Lloyds lifecon(new) lecturenote(4)

보험계리사2차 시험대비보험수리 연습

하 홍 준로 이 즈

[email protected]

2014

차 례

차 례 1

1 Please READ!!! 1

2 생존분포와 생명표(Survival Distributions and Life Tables) 32.1 Survival Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 생명표 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 생명보험 253.1 Actuarial Present Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Probability, Percentile and U.D.D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 생명연금 464.1 Actuarial Present Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2 Probability, Percentile, U.D.D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5 Net Premiums 675.1 Premium Calculation and Loss Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6 Benefit Reserves 866.1 The Prospective Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.2 Premiums and Reserves with Expenses and Decomposition of Gain . . . . . . . . . 104

7 Multiple Decrement Models 1177.1 Models and Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

1

차 례 2

7.2 Applications : APVs and ASs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

8 Multiple Lives 1468.1 Joint Life : Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1468.2 Last Survivor : Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1508.3 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1568.4 Contingent Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1638.5 Insurances and Annuities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

9 Multi States Model 1789.1 Discrete Markov Chain : Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1789.2 Continuous Markov Chain : Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1819.3 Premiums and Reserves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

10 Interest Rate Risk 20610.1 Replicating Cash Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20610.2 Diversifiable and Non-Diversifiable Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

11 Profit Measures 215

제 1 장

Please READ!!!

일러두는 말:

본 교재는 한국 보험계리사 2차 시험을 대비하는 수험생들을 위하여 다양한 문제들을 선별 및 편집하여 엮은 것입니다. 편집자는 본 교재를 활용하는 수험생들은 이미 확률론과 생명 보험수리학을학습한 것으로 가정하였으므로, 이론적 설명은 생략하였습니다.본교재를이용하여목표를달성하기위하여이교재를읽는수험생들이반드시지켜주어야하는

사항은 다음과 같습니다.

• 본 교재는 실제 시험에 출제될 문제들에 비해 보다 세분화된 문제들입니다.

• 이세분화된문제들은기본적인이론들의이해를확인하고, 그이론을적용하여실제로문제를풀수 있는가를 확인하는 목적이 가장 우선입니다.

• 문제를풀면서자신이이론을이해하고있는가를확인하는것이가장중요하며, 이론의이해가없이 문제풀이의 암기는 단순한 시간의 낭비일 뿐입니다.

• 제공된문제들을스스로풀고학습하면서, 답안은절대적으로답의확인을위해서만활용해야하며, 모르는 문제나 자신이 없는 문제를 발견하면, 이 부분이 꼭 시험에 나온다는 마음 가짐으로 기본서로 돌아가 다시 공부하시길 바랍니다.

• 본서에 제공되는 문제들은 모두 최소한 3번 이상으로 반복해서 풀어보길 바라며, 반복 후이론의 파편들이 어떻게 결합하여 하나의 문제로 제시되어 질 수 있는가를 생각해 보십시요.

1

제 1 장. PLEASE READ!!! 2

• 최종계산을반드시완결지어야하며, 눈으로계산하는안이한자세로이교재를공부하는것은시간낭비입니다.

오타나 기타 문의할 점이 있으면, [email protected]로 보내주시면 감사하겠습니다.

제 2 장

생존분포와 생명표(Survival Distributions and LifeTables)

2.1 Survival Distribution

1. 0세인 신생아의 장래생존기간을 나타내는 확률변수의 생존함수가 다음과 같이 주어졌다.

S(t) =1

1 + t, t ≥ 0

아래의 물음에 답하시오.

(1) 누적분포함수를 구하시오.

(2) 확률밀도함수를 구하시오.

(3) p20의 값을 구하시오.

(4) 10|5q30의 값을 구하시오.

[풀이]

(1) F (t) = 1− S(t) = t1+t , t ≥ 0

3

제 2 장. 생존분포와 생명표 (SURVIVAL DISTRIBUTIONS AND LIFE TABLES) 4

(2) f(t) = ddtF (t) = − d

dtS(t) =1

(1+t)2

(3) p20 =S(21)S(20) =

2122

(4) 10|5q30 = 10p30 − 15p30 =S(40)S(30) −

S(45)S(30) =

3141 − 31

46 = 0.0822

2. 0세인 신생아의 장래생존기간을 나타내는 확률변수의 확률밀도함수 (p.d.f)가 아래와 같이 주어졌다.

f(t) =(30− t)2

9000, 0 ≤ t < 30

tp5의 값을 구하시오.

[풀이] 확률을 구하기 위하여 먼저 누적분포함수나 생존함수를 구한다. 여기서는 누적분포함수를구하여 문제를 풀이하도록 한다.

F (t) =

∫ t

0f(u)du =

∫ t

0

(30− u)2

9000du = 1− (30− t)3

27000

이를 이용하여 생존함수를 구하면, (곧바로 생존함수를 구하여 답을 구할 수 있겠는가?)

S(t) = 1− F (t) =(30− t)3

27000

그러므로

tp5 =S(t+ 5)

S(5)= (1− t/25)3

3. 0세인 신생아의 장래생존기간을 나타내는 확률변수의 확률밀도 함수가 아래와 같이 주어졌다.

f(t) =20− t

200, 0 ≤ t < 20

정확히 10세에 정의되는 사력, µ10의 값을 구하시오.


[풀이] 누적분포함수를 구하여 문제를 풀수도 있고, 생존함수를 이용하여 문제를 해결할 수 있다.누적분포함수를 구하게 되면

F (t) =

∫ t

0f(u)du =

∫ t

0

(20− u)

200du = 1− (20− t)2

400

이를 이용하여 생존함수를 구하면, (곧바로 생존함수를 구하여 답을 구할 수 있겠는가?)

S(t) = 1− F (t) =(20− t)2

400

그러므로

µt =f(t)

S(t)=

2

20− t→ µ10 = 0.2

사력을 구하는 공식을 모두 정리하고1, µx와 µx+t룰 구분하도록 한다.2

4. 아래의 주어진 사력을 이용하여 물음에 답하시오.

µx =1

100− x, 0 ≤ x < 100

(1) Pr[T (20) > t]를 구하시오. 단, 0 ≤ t < 80

(2) 40p20을 구하시오.

(3) T (20)의 확률밀도 함수를 구하시오.

[풀이]주어진조건만보고 De Moivre사망법칙임을알아내도록한다.그러나여기서에서는일반적인방법으로 답을 구하도록 한다.

1µx = −S′(x)S(x)

= f(x)S(x)

= − l′xlx

= − ddx

logS(x)2µx는 x에 대한 함수리고, µx+t는 t에 대한 함수이다.


(1) µ20+t =1

100−20−t =1

80−t이므로

Pr[T (20) > t] = tp20

= e−∫ t0 µ20+sds

= elog(80−s)|t0

= 1− t

80

(2) 40p20 = Pr[T (20) > 40] = 1− 4080 = 0.5

(3) f(t) = − ddt tp20 = tp20 · µ20+t =

180

5. 확률변수 X를 0세인 신생아의 사망시점을 나타내는 확률변수라고 하자. 이 확률변수의 생존함수와 관련된 사력이 다음과 같이 주어졌다고 한다.

• S(t) =(1− t

ω

)α• µ40 = 2 · µ20

위의 두 조건을 만족하도록 ω의 값을 구하시오.

[풀이] 일반화된 De Moivre 사망법칙임을 알아내고, 곧바로 답을 구하도록 한다. 그러나 여기서는일반적인 방법으로 답을 구하도록 한다.

µx = −S′(x)

S(x)= −

−αω

(1− x

ω

)α−1(1− x

ω

)α =α

ω − x

주어진 조건을 이용하게 되면α

ω − 40=

2α

ω − 20→ ω = 60

6. 아래의 조건을 이용하여 물음에 답하시오.


• 2px = 0.98

• px+2 = 0.985

• 5qx = 0.0775

다음의 값을 구하시오.

(1) 3px

(2) 2px+3

(3) 2|3qx

[풀이] 시간선을 그려 답을 구하기 위하여 “구해야 하는 값들”을 추출해 내도록 한다.

(1) 3px = 2px · px+2 = 0.9653

(2) 3px · 2px+3 = 1− 5qx → 2px+3 =1−5qx3px

= 0.95566

(3) 2|3qx = 2px − 5px = 0.05753

7. 사망확률이 아래와 같이 주어졌다고 가정하자.

qx+k = 0.1(k + 1), k = 0, 1, 2, ..., 9

이를이용하여 Pr[K = 1]과 Pr[K ≤ 2]의값을구하시오. 단, 여기서 K는 x의장래개산생존기간(curtate future life-time)을 나타내는 확률변수이다.

3u|tqx = upx · tqx+u로 많이 암기하고 있지만, 실제 시험에서는 u|tqx = upx − t+upx가 유용한 경우가 많으므로 이

공식 또한 익숙해 지도록 한다.


[풀이] k|qx가 장래 개산 생존기간의 확률질량함수 (p.m.f)임을 기억하자. Pr[K = 1] = 1|qx =

px · qx+k = (1− 0.1)× 0.2 = 0.18임을 쉽게 알수 있다.두번째 문제의 닶을 구하기 위하여 다음을 먼저 계산한다.

Pr[K = 0] = qx = 0.1

Pr[K = 2] = 2|qx = 2px · qx+2 = 0.9× 0.8× 0.3 = 0.216

그러므로

Pr[K ≤ 2] = 0.1 + 0.18 + 0.216 = 0.496

8. 사력이 전연령구간에서 상수로 정의되는 경우 다음의 확률을 구하시오.

(1) Pr[K = k], k = 0, 1, 2, ...

(2) Pr[K ≤ k], k = 0, 1, 2, ...

[풀이] 상수인 사력의 값을 µ라고 하자. 사력이 상수이므로 kpx = e−µk이다.

(1) Pr[K = k] = k|qx = kpxqx+k = e−kµ (1− e−µ)

(2) Pr[K ≤ k] = k+1qx = 1 − k+1px = 1 − e−(k+1)µ. 시간선을 그려서 확률계산시 “등호”가포함되는지 포함되지 않는지 주의하여 답을 구하도록 한다.

9. 아래의 식과 상등한 보험수리적 기호를 제시하시오.

(1)∫ t0 upxµx+udu

(2) ddt tpx


[풀이] tpx를 x에 대해 미분하는 경우도 암기해 두도록 하자.

(1)∫ t0 upxµx+udu = tqx

(2) ddt tpx = −tpxµx+t

10. 다음의 조건을 이용하여 F의 값을 구하시오.

• µx = F + e2x

• 0.4p0 = 0.5

[풀이] 주어진 조건을 이용하면

0.4p0 = e−∫ 0.40 µtdt = e−

∫ 0.40 (F+e2t)dt = e−(0.4F+0.61277) = 0.5

그러므로

0.4F + 0.61277 = log 2 → F = 0.2

11. 아래의 함수들 중에서 사력으로서 가능한 함수들을 고르시오. 단, x ≥ 0.

• f(x) = Bcx, B > 0, c > 1

• f(x) = ab+x , a > 0, b > 0

• f(x) = (1 + x)−3

[풀이] 사력은 다음의 두가지 조건을 만족하여야 한다.


• 모든 연령에서 사력의 값은 비음이다.

•∫∞0 µx = ∞,단, De Moivre 사망법칙을 가정할 경우 적분의 상한은 얼마인가?

주어진 모든 함수들은 첫번째 조건을 모두 만족하므로, 각 함수들이 두번째 조건을 만족하는지확인하여야 한다.

•∫∞0 Bcxdx = 1

log c (Bcx|∞0 ) = ∞

•∫∞0

ab+xdx = a (log(b+ x)|∞0 ) = ∞

•∫∞0

11+x

3dx = −1

2

((1 + x)−2|∞0

)= 1

2

그러므로 첫번째 및 두번째 함수만이 사력으로서 사용이 가능하다.

12. 0세인 신생아의 사망시점을 나타내는 확률변수의 생존함수가 다음과 같이 주어졌다.

S(t) =

1, 0 ≤ t ≤ 1

1− et

100 , 1 < t ≤ 4.5

0, t > 4.5

µ4를 구하시오.

[풀이] 사력을 구하기 위해서는 생존함수의 미분에 관해서 생각해야 한다. 주어진 생존함수를 보면t = 1과 t = 4.5에서미분이불가능한것을알수있다. (why?) 그러나 t = 4에서는미분이가능하므로,

µ4 =S′(t)|t=4

S(4)=

e4

100− e4= 1.203


13.0세인 신생아의 사망시점을 나타내는 확률변수의 생존함수가 다음과 같다.

S(t) =

(1− t

100

)1/2

, 0 ≤ t ≤ 100

36세인 피보험사가 51세와 64세 사이에 사망할 확률을 구하시오.

[풀이] 요구사항을 보험수리 기호로 전환하게 되면 구하고자 하는 값은 15|13q36임을 알수 있다.문제에서는 생존함수가 주어져 있으므로, q계열보다는 p 계열로 문제를 접근하는 것이 조금 더간단하다. 즉,

15|13q36 = 15p36 − 28p36 =S(51)

S(36)− S(64)

S(36)= 0.125

14. 다음의 조건을 이용하여 물음에 답하시오.

• 3p70 = 0.95

• 2p71 = 0.96

•∫ 7571 µxdx = 0.107

5p70을 구하시오.

[풀이] 반드시 시간선을 그려 무엇을 먼저 구해야 하는지를 파악하도록 하자. 먼저 p70을 구한다.(why?)

p70 =3p70

2p71= 0.9896

또한

4p71 = e−∫ 7571 µxdx = 0.8985.

그러므로

5p70 = 0.9896× 0.8985 = 0.889


15. 아래의 주어진 사력을 이용하여 4|14q50을 구하시오.

µx =

0.05, 50 ≤ x < 60

0.04, 60 ≤ x < 70

[풀이] 시간선을 그려 구하고자 하는 확률을 분해하도록 한다. 먼저, 구하고자 하는 확률은 다음과같이 구할 수 있음을 알아내자.(why?)

4|14q50 = 4p50 − 18p50 = 4p50 − 10p50 · 8p60

필요한 확률들을 개별적으로 구하면

4p50 = e−0.05×4 = 0.8187

10p50 = e−0.05×10 = 0.6065

8p60 = e−0.04×8 = 0.7261

그러므로

4p50 − 10p50 · 8p60 = 0.3783

16. 남녀의 수는 동일한 어떤 집단에 대하여 사력의 조건이 아래와 같이 주어졌다.

• 남자의 사력은 전연령 구간에 대하여 상수이며, 그 값은 0.10이다.

• 여자의 사력은 전연령 구간에 대하여 상수이며, 그 값은 0.08이다.

이 집단에서 60세인 사람을 임의로 선택하였을 경우 그 사람이 1년이내 사망할 확률을 구하시오.


[풀이] 임의로 한명을 선택하였을 경우 그 사람에게 적용되는 생존함수의 값은 다음과 같다.

S(t) =1

2

(S(t)m + S(t)f

)=

1

2(e−0.1t + e−0.08t)

그러므로

q60 = 1− p60 = 1− S(61)

S(60)= 0.081

이문제를다음과같이접근하여보도록하자. 구하고자하는값은 q60이고, 사력이주어져있으므로결국 p60을 구하여 문제를 해결하면 될 것이다. 그러므로 p60을 구하기 위해 먼저 pm60 = e−0.1과pf60 = e−0.08을 구한다. 그러면

p60 =1

2

(pm60 + pf60

)인가? 만약 이 풀이도 맞다면 최종답이 처음의 풀이와 같은가? 아니라면 그 근거는?

17. 어떤 집단을 구성하고 있는 개인의 사력에 대한 가정은 다음과 같다.

• 각 구성원의 사력은 전연령 구간 상수이다.

• 그러나 각 개인의 사력은 서로 상이하며, 그 값은 모수 0과 2를 가지는 균등분포를 따른다고한다.

임의로 한명을 선택하였을 때, 그 사람이 1년이내에 사망할 확률을 구하시오.

[풀이]선택된사람의장래생존기간을나타내는확률변수를 T라고정의하자. 구하고자하는확률은Pr[T ≤ 1]이다. 여기서 사력이 전연령 구간 상수이기 때문에, 선택된 사람의 나이는 확률에 아무런


영향을 끼치지 않는다. 또한 그 사람의 사력을 M이라고 정의하면, M ∼ U(0, 2)이다. 그러므로

Pr[T ≤ 1] = E[Pr[T ≤ 1|M ]]

= E[1− e−M

]=

∫ 2

0(1− e−µ)

1

2dµ

=1

2(1 + e−2)

= 0.56767

2.2 생명표

18. 주어진 생명표의 일부분을 이용하여 물음에 답하시오.

x lx

50 100,00051 99,90052 99,70053 99,50054 99,10055 98,500

(1) 2d52

(2) 3|q50

[풀이] 시간선!!

(1) 2d52 = l52 − l54 = 99, 700− 99, 100 = 600

(2) 3|q50 =d53l50

= l53−l54l50

= 0.004


19. 주어진 조건을 이용하여 5|15q10을 구하시오.

lx = 10, 000e−0.05x, x ≥ 0

[풀이] 시간선!!

5|15q10 =l15 − l30l10

=10, 000e−0.05×15 − 10, 000e−0.05×30

10, 000e−0.05×10= 0.4109

20.연 사망자의 수는 10년내 균등분포한다. 다음의 표를 이용하여 15|20q40을 구하시오.

x lx

40 60,50050 55,80060 50,20070 44,00080 36,700

[풀이] 먼저 구하고자 하는 확률을 생명표의 함수로 표현해 보자.

15|20q40 =l55 − l75l40

위의 표현에 의하면 l55와 l75를 구해야 한다. 주어진 표에서는 이 값을 구할 수 없으나, 주어진조건을 이용하게 되면, 이 값들을 구할 수 있다.

l55 =l50 + l60

2= 53, 000

l75 =l70 + l80

2= 40, 350

15|20q40 = 0.209


21. 다음의 선택-종국표의 일부분을 고려하자. 이를 이용하여 2|2q[50]을 구하시오.

x q[x] q[x]+1 qx+2 x+ 2

50 0.02 0.04 0.06 5251 0.03 0.05 0.07 5352 0.04 0.06 0.08 54

[풀이] 선택-종국표에 관련된 문제는 [ ]기호는 구하고자 하는 값들을 최종적으로 표현할때까지사용하고, 마지막에 없애도록 한다.

2|2q[50] = 2p[50] − 4p[50]

= p[50] · p[50]+1 − p[50] · p[50]+1 · p[50]+2 · p[50]+3

= p[50] · p[50]+1 − p[50] · p[50]+1 · p52 · p53

= 0.98× 0.96− 0.98× 0.96× 0.94× 0.93 = 0.1184

22. 다음의 선택-종국표의 일부분을 고려하자.

x l[x] l[x]+1 lx+2 x+ 2

70 22,507 22,200 21,722 7271 21,500 21,188 20,696 7372 20,443 20,126 19,624 7473 19,339 19,019 18,508 7574 18,192 17,871 17,355 76

(1) 3p73을 구하시오.

(2) 70세에 가입한 피보험자가 71세가 되어 75세와 76세 사이에 사망할 확률을 구하시오.


(3) 0.5p[70]+0.7의값을선택표를이용하여근사하시오. 단, 정수연령간사망자의수는균등분포하고있다고 가정한다.

(4) 0.5p[70]+0.7의 값을 선택표를 이용하여 근사하시오. 단, 정수 연령간 사력은 상수로 일정하다고가정한다.

[풀이]

(1) 3p73 =l76l73

= 17,35520,696 = 0.838586

(2) 4|q[70]+1 =l[70]+5−l[70]+6

l[70]+1= l75−l76

l[70]+1= 18,508−17,355

22,200 = 0.05194

(3) 반드시 시간선을 그려서 UDD가정을 적용할 수 있는 조건으로 전환하도록 한다.

0.5p[70]+0.7 = 0.3p[70]+0.7 · 0.2p[70]+1 =

(1−

0.3 · q[70]1− 0.7 · q[70]

)(1− 0.2 · q[70]+1

)= 0.99158

(4) CFM 가정하에서 다음이 성립한다. (why?)

spx+y = (px)s , 0 ≤ s, y ≤ 1, s+ y ≤ 1

그러므로

0.5p[70]+0.7 =(p[70]

)0.3 (p[70]+1

)0.2= 0.991562

23. 0세인 신생아의 사망시점을 나타내는 확률변수의 확률밀도 함수가 다음과 같을때, e5의 값을구하시오.

f(x) =20− x

200, 0 ≤ x < 20


[풀이] ex =∫∞0 tpxdt이므로, tpx를 먼저 구한다. 확률변수 X의 확률밀도 함수가 주어져 있으므로

S(x)를 구해 생존확률을 구하도록 한다.

F (t) =

∫ t

0

20− u

200du = 1− (20− t)2

400

S(t) = 1− F (t) =(20− t)2

400

tp5 =S(t+ 5)

S(5)=

(1− t

15

)2

∴ e5 =

∫ 15

0tp5 dt =

∫ 15

0

(1− t

15

)2

dt = −15

3

(1− t

15

)3 ∣∣∣∣150

= 5

24. 0세인 신생아의 사망시점을 나타내는 확률변수 X의 생존함수가 아래와 같이 주어졌다.

S(x) =

1− x100 , 0 ≤ x < 30

0.7e−0.02(x−30). x ≥ 30

이 신생아의 장래생존 기간의 기대값을 구하시오.

[풀이]주어진생존함수는어떤사망법칙들의결합으로볼수있는가?그리고 0.7의의미는무엇인가?

E[X] = E[T (0)] = E[T0] =

∫ ∞

0S(x)dx

=

∫ 30

0

(1− x

100

)dx+

∫ ∞

300.7e−0.02(x−30)dx

=

(t− t2

200

) ∣∣∣∣300

+ 0.7

∫ ∞

0e−0.02udu

= 25.5 + 0.7× 1

0.02

= 60.5


25. 확률변수 X = T (0)를 0세인 신생아의 사망시점을 나타내는 확률변수라고 정의하자. 또한사력은 다음과 같이 주어졌다.

µx =2x

400− x2, 0 ≤ x < 20

V ar(X)를 구하시오.

[풀이]이문제를통해서아래공식을정리하고암기하자. 이 공식은계리모형론및금융공학에서도중요한 역할을 하는 공식이다.(만약 이 공식을 처음 본다면, 이 공식을 부분적분을 이용해 유도해보기바란다.) 음이 아닌 확률변수 X에 대하여 다음이 성립한다.

E[X] =

∫ ∞

0Pr[X > x]dx

E[X2] = 2

∫ ∞

0xPr[X > x]dx

그러므로 분산을 구하기 위하여 S(x) = xp0를 구한다.

xp0 = S(x) = e−∫ x0 µtdt = e

−∫ x0

2t400−t2 = elog(400−t2)|x0 = 1− x2

400

E[T (0)] =

∫ 20

0xp0dx =

40

3

E[T (0)2] = 2

∫ 20

0x xp0dx = 2

∫ 20

0

(x− x3

400

)dx = 2

(x2

2− x4

1600

) ∣∣∣∣200

= 200

V ar[T (0)] = 200−(40

3

)2

= 22.22

26. 아래의 조건을 이용하여 ω의 값을 구하시오.

• µx = 1ω−x , 0 ≤ x < ω

• V ar(T (0)) = 468.75


[풀이] 주어진 사력은 De Moivre 법칙을 의미한다. 그러므로 T (0)는 균등분포를 따르며 그 분산은다음과 같다.

V ar(T (0)) =(ω − 0)2

12= 468.75

그러므로 ω = 75. 이 문제를 앞의 문제처럼 S(x)를 구해 풀어보고 그 값이 일치함을 확인하시오.

27. lx = 10, 000− x2, 0 ≤ x ≤ 100 일때, V ar(T (0))를 구하시오.

[풀이] S(x)를 구해보면

S(x) =lxl0

=10, 000− x2

10000= 1− x2

10, 000

그러므로

E[T (0)] =

∫ 100

0S(x)dx =

∫ 100

0

(1− x2

10000

)dx = 66.6667

E[T (0)2] = 2

∫ 100

0xS(x)dx = 2

∫ 100

0x

(1− x2

10, 000

)dx = 2

(x2

2− x4

40, 000

) ∣∣∣∣1000

= 5, 000

V ar[T (0)] = 5, 000− 66.66672 = 555.6

28. µx = 0.02, x ≥ 0 일때, e10:10 을 구하시오.

[풀이] 주어진 사망법칙은 지수사망법칙을 따르므로 tpx = e−0.02t이다. 그러므로

e10:10 =

∫ 10

0tp10 dt =

1

0.02

(1− e−0.2

)= 0.063.

(지수확률밀도 함수에 관련된 함수의 적분은 암기하고 있어야 한다.)


29. T (x)를 x세인 피보험자의 장래생존기간을 나타내는 확률변수로 정의한다. 아래의 조건을이용하여 V ar(T (30))을 구하시오.

• S(x) = 1− xω , 0 ≤ x < ω

• e20:30 = 22.5

[풀이]주어진생존함수를통해사망법칙은 De Moivre 법칙임을알수있따. 그러므로 tp20 =ω−20−tω−20

이다. 주어진 조건에 의하여

e20:30 =

∫ 30

0tp20 dt

=

∫ 30

0

(ω − 20− t

ω − 20

)dt

=

(t− t2

2(ω − 20)

) ∣∣∣∣300

= 30− 450

ω − 20= 22.5 → ω = 80

그러므로

V ar[T (30)] =(50− 0)2

12= 208.33

30. 사망법칙은 De Moivre 법칙을 가정하고, e20 = 30을 가정하는 경우 q20을 구하시오.

[풀이] ex = ω−x2 를 이용하게 되면, ω = 80임을 쉽게 알 수있다. 그러므로 q60 = 1

60이다.(why?)

31. 30세로구성된어떤집단은흡연자와비흡연자로구분할수있다.현재집단을구성하는흡연자와비흡연자의 수가 동일하고, 비흡연자의 사력은 전연령 상수로 일정하며, 그 값은 0.08이다. 또한


흡연자의 사력은 전연령 상수로 일정하고, 비흡연자 사력의 두배로 알려져 있다. 50년뒤 이 집단에서임의로한명을선택할경우이사람이 1년이내에사망할확률을현재정보를이용하여구하시오.

[풀이] 50년뒤 인구의 비율 기대값을 구해야 한다. 만약 현재 집단의 수를 l이라고 한다면 흡연자의수는 0.5l이고, 비흡연자의 수는 0.5l이다. 흡연자의 기대 생존수는

0.5 · l · e−0.16×50

이고, 비흡연자의 기대 생존수는

0.5 · l · e−0.08×50

이다. 그러므로 50년뒤 비흡연자의 집단내 비율은

0.5 · l · e−0.08×50

0.5 · l · e−0.08×50 + 0.5 · l · e−0.16×50= 0.982014

이다. 그러므로 임의로 선택된 80세인 개인의 사망확률은

q80 = 0.982014(1− e−0.08) + 0.017986(1− e−0.16) = 0.07816

32.새로개발된신제품의수명은일반화된 De Moivre법칙을따른다고한다. 즉새로출고된기계의고장 시점을 나타내는 확률변수를 X라고 정의하면, 이 확률변수의 생존함수는

S(x) =(1− x

ω

)α, α > 0, 0 ≤ x ≤ ω

로 주어진다. 제품 검사부서에서는 신제품 개발부서에서 제시한 α의 값을 수정해야 된다고 주장하고 있는 상황이다. 만약 제품 검사부서의 주장을 받아들인다면 아래의 변화가 발생하는 것으로밝혀졌다.

• 새로운 α의 값을 사용하게 되면 새로운 제품의 사용연수는 절반으로 감소한다.

• 새로운 α의 값을 사용하게 되면 새롭게 계산되는 고장율 (hazard rate)은 기존 고장율의 2.25배이다. (이 관계식은 제품 사용 전기간에 적용된다고 한다.)


제품 개발부서가 제시한 α의 값을 구하시오. (단, ω의 값은 변하지 않는다고 가정한다.)

[풀이] 일반화된 De Moivre 법칙하에서 사력의 형태와 장래 생존기간의 기댓값은 다음과 같이주어지을 암기하자.

µx =α

ω − x

ex =

∫ ω−x

0

(1− t

ω − x

)α

dt =ω − x

α+ 1

문제의주어진조건에따라 x = 0으로설정한다.(x를무엇으로정의하는것이 “세련”된표현일까?)제품개발부서에서제시한값을 α1이라고하고제품검사부서에서제시한값을 α2라고하자. 주어진주건에 의하여

ω

α1 + 1= 2

ω

α2 + 1

2.25α1

ω − x=

α2

ω − x

을 얻을 수 있다. 위의 두식을 이용하게 되면 α1 = 4이다.

33. 어떤 거대 집단은 두개의 소 집단 A와 B로 나눌 수 있으며, 다음과 같은 생존율 특성을 보이고있다.

µB25+t =

µA25+t + 0.1(1− t) , 0 ≤ t ≤ 1

µA25+t , t > 1

여기서 µCx 는 각 소집단의 특성을 반영한 사력을 나타낸다. (C ∈ {A,B}) 만약 집단 A에 관련된개산생존 기간의 기댓값이 eA25 = 10로 주어질 때, 이에 대응되는 집단 B의 eB25의 값을 구하시오.

[풀이]일년경과시두집단의사력은동일한것을알수있다. 사력이동일하게되면장래생존기간의기댓값은 같아지므로 다음의 관계식을 얻을 수 있다.

eAx = eBx , x ≥ 26


x에 26을 대입하면

eA26 = eB26

이를 이용하면

eB25 = pB25(1 + eB26) = pB25(1 + eA26)

이다. 먼저 pB25를 구해보자.

pB25 = e−∫ 10 µB

25+t dt

= e−∫ 10 µA

25+t+0.1(1−t) dt

= pA25e−0.05

그러므로

eB25 = pB25(1 + eB26) = pB25(1 + eA26) = e−0.05pA25(1 + eA26) = e−0.05eA25 = 9.51

제 3 장

생명보험

3.1 Actuarial Present Value

34. 아래의 조건을 이용하여 A30을 구하시오.

• lx = 95− x, 0 ≤ x < 95

• δ = 0.05

[풀이] 주어진 조건은 De Moivre 사망법칙을 의미하므로

Ax =aω−x

ω − x

를 이용한다. 공식에 관련 값을 대입하게 되면,

A30 =a6565

=20

65(1− e−3.25) = 0.2958

35. 아래의 조건을 이용하여 A 120:30

을 구하시오.

• µx = 1110−x , 0 ≤ x < 110

25

제 3 장. 생명보험 26

• δ = 0.06


A1x:n =

anω − x


A 120:30

=a3090

=1

90· 1− e−1.8

0.06= 0.15457

36. 아래의 조건을 이용하여 10|A20을 구하시오.

• µx = 1110−x , 0 ≤ x < 110

• δ = 0.05


n|Ax = vnω − x− n

ω − x

aω−x−n

ω − x− n= vn

aω−x−n

ω − x


10|A20 = v10a8090

= e−0.05·10 · 1

90· 1− e−0.05·80

0.05= 0.1323

37. 아래의 조건을 이용하여 A 150:3을 구하시오.

• px = 0.95, x = 50, 51, 52


• i = 0.05

[풀이] 전형적인 문제이므로 실수가 없도록 하자.

A 150:3

= v q50 + v2 p50 q51 + v3 p50 p51 q52 = 0.1297

38. (20)에게 판매된 종신 생명 보험의 계약 내용의 일부는 아래와 같다.

• 보험금 사망즉시급

• 계약 후 t년 경과 후 사망시 사망보험금 (bt)은 1, 000e0.02t이다.

• µx = 0.06, x ≥ 0, δ = 0.06

• Z 가입시점에서 정의되는 보험금 현가확률변수를 나타낸다.

V ar(Z)를 구하시오.

[풀이] 보험금 현가 확률변수를 표현하기 위하여, (20)의 장래생존기간을 나타내는 확률변수를 T

라고 정의하면,

Z = 1, 000e0.02T e−0.06T = 1, 000e−0.04T

(반드시 시간선을 그려 확률변수를 정의하는 버릇을 들이도록 한다.) 이 확률변수를 분석해 보면보험금 1,000원, 보험금사망즉시급, 이력 δ′ = 0.04로할인된종신보험에관련된현가확률변수임을알수 있다. 그러므로 직접 1차 적률과 2차적률을 구하기 보다는 공식에 의해서 답을 구할 수 있다.

V ar(Z) = 1, 0002(2A20 − A2

20

)= 1, 0002

(µ

µ+ 2δ′−(

µ

µ+ δ′

)2)

= 68, 571


39. 아래의 조건을 이용하여 1, 000Ax를 구하시오.

• 이력에 대한 정보는 다음과 같다.

δt =

0.03 , 0 ≤ t ≤ 10

0.06 , t > 10

• 사력에 대한 정보는 다음과 같다.

µx+t =

0.05 , 0 ≤ t ≤ 10

0.07 , t > 10

[풀이] 시간선을 그려 다음을 유도한다.(why?)

Ax = A1x:10

+ v1010pxAx+10

각 개별값을 구해보면

Ax+10 =0.07

0.07 + 0.06=

7

13

A1x:10

=

∫ 10

01 · e−0.03t · e−0.05t0.05dt =

0.05

0.08(1− e−0.08×10) = 0.3442

v1010px = e−0.03×10e−0.05×10 = e−0.8 = 0.4493

그러므로 최종답은

1, 000Ax = 1, 000(A1x:10

+ v1010pxAx+10) = 586.13

40. 아래의 정보를 이용하여 A62를 구하시오.


• A60 = 0.585

• A61 = 0.605

• q60 = q61

• i = 0.05

[풀이]종신계열의생명보험및생명연금상품의재귀식은자주출제되는부분이므로꼭암기하도록한다. 먼저 두개의 조건을 이용하여

A60 = vq60 + vp60A61 → q60 = 0.0234

A61에 대한 재귀식을 전개하면

A61 = vq61 + vp61A62 → A62 = 0.627

41. 어떤 거대 집단은 흡연자 (S)와 비흡연자 (NS)의 상대적 소규모 집단으로 구분할 수 있다고한다. 아래의 조건을 이용하여 이 집단에서 임의로 (x)를 선택하였을때, 이 사람에게 적용되는10, 000A1

x:2를 구하시오. (단, 집단을 구성하고 있는 개인의 나이는 모두 x세로 동일하다.)

• 집단의 25%는 흡연자이며, 집단의 75%는 비흡연자이다.

