LIVRO DO PROFESSOR O - portal.sme.prefeitura.sp.gov.brportal.sme.prefeitura.sp.gov.br/Portals/1/Files/12067.pdf · LIVRO DO PROFESSOR MATEMÁTICA · 7 O ANO 161 Na atividade 4, os

L IVRO DO PROFESSOR MATEMÁTICA · 7O ANO 147

O objetivo desta página é, além de compor e decompor fi guras, calcular áreas de superfícies planas tomando como base uma unidade padrão.

Oriente os alunos na construção do Tangram, que pode ser feita por dobraduras. Você pode cons-truí-lo com eles. Há vários sites com jogos mate-máticos envolvendo o Tangram e que ensinam as dobraduras. Por exemplo: http://portaldoprofes-sorhmg.mec.gov.br – acesso: 6 jan. 2010.

• Resolver situações-problema em que seja necessário compor ou decompor fi guras planas.

• Calcular a área de superfícies delimitadas pela decomposição e/ou composição em fi guras conhecidas ou por tomando por base uma unidade padrão.

16 u2

Triângulo vermelho: 4 u2. Quadrado pequeno: 8 u2

Resposta individual. Por exemplo, juntando os triângulos maiores pela hipotenusa.

Sim, unindo adequadamente os dois triângulos verdes eles formam um triângulo congruente ao rosa, e a união deles forma um quadrado.

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148 CADERNOS DE APOIO E APRENDIZAGEM · SMESP

da Universidade de São Paulo (http://www.mac.usp.br/mac/ – acesso: 6 jan. 2010), em que há sugestões de projetos que podem ser implementados, conforme o projeto pedagógico da escola. Os alunos também podem consultar obras no acervo virtual do MAC.

Comece a atividade conversando com os alunos sobre a relação entre geometria e arte. A geome-tria pode ser observada em mo-numentos, artesanato, molduras, quadros e outras manifestações artísticas. Faça uma visita ao site do Museu de Arte Contemporânea


Quadrados, retângulos, trapézios e triângulos



Explique aos alunos que adota-mos aqui uma unidade de medida de área não padronizada e, nes-se caso, podemos representá-la como unidade quadrada (u2). Dê exemplos de unidades de medida de área padronizadas como o qui-lômetro quadrado (km2), o metro quadrado (m2), o centímetro qua-drado (cm2) etc.

Esses desenhos podem ser inter-pretados individualmente de di-ferentes maneiras.Comente que a superfície poligo-nal é determinada pelo polígono e a superfície interna contornada por ele.

Resposta individual, pois depende do desenho de cada aluno.

Resposta individual, pois cada aluno fará um desenho diferente.



Finalizando a atividade 4, escre-va na lousa as diferentes apro-ximações feitas pelos alunos e ressalte que o método mais pre-ciso para o cálculo dessa área é o uso de malhas quadriculadas cada vez menores, pois isso di-minuiria a diferença entre os cál-culos por falta e por excesso e,

consequentemente, a margem de erro. Alguém pode sugerir que se calcule a média entre os dois valores. Nesse caso, somam-se as áreas obtidas por falta e por excesso e se divide o resultado por dois. Se essa ideia não surgir, pergunte à classe se a estratégia é válida.

No desenvolvimento destas ativi-dades, oriente os alunos a fazer aproximações conforme a orien-tação do texto, por falta ou por excesso, e também pequenas compensações na contagem dos quadrados, buscando minimizar o erro.


24 u2

Usando como unidade de medida quadrados cada vez menores,ou malhas quadriculadas menores.

24 u2 48 u2

48 u2



ser usada em alguns casos, como na fi gura A ou na D.Finalizando as atividades, so-cialize com a turma as composi-ções e decomposições das fi gu-ras planas e o cálculo das áreas.

Observe como os alunos estão fazendo a composição e decom-posição das superfícies poligonais e oriente-os a não se preocupar com a aplicação de fórmulas nes-se momento, embora ela possa


4,5 u2

2 u2

6 u2

10 u2

1 u2

4 u2

3 u2

2 u2



Na atividade 2, discuta quais des-sas superfícies têm a mesma área e peça para justifi carem. Pergunte se sabem o que é o perímetro de um polígono.

Oriente os alunos a adotar a su-perfície delimitada pelo triângulo pequeno como unidade de área e, se for necessário, dê exemplos. Essa orientação é fundamental, pois em outras atividades a uni-dade de medida era delimitada pelo quadrado.


8 u2 8 u2 6 u28 u2 2 u2 2 u2



Explique que o perímetro é a me-dida do contorno de uma superfí-cie. Às vezes, os alunos dizem que o perímetro é a “soma dos lados”, o que é incorreto, pois deve ser a soma das medidas dos lados, e apenas se as superfícies forem poligonais.

A, B e C; D e F

Não, elas têm a mesma área, mas perímetros diferentes.

Não, elas têm o mesmo perímetro, mas áreas diferentes.

8p 10p 8p



Nessas atividades, fi que atento, pois é muito comum os alunos con fundirem área e perímetro. Explique a diferença entre es-sas medidas e enfatize que não dependem diretamente uma da outra. O polígono ABCD é um retângulo, que também é um paralelogramo.

As atividades 1, 2 e 3 permi-tem observar os procedimentos usados no cálculo de áreas. As atividades 4 e 5 permitem com-parar as áreas e os perímetros das fi guras. Uma discussão sobre as respostas leva à conclusão de que fi guras com áreas iguais nem sempre têm o mesmo perímetro, e vice-versa.

Antes de começar a atividade, converse com os alunos sobre o cálculo da área de uma superfície quadrada e de uma retangular. Peça que desenhem diferentes paralelogramos e que recortem as superfícies limitadas por eles para transformá-las em superfí-cies retangulares.


• Calcular a área de superfícies delimitadas pela composiçãoe/ou decomposição emformas geométricas deáreas conhecidas.

6 u2



Sistematize o que foi estudado nas duas páginas.

6 u2

6 u2

Elas têm as mesmas áreas.

Elas têm a mesma área e perímetros diferentes.

São diferentes.



Socialize as respostas.Faça perguntas e retome o assun-to: “o que é grau?”; “podemos associar 90° com um quarto de volta?” etc.

Organize os alunos em pequenos grupos e pergunte se alguém já viu esse tipo de cadeado. Comente que ele é muito usado em malas.Verifi que se os alunos percebem a diferença entre sentido horário e antihorário para compreender de que forma os giros foram feitos.

• Identifi car ângulo como mudança de direção e reconhecê-lo em fi guras planas, nomeando-o em função desuas medidas.



Certifi que-se de que todos as en-tenderam bem. Esclareça o desenho que indi ca o sentido, e, em cada lugar, eles terão que girar para a direi ta ou para a esquerda segundo oângulo dado.

Com os alunos organizados em grupos, comece a atividade per-guntando quem já participou de uma gincana e peça-lhes que con-tem sua experiência. Peça para um dos alunos ler as regras e explicar para a classe.




10 cmlugar 3

lugar 4

4 cm

4 cm

fi m



Na atividade 1, os alunos devem estimar as medidas dos ângulos para reconhecer os intervalos e só depois medir os ângulos com o transferidor.Oriente-os a comparar as medidas com as estimativas feitas.

Com os alunos organizados em duplas, pergunte quem sabe o que é um ângulo reto. Desenhe um na lousa e mostre como indicar que se trata de um ângulo reto.


A e E

B e F

C e D



Na atividade 4, os alunos podem identifi car o tipo de ângulos sem medi-los, considerando os lados sobre a malha quadriculada.

4

0

0

0

0

0

0

0

2

2

2

0

2

3

0

2

2

2

5

1

0



X



Na atividade 2, o resultado se conserva e os alunos devem mo-difi car as expressões. Verifi que se os alunos cometem erros ao realizar as operações. Discuta-os com a classe.

Peça que os alunos analisem as igualdades a, b, c e d, verifi cando porque não estão corretas para responder a atividade 1. Eles po-dem usar o fi nal da página para efetuar os cálculos.

