8/10/2019 Lista04-Hiperestatica-Metodo Dos Deslocamentos (1)
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Anhanguera-Uniderp Engenharia Civil Hiperesttica
Mtodo dos Deslocamentos 1/12 profwillian.com
Exerccios - Utilize o Mtodo dos deslocamentospara calcular as reaes de apoio e trace os diagramas de esforosnormal, cortante e momento fletor dos quadros hiperestticos:
1)
B
A
C
15 kN/m
5m
4m 5)
6 kN/m
2 m
3 m 2 m
D
A B C3EI
EI
3EI
2)
B
A
C
18 kN/m
4m
3m
4EI
EI 6)
10,8 kN/m
3 m
4 m 4 m
D
A B C
E
3)
B
A
C
12 kN/m
5m
4m
3m
D
7)
12 kN/m
3 m
5 m 3 m
D
A B C4EI
EI
3EI
E
EI
4)
6 kN/m
2 m
3 m 2 m
D
A B C
8)
B
A
C D
6 kN/m
6 m
4 m3 m
1 kN
4EI
EIEI
Obs.: Confirme as reaes de apoio e os esforos com o software:
Ftoolhttp://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool/
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3- Clculo da incgnita 1
Sabemos que:
011110 11
101
EI333,4
361
EI
30769,81
4- Reaes de Apoio
1B1o
BB VVV
2
1
11
BL
EI3
8
qL3V
2B 4
EI43
EI
30769,8
8
4183V
kN23,33VB
2A
2
2
1A
1A1
oAA
3
EI6
EI
30769,80H
L
EI60H
HHH
kN54,5HA
EJ
30769,8
3
EJ20M
LEJ20M
MMM
A
1
2
A
1
1
A
o
AA
kNm54,5MA
As demais reaes de apoio podemser calculadas por equilbrio esttico.
0Fy 04x18V23,33 A
kN77,38VA
0Fx 0H54,5 B
kN54,5HB
Representao grfica das reaes de apoio
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5- Diagramas de esforos
Barra BC
Equaes com origem em B (x=0).
m4x0
2
B
B
B
x9xV)x(Mx18V)x(V
H)x(N
Barra AC
Equaes com origem em A (x=0).
m3x0
xHM)x(M
H)x(V
V)x(N
AA
A
A
a) Esforo Normal b) Cortante
c) Momento Fletor
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4)
6 kN/m
2 m
3 m 2 m
D
A B C
Soluo:
D
A
1
1
Sistema Principal
C
D
A
1
10
Carregamento
Externo
6 kN/m
C
D
A1
11
Rotao 1
C
Carregamento Externo:
38
26
8
qLM
2
9
12
36
12
qLM
22
BC
2B
22
AB1B
Temos ento:
2
33
2
9MM 2B1B10
Rotao 1
EI22
EI4
L
EI4k
EI2
3
2
EI3
L
EI3k
EI3
4
3
EI4
L
EI4k
BD
3B
BC
2B
AB
1B
Temos ento:
EI6
29EI2EI2
3EI3
411
Clculo da incgnita
1Sabemos que:
011110
11
101
EI
6
292
3
1
EI29
91
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4- Reaes de Apoio
kN207,9V
29267
3EI6
EI299
236V
L
EI6
2
qLV
VVV
A
2A
2
AB
1AB
A
1
A1
o
AA
kNm707,4M
58
273
3
EI2
EI29
9
12
36M
L
EI2
12
qLM
MMM
A
2
A
AB
1
2
ABA
1
A1
o
AA
kN526,16V
2
EI3
3
EI6
EI29
9
8
265
2
36V
L
EI3
L
EI6
8
qL5
2
qLV
VVV
D
22D
2
BC
2
AB
1BCAB
D
1
D1
o
DD
kNm310,0M
2
EI2
EI29
90M
LEI20M
MMM
D
D
BD
1D
1
D1
o
DD
kN267,4V
2
EI3
EI29
9
8
263V
L
EI3
8
qL3V
VVV
C
2C
2
BC
1BC
C
1
C1
o
CC
kN466,0H
kN466,0H
2
EI6
EI29
90H
L
EI60H
HHH
A
D
2D
2
BD
1D
1
D1
o
DD
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8)
B
A
C D
6 kN/m
6 m
4 m3 m
1 kN
4EI
EIEI
Sistema Principal
1= Rotao do n C (deslocabilidade interna)
2= Rotao do n D (deslocabilidade interna)
3= Translao da direo CD (deslocabilidade externa)
1 23
1 2
3
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Direo 0Carregamento original
Para a barra CD temos os seguintes valores:
182
66
2
q
VV
1812
66
12
qM
1812
66
12
qM
0D0C
22
0D
22
0C
Os demais valores (na cor azul) so todos iguais a zero.
