LKS TRigonometri mgmp sidoarjo

Standar Kompetensi5. Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, dan

identitas trigonometri dalam pemecahan Problem.

Kompetensi Dasar :

5.1 Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknisyang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan

identitas trigonometri

A. NILAI PERBANDINGAN DAN FUNGSI TRIGONOMETRI.

INDIKATOR1) Menentukan nilai perbandingan trigonometri (sinus, kosinus,

tangen, kotangen, sekan, dan kosekan suatu sudut) pada segitiga siku-siku.

2) Menentukan nilai perbandingan trigonometri (sinus, kosinus,dan tangen) dari sudut khusus.

3) Menentukan nilai perbandingan trigonometri (sinus, kosinus,dan tangen) dari sudut di semua kuadran.

4) Mengubah koordinat kutub ke koordinat Cartesius, dan sebaliknya.

5) Menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana

A.1. UKURAN SUDUT DALAM DERAJAT DAN RADIAN.Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami danmenyelesaikan beberapa Problem matematika yang menyangkutukuran sudut diharapkan peserta didik secara mandirimenggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu daribeberapa sumber referensi maupun media interaktif. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahamibeberapa hal berikut ini:Pengantar materi:Dalam setiap pembicaraan tentang trigonometri tidak terlepasdari apa yang dinamakan ukuran sudut. Pada hakekatnyaukuran sudut sering dinyatakan dalam dua hal, sebagaiberikut:A.1.1. UKURAN DERAJAT.Y

Jika Titik A bergerak mengelilingi keliling lingkaranpenuh, berarti titik A menempuh sudut 360o

A Jika bergerak setengah putaran penuh, berarti

XTitik A menempuh sudut ......... o

Jika bergerak seperempat putaran penuh, berarti Titik A menempuh sudut ......... o

Jika titik A menempuh sudut 30o, maka A bergerak

mengelilingi keliling lingkaran putaran = ......

putaran.Sehingga dapat ditarik hubungan ukuran derajat sebagaiberikut:

Besar sudut 10o = putaran Besar sudut 5o

= putaran

Jadi pengertian dari: 1o =

putaran penuh.

A.1.2. UKURAN RADIAN. Y Perhatikan gambar disamping: B R Besar sudut AOB dapat

dinyatakan dalam : O A

y Q Perhatikan gambar disampingini:

R Jika panjang busur PQ samadengan panjang jari-jari

R Lingkaran. Maka POQbesarnya 1 radian.

R P Sehingga 360o = ....?.... radian.

O x Telah diketahui bahwa 360o

adalah besar sudut 1 putaran penuh. Dalam perhitungan ukuran

radian, maka:

360o =

=

Jadi : 3600 = ....... radian. 1800 = ....... radian.

900 = ....... radian.

Jika mendekati maka 1 radian

= = ......... o

Problem 14: a. Nyatakan ukuran derajat berikut ke dalam ukuran radian !

i. 60o ii. 1500 iii. 3150

b. Nyatakan ukuran radian berikut ke dalam ukuran derajat !i. 3 radian ii. radian iii. 2radian

Solusi:

a. i. 60o = x 2 = x 2 =

radian

ii. 1500

= ......................................................

.....

iii. 3150

= ......................................................

.....

b. i. 3 radian = 3 x 180o = ........ o

ii. radian

= ............................................

iii. 2 radian = 2 x 57,27o = ............... o

Problem untuk didiskusikan siswa:1. Ubah ukuran derajat berikut ini ke dalam ukuran radian !

a. 240o b. 330o c. 310o d. 210o

e. 75o f. 20o

2. Ubah ukuran radian berikut ini ke dalam ukuran derajat !

a. rad b. rad c. rad d. 1,2 rad e.

3,5 rad f. 0,25 rad

A.2. NILAI PERBANDINGAN FUNGSI TRIGONOMETRI.Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami danmenyelesaikan beberapa problem matematika yang menyangkutnilai perbandingan fungsi trigonometri diharapkan pesertadidik secara mandiri menggali informasi dan pengalamanbelajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupunmedia interaktif. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahamibeberapa hal berikut ini:Pengantar materi:Nilai perbandingan fungsi trigonometri pada hakekatnya dapatditurunkan dari konsep dasar tempat Kedudukan Titik padakoordinat cartesius dipadu dengan teorema Phytagoras,sebagaimana dapat diperhatikan pada gambar berikut:

