
kx"eax (o-a)"+1
cos f3x 02 + f32
senf3x 02 + f32
keax cos f3x 02 -2aO+a2 +rP
keaxsenf3x2 ? 2O -2aO+a- +f3
kx" eax cos f3x ( 2 ? 2 )"+1O -2aO+a-+f3
kx" e" senf3x ( 2 ? 2)"+1O -2aO+a-+f3
(68)
Tabela 2.1
I'mhlcma 2.42I "ulver a equação diferencial y" + 2y' + y = eX + e-x.
Resolução
Começando por resolver a equação homogénea associada
/,+2y'+y=0
t1 solução é obtida a partir da equação característica
r + 21'+ I = O
m r iz -1 dupla. Então a solução é
I )1'11'111111101 ,I' ,1'III1Ic1oillll'IIII' I) oilllll,,,lc)) cio ',I''1I1IHlo 1111'11111111'\ I I' \ I"(
A=(D-l)(D+l)
após o que se escreve a equação inicial como L(Y) = .t(x), isto é,
e aplica-se a ambos os membros o operador A obtendo-se a nova equação
diferencial homogénea
que se pode escrever
Determina-se agora a solução desta equação homogénea e obtém-se
x -x -x 2 -xy* = ae + be + cxe + dx e
É necessário seguidamente determinar uma solução particular da equação
inicial que é obtida da expressão
e portanto procura-se a solução particular yp que satisfaz essa equação
Substituindo na equação obtém-se
(Xx x 2 x) (x x 2 x)ae +Zde" -4dxe- = dx e- +2 ae +Zdxe" -dx e- +
x 2 -x x -x+ae +dx e =e +e
ou, simplificando
4aex + 2d -x _ ,x + -x
-,
1 1a=- b=-
4' 2
e portanto
j x 1 2-xy=-e+-xep 4 2
sendo a solução geral dada por
I'rublemasI) 'terminar os anuladores das seguintes funções:
.43
b) y = 3ex
ti) y = cos2x
,) y = xcos2x
I') Y = 6 + e2x
.) y=(sen3x+cos3x)eX
I " ulv r as s uintes equações diferenciais:
.11 v" - y' - ,\
2.46 y" + y = xexsen2x
(4) -,2.47 y - y = xe .
2.48 ylll +9y' = 18sen3x+9
2.49 v" - 2y" + 5y' = 3+ 30x2
2.50 y" + y = senx + 2 cosx
2.51 y" + y = 1 + senx
Soluções2.43
a) (D -I)
bl(D -I)
f) D (D-2)
_, ,x -x X x2.45 Y = CI + C2 e ~ + C3 e + - e + - e2 2
s n r ( - I -) e'• O •
7.11 Y - I '( S .r
~ I v ('11" 1 ("1" 1 ('I 'O, \ 1(',1 eu \
'OS r C (\- 1~)X) e s n s
1 _\ I '(' \\ (' \K K
2.48 Y = CI + C2 COS 3x + C3senx + x - xsen3x
J2.50 y=CI cosx+C2senx+xsenx--xcosx
21
2.51 Y = CI COSX + C2senx+ 1 - -x cosx2
Equações de Euler
1\', equações de Euler são equações diferenciais de ordem n com coeficientes não cons-
tantes do tipo
ali (a + f3x)" y(lI) + ali_I (a + f3x )(11-1) y(II-I) + "'+ ai (a + f3x) y' + C/oY = .r (x)(69)
e resolvem-se por uma mudança de variável.
I 111\ iderando a + f3x > Ofaz-se
(70)
e f é a nova variável independente. Converte-se assim a equação (69) numa
equação diferencial linear de ordem n de coeficientes constantes.
,ti rivadas de y são substituídas por
y' = dy dt = dy f3e-1dt dx dt
(71)
,,_ d2y 13 -113 -I dy 13 -{ dt 132 -21 (d2y dY)Y -- e e -- e -= e ---
dl2 dt dx dt2 dt(72)
.vIII - f3 (73)
te.
11111 d',l di (( I (li () el'vI' I'Ii 1(ldl ',e' d ~1I1l tit'li, (J. (I. - -e',
Problema 2.52Resolver a equação diferencial x2 y" - 3xy' + 4 y = O.
