Literatur: W. Demtröder, Experimentalphysik 1, Springer Lehrbuch P. A. Tipler, Physik, Spektrum Akad. Verlag Meschede: Gerthsen Physik, Springer Verlag Bergmann, Schäfer : Lehrbuch der Experimentalphysik“ R.W. Pohl „Mechanik, Akustik und Wärmelehre“ The Feynman Lectures on Physics, Vol.1, Addison Wesley Walther Levine, MIT Open Courseware Gaub 1 E1 WS14/15
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E1 WS14/15 1
Literatur:
W. Demtröder, Experimentalphysik 1, Springer LehrbuchP. A. Tipler, Physik, Spektrum Akad. Verlag
Meschede: Gerthsen Physik, Springer Verlag Bergmann, Schäfer : Lehrbuch der Experimentalphysik“R.W. Pohl „Mechanik, Akustik und Wärmelehre“
The Feynman Lectures on Physics, Vol.1, Addison WesleyWalther Levine, MIT Open Courseware
Gaub
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Die Physik sucht in der Vielzahl der Naturerscheinungen nach Gesetzmässigkeiten und Zusammenhängen, die sie mit
möglichst wenigen Grundprinzipien erklären kann
Die Mathematik ist die natürliche Sprache der Physik
Physik
Die Gültigkeit physikalischer Gesetze wird durch Experimente geprüft
Gaub
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Die Physik ist die Wissenschaft der unbelebten Welt
Physik
Gaub
Die Physik ist die Wissenschaft der Wechselwirkungen
"Daß ich erkenne, was die Welt / Im Innersten zusammenhält" (V. 382 f.)
Beobachtung
Analyse
Hypothese
Experiment
Physikalisches Gesetz
Erkenntnisgewinn:
Gaub 4E1 WS14/15
Gaub E1 WS14/15 5
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Eine umfangreiche Sammlung optischer Täuschungen findet sich unter http://www.michaelbach.de/ot/
Forderungen an eine physikalische Messung:1. reproduzierbar (Invarianz der Naturgesetze)2. quantitativ (d.h. zahlenmäßig in Maßeinheiten)3. genau (unter Angabe eines Messfehlers)
Die menschliche Wahrnehmung ist für physikalische Messungen nur bedingt brauchbar. (siehe Demonstrationen)
Messverfahren und Normale
Messen heißt immer zwei Größen miteinander zu vergleichen. Für einen einheitlichen, zahlenmäßigen Vergleich werden Standards, sogenannte Normale festgelegt. Der Messvorgang sollte folgende Kriterien erfüllen :
Forderungen an ein Normal:
Normale müssen mit genügender Genauigkeit, reproduzierbar und mit vertretbarem technischen Aufwand mit zu messender Größen vergleichbar sein.
Gaub
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Eine Messung ist der Vergleich zweier Grössen miteinander
Aus Erfahrung:Je höher die Symmetrie im Aufbau, desto genauer die Messung
Scale Balance
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€
1m=Erdquadrant10.000.000
€
c0 =299.792.458ms
Zeit:
€
1s=Sonnentag60⋅60⋅24
€
νCs=9.192.631.770,01s
€
1Mol=6,0221367⋅1023Teilchen
€
1Mol=6,0221367⋅1023Teilchen
Masse:
€
1kg=1dm3H2O@4oC ? Atommassen im Kern
Temperatur:
€
1oK =TripelH2O273,16 Ekin Gas
Länge:
war ist heute
Fundamentale Grundgrößen:
Stoffmenge:
Weitere Grundgrößen des SI-Systems (zweckmäßig):
Stromstärke:
€
1A=1,1180mgAgs
Kraft zwischen zwei Leitern
Die Basiseinheiten (SI-Einheiten)SI: système international d’unités
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Vorsilben zur Bezeichnung von dezimalen Vielfachen und Teilen
(SI - Vorsätze)
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1875 : Das Urmeter (Paris)
Seit 1983 ist die Lichtgeschwindigkeit auf c0=299 792 458 m/s festgelegt.
Einheit der Länge
=> Relative Messunsicherheit : 10-14
Heute gültige Definition : Meter [m]1 Meter ist die Länge der Strecke, die Licht im Vakuum während der Dauer von 1/299 792 458 Sekunden durchläuft.