Untuk setiap sudut di kuadran1 (ao lancip) dapat diturun-

kan pengertian Fungsi Trigonometri, yangpada hake-

P(x, y) katnya merupakan nilaiperbandingan dari 3 sisi suatu se

gitiga siku-siku ( perhatikansegitiga OAP ), sbb:

R y Sinus ao = Sin ao =

= =

ao Cosinus ao = Cos ao =

= =

O x A X

Tangen ao = Tan ao =

= =

Disamping itu terdapat pula relasi kebalikan dari fungsitrigonometri sebagai berikut:

Secans ao = Sec ao = = =

=

Cosecans ao = Cosec ao = = =

=

Cotangens ao = Cotan ao = = =

=

Problem 15: BPada segitiga ABC siku-siku di B. Tentukan nilai-nilaiperbandingan dari fungsi trigonometri jika diketahui

24AC = 25 cm, AB = 24 cm

C ASolusi: 25Dari gambar didapat: BC = =

= = ........Sehingga nilai-nilai fungsi trigonometri dapat diturunkan,sebagai berikut:

Sin A = = = ....... Sin C =

= = .......

Cos A = = = ....... Cos C =

= = .......

Tan A = = = ....... Tan C =

= = .......

Sec A = = = ....... Cosec C =

= = .......

Sekarang bagaimana kita menentukan nilai fungsi trigonometri untuksudut-sudut khusus atau istimewa, dan perlu diketahui bahwa yangdimaksud sudut istimewa adalah nilai-nilai sudut padakuadran I diantaranya 0o , 30o , 45o , 60o dan 90o

C Pada segitiga ABC siku-siku di B sama kaki dengan panjang sisi

siku-sikunya p, berarti AB = BC = pSehingga didapat AC = =

= ..... p dan sudut A = 45o

p Sehingga didapat:

A B Sin A = Sin 45o = = =

=

CosA = Cos 45o = = =

=

C Tan A = Tan 45o = = =

........

Pada segitiga ABC siku-siku di B denganAB = p, A = 60o ,

D Maka C = ….. o

Dibuat ABD = 60o , maka ADB = ......o

dan CBD = …..o

60o

A B Karena A =60o = ABD, maka segitiga ABD sama sisi, se-

hingga AB = AD = …… = pKarena C = CBD, maka segitiga BCD sama kaki, sehinggaBD = …… = ……..Akibatnya AC = AD + CD = …… + ….. = …… dan BC =

= …….

Sin A = sin 60o = = = …… Sin C = sin

30o = = = ……

Cos A = sin 60o = = = …… Cos C =

Cos ....o = = = ……

Tan A = sin ....o = = = …… Tan C =

Tan ....o = = = ……

Dari beberapa temuan di atas dapat dibuat tabel dan cobalengkapilah tabel berikut:

Fungsi 0o 30o 45o 60o 90o

Sin 0 ......... 22

1 ......... 1

Cos ......... 32

1 .........

.........

.........

Tan .........

.........

.........

.........

Sec .........

.........

.........

.........

.........

Cosec .........

.........

.........

.........

.........

Cotan .........

.........

.........

.........

.........

Problem 16: Tanpa menggunakan kalkulator dan alat lain, tentukan nilaidari:

sin 30ocos 60o + cos 30o sin 60o

Solusi: sin 30ocos 60o + cos 30o sin 60o = (½x ..... ) + ( ......x ...... ) = ....... + ...... = ........Problem untuk didiskusikan siswa:

1. Tentukan nilai perbandingan fungsi trigonometri lengkapdari gambar di bawah ini !

CQ C a 3 B Pp 2 10 5B 6R A c A 2. Tentukan nilai dari :

a. Tan 30o + cos 45o – sin 45o d. cos 30o cos 60o –

sin 30osin 60o

b. sin 30o + cos 60o + tan 45o e. sin 60o tan 30o +

tan 60ocos 30o

c. cos2 45o + 2 cos 45o – f.

3. Hitunglah unsur-unsur yang belum diketahui dari segitigaABC jika diketahui C= 90o

dan: a. A= 15o dan a = 10 cm b. B= 70o

dan c = 20 cm

4. D 4cm Tentukan nilai p dari

gambar disamping !

pC

30o

A 10 cmB

5. P Pada gambar disamping, jika Q =60o dan QR = 8 cm

, APQ = ASP = PRS = 90o

Tentukan panjang PQ, PR, PSdan QS !

R

A S Q

A.3. RELASI SUDUT FUNGSI TRIGONOMETRI.

Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami danmenyelesaikan beberapa Problem matematika yang menyangkutrelasi/hubungan sudut fungsi trigonometri diharapkan pesertadidik secara mandiri menggali informasi dan pengalamanbelajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupunmedia interaktif. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahamibeberapa hal berikut ini:Pengantar materi:A.3.1. Tanda-tanda fungsi trigonometri di berbagai kuadran.

Dengan mengingat kembali definisi fungsi trigonometri dan jugamemperhatikan letak kaki sudut di kuadran tertentu, terdapatperbedaan tanda positif dan negatif pada setiap unsurx dan y, sehingga memiliki pengaruh pada nilaiperbandingan fungsi trigonometri, coba perhatikangambar dan tabel dibawah ini: y

Kuadran IIKuadran I

x < 0 , y … 0x > 0 , y > 0 R … 0R > 0 x x … 0 , y …0x … 0 , y … 0 R … 0R ... 0 Kuadran IIIKuadran IV

NilaiPerban-dinganTrigo-nometri

KuadranI II III IV

x y x y x y x y+ + - + - - + -

Sinus + +Cosinus + -

Tangen + +

A.3.2. Relasi sudut fungsi trigonometri di berbagaikuadran.

y Perhatikan gambar di

samping, nampak bahwa P’ P hasilpencerminan Titik P terhadap sumbu y, di

dapat titik P’ dan seterusnya,sehingga diturunkan

nilai sudut di berbagaikuadran yang mempunyai (180 - ) x korelasi satu samayang lainnya, seba gai berikut: (180 + ) (360 - )

atau (- )

Kuadran II

Sin (180 - ) = Sin

Cos (180 - ) = - Cos

Tan (180 - ) = - Tan

Kuadran I

Sin Cos Tan

Kuadran III

Sin (180 + ) = - Sin

Cos (180 + ) = - Cos

Tan (180 + ) = Tan

Kuadran IV

Sin (360 - ) = - Sin

Cos (360 - ) = Cos

Tan (360 - ) = - Tan

A.3.3. Relasi sudut yang saling berkomplemen di berbagaikuadran.

Dengan menggunakan aturan refleksi/pencerminanterhadap garis y = x & y = -xdari suatu titik P(x, y) yang membentuk sudut ,kita dapat turunkan relasi dari beberapa sudut yangsaling berkomplemen, sebagai berikut:

Kuadran II Kuadran I

Sin (90 + )= Cos Cos (90 + ) =- Sin Tan (90 + ) =- Cotan

Sin (90 - ) = Cos Cos (90 - ) = Sin Tan (90 - ) = Cotan

Kuadran III

Sin (270 - )= - Cos Cos (270 - ) =- Sin Tan (270 - ) =Cotan

Kuadran IV

Sin (270 +) = - Cos Cos (270 +) = Sin Tan (270 +) = - Cotan

Problem 17: 1. Tanpa menggunakan kalkulator dan alat lain, tentukan

nilai dari: a. sin 120o b. Cos 300o – Tan 135o c. Sec2

210o

2. Jika sin 44o = 0,695 dan cos 46o = 0,719, makatentukan nilai dari fungsi trigono- metri berikut ini (tanpa bantuan alat hitung) !

a. cos 226o b. Sin 224o – sin 316o

Solusi:

1. a. Sin 120o = ( ingat 120o berada padakuadran II sehingga Sin + )

Sin 120o = Sin ( 180 - ...... )o =

Sin .....o = 321

b. Cos 300o – Tan 135o = Cos ( 360 - ..... ) – Tan

(180 - .... ) = Cos ..... – ( -Tan .... )

= ......... - ........

= ..........

c. Sec2 210o = Sec2 ( 180 + ..... )o = ( Sec

…..o )2 = ……2 = ……

2. Diketahui : sin 44o = 0,695 dan cos 46o = 0,719

Ditanya : a. cos 226o b. Sin 224o –sin 316o

Jawab :

a. cos 226o =

(berada di kuadran II berkomplemen )

cos 226o = cos ( 270 - ..... )o = - sin 44o = -

……….

b. Sin 224o – sin 316o = Sin ( 270 - ..... )o

- Sin (270 + ....)o = - cos ..... – cos ......

= -2 cos ....... =

- ..............