• 흡연자와 비흡연자의 사망율 정보는 다음과 같다.

k qSx+k qNSx+k

0 0.10 0.051 0.20 0.102 0.30 0.15

• i = 0.02


[풀이] 확률변수 Z를 보험금 1원에 대한 보험금 현가 확률변수라고 정의하면,

E(Z|S) = vqSx + v2pSxqSx+1 =

0.1

1.02+

0.9× 0.2

1.022= 0.2710

E(Z|NS) = vqNSx + v2pNS

x qNSx+1 =

0.05

1.02+

0.95× 0.1

1.022= 0.1403

그러므로

A1x:2

= E[Z]

= E[E[Z|Y ]], Y ∈ {N,NS}

= E[Z|S]Pr[Y = S] + E[Z|NS]Pr[Y = NS]

= 0.1730

보험금을 고려한 최종답은 1,730원 이다.

42. 확률변수 Z는 (x)에게판매된만기 15년, 보험금 1원의순수양로보험(생존보험)금의가입시점에서 정의되는 보험금 현가확률변수를 나타낸다. 아래의 조건을 이용하여 qx를 구하시오.

• 보험기간동안 사력은 상수이다.

• v = 0.9

• V ar(Z) = 0.065E(Z)

[풀이] 양로보험금의 현가 확률변수를 정의해 보면 이 확률변수의 분포는 two point distribution을따른다는 것을 알수 있다. 그러므로

V ar[Z] = (15px)(15qx)v30 = (px)

15(1− (px)15)(0.9)30

이다. 또한

E[Z] = (px)15(0.9)15


이므로

(px)15(1− p15x )(0.9)30 = 0.065× (px)

15(0.9)15

위의 식을 정리하면

px = 0.975 → qx = 0.025

43. 수열 u(k)에 대하여 다음이 성립한다고 한다.

u(k) = α(k) + β(k)× u(k − 1), k = 1, 2, 3, ...

여기서

α(k) = −(qk−1

pk−1

)이고,

β(k) =

(1 + i

pk−1

)이다. 만약 u(70) = 1이라면, u(40)을 보험수리 기호로 표현 하시오.

[풀이] 위의 주어진 식을 아래와 같이 수정하자.(why??)

u(k − 1) =u(k)

β(k)− α(k)

βk= vqk−1 + vpk−1u(k)

시간선을 그려 위의 수정된 식의 의미를 파악할 수 있겠는가? Terminal Condition (u(70) = 1)을이용하면, u(40) = A40:30 이라는 것을 쉽게 파악할 수 있다. 그러나 이 부분이 빠르게 파악이 되지


않는다면 몇번의 반복을 통해서 규칙을 찾아 보도록 하자.

u(40) = vq40 + vp40u(41)

= vq40 + vp40(vq41 + vp41u(42))

= vq40 + v2p40q41 + v2p40p41u(42)

= vq40 + v2p40q41 + v3p40p41q42 + v3p40p41p42u(43)

= vq40 + v2p40q41 + · · ·+ v3029p40q69 + v3030p40u(70)

= vq40 + v2p40q41 + · · ·+ v3029p40q69 + v3030p40 · 1

= A40:30

44. 10명으로 구성된 집단에게 보험금 1,000원 사망기말급의 종신보험을 판매하고자 한다. 집단에대한 정보는 다음과 같다.

• 집단을 구성하는 개인은 성별은 동일하고, 나이는 모두 정확히 22세이다.

• 각 개인이 보험 구매 의사는 보험 판매자는 알수 없으며, 개인이 독립적으로 결정한다. 각개인이 이 보험을 구매할 확률은 0.10이며, 이 확률값은 모든 개인들에게 적용된다.

• 10명의 장래생존 기간은 상호독립이다.

• 확률변수 S를 집단에 적용되는 보험금 현가 확률변수로 정의한다.(단, 가입시점 기준으로정의하며, 보험을 가입한 개인만을 고려한다.)

• 보험구매의사 결정과 개인의 장래생존기간은 서로 독립니다.

• i = 0.06

• 1, 000A22 = 71.35

• 1, 0002 × 2A22 = 15870

V ar(S)를 구하시오.


[풀이] 이 문제는 계리모형론에서도 중요한 공식이므로 확실히 이해해 두도록 하자. 현재 몇개의보험이 판매될지는 불확실한 상황이다. 그러므로 판매량을 나타내는 확률변수 N을 정의하도록한다.확률변수 Zi를보험을구매한피보험자에관련된가입시점에서정의되는보험금현가확률변수라고정의하자. 그러면

S = Z1 + Z2 + · · ·+ ZN

이다.다음의 조건이 만족함을 확인하자.

• Zi는 i.i.d가정을 만족한다.

• 임의이 Z와 N은 독립이다.

위의 두 조건을 만족하면 random sum에 관련된 분산 공식을 사용할 수 있다. 다음의 식을 꼭 암기하자. (유도할 수도 있어야 함!)

E[S] = E[Z]E[N ], V ar[S] = E(Z)2V ar(N) + E(N)V ar(Z)

주어진 조건을 이용하여 다음을 계산한다.

E[Z] = 71.35, V ar[Z] = 15870− 71.352 = 10779

E[N ] = 0.1× 10 = 1, V ar[N ] = 0.1× 0.9× 10 = 0.9

그러므로 최종답안은

V ar[S] = E(Z)2V ar(N) + E(N)V ar(Z) = 15, 361

이 문제를 푸는 다른 방법을 소개한다. 확률변수 Ik를 k번째 개인이 보험을 구매하면 1, 그렇지않으면 0을 가지는 Indicator Function으로 정의한다. 그러면

S =

10∑k=1

Zk · Ik

그러면

V ar(S) = V ar

(10∑k=1

Zk · Ik

)=

10∑k=1

V ar (Zk · Ik) , why?


V ar (Zk · Ik) = E(Z2k · I2k

)− (E (Zk · Ik))2

= E(Z2k

)· E (Ik)− (E (Zk) · E (Ik))

2 (why?)

= E(Z2k

)· Pr[Ik = 1]− (E (Zk) · Pr[Ik = 1])2

= 15, 361

45. (x),보험금 b원,종신보험,사망즉시급에대하여,가입시점에서정의되는보험금현가확률변수를Z라고 하자. 아래의 조건을 이용하여 b를 구하시오.

• δ = 0.04

• µx+t = 0.02, t ≥ 0

• 순보험료는 일시납이며 그 값은 V ar(Z)와 같다.

[풀이] 주어진 사망법칙은 지수사망 법칙이므로

E[Z] = bµ

µ+ δ=b

3

E[Z2] = b2µ

µ+ 2δ= 0.2b2

V ar[Z] = E[Z2]− E[Z]2 = b2(0.2− 1

9

)→ b2

(0.2− 1

9

)=b

3→ b = 3.75

46. 10년 만기 정기보험, 보험금 사망년도 기말급에 대하여 아래의 계리적 정보가 주어졌다.

• 제 k + 1 보험년도의 보험금 (bk+1)은 다음과 같다.

bk+1 = 100, 000(1 + k), k = 0, 1, 2, ..., 9

• i = 0.06


• l41 = 9, 287, 264, l50 = 8, 950, 901, q40 = 0.00278, p40 = 0.99722, q50 = 0.00592,A41 = 0.16869, A50 = 0.24905

• (41)에게 이 정기보험을 판매할 경우 수지상등의 원칙으로 결정된 일시납 순보험료는 16,736원이다.

이 정기보험을 (40)에게 판매할 경우 일시납 순보험료를 수지상등의 원칙에 의하여 구하시오.

[풀이] 네번째 조건은 아래와 상등한 조건이다.

(IA) 141:10

= 0.16736

구하고자 하는 값은 (IA) 140:10

이므로 위의 조건을 이용하기 위해서는 어떤 식을 이용해야 할까?다음의 재귀식을 살펴보도록 하자.

(IA) 140:10

= vq60 + vp40(A 1

41:9+ (IA) 1

41:9

)위의 재귀식을 통해 구해야 할 값은 A 1

41:9와 (IA) 1

41:9이다. 먼저 (IA) 1

41:9를 구해보면

(IA) 141:9

= (IA) 141:10

− 10v109p41q50 = 0.16736− 10

1.0610× 8, 950, 901

9, 287, 264× 0.00592 = 0.13550

A 141:9에 대하여

A 141:9

= A41 − 9|A41 = A41 − v99p41A50 = 0.16898− 1

1.0698, 950, 901

9, 287, 264× .24905 = 0.02662

그러므로

(IA) 140:10

= vq60 + vp40(A 1

41:9+ (IA) 1

41:9

)= 0.15514

보험금을 고려한 최종답은

100, 000(IA) 140:10

= 15, 514


47. 1,000명으로 구성된 단체의 구성원들은 2년만기 정기보험을 대체할 자가보험을 개발하려고한다. 각 개별 구성원들은모두 30세이며, 2년동안정기보장을위하여일시납순보험료를동일하게갹출하여 기금을 마련한다.(일시납 순보험료는 수지상등의 원칙에 의해 결정된다.) 이 기금은 시장에서 결정된 수익률로 부리되며, 부리된 기금으로부터 보험금을 지급하기로한다. 보험금에 관련된사항은 다음과 같다.

• 첫번째 해에 사망하면 1,000원,

• 두번째 해에 사망하면 보험금 500원을 지급한다.

예정이자율은 6%로설정하였으며, 예정사망율은 q30 = 0.00153, q31 = 0.00161로가정하였다. 다음물음에 답하시오.

(1) 만약 2년동안투자수익률이정확히예정이자율과일치하고, 사망자의수가예정사망율에의하여예측된 값과 동일하였다면 (여기서 사망자의 수는 정확히 정수가 될 필요는 없음), 2년도 말에기금의 잔액은 얼마인가?

(2) 2년 경과뒤 첫번째 해의 실제 이자율은 7%이고, 두번째해의 실제 이자율은 6.9% 였다. 또한매해 정확히 1명씩 사망하였다면, 기금의 잔액은 얼마인가?

[풀이] 일시납 순보험료를 P라고 정의하면

P = 1, 000vq30 + 500v2p30q31 =1, 000× 0.00153

1.06+

500× 0.99847× 0.00161

1.062= 2.15875

그러므로 갹출된 기금의 총액 (펀드의 양)을 F라 정의하면

F = 1, 000P = 2158.75

이다.

(1) 다음의 표를 이용하여 물음에 답하도록 하자.

t 기초기금 사망자수 기금종가 (사망보험금 지급전) 사망보험금 기말기금1 2,158.75 1.53 2,288.28 1,530 758.282 758.28 1.607 803.771 803.771 0


(2) 실현율을 적용하게 되면 다음의 표를 얻을 수 있다.

t 기초기금 사망자수 기금종가 (사망보험금 지급전) 사망보험금 기말기금1 2,158.75 1 2,309.86 1,000 1,309.862 1,309.86 1 1,400.24 500 900.24

3.2 Probability, Percentile and U.D.D

48. (x), 10년거치 종신보험, 보험금 1원의 사망즉시급에 대하여, 가입시점에서 정의되는 보험금현가 확률변수를 Z를 아래와 같이 정의한다. 다음의 조건을 이용하여, Pr[Z > 0.5]를 구하시오.

• µx+t =

0.01, t ≤ 10

0.02, t > 10

• δ = 0.05

[풀이] 확률변수 Z를 정의하면,

Z =

0, T ≤ 10

vT , T > 10

이다.(여기서 확률변수의 더 세련된 표현을 제시할 수 있는가?) 또한

Pr[Z > 0.5] = 1− Pr[Z ≤ 0.5] = 1− (Pr[Z = 0] + Pr[0 < Z ≤ 0.5])

= 1−(Pr[T ≤ 10] + Pr

[T ≥ log 0.5

δ

])= 1−

(1− e−0.01·10 + e−0.01·10e−3.86294·0.02)

= 0.0673

확률변수 Z의 그래프를 확률변수 T에 대한 함수를 그려보면 위의 값을 다음과 같이 구할 수 있다.

vt = 0.5 → t = − log 0.5δ

→ Pr[Z > 0.5] = 10|3.86294qx = 10px − 13.86294px = 0.0673


49. (40)에 대하여, 다음의 조건을 고려하자.

• 사망법칙은 ω = 100인 De Moivre법칙을 따른다.

• 확률변수 Z는보험금 1원,사망즉시급, 5년거치종신보험의보험금현가확률변수를나타낸다.

• δ = 0.05

• M은 확률변수 Z가 0보다 크다는 조건하에서 정의되는 최빈치 (Mode)이다.

다음 물음에 답하시오.

(1) FZ(0)을 구하시오. (여기서 FZ(z)는 확률변수 Z의 누적분포함수이다.)

(2) M을 구하시오.

(3) Pr[Z < v30]을 구하시오.

[풀이] 현가확률변수를 정의하면,

Z =

0, T ≤ 5

vT , T > 5

이 확률변수의 누적분포함수는 다음과 같이 주어진다.

FZ(z) =

0, z < 0

5q40 + − log zδp40, 0 ≤ z < v5

1, z > v5

또한 확률밀도함수는 다음과 같다.

fZ(z) =

5q40, z = 0

10.05·60·z , v60 < z < v5

그러므로

fZ|Z>0(z) =12

0.05 · 60 · z, v60 < z < v5


(1) FZ(0) = 5q40 =560 = 1

12

(2) M = v60

(3) Pr[Z < v30

]= 5q40 + − log v30

δ

p40 =712

50. (x)에 대하여,

• µx+t = 0.05

• 확률변수 Z는 보험금 1,000원, 사망즉시급, 20년 거치 종신보험의 보험금 현가확률변수를나타낸다.

• δ = 0.06

확률변수 Z의 60 분위수 (60th percentile)을 구하시오.


Z =

0, T ≤ 20

1, 000vT , T > 20

이 확률변수의 누적분포함수는 다음과 같이 주어진다.

FZ(z) =

0, z < 0

20qx + − log(z/1,000)δ

px = 0.6321206 +(

z1,000

) 56, 0 ≤ z < 1, 000v20

1, z > v20

그러므로 60백분위수는 0이다. 사실백분위수만을구하기위해서는굳이누적분포함수를구할필요는 없다. 다음 문제들을 살펴보면서 확률변수 함수들의의 백분위수를 기초 확률변수의 백분위수를이용하여구하는방법을살펴보도록한다. 그러나시험에서는누적분포함수를구하여그그래프까지그리는 문제가 자주 출제되므로, 누적분포함수를 구하고 그 누적분포함수를 그리는 연습을 반드시수행해야 한다.(특히 그래프를 그릴때 어떤 부분을 주의하고, 또 강조하여야 하는가?)


51. (25)에 대하여,

• µx = 0.001 · (1.05)x, x ≥ 0

• 확률변수 Z는 보험금 1원, 사망즉시급, 종신보험의 보험금 현가확률변수를 나타낸다.

• δ = 0.04

확률변수 Z의 3사 분위수를 구하시오.

[풀이] 확률변수 Z의 누적분포함수는 [0, 1)위에 아래와 같이 주어진다.

FZ(z) = 1− − log zδp25

생존확률은 다음과 같다.∫ t

0µ25+sds = 0.001/(log 1.05) · (1.025)25+s

∣∣∣∣t0

= 0.069407(1.05t − 1)

tpx = e−0.069407(1.05t−1)

그러므로

FZ(z) = e−0.069407(1.05−log zδ −1)

3사 분위수 (z0.75)를 구하기 위하여 다음의 식을 풀어야 한다.

FZ(z0.75) = − log zδp25 = 0.75

만약 − log zδ = t라 하면, t = 33.57241이다. 그러므로 z0.75 = e−0.04·33.57241 = 0.261088이다. 이

문제의 답은 Z의 누적분포 함수를 구하지 않고, 확률변수 T의 정보를 이용하여 곧바로 구하는방법도 있다. Z는 T의 감소변환이므로 z0.75 = vT0.25이다. 그러므로 확률변수 T의 25 백분위수를구하여 답을 구할 수 있다.

52. (x)에 대하여, 10년 동안은 보험금 100원, 그 이후부터는 200원을 지급하는, 사망즉시급, 종신보험에 대하여 다음의 조건이 주어졌다.


• µx+t = 0.02

• δ = 0.04

• 확률변수 Z는 가입시점에서 정의되는 보험금 현가 확률변수이다.


(1) 확률변수 Z의 중앙값 (median)을 구하시오.

(2) Pr[Z < 80]을 계산하시오.

[풀이]답을구하기위해서누적분포함수를구할수도있지만, 그 누적분포함수를구하기위해서는꽤 많은 과정을 거쳐야 하므로 trial-error방식으로 접근하도록 한다.

(1) 여기서는 중앙값만을 구하면 되므로 다음을 만족하는 방정식을 풀어야 한다.

Pr[Z ≤ z] = Pr[T > t] = e−0.02t = 0.5

t = 34.65736이므로, z0.5 = 200e−0.04·34.65736 = 50임을 알수 있다.

(2) 현가확률변수의값이 80 보다작은구간이두개가있다. 그러므로 80보다작을확률은확률변수T가 이 두개의 구간에 들어갈 확률과 같다. 첫번째 구간에 장래생존기간이 들어갈 확률은

e0.02·log 0.8/0.04 − e−10·0.02 = 0.07570

이며 두번째 구간에 대해서는

200e−0.04t = 80 → t = − log 0.40.04

→ e0.02 log 0.4/0.04 = 0.63246

구하고자 하는 확률은

Pr[Z < 80] = 0.07570 + 0.63246 = 0.70816

확률변수의백분위수를누적분포함수를구하지않고구하는경우에는확률변수의함수의그래프를매우 정확하게 그려야 한다. 특히 y축에 점을 잘못 찍게 되면 답이 완전히 어긋나게 되므로 주의하도록 하자.


53. (x), 20년 만기 정기보험, 보험금 사망즉시급에 대하여 아래의 조건이 주어졌다.

• 확률변수 Z를 가입시점에서 정의되는 보험금 현가 확률변수로 정의한다.

• 사망시점에서 지급되는 보험금 (bt)은 bt = e0.04t2, t ≤ 20이다. (여기서 t는 보험계약 체결후

사망시점을 나타낸다.)

• µx+t = 0.02, t ≥ 0

• δ = 0.06

확률변수 Z의 80 백분위수 (80th percentile)을 구하시오.


Z =

e0.04T 2−0.06T , T ≤ 20

0, T > 20

80백분위수를구하기위하여확률변수 Z를확률변수 T의함수를그리는경우를생각해보자.이문제의경우 z(t) = e0.04t

2−0.06t의그래프를그리는것은쉬운일은아니다.그러나 log z(t) = 0.04t2−0.06t

의 그래프를 그려서 문제의 답을 쉽게 구할 수있다.

Pr[Z ≤ z0.8] = Pr[logZ ≤ log z0.8] = Pr[T > t] = e−0.02t = 0.8

위식을 풀어 역으로 대입하게 되면

t = 11.157178 → z0.8 = e0.04·11.1571782−0.06·11.157178 = 74.4311

54. 아래의 주어진 조건을 이용하여 A1x:2를 구하시오.

• 연내 사망자의 수는 균등분포한다.


• i = 0.10

• qx = 0.05

• qx+1 = 0.08

[풀이] U.D.D. 가정을 이용하기 위하여 다음을 먼저 계산한다.

A1x:2

=0.05

1.10+

0.95 · 0.081.102

= 0.108264

그러므로

A1x:2

=i

δA1

x:2=

0.1

log 1.10.108264 = 0.113592

55. 아래의 주어진 조건을 이용하여 1, 000Ax:20 를 구하시오.


• Ax = 0.25

• Ax+20 = 0.40

• Ax:20 = 0.55

• i = 0.03

[풀이] U.D.D. 가정을 이용하기 위하여 다음을 먼저 계산한다.

Ax = A1x:20

+ 20ExAx+20 = A1x:20

+ (0.55−A1x:20

)(0.40) = 0.25 → A1x:20

= 0.05

그러므로

1, 000Ax:20 = 1, 000

(0.02

log 1.03(0.05) + (0.55− 0.05)

)= 550.75


56. 아래의 주어진 조건을 이용하여 2A1x:2를 구하시오.


• i = 0.12

• qx = 0.10

• qx+1 = 0.20

[풀이] 2A의 계열들은 i 대신에 (1 + i)2 − 1을 이용하여 계산한 APV이므로, 먼저 적용할 이자율(i∗)을 계산한다.

i = 1.122 − 1 = 0.2544

그러므로

2A1x:2

=0.10

1.2544+

0.9 · 0.21.25442

= 0.194113

U.D.D 가정에 의하여

2A1x:2

=i∗

δ∗2A1

x:2= 0.217872

57. (x)에 관련된 계리 정보는 다음과 같이 주어졌다.


• 보험금 1원, 보험금 사망즉시급이며 보장기간은 20년이다.

• Ax:20 = 0.558, 2Ax:20 = 0.332, A1x:20

= 0.115, 20px = 0.8


확률변수 Z를 가입시점에서 정의되는 보험금 현가확률변수라고 정의할때, V ar(Z)를 구하시오.

[풀이] 현가 확률변수를 정의하면,

Z =

vT , T ≤ 20

0, T > 20

이 확률변수의 분산은

V ar(Z) = E[Z2]− E[Z]2 = 2A1x:2

−(A1

x:2

)2조건에서주어진모든값들은 1차적률에관련된값이므로, 2차적률에관련된값을찾기위해서는

이자율 i를 조건으로부터 추출해야 한다.

A 1x:20

= Ax:20 −A1x:20

= 0.443 → v20 = 0.55375

이를 이용하면

i = 0.03

또한 확률변수 Z2를 20년 만기, 생존보험의 보험금의 현가확률변수라고 하면,

V ar(Z2) = v4020px20qx = 0.04906 → 2A 1x:20

= 0.04906 + 0.4432 = 0.24531

그러면,

2A1x:20

= 0.332− 0.24531 = 0.08669

U.D.D 가정을 적용하여 최종값을 구한다.

E[Z] =i

δ(0.115) = 0.11672

E[Z2] =i2 + 2i

2δ(0.08669) = 0.08930

V ar[Z] = E[Z2]− E[Z]2 = 0.08930− 0.116722 = 0.07568

참고로 2A를 구할때 사용하는 d∗ = 2d− d2이다.

제 4 장

생명연금

4.1 Actuarial Present Value

58. 아래의 조건을 이용하여 ax:20을 구하시오.

• Ax = 0.3

• Ax:20 = 0.4

• i = 0.05

• 20px = 0.7

[풀이] 문제의 보험수리 기호는 보증기간부 종신생명연금의 기호이므로

ax:20

= a20 + 20|ax = a20 + ax − ax:20

ax =1− Ax

δ= 14.347154

a20 =1− v20

δ= 12.771232

ax:20 =1− Ax:20

δ= 12.297561

이를 이용하면 ax:20

= 14.820826

46

제 4 장. 생명연금 47

59. 아래의 조건을 이용하여 a40을 구하시오.

• A40 = 0.4

• A40:10 = 0.7

• δt =

0.05, t ≤ 10

0.04, t > 10

• 10p40 = 0.9

[풀이] 주어진 조건에 의하여 (which delta?)

a40:10 =1− A40:10

δ= 6

시간선을 그려보게 되면, 10년 단위로 보험수리적 현가 기호를 분해해야 함을 알수있다.

A40 = A 140:10

+ 10E40A50

= A40:10 − 10E40 + 10E40A50

0.4 = 0.7 + 10E40(A50 − 1)

A50 = 1− 0.3

10E40

a50 =7.5

10E40

그러므로

a40 = a40:10 + 10E40a50 = 6 + 7.5 = 13.5

60. (x), 보험금 1원, 사망즉시급, 종신보험에 대하여, 아래의 조건이 주어졌다.


• 사력은 전연령 구간 상수이다.

• δ = 0.06

• Ax = 0.60

만약 사력이 0.03증가하고, 이력이 0.03 감소한다면, 새로 계산되는 Ax의 값은 얼마인가?

[풀이] 지수사망법칙과 Flat Yield 가정하에서

Ax =µ

µ+ δ

Ax =µ

µ+ 0.06= 0.6 → µ = 0.09

그러므로 바뀐 율 하에서의 새로운 보험수리적 현가는

A′x =

µ′

µ′ + δ′=

0.12

0.12 + 0.03= 0.8

61. 아래의 조건을 이용하여 A′′x − Ax를 Ax, A

′x, ax, a

′x, k, δ, µ등을 이용하여 나타내시오. (단, a′′

x

을 사용하지는 마시오.)

• Ax와 ax는 δ와 µx+t를 이용하여 계산된 값이다.

• A′x와 a

′x는 k + δ와 µx+t를 이용하여 계산된 값이다.

• A′′x와 a

′′x는 δ와 k + µx+t를 이용하여 계산된 값이다.

[풀이] 요구사항을 분석하게 되면, A와 a의 관계를 이용하는 문제임을 알 수있다. 다음의 관계식을이용하면,

Ax = 1− δax

A′′x = 1− δa

′′x


위의 두번째 식에서 첫번째 식을 빼게 되면,

A′′x − Ax = δ(ax − a

′′x)

문제의 요구사항에 따르면 최종답안에서 a′′x를 사용하지 못한다. 그러나

a′′x =

∫ ∞

0e−δte−

∫ t0 (µx+s+k)dsdt =

∫ ∞

0e−(δ+k)te−

∫ t0 µx+sdsdt = a

′′x

이므로

A′′x − Ax = δ(ax − a

′x)

그러면 A′x = A

′′x?

62. (x)에 대하여 아래와 같은 확률변수가 주어졌다.

Y =

an , 0 ≤ T ≤ n

aT , T > n

E[Y ]를 보험수리적 기호로 나타내시오.

[풀이] T ≤ n이면, 확률변수의 값이 항상 an 이므로, E[Y ] = ax:n 이다.

63. (50)에 대하여 10년 보증 기간부 종신연금을 판매하였다. 연 지급액은 1원이며, 연속지급 할때,이 연금의 일시납 순보험료를 수지상등의 원칙에 의해서 구하시오. 단,

• 사망법칙은 ω = 120 De Moivre법칙을 따른다.

• δ = 0


[풀이] 앞에서 언급하였다 시피, 가입시점에서 정의되는 연금의 현가 확률변수를 Y 라고 하면, Y 의기대값은

E[Y ] = a50:10

= a10 + 10E50a60 = 10 +60

70e60 = 35.7143

위의 식은 이력의 값이 0이므로 an = n, nEx = npx, ax = ex의 결과를 이용한 것이다.

64. (x)의 장래생존기간을 나타내는 확률변수 T의 확률밀도 함수가 아래와 같이 주어졌다.

f(t) =tα−1e−t/θ

Γ(α)θα, t > 0

위의 조건을 이용하여 ax를 구하시오. (단, 이력은 상수로 가정한다.)

[풀이] 장래생존기간에 관련되어 확률밀도 함수가1 주어져 있으므로, Ax를 먼저 구한다.

Ax =

∫ ∞

0e−δtf(t)dt =

∫∞0 tα−1e−t(δ+1/θ)dt

Γ(α)θα=

Γ(α)

Γ(α)θα(δ + 1/θ)α=

1

(1 + δθ)α

그러므로

ax =1− Ax

δ=

1− 1/(1 + δθ)α

δ

1주어진 확률밀도 함수는 Gamma 확률변수의 확률밀도 함수이다. 즉, 확률변수 T의 확률밀도 함수가 문제에서처럼주어지면, 확률변수 T ∼ Γ(α, θ)라고 표현한다. 만약 α = 1이면, 지수분포가 됨을 주의하라. 여기서 중요한 함수는Gamma 함수 인데, Gamma함수의 정의는 다음과 같다.

Γ(α) =

∫ ∞

0

tα−1e−tdt

만약 α가 양의 정수이면 Gamma 함수의 정의에 의해 다음이 성립한다.

Γ(α) = (α− 1)!


65. 어떤 집단을 구성하고 있는 개인들의 사력은 전연령구간 상수이나, 각 개별 사력의 값은 모수가0.01과 0.02를 가지는 균등분포를 따른다고 한다. 각 개인에게 연지급액 1원, 연속종신생명 연금을지급하고자 한다. 이 집단에서 임의로 한사람을 선택하였을때, ax를 구하시오. (단, δ = 0.01)

[풀이] 이 문제를 풀기 전에 Jensen의 부등식에 대하여 정리하도록 하자. 임의의 확률변수 X에대하여, E[X] = µ, V ar[X] = σ2으로 정의하자. f ′′(x) ≥ 0인 함수 f(x) (논의의 전개를 위하여함수 f(x)는확률변수 X가가지는모든값위에서정의된다고가정한다.)를 µ에대해서 2차 Taylor전개를 하게 되면,

f(x) = f(µ) + f ′(µ)(x− µ) +f ′′(µ)

2(x− ψ)2

여기서 ψ는 µ와 x 사이의 값이다. 여기서 x를 확률변수 X로 전환하고 기대값을 취하게 되면,

E[f(x)] = f(µ) +f ′′(µ)

2E[(X − ψ)2]

가정에 의하여 다음의 부등식을 얻는다.

E[f(x)] ≥ f(E[X])

만약 f ′′(x) ≤ 0이면

E[f(x)] ≤ f(E[X])

이 두 부등식을 Jensen’s Inequality라고 하며, 이 부등식이 우리 수험목적상에서 의미하는 바는다음과 같다.

• 생명보험수리학에서 많은 확률변수는 확률변수의 함수 (function of random variable)이다.

• 여기서 함수들은 대부분 비선형 함수 (f ′′ > 0 또는 f ′′ < 0)이다.

• 확률변수의함수의기대값을구할때에는그확률변수의기초가되는확률변수의기대값을구해함수에 대입하게 되면 최종 계산값은 Jensen의 부등식에 의해 옳은 값보다 과대계상되거나과소 계상되어 잘못된 기대값을 계산하게 된다.

• 그러므로 확률변수의 함수의 기대값을 구할때에는 확률변수의 함수를 정확히 정의하고, 그기대값을 확률변수의 확률밀도 함수를 이용하여 구하거나 확률변수의 함수의 기초가 되는확률변수의 확률밀도함수를 이용하여 직접 기대값을 구한다.


이제 원래의 문제로 돌아가보자. 임의로 한 사람을 선택하였을때에는 그 사람의 사력의 값을 알수없다.(why? The force of mortality is stochastic.) 만약 사력 M ∼ (0.01, 0.02)이 µ로 실현이 되면지급되는 연금의 기대값은 값은

1

µ+ 0.01

이다. 이 형태를 보면 연금현가 확률변수는 확률변수의 비선형 변환임을 알 수 있다. 그러므로구하고자 하는 값은 E

[1

M+0.01

]이므로

ax = E

[1

M + 0.01

]=

∫ 0.02

0.01

100

µ+ 0.01dµ = 100 log(µ+ 0.01)

∣∣∣∣0.020.01

= 40.5465

66. 주어진 표를 이용하여 ax:4 를 구하시오.

k ak k−1|qx

1 1.00 0.332 1.93 0.243 2.80 0.164 3.62 0.11

[풀이] 유기생명 연금의 현가 확률변수는 다음과 같이 정의된다.

Y =

aK+1 , K = 0, 1, 2, ..., n− 1

an , K = n, n+ 1, ...

이 확률변수의 기대값은

E[Y ] =

n−1∑k=0

ak+1 k|qx + an npx =

∞∑k=0

vkkpx

로 구하며, 첫번째 방법을 총액방식에 의한 보험수리적 현가,두번째 방식을 시점지급방식에 의한보험수리적 현가라고 한다. 이 문제에서는 현가확률변수가 주어지고 그 값이 주어져 있으므로,총액방식으로 구한다.

ax:4 = 1(0.33) + 1.93(0.24) + 2.80(0.16) + 3.62(1− 0.33− 0.24− 0.16) = 2.2186


67. qx가 모든 x에 대하여 q로 동일한 상수일때, ax는 다음과 같음을 보이시오.

ax =1 + i

q + i

[풀이] ax를 바로 구할 수도 있지만, 여기서는 Ax를 구하여 최종답안을 유도하도록 한다.

Ax =

∞∑k=0

vk+1k|qx =

∞∑k=0

vk+1kpxqx+k

=

∞∑k=0

vk+1(1− q)kq

=vq

1− (1− q)v

=q

q + i

ax와 Ax의 관계를 이용하면,

ax =1−Ax

d=

1− q/(q + i)

i/(1 + i)=

1 + i

q + i

그러므로 지수사망법칙에서는?

68. (x)에 대하여, 매 지급액 150,000원, 기시급 종신생명 연금을 판매하였다. 이 계약에 대한 계리정보 및 계약 정보는 다음과 같다.

• tpx =

(0.7)t, 0 ≤ t ≤ 5.5

0, t > 5.5

• i = 5.5%

• 최초 500,000원은보험회사에의해서지급되고, 이후에는모두재보험회사(Reinsurance Com-pany)에서 나머지 연금을 종신토록 지급한다.


재보험회사에서 지급되는 연금의 보험수리적 현가를 구하시오.

[풀이] (x)의 생존분포에 대한 정보를 보게 되면, 이 피보험자가 연금을 받는 기간은 많아봐야 5년이다.이정보를이용하여시간선을그려보면연금지급의최대횟수는많아봐야 6번이다.그러므로재보험사가 지급하는 연금의 보험수리적 현가를 APVR이라고 하면,

APVR = 100, 0003Ex + 150, 0004Ex + 150, 0005Ex

계산을 위한 각 구성요소를 구해보면,

3Ex =0.73

1.0553= 0.296295

4Ex =0.74

1.0554= 0.197531

5Ex =0.75

1.0555= 0.131687 → APVR = 77, 571.6793

69. 아래의 표는 선택기간이 3년인 선택-종국표의 일부분이다.

x l[x] l[x]+1 l[x]+2 lx+3

65 5,000 4,750 4,500 4,20066 4,800 4,550 4,250 3,80067 4,600 4,275 3,900 3,30068 4,300 4,000 3,500 2,800

65세에 2년만기기말급생명연금상품에가입한피보험자에게지급되는연금의보험수리적현가는2년 거치 3년만기 기말급 생명연금에서 지급되는 연금의 보험수리적현가와 동일하다고 한다. 이조건을 만족하는 이자율 i를 구하시오. (단, 연지급액은 1원이며, 피보험자는 65세에 보험사의기준을 통과하여 보험에 가입하였다.)

[풀이] 주어진 조건으로 식을 세우게 되면,

v · p[65] + v2 · p[65] · p[65]+1

= v3 · p[65] · p[65]+1 · p[65]+2 + v4 · p[65] · p[65]+1 · p[65]+2 · p[65]+3

+ v5 · p[65] · p[65]+1 · p[65]+2 · p[65]+3 · p[65]+4


선택효과를 반영하게 되면

v · p[65] + v2 · p[65] · p[65]+1

= v3 · p[65] · p[65]+1 · p[65]+2 + v4 · p[65] · p[65]+1 · p[65]+2 · p68

+ v5 · p[65] · p[65]+1 · p[65]+2 · p68 · p69

각 확률을 구하기 위해 주어진 생존자수들을 대입하게 되면,

4, 750v + 4, 500v2 = 4, 200v3 + 3, 800v4 + 3, 300v5 → 95 + 90v = 84v2 + 76v3 + 66v4

i를 구하기 위해서는 v를 구해야 하는데, 위의 식은 4차 방정식이다. 그러므로 우리가 아는 지식하에서는 이 방정식을 해석적으로 구할 수 없고 수치적으로 구해야만 한다. 그렇다면 이 수치적인방법은 무엇인가?