ResoluçãoNeste caso a = O, f3 = 1 e portanto a + f3x = x. Tem-se
, dY-Iy =-e
dt
e também
y" = (d2 Y _ dY)e-21
dt2 dt
Efectuando a substituição x = el a equação toma a forma
21[ -21 (d2y
dY)] 3 I -I dy 4 Oe e --- - e e -+ y=dr2 dt dt
ou simplificando
cuja solução é
C 2t C 21Y = je + 2te
Finalmente na variável x tem-se
Problema 2.53Determinar a solução da equação diferencial (1+ x)2 y" + 3(1 + x) y' + y = (1+ x?
A JlMtir desta equação e por um método de coeficientes indeterminados para séries de
potências são calculados os valores de cn de forma recorrente. Os valores de <oti -o tomados como constantes arbitrárias e por uma fórmula de recorrência
bt m-s o v lor 5 d '2,'3,'" em termos de Co e cl· Isto é imediato se as
m do con id r r
i) m ",Illl (1)(11 )( 111 I cI
ii) para todas as séries deve tomar-se o índice n a começar no maior dos valores
iniciais presentes nas séries anteriormente consideradas.Sea equação diferencial for de ordem n podem arbitrar-se Co,cl , ... ,cl1-1 e obtêm-se os
seguintes valores ck recursivamente. A solução da equação diferencial em série
de potências está então determinada
Problema 2.63Determinar a solução em série de potências em torno de Xo = O da equação
Problemas'ai .ular .I!{j(t)} em cada um dos seguintes casos:
Q 4.4/(/)=/2
4.5/(1) - s nat
4.6 / (I) - s 'nhOI
{() < I.7 /(1) ;1:
4.N f(/)-t. () : ..
I
4.9 f(l) = t - 2 sabendo que r(n) =J; X"-I e" dx e r(~)=.J;
4.10 j(t)=jcos(t- 2;), t » 2;2n
O, t<-3
Soluções
24.4 --:3
sa
4.5 -2--2s +a
a4.6~
s -a
4.7 ~(l- e-2S)
1 e-2.1' e-2s4.87+-----
s: s s2
49~21<
4.10 e-3s ss2+ 1
Problema 4.11Calcular a transformada de Laplace da função j(t) = 2sent + senht.
Resolução
Para a resolução deste problema começa-se por utilizar a propriedade da line-
aridade da transformada de Laplace que resulta imediatamente da definição.
Tem-s então
I{ S nl s nh/}- I{S n/}+2{ enht} =
_ I!{S'Il/}II{I(/ (II)}_ l{sn/}+~I{/}-±2{e-/}=
Aplicando agora os valor s nh id d tr n I 1111!idol dI' '''11101 'tld [un-
ções seno e exponencial tem-se
1 ! 1 ! I=2--+-------=
s2 + I 2 s - 1 2 s + !
3s2- J
= s4 -1
Problema 4.12
Mostrar por indução matemática que 52 {til} = ~ com n inteiro positivo.S"+
Resolução
Deve provar-se primeiramente a igualdade para n = O.
52{tO}=fool'e-Sldt= lim fMe-Sldt=o M -->x o
= lirn(_~e-.\I)M = lirn_~e-MI +~=~M -->00 sOM -->00 S S s
Suponha-se agora a igualdade verdadeira para n, isto é .2 {til} = ~ eSIl+1
calcule-se
52{tl+I}=fOOt"+le-Sldt= lirn fM t"+le-SI dt=o M -->00 o
,. (I _SII1+I)M n+1 I' fM li -s'd=Im--e t +--Im te t=M -->00 S O S M -->oc O
o que após determinar o valor do primeiro limite conduz a
_n+1 Il{ li}---~ tS
Aplicando agora a hipótese de indução obtém-se
n + 1 n!
que é a expressão para 2{t"+I}.
Como sumário destes Iculo ncontra-s no fin I d t I ítul urna t b I
li n [ rm d (To b I 1J.1)ront nd , 1'1111(111<11'111,111 [ rrn d
1'I'\lhl '1llU/,
'J .•IIIlt!O li pro] ricda Ic da Iincaridadc da transformada de Laplace calcular:
r.u I {4r1 - 3cos 21 + Se-I}
1.14 .\! {cosh 2 21}
,15 .\! {cos2 aI}
Soluções
24 3s 54.13 ----+--
s4 s2+4 s+!