A.3.4. Menentukan nilai perbandingan trigonomeri.Menentukan nilai fungsi trigonometri di berbagaikuadran jika salah satu nilai fungsinya diketahuiharus memperhatikan aturan nilai fungsi yang berlakudi masing-masing kuadran.Problem 18:

Jika sin A = dan 90o < A < 180o (kuadran II) maka

Tentukan nilai dari:a. cos A b. Tan A c. sec2 A d.1 – cotan2A

Solusi:

Karena A pada kuadran II, maka x < 0 dan y > 0maka R > 0

sin A = = , maka didapat y = 4 dan R = 5

sehingga x = maka x = = = .......

dan didapat :

a. cos A = = c. sec2 A =

[ sec A ]2 = [ ]2 =

b. Tan A = = d. 1 –

cotan2A = 1 - [ ]2 = 1 - = ....

CATATAN: Khusus penggunaan alat bantu kalkulator untukmenentukan nilai fungsi trigonometri, diharapkan gurumendemontrasikan dan menuntun siswa ke arah aplikasi klakulator sebagai alatbantu hitung.

Problem untuk didiskusikan siswa:

1. Tanpa alat bantu, tentukan nilai dari:a. tan 240o (sin 30o + cos 45o) c. tan 120o – cotan 30o +sec 330o

b. tan ( sin + cos )d. tan - cotan +

sin + cos

2. Jika diketahui A = , maka nilai dari : sin A – cos

A + tan2 A adalah ........3. Jika diketahui cos 15o = k, maka tentukan nilai dari

Sin 15o !

4. Jika sin A = dan A sudut lancip maka tentukan nilai

dari :a. sin A – 2 cos A b. Cos2 A – 2 sin2 A c.cosec A – ½ cotan A

5. Jika tan B = dan B sudut tumpul 9pada kuadran III)

maka tentukan nilai dari:a. cos B – sin B b. Cos2 B – 2 tan2 B c.sec B – 2 cotan B

A.4. TEMPAT KEDUDUKAN TITIK (KOORDINAT KUTUB).

Tempat kedudukan titik pada hakekatnya dapat dinyatakandalam fungsi trigonometri dan biasa dikenal dengan Koordinatkutub, sistem ini dapat diturunkan dari hubungan pengertian

dasar nilai perbandingan fungsi trigonometri sebagaimanabagian terdahulu.Jika terdapat titik dalam koordinat Kartesius P ( x, y )dapat diubah menjadi koordinat Kutub sebagi berikut P ( R ,

o ) di mana R = jari-jari dan o sudut yang dibentuk Rterhadap sumbu datar.

y Perhatikan gambardi samping: P(x, y) Telah diketahui bahwa:

Sin o = maka y =

R ........... R y R =

o Cos o = maka x

= ..... cos o

O x X

Tan o = maka o =

anti tan

Problem 19: Nyatakan ke dalam koordinat kutub A( -1 , )

Solusi: A( -1 , ) didapat x = -1 dan y = berarti o

berada pada kuadran II.Maka R = = =

= .......

Dan o = anti tan = ……o sehingga didapat

P ( R, o ) P ( …. , …..o )

A.5. PERSAMAAN TRIGONOMETRI DASAR.

Persamaan trigonometri pada hakekatnya sama saja denganpersamaan linier maupun kuadrat, di mana Himpunan Solusinyamerupakan nilai-nilai x yang memenuhi persamaan tersebut,bedanya dalam persamaan trigonomeri nilai pengganti xmerupakan suatu sudut, beberapa bentuknya: sin x = c , cosx = c , tan x = c dst, dan c Bil. Real.

Problem 19:

Tentukan Himpunan Solusi dari: sin x = ½ pada 0o x 360o

Solusi: sin x = ½ karena sin x nilainya + maka x berada dalam

kuadran I atau II, sehingga:i). sin x = sin 30o (Kuadran I) ii). sin x =

sin (180 – 30)o (Kuadran II) x = ....o k. 360o x

= ....o k. 360o

untuk k = 0 x = 30o untukk = 0 x = ....o

k = 1 x = 390o (Tidak memenuhi)Jadi: HP = { 30o , ......o }

Problem untuk didiskusikan siswa:

1. Nyatakan ke dalam koordinat kutub beberapa titik berikutini:a. (2, 2 ) b. (-3 , 3) c. (-1, )

d. (-3, -3)2. Nyatakan ke dalam koordinat katesius beberapa titik

berikut ini:

a. (4, 60o) b. (3, 240o) d. (5, )

d. (6, )