70. 아래의 조건을 이용하여 ax:3을 구하시오. (단, i = 0.03)

K(x) Pr[K(x) = k]

0 0.11 0.12 0.23 0.24 0.4

[풀이] 기말급 3년 보증기간부 종신연금이므로,

ax:3

= a3 + 3|ax

이 값을 직접 구할 수도 있으나, 주어진 표를 보게 되면, 모든 확률들의 합이 1이 됨을 확인할 수있다. 시간선을그려보게되면, 이제이연금은 3번을받거나, 혹은 4번을받게되는경우만존재하는것을 알 수있다. 3번을 지급받게 될 확률은 0.6이고, 4번을 지급받게 될 확률은 0.4이므로,

ax:3

= 0.6a3 + 0.4a4

= 0.6 · 1− (1.03)−3

0.03+ 0.4 · 1− (1.03)−4

0.03

= 3.184


71. 다음을 하나의 보험수리 기호로 전환하시오.

n|ax−n

nEx−n− ax:n − ax+n · nEx

[풀이] 시간선을 그려보게 되면,

n|ax−n


=nEx−n · ax


=ax − ax:n − ax+n · nEx

=nExax+n − ax+n · nEx

=nEx(ax+n − ax+n)

=nEx

72. 아래의 조건을 이용하여 k를 결정하시오.

• V ar(aT)= 100/9

• µx+t = k, t ≥ 0

• δ = 4k

[풀이] 연금현가 확률변수 분산을 구하는 공식을 이용하게 되면,

V ar(aT)=

2Ax − A2x

δ2

=µ/(µ+ 2δ) + (µ/(µ+ δ))2

δ2

=1/9− 1/25

16k2= 100/9 → k = 0.02


73. (x), 연지급액 1원, 연속지급의 종신생명연금의 연금현가 확률변수를 Y 라고정의하자. 아래의조건을 이용하여 2Ax의 값을 구하시오.

• E[Y ] = 15

• E[Y 2] = 250

• δ = 0.05

[풀이] 연금현가 확률변수의 분산 계산 공식을 이용하면,

V ar(aT)=

2Ax − A2x

δ2= 25

2Ax − A2x = 0.0375

또한 Ax = 1− δax = 0.25이므로, 2Ax = 0.0375 + 0.252 = 0.1

여기서 연속종신지급의 연금현가 확률변수 (Y )의 분산을 나타내는 공식을 2a로 표현하는 방법을알아 보자.

V ar[Y ] =2Ax − A2

x

δ2

=(1− 2δ2ax)− (1− ax)

2

δ2

=2(ax − 2ax)

δ− a2x

그러므로

E[Y 2] =2(ax − 2ax)

δ

이 식에 주어진 조건의 값들을 대입하게 되면 2ax = 9이다. 그러므로

2Ax = 1− 2δ2ax = 0.125


74. (x), 연지급액 1원, 기시급, 종신 생명연금의 가입시점에서 정의되는 연금현가 확률변수를 Y

라고 정의하자. 아래의 조건을 이용하여 이 확률변수의 분산을 구하시오.

• d = 0.05

• ax = 12

• 2ax = 8

[풀이] 분산을 계산하는 공식을 이용하면,

V ar(Y ) =2Ax −A2

x

d2=

0.22− 0.42

0.052= 24

여기서

Ax = 1− dax = 0.4

2Ax = 1− (2d− d2)2ax = 0.22

75. (x)에 관련된 계리정보는 다음과 같다.

• µx+t = 0.04, t ≥ 0

• δ = 0.06


(1) ∂∂nnEx를 구하시오.

(2) aT 의 표준편차를 구하시오.


[풀이]

(1) nEx = vnnpx이므로,

∂

∂nnEx =

∂

∂nvnnpx = −0.1e−0.1n

(2) 분산은 다음과 같이 주어지므로,

V ar[aT]=

0.040.04+2·0.06 −

(0.04

0.04+0.06

)20.062

= 25

표준편차는 5원이다.

76. 어떤 집단은 30%의 흡연자와 70%의 비흡연자로 구성되어 있다. 이 집단에 대한 계리적 정보는아래와 같다.

• 집단을 구성하고 있는 각 개인의 나이는 모두 정확히 x세이다.

• 흡연자는 S, 비흡연자는 NS로 표현한다.

• δ = 0.10

• ASx = 0.444

• ANSx = 0.286

• V ar(aST

)= 8.818

• V ar(aNST

)= 8.503

이 집단에서 임의로 한명을 선택할 경우, aT 의 분산을 구하시오. (확률변수 T는 임의로 선택된사람의 장래생존기간을 나타낸다.)

[풀이] 다음의 분산 계산공식을 이용한다.

V ar[aT]= E

[V ar

[aT |I

]]+ V ar

[E[aT |I

]], I ∈ {S, NS}


여기서눈여겨볼점은, 대부분이런종류의문제들은큰집단을두개의소집단으로나눈다는사실이다. 이점을활용하면 Two-point Distribution을이용할수있으므로, 많은계산과정을줄일수있다.즉, E

[aT |I

]는 아래의 분포를 가지는 확률변수이다.

E[aT |I

]=

aSx , with ptobability 0.3

aNSx , with ptobability 0.7

또한, V ar[aT |I

]는 아래의 분포를 가지는 확률변수이다.

V ar[aT |I

]=

V ar[aST

], with ptobability 0.3

V ar[aNST

], with ptobability 0.7

그러므로

E[V ar

[aT |I

]]= 0.3V ar

[aST

]+ 0.7V ar

[aNST

]V ar

[E[aT |I

]]= 0.3 · 0.7(aSx − aNS

x )2

이를 이용하게 되면

V ar[aT]= 9.1217

77. 3년만기, 기시급, 유기생명연금에관련하여, 가입시점에서정의되는연금현가확률변수의값과,(x)에대한계리적정보는아래와같다. (단, 확률변수 K는 (x)의장래개산생존기간을나타낸다.)

• Y =

1.00, K = 0

1.87, K = 1

2.72, K ≥ 2

• tpx = 0.9t, t ≥ 0

V ar(Y )를 구하시오.

[풀이] 분산의 일반공식을 이용하기 위하여 다음의 값을 구한다.

E[Y ] = 1(0.1) + 1.87(0.09) + 2.72(0.81) = 2.4715


E[Y 2] = 12(0.1) + 1.872(0.09) + 2.722(0.81) = 6.407425

그러므로

V ar(Y ) = 6.407425− 2.47152 = 0.299113

78. x세의 250명으로 구성된 집단에 대하여 아래의 정보를 이용하여 물음에 답하시오.

• 개인의 장래생존기간은 상호 독립이다 동일한 확률분포를 따른다.

• 매년초 집단의 생존자들에게는 500원을 집단의 모든 개인이 사망할때 까지 지급한다.

• Ax = 0.369131

• 2Ax = 0.1774113

• i = 0.06

이 집단의 생존자들에게 앞에서 언급된 연금 서비스를 지급하기 위하여, 현재 기금을 조성하고자한다. 이 기금이 앞으로 집단에게 지급되는 총 연금액의 현재 가치를 충분히 담보할 확률을 90%로 설정하고자 할때, 필요한 기금의 크기를 중심극한 정리 (Central Limit Theorem)를 이용하여구하시오. (단, Pr[Z ≤ 1.282] = 0.9, Z는 표준정규확률 변수이다.)

[풀이] i번째 개별 인원에 관련되는 가입시점에서 정의되는 연금현가 확률변수를 Yi라고 하면 개인장래생존 기간이 동일한 확률분포를 따르므로,

E[Yi] = E[Y ] =1−Ax

d= 11.14535

V ar[Yi] = V ar[Y ] =2Ax −A2

x

d2= 12.84450

이다. 전체 유출액을 나타내는 확률변수를 L이라고 정의하면

L =

250∑i=1

Yi


로 정의할 수 있고, 중심극한 정리에 의하여,

L ∼ N(250 · 500 · 11.14535, 5002 · 250 · 12.84450)

구하고자 하는 펀드의 양은 확률변수 L의 90 백분위수이므로 그 펀드의 양을 F라고 하면,

F = 1, 393, 169 + 1.282 · 28, 333 = 1, 429, 493

79. 퇴직연금 관리자인 당신은 기시급 종신 연금을 수령하는 집단에 대한 정보를 다음과 같이수집하였다.

• 집단의 구성원은 80명이며, 각 개인별 장래생존 기간은 상호독립이다.

• 동일한 나이의 구성원들의 장래생존기간은 동일한 확률분포를 따른다.

• i = 0.06

• 집단 구성원 및 연금 서비스에 관련된 내용의 일부는 아래 표와 같다.

나이 연금수령자 수 연 연금지급액 ax Ax2Ax

65 50 2 9.8969 0.43980 0.2360375 30 1 7.2170 0.59149 0.38681

이 집단의 65세중 i번째 개별 구성원에 관련하여 연금서비스의 가입시점에서 정의되는 연금현가확률변수를 Y 65

i (i = 1, 2, ..., 50)라 하고, 75세중 j번째 개별 구성원에 관련하여 연금서비스의가입시점에서 정의되는 연금현가 확률변수를 Y 75

j (j = 1, 2, ..., 30)라 하고확률변수 L을 아래와같이 정의한다.

L =50∑i=1

Y 65i +

30∑j=1

Y 75j

L의 95 백분위수 (95th percentile)를 중심극한 정리를 이용하여 구하시오. (단, Pr[Z ≤ 1.645] =

0.95, Z는 표준정규확률 변수이다.)


[풀이] 확률변수 L을 정규확률변수로 근사하기 위하여 평균과 분산을 구한다.

E[Y 65i ] = E[Y 65] = 2a65 = 2 · 9.8969

V ar[Y 65i ] = V ar[Y 65] = 4 ·

2A65 −A265

d2= 4 · 13.29779

E[Y 75j ] = E[Y 75] = a75 = 7.2170

V ar[Y 75j ] = V ar[Y 75] =

2A75 −A275

d2= 11.53237

위의 값들을 이용하면,

E[L] = 1206.20, V ar[L] = 3005.53

확률변수 L의 95 백분위수를 l0.95라고 하면,

l0.95 = 1206.2 + 1.645√3005.53 = 1296.38

80. (x), 로이즈 보험사는 이 피보험자에게 연금서비스와 생명보험서비스를 제공하는 보험상품을판매하였다. 연금에관련하여, 연지급액 1원의기말급종신생명연금서비스를제공하고, 연금수령자사망시 사망연도 기말에 사망보험금 S를 지급한다. 아래의 조건을 이용하여 가능한 모든 S의 값을구하시오.

• 확률변수 Z를가입시점에서보험의보험금과연금합의현가를나타내는확률변수로정의한다.

• tpx = 0.99t, t ≥ 0

• i = 0.05

• V ar(Z) = 1

[풀이] (50)의 장래개산 생존기간을 K라고 하면,

Z =1− vK

i+ SvK+1


이제 이 확률변수의 분산을 구하기 위해서는 어떤 과정을 거쳐야 할까?

Z =1− vK

i+ SvK+1 =

v

d+

(S − 1

d

)vK+1

그러므로

V ar[Z] = (S − 21)2(2Ax −A2

x

)위의 분산 계산 과정에 필요한 각 값을 구하게 되면,

Ax =

∞∑k=0

vk+1k|qx = 0.01

∞∑k=0

(0.99k

1.05k+1

)=

1

6

2Ax =

∞∑k=0

v2(k+1)k|qx = 0.01

∞∑k=0

(0.99k

1.052(k+1)

)= 0.088889

(2Ax −A2

x

)= 0.06111 → S = 16.9548, 25.0452

4.2 Probability, Percentile, U.D.D.

81. (50), 연지급액 1원, 10년 거치 기시급 종신생명연금에 관련된 계리정보는 아래와 같다.


• i = 0

확률변수 Y 를 가입시점에서 정의되는 연금의 현가 확률변수라고 할때, 이 확률변수가 E[Y ]를초과할 확률을 구하시오.

[풀이] 이자율이 0이므로, ax = 1 + ex이다. 그러므로

10|a50 = 10E50a60 = 10p50(1 + e60)

또한 De Moivre 법칙 하에서는

ex =ω − x− 1

2

이다. 그러므로

10|a50 = 16.4


구하고자 하는 확률은 (why?)

Pr[Y > 16.4] = Pr[Y ≥ 17] = 26p50 = 0.48

82. (60), 연지급액 1원, 연속지급 종신생명연금에 관련된 계리정보는 아래와 같다.


• δ = 0.06

확률변수 Y 를가입시점에서정의되는연금의현가확률변수라고할때, 이 확률변수의 90 백분위수(90th percentile)을 구하시오.

[풀이]연금현가확률변수는증가변환이므로, 장래생존기간의 90백분위수가곧연금현가확률변수의90백분위수는 이 백분위수에 의해서 바로 유도가 된다. 장래생존기간을 나타내는 확률변수의 90백분위수를 t0.9라고 하면, t0.9 = 45이다. 연금 현가 확률변수의 90 백분위수를 y0.9라고 하면

y0.9 =1− e−0.06·45

0.06= 15.546575

83. 연지급액 1원, 5년거치 연속지급 종신연금상품의 가입시점에서 정의되는 연금현가 확률변수를Y 라고 할때, 이 확률변수의 중앙값 (median)을 아래의 조건을 이용하여 구하시오.

• µx = 0.01, x ≥ 0

• δ = 0.045

[풀이] 앞에서 언급하였다시피 percentile을 구하기 위해서는 굳이 확률변수의 분포함수를 구할필요는없다. 중앙값을 m이라고한다면다음의식이만족하는 t가존재하여, 아래의식이성립한다.

Pr[Y ≤ m] = Pr[T < t] = 1− e−0.01t = 0.5 → t = 69.31472


구한 t의 값이 5를 초과하므로

m = at − a5 = 16.7627

제 5 장

Net Premiums

5.1 Premium Calculation and Loss Random Variables

84. (x), 보험금 1000원, 사망즉시급, 10년 거치 종신보험에 대하여 아래의 정보를 이용하여 물음에답하시오.

• µ = 0.04

• δ = 0.02

• 보험료는 연속납입으로 거치기간을 포함하여 종신토록 납입된다.

(1) 보험료 연액을 수지상등의 원칙에 의하여 구하시오.

(2) 피보험자가 보험 가입후 정확히 20년 경과뒤 사망할 경우, 장래손실현가 확률변수의 값을구하시오. (단, 장래 손실현가 확률변수는 가입시점에서 정의된다.)

[풀이] 보험금의 보험수리적 현가는

1, 00010|Ax = 1, 000 · 0.04e−10(0.06)

0.04 + 0.02= 365.874

또한

ax =1

µ+ δ=

1

0.06

67

제 5 장. NET PREMIUMS 68

그러므로 보험료 연액을 P라고 하면

P = 365.874(0.06) = 21.952

20년 경과시점에서 사망이 발생하면, 손실현가의 값은

1, 000v20 − P a20 = 308.46

85. (x), 20년만기양로보험에대하여, 사망보험금(bt)기말급, 보험기간(t)내에지급되는보험금은다음과 같다.

bt =

2, 000, t ≤ 10

1, 000, 10 < t ≤ 20

생존보험금 (만기 보험금, 생존 축하금)은 1,000원이다. 보험료 납입은 매 분기 초마다 납입되며,전기납을 가정한다. 확률변수 L을 이 보험의 가입시점에서 정의되는 장래 손실현가라고 하자.피험자가보험가입후정확히 14.5년에사망하였다.(단, 보험료납입전사망함)이경우장래손실현가확률변수의 값을 구하시오. (단, 보험료 연액은 40원이며, i = 0.06이다.)

[풀이] 사망이 14.5 시점에 발생하였기 때문에, 보험금의 현가는

1, 000v15 = 417.27

또한 보험료는 14.5년 동안 납부가 되었으므로,

40a14.5 = 394.42

여기서

d(4) = 4(1− 1/1.060.25) = 0.057847

a14.5 =1− 1/1.0614.5

0.057847= 9.860559

그러므로 이 경우 손실현가 확률변수의 값은

417.27− 394.42 = 22.85


86. 보험금 1원, 사망즉시급, 종신보험 상품을 갑과 을에게 판매하였다. 보험료는 연속 종신납을가정한다. 갑의 사력은 µ1이며, 을의 사력은 µ1 + µ2이다. 이력은 δ일때, 갑과 을의 보험료 연액의차이를 구하시오. (단, 보험료에 관련된 사항은 수지상등의 원칙에 의하여 결정된다.)

[풀이] 보험금사망즉시급, 보험료연속납, 지수사망법칙을가정할경우보험료연액은사력이된다.그러므로 보험료 연액의 차이는 µ2이다.

87. 다음의 정보를 이용하여 아래의 물음에 답하시오.

• 보험료에 관련된 사항은 수지상등의 원칙에 의하여 결정된다.

• µx+t =

0.01, 0 ≤ t ≤ 10

0.02, t > 10

• δ = 0.05

(1) (x), 보험금 1원 종신보험, 사망즉시급, 보험료 연속 종신납의 경우, 보험료 연액을 구하시오.

(2) (x), 보험금 1원만기 15년의양로보험, 사망즉시급, 보험료연속전기납의경우, 보험료연액을구하시오.

[풀이]

(1) 보험료 연액을 구하는 방법은 다양하므로, 반드시 풀이의 방법을 따를 필요는 없다. 보험료연액을 P라고 하면,

P =1

ax− δ


여기서

ax = ax:10 + 10Exax+10 =1− e−0.6

0.06+ e−0.6

(1

0.07

)= 15.359972

그러므로

P =1

15.359972− 0.05 = 0.015104

(2) 보험료 연액을 π라고 하면,

π =1

ax:15− δ

여기서

ax:15 = ax:10 + 10Exax+10:5 =1− e−0.6

0.06+ e−0.6

(1− e−0.35

0.07

)= 9.8351

그러므로

π =1

9.8351− 0.05 = 0.051677

88. (x)에게 판매된 종신 생명보험상품 계약 내용의 일부분은 아래와 같다.

• 보험금은 사망즉시급이며, 사망시 1원과 함께 기존에 납입한 보험료를 이자고려없이 보험금으로 지급한다.

• 보험료는 연속 종신납입을 가정한다.

• 수지상등의 원칙으로 계산된 보험료 연액은 P (Ax) +K이다.

위의 조건을 이용하여 K를 구하시오.

[풀이] 보험료 연액을 P라고 하자. 수지상등의 원칙에 의하여

P ax = Ax + P (IA)x


이를 정리하면,

P =Ax

ax − (IA)x

주어진 조건을 이용하면

P (Ax) +K =Ax

ax − (IA)x

그러므로

K =Ax

ax − (IA)x− P (Ax)

=Ax(IA)x

ax(ax − (IA)x

)=P (Ax)(IA)xax − (IA)x

89. (x)에게 판매된 종신 생명보험상품에 대한 계리 정보는 아래와 같다.

• 보험료는 연속 종신납입을 가정하며, 수지상등의 원칙에 의하여 결정된다.

• 보험금 (bt) 사망 즉시급을 가정하며, bt = (1 + i)t이다.

가입시점에서의장래손실현가확률변수를 L이라고할때, L을보험수리기호를이용하여정의하시오.

[풀이] 보험금 현가 확률변수를 정의해 보면

Z = (1 + i)T vT = 1, T ≥ 0

즉, 보험금 현가 확률변수의 값은 항상 1이된다. 그러면 보험료 연액은 1ax이므로

L = 1− 1

axaT


이다. 이를 정리하면

L = 1− 1

axaT

= 1− 1− vT

δax

= 1− 1− vT

1− Ax

=vT − Ax

1− Ax

90. (x), 3년 만기 정기보험, 사망보험금 기말급에 대하여 bk+1을 제 k + 1보험연도 (k = 0, 1, 2)의보험금으로 정의한다. bk+1의 값은 아래와 같다.

bk+1 =

0, k = 0

1, 000(11− k), k = 1, 2

또한예정사망율과예정이자율에대한정보가다음과같을때전기연납평준순보험료를수지상등의원칙을 이용하여 구하시오.

• qx = 0.200, qx+1 = 0.100, qx+2 = 0.097

• i = 0.06


10, 000(0.8)(0.1)

1.062+

9, 000(0.8)(0.9)(0.097)

1.063= 1.239.7482

또한

ax:3 = 1 +0.8

1.06+

0.8(0.9)

1.062= 2.3955

그러므로 보험료를 P라고 하면,

P =1, 239.7482

2.3955= 517.53


91. (57)에게 판매된 거치 유기생명연금에 대한 정보가 아래와 같이 주어졌다.

• µx+t = 0.04, t ≥ 0

• δ = 0.06

• 보험료는 2년 단기납으로 연속적으로 납입된다. 또한 보험료 연액은 P로 정의한다.

• 연금은일년에한번기시급으로지급되며, 그지금액의크기및지급기간에대한정보는다음의표와 같다.

보험년도 1 2 3 4 5 6 7 8 9년도 이후연금 지급액 0 0 0 10 8 6 4 2 0

(1) 수지상등의 원칙에 의하여 보험료 연액 (P )을 구하시오.

(2) 확률변수 Y 를 보험회사 입장에서 보험계약으로 부터 발생하는 수입의 현재가치를 나타내는확률변수라고 정의할때, 이 확률변수의 표준편차를 구하시오.

[풀이]

(1) 연금의 보험수리적 현가를 APVa라 하면,

APVa = 10e−0.3 + 8e−0.4 + 6e−0.5 + 4e−0.6 + 2e−0.7 = 19.59834

또한

a57:2 =1

0.06 + 0.04

(1− e−2(0.04+0.06)

)= 1.812692

그러므로

P =19.59834

1.812692= 10.81173


(2) 수입의 현재가치를 나타내는 확률변수를 Y 라고 하면

Y =

P aT , 0 < T ≤ 2

P a2 , T > 2

위 확률변수의 분산을 구해보면

V ar(Y ) = P 22Ax:2 − A2

x:2

δ2

= P 2 (0.25(1− e−0.32) + e−0.32)− (0.4(1− e−0.2) + e−0.2)2

0.06

= P 2(0.084944)

그러므로 표준편차는

S.D.(Y ) = 0.29145P = 3.151079

92. 다음의 조건을 이용하여, 1, 000P(Ax:n

)를 구하시오.

• 정수연령간 사망자의 수는 균등분포한다.

• i = 0.04

• nEx = 0.600

• Ax:n = 0.804

[풀이] 주어진 보험은 보험금은 사망즉시급이나, 보험료 납입은 기시납입의 경우이다.

A1x:n = 0.804− 0.600 = 0.204

U.D.D 가정하에서

A1x:n =

δ

iA1

x:n = 0.2


Ax:n = 0.2 + 0.6 = 0.8 → ax:n =1− 0.8

0.04/1.04= 5.2

그러므로

1, 000P(Ax:n

)= 1, 000 · 0.804

5.2= 154.62

93. 아래의 조건을 이용하여 1, 000[P(Ax

)− Px]를 구하시오.

• k|qx = 0.9k+1/9

• i = 0.08

• µx+t = µ, t ≥ 0

[풀이] 만약 사망율이 기하적 형태로 주어진 경우 사망율이 상수인 경우가 많다. 이 문제의 경우

qx =0.90+1

9= 0.1

이므로, qx는 상수이다. 그러므로

Px = vqx =1

1.08· 0.1 = 0.09259

P(Ax

)= µ = − log px = − log 0.9 = 0.10536

1, 000[P(Ax

)− Px] = 12.77

94. 현재 나이가 정확히 63세인 갑은 보험금 10,000원, 사망 기말급의 종신보험을 일시납 보험료를납부하고가입하려고한다. i = 0.05를가정하여이종신보험을판매하는보험사는일시납보험료를수지상등의원칙으로계산된일시납순보험료의 112%로결정하고,그일시납보험료는 5,523원이다.그러나 갑은 현재이보험에가입하지않고, 5,523원을 2년간투자안 A에투자하고보험은 2년후에


가입하기로 결정하였다. 갑이 2년뒤 보험에 가입하려 할때, 추가적인 자금의 지출을 요구하지않을 투자안 A의 최소한의 연속 복리 수익률을 아래의 조건을 이용하여 구하시오. (단, 2년뒤에도보험사의일시납보험료결정방법은변함이없다고가정한다. 또한 2년동안갑은사망하지않는다고가정한다.)

1, 000q63 = 17.88, 1, 000q64 = 19.52

[풀이] i = 0.05 하에서, 주어진 조건에 의하면

A63 =q631.05

+p63q641.052

+p63p641.052

A65 → 10, 000A65 = 5, 251.8391

만약 갑이 보험의 구매를 2년 미루게 되면 그때 납입해야할 보험료는

(1.12) · 5, 251.8391

이다. 그러므로 갑이 이 보험료를 충분히 납부하기 위해서는 다음의 조건을 R이 만족하여야 한다.

(1.12)A63e2·R ≥ (1.12) · 5251.8391 → R ≥ 3.15%

95. (30), 20년 만기 정기보험에 대하여 다음의 조건이 주어졌다.

• 보험금은 사망연도 기말급이며, 첫 10년동안은 1,000원, 다음 10년동안은 2,000원이다.

• 보험료 납입은 전기납이며, 첫 10년 동안은 π, 다음 10년 동안은 2π이다.

• a30:20 = 15.0364

• 또한 아래의 계리정보가 주어졌다.

x ax:10 1, 000A1x:10

30 8.7201 16.6640 8.6602 32.61


π를 수지상등의 원칙에 의하여 구하시오.


1, 000A 130:10

+ 2, 00010E30A140:10

= 16.66 + 65.2210E30

보험료의 보험수리적 현가는

2πa30:20 − πa30:10 = 21.3527π

또한

a30:20 = a30:10 + 10E30a40:10 → 10E30 = 0.729348

수지상등의 원칙에 의하여

16.66 + 65.22 · (0.729348) = 21.3527π → π = 3.01

96. (75), 보험금 1,000원, 종신보험에 대하여 보험료는 종신 기시납을 가정하며, 제 k보험년도에납입하는 보험료를 πk−1로 정의한다. 다음의 조건을 이용하여 π0를 구하시오.

• πk−1 = π0(1 + i)k, k = 1, 2, 3, ...

• lx = 105− x, x ≤ 105

• i = 0.05

• 보험료는 수지상등의 원칙에 의해서 결정된다.

[풀이] De Moivre 사망법칙하에서는

1, 000A75 = 1, 000 ·a3030

= 512.415


수입의 보험수리적 현가는29∑k=0

π0(1 + i)kkp75 = π0

29∑k=0

kp75 = π0(1 + e75) = 15.5π0

수지상등의 원칙에 의하여,

512.415 = 15.5π0 → π0 = 33.1

97. (x), 5년만기 정기보험의 보험금 현가확률변수가 아래와 같이 주어졌다.

Z =

vK+1 −

aK+1s5

, K = 0, 1, 2, 3, 4

0, K = 5, 6, ...

i = 0.05이고, Px:5 = 0.19일때, 이 정기보험의 전기 연납평준보험료를 수지상등의 원칙에 의하여구하시오.

[풀이] 보험금 현가 확률변수를 아래와 같이 써보면

Z =

vK+1 −

aK+1s5

, K = 0, 1, 2, 3, 4

0, K = 5, 6, ...

=

vK+1 −

aK+1s5

, K = 0, 1, 2, 3, 4

v5 −a5

s5, K = 5, 6, ...

기대값을 취하게 되면

E[Z] = Ax:5 −ax:5s5

그러므로, 보험료를 P라고 하면,

P =E[Z]

ax:5= Px:5 − 1

s5= 0.19− 0.05/1.05

1.055 − 1= 0.0176

98. (25), 40년만기 양로보험에 대하여 아래의 조건이 주어졌다.


• 보험금은 사망년도 기말급이며 생존보험금은 150,000원이다.

• 사망보험금은 사망까지 납입한 매년 보험료의 120%를 매년 인식하고, 이자를 감안하여 지급한다.

• i = 0.06

• s40 = 164.05

• 40p25 = 0.800

• P25:40 = 0.008

• 순보험료는 연납전기평준 보험료이며, 수지상등의 원칙에 의해서 결정된다.

순보험료를 구하시오.

[풀이] 납입되는 보험료를 P라고하면, 사망보험금의 보험수리적 현가는39∑k=0

1.2P sk+1 vk+1

k|q25 = 1.2P

39∑k=0

ak+1 k|q25

이 값은 연금현가확률변수의 정의에 의하여

1.2P (a25:40 − a40 40p25)

수지 상등의 원칙에 의하여

150, 000A 125:40

+ 1.2P (a25:40 − a40 40p25) = P a25:40 → P =150, 000P 1

25:40

1.2P 125:40

s40 − 0.2

이제 P 125:40

을 구해보자.

P25:40 =1

a25:40− d

a25:40 =1

0.008 + 0.06/1.06= 15.478972

P 125:40

=v4040p25a25:40

= 0.005025

그러므로

P =150, 000P 1

25:40

1.2P 125:40

s40 − 0.2=

150, 000(0.005025)

1.2(0.005025)(164.05)− 0.2= 955.07


99. (x), 보험금 100,000원, 사망 즉시급의 20년만기 정기보험을 고려하자. 보험료는 연납평준보험료로 10년동안 기시에 납입된다. 보험료는 1,600원이며, i = 0.05일때 확률변수 L을 가입시점에서정의되는 손실현가 확률변수라고 정의한다. 확률변수 L의 최소값을 구하시오.

[풀이] 장래 손실현가 확률변수를 정의해 보면,

L =

100, 000vT − 1, 600aK+1 , T ≤ 10

100, 000vT − 1, 600a10 , 10 < T ≤ 20

−1, 600a10 , T > 20

장래손실현가 확률변수의 최소값은 모든 보험료를 수취하고, 보험금을 지금하지 않을 경우에 발생하므로 그 최소값은

−1, 600 · 1− 1.05−10

0.05/1.05= −12, 972.5

100. (x), n년 만기 생존보험을 고려하자. 생존보험금은 S이며, 보험료는 n년 동안 연납평준 기시급으로 납입된다. 예정이자율이 i일때, 아래의 물음을 답하시오. (단 , n은 양의 정수이다.)

(1) 확률변수 L을 가입시점에서 정의되는 장래손실 현가 확률변수라고 할때, 이 확률변수를 (x)의장래개산생존기간 (K)을 이용하여 정의하시오.

(2) 확률변수 L의 기대값과 분산을 구하시오. 단, 기대값 구할 시 수지상등의 원칙을 가정하지마시오.

(3) 확률변수 L의 분포 (Distribution)를 제시하시오.

[풀이]


(1) 확률변수 K를 (x)의 장래개산생존기간이라하고, 보험료를 π라고 하면,

L =

−πaK+1 , K = 0, 1, ..., n− 1

Svn − πan , K = n, n+ 1, ...

(2) 평균은

E[L] = Svnnpx − πax:n

분산을 구하기 위하여 다음의 확률변수를 고려하자.

Z1 =

0, K = 0, 1, ..., n− 1

vn, K = n, n+ 1, ..., Z2 =

vK+1, K = 0, 1, ..., n− 1

vn, K = n, n+ 1, ...

이 두확률변수를 이용하면,

L = SZ1 − π1− Z2

d= SZ1 +

π

dZ2 −

π

d

그러므로 분산은

V ar[L] = S2V ar(Z1) +π2

d2V ar(Z2) +

2Sπ

dCov(Z1, Z2)

= S2(2A 1x:n −

(A 1

x:n

)2+π2

d2(2Ax:n − (Ax:n )

2)− 2Sπ

d(2A 1

x:n −A1x:nAx:n )

(3) k = 0, 1, 2, ..., n− 1에 대하여

Pr[L = −πak+1

]= k|qx

이며, k = n, n+ 1, ...에 대하여,

Pr [L = Svn − πan ] = npx

101. (x), 보험금 사망즉시급, 보험료 연속 종신납입의 종신보험에 대하여 아래의 조건이 주어졌다.

• Ax = 1/3


• δ = 0.10

• 확률변수 L을 가입시점에서 정의되는 손실현가 확률변수로 정의하고, 이 확률변수 정의시사용하는 보험료에 관한 결정사항은 수지상등의 원칙을 따라 결정되었다.

• V ar(L) = 1/5

• 확률변수 L′을 가입시점에서 정의되는 손실현가 확률변수로 정의하고, 이 확률변수 정의시사용하는 보험료는 π이다.

• V ar(L′) = 16/45

• 보험금은 1원이다.

π를 구하시오.

[풀이] 보험료 연속납입, 보험금 사망즉시급, 보험료 연액 π에 대하여 다음이 성립한다.

V ar(L) =(1 +

π

δ

)2(2Ax − A2

x)

보험료를 수지상등의 원칙에 의해서 결정된 보험료 (P )를 사용하게 되면, 주어진 조건에 의하여

V ar(L) =

(1 +

P

δ

)2

(2Ax − A2x) → 2Ax − A2

x =1

11.25

L′에 관련된 조건을 이용하면,

V ar(L′) =(1 +

π

δ

)2(2Ax − A2

x) → (1 + 10π)2 = 4 → π = 4

102. (x), 보험금 사망즉시급 1,000원, 보험료는 연속납입 종신납의 종신보험을 고렺하자. (x)의장래생존기간을 나타내는 확률변수를 T라고 하면, 이 확률변수의 확률밀도 함수는 다음과 같이주어진다.

f(t) =t

1, 250, 0 ≤ t ≤ 50

이력은 0.05일때, 다음의 물음에 답하시오.


(1) 보험료 연액은 10원이고, 확률변수 L을 가입시점에서 정의되는 손실현가 확률변수라고 할때,E[L]과 Pr[L > 0]을 구하시오.

(2) 이익이 발생할 확률이 50%가 되기 위해서는 보험료 연액은 얼마가 되어야 하는가?

[풀이]

(1) E[L] = 1, 000Ax − 10ax이고,

Ax =

∫ 50

0e−0.05t t

1250dt = 0.2280648

ax =1− Ax

δ= 15.438704

그러므로

E[L] = 73.678

확률에 관련하여 FT (t) =∫ t0

s1250 = t2

2500

Pr[L > 0] = FT

(−1

δlog π

Sδ + π

)= FT (35.8352) = 0.5137

(2) Pr[L ≤ 0]은 Pr[L > 0] = 0.5와 상등하다. 그러므로 구하고자 하는 보험료는 0이 확률변수 L

의 중앙값이 되도록 해야한다. 이 값을 찾기 위해 t0.5를 확률변수 T의 50 백분위수라고 하면,

t02500

= 0.5 → t0 = 35.35534

그러므로 0이 L의 50분위수가 되도록 하는 보험료를 π라 하면,

1, 000vt0 − πat0 = 0 → 1000

¯st0= 10.2928

103. 다음의 정보를 이용하여 아래의 물음에 답하시오.