S2 - 84.14
s( s2 -16)s2 + 2a2
4.15s( i +4a2)
2a24.16
s(s2 +4a2)
4.17,6a3
(s2 +a2)( s2 +9a2 )
4. Tr n form da de Lapl ce d d rivada
I
\f (I) um funç o ontfnua de ordem exponencial em [0,(0) cuja derivad é l m-
b m d ordem exponencial eyl e contínua por secções em [0,(0) então a tran •
form da de Laplace da derivada f' (t) existe para s > y e
)!{r(l)} = s2{f(t)}- f(O)
monstração
1,11 monstra r o teorema pode supor-se que a derivada tem um salto finito em I = 'o(A demonstração é suficiente para o caso de haver um número finito de saltos).
Então tem-se
~{r(t)} = f ;f'(t')e-sldt =
= lim (fIO-Ef'(t)e-S1dt+fM f'(t)e-S1dt)=M ---+00 E to +E
E-O
e usando integração por partes
. (( )10 -E f I -E ()M= 11m f(t)e-SI - o -se-S1f(t)dt+ f(t)e-SI _M ---+00 E li lO +E
Usando a integração da transformada de Laplace calcular:
portanto
u
&'11) I { 1'- r I 'os I}
UU. '{I 'I"}/1,10
,I' + I ,1,2 +. ,\'+ 3
(s I I 1,1' I I ,\')
SoluçõesI I 1
- -1-sen3t = -tsen3t2 6
1'1·.,1)1 'masI Jsnn lo 11 ti riva .ão la transformada d Lapla c calcular:
/
(S_2)2_14.104 2
((S-2)2+1)
24.105 ---,
(s -l)j
K,I',
I 1(1101
1 (' ) 2,I' ,1'" I <I
_ - _ 'OSI!)I11
S 'llIOI11la
POI d d lr n r rm d d Laplac tem-se
~{I ':'g} = J ;(J ~f( T)g(t - T)dT )e-sl dt (56)
que pode ser escrito como
.1'2 +9'1,110111---
,I'
(57)
.\'+311,111are coto--I:> 2
Fazendo agora a mudança de variável
U =t-T11 I I Iscnh21 v= T (58)
3 (-( _?()1111 I e =e : que tem Jacobiano igual a 1 obtém-se, com os correspondentes novos limites
de integração em u e v2 - 2cos úJl11.1111----
(59)
/1..8 Teorema da convolução
e este integral pode ser escrito como
I)111 I IC o importante de determinação da inversa de transformadas de Laplace élad p lo teorema da convolução. A convolução de duas funçóesre g é defi-
l1id por
que é a expressão para 2{f(t)}>2{g(t)} Fica então provada a igualdade
PodI
)como o produto H (s) = F(s)G(s) com
.I' i+1I
/ II
2{f*g}=2{f}2{g},s>y (61)
•(54)
I do f g duas funções contínuas por secções em qualquer intervalo fechadoünito O :s;I :s b.
Problema 4.115
Determinar a inversa da transformada de Laplace (2 )'S S + I
1I I II III ( r m da onvolução)
,l'ltllll /1',lI lu 5 runçO contlnu por 5 co 5 em c d int rvalo O:s; I :s; bI'XpC 11 n i lerl nt
ord m / Resolução
( )
l'tll,l I YI,' ,1') «(;(s
,I
(' 1("1) ~(
l mb m
g (I) =,12"""'{-2-1-} = sent
s +J
ntão pelo teorema da convolução tem-se
u ainda uma vez que a convolução é comutativa
- f;,g(r)f(t-r)dr= f~ senr'ldr=l-cost
onclui-se então que
l!"' r (I I)= 1- cos t1.1' .1'2 + 1
Problema 4.116R .solvcr a equação diferencial y" + y = sect com as condições iniciais y( O) = 1 ev'(O)--2,
Resolução
Aplicando a transformada de Laplace a ambos os membros da equação
'ul .ulnr a solução das seguintes equações diferenciais usando o teorema da con-volll '10:
f(t) F(s)
.r» -?I () '(O) O; + y = e - sent, y O = y =rI/-
.1 J \'''+4y'+13y=~e-2/sen3r, )'(0)=]
.1 elll
s-ae y'(0) =-2 til
sen ar
cos ar
4.126y"+4y=tg2/, )'(0)=-] e y'(O)=l e"1f(t) F(s-a)
Soluçõesu(t-a)
-ases
f(t-a)u(t-a)
4,118 ~(_1+3/+e-3/)
I1),,11 -(scn2t-2tcos2t)
16
F(s)G(s)
Tabela 4.1 Transformadas de Laplace
I I4,120 ---COSWI(i w2
/4,121 I 'OSú)/
I'l,ln .1'- X(S'I1/- 'OS/)
l' 1 (s '111H
'OS / )
diferenças finitas
Nas aplicações práticas as funções que são usadas em problemas de engenharia são na
maioria das vezes fornecidas por valores tabelados resultantes da observação
experimental, não se conhecendo a sua expressão analítica. Mesmo nos casos
em que essasfunções são conhecidas a resolução das equações diferenciais con-
duz à obtenção das soluções através de fórmulas exageradamente complicadas.
