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Literatur978-3-540-33414... · 2017-08-25 · 576 Literatur 16. Patrick Billingsley. Probability and measure.Wiley Series in Probability and Mathe-matical Statistics. John Wiley &
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Notation
A Indikatorfunktion der Menge A
2Ω Potenzmenge, 1
#A Kardinalitat der Menge A
Ac Komplement Ω \A der Menge A ⊂ Ω, 1
A ∩B Schnittmenge
A ∪B Vereinigungsmenge
A �B disjunkte Vereinigungsmenge (eigentlich ist hierin eineAussage enthalten)
A ⊂ B A ist (nicht notwendigerweise echte) Teilmenge von B
A \B Differenzmenge
A�B symmetrische Differenz zweier Mengen, 29
A×B kartesisches Produkt von A und B
A Teilmenge von 2Ω , typischerweise eine σ-Algebra, 1
A∣∣B
Spur-Mengensystem auf B, 10
A ⊗ A′ Produkt der σ-Algebren A und A, 260
B(E) Borel’sche σ-Algebra von E, 8
Berp Bernoulliverteilung, 43
βr,s Beta-Verteilung mit Parametern r und s, 46
bn,p Binomialverteilung, 44, 289
b−r,p negative Binomialverteilung, 44, 289
C(E), Cb(E), Cc(E) Raum der stetigen (beschrankten) Funktionen, bzw. mitkompakten Trager, 236
CqV Funktionen mit stetiger quadratischer Variation, 467
C Menge der komplexen Zahlen, 78
Caua Cauchy Verteilung, 289
584 Notation
Cov[X,Y ] Kovarianz der ZufallsvariablenX und Y , 98
CPoiν zusammengesetzte Poisson-Verteilung, 317
δx Dirac-Verteilung, 12
E[X] Erwartungswert der Zufallsvariablen X , 97
E[X; A] =E[X A], 167
E[X |F ] bedingter Erwartungswert, 169
expθ Exponentialverteilung, 45, 289
F = (Ft)t∈I Filtration, 185
f.s, f.u. fast sicher und fast uberall, 31
G(x, y) Greeenfunktion einer Markovkette, 351
Γθ,r Gammaverteilung mit Großenparameter θ > 0 undFormparameter r > 0, 46, 289
γp = b−1,p geometrische Verteilung mit Parameter p, 44
ggT(M) großter gemeinsamer Teiler allerm ∈M ⊂ N, 366
H ·X diskretes stochastisches Integral vonH bezuglichX , 192
I Menge der invarianten Verteilungen einer Markovkette,360
i.i.d. independent and identically distributed, 55
Im(z) Imaginarteil von z ∈ C, 281
λ, λn Lebesgue-Maß, n-dimensionales, 25
Lip(E) Raum der Lipschitz-stetigen Funktionen auf E, 237
Poiλ Poissonverteilung mit Parameter λ ≥ 0, 45, 289
pn(x, y) = p(n)(x, y) n-Schritt-Ubergangswahrscheinlichkeiten einer Markov-kette, 340
PnS,T , Pn
T siehe Seite 467
ϕX charakteristische Funktion der ZufallsvariablenX , 288
ψX Erzeugendenfunktion der ZufallsvariablenX , 75
Q Menge der rationalen Zahlen
R Menge der reellen Zahlen
R = R ∪ {−∞,+∞} Zweipunktkompaktifizierung der reellen Zahlen
Re(z) Realteil von z ∈ C, 281
sign(x) = (0,∞)(x) − (−∞,0)(x), Vorzeichen von x ∈ R, 37
σ( · ) von · erzeugte σ-Algebra oder Filtration, 6, 34, 185
τkx Zeit des k-ten Besuches einer Markovkette in x, 349
T ( · ) terminale σ-Algebra, 61
UA uniforme Verteilung auf A, 12, 33, 289
u.i.v. unabhangig und identisch verteilt, 55
V 1(G), V 2(G) Variation und quadratische Variation von G, 466, 467
Var[X] Varianz der Zufallsvariablen X , 97
〈X〉 quadratischer Variationsprozess von X , 200, 467, 471,475
f(t) ∼ g(t), t→ a : ⇐⇒ limt→a f(t)/g(t) = 1
X ∼ μ Die ZufallsvariableX hat Verteilung μ, 42
x ∨ y, x ∧ y, x+, x− Maximum, Minimum, Positivteil, Negativteil reeller Zah-len, 37
586 Notation
�x�, �x� Abgerundetes und Aufgerundetes von x, 36
z komplex konjugierte Zahl zu z ∈ C, 281
Z Menge der ganzen Zahlen
D= Gleichheit in Verteilung, 42
D−→n→∞
,n→∞=⇒ Konvergenz der Verteilungen, 243
n→∞=⇒fdd
,n→∞−→fdd
Konvergenz der endlichdimensionalen Verteilungen, 453
Glossar englischer Ausdrucke
a.a. = almost all fast allea.e. = almost everywhere fast uberalla.s. = almost surely fast sicherarray (of random variables) Schema von Zufallsvariablenbackward martingale Ruckwartsmartingalbond, edge Kante (eines Graphen)Brownian motion Brown’sche Bewegungcentral limit theorem Zentraler Grenzwertsatzcompletion Vervollstandigungcompound Poisson zusammengesetzt Poissonconductivity Leitfahigkeitcontinuous stetigconvolution Faltungdecompostition Zerlegungdensity Dichtederivative Ableitungdistribution Verteilungdominated convergence majorisierte Konvergenzdynamical system Dynamisches Systemexpectation (conditional) Erwartungswert (bedingter)ergodic theorem Ergodensatzevent Ereignisexchangeable austauschbarextension theorem Fortsetzungssatz, Erweiterungssatzflow (electric) Fluss (elektrischer)iff = if and only if dann und nur dann, wenni.i.d. = independent and identicallydistributed
unabhangig und identisch verteilt
increment Zuwachsindistinguishable ununterscheidbarinteger (number) ganze Zahljoint distribution gemeinsame Verteilunglarge deviation große Abweichung
588 Glossar englischer Ausdrucke
law Verteilunglevel set NiveaumengeMarkov chain Markovkette(strong) Markov property (starke) Markoveigenschaftmap Abbildungmarginal (distribution) Randverteilungmean Mittelwertmeasurable space Messraummeasure Maßmeasure preserving maßerhaltendmixing mischendmodulus (of a number) Absolutbetrag (einer Zahl)modulus of continuity Stetigkeitsmodulnull array asymptotisch vernachlassigbares Sche-
mapartition function Zustandssummep.d.f. = probability distribution function Verteilungsfunktionp.g.f. = probability generating function Erzeugendenfunktionphase transition Phasenubergangpredictable, previsible previsibel, vorhersagbarprobability Wahrscheinlichkeitrandom walk Irrfahrtrandom variable Zufallsvariablerepresentation Darstellungsemigroup Halbgruppeσ-field σ-Algebrasize-biased (sampling) großenverzerrtes Ziehen einer Stichpro-
betight strafftrace Spurtransition kernel Ubergangskernuniform distribution Gleichverteilunguniformly integrable gleichgradig integrierbarurn model Urnenmodell(probability) weight (Wahrscheinlichkeits-)gewichtvertex Punkt/Knoten eines Graphenw.p. = with probability
Radon-Maß 235Radon-Nikodym-Ableitung 152Rand 234random walk in random environment 414Ratenfunktion 490, 495Rayleigh’sches Monotonieprinzip 396RCLL 444Rechteckzylinder 262Reflexionsprinzip 339– Brown’sche Bewegung 442regulare Version der bedingten Verteilung