• (25), 보험금 1000원, 보험금 사망기말급, 보험료 종신 기시급 납입의 종신보험에 대하여,보험료 π를 이용하여 가입시점에서 장래손실현가 확률변수를 L로 정의한다.

• 사망법칙은 ω = 100인 De Moivre를 가정한다.

• i = 0.05

(1) L의 기대값이 0이 되도록 π를 구하시오.

(2) L이 양이 될 확률이 0.25보다 작거나 같게 되게 하는 최소한의 보험료 π를 구하시오.

(3) L (2)에서 구한 최소한의 보험료 (π)를 이용하여 정의한 L의 기대값을 구하시오.

[풀이]

(1) π는 수지상등의 원칙에 의해서 결정되므로,

A25 =a7575

= 0.2598

π =A25

a25=

dA25

1−A25= 16.7136

(2) 구하고자 하는 보험료들은 다음을 만족해야 한다.

Pr[L > 0] < 0.25

이 확률은 다음의 확률과 상등하다. 즉 어떤 k가 존재하여

Pr[L > 0] = Pr[K < k] = kq25

사망법칙은 De Moivre이므로

kq25 =k

75→ 18q25 = 0.24 ≤ 0.25 < 0.2533 = 19q25

그러므로 k = 18, 17, 16, 15, ..., 1, 0이되게되면 L의값이 0보다작을확률이 0.25보다작게된다.그러면 최소한 k = 18일때, L = 0이 되어야 하므로 이 조건을 만족하는 보험료는 다음의 식을만족한다.

π =1, 000

s19= 31.186


(3) 위에서 구한 보험료를 이용하면,

E[L] = 1, 000A25 − πa25 = −224.96

제 6 장

Benefit Reserves

6.1 The Prospective Approach

104. (65), 종신보험, 보험금 사망즉시급, 보험료 연속 종신납입에 대하여 아래의 조건을 고려하자.

• t시점에서의 사망보험금은

bt = 1, 000e0.04t, t ≥ 0

• 보험료는 연속납입으로 평준연액이다.

• µ65+t = 0.02, t ≥ 0

• δ = 0.04

위 종신보험의 제 2보험년도말 책임준비금을 구하시오. (단, 보험료의 결정에 관련된 사항은 수지상등의 원칙을 따른다.)

[풀이] 보험금이 변동하고 있음을 주의하자! 이 경우에는 보험금의 보험수리적 현가에 대한 공식이없으므로, 직접 그 보험수리적 현가를 구하여야 한다. 임의의 h 경과 시점에서 피보험자 생존시장래보험금의 보험수리적 현가는 다음과 같이 주어진다.

APVh =

∫ ∞

01, 000e0.04(h+t)e−0.04t

tp65+hµ65+h+tdt = 1, 000e0.04h

86

제 6 장. BENEFIT RESERVES 87

또한

a65+h =1

µ+ δ=

1

0.06

그러므로 제 h보험년도말 책임준비금은 보험료 연액을 π라고 하면,

hV = 1, 000e0.04h − π

0.06

이다. 또한 수지상등의 원칙에 의하여 0V = 1, 000− π0.06 = 0 → π = 60

이를 이용하면 제 2보험년도말 책임준비금은

2V = 1, 000e0.04·2 − 60

0.06= 83.287

105. (40), 20년 만기 양로보험에 대하여,

• 사망보험금은 사망연도 기말급이며, 처음 10년 동안은 1,000원이고, 이후에는 2,000원이다.또한 생존보험금은 2,000원이다.

• 보험료는 수지상등의 원칙에 의하여 결정되며, 기시전기납을 가정한다. 처음 10년동안의보험료는 40원이며, 이후에는 100원이다.

• q40+k = 0.001k + 0.001, k = 8, 9, ..., 13

• i = 0.05

• a51:9 = 7.1

위 보험의 제 10보험년도말 책임준비금을 구하시오.

[풀이] 책임준비금의 장래법 공식에 의하여

10V = 2, 000A50:10 − 100a50:10 = 2, 000

(1− 0.05

1.05a50:10

)− 100a50:10 = 2, 000− 195.238a50:10


또한

a50:10 = 1 + vp50a51:9

= 1 +1

1.05(1− 0.011) · 7.1

= 7.687524

그러므로

10V = 499.1

106. (x), 보험금 1원의 양로보험에 대하여 아래의 조건을 이용하여 물음에 답하시오.

• 보험가입금액은 1원이며, 사망보험금은 사망즉시급이다.

• 보험기가은 n년이며, 보험료 납입은 k년이다. (k < n)

• 보험료는 연납평준으로 기시에 납입된다.

• 보험료에 관한 사항은 수지상등을 따른다.

(1) hV 를 제 h보험년도말 책임준비금이라고 할때, 이 책임준비금을 장래법으로 표현하시오. (단,h ≤ n)

(2) 사망자의 수가 정수연령내에 균등분포한다면 다음의 식이 성립함을 증명하시오.

hV =i

δkhV

1x:n + k

hV1

x:n

[풀이]

(1) 연납평준보험료를 π라고 하자. 여기서 π는 수지상등의 원칙에 의해서 정해지므로,

π =Ax:n

ax:k

hV 를 제 h 보험연도말 책임준비금이라고 하면, 책임준비금의 공식은 다음과 같이 주어진다.


• 0 ≤ h < k

hV = Ax+h:n−h − πax+h:k−h

• k ≤ h < n

hV = Ax+h:n−h

• h = n

hV = 1

(2) U.D.D. 가정의 의하면

π =Ax:n

ax:k=i

δkP

1x:n + kP

1x:n

책임준비금을 계산하는 시점 (h)에서

• 0 ≤ h < k

hV = Ax+h:n−h − πax+h:k−h

=i

δA 1

x+h:n−h+A 1

x+h:n−h−(i

δkP

1x:n + kP

1x:n

)ax+h:k−h

=i

δ

(A 1

x+h:n−h− kP

1x:n ax+h:k−h

)+A 1

x+h:n−h− kP

1x:n ax+h:k−h

=i

δkhV

1x:n + k

hV1

x:n

• k ≤ h < n

hV = Ax+h:n−h =i

δA 1

x+h:n−h+A 1

x+h:n−h=i

δkhV

1x:n + k

hV1

x:n

• h = n에 대하여, khV 1x:n = 0 이고, V 1

x:n = 1이므로

hV =i

δkhV

1x:n + k

hV1

x:n = 1

그러므로 U.D.D 가정하에서는

hV =i

δkhV

1x:n + k

hV1

x:n


107. (x), 보험금 1원의 사망즉시급 종신보험에 대하여 아래의 조건을 이용하여 물음에 답하시오.

• 보험료는 평준보험료이며 일년에 한번 기시에 종신토록 납입된다.

• 연령내 사망자의 수는 균등분포한다.

• i = 0.10

• ax = 8

• ax+10 = 6

제 10보험년도말 책임준비금을 구하시오. (단, 보험료 계산에 관련된 사항은 수지상등의 원칙을따른다.)

[풀이] 연납보험료를 π라고 하면,

π =Ax

ax=

iδAx

ax

여기서 Ax = 1− dax를 이용하면

π = 0.0357684

제 10보험년도말 책임준비금을 10V 라고 하면,

10V = Ax+10 − πax+10

이다. 여기서

Ax+10 =i

δ(1− dax) = 0.476912

그러므로

10V = 0.26230


108. (40), 보험금 1원의 보통종신보험에 대하여 아래의 조건을 이용하여 p50을 구하시오.

• i = 0.06

• p50 = p51 = p52

• 10V40 = 13V40

• a50 = 10.0

[풀이] 다음의 공식을 이용한다.

hVx = 1− ax+h

ax

주어진 조건에서

10V40 = 1− a50a40

, 13V40 = 1− a53a40

a50 = a53 = 10

또한

a50 = 1 + vp50 + v2p50p51 + v3p50p51p52a53

을 이용하고, p50 = p51 = p52 = p로 두면 아래의 식을 얻는다.

10 = 1 +p

1.06+

p2

1.062+

10p3

1.063

위를 정리하면

10

(1− p3

1.063

)= 1 +

p

1.06+

p2

1.062

여기서(1− p3

1.063

)=(1− p

1.06

)(1 +

p

1.06+

p2

1.062

)


그러므로

10(1− p

1.06

)= 1 → p = 0.954

109. (x), 보험금 1,000원의 만기 3년의 양로보험에 대하여 아래의 조건을 고려하자.

• 보험료는 전기연납평준납으로 기시에 납입된다.

• qx = qx+1 = 0.20

• i = 0.06

• 1, 000Px:3 = 373.63

• hV 는 이 보험의 제 h 보험년도말 책임준비금을 의미한다.

2V − 1V 를 계산하시오.

[풀이] 주어진 보험은 양로보험이므로

3V = 1, 000

재귀식에 의하여

(2V + 373.63)(1 + i) = 1, 000 → 2V = 569.766

또한

(1V + 373.63)(1 + i) = 1, 000qx + px2V → 1V = 245.0465

그러므로

2V − 1V = 324.72

110. (55), 20년 만기 양로보험에 대하여 아래의 조건을 고려하자.


• 보험금은 사망연도 기말급이며, 제 k보험연도의 보험금 (bk)는 다음과 같다.

bk = 21− k, k = 1, 2, ..., 20

• 만기보험금은 1원이다.

• 보험료는 전기연납평준보험료를 가정하며, 기시에 납입된다.

• kV 를 이 보험의 제 k보험년도말 책임준비금으로 정의한다.

• 10V = 5.0

• 19V = 0.6

• q65 = 0.10

• i = 0.08

11V 를 계산하시오. (단, 보험료 계산에 관련한 사항은 수지상등의 원칙을 따른다.)

[풀이] 보험료를 π라고 하자. 책임준비금에 관련된 공식은 재귀식과 Fackler 공식을 이용하면,

(19V + π)(1 + i) = 20V = 1, 11V =(10V + π)(1 + i)− b11q65

p65

주어진 조건을 대입하게 되면

π = 0.325926 → 11V = 5.28

111.(x), 보험금 1,000원, 사망기말급, 보험료는 20년 연납평준으로 납입되는 종신보험에 대하여아래의 조건을 고려하자.

• i = 0.06

• qx+19 = 0.01254

• 보험료는 기시납이며, 13.72원이다.


• 이 보험의 제 19년도말 책임준비금은 342.03이다.

위의 조건을 이용하여, Px+20을 구하시오.

[풀이] hV 를 이 보험의 제 h보험연도말 책임준비금이라고 하자. 보험료는 20년납이므로 장래법책임준비금에 의하여

20V = 1, 000Ax+20

19V = 342.03이므로 책임준비금의 재귀식을 사용하거나 Fackler 공식을 사용하면

20V =(19V + 13.72)(1 + i)− 1, 000qx+19

px+19= 369.1846

1, 000Ax+20 = 369.1846 → Ax+20 = 0.3691846

그러므로

Px+20 =dAx+20

1−Ax+20= 0.0331273

112. (x), 보험금 100,000원 사망연도 기말급, 보험료 연납평준 기시납, 보험료 납입기간은 10년의종신보험에 대하여 다음의 조건을 이용하여 물음에 답하시오.

• i = 0.05

• qx+9 = 0.011, qx+10 = 0.012, qx+11 = 0.014

• 연납평준순보험료는 2,078원이다.

• 이 보험의 제 9보험년도말 책임준비금은 32,535원이다.

100, 000Ax+11을 구하시오.


[풀이] 111번과 동일한 방법으로 접근하게 되면,

11V = 100, 000Ax+11

이다. Fackler 공식에 의하여

10V =(9V + 2, 078)(1.05)− 1, 100

0.989= 35, 635.642

11V =(35, 635.642 + 0)(1.05)− 1, 200

0.988= 36, 657.312

113. 다음의 조건을 이용하여 아래의 물음에 답하시오.

• (x), 보험금 1,000원, 사망기말급, 보험료 연납평준 기시납, 납입기간 10년의 종신보험에관련된 제 k보험년도말 책임준비금을 kV

A로 정의한다.

• (x), 보험금 1,000원, 사망기말급, 보험료 연납평준 기시납, 납입기간 종신납의 종신보험에관련된 k보험년도말 책임준비금을 kV

B로 정의한다.

• qx+10 = 0.004

• kVB에 관련된 보험료는 8.36이다.

• 10VA − 10V

B = 101.35

• i = 0.06

11VA − 11V

B를 구하시오.

[풀이] Fackler 공식을 이용하게 되면

11VA =

(10VA + 0)(1.06)− 1, 000qx+10

px+10=

1.0610VA − 1, 000qx+10

0.996

11VB =

(10VB + 8.36)(1.06)− 1, 000qx+10

px+10=

1.0610VB + 8.8616− 1, 000qx+10

0.996


그러므로

11VA − 11V

B =1.06(101.35)− 8.8616

0.996= 98.965

114. (x), 보험금 1원, 사망기말급, 보험료 전기연납평준 기시급의 2년 만기 정기보험에 대하여아래의 조건을 이용하여 물음에 답하시오.

• qx = 0.1, qx+1 = 0.2

• v = 0.9

• 확률변수 1L은 수지상등의 원칙에 의하여 결정된 보험료를 이용하여 정의한 1년 경과시점에서의 장래손실현가 확률변수이다.

V ar(1L|K > 0)을 구하시오.

[풀이] 1L을 정의하면,

1L =

0, K = 0

v − π, K = 1

−π, K ≥ 2

우의 정의를 보게 되면 V ar(1L|K > 0) = V ar(1L|K ≥ 1)이다. Hattendorf 정리를 이용하면1

V ar(1L|K ≥ 1) = v2(b2 − 2V )2px+1qx+1 = v2(1− 0)2px+1qx+1 = 0.1296

1

V ar(hL|K ≥ h) =∑j

2jEx+hv

2(bj+h+1 − j+h+1V )2px+h+jqx+h+j

= v2(bh+1 − h+1V )2px+hqx+h + v2px+hV ar(h+1L|K ≥ h+ 1)

Hattendorf 정리를사용하기위해서는위험보험금의값을알아야만한다. 즉 책임준비금의값을알고있어야만이정리를이용할 수 있다.


또는 Two-points distribution의 특성을 이용하면

V ar(1L|K ≥ 1) = (v − π + π)2px+1qx+1 = 0.1296

마지막으로 분산의 계산공식을 직접 적용하게 되면, 보험료를 먼저 구하여야 한다.

π =A1

x:2

ax:2=

0.2358

1.81= 0.130276

K = 1 → 1L|K ≥ 1 = v − π = 0.769724

K ≥ 2 → 1L|K ≥ 1 = −π = −0.130276

V ar(1L|K ≥ 1) = 0.7697242qx+1+(−0.130276)2px+1−(0.769724qx+1 + (−0.130276)px+1)2 = 0.1296

115. (50), 보험금 10,000원의 3년 만기 양로보험에 대하여 아래의 조건을 고려하자.

• 사망보험금은 사망연도 기말급이며, 보험료는 전기연납평준보험료로 기시에 납입된다.

• i = 0.03

• 1, 000q50 = 8.32

• 1, 000q51 = 9.11



• 0L은 수지상등을 만족하는 보험료를 이용하여 가입시점에서 정의되는 장래손실현가 확률변수이다.

0L의 분산을 구하시오.

[풀이] 이 문제에서는 보험금, 이자율, 사망율, 그리고 책임준비금의 값이 나와 있으므로 보험료를구할 수 있다.

(0V + π)(1 + i) = 1V + (b1 − 1V )q50 → π = 3170.389


보험료는 평준 전기납이고, 보험금이 고정되어 있으므로

V ar[0L] =

(10, 000 +

3170.389

d

)2

(2A50:3 −A250:3

)

여기서

A50:3 =0.00832

1.03+

0.009034205

1.032+

0.982645795

1.033= 0.915853377

2A50:3 =0.00832

1.032+

0.009034205

1.034+

0.982645795

1.036= 0.838819554

그러므로

V ar[0L] = 454, 070.5

이제 Hattendorf 정리를 이용하여 답을 구해보자. Hattendorf 정리는 재귀적으로 전개를 해나가는것이 실수가 적다. 먼저

V ar[2L|K ≥ 2] = 0

V ar[1L|K ≥ 1] = v2(b2 − 2V )2p51q51 + v2p51 · 0 = 101, 923.0877

V ar[0L|K ≥ 0] = v2(b1 − 1V )2p50q50 + v2p50 · 101, 923.0877 = 453, 937.05

이 두방법으로 계사된 분산의 경우 그 값이 꽤 차이가 많이 나는 것을 볼수 있는데 이는 반올림에서발생하는 오차때문이다. 이는 보험금이 매우 크기 때문인데, 만약 문제에서 보험금이 크다면 (500이상) 계산기의 소숫점 자리를 확대하는 것을 권한다.

116. (x), 보험금 1,000원, 3년만기 정기보험에 대하여 다음의 조건이 주어졌다.

• 보험금은 사망기말급이며, 보험료는 전기평준연납으로 기시에 납입된다.

• i = 0.10


• 사망율과 이 보험의 책임준비금에 대한 정보는 다음과 같다.

h qx+h 1, 000h+1V

0 0.3 95.8331 0.4 120.8332 0.5 0

• 확률변수 1L은 보험계약 체결후 1년뒤 정의되는 장래손실현가를 나타낸다.

• 확률변수 K는 (x)의 장래개산생존기간을 나타낸다.

위의 조건을 이용하여 V ar(1L|K ≥ 1)을 구하시오.

[풀이] Hattendorf 정리에 의하여

V ar(2L|K ≥ 2) =1

1.12(1, 000− 0)2 · 0.5 · 0.5 = 206, 611.57

V ar(1L|K ≥ 1) =1

1.12(1, 000− 120.833)2 · 0.6 · 0.4 + 1

1.12· 0.6 · 206, 611.57 = 255, 761

117. (70), 20년 만기 정기보험에 대하여 아래의 조건을 이용하여 물음에 답하시오.

• 보험료는 일시납 보험료이다.

• 보험금은사망기말급이며, 보험금은 1,000원과함께당해년도말책임준비금을합하여지급한다.

• q70+t = 0.03, t ≥ 0

• i = 0.07

일시납 순보험료를 수지상등의 원칙에 의하여 구하시오.


[풀이] h보험년도의 보험금을 bh라 하면,

bh = hV + 1, 000

책임준비금의 재귀식에 의하여

(hV + πh)(1.07) = h+1V + qx+h(bh+1 − h+1V ) = h+1V + 30

보험료는 일시납이므로 πh = 0, h = 2, 3, ..., 19이다. h = 1, 2, .., 19에 대하여 정의되는 재귀식의양변에 vh+1을 곱해서 그 식들을 0부터 k − 1시점까지 더하게 되면,

π0 = π = vkkV + 30ak

k = 20이면

π = v20 · 0 + 30a20 → π = 317.82

118. (25)에게 35년 거치 연지급액 1원의 기시급 종신생명연금을 판매하였다. 아래의 조건을 이용하여 물음에 답하시오.

• 보험료는 연납평준 기시납입으로 거치기간동안 납입된다.

• 거치기간 동안 피보험자 사망시 사망연도말의 책임준비금을 사망보험금으로 사망연도말에지급한다.

위의 조건을 이용하여 제 20보험년도말 책임준비금을 보험수리 기호를 이용하여 표현하시오. (단,보험료는 수지상등의 원칙에 의하여 결정된다.)

[풀이] 생략

π =a60s35

, → kV =a60s35

sk


119. hV(4)를 (x)에게 판매한 보험금 1원의 종신보험의 제 h 보험연도말 책임준비금을 나타낸다.

보험금은 사망하는 연도말에 지급되고, 보험료는 매 분기초 종신토록 납입된다고 한다. 다음의조건을 이용하여 아래의 물음에 답하시오.

• 5V(4) = 0.2, 6V (4) = 0.3

• 5 59V (4) = 0.285

선형근사 (linear approximation)를 이용하여 매 분기에 납입하는 보험료를 구하시오.

[풀이] 미경과 보험료를 계산하기 위하여

0.5 <5

9< 0.75

그러므로

5/9− 0.5

0.25=

2

9

만이 π의경과보험료이다. 여기서 π는보험료연액이아닌분기마다납입하는보험료이다. 그러므로

5 59V (4) ≈ 4

95V

(4) +5

96V

(4) +7

9π → π = 0.0327857

120. (35), 10년 거치, 연지급액 1원의 연속종신생명연금에 관련하여 다음의 조건이 주어졌다.

• 사망법칙은 ω = 85인 De Moivre법칙을 가정한다.

• i = 0

• 보험료 납입은 연속 평준납입이며, 거치기간 내 피보험자 생존시까지 납입한다.

• 보험료 결정사항은 수지상등의 원칙을 따른다.


위 거치종신생명 연금의 제 5보험년도말 책임준비금을 구하시오.

[풀이] 이 문제는 과거법으로 접근하는 것이 계산량을 줄일수 있다. 즉

5V = πs35:5

여기서 보험료 연액은 다음을 만족한다.

πa35:10 = 10|a35

그러므로

5V = πs35:5 =10|a35a35:5

5E35a35:10

이자율이 0이라는 가정하에서 책임준비금을 구성하는 각 값을 구해보게 되면

5E35 = 5p35 =85− 40

85− 35= 0.9

10|a35 = 10|e35 =

∫ 50

10tp35dt = 16

a35:5 = e35:5 =

∫ 5

0tp35dt = 4.75

a35:10 = e35:10 =

∫ 10

0tp35dt = 9

위의 값을 대입하게 되면

5V = 9.383

121. 다음의 조건을 이용하여 P 1x:n 을 구하시오.

• Px = 0.090

• nVx = 0.563


• P 1x:n = 0.00864

[풀이] 다음의 관계식을 이용한다.

Px = P 1x:n + P 1

x:n nVx

위의 관계식에 값을 대입하게 되면,

P 1x:n = 0.085136

122. (25), 보통종신보험에 대하여 아래의 조건을 이용하여, 다음의 물음에 답하시오.

• 보험금은 25,000원이다.

• P25 = 0.01128

• P 125:5

= 0.05107

• P25:15 = 0.05332

이 보통종신보험의 제 15보험년도말 책임준비금을 구하시오.

[풀이] (문제 121)에서 살펴본 식을 이용하게 되면,

15V25 = 0.176816


25, 00015V25 = 4, 420.4

123. 다음을 보이시오.


(1) kVx:m+n = kV1x:m + kV

1x:m mVx:m+n , 단, 0 < k ≤ m

(2) Px:n = nPx + (1−Ax+n)P1

x:n

[풀이]

(1) 책임준비금의 과거법에 의하여,

kVx:m+n =Px:m+n ax:k −A1

x:k

kEx

kV1x:m =

P 1x:m ax:k −A1

x:k

kEx

두식을 빼고 k = m으로 대입하게 되면

mVx:m+n − mV1x:m =

Px:m+n − P 1x:m

mExax:m

mV1x:m = 0이므로

mVx:m+n =Px:m+n − P 1

x:m

mExax:m

그러므로

kVx:m+n − kV1x:m

mVx:m+n

=ax:k

kEx

mEx

ax:m= sx:k P

1x:m = kV

1x:m

(2) 생략

6.2 Premiums and Reserves with Expenses and Decompositionof Gain

124. (50), 보험금 1,000원의 보통종신보험에 대하여 아래의 조건을 이용하여 영업보험료를 수지상등의 원칙에 의하여 구하시오.

• 매 보험년도 초 유지비는 제 1보험년도를 포함하여 1원이다.

• 신계약비가 제 1보험년도에 추가적으로 15원이 지출된다.

• 보험금 지급시 사정비용 50원이 같이 지출된다.


• 모든 비용은 연도초에 집행된다.

• 사망법칙은 ω = 100인 De Moivre 법칙을 가정한다.

• i = 0.05

[풀이] 영업보험료를 G라고 하면, 수지상등의 원칙에 의하여

(G− 1)a50 = 15 + 1050A50

A50 =a5050

= 0.365119,→ a50 =1−A50

d= 13.33251

그러므로 G = 30.88

125. (35), 보험금 100,000원, 보통종신보험에대하여아래의조건을이용하여영업보험료를수지상등의 원칙에 의하여 구하시오.

• 예정사입비용에 대한 가정은 다음과 같다.

– 영업보험료 비례부분은 매년 10%이다.

– 영업보험료 비비례부분은 매년 25원이다.

– 매년 보험금 1,000원당 (대천) 비용이 2.5원이 지출된다.

• 모든 비용은 연초집행을 가정한다.

• 1, 000P35 = 8.36

[풀이] 영업보험료를 G라고 하면, 수지상등의 원칙에 의하여

(0.1G+ 25 + 2.5 · 100)a35 + 100, 000A35 = Ga35

양변을 a35로 나누어 주게 되면,

(0.1G+ 25 + 2.5 · 100) + 100, 000P35 = G→ G = 1, 234.44


위 영업보험료를 해석하라.2

126. (x), 보험금 100,000원, 기말급 종신보험에 대하여 아래의 조건을 고려하자.

• 보험료는 기시납으로 15년동안 피보험자가 생존해 있는 동안 납입된다.

• 수지상등의 원칙으로 계산된 영업보험료는 4,669.95원이다.

• 100, 000Ax = 51, 481.97

• ax:15 = 11.35

• d = 0.02913

• 비용에 관련된 사항은 다음과 같다.

– 모든 비용은 연도초에 집행된다.

– 비용중 영업보험료 비례부분은 초년도에 10%, 이후에는 2%이다.

– 보험계약유지비용은제 1보험년도에는 K원이고, 그이후에는계약종료시까지 5원이다.

위의 조건을 이용하여 K를 구하시오.

[풀이] 영업보험료를 G라고 하면, 장래비용의 보험수리적 현가는

0.1G+K + 0.02G · ax:14 + 5ax

=0.08G+ (K − 5) + 11.35(0.02G) + 5ax

=1, 511.953 +K


11.35G = 51, 481.97 + 1, 511.953 +K → K = 10.01

2

(0.1G+ 25 + 2.5 · 100)︸︷︷︸부가보험료

+100, 000P35︸︷︷︸순보험료

= G


127. (x), 보험금 1원, 사망즉시급의 종신보험에 관하여 가입시점에서 정의되는 비용감안 손실현가확률변수 (Le)가 다음과 같이 주어졌다.

Le = L+X

L = vT − P (Ax)aT

X = I + (g − e)aT

여기서

• I : 신계약비

• g : 계약유지 비용의 연액

• e : 영업보험료 계산시 고려되는 비용의 연액

다음의 조건을 이용하여 물음에 답하시오.

• δ = 0.05

• ax = 12

• V ar(vT)= 0.1

• g = 0.001

• e = 0.0033

순보험료와 영업보험료는 수지상등의 원칙에 의하여 계산한다. V ar(Le)를 계산하시오.

[풀이]

Le = vT − P (Ax)aT + I + (g − e)aT

= I + vT +[g − e− P (Ax)

]aT

= I +g − e− P (Ax)

δ+

[1− g − e− P (Ax)

δ

]vT


그러므로

V ar(Le) = V ar

(I +

g − e− P (Ax)

δ+

[1− g − e− P (Ax)

δ

]vT)

=

(1− g − e− P (Ax)

δ

)2

V ar(vT)

=

(1

δax− g − e

δ

)2

V ar(vT)

=

(1

0.05 · 12− 0.001− 0.0033

0.05

)2

· 0.1 = 0.2933

128. (40), 양로보험에 대한 조건이 아래와 같이 주어졌다. 이를 이용하여 물음에 답하시오.

• 보험기간은 4년이다.

• 사망보험금은 1,000원이며, 사망하는 연도 말에 지급된다.

• 생존보험금은 1,200원이다.

• 보험료는 전기 기시납이다.

• q40 = 0.08, q41 = 0.09, q42 = 0.10, q43 = 0.11

• 비용에 관련된 사항은 다음과 같다.

– 모든 비용은 연초에 집행이 된다.

– 비용은 보험계약당 비용과 영업보험료 비례 부분으로 구분된다.

보험연도 보험계약당 영업보험료 비례1 10 25%

1차년도 이후 2 5%

– 피보험자가 3년이내에사망하여사망보험금지급시 5원의비용이추가적으로지출되며,그 이후에는 지출되지 않는다.

• i = 6%

(1) 순보험료를 수지상등의 원칙을 이용하여 구하시오.


(2) 영업보험료를 수지상등의 원칙을 이용하여 구하시오.

(3) 제 2보험연도말 영업보험료식 책임준비금을 지출 및 수입의 보험수리적 현가를 이용하여 구하시오.

(4) 제 2보험연도말 영업보험료식 책임준비금을 영업보험료의 재귀식을 이용하여 구하시오.

[풀이]

(1) 다음의 기초 함수값들을 먼저 구한다.

a40:4 = 1 +0.92

1.06+

0.92 · 0.911.062

+0.92 · 0.91 · 0.90

1.063= 3.2456659

4E40 =0.92 · 0.91 · 0.90 · 0.89

1.064= 0.53117579

A 140:4

= A40:4 − 4E40 = 1− 0.06

1.06× 3.2456659− 0.53117579 = 0.28510727

A 140:3

=0.08

1.06+

0.92 · 0.091.062

+0.92 · 0.91 · 0.1

1.063= 0.21945633

순보험료를 π라고 하면 수지상등의 원칙에 의하여

πa40:4 = 1, 000A 140:4

+ 1, 2004E40 → π = 284.2308

(2) 영업보험료를 G라고 하면, 수지상등의 원칙에 의하여

Ga40:4 = 1, 000A 140:4

+ 1, 2004E40 + APV of Expenses

여기서

APV of Expenses = 5A 140:3

+ 10 + 0.25G+ (2 + 0.05G)a40:3

= 5A 140:3

+ 8 + 0.2G+ (2 + 0.05G)a40:4

그러므로

Ga40:4 = 1, 000A 140:4

+ 1, 2004E40 + 5A 140:3

+ 8 + 0.2G+ (2 + 0.05G)a40:4

G =1, 000A 1

40:4+ 1, 2004E40 + 5A 1

40:3+ 8 + 2a40:4

0.95a40:4 − 0.2= 325.3494


(3) t시점에서 정의되는 비용감안 손실현가 확률변수는 일반적으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

tLg =Present value, at time t, of future benefits and expenses

−Present value, at time t, of future gross premiums

영업보험료식 책임준비금 (tV g)의 정의는 다음과 같다.

tVg = E[tL

g|T > t]

그러면 영업 보험료식 책임준비금은 순보험료식 책임준비금과 비슷한 일반적인 표현이 아래와같이 가능하다.

tVg =APV, at time t, of future benefits and expenses

−APV, at time t, of future gross premiums

제 2보험연도말 장래 보험금과 비용, 장래 영업보험료의 보험수리적 현가 및 영업보험료식책임준비금은 다음과 같다.

APV, at time t, of future benefits and expenses

=

[1, 000

0.1

1.06+ 1000

0.9 · 0.111.062

+ 1, 2000.9 · 0.891.062

]+ 5

0.1

1.06+ (2 + 0.05G)

(1 +

0.9

1.06

)

APV, at time t, of future gross premiums = G

(1 +

0.9

1.06

)

2Vg = 470.57366

(4) 순보험료식 책임준비금의 재귀식과 마찬가지로 영업보험료식 책임준비금도 다음과 같은 재귀식이 성립한다.

(hV + πh)(1 + i) = qx+hbh+1 + px+h · h+1V

↓

[hVg +Gh(1− ch)− eh] (1 + i) = qx+h(bh+1 + Eh+1) + px+h · h+1V

g


4Vg = 4V = 1, 200에 의하여

(3Vg + 0.95G− 2)(1.06) = 0.11(1000) + 0.89(1200) → 3V

g = 804.23881

(2Vg + 0.95G− 2)(1.06) = 0.1(1000 + 5) + 0.893V

g → 2Vg = 470.57366

(1Vg + 0.95G− 2)(1.06) = 0.09(1000 + 5) + 0.912V

g → 1Vg = 182.23129

(0Vg + 0.75G− 10)(1.06) = 0.08(1000 + 5) + 0.921V

g → 0Vg = 0

129. (Expected Profit)대부분의경우보험사는주식회사의형태이기때문에, 매보험년도말일정액의이익을기대할수있어야한다. 그러므로일반적으로수지상등의원칙에의하여계산된보험료를보험계약자나피보험자로부터갹출하는것이아니라, 그보다더큰영업보험료(G)를보험계약자나피보험자에게부과하게된다.그러면보험년도초에계리사인당신은연도말에발생할것으로 “기대”되는 이익을 계산해 보고할 의무가 있다. 다음의 조건을 이용하여 제 h+ 1보험년도말 기대이익을구하시오.

• 제 h+ 1보험년도 초 유효계약인원수는 N명이다.

• 연도초집행되는비용은영업보험료비례부분은 ch이고, 비비례부분은 eh으로예상하고있다.

• 예정 투자수익률은 i이다.

• 예정 사망율은 qx+h이다.

• 사망보험금 (bh+1)은 사망발생 연도말에 지급하며, 지급시 Eh+1의 비용이 발생할 것으로예상하고 있다.

• 영업보험료는 Gh이며 기시에 납입된다.

[풀이] 제 h+ 1보험년도에 발생할것으로 기대되는 이익을 Prh+1이라고 하자. 그러면

Prh+1 = N [hVg +Gh(1− ch)− eh] (1 + i)−N [(bh+1 + Eh+1)qx+h + px+h · h+1V

g]


130. (Actual Profit, Gain by Source I) 계리사인 당신은 제 h+ 1보험년도의 기대이익을 Prh+1로예측하고 있었으나, 예정사망율과 예정수익률이 실제로 h + 1보험연도 내에서 다르게 발생하게됨으로써 예측한 이익과 실제 이익이 차이 (초과손익, Gain)가 있음을 발견하였다. 당신은 다음을초과이익에 관한 사항을 분석하여 경영진에 보고하고자 한다.

• 실제 이익과 기대 이익은 얼마나 차이가 있는가? (Gain)

• 그초과손익은예정수익률과실제수익률의차이에서발생할것이다. 이차이가 Gain에기여한바는 얼마인가?

• 그초과손익은예정사망율과실제사망율의차이에서발생할것이다. 이차이가 Gain에기여한바는 얼마인가?

예정사업비용 및 실제사업비용은 고려해지 않을 경우 경영진에 보고할 내용을 정리하시오.

[풀이] 제 h+ 1보험년도에 발생할것으로 기대되는 이익을 Prh+1이라고 하자. 그러면

N [hV + πh] (1 + i) = N [bh+1 · qx+h + px+h · h+1V ] + Prh+1

= N [h+1V + (bh+1 − h+1V )qx+h] + Prh+1

실제로 제 h+ 1 보험연도에 실제율이 밝혀지게 되면 다음의 식이 성립한다.