(– 5) – (– 7) = + 2

(– 5) – (– 3) = – 2

(– 8) – (– 12) = + 4

(– 8) – (+ 12) = – 20

(– 1) + (– 3) = – 4

(– 1) + (+ 5) = + 4

(+ 12) – (+ 15) = –3

(+ 12) – (+ 9) = + 3



Ao fi nal, eles podem conferir os resultados com a calculadora.Atenção: na atividade 2 há ou-tros resultados possíveis. Por exemplo:• – 45 + (+ 18) = – 45 – (– 18)• 15 + (– 35) = 15 – (+ 35)

A atividade 1 envolve cálculos de adição e de subtração. As setas indicam em que ordem a operação deve ser realizada. Os alunos podem resolve-las men-talmente, ou utilizar o espaço ao lado das tabelas para os cálculos.

– 8

– 5

+ 4

– 4

– 1

+ 8

–

+

+

–

20

– 35

– 20

– 18

– 11

– 8

+ 1

– 1

+ 2

+ 11

– 1

+ 2

+ 11

– 11

– 8

+ 1

– 4

– 1

+ 8

– 8

– 5

+ 4



Não é preciso que todas as tare-fas sejam feitas no mesmo dia: organize-as como achar melhor.Socialize a resolução de todos os problemas e, enquanto os alunos trabalham sozinhos, acompanhe-os e oriente aqueles que tiverem difi culdades, anotando-as para retomá-las.

Esta seção vai aparecer no fi nal de cada Unidade, com propostas que retomam o conteúdo traba-lhado. São atividades individu-ais, e você deve analisá-las para verifi car se as expectativas de aprendizagem foram atingidas, quanto os alunos avançaram e o que precisa ser retomado.

120°



– 7 – 2,3 – 1 + 2,8 + 4


2o semestre

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rece no dia a dia das pessoas.Comente que, embora a repre-sentação fracionária seja menos frequente nas situações do coti-diano, seu estudo se justifi ca por ser signifi cativo para o desen-volvimento de outros conteúdos matemáticos tais como: razão, proporções, equações, cálculo algébrico, para citar alguns.

Para começar, peça aos alunos que leiam o texto e respondam à questão proposta.Verifi que os hábitos de leitura dos alunos e a frequência com que realizam essa atividade.Solicite que tragam jornais ou revistas ou explore a página de abertura da Unidade e pergunte que tipo de números mais apa-

Resposta pessoal

• M2 Reconhecer números racionais, positivos e negativos representados na forma fracionária ou decimal em contextos diversos e explorar diferentes signifi cados.

• M3 Localizar números racionais na reta numérica.

• M4 Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema, compreendendo diferentes signifi cados das operações dos campos aditivo e multiplicativo, envolvendo números naturais, inteiros e racionais.

• M5 Realizar cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) envolvendo operações – com números inteiros por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos nelas envolvidos e saber utilizar a calculadora para verifi car e controlar resultados.

• M6 Fazer cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) envolvendo operações – com números racionais positivos e negativos, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos nelas envolvidos e verifi cação de resultados.

• M11 Resolver situações--problema que abrangem as ideias de razão e de proporcionalidade, ampliando a noção e o uso de porcentagens.

Materiais necessários para esta Unidade: réguacalculadora jornais e revistas

Ao longo do trabalho, solicite ex-plicações sobre o texto proposto e dê oportunidade aos alunos para que expressem seus conhe-cimentos, identifi quem e apresen-tem suas dúvidas.



Divida a classe em duplas, propo-nha que leiam o texto da ativi-dade 1 e respondam à questão, baseando-se na informação do texto e nos recortes que conse-guiram coletar.

Antes de realizar as atividades dessa página, programe com seus alunos uma pesquisa, em jornais e revistas, de notícias sobre o aquecimento global. Peça que as recortem.

Essa afi rmação contraria a informação de que a Antártida é a região que mais sofreu o impacto do aquecimento global.

• Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema, compreendendo diferentes signifi cados das operações do campo multiplicativo, envolvendo números inteiros.

• Realizar cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) envolvendo multiplicação com números inteiros por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos nelas envolvidos.



Na atividade 3, também é possí-vel que apareçam alguns modos, tais como: a) (–538) + (–538) = –1.076b) –538 – 538 = –1.076c) 2 × (–538) = –1.076Surgindo essas formas, discuta sobre o modo mais prático.

Ao realizar a atividade 2, é pos-sível que apareçam dois modos de resolução:• adicionando 4 vezes −22:

(−22) + (−22) + (−22) + (−22) = −88• multiplicando 4 por −22 = −88.

Respostas possíveis: (–22) + (–22) + (–22) + (–22); 4 · (–22).

538 m abaixo do nível do mar.

1.076 m abaixo do nível do mar, ou –1.076 m.



Para esses casos, lançaremos mão da observação de padrões de com-portamento em uma série numéri-ca (regularidades).No entanto, as difi culdades se atenuam um pouco se conside-rarmos que a multiplicação com números inteiros preserva as propriedades das operações com números naturais.

A multiplicação do tipo 4 × (–22) pode até ser compreensível em uma ou outra dessas situações, mas o mesmo não acontece com(–22) × 4 ou com (–22) × (–4); (–22) × (–4) pode ser entendida como o número –22 quatro vezes se for aceito intuitivamente que a multiplicação de números inteiros tem propriedade comutativa.

Como soma de –22 quatro vezes: (–22) + (–22) + (–22) + (–22).

Não



tabelecimento de relações e de algumas inferências.Antes da atividade 1, pergunte aos alunos como eles multipli-cam um número inteiro positivo por outro positivo, pois o quadro a ser observado começa com o

produto de números positivos. Em seguida, passa-se a multipli-car números negativos por posi-tivos, explorados nas atividades anteriores. Proponha outras situações pare-cidas com essas.

Os quadros podem ser usados no trabalho da multiplicação e da divisão de números inteiros, uma vez que a compreensão dos procedimentos de cálculo dessas operações depende da identifi -cação de regularidades, do es-

+30

+20

+10

Uma unidade

O produto é negativo.

10




Pela observação das regularidades das sequências numéricas cons-truídas, os alunos podem comple-tar o quadro com os produtos dos números negativos pelos negati-vos, mantendo o padrão numérico observado.

Na atividade 2, o quadro a ser observado começa multiplicando números positivos por negativos. Proponha outras situações pare-cidas com essas.

-30

-20

-10

Diminui uma unidade a cada linha.

Aumentam 10 unidades a cada linha.

O produto é positivo.

O sinal é positivo.



(+1) ∙ (+36) = (+36) ∙ (+1); (–1) ∙ (–36) = (–36) ∙ (–1); (+2) ∙ (+18) = (+18) ∙ (+2).Na atividade 2, verifi que se os alunos reconhecem a propriedade associativa da multiplicação dis-cutida anteriormente. Se houver ainda alguma dúvida, proponha outros cálculos.

Na atividade 1, registre na lousa algumas possíveis respostas.Pergunte aos alunos se a pro-priedade comutativa é válida para a multiplicação de números inteiros, ou na multiplicação de números inteiros a ordem dos fa-tores não altera o produto. Peça que justifi quem as respostas com exemplos registrados na lousa:

(+1) ∙ (+36); (+2) ∙ (+18); (+3) ∙ (+12); (+4) ∙ (+9); (+6) ∙ (+6);(–1) ∙ (–36); (–2) ∙ (–18); (–3) ∙ (–12); (–4) ∙ (–9); (–6) ∙ (–6).Existem mais 10 maneiras se for trocada a ordem dos fatores, além de outras, como (+2) · (+2) · (+3) · (+3).


(+32) ∙ (–50) ∙ (–20) = +(+32) ∙ (+100) = +32.000.



Pergunte-lhes qual é a operação inversa da multiplicação. Peça que justifi quem com exemplos envolvendo números naturais. Na atividade 1, mostre que di-vidir o número 90 pelo número 6 signifi ca encontrar o número 15, que, multiplicado por 6, dá 90:90 ÷ 6 = 15 porque 15 ∙ 6 = 90

Esclareça que, para os números inteiros, a multiplicação e a di-visão também são operações in-versas porque uma desfaz o que a outra fez. Peça que realizem as sequências detarefas propostas relacionando as operações multiplicação e divisão.

As atividades dessa página têm caráter lúdico. Comece retoman-do os conhecimentos que os alu-nos têm relacionados a operações inversas.Comente que, quando uma opera-ção desfaz outra realizada ante-riormente, determinando a volta ao estado original, dizemos que uma é a inversa da outra.

15

168 –12

–8

–8

–8

–8

–8

–8

• Realizar cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) envolvendo multiplicação e divisão com números inteiros por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos nelas envolvidos.