Cada vez mais frequentemente os métodos numéricos são necessários para a re-
solução de equações diferenciais para as quais não se consegue determinar uma
solução analítica. Neste capítulo é feita uma introdução à resolução numérica
de equações diferenciais em que as derivadas são substituídas por diferenças de
uma função em determinados pontos do respectivo domínio.
O método das diferenças finitas é um método de discretização que consiste em transfor-
mar um domínio contínuo da variável, por exemplo um intervalo I, numa malh
de n+ 1 pontos e uma equação diferencial é assim aproximada por um conjunto
de equações de diferenças mais simples de resolver. A solução da equação d
diferenças pode no entanto ser ou não convergente para a solução da equ çdiferencial.
, 1'1,1 y(x) uma função real de variável real e Xo ,xI 'X2' ... ,X" um conjunto discreto de
pontos que poderão ser considerados equidistantes, apenas por simplificação e
sem perda de generalidade.
k k-I k-I~)',,=~,,+I)'-~ )'" k=I,2, ... (5)
.1 Diferenças de uma função e equações de diferenças e assim sucessivamente podem definir-se diferenças de qualquer ordem ~ k pela
expressão
5.1.2 Diferenças centrais e diferenças divididasXI1
i = 0,1,2, ... (1)
Para algumas aplicações como em problemas de interpolação e na resolução numérica
de equações diferenciais é mais conveniente usar outro tipo de diferenças desig-
nadas diferenças centrais e que são definidas por
ntão
)'
o)'" =)' I -)' I11+- 11--
2 2
em que o ponto x, é central relativamente a x I e x I'i-- i+
2 2
(6)e o conjunto dos valores da função dado por
X
)'0A diferença central de segunda ordem é dada por
)'"
(2)',,=0,11 l-O)' I =()',,+I-y,,)-()',,-Y,,-I)=11+ 11- .
2 2(7)
= )',,+1 - 2)'" + )',,_1
.1.1 Diferenças para a frentediferenças divididas seja para a frente ou centrais (ou ainda para trás mas que
não são aqui referidas). Se os pontos de uma dada malha são igualmente
espaçados de uma quantidade h a diferença dividida para a frente é dada por
1\ designadas por diferenças para a frente de primeira ordem são dadas por
~)'" = )',,+1 - Yn (2)
~)' = )',,+1 - )'"
" h(8)
e no caso de diferenças de segunda ordem
r d m também definir-se as diferenças para a frente de segunda ordem considerando
que ( )
(3) Se forem consideradas diferenças centrais tem-se respectivamente para primeir
gunda ordem
\'''1 - 1'//11 I 11 óy" - (1 )
porte ruo
1\ I \'// ( \'//1 I \'// I I) (\'" I I \'//Oy I - ôy
111 11
/
(11 )
.1.3 Equações de diferenças
Urna equação de diferenças é urna equação que relaciona diferentes elementos de uma
sucessão de números
em que se pretende determinar todos os valores de Ywlx mplos de equações de primeira e segunda ordem podem ser a seguinte equação de
primeira ordem não linear e não homogénea
2y,,+, +0.9YI1 = 12 (12)
e ainda a equação de segunda ordem linear e não homogénea
(13)
.2 Solução de uma equação de diferenças
onsidere-se agora uma equação de diferenças linear de ordem k em que os coeficien-
tes podem ser constantes ou não (podem ser sucessões)
(14)
e a respectiva equação homogénea associada
aoY,,+k +a,Yn+k-' + ... +akYn =0 (15)
.. 1 Problema de valor inicial
IIJ)( 1I11i1 qu qlll t (8) d nd rd m p d ndo
1I",lllJd<i()',', '(JIIiIlI(II, Jld'd I'CJII<i(, I", rir or I Ir) li. II'IY1 ~
() (111)
Se forem dados os dois valores Yo e Yl como os dois primeiros elementos da sucessão