N [hV + πh] (1 + i′) = N

[bh+1 · q

′x+h + p

′x+h · h+1V

]+ P rh+1

= N[h+1V + (bh+1 − h+1V )q

′x+h

]+ P rh+1

여기서 P rh+1은 실제 이익이고, prime기호가 붙은 기호는 실제율을 의미한다. 첫번째 식을 예정식이라고 하고 두번째 식을 실제식이라고 하자. 실제식에서 예정식을 빼게 되면,

P rh+1 − Prh+1 = N(hV + πh)(i′ − i)︸︷︷︸

이차손익:=Prih+1

+N(bh+1 − h+1V )(qx+h − q′x+h)︸︷︷︸

사차손익:=Prdh+1

131. (Actual Profit, Gain by Source II) 계리사인당신은제 h+1보험년도이기대이익을 Prh+1로예측하고있었으나, 예정사망율, 예정수익률, 예정사업비들이실제로 h+1보험연도내에서다르게발생하게됨으로써예측한이익과실제이익이차이가있음을발견하였다. 당신은 초과손익에관한사항을 분석하여 경영진에 보고하고자 한다.

• 실제 이익과 기대 이익은 얼마나 차이가 있는가? (Gain)


• 그초과손익은예정수익률과실제수익률의차이에서발생할것이다. 이차이가 Gain에기여한바는 얼마인가?

• 그 초과손익은 예정사업비와 실제사업비 차이에서 발생할 것이다. 이 차이가 Gain에 기여한바는 얼마인가?

• 그초과손익은예정사망율과실제사망율의차이에서발생할것이다. 이차이가 Gain에기여한바는 얼마인가?

경영진에 보고할 초과손익의 분석내용을 제시하시오.

[풀이]여기에서는예정식과실제식을전개하여그차이를계산하게되면굉장히많은과정을거쳐야하므로 직관적으로 접근하도록 한다. 여기서 주의할 점은 이익의 원천을 계산하는 순서는 수익률,사업비율, 사망율의 순서를 반드시 지켜야 한다는 것이다. 만약 문제에서 그 순서를 정해주게 되면그순서를지켜서분석을진행하면되고, 일반적으로언급이없으면, 다음의순서로진행해나가도록한다.

• 이차손익을 계산시, 실제 예정사업비율과 실제 사망율이 예정사업비율과 예정사망율이 일치한다는 가정하에서 구한다.

Prih+1 = N [hV +Gh(1− ch)− eh](1 + i′)−N [hV +Gh(1− ch)− eh](1 + i)

= N [hV +Gh(1− ch)− eh](i′ − i)

• 비차손익 계산시, 실제 사망율은 예정사망율과 같다고 가정하나, 실제수익률을 이용하여구한다.(why??)

Preh+1 = N [hV +Gh(1− c′h)− e

′h](1 + i

′)−N [(bh+1 + E

′h+1)qx+h + px+h · h+1V

g]

−N [hVg +Gh(1− ch)− eh](1 + i

′) +N [(bh+1 + Eh+1)qx+h + px+h · h+1V

g]

= N [Gh(ch − c′h) + (eh − e

′h)](1 + i

′) +N(Eh+1 − E

′h+1)qx+h

• 사차손익 계산시 실제수익률과 실제 사업비를 사용하여 계산한다.

Prdh+1 = −N [(bh+1 + E′h+1)q

′x+h + p

′x+h · h+1V

g] +N [(bh+1 + E′h+1)qx+h + px+h · h+1V

g]

= N(bh+1 + E′h+1 − h+1V

g)(qx+h − q′x+h)


즉 다음과 같은 분해가 가능하다.

Gain = P rh+1 − Prh+1 = Prih+1 + Preh+1 + Prdh+1

132.(40), 20년 만기 정기보험에 대하여 다음의 조건이 주어졌다.

• 보험금은 10,000원이며, 사망기말급이다.

• 보험료는 전기 기시납이다.

• 제 4보험년도의 예정율과 실제율에 대한 정보는 다음과 같다.

예정 실제영업보험료 90 90비용 (영업보험료 비례부분) 3% 2.5%q43 0.003 0.002투자수익률 5% 4%

• 제 3보험연도말 및 제 4보험연도말 영업보험료식 책임준비금은 다음과 같다.

보험년도 영업보험료식 책임준비금3 1004 125

로이즈보험사는이보험을장래생존기간이독립인 1,000명의 (40)에게판매하였다. 제 3보험년도말990명이 이 계약을 유지하고 있다고 한다. 다음 물음에 답하시오.

(1) 제 4보험연도말 예정율과 실제율의 차이에 의하여 발생한 초과손익을 구하시오.

(2) (1)에서 구한 이익을 다음의 순서로 분해하시오.

(a) 이차손익, 비차손익, 사차손익

(b) 사차손익, 비차손익, 이차손익

(c) 사차손익, 이차손익, 비차손익


[풀이]

(1) 제 4보험연도 초 보험료와 비용을 감안한 수입은

990 · 90 · (1− 2.5%) = 86, 872.5

그러므로 제 4보험연도 초 연시기금은

86872.5 + 990 · 100 = 185, 872.5

연도말 비용의 유출이 발생하기 전에 연도말 기금은

185, 872.5(1.04) = 193, 307.4

지급된 보험금은

990 · 0.002 · 1, 000 = 19, 800

책임준비금 적립비용은

990(1− 0.002)125 = 123, 502.5

총 실제 이익은

193307.4− 19, 800− 123, 502.5 = 50, 004.9

또한 예정율에 의한 예정 기대이익은

990[100 + 90(1− 0.03)] · 1.05− 990(0.003 · 1, 000 + 0.997 · 125) = 41, 619.6

그러므로 초과손익은

50, 004.9− 41, 619.6 = 8, 385.3

(2) 분해 순서에 따라 초과이익의 분해 값에 차이가 발생한다.

(a) 이차손익

990(100 + 90(1− 0.03))(−0.01) = −1, 854.27

비차손익

990 · 90 · 0.5% · 1.04 = 463.32

사차손익

990(10, 000− 125) · (0.001) = 9, 776.25


(b) 사차손익

990(10000− 125)(0.001) = 9, 776.25

비차손익

990(90)(0.5%)(1.05) = 467.775

이차손익

990(100 + 90 · 0.975)(−0.01) = −1, 858.725

(c) (a)와 동일

제 7 장

Multiple Decrement Models

7.1 Models and Probabilities

133. 이중탈퇴 모형에서 다음의 조건을 이용하여 d(2)65 를 구하시오.

l(τ)63 = 500, q

(1)63 = 0.050, q

(2)63 = 0.500, 1|q

(1)63 = 0.070

2|q(1)63 = 0.042, 2q

(2)63 = 0.600, l

(τ)66 = 0

[풀이] 다음의 공식을 이용한다.

d(j)x = l(τ)x q(j)x

l(τ)x+1 = l(τ)x − d(τ)x = l(τ)x − (d(1)x + · · ·+ d(m)

x )

위의 식을 이용하면,

d(1)63 = 500 · 0.050 = 25, d

(2)63 = 500 · 0.500 = 250, d

(1)64 = 500 · 0.070 = 35

d(1)65 = 500 · 0.042 = 21

그러면 다음의 표를 구성할 수 있다.

x l(τ)x d

(1)x d

(2)x

63 500 25 25064 225 35 x

65 y 21 z

66 0 NA NA

117

제 7 장. MULTIPLE DECREMENT MODELS 118

또한 주어진 조건에 의하여

500 · 0.6 = d(2)63 + d

(2)64 = 300

위의 결과를 이용하여 표를 완성하면

x = 50, y = 225− 35− 50 = 140, z = 140− 21 = 119

134. 이중탈퇴 모형에서 아래의 표를 이용하여 3q(1)30 을 구하시오.

x q(1)x q

(2)x q

(τ)x l

(τ)x d

(1)x d

(2)x

30 - - 0.075 - - 13031 0.020 0.050 - 1850 - -32 - - - - 54 -

[풀이] l(τ)31 = l30p(τ)30 이므로

l(τ)30 =

1, 850

1− (0.02 + 0.05)= 2, 000

이를 이용하면

d(1)30 = 2, 000− 1, 850− 130 = 20

d(1)31 은 아래와 같이 계산이 가능하다.

l(τ)30 q

(1)30 = 1, 850 · 0.02 = 37

그러면

3d(1)30 = 20 + 37 + 54 = 111

그러므로

3q(1)30 =

111

2, 000= 0.0555

135. 이중탈퇴모형에서 다음의 조건을 이용하여 물음에 답하시오.


• µ(1)40+t =

260+t , t ≥ 0

• µ(2)40+t =

360+t , t ≥ 0

• 확률변수 T를 (40)이 탈퇴할 때까지의 경과시간을 나타내는 확률변수로 정의한다.

• 확률변수 J를 (40)이 탈퇴할 때 탈퇴원인을 나타내는 확률변수이다.

(1) (40)이 2번째 원인으로 탈퇴할 확률을 구하시오.

(2) (40)이 t = 10에서 탈퇴했을 경우, 그 원인이 첫번째일 확률을 구하시오.

[풀이] (40)의 총탈퇴력은 다음과 같이 주어진다.

µ(τ)40+t = µ

(1)40+t + µ

(2)40+t =

5

60 + t, t ≥ 0

확률변수 T와 J의 결합확률밀도 함수는 다음과 같다.

tp(τ)40 µ

(j)40+t = exp

(−∫ t

0

5

60 + tdt

)µ(j)40+t =

(60

60 + t

)5

µ(j)40+t

(1) 단일탈퇴모형에서는사망만이유일한탈퇴원인이었으며,사망은반드시발생한다고가정하였다.그러므로 다중탈퇴모형에서도 탈퇴가 어떤 원인으로 언제 발생하는지만 불확실하지, 반드시탈퇴는 발생한다고 가정해야 한다 (when??). 여기서는 탈퇴의 원인만 묻고 있으므로 다음의확률을 계산해야 한다.

Pr[J = j] = ∞q(j)40 =

∫ ∞

0tp

(τ)40 µ

(j)40+tdt

주어진 문제의 답은 다음의 확률이다.

Pr[J = 2] = ∞q(2)40 =

∫ ∞

0tp

(τ)40 µ

(2)40+tdt = 3 · 605

∫ ∞

0

1

(60 + t)6dt =

3 · 605

5 · 605= 0.6

(2) 구하고자 하는 확률은 다음과 같다.

Pr[J = 1|T = 10] := fJ |T (1|10) =fT,J(10, 1)

fT (10)

각 구성요소를 구해보면

fT (10) = 10q(τ)40 =

∫ 40

0

(60

60 + t

)5 5

60 + tdt


fT,J(10, 1) = 10q(1)40 =

∫ 40

0

(60

60 + t

)5 2

60 + tdt

그러므로

fJ |T (1|10) =2

5= 0.4

그러나 이 확률은 굳이 수치적인 값을 이용하여 구하지 않고, closed-form 형태로 구할 수 있다.보험수리 2의 기본교재 내용을 참조하라.

136. 2014년 1,000명의 4년 과정의 대학에 입학한 신입생에 대하여 다음의 다중탈퇴 모형을 가정하였다.

• 신입생들이 대학을 졸업하지 못하고 중도 포기하는 원인은 두가지이다.

• 그 원인에 대한 탈퇴력은 다음과 같이 가정하였다.

µ(1)t = µ, 0 ≤ t ≤ 4, µ

(2)t = 0.04, 0 ≤ t ≤ 4

• 48명의 학생들이 2학년이 되기전에 대학을 졸업하기 전에 중도 탈퇴하는 것으로 예상되고있다.

위의가정을이용하여 2014년신입생들중 3학년까지학사과정을이수하고 4학년때첫번째원인으로졸업을 하지 않고 탈퇴할 학생들의 기대값을 구하시오.

[풀이]강사의생각으로는이런종류의문제가출제될가능성은무척낮다고생각한다.1 그러나이런종류의문제는다음의주어진상황을 “수식화”하는데있어좋은예가되는문제이다. 그러면어떻게이 문제에 접근해야 할까? 다음의 단계를 따르도록 하자.

(1) 구하고자 하는 것은 무엇인가? 이 문제에서는 “기대값”을 묻고 있다.

1물론 본 강사처럼 이론과 상황의 수식화를 중요시 하는 출제자라면 이런 종류의 문제는 출제 가능성이 매우 높을것이다.


(2) 기대값을 묻고 있으므로 “확률변수”를 정의해야 한다.

(3) 확률변수를 정의했으면, 그 확률변수의 “분포”를 결정해야 할것이다.

(4) 그 분포를 결정할때, 기존에 정형화된 확률분포 즉 이항분포, 기하분포, 정규분포, 지수분포등으로 그 분포의 특정화가 가능한지 파악한다.

구하고자 하는 값은 언급한데로 기대값으므로 확률변수를 정의하자. 확률변수 N을

3학년을 마치고 졸업 전에 첫번째 원인으로 대학을 떠나는 학생들의 수

라고 정의하자. 그러면 이 확률변수는 무슨 분포를 따르는가? 모수가 각각 1,000과 3|q(τ)0 인 이항분

포를 따를 것이다. 그러면 구하고자 하는 값은

E[N ] = 1, 0003|q(1)0

이다. 그러므로 다음의 과정은 3|q02를 구하는 것이다. 이 값을 구하기 위하여 주어진 세번째 조건을

살펴보자. 세번째 조건 또한 기대값이 주어져 있으므로, 어떤 확률변수가 정의가 되어져야 하는지파악하고, 그 확률변수의분포의분포를특정지어야한다. 만약확률변수M을 1학년을마치기전에대학을 떠나는 학생들의 수라고 정의하면 이 확률변수는

M ∼ (1, 000, q(τ)0 )

로 특정지어 질수 있다. 또 주어진 조건에 의하여

E[M ] = 1, 000q(τ)0 = 1, 000(1− e−(µ+0.04)) = 48 → µ = 0.00919

그러므로

E[N ] =1, 0003|q0 = 1, 000

∫ 4

3tp

(τ)0 µ

(1)t dt

= 1, 000

∫ 4

3e−0.04919t0.00919dt

=9.19

0.04919(e−0.04919·3 − e−0.04919·4) = 7.7375

137. 로이즈 주식회사의 종업원인 (50)에 관련하여 다음의 계리적 가정을 고려하자.

2수험생 본인이 이 확률을 3|q0로 정의할 수 있는지 확인하는 것도 중요하다.


• (50)이 회사를 퇴직할때 퇴직의 원인은 이중탈퇴모형을 가정한다.

• 탈퇴력에 대한 정보는 다음과 같다.

µ(1)50+t =

0.00, 0 ≤ t < 5

0.02, t ≥ 5, µ

(2)50+t =

0.05, 0 ≤ t < 5

0.03, t ≥ 5

• (50)이 회사를 퇴직할 경우 다시 복직하지 않는다.

(50)이 60세가 되기 전에 회사를 첫번째 원인으로 퇴직할 확률을 구하시오.

[풀이] 구하고자 하는 확률을 기호화 해보자. 즉 구하고자 하는 확률은

10q(1)50

이다. 이 확률은

10q(1)50 =

∫ 10

0tp

(τ)50 µ

(1)50+tdt

이다. 그러므로 최종 답을 구하기 위해서는 tp(τ)50 µ

(1)50+t를 구해야만 한다. 총 탈퇴력은 처음 5년간은

0.05이고, 5년 이후에는 0.02 + 0.03 = 0.05이므로

tp(τ)50 µ

(1)50+t =

e−0.05t · 0 = 0, 0 < t < 5

e−0.05t · 0.02 = 0.02e−0.05t, t ≥ 5

여기서 두번째 e−0.05t는 어떤 과정을 거쳐 나온 결과인가? 이 결과를 대입하게 되면

10q(1)50 =

∫ 10

0tp

(τ)50 µ

(1)50+tdt =

∫ 10

50.02e−0.05tdt =

2

5(e−0.25 − e−0.5) = 0.0689

138. 이중탈퇴모형에서 다음의 조건을 이용하여 l(τ)42 를 구하시오.

• 이중탈퇴표의 일부분은 다음과 같다.


x q(1)x q

(2)x q

′(1)x q

′(2)x

40 0.24 0.10 0.25 y

41 - - 0.20 2y

• l(τ)40 = 2, 000

[풀이] 절대 탈퇴율이 주어지면 다음의 관계식을 이용할 수 있다.

p(τ)40 = p

′(1)40 p

′(2)40 = 0.75(1− y)

또한

p(τ)40 = 1− q

(1)40 − q

(2)40 = 1− 0.24− 0.10 = 0.66 → y = 0.12

이 과정을 41세에 적용하게 되면,

p(τ)41 = p

′(1)41 p

′(2)41 = 0.80(1− 2y) = 0.608

그러므로

l(τ)42 = l

(τ)40 p

(τ)40 p

(τ)41 = 2, 000 · 0.66 · 0.68 = 802.56

139. 이중탈퇴모형에서 다음의 조건을 이용하여 q(2)31 를 구하시오.

l(τ)30 = 1, 000, q

′(1)30 = 0.1, q

′(2)30 = 0.3

1|q(1)30 = 0.075, l

(τ)32 = 472

[풀이]

p(τ)30 = p

′(1)30 p

′(2)30 = 0.9 · 0.7 = 0.63 → l

(τ)31 = 1, 000 · 0.63 = 630

또한

d(1)31 = 1, 000 · 0.75 = 75 → d

(2)31 = 630− 75− 472 = 83


그러므로

q(2)31 =

83

630= 0.132

140. 탈퇴원인은 사망 (d)과 해약 (w)만이 존재하는 이중탈퇴모형을 가정하자. 아래의 조건을 이용하여 1|q

(τ)x 를 구하시오.

t q′(d)x+t q

′(w)x+t

0 0.002 0.151 0.002 0.052 0.002 0.04

[풀이] 아래의 공식을 이용한다.

1|q(τ)x = p(τ)x q

(τ)x+1

주어진 조건에 의하여

p(τ)x = (1− 0.002)(1− 0.15) = 0.8434

p(τ)x+1 = (1− 0.002)(1− 0.05) = 0.9481

그러므로

1|q(τ)x = 0.8434(1− 0.9481) = 0.04403

141. 이중 탈퇴모형에서 다음의 조건을 이용하여 µ(τ)60 를 구하시오.

• tp′(1)40 = 1− t

60 , 0 ≤ t ≤ 60

• tp′(2)40 = 1− t

40 , 0 ≤ t ≤ 40


[풀이] 관계율의 정의에 의하여

tp′(j)x = exp

(−∫ t

0µ(j)x+sds

)만약관계율이주어져있으면그정의에의하여 µ

(j)x+t를구할수있다.즉관계율에서탈퇴력을추출해

내기 위하여 먼저 자연로그를 취하고, −1을 곱한 후, t에 대하여 미분하면 될 것이다. 이 과정을j = 1, 2에 대하여 적용하게 되면,

µ(1)40+t = − d

dtlog tp

′(1)40 =

1

60− t

µ(2)40+t = − d

dtlog tp

′(2)40 =

1

40− t

그러므로

µ(τ)60 = µ

(τ)40+20 = µ

(1)40+t + µ

(2)40+t =

1

40+

1

20= 0.075

142. (SUDD) 삼중탈퇴모형에서 다음을 가정한다.

• 일년내 탈퇴원인의 발생시점은 단일탈퇴모형내에서 균등분포한다. (Each decrement isuniformly distributed over each year of age in its associated single decrement model.)

• q′(1)x = 0.2

• q′(2)x = 0.08

• q′(3)x = 0.125

위의 조건을 이용하여 q(1)x 을 구하시오.

[풀이] S.U.D.D. 가정은 다음과 같다. (반드시 암기!!)

tq′(j)x = t× q

′(j)x 0 ≤ t ≤ 1, j = 1, 2, ...,m


또한 일반적으로 다음이 성립한다.

d

dttq

′(j)x = tp

′(j)x µ

(j)x+t

그러므로 S.U.D.D. 하에서는

d

dttq

′(j)x = tp

′(j)x µ

(j)x+t = q

′(j)x , 0 ≤ t ≤ 1

먼저 이 질문에 대한 답을 하고 다음의 풀이를 진행해 나가도록 하자.

만약 S.U.D.D.에 대한 조건이 주어지면 무엇을 구할 수 있는가?

위 S.U.D.D. 조건하에서, 만약 0 ≤ t ≤ 1에 대하여

tq(j)x =

∫ t

0sp

(τ)x µ

(j)x+sds

=

∫ t

0sp

′(1)x × · · · × sp

′(j)x × · · · × sp

′(m)x µ

(j)x+sds

=

∫ t

0

(1− s× q

′(1)x

)· · ·(1− s× q

′(j−1)x

)(1− s× q

′(j+1)x

)· · ·(1− s× q

′(m)x

)sp

′(j)x µ

(j)x+sds

= q′(j)x

∫ t

0

(1− s× q

′(1)x

)· · ·(1− s× q

′(j−1)x

)(1− s× q

′(j+1)x

)· · ·(1− s× q

′(m)x

)ds

We are backing out the unprimed rates from primed rates.

위의 결과에 m = 3, t = 1을 대입하게 되면

q(1)x = 0.2

(1− 0.08 + 0.125

2+

0.08 · 0.1253

)= 0.18016

143. (SUDD) 이중탈퇴 모형에서 다음을 가정한다.

• µ(1)x+0.5 =

2199

• q(2)x = 0.01

• 일년내 탈퇴원인의 발생시점은 단일탈퇴모형내에서 균등분포한다.


위의 조건을 이용하여 1, 000q(1)x 을 구하시오.

[풀이] U.D.D 가정하에서 다음이 성립함을 복습하자. U.D.D 가정을 표현하는 방법은 많으나 가장중요한 표현은 다음과 같다.

tqx = t× qx, 0 ≤ t ≤ 1

그러므로

d

dttqx = tpxµx+t = qx, 0 ≤ t < 1

또한 사력의 정의와, 0 ≤ t ≤ 1하에서

µx+t =tpxµx+t

tpx=

qx1− t× qx

앞의 문제에서 다음을 유도하였다. (이는 일반적으로 성립하는 식이다.)

d

dttq

′(j)x = tp

′(j)x µ

(j)x+t

이를 이용하면 단일탈퇴모형에서 탈퇴력을 구하는 방법은

µ(j)x+t =

ddt tq

′(j)x

tp′(j)x

여기에 S.U.D.D. 가정을 더하게 되면

µ(j)x+t =

ddt tq

′(j)x

tp′(j)x

=q′(j)x

tp′(j)x

=q′(j)x

1− t× q′(j)x

, 0 ≤ t < 1


µ(1)x+0.5 =

q′(1)x

1− 0.5× q′(1)x

=2

199→ q

′(1)x = 0.01

또한

q(2)x = q′(2)x

(1− 0.5 · q′(1)x

)→ q

′(2)x = 0.01005025

그러므로

q(1)x = q′(1)x

(1− 0.5 · q′(2)x

)= 0.0099497 → 1, 000q(1)x = 9.9497


144. (CFD) 삼중탈퇴모형에서 다음의 조건을 이용하여 2q(1)64 을 구하시오.

• 절대 탈퇴표에 대한 정보는 다음과 같이 주어졌다.

x q′(1)x q

′(2)x q

′(3)x

63 0.020 0.030 0.25064 0.025 0.035 0.20065 0.030 0.040 0.150

• q(1)65 = 0.02716

• 각 탈퇴력은 정수연령내 상수이다.

[풀이] 정수연령 사이에서 정의되는 탈퇴력이 상수일 경우 관련된 확률들을 계산하는 방법을 정리하자. 정수 연령 x와 t ∈ [0, 1]에 대하여 다음이 성립한다.

tp(τ)x =

[p(τ)x

]ttq

(j)x

tq(τ)x

=µ(j)x+s

µ(τ)x+s

, s ∈ [0, 1)

tp′(j)x =

[tp

(τ)x

]qjx/q(τ)x

Usually called “Partition Property”. This is how you get primed rates from unprimed rates.

위에서 언급한 세번째 성질을 증명해 보도록 하자.

log tp′(j)x

log tp(τ)x

=µ(j)

µ(τ)=µ(j)

∫ 10 sp

(τ)x ds

µ(τ)∫ 10 sp

(τ)x ds

=q(1)x

q(τ)x

그러므로

logtp

(τ)x

tp′(j)x =

q(1)x

q(τ)x

→ tp′(j)x =

[tp

(τ)x

]qjx/q(τ)x


구하고자 하는 확률은 다음과 같이 분해한다.(why??)

2q(1)64 = q

(1)64 + p

(τ)64 q

(1)65

각 구성요소를 구해보면

p(τ)64 = 0.975 · 0.965 · 0.8 = 0.7527

또한 pq(1)64 /q

(τ)64

64 에 의하여

0.975 = 0.7527q(1)64 /0.2473 → q

(1)64 = 0.022039

그러므로

2q(1)64 = 0.022039 + 0.7527 · 0.02716 = 0.042483

145. (MUDD) 모두 정확히 60세인 1,000명의 재직자로 구성된 집단이 존재한다. 이 집단 개별구성원의 탈퇴원인은 사망 (1), 장애 (2), 퇴직 (3)의 삼중탈퇴 모형을 가정하자. 아래의 조건을 이용하여물음에 답하시오.

• 절대 탈퇴율에 관한 정보는 다음과 같다.

x q′(1)x q

′(2)x q

′(3)x

60 0.010 0.030 0.10061 0.013 0.050 0.200

• 일년내 탈퇴원인의 발생시점은 다중탈퇴표내에서 균등분포한다. (Decrements are uniformlydistributed over each year of age in the multiple decrement table.)

60세인 재직자가 62세가 되기전 퇴직으로 집단을 탈퇴할 구성원들의 기대값을 구하시오.

[풀이] M.U.D.D.의 가정은 다음과 같다. t ∈ [0, 1]에 대하여

tq(j)x = t× q(j)x , tq

(τ)x = t× q(τ)x


그러면 다음이 성립한다.

tp(j)x µ

(j)x+t = q(j)x

µ(j)x+t =

q(j)x

1− t× q(τ)x

, t = 1

tq(j)x

tq(τ)x

=µ(j)x+s

µ(τ)x+s

, s ∈ [0, 1)

tp′(j)x =

[tp

(τ)x

]qjx/q(τ)x

We see that the another version of partition property holds under M.U.D.D.

This is how you get primed rates from unprimed rates tq(j)x and tp

(τ)x .

60세에 대하여

p(τ)60 = 0.99 · 0.97 · 0.9 = 0.86427 → q

(τ)60 = 0.13573

이를 이용하면

0.9 = 0.86427q(3)60 /0.13573 → q

(3)60 = 0.09803645

61세에 대하여

p(τ)61 = 0.987 · 0.95 · 0.8 = 0.75012 → q

(τ)61 = 0.24988

이를 이용하면

0.8 = 0.75012q(3)61 /0.0.24988 → q

(3)61 = 0.19393

그러므로 61세가 되기전 퇴직으로 집단을 탈퇴할 인원의 기대값을 구해보면,

1, 000q(3)60 = 98.0364

또한 61세까지 재직하고 62세가 되기전 퇴직으로 집단을 탈퇴할 인원의 기대값을 구해보면,

1, 000p(τ)60 q

(3)61 = 167.6077

총 기대인원은

98.0364 + 167.6077 = 265.64

물론 이 값은 다음과 같이 구할 수도 있다.

1, 0002q(3)61 = 265.64


7.2 Applications : APVs and ASs

146. 갑은 새로 출고된 기계의 보증보험을 구매하였다. 만약,

• 기계가 단순고장 (1)의 경우 2,000원을 고장즉시 지급받으며

• 기계의 중대결함 (2)으로 운영이 불가능한 경우 500,000을 결함 발생 즉시 지급받는다.

• 보험 보장기간은 5년이다.

• 어떤 원인이든 보험금을 지급받으면 보험계약은 종료된다.

• µ(1)t = 0.100, µ(2)t = 0.004, t > 0

• δ = 0.04

이 보험의 보험수리적 현가를 구하시오.

[풀이] µ(τ)t = 0.104이므로

fT,J(t, 1) = 0.1e−0.104t

fT,J(t, 2) = 0.004e−0.104t

이다. 이 보험의 보험수리적 현가는

APV = APV (1) +APV (2)

=2, 000

∫ 5

0e−0.04t0.1e−0.104tdt+ 500, 000

∫ 5

0e−0.04t0.004e−0.104tdt

=7, 841.29

147. (x),종신보험,보험금 100,000사망즉시급을가정한다.만약 (x)가보험에가입하고 10년이내에사고 (1)로 사망시 사망보험금이 100,000원 추가적으로 지급된다고 할때, 아래의 조건을 이용하여이 보험의 일시납 순보험료를 수지상등의 원칙에 의하여 구하시오.


• 이중탈퇴모형을 가정하고, 탈퇴는 사고로 인한 사망 (1), 그외의 원인으로 인한 사망만 (2)을가정한다.

• µ(τ)x+t = 0.001, t ≥ 0

• µ(1)x+t = 0.0002, t ≥ 0

• δ = 0.06

[풀이] 이 문제를 앞의 문제와 연결시켜서 이해하도록 하자. 앞의 문제에서는 탈퇴원인별 지급되는보험금의 보험수리적 현가를 따로 계산하여 보험의 보험수리적 현가를 구하였으나, 이 문제에서는탈퇴의원인을묻지않고보험금을지급하고,어떤특정한원인에의하여탈퇴가발생하면추가적으로보험금을 지급하는 구조로 파악하여 보험의 보험수리적 현가를 구할 수 있다. 그러므로

APV = 100, 000(APV (τ) +APV (1))

= 100, 000

(0.001

0.001 + 0.06+

∫ 10

0e−0.06t0.0002e−0.01tdt

)= 1, 789.065

148. 보험사가 판매하는 종신보험에 대하여 보장내용은 다음과 같다

• 보험금은 사망 즉시급이다.

• 피보험자가 항공사고로 사망시 보험금은 1,000,000원이다.

• 피보험자가 항공사고 이외의 사고로 사망시 보험금은 500,000원이다.

• 피보험자가 사고 이외의 기타 원인으로 사망시 보험금은 250,000원이다.

• µ(1) = 1/2, 000, 000, 여기서 위첨자 (1)은 피보험자의 사망이 항공사고일 경우를 나타낸다.

• µ(2) = 1/250, 000, 여기서 위첨자 (2)는 피보험자의 사망이 항공사고 이외의 사고일 경우를나타낸다.

• µ(3) = 1/10, 000, 여기서 위첨자 (3)은 피보험자의 사망이 사고 이외일 경우를 나타낸다.


• δ = 0.06

이 보험의 일시납 순보험료를 수지상등의 원칙을 이용하여 구하시오.

[풀이] 탈퇴력이 상수이면, j번째 원인에 의하여 지급되는 보험금 1원의 보험수리적 현가는 다음과같이 주어진다. (why??)

APV (j) =µ(j)

µ(τ) + δ


µ(τ) = 0.0001045

항공사고에 의하여 사망하는 경우 지급되는 보험금 1원에 대하여 이 보험의 보험수리적 현가는

APV = APV (1) + 0.5APV (2) + 0.25APV (3)

=1/2, 000, 000

0.0001045 + 0.06+ 0.5

1/250, 000

0.0001045 + 0.06+ 0.25

1/10, 000

0.0001045 + 0.06

= 4.5754× 10−4

그러므로 보험수리적 현가는 457.54원이다.

149. (x), 보험금 사망즉시급, 보험료 연속종신납입의 종신보험에 대하여 다음의 조건을 이용하여,보험료 연액을 구하시오.

• 이중탈퇴모형을 가정한다.

• 첫번째 원인으로 사망시 보험금은 3원이다.

• 두번째 원인으로 사망시 보험금은 1원이다.

• µ(1)x+t = 0.02, t ≥ 0

• µ(2)x+t = 0.04, t ≥ 0


• 보험료 계산에 관한 사항은 수지상등의 원칙을 따른다.

[풀이] µ(τ)x+t = 0.06이므로

APV = 3APV (1) +APV (2) = 30.02

0.06 + δ+

0.04

0.06 + δ=

0.1

0.06 + δ

또한 탈퇴력이 상수이면

a(τ)x =1

0.06 + δ

이다.(why??)보험료 연액을 P라고 하면, 수지상등의 원칙에 의하여

P =APV

ax= 0.1

150. 종신보험에 대하여 아래의 조건을 이용하여 물음에 답하시오.

• 사고로 인한 사망시 보험금은 50,000원이다.

• 처음 2년 동안 사고이외의 원인으로 사망시, 납입하였던 일시납 순보험료를 이자고려 없이사망보험금으로 지급한다.

• 보험가입기간 2년 경과후 사고 이외의 원인으로 사망시, 보험금은 50,000원이다.

• 보험금은 사망 즉시급이다.

• 사고로 인한 사망 (1)에 관련된 탈퇴력은

µ(1)x+t = 0.01, t ≥ 0

• 사고 이외의 원인으로 인한 사망 (2)에 관련된 탈퇴력은

µ(2)x+t = 2.29, t ≥ 0

• δ = 0.1


일시납 순보험료를 수지상등의 원칙에 의하여 구하시오.

[풀이] 이 문제를 통해서 다중탈퇴모형하에서의 Acturial Notation을 익히자. 일시납 보험료를 P

라고 하면, 이 보험의 보험수리적 현가는

APV = 50, 000A(1)x + PA(2)1

x:2+ 50, 0002|A

(2)x

= 50, 000A(1)x + PA(2)1

x:2+ 50, 000

(A(2)

x − A(2)1x:2

)= 50, 000

0.01

2.4+ P

2.29

2.4(1− e−2.4·2) + 50, 000

2.29

2.4e−2.4·2


APV = P → P600.96085 = P (1− 0.9463141) → P = 11194.02

151. (40), 피보험자는 두가지 위험에 노출되어 있다고 한다. 이 위험을 부보하는 보험에 대하여다음의 조건이 주어졌다. 이를 이용하여 물음에 답하시오.

• 보험금은 기말급이다.

• 첫번째 원인에 의하여 사망시 보험금은 2,000원이며, 두번째 원인에 의하여 사망시 보험금은1,000원이다.

• 탈퇴확률에 관한 계리적 정보는 다음과 같다.

x l(τ)x d

(1)x d

(2)x

41 800 8 1642 - 8 1643 - 8 16

• v = 0.95

• 보험기간은 4년이며 보험료는 전기 기시납을 가정한다.

• 보험료는 34원이다.


이 보험의 제 2보험년도말 책임준비금을 구하시오.

[풀이] 제 2보험년도말 장래 지출의 보험수리적 현가는 다음과 같이 주어진다.

APV2 = 2, 000A(1) 142:2

+ 1, 000A(2) 142:2

전체 보험수리적 현가를 구성하는 각 보험수리적 현가 계산을 위해 다음의 값을 구한다.