à compreensão e à exposição oral e escrita sobre o que foi lido e sistematize as aprendizagens.Ressalte que efetuar a multiplica-ção ou divisão de números intei-ros descobrindo primeiro o sinal (positivo ou negativo) de um pro-duto, de acordo com a quantidade de fatores negativos, possibilita pensar nas operações envolven-

do apenas números positivos.Comente alguns recursos de cál-culo mental e propriedades usa-dos nas atividades:• propriedade comutativa em

(+25) · (−4) = (−4) · (+25);• o número 1 como fator em

(+247) · (+1); • o zero como fator em

(–256) · (+ 1.000) · 0 · (–125);

Durante os momentos de resolu-ção dessas atividades, observe quais recursos de cálculo men-tal e escrito são usados, quais propriedades das operações são aplicadas. Faça perguntas do tipo: como você pensou para encontrar as respostas?Após a realização das demais ati-vidades, organize outras voltadas

• Realizar cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) envolvendo operações com números inteiros por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos nelas envolvidos, e saber utilizar a calculadora para verifi car e controlar resultados.

–100 –100

–2.200 +247

+330 –32

0 +260

Negativo

Positivo

O produto de dois ou mais fatores é negativo se o número de fatores negativos é ímpar.

Resposta pessoal



Ao iniciar a atividade 4, coloque na lousa vários pares de números inteiros diferentes dos que estão propostos na atividade. Peça aos alunos que mentalmente calculem a soma e o produto deles.Depois da atividade, solicite a alguns deles que relatem como obtiveram suas respostas.

Na atividade 5, pergunte como encontraram o número pedido. É possível que as repostas tenham sido obtidas por tentativa. Pro-ponha as exposições dos proce-dimentos adotados, confronte-as e peça-lhes que as registrem no caderno.

• buscar fatores cujo produto é igual a 10, 100:(−4) ∙ (−22) ∙ (−25) =

= +100 ∙ (−22) = −2.200Na atividade 3, peça que pre-encham o quadro relacionando as operações multiplicação e divisão.

–25 –21

+25 –21

+9 +90

–2 +90

(+42) ÷ (+6) = +7

(+42) ÷ (+7) = +6

(–72) ÷ (–36) = +2

(–72) ÷ (+2) = –36

(–120) ÷ (–3) = +40

(–120) ÷ (+40) = –3

–12 e 2 –1



cimentos sobre seus diferentes signifi cados, consulte o Livro do professor, volume 1, Cadernos de apoio e aprendizagem, p.11, ou Orientações curriculares e propo-sição de expectativas de aprendi-zagem para o Ensino Fundamental – Ciclo II, p. 103.Espera-se que os alunos pintem de vermelho e verde os núme-

ros inteiros positivos e de azul e amarelo os números inteiros negativos.Comente que os números inteiros positivos são também núme ros racionais positivos e os núme-ros inteiros negativos são tam-bém números racionais negativos.

As atividades dessa página têm por objetivo trabalhar com o conjunto dos números racionais como ampliação do conjunto dos números inteiros.Para o preenchimento do qua-dro é explorado o signifi cado de número racional como quociente de um inteiro por outro (a ÷ b = = ; b ≠ 0). Para mais esclare-

• Reconhecer números racionais, positivos e negativos representados na formadecimal ou fracionária, em contextos diversos, e explorar diferentes signifi cados.

1 = 0,75 = 0,5 = 0,25 = –0,25

= 1,333... 1 = 0,666... = –0,333...

2 = 1,5 = 0,5 = –0,5

4 3 2 1 –1

–4 –3 –2 –1 1

–2 –1 = –0,5 = 0,5

= –1,333... –1 = –0,666...– = –0,333... = 0,333...

–1 = –0,75 = –0,5 = –0,25 = 0,25



também podemos representar os números racionais negativos por pontos de uma reta numérica.Chame a atenção para o ponto P associado a zero, pois localizare-mos os pontos correspondentes aos números positivos e negati-vos a sua direita ou esquerda.

Peça que observem o segmento considerado unidade e a orien-tação positiva da reta numérica. É conveniente dividir a unidade em quatro partes iguais porque na reta estão assinalados pontos correspondentes à forma fracio-

nária de denominador 4: e .

Inicie com um levantamento dos conhecimentos prévios dos alunos sobre a localização de números racionais positivos estudados na Unidade 1.Comente que, do mesmo modo como fazemos com os números inteiros e os racionais positivos,

• Localizar números racionais na reta numérica.

2 –3,6



Esses dois conceitos são cons-truídos com base na observação da reta numérica, já que ambos estão relacionados à distânciade pontos tendo como referencial o ponto zero.

Na atividade 3, solicite aos alu-nos que destaquem a unidade considerada.Na atividade 4, peça que justi-

fi quem por que e têm o

mesmo valor absoluto.

Nas atividades 2 e 4 são explo-rados, com números inteiros, os conceitos de opostos ou simé-tricos e valor absoluto, também conhecido como módulo.Comente que esses conceitos são os mesmos para os números racionais.

10 partes

2

0 1

–0,3 0,3 0,5 1,7–0,5

–1



Faça perguntas comparando al-guns pares desses números. Em seguida, peça que observem a reta numérica ilustrada no texto e tirem suas conclusões.Convide os alunos para buscarem argumentos que justifi quem os procedimentos utilizados e fi na-

lize as atividades propondo uma discussão para socializar os resul-tados. Oriente-os para organizar, sistematizar e registrar esses re-sultados no caderno.

Nessas atividades, os alunos vão construir procedimentos para comparar os números racionais na forma fracionária e decimal.Inicie a atividade desenhando na lousa uma reta numérica com alguns pontos associados a nú-meros inteiros.

O positivo

Zero

O que tiver menor valor absoluto.

–2,6 e 2,6

Resposta possível: –2,6; –2

• Comparar números racionais.

< >

<

<

< <

2,6



Peça que emitam opiniões sobre como o aquecimento global pode afetar a economia brasileira.Comente que a compreensão ea interpretação das informaçõesde jornais e revistas dependem do conhecimento de números racio-

nais, em sua maioria na forma de-cimal. Hoje, a forma fracionária tem aplicação maior na própria Matemática. Para atender a esses aspectos, estudaremos concomi-tantemente os números racionais na forma fracionária e decimal.

Solicite aos alunos que observem e analisem o material do jornal e pergunte que informações podem ser obtidas. Registre as respostas na lousa.

• Reconhecer números racionais, positivos e negativos representados na formadecimal ou fracionária, em contextos diversos, e explorar diferentes signifi cados.



Na atividade 3, certifi que-se de que os alunos compreendem o enunciado do problema e elabo-

perdas econômicas, em termos proporcionais (porcentuais)? Qual estado terá os maiores prejuízos absolutos em reais? Dessa forma, será possível desen-volver a leitura, escrita e inter-pretação de números racionais com mais motivação.

Na atividade 2, o número racio-nal é usado como índice compa-rativo entre duas quantidades, ou seja, é interpretado como razão:

16,8 (SE); 70,6 (RS); 83,9 (PA) –33 (PB); –13 (AM); –6,9 (AC)

3; ou

Mato Grosso, Mato Grosso do Sul e Goiás.

Correta; –333 – 92,1 – 117,6 – 96,2 = –638,9

Não aparece o Estado do Paraná; os Estados do Amazonas, Pará e Rio Grande do Norte aparecem duas vezes.Pode-se confi ar nessa matéria com restrições.

Essa afi rmação está prejudicada porque os dados não foram utilizados de forma correta e porque não se levaram em conta os “ganhos” de três estados.

• Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema, compreendendo diferentes signifi cados das operações do campo aditivo, envolvendo números inteiros e racionais.

o número de estados que terão ganhoso número total de estados brasileiros

ram estratégias para encontrar a solução. Se isso não acontecer, procure orientá-los tirando suas dúvidas.Se possível, explore outras infor-mações contidas na reportagem fazendo perguntas como: em que forma estão representados os nú-meros racionais que escreveram? Qual estado sofrerá as maiores



ses números. Esse conhecimento é necessário para o estudo dessas operações com números racionais.Comente que, embora eles te-nham feito um estudo dessas operações com os racionais po-sitivos, agora se trata apenas de

ampliar a aplicação das descober-tas feitas anteriormente e rea-lizar essas operações com qual-quer número racional, positivo e negativo. Socialize as resoluções e discuta com eles os diferentes procedimentos usados.