1960 Definition über die Wellenlänge des Krypton-Isotops 86
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GPSTriangulation mit Radiosignalen
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Logarithmische Skala
n10
Größenordnungen in der Physik
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E1 WS14/15 15Gaub
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Zeitenskalen1018 Alter des Universums ( 5*1017s)1015 Alter der Erde (1.6*1017s)1012 Erste Menschen (2*1013s) 109 Alter der Pyramiden (2*1010s) 106 1 Jahr = 3,15 107 s , 1 Tag 8,64 104 s103 Zeit die Licht von der Sonne zur Erde benötigt (5*102 s)1 Abstand zwischen Herzschlägen10-3 Periode einer Schallwelle10-6 Periode einer Radiowelle10-9 Licht legt 30cm zurück10-12 Periode einer Molekülschwingung10-15 Periode einer Atomschwingung10-18 Licht legt Atomdurchmesser zurück10-21 Periode einer Kernschwingung10-24 Licht legt Kerndurchmesser zurück
sec
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Einheit der Zeit
=> Relative Messunsicherheit : 10-14
Heute gültige Definition : Sekunde [s]1 Sekunde ist das Zeitinterval, während dessen die Cäsiumuhr 9 192 631 770,0 Schwingungen macht.
Atomuhren gehen auf 20 Millionen Jahre 1 s falsch.
ei = xw − x iDef.: Absoluter Fehler der Messung i:
€
ε =xw − x Def.: Absoluter Fehler des Arithmetischen Mittels:
€
limn→∞
1n
eii=1
n
∑ = xw − xw = 0–> 0weil
€
=1n
xw − x i( )2
i∑
€
=xw − x i( )
2∑n€
=1n
xw − x i( )2
i=1
n
∑€
σm = ε 2 = 1n2 ei
2∑Def.: Mittlerer Fehler des arithmetischen Mittels:
€
σ = e2Def.: Standardabweichung:
Fehler
€
e2 = 1n
ei2∑
Def.: Arithmetisches Mittel der quadatischen Abweichungen der Einzelmessung:
€
σm = σn
=>Zufällige Fehler lassen sich durch wiederholte Messungen "ausgleichen"
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Problem:
Da bei endlicher Zahl der Messungen i der wahre Wert xw nicht bekannt ist und somit auch ei und σ, bzw σm nicht bestimmbar sind, Übergang zur Grössen relativ zum Mittelwert
€
v i = x − x i
€
=ei −ε
€
s2 = 1n
v i2
i∑
€
=1n
ei −ε( )2
i∑
€
=1n
ei2
i∑ − 2ε
nei
i∑
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟+ ε 2
€
s2 = 1n
ei2
i∑ −ε 2
€
=σ 2 −σ m2
€
= n −1( )σ m2
€
=n −1
nσ 2
Streuungsmasse
Def.: Mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert:
Def.: Abweichung vom Mittelwert:
weil ==>
€
ε =1n
eii=1
n
∑
€
=1n
x − xi( )2
i∑
€
s2 = 1n
vi2
i∑
€
σm = σn
Vergleich
€
s2 = xw − xi( )2 − xw − x ( )
2Alternative Schreibweise
€
=xw − x i − xw − x ( )
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=> Standardabweichung der Einzelmessungen:
€
σ =x − xi( )
2∑n −1
€
σ m =x − xi( )
2∑n n −1( )
Mittlerer Fehler des Arithmetischen Mittels: (Standardabweichung des Mittelwerts)
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f(x)dx gibt die Wahrscheinlichkeit, den Messwert bei x im Interwall dx zu finden
€
mit Δnii=1
k
∑ = n
€
f x( ) = 1 n( ) lim Δni Δxi( )
€
= 1 n( ) ⋅dn dx
Verteilungsfunktion
Übergang zu normierten Verteilungen der Messwerte
xj
nj/n
∆xjx
F = ∆ni/n
Übergang zu infinitessimalen Intervallen, k–>oo
€
x = 1n
Δnii=1
k
∑ ⋅ x i
für ∆xi 0 geht ∆ni 0, aber ni = ∆ni/∆xi bleibt endlich!