A(1) 142:2

= vq(1)42 + v2p

(τ)42 q

(1)43

A(2) 142:2

= vq(2)42 + v2p

(τ)42 q

(2)43

이 값들을 구하기 위하여 다음이 값들이 필요하다.

l(τ)42 = 800− 8− 16 = 776, l

(τ)43 = 776− 8− 16 = 752

그러므로

APV2 = 76.39175

수입의 보험수리적 현가는

24a42:2 = 34

(1 +

752

776v

)= 65.30103

제 2보험연도 말 책임준비금을 2V 라 하면,

2V = 76.39175− 65.30103 = 11.09072

이 문제의 답은 다음과 같은 재귀적 방법으로도 답을 구할 수 있다. 4V = 0를 이용하여

(3V + 34) = (p(τ)43 4V + 2, 000q

(1)43 + 1, 000q

(2)43 )v → 3V = 6.425532

(2V + 34) = (p(τ)42 3V + 2, 000q

(1)42 + 1, 000q

(2)42 )v → 2V = 11.09072

152. (55), 보험금 기말급, 3년 만기 정기보험에 대하여 아래의 조건을 이용하여 물음에 답하시오.


• 이중탈퇴모형을 가정하며, 첫번째 탈퇴요인 (1)은 사고로 인한 사망, 두번째 탈퇴요인 (2)은사고 이외의 원인으로 인한 사망을 나타낸다.

• 탈퇴확률에 대한 정보는 다음과 같다.

x q(1)x q

(2)x

55 0.002 0.02056 0.005 0.04057 0.008 0.060

• i = 0.06

• 사고로 인한 사망시 보험금은 2,000원이며, 사고 이외의 원인으로 사망시 보험금은 1,000원이다.

• 순보험료는 기시 전기연납으로 50원이다.

• 1L을 1년 경과후 정의되는 장래손실현가 확률변수로 정의한다.

E[1L|K(55) ≥ 1]을 계산하시오.

[풀이] 구하고자 하는 값은 제 1보험연도 말 책임준비금이다. 수입의 보험수리적 현가는

50a56:2 = 50(1 + vp

(τ)56

)여기서

p(τ)56 = 1− 0.005− 0.040 = 0.955, p

(τ)57 = 1− 0.008− 0.060 = 0.932

→ 50a56:2 = 95.047

지출의 보험수리적 현가는

2, 000A(1) 156:2

+ 1, 000A(2) 156:2

2, 000

(0.005

1.06+

0.955 · 0.0081.062

)+ 1, 000

(0.040

1.06+

0.955 · 0.061.062

)= 11.766


그러므로

E[1L|K(55) ≥ 1] = 111.766− 95.047 = 16.72

153. (x), 보험금 사망즉시급, 보험료 연속 종신납입에 대하여 아래의 조건을 이용하여 물음에답하시오.

• 사고로 인하여 사망 (1)하면 보험금은 2,000원이다.

• 그 이외의 원인으로 사망 (2)하면 보험금은 1,000원이다.

• 신계약비는 50원이며 보험가입시점에 즉시 지출된다.

• 보험금 지급시 사정비용은 지급보험금의 5%이며 보험금 지급시 즉시 지출된다.

• 유지비용은 연액으로 3원이 연속적으로 지출 된다.

• 영업보험료 연액은 100원이다.

• µ(1)x+t = 0.004, t ≥ 0

• µ(2)x+t = 0.040, t ≥ 0

• δ = 0.05

가입시점에서비용과보험금을감안한장래손실현가확률변수를정의할때, 그 확률변수의기대값을구하시오.

[풀이] 사망으로 인하여 지출되는 현금의 보험수리적 현가를 APV1이라고 하자.

APV1 = 1, 000(1.05)(2A(1)

x + A(2)x

)= 1, 050

(2

0.004

0.044 + 0.05+

0.04

0.044 + 0.05

)= 536.17

수입의 보험수리적 현가는

(100− 3)a(τ)x = 971

0.044 + 0.05= 1, 031.91


그러므로 장래손실현가 확률변수의 기대값은

536.17 + 50− 1, 031.91 = −445.74

154. (Paid-up option) 가입시점에서 30세였던 피보험자가 구매했던 보험계약 및 계리정보의 일부내용은 아래와 같다.

• 50년만기 양로보장이며, 보험가입금액은 1,000원이다.

• 사망보험금은 기말급이며, 보험료 납입은 기시 25년납이다.

• 보험료는 수지상등의 원칙에 의하여 결정되었다.

• A30:25 = 0.39118, A30:50 = 0.28571, A45:35 = 0.36364, A45:10 = 0.64269

현재 45세가 된 피보험자는 보험계약을 해지하고, 장래 보험료 납입이 면제되는 양로보험으로의계약내용으로 변경하고자 한다. 보험료 납입 면제로 인하여 보험회사는 변경시 보험가입금액을감액하기로 하였으며, 감액된 보험금액 계산시 아래의 조건을 고려하고 있다.

• 보험회사는 해지 및 변경 비용으로 해약시점에서의 순보험료식 책임준비금의 20%로 책정하였다.

• 보험회사는순보험료식책임준비금에서해약및계약변경비용을차감하고남은금액을변경된양로보험의 일시납 순보험료로 가정하고 보험가입금액을 결정한다.

• 계약 변경후 보험료 납입은 없다.

• 잔여 보장기간동안의 보험금액 및 보험료 납입사항을 제외하고는 보장내용의 변경은 없다.

변경된 양로보험의 보험가입금액 (amount of reduced piad-up insurance)을 구하시오.

[풀이] 계약 변경전 보험료를 P라고 하면

P =1, 000A30:50

a30:25=

1, 000(0.28571)

(1− 0.39118)/d= 469.28485d


제 15보험년도말 책임준비금은

15V = 1, 000A45:35 − P a45:10 = 1, 000(0.36364)− 469.28458d1− 0.64269

d= 195.95983

보험사가 인식하는 일시납 순보험료를 10CV 라고 하면,

10CV = 0.8 · 195.95983 = 156.7679

변경된 보험가입금액을 S라 하면, 수지상등의 원칙에 의하여

156.7679 = SA45:35 → S = 431.11

155. (x), 보험금 1원의 보통종신보험에 대하여 다음의 조건을 이용하여 물음에 답하시오.

• Px = 0.060

• Px+10 = 0.085

• 10CV = 0.910Vx, 여기서 kCV 란보험계약자가보험계약을해지하거나계약변경시보험자가보험계약자에게 지급하는 현금의 양을 의미한다.

만약피보험자가제 10보험년도말에생존해있고, 종신보험의보험료납입을멈추고장래종신보장을받고자하는경우보험자가피보험자에게지급할수있는보험금을구하시오. (단, 보험료계산에관한 사항 및 보험금에 관련된 사항은 수지상등의 원칙에 의한다.)

[풀이] 이 보험금을 W이라고 하면,

W ·Ax+10 = 10CV →W = 0.9

(1− Px

Px+10

)= 0.2647

156. tW (Ax:n )을 (x)에 대하여,


• 보험가입금액 1원의 n년 만기 양로보장

• 사망보험금 즉시급, 보험료 연속 전기납입

• t시점 (t < n)에서 보험료 납입을 면제하고, 장래 n − t년 동안 양로보장을 받고자 하는경우보험자가피보험자에게장래지급하는보험금을나타낸다고한다. (단, 보험계약 변경시발생하는 비용은 무시하고, 보험계약시 보험계약자가 납입하는 일시납 순보험료는 보험계약변경시 적립된 보험계약자의 순보험료식 책임준비금이다.)

다음의 물음에 답하시오. (단, 모든 보험료 및 보험금에 관련된 계산은 수지상등의 원칙을 따른다.)

(1) ddt tV (Ax:n )를 구하시오.

(2) ddtAx:n−t 를 구하시오.

(3) 위의 결과를 이용하여 다음을 보이시오.

d

dttW (Ax:n ) =

P (Ax:n )− µx+t[1− W (Ax:n )]

Ax+t:n−t

[풀이] tW (Ax:n )는 다음과 같이 구할 수 있다.

tW (Ax:n )Ax+t:n−t = Ax+t:n−t − P (Ax:n )ax+t:n−t = tV (Ax:n )

tW (Ax:n ) =tV (Ax:n )

Ax+t:n−t

그러므로

d

dttW (Ax:n ) =

ddt tV (Ax:n ) · Ax+t:n−t − tV (Ax:n ) · d

dtAx+t:n−t

(Ax+t:n−t )2

(1) Thiele’s 미분방정식에 의하여

d

dttV (Ax:n ) = P (Ax:n ) + (δ + µx+t)tV (Ax:n )− µx+t

(2)

d

dtAx:n−t = (δ + µx+t)Ax+t:n−t − µx+t


(3) 위에서 구한 결과를 대입하면

d

dttW (Ax:n )

=(P (Ax:n ) + (δ + µx+t)tV (Ax:n )− µx+t) · Ax+t:n−t − tV (Ax:n ) · ((δ + µx+t)Ax+t:n−t − µx+t)

(Ax+t:n−t )2

=P (Ax:n ) · Ax+t:n−t − µx+t · Ax+t:n−t + µx+t · tV (Ax:n )

(Ax+t:n−t )2

=P (Ax:n ) · Ax+t:n−t − µx+t(Ax+t:n−t − tV (Ax:n ))

(Ax+t:n−t )2

=P (Ax:n ) · Ax+t:n−t − µx+t · P (Ax:n ) · ax+t:n−t

(Ax+t:n−t )2

=P (Ax:n )− µx+t · P (Ax:n ) · ax+t:n−t /Ax+t:n−t

Ax+t:n−t

=P (Ax:n )− µx+t · P (Ax:n )/P (Ax+t:n−t )

Ax+t:n−t

=P (Ax:n )− µx+t

(1− tW (Ax:n )

)Ax+t:n−t

∵ tW (Ax:n ) = 1− P (Ax:n )

P (Ax+t:n−t )

157. (Extended Term Insurance) (x), n년만기양로보험,보험가입금액 b원에대하여아래의조건을고려하자.

• 사망보험금 즉시급, 보험료는 전기연속납을 가정한다.

• 보험료에 관한 사항은 수지상등의 원칙을 따른다.

• 가입후 k년이 경과된 시점에서, 피보험자는 아래와 같이 보험계약을 변경하고자한다.

– 이후 보험료 납입은 면제한다.

– 양로보장에서 정기보장으로 변경하며, 사망보험금은 b원으로 변경이 없다.



(1) 보험회사가 k 시점에서 계약변경시 보험계약자에게 지급하는 현금가치 (cash value)를 kCV

라고 하자. 위의 조건을 이용하여 정기보험의 보장기간을 s(s ≤ n− k)라 할때 s를 수지상등의원칙에 의하여 구할 수 있는 식을 제시하시오.

(2) 만약피보험자가보험계약을변경하기전에보험회사로부터 L의대출원금이존재할때,수지상등의원칙에의하여정기보험의보장기간을 s(s ≤ n−k)라고할때, s를수지상등의원칙에의하여구할 수 있는 식을 제시하시오. (단 k기간동안 대출에 관련된 이자는 모두 상환한 상태이다.)

[풀이]

(1) 수지상등의 원칙에 의하여 kCV = bA 1x+k:s

그러므로

b =kCV

A 1x+k:s

문제의경우양보보험을 s년정기보험으로변경하는경우만을생각하고있다. 만약 k가충분히크다면3, s가 n − k를 초과할 수 있고, 이 경우 생존 보험금도 보장받을 수 있는 양로보험으로변경이가능하다는것을의미한다.이때생존보험금을M이라고하면,수지상등의원칙에의하여

M =kCV − bAx+k:n−k

n−kEx+k

(2) kCV − L = (b− L)A 1x+k:s

158. (Asset Share) 당신은 생명보험회사의 Pricing Actuary이다. 보험계약은 장기보험계약이기때문에현금의유입과유출이연속적으로발생하고, 이 현금 흐름이적절하게관리되어보험계약이종료되면 회사에 적절한 이익을 발생하게 하도록 충분하고 적절한 보험료가 계산되어져야 한다.현금 흐름을 모형화 하기 위하여 당신은 보험계약자가 보험계약으로 부터 탈퇴하는 것은 두가지원인이 있으며 (Double Decrement Model), 그 탈퇴원인은 사망 (d)과 해약 (w)이라고 가정하였다.또한 다음을 정의한다.

• Gh : 고려하고 있는 보험계약의 제 h+ 1 보험년도 초에 납입되는 영업보험료

3“k가 충분히 크다”는 의미는 무엇인가?


• ch : 제 h+ 1 보험년도 초에 집행되는 예정사업비용 중 영업보험료 비례부분

• eh : 제 h+ 1 보험년도 초에 집행되는 예정사업비용 중 영업보험료 비 (非)비례부분

• i : 예정투자수익율

• bh+1 : 기말급 사망보험금

• h+1CV : 해약은보험연도말에발생한다고가정하며,제 h+1보험년도해약시보험계약자에게지급하는 현금

• h+1AS : 피보험자가 계약을 유지함으로써 h+ 1 보험연도 말 발생시키는 보험회사 자산

다음의 물음에 답하시오.

(1) hAS와 h+1AS의 관계식을 제시하시오.

(2) hAS− hVg의의미를설명하시오. (여기서 hV

g는제 h보험년도말영업보험료식책임준비금을의미한다.)

[풀이]

(1) 다음의 관계식이 성립한다.

[hAS +Gh(1− ch)− eh](1 + i) = p(τ)x+h · h+1AS + q

(w)x+h · h+1CV + q

(d)x+hbh+1

문제에서 특별한 언급이 없으면 0AS = 0이라고 가정한다.

(2) 생존 피험자 1명당 잉여금이다.(why??)

159. (Refer to Q149) (x), 보험금 1,000원의보통종신보험에대하여다음의조건을이용하여물음에답하시오.

• 4AS = 369.63

• 5AS = 694.50

• G = 281.77


• 5CV = 572.12

• c4 = 0.05, e4 = 7

• q(1)x+4 = 0.09, q(2)x+4 = 0.26

i를 구하시오.

[풀이] 앞에서 유도한 재귀식을 이용하면

(396.63+281.77·0.95−7)(1+i) = 0.09·1, 000+0.26·572.12+(1−0.26−0.09)·694.50 → i = 0.094976

제 8 장

Multiple Lives

8.1 Joint Life : Probabilities

동시생존상태 (Joint Survival Status)에 관련된 공식은 다음과 같다.

tpxy + tqxy = 1

t|uqxy = tpxy uqx+t:y+t = tpxy − t+upxy

t+upxy = tpxy upx+t:y+t

tpxy = tp00xy = exp

(−∫ t

0µ0 ·x+s:y+sds

)만약 장래생존기간이 독립이면,

tpxy = tpxtpy

µx+t:y+t = µx+t + µy+t

tpxy = exp(−∫ t

0(µx+s + µy+s) ds

)

160. 주어진 아래의 식을 간단히 하시오.

k|qxy

qx+k:y+k

146

제 8 장. MULTIPLE LIVES 147

[풀이]k|qxy

qx+k:y+k=

kpxyqx+k:y+k

qx+k:y+k= kpxy

161. 장래생존기간이 독립인 (x)와 (y)에 대하여 아래의 사망율 정보가 주어졌다.

k qx+k qy+k

0 0.08 0.101 0.09 0.152 0.10 0.20

이를 이용하여 qx+2:y+2를 계산하시오.

[풀이] qx+2:y+2 = 1− px+2:y+2 = 1− (1− 0.10)(1− 0.20) = 0.28

162. 갑, 을, 병들의 생일은동일하며, 그들의 현재나이는각각 30세, 31세, 32세이다. 이 세 사람의장래생존기간은 상호독립이며, 다음의 생존확률을 가진다고 한다.

tpx = 1− t

100− x

이 사람들이 40대가 되기 전에, 한명이상 사망할 확률을 구하시오.

[풀이] 10q32:31:30 = 1−(1− 10

68

) (1− 10

69

) (1− 10

70

)= 0.374863

163. 갑은 현재 30세이며, 다음의 사력에 의하여 생존확률이 결정된다.

µx =1

100− x

또한 갑의 장래생존기간과 독립인 장래생존기간을 가지는 을의 생존확률에 대한 정보는 다음과같다. (단, 을의 나이도 30세이다.)


• 10p30 = 0.94

• 5p35 = 0.96

지금부터 5년이내에 이 두사람중 적어도 한사람이 사망할 확률을 구하시오.

[풀이] 5q30:30 = 1− 5p30:30 = 1− (13/14)(94/96) = 0.0908

164. 장래생존기간이 독립인 (40)과 (50)에 대하여 다음의 조건이 주어졌다.

• (40)에 대하여

µ40+t =1

2(60− t)

• (50)에 대하여

µ50+t =1

3(40− t)

이 두 피보험자를 관측하였을때, 첫번째 사망이 지금부터 제 3연도에 발생할 확률을 구하시오.

[풀이] 일반화된 De Moivre법칙에 의하여

tp40 =

(60− t

60

)0.5

tp50 =

(40− t

40

)1/3

위의 결과에 의하여

tp40:50 =

(60− t

60

)0.5(40− t

40

)1/3

구하고하 하는 확률은

2|q40:50 = 2p40:50 − 3p40:50 = (0.98319)(0.98305)− (0.97468)(0.97435) = 0.01685


165. 두피보험자의장래생존기간을각각확률변수 S와 T로정의하자. 이 두 확률변수의결합확률밀도 함수는 다음과 같이 주어졌다.

fS,T (s, t) =s2 + t

540, 0 < s, t ≤ 6

두 피보험자의 장래생존기간으로 정의되는 동시생존상태 (Joint status)가 최소한 3년이상 지속될확률을 구하시오.

[풀이] 동시생존 상태가 최소한 3년 이상 지속되기 위해서는 각 장래 생존기간이 3년이상 되어야한다. 그러므로 구하고자 하는 확률은

Pr[S > 3, T > 3] =1

540

∫ 6

3

∫ 6

3(s2 + t)dsdt

=1

540

∫ 6

3

(s3

3+ ts

) ∣∣∣∣63

dt

=1

540

∫ 6

3(63 + 3t)dt = 0.425

이 풀이는, 결합 생존함수를 구하여

Pr[S > 3, T > 3] = S(3, 3)

을 답으로 낸경우이다. 만약 F (3, 3)을 구하여 1− F (3, 3)을 답으로 제출한다면?


8.2 Last Survivor : Probabilities

최종생존자 상태 (Last Survivor Status)에 관련된 공식은 다음과 같다.

T (xy) + T (xy) = T (x) + T (y)

tpxy = tpx + tpy − tpxy

tpxy = tpx + tpy − tpxtpy, Independent case

tqxy = tqxtqy, Independent case

t|uqxy = tpxy − t+upxy

µxy =tqxtpyµy+t + tqytpxµx+t

tpxy, Independent case

166. 장래생존기간이 독립인 (30)과 (40)에 대하여 다음의 조건이 주어졌다.

• 10p30:30 = 0.9975

• 20p30:30 = 0.978975

• 20p40:40 = 0.5184

위의 조건을 이용하여 10p50을 구하시오.

[풀이] x = 10p30, y = 10p40, z = 10p50이라고 하자. 첫번째 조건에 의하여

2x− x2 = 0.9975 → x = 0.95

또한 u = xy라고 하면, 두번째 조건에 의하여

2u− u2 = 0.978975 → u = 0.855 → y = 0.9

세번째 조건에 의하여

(yz)2 = 0.5184 → yz = 0.72 → z = 0.8


167. 장래생존기간이 독립인 (50)과 (60)에 대하여 다음의 조건을 이용하여 5|q50:60을 구하시오.

• 5p50 = 0.9

• 5p60 = 0.8

• q55 = 0.03

• q65 = 0.05

[풀이]

5|q50:60 = 5p50:60 − 6p50:60

5p50:60 = 0.9 + 0.8− (0.9)(0.8) = 0.98

6p50:60 = 0.9(1− 0.03) + 0.8(1− 0.05)− (0.9)(1− 0.03)(0.8)(1− 0.05) = 0.96952

그러므로

5|q50:60 = 0.01048

168. 장래 생존기간이 독립인 (x)와 (y)에 대하여 다음의 사망율 정보가 주어졌다.

t qx+t qy+t

0 0.01 0.021 0.02 0.032 0.03 0.04

다음의 물음에 답하시오.

(1) 2|qxy를 계산하시오.

(2) (x)와 (y)의 사망시점을 관측할 때, 두번째 사망이 3년 이내에 발생할 확률을 구하시오.


[풀이] 일반적으로 연생확률에 관련된 문제를 해결할때의 첫번째 단계는 주어진 문장을 보험수리기호나 확률적으로 전환하여 표현하는 것이다. 첫번째 문제의 경우에는 요구하는 확률이 보험수리기호로 주어져 있는 경우이고, 두번째 경우에는 주어진 서술을 보험수리 기호로 전환하고 나서 그답을 구해야만 하는 문제이다.

(1) 거치확률은 생존확률로 전환해 문제를 해결하는 것이 편리한 경우가 많다.

2|qxy = 2pxy − 3pxy

= 2px2py − 3px3py

= [(0.99)(0.98)] [(0.98)(0.97)]− [(0.99)(0.98)(0.97)] [(0.98)(0.97)(0.96)]

= 0.063452

(2) Pr[T (x) ≤ 3, T (y) ≤ 3] = F (3, 3) = 3qxy = 3qx3qy = (1− 3px)(1− 3py) = 0.0051498

169. 장래 생존기간이 독립인 (x)와 (y)에 대하여 다음의 사망율 정보가 주어졌다.

k qx+k qy+k

0 0.08 0.101 0.09 0.152 0.10 0.20

위의 정보를 이용하여 Pr[K(xy) = 1]을 구하시오.

[풀이] 이 확률을 여러분들이 문장으로 전환한다면 어떻게 표현하겠는가?

Pr[K(xy) = 1] = 1|qxy

= pxy − 2pxy

= (px + py − pxy)− (2px + 2py − 2pxy)

= (0.92 + 0.90− 0.92 · 0.90)− (0.92 · 0.91 + 0.90 · 0.85− 0.92 · 0.91 · 0.90 · 0.85)

= 0.030258


170. 장래생존기간이 독립인 (35)와 (45)에 대하여 다음의 조건이 주어졌다.

• 5p35 = 0.9

• 5p45 = 0.8

• q40 = 0.03

• q50 = 0.05

이 두 피보험자를 대상으로 관측하였을때, 두번째 사망이 지금부터 제 6연도에 발생할 확률을구하시오.

[풀이] 구하고자 하는 확률은

5|q35:45 = 5p35:45 − 6p35:45

이다. 독립성에 의하여

5p35:45 = 0.9 + 0.8− (0.9)(0.8) = 0.98

6p35:45 = 0.873 + 0.76− (0.873)(0.76) = 0.96952

그러므로

5|q35:45 = 0.98− 0.96952 = 0.01048

171. 장래생존기간이 독립이며 3명으로 구성된 피보험자들을 고려하자. 피보험자들 중 두명은 60세이며, 나머지 한명은 65세이다. 또한 다음의 경험생명표가 주어졌다.

x lx x lx

60 1,000 66 87761 982 67 85362 963 68 82863 943 69 80164 922 70 77565 900 71 747


위의 자료를 이용하여 5년이내에 세 피보험자 모두 사망할 확률을 구하시오.

[풀이] 5p60 =9001,000 = 0.9, 5p65 = 775

900 = 0.8611

5q60:60:65 = 5q60 · 5q60 · 5q65 = (1− 0.9)2(1− 0.8611) = 0.001389

172. 장래생존기간이 독립인 (x)와 (y)에 대하여 다음과 같은 조건이 주어졌다.

µx+t = µy+t = 0.05, 0 < t ≤ 20

위의 조건을 이용하여 최종생존자 상태가 10년 이후에 종료될 확률을 구하시오.

[풀이] 10pxx = 2(10px)− (10px)2을 구하면 된다.(why??)

10px = e−10(0.05) = 0.6065

이므로

10pxx = 0.8452

173. 장래생존기간이 독립인 (x)와 (y)에 대하여 아래의 조건이 주어졌다.

• tpx = tpy

• 생존확률에 대한 정보는 다음과 같다.

t tpx tpxy

1 0.98 0.9982 0.96 0.9903 0.90 0.9704 0.80 0.920


위의 조건을 이용하여 2qx+2:y+2를 구하시오.

[풀이] t = 2에서

0.99 = 0.96 + 2py − 0.962py → 2py = 0.75

t = 4에서

0.92 = 0.80 + 4py − 0.804py → 4py = 0.6

2qx+2:y+2 = 2qx+22qy+2

=

(0.96− 0.80

0.96

)(0.75− 0.6

0.75

)=

1

30

174. 두 피보험자의 장래생존기간을 각각 확률변수 S와 T로 정의하자. 이 두 확률변수의 결합확률밀도 함수는 다음과 같이 주어진다.

fS,T (s, t) =s+ t

64, 0 < s, t ≤ 4

최종생존자 상태가 3년 이내에 종료될 확률을 구하시오.

[풀이] 구하고자 하는 확률은 다음과 같다.

Pr[S ≤ 3, T ≤ 3] = F (3, 3)

그러므로

F (3, 3) =

∫ 3

0

∫ 3

0

s+ t

64dsdt

=1

64

∫ 3

0

(9

2+ 3t

)dt

=27

64= 0.578125


175. 두 피보험자의 장래생존기간을 각각 확률변수 S와 T로 정의하자. 이 두 확률변수의 결합확률밀도 함수는 다음과 같이 주어진다.

fS,T (s, t) =s+ t

64, 0 < s, t ≤ 4

max(S, T )의 제 3사 분위수를 구하시오.

[풀이] 3사 분위수를 x라 하면, 이 값은 다음을 만족하는 값이다. (why??)

F (x, x) = 0.75

그러므로

F (x, x) =

∫ x

0

∫ x

0

s+ t

64dsdt

=1

64

∫ x

0

(x2

2+ xt

)dt

=x3

64= 0.75 → x = 3.6342

8.3 Moments

적률에 관련된 공식은 다음과 같다.

exy =

∫ ∞

0tpxydt

exy:n =

∫ n

0tpxydt

exy = ex + ex − exy

V ar[T (xy)] = 2

∫ ∞

0t · tpxydt− (exy)

2

Cov(T (xy), T (xy)) = Cov(T (x), T (y)) + (ex − exy)(ex − exy)


176. 장래생존기간이 독립인 (35)와 (40)에 대하여, 사력 µx = 0.04로 주어졌다. 이를 이용하여e35:40을 구하시오.

[풀이] µ35:40 = 2(0.04) = 0.08 그러므로 e35:40 = 1/µ35:40 = 12.5

177. 아래의 조건을 이용하여 물음에 답하시오.

• 남성의 생존함수는 다음과 같다.

S(x) = 1− x

75, 0 < x < 75

• 여성의 생존함수는 다음과 같다.

S(t) = 1− t

ω, 0 ≤ t ≤ ω

• 60세인 남성과 여성에 대하여, 여성의 사력은 남성 사력의 60%라고 한다.

장래생존기간이독립인 65세인남성과, 60세인여성에대하여, 두번째사망이발생할때까지걸리는시간의 기대값을 구하시오.

[풀이] 60세인 남성의 사력은 1/15이다. 그러므로 60세인 여성의 사력은

µ60 =0.6

15=

1

25→ ω = 85

이다. 또한

e65:60 =10

2− 102

6(25)=

13

3(why??)

1 그러므로

e65:60 = 5 + 12.5− 13

3= 13

1

6

1장래생존기간이독립인 (x)와 (y)에대하여두피보험자모두각각 ω1과 ω2를모수로가지는 De Moivre 사망법칙을따른다고 하자.Without loss of generality, a = ω1 − x ≤ b = ω2 − y라고 가정하자. 그러면

exy =

∫ a

0

a− t

a

b− t

bdt =

1

ab

∫ a

0

(ab− (a+ b)t+ t2)dt

=a

2− a2

6b


178. 어떤 집단의 생존 관련함수는 다음과 같이 주어졌다.

lx = 100(ω − x), 0 ≤ x ≤ ω

또한

• e40:40 = 3 · e60:60

• e20:20 = k · e60:60

위의 관계식을 만족하는 k를 구하시오.

[풀이] 다음이 성립한다.

exx = ex + ex − exx

또한 De Moivre하에서

ex + ex − exx = (ω − x) · 23

첫번째 조건에 의하여 ω = 70이고, 두번째 조건을 이용하면 k = 5이다.

179. 장래생존기간이 독립인 (x)와 (y)는 아래와 같은 동일한 생존율을 적용받는다.

tpx = tpy =

(100

100 + t

)2

, t ≥ 0

첫번째사망이발생할때까지걸리는시간및두번째사망이발생할때까지걸리는시간의기대값을각각 구하시오.

[풀이] 주어진 T의 분포는 파레토 분포2를 따르고 있는 것을 알수 있다. 파레토 분포의 성질 (이

2확률변수 X의 형태가

FX(x) = 1−(

θ

θ + x

)α

이면 X ∼ Pareto(α, θ)라고 한다.(Lomax Type)


성질을 몰라도 적분을 하게 되면 쉽게 기대값을 구할 수 있다.)에 의하여

ex = ex =100

2− 1= 100

또한

tpxy =

(100

100 + t

)4

→ exy =100

4− 1=

100

3

그러므로

exy = ex + ey − exy =500

3

180.어떤집단의개별구성원은흡연자와비흡연자로이루어져있다고한다.아래의조건을이용하여물음에 답하시오.

• 전연령에 걸쳐 흡연자의 사력은 동일한 연령의 비흡연자의 사력의 두배이다.

• 비흡연자에 적용되는 생존율 관련 함수는 다음과 같다.

lx = 75− x, 0 ≤ x ≤ 75

• (65)는 비흡연자이고, (55)는 흡연자이다.

• 집단의 개별 구성원들의 장래생존기간은 상호독립이다.

위의 조건을 이용하여 e65:55를 구하시오.

[풀이] 비흡연자의 생존율은

tpx =75− x− t

75− x

로 주어짐을 쉽게 알수 있다. 또한 흡연자의 사력이 비흡연자 사력의 두배이기 때문에 흡연자의생존율은

tpy =

(75− y − t

75− y

)2



e65:55 =

∫ 10

0

(10− t

10

)(20− t

20

)2

dt

이 경우 의외로 적분을 계산하는데 시간이 걸리기 때문에 다음의 방법을 익혀두도록 하자.

e65:55 =

∫ 10

0

(10− t

10

)(20− t

20

)2

dt

=1

4, 000

∫ 10

0(20− t+ 10− 20)(20− t)2dt

=1

4, 000

(∫ 10

0(20− t)3dt−

∫ 10

010(20− t)dt

)= 3.5417

181. 장래 생존기간이 독립인 (x)와 (y)에 대하여,

• E[T (x)] = E[T (y)] = 4.0

• Cov(T (xy), T (xy)) = 0.09

위의 조건을 이용하여, E[T (xy)]를 구하시오.

[풀이] 장래생존기간이 독립이므로

Cov(T (xy), T (xy)) = (ex − exy)(ex − exy) = (4− E[T (xy)])2

그러므로

E[T (xy)] = 3.7

182. 장래 생존기간이 독립인 (x)와 (y)에 대하여,

• µx+t = 0.01


• µy+t = 0.02

위의 조건을 이용하여, Cov(Txy, Txy)를 구하시오.3

[풀이] 장래생존기간이 독립이므로 앞의 공식을 이용한다.

ex =1

0.01= 100

ey =1

0.02= 50

µx+t:y+t = µx+t + µy+t = 0.03

exy =1

0.03= 100/3

Cov(T (xy), T (xy)) = (ex − exy)(ex − exy) =10, 000

9

183. 장래생존기간이독립인 (x)와 (y)에대하여 µx+t = µy+t = 0.01t일때, V ar(Txy)를구하시오.

[풀이] 공식을 적용하기 위해서는 tpxy가 필요하다.

µx+t:y+t = µx+t + µy+t = 0.02t

이고,

tpxy = e−∫ t0 0.02sds = e−0.01t2

이함수는 Gauss 함수의형태이므로적분을바로할수없고, 극좌표 전환을이용하거나정규분포의성질을 이용하여야 한다. 우리는 정규분포의 성질을 이용하는 방법을 사용할 것이며, 구체적인

3가끔 T (x)를 Tx, T (xy)를 Txy등으로 쓰는 경우가 있다.


방법은 다음과 같다.

E[Txy] =

∫ ∞

0tpxydt

=

∫ ∞

0e−0.01t2dt

=

∫ ∞

0e−

(t−0)2

2·50 dt (평균이 0이고 분산이 50인 정규분포!!)

=√2π50

1√2π50

∫ ∞

0e−

(t−0)2

2·50 dt = 10√π0.5 (why??)

= 5√π

이차 적률은

E[T 2xy] = 2

∫ ∞

0ttpxydt

= 2

∫ ∞

0te−0.01t2dt

= 100

그러므로 분산은

100− 25π = 21.4602


8.4 Contingent Probabilities

다음의 관계식을 익혀두자.

∞q1xy = ∞q

2xy

∞q1xy + ∞q

1yx = 1

∞q2

yx + ∞q2

xy = 1

nq1xy = nq

2xy + nqxnpy

nq1xy + nq

1yx = nqxy

nq2

yx + nq2

xy = nqxy

nqx = nq1xy + nq

2yx

184. µx = 0.1이고, 장래생존기간이 독립인 (30)과 (50)중 한사람이 사망하면 두번째 사망은 10년이내로 발생할 확률을 구하시오.

[풀이] 구하는 확률을 조건부 확률을 이용하여 구하면 다음과 같다.

p = 2

∫ ∞

0(e−0.1t − e−0.1(t+10))e−0.1t(0.1)dt

= 2

∫ ∞

0(e−0.2t − e−0.2t−1)(0.1)dt

= 1− e−1

또는 지수분포의 무기억 성질에 의하여 구하고자 하는 확률을 곧바로 구할 수 있겠는가?

185. 사망법칙은 최종생존연령이 ω인 De Moivre 법칙을 따를때, 장래 생존기간이 독립인 (80)과(98)에 대하여 ∞q

198:80 = 0.8일때, ω를 구하시오.

[풀이] De Moivre 법칙이므로범위에주의하여그림을그린다. 또한결합확률밀도함수의값이항상


일정하므로

(ω − 98)2

2(ω − 98)(ω − 80)= 0.2 → ω = 110

186. 사망법칙은 최종생존연령이 ω = 100인 De Moivre 법칙을 따를때, 장래 생존기간이 독립인(80)과 (85)에 대하여 아래의 두 양을 정의한다.

• G : 5년 이내에 (85)가 먼저 사망하고 (80)이 사망할 확률

• H : 5년 이후 10년 이내에 첫번째 사망이 발생할 확률

G+H를 구하시오.

[풀이] G = 12.5/300임을 쉽게 알수 있다. H를 구할 수 있는 방법은 다양하나 다음의 방법을살펴보자.