A retomada dos cálculos envol-vendo a adição e a subtração com números inteiros poderá auxiliar os alunos que encontraram um pouco mais de difi culdade e rati-fi cará as conclusões daqueles que já aprenderam a operar com es-

V

V

F

V

56

–68

+114

–40

Resposta pessoal

• Fazer cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) envolvendo adição e subtração – com números racionais positivos e negativos, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos nelas envolvidos e verifi caçãode resultados.



= –3,6 + 0,3 = –3,3–3,3 – (–0,3) = = –3,3 + 0,3 = –3 ...Caso isso aconteça, compare os procedimentos organizando dis-cussões do grupo e/ou da classe.Na comparação de diferentes formas de resolver os exercícios, os alunos poderão tomar conhe-cimento de que existem outras

estratégias de solução para um mesmo problema. Essa descoberta contribui para uma compreensão com maior signifi cado dos conteú-dos abordados. Na atividade 7, também é pos-sível que apareçam diferentes estratégias de resolução.

Na atividade 6, podem surgir vá-rias respostas, por exemplo:a) Cada número, a partir de –3,6, é o anterior mais 0,3.–3,6 + 0,3 = –3,3–3,3 + 0,3 = –3–3 + 0,3 = –2,7 ...b) Cada número, a partir de –3,6, é o anterior menos (–0,3).–3,6 – (–0,3) =

22

–30

–2,4 ou –11,1

–0,625 ou

–2,1 –1,8 –1,5

Teresa transformou o número da forma decimal para a forma fracionária e André, o número da forma fracionária para a forma decimal.

Resposta possível: Cada termo, a partir do segundo,é igual ao anterior mais 0,3.



tas feitas anteriormente e realizar a operação com qualquer número racional.Dê o tempo que for necessário para a realização da tarefa. Socia-lize as resoluções e discuta com eles os diferentes procedimentos usados.

Para o estudo dessas operações com números racionais, retome os cálculos envolvendo a multiplica-ção com números inteiros.Comente que, embora os alunos já tenham feito um estudo dessa operação com os racionais posi-tivos, agora se trata apenas de ampliar a aplicação das descober-

4 2,08 0

0

0

–50 –26 0 3

• Fazer cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) envolvendo multiplicação com números racionais positivos e negativos, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos nelas envolvidos e verifi cação de resultados.



Na atividade 3, a operação di-visão é abordada como operação inversa da multiplicação.

Na atividade 2, certifi que-se de que os alunos compreendem o conceito de inverso de um nú-mero racional. Poderá ser usado na divisão de números racionais, em situações-problema e também na resolução de equações.

Sim, pois

–3,12



Antes de usar a calculadora, con-vide-os para realizar estimativas de seus cálculos com o obje tivo de criticar os resulta dos obtidos, e não simplesmente aceitar os que são mostrados no visor.Crie outras situações do mesmo tipo, a fi m de ampliar a compe-tência e a prática dos alunos em fazer cálculos (mentais ou es-

critos, exatos ou aproximados).Na atividade 3, trabalha-se o nú-mero racional com o signifi cado de operador, ou seja, o número desempenha um papel de trans-formação, atuando em uma situa-ção e modifi cando-a.

As atividades dessa página envol-vem recursos que podem ser usa-dos para cálculos mentais e es-critos e também para estimativas.Esta é uma ocasião oportuna para o uso da calculadora. Faça com que os alunos busquem regula-ridades, na multiplicação de nú-meros racionais na forma decimal por 10, 100, 1.000, ...

, pois

X

X

X

–7 325,6 –10,09

–70 3.256 –100,9

–700 32.560 –1.009

uma

duas

três

• Fazer cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) envolvendo multiplicação com números racionais positivos e negativos, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos nelas envolvidos e verifi cação de resultados.



Cabe um pequeno comentário em relação à divisão de números racionais representados na forma fracionária. Tradicionalmente, para dividir dois números nessa forma, enfatiza-se o algoritmo “multiplicar o dividendo pelo in-

verso multiplicativo” ou “inverter o divisor e multiplicar pelo divi-dendo” ou “multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda”. As atividades apresentadas pro-curam fazer uma conexão desse algoritmo com o signifi cado da operação.

Embora os alunos já tenham es-tudado a divisão com os racionais positivos, as atividades propostas tratam de ampliar a aplicação das descobertas feitas anteriormen-te e realizar essa operação com qualquer número racional.

São iguais.

Sim.



cia do quociente, de reconhecer o inverso de um número e de que, sabendo que, se o divisor é 1, o quociente é igual ao dividendo. Propriedade da invariância do quo-ciente: o quociente não se altera quando se multiplica ou se divide o dividendo e o divisor pelo mes-mo número (diferente de zero).

Uma vez adquiridos esses co-nhecimentos, os alunos podem perceber por que dividir por um número é o mesmo que multipli-car por seu inverso.

Muitas vezes os alunos não en-tendem por que é preciso mul-tiplicar, se estão dividindo. Um dos erros comuns consiste na in-versão do dividendo, o que pode indicar incompreensão do que estão fazendo.A justifi cativa desse algoritmo está na propriedade da invariân-

1

1

1

O quociente é igual ao dividendo.

Incorreta, pois o resultado fi nal deveria ser negativo.

• Fazer cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) envolvendo divisão com números racionais positivos e negativos, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos nelas envolvidos e verifi cação de resultados.



Antes de iniciar a leitura pro-priamente dita, peça aos alunos que dirijam a atenção para os elementos da matéria do jor-nal que contextualizam o texto: identifi cação de títulos e sub-títulos, observação da tabela.

Essas ações antecipam para o leitor uma série de informações sobre o assunto a ser abordado.Nessas atividades, o número ra-cional é usado como índice com-parativo entre duas quantidades, ou seja, como razão.

Na atividade 1, é importante que os alunos entendam que na Sé, bairro pouco habitado, um mo-rador dispõe de aproximadamente 13 postos de trabalho para serem ocupados ou, pelo raciocínio in-verso, que há menos do que um morador por posto de trabalho.

Aproximadamente 0,08

• Resolver situações-problema que envolvem as ideiasde razão.



Nessa página são propostas ativi-dades para que os alunos possam reconhecer a interdependência entre razão, proporção e propor-cionalidade.Após a realização das atividades, comente que a proporcionalidade é um dos conceitos mais utiliza-dos pela maioria das pessoas, seja em Matemática seja no cotidiano.

Em muitas situações, recorremos a ela para fazer estimativas, cál-culos e até para tomar decisões.Pergunte se:a) as pessoas que eles conhecem (ou eles mesmos) usam propor-ções nas atividades cotidianas.b) uma dona de casa usa pro-porções. Em caso afi rmativo, em quais situações?

c) existem brincadeiras, jogos, quebra-cabeças que utilizam pro-porções.Solicite aos alunos que façam uma pesquisa e registrem no caderno. Promova socialização das respos-tas para que produzam uma reda-ção coletiva.

O consumo de café de um habitante por ano, em quilograma.

Resposta possível: Sim, se 4.650 mg de café equivalem a 1.560 xícaras, então 9.300, que é o dobro de 4.650, equivalem ao dobro de xícaras (2 ∙ 1.560 = 3.120).

Sim. e

• Resolver situações-problema que envolvem as ideias de razão



Comente que, por causa da es-crita m : n = r : s, os termos m e s são denominados extremos da proporção, e os termos n e r são denominados meios da pro-porção.

A propriedade fundamental das proporções pode ser explorada como critério para decidir sobre a igualdade de duas razões.

A atividade 1 envolve a ideia de comparação entre razões e o con-ceito de proporcionalidade.Identifi que o que os estudantes sabem sobre o signifi cado das operações do campo multiplicati-vo e procedimentos matemáticos necessários para resolver proble-mas que envolvem o signifi cado de proporcionalidade.

7,5 kg

40 litros

Em uma proporção, o produto de seus meios é igual ao produto de seus extremos.

• Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema, compreendendo diferentes signifi cados das operações dos campos aditivo e multiplicativo, envolvendo números naturais, inteiros e racionais.


m : n = r : s

extremos

meios



2 horas ou aquele que faz o mes-mo percurso em 1 hora?Peça para calcularem mental-mente a velocidade média de um carro que percorre 160 km em2 horas.Na atividade 2, para calcularem a velocidade média em km/h, os alunos podem dividir os números racionais na forma fracionária:

velocidade média = 4 km ÷ hora

= (4 ∙ 2) km/h = 8 km/h ou na forma decimal, transformando

hora = 0,5 hora.