Verteilungsfunktion
f(x)
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€
weil Δxinii=1
k
∑ = n
€
f x( )dx∫ = lim 1 n( ) niΔx i∑[ ] =1
€
σ 2 = e2
€
= xw − x( )2
−∞
+∞
∫ f x( )dx
Eigenschaften der Verteilungsfunktion
Varianz
Die Verteilungsfunktion ist normiert:
Wenn nur statistische Fehler auftreten
€
f x( ) = 12πσ 2
e− x−xw( )2 2σ 2
Normalverteilung(Gausssche Glockenkurve)
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€
f x( ) = 12πσ 2
e− x−xw( )2 2σ 2
€
P xw − x i ≤ σ( ) = f x( )dxxw −σ
xw +σ
∫
€
P ei ≤ σ( ) = 0,683 (68% Vertrauensbereich )
€
P ei ≤ 2σ( ) = 0,954 (95% Vertrauensbereich )
€
P ei ≤ 3σ( ) = 0,997 (99% Vertrauensbereich )
Normalverteilung
σ = 1/4
σ = 1/2
f(x)
σ =1
x - xw1-1 0
Hat man aus n Messungen σ bestimmt, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein weiterer Messwert innerhalb der Standartabweichung liegt
Einsetzen und Integrieren ergibt:
€
f x( ) = x x
x!e−x x = ganzzahlig
Anmerkung : Bei gequantelten statistischen Vorgängen z.B. Photonenzählen geht die Gauss- in die Poissonverteilung über
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€
dy =df x( )
dxdx
€
σ x =x − xi( )
2∑n −1
€
σ y =y − yi( )
2∑n −1
€
=( x − x( )df x( ) /dx)2∑
n −1
FehlerfortpflanzungZu bestimmende Grösse y sein Funktion der Messgrösse x =>
n-malige Messung liefert Standardabweichung
€
σ y =df x( )
dx
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟x
⋅σ x
„Fortgepflanzte“ Standardabweichung
€
y
€
y
€
f x( )
€
x
€
x
€
x + dx
€
dy
Vorsicht Fehler im Demtröder
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€
x ± σ x = x ±v i
2∑n −1
€
mit v i = x i − x
€
y ± σ y = y ±uk
2∑m −1
€
mit uk = yk − y
FehlerfortpflanzungZu bestimmende Grösse sei Funktion zweier Messgrössen f(x,y) , die jeweils unabhängig voneinander fehlerbehaftet seien
Mittelwert aus n Messungen
Mittelwert aus m Messungen
€
fik=fxi,yk ()=fx +vi,y +uk ()
Taylorentwicklungvon um
€
x ,y
€
fx,y ()
€
= f x , y ( )+ vi
∂f x, y( )∂x
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟x
+uk
∂f x, y( )∂y
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟y
+...
Lineare NäherungGaub
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€
f = 1n ⋅m
fikk
∑i
∑ = 1n ⋅m
f x , y ( ) + vi∂fdx
x , y ( ) + uk∂fdy
x , y ( ) ⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
k=1
m
∑i=1
n
∑
€
=1
n ⋅mn ⋅m ⋅ f x ,y ( ) + m v i
∂f∂x
+ n uk∂f∂yk
∑i
∑ ⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
€
f = f x , y ( )
€
σ f = σ x2 ∂f
∂x ⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟2
+ σ y2 ∂f
∂y ⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟2
€
fw x, y( ) = f x ,y ( ) ± σ x2 ∂f
∂x ⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟2
+ σ y2 ∂f
∂y ⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟2
€
Δf = fw − f x , y ( ) ≤ σ x∂f∂x
+ σ y∂f∂y
Mittelwertbildung:
Das arithmetische Mittel der Funktionswerte ist gleich dem Funktionswert der arithmetischen Mittelwerte der Messgrössen
€
∂fdx
x , y ( )
Da
= constant
€
vi∑ = uk∑ = 0und
Herleitung der Standardabweichungen mühsam siehe Bergmann Schäfer o ä.
€
a2 + b2 ≤ a + bWegen
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a und b entsprechen mit 68% Zuverlässigkeitdem wahren Wert
AusgleichsrechnungSei die Messgenauigkeit einer Grösse viel höher als die der anderen, hier z.B. ∆x << ∆y
€
x
€
y
€
y = ax + bGesucht: Ausgleichgerade
€
a ⋅ x ii
∑ + b ⋅n = y ii
∑
€
a ⋅ x i2
i∑ + b ⋅ x i
i∑ = x iy i
i∑
€
∂S∂a
= −2 x i y i − ax i − b( )i=1
n
∑ = 0
€
∂S∂b
= −2 y i − ax i − b( )i=1
n
∑ = 0
€
b = 1 n( ) yi∑ − a n( ) xi∑
€
a =n x iy i∑( ) − x i∑( ) y i∑( )
d
€
d = n ⋅ x i2∑( ) − x j∑( )
2mit
€
b =xi
2∑( ) yi∑( ) − xi∑( ) xiyi∑( )d
€
S = yi − axi − b( )2∑
Minimierung der Summe der Abweichungsquadrate
Weiterführend:- Maximum likelihood estimator - Bayesian inference
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Beispiel: Herzschlagfrequenzen ruhender Fledermäuse aufgezeichnet in Panama (Quelle: Uni Konstanz)
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Nicht die Zeitmessung unterliegt hier statistischen Schwankungen sondern eine Grösse von der die Frequenz exponentiell abhängt!