H = 5|5q80:85 = Pr[5 < T (80 : 85) ≤ 10]

= Pr[T (80 : 85) > 5]− Pr[T (80 : 85) > 10]

= Pr[T (80) > 5, T (85) > 5]− Pr[T (80) > 10, T (85) > 10]

그러므로 H = (15 · 5 + 25)/300이다. 이 두 값을 합하게 되면 38을 얻을 수 있다.

187. 장래생존기간이 독립인 (35)와 (40)에 대하여, 다음의 사력을 가정한다.

µx =1

100− x0 ≤ x < 100

10q2

35:40을 구하시오.


Pr[T (35) < T (40) ≤ 10]


이며 이 확률을 구하기 위하여 도식화 하게 되면

50

65 · 60=

1

78

188. 장래생존기간이 독립인 50세인 여성과 50세인 남성에 대하여

• 남성의 사력은 전연령 구간 상수이며 그 값은 0.04이다.

• 여성의 장래생존기간은 균등분포를 따르며, 최종생존연령은 100세이다.

50세인 여성이 먼저 사망하고 50세인 남성이 두번째로 사망할 확률을 구하시오.

[풀이] 여성이 t시점에 사망하였다면 남성이 t시점 이후에 사망할 확률은 e−0.04t이다. 그러므로∫ 50

0

1

50e−0.04tdt = 0.5(1− e−2)

또는 범위를 도식화 하여 이중적분으로도 답을 구할수 있다.

1−∫ 50

0

∫ t

0

1

500.04e−0.04sdsdt =

∫ 50

0

1

50e−0.04tdt

189. 장래생존기간이독립인 (30)과 (40)에대하여, 정수연령내사망자의수는균등분포하고있다고가정하자. q30 = 0.4이고, q40 = 0.6일때, 0.25q 2

40.5:30.5를 구하시오.

[풀이] t 시점에서 40.5가 사망할 확률은 (단, t의 범위는?)

tq40.5 =tq40

1− 0.5q40=

6t

7

또한 30.5에 관련되는 확률밀도 함수는 0.5(why?)이므로, 구하고자 하는 확률은∫ 0.25

00.5 · 6t

7dt = 0.013393


190. 장래생존기간이 독립인 (x)와 (y)에 대하여,

• (x)의 사력은 다음과 같다.

µx+t =

0.01, 0 < t ≤ 10

0.03, t > 10

• (y)의 사력은 전연령구간 상수로 일정하며 그 값은 0.02이다.

위의 조건을 이용하여, (x)가 (y)보다 먼저 사망할 확률을 구하시오.

[풀이] 사력이 10년을 기준으로 분해가 되므로 조건부 확률로 문제를 처리한다.

Pr[Tx < Ty] = Pr[Txy ≤ 10]Pr[Tx < Ty|Txy ≤ 10] + Pr[Txy > 10]Pr[Tx < Ty|Txy > 10]

=(1− e−10(0.01+0.02)

) 0.01

0.01 + 0.02+(e−10(0.01+0.02)

) 0.03

0.03 + 0.02

= 0.5309

또 다른 방법으로는 ∞q2

yx + ∞q1xy = 1을 이용하는 방법이 있다. t > 10에 대하여,

tpx = exp(−0.01(10)−

∫ t

100.03dt

)= e0.2−0.03t

이를 이용하여,

∞q2

yx =

∫ 10

00.02e−0.02te−0.01tdt+

∫ ∞

100.02e−0.02te0.2−0.03tdt

= 0.02

(∫ 10

0e−0.03tdt+ e0.2

∫ ∞

10e−0.05tdt

)= 0.4691

그러므로 구하고자 하는 확률은

1− 0.4691 = 0.5309

직접 구할 수도 있다.

∞q1xy =

∫ 10

00.02e−0.02t(1− e−0.01t)dt+

∫ ∞

100.02e−0.02t(1− e0.2−0.03t)dt

= 0.02

(∫ ∞

0e−0.02tdt−

∫ 10

0e−0.03tdt− e0.2

∫ ∞

10e−0.05tdt

)= 0.5309


191. 다음의 조건을 이용하여 q1yx를 구하시오.

• qy = 0.25

• q 2yx = 0.12

• qxy = 0.14

[풀이] 다음의 관계식을 이용한다.

q1yx = qy − q 2xy

= 0.25− (qxy − q 2yx)

= 0.25− (0.14− 0.12)

= 0.23

8.5 Insurances and Annuities

192. 피보험자 (x)와 (y)에대하여첫번째사망이발생하면발생연도말에 1,000원을지급하고, 두번째 사망이 발생하면 발생연도말 2,000원을 지급하는 종신보험을 판매하였다. 보험료는 기시납으로두 피보험자가 모두 생존시에만 납입한다. 아래의 조건을 이용하여 보험료를 수지상등의 원칙에의하여 구하시오

• Ax = 0.40

• Ay = 0.35

• Axy = 0.55

• i = 0.05

[풀이] 1,000원의 보험수리적 현가는 1, 000Axy = 550이며, 두번째 보험금의 보험수리적 현가는

2, 000Axy = 2, 000(0.40 + 0.35− 0.55) = 400


또한

axy =1−Axy

d= 9.45

보험료를 π라고 하면

π =550 + 400

9.45= 100.5291

193. 피보험자 (x)와 (y)에 대하여 두번째 사망이 발생하면 발생연도말에 1,000원을 지급하고,만기시에 한명의 피보험자만 생존해 있으면 1,000원을 지급한다. 만약 피보험자가 모두 생존해있으면 만기 보험금을 지급하지 않는다. 다음의 조건을 이용하여 물음에 답하시오.

• 보장기간은 20년이다.

• Ax = 0.2, Ax:20 = 0.80, 20Ex = 0.65

• Ay = 0.18, Ay:20 = 0.78, 20Ey = 0.70

• Axy = 0.16, Axy:20 = 0.81, 20Exy = 0.61

이 양로보험의 보험수리적 현가를 구하시오.

[풀이] 두번째 사망이 발생하면 지급하는 지급하면 보험금의 보험수리적 현가는 다음과 같다.

1, 000(A1x:20

+A1y:20

−A 1xy:20

) = 1, 000((0.80− 0.65) + (0.78− 0.70)− (0.81− 0.61)) = 30

만기보험금의 보험수리적 현가는

1000((20Ex − 20Exy) + (20Ey − 20Exy)) = 130

위의식은왜성립하는가? 위의결과는상태가격(state price)로이해하도록한다.(how??) 그러므로보험금의 보험수리적 현가는

30 + 130 = 160



• Axy = 0.26

• Ax = 0.3

• Ay = 0.28

• d = 0.05

• qx = 0.1

• qy = 0.02

만약 qx만 0.2로증가한다면새로운 Axy의값을위의조건을이용하여구하시오. (단,장래생존기간은상호독립을 가정한다.)

[풀이] 일반적으로 다음이 성립한다.

Au = vqu + vpuAu+1

이 관계식을 단생과 연생 기호에 적용하게 되면,

Ax = vpxAx+1 + vqx → Ax+1 =205

855

A′x =

205

855(0.95)(0.8) + (0.95)(0.2) = 0.372222

pxy = 0.9(0.98) = 0.882

Axy = Ax +Ay −Axy = 0.32 → Ax+1:y+1 =0.32− 0.95(0.118)

0.95(0.882)= 0.248120

p′xy = 0.8(0.98) = 0.784

A′xy = (0.248120)(0.95)(0.784) + (0.95)(0.216) = 0.39

A′xy = 0.372222 + 0.28− 0.39 = 0.262222


195. (x)와 (y), 보험금 기말급, 첫번째 사망이 발생하면 1원, 두번째 사망이 발생하면 1원을 지급하는 종신보험에 관련되는 보험금 현가 확률변수를 Z라고 하자. 아래의 조건을 이용하여 E[Z]를구하시오.

• ax = 9

• ay = 13

• i = 0.04

[풀이]첫번째사망이발생하면지급되는 1원의보험수리적현가는 Axy이고,두번째사망이발생하면지급되는 1원의 보험수리적 현가는 Axy이므로 이 보험의 보험수리적 현가는

Axy +Axy

이다. 관계식에 의하여 이 값은

(1− dax) + (1− day)

이므로 구하고자 하는 값은(1− 0.04

1.04(9 + 1)

)+

(1− 0.04

1.04(13 + 1)

)= 1.076923

196. 장래생존기간이 독립인 (x)와 (y)에 대하여 다음의 조건을 이용하여 물음에 답하시오.

• (x)와 (y)의 사망율 및 생존율은 동일한다고 한다.

• (x), 보험금 1원의 보통종신보험의 보험료는 0.1원이다.

• (x), (y), 보험금 1원, 두번째 사망 발생시 사망 연도말에 지급하는 종신보험의 보험료는 0.06원이다. 단, 보험료는 두 피보험자 모두 사망시까지 기시에 납입된다.

• d = 0.06

• 보험료 계산에 관련된 사항은 모두 수지상등의 원칙을 따른다.


위의조건을이용하여첫번째사망이발생하면발생하는연도말에보험금 1원을지급하는종신보험의기시종신납입 보험료를 구하시오. 단, 보험료는 두 피험자 모두 생존해 있을때에만 납입된다.

[풀이] 다음의 관계식을 이용하자

Px =1

ax− d→ ax =

1

0.06 + 0.1= 6.25

Pxy =1

axy− d→ axy =

1

0.06 + 0.06= 8.33333

axy = ax + ay − axy = 2(6.25)− 8.33333 = 4.16667

Pxy =1

axy− d =

1

4.16667− 0.06 = 0.18

197.부부가 3년만기정기보험을구매하였다. 이보험은첫번째사망이발생하면보험금 100,000원을사망연도말에 지급하고 그 이외의 지급은 없다고 한다. 다음의 조건을 이용하여 물음에 답하시오.

• 부부의 장래생존기간은 상호 독립이다.

• i = 0.08

• 부부의 각 사망율 정보는 다음과 같다.

k 남편, qx+k 부인, qy+k

0 0.08 0.061 0.10 0.102 0.12 0.133 0.14 0.17

보험금의 보험수리적 현가를 구하시오.

[풀이]

pxy = (0.92)(0.94) = 0.8648, qxy = 1− 0.8648 = 0.1352


px+1:y+1 = (0.90)(0.90) = 0.81, 1|qxy = (0.8648)(1− 0.81) = 0.164312

px+2:y+2 = (0.88)(0.87) = 0.7656, 2|qxy = (0.8648)(0.81)(1− 0.7656) = 0.164194

그러므로

APV = 100, 000

(0.1352

1.08+

0.164312

1.082+

0.164194

1.083

)= 39, 639.9

198. 다음의 정보를 이용하여 물음에 답하시오.

• 고려하는 보험의 보험금 현가확률변수 Z의 정의는 다음과 같다.

Z =

vT (y), T (x) ≤ T (y)

0, T (x) > T (y)

• (x)와 (y)의 장래생존기간은 독립이다.

• µx = 0.07

• µy = 0.09

• δ = 0.06

E[Z]를 구하시오.

[풀이] 다음의 관계식이 성립한다.(why?)

A1y:x =

0.09

0.09 + 0.07Axy

또한

Ax =0.09

0.09 + 0.06= 0.6, Axy =

0.16

0.16 + 0.06=

8

11

그러므로 (why?)

E[Z] = 0.6− 9

16· 8

11= 0.190909


199. 아래의 조건을 이용하여 A 170:75를 구하시오.

• (70)과 (75)의 장래생존기간은 상호독립니다.

• 두 피보험자 모두 ω = 100인 De Moivre 법칙을 따른다.

• a75 = 8.655

[풀이] 다음이 성립한다. (적분의 상한에 주의)

A 170:75 =

1

30

∫ 25

0vttp75dt =

a7530

= 0.2885

200. 다음의 조건을 이용하여 ax + ay + az를 구하시오.

axy = 7.5, axy = 22.5

axz = 16.0, axz = 34.0

ayz = 12.0, ayz = 33.0

[풀이] 다음의 관계식이 성립한다.

ax + ay = axy + axy

위의 주어진 모든 식을 다 더하게 되면 그 값은 2(ax + ay + az)가 된다. 그러므로

ax + ay + az = 125/2 = 62.5

201. 연속 생명연금에 대하여 아래의 조건이 주어졌다.


• (40)과 (50)이모두생존해있는동안에연액 1,000원의연금을지급하고, 한명만생존해있는경우에는 연액 600원의 연금을 지급하는 종신생명연금의 보험수리적 현가는 9,400원이다.

• 동일한피보험자들에대하여, 적어도한명의피보험자가생존해있으면연액 1,200원의연금의지급하는 연속종신생명연금의 보험수리적 현가는 13,200원이다.

동일한 피보험자들에 오직 한명만 생존해 있을때, 연액 1,000원의 연금을 지급하는 연속 종신생명연금의 보험수리적 현가를 위의 조건을 이용하여 구하시오.

[풀이] 첫번째 연금의 보험수리적 현가는

1, 000axy + 600(ax − axy + ay − axy) = 9, 400

두본째 연금의 보험수리적 현가는

1, 200(ax + ay − axy) = 13, 200

위의 두식을 정리하게 되면

axy = 7, ax + ay = 18

구하고자 하는 연금의 보험수리적 현가는

1, 000(ax + ay − 2axy) = 1, 000(18− 2(7)) = 4, 000

202. 장래생존기간이 독립인 (x)와 (y)에 대하여, 다음의 조건을 이용하여 axy:3 을 구하시오. (단,i = 0.05)

t qx+t qy+t

0 0.10 0.201 0.20 0.302 0.30 0.403 0.40 0.50


[풀이]

pxy = (0.9)(0.8) = 0.72

2pxy = (0.9)(0.8)(0.8)(0.7) = 0.4032

axy:3 = 1 +0.72

1.05+

0.4032

1.052= 2.0514

203. 장래 생존기간이 독립인 80세인 두명의 피보험자에 대하여 보험자는 3년 만기의 생명연금을판매하였다.

• 연금은 기시에 지급한다.

• 두 피보험자가 모두 생존해 있으면, 30,000원을 지급하고, 한사람만 생존해 있는 경우 20,000원을 지급한다.

• i = 0.05

• p80 = 0.91, 2p80 = 0.82, 3p80 = 0.72

이 연금의 보험수리적 현가를 구하시오.

[풀이] 다음의 확률을 먼저 구하자.(why??)

p80:80 = 0.912 = 0.8281, p80:80 = 2(0.91)− 0.912 = 0.9919

2p80:80 = 0.822 = 0.6724, 2p80:80 = 2(0.82)− 0.822 = 0.9676

이 연금은 적어도 한명이라도 생존해 있으면 20,000원을 지급하고, 모두 생존해 있으면 10,000을 추가적으로 지급하는 연금으로 생각할 수 있으므로,

APV = 30, 000+20, 000(0.9919) + 10, 000(0.8281)

1.05+20, 000(0.9676) + 10, 000(0.6724)

1.052= 80, 432

204. 장래생존기간이 독립인 (x)와 (y)에 대하여, 다음의 급부가 제공되는 보험을 판매하였다.


• 매년 초 두 피보험자 모두 생존시 2원지급

• 매년 초 (y)는 사망하고, (x)만 생존시 1원지급

• 매년 초 (x)는 사망하고, (y)만 생존시 0.5원지급

• 다음의 계리정보가 주어졌다.

ax = 8.50, ay = 7.20

axy = 5.50, d = 0.05

이 보험 급부의 보험수리적 현가를 구하시오.

[풀이] 상태가격으로 접근하면 쉽게 문제를 풀수 있다. 이 급부의 보험수리적 현가는

APV = 2axy + (ax − axy) + 0.5(ay − axy) = 0.5axy + ax + 0.5ay = 14.85

205. 연속 생명연금의 급부 구조는 아래와 같다.

• n년 동안 확정적으로 연액 10원의 연속연금을 지급

• n년 후 관측시, (x)와 (y) 모두 생존하는 동안 연액 10원의 연속연금 지급

• n년 후 관측시, (x)는 생존 (y)는 사망했을 경우 (x)가 사망할때 까지 연액 20원의 연속연금지급

• n년 후 관측시, (y)는 생존 (x)는 사망했을 경우 (y)가 사망할때 까지 연액 15원의 연속연금지급

이 연금의 보험수리적 현가를 보험수리기호로 표현하시오.

[풀이] 각 급부별 연금의 보험수리적 현가를 기호처리 한다.

• 10an


• 10n|axy

• 20n|ax − 20n|axy

• 15n|ay − 15n|axy

위의 값을 모두 더하게 되면,

APV = 10an + 20n|ax + 15n|ay − 25n|axy

제 9 장

Multi States Model

9.1 Discrete Markov Chain : Probabilities

206. 자동차보험에가입한운전자는 A등급과 B등급으로구분된다. 다음의조건을이용하여물음에답하시오.

• t 시점에 A등급의 운전자가 t+ 1 시점에서 B등급으로 전환될 확률은 0.2이다.

• t 시점에 B등급의 운전자가 t+ 2 시점에서 B등급으로 유지될 확률은 0.65이다.

• 등급의 전환은 연도말에만 발생한다.

현재 t 시점에 B등급인 운전자가 t+ 1 시점에 A 등급으로 전환될 확률을 구하시오.

[풀이] 상태 0을 A등급, 상태 1을 B등급으로 정의하면 다음의 전이 행렬을 만들 수 있다.

P =

0.8 0.2

x 1− x

주어진 조건에 의하면 2p

110 = 0.65이다. 또한 2p

110 = 0.2x+ (1− x)2 = 0.65이다. 그러므로

x = 0.2218

178

제 9 장. MULTI STATES MODEL 179

207. 자동차 보험에 가입한 피보험자가 당해연도에 사고를 내지 않았다면, 내년에도 사고를 내지않을확률은 0.9이다. 또한 당해년도에 한건이상의 사고를 낸 운전자가내년도에사고를내지 않을확률은 0.7이다. 2000년도에 사고를 내지 않은 운전자가 제 3보험연도말에 한건 이상의 사고를 낼확률을 구하시오. (단, 전이는 연도말에 일어난다고 가정한다.)

[풀이] 사고를 내지 않은 상태를 0, 사고를 한건이상 발생시킨 상태를 1로 정의하자. 주어진 조건에의하여 전이행렬은

P =

0.9 0.1

0.7 0.3

구하고하 하는 확률은

3p010

이다. 이 확률은 path-dependent or path-independent?

P 3(1, 2) = 0.124

208. 로이즈 보험사는 장기요양원의 환자 자료를 분석하여 아래와 같은 전이행렬의 일부분을 작성하였다.

독립생활 가능 단기간병 필요 장기간병 필요 퇴원독립생활 가능 0.5 0.2 0.2 0.1단기간병 필요 0.5 0.3 0.1 0.1장기간병 필요 0.0 0.0 0.8 0.2

상태의 전이에 필요한 기간은 1년이며 전이는 연도말에만 발생한다고 한다. 또한 요양원을 퇴원한환자들은다시요양원으로입원하지않는다고한다.위의자료를통하여현재요양원에서독립생활이가능한 사람이 2년동안 요양원에서 생활하고 제 3년도에 요양원을 떠날 확률을 구하시오.


[풀이] 상태번호 0, 1, 2, 3을 주어진 상태에 부여하자. 주어진 자료를 이용하면,

P =

0.5 0.2 0.2 0.1

0.5 0.3 0.1 0.1

0.0 0.0 0.8 0.2

0.0 0.0 0.0 1.0


(P 3 − P 2)(4, 1) = 0.317− 0.21 = 0.107

209. 3개의 상태를 가지는 다중상태모형에서

• 0 : 건강상태

• 1 : 장해상태

• 2 : 사망상태

를 정의한다. 또한 k = 0, 1에 대하여

• p00x+k = 0.70

• p01x+k = 0.20

• p10x+k = 0.10

• p12x+k = 0.25

현재 100명의 장래생존기간이 독립인 (x)들로 구성된 집단을 가정하자. 이 집단에 대하여 2년동안사망하는 사람들의 수를 나타내는 확률변수의 분산을 구하시오.

[풀이] 주어진 조건을 이용하여 전이행렬을 구성해 보면,

P =

0.70 0.20 0.10

0.10 0.65 0.25

0.00 0.00 1.00


2년동안 사망하는 사람들의 수를 확률변수 N으로 정의하면,

N ∼ N(100, 2p02x )

또한

P 2(1, 3) = 2p02x = 0.22


V ar[N ] = 100(0.22)(0.78) = 17.16

9.2 Continuous Markov Chain : Probabilities

210. 3개의 상태를 가정하는 다중상태 모형에서 아래와 같은 상태를 정의한다.


• 1 : 1단계

• 2 : 2단계

최초의 상태가 0인 20세인 피보험자를 가정하자. 전이는 0->1->2의 방향으로만 가능하다. 다음의조건을 이용하여 물음에 답하시오.

• µ01x = 150−x , x < 50

• µ12x = 0.04

이 피보험자가 30세에 제 2단계 상태에 있을 확률을 구하시오.


10p0220 =

∫ 10

0tp

0020µ

0120+tdt10−tp

1220+t =

∫ 10

0tp

0020µ

0120+t10−tp

1220+tdt


이다. 여기서

tp0020 = exp

(−∫ t

0

1

50− 20− udu

)=

30− t

30

또한

tp1220+t = 1− tp

11x = 1− exp

(−∫ t

00.04ds

)= 1− e−0.04t

그러므로

10p0220 =

∫ 10

0tp

0020µ

0120+t10−tp

1220+tdt

=

∫ 10

0

(30− t

30

)(1

30− t

)(1− e−0.04(10−t))dt

=1

30

(10− e−0.4

∫ 10

0e0.04tdt

)= 0.05860

211. 3개의 상태를 가정하는 다중상태 모형에서


• 1 : 질병상태


를 정의한다. 각 상태의 전이는 다음과 같이 가능하다.

0 ↔ 1, 0 → 2, 1 → 2

다음의 조건을 이용하여 5p1120을 구하시오.

• µ01x = 0.005x

• µ02x = 0.001x

• µ10x = 0.003x


• µ12x = 0.002x

[풀이]

5p1120 = e−

∫ 50 (µ10

20+s+µ1220+s)ds

= e−∫ 50 (0.003(20+s)+0.002(20+s))ds

= e−(0.0025(252−202))

= e−0.5625 = 0.569783

212. 부부 두명의 생존상태를 아래와 같이 정의한다.

• 0 : 두명다 생존

• 1 : 남편만 생존

• 2 : 아내만 생존

• 3 : 모두 사망

상태의 전이는 다음과 같이 가능하다.

0 → (1, 2), 1 → 3, 2 → 3

전이력에 대한 정보는 다음과 같다.

• µ01x = 0.0001x

• µ13x = 0.00003x2

위의 조건을 이용하여 20p1335을 구하시오.


20p1330 = 1− e−

∫ 5535 0.00003s2ds = 1− e−0.00001(553−353) = 0.70917


수업시간에도 언급하였다시피 두명의 사람 혹은 피보험자가 동시에 사망하는 경우는 존재하지않는다. 그러므로앞의문제에서처럼상태가 0에서 3으로바로전이가될수없다. 그러나이런동시사망의 이벤트는 실제로 발생하는 경우가 있으며, 이를 해결하는 모형은 지금도 계속 개발중이다.수험 목적상 0에서 3으로 바로 전이가 되는 경우의 모형은 하나만 다루면 된다.우리가 살펴볼 모형은 Common Shock 모형이며, Common Shock 모형을 전개하는 방법은 크게두가지가있다. 전자의 경우에는보험수리과정에서다중상태모형이소개되기전에세개의확률변수로전개하여 common shock 모형을설명하고, 두번째 경우에는상태(state)를이용하여 commonshock모형을전개한다. 우리는두가지경우를모두알아야하며, 어떤형태의 common shock모형이시험에 나오더라도 아래의 과정들을 이용하여 답을 낼 수 있어야 하겠다.

Approach 1

장래생존기간이독립인 (x)와 (y)를가정하자.또한평균이 1/λ인지수확률변수 Z를정의하자.이세확률변수는모두독립이다. 여기서 (x)의장래생존기간은 T ∗(x)로정의하고, (y)의장래생존기간은T ∗(y)로 정의한다. 그러면 다음의 확률변수를 살펴보자.

T (x) = min(T ∗(x), Z), T (y) = min(T ∗(y), Z)

이제두확률변수 T (x)와 T (y)는더이상독립이아니다. 이렇게장래생존기간이독립인 (x)와 (y)

가공통위험(common shock)에노출되어있을때, (x)와 (y)의장래생존기간(상호독립이아니라고가정하는 것이 자연스럽다는 것을 이해하자.)을 위와 같이 전개해 나가는 모형을 common shock모형이라고 한다. 이제 이 두 확률변수의 결합 생존함수를 유도해 보자.

sT (x),T (y)(s, t) = Pr[T (x) > s, T (y) > t]

= Pr[min(T ∗(x), Z) > s,min(T ∗(y), Z) > t]

= Pr[T ∗(x) > s, T ∗(y) > t, Z > max(s, t)]

= Pr[T ∗(x) > s]Pr[T ∗(y) > t]Pr[Z > max(s, t)]

= sp∗xtp

∗xe

−λmax(s,t)

그러므로 common shock 하에서

tpxy = tp∗xtp

∗xe

−λt


위의 식을 해석해 보면 의미 있는 결과를 얻을 수 있다.또한

tpx = Pr[T (x) > t]

= Pr[min(T ∗(x), Z) > t]

= tp∗xe

−λt

유사한 방식으로

tpy = tp∗ye

−λt

그러므로

tpxy = tpx + tpy − tpxy

= tp∗xe

−λt + tp∗ye

−λt − tp∗xtp

∗xe

−λt

= e−λt(tp∗x + tp

∗y − tp

∗xtp

∗x)

이 식의 의미를 해석하게 되면, 암기 및 유도를 하지 않고 tpxy를 유도할 수 있을 것이다.이제 Axy를구해보자. 논의를간단하게전개하기위하여 µ∗x+t = µx이고, µ∗y+t = µy라고가정한다.

Axy =

∫ ∞

0e−δt

tpxy(µx + µy + λ)dt

=µx + µy + λ

µx + µy + λ+ δ

연습으로 Ax, Ay 및 Axy를 구해보도록 한다.

Approach 2

앞에서 살펴본 common shock의 논리는 어떤 한계점이 있는가? 확률변수 Z가 지수분포를 따라야하는등의 여러 제한 조건이 있기 때문에 실제로 적용에는 그 한계가 있음을 짐작할 수 있다. 이제common shock을 처리하는 또 다른 방법은 다중상태 모형을 이용하는 것이다. 즉 다음의 상태를정의한다.

• 0 : (x) 와 (y) 모두 생존

• 1 : (x)만 생존


• 2 : (y)만 생존

• 3 : 모두 사망

기존의연생부분에서는 0에서 3으로의전이가직접적으로발생하는것을허락하지않았다. 그러나common shock 모형에서는 0에서 3으로의 직접 전이가 가능하게 한다. 그러므로 다음의 전이력을정의한다.

µ01, µ02, µ03, µ13, µ23

위의전이력들이주어지면앞에서유도했던다중상태모형의확률계산방법을그대로적용하면된다.

예제 common shock 모형에서모든전이력이상수이고현재두사람모두생존해있을때, 다음의조건을 이용하여 물음에 답하시오.

• µ01 = u

• µ23 = u+ w

• µ02 = v

• µ13 = v + w

• µ03 = w

(1) 장래에 두 사람 모두 동일한 시점에 사망할 확률을 구하시오.

(2) t 시점에 적어도 한사람이상 생존해 있을 확률을 구하시오.

풀이 이 답안을 Approach 1과 비교해 보도록 한다.

(1) 구하고자 하는 확률은 다음과 같다.

Pr[T (x) = T (y)] =

∫ ∞

0∞p

00µ03dt =

∫ ∞

0e−(u+v+w)twdt =

w

u+ v + w

(2) 이 문제가 요구하는 확률을 다중생존함수에 관련된 notation으로 표현해 보길 바란다. 다음세가지 확률을 구해 더하면 된다.

tp00, tp

01, tp02


각 값을 구해보면

tp00 = e−(u+v+w)t

tp01 =

∫ t

0e−(u+v+w)tue−(v+w)(t−w)ds = e−(v+w)t − e−(u+v+w)t

tp02 = e−(u+w)t − e−(u+v+w)t

그러므로 구하고하 하는 확률은

e−(u+w)t + e−(v+w)t − e−(u+v+w)t = tpxy

213. 3개의 상태를 가정하는 다중상태 모형에서 다음을 정의한다.




상태의 전이는 아래와 같이 가능하다.

0 → 1, 0 → 2, 1 → 2

아래의 조건을 이용하여 물음에 답하시오.

• µ01x = 0.2

• µ02x = 0.05

• µ12x = 0.25

현재 건강한 상태의 피보험자가 10년 이후 관측시 피보험자가 사망 상태에 있을 확률을 구하시오.

[풀이] 앞의 문제들과 어떤한 점이 다른가? 만약 문제가 요구하는 답은 다음의 확률을 계산한다고가정하면 어떤 부분이 잘못되었는가?

10p02x =

∫ 10

0tp

00x µ

02x+t10−tp

22x+tdt



10p02x =

∫ 10

0tp

00x µ

02x+tdt+

∫ 10

0tp

00x µ

01x+t10−tp

12x dt

이다. 이 확률을 구하기 위하여 필요한 각 값을 구하게 되면

tpx = e−0.25t

tp12x =

∫ t

0up

11x µ

12x+udu = 1− e−0.25t

그러므로

10p02x =

∫ 10

0e−0.25t0.05dt+

∫ 10

0e−0.25t0.2(1− e−0.25(10−t)dt

=0.05

0.25(1− e−2.5) +

0.2

0.25(1− e−2.5)− 2e−2.5

= 0.753745

이 확률은 앞의 방법을 사용해도 되지만 다음의 방법을 사용해도 구할 수 있다.

10p02x = 1− 10p

00x − 10p

01x

필요한 각 값들을 구해보면,

10p00x = e−(0.2+0.05)(10) = 0.082085

10p01x =

∫ 10

0tp

00x µ

01x+t10−tp

11x+tdt

tp00x = e−0.25t

10−tp11x = e−0.25(10−t) = e−2.5e0.25s

10p01x =

∫ 10

0e−0.25t(0.2)e−2.5e0.25tdt =

∫ 10

00.2e−2.5dt = 0.164170

그러므로

1− 0.082085− 0.164170 = 0.753745

이 문제를 통해 어떤 상태에서 어떤 상태로 전이될 확률을 구할때, 제 3의 상태를 거쳐서 전이가가능한 경우에 어떻게 요구하는 답안을 구하는지를 익히도록 하자.이와 더불어 상태가 서로 com-municating하는 경우에 어떻게 문제를 처리해야하는 지도 더불어 정리하도록 한다.(Kolmogorov


Backward Equations)






0 → 1, 0 → 2, 1 → 2


• µ01x = 0.15

• µ02x = 0.07

• µ12x = 0.10

현재건강한상태의피보험자가 5년뒤 10년이내에장해상태에한번이라도도달할확률을구하시오.

[풀이] 거치형 문제이므로 두개의 확률을 구해서 (어떤 확률?) 그 두 값의 차를 구한다. 5년 이내에장해 상태에 한번이라도 도달할 확률은∫ 5

0sp

000 µ

01x+sds =

∫ 5

0e−(0.15+0.07)s(0.15)ds =

0.05

0.22(1− e−1.1)

10년 이내에 장해 상태에 한번이라도 도달할 확률은∫ 10

0sp

000 µ

01x+sds =

∫ 10

0e−(0.15+0.07)s(0.15)ds =

0.05

0.22(1− e−2.2)

그러므로 구하고자 하는 확률은

0.15

0.22(e−1.1 − e−2.2) = 0.15141






• 3 : 해약


0 → (1, 2, 3), 1 → 2

• µ01x = 0.15

• µ02x = 0.03

• µ03x = 0.20

• µ12x = 0.05

현재 건강한 (x)가 x+ 5 시점에 장해 상태에 있을 확률을 구하시오.

[풀이] 구하고자 하는 확률은 다음과 같다.

5p01x =

∫ 5

0tp

00x µ

01x+t5−tp

11x dt

필요한 각 값을 구하게 되면

tp00x = e−(0.15+0.03+0.20)t = e−0.38t

tp11x = e−0.05t

5p01x =

∫ 5

0e−0.38t(0.15)e−0.05(5−t)dt

= 0.15e−0.25

∫ 5

0e−0.33tdt

= 0.286015







0 → 1, 0 → 2, 1 → 2


• µ01x = 0.20

• µ02x = 0.05

• µ12x = 0.15

ddt8p

010 을 구하시오.

[풀이] Kolmogorov의 방정식은 다음과 같다.

d

dttp

ijx =

n∑k=0,k =j

(tp

ikx µ

kjx+t − tp

ijx µ

jkx+t

)위의 식은 아래의 식으로부터 유도된다.

t+hpijx ≈ tp

ijx + h

n∑k=0,k =j

(tp

ikx µ

kjx+t − tp

ijx µ

jkx+t

)위의 결과를 이 경우 적용하게 되면

d

dt8p

010 = 8p

000 µ

018 − 8p

010 µ

128


필요한 각 값을 구하게 되면

8p000 = e−(0.20+0.05)(8) = 0.135335

8p010 =

∫ 8

0e−0.25s(0.20)e−0.15(8−s)ds = 0.331718

그러므로

d

dt8p

010 = −0.02269






0 ↔ 1, 0 → 2, 1 → 2

• µ01x = 0.04

• µ02x = 0.005

• µ10x = 0.01

• µ12x = 0.02

또한 다음의 조건이 주어졌다.

2p000 = 0.914453, 2p

010 = 0.074508, 2p

020 = 0.011039

2p100 = 0.018627, 2p

110 = 0.942393, 2p

120 = 0.038889

h = 0.1로 설정하고, 오일러 방법 (Euler Method)을 이용하여 2.2p000 을 구하시오.


[풀이]

2.1p000 = 0.914453 + (0.1)(0.074508(0.01)− 0.914453(0.04 + 0.005)) = 0.910412

2.1p010 = 0.074508 + (0.1)(0.914453(0.04)− 0.074508(0.01 + 0.02)) = 0.077942

2.2p000 = 0.910412 + (0.1)(0.077942(0.01)− 0.910412(0.04 + 0.005)) = 0.906394

9.3 Premiums and Reserves

218. 보험회사의계리사인당신은요양보험을구매하는피보험자의상태를아래의네가지로가정하였다.