Comente que uma razão estabele-cida por duas grandezas diferen-tes vem sempre acompanhada de suas unidades de medida (km/h).

Existem alguns tipos de razões especiais muito utilizadas em nosso cotidiano, entre elas a ve-locidade média.Para começar, pergunte:a) Qual é, em geral, a velocidade média dos carros da Fórmula 1?b) Quem é mais rápido, um mo-torista que percorre 100 km em


2 km/h

8 km/h



1 segundo = minuto. Nessa

atividade, como não está es-tabelecida a unidade em que a velocidade vai ser registrada, é possível que apareçam respos-tas diferentes. É salutar discutir essa situação.Comente que é possível que o conceito de densidade demo-

gráfi ca tenha sido estudado nas aulas de Geografi a. Pergunte em que situações. Explique que 7,26 mil habitantes por km2 signifi ca que, se a popula-ção paulistana estivesse distribuí-da de maneira uniforme em toda a extensão territorial, haveria cerca de 7.000 paulistanos vivendo em cada quilômetro quadrado.

A atividade 3 explora as relações entre as medidas de tempo.Faça um diagnóstico dos conheci-mentos dos estudantes a respeito dessas relações. Retome-as, lem-brando que:1 hora = 60 minutos ou

1 minuto = hora;

1 minuto = 60 segundos ou

8 km/h 12 km/h 140,35 m/min

7,26 mil habitantes por km2.

Aproximadamente, 1.515,15 km2.

Aproximadamente, 12.830 habitantes por km2.



Outro aspecto relevante, quando se trabalha com o conceito de ra-zão, é o reconhecimento de que a representação percentual é uma razão de denominador 100, de-vendo a isso grande parte de sua aplicação em situações práticas.

Se possível, inicie esse tema pro-pondo uma pesquisa em jornais locais, revistas, anúncios em lojas da cidade, visita a supermerca-dos, fazendo anotações relacio-nadas a ele. Promova uma ampla discussão sobre os dados levan-

tados e explore o conhecimento deles sobre porcentagem. Procure diagnosticar esse conhecimento e tomar decisões quanto ao enca-minhamento que será dado para atingir os objetivos das ativida-des propostas nessa página.


O peso do consumo dos jovens na renda familiar.

Adolescente

0,95



senta suas anotações, e elaborem coletivamente uma síntese de si-tuações comuns.Para fi nalizar, pergunte com quais atitudes cada um pode contribuir para equilibrar a relação renda versus gastos.A aplicação dos conceitos de ra-zão, proporção e porcentagem é constante em nosso cotidiano,

abrangendo tanto problemas sim-ples e rápidos, por exemplo, des-conto em uma loja em liquidação, como problemas mais complexos relativos à infl ação. Será possí-vel, também, trabalhar com dados do cotidiano, com matérias publi-cadas em revistas e jornais locais.

Solicite aos alunos que façam uma pesquisa com os familiares sobre a renda média mensal e o gasto médio mensal da própria família.Depois peça que estabeleçam a relação renda versus gastos e fa-çam uma análise da situação de cada família. Proponha que se reúnam em gru-pos, nos quais cada aluno apre-

Aproximadamente 95%

Aproximadamente 105%

Uma família sem jovens consegue economizar 5% da renda familiar.

Uma família com jovens gasta 5% mais do que a renda familiar.

Resposta possível: Todas as classes sociais gastam mais do que a renda familiar; entre elas as classes A e B são as que mais comprometem a renda familiar.



Nessa seção é possível o professor verifi car o que o aluno aprendeu e suas eventuais difi culdades. As atividades visam a essa refl exão e dão indícios sobre como avançar e se há necessidade de reorga-nizar outras propostas ou não. Mas é importante destacar que o conhecimento matemático vai se constituindo por articulações,

reorganizações, aprofundamentos e ampliações de ideias e concei-tos e que, durante o ano, sempre se devem propor novas atividades envolvendo os temas que estão sendo trabalhados nas Unidades.Essas propostas fi nais, ao lado de sua observação durante as aulas, são bons indicadores da aprendi-zagem dos alunos.

–72 -90 –729 –9 90

–9 –16

–170,85 –169,15 144,5 200 169,15 0,005

1,4 –2,8 –1,47 –0,333... 2,8 –3



15 porções

X

X

X

X



Nesta Unidade os alunos vão ter oportunidade de ter conta-to com um ramo da Matemáti-ca muito importante, que é a álgebra. Oriente o grupo para fazer pesquisa em livros ou na internet a respeito da álgebra. Forneça um roteiro de pesquisa: dados históricos, época do surgi-

mento da álgebra, em que século se desenvolveram os primeiros usos, os matemáticos envolvi-dos etc. Pergunte se só utiliza-mos números e símbolos ou se também empregamos letras e em que situações. Destaque que há padrões geométricos usados em diferentes culturas.

Peça aos alunos que leiam o texto e pergunte o que entendem pelos termos “regularidades” e “padrões”. Alguns matemáticos costumam di-zer que a Matemática é a ciência dos padrões, porque sempre pro-curam observar algo que é carac-terístico a um grupo de fi guras ou a uma sequência de números para estabelecer generalizações.

• M12 Identifi car diferentes usos para as letras, em situações que envolvem generalização de propriedades, incógnitas, fórmulas, relações numéricase padrões.

• M13 Traduzir uma situação--problema em linguagem algébrica usando equações e formular problemas a partir de uma dada equação do primeiro grau e compreender o signifi cado da incógnita e da solução (raiz) de uma equação.

• M24 Calcular a área de superfícies delimitadas pela decomposição e/ou composição em fi guras de áreas conhecidas, ou por meio de estimativas.

• M25 Realizar conversõesentre algumas unidades de medida mais usuais de áreas em situações-problema.



construir esse painel. Descoberto o segredo, eles podem desenhar a próxima fi gura do painel, ou seja, a que ocupa a 6a posição.Passe à atividade 2 e auxilie-os a determinar quantos quadradi-nhos verdes há na da 7a, 8a e 12a posição.

Divida a classe em duplas e pro-ponha que leiam a questão e analisem a ilustração. Pergunte quantos quadradinhos verdes há na fi gura que ocupa a 1a posição, depois na fi gura da 2a posição, na da 3a, na da 4a e na da 5a. Verifi que, em seguida, se já des-cobriram o segredo de Rafael para

6

7

7

8

12

8 12

• Identifi car diferentes usos para as letras, em situações que envolvem generalização de propriedades, incógnitas, fórmulas, relações numéricase padrões.



ao número que indica a posição da fi gura. Essa discussão permi-te que realizem a atividade 4 e descubram o “segredo” do painel, quando, então, poderão responder à pergunta da atividade 5, que sintetiza e generaliza as ideias das atividades anteriores.

Continue perguntando quantos são os quadradinhos pintados de verde em outras posições e peça que resolvam a atividade 3. Veri-fi que se os alunos percebem que, em qualquer posição que esteja a fi gura, o número de quadradinhos pintados de verde corresponde

15

18

20

100

252

453

Resposta possível: O número de quadradinhos verdes corresponde ao número que indica a posição do quadrado na sequência.



brancos há na fi gura que ocupa a 1a posição? E a 2a posição? E a 3a? E a 4a? Sem fazerem desenhos, de-vem indicar quantos quadradinhos brancos e azuis têm as fi guras da 7a, 9a e 12a posição. É importante que você amplie essa discussão para outros termos que ocupem posições diferentes no painel. Discuta os procedimentos dos

alunos para encontrar o número de quadradinhos azuis e brancos em cada posição da sequência. Na terceira posição, o número de quadradinhos brancos é igual ao dobro do número de quadradinhos azuis, mas essa situação se mo-difi ca a partir da 4a posição. Esse fato pode levar os alunos a am-pliar a regra para todo o painel.