6 kN/m
1 23
6 kN/m
VD0VC0
MC0 MD0
HC0
HA0
HD0
HB0
MC0
MA0
MD0
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Direo 1Rotao unitria na direo de 1
Para a barra CD temos os seguintes valores:
3
EI2
36
EI24
6
EI24)EI4(6VV
3
EI4
6
EI8
6
)EI4(2)EI4(2M
3
EI8
6
EI16
6
)EI4(4)EI4(4M
221D1C
1D
1C
Para a barra AC temos os seguintes valores:
8
EI3
16
EI6
4
EI6EI6HH
2
EI
4
EI2EI2M
EI4
EI4EI4M
221A1C
1A
1C
Os demais valores (na cor azul) so todos iguais a zero.
1 23
VD1VC1
MC1 MD1
HC1
HA1
HD1
HB1
MC1
MA1
MD1
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Mtodo dos Deslocamentos 10/12 profwillian.com
Direo 2Rotao unitria na direo de 2
Para a barra CD temos os seguintes valores:
3
EI2
36
EI24
6
EI24)EI4(6VV
3
EI8
6
EI16
6
)EI4(4)EI4(4M
3
EI4
6
EI8
6
)EI4(2)EI4(2M
222D2C
2D
2C
Para a barra BD temos os seguintes valores:
3
EI
9
EI3
3
EI3EI3HH
EI3
EI3EI3M
222B2D
2D
Os demais valores (na cor azul) so todos iguais a zero.
1 23
VD2VC2
MC2 MD2
HC2
HA2
HD2
HB2
MC2
MA2
MD2
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Mtodo dos Deslocamentos 11/12 profwillian.com
Direo 3Translao unitria na direo de 3
Para a barra AC temos os seguintes valores:
16
EI3
64
EI12
4
EI12EI12HH
8
EI3
16
EI6
4
EI6EI6MM
333A3C
223A3C
Para a barra BD temos os seguintes valores:
9
EI
27
EI3
3
EI3EI3HH
3
EI
9
EI3
3
EI3EI3M
333B3D
223D
Os demais valores (na cor azul) so todos iguais a zero.
1 23
VD3VC3
MC3 MD3
HC3
HA3
HD3
HB3
MC3
MA3
MD3
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12/12
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Equaes de compatibilidade
11H
00M
00M
333232131303
323222121202
313212111101
Onde:
144
EI43
9
EI
16
EI3HH
3
EIH
3
EI11EI
3
EI8MM
8
EI3
H
3
EI4M
3
EI11EI
3
EI8MM
0
18M
18M
3D3C33
3223
3113
2D32
2D2D22
2112
1C31
1D21
1C1C11
30
0D20
0C10
Assim:
EI
1
3269346,5
3845231,71391722,8
1
18
18
144
43
3
1
8
33
1
3
11
3
48
3
3
4
3
11
EI
1
0
0
3
2
1
3
2
1
30
20
10
3
2
1
333231
232221
131211
Reaes de Apoio:
3B32B21B10BB
3B32B21B10BB
3A32A21A10AA
3A32A21A10AA
3A32A21A10AA
HHHHH
VVVVV
MMMMM
HHHHH
VVVVV
kN0539,3H
kN5031,18V
kN0720,2M
kN0539,2H
kN4969,17V
B
B
A
A
A