• 0 : 독립생활 가능

• 1 : 단기 요양 필요

• 2 : 장기 요양 필요

• 3 : 사망

상태의 전이는 매 연도말에만 발생하며, 전이 행렬은 다음과 같다.0.6 0.2 0.1 0.1

0.7 0 0.1 0.2

0 0 0.7 0.3

0 0 0 1

매년도 상태별 전이가 발생하면 매년도 말에 1,000원의 비용이 발생한다고 한다. 현재 독립생활이가능한 피보험자를 가정할 경우 3년 동안 발생하는 비용의 보험수리적 현가를 구하시오. (단,v = 0.95, 전이행렬은 매년 동질적이다.)

[풀이] 제 1보험연도 말에 전이가 발생할 확률은

0.2 + 0.1 + 0.1 = 0.4


제 2보험년도 말에 전이가 발생할 확률을 계산해 보자. 만약 피보험자가 0상태에 있다고 가정했을경우 전이가 발생할 확률은

0.1 + 0.1 + 0.2 = 0.4

만약 피보험자가 1상태에 있다고 가정했을 경우 전이가 발생할 확률은

0.7 + 0.1 + 0.2 = 1

만약 피보험자가 2상태에 있다고 가정했을 경우 전이가 발생할 확률은

0.3

그러므로 각 상황이 발생할 확률을 이용하여 무조건부 확률을 구하게 되면,

0.4(0.6) + 1(0.2) + 0.3(0.1) = 0.47

제 3보험년도 말에 전이가 발생할 확률을 계산하기 위하여 앞에서 구한 동이한 방법을 사용하면

0.4(0.5) + 1(0.12) + 0.3(0.15) = 0.365

그러므로 APV는 (Triple Product Summation에 의하여)

1, 000(0.95(0.4) + 0.952(0.47) + 0.953(0.365)) = 1, 117.116875

219. 3개의상태를가정하고각연도별적용되는전이확률은비동질마코프과정(non-homogeneousMarkov process)을 가정한다. 상태의 정의 및 각 기간별 적용되는 전이 행렬은 다음과 같다.

• 피보험자가 도달할 수 있는 상태는 A, B, C이다.

• 상태는 매 시점 말에 전이가 발생한다.

• 시점 0에서는 아래의 전이 행렬이 적용된다.

P1 =

0.4 0.4 0.2

0.3 0.4 0.3

0.2 0.4 0.4


• 시점 1에서는 아래의 전이 행렬이 적용된다.

P2 =

0.3 0.3 0.4

0.1 0.2 0.7

0.4 0.1 0.5

위의 다중상태 모형을 이용하여 아래의 보험상품을 개발하였다.

• 보험기간은 2년이다.

• 매 연도말 임의의 상태에서 상태 C로 전환되면 보험금 1이 지급된다. (단, 상태 C에서 C로유지가 되면 보험금은 지급 되지 않는다.)

• 보험료는기시납으로피보험자가상태가납입시 A일경우에만납입된다. 납입기간은많아봐야2년이다.

• 보험료는 수지상등의 원칙에 의하여 결정된다.

• i = 0.04

현재 A 상태에 있는 피보험자가 제 1보험연도 말 여전히 A 상태를 유지하고 있을 경우 제 1보험년도말 책임준비금을 구하시오.

[풀이] 보험금 1원의 보험수리적 현가는

1 · 1

1.04· 0.2 + 1 · 1

1.042(0.4)(0.7) + 1 · 1

1.042(0.4)(0.4) = 0.599112

보험료를 구하기 위해서 연금 팩터를 구해보면

aAAx:2

= 1 +1

1.04· 0.4 = 1.384615

여기서연금팩터를구할때, 피보험자가보험료납입시 A상태에만있으면보험료를납입한다고하였다. 만약문제에서반드시 A상태를유지할때에만보험료를납입하고한번이라고 A상태를벗어나게되면보험료납입을면제한다고했을때에는위와같은방법으로구하도그값은같다.(why??)그러나보험료 납입기간이 3년 이상이 되면 이 두가지 납입조건은 서로 다른 APV를 발생시키므로 주의가필요하다. 즉 TPS를 구할때 P(Probability)가 달라진다. 이 문제의 경우 P를 구할때 전이행렬을곱해 대응하는 확률을 추출하면 되지만 후자의 경우에는 Sample Path중 제한조건을 만족하는


경우만 추출하고 그 sample path가 발생할 확률이 P가 된다.보험료를 π라고 하면

π =0.599112

1.384615= 0.432692

이제 책임 준비금을 구해보자. 현재 피보험자가 A상태에 있으므로 장래 지출의 보험수리적 현가는

1 · 1

1.04· 0.4 = 0.384615

그러므로

1V(A) = 0.384615− 0.432692 = −0.048077

다중상태 모형에서 책임준비금의 기호를 어떻게 사용하는지도 익히도록 하자.

220. 보험회사의계리사인당신은요양보험을구매하는피보험자의상태를아래의네가지로가정하였다.

• 0 : 독립생활 가능

• 1 : 단기 요양 필요

• 2 : 장기 요양 필요

• 3 : 사망

상태의 전이는 매 연도말에만 발생하며, 전이 행렬은 다음과 같다.0.6 0.2 0.1 0.1

0.7 0 0.1 0.2

0 0 0.7 0.3

0 0 0 1

각 상태별 피보험자가 매년 필요한 비용은 다음과 같다.

• 독립생활 가능 : 100원


• 단기 요양 필요 : 200원

• 장기 요양 필요 : 250원

이 비용은 매년 초 발생하는 비용이라고 할때, 현재 독립생활이 가능한 피보험자에게 지급되는 4년동안의 비용의 보험수리적 현가를 구하시오. (단, v = 0.95)

[풀이] Path-independent or Path-dependent? 제 1보험연도 비용의 보험수리적 현가는 현재 피험자가 독립생활이 가능하기 때문에 100원이다.제 2보험연도의 비용의 기대값을 구하게 되면,

100(0.6) + 200(0.2) + 250(0.1) = 125

제 3보험년도에 발생하는 비용의 기대값을 구하게 되면

100(0.48) + 200(0.14) + 250(0.17) = 118.5

제 4보험년도에 발생하는 비용의 기대값을 구하게 되면

100(0.372) + 200(0.11) + 250(0.195) = 107.95

그러므로 비용의 보험수리적 현가는

100 + 0.95(125) + 0.952(118.5) + 0.953(107.95) = 418.2499

221. 네개의 상태를 가정하는 다중상태 모형에서


• 1 : 1단계

• 2 : 2단계

• 3 : 3단계

최초 (x)는 0상태에 머물고 있으며, 전이는 0->1->2->3의 방향으로만 가능하다. 관련된 전이력은다음과 같다.


• µ01x+t = 0.03, t > 0

• µ12x+t = 0.15, t > 0

• µ23x+t = 0.06, t > 0

만약 피보험자가 2상태에 머물고 있으면, 연지급 1원의 연속연금을 지급할때, 이 연속연금의 보험수리적 현가를 구하시오. (단, δ = 0.05)

[풀이] 구하고자 하는 연금의 보험수리적 현가는

a02x =

∫ ∞

0e−δt

tp02x dt

이다. 여기서

tp22x = e−0.06t

tp12x =

∫ t

0e−0.15u(0.15)e−0.06(t−u)du

= 0.15e−0.06t

∫ t

0e−0.09udu =

5

3(e−0.06t − e−0.15t)

tp02x =

∫ t

0(0.03)e−0.03u 5

3(e−0.06(t−u) − e−0.15(t−u))du

= 0.05

(e−0.03t − e−0.06t

0.03− e−0.03t − e−0.15t

0.12

)그러므로

a02x = 0.05

∫ ∞

0

(e−0.08t − e−0.11t

0.03− e−0.08t − e−0.20t

0.12

)= 2.55682

연습문제로 a00x , a11x , a22x 를 구해보자.

222. 영구 장해 모형에서 다음을 가정한다.



• 1 : 영구장해 장태


가능한 상태의 전이는 다음과 같다.

0 → (1, 2), 1 → 2

각 상태의 전이력은 다음과 같다.

• µ01x = 0.75100−x , x < 100

• µ02x = 0.25100−x , x < 100

• µ12x = 1100−x , x < 100

3년 만기 보험의 보장구조는 다음과 같다.

• (60), 현재 건강상태의 피보험자를 가정한다.

• 매년초 피보험자가 장해 상태에 있으면, 1,000원을 기시에 지급한다.

• 사망하면 사망하는 연도말에 사망보험금 10,000원을 지급한다.

• 보험료는 건강상태일 때에만 기시에 납입하고, 납입기간은 많아봐야 3년이다.

i = 0.05일때, 보험료를 수지상등의 원칙에 의하여 구하시오.

[풀이] 먼저 연금의 보험수리적 현가를 구해보도록 하자. 연금의 보험리적 현가는

1, 000

[p01601.04

+2p

0160

1.042

]위의 계산을 위하여 필요한 확률을 구하기 위하여 다음을 구한다.

tp0160 =

∫ t

0up

00x µ

01x+ut−up

11x+udu

=

∫ t

0

(40− u

40

)(0.75

40− u

)(40− t

40− u

)du

=0.75(40− t)

40

∫ t

0

1

40− udu

=0.75(40− t)

40log 40

40− t


그러면 연금의 보험수리적 현가는

1, 000

[0.018514

1.05+

0.036546

1.052

]= 50.781

보험금의 보험수리적 현가는 다음과 같다고 가정하자.

100, 000

[p02601.04

+2p

0260

1.052+

3p0260

1.053

]위의 식에서 잘못된 부분은 어디인가? 올바른 식은

100, 000

[p02601.04

+2p

0260 − p02601.052

+3p

0260 − 2p

0260

1.053

]필요한 각 값들을 구해보면

p0260 = 1− 39

40− 0.018514 = 0.006486

2p0260 = 1− 38

40− 0.036546 = 0.013454

3p0260 = 1− 37

40− 0.054086 = 0.020914

그러면 보험금의 보험수리적 현가는 189.217이다. 마지막으로 연금 팩터를 구해보면

1 +39

40 · 1.05+

38

40 · 1.052= 2.79025

그러므로 수지상등의 원칙에 의하여 계산된 보험료를 π라고 하면,

π =50.781 + 189.217

2.79025= 86.08

223. 영구 장해 모형에서 다음을 가정한다.


• 1 : 영구장해 장태



가능한 상태의 전이는 다음과 같다.

0 → (1, 2), 1 → 2

각 상태의 전이력은 다음과 같다.

• µ01x = 0.05, t > 0

• µ02x = 0.01, t > 0

• µ12x = 0.20, t > 0

종신토록 보장하는 보험의 보장구조는 다음과 같다.

• (x), 현재 건강상태의 피보험자를 가정한다.

• 피보험자가 장해 상태에 있으며, 연액 1,000원 기준으로 연속연금을 지급한다..

• 피보험자가 사망하면 사망하는 즉시 사망보험금 10,000원을 지급한다.

• 사망보험금은 건강상태에서 사망상태로의 전이가 일어날때에만 지급한다.

• 보험료는 납입시 건강상태일 때에만 기시에 납입하고, 납입기간은 종신이다.

i = 0이고, 보험료는 연속납을 가정할때 수지상등의 원칙에 의하여 보험료 연액을 구하시오.

[풀이] 보험금의 보험수리적 현가는 다음과 같다.

APVB =

∫ ∞

010, 000(1)tp

00x µ

02x+tdt = 10, 000

∫ ∞

00.01e−0.06tdt =

10, 000

6=

5, 000

3

또한

tp01x =

5

14(e−0.05t − e−0.2t)

이므로 연금의 보험수리적 현가는

1, 000

(5

14

(1

0.06− 1

0.2

))= 4166.667

마지막으로 연금팩터는∫ ∞

0e−δt

tp00x dt =

1

µ01 + µ02 + δ=

1

0.05 + 0.01 + 0=

1

0.06


이다. 그러므로 보험료 연액을 π라고 하면

π =4166.667 + 5, 000/3

1/0.06= 350

다중상태를가정한경우책임준비금의미분방정식을유도해보자. 단순생존-사망상태모형에서Fully continuous Insurance의 책임준비금 tV 는 다음의 미분방식을 만족한다.

d

dttV = πt + δtV − (bt − tV )µx+t

양변에 dt를 곱하면

dtV = πtdt+ tV δdt︸︷︷︸증가부분

− (bt − tV )µx+tdt︸︷︷︸감소부분

위의 미분방정식은 책임준비금의 변화량은 증가부분에서 감소부분을 차감한 값이 책임준비금의변화량이라는 것을 보여주고 있다. 즉 책임준비금의 변화량이라는 것은 증가한 부분에서 필요한부분을 차감한 부분이라는 것이다. 이 논리는 모든 보험에 다 적용된다는 것을 기억하자. 그럼 이논리를 이용하여 연속형 마코프 체인 모형에서 위와 같은 미분방정식을 유도해 낼수 있을까? 먼저다음의 경우를 생각해 보자. 고려하는 상태는




여기서 피보험자가 사망상태에 도달하게 되면 피보험자는 그 상태에서 다른 상태로의 전이가불가능하다고가정한다. 단, 그외의상태들간의 communicating이가능하다고가정한다. 즉 다음의전이가 가능하다.

0 ↔ 1, 0 → 2, 1 → 2

고려하는 보험은 다음과 같다.

• 현재 피보험자 (x)는 건강상태이다.


• 보장기간은 n년이다.

• 피보험자의 상태가 0에서 1로 전환되고 계속 그 상태가 유지되면 연액 B원의 연속 연금을지급한다.

• 피보험자가 사망하면 사망하는 그 즉시 사망보험금 S를 지급한다.

• 보험료는 피보험자가 건강상태일때에만 납입한다.

장래의 t시점에서피보험자가건강상태라고가정하자.이때피보험자를위하여적립한책임준비금을

tV(0)

이라고 정의하자. 그러면

tV(0) = Ba01x+t:n−t + SAx+t:n−t − πa00x+t:n−t

우리는 시간이 dt만큼 흘러감에 따라 dtV(0)을 유도하는 것이 목적이다. 즉

t+dtV(0) − tV

(0)

을 유도하도록 하자. 그렇다면 dt 시간동안 발생하는 이벤트들은 무엇인가? 증가부분을 계산하기위해서는 아래의 두가지를 고려해야 한다.

• 화폐의 시간가치

• 보험료의 납입

그러면 감소시키는 요인들은

• 0에서 2로 전환 될때의 현금 유출 (사망보험금)

• 0에서 1로 전환 될때의 현금 유출 (책임준비금??)

이제 위의 네가지를 표현하여 가감하게 되면

tV(0)δdt+ πtdt− (tV

(1) − tV(0))µ01x+tdt− (S − tV

(0))µ(02)x+tdt

그러므로

d

dttV

(0) = tV(0)δ + πt − (tV

(1) − tV(0))µ01x+t − (S − tV

(0))µ02x+t


동일한 논리로

d

dttV

(1) = tV(1)δdt−B − (tV

(0) − tV(1))µ10x+t − (S − tV

(1))µ12x+t

여기서 보험료 납입부분이 없는 것을 주의하라.

이를 일반화 하면 다음과 같다. 먼저 다음의 기호를 정의하자.

• B(i)t : 피보험자사 상태 i에 있을 경우 지급되는 금액의 연액화 된 값

• Sijt : 상태 i에서 상태 j로 전환되는 경우 즉시 지급되는 금액

위의 notation을 이용하여 아래의 Thiele’s 미분 방정식을 얻을 수 있다.

d

dttV

(i) = δttV(i) −B

(i)t −

n∑j=0,j =i

µijx+t

(S(ij)t + tV

(j) − tV(i))

여기서 δ가 δt로 표현되었음을 유의하라.

224. 고려하는 상태는 다음과 같다.




• 3 : 해약상태

상태의 전이는 다음과 같이 가능하다.

0 → (1, 2, 3), 1 → (2, 3)

전이력의 정보 및 이력은 다음과 같다.

• µ01x+10 = 0.04, µ02x+10 = 0.01, µ03x+10 = 0.12, µ12x+10 = 0.02, µ13x+10 = 0.01

• δt = 0.01t

(x)에게 판매한 보험의 보험료 및 급부구조에 관란 사항은 다음과 같다.


• 보험료는 일시납이다.

• 판매시 피보험자의 상태는 건강상태이다.

• 피험자가 질병상태에 도달하면 상태에 머무는 기간동안 연액 200원을 기준으로 연속연금이지급이 된다.

• 피보험자가 사망하면 사망즉시 보험금 5,000원을 지급한다.

• 피보험자가 질병상태에서 해약시 해약환급금 1,000원을 지급한다.

다음의 조건을 이용하여 ddt10V

(1)을 구하시오.

10V(0) = 2, 000, 10V

(1) = 4, 000

[풀이] 다중상태에 관련된 책임준비금의 미분 방정식을 이용하면,

d

dt10V

(1) = 0.1(4, 000)− 200− 0.02(5, 000− 4, 000)− 0.01(1, 000− 4, 000) = 210

제 10 장

Interest Rate Risk

10.1 Replicating Cash Flows

225.아래는각만기별무이표채(단, 무이표채의만기가격은 1,000원이다.)의가격을정리한것이다.이를 이용하여 3년 만기 연 수익률 (3-year spot rate)을 구하시오.

만기 가격1 980.392 956.103 912.004 875.525 821.93

[풀이]문제에서는무이표채의만기가액이 1원일수도있고, 100원일수도있으니, 계산실수가없도록주의하자.(사실 ratio를 처리하기 때문에 큰 이슈는 아님). 시장에서 거래되고 있는 무이표채에서수익률을 추출해 내면 이 수익률이 기간동안 적용될 투자수익률이나 대출이율이 됨을 기억하자.3년 만기 연 수익률을 y3로 정의하면,

y3 =

(1, 000

912.00

) 13

− 1 = 0.0312

또한 특별한 언급이 없으면 모든 rate는 annualized된 값이라고 가정하고 답 또한 연기준화된 율을제시하도록 한다.

206

제 10 장. INTEREST RATE RISK 207

226.아래는각만기별무이표채(단, 무이표채의만기가격은 1,000원이다.)의가격을정리한것이다.

만기 가격1 950.002 910.153 880.254 845.45

만약 지금부터 정확히 2년뒤 2년 동안 적용될 연 선도이율을 구하시오.

[풀이] 이자율을 다룰때 가장 중요한 부분은 notation을 정확히 이해하고 암기하고 있는 것이다.앞에서언급하였다시피모든율은 1년을기준단위로측정된것이다. 예를들어 f(3, 10)은지금부터3년후 10년까지 즉 3년후 7년동안 적용될 선도이율을 연단위로 측정한 값이다. 그러나 t기간 동안적용되는할인율을 v(t)라고하면할인율 v(t)는연단위로측정하지않고 t기간을기준으로측정한다.예를 들어 v(2)가주어지고 2년뒤 1원이발생하면, 그 1원의가치는 1 · v(2)이지 1 · v(2)2이아니다.이제 문제의 답을 구해보자.

f(2, 4) =

(v(2)

v(4)

) 12

=

(910.15

845.5

) 12

− 1 = 0.0376

227. 아래는 지금부터 t시점부터 t+ 1시점동안 적용될 선도이율을 정리한 것이다.

t 1 2 3 4 5f(t, t+ 1) 0.030 0.032 0.036 0.042 0.050

위의 자료를 이용하여 4년 만기 연 수익률을 구하시오.[풀이]

y4 = ((1.030)(1.032)(1.036)(1.042))14 − 1 = 0.034990


228. 다음의 수익률 곡선을 고려하자.

yt = 0.02 +

√t

200

위의 수익률 곡선을 이용하여, 5년뒤 10년동안 적용될 선도이율을 구하시오.

[풀이] 주어진 수익률 곡선에 의하여

y5 = 0.02 +

√5

200= 0.031180, y15 = 0.02 +

√15

200= 0.039365

그러므로

f(5, 15) =

(1.03936515

1.0311805

) 110

− 1 = 0.04348

229.다음의조건을이용하여 (x), 보험가입금액 1,000원, 보험금사망기말급의 4년만기양로보험의일시납 순보험료를 보험계약의 현금흐름의 복제 기법을 이용하여 구하시오.

• y1 = 0.025, y2 = 0.035, y3 = 0.038, y4 = 0.040

• px = 0.99, 2px = 0.98, 3px = 0.97, 4px = 0.95

[풀이]현금흐름의복제기법이란보험회사가장래에발생하는보험금을지급하기위하여보험계약으로부터발생하는현금흐름을자본시장에서거래되는채권(또는다른자산을이용할수도있음)의현금흐름과 일치시키는 방법을 말한다. 먼저 보험금 1원을 만기가액이 1원인 무이표채로 복제하게되면 이 계약의 보험수리적 현가는 다음과 같다.

0.01

(1

1.025+

1

1.0352+

1

1.0383

)0.97

1.044= 0.85719

그러므로 보험금 1,000원에 대하여 일시납 순보험료는 875.19원이다.

230. f(t, t+ s)를 이자율의 기간구조를 이용하여, 장래 t와 t+ s시점사이에 적용될 연 선도이율로정의한다. 아래의 조건을 이용하여 물음에 답하시오.


• f(0, 1) = 0.020, f(1, 2) = 0.040, f(2, 3) = 0.048, f(3, 4) = 0.054, f(4, 5) = 0.060

• px = 0.99, 2px = 0.98, 3px = 0.97, 4px = 0.95, 4px = 0.93

위의 조건을 이용하여, (x), 2년거치 3년만기 유기 기시급, 연 지급액 1원의 생명연금의 일시납순보험료를 생명연금의 현금흐름의 복제기법으로 구하시오.

[풀이] 주어진 선도 이율도 할인율을 구해보면

v(2) =1

1.02

1

1.04= 0.942685

v(3) = v(2)1

1.048= 0.899508

v(4) = v(3)1

1.054= 0.853423

그러므로 연금의 보험수리적 현가는

(0.942685)(0.98) + (0.899508)(0.97) + (0.853423)(0.95) = 2.6071

231. (60),사망보험금기말급, 보험가입금액 1,000원의 10년만기양로보험에대하여아래의조건이주어졌다.

• 사망법칙은 ω = 100인 De Moivre법칙을 가정한다.

• 이자율의 기간구조에서 추출한 연 선도이률은 다음과 같다.

t 6 7 8 9 10f(t− 1, t) 0.040 0.045 0.050 0.053 0.055

• 보험료는 전기 기시납이며, 42원이다.

위의 조건을 이용하여 이 보험의 제 7보험연도말 책임준비금을 구하시오.

[풀이] v(7, t), (t > 7)를 7시점에서측정한 t− 7기간동안적용되는할인율이라고정의하자. 주어진선도이율에 의하여

v(7, 8) = 1/1.05 = 0.952381


v(7, 9) = v(7, 8)/1.053 = 0.904445

v(7, 10) = v(7, 9)/1.055 = 0.857294

(67)의 장래개산 생존기간의 확률질량함수는 1/33으로 일정하므로 보험금의 보험수리적현가는

1, 000

33(v(7, 8) + v(7, 9) + v(7, 10)) = 861.60

보험료의 보험수리적 현가는

42

33(33 + 32v(7, 8) + 31v(7, 9)) = 116.47

그러므로

7V = 816.60− 116.47 = 745.13

10.2 Diversifiable and Non-Diversifiable Risk


• q65 = 0.01

• 예정 이자율의 분포는 다음과 같다.

i =

0.04, with probability 0.5



현재보험사는장래생존기간이독립인 100명의 65세인사람들에게 1년만기, 보험금 1,000원, 보험금사망기말급의 정기보험을 판매하였다. 이 판매를 통하여 구성되는 보험포트폴리오 수준에서의보험금 현가확률변수의 분산을 구하시오.

[풀이]이단원에서가장중요한내용은다음의분산계산공식이다. 확률변수 Z를피보험자한사람을위해서 정의하는 보험금 현가확률변수라고 하자. 이 확률변수의 분산은 아래와 같이 주어진다.

V ar[Z] = V ar[E[Z|i]] + E[V ar[Z|i]]


“확률변수” E[Z|i]는 다음과 같은 확률분포는 갖는다.

E[Z|i] = 1, 000(0.01)

1 + i =




“확률변수” V ar[Z|i]는 다음과 같은 확률분포는 갖는다.

V ar[Z|i] = 1, 0002(0.01)(0.99)

(1 + i)2 =




그러면

V ar

E 100∑j=1

Zi|i

= 218.75

E

V ar 100∑j=1

Zi|i

= 890, 120.80

그러므로

V ar

[100∑i=1

Zi

]= 218.75 + 890, 120.80 = 890, 340

233. 로이즈 보험사는 아래와 급부구조를 가지는 1년 만기, 보험금 1,000원, 사망기말급의 특수한정기보험을 판매하였다.

• 보험금은 피보험자가 1년 이내에 사망함과 동시에 사망연도말 계약초에 고려했던 주식의가격이 1년뒤 최초 주식의 가격보다 하락할때에만 지급한다.

• qx = 0.05

• 보험의 만기시 주식의 가격이 하락할 확률은 0.1이다.

• 피보험자의 장래생존기간과 주식의 가격의 불확실성은 상호 독립이다.


• i = 0.03

다음의 확률변수를 정의하자.

X10 : 10명의 (x)에게 이 정기보험을 판매할 경우 정의되는 전체보험금의 현가확률변수

XN : N명의 (x)에게 이 정기보험을 판매할 경우 정의되는 전체보험금의 현가확률변수

피보험자들의 장래생존기간이 상호 독립이라고 가정할때, 다음의 값을 구하시오.√V ar(X10)

10− lim

N→∞

√V ar(XN )

N

[풀이] 이런 문제를 풀때 가장 어려운 점은 어떤 불확실성을 conditioning 으로 사용할 것이지를결정하는 것이다. 기본 수업시간에서 Risk가 분산불가능한 이유는 포트폴리오에 관련된 확률변수들이서로독립이아니기때문인것을살펴보았다. 그렇다면 어떤불확실성이관련된확률변수들을서로 “연관”시키는것일까? 즉어떤위험에전체피보험자에관련된불확실성에동일하게작동하는것일까? 앞의 문제에서는 이자율이었다. 이 경우에는 주식의 가격이 피보험자들의 불확실성하에영향을끼친다.만약이이자율위험이나자산위험이존재하지않으면피보험자집단에서불확실성은장래생존기간이나, 피보험자의 의사결정들 뿐이며, 이 변수들은 서로 독립이라고 가정할 수 있을것이다. 그렇다면어떤확률변수를 conditioning으로사용해야할까? t시점에서주식의가격을 S(t)

라고 정의하자. 그러면

V ar [XN ] = V ar [E [XN |S(1)]] + E [V ar [XN |S(1)]]

또한 XN = Z1 + Z2 + · · ·+ ZN이고, conditioning에 의하여

E [Zi|S(1)] = E [Z|S(1)] =

0, S(1) ≥ S(0)

1,000qx1.03 , S(1) < S(0)

V ar [Zi|S(1)] = V ar [Z|S(1)] =

0, S(1) ≥ S(0)

1,0002qxpx1.032

, S(1) < S(0)


그러면

V ar [XN ] = V ar [E [XN |S(1)]] + E [V ar [XN |S(1)]]

= V ar

[E

[N∑i=1

Zi|S(1)

]]+ E

[V ar

[N∑i=1

Zi|S(1)

]]= N2V ar [E [Z|S(1)]] +NE [V ar [Z|S(1)]]

또한 two-points 분포의 특성을 이용하여

V ar [E [Z|S(1)]] = 1, 0002q2x1.032

(0.1)(0.9)

E [V ar [Z|S(1)]] = 1, 0002qxpx1.032

(0.1)

주어진 조건을 대입하게 되면√V ar(X10)

10− lim

N→∞

√V ar(X10)

10= 11.1238

234. (70)에 대하여 다음의 사망율 정보가 주어졌다.

q70 =




70세인 피보험자 500명으로 구성된 피보험자 집단에 대하여 1년 동안 사망하는 피보험자수의분산을 구하시오.

[풀이] 1년 동안 사망하는 사람들의 수를 나타내는 확률변수를 D라고 정의하자. 그러면

E[E[D|q70]] = 0.5(5) + 0.25(6 + 8) = 6

E[E[D|q70]2] = 0.5(52) + 0.25(62 + 82) = 37.5


V ar[E[D|q70] = 37.5− 62 = 1.5

위의 과정은 E[D|q70]이 two-points 분포를 따르지 않기 때문에 거치는 과정이다.또한 q70이 결정되면 확률변수 D의 분산은

500q70(1− q70) =




이 확률변수의 기대값은

E[V ar[D|q70] = 0.5(4.95) + 0.25(5.928 + 7.872) = 5.925

그러므로

V ar[D] = 1.5 + 5.925 = 7.425

제 11 장

Profit Measures

234. (60), 3년 만기 정기보험에 대하여 아래의 가정을 고려하자.

• 사망보험금은 1,000,000원이며, 기말급이다.

• q60+t = 0.014 + 0.0001t

• 모든 현금흐름은 6%의 연 (annual) 수익률로 부리된다.

• 영업보험료는 14,500원이다.

• 최초보험사는 1,000원의비용을지출하며, 그외보험년도초에는보험료를이용하여 100원을기시에 지출한다. (단, 비용 100원은 제 1보험연도 보험료로부터 갹출하여 지출된다.)

• 제 1보험연도 및 2보험연도 말 책임준비금은 각각 700원이다.

• 매년도 말 발생하는 이익은 10%의 위험반영 수익률 (요구 수익률)로 할인된다.

위의 조건을 이용하여 이 보험의 기대이익의 순현재가치 (Net Present Value, NPV)를 구하시오.

[풀이] 다음의 표를 작성하자.

t 준비금 (연초) 보험료 비용 투자수익 보험금 준비금 (연말) 이익 (?) 확률 (t−1px) 이익 (?)0 1,000 -1000 1 -1,0001 0 14,500 100 864 14,000 690.2 573.8 1 573.802 700 14,500 100 906 15,000 689.5 316.5 0.986 312.073 700 14,500 100 906 16,000 0 6.0 0.97121 5.83

215

제 11 장. PROFIT MEASURES 216

위의 표에서

• 각 연도초 몇명의 피보험자를 기준으로 작성한 표인가?

• 현금 흐름이 부리될때 사용한 이자율은 6%인가? 10%인가?

• 어떤 부분이 profit vector이며 어떤 부분이 profit signature인가?

그러므로 NPV는

−1, 000 +573.8

1.1+

312.07

1.12+

5.83

1.13= −216.08

계리사인 당신은 이 결과를 통해 어떤 결론을 내릴수 있는가?

235. (40), 3년 만기 보험에 대하여 아래의 조건을 가정하자.

• 보험계약에서 발생하는 모든 현금 흐름은 연초나 연말에만 발생 또는 인식된다.1

• 영업보험료는 1,000원이다.

• 각 연도말 발생하는 이익 및 보험료는 12%로 할인된다.

• 피보험자가 매 보험년도초 생존해 있다는 가정하에서 계산한 기대 이익은 다음과 같다.

t 기대이익0 -4001 1502 2743 395

• 피보험자가 40세에 보험계약시 기대되는 매 보험년도말 기대이익은 다음과 같다.

t 기대이익0 -4001 1502 2453 300

1어떤 부분이 “발생”하고 어떤 부분을 “인식”해야 하는가?


이 보험계약의 Profit margin을 구하시오.

[풀이] Profit margin의 정의는 다음과 같다.

Profit Margin =NPVP ax:n

이때, NPV를 계산할때 사용하는 수익률과 ax:n 을 계산할때 사용하는 수익률은 서로 상이할 수있다.주어진 조건에서

NPV = −400 +150

1.12+

245

1.122+

300

1.123= 142.7751

a40:3 을 계산하기 위하여 주어진 profit vector와 profit signature를 이용한다. 즉

p40 =245

274, 2p40 =

300

395

그러므로

1000(1 + vp40 + v22p40

)= 2, 405.821

그러므로

Profit Margin =142.7751

2, 403.821= 0.0594

236. 3가지 상태를 가지는 다중상태 모형을 가정하자.




각 상태별 전이는 아래와 같이 가능하다.

0 → (1, 2) 1 → 2

로이즈 보험사의 상품개발 부서는 아래와 같은 보험상품의 개발을 고려하고 있다.


• 보험가입시 피보험자의 상태는 건강상태이다.

• 사망보험금 1,000원 사망 기말급

• 건강상태에서 질병상태로 전환 되면 전환되는 연도 말 보험금 1,000원 지급

• 다음의 전이확률을 가정한다.

9p00x = 0.75, 9p

01x = 0.10, p01x = 0.05

0p02x = 0.01, p12x = 0.02

• 제 9보험연도 및 10 보험연도 말 상태별 책임 준비금은 다음과 같다.

t 건강상태 질병상태9 1,710 5,80010 1,770 5,950

• 보험료는 300원이며, 보험연도 초 건강상태일때에만 납입된다.

• 매년도 초 발생하는 비용은 보험료 비례부분은 10%이며 비비례부분으로 10원이다.

• 모든 할인 및 적립은 10%로 이루어진다.

제 10보험년도말 기대이익을 연도말 시점에서 평가하시오. (단, 피보험자가 제 10보험년도 초에계약을 유지한다는 조건을 사용하지 말고, 피보험자가 계약을 보험계약을 체결하였을때, 기대되는제 10보험년도말 기대 이익을 구하시오.)

[풀이] 제 10보험연도초피보험자의상태는지금알려져있지않다. 그러므로피보험자의상태가제10보험연도초건강상태인지질병상태인지를경우별로나누어서기대이익2을계산하고, 최종적으로그 기대이익들의 기대값3을 구한다.만약 피보험자가 제 10보험연도 초 건강상태였다면, 제 10보험연도말 발생하는 투자수익은

(1, 710 + 300− 25) = 119.1

2이 기대이익은 조건부 기대값이다.3이 기대값은 무조건부 기대값이다.


이다.만약이피보험자가사망하게되면사망보험금은 1,000원이지급되고,질병에걸리게되면역시보험금 1,000원을 지급받게 된다. 사망보험금의 총 유출액은 1,000(0.01)=100(Actuarial symbol로표현!!)이고 질병보험금의 총유출액은 0.05(1,000)=50(Actuarial symbol로 표현!!)이다. 또한 건강상태를 유지하고 있으면 이 피보험자를 위하여 건강상태에 관련된 책임준비금을 적립하여야 하며,질병상태로전이가되면질병상태인피보험자를위하여질병상태를위한책임준비금을적립하여야한다. 그러므로 총 적립한 책임준비금은

1, 770(0.94) + 5, 950(0.05) = 1961.3

그러므로 제 10보험연도말 기대 이익은

1710 + 300− 25 + 119.1− 150− 1, 961.3 = −7.2

동일한 원리로 만약 피보험자가 제 10보험연도 초에 질병상태이면 기대이익은

5, 800− 10 + 347.4− 200− 5, 831 = 106.4

그러므로 가입시 기대되는 제 10보험연도 말의 기대이익은

0.75(−7.2) + 0.1(106.4) = 5.24

Lloyds lifecon(new) lecturenote(4)

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