Divida a classe em quartetos. Na atividade 1, itens a e b, per-corra a classe e esclareça possí-veis dúvidas. Pergunte: quantos quadradinhos azuis há na fi gura que ocupa a 1a posição? E a 2a posição? E a 3a? E a 4a? Abra a discussão. Faça o mesmo com re-lação aos quadradinhos brancos. Pergunte: quantos quadradinhos


6

12

20

7

9

12

42

72

132

4

5



capazes de preencher o quadro da atividade 3. Pergunte se sabem como calcular o número total de quadradinhos brancos de uma fi gura dessa sequência. Discuta as respostas e comente a informação dada na atividade 4: para determinar a quantidade de quadradinhos brancos. Pergunte de que maneira eles podem de-

terminar o total de quadradinhos brancos sem contá-los. Verifi que se percebem que basta elevar ao quadrado o número que indicaa posição da fi gura no painel (ou onúmero de quadradinhos azuis) e subtrair o número de quadra-dinhos azuis, ou o número da posição. Peça que completem o quadro usando uma calculadora.

Na atividade 2, é provável que eles digam que o segredo está no fato de que o número de quadra-dinhos azuis é igual ao número de quadradinhos que compõemo lado da fi gura, ou, então, que onúmero de quadradinhos coinci-de com o número que indica a posição da fi gura na sequência. Com essa informação, eles serão

35

59

82

1.225

3.481

6.724

35

59

82

1.190

3.422

6.642

Resposta possível: O número de quadradinhos azuis é igual ao número que indica a posição da fi gura no painel.



gias pessoais, e depois socialize as respostas e conclusões. Explo-re outras posições das caixas e faça um quadro na lousa com as respostas dos alunos. Pergunte como encontraram o número de caramelos e o de bombons de cada caixa. Discuta as diferentes

respostas. Os alunos talvez ob-servem, por exemplo, que o nú-mero de caramelos corresponde ao número que indica a posição da caixa na sequência, e que o número de bombons é o dobrodo número de caramelos mais 2.

Nessas atividades é proposta uma situação-problema em que se observa uma regularidade presente na disposição de cara-melos e bombons em uma caixa. É interessante propor aos alunos que leiam, discutam e resolvam o problema por meio de estraté-


1

2

3

8

10

20

36

4

6

8

18

22

42

74

Resposta possível: O número de caramelos corresponde ao número que indica a posição da caixa, e o número de bombons é igual ao dobro da quantidade de caramelos mais 2.



duas, três ou mais portas. Orien-te-os para construir um quadro em que anotem o resultado de suas experimentações (1 porta =5 palitos; 2 portas = 9 palitos;3 portas = 13 palitos etc.). Prova-velmente, os alunos vão observar que, para acrescentar uma porta ao desenho, usam mais quatro

palitos. Peça para alguns alunos descreverem seus procedimentos e discuta-os com a classe. Na atividade 3, verifi que se ain-da precisam fazer desenhos ou se perceberam que, para completar o quadro, basta somar quatro pali-tos ao número de palitos calcu-lado na linha anterior.

A atividade das “portas de pali-tos” é bastante conhecida e pode ser realizada em duplas, com a construção das fi guras com pa-litos de sorvete ou canudinhos. Esclareça que os palitos ou ca-nudinhos devem ser dispostos de modo contínuo, como se estives-sem “grudados”. Faça algumas ex-perimentações, construindo uma,


Sim

3

5

9

13

17

21

25

41



uso de um termo qualquer. Peça que completem os quadros e, en-quanto eles os analisam, percorra a classe e observe se percebem as regularidades e identifi cam a lei de formação da sequência. Caso seja necessário, retome a ativida-de com os desenhos e discuta as conclusões a que eles já haviam chegado.

A partir da atividade 2 pode haver mais de uma resposta. Na atividade 2, por exemplo, eles podem encontrar na e-nésima posição o total n ∙ n quadra-dinhos, ou n2. Converse sobre a equivalência entre essas duas expressões.

Essas atividades podem ser fei-tas em grupos de 4 alunos para que haja discussão entre os par-ticipantes. Retome as atividades realizadas até aqui e as regras usadas para descobrir a forma-ção de cada sequência. Comen-te com os alunos que é possível generalizar a regra que permite a formação da sequência com o


10

n

100

225

n ∙ n

10

15

n

90

210

(n ∙ n) – n



Na atividade dos caramelos e bombons, podem encontrar 2n + 2 bombons, ou (n + 1) ∙ 2. Na ati-vidade das portas, podem encon-trar n ∙ 4 + 1 ou 5 + (n – 1) ∙ 4. Comente que essas expressõessão equivalentes, e ajude-os a perceber por quê.

1

2

10

20

n

17

21

29

4 + 4 + 4 + 4 + 1

4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 1

4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 1

4 ∙ 4 + 1

5 ∙ 4 + 1

7 ∙ 4 + 1

n ∙ 4 + 1

4

6

22

42

(2 ∙ n) + 2



Com base em situações numéri-cas, explore também a proprie-dade distributiva da multipli-cação em relação à adição e o cálculo de perímetro, já conhe-cido pelos alunos. A fi nalidade é mostrar como utilizar a álgebra para “generalizar” propriedades

ou fórmulas pelo uso de letras. Faça outros quadros em que os alunos possam generalizar ou-tras propriedades, como a distri-butiva da multiplicação em rela-ção à subtração ou a associativa da adição e da multiplicação, por exemplo.

Inicie a atividade conversando com a classe sobre situações nu-méricas em que sejam retomadas propriedades como a comutativa da adição e da multiplicação. Co-mente o fato de que essas pro-priedades não são válidas para a subtração nem para a divisão.


3 + 4 = 4 + 3

2 + 5 = 5 + 2

a + b = b + a

3 ∙ (1 + 5) = 3 ∙ 1 + 3 ∙ 5

2 ∙ (5 + 8) = 2 ∙ 5 + 2 ∙ 8

a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c

3 ∙ 4 = 4 ∙ 3

2 ∙ 5 = 5 ∙ 2

a ∙ b = b ∙ a

Propriedade comutativa da adição epropriedade comutativa da multiplicação.

Qualquer número

Resposta pessoal, por exemplo: 6 + 3 = 3 + 6 ou 6 ∙ 3 = 3 ∙ 6

Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.



o número foi representado por x, mas poderia ser por outra le-tra. Solicite aos alunos que, em duplas, criem uma escrita dife-rente das apresentadas e que as registrem na lousa. Depois, peça à classe que decodifi que o que cada expressão representa, con-sultando se os autores concordam com as respostas.

Comente com a classe que, assim como existem regras e conven-ções para a escrita em língua por-tuguesa, também existem regras e convenções para as escritas algébricas. Peça que cada aluno leia o texto individualmente e depois abra a discussão e socia-lize as respostas. Destaque o fato de que, no exercício proposto,


O triplo de um número.

Um número adicionado a 3.

O triplo de um número adicionado à metade desse número.

O triplo de um número menos 1.

A terça parte de um número adicionado ao dobro desse número.



blematize. Se achar conveniente, solicite aos alunos que realizem as atividades em casa e depois discutam em dupla na sala de aula. Observe se percebem as di-ferenças ao registrar uma expres-são (por exemplo, “o dobro de um

número mais 1”) e uma igualdade (como “qual o número cujo dobro adicionado a 1 dá 17?”). Se julgar necessário, complemente as ati-vidades com leituras, situações--problema e exercícios de livros didáticos disponíveis.

Convide os alunos para realiza-rem, em duplas, as atividades propostas nessa página e na pró-xima. Combine um tempo para a execução de cada uma e vá fa-zendo uma discussão coletiva. Procure identifi car as eventuais difi culdades; retome-as e as pro-

• Traduzir uma situação-problema em linguagem algébrica usando equações e formular problemas a partir de uma dada equação do primeiro grau e compreender o signifi cado da incógnita e da solução (raiz) de uma equação.

3x – 1

5x – 3x

+ 5

x3 + 3

x2 – 2x

2x + 3x

x, x + 1, x + 2 ou x, x – 1, x – 2



Na atividade 4, o aluno deve tro-car o que criou com um colega para a correção. Escolha alguns exemplos para serem lidos para a classe.

x + 5 = 3

3x – 5 = 10

2x – 3 = 5

+ 3 = 7

2x – = 10

Resposta pessoal

Resposta pessoal

Resposta pessoal

Resposta pessoal



de uma representação para outra. Esse é o propósito dessas ativi-dades, que podem ser feitas em trios para provocar discussões. Você terá mais uma oportunidade de percorrer os grupos e observar como seus alunos estão se apro-priando desses conhecimentos.

Faça as intervenções que consi-derar importantes e socialize as resoluções ao fi nal. Destaque a diferença entre expressões como “o triplo da soma de dois núme-ros” e “a soma do triplo de dois números”, e também outras situa-ções similares.