que é solução da equação, é possível obter Y2 em função de Yo e YI' depois Y3em função de Y2 e YI' e assim sucessivamente calculam-se todos os elementos
da sucessão por recorrência. O problema de encontrar a solução de uma equa-
ção de diferenças satisfazendo condições iniciais dadas é designado problema
de valor inicial. No caso geral de a equação ser de ordem n serão dados os
valores YO' YI'"'' Y,,- I'
Teorema
Seja a equação de diferenças linear não homogénea de coeficientes constantes (ou
coeficientes que são sucessõesdadas)
(17)
sendo ao, a I' a2 constantes e 1" uma dada sucessão. Se A e B são duas
constantes tais que Yo = A e Yl = B a solução de (11) (que no caso de ao = O
é uma equação de primeira ordem) existe e é única. À semelhança da teoria das
equações diferenciais o resultado é válido para equações de ordem n e ainda
para equações de coeficientes não constantes .
Teorema
Considere-se o Casoratiano de duas sucessõesun' vn definido por
(18)U" v"
Sejam duas sucessões Uw vn soluções de uma equação de diferenças linear e homo-
génea. Então o Casoratiano é sempre diferente de zero ou zero para todos O
valores de n. No primeiro caso as soluções são linearmente independentes e no
segundo linearmente dependentes.
Exemplificando com as sucessões 1 e 211 o Casoratiano é dado por
2" " I " "(2 -I) - 2" O" •.I
'1<'l\1ill(' rll! '1(1111(\(1(' Ir'IO,
I( r ma
',(' (lu sucessõesu.; VII são solução da equação (10) e são linearmente independentes
então qualquer solução wn de (10) pode ser escrita como
5.3.1 Método passo a passo
(19)
Dada a equação (14) e dois valores iniciais Yo, YI' podem obter-se por recorrência todos
os valores da sucessão calculando Y2 em função de Yo' YI' depois Y3 em função
de Y I' Y2' etc. Tem-se
onde c), c2 são constantes. As soluções un' v,[ são uma base de soluções e a
solução geral de (16) é dada por (19)
monstração
duas sucessões un' vn são ambas solução da equação homogénea (10) então tam-
bém é solução a combinação linear clu" + <: v". Basta então provar que qual-
quer solução wn se pode escrever nessa forma para determinados valores de c I'
('2' Considerando os dois primeiros valores da sucessão wo' W I tem-se
e assim sucessivamente, todos os termos vão sendo calculados. Este método é
portanto um método explícito
{
WO = cluO + c2 Vo
wl = clu) + c2vI
Problema 5.1Calcular os valores de y", n = 2,3,4,5 para o problema de valor inicial
Y,,+2 - 3Y,,+1 + 2y" = 0, com Yo = O'YI = 1.
(20)
e como o Casoratiano u" vlI+1 - u,,+1 v" é sempre diferente de zero para qualquer
/I também se tem Llo VI - LlI Vo " ° e portanto o sistema tem solução cl' c2' Mas
então tanto wn como clu" + c2 v" são soluções da equação de segunda ordem
com as mesmas duas condições iniciais e portanto pelo teorema de existência e
unicidade da solução são a mesma sucessão. •
Resolução
Calculando passo a passo tem-se que
.3 Equações de diferenças lineares homogéneas de coeficientesconstantes
( ( n id r m-se apenas equações de primeira ou segunda ordem da forma Ys = 3Y4 -2Y3 = 31
(21)
conform oco fi ciente aO é nulo ou não e todos os coeficientes são const nte .
po sfv I d finir um m lodo d c Icul r a solução geral d st tipo d quaçõ s
tm di d r pr nt do p ra qu cõ s d s und ord m o r sult d
podr-m CJ(11('I,lli/.1I ( 1"11,1 qualqu I I I m up ri I. ui I m nt t I