3. Tentukan Himpunan Solusi persamaan trigonometri berikutini:a. sin x = ½ c. cos x = -½ e. Tan x= b. 2 sin x = - d. cos 2x = ½ f.3 tan 3x = -

A. Berilah tanda silang pada huruf yang memuat jawaban palingtepat !

1. Jika tan A = 7/24 , A sudut lancip, maka nilai sin A. cos A= …. a. 168/625 b. 131/625 c. 124/625 d. 24/175 e.

7/175

2. Koordinat cartesius titik (4 , 300o) adalah .…

a. (2 , 6) b. . (2 , -6) c. (-2 , 6)d. (-2 , -6) e. (-6 , 2 )

3. Koordinat cartesius titik (6, 45o) adalah …..a. (3 , 3 ) b. (3, 3) c. (3 , 3 ) d.(6, 6) e. (3 , 3 )

4. Koordinat kutub dari titik (9, 9 ) adalah ....a. (9, 30o) b. (9, 60o) c. (18, 60o)

d. (18, 30o) e. (4, 30o)

5. Nilai dari cos2 (1200o) = .....a. 0 b. ¼ c. ½

d. ½ e. ¾

6. Diketahui = 3,1416, maka jika 60o dinyatakan dalam radian= ....a. 2,0944 b. 1,5708 c. 1,0472d. 0,9425 e. 0,7854

7. Hitung harga cos + cos = .... (tanpa menggunakantabel)

a. √2 b. √3 c. √5 d.

√6 e. √6

8. cos = ....................

a. √6 - √2 b. √6 + √2 c. √2 -

d. √2 - √6 e. √6 -

9. Nilai dari adalah ....

a. 2 - 4 b. 2 - 6 c. 4 - 2 d.2 + 2 - 4 e. 6 + 2

10. jika tg = ( A lancip) maka sin A = ....

a. b. c. d.

e.

11. Bila dan tan α = maka sin α = .....

a. b. c.

d. e.

12. jika cos A = 0,8 maka tg A adalah ....

a. b. c.

d. e.

13. bila tg ½ x = t maka sin x adalah ....

a. b. c. d.

e. \

14. Sin + Sin = ....

a. 2 sin A b. 2 cos A c. 2 sin 2A d. 2 cos 2A e.0

15. Diketahui Siku-siku di C. Jika Cot A = ,

nilai

a. b. c. d.

e.

16. Nilai x yang memenuhi persamaan : cos 2x = , untuk 00

< x < 3600 adalah ....a. 300 dan 600 b. 600 dan 1200 c. 600 dan 1500 d.1200 dan 1500 e. 1200 dan 2400

17. Nilai x yang memenuhi persamaan 2cos x – 1 = 0, dalaminterval 0 x 2 adalah ….a. 3

dan 32 c. 3

dan 35 e. 3

2

dan 35

b. 3 dan 3

4 d. 32 dan 3

4

18. Himpunan penyelesaian persamaan 2cos (2x + 65 ) = 3,

dengan 0 x adalah ….a. { 4

1 , 61 } c. { 3

1 , 61 } e. { 4

1 ,

31 }

b. { 21 , 3

2 } d. { 31 , 6

5 }

19. Jika dan , maka

nilai

a. b. c. d.

e.

20. Diketahui Siku-siku di C, CD tegak lurus pada ABdanDE tegak lurus pada AC, jika sudut BAC = , maka DE = ….

a. a (sin - sin 3 )b. b (sin + sin 3 )c. c (cos - cos 3 )d. c (cos + cos 3 )e. a (cos - cos 3 )

B. Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar !

1. Tentukan nilai dari tg !2. Tentukan titik p (4, ) dalm koordinat kartesius !

3. Jika cosec dan lancip, tentukan sin dan ctg !

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari : a. Tan x = -1 , untuk 00

< x < 3600 b. Sin (2x - ½) = ½√2 , untuk 00

< x < 3600

5. Sederhanakan : a. Cos ( π + a ) = ....b. Sin ( π – a )

= .... c. Tg ( 2π – a ) = .... B. ALJABAR (PERHITUNGAN DASAR) FUNGSI TRIGONOMETRI.

C

D

A B

E

Kompetensi Dasar :Merancang model matematika dari Problem yang berkaitan

dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitastrigonometri.

INDIKATOR

1) Menggambar grafik fungsi trigonometri dengan menggunakan tabel dan lingkaran satuan

2) Membuktikan identitas trigonometri sederhana.