Os dois registros de representa-ção – o da linguagem comum e o da linguagem algébrica – são de fundamental importância na aprendizagem da álgebra e, por esse motivo, diferentes situações devem ser apresentadas aos alu-nos para que façam a conversão


d

e

c

a

b

p = 0,60x

p = 2,25 + 0,60x

3(x + y) = 9

(x + y)3 = 8

x + 3x = 24

x + 3y = 54

3x + y = 54



rem o “segredo” de cada quadro. Nos quadros 1 e 2 provavelmente não surjam difi culdades, pois a relação de quádruplo e de multi-plicar por 10 são evidentes. Já a terceira relação, achar o quíntu-plo e adicionar 1, deve provocar maiores discussões entre os alu-

nos. Concluída a atividade, peça a cada dupla que construa um quadro como as expressões formu-ladas e escreva números que te-nham alguma relação entre si. Os quadros devem ser trocados entre duplas para que os “segredos” de sua formação sejam descobertos.

Nas atividades dessa página, os alunos terão contato com situa-ções em que é possível, a partir de exemplos numéricos, estabe-lecer uma relação entre eles e depois formular a expressão al-gébrica que traduz essa relação. Convide os alunos para descobri-


16 20

80 100

21 26

y = 4x y = 10x y = 5x + 1



ver, por exemplo, uma equação. É basicamente um valor desco-nhecido que será descoberto por meio de uma equação. Esclareça que, de modo geral, uma incóg-nita é representada por letras.Ressalte que, em alguns casos, é muito simples achar o valor da incógnita. Por exemplo, em2 + x = 10 não é difícil saber que

x = 8. Em 3x = 30, também não é difícil saber que x = 10. Propo-nha que resolvam os exercícios sem oferecer regras como “muda de membro, muda de sinal”. Deixe os alunos usarem seus conheci-mentos aritméticos dos campos aditivo e multiplicativo e resol-verem as equações mentalmente.

Como propõe a atividade, discuta com os alunos o que eles sabem sobre o termo “incógnita”, quan-do usado na língua portuguesa. Oriente-os para consultar um di-cionário ou a internet. Depois, comente o signifi cado do termo em matemática, ou seja, trata-se de uma variável cujo valor deve ser determinado de forma a resol-


4, fazendo 7 – 3

9, fazendo 11 – 2

7, fazendo 12 – 5

5, fazendo 8 – 3

2, fazendo 10 dividido por 5

8, fazendo 11 + 5 e dividindo o resultado por 2

37, fazendo75 – 38

118, fazendo83 + 35

84, fazendo113 – 29

120, fazendo1.800 ÷ 15



4

r = 68

x + 5 = 25x = 20

+ 2x = 30 x = 12

= 300,00 x = 600,00

r = 87

2



Comente que o problema apresen-tado na atividade dessa página mostra que todas as operações rea-lizadas (subtrair 1, dobrar o re-sultado e adicionar 2) são a mes-ma coisa que calcular o dobro do número pensado: 2(x – 1) + 2 == 2x – 2 + 2 = 2x. Esclareça que,

sabendo disso, Rafael adivinhava com muita facilidade o número pensado por Gustavo, pois apenas calculava mentalmente a metade do número dito pelo irmão. Uma vez compreendida e resolvida essa situação, convide os alunos para trabalharem em trios e decifrarem

as outras adivinhas de Rafael.À medida que os alunos se envol-vem com as tarefas, você pode sistematizar operações simples como 2x + 3x = 5x, 2y ∙ 3y = 6y2

e assim por diante. Não se espera que os alunos cheguem à equação e a resolvam.


Resposta pessoal



Na atividade 1, os alunos vão fazer simulações. Divida a clas-se em quartetos. Comente que vão preencher o quadro com os resultados dos cálculos relacio-nados aos valores atribuídos a z, seguindo os comandos dados no problema. Socialize as respostas dos grupos.

Na atividade 2, peça que atri-buam valores para a e preencham o novo quadro. Socialize as res-postas de cada grupo e sistemati-ze as operações à medida que são executadas. Verifi que se perce-bem que, não importa o número escolhido, o resultado é sempre 2. Portanto, a resposta não de-pende do número pensado.


4

12

15

5

3

2

6

18

21

7

5

2

Respostas pessoais

Não, é sempre 2.



Nas atividades dessa página, os alunos podem resolver as ques-tões aritmeticamente ou por meio de equações algébricas. Divida a classe em duplas e sugira que cada elemento use um proce-dimento. Discuta as resoluções diferentes que você encontrar. Socialize os procedimentos e de-

bata as vantagens e desvantagens de cada um. Não apresente regras de resolução de equação. Permita que os alunos as resolvam com seus conhecimentos. Faça um diagnóstico das difi culdades en-contradas por eles. Eles podem resolver as equações também por

“ensaio e erro”, ao substituir x por diversos números diferentes até que a igualdade fi que verda-deira e, assim, demonstrem que perceberam o signifi cado de raiz de uma equação. Verifi que se al-guns fazem transformações algé-bricas e discuta-as com a classe.


x + 34 = 160x = 126

4x – 2x = 56x = 28

3x – 25 = 45

x =

x + (x + 1) = 45x = 22 x + 1 = 23

2x + x = 36x = 12

160 – 34 = 126

56 ÷ 2 = 28

45 + 25 = 7070 ÷ 3 = 23,33

45 – 1 = 4444 ÷ 2 = 2222 + 1 = 23

36 ÷ 3 = 12



Comente com os alunos que, quando a equação é simples como as resolvidas na página anterior, não é preciso fazer muitas trans-formações na sentença algébrica, mas, quando a equação é mais elaborada, há necessidade de

fazer alterações transformando--a em equação equivalente e mais simples que a original. Es-clareça o que é uma equação, o que é incógnita, raiz e equações equivalentes também. Use o tex-to deste material e amplie com

outras informações. Verifi que se percebem as transformações rea-lizadas e as equações resultantes dessas transformações. Observe também se compreendem que es-sas equações são equivalentes e que todas elas têm a mesma raiz.


Subtraiu-se 6nos dois membros.

Subtraiu-se 2xnos dois membros.

Dividiram-se osdois membros por 2.

Sim, todas são equivalentes, pois, substituindo x por 2 em cada uma delas, vamos obter sentenças verdadeiras.



Divida a classe em duplas. Na atividade 1, observe se as du-plas explicitam as transformações realizadas e se percebem a neces-sidade de transformar a equação para resolvê-la. Você pode pro-por outras equações simples para seus alunos e depois socializar as resoluções na lousa.

Discuta coletivamente a ativi-dade 2 para que percebam qual foi o erro cometido. Peça a um aluno que resolva a equação cor-retamente na lousa. Na atividade 3, acompanhe a elaboração das equações e a reso-lução dos alunos. Socialize algu-mas equações e suas resoluções.


3x – 10 + 10 =40 – 2x + 10 3x = 50 – 2x

5x = 50

x = 10

Adicionou-se 10aos dois membros.

Adicionou-se 2xaos dois membros.

Dividiram-se os doismembros por 5.

3x + 2x =50 – 2x + 2x

5x ÷ 5 = 50 ÷ 5

Não

Em vez de dividir 25 por 5, ele fez 25 – 5.



As atividades dessa página envol-vem a elaboração de problemas que podem ser resolvidos por uma equação dada. Quando elaboram problemas, os alunos têm a pos-sibilidade de analisar a equação dada e propor uma situação em que a pergunta permite calcular o

valor da incógnita. Proponha que resolvam as atividades em grupos para que possam discutir entre si os enunciados. É importante so-cializar os diferentes enunciados para que os alunos percebam que uma equação resolve uma classe de problemas. Justifi ca-se, assim,

a importância de resolvê-los al-gebricamente, mesmo que os enunciados envolvam contextos bastante diferentes. Muitas ve-zes, de acordo com o contexto, a solução obtida não serve como resposta para o problema.


Resposta pessoal

Resposta pessoal

x = 12

4x = 64

x = 64 ÷ 4

x = 16



Pergunte aos alunos o que en-tendem por área e por superfície. Ressalte que, mesmo usados como sinônimos na linguagem comum, na matemática esses termos têm signifi cados diferentes. Área, por exemplo, é o nome dado à medida

de uma superfície plana delimi-tada ou não por um polígono e pode ser retangular, circular etc. Peça aos alunos que pesquisem o signifi cado desses termos para ampliar a discussão e esclareça eventuais dúvidas. Relembre a

fórmula do cálculo da área de uma região limitada por um qua-drado e, com base nas questões propostas, discuta as fórmulas utilizadas para o cálculo da área de regiões delimitadas por triân-gulos, retângulos e losangos.

• Calcular a área de superfícies delimitadas pela decomposição e/ou composição em fi guras de áreas conhecidas, ou por meio de estimativas.

9 cm2

L ∙ L

Dividiria a área do quadrado por 2.

a ∙ b

b ∙ h



Nessa página, os alunos vão con-tinuar calculando áreas de super-fícies planas, agora limitadas por paralelogramos, sempre com base em áreas conhecidas. Explore as fi guras e o texto e relembre a fór-mula do cálculo da área de uma região retangular. Com base nas questões, discuta as fórmulas utilizadas para o cálculo da área

de uma região limitada por um paralelogramo.Na atividade 2, verifi que se os alunos percebem regularidadesdas figuras, ou seja, as mes-mas medidas das bases e asmes mas alturas, embora nem sem-pre isso possa ser percebido nos desenhos da malha quadriculada.

• Calcular a área de superfícies delimitadas pela decomposição e/ou composição em fi guras de áreas conhecidas, ou por meio de estimativas.

A medida da base do retângulo corresponde à medida da diagonal menor,e a medida da altura do retângulo corresponde à medida da diagonal maior.

A = (D ∙ d) ÷ 2

A = b ∙ h

Todas as fi guras têm a mesma área. Porque todas elas têm bases com a mesma medida e alturas também com a mesma medida.

Sim, pois têm as bases com medidas iguais e as alturas com medidas iguais.



Explore algumas situações do dia a dia em que é preciso calcular áreas de superfícies. Comente que o cálculo de área é muito utili-zado e que uma pessoa de modo prático emprega estratégias pes-soais para estimar áreas de su-perfícies. Nessas atividades, os

alunos devem relacionar metros e centímetros para fazer os cál-culos. Lembre a eles que 1 metro equivale a 100 centímetros. Peça que resolvam os problemas em grupos e socialize as respostas. Você pode apresentar outras uni-dades de medida de área, como o

hectare, o alqueire etc. e comen-tar que algumas dessas unidades de medida, como o alqueire, dife-rem de uma região para outra em nosso país. Solicite aos alunos que pesquisem que medidas são utilizadas em cada Estado, qual é o uso etc.

• Realizar conversões entre algumas unidades de medida mais usuais de áreas em situações-problema.

Área total: 500 centímetros quadrados.

Área ocupada pela margem:126 centímetros quadrados.

Área disponível para escrita: 374 centímetros quadrados.

4,20 m2

4,20 m2



Nessas atividades, os alunos de-vem realizar conversões entre unidades de medida. Você pode ampliar discussões sobre medidas de área e sobre medidas em geral no site do Instituto de Pesos e Medidas do Estado de São Paulo (www.ipem.sp.gov.br/metrologia.

asp), que apresenta até mesmo uma tela que permite converter uma medida em outra e todas as informações para acessá-la. É importante que se discuta com os alunos quando utilizar uma ou outra unidade de medida; por exemplo, se a superfície cuja área

se quer calcular for muito gran-de, é mais interessante usar o quilômetro e não o metro, muito menos o centímetro. Se, ao con-trário, a superfície for muito pe-quena, é aconselhável usar o cen-tímetro ou mesmo o milímetro.


É menor, pois cada lado mede menos de 2 m.

3,8416 m238.416 cm2



Nessas atividades, explora-se o cálculo com estimativas de me-didas de áreas de superfície. An-tes de iniciar cada atividade, os alunos devem fazer as conversões necessárias. É importante que se estime primeiro antes de fazer o cálculo de áreas, principalmente se as medidas forem expressas em

números racionais. Isso facilita ao aluno validar o resultado obti-do no cálculo da área e também a compreensão da multiplicação de racionais escritos na forma deci-mal, pois comumente se acredita que o resultado da multiplicação entre dois números é sempre maior do que esses números. Essa

crença é verdadeira apenas para os números naturais diferentes de 1 ou de 0, pois, quando se multi-plica um racional por um número menor que um, o resultado é me-nor que o outro fator. Você pode propor também que usem a calcu-ladora para validar os resultados.


Necessita de um pouco menos de 1 metro quadrado.

Necessita de mais de 1 metro quadrado de tecido.

1,14 m2 ou 11.400 cm2A primeira, porque é mais fácil visualizar 1 m2 do que 11.000 cm2.

0,9775 m2



Nessa seção, os alunos devem desenvolver as atividades indi-vidualmente. Esta é uma etapa importante, pois você pode diag-nosticar o que os alunos de fato aprenderam e os conceitos que precisam ser retomados. Não é preciso resolver as atividades to-das de uma única vez, organize-as

conforme seu tempo e seus obje-tivos. Você pode ainda solicitar aos alunos, em relação ao que foi estudado nesta Unidade, que in-diquem o que consideraram curio-so ou importante para sua vida, o que apresentou mais difi culdade. Tire eventuais dúvidas.

X

X

X

Adicionei 6 Diminuí 2

Multipliquei osdois termos por 4

Multipliquei osdois termos por 5

Dividi os doistermos por 2

Dividi os doistermos por 2



X

X

X

1,8 km2 ou 1.800.000 m2



sente na arte, na natureza, em tapeçarias, pinturas etc. Escla-reça que nesta Unidade eles vão estudar a simetria no contexto da geometria e conhecer muitos assuntos interessantes sobre refl exões em retas, explorando elementos da cultura africana que exercem grande infl uência na cultura brasileira.

Converse com os alunos sobre o que sabem da relação da mate-mática com a arte, com o artesa-nato das mais variadas culturas. Comente que desde os primórdios da humanidade há uma preocu-pação com a simetria. Pergunte o que entendem por “simetria”, termo muito ligado à ideia de harmonia, de beleza e está pre-

• M7 Compreender e utilizar as propriedades da potenciação com expoente inteiro positivo, em situações-problema.

• M8 Calcular potências de expoente nulo ou negativo, compreendendo seu signifi cado.

• M10 Calcular a raiz quadrada e a raiz cúbica de um número natural, por meio de estimativas ou usando a calculadora.

• M12 Identifi car diferentes usos para as letras, em situações que envolvem generalização de propriedades, incógnitas, fórmulas, relações numéricase padrões.

• M18 Identifi car as transformações de umafi gura obtidas pela suarefl exão em reta,reconhecendo características dessa transformação.

• M19 Identifi car as transformações de uma fi gura obtidas pela sua rotação, reconhecendo características dessa transformação.

• M20 Identifi car ângulo como mudança de direção e reconhecê-lo em fi guras planas, nomeando-os em funçãode suas medidas.

• M21 Resolver situações--problema, utilizando a propriedade da soma dos ângulos internos de umtriângulo qualquer.

Materiais necessários para esta Unidade: papel sulfi te25 espelhos retangulares de 20 cm por 10 cm (papel espelhado) lápis de cor régua transferidoresquadromodelo recortado em papel de um triângulo equilátero



artesanato. A proposta para cada grupo é elaborar um cartaz com textos e imagens, exibindo uma grande variedade de exemplos. Marque um dia para a apresen-tação. O grupo que preferir pode optar por outra forma de apresen-tação que não seja a colagem de

imagens; por exemplo, fotos do bairro, pinturas feitas por eles. Na avaliação dos trabalhos, rea-lizada com a classe, é importante discutir se a fi gura é caracteriza-da por simetria, ou seja, se há uma parte que se sobrepõe à ou-tra ao ser dobrada.

Peça aos alunos que individual-mente façam a leitura da página 196 e discutam se há alguma par-ticularidade nas fotos escolhidas. Solicite que a classe se organize em nove grupos e proponha o sorteio de um assunto para cada três grupos: simetria na arte, si-metria na natureza, simetria no

• Identifi car as transformaçõesde uma fi gura obtidas pelasua refl exão em reta, reconhecendo características dessa transformação.



vidas e os procedimentos utili-zados. Não se es

LIVRO DO PROFESSOR O - portal.sme.prefeitura.sp.gov.brportal.sme.prefeitura.sp.gov.br/Portals/1/Files/12067.pdf · LIVRO DO PROFESSOR MATEMÁTICA · 7 O ANO 161 Na atividade 4, os

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